Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 287104 287102 2026-09-02T13:41:05Z Funzioni di correlazione 24136 287104 wikitext text/x-wiki Certo. Interpreto il sistema come tan ⁡ 𝑥 > 3 e sin ⁡ 𝑥 > 1 2 , con 𝑥 ∈ 𝑅 . Ecco il testo in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza \boxed. Consideriamo il sistema <math>\begin{cases} \tan x > \sqrt{3}\\ \sin x > \frac{1}{2} \end{cases}</math> Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX uindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure <math>\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Nel nostro caso poniamo <math>\alpha=8x</math> e <math>\beta=16x</math>. '''Prima famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>-8x=360^\circ k</math> e quindi <math>x=-45^\circ k</math> Poiché <math>k</math> è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Seconda famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=180^\circ-16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>24x=180^\circ+360^\circ k</math> Dividendo per <math>24</math>: <math>x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k</math> Pertanto <math>x=7{,}5^\circ+15^\circ k</math> Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che <math>0{,}5^\circ=30'</math> e quindi <math>7{,}5^\circ=7^\circ30'</math> La seconda famiglia può dunque essere scritta come <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzione generale''' Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> oppure <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzioni comprese tra <math>0^\circ</math> e <math>360^\circ</math>''' Se si considera l'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math> la prima famiglia fornisce <math>x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ</math> La seconda famiglia fornisce <math>x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'</math> Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è x1 = 0; 22.5°; 45° x2 =7.5°; 37.5° In totale si ottengono <math>32</math> soluzioni nell'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math>. == 5° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mkmd23gzed2ux1wyk6kt7pk2rp58wom 287105 287104 2026-09-02T13:42:29Z Funzioni di correlazione 24136 287105 wikitext text/x-wiki tan ⁡ 𝑥 > 3 e sin ⁡ 𝑥 > 1 2 , con 𝑥 ∈ 𝑅 . Ecco il testo in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza \boxed. Consideriamo il sistema <math>\begin{cases} \tan x > \sqrt{3}\\ \sin x > \frac{1}{2} \end{cases}</math> Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX uindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure <math>\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Nel nostro caso poniamo <math>\alpha=8x</math> e <math>\beta=16x</math>. '''Prima famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>-8x=360^\circ k</math> e quindi <math>x=-45^\circ k</math> Poiché <math>k</math> è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Seconda famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=180^\circ-16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>24x=180^\circ+360^\circ k</math> Dividendo per <math>24</math>: <math>x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k</math> Pertanto <math>x=7{,}5^\circ+15^\circ k</math> Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che <math>0{,}5^\circ=30'</math> e quindi <math>7{,}5^\circ=7^\circ30'</math> La seconda famiglia può dunque essere scritta come <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzione generale''' Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> oppure <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzioni comprese tra <math>0^\circ</math> e <math>360^\circ</math>''' Se si considera l'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math> la prima famiglia fornisce <math>x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ</math> La seconda famiglia fornisce <math>x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'</math> Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è x1 = 0; 22.5°; 45° x2 =7.5°; 37.5° In totale si ottengono <math>32</math> soluzioni nell'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math>. == 5° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ixq45v9iuuxng59k6z5dr1lfre11l8b 287106 287105 2026-09-02T13:43:33Z Funzioni di correlazione 24136 287106 wikitext text/x-wiki Consideriamo il sistema <math>\begin{cases} \tan x > \sqrt{3}\\ \sin x > \frac{1}{2} \end{cases}</math> Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX uindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure <math>\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Nel nostro caso poniamo <math>\alpha=8x</math> e <math>\beta=16x</math>. '''Prima famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>-8x=360^\circ k</math> e quindi <math>x=-45^\circ k</math> Poiché <math>k</math> è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Seconda famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=180^\circ-16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>24x=180^\circ+360^\circ k</math> Dividendo per <math>24</math>: <math>x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k</math> Pertanto <math>x=7{,}5^\circ+15^\circ k</math> Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che <math>0{,}5^\circ=30'</math> e quindi <math>7{,}5^\circ=7^\circ30'</math> La seconda famiglia può dunque essere scritta come <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzione generale''' Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> oppure <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzioni comprese tra <math>0^\circ</math> e <math>360^\circ</math>''' Se si considera l'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math> la prima famiglia fornisce <math>x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ</math> La seconda famiglia fornisce <math>x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'</math> Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è x1 = 0; 22.5°; 45° x2 =7.5°; 37.5° In totale si ottengono <math>32</math> soluzioni nell'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math>. == 5° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 61cn300emuzzbxzd4mvbadkrfpsr9py 287117 287106 2026-09-03T07:37:33Z Funzioni di correlazione 24136 287117 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi riceventi in correlazione | avanzamento = 100% }} Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> ==Bibliografia== * James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952. * James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, The application of correlation techniques to acoustic receiving systems, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 28), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952. *C. Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 *C. Del Turco, '' Principi ed applicazioni dei metodi di correlazione '', rivista tec. l'antenna, n° 6, anno XXXII, 1960 [[Categoria:Lezioni di Sistemi riceventi in correlazione]] [[Categoria:sonar]] XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX uindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure <math>\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Nel nostro caso poniamo <math>\alpha=8x</math> e <math>\beta=16x</math>. '''Prima famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>-8x=360^\circ k</math> e quindi <math>x=-45^\circ k</math> Poiché <math>k</math> è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Seconda famiglia di soluzioni''' Abbiamo <math>8x=180^\circ-16x+360^\circ k</math> Portando <math>16x</math> al primo membro: <math>24x=180^\circ+360^\circ k</math> Dividendo per <math>24</math>: <math>x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k</math> Pertanto <math>x=7{,}5^\circ+15^\circ k</math> Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che <math>0{,}5^\circ=30'</math> e quindi <math>7{,}5^\circ=7^\circ30'</math> La seconda famiglia può dunque essere scritta come <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzione generale''' Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie <math>x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> oppure <math>x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> '''Soluzioni comprese tra <math>0^\circ</math> e <math>360^\circ</math>''' Se si considera l'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math> la prima famiglia fornisce <math>x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ</math> La seconda famiglia fornisce <math>x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'</math> Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è x1 = 0; 22.5°; 45° x2 =7.5°; 37.5° In totale si ottengono <math>32</math> soluzioni nell'intervallo <math>0^\circ\leq x<360^\circ</math>. == 5° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> sv5t96rzn6wo8pa4ygsfca1702prgz6 4 35656 287116 286835 2026-09-03T04:41:49Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 287116 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2026-09-01T07:55:03Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 22 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[]Sviluppo degli algoritmi di correlazione] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 9ftld3zpxf9nio752tiiq74178wmq35 287119 287118 2026-09-03T07:43:40Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287118|287118]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287119 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 22 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} sy74usr67luwzw6i9icb4t4lgy4m9vd 287120 287119 2026-09-03T07:53:01Z Funzioni di correlazione 24136 287120 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 22 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Sviluppo degli algoritmi di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} ivka3y7yv50pb7l07oqa1xcne5eyour 287128 287120 2026-09-03T08:13:43Z Funzioni di correlazione 24136 287128 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 23 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. 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L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Sviluppo degli algoritmi di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 092zqi4jp436su16ctx7smniqp65fyd 0 37627 287125 287076 2026-09-03T08:04:26Z Funzioni di correlazione 24136 287125 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sviluppo algoritmi di correlazione | avanzamento = 100% }} '''( 2 esercizi)''' ==Cosa sono le funzioni di correlazione== Spiegazione di massima all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/corr1?authuser=0] Le funzioni di correlazione] ==In estrema sintesi come operano le funzioni di correlazione== L'operatività delle funzioni di correlazione in un caso particolare dei segnali elettrici è riportata all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/cor3?authuser=0]Esempio d'operatività] ==La macchina da calcolo delle funzioni di correlazione== Al seguente indirizzo la spiegazione della macchina: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/157?authuser=0]] ==Esempio di calcolo al PC== Una schermata di calcolo e grafica prima dell'impiego del calcolatore: [[https://drive.google.com/file/d/1cGfA3O0Pmpp093u3sWO98EMhFrZkr0jA/view?usp=drive_link]Schermata] Il file di calcolo dell'eseguibile in zip all'indirizzo: [[https://drive.google.com/file/d/11Fg3_yERTf7FjK5-nE1_6nLQmvpl_9zB/view?usp=drive_link]Al file zip di calcolo] fjm3x389wf5wx7ng8ojelmenr79ztwv 287126 287125 2026-09-03T08:04:58Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287125|287125]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287126 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le funzioni di correlazione | avanzamento = 100% }} '''( 2 esercizi)''' ==Cosa sono le funzioni di correlazione== Spiegazione di massima all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/corr1?authuser=0] Le funzioni di correlazione] ==In estrema sintesi come operano le funzioni di correlazione== L'operatività delle funzioni di correlazione in un caso particolare dei segnali elettrici è riportata all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/cor3?authuser=0]Esempio d'operatività] ==La macchina da calcolo delle funzioni di correlazione== Al seguente indirizzo la spiegazione della macchina: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/157?authuser=0]] ==Esempio di calcolo al PC== Una schermata di calcolo e grafica prima dell'impiego del calcolatore: [[https://drive.google.com/file/d/1cGfA3O0Pmpp093u3sWO98EMhFrZkr0jA/view?usp=drive_link]Schermata] Il file di calcolo dell'eseguibile in zip all'indirizzo: [[https://drive.google.com/file/d/11Fg3_yERTf7FjK5-nE1_6nLQmvpl_9zB/view?usp=drive_link]Al file zip di calcolo] tkeckcgq92o59kvy9hgiqct2y06ct00 0 37803 287107 287103 2026-09-02T13:46:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287107 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 25% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. 23y8t2334bl7xo8395893jn91kw622n 287108 287107 2026-09-02T13:49:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287108 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 25% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. qo946cjrclhoohenlz6iz9n67qmtn98 287109 287108 2026-09-02T13:49:43Z Funzioni di correlazione 24136 287109 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. 952n342l0u8e19ilujn8ur4vcuhetms 287110 287109 2026-09-02T13:50:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287110 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. lsuaau53a5tzhqoiwuqiqphv1kufi5x 287111 287110 2026-09-02T13:53:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° esercizio */ 287111 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni in cotangente e seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. 2nb2bcxsw393ghdjpqu7x8euvqafpvi 287112 287111 2026-09-02T13:53:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287112 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni in cotangente e seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. o7kc0x98p5ege59lmc7a8g4xy3txilt 287113 287112 2026-09-02T13:55:24Z Funzioni di correlazione 24136 287113 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''(5 esercizi)''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 3°esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' soluzione di:''' '''Sen x + (sqr 2 -1) cos x >sqr2 - 1 ''' Consideriamo la disequazione <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x>\sqrt{2}-1</math> Portiamo il primo membro nella forma <math>R\sin(x+\varphi)</math>. Poniamo <math>R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi</math> Confrontando i coefficienti con <math>\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x</math> otteniamo <math>R\cos\varphi=1</math> e <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> Elevando al quadrato e sommando membro a membro: <math>R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Poiché <math>\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1</math> si ha <math>R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2</math> Calcoliamo il quadrato: <math>(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}</math> quindi <math>R^2=4-2\sqrt{2}</math> e pertanto <math>R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math> Non è però necessario calcolare esplicitamente <math>R</math>. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute: <math>\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}</math> da cui <math>\tan\varphi=\sqrt{2}-1</math> Ricordiamo che <math>\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> quindi possiamo scegliere <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa dunque <math>R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sqrt{2}-1</math> Poiché <math>R>0</math> possiamo dividere per <math>R</math>: <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\frac{\sqrt{2}-1}{R}</math> Dalla relazione <math>R\sin\varphi=\sqrt{2}-1</math> e da <math>\varphi=\frac{\pi}{8}</math> segue che <math>\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}</math> Pertanto dobbiamo risolvere <math>\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)>\sin\frac{\pi}{8}</math> Poniamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> La disequazione diventa <math>\sin y>\sin\frac{\pi}{8}</math> Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di <math>\sin\frac{\pi}{8}</math> nell'intervallo <math>\frac{\pi}{8}<y<\pi-\frac{\pi}{8}</math> cioè <math>\frac{\pi}{8}<y<\frac{7\pi}{8}</math> Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<y<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> Sostituiamo <math>y=x+\frac{\pi}{8}</math> ottenendo <math>\frac{\pi}{8}+2k\pi<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{8}+2k\pi</math> Sottraiamo <math>\frac{\pi}{8}</math> a tutti i membri: <math>2k\pi<x<\frac{6\pi}{8}+2k\pi</math> Semplificando <math>\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}</math> quindi la soluzione è <math>2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math> In forma di intervalli: <math>x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)</math> La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi. == 4° esercizio == Soluzione di un sistena di disequazioni in cotangente e seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di:''' '''cotg x < - sqr 3 ''' '''sen x > 0 ''' <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> <math>\sin x>0</math> Consideriamo la prima disequazione: <math>\operatorname{cotg}x<-\sqrt{3}</math> Poiché <math>\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> e dalla seconda disequazione sappiamo che <math>\sin x>0</math> possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x</math> senza cambiare il verso della disequazione: <math>\frac{\cos x}{\sin x}<-\sqrt{3}</math> <math>\cos x<-\sqrt{3}\sin x</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x<0</math> Usiamo la formula di addizione: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)</math> Poiché <math>\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}</math> e <math>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}</math> otteniamo: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)</math> Applicando la formula <math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math> si ha: <math>\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)</math> Pertanto la prima disequazione diventa: <math>2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> e quindi: <math>\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0</math> La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante: <math>\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}</math> Aggiungendo <math>\frac{\pi}{3}</math> a tutti i membri: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> Consideriamo ora la seconda disequazione: <math>\sin x>0</math> Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi: <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> e <math>2k\pi<x<(2k+1)\pi</math> Consideriamo un periodo, ad esempio: <math>0<x<2\pi</math> La prima condizione dà: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}</math> La seconda condizione, nell'intervallo <math>(0,2\pi)</math>, dà: <math>0<x<\pi</math> L'intersezione è: <math>\frac{5\pi}{6}<x<\pi</math> Tenendo conto della periodicità di <math>2\pi</math>, la soluzione generale è: <math>\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Quindi la soluzione del sistema è: <math>x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di un sistema di disequazioni in seno e tangente: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''tang x > sqr 3''' '''sen x > 1/2''' Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione: <math>\tan x > \sqrt{3}</math> Sappiamo che <math>\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> La funzione tangente è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo <math>\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto <math>\tan x>\sqrt{3}</math> se e solo se <math>\frac{\pi}{3}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Quindi la soluzione della prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Seconda disequazione: <math>\sin x>\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}</math>. Il seno è maggiore di <math>\frac{1}{2}</math> nel primo e nel secondo quadrante, quindi <math>\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Pertanto la soluzione della seconda disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. Ora dobbiamo intersecare le due soluzioni. La prima disequazione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)</math>, mentre la seconda è <math>x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)</math>. Per confrontare correttamente gli intervalli, consideriamo un periodo comune pari a <math>2\pi</math>. Nel primo periodo <math>[0,2\pi)</math>, la prima disequazione dà due intervalli: <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math> e <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)</math>. La seconda disequazione, nello stesso periodo, dà <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)</math>. L'intersezione nel primo periodo è quindi <math>\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)</math>. Infatti <math>\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)\cap\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)=\varnothing</math>. Poiché entrambe le disequazioni sono periodiche di periodo <math>2\pi</math>, possiamo traslare l'intervallo ottenuto di <math>2k\pi</math>. Pertanto la soluzione del sistema è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math>. oh37troc4cwke3y5q6hz0txjpim82hb 0 37806 287114 2026-09-02T14:46:30Z ~2026-47694-28 46905 arte il colore delle emozioni 287114 wikitext text/x-wiki Arte il colore delle emozioni hj8piy02iz4yb1x71mb7md752tsev1y 104 37807 287115 2026-09-02T14:49:34Z ~2026-47694-28 46905 Esame emozioni 287115 wikitext text/x-wiki Esame Emozioni dua356rcd2f43swovl1sj17fcujrt29 0 37808 287121 2026-09-03T07:55:05Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi riceventi in correlazione | avanzamento = 100% }} Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Resea..." 287121 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi riceventi in correlazione | avanzamento = 100% }} Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] 7ibrm6twjghuny2g2hs7vb73a1m9szd 287122 287121 2026-09-03T07:56:53Z Funzioni di correlazione 24136 287122 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi riceventi in correlazione | avanzamento = 100% }} '''(testo unico) Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] 8jtki7b42faeamj5k5i5zppcms7kshl 287123 287122 2026-09-03T07:59:25Z Funzioni di correlazione 24136 287123 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sistemi riceventi in correlazione | avanzamento = 100% }} Elaborato per chi vuole cimentarsi nello studio e nelle applicazioni dei sistemi di correlazione. '''(testo unico) Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] tal025lrgii88ooe3bvkl11qc1sazrr 287124 287123 2026-09-03T08:02:25Z Funzioni di correlazione 24136 287124 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le funzioni di correlazione | avanzamento = 100% }} Elaborato per chi vuole cimentarsi nello studio e nelle applicazioni dei sistemi di correlazione. '''(testo unico) Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] 9jqw86t0u660c4b10yqx85sdbpsm1li 287127 287124 2026-09-03T08:11:02Z Funzioni di correlazione 24136 287127 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sviluppo algoritmi di correlazione | avanzamento = 100% }} Elaborato per chi vuole cimentarsi nello studio e nelle applicazioni dei sistemi di correlazione. '''(testo unico) Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] 1oba8c3tvmnkk5ydvcy5btv6e5aafkw 287129 287127 2026-09-03T08:29:54Z Funzioni di correlazione 24136 287129 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sviluppo algoritmi di correlazione | avanzamento = 100% }} Elaborato per chi vuole cimentarsi nello studio e nelle applicazioni dei sistemi di correlazione. Con IA si possono controllare le diverse impostazioni degli algoritmi che figurano nel testo. '''(testo unico) Con gli sviluppi matematici per il calcolo delle funzioni di correlazione si ottengno le formulazioni degli algoritmi relativi a dette funzioni che giocano un ruolo fondamentale nei sistemi riceventi del sonar. Tutto ciò partendo dall'algoritmo generale<ref> Dagli studi di: James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.</ref> : <math> C(\tau) = \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t)\cdot f(t + \tau) \quad dt </math> secondo i seguenti sviluppi: [[File:matematica-1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-2.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-3.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-7.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} {{clear}} [[File:matematica-9.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} [[File:matematica-10.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} == Note == <references/> [[Categoria:sonar]] 84wk0214o005j744xtzko7ze1ayqauh