Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 828 18771 287130 116434 2026-09-03T12:55:51Z Hamish 23029 Update from [[d:Special:GoToLinkedPage/enwiki/Q15408619|master]] using [[mw:Synchronizer| #Synchronizer]] 287130 Scribunto text/plain ------------------------------------------------------------------------------------ -- TableTools -- -- -- -- This module includes a number of functions for dealing with Lua tables. -- -- It is a meta-module, meant to be called from other Lua modules, and should not -- -- be called directly from #invoke. -- ------------------------------------------------------------------------------------ local libraryUtil = require('libraryUtil') local p = {} -- Define often-used variables and functions. local floor = math.floor local infinity = math.huge local checkType = libraryUtil.checkType local checkTypeMulti = libraryUtil.checkTypeMulti ------------------------------------------------------------------------------------ -- isPositiveInteger -- -- This function returns true if the given value is a positive integer, and false -- if not. Although it doesn't operate on tables, it is included here as it is -- useful for determining whether a given table key is in the array part or the -- hash part of a table. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.isPositiveInteger(v) return type(v) == 'number' and v >= 1 and floor(v) == v and v < infinity end ------------------------------------------------------------------------------------ -- isNan -- -- This function returns true if the given number is a NaN value, and false if -- not. Although it doesn't operate on tables, it is included here as it is useful -- for determining whether a value can be a valid table key. Lua will generate an -- error if a NaN is used as a table key. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.isNan(v) return type(v) == 'number' and v ~= v end ------------------------------------------------------------------------------------ -- shallowClone -- -- This returns a clone of a table. The value returned is a new table, but all -- subtables and functions are shared. Metamethods are respected, but the returned -- table will have no metatable of its own. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.shallowClone(t) checkType('shallowClone', 1, t, 'table') local ret = {} for k, v in pairs(t) do ret[k] = v end return ret end ------------------------------------------------------------------------------------ -- removeDuplicates -- -- This removes duplicate values from an array. Non-positive-integer keys are -- ignored. The earliest value is kept, and all subsequent duplicate values are -- removed, but otherwise the array order is unchanged. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.removeDuplicates(arr) checkType('removeDuplicates', 1, arr, 'table') local isNan = p.isNan local ret, exists = {}, {} for _, v in ipairs(arr) do if isNan(v) then -- NaNs can't be table keys, and they are also unique, so we don't need to check existence. ret[#ret + 1] = v elseif not exists[v] then ret[#ret + 1] = v exists[v] = true end end return ret end ------------------------------------------------------------------------------------ -- numKeys -- -- This takes a table and returns an array containing the numbers of any numerical -- keys that have non-nil values, sorted in numerical order. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.numKeys(t) checkType('numKeys', 1, t, 'table') local isPositiveInteger = p.isPositiveInteger local nums = {} for k in pairs(t) do if isPositiveInteger(k) then nums[#nums + 1] = k end end table.sort(nums) return nums end ------------------------------------------------------------------------------------ -- affixNums -- -- This takes a table and returns an array containing the numbers of keys with the -- specified prefix and suffix. For example, for the table -- {a1 = 'foo', a3 = 'bar', a6 = 'baz'} and the prefix "a", affixNums will return -- {1, 3, 6}. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.affixNums(t, prefix, suffix) checkType('affixNums', 1, t, 'table') checkType('affixNums', 2, prefix, 'string', true) checkType('affixNums', 3, suffix, 'string', true) local function cleanPattern(s) -- Cleans a pattern so that the magic characters ()%.[]*+-?^$ are interpreted literally. return s:gsub('([%(%)%%%.%[%]%*%+%-%?%^%$])', '%%%1') end prefix = prefix or '' suffix = suffix or '' prefix = cleanPattern(prefix) suffix = cleanPattern(suffix) local pattern = '^' .. prefix .. '([1-9]%d*)' .. suffix .. '$' local nums = {} for k in pairs(t) do if type(k) == 'string' then local num = mw.ustring.match(k, pattern) if num then nums[#nums + 1] = tonumber(num) end end end table.sort(nums) return nums end ------------------------------------------------------------------------------------ -- numData -- -- Given a table with keys like {"foo1", "bar1", "foo2", "baz2"}, returns a table -- of subtables in the format -- {[1] = {foo = 'text', bar = 'text'}, [2] = {foo = 'text', baz = 'text'}}. -- Keys that don't end with an integer are stored in a subtable named "other". The -- compress option compresses the table so that it can be iterated over with -- ipairs. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.numData(t, compress) checkType('numData', 1, t, 'table') checkType('numData', 2, compress, 'boolean', true) local ret = {} for k, v in pairs(t) do local prefix, num = mw.ustring.match(tostring(k), '^([^0-9]*)([1-9][0-9]*)$') if num then num = tonumber(num) local subtable = ret[num] or {} if prefix == '' then -- Positional parameters match the blank string; put them at the start of the subtable instead. prefix = 1 end subtable[prefix] = v ret[num] = subtable else local subtable = ret.other or {} subtable[k] = v ret.other = subtable end end if compress then local other = ret.other ret = p.compressSparseArray(ret) ret.other = other end return ret end ------------------------------------------------------------------------------------ -- compressSparseArray -- -- This takes an array with one or more nil values, and removes the nil values -- while preserving the order, so that the array can be safely traversed with -- ipairs. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.compressSparseArray(t) checkType('compressSparseArray', 1, t, 'table') local ret = {} local nums = p.numKeys(t) for _, num in ipairs(nums) do ret[#ret + 1] = t[num] end return ret end ------------------------------------------------------------------------------------ -- sparseIpairs -- -- This is an iterator for sparse arrays. It can be used like ipairs, but can -- handle nil values. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.sparseIpairs(t) checkType('sparseIpairs', 1, t, 'table') local nums = p.numKeys(t) local i = 0 local lim = #nums return function () i = i + 1 if i <= lim then local key = nums[i] return key, t[key] else return nil, nil end end end ------------------------------------------------------------------------------------ -- size -- -- This returns the size of a key/value pair table. It will also work on arrays, -- but for arrays it is more efficient to use the # operator. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.size(t) checkType('size', 1, t, 'table') local i = 0 for _ in pairs(t) do i = i + 1 end return i end local function defaultKeySort(item1, item2) -- "number" < "string", so numbers will be sorted before strings. local type1, type2 = type(item1), type(item2) if type1 ~= type2 then return type1 < type2 elseif type1 == 'table' or type1 == 'boolean' or type1 == 'function' then return tostring(item1) < tostring(item2) else return item1 < item2 end end ------------------------------------------------------------------------------------ -- keysToList -- -- Returns an array of the keys in a table, sorted using either a default -- comparison function or a custom keySort function. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.keysToList(t, keySort, checked) if not checked then checkType('keysToList', 1, t, 'table') checkTypeMulti('keysToList', 2, keySort, {'function', 'boolean', 'nil'}) end local arr = {} local index = 1 for k in pairs(t) do arr[index] = k index = index + 1 end if keySort ~= false then keySort = type(keySort) == 'function' and keySort or defaultKeySort table.sort(arr, keySort) end return arr end ------------------------------------------------------------------------------------ -- sortedPairs -- -- Iterates through a table, with the keys sorted using the keysToList function. -- If there are only numerical keys, sparseIpairs is probably more efficient. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.sortedPairs(t, keySort) checkType('sortedPairs', 1, t, 'table') checkType('sortedPairs', 2, keySort, 'function', true) local arr = p.keysToList(t, keySort, true) local i = 0 return function () i = i + 1 local key = arr[i] if key ~= nil then return key, t[key] else return nil, nil end end end ------------------------------------------------------------------------------------ -- isArray -- -- Returns true if the given value is a table and all keys are consecutive -- integers starting at 1. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.isArray(v) if type(v) ~= 'table' then return false end local i = 0 for _ in pairs(v) do i = i + 1 if v[i] == nil then return false end end return true end ------------------------------------------------------------------------------------ -- isArrayLike -- -- Returns true if the given value is iterable and all keys are consecutive -- integers starting at 1. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.isArrayLike(v) if not pcall(pairs, v) then return false end local i = 0 for _ in pairs(v) do i = i + 1 if v[i] == nil then return false end end return true end ------------------------------------------------------------------------------------ -- invert -- -- Transposes the keys and values in an array. For example, {"a", "b", "c"} -> -- {a = 1, b = 2, c = 3}. Duplicates are not supported (result values refer to -- the index of the last duplicate) and NaN values are ignored. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.invert(arr) checkType("invert", 1, arr, "table") local isNan = p.isNan local map = {} for i, v in ipairs(arr) do if not isNan(v) then map[v] = i end end return map end ------------------------------------------------------------------------------------ -- listToSet -- -- Creates a set from the array part of the table. Indexing the set by any of the -- values of the array returns true. For example, {"a", "b", "c"} -> -- {a = true, b = true, c = true}. NaN values are ignored as Lua considers them -- never equal to any value (including other NaNs or even themselves). ------------------------------------------------------------------------------------ function p.listToSet(arr) checkType("listToSet", 1, arr, "table") local isNan = p.isNan local set = {} for _, v in ipairs(arr) do if not isNan(v) then set[v] = true end end return set end ------------------------------------------------------------------------------------ -- deepCopy -- -- Recursive deep copy function. Preserves identities of subtables. ------------------------------------------------------------------------------------ local function _deepCopy(orig, includeMetatable, already_seen) if type(orig) ~= "table" then return orig end -- already_seen stores copies of tables indexed by the original table. local copy = already_seen[orig] if copy ~= nil then return copy end copy = {} already_seen[orig] = copy -- memoize before any recursion, to avoid infinite loops for orig_key, orig_value in pairs(orig) do copy[_deepCopy(orig_key, includeMetatable, already_seen)] = _deepCopy(orig_value, includeMetatable, already_seen) end if includeMetatable then local mt = getmetatable(orig) if mt ~= nil then setmetatable(copy, _deepCopy(mt, true, already_seen)) end end return copy end function p.deepCopy(orig, noMetatable, already_seen) checkType("deepCopy", 3, already_seen, "table", true) return _deepCopy(orig, not noMetatable, already_seen or {}) end ------------------------------------------------------------------------------------ -- sparseConcat -- -- Concatenates all values in the table that are indexed by a number, in order. -- sparseConcat{a, nil, c, d} => "acd" -- sparseConcat{nil, b, c, d} => "bcd" ------------------------------------------------------------------------------------ function p.sparseConcat(t, sep, i, j) local arr = {} local arr_i = 0 for _, v in p.sparseIpairs(t) do arr_i = arr_i + 1 arr[arr_i] = v end return table.concat(arr, sep, i, j) end ------------------------------------------------------------------------------------ -- length -- -- Finds the length of an array, or of a quasi-array with keys such as "data1", -- "data2", etc., using an exponential search algorithm. It is similar to the -- operator #, but may return a different value when there are gaps in the array -- portion of the table. Intended to be used on data loaded with mw.loadData. For -- other tables, use #. -- Note: #frame.args in frame object always be set to 0, regardless of the number -- of unnamed template parameters, so use this function for frame.args. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.length(t, prefix) -- requiring module inline so that [[Module:Exponential search]] which is -- only needed by this one function doesn't get millions of transclusions local expSearch = require("Module:Exponential search") checkType('length', 1, t, 'table') checkType('length', 2, prefix, 'string', true) return expSearch(function (i) local key if prefix then key = prefix .. tostring(i) else key = i end return t[key] ~= nil end) or 0 end ------------------------------------------------------------------------------------ -- inArray -- -- Returns true if searchElement is a member of the array, and false otherwise. -- Equivalent to JavaScript array.includes(searchElement) or -- array.includes(searchElement, fromIndex), except fromIndex is 1 indexed ------------------------------------------------------------------------------------ function p.inArray(array, searchElement, fromIndex) checkType("inArray", 1, array, "table") -- if searchElement is nil, error? fromIndex = tonumber(fromIndex) if fromIndex then if (fromIndex < 0) then fromIndex = #array + fromIndex + 1 end if fromIndex < 1 then fromIndex = 1 end for _, v in ipairs({unpack(array, fromIndex)}) do if v == searchElement then return true end end else for _, v in pairs(array) do if v == searchElement then return true end end end return false end ------------------------------------------------------------------------------------ -- merge -- -- Given the arrays, returns an array containing the elements of each input array -- in sequence. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.merge(...) local arrays = {...} local ret = {} for i, arr in ipairs(arrays) do checkType('merge', i, arr, 'table') for _, v in ipairs(arr) do ret[#ret + 1] = v end end return ret end ------------------------------------------------------------------------------------ -- extend -- -- Extends the first array in place by appending all elements from the second -- array. ------------------------------------------------------------------------------------ function p.extend(arr1, arr2) checkType('extend', 1, arr1, 'table') checkType('extend', 2, arr2, 'table') for _, v in ipairs(arr2) do arr1[#arr1 + 1] = v end end return p 4n03zk6kcoeg4gz82mieeh94c1szcjy 2 34010 287131 287117 2026-09-03T14:29:19Z Funzioni di correlazione 24136 287131 wikitext text/x-wiki '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8c09d9hfxpjds6nqgux8k1wilf1wm99 287132 287131 2026-09-03T14:36:00Z Funzioni di correlazione 24136 287132 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(test0sto unico)''' L’utilità della trasformata di Hilbert è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math> La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> de78htydhhcr950rh3v3f4c1r5pdzax 287133 287132 2026-09-03T14:38:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Hilbert) */ 287133 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' L’utilità della trasformata di Hilbert è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math> La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> rn94scpmkct7kdut1v4e3pycwkdbt17 287134 287133 2026-09-03T14:43:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Hilbert) */ 287134 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione- L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nnaq58cholj3nwfcmni7x8wysgt9ewy 287135 287134 2026-09-03T14:44:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* La trasformata di Hilbert) */ 287135 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gis4h9odwuopcx1o8cz8rkv00smftad 287136 287135 2026-09-03T14:49:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* La soluzione hardware per la trasformazione di C(tao)x in HC (tao)x */ 287136 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> stimmksutt9yjaeuchmby92gkstat9c 287137 287136 2026-09-03T14:58:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert */ 287137 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> il cui andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} un andamento La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> cltylge1r0elkn1ky5omyfxpyt9b6e7 287138 287137 2026-09-03T14:59:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert */ 287138 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha un andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> tgfddd0ld10wcg8ugr8sh9o2cbirtxi 287139 287138 2026-09-03T15:03:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert */ 287139 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> stimmksutt9yjaeuchmby92gkstat9c 287140 287139 2026-09-03T15:04:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert */ 287140 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} ==L'unità di sfasamento per 90°== Per ottenere uno sfasamento di <math>90</math>° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra <math> F1 \ e \ F2 </math> , mediante apposite reti passive studiate alto scopo. Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica. Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici: *sfasare di <math>90</math>° due segnali in tutta la banda di lavoro *non alterare l'ampiezza dei segnali stessi Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di <math>90</math>° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni. Con due cellule da <math>\pm 45</math>°: <math> RC \ e \ CR </math>, come in figura 5, si risolve il problema: [[File:retircdtcx.jpg|thumb|left|300px|figura 5]] {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ohn373qklwu42b00wnroikw1ozfbt1i 287141 287140 2026-09-03T15:05:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* L'unità di sfasamento per 90° */ 287141 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. == Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert == La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4icqgviwe4ohd3rlicftni2f46orp5r 287142 287141 2026-09-03T15:07:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert */ 287142 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} == La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x == Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ql6h5ymayok2zat7gg2fv1awgtelyyi 287143 287142 2026-09-03T15:09:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* La soluzione hardware per la trasformazione di C(tao)x in HC (tao)x */ 287143 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert)== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} === La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x === Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nyx5635m71fejk3kciuiex9585i2cez 287144 287143 2026-09-03T15:11:52Z Funzioni di correlazione 24136 287144 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = I correlatori digitali | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} === La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x === Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> p3o6o2hgspgbkduyioed2cmwfrjigt0 287145 287144 2026-09-03T15:13:29Z Funzioni di correlazione 24136 287145 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = La trasformata di Hilbert | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} === La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x === Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9ptf1gic3f9w567115gqy4t2szy2nbn 102 37619 287146 287128 2026-09-03T15:22:57Z Funzioni di correlazione 24136 287146 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 23 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Sviluppo degli algoritmi di correlazione]] [[La trasformata di Hilbert]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} a9js9klbnso8d6evvp0qvr09s3dxjra 287148 287146 2026-09-03T15:27:05Z Funzioni di correlazione 24136 287148 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 24 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Sviluppo degli algoritmi di correlazione]] [[La trasformata di Hilbert]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] [[Da curve per punti a funzioni Gaussiane]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 1hpc97xcfz1m1omfucv9j91b7jzsevc 0 37809 287147 2026-09-03T15:23:31Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = La trasformata di Hilbert | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambi..." 287147 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = La trasformata di Hilbert | avanzamento = 100% }} ==La trasformata di Hilbert== '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} === La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x === Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] fpm8ch2atqbput1ebzp90lexqxtp704 287149 287147 2026-09-03T15:28:04Z Funzioni di correlazione 24136 287149 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = La trasformata di Hilbert | avanzamento = 100% }} '''(testo unico)''' La trasformata di Hilbert è un algoritmo che affianca e / o sostituisce le funzioni di correlazione. L’utilità della trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo <math> f1 (t) \ e \ f2 (t), </math> che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare. La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert. Generalmente la misura del ritardo <math> \tau </math> nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza. Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo <math> \tau</math>. La <math>C( \tau )x </math> è sovente impiegata <ref> Per rilevamenti di posizioni angolari di sorgenti di rumore, il sonar ad esempio</ref> per stabilire con precisione a quale valore di <math>\tau </math> corrisponde il suo valore massimo. La precisione del rilievo del riardo <math> \tau </math> può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert. La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero. La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo <math> \tau </math> nel punto di passaggio di tali valori. === Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert === La trasformata di Hilbert, indicata come <math> HC( \tau ) </math>, di una funzione di correlazione <math> C(\tau) </math> si ottiene dall'integrale: <math>HC( \tau )=\frac{1}{\pi} \ \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{C( \tau)}{t-\tau}\, d\tau</math> Data una <math> C(\tau)x</math> d'esempio: <math> C( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \cdot K \cdot {\left [ \frac{\sin (2 \pi DF \tau)}{2 \pi DF \tau} \cos (2 \pi F_o \tau) \right ]} </math> definita con le variabili: :<math> f_1 = 1000 \ Hz </math> frequenza inferiore della banda di ricezione :<math> f_2 = 5000 \ Hz </math> frequenza superiore della banda di ricezione :<math> DF = \frac {f_2-f_1}{2} </math> :<math> F_o = \frac{f_1+f_2}{2} </math> :<math> K = \frac{1} {1 + (N/S) ^ 2 }</math> <ref>Questa variabile, mai trattata in precedenza, rende il massimo della funzione non più a cuspide ma tondeggiante, sarà studiata in una lezione seguente.</ref> si ha l'andamento mostrato in figura 1 : [[File:hilbert1.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Funzione di correlazione]] {{clear}} La trasformata di <math>C(\tau)x</math> indicata con <math>HC(\tau)x</math>, in base all'integrale dato, assume la forma: <math> HC( \tau )x = \frac{2}{\pi} \arcsin \left [ K \frac {\sin (2 \pi DF \tau)} { 2 \pi DF \tau} \sin(2 \pi F_o \tau) \right ] </math> La <math> HC( \tau )x</math> si diversifica dalla <math> C(\tau)x </math> per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno. L'andamento della <math> HC( \tau )x</math> è mostrato in figura 2: [[File:Hilbert2.jpg|thumb|left|400px|figura 2 Trasformata di Hilbert]] {{clear}} === La soluzione hardware per la trasformazione di <small>C</small>(tao)x in <small>HC</small> (tao)x === Di massima un sistema in correlazione che sviluppa la <math>C(\tau)x</math> è mostrato in figura 3 : [[File:correlatore.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>C(\tau)x </math>]] {{clear}} La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di <math> 90</math> °<ref> Si deve di fatto passare dalla funzione Coseno alla funzione Seno per tutte le frequenze della banda di ricezione.</ref> per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4: {{clear}} [[File:correlatorehc.jpg|thumb|700px|left|upright=1.8|figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della <math>HC(\tau)x </math>]] {{clear}} {{clear}} ==Note== <references/> ==Bibliografia== *Cesare Del Turco, '' La correlazione '', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993 [[Categoria: Correlazione e sue applicazioni tecniche]] [[Categoria: Funzioni di correlazione]] rhzzl2jtp8lrpa2ab944h5zeuspjd48 828 37810 287150 2026-09-03T22:13:18Z Hamish 23029 [IPE-NEXT] Quick edit imported from [[:w:en:Module:Exponential search]] 287150 Scribunto text/plain -- This module provides a generic exponential search algorithm. require[[strict]] local checkType = require('libraryUtil').checkType local floor = math.floor local function midPoint(lower, upper) return floor(lower + (upper - lower) / 2) end local function search(testFunc, i, lower, upper) if testFunc(i) then if i + 1 == upper then return i end lower = i if upper then i = midPoint(lower, upper) else i = i * 2 end return search(testFunc, i, lower, upper) else upper = i i = midPoint(lower, upper) return search(testFunc, i, lower, upper) end end return function (testFunc, init) checkType('Exponential search', 1, testFunc, 'function') checkType('Exponential search', 2, init, 'number', true) if init and (init < 1 or init ~= floor(init) or init == math.huge) then error(string.format( "invalid init value '%s' detected in argument #2 to " .. "'Exponential search' (init value must be a positive integer)", tostring(init) ), 2) end init = init or 2 if not testFunc(1) then return nil end return search(testFunc, init, 1, nil) end jqqi8l27tb73lglksbukg2g3bzt3fmv