Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 287355 286893 2026-09-14T08:36:16Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina sostituita con ' [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe To...' 287355 wikitext text/x-wiki [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} at0u4ybu0gziay03rli9rtgsr9mpg2o 287356 287355 2026-09-14T08:44:45Z Funzioni di correlazione 24136 287356 wikitext text/x-wiki Certo. Ti preparo un testo **in wikitesto grezzo per Wikipedia**, con un percorso unico e progressivo: definizione → forma algebrica → piano complesso → operazioni → coniugato → modulo → forma trigonometrica → formula di Eulero → potenze e radici → diagrammi descritti tramite codice SVG/ASCII dove opportuno. ```text '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} 54js517oxjzmfans524n4mbj6g31wdf 287357 287356 2026-09-14T08:46:15Z Funzioni di correlazione 24136 287357 wikitext text/x-wiki '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} pjds5h508x9mfjmc31lxl6dkqk07hww 287358 287357 2026-09-14T08:55:20Z Funzioni di correlazione 24136 287358 wikitext text/x-wiki {{Incompleto|Scienze matematiche, fisiche e naturali}} {{Materia|7||15 |corso1=Matematica |corso2=Informatica |corso3=Ingegneria delle telecomunicazioni |corso4=Scienze della Terra |dip=Scienze matematiche, fisiche e naturali |biblio_sez=Matematica |presentazione= Nel corso di Algebra verranno affrontati i seguenti argomenti: <!-- aggiungere ed eventualmente ordinare! --> *Algebra di base (elementi di:) *#Strutture algebriche *#Teoria dei gruppi *#Teoria degli anelli *#Teoria dei campi *#Algebra lineare *Algebra avanzata *#Strutture algebriche *#Teoria dei gruppi *#Algebra commutativa *#Algebra omologica *#Metodi algebrici in Crittografia |prerequisiti= *Algebra di base: Conoscenze base di '''Teoria degli insiemi''' in [[Materia:Logica matematica|Logica matematica]] *Algebra avanzata: richiesta conoscenza di Algebra di base |risorse= |programma= ==Base== #[[Equazione con il valore assoluto]] ===Strutture algebriche=== #[[Leggi di composizione]] #[[Strutture algebriche Group-like e Ring-like]] ===Teoria dei Gruppi=== #[[Gruppi e sottogruppi (algebra)|Gruppi e sottogruppi]] #[[Gruppi quoziente e sottogruppi normali]] #[[Omomorfismi tra gruppi]] #[[Gruppi di permutazione]] #[[Gruppi ciclici]] #[[Prodotti diretti tra gruppi]] #[[Gruppi abeliani liberi]] #[[Teoremi di Sylow e i p-gruppi]] #[[Gruppo quoziente abeliano di un semigruppo commutativo|Costruzione di un gruppo abeliano a partire da un semigruppo commutativo]] ===Teoria degli Anelli=== #[[Anelli e sottoanelli]] #[[Ideali e anelli quoziente]] #[[Omomorfismi tra anelli]] #[[Campo quoziente di un dominio d'integrità|Costruzione di un campo a partire da un dominio d'integrità]] #[[Anelli FU, principali, euclidei|Anelli a fattorizzazione unica, principali, euclidei]] #[[Polinomi su un anello commutativo unitario]] #[[Radici e derivata di un polinomio]] ===Teoria dei campi=== #[[Costruzioni riga e compasso]] ... (da completare) ===Algebra lineare=== ... (da completare) ==Altre lezioni== *[[Calcolo vettoriale]] *[[Polinomi di Boubaker]] |ip = sì }} [[Categoria:Algebra]] xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} fqenssxi1555bebnvk7k9x58yd0df0z 287359 287358 2026-09-14T08:57:40Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287358|287358]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287359 wikitext text/x-wiki '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} pjds5h508x9mfjmc31lxl6dkqk07hww