Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 4 11 287422 287342 2026-09-15T12:58:42Z MediaWiki message delivery 10486 /* Scambio Server - La tua wiki presto sarà in modalità solo lettura per un breve periodo */ nuova sezione 287422 wikitext text/x-wiki {{bar10}} {{Torna su}} [[Categoria:Bar| ]] [[Categoria:Discussioni]] __NEWSECTIONLINK__ == Idee per un Wikiversitario analfabeta == Salve! Scrivo qui perché è la pagina a cui rimanda lo [[Wikiversità:Sportello informazioni]]: ho una lieve esperienza su [https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Saver47 it.wikipedia] ma assolutamente zero conoscenze per quanto riguarda il funzionamento di Wikiversità e avevo in mente (con tempi dilatati e sperando di riuscire effettivamente nello scopo) di riportare su questo progetto i contenuti dei corsi di laurea che ho seguito ormai negli anni passati. Non so se sia il giusto approccio per chi si affaccia a Wikiversità, né tantomeno se il contenuto di un corso di laurea (appunti personali presi a lezione e/o estrapolati da libri didattici sugli argomenti) sia adatto al progetto. Chiedo vostri pareri! Si tratterebbe, in ogni caso, di contenuti per il [[Corso:Matematica]]. --[[Utente:Saver47|Saver47]] ([[Discussioni utente:Saver47|Discussione]]) 22:25, 14 gen 2026 (CET) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:45, 16 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 22:02, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Wikimedia Hackathon e Wikimania 2026: apertura borse di partecipazione di Wikimedia Italia == Siamo molto lieti di comunicarvi che Wikimedia Italia ha aperto le '''borse per sostenere i costi di partecipazione a [[:mw:Wikimedia Hackathon 2026|Wikimedia Hackathon 2026]] e [[:wmania:2026:Wikimania|Wikimania 2026]]'''. * Per Wikimedia Hackathon, che si terrà a Milano dal 1º al 3 maggio, vengono messe a disposizione 6 borse da 350 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro venerdì 6 febbraio 2026'''. * Per Wikimania, che si terrà a Parigi dal 21 al 25 luglio, vengono messe a disposizione 13 borse da 800 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro domenica 1º marzo 2026'''. Tutte le richieste pervenute saranno poi valutate da due commissioni appositamente costituite e gli esiti verranno comunicati entro l'11 febbraio per il Wikimedia Hackathon ed entro il 25 marzo per Wikimania. I bandi completi si trovano sul wiki di Wikimedia Italia: * Wikimedia Hackathon: [[:wmit:Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026|Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026]] * Wikimania: [[:wmit:Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026|Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026]] All'interno dei bandi si trovano i link ai form da compilare per la richiesta. Siete tutti invitati a partecipare! Per qualsiasi dubbio, non esitate a [https://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:InviaEmail?wpTarget=Dario_Crespi_(WMIT) scrivermi]. Buona giornata, --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 09:54, 28 gen 2026 (CET) == Sondaggio su microgrant e sportello volontari di Wikimedia Italia == Ciao. Nel corso degli ultimi anni [[:it:w:Wikipedia:Wikimedia Italia|Wikimedia Italia]] ha introdotto alcuni strumenti a sostegno delle attività promosse dai volontari dei progetti Wikimedia e OpenStreetMap. In particolare, dal 2017 con il programma '''microgrant''' finanzia progetti fino a 1000 euro, mentre dal 2021 è attivo lo '''sportello volontari''', che finanzia progetti per importi superiori. Vorremmo capire meglio quanto questi strumenti siano conosciuti e come siano percepiti, oltre a individuare possibili miglioramenti per rispondere sempre di più alle esigenze della comunità. Per questo ti chiediamo di dedicarci qualche minuto compilando un breve sondaggio: il tuo punto di vista per noi è davvero prezioso. Le risposte ci aiuteranno a individuare cosa funziona, cosa può essere migliorato e in che modo Wikimedia Italia può offrire un supporto più efficace. Il sondaggio è disponibile a questo link: https://survey.wikimedia.it/index.php/754139 Ti chiediamo per favore di rispondere entro le ore 23.59 di domenica 15 febbraio. Ti ringrazio e rimango a tua disposizione per qualsiasi informazione, [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 16:43, 9 feb 2026 (CET) == Prima o poi... interveniamo == {{Ping|Mattruffoni|Galessandroni|Smatteo499}} Buongiorno, da qualche anno contribuisco a questo progetto, e fin dai primi giorni ho imparato a conoscere punti di forza e di debolezza di Wikiversità, oltre alle belle persone che la popolano e che mi hanno accolto a braccia aperte. Quest'anno Wikipedia, il nostro fratello maggiore, festeggia 25 anni di attività e lo sta facendo con una molteplicità di eventi: festival della qualità, edit-a-thon, eventi sul territorio, speciali animazioni online, ... L'anno prossimo, precisamente a maggio 2027, saranno 20 anni dall'apertura di Wikiversità in italiano. Ovviamente, data la nostra dimensione, non possiamo certo pretendere ed ambire ad un simile trattamento, ma penso che sarebbe una bellissima cosa utilizzare il tempo che intercorre tra oggi e l'anniversario, per chiudere delle questioni interminabili e organizzare, nel nostro piccolo, una celebrazione. Per questo dividerò le mie considerazioni e proposte, nei due macro-argomenti: #'''Chiusura di problemi e questioni tecniche'''. Basta visitare la pagina [[Dipartimento:Wikiversità]] per capire la quantità di problemi e questioni che affliggono questo progetto. Soprattutto, a causa della discontinuità della contribuzione. ''Tuttavia, prima di continuare il mio intervento, ritengo doveroso chiarire che, non essendo un contributore storico, potrei commettere errori facendo determinate affermazioni.'' Per fare un'esempio, l'interlocuzione tra questo progetto e WMI o MIM mi sembra che si sia arenata da molto tempo, anche se queste relazioni sono fondamentali per cercare di coinvolgere scuole ed istituzioni, che sono il volano per la diffusione di Wikiversità. Anche la relazione interprogetto con Vikidia, dopo una fase iniziale, si è parzialmente arenata, e le pagine di aiuto collegate a questo progetto sono poco accessibili o ancora da terminare. In generale, la stragrande maggioranza delle pagine di aiuto dovrebbe essere completata e/o rivista, dato che alcune sono rimaste il copia-incolla di quelle di Wikipedia. Il restyling delle pagine e altri lavori di questo tipo sono la parte più triste, in quanto alcuni di questi interventi risalgono alla Riorganizzazione 2015, 10 anni fa, oppure al decennale di Wikiversity, 9 anni fa. Pertanto, ritengo che quegli obiettivi vadano completati una volta per tutte. Anche perché in alcuni casi l'infrastruttura è già stata realizzata ed attende solo di essere varata. #'''Celebrazione del ventennale'''. Per quanto riguarda questo secondo punto, avrei qualche idea, più o meno simpatica, per l'anniversario. Innanzitutto, penso che sarebbe positivo realizzare un banner da affiggere in tutte le pagine del nostro progetto. Se poi fosse possibile, si potrebbe portare questo banner su tutti i progetti Wikimedia in italiano, grazie ad apposite pagine che si trovano su Meta. Inoltre, si potrebbe aggiungere un box in homepage e realizzare, finalmente, un festival della qualità o simili, già abbozzati anni fa, ma mai portati fino in fondo. La volontà di questo mio messaggio non è polemizzare su quanto non sia stato fatto in passato, ma cercare di portare a compimento ciò che è stato lasciato in sospeso per celebrare al meglio il ventennale, anche se è una cosa complessa e potrebbe richiedere, nuovamente, di ripensare Wikiversità. Per questo, mi metto a completa disposizione per qualsiasi cosa (io partirei da ricapitolare tutte le cose in sospeso in una pagina). Tuttavia, per quanto riguarda questioni tecniche come template, CCS e simili, dichiaro la mia incapacità di contribuire per mancanza di conoscenze adeguate. Spero di essere stato preciso in questo mio messaggio e mi permetto di concludere pingando due utenti attivi su questo progetto, che potrebbero essere intenzionati a dare una mano. Ma, sicuramente, non sono obbligati =) {{Ping|Samuele2002|Hippias}} [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:25, 22 feb 2026 (CET) :[[File:Tazza Wikiversità (cropped).jpg|thumb|Okay, okay, cercherò di farne una foto più decente.]]'''Maggio 2027''' per programmare un evento ''decente'' è praticamente ''ieri'', ma noi ci proveremo e ci riusciremo. Non è un segreto per nessuno che - da diverso tempo - io stia flirtando con Wikibooks e altri progetti, ma provo a fare la lista della spesa. :* Servono gadget (tazze, spille, matite, adesivi) da fornire a chi organizza eventi. :* Per questo Wikimedia Italia e Wikimedia Foundation forniscono finanziamenti a chi organizza queste cose. Ci sono i microgrant (fino a 1.000 €, abbastanza facili da gestire), poi i finanziamenti volontari (da 1.000 a 10.000 €) mi sembra in due tranche all'anno, mentre i grant della Wikimedia Foundation non li ho mai richiesti. Però @[[Utente:Mattruffoni|Mattruffoni]] e Paolo Mauri (che ha cambiato nome utente), rispettivamente ex presidente e segretario di Wikimedia Italia ne sanno più di me. :* Infine, dobbiamo pensare alla torta: è un compleanno! :[[File:Gadget Wikimedia per Wiki Loves Marche 2024 (2).jpg|thumb|Cose che dovrebbero esserci in ogni banchetto, tutte a tema Wikiversità]]Infine, dovremmo coinvolgere le scuole in ''maratone di scrittura'', per migliorare e scrivere le lezioni mancanti. Questo lo si fa a partire da settembre 2026 scrivendo a tutte le scuole d'Italia proponendo di fare progetti di alternanza scuola/lavoro con Wikimedia Italia aventi per oggetto la scrittura collaborativa di lezioni. :La cosa difficile sarà trovare insegnanti sensibili alla tematica, ma non impossibile. Ricordo che su Commons sono presenti delle [[:c:Category:Wikibussole_by_Wikimedia_Italia|Wikibussole]], brevi video realizzati da Wikimedia Italia per spiegare come utilizzare i vari progetti. Manchiamo solo noi. :Sempre su Commons trovate [[:c:File:Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari.pdf|Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari]] un mio talk al Linux Day bolognese del 2023 dove parlavo di Wikiversità e Vikidia, di cosa sono e in cosa differiscono da Wikipedia. :Concludo, non siamo Wikipedia, ma questa differenza può rivelarsi anche la nostra forza. Quindi, creiamo una pagina e scriviamo chi fa cose e dove le fa. Detto questo sapremo quali e quanti fondi chiedere per gli eventi.<br> [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:38, 22 feb 2026 (CET) ::'''Dimenticavo''': dobbiamo vederci faccia a faccia. Quando, raggiungeremo una massa critica, creerò un sondaggio per un giorno comodo a tutti dove fare una conferenza e scambiarci due idee. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:41, 22 feb 2026 (CET) :::Per le questioni tecniche ho inaugurato questa discussione, ci sono due cose in sospeso che si possono chiudere relativamente in fretta: [[Discussioni dipartimento:Wikiversità#Memo: da fare 2026]]. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 19:24, 27 feb 2026 (CET) ::::{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Innanzitutto, vi ringrazio per l'interesse mostrato verso questa iniziativa. Mi piace molto l'idea delle maratone di scrittura proposta da Galessandroni, che aiuterebbe a scrivere e migliorare le lezioni per scuole elementari e medie, le quali sono tra le categorie più "vuote" di Wikiversità. Visto che Hippias ha aperto una discussione per le cose tecniche in sospeso che si possono chiudere a stretto giro, forse non è meglio creare un'altra discussione solo ed esclusivamente per gli aspetti organizzativi legati al ventennale? [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 15:41, 1 mar 2026 (CET) :::::E allora cominciamo adesso, subito, ora. Per esempio, le richieste per le borse di studio per State of the Map, Parigi, fine agosto 2026, scadono a marzo, per dare un'idea dei tempi, ma l'organizzazione è stata messa in moto da anni. :::::Se volete io chiedo a Wikimedia Italia che budget possiamo richiedere. Penso che per un ventennale 5.000/10.000 € possiamo chiederli. Tutto a copertura spese. Potremmo chiedere un aiuto a una mia cara amica romagnola, [[:it:w:Utente:Una tantum|Una tantum]], esperta in eventi e realizzazione gadget. :::::Wikimedia ha ufficio stampa, raccolta fondi, ecc. Prepariamo una pagina di progetto dove documentare tutte le proposte e le richieste, così da poter fare delle richieste a Wikimedia. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:25, 1 mar 2026 (CET) ::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Anche per me, ovviamente, si può iniziare adesso. Tuttavia, io, personalmente, preferirei un iniziativa che porta contributi al progetto (come un festival della qualità), invece di un evento fisico di festa, che porta meno frutti. La pagina di progetto si potrebbe realizzare come sottopagina del dipartimento Wikiversità. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:47, 1 mar 2026 (CET) :::::::@[[Utente:DBBBL|DBBBL]] Naturalmente. Per me il festival della qualità si svolgerà nell'intero 2027. Poi, tutto il resto, sarà un corollario. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:53, 1 mar 2026 (CET) ::::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Ottimo! [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:58, 1 mar 2026 (CET) {{Rientro}}{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Ho appena terminato di stendere la pagina dedicata al progetto, che trovate [[Wikiversità:Ventennale|qui]]. Date le mie scarse abilità nel campo template, la pagina risulta abbastanza bruttina e pertanto apportate pure tutte le modifiche che vi paressero opportune. Inoltre, iniziate pure ad aggiungere le relative proposte. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 17:30, 15 mar 2026 (CET) == Attivazione sportello di supporto legale di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio che Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di supporto legale gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un avvocato in merito a questioni che riguardano la loro attività su Wikipedia e gli altri progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello si articola in due parti: * un documento con "risposte a domande frequenti" che affronta alcune casistiche di carattere generale più ricorrenti (e che potrà essere aggiornata e ampliata in futuro); * la possibilità di richiedere una consulenza legale con un avvocato per chiarimenti sui contenuti del documento o per questioni non trattate nelle FAQ. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello di supporto legale in questa pagina su Wikipedia in italiano: '''[[w:it:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale]]'''. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo di pingarmi) o tramite [[Special:EmailUser/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 17:20, 11 mar 2026 (CET) == Adattare la lezione "Forma e dimensioni della Terra (superiori)" anche per l'università == Ciao a tutti. Sono Faro Antonino, studente di [[Corso:Ingegneria civile|ingegneria civile]] e molto sporadicamente contribuisco sulla piattaforma. Recentemente sto seguendo la materia di '''Geomatica''' e sto creando un Sandbox per la suddetta materia. Durante le lezioni si fa un breve accenno sulla storia e sulle superfici usate per determinare la superficie terrestre, cercando ho trovato la lezione [[Forma e dimensioni della Terra (superiori)]] che, anche se incompleta, parla degli stessi argomenti che vengono evidenziati nella materia di Geodesia. Essendo che la difficolta di questa parte è (a parer mio) uguale tra le superiori e l'università, proporrei di togliere la perentesi cosi da avere una pagina unica e quindi evitare di creare una pagina duplicata che dice la stessa cosa. Fatemi sapere cosa ne pensate ;) [[Utente:Antonino Faro|Antonino Faro]] ([[Discussioni utente:Antonino Faro|Discussione]]) 13:50, 30 mar 2026 (CEST) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 19:11, 3 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Save the Date: itWikiCon 2026 a Vezia (Lugano) – Vi aspettiamo! == Gli organizzatori sono entusiasti di invitarvi '''all’itWikiCon 2026 che si terrà a [[:w:it:Vezia|Vezia]] ([[:w:it:Lugano|Lugano]])'''! È la prima volta che il convegno annuale della comunità italofona dei progetti Wikimedia si terrà nella Svizzera italiana. Dal '''6 all’8 novembre 2026''' insieme a voi trasformeremo Vezia in un vivace punto d’incontro all’insegna della conoscenza libera, della condivisione e della comunità. La sede del convegno, [https://csvn.ch/ Il Centro Studi Villa Negroni], una struttura nota per aver ospitato persone di spicco della cultura italiana si trova molto vicino a Lugano. Non vediamo l'ora di condividere questo luogo con voi e di partecipare a workshop, discussioni e presentazioni stimolanti. L'organizzazione sta procedendo e nel corso delle prossime settimane, vi terremo aggiornati sui principali sviluppi, inclusi la creazione collaborativa del programma e il bando per le borse di partecipazione. Nelle prossime settimane saranno pubblicate ulteriori informazioni sulla [[:meta:ItWikiCon/2026|pagina principale dell’evento]]. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[:meta:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info(at)itwikicon.org. A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:cassinam|Cassinam]], [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:39, 7 apr 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 02:58, 26 apr 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == Hiruwiki == Hello everyone, I’d like to ask if there is any interest within Wikiversity Italy in using Hiruwiki. Hiruwiki is a collection of interactive, multilingual geometric and mathematical widgets designed for Wikimedia projects. It was originally developed by the Basque Wikimedia Chapter and later updated for broader international use. The goal is to allow editors to embed dynamic proofs, visualisations, and interactive elements directly into wiki pages, making learning content more engaging and easier to understand. Do you think this could be useful for courses or educational materials on Wikiversity Italy? [[Utente:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussioni utente:ItsNyoty|Discussione]]) 14:55, 2 mag 2026 (CEST) :+1 [[Utente:Valcio|Valcio]] ([[Discussioni utente:Valcio|Discussione]]) 14:56, 2 mag 2026 (CEST) ::+1 -- [[Utente:Sciking|Sciking]] ([[Discussioni utente:Sciking|Discussione]]) 15:07, 2 mag 2026 (CEST) :{{+1}} [[Utente:GiovanniPen|GiovanniPen]] ([[Discussioni utente:GiovanniPen|Discussione]]) 23:48, 2 mag 2026 (CEST) == Attivazione sportello counseling di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio di Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di counseling gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un counselor professionista per affrontare difficoltà relazionali, situazioni di tensione o conflitti legati all’attività sui progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello offre uno spazio sicuro di ascolto e confronto e prevede percorsi individuali gratuiti fino a un massimo di 5 colloqui online per persona. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello counseling in questa pagina: '''[[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Sportello counseling]]'''. Ne approfitto per ricordarvi che è sempre attivo anche lo [[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|sportello di supporto legale gratuito]]. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo cortesemente di pingarmi) o tramite [[Speciale:InviaEmail/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 14:59, 7 mag 2026 (CEST) == Apertura delle pre-iscrizioni itWikiCon 2026 == Come saprete già, dal '''6 all'8 novembre 2026''' a [[w:it:Vezia|Vezia]] ([[w:it:Lugano|Lugano]]) si apriranno le porte della [[w:it:Villa Negroni|Villa Negroni]] per '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]'''. Questo convegno unisce ispirazione, innovazione e scambio di idee in un evento di tre giorni. Le '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' sono disponibili da subito ed è il primo passo per manifestare il vostro interesse a partecipare. Inoltre, in questo modo darete un contributo fondamentale al team organizzativo nella pianificazione logistica dell’evento. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info@itwikicon.org. Non vediamo l'ora di accogliervi a Vezia! A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 08:30, 20 mag 2026 (CEST) == Vota ora alle elezioni U4C del 2026 == <section begin="announcement-content" /> Tutti coloro con diritto di voto sono invitati a partecipare alle elezioni 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comitato di coordinamento del codice universale di condotta]]. Maggiori informazioni, compreso il link al tool per verificare il diritto di voto, le informazioni sulle elezioni, sui candidati e il link per votare si trovano su Meta in questa pagina: [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Elezioni 2026 - informazioni]]. Il voto termina il 2 giugno alle [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Per favore, verifica se la tua utenza ha diritto di voto. I risultati staranno disponibili entro il 14 di giugno di 2026. -- In cooperazione con l'U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussione]])</bdi> 19:12, 23 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di raccolta di temi per il programma == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase della raccolta di temi per il '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|programma]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! Queste prime idee serviranno come contenitori per le proposte specifiche in estate. Il convegno si terrà dal '''6 all'8 novembre 2025 a Vezia (Lugano)'''. Il programma lo costruiamo insieme: chiunque può inviare proposte di argomenti per presentazioni, discussioni o workshop. Tutte le informazioni e le istruzioni sono disponibili '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|sulla pagina dedicata al Programma]]'''. Anche quest’anno vogliamo dare particolare spazio ai formati interattivi come workshop o discussioni. Vorremmo cogliere l’occasione del convegno per rafforzare lo spirito di comunità e anche per sviluppare soluzioni alle sfide comuni. La selezione delle proposte avverrà in estate, seguita dalla conferma dei relatori. Aggiornamenti sulle borse di partecipazione seguiranno la prossima settimana. Infine, ti ricordiamo che il periodo delle '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' è ancora in corso. Grazie mille a tutti coloro che si sono già iscritti! Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. Non vediamo l'ora di conoscere le vostre idee! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 17:19, 24 giu 2026 (CEST) == Inserimento di un collegamento ai contatti legali e di sicurezza nel footer della vostra wiki == <section begin="Message"/> '''Contatti legali e di sicurezza''' Salve, la Wikimedia Foundation ha creato una [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|pagina unica di contatto per materie legali e di sicurezza]] che andrà linkata nel footer della vostra wiki, per assicurare l'accesso a informazioni legali accurate. Questa è una necessità di legge. Abbiamo già inserito il link sulle versioni inglese, tedesca, spagnola, italiana e altre ancora di Wikipedia e inseriremo il link anche nel vostro footer presto. Consultate [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|la pagina di progetto]] per saperne di più, per commenti utilizzate questo thread oppure la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|pagina di discussione su Meta]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Sannita (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di richieste per borse di partecipazione == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase delle richieste di '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|borse di partecipazione]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! L’evento si terrà dal '''6 all'8 novembre 2026 a Vezia (Lugano)'''. La fase di candidatura per le borse di partecipazione durerà fino alla fine di luglio '''(29 giugno – 31 luglio)'''. Se vuoi proporre una sessione e hai bisogno di un sostegno per il viaggio e l’alloggio, invia la tua richiesta per tempo. Qui trovi tutte le '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|informazioni sulle borse di partecipazione]]'''. Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:35, 29 giu 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24 lug 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:DreamRimmer@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: potete candidarvi per una borsa di partecipazione entro il 31 luglio == Ciao a tutti! Vi ricordiamo che c’è tempo '''fino al 31 luglio''' per inviare le candidature per ricevere una '''borsa di partecipazione''' per itWikiCon 2026, che si terrà '''a Vezia (Lugano) dal 6 all’8 novembre'''. Troverete tutte le informazioni sulla pagina del progetto '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|nella sezione borse]]'''. Per domande o suggerimenti scriveteci sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 14:14, 28 lug 2026 (CEST) == itWikiCon 2026: fra qualche giorno sarà disponibile la griglia del programma == Ciao a tutti, Fra pochi giorni sarà disponibile la griglia dove inserire gli interventi e i workshop per la conferenza in stile unconference. I temi che avete proposto sulla [[m:ItWikiCon/2026/Programma|pagina del programma]] sono tanti e interessanti. Trasformateli in interventi e workshop. Per domande o suggerimenti scriveteci qua sulla pagina di discussione o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 10:07, 30 ago 2026 (CEST) == itWikiCon 2026: iscrizioni aperte fino al 12 ottobre == Ciao a tutti, '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]''' si sta avvicinando! Il convegno annuale della comunità Wikimedia di lingua italiana si terrà '''da venerdì 6 a domenica 8 novembre a Vezia (Lugano)'''. Ormai è aperta la fase di iscrizione e rimarrà '''aperta fino a lunedì 12 ottobre a mezzanotte'''. Assicuratevi il vostro posto compilando '''[https://ticket.itwikicon.org/itwikicon/2026/ il modulo di iscrizione]'''. La quota di partecipazione di 15.00 CHF serve a sostenere l’organizzazione dell’evento e va pagata direttamente online per confermare l’iscrizione. Venerdì mattina è prevista una visita guidata a cui potete iscrivervi tramite lo stesso modulo. Vi consigliamo di prenotare alloggio e mezzi di trasporto con largo anticipo. Troverete consigli su come arrivare e dove dormire [[m:ItWikiCon/2026/Informazioni|sulla pagina Informazioni]]. Per domande o suggerimenti potete scambiare opinioni sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o contattarci all’indirizzo info{at}itwikicon.org. Non vediamo l’ora di vedervi a Vezia! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 11:37, 11 set 2026 (CEST) == Scambio Server - La tua wiki presto sarà in modalità solo lettura per un breve periodo == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Leggi questo messaggio in un'altra lingua]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] [[foundation:|Wikimedia Foundation]] scambierà il traffico tra i suoi data center. Lo scopo è accertarsi che Wikipedia e le altre wiki Wikimedia riescano a rimanere online anche dopo un disastro. Tutto il traffico sarà commutato il giorno '''{{#time:j xg|2026-09-23|it}}'''. Il test avrà inizio alle '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]'''. Purtroppo, a causa di alcune limitazioni di [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], tutte le attività di modifica dovranno essere interrotte mentre si effettua il cambio. Ci scusiamo per il disagio, stiamo lavorando per minimizzarlo in futuro. Un banner apparirà su tutte le wiki 30 minuti prima dell'inizio dell'operazione. Questo avviso rimarrà visibile fino alla fine dell'operazione. Puoi contribuire alla [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate traduzione o correzione] di questo testo. '''Sarai in grado di leggere, ma non di modificare, tutte le wiki per un breve periodo di tempo.''' * Il giorno {{#time:l j xg Y|2026-09-23|it}} non sarà possibile effettuare modifiche per al massimo un'ora. * Se proverai a modificare o a salvare durante il periodo di sospensione, vedrai apparire un messaggio d'errore. Speriamo che nessuna modifica venga persa durante questi pochi minuti, ma non possiamo garantirlo. Se vedi apparire il messaggio di errore, per cortesia attendi fino a che non sia tornato tutto alla normalità. Da quel momento potrai salvare le tue modifiche. È comunque consigliabile fare prima una copia delle modifiche, per essere pronti a ogni eventualità. ''Altre conseguenze'': * I processi in background saranno più lenti e alcuni potrebbero interrompersi. I link rossi potrebbero non essere aggiornati velocemente come al solito. Se crei una voce per cui esiste già un link entrante a partire da un'altra voce, il collegamento rimarrà rosso più a lungo del solito. Alcuni script in esecuzione di lunga durata dovranno essere fermati. * La distribuzione del codice dovrebbe avvenire normalmente come le altre settimane. Tuttavia, alcuni blocchi nell'aggiornamento del codice potrebbero avvenire puntualmente se l'operazione lo dovesse richiedere in seguito. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] non sarà disponibile per circa 90 minuti. Il progetto potrebbe essere posticipato se necessario. Puoi [[wikitech:Switch_Datacenter|leggere la tabella di marcia su wikitech.wikimedia.org]]. Ogni cambiamento sarà annunciato nella tabella di marcia. '''Per favore, condividi queste informazioni con la tua comunità.'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 14:58, 15 set 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Trizek (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> d25o49n9ky68c3c79npulla77ivbeyc 0 2088 287438 242142 2026-09-16T06:08:20Z ~2026-50039-15 46930 /* Titoli obbligazionari */ 287438 wikitext text/x-wiki {{nota disambigua||[[Investimento]]}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Bilancio}} Per investimenti in titoli e partecipazioni intendiamo degli impieghi di risorse in '''quote di debito''' e '''quote di capitale''' di altre imprese. Questi impieghi possono essere: *''duraturi'', e allora si tratta di immobilizzazioni; *''di breve periodo'' se questi impieghi sono fatti per speculazione. Più precisamente, il termine ''titolo'' riassume in realtà due tipologie: *titoli '''obbligazionari''', quando l'impiego è in quote di debito; *titoli '''azionari''', quando l'impiego è in quote di capitale. Con il termine ''partecipazioni'' si intende, invece, l'impiego in quote di capitale. == Titoli == Acquistando un titolo, un'azienda si attende una qualche remunerazione periodica che può essere in base alla differenza di valore fra data di acquisto e di vendita (cosiddetto '''capital gain''') oppure nella [https://renditepassive.net/come-costruisco-portafoglio-alto-rendimento/ distribuzione di dividendi], nel caso dei titoli azionari, oppure in base allo stacco di ''cedole'', ovvero degli interessi periodici tipici delle obbligazioni. In alcuni casi, però, un titolo non ha cedole da staccare: in questa tipologia di titoli, denominati '''zero coupon''', la remunerazione è fissa, come nel caso dei [[w:BOT|BOT]]. :'''Esempio:''' ''Acquistiamo il primo marzo un BOT trimestrale del valore nominale (ovvero il valore di rimborso) di 1 000 euro, pagandolo 995 euro. Dopo tre mesi, ci viene rimborsato il valore nominale, ovvero l'intero capitale che abbiamo investito più 5 euro, che rappresentano il frutto dell'investimento.'' In altri casi, accade che l'interesse (ovvero il frutto dell'operazione) sia calcolato periodicamente in quantità prestabilite. Un titolo può essere emesso: *'''sotto la pari''', quando il valore di emissione è inferiore al valore nominale; *'''alla pari''', quando il valore di emissione è uguale al valore nominale; *'''sopra la pari''', quando il valore di emissione supera quello nominale (di solito si evita, per ovvi motivi psicologici, l'emissione di questo tipo di titoli). Questa distinzione è importante, in quanto: *nel primo caso, l'interesse reale è superiore a quello contrattuale; *nel secondo caso, l'interesse reale è uguale a quello contrattuale; *nel terzo caso, l'interesse reale è inferiore a quello contrattuale (ecco perché le emittenti evitano questo tipo di emissione). Le obbligazioni possono essere acquistate anche in tempi diversi dall'emissione e alcune sono anche negoziate alla Borsa Valori. All'epoca della quotazione, le obbligazioni vengono offerte a '''corso secco''', ovvero senza conteggiare gli interessi. Quando invece un'obbligazione viene scambiata dopo la sua emissione, si è soliti corrispondere non solo il valore del capitale impiegato, ma anche gli interessi maturati sino alla transazione. In quel caso, si dice che la negoziazione avviene a '''corso tel quel'''. === Titoli obbligazionari === Le [[w:obbligazione (finanza)|obbligazioni]] possono essere: *a tasso fisso; *indicizzate; **a tasso variabile; **a rimborso indicizzato; **a indicizzazione fissa; *convertibili; *cum warrant; *senza cedola; *[[w:drop-lock|drop-lock]]; *[[w:bull and bear|bull and bear]]; *in valuta. === Titoli del debito pubblico === *'''[[w:Buono Ordinario del Tesoro|Buono Ordinario del Tesoro]]'''; *'''[[w:Certificato di credito del tesoro|Certificato di credito del tesoro]]'''; *'''[[w:Buono del Tesoro Poliennale|Buono del Tesoro Poliennale]]'''; *'''Certificato di credito a sconto''', ovvero titoli con un forte sconto all'emissione associate a una cedola legata al rendimento netto dei BOT (quindi convivono le caratteristiche proprie degli zero coupon e dei titoli indicizzati); *'''[[w:Certificato del tesoro zero-coupon|Certificato del tesoro zero-coupon]]'''. == Partecipazioni == Le partecipazioni sono rappresentate da azioni, ovvero da quote fondamentali del capitale sociale di una azienda. Sono emesse da società per azioni o da società a responsabilità limitata. In quest'ultimo caso, tali azioni possono essere emesse solo alla pari o sopra la pari, ovvero in sovrapprezzo. La sottoscrizione di azioni comporta il versamento del prezzo di emissione all'emittente, ricevendo in cambio alcuni diritti, che possono essere così elencati: *diritto di voto, ovvero la partecipazione alle decisioni della società; *diritto di recesso, ovvero la possibilità di liberarsi dal vincolo contrattuale e di ottenere il rimborso; *diritto di partecipazione agli utili; *diritto alla quota di liquidazione; *diritto di opzione, ovvero di potere sottoscrivere nuove azioni della società in caso di aumento di capitale entro il limite della percentuale già detenuta. Le azioni, a differenza delle obbligazioni, non hanno scadenza. La remunerazione attesa dalle azioni consiste nei dividendi o nella differenza fra prezzo di vendita e prezzo di acquisto ([[w:capital gain|capital gain]]). === Titoli azionari === *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni ordinarie|Azioni ordinarie]]'''; *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni privilegiate|Azioni privilegiate]]'''; *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni di risparmio|Azioni di risparmio]]'''; *'''Azioni di godimento''': titoli assegnati a titolo gratuito ai detentori di azioni ordinarie, che partecipano agli utili in base al tasso di interesse legale e in caso di liquidazione vengono rimborsate dopo l'avvenuto rimborso delle altre categorie di titoli; *'''Partecipazione in cooperativa''': introdotte nel 1992, si tratta delle quote di partecipazione in società cooperative, senza diritto di voto, contraccambiato da privilegio nella distribuzione degli utili. == Rilevazioni contabili == === Acquisto e vendita di titoli "zero coupon" === Acquistiamo BOT per un valore nominale di 1 000, sborsando 990, con commissioni bancarie pari a 5. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |05.06.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |BOT Trimestrali | |Banca c/c |995 |995 |} {|style="border:black 2px solid;"| | |05.09.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c | |Diversi |1 000 | |- | | |Bot trimestrali | |995 |- | | |Interessi attivi su BOT trimestrali | |align="right"| 5 |} === Acquisto e vendita di titoli obbligazionari a reddito fisso === Acquistiamo il primo maggio 100 obbligazioni dal valore nominale di 100, per un totale di 10 000. La cedola semestrale è di 3, staccate ogni primo aprile e ogni primo ottobre, il corso secco è di 98. L'acquisto avviene a corso tel quel, quindi: * Valore a corso secco: 98 * 100 obbligazioni = 9 800; * Interessi maturati: 0,5 * 100 obbligazioni = 50; * Valore a corso tel quel: 98,5 * 100 obbligazioni = 9 850. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.05.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Banca c/c (SP) | |9 850 |- |Obbligazioni (SP) | | |9 800 | |- |Cedole in corso di maturazione (CE) | | |align = "right"| 50 | |} Il primo ottobre avviene il primo stacco delle cedole: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.10.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) |300 |300 |} Il 1 dicembre decidiamo di vendere 50 obbligazioni. Il corso tel quel per obbligazione è pari 99. {|style="border:black 2px solid;"| | |01.12.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Diversi |4 950 | |- | | |Obbligazioni (SP) | |4 900 |- | | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) | |align="right"| 50 |} Il primo febbraio 200X+1 decidiamo di vendere le azioni rimanenti. Nel frattempo, però, il valore dell'obbligazione a corso secco è sceso da 98 a 97. Per questo motivo dovremo registrare una perdita su titoli. {|style="border:black 2px solid;"| | |01.02.200X+1 | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Diversi | | |- |Banca c/c (SP) | | |4 950 | |- |Perdite su titoli (CE) | | |align="right"| 50 | |- | | |Obbligazioni (SP) | |4 900 |- | | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) | |align="right"| 100 |} === Acquisto e vendita di titoli azionari === Acquistiamo il primo giugno 1 000 azioni della società "Wikisource S.p.A." al costo per azione di 72, per un totale di 72 000. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.03.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |Banca c/c (SP) |72 000 |72 000 |} Il venti giugno avviene lo stacco dei dividendi: 0,50 per azione, per un totale di 500. {|style="border:black 2px solid;"| | |20.06.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Dividendi su azioni Wikisource S.p.A. (CE) |500 |500 |} Il 13 luglio decidiamo di vendere la metà delle azioni in nostro possesso. Il prezzo di mercato è sceso da 72 a 70, per questo dovremo registrare una perdita su titoli: {|style="border:black 2px solid;"| | |13.07.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |36 000 |- |Banca c/c (SP) | | |35 000 | |- |Perdite su azioni Wikisource S.p.A. (CE) | | |align="right"| 1 000 | |} Il 24 agosto decidiamo di vendere le azioni rimanenti: le azioni valgono 75 l'una, pertanto registriamo un utile su azioni. {|style="border:black 2px solid;"| | |24.08.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Diversi |37 500 | |- | | |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |36 000 |- | | |Utili su titoli (CE) | |align="right"| 1 500 |} 1sfctbi15vnb8fblp19o555pgj3o2jm 287439 287438 2026-09-16T06:10:35Z ~2026-50039-15 46930 /* Titoli obbligazionari */ Allora, la versione precedente conteneva drop-log che non ha significati in finanza e che è in gergo defecare. Drop lock è lobbligazione che prevede un'uscita automatica per ribasso del tasso di interesse 287439 wikitext text/x-wiki {{nota disambigua||[[Investimento]]}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Bilancio}} Per investimenti in titoli e partecipazioni intendiamo degli impieghi di risorse in '''quote di debito''' e '''quote di capitale''' di altre imprese. Questi impieghi possono essere: *''duraturi'', e allora si tratta di immobilizzazioni; *''di breve periodo'' se questi impieghi sono fatti per speculazione. Più precisamente, il termine ''titolo'' riassume in realtà due tipologie: *titoli '''obbligazionari''', quando l'impiego è in quote di debito; *titoli '''azionari''', quando l'impiego è in quote di capitale. Con il termine ''partecipazioni'' si intende, invece, l'impiego in quote di capitale. == Titoli == Acquistando un titolo, un'azienda si attende una qualche remunerazione periodica che può essere in base alla differenza di valore fra data di acquisto e di vendita (cosiddetto '''capital gain''') oppure nella [https://renditepassive.net/come-costruisco-portafoglio-alto-rendimento/ distribuzione di dividendi], nel caso dei titoli azionari, oppure in base allo stacco di ''cedole'', ovvero degli interessi periodici tipici delle obbligazioni. In alcuni casi, però, un titolo non ha cedole da staccare: in questa tipologia di titoli, denominati '''zero coupon''', la remunerazione è fissa, come nel caso dei [[w:BOT|BOT]]. :'''Esempio:''' ''Acquistiamo il primo marzo un BOT trimestrale del valore nominale (ovvero il valore di rimborso) di 1 000 euro, pagandolo 995 euro. Dopo tre mesi, ci viene rimborsato il valore nominale, ovvero l'intero capitale che abbiamo investito più 5 euro, che rappresentano il frutto dell'investimento.'' In altri casi, accade che l'interesse (ovvero il frutto dell'operazione) sia calcolato periodicamente in quantità prestabilite. Un titolo può essere emesso: *'''sotto la pari''', quando il valore di emissione è inferiore al valore nominale; *'''alla pari''', quando il valore di emissione è uguale al valore nominale; *'''sopra la pari''', quando il valore di emissione supera quello nominale (di solito si evita, per ovvi motivi psicologici, l'emissione di questo tipo di titoli). Questa distinzione è importante, in quanto: *nel primo caso, l'interesse reale è superiore a quello contrattuale; *nel secondo caso, l'interesse reale è uguale a quello contrattuale; *nel terzo caso, l'interesse reale è inferiore a quello contrattuale (ecco perché le emittenti evitano questo tipo di emissione). Le obbligazioni possono essere acquistate anche in tempi diversi dall'emissione e alcune sono anche negoziate alla Borsa Valori. All'epoca della quotazione, le obbligazioni vengono offerte a '''corso secco''', ovvero senza conteggiare gli interessi. Quando invece un'obbligazione viene scambiata dopo la sua emissione, si è soliti corrispondere non solo il valore del capitale impiegato, ma anche gli interessi maturati sino alla transazione. In quel caso, si dice che la negoziazione avviene a '''corso tel quel'''. === Titoli obbligazionari === Le [[w:obbligazione (finanza)|obbligazioni]] possono essere: *a tasso fisso; *indicizzate; **a tasso variabile; **a rimborso indicizzato; **a indicizzazione fissa; *convertibili; *cum warrant; *senza cedola; *[[w:drop lock|drop lock]]; *[[w:bull and bear|bull and bear]]; *in valuta. === Titoli del debito pubblico === *'''[[w:Buono Ordinario del Tesoro|Buono Ordinario del Tesoro]]'''; *'''[[w:Certificato di credito del tesoro|Certificato di credito del tesoro]]'''; *'''[[w:Buono del Tesoro Poliennale|Buono del Tesoro Poliennale]]'''; *'''Certificato di credito a sconto''', ovvero titoli con un forte sconto all'emissione associate a una cedola legata al rendimento netto dei BOT (quindi convivono le caratteristiche proprie degli zero coupon e dei titoli indicizzati); *'''[[w:Certificato del tesoro zero-coupon|Certificato del tesoro zero-coupon]]'''. == Partecipazioni == Le partecipazioni sono rappresentate da azioni, ovvero da quote fondamentali del capitale sociale di una azienda. Sono emesse da società per azioni o da società a responsabilità limitata. In quest'ultimo caso, tali azioni possono essere emesse solo alla pari o sopra la pari, ovvero in sovrapprezzo. La sottoscrizione di azioni comporta il versamento del prezzo di emissione all'emittente, ricevendo in cambio alcuni diritti, che possono essere così elencati: *diritto di voto, ovvero la partecipazione alle decisioni della società; *diritto di recesso, ovvero la possibilità di liberarsi dal vincolo contrattuale e di ottenere il rimborso; *diritto di partecipazione agli utili; *diritto alla quota di liquidazione; *diritto di opzione, ovvero di potere sottoscrivere nuove azioni della società in caso di aumento di capitale entro il limite della percentuale già detenuta. Le azioni, a differenza delle obbligazioni, non hanno scadenza. La remunerazione attesa dalle azioni consiste nei dividendi o nella differenza fra prezzo di vendita e prezzo di acquisto ([[w:capital gain|capital gain]]). === Titoli azionari === *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni ordinarie|Azioni ordinarie]]'''; *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni privilegiate|Azioni privilegiate]]'''; *'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni di risparmio|Azioni di risparmio]]'''; *'''Azioni di godimento''': titoli assegnati a titolo gratuito ai detentori di azioni ordinarie, che partecipano agli utili in base al tasso di interesse legale e in caso di liquidazione vengono rimborsate dopo l'avvenuto rimborso delle altre categorie di titoli; *'''Partecipazione in cooperativa''': introdotte nel 1992, si tratta delle quote di partecipazione in società cooperative, senza diritto di voto, contraccambiato da privilegio nella distribuzione degli utili. == Rilevazioni contabili == === Acquisto e vendita di titoli "zero coupon" === Acquistiamo BOT per un valore nominale di 1 000, sborsando 990, con commissioni bancarie pari a 5. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |05.06.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |BOT Trimestrali | |Banca c/c |995 |995 |} {|style="border:black 2px solid;"| | |05.09.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c | |Diversi |1 000 | |- | | |Bot trimestrali | |995 |- | | |Interessi attivi su BOT trimestrali | |align="right"| 5 |} === Acquisto e vendita di titoli obbligazionari a reddito fisso === Acquistiamo il primo maggio 100 obbligazioni dal valore nominale di 100, per un totale di 10 000. La cedola semestrale è di 3, staccate ogni primo aprile e ogni primo ottobre, il corso secco è di 98. L'acquisto avviene a corso tel quel, quindi: * Valore a corso secco: 98 * 100 obbligazioni = 9 800; * Interessi maturati: 0,5 * 100 obbligazioni = 50; * Valore a corso tel quel: 98,5 * 100 obbligazioni = 9 850. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.05.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Banca c/c (SP) | |9 850 |- |Obbligazioni (SP) | | |9 800 | |- |Cedole in corso di maturazione (CE) | | |align = "right"| 50 | |} Il primo ottobre avviene il primo stacco delle cedole: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.10.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) |300 |300 |} Il 1 dicembre decidiamo di vendere 50 obbligazioni. Il corso tel quel per obbligazione è pari 99. {|style="border:black 2px solid;"| | |01.12.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Diversi |4 950 | |- | | |Obbligazioni (SP) | |4 900 |- | | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) | |align="right"| 50 |} Il primo febbraio 200X+1 decidiamo di vendere le azioni rimanenti. Nel frattempo, però, il valore dell'obbligazione a corso secco è sceso da 98 a 97. Per questo motivo dovremo registrare una perdita su titoli. {|style="border:black 2px solid;"| | |01.02.200X+1 | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Diversi | | |- |Banca c/c (SP) | | |4 950 | |- |Perdite su titoli (CE) | | |align="right"| 50 | |- | | |Obbligazioni (SP) | |4 900 |- | | |Interessi attivi su obbligazioni (CE) | |align="right"| 100 |} === Acquisto e vendita di titoli azionari === Acquistiamo il primo giugno 1 000 azioni della società "Wikisource S.p.A." al costo per azione di 72, per un totale di 72 000. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale: {|style="border:black 2px solid;"| | |01.03.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |Banca c/c (SP) |72 000 |72 000 |} Il venti giugno avviene lo stacco dei dividendi: 0,50 per azione, per un totale di 500. {|style="border:black 2px solid;"| | |20.06.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Dividendi su azioni Wikisource S.p.A. (CE) |500 |500 |} Il 13 luglio decidiamo di vendere la metà delle azioni in nostro possesso. Il prezzo di mercato è sceso da 72 a 70, per questo dovremo registrare una perdita su titoli: {|style="border:black 2px solid;"| | |13.07.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Diversi | |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |36 000 |- |Banca c/c (SP) | | |35 000 | |- |Perdite su azioni Wikisource S.p.A. (CE) | | |align="right"| 1 000 | |} Il 24 agosto decidiamo di vendere le azioni rimanenti: le azioni valgono 75 l'una, pertanto registriamo un utile su azioni. {|style="border:black 2px solid;"| | |24.08.200X | | | |- |'''dare''' |<div align="center">'''''a'''''</div> |'''avere''' |<div align="center">'''<nowiki>+</nowiki>'''</div> |<div align="center">'''<nowiki>-</nowiki>'''</div> |- |Banca c/c (SP) | |Diversi |37 500 | |- | | |Azioni Wikisource S.p.A. (SP) | |36 000 |- | | |Utili su titoli (CE) | |align="right"| 1 500 |} aam7mf67ds0dt4m8rva7zqitaoxhpsp 2 32658 287436 287359 2026-09-15T16:21:28Z Funzioni di correlazione 24136 287436 wikitext text/x-wiki ```text <math>z=32-6j</math> <math>a=32,\qquad b=-6</math> <math>r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>r=\sqrt{32^2+(-6)^2}</math> <math>r=\sqrt{1024+36}</math> <math>r=\sqrt{1060}=2\sqrt{265}</math> <math>\theta=\operatorname{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{-6}{32}\right)=\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)</math> <math>\theta\approx -0.18535\ \text{rad}</math> <math>\theta\approx -10.62^\circ</math> <math>z=r(\cos\theta+j\sin\theta)</math> <math>z=2\sqrt{265}\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)+j\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)\right)</math> <math>z=2\sqrt{265}\left(\cos(-0.18535)+j\sin(-0.18535)\right)</math> ``` '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} fu0r0emn9xl1wvgrgcrmp3a63u6sbnb 287443 287436 2026-09-16T08:17:08Z Funzioni di correlazione 24136 287443 wikitext text/x-wiki Per calcolare $(6 - 3j)^5$, possiamo raccogliere il fattore $3$ per semplificare i calcoli: $$(6 - 3j)^5 = [3(2 - j)]^5 = 3^5 \cdot (2 - j)^5 = 243 \cdot (2 - j)^5$$ Ora sviluppiamo la potenza $(2 - j)^5$ usando il binomio di Newton: $$(2 - j)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} (-j)^k$$ Ricordando le potenze dell'unità immaginaria ($j^2 = -1$, $j^3 = -j$, $j^4 = 1$, $j^5 = j$), calcoliamo i singoli termini: * Per $k=0$: $\binom{5}{0} 2^5 (-j)^0 = 1 \cdot 32 \cdot 1 = 32$ * Per $k=1$: $\binom{5}{1} 2^4 (-j)^1 = 5 \cdot 16 \cdot (-j) = -80j$ * Per $k=2$: $\binom{5}{2} 2^3 (-j)^2 = 10 \cdot 8 \cdot (-1) = -80$ * Per $k=3$: $\binom{5}{3} 2^2 (-j)^3 = 10 \cdot 4 \cdot j = 40j$ * Per $k=4$: $\binom{5}{4} 2^1 (-j)^4 = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10$ * Per $k=5$: $\binom{5}{5} 2^0 (-j)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-j) = -j$ Sommiamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria: * **Parte reale:** $32 - 80 + 10 = -38$ * **Parte immaginaria:** $-80j + 40j - j = -41j$ Quindi: $$(2 - j)^5 = -38 - 41j$$ Infine, moltiplichiamo per $243$: $$243 \cdot (-38 - 41j) = -9234 - 9963j$$ ### Risultato Finale $$-9234 - 9963j$$ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ```text <math>z=32-6j</math> <math>a=32,\qquad b=-6</math> <math>r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>r=\sqrt{32^2+(-6)^2}</math> <math>r=\sqrt{1024+36}</math> <math>r=\sqrt{1060}=2\sqrt{265}</math> <math>\theta=\operatorname{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{-6}{32}\right)=\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)</math> <math>\theta\approx -0.18535\ \text{rad}</math> <math>\theta\approx -10.62^\circ</math> <math>z=r(\cos\theta+j\sin\theta)</math> <math>z=2\sqrt{265}\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)+j\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)\right)</math> <math>z=2\sqrt{265}\left(\cos(-0.18535)+j\sin(-0.18535)\right)</math> ``` '''Numeri complessi''' I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Coniugato complesso == Dato <math>z=a+bi</math> il '''coniugato complesso''' di <math>z</math> è <math>\overline{z}=a-bi</math> Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria. Per esempio, <math>z=3+2i</math> ha coniugato <math>\overline{z}=3-2i</math> Nel piano complesso, <math>z</math> e <math>\overline{z}</math> sono simmetrici rispetto all'asse reale. Una proprietà fondamentale è <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Infatti, <math>(a+bi)(a-bi)</math> <math>=a^2-abi+abi-b^2i^2</math> <math>=a^2-b^2(-1)</math> <math>=a^2+b^2</math> e poiché <math>|z|^2=a^2+b^2</math> si ha <math>z\overline{z}=|z|^2</math>. == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == Esempio di calcolo di una radice == Consideriamo <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> == Interpretazione geometrica delle operazioni == Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori. Se <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> allora <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> corrisponde alla somma dei vettori <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se <math>z=re^{i\theta}</math> allora moltiplicare un altro numero complesso per <math>z</math> significa moltiplicarne il modulo per <math>r</math> e aggiungere l'angolo <math>\theta</math>. In particolare, moltiplicare per <math>i=e^{i\pi/2}</math> significa ruotare un vettore di <math>\frac{\pi}{2}</math> radianti, cioè di <math>90^\circ</math>. Per esempio, <math>1\cdot i=i</math> <math>i\cdot i=-1</math> <math>-1\cdot i=-i</math> <math>-i\cdot i=1</math> Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di <math>90^\circ</math>. == Cerchio unitario == I numeri complessi di modulo unitario soddisfano <math>|z|=1</math> Se <math>z=x+iy</math> allora <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>x^2+y^2=1</math> che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso. Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come <math>z=\cos\theta+i\sin\theta</math> oppure, usando la formula di Eulero, <math>z=e^{i\theta}</math> == Relazione fondamentale tra le rappresentazioni == Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti. Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(z)</math> mentre il passaggio inverso è dato da <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> e quindi <math>z=a+bi</math> <math>=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> <math>=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> <math>=re^{i\theta}</math> == Riassunto delle principali formule == Definizione dell'unità immaginaria: <math>i^2=-1</math> Forma algebrica: <math>z=a+bi</math> Parte reale: <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Parte immaginaria: <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Somma: <math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> Prodotto: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Coniugato: <math>\overline{z}=a-bi</math> Modulo: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> Prodotto con il coniugato: <math>z\overline{z}=|z|^2</math> Forma trigonometrica: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Formula di Eulero: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Formula di De Moivre: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Radici <math>n</math>-esime: <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Identità di Eulero: <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Diagramma concettuale == Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come <math> a+bi \longrightarrow (r,\theta) \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow re^{i\theta} </math> dove <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> e <math>\theta=\arg(a+bi)</math>. Il percorso inverso è <math> re^{i\theta} \longrightarrow r(\cos\theta+i\sin\theta) \longrightarrow r\cos\theta+ir\sin\theta \longrightarrow a+bi </math> con <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. == Significato geometrico == Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni <math>z=a+bi</math> il punto <math>(a,b)</math> del piano complesso. La distanza dall'origine è <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è <math>\theta=\arg(z)</math>. La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia <math>(r,\theta)</math> e quella cartesiana dalla coppia <math>(a,b)</math>. Le due descrizioni sono equivalenti attraverso <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math>. I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante <math>a+bi</math> con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento. ``` Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} o9e3olcxaz5ryaq7ylsdpl21zs42lkb 102 37832 287407 287397 2026-09-15T12:15:08Z Funzioni di correlazione 24136 287407 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri cmplessi]] traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} Q }} olpzml2iq2x8pjwm3g29ojt6iel9h68 287408 287407 2026-09-15T12:15:57Z Funzioni di correlazione 24136 287408 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri cmplessi]] traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} Q }} qj9remo9sqscqx5uykn8kynhmcqs16c 287410 287408 2026-09-15T12:23:56Z Funzioni di correlazione 24136 287410 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri cmplessi]] [[Operazioni tra numeri complessi]] traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} Q }} 9zc5d12kn20pkcbvpbigggisqpbdfwp 287411 287410 2026-09-15T12:25:55Z Funzioni di correlazione 24136 287411 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} Q }} ttxvzb7rf2ms2wgd0jctlxuidw5ia47 287412 287411 2026-09-15T12:26:54Z Funzioni di correlazione 24136 287412 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} h7zjopxras7vxslj9yjzhimmffl1hpz 287413 287412 2026-09-15T12:27:50Z Funzioni di correlazione 24136 287413 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} g9m5e6rj8birl1wr6dh5ywgfr3l7jwq 287414 287413 2026-09-15T12:29:43Z Funzioni di correlazione 24136 287414 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} 5u1sb31ansuy8o8xg0fwifry1trspnv 287415 287414 2026-09-15T12:31:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione */ 287415 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} kk0ofw9i62fi46f0svddmp8bwxi6nnn 287421 287415 2026-09-15T12:58:37Z Funzioni di correlazione 24136 287421 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} 7m1chjcypxzw48dz4q5m1ylwzfwuqqm 0 37833 287405 287394 2026-09-15T12:14:08Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina svuotata 287405 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 287406 287405 2026-09-15T12:14:34Z Funzioni di correlazione 24136 287406 wikitext text/x-wiki da cancellare h17t8lhnsszodghux1fam4z1hj4owwn 0 37834 287416 287393 2026-09-15T12:32:51Z Funzioni di correlazione 24136 287416 wikitext text/x-wiki == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. 8892tpg3yzwtw7blryi3jn9y8ty8xrp 287419 287416 2026-09-15T12:43:17Z Funzioni di correlazione 24136 287419 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. acjot5cwuct3vsfx7o05c4mydu0108s 287426 287419 2026-09-15T15:32:32Z Funzioni di correlazione 24136 287426 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. 7f8wd8wb7e4dyogc1rplwqziakxftuz 287427 287426 2026-09-15T15:37:21Z Funzioni di correlazione 24136 287427 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> gss7syvlww19rnvyp5gmqey4wd457hm 287428 287427 2026-09-15T15:51:01Z Funzioni di correlazione 24136 287428 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == 2° Esercizio == Come anticipazione all'impiego del piano complesso il primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: s1c5tihgthr77q4us2dfybyptvtmbee 287429 287428 2026-09-15T15:58:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287429 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == 2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''traccia i''' IA risponde: lkhfbu8xgiu9m549km6ly7be9ppy7ao 287430 287429 2026-09-15T16:02:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287430 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == 2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' IA risponde: rr8t7qvgvute3lwf2ac2vy50pfj8qjp 287431 287430 2026-09-15T16:08:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287431 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> == 2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' IA risponde: Certo. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare, con ogni espressione racchiusa nei tag `<math>...</math>` e senza `\boxed`. ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ``` **Nota:** ho interpretato il punto nella tua formula come moltiplicazione, quindi <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math>. oia2ro5azsx9q0croiz7lqhjbbfsp2f 287432 287431 2026-09-15T16:10:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287432 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' IA risponde: Certo. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare, con ogni espressione racchiusa nei tag `<math>...</math>` e senza `\boxed`. ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ``` **Nota:** ho interpretato il punto nella tua formula come moltiplicazione, quindi <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math>. rowxwhom9pboyc43bgo44zmm5nltabt 287433 287432 2026-09-15T16:11:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio */ 287433 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ``` **Nota:** ho interpretato il punto nella tua formula come moltiplicazione, quindi <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math>. 3hj2t622i8q76u5uyb63t63hunhj7je 287434 287433 2026-09-15T16:12:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio */ 287434 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ``` gtdrb6w95lhxsy3p12o0yk9y8lliynw 287437 287434 2026-09-16T05:54:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio */ 287437 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ``` 95wd4fwsscj2qj7aph0tofwe4dgc2pu 287440 287437 2026-09-16T06:14:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio */ 287440 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==1° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ==2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, il computo di z = (6 - 3j) alla quinta potenza: '''Calcola:''' ```(6 - 3 j)^5 7kjx6ffhxmc43s2gfinh8w9zxyll6cz 287441 287440 2026-09-16T06:15:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287441 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==1° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ==2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, il computo di z = (6 - 3j) alla quinta potenza: '''Calcola: (6 - 3 j)^5 ''' sy7hejujocvbbt2wqtbh8i7dax04ckn 287442 287441 2026-09-16T06:17:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287442 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==1° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ==2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, il computo di z = (6 - 3j) alla quinta potenza: '''Calcola: (6 - 3 j)^5 ''' la risposta di IA: <math> (6-3j)^5 </math> <math> = \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j) </math> <math> (6-3j)^2=36-36j+9j^2 </math> <math> =36-36j-9 </math> <math> =27-36j </math> <math> (6-3j)^4=(27-36j)^2 </math> <math> =729-1944j+1296j^2 </math> <math> =729-1944j-1296 </math> <math> =-567-1944j </math> <math> (6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j) </math> <math> =-3402+1701j-11664j+5832j^2 </math> <math> =-3402-9963j-5832 </math> <math> =-9234-9963j </math> q6hkmji5z0x5ow2q6naaumluzisoyy7 287444 287442 2026-09-16T08:43:50Z Funzioni di correlazione 24136 287444 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==1° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ==2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, il computo di z = (6 - 3j) alla quinta potenza: '''Calcola: (6 - 3 j)^5 ''' la risposta di IA: <math> (6-3j)^5 </math> <math> = \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j) </math> <math> (6-3j)^2=36-36j+9j^2 </math> <math> =36-36j-9 </math> <math> =27-36j </math> <math> (6-3j)^4=(27-36j)^2 </math> <math> =729-1944j+1296j^2 </math> <math> =729-1944j-1296 </math> <math> =-567-1944j </math> <math> (6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j) </math> <math> =-3402+1701j-11664j+5832j^2 </math> <math> =-3402-9963j-5832 </math> <math> =-9234-9963j </math> ==3° Esercizio== Questo è il risultato di (6-3j)^5 computatto da Gemini, mostra una soluzione più chiara ed esaustiva che xxx Per calcolare la potenza (6 - 3j)^5 possiamo utilizzare il binomio di Newton. La formula generale per lo sviluppo della potenza di un binomio è la seguente: (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 Poniamo a = 6 e b = 3j. Sostituendo questi valori nella formula otteniamo: (6 - 3j)^5 = 6^5 - 5(6^4)(3j) + 10(6^3)(3j)^2 - 10(6^2)(3j)^3 + 5(6)(3j)^4 - (3j)^5 Ricordiamo le potenze dell'unità immaginaria j: * j^1 = j * j^2 = -1 * j^3 = -j * j^4 = 1 * j^5 = j Sviluppiamo ora ciascun singolo termine dell'espressione: 1. Per il primo termine 6^5: 6^5 = 7776 2. Per il secondo termine -5(6^4)(3j): 6^4 = 1296 -5 \times 1296 \times 3j = -19440j 3. Per il terzo termine 10(6^3)(3j)^2: 6^3 = 216 (3j)^2 = 9j^2 = -9 10 \times 216 \times (-9) = -19440 4. Per il quarto termine -10(6^2)(3j)^3: 6^2 = 36 (3j)^3 = 27j^3 = -27j -10 \times 36 \times (-27j) = +9720j 5. Per il quinto termine 5(6)(3j)^4: (3j)^4 = 81j^4 = 81 30 \times 81 = 2430 6. Per il sesto termine -(3j)^5: -(243j^5) = -243j Sommiamo ora tutti i termini ottenuti nello sviluppo: (6 - 3j)^5 = 7776 - 19440j - 19440 + 9720j + 2430 - 243j Raggruppiamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria: * Parte reale: 7776 - 19440 + 2430 = -9234 * Parte immaginaria: -19440j + 9720j - 243j = -9963j Il risultato finale del calcolo è: (6 - 3j)^5 = -9234 - 9963j 3kd2qfk3evorroklbskfv1ohhb8l93u 287445 287444 2026-09-16T08:48:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287445 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi | avanzamento = 100% }} == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Divisione == Consideriamo <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> con <math>c+di\ne0</math>. Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}</math> Si ottiene <math>\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</math> Il denominatore diventa <math>(c+di)(c-di)=c^2+d^2</math> mentre il numeratore diventa <math>(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i</math> Pertanto <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. == Inverso di un numero complesso == L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> è <math>\frac{1}{z}</math> Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato: <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}</math> e quindi <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}</math> ovvero <math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i</math> ==1° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita: '''Calcola:''' '''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2''' '''per ''' '''z1 = 3 - j4 ''' '''z2 = 6 + j7 ''' '''z3 = 2.5 - j8 ''' IA risponde: ```text Dati: <math>z_1 = 3 - j4</math> <math>z_2 = 6 + j7</math> <math>z_3 = 2.5 - j8</math> L'espressione da calcolare è: <math>Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}</math> Calcoliamo innanzitutto il prodotto <math>z_1 z_2</math>: <math>z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)</math> <math>= 18 + j21 - j24 - j^2 28</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ottiene: <math>z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28</math> <math>z_1 z_2 = 46-j3</math> Calcoliamo ora <math>(z_3)^2</math>: <math>(z_3)^2 = (2.5-j8)^2</math> <math>= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2</math> <math>= 6.25-j40-64</math> <math>(z_3)^2 = -57.75-j40</math> In forma frazionaria: <math>(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40</math> Calcoliamo il rapporto <math>\frac{z_1}{z_2}</math>: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore: <math>\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}</math> <math>=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}</math> Calcoliamo il numeratore: <math>(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28</math> <math>=18-j45-28</math> <math>=-10-j45</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2</math> <math>=36+49=85</math> Quindi: <math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}</math> <math>\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}</math> Ora calcoliamo il prodotto: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)</math> Sviluppando: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}</math> Poiché <math>j^2=-1</math>: <math>=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}</math> <math>=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}</math> Semplificando la parte reale: <math>(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}</math> Infine: <math>Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}</math> <math>Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)</math> Portiamo la parte reale allo stesso denominatore: <math>46=\frac{1564}{34}</math> <math>46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}</math> Per la parte immaginaria: <math>-3=-\frac{204}{68}</math> <math>-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}</math> Pertanto il risultato finale è: <math>Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}</math> In forma decimale: <math>Z_4\approx31.6176+j32.2794</math> ==2° Esercizio == Si propone ad IA, in grassetto, il computo di z = (6 - 3j) alla quinta potenza: '''Calcola: (6 - 3 j)^5 ''' la risposta di IA: <math> (6-3j)^5 </math> <math> = \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j) </math> <math> (6-3j)^2=36-36j+9j^2 </math> <math> =36-36j-9 </math> <math> =27-36j </math> <math> (6-3j)^4=(27-36j)^2 </math> <math> =729-1944j+1296j^2 </math> <math> =729-1944j-1296 </math> <math> =-567-1944j </math> <math> (6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j) </math> <math> =-3402+1701j-11664j+5832j^2 </math> <math> =-3402-9963j-5832 </math> <math> =-9234-9963j </math> q6hkmji5z0x5ow2q6naaumluzisoyy7 0 37835 287399 287398 2026-09-15T12:02:07Z Funzioni di correlazione 24136 287399 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Esercizio== alla richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link]] kyvbqwxut4lcjqfdfs518ksbh4u1ajq 287400 287399 2026-09-15T12:04:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio */ 287400 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link]] 2bbht384xsy2f0dx679gt7ic2qlc398 287401 287400 2026-09-15T12:05:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287401 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link]] ciwcy599pn2nya4rtb1c8oje5erndy8 287402 287401 2026-09-15T12:08:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287402 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presenttazione grafica di un numero complesso] m4jqmu39p4rppupe85sedkgohzgb2zs 287403 287402 2026-09-15T12:09:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287403 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di un numero complesso] 6u677ih9w6xnpqgtkuronhtmcj706bc 287404 287403 2026-09-15T12:12:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287404 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di 3 + j 2] hlecxu3m07fqyahx060ik7fefuj6phw 287417 287404 2026-09-15T12:38:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287417 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Come anticipazione all'impiego del piano xxxxx il primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di 3 + j 2] 40zni89es0fpm9k9q2is0j2ux8pvlv1 287418 287417 2026-09-15T12:40:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287418 wikitext text/x-wiki I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Come anticipazione all'impiego del piano complesso il primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di 3 + j 2] oz7h50oxwdjab8njdj9guvghs2ugdgs 287420 287418 2026-09-15T12:45:05Z Funzioni di correlazione 24136 287420 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Definizione di numero complesso | avanzamento = 100% }} I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == 1° Esercizio == Come anticipazione all'impiego del piano complesso il primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di 3 + j 2] 9kr0s8dmu8qxu4xphvfgg890n45vs3v 287435 287420 2026-09-15T16:13:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287435 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Definizione di numero complesso | avanzamento = 100% }} I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come <math>x^2+1=0</math>, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri complessi viene indicato con <math>\mathbb{C}</math>. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Da questa definizione segue anche <math>i=\sqrt{-1}</math> in un'estensione dei numeri reali. == Origine dei numeri complessi == Consideriamo l'equazione <math>x^2+1=0</math> Portando <math>1</math> al secondo membro si ottiene <math>x^2=-1</math> Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia <math>-1</math>. Si introduce quindi il numero <math>i</math> tale che <math>i^2=-1</math> L'equazione diventa quindi <math>x^2=i^2</math> e le sue soluzioni sono <math>x=\pm i</math> L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi. == Forma algebrica == Un numero complesso è generalmente scritto come <math>z=a+bi</math> Il numero reale <math>a</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math> e si indica con <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> Il numero reale <math>b</math> è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> Per esempio, dato <math>z=3+2i</math> si ha <math>\operatorname{Re}(z)=3</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=2</math> È importante distinguere il coefficiente reale <math>b</math> dalla parte immaginaria <math>bi</math>. == Numeri reali e numeri immaginari == Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale: <math>z=a+0i=a</math> Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro: <math>z=bi</math> Per esempio, <math>5=5+0i</math> è reale, mentre <math>4i=0+4i</math> è immaginario puro. I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi: <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> == Uguaglianza di due numeri complessi == Due numeri complessi <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math> sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1=z_2\iff a=c\land b=d</math> Per esempio, <math>3+2i=3+2i</math> mentre <math>3+2i\ne3+4i</math> perché <math>2\ne4</math>. == Esercizio == Come anticipazione all'impiego del piano complesso il primo contatto con IA con la seguente richiesta in grassetto: '''traccia il numero complesso 3 + j 2 in un chiaro diagramma bello a tratto unito''' IA risponde: [[https://drive.google.com/file/d/13NL6TBMaBwHt9L86kpS5ox09FfzL-uN9/view?usp=drive_link] presentazione grafica di 3 + j 2] ndpsnbc3kxd8go5w1xwsuo1k055fhlt 0 37836 287409 2026-09-15T12:21:15Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "== Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <..." 287409 wikitext text/x-wiki == Somma == Siano <math>z_1=a+bi</math> e <math>z_2=c+di</math>. La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: <math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i</math> Per esempio, <math>(3+2i)+(4+5i)</math> diventa <math>3+4+2i+5i</math> quindi <math>(3+2i)+(4+5i)=7+7i</math> == Sottrazione == La sottrazione segue lo stesso principio: <math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i</math> Per esempio, <math>(5+4i)-(2+i)</math> diventa <math>5-2+(4-1)i</math> e quindi <math>(5+4i)-(2+i)=3+3i</math> == Moltiplicazione == Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva: <math>(a+bi)(c+di)</math> <math>=ac+adi+bci+bd i^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd</math> Raccogliendo le parti reali e immaginarie: <math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math> Per esempio, <math>(2+3i)(4+i)</math> <math>=8+2i+12i+3i^2</math> <math>=8+14i-3</math> <math>=5+14i</math> == Potenze dell'unità immaginaria == Dalla definizione <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>i^3=i^2i=-i</math> e <math>i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1</math> Le potenze di <math>i</math> si ripetono quindi con periodo quattro: <math>i^1=i</math> <math>i^2=-1</math> <math>i^3=-i</math> <math>i^4=1</math> <math>i^5=i</math> In generale, <math>i^{4k}=1</math> <math>i^{4k+1}=i</math> <math>i^{4k+2}=-1</math> <math>i^{4k+3}=-i</math> dove <math>k</math> è un intero. btlpw3ehgf0sw70y0od1h60fo30c4ic 0 37837 287423 2026-09-15T13:01:36Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "== Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del pian..." 287423 wikitext text/x-wiki == Piano complesso == Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> anxo7wo0lsut62a9obf2jgufib9xt8v 287424 287423 2026-09-15T13:02:01Z Funzioni di correlazione 24136 287424 wikitext text/x-wiki Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> 5fxoibhgdckqwvgw0z6ir966babfj1b 287425 287424 2026-09-15T13:04:24Z Funzioni di correlazione 24136 287425 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso | avanzamento = 100% }} Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''. La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math> Pertanto il numero <math>z=a+bi</math> corrisponde al punto <math>(a,b)</math> del piano. Per esempio, il numero <math>z=3+2i</math> è rappresentato dal punto <math>(3,2)</math> La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente: <math> \begin{array}{c|cccccc} & & & \operatorname{Im} & & & \\ & & & \uparrow & & & \\ & & & | & & & \\ & & & | & \bullet\ z=(3,2) & & \\ & & & | & & & \\ \hline & & & +----------------\rightarrow & \operatorname{Re} & & \end{array} </math> In forma concettuale: <math>\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)</math> <math>\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)</math> == Vettore associato == Il punto <math>(a,b)</math> può essere interpretato anche come il vettore <math>\vec{z}=(a,b)</math> che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso. Per esempio, <math>z=3+2i</math> corrisponde al vettore <math>\vec{z}=(3,2)</math> La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso. == Modulo == Dato <math>z=a+bi</math> il modulo di <math>z</math> è definito come <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate <math>a</math> e <math>b</math>. Per esempio, per <math>z=3+4i</math> si ha <math>|z|=\sqrt{3^2+4^2}</math> <math>|z|=\sqrt{9+16}</math> <math>|z|=\sqrt{25}</math> <math>|z|=5</math> Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto <math>(a,b)</math> dall'origine del piano complesso. == Argomento == Per un numero complesso non nullo <math>z=a+bi</math> si può definire un angolo <math>\theta</math>, chiamato '''argomento''' di <math>z</math>, come l'angolo formato dal vettore associato a <math>z</math> con il semiasse reale positivo. Quando <math>a\ne0</math>, l'angolo soddisfa la relazione <math>\tan\theta=\frac{b}{a}</math> In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto. Si può indicare un argomento di <math>z</math> con <math>\arg(z)=\theta</math> Poiché una rotazione completa corrisponde a <math>2\pi</math> l'argomento non è unico: <math>\theta+2k\pi</math> rappresenta lo stesso numero complesso per ogni <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''. == Forma trigonometrica == Dalla geometria del piano complesso si ha <math>a=r\cos\theta</math> e <math>b=r\sin\theta</math> dove <math>r=|z|</math>. Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica <math>z=a+bi</math> si ottiene <math>z=r\cos\theta+ir\sin\theta</math> Raccogliendo <math>r</math>: <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso. Il procedimento di conversione è quindi <math>z=a+bi</math> <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\theta=\arg(z)</math> <math>a=r\cos\theta</math> <math>b=r\sin\theta</math> <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> lc3rtnx2mk6m6m5l5wqsn90iz8hezgv