Costituzione del soggetto giuridico

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    <title>Costituzione del soggetto giuridico</title>
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[[File:Atto costitutivo della Società Cooperativa di Consumo Carnica (1906).jpg|thumb|Atto costitutivo della Società cooperativa di consumo carnica (1906)]]

&quot;Con il contratto di società, due o più persone conferiscono beni o servizi per l'esercitazione di un'attività economica al fine di dividerne gli utili&quot; - definizione estratta dal Codice Civile.

La costituzione di società deriva da un accordo pattizio tra parti; leggi eccezionali derogano il principio per permettere la costituzione di società unipersonali (s.r.l.s e s.p.a.s.), vostituite per atto unilaterale.

Con il conferimento e la successiva esecuzione dell'obbligazione contratta, i soci conferiscono alla società i mezzi inizialmente necessari per l'esercizio dell'attività economica.
Il valore economico delle prestazioni conferite rappresenta il capitale sociale; poichè i soci non possono esigere la liquidazione di questo valore, esso rappresenta una garanzia per gli altri creditori della società,  poichè potranno rifarsi su un attivo eccedente il totale del passivo (Attivo=Passivo+Patrimonio netto; essendo probabile che parte dell'attivo sia illiquido, inesigibile, distrutto o sottratto, è rilevante il Capitale sociale (frazione inesigibile dai soci del Patrimonio Netto) come &quot;cuscinetto&quot; di assorbimento).

Le norme sui conferimenti e sul valore minimo del Capitale sociale variano in base alla tipologia di impresa:
*nelle s.p.a e nelle s.a.p.a il Capitale sociale non può essere inferiore a 50 mila euro
*nelle s.r.l il Capitale sociale non può essere inferiore a 10 mila euro (è importante sottolineare che le s.r.l.s, introdotte negli anni 2010, sono una forma societaria distinta)
*per le s.p.a, s.a.p.a, società cooperative è fatto divieto di conferire servizi


Salvo espresse eccezioni (s.t.p.), l'attività svolta dalla società dev'essere attività d'impresa.
Le società, quando svolgono attività commerciale, sono soggette a liquidazione giudiziale.

 
Si badi bene: all'inizio il capitale sociale e il patrimonio netto coincidono. In seguito, in forza di varie operazioni, come l'investimento del capitale sociale e/o l'assunzione di finanziamenti da parte di soci o di terze economie come pure attraverso l'autofinanziamento, essi possono discostarsi, ma il capitale sociale non può mai essere minore del patrimonio netto: se questo dovesse avvenire la Legge impone il ripristino perlomeno della parità o la trasformazione in una diversa forma societaria che non abbia limite minimo o che abbia limite diverso e minore.

== La costituzione di una società per azioni ==
[[File:Fabbrica italiana d'automobili Società anonima, registrazione firme amministratori, Torino 1899 - san dl SAN TXT-00002980.jpg|thumb|Fabbrica italiana d'automobili Società anonima, registrazione delle firme degli amministratori, Torino 1899. Atto di autenticazione delle firme degli amministratori (Lodovico Scarfiotti, Cesare Goria Gatti, Emanuele Cacherano di Bricherasio, Alfonso Ferrero di Ventimiglia, Michele Ceriana Mayneri, Giovanni Agnelli, Roberto Biscaretti di Ruffia, Luigi Damevino) presso il Tribunale di Commercio di Torino 29 luglio 1899. L'atto costitutivo della società Fiat fu rogato dal notaio Ernesto Torretta in Torino il 2 luglio 1899 (AS Torino, Fondo Tribunale civile e penale di Torino, Atti di Società, vol. 4, fasc. 70)]]
[[File:Atto costitutivo Bracco Parte3 1 giugno 1927.jpg|thumb|Atto costitutivo della Bracco S.p.A. (1 giugno 1927); cliccare [[commons:File:Atto costitutivo Bracco Parte2 1 giugno 1927.jpg|qui]] per vedere la pagina precedente.]]
[[File:AttocostitutivoSAVA25041925.jpg|thumb|Atto costitutivo della SAVA (1925)]]
In Italia la costituzione del soggetto giuridico avviene in tre diverse fasi:
#stipulazione del contratto;
#verifica da parte del notaio rogante;
#iscrizione nel Registro delle imprese.

Il diritto positivo ha ben definito quali devono essere la forma, il contenuto, le modalità e gli effetti dell'atto che costituisce la società; esso si costituisce di due parti: l'atto costitutivo e lo statuto. Il primo esprime il fatto che alcuni soggetti hanno deciso di dare vita ad una società, nel secondo si ritrovano le regole che faranno funzionare la società stessa. Bisogna notare, comunque, che lo statuto, anche se separato fisicamente, fa sempre parte dell'atto costitutivo. L'atto costitutivo viene redatto e stipulato sotto la direzione del notaio, che lo rende autentico sottoscrivendolo assieme ai soci.

Secondo l'articolo 2329 del codice civile devono esservi tre condizioni affinché sia possibile la costituzione di una società per azioni:
#i soci devono sottoscrivere interamente il capitale sociale impegnandosi, nel momento in cui si rendesse necessario, ad aumentarlo o almeno riportarlo alle condizioni minime qualora dovesse scendere sotto questa soglia;
#secondo gli articoli 2342 e 2343 del codice civile, qualora vi sia una pluralità di soci, il 25% del capitale sociale deve essere versato su un conto corrente vincolato intestato ai futuri amministratori. Nel caso in cui la società per azioni sia composta di un solo socio, il versamento va fatto per l'intera cifra. Se si tratta di conferimento in beni o crediti, le azioni corrispondenti vanno liberate al momento della sottoscrizione: in pratica, il socio che conferisce beni e/o crediti deve metterli immediatamente a disposizione del costituendo soggetto giuridico, mettendo a disposizione una relazione giurata di stima redatta da un esperto designato dal Tribunale competente;
#infine le parti devono ottenere le autorizzazioni e le condizioni che servono per l'attività dell'azienda.
Il notaio verificherà che tali condizioni sussistono, provvederà a formalizzare la nascita della società e provvederà a trasmettere all'ufficio del Registro delle imprese l'atto e tutta la documentazione entro 90 giorni dalla stipula. L'ufficio competente verificherà atto e documentazione e procederà all'iscrizione della società al Registro, conferendo finalmente al soggetto giuridico la personalità giuridica.

=== Costituzione della società mediante apporti in denaro ===
Abbiamo testé visto che per costituire una società per azioni bisogna versare in un conto corrente vincolato una somma pari al 25% del capitale sociale. Notiamo subito un primo problema: questa operazione va inserita nel libro giornale, tuttavia l'impresa non può inserire in esso delle operazioni che abbiano una data precedente a quella di costituzione. Tuttavia il versamento deve essere effettuato prima della costituzione della società. Il problema viene risolto in questo modo.

Supponiamo che due signori, il signor Wiki Uno e la signora Wiki Due decidano di dare vita ad una nuova società, che chiameremo &quot;Wikiversità S.p.A.&quot;. Essi effettuano il versamento del 25% il 13 gennaio 200X, per una totale di 500 unità di moneta di conto (prescindiamo dal limite minimo imposto dalla Legge per le S.p.A. per semplicità): il signor Wiki Uno conferisce il 50% di questa somma e così pure la signora Wiki Due (si badi che queste somme sono ancora in possesso dei soci costituenti, e che lo rimarrà fino alla costituzione della società). Due settimane dopo essi si recano dal notaio con tutti i documenti in regola, e costituiscono la società. In quella data si apre il libro giornale e si iscrive la seguente operazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c vincolato
|
|Diversi
|align=&quot;right&quot;|500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|250
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|250
|-
|}

Sotto questa scrittura verrà apposta una nota (come è sempre giusto fare per ogni operazione iscritta) in cui descriverà l'operazione e si dirà che essa è stata effettuata il 13 gennaio.

Ora che la società è costituita, bisogna che venga versato tutto il capitale sociale. Ammettiamo che questo avvenga il giorno stesso della costituzione. Avremo quindi:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|
|Capitale sociale
|
|2000
|-
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|
|1000
|
|-
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|
|1000
|
|-
|}

Non è finita, infatti i conti degli azionisti non sono bilanciati, poiché essi devono effettivamente versare il residuo. Avviene quindi la seguente operazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c libero
|
|Diversi
|1500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|750
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|750
|-
|}

Notiamo ora che i conti Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione e Azionista Wiki Due c/sottoscrizione sono bilanciati e che il capitale sociale è interamente versato. Può, tuttavia, accadere che, in sede di redazione di bilancio questo non accada: all'epoca si provvederà dunque a inserire il saldo Dare/+ del conto &quot;Azionisti c/sottoscrizione&quot; all'interno della macroclasse A dello Stato Patrimoniale, alla voce &quot;Crediti verso soci per versamenti ancora dovuti&quot;, ex art. 2424 del Codice Civile italiano.

Per terminare le operazioni di costituzione del soggetto giuridico, dobbiamo provvedere allo svincolo del capitale già versato su un altro conto, spostandolo nel conto intestato alla società e libero da vincoli. Ricordiamo, innanzitutto, che il denaro versato maturerà comunque degli interessi (poniamo al 2% lordo)e che la banca, in qualità di sostituto d'imposta, dovrà trattenere una parte di essi come ritenuta d'acconto (che al momento è del 27% in Italia). Presentando alla banca il certificato di ottenuta iscrizione al Registro delle imprese, essa provvederà ad effettuare tutte le operazioni descritte poco sopra, mentre noi effettueremo la seguente scrittura a libro giornale, ad esempio il 27 marzo:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.03.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|
|
|-
|Banca c/c libero
|
|
|align=&quot;right&quot;|501,22
|
|-
|Erario c/ritenute
|
|
|align=&quot;right&quot;|0,45
|
|-
|
|
|Banca c/c vincolato
|
|align=&quot;right&quot;|500,00
|-
|
|
|Interessi attivi
|
|align=&quot;right&quot;|1,67
|}

=== Costituzione della società mediante apporti in natura ===

Il conferimento di beni in natura apre la porta a molte e diverse problematiche. Cercheremo di simularli attraverso una esemplificazione.

Torniamo indietro: ci sono sempre il signor Wiki Uno e la signora Wiki Due che vogliono costituire la &quot;Wikiversità S.p.A.&quot;. In questo caso, però, il signor Wiki Uno apporterà denaro per un totale di 500, mentre la signora Wiki Due apporterà beni per un totale di 1 500. Il signor Wiki Uno provvede a versare il 25% di sua spettanza in data 13 gennaio 200X, mentre nulla deve la signora Wiki Due che provvederà a versare interamente i beni all'atto della costituzione (il 27 gennaio 200X) e così farà pure il signor Wiki Uno in uguale data per il residuo. Avremo dunque le seguenti scritture contabili:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c vincolato
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|125
|125
|}

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Capitale sociale
|
|align=&quot;right&quot;|2 000
|-
|
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|align=&quot;right&quot;|500
|-
|
|
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|align=&quot;right&quot;|1 500
|}

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|
|
|-
|Macchinari
|
|
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|Banca c/c libero
|
|
|align=&quot;right&quot;|375
|
|-
|
|
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|align=&quot;right&quot;|375
|
|}

Quando avverrà l'iscrizione al Registro delle imprese, provvederemo a svincolare il c/c vincolato secondo la modalità che già conosciamo.

Nel caso in cui in seguito gli amministratori verificassero che gli apporti in natura si rivelano essere di entità differente (per esempio per effetto di una svalutazione), bisognerà provvedere alla proporzionale riduzione del capitale sociale se tale svalutazione diminuisca il valore dei beni per oltre un quinto, a meno che, in ossequio a quanto disposto dall'articolo 2343 del Codice Civile, il socio che aveva apportato i beni non decida di reintegrare il valore perduto oppure di recedere dalla società, maturando il diritto di restituzione dei beni conferiti.

Facciamo un esempio. La signora Wiki Due ha apportato beni per 1 500, tuttavia l'amministratore Wiki Uno ha verificato che il valore di tali conferimenti è di 1 000, dunque di ben oltre un quinto minore. Procede dunque alla svalutazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Svalutazione macchinari
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Macchinari
|500
|500
|}

Possono ora verificarsi tre opzioni:
#Riduzione del capitale sociale;
#Reintegro;
#Recesso.

Vediamoli uno per volta:
==== Riduzione del capitale sociale ====
La signora Wiki Due decide di non reintegrare il valore perduto e neppure di recedere. Pertanto bisogna ridurre il capitale sociale nel seguente modo:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Capitale sociale
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Svalutazione macchinari
|500
|500
|}

Le quote azionarie dei due soci risulteranno ridimensionate proporzionalmente: dunque il signor Wiki Uno, che prima deteneva un quarto delle azioni si vedrà aumentare la propria quota fino a un terzo, mentre la signora Wiki Due, che prima della svalutazione possedeva tre quarti della società, adesso ne possiede un po' in meno, i due terzi.

==== Reintegro  ====
La signora Wiki Due decide di apportare 500 unità di moneta di conto. In questo modo il capitale sociale non diminuisce di oltre un quinto e non vi è necessità di riduzione. Vediamo che succede sul libro giornale:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Capitale Sociale (''Sig.ra Due c/titolare'')
|500
|500
|}

==== Recesso  ====
La signora Wiki Due decide di recedere dalla società. Pertanto l'amministratore Wiki Uno dovrà stornare i conferimenti apportati dalla signora Wiki Due e ridurre il capitale sociale. Quindi:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Capitale sociale
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Svalutazione macchinari
|
|align=&quot;right&quot;|500
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Macchinari
|
|align=&quot;right&quot;|1 000
|}

== Note ==
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      <text bytes="16567" sha1="n1ob889kx8x00ky774374ymxv30psxw" xml:space="preserve">{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Bilancio}}
[[File:Atto costitutivo della Società Cooperativa di Consumo Carnica (1906).jpg|thumb|Atto costitutivo della Società cooperativa di consumo carnica (1906)]]

&quot;Con il contratto di società, due o più persone conferiscono beni o servizi per l'esercizio in comune di un'attività economica al fine di dividerne gli utili&quot; - definizione estratta dal Codice Civile art 2247.

La costituzione di società deriva da un accordo pattizio tra parti; leggi eccezionali derogano il principio per permettere la costituzione di società unipersonali (s.r.l.s e s.p.a.s.), vostituite per atto unilaterale.

Con il conferimento e la successiva esecuzione dell'obbligazione contratta, i soci conferiscono alla società i mezzi inizialmente necessari per l'esercizio dell'attività economica.
Il valore economico delle prestazioni conferite rappresenta il capitale sociale; poichè i soci non possono esigere la liquidazione di questo valore, esso rappresenta una garanzia per gli altri creditori della società,  poichè potranno rifarsi su un attivo eccedente il totale del passivo (Attivo=Passivo+Patrimonio netto; essendo probabile che parte dell'attivo sia illiquido, inesigibile, distrutto o sottratto, è rilevante il Capitale sociale (frazione inesigibile dai soci del Patrimonio Netto) come &quot;cuscinetto&quot; di assorbimento).

Le norme sui conferimenti e sul valore minimo del Capitale sociale variano in base alla tipologia di impresa:
*nelle s.p.a e nelle s.a.p.a il Capitale sociale non può essere inferiore a 50 mila euro
*nelle s.r.l il Capitale sociale non può essere inferiore a 10 mila euro (è importante sottolineare che le s.r.l.s, introdotte negli anni 2010, sono una forma societaria distinta)
*per le s.p.a, s.a.p.a, società cooperative è fatto divieto di conferire servizi


Salvo espresse eccezioni (s.t.p.), l'attività svolta dalla società dev'essere attività d'impresa.
Le società, quando svolgono attività commerciale, sono soggette a liquidazione giudiziale.

 
Si badi bene: all'inizio il capitale sociale e il patrimonio netto coincidono. In seguito, in forza di varie operazioni, come l'investimento del capitale sociale e/o l'assunzione di finanziamenti da parte di soci o di terze economie come pure attraverso l'autofinanziamento, essi possono discostarsi, ma il capitale sociale non può mai essere minore del patrimonio netto: se questo dovesse avvenire la Legge impone il ripristino perlomeno della parità o la trasformazione in una diversa forma societaria che non abbia limite minimo o che abbia limite diverso e minore.

== La costituzione di una società per azioni ==
[[File:Fabbrica italiana d'automobili Società anonima, registrazione firme amministratori, Torino 1899 - san dl SAN TXT-00002980.jpg|thumb|Fabbrica italiana d'automobili Società anonima, registrazione delle firme degli amministratori, Torino 1899. Atto di autenticazione delle firme degli amministratori (Lodovico Scarfiotti, Cesare Goria Gatti, Emanuele Cacherano di Bricherasio, Alfonso Ferrero di Ventimiglia, Michele Ceriana Mayneri, Giovanni Agnelli, Roberto Biscaretti di Ruffia, Luigi Damevino) presso il Tribunale di Commercio di Torino 29 luglio 1899. L'atto costitutivo della società Fiat fu rogato dal notaio Ernesto Torretta in Torino il 2 luglio 1899 (AS Torino, Fondo Tribunale civile e penale di Torino, Atti di Società, vol. 4, fasc. 70)]]
[[File:Atto costitutivo Bracco Parte3 1 giugno 1927.jpg|thumb|Atto costitutivo della Bracco S.p.A. (1 giugno 1927); cliccare [[commons:File:Atto costitutivo Bracco Parte2 1 giugno 1927.jpg|qui]] per vedere la pagina precedente.]]
[[File:AttocostitutivoSAVA25041925.jpg|thumb|Atto costitutivo della SAVA (1925)]]
In Italia la costituzione del soggetto giuridico avviene in tre diverse fasi:
#stipulazione del contratto;
#verifica da parte del notaio rogante;
#iscrizione nel Registro delle imprese.

Il diritto positivo ha ben definito quali devono essere la forma, il contenuto, le modalità e gli effetti dell'atto che costituisce la società; esso si costituisce di due parti: l'atto costitutivo e lo statuto. Il primo esprime il fatto che alcuni soggetti hanno deciso di dare vita ad una società, nel secondo si ritrovano le regole che faranno funzionare la società stessa. Bisogna notare, comunque, che lo statuto, anche se separato fisicamente, fa sempre parte dell'atto costitutivo. L'atto costitutivo viene redatto e stipulato sotto la direzione del notaio, che lo rende autentico sottoscrivendolo assieme ai soci.

Secondo l'articolo 2329 del codice civile devono esservi tre condizioni affinché sia possibile la costituzione di una società per azioni:
#i soci devono sottoscrivere interamente il capitale sociale impegnandosi, nel momento in cui si rendesse necessario, ad aumentarlo o almeno riportarlo alle condizioni minime qualora dovesse scendere sotto questa soglia;
#secondo gli articoli 2342 e 2343 del codice civile, qualora vi sia una pluralità di soci, il 25% del capitale sociale deve essere versato su un conto corrente vincolato intestato ai futuri amministratori. Nel caso in cui la società per azioni sia composta di un solo socio, il versamento va fatto per l'intera cifra. Se si tratta di conferimento in beni o crediti, le azioni corrispondenti vanno liberate al momento della sottoscrizione: in pratica, il socio che conferisce beni e/o crediti deve metterli immediatamente a disposizione del costituendo soggetto giuridico, mettendo a disposizione una relazione giurata di stima redatta da un esperto designato dal Tribunale competente;
#infine le parti devono ottenere le autorizzazioni e le condizioni che servono per l'attività dell'azienda.
Il notaio verificherà che tali condizioni sussistono, provvederà a formalizzare la nascita della società e provvederà a trasmettere all'ufficio del Registro delle imprese l'atto e tutta la documentazione entro 90 giorni dalla stipula. L'ufficio competente verificherà atto e documentazione e procederà all'iscrizione della società al Registro, conferendo finalmente al soggetto giuridico la personalità giuridica.

=== Costituzione della società mediante apporti in denaro ===
Abbiamo testé visto che per costituire una società per azioni bisogna versare in un conto corrente vincolato una somma pari al 25% del capitale sociale. Notiamo subito un primo problema: questa operazione va inserita nel libro giornale, tuttavia l'impresa non può inserire in esso delle operazioni che abbiano una data precedente a quella di costituzione. Tuttavia il versamento deve essere effettuato prima della costituzione della società. Il problema viene risolto in questo modo.

Supponiamo che due signori, il signor Wiki Uno e la signora Wiki Due decidano di dare vita ad una nuova società, che chiameremo &quot;Wikiversità S.p.A.&quot;. Essi effettuano il versamento del 25% il 13 gennaio 200X, per una totale di 500 unità di moneta di conto (prescindiamo dal limite minimo imposto dalla Legge per le S.p.A. per semplicità): il signor Wiki Uno conferisce il 50% di questa somma e così pure la signora Wiki Due (si badi che queste somme sono ancora in possesso dei soci costituenti, e che lo rimarrà fino alla costituzione della società). Due settimane dopo essi si recano dal notaio con tutti i documenti in regola, e costituiscono la società. In quella data si apre il libro giornale e si iscrive la seguente operazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c vincolato
|
|Diversi
|align=&quot;right&quot;|500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|250
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|250
|-
|}

Sotto questa scrittura verrà apposta una nota (come è sempre giusto fare per ogni operazione iscritta) in cui descriverà l'operazione e si dirà che essa è stata effettuata il 13 gennaio.

Ora che la società è costituita, bisogna che venga versato tutto il capitale sociale. Ammettiamo che questo avvenga il giorno stesso della costituzione. Avremo quindi:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|
|Capitale sociale
|
|2000
|-
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|
|1000
|
|-
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|
|1000
|
|-
|}

Non è finita, infatti i conti degli azionisti non sono bilanciati, poiché essi devono effettivamente versare il residuo. Avviene quindi la seguente operazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c libero
|
|Diversi
|1500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|750
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|750
|-
|}

Notiamo ora che i conti Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione e Azionista Wiki Due c/sottoscrizione sono bilanciati e che il capitale sociale è interamente versato. Può, tuttavia, accadere che, in sede di redazione di bilancio questo non accada: all'epoca si provvederà dunque a inserire il saldo Dare/+ del conto &quot;Azionisti c/sottoscrizione&quot; all'interno della macroclasse A dello Stato Patrimoniale, alla voce &quot;Crediti verso soci per versamenti ancora dovuti&quot;, ex art. 2424 del Codice Civile italiano.

Per terminare le operazioni di costituzione del soggetto giuridico, dobbiamo provvedere allo svincolo del capitale già versato su un altro conto, spostandolo nel conto intestato alla società e libero da vincoli. Ricordiamo, innanzitutto, che il denaro versato maturerà comunque degli interessi (poniamo al 2% lordo)e che la banca, in qualità di sostituto d'imposta, dovrà trattenere una parte di essi come ritenuta d'acconto (che al momento è del 27% in Italia). Presentando alla banca il certificato di ottenuta iscrizione al Registro delle imprese, essa provvederà ad effettuare tutte le operazioni descritte poco sopra, mentre noi effettueremo la seguente scrittura a libro giornale, ad esempio il 27 marzo:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.03.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|
|
|-
|Banca c/c libero
|
|
|align=&quot;right&quot;|501,22
|
|-
|Erario c/ritenute
|
|
|align=&quot;right&quot;|0,45
|
|-
|
|
|Banca c/c vincolato
|
|align=&quot;right&quot;|500,00
|-
|
|
|Interessi attivi
|
|align=&quot;right&quot;|1,67
|}

=== Costituzione della società mediante apporti in natura ===

Il conferimento di beni in natura apre la porta a molte e diverse problematiche. Cercheremo di simularli attraverso una esemplificazione.

Torniamo indietro: ci sono sempre il signor Wiki Uno e la signora Wiki Due che vogliono costituire la &quot;Wikiversità S.p.A.&quot;. In questo caso, però, il signor Wiki Uno apporterà denaro per un totale di 500, mentre la signora Wiki Due apporterà beni per un totale di 1 500. Il signor Wiki Uno provvede a versare il 25% di sua spettanza in data 13 gennaio 200X, mentre nulla deve la signora Wiki Due che provvederà a versare interamente i beni all'atto della costituzione (il 27 gennaio 200X) e così farà pure il signor Wiki Uno in uguale data per il residuo. Avremo dunque le seguenti scritture contabili:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c vincolato
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|125
|125
|}

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Capitale sociale
|
|align=&quot;right&quot;|2 000
|-
|
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|
|align=&quot;right&quot;|500
|-
|
|
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|
|align=&quot;right&quot;|1 500
|}

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|27.01.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|
|
|-
|Macchinari
|
|
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|Banca c/c libero
|
|
|align=&quot;right&quot;|375
|
|-
|
|
|Azionista Wiki Due c/sottoscrizione
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|
|
|Azionista Wiki Uno c/sottoscrizione
|align=&quot;right&quot;|375
|
|}

Quando avverrà l'iscrizione al Registro delle imprese, provvederemo a svincolare il c/c vincolato secondo la modalità che già conosciamo.

Nel caso in cui in seguito gli amministratori verificassero che gli apporti in natura si rivelano essere di entità differente (per esempio per effetto di una svalutazione), bisognerà provvedere alla proporzionale riduzione del capitale sociale se tale svalutazione diminuisca il valore dei beni per oltre un quinto, a meno che, in ossequio a quanto disposto dall'articolo 2343 del Codice Civile, il socio che aveva apportato i beni non decida di reintegrare il valore perduto oppure di recedere dalla società, maturando il diritto di restituzione dei beni conferiti.

Facciamo un esempio. La signora Wiki Due ha apportato beni per 1 500, tuttavia l'amministratore Wiki Uno ha verificato che il valore di tali conferimenti è di 1 000, dunque di ben oltre un quinto minore. Procede dunque alla svalutazione:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Svalutazione macchinari
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Macchinari
|500
|500
|}

Possono ora verificarsi tre opzioni:
#Riduzione del capitale sociale;
#Reintegro;
#Recesso.

Vediamoli uno per volta:
==== Riduzione del capitale sociale ====
La signora Wiki Due decide di non reintegrare il valore perduto e neppure di recedere. Pertanto bisogna ridurre il capitale sociale nel seguente modo:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Capitale sociale
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Svalutazione macchinari
|500
|500
|}

Le quote azionarie dei due soci risulteranno ridimensionate proporzionalmente: dunque il signor Wiki Uno, che prima deteneva un quarto delle azioni si vedrà aumentare la propria quota fino a un terzo, mentre la signora Wiki Due, che prima della svalutazione possedeva tre quarti della società, adesso ne possiede un po' in meno, i due terzi.

==== Reintegro  ====
La signora Wiki Due decide di apportare 500 unità di moneta di conto. In questo modo il capitale sociale non diminuisce di oltre un quinto e non vi è necessità di riduzione. Vediamo che succede sul libro giornale:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Capitale Sociale (''Sig.ra Due c/titolare'')
|500
|500
|}

==== Recesso  ====
La signora Wiki Due decide di recedere dalla società. Pertanto l'amministratore Wiki Uno dovrà stornare i conferimenti apportati dalla signora Wiki Due e ridurre il capitale sociale. Quindi:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|17.04.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Capitale sociale
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Diversi
|align=&quot;right&quot;|1 500
|
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Svalutazione macchinari
|
|align=&quot;right&quot;|500
|-
|
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;''a''&lt;/div&gt;
|Macchinari
|
|align=&quot;right&quot;|1 000
|}

== Note ==
&lt;references /&gt;</text>
      <sha1>n1ob889kx8x00ky774374ymxv30psxw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Investimenti e disinvestimenti in titoli e partecipazioni</title>
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      <parentid>287439</parentid>
      <timestamp>2026-09-16T12:08:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-50039-15</username>
        <id>46930</id>
      </contributor>
      <comment>/* Titoli */ Rimando errato.</comment>
      <origin>287446</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10968" sha1="rxiosti1ifqi99k12ypovpies8neh4e" xml:space="preserve">{{nota disambigua||[[Investimento]]}}
{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Bilancio}}
Per investimenti in titoli e partecipazioni intendiamo degli impieghi di risorse in '''quote di debito''' e '''quote di capitale''' di altre imprese. Questi impieghi possono essere:
*''duraturi'', e allora si tratta di immobilizzazioni;
*''di breve periodo'' se questi impieghi sono fatti per speculazione.

Più precisamente, il termine ''titolo'' riassume in realtà due tipologie:
*titoli '''obbligazionari''', quando l'impiego è in quote di debito;
*titoli '''azionari''', quando l'impiego è in quote di capitale.

Con il termine ''partecipazioni'' si intende, invece, l'impiego in quote di capitale.

== Titoli ==
Acquistando un titolo, un'azienda si attende una qualche remunerazione periodica che può essere in base alla differenza di valore fra data di acquisto e di vendita (cosiddetto '''capital gain''') oppure nella [https://renditepassive.net/come-costruisco-portafoglio-alto-rendimento/ distribuzione di dividendi], nel caso dei titoli azionari, oppure in base allo stacco di ''cedole'', ovvero degli interessi periodici tipici delle obbligazioni. In alcuni casi, però, un titolo non ha cedole da staccare: in questa tipologia di titoli, denominati '''zero coupon''', la remunerazione è fissa, come nel caso dei [[w:Buono ordinario del tesoro|BOT]].

:'''Esempio:''' ''Acquistiamo il primo marzo un BOT trimestrale del valore nominale (ovvero il valore di rimborso) di 1 000 euro, pagandolo 995 euro. Dopo tre mesi, ci viene rimborsato il valore nominale, ovvero l'intero capitale che abbiamo investito più 5 euro, che rappresentano il frutto dell'investimento.''

In altri casi, accade che l'interesse (ovvero il frutto dell'operazione) sia calcolato periodicamente in quantità prestabilite.

Un titolo può essere emesso:
*'''sotto la pari''', quando il valore di emissione è inferiore al valore nominale;
*'''alla pari''', quando il valore di emissione è uguale al valore nominale;
*'''sopra la pari''', quando il valore di emissione supera quello nominale (di solito si evita, per ovvi motivi psicologici, l'emissione di questo tipo di titoli).

Questa distinzione è importante, in quanto:
*nel primo caso, l'interesse reale è superiore a quello contrattuale;
*nel secondo caso, l'interesse reale è uguale a quello contrattuale;
*nel terzo caso, l'interesse reale è inferiore a quello contrattuale (ecco perché le emittenti evitano questo tipo di emissione).

Le obbligazioni possono essere acquistate anche in tempi diversi dall'emissione e alcune sono anche negoziate alla Borsa Valori.

All'epoca della quotazione, le obbligazioni vengono offerte a '''corso secco''', ovvero senza conteggiare gli interessi. Quando invece un'obbligazione viene scambiata dopo la sua emissione, si è soliti corrispondere non solo il valore del capitale impiegato, ma anche gli interessi maturati sino alla transazione. In quel caso, si dice che la negoziazione avviene a '''corso tel quel'''.

=== Titoli obbligazionari ===
Le [[w:obbligazione (finanza)|obbligazioni]] possono essere:
*a tasso fisso;
*indicizzate;
**a tasso variabile;
**a rimborso indicizzato;
**a indicizzazione fissa;
*convertibili;
*cum warrant;
*senza cedola;
*[[w:drop lock|drop lock]];
*[[w:bull and bear|bull and bear]];
*in valuta.

=== Titoli del debito pubblico ===
*'''[[w:Buono Ordinario del Tesoro|Buono Ordinario del Tesoro]]''';
*'''[[w:Certificato di credito del tesoro|Certificato di credito del tesoro]]''';
*'''[[w:Buono del Tesoro Poliennale|Buono del Tesoro Poliennale]]''';
*'''Certificato di credito a sconto''', ovvero titoli con un forte sconto all'emissione associate a una cedola legata al rendimento netto dei BOT (quindi convivono le caratteristiche proprie degli zero coupon e dei titoli indicizzati);
*'''[[w:Certificato del tesoro zero-coupon|Certificato del tesoro zero-coupon]]'''.

== Partecipazioni ==
Le partecipazioni sono rappresentate da azioni, ovvero da quote fondamentali del capitale sociale di una azienda. Sono emesse da società per azioni o da società a responsabilità limitata. In quest'ultimo caso, tali azioni possono essere emesse solo alla pari o sopra la pari, ovvero in sovrapprezzo.

La sottoscrizione di azioni comporta il versamento del prezzo di emissione all'emittente, ricevendo in cambio alcuni diritti, che possono essere così elencati:
*diritto di voto, ovvero la partecipazione alle decisioni della società;
*diritto di recesso, ovvero la possibilità di liberarsi dal vincolo contrattuale e di ottenere il rimborso;
*diritto di partecipazione agli utili;
*diritto alla quota di liquidazione;
*diritto di opzione, ovvero di potere sottoscrivere nuove azioni della società in caso di aumento di capitale entro il limite della percentuale già detenuta.

Le azioni, a differenza delle obbligazioni, non hanno scadenza. La remunerazione attesa dalle azioni consiste nei dividendi o nella differenza fra prezzo di vendita e prezzo di acquisto ([[w:capital gain|capital gain]]).
=== Titoli azionari ===
*'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni ordinarie|Azioni ordinarie]]''';
*'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni privilegiate|Azioni privilegiate]]''';
*'''[[w:Azione (finanza%)#Azioni di risparmio|Azioni di risparmio]]''';
*'''Azioni di godimento''': titoli assegnati a titolo gratuito ai detentori di azioni ordinarie, che partecipano agli utili in base al tasso di interesse legale e in caso di liquidazione vengono rimborsate dopo l'avvenuto rimborso delle altre categorie di titoli;
*'''Partecipazione in cooperativa''': introdotte nel 1992, si tratta delle quote di partecipazione in società cooperative, senza diritto di voto, contraccambiato da privilegio nella distribuzione degli utili.

== Rilevazioni contabili ==
=== Acquisto e vendita di titoli &quot;zero coupon&quot; ===
Acquistiamo BOT per un valore nominale di 1 000, sborsando 990, con commissioni bancarie pari a 5. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|05.06.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|BOT Trimestrali
|
|Banca c/c
|995
|995
|}

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|05.09.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c
|
|Diversi
|1 000
|
|-
|
|
|Bot trimestrali
|
|995
|-
|
|
|Interessi attivi su BOT trimestrali
|
|align=&quot;right&quot;| 5
|}

=== Acquisto e vendita di titoli obbligazionari a reddito fisso ===
Acquistiamo il primo maggio 100 obbligazioni dal valore nominale di 100, per un totale di 10 000. La cedola semestrale è di 3, staccate ogni primo aprile e ogni primo ottobre, il corso secco è di 98. L'acquisto avviene a corso tel quel, quindi:

* Valore a corso secco: 98 * 100 obbligazioni = 9 800;
* Interessi maturati: 0,5 * 100 obbligazioni = 50;
* Valore a corso tel quel: 98,5 * 100 obbligazioni = 9 850.

Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|01.05.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|
|Banca c/c (SP)
|
|9 850
|-
|Obbligazioni (SP)
|
|
|9 800
|
|-
|Cedole in corso di maturazione (CE)
|
|
|align = &quot;right&quot;| 50
|
|}

Il primo ottobre avviene il primo stacco delle cedole:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|01.10.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c (SP)
|
|Interessi attivi su obbligazioni  (CE)
|300
|300
|}

Il 1 dicembre decidiamo di vendere 50 obbligazioni. Il corso tel quel per obbligazione è pari 99.

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|01.12.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c (SP)
|
|Diversi
|4 950
|
|-
|
|
|Obbligazioni (SP)
|
|4 900
|-
|
|
|Interessi attivi su obbligazioni (CE)
|
|align=&quot;right&quot;| 50
|}

Il primo febbraio 200X+1 decidiamo di vendere le azioni rimanenti. Nel frattempo, però, il valore dell'obbligazione a corso secco è sceso da 98 a 97. Per questo motivo dovremo registrare una perdita su titoli.

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|01.02.200X+1
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|
|Diversi
|
|
|-
|Banca c/c (SP)
|
|
|4 950
|
|-
|Perdite su titoli (CE)
|
|
|align=&quot;right&quot;| 50
|
|-
|
|
|Obbligazioni (SP)
|
|4 900
|-
|
|
|Interessi attivi su obbligazioni (CE)
|
|align=&quot;right&quot;| 100
|}

=== Acquisto e vendita di titoli azionari ===
Acquistiamo il primo giugno 1 000 azioni della società &quot;Wikisource S.p.A.&quot; al costo per azione di 72, per un totale di 72 000. Vediamo come segnare queste operazioni a libro giornale:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|01.03.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Azioni Wikisource S.p.A. (SP)
|
|Banca c/c (SP)
|72 000
|72 000
|}

Il venti giugno avviene lo stacco dei dividendi: 0,50 per azione, per un totale di 500.

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|20.06.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c (SP)
|
|Dividendi su azioni Wikisource S.p.A. (CE)
|500
|500
|}

Il 13 luglio decidiamo di vendere la metà delle azioni in nostro possesso. Il prezzo di mercato è sceso da 72 a 70, per questo dovremo registrare una perdita su titoli:

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|13.07.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Diversi
|
|Azioni Wikisource S.p.A. (SP)
|
|36 000
|-
|Banca c/c (SP)
|
|
|35 000
|
|-
|Perdite su azioni Wikisource S.p.A. (CE)
|
|
|align=&quot;right&quot;| 1 000
|
|}

Il 24 agosto decidiamo di vendere le azioni rimanenti: le azioni valgono 75 l'una, pertanto registriamo un utile su azioni.

{|style=&quot;border:black 2px solid;&quot;|
|
|24.08.200X
|
|
|
|-
|'''dare'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''''a'''''&lt;/div&gt;
|'''avere'''
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;+&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;'''&lt;nowiki&gt;-&lt;/nowiki&gt;'''&lt;/div&gt;
|-
|Banca c/c (SP)
|
|Diversi
|37 500
|
|-
|
|
|Azioni Wikisource S.p.A. (SP)
|
|36 000
|-
|
|
|Utili su titoli (CE)
|
|align=&quot;right&quot;| 1 500
|}</text>
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    </revision>
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    <title>Dipartimento:Scuole/Servizi/Biblioteca/Programmi scolastici italiani</title>
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        <username>~2026-50039-15</username>
        <id>46930</id>
      </contributor>
      <comment>/* */ Non era in argomento</comment>
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{{materia dl}}

[[Decreto Gelmini]]

{{cassetto|Programmi ministeriali del liceo artistico|

==== [[Liceo artistico - Architettura e ambiente|Programmi ministeriali del liceo artistico indirizzo architettura e ambiente]]====


*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Chimica dei materiali]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Discipline geometriche]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Discipline grafiche e pittoriche]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Discipline plastiche e scultoree]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Filosofia]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Italiano]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Lingua straniera]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Matematica]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Scienze motorie]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Scienze naturali]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Storia dell'arte]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Storia e geografia]]
}}


*[[Programma ministeriale disegno nei licei scientifici]]
*[[Programmi Liceo artistico]]
*[[Programmi dei licei]]
*[[Liceo classico - Riforma Gelmini]]
*[[Liceo classico europeo - Approfondimenti]]
*[[Liceo delle scienze umane - Orari]]
*[[Liceo linguistico - Orari]]
*[[Liceo scientifico - Storia e orari]]

*[[Programmi di lingua e letteratura straniera]]
*[[Programmi filosofia - licei]]
*[[Programmi lingua straniera - licei]]
*[[Programmi lingua straniera scuola media]]
*[[Programmi matematica - licei]]
*[[Programmi ministeriali Religione alle superiori]]
*[[Programmi ministeriali di fisica]]
*[[Programmi ministeriali di fisica III]]
*[[Programmi ministeriali di fisica IV]]
*[[Programmi ministeriali geografia]]
*[[Programmi ministeriali geografia economica]]
*[[Programmi ministeriali per l'istituto tecnico commerciale]]
*[[Programmi ministeriali pianoforte]]

*[[Programmi ministeriali sperimentazione linguistica e pedagogica]]
*[[Programmi scienze motorie - licei]]
*[[Programmi scienze naturali - licei]]
*[[Programmi storia - licei]]
*[[Programmi storia dell'arte - licei]]

=== Programmi ministeriali del liceo scientifico ===

==== [[Liceo scientifico - Scienze applicate|Programmi ministeriali del liceo scientifico indirizzo scienze applicate]]====

[[Categoria:Programmi scolastici italiani]]
[[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Scuole]]</text>
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      </contributor>
      <comment>/* */ Spostamento parte I</comment>
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{{materia dl}}

[[Decreto Gelmini]]

{{cassetto|Programmi ministeriali del liceo artistico|

==== [[Liceo artistico - Architettura e ambiente|Programmi ministeriali del liceo artistico indirizzo architettura e ambiente]]====


*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Chimica dei materiali]]

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*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Matematica]]

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*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Scienze naturali]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Storia dell'arte]]

*[[Liceo artistico - Architettura e ambiente/Storia e geografia]]
}}


*[[Programma ministeriale disegno nei licei scientifici]]
*[[Programmi Liceo artistico]]
*[[Programmi dei licei]]
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*[[Liceo linguistico - Orari]]
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*[[Programmi ministeriali di fisica III]]
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*[[Programmi ministeriali geografia]]
*[[Programmi ministeriali geografia economica]]
*[[Programmi ministeriali per l'istituto tecnico commerciale]]
*[[Programmi ministeriali pianoforte]]

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*[[Programmi scienze motorie - licei]]
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=== Programmi ministeriali del liceo scientifico ===

==== [[Liceo scientifico - Scienze applicate|Programmi ministeriali del liceo scientifico indirizzo scienze applicate]]====

[[Categoria:Programmi scolastici italiani]]
[[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Scuole]]</text>
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        <username>~2026-50039-15</username>
        <id>46930</id>
      </contributor>
      <comment>/* Programmi ministeriali del liceo scientifico */ Spostamento parte II: raccolta nel tema</comment>
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[[Decreto Gelmini]]

{{cassetto|Programmi ministeriali del liceo artistico|

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=== Programmi ministeriali del liceo scientifico ===

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*[[Liceo scientifico - Storia e orari]]

[[Categoria:Programmi scolastici italiani]]
[[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Scuole]]</text>
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    <title>La Letteratura latina nell'Età di Cesare (superiori)</title>
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      <contributor>
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      <comment>Corretto: &quot;Le denominazioni&quot;</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31432" sha1="fa6i5wqjibz8eb1nuohbm1dlood58lz" xml:space="preserve">{{risorsa|tipo = lezione|materia1 = Letteratura latina per le superiori 2|avanzamento = 100%}}

[[File:Rimini083.jpg|miniatura|sinistra|Giulio Cesare]]

Sallustio nel capitolo 11 del ''De coniuratione Catilinae'' dà la colpa dell'inizio del declino di Roma alla condotta sfrenata e dissoluta avuta dall'esercito di Silla a contatto con la infrollita civiltà dell'Oriente. Secondo una errata tradizione si è voluto per forza vedere nell'età del I secolo a.C. l'età della decadenza di Roma collegandola agli eventi delle guerre civili.
In realtà sotto i vari colpi dati alla stabilità della Repubblica inferti da Mario, Silla, Catillina, Cesare e Augusto, l'aristocrazia con la chiusura compiuta in ogni modo possibile per non permettere alla plebe l'accesso nelle sfere di potere portò comunque al mantenimento di un ideale di raffinata civiltà permettendo a Roma di adeguarsi alla nuova caratteristica di città egemone. L'espansione territoriale, la necessità di una riforma militare e il dovere di far entrare nelle file del potere anche questi nuovi soldati crearono a Roma una nuova casta autonoma e gelosa del suo potere. Nel frattempo Roma iniziava a compiere la sua più importante opera, che è quella della civilizzazione dell'Occidente.
Accanto a tutti questi moti sociali si verificano anche moti mistici, primo fra tutti quello stoico di Posidonio che predicava una esigenza di religiosità più intima di quella del passato. Dall'altro lato ci sono le spinte filosofiche nel campo culturale, soprattutto dell'epicureismo che troverà il suo apice in Lucrezio e nelle scuole campane di Sirone, ma anche correnti innovatrici come l'atticismo nell'oratoria, il neoterismo nella poesia, l'antitradizionalismo nella vita politica.
L'individualismo ha il suo massimo splendore in questa epoca, dato che le crisi politiche sfociano nel culto delle grandi individualità e nell'ultimo periodo della dittatura di Cesare e nelle manifestazioni della monarchia di Antonio in Asia e in Egitto si colorerà delle forme del dispotismo orientale. Ma questo culto riesce ad infondere nelle opere dell'ingegno un'impronta di originalità e il respiro possente di un valore universale.
E proprio su questi rinnovamenti sociali e culturali si innestano i rinnovamenti anche del mondo letterario. I modelli greci saranno rielaborati in maniera molto più originale e vigorosa di prima. In tale spirito di rinnovamento il vecchio e il nuovo si contrasteranno tra loro anche in un medesimo autore. Varrone Reatino, mentre con la sua opera antiquaria si conferma il sunto della civiltà romana tradizionale, con le ''Saturae Menippeae'' analizza la crisi morale contemporanea in forma derivata dalla tradizione greca. Cicerone è il massimo difensore della politica e cultura dell'età precedente ma allo stesso tempo esegue questa difesa traendo spunti e teorie dalla civiltà ellenica.
Tutte le massime figure di quest'età letteraria sono invase da siffatta doppia personalità. Cesare nell'aristocratica nudità del suo dettato sembra rimarcare l'idea catoniana dell'attenersi alle cose senza gli svolazzi espressivi, ma è lui stesso a creare la letteratura memorialistica in cui esposizione e critica dei fatti creano una superficie fascinosamente increspata anche se sotto un'apparenza di distacco oggettivo. Sallustio rivendica la severità della natia Sabina, ma nella sua opera storiografica apre le porte alla dottrina ellenistica. Lucrezio si fa banditore della più spregiudicata dottrina ellenistica, con l'intento di ridare la serenità agli animi, ma intanto assurge alle vette della più alta poesia proprio quando esprime con abissale profondità il loro dramma. Catullo segue i precetti d'una poetica raffinatissima, ma in essa cala il magma incandescente della sua passionalità senza freni.

== Varrone Reatino ==

M. Terenzio Varrone nacque a Reate (Rieti) nel 116 a.C. e morì quasi monagenario nel 27 a.C.. Ebbe come maestri il grammatico Elio Stilone e il filosofo Antioco d'Ascalona. Nato nella regione che è fortemente legata all'austerità e al ricordo passato anche la sua opera sarà segnata dal bisogno di perpetuare il ricordo dell'austero passato che la trasformazione di questi tempi sembra distruggere. Così nella scena politica si schierò con chi appariva depositario delle tradizioni. Tuttavia all'inizio fu seguace di Pompeo che segui nella guerra contro Sertorio, nella guerra piratica e forse nella terza guerra mitridatica. Da Pompeo sembrò staccarsi, come Cicerone, quando questi si accostò a Cesare (una delle Saturae Menippeae, il Tricáranos (il mostro a tre teste) metteva in ridicolo il primo triumvirato. Allo scoppio della guerra civile tra Cesare e Pompeio fu a capo delle truppe pompeiane nella Spagna Betica ma nel 49 a.C., abbandonato da buona parte delle truppe, si arrese a Cesare, il quale lo propose alla direzione della biblioteca pubblica che intendeva istituire a Roma, la prima del genere. Fu però, a causa del suo pompeianismo e le sue ricchezze, esposto alla proscrizione del secondo triumvirato ma un partigiano di Antonio, Fufio Caleno, lo salvò e Ottaviano finì col graziarlo.
Fu in contatto con i principali rappresentanti della cultura del suo tempo: dedicò opere a Cesare, Pomepio, Attico e Cicerone. Quest'ultimo lo scelse come interlocutore, insieme con Attico, dei cosiddetti ''Academica posteriora'', il cui primo libro volgarmente è intitolato ''Varro''. In esso Varrone sostiene le idee del suo maestro Antioco d'Ascalona, il platonico convertito allo stoicismo.
Varrone fu un poligrafo prodigioso. Un catalogo incompleto, tramandato da S. Girolamo, porta all'ingrosso sue 48 opere ma mettendo insieme varie sue testimonianze le sue opere abbracciano all'incirca 74 opere in 620 libri. Esse si possono grosso modo dividere in opere storiche e antiquarie, opere di storia letteraria e linguistica, opere più generiche didascaliche, opere di creazione artistica. In ognuna di queste categorie emerge una o più opere intorno alle quali ruotano opere minori.
Nella categoria delle opere storiche e antiquarie emerge forse l'opera più monumentale di Varrone: i 41 ''Antiquitatum libri'', divisi in 25 ''rerum humanarum'' e 16 ''rerum divinarum'' (nelle quali vi erano le più minute conoscenze sulle antichità profane e sacre di Roma, ripartite in categorie).
Tra le opere di storia letteraria e linguistica emergono le ''Immagines'' in quindici libri. Un opera singolare che sotto i ritratti di 700 uomini celebri è collogato un epigramma laudativo e un breve riassunto della vita e, all'occasione, delle opere. Gli epigrammi potevano essere opere di Varrone o di autori precedenti. In questa opera Varrone rinuncio' al nazionalismo affiancando celebri personaggi della Grecia a uomini illustri di Roma. Opere minori più strettamente storico-letterario sono il ''De poetis'' (sul cammino inaugurato da Santra) di cui ci sono rimasti frammenti e testimonianze e che sarà da modello per Svetonio.
Tra le opere di carattere più strettamente linguistico occupano il primo posto i 25 libri ''De lingua latina''. Di essi ci sono rimasti incompleti i libri 5-10. In essi è contenuta la difesa della ricerca etimologia e dell'analogia. Le etimologie varoniane sono proverbiali per la loro fantasiosa arbitrarietà, tuttavia l'opera è una miniera di notizie sulla lingua latina e di frammenti di antichi autori.
Nel gruppo delle opere didascaliche emergono i nove libri ''Disciplinarum'' e i tre ''De re rustica''. I primi sono una enciclopedia e a ciascun libro è dedicata una delle arti liberali (grammatica, dialettica, retorica, geometria, aritmetica, astronomia, musica, medicina e architettura). Da qui deriva, con qualche lieve modifica, il canone medioevale dell'arti liberali. È l'opera in cui più si rileva il carattere utilitaristico e peripatetico dell'arte varroniana.
Il ''De re rustica'', opera della tarda vecchiaia, e fu suggerita a Varrone dall'acquisto fatto dalla moglie Fundania di un podere. È l'unica opera pervenutaci quasi integralmente e, in forma dialogica, tratta della cerealicultura nel primo libro, della zootecnica nel secondo, delle api e degli animali da cortile e da riserva nel terzo. Virgilio riprenderà i medesi argomenti (eccetto gli animali da cortile e da riserva) nelle ''Georgiche''. Assai significativo per comprendere lo spirito di Varrone con cui compose l'opera è il proemio in cui non vi è l'invocazione alle Muse ma un lungo elenco di dei protettori dell'agricoltura, i dodici dei Consenti (si credeva formassero il consiglio consultivo di Giove), Giove e Tellùre, il Sole e la Luna, Cerere e Bacco, Robigo e Flora, Minerva e Cerere, Linfa e Buon Evento.
Opere di creazione artistica possono essere considerati i 76 libri di ''Logistorici'' e i 150 di ''Saturae Menippeae''. I primi sono una fusione, come dice lo stesso titolo, tra ''lògos'' (pensiero, riflessione) e ''historia'' (ricerca storica). Ogni libro trattava di un argomento di carattere morale incentrandolo in un personaggio che ne rappresentava l'esempio più cospicuo: per esempio ''Cato de liberis educandis'' e ''Marius de fortuna''. Non si sa se fu Varrone a seguire l'esempio di Cicerone con i suoi trattatelli, come ''Cato maior de senectute'' e ''Laelius de amicitia'', o viceversa.
Ma l'opera più caratteristica furono sicuramente le ''Saturae Menippeae''. In esse tornò alla forma della ''satura'' enniana ma travasandovi i contenuti e gli intendimenti di quella luciliana con contenuti didascalici e moralistici come è da sua mentalità di uomo all'antica. Alunno dello storico Antioco di Ascalona, trasferì in queste opere, la tendenza di vita, propria delle correnti più popolari dello stoicismo, ad adeguarsi alle concezioni e ai modi della setta dei cinici: da qui il nome dell'opera dal Menippo di Gàdara che nel secolo III a.C. aveva elaborato principi morali e velleità della sua setta in forma letteraria analoghe alla ''satura'' romana. Dagli esempi della diatriva e della satira cinica l'opera varroniana eredita scene e spunti (raffigurazioni di città simboliche, fantasiosi viaggi in paesi straordinari ecc.) che ritroveremo nell' ''Apocolocyntosis'' di Seneca, nel ''Satyricon'' di Petronio e nell'opera del greco Luciano.
Principale preoccupazione dell'autore è il commento acre e sconsolato alla vicende politiche della sua età e l'analisi, non meno sconsolata, della decadenza morale dei suoi contemporanei. Essa avviene in una infinità di varietà di tecniche: ora prendendo in esame la figura di un celebre personaggio per trattare una determinata questione morale come nell' ''Agatho'' per l'amore; ora ci si ispira in modo più o meno buffonesco a un evento dell'antica poesia come nell' ''Armorum iudicium''; ora ci si ispira da luoghi tradizionali di corruzione come Baia; ora, sfruttando un tipico spunto della letteratura cinica, l'autore analizza se stesso come scisso in due persone (''Bimarcus'') o si oblia raffigurando una immaginaria città secondo i suoi gusti (''Marcopolis''). Fantasiosa anche la scelta dei titoli in cui si alterna greco e latino.
Sotto l'aspetto linguistico, nonostante i frammenti ci presentano la solita lingua incondita miscugliosa d'arcaismi, popolarismi e ricerche preziose, non è forse da respingere l'ipotesi che Varrone, per il tramite di Sisenna, avrebbe ormeggiato il fare sentenzioso, nervoso, saltellante dell'asianesimo di Egesia.
Non mancano nei frammenti pervenutici felici movenze espressive ma Varrone si muove sempre al di sopra del terreno dei luoghi comuni e difficilmente riesce a fecondarlo cun un soffio di vera poesia. Non sembra conoscere il sorriso e la grazia che raggentiliscono e spesso fanno scendere più in profondo. Gli manca il gusto e la capacità di caratterizzare come invece farà magistralmente più avanti Petronio.
Varrone è il primo grande sistematore delle tradizioni culturali di Roma e la sua erudizione e fecondità rappresentano ancora oggi un prodigio ma proprio la mole straordinaria delle sue opere non gli permise di dominare a assimiliare le nozioni in un ripensamento originale. Nell'immenso fluire d'idee di quest'epoca lui ravviso più viva l'esigenza dell'eciclopedismo empirico insito nel tardo e degradato peripatetismo. La sua poesia è aridita in satira disordinata, la cultura è erudizione schedatrice, la storia è ricerca antiquaria che sfocia nella biografia contesta di dati esteriori. L'unica sua eredità è data dall'anelito a sistemare per gli usi quotidiani le dottrine che servono a illuminare l'uomo sul mondo in cui vive.
L'influenza di Varrone su tutti gli scrittori che si occuparano di cose romane fu enorme: Virgilio se ne servì per l' ''Eneide''; gli scrittori cristiani, Tertulliano, Lattanzio, S. Agostino lo posero largamente a frutto. Sebbene alle soglie del Medioevo la conoscenza dell'opera sua non fosse più vasta di quella che abbiamo oggi, pure ancora Francesco Petrarca lo poneva con Cicerone e Virgilio nella triade dei massimi rappresentanti della civiltà di Roma.

== I Mimografi ==

Se l'età di Silla per il teatro comico latino era stata l'età dell'atellana, l'età di Cesare fu quella del mimo.
La parola ''mimus'' è di origine greca, e in Grecia indicava un bozzetto animato che rappresentava la vita quotidiana fissa in un tipo. Sofrone di Reggio, Teachito, Eroda, sono i più celebri rappresentanti di questa forma d'arte che per la sua brevità e assenza di vera azione drammatica è un ''quid medium'' fra lirica e teatro.
Nel mondo latino il mimo assunse un aspetto di crudo verismo favorito dalla tradizione indigena meridionale della commedia di Epicarmo e del mimo di Sofrone, non c'è del contatto con il teatro istrionesco d'origine etrusca, col fescennino e con l'atellana.
Anche alcune scene di Plauto sono da considerarsi autentici mimi inseriti nel tessuto un po' frusto dei modelli attici.
Dalle testimonianze che ci sono pervenute esistevano vari tipi di mimo: recitato, cantato e danzato. Proprio questo ultimo tipo farà concorrenza alla ''fabula saltica'' e accelererà la degenerazione del mimo verso la licenza favorita dal fatto che è l'unica azione scenica dove potevano recitare anche donne. La parola dialogata permase tuttavia, vista la parentela con l'atellana e l'utilizzo come intermezzo e di comica finale, ma nella decadenza del teatro comico svolse con incondita e sfrenata libertà quegli spunti di italico aceto che Plauto aveva sapientemente inserito nella sua palliata.
Era il sintomo della decadenza del teatro infatti in età augustea il dialogo passerà nelle ecloghe virgiliane di cui si ha notizia il loro utilizzo anche sulla scena, o nell'eta imperiale nelle tragedie di Pollione, di Vario e di Pomponio Secondo.
I due principali mimografi dell'età di Cesare sono il romano Decimo Laberio e il liberto Publilio Siro che come ci dice il nome era originario dalla Siria. Laberio, che sembra contemporaneo di Cicerone, morì a Pozzuoli nel 43 a.C. secondo San Girolamo. La singolarità del suo lessico ha fatto in modo che i grammatici ci tramandassero un centinaio di suoi versi oltre a numero titoli dei suoi mimi mentre di Publilio possediamo solo due titoli.
La plebea prolissità, biasimata da Orazio, si univa in lui ad uno spirito aggressivo e mordace, anche contro personaggi in vista del momento: non per questo il mimo si ricollega all'istinto parodico della vecchia commedia di tipo aristofanesco. Macrobio narra che Cesare si è vendicato obbligandolo a recitare un mimo davanti a se in concorrenza con Publilio e premiando quest'ultimo. Il prologo della recita di Laberio esprimeva il dolore del poeta che divenuto ormai cavaliere romano era costretto ad umiliarsi come istrione contro un ex-schiavo da cui prevedeva di essere sconfitto e lo fa con una alte amarezza che stride con la plebea trivialità e mordacità dell'arte di lui. Cesare tuttavia gli ridonò l'anello distintivo dell'ordine equestre che aveva perduto accettando di salire sulla scena e gli regalò una grossa somma di danaro. E Publilio non fu da meno nel manifestare al vecchio emulo la sua deferenza.
La novità che Publilio recava nel mimo era un profondo senso di umanità e una semplicità e compostezza di linguaggio sorprentende per il genere del mimo: tutte doti che dovevano essere apprezzate dal raffinato Cesare e costituivano uno dei tanti segni della scissione tra gusto dei plebei e delle classi colte e che farà d'ora in poi della letteratura latina una delle tipiche manifestazioni di cultura aristocratica e selezionata. Non stupisce che Publilio sia stato ammirato da uomini come Seneca e che, come il commediografo Cecilio Stazio, la sua fortuna ai versi di contenuto morale (in età imperiale si costituì una vera e propria raccolta delle massime publiliane). Nel cap. 55 del ''Satyricon'' di Petronio, Trimalchione recita ai suoi convitati un frammento contro il lusso, dicendo che ne è autore Publilio.
Nella prima metà del primo secolo sembra essere vissuto Cn. Mazio, autore, oltre che di una versione dell' ''Iliade'', di mimiambi sul gusto di Eroda. Gellio ne loda la lingua. Dell'una e dell'altra opera ci sono giusti dei frammenti.

== Cornelio Nepote ==

[[File:Cornelio Nepote.jpg|miniatura|destra|Cornelio Nepote]]

Ignoriamo il ''praenomen'' di Cornelio Nepote e la sue date di nascita e di morte. Da Plinio il vecchio sappiamo che fu ''Pati accola'', morto sotto il principato di Augusto e di costumi illibati.
Originario della Gallia Cisalpina a Roma fu vicino e amico di uomini della sua stessa terra e che formavano il nerbo del cenacolo dei ''poetae novi''. Catullo gli dedicò il ''Liber'' o la serie delle ''nugae'' ed egli stesso compose ''faciles versus''. Fu anche amico di Cicerone e di Attico dei quali scrisse lunghe biografie.
Delle sue opere ci è pervenuta solo parte del ''De viris illustribus''. Le altre sue opere (oltre i ''Chronica'', un libretto in cui si distingueva il ''litteratus'' dall' ''eruditus'', una collana di ''Exempla'' moraleggianti in cinque libri, un'opera geografica, e due biografie, una di Cicerone in vari libri e l'altra di Catone poi rifusa nel ''De viris illustribus'') sono andate perdute compresi i ''Chronica'' in tre libri lodati da Catullo. Essi, forse un corrispettivo latino dei cronica grechi di Apollodoro, sono forse la prima opera di stistemazione cronologica della storia universale di Roma prima di Varrone e di Attico.
Il ''De viris illustribus'' fu composto per categorie, disposte ciascuna in una coppia di libri, il primo dedicato agli illustri rappresentanti greci il secondo agli illustri rappresentanti latini. Del complesso di categorie (ra, generali, storici, oratori, ecc.) ci sono rimasti il libro dedicato ai generali stranieri, due biografie del libro dedicato agli storici latini, Catone il Censore (riassunto di quella già pubblicata a parte) e Attico (che abbiamo nella seconda redazione più ampia pubblicata dopo la morte dell'amico).
Ad Attico sembra dedicata tutta l'opera e non solo il libro dedicato ai generali stranieri come sembrerebbe dai manoscritti.
La biografia di Annibale è ispirata alla corrente scolastica filo-annibalica.
Non si può supporre che Cornelio abbia scritto queste sue biografie a uso didattico per le scuole. Tuttavia dalla loro composizione trapela l'uomo di integrità dei costumi dipinto da Plino il vecchio. Di ogni personaggio è registrato scrupolosamente tutto cio' che serve a renderlo esemplare. L'intento di edificazione morale è dimostrato anche dal porre in parallelo, da parte della struttura dell'opera, Greci e Romani che poi sarà ripreso da Plutarco, sicuramente con molta più maestria, un secolo dopo. Con Cornelio Nepote, quindi, la biografia si adegua a pieno agli scopi moralistici della biografia ellenistica e questo avviene proprio in un periodo dove anche la storiografia, impersonata da Sallustio, si avvicina alla biografia e alla sua sensibilità moralistica e del culto della personalità. E dello stile sallustiano si ravvisano le tracce nella prosa di Cornelio al quale però, come tutti gli aspetti di questo scrittore mediocre, non ha una personalità ben definita, e indulge contemporaneamente anche a coloriti ciceroniani, principalmente nella lunghezza, spesso smisurata, dei periodi.

== I &quot;Poetae Novi&quot; ==

=== Il cenacolo ===

L'introduzione della poesia amorosa è sicuramente il segno più grande della trasformazione dei tempi a Roma. Un suo albore è stato già riscontrato nel circolo di Lutazio Catulo ma è proprio in questo periodo storico che si sviluppa un gruppo di giovani poeti dediti a questo genere. Essi sono così artisticamente simili che si può quasi parlare di membri di un cenacolo poetico.
Si cerca, in realtà, di contestare questa visione unitaria e quindi come se davvero ci fosse a Roma una corrente letteraria uniforme considerando casuale la presenza in questo periodo di autori così simili. Tuttavia, il fatto che Cicerone mostri un avversione generale verso questi giovani poeti, che tra loro ci sia una fitta relazione amichevole come dimostrato dai frammenti e dalle opere e come tutti provenissero dalla Gallia Cisalpina legittima il pensare che sia davvero un indirizzo artistico consapevole ed unitario.
Le denominazioni di νεώτεροι e di ''poetae novi'', che oggi usiamo per indicarli, sono termini spegiativi coniati ed usati da Cicerone in un passo di un'epistola ad Attico e in uno dell' ''Orator''.
Gli ideali poetici di questi giovani poeti, come abbiamo potuto ricavare da Catullo e da frammenti di altri, sono volti all'abbandono dell'epos di tipo omerico ed enniano, la composizione di ''brevia carmina'' e di poemetti dedicati a celebri casi d'amori del mito (che oggi chiamimo ''epilli''), la tendenza ad esprimere o apertamente o tramite il velo del racconto mitologico i propri sentimenti soprattutto quelli amorosi, lo sfoggio dell'erudizione e la cura scrupolosa della tecnica metrica e dell'eloquio.
La semplice enunciazione di questi ideali fa capire come fossero vicina alla poesia ellenistica e particolarmente a quella di Callimaco.
A cio' contribui l'opera del poeta greco Partenio di Nicea, ultimo epigono dell'elegia ellenistica, che condotto a Roma come schiavo fu amico di molti ''poetae novi'', maestro di Virgilio e Cornelio Gallo.
Il volger le spalle agli autori passati è dettato dal voler collegare la vita Romana a quanto ancora la cultura dell'Oriente ellenizzato potesse offrire.
Essi, nonostante tradissero gli ideali conservatori, furono in politica quasi tutti conservatori e avversi a Cesare. Ma loro, indirettamente, gli diedero una gran mano dato che l'intento di Cesare era proprio quello di rendere la tradizione Romana quanto più mescolata a quella Greca e Orientale in un ottica di universale missione e dominio di Roma.
Una vicinanza di sentimenti legava il neoterismo romano all'atticismo in retorica e all'epicureismo in filosofia.
Il primo per la poetica stringata, puntuale e sobria che recava in sè l'esperienza di Callimaco.
Il secondo per l'esperienza edonistica e legata ala seduzione dell'erotismo ellenistico.
È sbagliato però porre i tre movimenti sotto una stessa rigida equiparazione. Si tratta di simpatie e di spunti per le loro composizioni.
Questi poeti crearono il principale centro di raccolta della vita letteraria di Roma e riuscirono a superare anche la reazione classicistica e moralistica del circolo di Mecenate. Saranno infatti richiamati, in età imperariale, ogni volta che ci sarà un richiamo alla poesia ellenizzata. In realtà quello che va segnalato è che il gusto, o meglio il feticismo, per la pura tecnica supera l'esternazione dei sentimenti dei singoli poeti (da quanto ne sappiamo essa era confinata nel solo ambito della poesia epigrammatica). Ugualmente i carmi di Catullo e di Calvo, proprio per questa rivoluzione nel gusto e nella tecnica, contribuiscono a giustificare l'orgogliosa affermazione di Quintiliano sul valore dell'elegia romana di fronte alla greca.

=== I componenti del cenacolo ===

Dei ''poeti novi'' solo Catullo ci ha trasmesso sue opere. Solo titoli e pochi frammenti abbiamo di P. Valerio Catone, Marco Furio Bibaculo, Varrone Atacino, C. Licinio Calvo e C. Elvio Cinna.
P. Valerio Catone, della Gallia Cisalpina, inizialmente fu ''grammaticus'' e grazie a questa professione riusci a costruirsi una villa a Tuscolo, poi sottratta dai creditori. Fu critico e poeta. Le sue due opere più importanti furono due epilli, manifesti poetici per i suoi giovani allievi, la ''Lydia'' e la ''Diana'' o ''Dictynna''.
M. Furio Bibaculo fu autore di epigrammi, due dei quali ci sono stati tramandati da Suetonio nella biografia di Valerio Catone.
È incerto se esso sia da identificare con Furio Alpino autore di poemi epici derisi da Orazio (''Pragmatica belli Gallici''di argomento storico e ''Aethiopis'' di argomento mitologico su Memnone). Non deve lasciare perplessi la scrittura di poemi epici da un neoterico infatti anche Varrone Atacino lo ha fatto. Diomede cita Bifulco tra i poeti satirici anche se forse si voleva riferire ai suoi epigrammi aggressivi più che a vere e proprie satire.
Varrone Atacino nacque nell'82 a.C. ad Atace nella Gallia Narbonese ed è quindi il primo poeta transalpino della letteratura latina. Varie sono le sue opere pervenuteci: due opere composte secondi i moduli tradizionali, un ''Bellunm Sequanicum'', e un libro di satire e varie opere che segnalano il gusto neoterico (rielaborazione delle ''Argonautiche'' di Apollonio Rodio, il poema didascalico-geografico ''Chorographia'', il calendario poetico ''Ephemeris'' e le elegie raccolte sotto il nome di Leucadia, pseudonimo della donna amata, secondo l'uso della poesia erotica ellenizzante dei Romani). Si è voluto dividere la sua opera in due fasi una antecedente al neoterismo e l'altra proprio affine ma in realtà questa divisione è fine a se stessa dimostrando quando questo poeta abbia vissuto vari gusti poetici.
C. Licinio Calvo, l'amico più intimo di Catullo, è l'unico sicuramente romano del cenacolo. Fu oratore e seguì l'indirizzo atticista. Dolorosa è la perdita dei suo carmi lodati anche da Seneca il vecchio. Compose epigrammi, epilli, epitalami e elegie. Degli epilli si conosce il poemetto ''Io'' uno dei tanti indirizzi letterari collegati ad un celebre episodio mitologico contrastato e drammatico. In morte dell'amata Quintilia, che forse era sua moglie, scrisse delle elegie che si è supposto abbiano inaugurato, insieme col c. 68 di Catullo, l'elegia romana di carattere subietivo.
C. Elvio Cinna era anch'egli della Gallia Cisalpina. Sappiamo che compose un ''Propempticon'' per Asinio Pollione, e l'epillio ''Zmyrna'' tanto celebrato, nel c. 95, da Catullo, che si servì della sua pubblicazione per esporre i principi critici del cenacolo.
Cinna si era quindi ispirato all'aspetto più rigidamente callimacheo dell'eredità ellenistica. Fu più un grande tecnico del verso ed erudito che poeta d'alta ispirazione, ma la considerazione che godè presso la più giovane generazione poetica fu altissimo.
Si possono ricordare anche Cornelio Nepote, Ticida, Cecilio e Cornificio (potrebbe o essere il Cornificio a cui Catullo indirizza il c. 38 o quello che S. Girolamo identifica con Q. Cornificio, partigiano di Cesare). Può darsi che vi hanno fatto parte anche un Alfeno Varo (supponendo che Catullo nei cc. 10, 22 e 30 con ''Alfenus'' e ''Varus'' non si riferisca a due persone ma solo al giureconsulto cremonese Alfeno Varo, poi distributore delle terre ai veterani nella Gallia Cisalpina. L'identificazione potrebbe essere confermata dalla lettura ''Varus'' e non ''Varius'' al v. 35 dell'ecloga IX di Virgilio), e Cassio Parmense (sembra essere stato prevalentemente poeta tragico. Si suole ascrivere ai ''poetae novi'' più per essere nato nella Gallia Cisalpina, e per i suoi atteggiamenti politici, che per il carattere dell'opera), nonché L. Giulio Calido, che Cornelio Nepote chiama &quot;il poeta contemporaneo di gran lunga più elegante deopo la morte di Lucrezio e di Catullo&quot;, e C. Memmio, il dedicatario del poema di Lucrezio.

== I minori ==

=== Filosofi ===

In questa età abbiamo notizia di alcuni oscuri filosofi epicureisti quali Amafinio, Cazio Insubre e Rabiro ma la figura più interessante è il neopitagorico P. Nigidio Figulo, pretore nell'85 a.C.. Coltivò le scienze esoteriche e acquisto la fama di stregone e di veggente (tra l'altro Lucano ce lo racconta mentre effonde presagi circa lo scoppio della guerra tra Cesare e Pompeo). Per questa sua fama di stregone e per l'inimicizia con Cesare finì in esilio dove morì nel 45 a.C..

=== Grammatici e retori ===

Fra i critici ed eruditi va ricordato Sp. Mecio Tarpa, di cui si ricorda uno scritto che ricercava e chiariva le omonimie fra gli scrittori, e Santra (dal nome sembra originario dell'Etruria), che S. Girolamo ricorda tra i precursori di Suetonio nello scrivere biografie ''de viris illustribus''. 
La scienza grammaticale è ancora in mano a gente di origine servile e proveniente da Grecia e paesi orientali. I classici sono ancora i poeti del periodo arcaico ma si percepisce già la tendenza ad essere fuori moda ad usare quei modelli. Suetonio ricorda M. Pompilio Andronico, Lucio Orbilio Pupillo, L. Ateio, Cornelio Epicado, Staberio Erote, Curzio Nicia, Pompeo Leneo. Pompilio era della Siria e seguace epicureo, compose molte opere, fra cui un opuscolo sull'argomento dei singoli libri degli ''Annales'' di Ennio. Orbilio, il ''plagosus Orbilius'' di Orazio, nativo di Benevento, era ancora legato ai vecchi metodi e vecchi programmi obbligando addirittura i suoi scolari la lettura dell' ''Odyssia'' di Livio Andronico per questo fu boicottato da allievi e genitori sfogando la sua frustrazione in un libro di cui non conosciamo il titolo. Morì, quasi cenentenario, poverissimo e afflitto dalla perdita di memoria. Di Ateio sappiamo, per sua stessa testimonianza, che compose un'opera in 800 libri, intitolata ''Hyle'' (La selva), che forse raccoglieva i suoi diversi lavori. Fu amico di Sallustio mentre questo componeva le sue opere e gli dedico un ''Breviarium rerum omnium Romanarum'' per la scelta degli argomenti. Dopo la morte di Sallustio passo ad aiutare Asino Pollione a cui dedicò ''Praecepta de ratione scribendi''. Leneo, liberto di Pompeo, è autore di un libello contro Sallustio, in cui accusava lo storico d'avere adoperato vocaboli disusati, rubandoli in gran parte a Catone il Vecchio. 
Fra i retori dell'età Suetonio ricorda il liberto Voltacilio, di cui è incerto il ''cognomen'', maestro di retorica di Pompeo e celebratore delle sue imprese; M. Epidio, che fu maestro di M. Antonio e di Ottaviano, nonché, secondo una notizia poco attendibile, di Virgilio; e Sesto Clodio, siciliano, maestro di eloquenza sia latina sia greca e autore di un Περί θεών in greco.
Fra i giuristi emerge Ser. Sulpicio Rufo, grande esegeta ed elegante teorico, amico di Cicerone, morto all'inizio del 43 a.C.
Sulla ''disciplina auguralis'' scrisse un libro l'augure Marco Messalla e iniziò un'opera Ap. Cladio Pulcro, l'aristocratico fratello di Clodio, che come censore escluse Sallustio dal Senato. 
Sull'aruspicina etrusca scrissero Tarquizio Prisco, di cui restano dei frammenti ed A. Cecina, forse il personaggio difeso da Cicerone, violento avversario di Cesare che, più tardi, mandato in esilio, adulò nello scritto intitolato ''Querelae''.</text>
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Per produrre effetti giuridici, un negozio deve essere valido ed efficace. La mancanza di questi requisiti influisce sugli effetti giuridici prodotti dal negozio.

Il negozio giuridico è invalido quando è affetto da vizi che lo rendono inidoneo ad acquistare valore giuridico. Se il negozio è carente dei presupposti o dei requisiti richiesti dalla legge, se i limiti della libertà negoziale vengono superati, se il procedimento di formazione della volontà è affetto da anomalie, la sanzione che colpisce l'atto è l'invalidità.

L'invalidità può assumere due configurazioni: la nullità o l'annullabilità.

== Il Principio di Conservazione ==

Esistono dei Negozi validi anche se Irregolari. Questo perché il nostro sistema è volto alla Conservazione quanto più possibile dell'Efficacia degli Atti Giuridici. 
L'articolo 1338 obbliga una parte a dare notizia all'altra parte di una possibile causa di invalidità sotto pena di risarcimento danni per l'eventuale formazione dell'atto invalido. 
Secondo gli articoli 1419, 1420, 1446 l'invalidità di una clausola non comporta l'invalidità dell'intero negozio. 
Esistono poi dei casi in cui è stesso il legislatore a stabilire che la nullità di una clausola non fa decadere tutto il contratto ('''Nullità Parziale Necessaria'''). 
Il Principio di Conservazione è anche un criterio per l'interpretazione dei contratti (art. 1367) e ispira il campo delle disposizioni testamentarie, non potendo il testatore disporre in modo diverso.

== L'Inefficacia o Inopponibilità ==

Il nostro Codice non regola la questione dell'Inefficacia e la nostra dottrina non è concorde su darne una definizione se non generale e ampia. In un'accezione ampia esso è usato nei casi nei quali, per qualsiasi ragione, il Negozio non produce i suoi effetti. 
Ma se gli effetti non si producono vuole dire che siamo in presenza di un non-negozio. In realtà siamo in costanza di due figure diverse: Invalidità e Inefficacia.
In primo luogo l'Efficacia del Negozio è legata alla Legittimazione dei Soggetti che lo pongono in essere. Il Negozio è Nullo se manca il Soggetto è Inefficace se il Soggetto non è Legittimato. 
Un Negozio Valido potrebbe non essere efficace perché l'efficacia la raggiunge in un secondo tempo ('''Inefficacia Temporanea'''). 
L'Inefficacia si può presentare anche solo verso alcuni Soggetti ('''Inefficacia Relativa''') in questo caso si usa in dottrina anche il diverso nome di '''Inopponibilità'''. Infine le parti (e a volte la legge) subordinare l'efficacia del negozio al compimento di ulteriori atti o a Condizione o a Termine.

== La Nullità Radicale ==

Il codice civile qualifica spesso un atto come nullo (artt. 458, 735, 778, 1229, 1972 cod. civ.), ma non afferma mai esplicitamente cosa comporta questa qualificazione. Un atto si dice nullo quando non è idoneo a produrre i suoi effetti giuridici tipici. L'art. 1418 cod. civ. elenca le &quot;Cause di nullità del contratto&quot;, cioè stabilisce quali vizi sono considerati così gravi da impedire completamente la produzione di effetti giuridici. La disposizione individua tre categorie di cause di nullità:

* Nullità testuali: sono nulli i negozi giuridici espressamente vietati da una norma di legge. In questo caso la legge stabilisce che alcune precise categorie di negozi giuridici sono nulli. Un esempio sono i patti successori, vietati dall'art. 458 cod. civ.
* Nullità strutturali: sono nulli i negozi che non presentano uno degli elementi essenziali elencati dall'art. 1325 cod. civ. Si parla di nullità &quot;strutturali&quot; perché la nullità è dovuta a una caratteristica intrinseca del negozio.
* Nullità virtuale: sono nulli i negozi contrari a norme imperative. Non vi è una norma che vieta esplicitamente l'atto, ma è necessario stabilire se il negozio è compatibile con una norma di legge che pone un limite all'autonomia dei privati.

Al di fuori delle cause di nullità previste dall'art. 1418, nella legislazione speciale è comparsa la &quot;nullità di protezione&quot;: un contratto è considerato nullo non per un suo vizio, ma per tutelare una delle parti. Numerose disposizioni di leggi speciali sono riconducibili alla nullità di protezione, ma la più rilevante è l'art. 36 del Codice del consumo (D.Lgs. n. 206/2005)

== L'Annullabilità ==

La Nullità può risultare eccessiva per alcuni difetti del negozio. Si è creata pertanto l'istituto dell' '''Annullabilità'''. L'atto esiste e produce i suoi effetti ma una parte ha la possibilità di chiederne l'annullamento con effetto retroattivo. Questo stato di pendenza dura fino a prescrizione. Dopo tale data l'atto si considera valido non solo definitivamente per l'avvenire ma anche per il passato come se fosse nato senza vizi. 
L'Atto può anche essere '''Convalidato'''.

La Convalida (art. 1444) può essere '''Espressa''' (Conferma) e consiste in una Dichiarazione dell'Intento di Sanare con espressa indicazione dell'Atto e del Motivo d'Invalidità oppure essere '''Tacita''' e consiste nella Esecuzione Volontaria dell'Atto Annullabile, fatta liberamente e con la consapevolezza del Motivo di Invalidità. 
In entrambi i casi sono richiesti i presupposti necessari per concludere validamente il negozio di cui si tratta. Può convalidare il negozio chi è legittimato a chiederne l'annullamento.

L'Annullabilità essendo una figura creata dalla legge i casi sono previsti soltanto '''testuali''' cioè previsti espressamente. L'annullabilità è sancita solitamente quando uno degli elementi del negozio è viziato. 
L'Annullabilità si riscontra nei seguenti casi (art. 1425 ss.):
* Riguardo ai Soggetti: Se sono Incapaci di Agire oppure di Intendere o di Volere. 
* Riguardo alla Volontà: Se è viziata da vizi del volere o invece c'è Errore Ostativo nella Dichiarazione o Errore nella Trasmissione (art. 1433). 
Ma vi sono anche altri casi di Annullabilità nello stesso codice e in alcuni casi si parla più propriamente di '''Impugnabilità''' quando l'Intervento del Giudice è invocato per Accertare una Situazione che non presuppone soltanto un Vizio di legalità.

== Regole per la Dichiarazione di Nullità e per l'Azione di Annullamento ==

La '''Nullità''' opera di Diritto pertanto il Giudice dovrà solo accertare attraverso una Sentenza Dichiarativa che vi sia o meno la nullità. Tale accertamento può essere compiuto anche d'ufficio senza istanza di parte se il presupposto risulta dagli atti. 
L' '''Annullamento''' è invece pronunciato con Sentenza Costitutiva su domanda di chi sia legittimato a chiederla. 
La Nullità può essere invocata da chiunque ne abbia interesse. L'annullamento invece di regola solo dalla parte nel cui interesse è stabilito ('''Annulabilità Relativa''') e dai suoi legali rappresentanti o eredi e nel caso di incapacità dagli aventi causa. 
Ci sono alcuni casi di '''Annullabilità Assoluta''' cioè quando l'annullamento può essere richiesto da chiunque ne abbia interesse. Ciò avviene per gli atti dell'Interdetto Legale, per l'Annullabilità del Testamento e in alcuni Ipotesi di Annullamento del Matrimonio. 
Esiste nella Legislazione recente anche casi di '''Nullità Relativa''' cioè che può essere chiesta solo da determinati soggetti. 
L'Azione per la Nullità è Imprescrittibile mentre quella per l'Annullamento si prescrive in 5 anni (Sanatoria per Omissione). L'Eccezione di Annullabilità è invece Imprescrittibile. Questo avviene quando il Contratto è stato eseguito. Diverso nel caso in cui il Contratto non è stato ancora Eseguito. In Questo caso anche l'Azione di Annullamento è Invocabile in Perpetuo insieme all'Eccezione. 
Per la Nullità non è ammessa Convalida o Conferma mentre essa è ammessa nei Negozi Annullabili. 
L'Accertamento di Nullità ha effetto Retroattivo (''ex tunc'') nei confronti delle Parti e dei Terzi. Pure l'Annullamento è Retroattivo però esso ha effetto verso tutti, anche i Terzi aventi Causa, solo se dipende da Incapacità Legale. Diversamente esso non è opponibile ai terzi che, in buona fede, hanno acquistato diritti a titolo oneroso da colui contro il quale è stato chiesto e pronunciato l'annullamento. 
Ci sono anche regole comuni tra i due istituti come quelle sulla Restituzione. Quanto è stato dato in esecuzione di un contratto nullo annullato va restituito. La regola non vale per l'incapace il quale deve restituire solo ciò che gli è stato rivolto in suo effettivo vantaggio. 
Dove c'è il più ivi sta anche il meno. Su questo principio di facile intiuizione si ricava l'istituto della '''Conversione''' del negozio nullo. Infatti senza una nuova volontà si ricostituire un negozio giuridico utilizzando gli elementi validi di un atto, mentre vengono eliminati gli invalidi (art. 1424). Vi è '''Conversione Formale''' quando il negozio che aveva un difetto di forma si tramuta in un altro con uguale contenuto e con stessi effetti ma con la corretta forma. Si ha invece '''Conversione Sostanziale''' quanto il negozio invalido non si sana ma si trasforma in un altro con effetti più ristretti basandosi sul presupposto che se le parti avessero conosciuto l'invalidità del primo avrebbero ugualmente voluto anche il negozio nei nuovi termini.

== La Tutela dell'Affidamento ==

Profondi dibattiti dottrinali si sono sviluppati sul contrasto tra chi ritiene prevalente la dichiarazione sulla volontà e chi viceversa. Oggi si sono sviluppati alcuni negozi dove è prevalente la ricerca della volontà. Oggi ci si basa sul Principio dell'Affidamento che non significa affidamento assoluto all'apparenza ma protezione della Buona Fede. La Buona Fede è diventata condizione essenziale dell'agire ma esso non significa che bisogna agire con supina ignoranza o con cieca fiducia. È salvaguardato solo il Terzo che Agisce in modo Diligente nell'Informarsi. 
Esso è un criterio generale che non serve solo a superare il contrasto tra volontà e manifestazione. Molto spesso in diritto troviamo casi in cui gli effetti di una situazione giuridica sono attribuiti solo perché presenta all'apparenza corrispondenti elementi reali. 
Quando si tratta di rapporti privati alla presenza anche di interessi di terzi non basta credere che il proprio comportamento venga interpretato in un certo modo ma vi è un Dovere di Diligenza che impone di prevedere ciò che il destinatario di una dichiarazione potrebbe intendere. 
La Tutela dell'Affidamento si riscontra ancora nell'Invulnerabilità dell'Acquisto Fatto dai Terzi ''in buona fede'' e ''a titolo oneroso'' quando il diritto del loro dante causa si dimostra acquisito in base a titolo annullato. Questo vale solo se il titolo era annullabile non se fosse radicalmente nullo e non se l'annullabilità dipende da incapacità legale.

== La Rescissione ==

{{quote|Capo XIII: Della rescissione del contratto

Art. 1447 Contratto concluso in istato di pericolo&lt;br /&gt;
Il contratto con cui una parte ha assunto obbligazioni a condizioni inique, per la necessità, nota alla controparte, di salvare sé o altri dal pericolo attuale di un danno grave alla persona (2045), può essere rescisso sulla domanda (2652) della parte che si è obbligata. Il giudice nel pronunciare la rescissione, può, secondo le circostanze, assegnare un equo compenso all&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;altra parte per l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;opera prestata.&lt;br /&gt;
Art. 1448 Azione generale di rescissione per lesione&lt;br /&gt;
Se vi è sproporzione tra la prestazione (att.166) di una parte e quella dell&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;altra, e la sproporzione è dipesa dallo stato di bisogno di una parte, del quale l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;altra ha approfittato per trarne vantaggio, la parte danneggiata può domandare la rescissione del contratto. L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;azione non è ammissibile se la lesione non eccede la metà del valore che la prestazione eseguita o promessa dalla parte danneggiata aveva al tempo del contratto. La lesione deve perdurare fino al tempo in cui la domanda è proposta. Non possono essere rescissi per causa di lesione i contratti aleatori (1934, 1970). Sono salve le disposizioni relative alla rescissione della divisione (761 e seguenti).&lt;br /&gt;
Art. 1449 Prescrizione&lt;br /&gt;
L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;azione di rescissione si prescrive in un anno dalla conclusione del contratto; ma se il fatto costituisce reato, si applica l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;ultimo comma dell&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;Art. 2947. La rescindibilità del contratto non può essere opposta in via di eccezione quando l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;azione è prescritta.&lt;br /&gt;
Art. 1450 Offerta di modificazione del contratto&lt;br /&gt;
Il contraente contro il quale è domandata la rescissione può evitarla offrendo una modificazione del contratto sufficiente per ricondurlo ad equità.&lt;br /&gt;
Art. 1451 L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;inammissibilità della convalida&lt;br /&gt;
Il contratto rescindibile non può essere convalidato.&lt;br /&gt;
Art. 1452 Effetti della rescissione rispetto ai terzi&lt;br /&gt;
La rescissione del contratto non pregiudica i diritti acquistati dai terzi (1757), salvi gli effetti della trascrizione della domanda di rescissione (2652).
Gli artt. 1447 e 1448 del Codice civile prevedono due azioni di rescissione quale rimedio processuale per rimuovere negozi con prestazioni non eque a causa di una patologica formazione del consenso.}}

=== Cenni storici ===

L'istituto rescissorio compare, nell'ordinamento romano, con ogni probabilità, intorno al III secolo d.C.; nondimeno la prima traccia scritta di esso compare nel Codex Iustinianus in due rescritti (C.I. 4.44.2 e 4.44.8), i quali dichiarano di riportare due constitutiones emesse dagli imperatori Diocleziano e Massimiano; la prima di queste emessa a favore di tal Aurelio Lupo.

Il frammento del rescritto è catalogato sotto la rubrica De rescindenda venditione:
Com queritur qualiter consulatur decepto in venditione est ita breviter distinguendum quia aut est deceptus ultra dimidiam iusti pretii aut infra.

Altri autori ritengono che il fondamento storico dell'art. 1448 citato sia di origini medioevali e risalga alla in integrum restitutio che, nello stesso tempo, serviva due scopi opposti:
* conservazione dei patrimoni nella loro consistenza, pur garantendo la circolazione dei beni;
* conservazione del negozio, in quanto modificativo dei patrimoni.
Una ricostruzione storiografica della rescissione deve farsi in modo necessariamente frammentato, in quanto solo dall'analisi dei singoli documenti si può risalire agli episodi in cui venivano realmente perseguiti i due scopi in maniera simultanea.
Durante il periodo dell'Alto Medioevo, infatti, non c'erano organi giurisdizionali che tutelassero gli interessi dei soggetti privati; inoltre, era pressoché assente la circolazione degli immobili, ed in più l'economia era strettamente connessa ad istanze di indole istituzionale.

Gli organi dinanzi ai quali si discuteva di contratti viziati da laesio enormis erano consoli cittadini, giudici ecclesiastici, giudici imperiali. Tutti questi organi applicavano (più o meno) la costituzione impediale accolta nel Codex Iustinianeus, dove era richiamato il frammento del rescritto di Diocleziano.

=== La ratio del rimedio rescissorio ===

Coerentemente con gli ideali dell'illuminismo una prima trattazione scientifica della rescissione si rinviene nelle opere di R.J.Pothier (ma qualche interessante considerazione già in C.Thomasius, Tractatio iuridica de aequitate cerebrina Legis II Cod. de Rescindenda Venditione eiusque usu practico, in Dissertationum academicarum, III, Halae Magderburgicae, 1777, p.&amp;nbsp;621). Secondo l'illustre autore francese:
*« nelle convenzioni deve regnare l'equità (...) D'altronde il consenso della parte lesa è imperfetto, perché essa non ha inteso di dar ciò che ha dato nel contratto, se non nella falsa supposizione che ciò che veniva a ricevere in cambio valesse altrettanto di ciò ch'essa dava. »
(R.J.Pothier, Trattato del contratto di vendita, II ed. trad. it. Napoli 1820, I, p.&amp;nbsp;170 par. 208)
Dunque in origine si giustifica il rimedio come fondato sull'ignoranza della parte lesa circa il valore del bene compravenduto. In altri termini l'azione veniva ricondotta all'area dei vizi del consenso ed in particolare, diremmo oggi, a quella dell'errore sul valore. Il code Civil ed il nostro abrogato del 1865 non codificano l'azione in modo difforme da quanto contenuto nel codice giustinianeo. Una radicale modifica è invece introdotta con il codice attuale (1942). La dottrina avvertiva, già da tempo, la necessità di far emergere la patologia sottesa all'azione, atteso che sino a quel momento il rimedio veniva accordato per il sol requisito dell'iniquità delle prestazioni. Si impose, in commissione redigente, un orientamento secondo cui l'azione sarebbe dovuta diventare il rimedio civilistico avverso i contratti usurari diversi dai negozi di finanziamento (per i quali veniva invece prevista la disposizione di cui all'art. 1815). 
Così da un lato nell'attuale art. 1448 c.c. venne trasfuso l'abrogato art. 1529, menzionando esplicitamente lo stato di bisogno e l'approfittamento (elementi già presenti nel testo allora in vigore per l'art. 644 del codice penale); dall'altro nell'art. 1447 c.c. si riassunsero alcune norme pertinenti al diritto della navigazione. Il risultato fu l'introduzione di un rimedio contrattuale fondato su un'alterazione dell'equilibrio economico del contratto quale prodotto di una patologica formazione dell'accordo.
Alla stregua di un'analisi economica del diritto può anche dirsi che il contratto è un'operazione economica fondata sul concetto aristotelico della cosiddetta giustizia commutativa: lo scambio di prestazioni avviene dopo il procedimento di formazione della volontà ed è formalizzato in un rapporto che rispecchia un substrato economico, ispirato al principio di utilità marginale, secondo cui le parti tendono ad incontrarsi nel punto più alto consentito dalle rispettive curve di indifferenza.

È qui che i contraenti raggiungono una soddisfacente distribuzione delle risorse, tale che ciascuno di essi riesce a soddisfare le proprie aspettative e massimizzare le proprie risorse.
Quando la contrattazione non avviene in condizioni &quot;normali&quot;, sopravviene la cd. giustizia distributiva , che ha per oggetto il contenuto dell'operazione economica e mira a correggerne l'iniquità. E spesso, è la stessa Corte costituzionale a fare riferimento alla giustizia distributiva sub specie di &quot;utilità sociale&quot; come valore fondamentale dell'economia.
Ma la giustizia distributiva ha molti profili che vanno dall'integrità del consenso contrattuale al comportamento deviante (malafede, scorrettezza), alla funzione concreta dello scambio.

Senza alcun dubbio l'art. 1447 c.c. non, sino ad oggi, offerto buona prova di sè, atteso che dal 1942 sino ad oggi in nessuna sentenza è stata pronunciata la rescissione del contratto in forza della norma citata.
Qualche maggior successo può, invece, essere ascritto all'art. 1448 c.c, il quale tuttavia è stato, dalla giurisprudenza, esautorato proprio della disciplina dei contratti usurari, per i quali era stato in origine introdotto nel sistema. Per la giurisprudenza, infatti, la contestuale sussistenza del reato d'usura (quando commesso con negozi diversi da quelli di finanziamento), impone l'applicazione del combinato disposto art. 1418 comma 1 c.c. e 644 c.p. con conseguente nullità del contratto medesimo, lasciando all'art. 1448 c.c. la residuale funzione di governare le fattispecie ove il reato non sussiste, vale a dire le ipotesi in cui il soggetto avvantaggiato dall'iniquità era solo a conoscenza del bisogno altrui senza essersene anche approfittato.

Allo stato, dunque, se il reato d'usura è commesso per mezzo di un mutuo o altro negozio di finanziamento, la tutela civilistica per la vittima si rinviene nell'art. 1815 c.c. al quale spetta il compito di convertire il mutuo da oneroso a gratuito (id est: nullità della clausola usuraria); se il reato sottende un negozio usurario di scambio diverso dai negozi di finanziamento, la sorte del contratto-mezzo per il perfezionamento del reato è la nullità ex art. 1418 c.c. e 644 c.p.

=== Elementi costitutivi ===

Sono elementi costitutivi della complessa fattispecie rescissoria:
le condizioni inique che generano lo squilibrio tra le prestazioni, ossia l'alterazione del sinallagma (art. 1447 cod. civ.), nella proporzione della cd. lesione ultra dimidium (art. 1448 cod. civ.)
* lo stato di necessità o bisogno di una delle parti
* la conoscenza e l'approfittamento del bisogno altrui
L'alterazione del sinallagma è un'anomalia consistente nella difformità delle prestazioni dagli attuali valori di mercato: la sussistenza di uno stato di pericolo o di bisogno consente ad un contraente di ottenere un eccessivo profitto ai danni dell'altro, cioè il cd. iugulato (termine che, intuitivamente, richiama l'atto dello strangolare, del &quot;prendere per la gola&quot;).

Il concetto di &quot;approfittamento&quot; è un concetto ampio: esso consiste nella determinazione del soggetto avvantaggiato di non voler concludere nessun altro contratto se non quello per sè proficuo, e ciò unicamente in ragione della sua consapevolezza del bisogno altrui. Tale determinazione deve essere manifestata alla controparte, anche in modo implicito in ragione delle circostanze della contrattazione (cd. &quot;prendere o lasciare&quot;). Lo &quot;stato di bisogno&quot; consiste nella necessità di procurarsi un determinato bene onde sottrarsi ad un più grave pregiudizio (anche di natura non patrimoniale) diverso da quello espresso dalla sola mancanza del bene (non è stato di bisogno quello espresso dal collezionista il quale desidera a tutti costi &quot;il pezzo&quot; per completare la sua collezione). In ordine alla fattispecie rescissoria bisogna guardare all'illiceità ed immoralità del comportamento dello sfruttatore, comportamento che ha condotto ad una alterazione economica dello spostamento patrimoniale: in altre parole, la rescissione qui sanziona l'abuso economico, quale effetto di un abuso comportamentale.
La sproporzione evoca un'anomalia procedurale nella conclusione del contratto: l'indagine si indirizza quindi verso l'integrità del consenso ed alla valutazione delle conseguenze oggettive dell'anomalia.</text>
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    <title>Fondamenti di Educazione e Sicurezza Stradale (scuola dell'infanzia)</title>
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L''''Educazione''' e la '''Sicurezza Stradale''' sono nozioni che vanno apprese fin dalla fanciullezza perché fondamentali in un Mondo che al giorno d'oggi vive prevalentemente per strada e i pericoli maggiori provengono proprio dalla circolazione stradale.
Chiaramente ad un bambino di fascia d'età 1-6 anni non si può chiedere una tecnicità proprio di un corso per la petente di guida o comunque anche rivolto ad una fascia adolescenziale. 

Una buona parte della Sicurezza dipende, essenzialmente, dai genitori del bambino.
Comportamenti quali il rispetto della normativa in materia di trasporti dei minori come l'obbligo del Sistema di Ritenuta è fondamentale.

Il '''Sistema di Ritenuta''', anche detto '''Seggiolino''', è obbligatorio per chi trasporta ragazzi di età inferiore a 12 anni e statura inferiore al metro e mezzo ai sensi dell'articolo 172 del Codice della strada. Il conducente che non lo adotta subisce una sanzione di 68,25 € ed il decurtamento di cinque punti dalla patente di guida. Sono esenti i bambini di età inferiore a tre anni che occupano i sedili posteriori se sono trasportati su un veicolo sprovvisto di tale sistema, purché siano accompagnati almeno da un passeggero di età non inferiore a 16 anni. Anche i bambini trasportati sui sedili posteriori del taxi o di autovetture da noleggio con conducente in servizio urbano o su itinerari da e per stazioni ferroviarie, porti e aeroporti, se accompagnati da una persona di almeno 16 anni di età possono non utilizzare tali dispositivi.

Al bambino va insegnato fin da piccolo, poi, il rispetto di alcune basilari regole di circolazione. 
Ad esempio va insegnato che quando è in auto non deve giocare o comunque dare disturbo a chi guida. 
Va insegnata l'importanza dell'utilizzo del casco sulle biciclette e di una guida delle stesse non imprudente. 
Va insegnata l'importanza di camminare sul marciapiede e in caso di attraversamento della strada scegliere, prioritariamente, l'attraversamento sulle strisce pedonali per poi, in caso di assenza, evitare attraversamenti pericolosi, cioè in zone dove manchi la visibilità, e prestando comunque sempre attenzione all'arrivo di auto e soprattutto alla distanza e velocità che esse hanno.

Altro punto da non sottovalutare, nell'educazione stradale del bambino, è l'insegnare che la strada non è un luogo per il gioco. A pallone si gioca nel parco non per le strade essendo pericoloso sia per l'arrivo di auto sia perché l'asfalto fa male in caso di cadute. 

Norme di Buona Educazione, e non solo stradale, sono invece quelle di lasciare ad esempio il posto sull'autobus a donne incinte o persone anziane. Oppure l'aiutare ad attraversare la strada sempre alle persone anziane. Sono norme non certo obbligatorie ma di rispetto civico e sociale. A questo possono essere d'aiuto alcune schede operative come la seguente prelevate da Scuola Materna. NET: http://www.scuola-materna.net/download-documenti/schede-didattiche-scuola-infanzia/schede-didattiche-scuola-infanzia-educazione-stradale.html

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Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con i tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;` su ogni espressione e senza `\boxed`.

Dato il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Per calcolare $(6 - 3j)^5$, possiamo raccogliere il fattore $3$ per semplificare i calcoli:

$$(6 - 3j)^5 = [3(2 - j)]^5 = 3^5 \cdot (2 - j)^5 = 243 \cdot (2 - j)^5$$

Ora sviluppiamo la potenza $(2 - j)^5$ usando il binomio di Newton:

$$(2 - j)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} (-j)^k$$

Ricordando le potenze dell'unità immaginaria ($j^2 = -1$, $j^3 = -j$, $j^4 = 1$, $j^5 = j$), calcoliamo i singoli termini:

* Per $k=0$: $\binom{5}{0} 2^5 (-j)^0 = 1 \cdot 32 \cdot 1 = 32$
* Per $k=1$: $\binom{5}{1} 2^4 (-j)^1 = 5 \cdot 16 \cdot (-j) = -80j$
* Per $k=2$: $\binom{5}{2} 2^3 (-j)^2 = 10 \cdot 8 \cdot (-1) = -80$
* Per $k=3$: $\binom{5}{3} 2^2 (-j)^3 = 10 \cdot 4 \cdot j = 40j$
* Per $k=4$: $\binom{5}{4} 2^1 (-j)^4 = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10$
* Per $k=5$: $\binom{5}{5} 2^0 (-j)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-j) = -j$

Sommiamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

* **Parte reale:** $32 - 80 + 10 = -38$
* **Parte immaginaria:** $-80j + 40j - j = -41j$

Quindi:


$$(2 - j)^5 = -38 - 41j$$

Infine, moltiplichiamo per $243$:

$$243 \cdot (-38 - 41j) = -9234 - 9963j$$

### Risultato Finale

$$-9234 - 9963j$$


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX


```text
&lt;math&gt;z=32-6j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=32,\qquad b=-6&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{32^2+(-6)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{1024+36}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{1060}=2\sqrt{265}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\operatorname{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arctan\left(\frac{-6}{32}\right)=\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta\approx -0.18535\ \text{rad}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta\approx -10.62^\circ&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+j\sin\theta)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=2\sqrt{265}\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)+j\sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{16}\right)\right)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=2\sqrt{265}\left(\cos(-0.18535)+j\sin(-0.18535)\right)&lt;/math&gt;
```


'''Numeri complessi'''

I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei numeri reali che permette, tra le altre cose, di risolvere equazioni come &lt;math&gt;x^2+1=0&lt;/math&gt;, che non possiedono soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

L'insieme dei numeri complessi viene indicato con &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Ogni numero complesso può essere scritto nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; sono numeri reali e &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; è l'unità immaginaria, definita dalla relazione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

Da questa definizione segue anche

&lt;math&gt;i=\sqrt{-1}&lt;/math&gt;

in un'estensione dei numeri reali.

== Origine dei numeri complessi ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;x^2+1=0&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro si ottiene

&lt;math&gt;x^2=-1&lt;/math&gt;

Nei numeri reali non esiste alcun numero il cui quadrato sia &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt;. Si introduce quindi il numero &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; tale che

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;x^2=i^2&lt;/math&gt;

e le sue soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\pm i&lt;/math&gt;

L'introduzione dell'unità immaginaria permette di estendere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi.

== Forma algebrica ==

Un numero complesso è generalmente scritto come

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

Il numero reale &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; è detto '''parte reale''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; e si indica con

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt;

Il numero reale &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; è detto '''coefficiente della parte immaginaria''' e si indica con

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt;

Per esempio, dato

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=3&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=2&lt;/math&gt;

È importante distinguere il coefficiente reale &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; dalla parte immaginaria &lt;math&gt;bi&lt;/math&gt;.

== Numeri reali e numeri immaginari ==

Un numero complesso con parte immaginaria nulla è un numero reale:

&lt;math&gt;z=a+0i=a&lt;/math&gt;

Un numero complesso con parte reale nulla è detto immaginario puro:

&lt;math&gt;z=bi&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;5=5+0i&lt;/math&gt;

è reale, mentre

&lt;math&gt;4i=0+4i&lt;/math&gt;

è immaginario puro.

I numeri reali costituiscono quindi un sottoinsieme dei numeri complessi:

&lt;math&gt;\mathbb{R}\subset\mathbb{C}&lt;/math&gt;

== Uguaglianza di due numeri complessi ==

Due numeri complessi

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;

sono uguali se e solo se coincidono sia le parti reali sia i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1=z_2\iff a=c\land b=d&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;3+2i=3+2i&lt;/math&gt;

mentre

&lt;math&gt;3+2i\ne3+4i&lt;/math&gt;

perché

&lt;math&gt;2\ne4&lt;/math&gt;.

== Somma ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;3+4+2i+5i&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)=7+7i&lt;/math&gt;

== Sottrazione ==

La sottrazione segue lo stesso principio:

&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;5-2+(4-1)i&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)=3+3i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione ==

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=ac+adi+bci+bd i^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd&lt;/math&gt;

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2+3i)(4+i)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+2i+12i+3i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+14i-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=5+14i&lt;/math&gt;

== Potenze dell'unità immaginaria ==

Dalla definizione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;i^3=i^2i=-i&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1&lt;/math&gt;

Le potenze di &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; si ripetono quindi con periodo quattro:

&lt;math&gt;i^1=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^3=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^4=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^5=i&lt;/math&gt;

In generale,

&lt;math&gt;i^{4k}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+1}=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+2}=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+3}=-i&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero.

== Piano complesso ==

Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Coniugato complesso ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il '''coniugato complesso''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\overline{z}=a-bi&lt;/math&gt;

Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

ha coniugato

&lt;math&gt;\overline{z}=3-2i&lt;/math&gt;

Nel piano complesso, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; sono simmetrici rispetto all'asse reale.

Una proprietà fondamentale è

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;

Infatti,

&lt;math&gt;(a+bi)(a-bi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-abi+abi-b^2i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-b^2(-1)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2+b^2&lt;/math&gt;

e poiché

&lt;math&gt;|z|^2=a^2+b^2&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;.

== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;

== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

== Interpretazione geometrica delle operazioni ==

Nel piano complesso, l'addizione ha un'interpretazione analoga alla somma di vettori.

Se

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;

allora

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

corrisponde alla somma dei vettori

&lt;math&gt;(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)&lt;/math&gt;

La moltiplicazione ha invece una caratteristica geometrica differente: se

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

allora moltiplicare un altro numero complesso per &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; significa moltiplicarne il modulo per &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e aggiungere l'angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;.

In particolare, moltiplicare per

&lt;math&gt;i=e^{i\pi/2}&lt;/math&gt;

significa ruotare un vettore di

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;

radianti, cioè di &lt;math&gt;90^\circ&lt;/math&gt;.

Per esempio,

&lt;math&gt;1\cdot i=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i\cdot i=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-1\cdot i=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-i\cdot i=1&lt;/math&gt;

Questa sequenza rappresenta quattro rotazioni successive di &lt;math&gt;90^\circ&lt;/math&gt;.

== Cerchio unitario ==

I numeri complessi di modulo unitario soddisfano

&lt;math&gt;|z|=1&lt;/math&gt;

Se

&lt;math&gt;z=x+iy&lt;/math&gt;

allora

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x^2+y^2=1&lt;/math&gt;

che è l'equazione del '''cerchio unitario''' nel piano complesso.

Ogni punto del cerchio unitario può essere scritto come

&lt;math&gt;z=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

oppure, usando la formula di Eulero,

&lt;math&gt;z=e^{i\theta}&lt;/math&gt;

== Relazione fondamentale tra le rappresentazioni ==

Un numero complesso può quindi essere rappresentato in tre forme equivalenti.

Forma algebrica:

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

Forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Il passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica avviene mediante

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

mentre il passaggio inverso è dato da

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

== Riassunto delle principali formule ==

Definizione dell'unità immaginaria:

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

Forma algebrica:

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

Parte reale:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z)=a&lt;/math&gt;

Parte immaginaria:

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z)=b&lt;/math&gt;

Somma:

&lt;math&gt;(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Prodotto:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Coniugato:

&lt;math&gt;\overline{z}=a-bi&lt;/math&gt;

Modulo:

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

Prodotto con il coniugato:

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;

Forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Formula di De Moivre:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime:

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Identità di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Diagramma concettuale ==

Il percorso di calcolo di un numero complesso può essere riassunto come

&lt;math&gt;
a+bi
\longrightarrow
(r,\theta)
\longrightarrow
r(\cos\theta+i\sin\theta)
\longrightarrow
re^{i\theta}
&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\theta=\arg(a+bi)&lt;/math&gt;.

Il percorso inverso è

&lt;math&gt;
re^{i\theta}
\longrightarrow
r(\cos\theta+i\sin\theta)
\longrightarrow
r\cos\theta+ir\sin\theta
\longrightarrow
a+bi
&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;.

== Significato geometrico ==

Il significato geometrico dei numeri complessi può essere riassunto associando a ogni

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano complesso.

La distanza dall'origine è

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

mentre l'angolo rispetto all'asse reale positivo è

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;.

La rappresentazione polare è quindi determinata dalla coppia

&lt;math&gt;(r,\theta)&lt;/math&gt;

e quella cartesiana dalla coppia

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;.

Le due descrizioni sono equivalenti attraverso

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;.

I numeri complessi permettono così di combinare una descrizione '''algebrica''' mediante &lt;math&gt;a+bi&lt;/math&gt; con una descrizione '''geometrica''' mediante punti e vettori nel piano e una descrizione '''trigonometrica o esponenziale''' mediante modulo e argomento.
```

Ho mantenuto tutto in **un unico blocco copiabile**, senza `\boxed{}` e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.


|programma=
* [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]]
* [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]]
* [[Sonar per sottomarini class]]
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    <title>Sistema di numerazione posizionale (scuola media)</title>
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      <contributor>
        <username>Mattruffoni</username>
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      </contributor>
      <comment>/* La scrittura posizionale di numeri */</comment>
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      <text bytes="2400" sha1="9ihao0i60gqvu9r6e99pgzdsr47cx18" xml:space="preserve">{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 25%}}
Scrivere i numeri, per ricordarli, è probabilmente una esigenza nata contemporaneamente alla stessa invenzione del conteggio. Rappresentare con una piccola asta il numero uno, con due il numero 2 e così via sembra un gesto naturale.&lt;br/&gt;
Nella storia dell'uomo diversi popoli hanno adottato diversi sistemi di rappresentazione dei numeri. La descrizione dei sistemi di scrittura dei numeri degli egizi, dei babilonesi e dei romani la potete trovare alla pagina [[Antichi sistemi di numerazione (scuola media)]].&lt;br/&gt;

==La scrittura posizionale di numeri==

La prima scrittura dei numeri usa un sistema ''additivo'' ad ogni segno corrisponde una unità.&lt;br/&gt;

==Confronto tra scrittura posizionale e additiva==

==L'importanza dello 0==

{{clear|both}}

===Esercizi per capire la scrittura posizionale===

&lt;quiz display=simple&gt;

{nel numero 23873, 8 è la cifra che indica?
|type=&quot;()&quot;}
+ le centinaia
- le migliaia
- le decine
- le decine di migliaia


&lt;/quiz&gt;

===Esercizi per imparare la scrittura posizionale===
Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.


==La base dieci==

==I numeri decimali==

===Esercizi per capire i numeri decimali===

&lt;quiz display=simple&gt;

{Come si chiama 0,001? 
|type=&quot;()&quot;}
+ millesimo
- centesimo
- milionesimo
- decimillesimo


&lt;/quiz&gt;

===Esercizi per imparare la scrittura posizionale===
Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.


== Note ==

&lt;references/&gt;
== Bibliografia ==

* {{cita libro| autore= Brian Butterworth | titolo= Intelligenza matematica | anno = 1999 | editore = Rizzoli | città = Milano | ISBN = 88-17-86094-8 }}
* {{cita libro| autore= Anna Cerasoli | titolo= Sono il numero 1 | anno = 2008 | editore = Feltrinelli | città = Milano | ISBN = 978-88-07-92127-8 }}
* {{cita libro| autore= Cesare Zavattini | titolo= Parliamo tanto di me | anno = 2003 | editore = Bompiani | città = Milano | ISBN = 9788845255434 }}

== Voci correlate ==

== Altri progetti ==

== Collegamenti esterni ==

* {{Cita web|url=http://www.ubimath.org/farematematica/FareMatematica_Manuale_UbiLearning.pdf|titolo=Ordinare e classificare. Gli insiemi.|cognome=Pernigo|nome=Ubaldo|formato=PDF|accesso=21 dicembre 2016}}
{{Nav_matmedia1}}</text>
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        <username>Alexis Jazz</username>
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    <title>Sui punti notevoli delle funzioni: Massimi, minimi, flessi</title>
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      <text bytes="1327" sha1="fa3qq65nv1udxwejxhdv602u9tq19wk" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = punti notevoli delle funzioni
| avanzamento = 30%
}}


==Selettore esercizi sui punti notevoli delle funzioni==


'''Gli esercizi proposti in questa voce mostrano i grafici delle funzioni con particolare evidenza ai punti notevoli.'''

'''Tutte le applicazioni indicate  sono svolte  con  richiamo alla IA. '''
'''Le curve delle funzioni sono esplicitate con un link dal nome Mn'''xx


'''[[Punti notevoli introduzione]]   '''  Studio di &lt;math&gt;\ \ y = x^2 + x - 1 &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 1°]]   '''  Studio di &lt;math&gt;\ \ y = x^3-12 x +7 &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 2°]]   '''  Studio di &lt;math&gt;\ \  y = x^5 - x^4 &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 3°]]   '''  Studio di &lt;math&gt;\ \  y = x ( 6 + x )^2 (6-x)^3 &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 4]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 5°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 6°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 7°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 8°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 9°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 10°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 11°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''

'''[[Punti notevoli 12°]]   '''  Studio di &lt;math&gt; &lt;/math&gt;'''</text>
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    <title>Corso:Con IA e P.C. l'analisi matematica complessa</title>
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|dip=Scienze meccaniche e aerospaziali
&lt;!--Contenuto--&gt;
|presentazione=


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa'''

'''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.'''''

Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;


== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;


== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]]
 

[[Definizione di numero complesso]]


[[Operazioni tra numeri complessi]]


[[Il piano complesso]]


[[Le formule di Eulero]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.

G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.

A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.

C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna.

N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge  University Press. 

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.
R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

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&lt;!--Contenuto--&gt;
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&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa'''

'''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.'''''

Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;


== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;


== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]]
 

[[Definizione di numero complesso]]


[[Operazioni tra numeri complessi]]


[[Il piano complesso]]


[[La formula di Eulero]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.

G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.

A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.

C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna.

N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge  University Press. 

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.
R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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|dip=Scienze meccaniche e aerospaziali
&lt;!--Contenuto--&gt;
|presentazione=


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa'''

'''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.'''''

Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;


== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;


== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]]
 

[[Definizione di numero complesso]]


[[Operazioni tra numeri complessi]]


[[Il piano complesso]]


[[La formula di Eulero]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.

G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.

A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.

C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna.

N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge  University Press. 

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.


== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

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    <title>Operazioni tra numeri complessi</title>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <text bytes="6132" sha1="bl17gzuh9wkyu2pfcs4ameedicohnxq" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi
| avanzamento = 100%
}}


== Somma ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;3+4+2i+5i&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)=7+7i&lt;/math&gt;

== Sottrazione ==

La sottrazione segue lo stesso principio:

&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;5-2+(4-1)i&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)=3+3i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione ==

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=ac+adi+bci+bd i^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd&lt;/math&gt;

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2+3i)(4+i)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+2i+12i+3i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+14i-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=5+14i&lt;/math&gt;


== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;


== Potenze dell'unità immaginaria ==

Dalla definizione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;i^3=i^2i=-i&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1&lt;/math&gt;

Le potenze di &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; si ripetono quindi con periodo quattro:

&lt;math&gt;i^1=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^3=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^4=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^5=i&lt;/math&gt;

In generale,

&lt;math&gt;i^{4k}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+1}=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+2}=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+3}=-i&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero.


== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;


==1° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita:

'''Calcola:'''

'''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2'''

'''per '''

'''z1 = 3 - j4 '''

'''z2 = 6 + j7 '''

'''z3 = 2.5 - j8 '''


IA risponde:


```text
Dati:

&lt;math&gt;z_1 = 3 - j4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_2 = 6 + j7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_3 = 2.5 - j8&lt;/math&gt;

L'espressione da calcolare è:

&lt;math&gt;Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo innanzitutto il prodotto &lt;math&gt;z_1 z_2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 18 + j21 - j24 - j^2 28&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 46-j3&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora &lt;math&gt;(z_3)^2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = (2.5-j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 6.25-j40-64&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -57.75-j40&lt;/math&gt;

In forma frazionaria:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40&lt;/math&gt;

Calcoliamo il rapporto &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}&lt;/math&gt;

Calcoliamo il numeratore:

&lt;math&gt;(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=18-j45-28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-10-j45&lt;/math&gt;

Calcoliamo il denominatore:

&lt;math&gt;(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=36+49=85&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}&lt;/math&gt;

Ora calcoliamo il prodotto:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Semplificando la parte reale:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)&lt;/math&gt;

Portiamo la parte reale allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;46=\frac{1564}{34}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}&lt;/math&gt;

Per la parte immaginaria:

&lt;math&gt;-3=-\frac{204}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

Pertanto il risultato finale è:

&lt;math&gt;Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

In forma decimale:

&lt;math&gt;Z_4\approx31.6176+j32.2794&lt;/math&gt;


==2° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, il computo  di z = (6 - 3j) alla quinta potenza:

'''Calcola: (6 - 3 j)^5 '''

la risposta di IA:
&lt;math&gt;
(6-3j)^5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
= \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^2=36-36j+9j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=36-36j-9
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=27-36j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^4=(27-36j)^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j+1296j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j-1296
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-567-1944j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402+1701j-11664j+5832j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402-9963j-5832
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-9234-9963j
&lt;/math&gt;


==3° Esempio==

Si ripete l'esempio precedente con la IA di Gemini; si osserva una migliore spiegazione del processo di calcolo e la naurale uguaglianza del risultato.

L'esercizio è disponbile all'indirizzo:


[[https://drive.google.com/file/d/1jUYsSiblHl7ufnBV4V9Hk7nbX7m4gB-g/view?usp=drive_link]di Gemini]</text>
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| tipo = lezione
| materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi
| avanzamento = 100%
}}


===Un insieme di operazioni===


== Somma ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;3+4+2i+5i&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)=7+7i&lt;/math&gt;

== Sottrazione ==

La sottrazione segue lo stesso principio:

&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;5-2+(4-1)i&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)=3+3i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione ==

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=ac+adi+bci+bd i^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd&lt;/math&gt;

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2+3i)(4+i)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+2i+12i+3i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+14i-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=5+14i&lt;/math&gt;


== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;


== Potenze dell'unità immaginaria ==

Dalla definizione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;i^3=i^2i=-i&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1&lt;/math&gt;

Le potenze di &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; si ripetono quindi con periodo quattro:

&lt;math&gt;i^1=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^3=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^4=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^5=i&lt;/math&gt;

In generale,

&lt;math&gt;i^{4k}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+1}=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+2}=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+3}=-i&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero.


== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;


==1° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita:

'''Calcola:'''

'''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2'''

'''per '''

'''z1 = 3 - j4 '''

'''z2 = 6 + j7 '''

'''z3 = 2.5 - j8 '''


IA risponde:


```text
Dati:

&lt;math&gt;z_1 = 3 - j4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_2 = 6 + j7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_3 = 2.5 - j8&lt;/math&gt;

L'espressione da calcolare è:

&lt;math&gt;Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo innanzitutto il prodotto &lt;math&gt;z_1 z_2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 18 + j21 - j24 - j^2 28&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 46-j3&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora &lt;math&gt;(z_3)^2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = (2.5-j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 6.25-j40-64&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -57.75-j40&lt;/math&gt;

In forma frazionaria:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40&lt;/math&gt;

Calcoliamo il rapporto &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}&lt;/math&gt;

Calcoliamo il numeratore:

&lt;math&gt;(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=18-j45-28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-10-j45&lt;/math&gt;

Calcoliamo il denominatore:

&lt;math&gt;(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=36+49=85&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}&lt;/math&gt;

Ora calcoliamo il prodotto:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Semplificando la parte reale:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)&lt;/math&gt;

Portiamo la parte reale allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;46=\frac{1564}{34}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}&lt;/math&gt;

Per la parte immaginaria:

&lt;math&gt;-3=-\frac{204}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

Pertanto il risultato finale è:

&lt;math&gt;Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

In forma decimale:

&lt;math&gt;Z_4\approx31.6176+j32.2794&lt;/math&gt;


==2° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, il computo  di z = (6 - 3j) alla quinta potenza:

'''Calcola: (6 - 3 j)^5 '''

la risposta di IA:
&lt;math&gt;
(6-3j)^5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
= \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^2=36-36j+9j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=36-36j-9
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=27-36j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^4=(27-36j)^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j+1296j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j-1296
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-567-1944j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402+1701j-11664j+5832j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402-9963j-5832
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-9234-9963j
&lt;/math&gt;


==3° Esempio==

Si ripete l'esempio precedente con la IA di Gemini; si osserva una migliore spiegazione del processo di calcolo e la naurale uguaglianza del risultato.

L'esercizio è disponbile all'indirizzo:


[[https://drive.google.com/file/d/1jUYsSiblHl7ufnBV4V9Hk7nbX7m4gB-g/view?usp=drive_link]di Gemini]</text>
      <sha1>dshzabjl8fh3iq7skyz24zeh566oeym</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>287449</id>
      <parentid>287448</parentid>
      <timestamp>2026-09-16T13:54:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287449</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6184" sha1="bgv7o7424i8lnsagjbktuvwy2z1op2f" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi
| avanzamento = 100%
}}


===Un insieme di operazioni===


== Somma ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;3+4+2i+5i&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)=7+7i&lt;/math&gt;

== Sottrazione ==

La sottrazione segue lo stesso principio:

&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;5-2+(4-1)i&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)=3+3i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione ==

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=ac+adi+bci+bd i^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd&lt;/math&gt;

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2+3i)(4+i)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+2i+12i+3i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+14i-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=5+14i&lt;/math&gt;


== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;


== Potenze dell'unità immaginaria ==

Dalla definizione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;i^3=i^2i=-i&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1&lt;/math&gt;

Le potenze di &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; si ripetono quindi con periodo quattro:

&lt;math&gt;i^1=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^3=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^4=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^5=i&lt;/math&gt;

In generale,

&lt;math&gt;i^{4k}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+1}=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+2}=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+3}=-i&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero.


== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita:

'''Calcola:'''

'''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2'''

'''per '''

'''z1 = 3 - j4 '''

'''z2 = 6 + j7 '''

'''z3 = 2.5 - j8 '''


IA risponde:


```text
Dati:

&lt;math&gt;z_1 = 3 - j4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_2 = 6 + j7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_3 = 2.5 - j8&lt;/math&gt;

L'espressione da calcolare è:

&lt;math&gt;Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo innanzitutto il prodotto &lt;math&gt;z_1 z_2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 18 + j21 - j24 - j^2 28&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 46-j3&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora &lt;math&gt;(z_3)^2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = (2.5-j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 6.25-j40-64&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -57.75-j40&lt;/math&gt;

In forma frazionaria:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40&lt;/math&gt;

Calcoliamo il rapporto &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}&lt;/math&gt;

Calcoliamo il numeratore:

&lt;math&gt;(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=18-j45-28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-10-j45&lt;/math&gt;

Calcoliamo il denominatore:

&lt;math&gt;(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=36+49=85&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}&lt;/math&gt;

Ora calcoliamo il prodotto:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Semplificando la parte reale:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)&lt;/math&gt;

Portiamo la parte reale allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;46=\frac{1564}{34}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}&lt;/math&gt;

Per la parte immaginaria:

&lt;math&gt;-3=-\frac{204}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

Pertanto il risultato finale è:

&lt;math&gt;Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

In forma decimale:

&lt;math&gt;Z_4\approx31.6176+j32.2794&lt;/math&gt;


==2° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, il computo  di z = (6 - 3j) alla quinta potenza:

'''Calcola: (6 - 3 j)^5 '''

la risposta di IA:
&lt;math&gt;
(6-3j)^5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
= \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^2=36-36j+9j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=36-36j-9
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=27-36j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^4=(27-36j)^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j+1296j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j-1296
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-567-1944j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402+1701j-11664j+5832j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402-9963j-5832
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-9234-9963j
&lt;/math&gt;


==3° Esempio==

Si ripete l'esempio precedente con la IA di Gemini; si osserva una migliore spiegazione del processo di calcolo e la naurale uguaglianza del risultato.

L'esercizio è disponbile all'indirizzo:


[[https://drive.google.com/file/d/1jUYsSiblHl7ufnBV4V9Hk7nbX7m4gB-g/view?usp=drive_link]di Gemini]</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* 3° Esempio */</comment>
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      <text bytes="6186" sha1="abt4aybu9w5bqzaswl46xvbx0kcjht8" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Le operazioni algebriche tra numeri complessi
| avanzamento = 100%
}}


===Un insieme di operazioni===


== Somma ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=a+bi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=c+di&lt;/math&gt;.

La loro somma si ottiene sommando separatamente le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie:

&lt;math&gt;z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;3+4+2i+5i&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(3+2i)+(4+5i)=7+7i&lt;/math&gt;

== Sottrazione ==

La sottrazione segue lo stesso principio:

&lt;math&gt;z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;5-2+(4-1)i&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;(5+4i)-(2+i)=3+3i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione ==

Per moltiplicare due numeri complessi si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=ac+adi+bci+bd i^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd&lt;/math&gt;

Raccogliendo le parti reali e immaginarie:

&lt;math&gt;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2+3i)(4+i)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+2i+12i+3i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=8+14i-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=5+14i&lt;/math&gt;


== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;


== Potenze dell'unità immaginaria ==

Dalla definizione

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;i^3=i^2i=-i&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^4=i^2i^2=(-1)(-1)=1&lt;/math&gt;

Le potenze di &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; si ripetono quindi con periodo quattro:

&lt;math&gt;i^1=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^3=-i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^4=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^5=i&lt;/math&gt;

In generale,

&lt;math&gt;i^{4k}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+1}=i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+2}=-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;i^{4k+3}=-i&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero.


== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, un computo tra numeri complessi di difficile svolgimento con carta e matita:

'''Calcola:'''

'''Z4 = z1 * z2 + (z3 )^2 . z1/z2'''

'''per '''

'''z1 = 3 - j4 '''

'''z2 = 6 + j7 '''

'''z3 = 2.5 - j8 '''


IA risponde:


```text
Dati:

&lt;math&gt;z_1 = 3 - j4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_2 = 6 + j7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_3 = 2.5 - j8&lt;/math&gt;

L'espressione da calcolare è:

&lt;math&gt;Z_4 = z_1 z_2 + (z_3)^2 \cdot \frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo innanzitutto il prodotto &lt;math&gt;z_1 z_2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = (3-j4)(6+j7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 18 + j21 - j24 - j^2 28&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 18 + j21 - j24 + 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z_1 z_2 = 46-j3&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora &lt;math&gt;(z_3)^2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = (2.5-j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2.5^2 - j(2)(2.5)(8) + (j8)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 6.25-j40-64&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -57.75-j40&lt;/math&gt;

In forma frazionaria:

&lt;math&gt;(z_3)^2 = -\frac{231}{4}-j40&lt;/math&gt;

Calcoliamo il rapporto &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-j4}{6+j7}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{3-j4}{6+j7}\cdot\frac{6-j7}{6-j7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{(3-j4)(6-j7)}{(6+j7)(6-j7)}&lt;/math&gt;

Calcoliamo il numeratore:

&lt;math&gt;(3-j4)(6-j7)=18-j21-j24+j^2 28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=18-j45-28&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-10-j45&lt;/math&gt;

Calcoliamo il denominatore:

&lt;math&gt;(6+j7)(6-j7)=36-(j7)^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=36+49=85&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{-10-j45}{85}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}&lt;/math&gt;

Ora calcoliamo il prodotto:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\left(-\frac{231}{4}-j40\right)\left(-\frac{2}{17}-j\frac{9}{17}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{80}{17}+j^2\frac{360}{17}&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;=\frac{462}{68}+j\frac{2079}{68}+j\frac{320}{68}-\frac{1440}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\frac{978}{68}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Semplificando la parte reale:

&lt;math&gt;(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}=-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;Z_4=z_1z_2+(z_3)^2\cdot\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;Z_4=(46-j3)+\left(-\frac{489}{34}+j\frac{2399}{68}\right)&lt;/math&gt;

Portiamo la parte reale allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;46=\frac{1564}{34}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;46-\frac{489}{34}=\frac{1075}{34}&lt;/math&gt;

Per la parte immaginaria:

&lt;math&gt;-3=-\frac{204}{68}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-3+\frac{2399}{68}=\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

Pertanto il risultato finale è:

&lt;math&gt;Z_4=\frac{1075}{34}+j\frac{2195}{68}&lt;/math&gt;

In forma decimale:

&lt;math&gt;Z_4\approx31.6176+j32.2794&lt;/math&gt;


==2° Esercizio ==

Si propone ad IA, in grassetto, il computo  di z = (6 - 3j) alla quinta potenza:

'''Calcola: (6 - 3 j)^5 '''

la risposta di IA:
&lt;math&gt;
(6-3j)^5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
= \left[(6-3j)^2\right]^2(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^2=36-36j+9j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=36-36j-9
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=27-36j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^4=(27-36j)^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j+1296j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=729-1944j-1296
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-567-1944j
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6-3j)^5=(-567-1944j)(6-3j)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402+1701j-11664j+5832j^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-3402-9963j-5832
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=-9234-9963j
&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Si ripete l'esempio precedente con la IA di Gemini; si osserva una migliore spiegazione del processo di calcolo e la naurale uguaglianza del risultato.

L'esercizio è disponbile all'indirizzo:


[[https://drive.google.com/file/d/1jUYsSiblHl7ufnBV4V9Hk7nbX7m4gB-g/view?usp=drive_link]di Gemini]</text>
      <sha1>abt4aybu9w5bqzaswl46xvbx0kcjht8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Il piano complesso</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37837</id>
    <revision>
      <id>287459</id>
      <parentid>287425</parentid>
      <timestamp>2026-09-17T06:22:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287459</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3555" sha1="aekd1q8lfawwph96ayoxt22j3jjajxm" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-09-17T06:38:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* 1° Esercizio */</comment>
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      <text bytes="4291" sha1="ishrimyo9oxzhehsur11q4qayedhobv" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==


Dato il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* 1° Esercizio */</comment>
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| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  °'''


IA risponde:</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
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| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:</text>
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      <text bytes="6106" sha1="n3ytsd83y9lc1mdroui2qi2gq18m54y" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;
```</text>
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      <timestamp>2026-09-17T07:39:00Z</timestamp>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4)cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''2° Esercizio
Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:


IA risponde:</text>
      <sha1>sqzs73x3jy8y6qjm6wo5jpjnc1pi8fr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>287469</id>
      <parentid>287468</parentid>
      <timestamp>2026-09-17T07:46:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>Annullata la modifica [[Special:Diff/287468|287468]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]])</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6248" sha1="ebbi6665bkigdrc24u0b9m1uvp2qiyu" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4)cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:</text>
      <sha1>ebbi6665bkigdrc24u0b9m1uvp2qiyu</sha1>
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      <timestamp>2026-09-17T07:49:44Z</timestamp>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
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      <text bytes="7036" sha1="i1noxzm05zqsx0snvqovpfgzk0ybf6q" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4)cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:

Certo. Ecco il calcolo completo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;` e senza `\boxed`.

&lt;math&gt;\frac{3(\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ)}{4(\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-1^\circ-2^\circ)+j\sin(-1^\circ-2^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-3^\circ)+j\sin(-3^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos 3^\circ-j\sin 3^\circ\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\cos 3^\circ-j\frac{3}{4}\sin 3^\circ&lt;/math&gt;</text>
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      <timestamp>2026-09-17T07:50:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3° Esercizio */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7036" sha1="fc895sa89liqj64asnmn7edqdtuxg06" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:

Certo. Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;`.

```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;


==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4(cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:

Certo. Ecco il calcolo completo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;` e senza `\boxed`.

&lt;math&gt;\frac{3(\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ)}{4(\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-1^\circ-2^\circ)+j\sin(-1^\circ-2^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-3^\circ)+j\sin(-3^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos 3^\circ-j\sin 3^\circ\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\cos 3^\circ-j\frac{3}{4}\sin 3^\circ&lt;/math&gt;</text>
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      <timestamp>2026-09-17T07:57:00Z</timestamp>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* 2° Esercizio */</comment>
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      <text bytes="6899" sha1="cebwr92uhdzz80oqxkkgt2osmc5knpo" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:


```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;

==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4(cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:

Certo. Ecco il calcolo completo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione racchiusa nei tag `&lt;math&gt;...&lt;/math&gt;` e senza `\boxed`.

&lt;math&gt;\frac{3(\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ)}{4(\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-1^\circ-2^\circ)+j\sin(-1^\circ-2^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-3^\circ)+j\sin(-3^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos 3^\circ-j\sin 3^\circ\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\cos 3^\circ-j\frac{3}{4}\sin 3^\circ&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>cebwr92uhdzz80oqxkkgt2osmc5knpo</sha1>
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      <timestamp>2026-09-17T07:57:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3° Esercizio */</comment>
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      <text bytes="6751" sha1="87dqj6uxs2qpemkeja28ihkllhsfx59" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Rappresentazione dei numeri nel piano complesso
| avanzamento = 100%
}}


Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente mediante un piano cartesiano chiamato '''piano complesso''' o '''piano di Argand-Gauss'''.

La coordinata orizzontale rappresenta la parte reale:

&lt;math&gt;x=\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

La coordinata verticale rappresenta il coefficiente della parte immaginaria:

&lt;math&gt;y=\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

Pertanto il numero

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

corrisponde al punto

&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;

del piano.

Per esempio, il numero

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

è rappresentato dal punto

&lt;math&gt;(3,2)&lt;/math&gt;

La rappresentazione geometrica può essere schematizzata nel modo seguente:

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|cccccc}
 &amp; &amp; &amp; \operatorname{Im} &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; \uparrow &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; \bullet\ z=(3,2) &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; | &amp; &amp; &amp; \\
\hline
 &amp; &amp; &amp; +----------------\rightarrow &amp; \operatorname{Re} &amp; &amp;
\end{array}
&lt;/math&gt;

In forma concettuale:

&lt;math&gt;\text{asse reale}\longleftrightarrow\operatorname{Re}(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{asse immaginario}\longleftrightarrow\operatorname{Im}(z)&lt;/math&gt;

== Vettore associato ==

Il punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; può essere interpretato anche come il vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(a,b)&lt;/math&gt;

che parte dall'origine e termina nel punto corrispondente al numero complesso.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

corrisponde al vettore

&lt;math&gt;\vec{z}=(3,2)&lt;/math&gt;

La lunghezza del vettore rappresenta il '''modulo''' del numero complesso.

== Modulo ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il modulo di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è definito come

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo formato dalle coordinate &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;.

Per esempio, per

&lt;math&gt;z=3+4i&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{3^2+4^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{9+16}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=\sqrt{25}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;|z|=5&lt;/math&gt;

Il modulo rappresenta quindi la distanza del punto &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; dall'origine del piano complesso.

== Argomento ==

Per un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si può definire un angolo &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;, chiamato '''argomento''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;, come l'angolo formato dal vettore associato a &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con il semiasse reale positivo.

Quando &lt;math&gt;a\ne0&lt;/math&gt;, l'angolo soddisfa la relazione

&lt;math&gt;\tan\theta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

In generale è preferibile determinare l'angolo tenendo conto del quadrante in cui si trova il punto.

Si può indicare un argomento di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; con

&lt;math&gt;\arg(z)=\theta&lt;/math&gt;

Poiché una rotazione completa corrisponde a

&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;

l'argomento non è unico:

&lt;math&gt;\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

rappresenta lo stesso numero complesso per ogni &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Un particolare argomento scelto in un intervallo convenzionale viene detto '''argomento principale'''.

== Forma trigonometrica ==

Dalla geometria del piano complesso si ha

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;r=|z|&lt;/math&gt;.

Sostituendo queste relazioni nella forma algebrica

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;z=r\cos\theta+ir\sin\theta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

Questa è la '''forma trigonometrica''' di un numero complesso.

Il procedimento di conversione è quindi

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;r=\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\theta=\arg(z)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a=r\cos\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=r\sin\theta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;


===Esercizi===


==1° Esercizio==

Calcolo di numero complesso algebrico da numero complesso trigonometrico, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico  z  dal numero complesso trigonometrico zt per r = 1 e teta = 5°'''


IA risponde:

il numero complesso in forma trigonometrica:

&lt;math&gt;z_t = r(\cos\theta + i\sin\theta)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;r = 1&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\theta = 5^\circ&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;z_t = 1(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)&lt;/math&gt;

Poiché il modulo è &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;z = \cos 5^\circ + i\sin 5^\circ&lt;/math&gt;

Calcoliamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria:

&lt;math&gt;\cos 5^\circ \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin 5^\circ \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;

Pertanto, la forma algebrica del numero complesso è:

&lt;math&gt;z \approx 0{,}9961946981 + 0{,}0871557427i&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\operatorname{Re}(z) \approx 0{,}9961946981&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{Im}(z) \approx 0{,}0871557427&lt;/math&gt;


==2° Esercizio==

Calcolo del prodotto tra un numero complesso algebrico za e un numero complesso trigonometrico zt, si propone ad IA, in grassetto, il periodo:

'''Calcolo del numero complesso algebrico: Za = (3-j8) * 2( cos 3° + j sen 3°)  '''


IA risponde:


```text
Dato il numero complesso:

&lt;math&gt;Z_a=(3-j8)\cdot 2(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si distribuisce il fattore &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;Z_a=2(3-j8)(\cos 3^\circ+j\sen 3^\circ)&lt;/math&gt;

Si applica la proprietà distributiva:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+3j\sen 3^\circ-j8\cos 3^\circ-j8j\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;j^2=-1&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;-j8j\sen 3^\circ=-8j^2\sen 3^\circ=8\sen 3^\circ&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;Z_a=2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ+j(3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ)]&lt;/math&gt;

Utilizzando i valori approssimati:

&lt;math&gt;\cos 3^\circ\approx0.998629535&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sen 3^\circ\approx0.052335956&lt;/math&gt;

La parte reale è:

&lt;math&gt;2[3\cos 3^\circ+8\sen 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.998629535)+8(0.052335956)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[2.995888605+0.418687648]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(3.414576253)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx6.829152506&lt;/math&gt;

La parte immaginaria è:

&lt;math&gt;2[3\sen 3^\circ-8\cos 3^\circ]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[3(0.052335956)-8(0.998629535)]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2[0.157007868-7.989036280]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2(-7.832028412)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\approx-15.664056824&lt;/math&gt;

Quindi il numero complesso in forma algebrica è:

&lt;math&gt;Z_a\approx6.82915-j15.66406&lt;/math&gt;

==3° Esercizio==

Proponi il grassetto ad IA:

'''Calcolo del rapporto tra   3(cos 1° - j sen 1°) / 4(cos 2° + j sen 2°)'''


IA risponde:

&lt;math&gt;\frac{3(\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ)}{4(\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos 1^\circ-j\sin 1^\circ}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\frac{\cos(-1^\circ)+j\sin(-1^\circ)}{\cos 2^\circ+j\sin 2^\circ}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-1^\circ-2^\circ)+j\sin(-1^\circ-2^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos(-3^\circ)+j\sin(-3^\circ)\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\left(\cos 3^\circ-j\sin 3^\circ\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{3}{4}\cos 3^\circ-j\frac{3}{4}\sin 3^\circ&lt;/math&gt;</text>
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    <title>La formula di Eulero</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37838</id>
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      <id>287476</id>
      <timestamp>2026-09-17T08:21:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>Creata pagina con &quot;== Formula di Eulero ==  La formula di Eulero stabilisce che  &lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;  Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:  &lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;  Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.  == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==  Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono  &lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\fra...&quot;</comment>
      <origin>287476</origin>
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      <text bytes="5848" sha1="t81jze5dy0tm1ap069w4hjo3n0hzki5" xml:space="preserve">== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Coniugato complesso ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il '''coniugato complesso''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\overline{z}=a-bi&lt;/math&gt;

Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

ha coniugato

&lt;math&gt;\overline{z}=3-2i&lt;/math&gt;

Nel piano complesso, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; sono simmetrici rispetto all'asse reale.

Una proprietà fondamentale è

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;

Infatti,

&lt;math&gt;(a+bi)(a-bi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-abi+abi-b^2i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-b^2(-1)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2+b^2&lt;/math&gt;

e poiché

&lt;math&gt;|z|^2=a^2+b^2&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;.

== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;

== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>t81jze5dy0tm1ap069w4hjo3n0hzki5</sha1>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      </contributor>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
}}


== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Coniugato complesso ==

Dato

&lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt;

il '''coniugato complesso''' di &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\overline{z}=a-bi&lt;/math&gt;

Il coniugato si ottiene quindi cambiando il segno della parte immaginaria.

Per esempio,

&lt;math&gt;z=3+2i&lt;/math&gt;

ha coniugato

&lt;math&gt;\overline{z}=3-2i&lt;/math&gt;

Nel piano complesso, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; sono simmetrici rispetto all'asse reale.

Una proprietà fondamentale è

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;

Infatti,

&lt;math&gt;(a+bi)(a-bi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-abi+abi-b^2i^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2-b^2(-1)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=a^2+b^2&lt;/math&gt;

e poiché

&lt;math&gt;|z|^2=a^2+b^2&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;z\overline{z}=|z|^2&lt;/math&gt;.

== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;

== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
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      <timestamp>2026-09-17T08:41:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* Coniugato complesso */</comment>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
}}


== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Divisione ==

Consideriamo

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;c+di\ne0&lt;/math&gt;.

Per eliminare la parte immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
\cdot
\frac{c-di}{c-di}&lt;/math&gt;

Si ottiene

&lt;math&gt;\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}&lt;/math&gt;

Il denominatore diventa

&lt;math&gt;(c+di)(c-di)=c^2+d^2&lt;/math&gt;

mentre il numeratore diventa

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^2=-1&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\frac{a+bi}{c+di}
=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2}
+
\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i&lt;/math&gt;

== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* Divisione */</comment>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
}}


== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Inverso di un numero complesso ==

L'inverso moltiplicativo di un numero complesso non nullo &lt;math&gt;z=a+bi&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;\frac{1}{z}&lt;/math&gt;

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato:

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a-bi}{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;\frac{1}{a+bi}
=
\frac{a}{a^2+b^2}
-
\frac{b}{a^2+b^2}i&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
}}


== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== Esempio di calcolo di una radice ==

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
}}


== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== 1° Esercizio==


'''Esempio di calcolo di una radice'''

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* 1° Esercizio */</comment>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Sulla formula di Eulero
| avanzamento = 100%
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== Formula di Eulero ==

La formula di Eulero stabilisce che

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale:

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici.

== Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie ==

Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono

&lt;math&gt;e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=i\theta&lt;/math&gt; nella serie dell'esponenziale:

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}&lt;/math&gt;

Separando i termini pari e dispari:

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}
+
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;i^{2n}=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;i^{2n+1}=i(-1)^n&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\theta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}
+
i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta&lt;/math&gt;

== Identità di Eulero ==

Ponendo

&lt;math&gt;\theta=\pi&lt;/math&gt;

nella formula di Eulero:

&lt;math&gt;e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos\pi=-1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\pi=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;e^{i\pi}=-1&lt;/math&gt;

e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è

&lt;math&gt;e^{i\pi}+1=0&lt;/math&gt;

== Moltiplicazione in forma polare ==

Siano

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}&lt;/math&gt;.

Il prodotto è

&lt;math&gt;z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}&lt;/math&gt;

Quindi, moltiplicando due numeri complessi:

&lt;math&gt;|z_1z_2|=|z_1||z_2|&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)&lt;/math&gt;

Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti.

== Divisione in forma polare ==

Per

&lt;math&gt;z_1=r_1e^{i\theta_1}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}
=
\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\left|\frac{z_1}{z_2}\right|
=
\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)
=
\arg(z_1)-\arg(z_2)&lt;/math&gt;

== Potenze: formula di De Moivre ==

Se

&lt;math&gt;z=r(\cos\theta+i\sin\theta)&lt;/math&gt;

allora, per ogni intero &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))&lt;/math&gt;

Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''.

In forma esponenziale:

&lt;math&gt;(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}&lt;/math&gt;

Per esempio,

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3&lt;/math&gt;

diventa

&lt;math&gt;2^3e^{i\pi}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8&lt;/math&gt;

== Radici n-esime ==

Per trovare le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso non nullo

&lt;math&gt;z=re^{i\theta}&lt;/math&gt;

si cerca un numero

&lt;math&gt;w=\rho e^{i\varphi}&lt;/math&gt;

tale che

&lt;math&gt;w^n=z&lt;/math&gt;

Da

&lt;math&gt;(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\rho^n=r&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\rho=\sqrt[n]{r}&lt;/math&gt;

Gli argomenti devono soddisfare

&lt;math&gt;n\varphi=\theta+2k\pi&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}&lt;/math&gt;

Le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; radici sono quindi

&lt;math&gt;w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,\ldots,n-1&lt;/math&gt;.

Le radici &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare.

== 1° Esercizio==


'''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice'''

Consideriamo

&lt;math&gt;z=1&lt;/math&gt;

e cerchiamo le radici cubiche:

&lt;math&gt;w^3=1&lt;/math&gt;

Scriviamo

&lt;math&gt;1=e^{i2k\pi}&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;w_k=e^{i2k\pi/3}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k=0,1,2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_0=e^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_1=e^{i2\pi/3}
=
\cos\frac{2\pi}{3}
+
i\sin\frac{2\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;k=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;w_2=e^{i4\pi/3}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;

Le tre radici cubiche di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sono pertanto

&lt;math&gt;1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i&lt;/math&gt;</text>
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