Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 102 8286 287500 279497 2026-09-18T00:40:42Z Kilobarq 45532 non frequento più ingegneria informatica 287500 wikitext text/x-wiki {{cassetto|Utenti interessati| *[[Utente:Wikifier|Wikifier]] *[[Utente:Gaetano M|Boze91]] *[[Utente:Enrico972|Enrico972]] *[[Utente:Klez|Klez]] *[[Utente:Nexos|Nexos]] *[[Utente:AndreaDellaCorte|AndreaDellaCorte]] *[[Utente:Gandiaron|Gandiaron]] *[[Utente:Chris89|Chris89]] *[[Utente:StefanoBusetti|StefanoBusetti]] *[[Utente:giovannini15|giovannini15]] *[[Utente:Jittox|Jittox]] *[[Utente:Yuri|Yuri]] *[[Utente:Zamein|Zamein]] *[[Utente:Maverick2009|Maverick2009]] *[[Utente:De_Stefano_Francesco|De Stefano Francesco]] *[[Utente:DadoBax|DadoBax]] *[[Utente:Massimo|Massimo]] *[[Utente:Doc|Doc]] *[[Utente:lordbyson|lordbyson]] *[[Utente:G&amp;NiO|G&amp;NiO]] *[[Utente:MaPreRi|MaPreRi]] *[[Utente:marcorossi|marcorossi]] *[[Utente:Tankadinho|Tankadinho]] *[[Utente:maxload|maxload]] *[[Utente:cappe|cappe]] *[[Utente:frankdd89|frankdd89]] *[[Utente:thonnos|thonnos]] *[[Utente:manuelprojects|manuelprojects]] *[[Utente:Andry1992|Andry1992]] *[[Utente:CoachGodzup|CoachGodzup]] *[[Utente:AARyuzakiKK|AARyuzakiKK]] *[[Utente:AARyuzakiKK|AARyuzakiKK]] *[[Utente:MIMMO74455|MIMMO74455]] *[[Utente:Il Roco|Il Roco]] *[[Utente:Marcomicera|Marcomicera]] *[[Utente:RenatoRodio|RenatoRodio]] *[[Utente:Enrigua|Enrigua]] *[[Utente:CrisV89|CrisV89]] *[[Utente:ToninoBriganti|ToninoBriganti]] *[[Utente:Alessandro. .popa|Alessandro. .popa]] *[[Utente:TheRukk|TheRukk]] }} l6iwo0pcfp6yibjrgnlnohwvi61pvae 0 10364 287496 274973 2026-09-17T22:26:46Z ~2026-50250-46 46932 Sostanziale miglioramento 287496 wikitext text/x-wiki {{W}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Filosofia del diritto}} Nel diritto, è definita norma sanzionatoria la previsione che contempli una fattispecie astratta (preconcetto) e un disincentivo collegato alla violazione (sanzione). Nei diversi ordinamenti giuridici, la rilevanza delle norme sanzionatorie è tale che esse sono amche chiamate norme primarie. Esistono tuttavia diverse norme giuridiche che non associano alla fattispecie un disincentivo, o che all'oppostono assegnino un incentivo associato al rispetto della fattispecie. Il diritto internazionale non è principalmente basato su norme sanzionatorie. Le sanzioni possono essere classificate secondo due criteri: *interno-esterno: con sanzione interna, si intende il peso morale avvertito dall'individuo; con sanzione esterna, si indica la prestazione imposta da un'autorità diversa dall'individuo derivante dall'atto illecito. *informale-formale: con sanzione informale indichiamo una prestazione derivante da un codice etico, da norme di costume, ma non da una vera fonte giuridica; con sanzione formale indichiamo la prestazione che trova origine in una fonte di diritto. La norma sanzionatoria deve dare indicazione: *della natura della sanzione (monetaria, limitazioni) *dell'ammontare (detto 'quantum') *della modalità della prestazione *dei termini temporali *del soggetto individuato ad irrogare la sanzione (Istituzione pubblica, Autorità garante, ...) La sanzione è quindi individuata per legge, e non è soggetta ad arbitrio (se non nei casi e nei modi previsti da legge, che rimangono migliorativi per la condizione del sanzionato). -Teorie della sanzione- * Nelle teorie normative (derivate dalle teorie di [[w:Hans Kelsen|Kelsen]]) la norma giuridica può essere descritta come un periodo ipotetico: “se succede questo fatto, il giudice deve applicare la sanzione”. Secondo questo approccio, la norma sanzionatoria ha il ruolo di vincolare il Giudice ad applicare la sanzione così come prevista dall'ordinamento di fronte a una violazione della fattispecie. * Nelle teorie Predittive (derivanti dagli studi di [[w:|Ross]]): ''il diritto è una predizione di ciò che faranno i giudici''. In queste analisi, il diritto non ha il ruolo di indirizzare i Giudici ad un comportamento, bensì di riassumere la decisione tipica di un Tribunale davanti alla violazione della fattispecie. Ciò implica un'analisi dei precedenti e un'analisi predittiva del comportamento di fronte ad ulteriori casi reali. Entrambe le teorie vedono la sanzione nel rapporto con il giudizio, ignorando gli effetti sui comportamenti privati; ciò è dovuto allo scopo del diritto, che è quello di vincolare il libero arbitrio nell'esercizio dei poteri pubblici. Per Kelsen, infatti, “il diritto è una tecnica sociale usata da sovrano, che, per ottenere un certo comportamento da parte dei cittadini, minaccia una pena per il comportamento opposto”. La forza privata non è legittima. Ma è necessario controllare l<nowiki>'</nowiki>uso della forza pubblica affinché non si sfoci nello stato-leviatano, ma per approdare allo stato di diritto. Quindi bisogna controllare chi dispone della forza pubblica, ovvero le norme si devono rivolgere ai funzionari. Ma così il diritto si allontana dal cittadino e si perde la funzione di guida, e al contempo si esalta il modello del bandito. Il diritto, nella possibilità di non essere sanzionati, diventa un<nowiki>'</nowiki>alternativa, ma secondo Viola, la sanzione ha anche un aspetto etico. Infatti sancire vuol dire approvare (come faceva il senato romano rispetto alle decisioni del popolo). La sanzione dà il senso del valore del divieto: più è grave la sanzione, più valore si dà al rispetto del precetto. Sarebbe efficace ma immorale non commisurare la sanzione alla pena. Attraverso il principio della proporzionalità, il cittadino è in grado di dedurre l<nowiki>'</nowiki>importanza sociale del rispetto della norma. La sanzione è giudizio di valore. Ultimo compito della sanzione è proteggere i cittadini onesti (che sono la maggior parte). Guardare il diritto sotto la prospettiva della sanzione significa guardarlo in una situazione patologica complessivamente minoritaria. 2ju3lmk3ggui74udrg8ta9jdt1hjj75 287497 287496 2026-09-17T22:31:21Z ~2026-50250-46 46932 /* */ 287497 wikitext text/x-wiki {{W}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Filosofia del diritto}} Nel diritto, è definita norma sanzionatoria la previsione che contempli una fattispecie astratta (preconcetto) e un disincentivo collegato alla violazione (sanzione). Nei diversi ordinamenti giuridici, la rilevanza delle norme sanzionatorie è tale che esse sono amche chiamate norme primarie. Esistono tuttavia diverse norme giuridiche che non associano alla fattispecie un disincentivo, o che all'oppostono assegnino un incentivo associato al rispetto della fattispecie. Il diritto internazionale è un ordinamento giuridico non principalmente basato su norme sanzionatorie. Le sanzioni possono essere classificate secondo due criteri: *interno-esterno: con sanzione interna, si intende il peso morale avvertito dall'individuo; con sanzione esterna, si indica la prestazione imposta da un'autorità diversa dall'individuo derivante dall'atto illecito. *informale-formale: con sanzione informale indichiamo una prestazione derivante da un codice etico, da norme di costume, ma non da una vera fonte giuridica; con sanzione formale indichiamo la prestazione che trova origine in una fonte di diritto. La norma sanzionatoria deve dare indicazione: *della natura della sanzione (monetaria, limitazioni) *dell'ammontare (detto 'quantum') *della modalità della prestazione *dei termini temporali *del soggetto individuato ad irrogare la sanzione (Istituzione pubblica, Autorità garante, ...) La sanzione è quindi individuata per legge, e non è soggetta ad arbitrio (se non nei casi e nei modi previsti da legge, che rimangono migliorativi per la condizione del sanzionato). -Teorie della sanzione- * Nelle teorie normative (derivate dalle teorie di [[w:Hans Kelsen|Kelsen]]) la norma giuridica può essere descritta come un periodo ipotetico: “se succede questo fatto, il giudice deve applicare la sanzione”. 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Esistono tuttavia diverse norme giuridiche che non associano alla fattispecie un disincentivo, o che all'oppostono assegnino un incentivo associato al rispetto della fattispecie. Il diritto internazionale è un ordinamento giuridico non principalmente basato su norme sanzionatorie. '''Classificazione delle sanzioni:''' *interno-esterno: con sanzione interna, si intende il peso morale avvertito dall'individuo; con sanzione esterna, si indica la prestazione imposta da un'autorità diversa dall'individuo derivante dall'atto illecito. *informale-formale: con sanzione informale indichiamo una prestazione derivante da un codice etico, da norme di costume, ma non da una vera fonte giuridica; con sanzione formale indichiamo la prestazione che trova origine in una fonte di diritto. 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Per Kelsen, infatti, “il diritto è una tecnica sociale usata da sovrano, che, per ottenere un certo comportamento da parte dei cittadini, minaccia una pena per il comportamento opposto”. La forza privata non è legittima. Ma è necessario controllare l<nowiki>'</nowiki>uso della forza pubblica affinché non si sfoci nello stato-leviatano, ma per approdare allo stato di diritto. Quindi bisogna controllare chi dispone della forza pubblica, ovvero le norme si devono rivolgere ai funzionari. Ma così il diritto si allontana dal cittadino e si perde la funzione di guida, e al contempo si esalta il modello del bandito. Il diritto, nella possibilità di non essere sanzionati, diventa un<nowiki>'</nowiki>alternativa, ma secondo Viola, la sanzione ha anche un aspetto etico. Infatti sancire vuol dire approvare (come faceva il senato romano rispetto alle decisioni del popolo). La sanzione dà il senso del valore del divieto: più è grave la sanzione, più valore si dà al rispetto del precetto. Sarebbe efficace ma immorale non commisurare la sanzione alla pena. Attraverso il principio della proporzionalità, il cittadino è in grado di dedurre l<nowiki>'</nowiki>importanza sociale del rispetto della norma. La sanzione è giudizio di valore. Ultimo compito della sanzione è proteggere i cittadini onesti (che sono la maggior parte). Guardare il diritto sotto la prospettiva della sanzione significa guardarlo in una situazione patologica complessivamente minoritaria. 6i4ba3himk91z4je0pdu118xpnrsfyt 287499 287498 2026-09-17T22:39:04Z ~2026-50250-46 46932 /* */ 287499 wikitext text/x-wiki {{W}} {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Filosofia del diritto}} Nel diritto, è definita norma sanzionatoria la previsione che contempli una fattispecie astratta (preconcetto) e un disincentivo collegato alla violazione (sanzione). Nei diversi ordinamenti giuridici, la rilevanza delle norme sanzionatorie è tale che esse sono amche chiamate norme primarie. Esistono tuttavia diverse norme giuridiche che non associano alla fattispecie un disincentivo, o che all'oppostono assegnino un incentivo associato al rispetto della fattispecie. Il diritto internazionale è un ordinamento giuridico non principalmente basato su norme sanzionatorie. '''Classificazione delle sanzioni:''' *interno-esterno: con sanzione interna, si intende il peso morale avvertito dall'individuo; con sanzione esterna, si indica la prestazione imposta da un'autorità diversa dall'individuo derivante dall'atto illecito. *informale-formale: con sanzione informale indichiamo una prestazione derivante da un codice etico, da norme di costume, ma non da una vera fonte giuridica; con sanzione formale indichiamo la prestazione che trova origine in una fonte di diritto. 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Il legislatore ha particolare attenzione per questi soggetti a cui dedica privilegi, incentivi, immunità fiscali, contributi finanziari. Per ottenere questi incentivi non è richiesta alcuna personalità giuridica ma il più delle volte è richiesta l'iscrizione in particolari registri (in particolare il RUNTS) e la sottoposizione a particolari sistemi di controllo compiuti il più delle volte da Authorities. Questi soggetti rientrano in varie categorie. Le più diffuse sono sicuramente le '''ONLUS''' regolate dall'art. 10 del d.lgs. 4 dicembre 1997, n. 460. Ma vi sono anche altri soggetti come le '''Cooperative Sociali''', le '''Associazioni dei Consumatori e degli Utenti''', le '''Associazioni di Promozione Sociale''', i '''Fondi Pensionistici''', le '''Fondazioni Bancarie''' e le '''Fondazioni che Operano nel Settore Musicale''', gli '''Enti Ecclesiastici''' e così via. Tutte regolate da Leggi Speciali e ognuna avente delle caratteristiche particolari. == L'Impresa Sociale == Un particolare tipo di Nuove Organizzazioni a Interesse Generale è sicuramente l' '''Impresa Sociale''' introdotta dal d.lgs. 155/2006. Essa identifica tutte quelle imprese private (escluse sempre le cooperative poiché perseguono fine mutualistico) in cui l'attività economica d'impresa principale è stabile e ha per oggetto la produzione e lo scambio di beni e servizi di utilità sociale. Tali sono i beni o i servizi che ricadono nei settori tassativamente indicati dal predetto d.lgs. 155/2006. Possono conseguire il titolo di impresa sociale, ai sensi dell'art.1 del d.lgs.155/2006: ''« le organizzazioni private, ivi comprese gli enti di cui al libro V del codice civile, che esercitano in via stabile e principale un'attività economica organizzata al fine della produzione e dello scambio di beni o servizi di utilità sociale, diretta a realizzare finalità di interesse generale. »'' Per poter ottenere la qualifica di impresa sociale bisogna soddisfare i seguenti requisiti: * essere costituita con un atto pubblico. * avere una struttura democratica. * destinare utili e avanzi di gestione allo svolgimento dell'attività statutaria o ad incremento del patrimonio, e pertanto non distribuirli, neanche indirettamente. * tenere libro giornale e inventario. * redigere e depositare presso il registro delle imprese un documento che rappresenti lo stato patrimoniale e finanziario dell'impresa. * redigere il bilancio sociale. * coinvolgere lavoratori e destinatari delle attività nella gestione. * avere la maggioranza degli amministratori soci Possono quindi acquisire la qualifica: * associazioni riconosciute e non, fondazioni, comitati. * società (di persone e di capitali), le cooperative, i consorzi. Le imprese sociali devono comunque mantenere finalità di interesse generale che vengono favorite dal legislatore sul piano civilistico con la possibilità di potersi organizzare in qualsiasi forma di organizzazione privata e con qualsiasi tipo societario con la possibilità di formare anche un gruppo. L'importante è che questo tipo di impresa non abbia mai come fine ultimo o principale lo scopo di lucro. Non possono essere considerate imprese sociali le amministrazioni pubbliche o quelle che erogano servizi e beni solo in favore dei soci. Le imprese sociali godono del privilegio di poter limitare alcuni aspetti delle responsabilità patrimoniali dei partecipanti anche quando per la forma societaria utilizzata prevarrebbe la responsabilità personale e illimitata di questi soggetti (società in nome collettivo). In particolare: * se l'impresa sociale è dotata di un patrimonio netto di ventimila euro al momento dell'iscrizione nel registro delle imprese risponde delle obbligazioni assunte solo l'organizzazione con il suo patrimonio. * se il patrimonio diminuisce per delle perdite al di sotto di 1/3 dei ventimila euro, delle obbligazioni rispondono in solido tutti coloro che hanno agito per nome e per conto dell'impresa. Quindi le agevolazioni poste dal legislatore sono valide solo per l'impresa sociale in bonis. Inoltre è importante ricordare che sul patrimonio di questo tipo di imprese grava un vincolo di indisponibilità in quanto non è mai possibile, nemmeno in caso di scioglimento, distribuire fondi o riserve a vantaggio di coloro che ne fanno parte bensì l'intero patrimonio deve essere devoluto in altre associazioni non lucrative indicate nello statuto. L'assenza dello scopo di lucro e dello smobilizzo del patrimonio è tenuta costante anche in caso di scissione, fusione o trasformazione dell'impresa sociale. Le società commerciali per poter essere considerate imprese sociali devono inserire il vincolo di non distribuzione degli utili. Non possono essere considerate un'impresa sociale gli enti pubblici e quegli enti privati il cui scopo sociale vada a solo vantaggio dei soci e non della generalità dei cittadini. I settori di attività in cui possono operare le imprese sociali sono definite all'articolo 2 del d.lgs.155/2006: * assistenza sociale * assistenza sanitaria e socio sanitaria * educazione * istruzione * tutela ambientale * tutela dei beni culturali * formazione universitaria * formazione extrascolastica * turismo sociale * servizi strumentali alle imprese sociali resi da enti composti in misura superiore al 70% da organizzazioni che esercitano un'impresa sociale. Possono inoltre diventare imprese sociali le organizzazioni che, indipendentemente dall'ambito di attività, svolgono attività di impresa per l'inserimento di lavoratori disabili e svantaggiati se questi costituiscono almeno il 30% del personale. Inoltre l'attività non deve avere prioritariamente finalità mutualistica, ovvero non può essere rivolta esclusivamente a soci. I vantaggi principali si riscontrano nella responsabilità patrimoniale (in caso di patrimoni superiori a 20.000 euro, delle obbligazioni assunte risponde solo l'organizzazione, non i soci) e nella possibilità di avvalersi di volontari nel limite del 50% dei lavoratori. lwpmdclr18t96n3zg9ygqerkumf6az6 0 23965 287495 274064 2026-09-17T16:08:14Z ~2026-50193-20 46931 /* Esercizi sulle carte geografiche in generale */ 287495 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=quiz|materia1=Scienze naturali per le superiori 1|avanzamento=100%}} I seguenti esercizi riguardano [[Rappresentazione della superficie terrestre (superiori)|Rappresentazione della superficie terrestre]] studiati nella Lezione 6. Essi sono divisi per paragrafi in modo tale da favorire la scelta degli esercizi specifici. == Esercizi sulle carte geografiche in generale == <!-- === Completamento di un brano === --> <quiz display=simple> {Completa |type="{}"} Una carta geografica è una { rappresentazione } ridotta, approssimata e { simbolica } della { superficie } terrestre <!-- ==== Esercizio 2 ==== --> <!-- === Completamento di un brano === --> {Completa il testo. |type="{}"} le carte { equivalenti } mantengono costante il rapporto tra le superfici { reali|vere } e quelle rappresentate. le carte { equidistanti } mantengono costante il rapporto tra le { distanze } dei punti della superficie terrestre e quelle riprodotte sulla carta. <!-- ================================================================================================================ --> == Esercizi sui tipi di carte in base all'approssimazione == <!-- ==== Esercizio 1 ==== --> <quiz display=simple> {I tipi di carte in base all'approssimazione sono: Equivalenti, equidistanti e ridotte. |type="()"} - Vero + Falso ==== Esercizio 2 ==== {Le carte sono equivalenti quando mantengono costanti le proporzioni fra le aree. |type="()"} + Vero - Falso ==== Esercizio 3 ==== {Le carte sono isogone (o conformi) quando mantengono costanti le proporzioni fra le distanze |type="()"} - Vero + Falso ==== Esercizio 4 ==== {Carte equidistanti: non mantengono costanti le proporzioni fra distanze |type="()"} - Vero + Falso </quiz> <!-- ======================================================================================================= --> == Esercizi sui tipi di carte in base alla scala == <!-- ==== Esercizio 1 ==== --> <quiz display=simple> |type="{}"} Le carte possono essere classificate, a seconda della loro scala, in { quattro } gruppi. <!-- ==== Esercizio 2 ==== --> { |type="{}"} Scala grafica, un { segmento } in cui si indica a quale { lunghezza } corrisponde nella { realtà } . Ha il vantaggio di essere { intuitiva } <!-- ==== Esercizio 3 ==== --> { |type="{}"} Le piante o mappe, utilizzate per { rappresentare } piccole { porzioni } di territorio. <!-- ==== Esercizio 4 ==== --> { |type="{}"} Le carte { geografiche }, rappresentano { continenti }, grandi { stati }, grandi { porzioni } della Terra o tutta la { Terra }. </quiz> <!-- ======================================================================================================= --> == Esercizi sui tipi di carte in base al simbolismo == <!-- ==== Esercizio 1 ==== --> <quiz display=simple> { |type="{}"} Le carte { fisiche (i) _8} mostrano fiumi, montagne o pianure, mentre quelle { politiche (i) _9 } mostrano città , confini ecc. e poi ci sono le carte { tematiche }. <!-- === Vero o Falso === --> {Una carta si dice simbolica quando fa uso di disegni, simboli e colori. |type="()"} + Vero - Falso === Completamento di un brano === {Completa il testo. |type="{}"} le carte { generali } comprendono le carte fisiche e fisico-politiche. le carte { speciali } sono realizzate per svolgere una determinata funzione ad esempio le carte stradali, turistiche e nautiche. <!-- === Vero o Falso === --> {Le carte fisiche danno importanza ad aspetti introdotti dall'uomo? |type="()"} - Vero + Falso </quiz> eloca9ti7s5ufltu0c58ordjotgt9u0 2 37055 287501 279498 2026-09-18T00:42:17Z Kilobarq 45532 287501 wikitext text/x-wiki Ex-studente di Ingegneria informatica presso il Politecnico di Milano, ora a Business Analytics for Management alla LIUC. :] ghvmrarikwaun15dv6l5qrmr5x2btew 0 37838 287486 287483 2026-09-17T14:21:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287486 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{x}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> 7asml5y4mo2azacvd8zrhl4d0104pcv 287487 287486 2026-09-17T14:21:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287487 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{\omega}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> stfeqh848sf3sxdyhi4711wtnm5wbru 287488 287487 2026-09-17T14:23:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287488 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{\1+j0}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. 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In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{\()}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> mi6khei4q8ey571f7zutvd32zq7f9n1 287490 287489 2026-09-17T14:27:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287490 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{\}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> b82kk43ydugskl4ml6ya9trdyr8hfk9 287491 287490 2026-09-17T14:27:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287491 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>\sqrt[3]{x}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> 7asml5y4mo2azacvd8zrhl4d0104pcv 287492 287491 2026-09-17T14:28:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287492 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>w = \sqrt[3]{x}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> o7np00eos2083m241yifdiiftx5sj3u 287493 287492 2026-09-17T14:29:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287493 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo di una radice''' Consideriamo <math>w = \sqrt[3]{z}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ih2nt1zqljg0yt9905cacygz0hychem 287494 287493 2026-09-17T14:32:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287494 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Consideriamo <math>w = \sqrt[3]{z}</math> <math>z=1</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> gq73a8uh56fnxbu2r6l0z93p968fslo 287502 287494 2026-09-18T06:27:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287502 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Consideriamo <math>w = \sqrt[3]{z}</math> <math>z=1 + j0</math> e cerchiamo le radici cubiche: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> sc7lwcirw5ygmsifiwt1o740630r56u 287503 287502 2026-09-18T06:31:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287503 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di z; <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> bf0t0u09r4ug83ag6fw67kh0cn40seu 287504 287503 2026-09-18T06:31:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287504 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> 53y7ul9chzz3qogzifnv82lop5mobql 287505 287504 2026-09-18T06:38:27Z Funzioni di correlazione 24136 287505 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° esercizio== Certo. Ecco un esempio completo, in formato **wikitesto grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>` e senza `\boxed`. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. ravk0we84baiskl1279bub6b91e6nea 287506 287505 2026-09-18T07:13:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287506 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico Certo. Ecco un esempio completo, in formato **wikitesto grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>` e senza `\boxed`. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. eb6zqvziqcl8w131rg9sl8sm1880yo6 287507 287506 2026-09-18T07:14:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287507 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. 46sej4sia79ct7qvpo77qqvytqtfr5e 287508 287507 2026-09-18T07:16:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287508 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con informazione ad IA in grassetto. Calcola == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. 94ao0kavt7zp72981nvwozh7tv60uft 287509 287508 2026-09-18T07:16:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica */ 287509 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con informazione ad IA in grassetto. Calcola Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. 6oxgh1mo89zlctizuwetsawxp9jkn3x 287510 287509 2026-09-18T07:23:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287510 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. == Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica == Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. kgbx271irpy33wjcyk99dgzxnkgos0b 287511 287510 2026-09-18T07:24:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio: numero complesso di Eulero in forma algebrica */ 287511 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Se vuoi, posso anche prepararti la versione con **un esempio più completo**, ad esempio <math>3e^{i\frac{2\pi}{3}}</math>, mostrando tutti i passaggi fino alla forma <math>a+bi</math>. d30j4hjn37xuo4mgt26duetmvhyokhy 287512 287511 2026-09-18T07:25:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287512 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> f2wuh646vi6cxhct666rhhdxs6ldqbh 287513 287512 2026-09-18T08:50:21Z Funzioni di correlazione 24136 287513 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> ==3° Esercizio== Certo. Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione racchiusa nei tag `<math>...</math>` e senza `\boxed`. ```text <math>z=(5+3j)^2</math> <math>z=5^2+2\cdot5\cdot3j+(3j)^2</math> <math>z=25+30j+9j^2</math> <math>j^2=-1</math> <math>z=25+30j-9</math> <math>z=16+30j</math> Il modulo di <math>z</math> è: <math>|z|=\sqrt{16^2+30^2}</math> <math>|z|=\sqrt{256+900}</math> <math>|z|=\sqrt{1156}=34</math> L'argomento di <math>z</math> è: <math>\theta=\operatorname{atan2}(30,16)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{30}{16}\right)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{15}{8}\right)</math> Poiché <math>16>0</math> e <math>30>0</math>, il numero complesso si trova nel primo quadrante. Secondo la formula di Eulero: <math>e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta</math> Quindi la forma esponenziale di un numero complesso è: <math>z=|z|e^{j\theta}</math> Sostituendo il modulo e l'argomento ottenuti: <math>z=34e^{j\arctan(15/8)}</math> Pertanto: <math>(5+3j)^2=34e^{j\arctan(15/8)}</math> ``` elxk2cwyirozw4y0x9bzotv7yuxbqu7 287514 287513 2026-09-18T08:55:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287514 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> ==3° Esercizio== Per IA in grsssetto: '''Converti complesso algebrico (5+3j)^2 in complessso di Eulero''' <math>z=5^2+2\cdot5\cdot3j+(3j)^2</math> <math>z=25+30j+9j^2</math> <math>j^2=-1</math> <math>z=25+30j-9</math> <math>z=16+30j</math> Il modulo di <math>z</math> è: <math>|z|=\sqrt{16^2+30^2}</math> <math>|z|=\sqrt{256+900}</math> <math>|z|=\sqrt{1156}=34</math> L'argomento di <math>z</math> è: <math>\theta=\operatorname{atan2}(30,16)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{30}{16}\right)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{15}{8}\right)</math> Poiché <math>16>0</math> e <math>30>0</math>, il numero complesso si trova nel primo quadrante. Secondo la formula di Eulero: <math>e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta</math> Quindi la forma esponenziale di un numero complesso è: <math>z=|z|e^{j\theta}</math> Sostituendo il modulo e l'argomento ottenuti: <math>z=34e^{j\arctan(15/8)}</math> Pertanto: <math>(5+3j)^2=34e^{j\arctan(15/8)}</math> ``` s3jz247itg3fpk420fay1ehwxfpgz4u 287515 287514 2026-09-18T08:55:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287515 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Sulla formula di Eulero | avanzamento = 100% }} == Formula di Eulero == La formula di Eulero stabilisce che <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Pertanto la forma trigonometrica può essere scritta in forma esponenziale: <math>z=re^{i\theta}</math> Questa rappresentazione è particolarmente utile per moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici. == Dimostrazione della formula di Eulero tramite serie == Le serie di Taylor dell'esponenziale, del seno e del coseno sono <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> <math>\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math> <math>\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Ponendo <math>x=i\theta</math> nella serie dell'esponenziale: <math>e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^n}{n!}</math> Separando i termini pari e dispari: <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Poiché <math>i^{2n}=(-1)^n</math> e <math>i^{2n+1}=i(-1)^n</math> si ottiene <math>e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Quindi <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> == Identità di Eulero == Ponendo <math>\theta=\pi</math> nella formula di Eulero: <math>e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi</math> Poiché <math>\cos\pi=-1</math> e <math>\sin\pi=0</math> si ottiene <math>e^{i\pi}=-1</math> e quindi la forma più nota dell'identità di Eulero è <math>e^{i\pi}+1=0</math> == Moltiplicazione in forma polare == Siano <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}</math>. Il prodotto è <math>z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math> Quindi, moltiplicando due numeri complessi: <math>|z_1z_2|=|z_1||z_2|</math> e <math>\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)</math> Geometricamente, la moltiplicazione complessa combina una '''dilatazione''' dei moduli e una '''rotazione''' degli argomenti. == Divisione in forma polare == Per <math>z_1=r_1e^{i\theta_1}</math> e <math>z_2=r_2e^{i\theta_2}\ne0</math> si ha <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math> Pertanto <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}</math> e <math>\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2)</math> == Potenze: formula di De Moivre == Se <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> allora, per ogni intero <math>n</math>, <math>z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))</math> Questa relazione è nota come '''formula di De Moivre'''. In forma esponenziale: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math> Per esempio, <math>(2e^{i\pi/3})^3</math> diventa <math>2^3e^{i\pi}</math> quindi <math>(2e^{i\pi/3})^3=8(-1)=-8</math> == Radici n-esime == Per trovare le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso non nullo <math>z=re^{i\theta}</math> si cerca un numero <math>w=\rho e^{i\varphi}</math> tale che <math>w^n=z</math> Da <math>(\rho e^{i\varphi})^n=\rho^ne^{in\varphi}</math> segue <math>\rho^n=r</math> e quindi <math>\rho=\sqrt[n]{r}</math> Gli argomenti devono soddisfare <math>n\varphi=\theta+2k\pi</math> da cui <math>\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}</math> Le <math>n</math> radici sono quindi <math>w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>. Le radici <math>n</math>-esime di un numero complesso sono disposte sul piano complesso come vertici di un poligono regolare. == 1° Esercizio== '''Proposto da IA: Esempio di calcolo delle radici di un numero complesso z''' Calcoliamo le radici qubiche di <math>z=1 + j0</math> <math>w = \sqrt[3]{z}</math> il percorso di calcolo.: <math>w^3=1</math> Scriviamo <math>1=e^{i2k\pi}</math> Le soluzioni sono <math>w_k=e^{i2k\pi/3}</math> con <math>k=0,1,2</math>. Per <math>k=0</math>: <math>w_0=e^0=1</math> Per <math>k=1</math>: <math>w_1=e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}</math> quindi <math>w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i</math> Per <math>k=2</math>: <math>w_2=e^{i4\pi/3}</math> e quindi <math>w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> Le tre radici cubiche di <math>1</math> sono pertanto <math>1,\quad-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i</math> ==2° Esercizio== Trasformazione di numero complesso secondo Eulero in numero algebrico con quesito ad IA in grassetto. '''Trasforma e^(j 3.14 / 3) in numero complesso algebrico''' La risposta di IA: Si consideri il numero complesso <math>z=e^{i\frac{\pi}{3}}</math> Per convertire il numero complesso dalla forma esponenziale alla forma algebrica si utilizza la formula di Eulero <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math> Ponendo <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> si ottiene <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}</math> Si calcolano quindi i valori delle funzioni trigonometriche <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> e <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Sostituendo questi valori nell'espressione precedente si ha <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Pertanto, nella forma algebrica <math>a+bi</math>, il numero complesso è <math>z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> dove la parte reale è <math>\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}</math> e la parte immaginaria è <math>\operatorname{Im}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Il percorso di calcolo può quindi essere riassunto come <math>e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> ==3° Esercizio== Per IA in grsssetto: '''Converti complesso algebrico (5+3j)^2 in complessso di Eulero''' <math>z=5^2+2\cdot5\cdot3j+(3j)^2</math> <math>z=25+30j+9j^2</math> <math>j^2=-1</math> <math>z=25+30j-9</math> <math>z=16+30j</math> Il modulo di <math>z</math> è: <math>|z|=\sqrt{16^2+30^2}</math> <math>|z|=\sqrt{256+900}</math> <math>|z|=\sqrt{1156}=34</math> L'argomento di <math>z</math> è: <math>\theta=\operatorname{atan2}(30,16)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{30}{16}\right)</math> <math>\theta=\arctan\left(\frac{15}{8}\right)</math> Poiché <math>16>0</math> e <math>30>0</math>, il numero complesso si trova nel primo quadrante. Secondo la formula di Eulero: <math>e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta</math> Quindi la forma esponenziale di un numero complesso è: <math>z=|z|e^{j\theta}</math> Sostituendo il modulo e l'argomento ottenuti: <math>z=34e^{j\arctan(15/8)}</math> Pertanto: <math>(5+3j)^2=34e^{j\arctan(15/8)}</math> alg82x4w5s6if3tj914tlpyru27ojdv