Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 4 11 287615 287422 2026-09-20T08:12:12Z Vallema 46644 /* itWikiCon 2026: È pronto il tabellone del programma */ nuova sezione 287615 wikitext text/x-wiki {{bar10}} {{Torna su}} [[Categoria:Bar| ]] [[Categoria:Discussioni]] __NEWSECTIONLINK__ == Idee per un Wikiversitario analfabeta == Salve! Scrivo qui perché è la pagina a cui rimanda lo [[Wikiversità:Sportello informazioni]]: ho una lieve esperienza su [https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Saver47 it.wikipedia] ma assolutamente zero conoscenze per quanto riguarda il funzionamento di Wikiversità e avevo in mente (con tempi dilatati e sperando di riuscire effettivamente nello scopo) di riportare su questo progetto i contenuti dei corsi di laurea che ho seguito ormai negli anni passati. Non so se sia il giusto approccio per chi si affaccia a Wikiversità, né tantomeno se il contenuto di un corso di laurea (appunti personali presi a lezione e/o estrapolati da libri didattici sugli argomenti) sia adatto al progetto. Chiedo vostri pareri! Si tratterebbe, in ogni caso, di contenuti per il [[Corso:Matematica]]. --[[Utente:Saver47|Saver47]] ([[Discussioni utente:Saver47|Discussione]]) 22:25, 14 gen 2026 (CET) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:45, 16 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 22:02, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Wikimedia Hackathon e Wikimania 2026: apertura borse di partecipazione di Wikimedia Italia == Siamo molto lieti di comunicarvi che Wikimedia Italia ha aperto le '''borse per sostenere i costi di partecipazione a [[:mw:Wikimedia Hackathon 2026|Wikimedia Hackathon 2026]] e [[:wmania:2026:Wikimania|Wikimania 2026]]'''. * Per Wikimedia Hackathon, che si terrà a Milano dal 1º al 3 maggio, vengono messe a disposizione 6 borse da 350 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro venerdì 6 febbraio 2026'''. * Per Wikimania, che si terrà a Parigi dal 21 al 25 luglio, vengono messe a disposizione 13 borse da 800 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro domenica 1º marzo 2026'''. Tutte le richieste pervenute saranno poi valutate da due commissioni appositamente costituite e gli esiti verranno comunicati entro l'11 febbraio per il Wikimedia Hackathon ed entro il 25 marzo per Wikimania. I bandi completi si trovano sul wiki di Wikimedia Italia: * Wikimedia Hackathon: [[:wmit:Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026|Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026]] * Wikimania: [[:wmit:Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026|Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026]] All'interno dei bandi si trovano i link ai form da compilare per la richiesta. Siete tutti invitati a partecipare! Per qualsiasi dubbio, non esitate a [https://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:InviaEmail?wpTarget=Dario_Crespi_(WMIT) scrivermi]. Buona giornata, --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 09:54, 28 gen 2026 (CET) == Sondaggio su microgrant e sportello volontari di Wikimedia Italia == Ciao. Nel corso degli ultimi anni [[:it:w:Wikipedia:Wikimedia Italia|Wikimedia Italia]] ha introdotto alcuni strumenti a sostegno delle attività promosse dai volontari dei progetti Wikimedia e OpenStreetMap. In particolare, dal 2017 con il programma '''microgrant''' finanzia progetti fino a 1000 euro, mentre dal 2021 è attivo lo '''sportello volontari''', che finanzia progetti per importi superiori. Vorremmo capire meglio quanto questi strumenti siano conosciuti e come siano percepiti, oltre a individuare possibili miglioramenti per rispondere sempre di più alle esigenze della comunità. Per questo ti chiediamo di dedicarci qualche minuto compilando un breve sondaggio: il tuo punto di vista per noi è davvero prezioso. Le risposte ci aiuteranno a individuare cosa funziona, cosa può essere migliorato e in che modo Wikimedia Italia può offrire un supporto più efficace. Il sondaggio è disponibile a questo link: https://survey.wikimedia.it/index.php/754139 Ti chiediamo per favore di rispondere entro le ore 23.59 di domenica 15 febbraio. Ti ringrazio e rimango a tua disposizione per qualsiasi informazione, [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 16:43, 9 feb 2026 (CET) == Prima o poi... interveniamo == {{Ping|Mattruffoni|Galessandroni|Smatteo499}} Buongiorno, da qualche anno contribuisco a questo progetto, e fin dai primi giorni ho imparato a conoscere punti di forza e di debolezza di Wikiversità, oltre alle belle persone che la popolano e che mi hanno accolto a braccia aperte. Quest'anno Wikipedia, il nostro fratello maggiore, festeggia 25 anni di attività e lo sta facendo con una molteplicità di eventi: festival della qualità, edit-a-thon, eventi sul territorio, speciali animazioni online, ... L'anno prossimo, precisamente a maggio 2027, saranno 20 anni dall'apertura di Wikiversità in italiano. Ovviamente, data la nostra dimensione, non possiamo certo pretendere ed ambire ad un simile trattamento, ma penso che sarebbe una bellissima cosa utilizzare il tempo che intercorre tra oggi e l'anniversario, per chiudere delle questioni interminabili e organizzare, nel nostro piccolo, una celebrazione. Per questo dividerò le mie considerazioni e proposte, nei due macro-argomenti: #'''Chiusura di problemi e questioni tecniche'''. Basta visitare la pagina [[Dipartimento:Wikiversità]] per capire la quantità di problemi e questioni che affliggono questo progetto. Soprattutto, a causa della discontinuità della contribuzione. ''Tuttavia, prima di continuare il mio intervento, ritengo doveroso chiarire che, non essendo un contributore storico, potrei commettere errori facendo determinate affermazioni.'' Per fare un'esempio, l'interlocuzione tra questo progetto e WMI o MIM mi sembra che si sia arenata da molto tempo, anche se queste relazioni sono fondamentali per cercare di coinvolgere scuole ed istituzioni, che sono il volano per la diffusione di Wikiversità. Anche la relazione interprogetto con Vikidia, dopo una fase iniziale, si è parzialmente arenata, e le pagine di aiuto collegate a questo progetto sono poco accessibili o ancora da terminare. In generale, la stragrande maggioranza delle pagine di aiuto dovrebbe essere completata e/o rivista, dato che alcune sono rimaste il copia-incolla di quelle di Wikipedia. Il restyling delle pagine e altri lavori di questo tipo sono la parte più triste, in quanto alcuni di questi interventi risalgono alla Riorganizzazione 2015, 10 anni fa, oppure al decennale di Wikiversity, 9 anni fa. Pertanto, ritengo che quegli obiettivi vadano completati una volta per tutte. Anche perché in alcuni casi l'infrastruttura è già stata realizzata ed attende solo di essere varata. #'''Celebrazione del ventennale'''. Per quanto riguarda questo secondo punto, avrei qualche idea, più o meno simpatica, per l'anniversario. Innanzitutto, penso che sarebbe positivo realizzare un banner da affiggere in tutte le pagine del nostro progetto. Se poi fosse possibile, si potrebbe portare questo banner su tutti i progetti Wikimedia in italiano, grazie ad apposite pagine che si trovano su Meta. Inoltre, si potrebbe aggiungere un box in homepage e realizzare, finalmente, un festival della qualità o simili, già abbozzati anni fa, ma mai portati fino in fondo. La volontà di questo mio messaggio non è polemizzare su quanto non sia stato fatto in passato, ma cercare di portare a compimento ciò che è stato lasciato in sospeso per celebrare al meglio il ventennale, anche se è una cosa complessa e potrebbe richiedere, nuovamente, di ripensare Wikiversità. Per questo, mi metto a completa disposizione per qualsiasi cosa (io partirei da ricapitolare tutte le cose in sospeso in una pagina). Tuttavia, per quanto riguarda questioni tecniche come template, CCS e simili, dichiaro la mia incapacità di contribuire per mancanza di conoscenze adeguate. Spero di essere stato preciso in questo mio messaggio e mi permetto di concludere pingando due utenti attivi su questo progetto, che potrebbero essere intenzionati a dare una mano. Ma, sicuramente, non sono obbligati =) {{Ping|Samuele2002|Hippias}} [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:25, 22 feb 2026 (CET) :[[File:Tazza Wikiversità (cropped).jpg|thumb|Okay, okay, cercherò di farne una foto più decente.]]'''Maggio 2027''' per programmare un evento ''decente'' è praticamente ''ieri'', ma noi ci proveremo e ci riusciremo. Non è un segreto per nessuno che - da diverso tempo - io stia flirtando con Wikibooks e altri progetti, ma provo a fare la lista della spesa. :* Servono gadget (tazze, spille, matite, adesivi) da fornire a chi organizza eventi. :* Per questo Wikimedia Italia e Wikimedia Foundation forniscono finanziamenti a chi organizza queste cose. Ci sono i microgrant (fino a 1.000 €, abbastanza facili da gestire), poi i finanziamenti volontari (da 1.000 a 10.000 €) mi sembra in due tranche all'anno, mentre i grant della Wikimedia Foundation non li ho mai richiesti. Però @[[Utente:Mattruffoni|Mattruffoni]] e Paolo Mauri (che ha cambiato nome utente), rispettivamente ex presidente e segretario di Wikimedia Italia ne sanno più di me. :* Infine, dobbiamo pensare alla torta: è un compleanno! :[[File:Gadget Wikimedia per Wiki Loves Marche 2024 (2).jpg|thumb|Cose che dovrebbero esserci in ogni banchetto, tutte a tema Wikiversità]]Infine, dovremmo coinvolgere le scuole in ''maratone di scrittura'', per migliorare e scrivere le lezioni mancanti. Questo lo si fa a partire da settembre 2026 scrivendo a tutte le scuole d'Italia proponendo di fare progetti di alternanza scuola/lavoro con Wikimedia Italia aventi per oggetto la scrittura collaborativa di lezioni. :La cosa difficile sarà trovare insegnanti sensibili alla tematica, ma non impossibile. Ricordo che su Commons sono presenti delle [[:c:Category:Wikibussole_by_Wikimedia_Italia|Wikibussole]], brevi video realizzati da Wikimedia Italia per spiegare come utilizzare i vari progetti. Manchiamo solo noi. :Sempre su Commons trovate [[:c:File:Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari.pdf|Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari]] un mio talk al Linux Day bolognese del 2023 dove parlavo di Wikiversità e Vikidia, di cosa sono e in cosa differiscono da Wikipedia. :Concludo, non siamo Wikipedia, ma questa differenza può rivelarsi anche la nostra forza. Quindi, creiamo una pagina e scriviamo chi fa cose e dove le fa. Detto questo sapremo quali e quanti fondi chiedere per gli eventi.<br> [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:38, 22 feb 2026 (CET) ::'''Dimenticavo''': dobbiamo vederci faccia a faccia. Quando, raggiungeremo una massa critica, creerò un sondaggio per un giorno comodo a tutti dove fare una conferenza e scambiarci due idee. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:41, 22 feb 2026 (CET) :::Per le questioni tecniche ho inaugurato questa discussione, ci sono due cose in sospeso che si possono chiudere relativamente in fretta: [[Discussioni dipartimento:Wikiversità#Memo: da fare 2026]]. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 19:24, 27 feb 2026 (CET) ::::{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Innanzitutto, vi ringrazio per l'interesse mostrato verso questa iniziativa. Mi piace molto l'idea delle maratone di scrittura proposta da Galessandroni, che aiuterebbe a scrivere e migliorare le lezioni per scuole elementari e medie, le quali sono tra le categorie più "vuote" di Wikiversità. Visto che Hippias ha aperto una discussione per le cose tecniche in sospeso che si possono chiudere a stretto giro, forse non è meglio creare un'altra discussione solo ed esclusivamente per gli aspetti organizzativi legati al ventennale? [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 15:41, 1 mar 2026 (CET) :::::E allora cominciamo adesso, subito, ora. Per esempio, le richieste per le borse di studio per State of the Map, Parigi, fine agosto 2026, scadono a marzo, per dare un'idea dei tempi, ma l'organizzazione è stata messa in moto da anni. :::::Se volete io chiedo a Wikimedia Italia che budget possiamo richiedere. Penso che per un ventennale 5.000/10.000 € possiamo chiederli. Tutto a copertura spese. Potremmo chiedere un aiuto a una mia cara amica romagnola, [[:it:w:Utente:Una tantum|Una tantum]], esperta in eventi e realizzazione gadget. :::::Wikimedia ha ufficio stampa, raccolta fondi, ecc. Prepariamo una pagina di progetto dove documentare tutte le proposte e le richieste, così da poter fare delle richieste a Wikimedia. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:25, 1 mar 2026 (CET) ::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Anche per me, ovviamente, si può iniziare adesso. Tuttavia, io, personalmente, preferirei un iniziativa che porta contributi al progetto (come un festival della qualità), invece di un evento fisico di festa, che porta meno frutti. La pagina di progetto si potrebbe realizzare come sottopagina del dipartimento Wikiversità. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:47, 1 mar 2026 (CET) :::::::@[[Utente:DBBBL|DBBBL]] Naturalmente. Per me il festival della qualità si svolgerà nell'intero 2027. Poi, tutto il resto, sarà un corollario. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:53, 1 mar 2026 (CET) ::::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Ottimo! [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:58, 1 mar 2026 (CET) {{Rientro}}{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Ho appena terminato di stendere la pagina dedicata al progetto, che trovate [[Wikiversità:Ventennale|qui]]. Date le mie scarse abilità nel campo template, la pagina risulta abbastanza bruttina e pertanto apportate pure tutte le modifiche che vi paressero opportune. Inoltre, iniziate pure ad aggiungere le relative proposte. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 17:30, 15 mar 2026 (CET) == Attivazione sportello di supporto legale di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio che Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di supporto legale gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un avvocato in merito a questioni che riguardano la loro attività su Wikipedia e gli altri progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello si articola in due parti: * un documento con "risposte a domande frequenti" che affronta alcune casistiche di carattere generale più ricorrenti (e che potrà essere aggiornata e ampliata in futuro); * la possibilità di richiedere una consulenza legale con un avvocato per chiarimenti sui contenuti del documento o per questioni non trattate nelle FAQ. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello di supporto legale in questa pagina su Wikipedia in italiano: '''[[w:it:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale]]'''. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo di pingarmi) o tramite [[Special:EmailUser/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 17:20, 11 mar 2026 (CET) == Adattare la lezione "Forma e dimensioni della Terra (superiori)" anche per l'università == Ciao a tutti. Sono Faro Antonino, studente di [[Corso:Ingegneria civile|ingegneria civile]] e molto sporadicamente contribuisco sulla piattaforma. Recentemente sto seguendo la materia di '''Geomatica''' e sto creando un Sandbox per la suddetta materia. Durante le lezioni si fa un breve accenno sulla storia e sulle superfici usate per determinare la superficie terrestre, cercando ho trovato la lezione [[Forma e dimensioni della Terra (superiori)]] che, anche se incompleta, parla degli stessi argomenti che vengono evidenziati nella materia di Geodesia. Essendo che la difficolta di questa parte è (a parer mio) uguale tra le superiori e l'università, proporrei di togliere la perentesi cosi da avere una pagina unica e quindi evitare di creare una pagina duplicata che dice la stessa cosa. Fatemi sapere cosa ne pensate ;) [[Utente:Antonino Faro|Antonino Faro]] ([[Discussioni utente:Antonino Faro|Discussione]]) 13:50, 30 mar 2026 (CEST) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 19:11, 3 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Save the Date: itWikiCon 2026 a Vezia (Lugano) – Vi aspettiamo! == Gli organizzatori sono entusiasti di invitarvi '''all’itWikiCon 2026 che si terrà a [[:w:it:Vezia|Vezia]] ([[:w:it:Lugano|Lugano]])'''! È la prima volta che il convegno annuale della comunità italofona dei progetti Wikimedia si terrà nella Svizzera italiana. Dal '''6 all’8 novembre 2026''' insieme a voi trasformeremo Vezia in un vivace punto d’incontro all’insegna della conoscenza libera, della condivisione e della comunità. La sede del convegno, [https://csvn.ch/ Il Centro Studi Villa Negroni], una struttura nota per aver ospitato persone di spicco della cultura italiana si trova molto vicino a Lugano. Non vediamo l'ora di condividere questo luogo con voi e di partecipare a workshop, discussioni e presentazioni stimolanti. L'organizzazione sta procedendo e nel corso delle prossime settimane, vi terremo aggiornati sui principali sviluppi, inclusi la creazione collaborativa del programma e il bando per le borse di partecipazione. Nelle prossime settimane saranno pubblicate ulteriori informazioni sulla [[:meta:ItWikiCon/2026|pagina principale dell’evento]]. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[:meta:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info(at)itwikicon.org. A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:cassinam|Cassinam]], [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:39, 7 apr 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 02:58, 26 apr 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == Hiruwiki == Hello everyone, I’d like to ask if there is any interest within Wikiversity Italy in using Hiruwiki. Hiruwiki is a collection of interactive, multilingual geometric and mathematical widgets designed for Wikimedia projects. It was originally developed by the Basque Wikimedia Chapter and later updated for broader international use. The goal is to allow editors to embed dynamic proofs, visualisations, and interactive elements directly into wiki pages, making learning content more engaging and easier to understand. Do you think this could be useful for courses or educational materials on Wikiversity Italy? [[Utente:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussioni utente:ItsNyoty|Discussione]]) 14:55, 2 mag 2026 (CEST) :+1 [[Utente:Valcio|Valcio]] ([[Discussioni utente:Valcio|Discussione]]) 14:56, 2 mag 2026 (CEST) ::+1 -- [[Utente:Sciking|Sciking]] ([[Discussioni utente:Sciking|Discussione]]) 15:07, 2 mag 2026 (CEST) :{{+1}} [[Utente:GiovanniPen|GiovanniPen]] ([[Discussioni utente:GiovanniPen|Discussione]]) 23:48, 2 mag 2026 (CEST) == Attivazione sportello counseling di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio di Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di counseling gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un counselor professionista per affrontare difficoltà relazionali, situazioni di tensione o conflitti legati all’attività sui progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello offre uno spazio sicuro di ascolto e confronto e prevede percorsi individuali gratuiti fino a un massimo di 5 colloqui online per persona. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello counseling in questa pagina: '''[[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Sportello counseling]]'''. Ne approfitto per ricordarvi che è sempre attivo anche lo [[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|sportello di supporto legale gratuito]]. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo cortesemente di pingarmi) o tramite [[Speciale:InviaEmail/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 14:59, 7 mag 2026 (CEST) == Apertura delle pre-iscrizioni itWikiCon 2026 == Come saprete già, dal '''6 all'8 novembre 2026''' a [[w:it:Vezia|Vezia]] ([[w:it:Lugano|Lugano]]) si apriranno le porte della [[w:it:Villa Negroni|Villa Negroni]] per '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]'''. Questo convegno unisce ispirazione, innovazione e scambio di idee in un evento di tre giorni. Le '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' sono disponibili da subito ed è il primo passo per manifestare il vostro interesse a partecipare. Inoltre, in questo modo darete un contributo fondamentale al team organizzativo nella pianificazione logistica dell’evento. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info@itwikicon.org. Non vediamo l'ora di accogliervi a Vezia! A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 08:30, 20 mag 2026 (CEST) == Vota ora alle elezioni U4C del 2026 == <section begin="announcement-content" /> Tutti coloro con diritto di voto sono invitati a partecipare alle elezioni 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comitato di coordinamento del codice universale di condotta]]. Maggiori informazioni, compreso il link al tool per verificare il diritto di voto, le informazioni sulle elezioni, sui candidati e il link per votare si trovano su Meta in questa pagina: [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Elezioni 2026 - informazioni]]. Il voto termina il 2 giugno alle [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Per favore, verifica se la tua utenza ha diritto di voto. I risultati staranno disponibili entro il 14 di giugno di 2026. -- In cooperazione con l'U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussione]])</bdi> 19:12, 23 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di raccolta di temi per il programma == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase della raccolta di temi per il '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|programma]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! Queste prime idee serviranno come contenitori per le proposte specifiche in estate. Il convegno si terrà dal '''6 all'8 novembre 2025 a Vezia (Lugano)'''. Il programma lo costruiamo insieme: chiunque può inviare proposte di argomenti per presentazioni, discussioni o workshop. Tutte le informazioni e le istruzioni sono disponibili '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|sulla pagina dedicata al Programma]]'''. Anche quest’anno vogliamo dare particolare spazio ai formati interattivi come workshop o discussioni. Vorremmo cogliere l’occasione del convegno per rafforzare lo spirito di comunità e anche per sviluppare soluzioni alle sfide comuni. La selezione delle proposte avverrà in estate, seguita dalla conferma dei relatori. Aggiornamenti sulle borse di partecipazione seguiranno la prossima settimana. Infine, ti ricordiamo che il periodo delle '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' è ancora in corso. Grazie mille a tutti coloro che si sono già iscritti! Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. Non vediamo l'ora di conoscere le vostre idee! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 17:19, 24 giu 2026 (CEST) == Inserimento di un collegamento ai contatti legali e di sicurezza nel footer della vostra wiki == <section begin="Message"/> '''Contatti legali e di sicurezza''' Salve, la Wikimedia Foundation ha creato una [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|pagina unica di contatto per materie legali e di sicurezza]] che andrà linkata nel footer della vostra wiki, per assicurare l'accesso a informazioni legali accurate. Questa è una necessità di legge. Abbiamo già inserito il link sulle versioni inglese, tedesca, spagnola, italiana e altre ancora di Wikipedia e inseriremo il link anche nel vostro footer presto. Consultate [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|la pagina di progetto]] per saperne di più, per commenti utilizzate questo thread oppure la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|pagina di discussione su Meta]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Sannita (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di richieste per borse di partecipazione == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase delle richieste di '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|borse di partecipazione]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! L’evento si terrà dal '''6 all'8 novembre 2026 a Vezia (Lugano)'''. La fase di candidatura per le borse di partecipazione durerà fino alla fine di luglio '''(29 giugno – 31 luglio)'''. Se vuoi proporre una sessione e hai bisogno di un sostegno per il viaggio e l’alloggio, invia la tua richiesta per tempo. Qui trovi tutte le '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|informazioni sulle borse di partecipazione]]'''. Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:35, 29 giu 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24 lug 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:DreamRimmer@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: potete candidarvi per una borsa di partecipazione entro il 31 luglio == Ciao a tutti! Vi ricordiamo che c’è tempo '''fino al 31 luglio''' per inviare le candidature per ricevere una '''borsa di partecipazione''' per itWikiCon 2026, che si terrà '''a Vezia (Lugano) dal 6 all’8 novembre'''. Troverete tutte le informazioni sulla pagina del progetto '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|nella sezione borse]]'''. Per domande o suggerimenti scriveteci sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 14:14, 28 lug 2026 (CEST) == itWikiCon 2026: fra qualche giorno sarà disponibile la griglia del programma == Ciao a tutti, Fra pochi giorni sarà disponibile la griglia dove inserire gli interventi e i workshop per la conferenza in stile unconference. I temi che avete proposto sulla [[m:ItWikiCon/2026/Programma|pagina del programma]] sono tanti e interessanti. Trasformateli in interventi e workshop. Per domande o suggerimenti scriveteci qua sulla pagina di discussione o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 10:07, 30 ago 2026 (CEST) == itWikiCon 2026: iscrizioni aperte fino al 12 ottobre == Ciao a tutti, '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]''' si sta avvicinando! Il convegno annuale della comunità Wikimedia di lingua italiana si terrà '''da venerdì 6 a domenica 8 novembre a Vezia (Lugano)'''. Ormai è aperta la fase di iscrizione e rimarrà '''aperta fino a lunedì 12 ottobre a mezzanotte'''. Assicuratevi il vostro posto compilando '''[https://ticket.itwikicon.org/itwikicon/2026/ il modulo di iscrizione]'''. La quota di partecipazione di 15.00 CHF serve a sostenere l’organizzazione dell’evento e va pagata direttamente online per confermare l’iscrizione. Venerdì mattina è prevista una visita guidata a cui potete iscrivervi tramite lo stesso modulo. Vi consigliamo di prenotare alloggio e mezzi di trasporto con largo anticipo. Troverete consigli su come arrivare e dove dormire [[m:ItWikiCon/2026/Informazioni|sulla pagina Informazioni]]. Per domande o suggerimenti potete scambiare opinioni sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o contattarci all’indirizzo info{at}itwikicon.org. Non vediamo l’ora di vedervi a Vezia! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 11:37, 11 set 2026 (CEST) == Scambio Server - La tua wiki presto sarà in modalità solo lettura per un breve periodo == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Leggi questo messaggio in un'altra lingua]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] [[foundation:|Wikimedia Foundation]] scambierà il traffico tra i suoi data center. Lo scopo è accertarsi che Wikipedia e le altre wiki Wikimedia riescano a rimanere online anche dopo un disastro. Tutto il traffico sarà commutato il giorno '''{{#time:j xg|2026-09-23|it}}'''. Il test avrà inizio alle '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]'''. Purtroppo, a causa di alcune limitazioni di [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], tutte le attività di modifica dovranno essere interrotte mentre si effettua il cambio. Ci scusiamo per il disagio, stiamo lavorando per minimizzarlo in futuro. Un banner apparirà su tutte le wiki 30 minuti prima dell'inizio dell'operazione. Questo avviso rimarrà visibile fino alla fine dell'operazione. Puoi contribuire alla [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate traduzione o correzione] di questo testo. '''Sarai in grado di leggere, ma non di modificare, tutte le wiki per un breve periodo di tempo.''' * Il giorno {{#time:l j xg Y|2026-09-23|it}} non sarà possibile effettuare modifiche per al massimo un'ora. * Se proverai a modificare o a salvare durante il periodo di sospensione, vedrai apparire un messaggio d'errore. Speriamo che nessuna modifica venga persa durante questi pochi minuti, ma non possiamo garantirlo. Se vedi apparire il messaggio di errore, per cortesia attendi fino a che non sia tornato tutto alla normalità. Da quel momento potrai salvare le tue modifiche. È comunque consigliabile fare prima una copia delle modifiche, per essere pronti a ogni eventualità. ''Altre conseguenze'': * I processi in background saranno più lenti e alcuni potrebbero interrompersi. I link rossi potrebbero non essere aggiornati velocemente come al solito. Se crei una voce per cui esiste già un link entrante a partire da un'altra voce, il collegamento rimarrà rosso più a lungo del solito. Alcuni script in esecuzione di lunga durata dovranno essere fermati. * La distribuzione del codice dovrebbe avvenire normalmente come le altre settimane. Tuttavia, alcuni blocchi nell'aggiornamento del codice potrebbero avvenire puntualmente se l'operazione lo dovesse richiedere in seguito. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] non sarà disponibile per circa 90 minuti. Il progetto potrebbe essere posticipato se necessario. Puoi [[wikitech:Switch_Datacenter|leggere la tabella di marcia su wikitech.wikimedia.org]]. Ogni cambiamento sarà annunciato nella tabella di marcia. '''Per favore, condividi queste informazioni con la tua comunità.'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 14:58, 15 set 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Trizek (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> == itWikiCon 2026: È pronto il tabellone del programma == Ciao a tutti, '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]''' si sta avvicinando! Il convegno annuale della comunità Wikimedia di lingua italiana si terrà '''da venerdì 6 a domenica 8 novembre a Vezia (Lugano)'''. Per rendere sempre più centrali i contributi della comunità, abbiamo deciso di strutturare buona parte della itWikiCon 2026 come una '''unconference''' in cui il contenuto delle sessioni è influenzato e creato dai partecipanti. Le sessioni disponibili sono visibili sul [[m:ItWikiCon/2026/Programma#La_struttura_dei_tre_giorni|tabellone del programma]]. Dopo aver letto le necessarie regole, registrate la vostra sessione. Le proposte e i vostri commenti, è superfluo ricordarlo, devono essere conformi al [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Universal_Code_of_Conduct/it Codice di condotta] Wikimedia. Per domande o suggerimenti potete scambiare opinioni sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o contattarci all’indirizzo info(at)itwikicon.org. Non vediamo l’ora di leggere le vostre proposte! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]], [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 10:12, 20 set 2026 (CEST) hpegb9lxfb59ze6xjux5i5jtr3u6iph 2 32658 287583 287528 2026-09-19T15:41:47Z Funzioni di correlazione 24136 287583 wikitext text/x-wiki Certo. In analisi matematica, una **funzione complessa** è una funzione che coinvolge numeri complessi. Per capirla bene conviene partire dai numeri complessi e poi vedere come cambiano dominio, rappresentazione, derivate e integrali. ## 1. Che cos'è un numero complesso? Un numero complesso ha la forma $$ z=a+bi $$ dove: * \(a\in\mathbb R\) è la **parte reale**; * \(b\in\mathbb R\) è la **parte immaginaria**; * \(i\) è l'unità immaginaria, definita da $$ i^2=-1. $$ Per esempio: $$ z=3+2i. $$ In questo caso $$ \operatorname{Re}(z)=3,\qquad \operatorname{Im}(z)=2. $$ L'insieme dei numeri complessi si indica con \(\mathbb C\). --- # 2. Che cos'è una funzione complessa? In generale una funzione è una regola che associa a ogni elemento del dominio un elemento del codominio. Per esempio, una funzione reale è $$ f:\mathbb R\to\mathbb R. $$ Una **funzione complessa** può invece essere, per esempio, $$ f:\mathbb C\to\mathbb C. $$ Significa che prendiamo un numero complesso \(z\) e otteniamo un altro numero complesso \(f(z)\). Ad esempio: $$ f(z)=z^2. $$ Se $$ z=2+i, $$ allora $$ f(2+i)=(2+i)^2. $$ Sviluppando: $$ (2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i. $$ Quindi $$ f(2+i)=3+4i. $$ --- # 3. Una funzione complessa può essere vista come una funzione di due variabili reali Questo è uno dei concetti più importanti. Scriviamo $$ z=x+iy. $$ Una funzione $$ f:\mathbb C\to\mathbb C $$ può essere scritta come $$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y), $$ dove \(u\) e \(v\) sono due funzioni reali di due variabili reali. In altre parole: $$ \boxed{f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)} $$ con $$ u,v:\mathbb R^2\to\mathbb R. $$ Per esempio, consideriamo $$ f(z)=z^2. $$ Poiché $$ z=x+iy, $$ abbiamo $$ f(z)=(x+iy)^2. $$ Sviluppando: $$ f(z)=x^2+2xyi+i^2y^2. $$ Dato che \(i^2=-1\), $$ f(z)=x^2-y^2+2xyi. $$ Quindi: $$ \boxed{u(x,y)=x^2-y^2} $$ e $$ \boxed{v(x,y)=2xy}. $$ Questa rappresentazione è fondamentale perché permette di studiare una funzione complessa usando gli strumenti dell'analisi reale. --- # 4. Il piano complesso Un numero $$ z=x+iy $$ può essere rappresentato come un punto del piano.     L'asse orizzontale rappresenta la parte reale \(x\), mentre quello verticale rappresenta la parte immaginaria \(y\). Quindi $$ z=3+2i $$ corrisponde al punto $$ (3,2). $$ Questo permette di interpretare geometricamente i numeri complessi. --- # 5. Modulo e argomento Un numero complesso può anche essere descritto attraverso la sua distanza dall'origine e il suo angolo. Per $$ z=x+iy $$ il **modulo** è $$ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. $$ L'**argomento** è l'angolo \(\theta\) che il vettore associato a \(z\) forma con l'asse reale positivo. Possiamo quindi scrivere $$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta), $$ dove $$ r=|z|. $$ Usando la formula di Eulero, $$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, $$ otteniamo la forma esponenziale: $$ \boxed{z=re^{i\theta}}. $$ Questa forma diventa particolarmente utile quando studiamo le funzioni complesse. --- # 6. Esempi di funzioni complesse Le funzioni complesse possono essere molto simili a quelle reali. ### Funzione polinomiale $$ f(z)=z^3-2z+1. $$ ### Funzione razionale $$ f(z)=\frac{z+1}{z-2}. $$ Qui \(z=2\) è escluso dal dominio. ### Funzione esponenziale $$ f(z)=e^z. $$ ### Funzioni trigonometriche $$ f(z)=\sin z,\qquad f(z)=\cos z. $$ ### Funzione logaritmica $$ f(z)=\log z. $$ Quest'ultima è molto più delicata rispetto al logaritmo reale, perché nel campo complesso il logaritmo è, in generale, **multivalore**. --- # 7. L'esponenziale complesso Una delle funzioni più importanti dell'analisi complessa è $$ e^z. $$ Se $$ z=x+iy, $$ allora $$ e^z=e^{x+iy}. $$ Usando le proprietà dell'esponenziale: $$ e^{x+iy}=e^xe^{iy}. $$ Per la formula di Eulero: $$ e^{iy}=\cos y+i\sin y. $$ Pertanto: $$ \boxed{e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}. $$ Questa formula mostra una caratteristica straordinaria: l'esponenziale complesso combina **crescita/decadimento** e **rotazione**. --- # 8. Un esempio geometrico importante Consideriamo $$ f(z)=iz. $$ Supponiamo che $$ z=re^{i\theta}. $$ Allora $$ iz=i re^{i\theta}. $$ Poiché $$ i=e^{i\pi/2}, $$ abbiamo $$ iz=re^{i(\theta+\pi/2)}. $$ Quindi moltiplicare un numero complesso per \(i\) significa: $$ \boxed{\text{ruotarlo di }90^\circ} $$ attorno all'origine. Questo è un esempio di come una funzione complessa possa avere un'interpretazione geometrica molto elegante. --- # 9. Limite di una funzione complessa Il concetto di limite è simile a quello dell'analisi reale. Scriviamo $$ \lim_{z\to z_0}f(z)=L. $$ Significa che \(f(z)\) si avvicina a \(L\) quando \(z\) si avvicina a \(z_0\). La differenza fondamentale è geometrica. Nel caso reale, \(x\) può avvicinarsi a \(x_0\) essenzialmente da destra o da sinistra. Nel piano complesso, invece, \(z\) può avvicinarsi a \(z_0\) **da infinite direzioni**. Per esempio, può arrivare: * orizzontalmente; * verticalmente; * diagonalmente; * lungo una circonferenza; * lungo una qualsiasi curva. Perciò il limite deve essere lo stesso **indipendentemente dal percorso seguito**. --- # 10. Continuità Una funzione \(f\) è continua in \(z_0\) se $$ \boxed{\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)}. $$ È esattamente l'analogo della continuità reale, ma con la distanza nel piano complesso. Per esempio, $$ f(z)=z^2 $$ è continua in ogni punto di \(\mathbb C\). --- # 11. La derivata complessa Qui emerge una delle differenze più profonde. Per una funzione reale: $$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. $$ Per una funzione complessa: $$ \boxed{ f'(z)=\lim_{h\to0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} } $$ con $$ h\in\mathbb C. $$ Ed ecco il punto fondamentale: \(h\) può tendere a zero attraverso **qualsiasi direzione del piano complesso**. Quindi non basta che il limite esista lungo una particolare direzione. Deve essere lo stesso per tutte. --- # 12. Le equazioni di Cauchy-Riemann Supponiamo di avere $$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y). $$ Se \(f\) è derivabile in senso complesso, sotto opportune ipotesi sulle derivate parziali, \(u\) e \(v\) devono soddisfare le **equazioni di Cauchy-Riemann**: $$ \boxed{ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} } $$ e $$ \boxed{ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} }. $$ Queste equazioni sono centrali nell'analisi complessa. --- # 13. Esempio: \(f(z)=z^2\) Abbiamo visto che $$ f(z)=z^2 $$ può essere scritto come $$ f(z)=x^2-y^2+i(2xy). $$ Quindi $$ u(x,y)=x^2-y^2 $$ e $$ v(x,y)=2xy. $$ Calcoliamo: $$ u_x=2x $$ e $$ v_y=2x. $$ Quindi $$ u_x=v_y. $$ Poi: $$ u_y=-2y $$ e $$ v_x=2y. $$ Pertanto: $$ u_y=-v_x. $$ Le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Infatti \(z^2\) è derivabile in senso complesso in ogni punto. --- # 14. Una distinzione importantissima: derivabile vs olomorfa In analisi reale, spesso essere derivabile in un punto è una proprietà abbastanza locale. In analisi complessa si introduce un concetto particolarmente importante: ### Funzione olomorfa Una funzione è **olomorfa** in un insieme se è derivabile in senso complesso in ogni punto di quell'insieme. Per esempio: $$ f(z)=z^2 $$ è olomorfa su tutto \(\mathbb C\). Anche $$ e^z,\quad \sin z,\quad \cos z $$ sono olomorfe su tutto \(\mathbb C\). Una funzione olomorfa su tutto \(\mathbb C\) viene detta **intera**. --- # 15. Un fatto sorprendente L'analisi complessa è molto più rigida dell'analisi reale. Se una funzione complessa è olomorfa, allora non è semplicemente "derivabile": possiede proprietà molto più forti. In condizioni appropriate, una funzione olomorfa è: $$ \boxed{\text{infinitamente derivabile}} $$ e addirittura può essere rappresentata localmente mediante una **serie di potenze**. Per esempio: $$ e^z = 1+z+\frac{z^2}{2!} +\frac{z^3}{3!} +\cdots $$ per ogni \(z\in\mathbb C\). Questo è uno dei motivi per cui l'analisi complessa è così potente. --- # 16. Singolarità Non tutte le funzioni sono ben comportate ovunque. Consideriamo $$ f(z)=\frac1z. $$ La funzione è definita per $$ z\neq0. $$ Nel punto \(z=0\) abbiamo una **singolarità**. In particolare, \(z=0\) è un **polo** di ordine 1. Un altro esempio: $$ f(z)=e^{1/z}. $$ Anche qui \(z=0\) è una singolarità, ma di tipo molto più complesso: è una **singolarità essenziale**. Le singolarità sono una parte fondamentale dell'analisi complessa. --- # 17. Integrali complessi Possiamo anche integrare una funzione complessa lungo una curva. Supponiamo di avere una curva $$ \gamma(t),\qquad a\leq t\leq b. $$ L'integrale di \(f\) lungo \(\gamma\) è $$ \boxed{ \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt }. $$ Questa definizione permette di generalizzare gli integrali usuali alle curve nel piano complesso. Ed è qui che entrano in gioco alcuni dei risultati più importanti dell'analisi complessa. --- # 18. Teorema integrale di Cauchy In forma intuitiva, se \(f\) è olomorfa in una regione sufficientemente regolare, allora l'integrale lungo una curva chiusa che può essere deformata fino a un punto senza incontrare singolarità è zero: $$ \boxed{\oint_\gamma f(z)\,dz=0}. $$ Questo risultato è sorprendentemente potente. Da esso si ottengono, direttamente o indirettamente, molti altri teoremi fondamentali. --- # 19. Formula integrale di Cauchy Uno dei risultati più importanti afferma, in una situazione opportuna: $$ \boxed{ f(z_0)= \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz } $$ dove \(z_0\) si trova all'interno della curva \(\gamma\). Questa formula dice qualcosa di straordinario: > il valore di una funzione olomorfa all'interno di una regione può essere determinato dai valori della funzione sul bordo. In analisi reale una proprietà così forte non è affatto generale. --- # 20. Perché le funzioni complesse sono importanti? L'analisi complessa trova applicazioni in moltissime aree: * matematica pura; * equazioni differenziali; * fisica matematica; * elettromagnetismo; * meccanica quantistica; * fluidodinamica; * teoria dei segnali; * ingegneria; * teoria dei numeri; * trasformate di Fourier e Laplace; * sistemi dinamici. Per esempio, nell'ingegneria elettrica l'uso dei numeri complessi permette di rappresentare in modo estremamente efficiente grandezze sinusoidali e sistemi in corrente alternata. --- ## 21. La struttura fondamentale da ricordare Puoi pensare a una funzione complessa $$ f:\mathbb C\to\mathbb C $$ come a qualcosa che prende $$ z=x+iy $$ e restituisce $$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y). $$ Quindi, in termini reali, abbiamo in realtà una trasformazione $$ (x,y)\longmapsto(u(x,y),v(x,y)). $$ Lo schema mentale è: $$ \boxed{ z=x+iy \quad\longrightarrow\quad f(z)=u(x,y)+iv(x,y) } $$ e la grande domanda dell'analisi complessa è: > **Quando questa trasformazione si comporta abbastanza bene da essere considerata "derivabile" nel senso complesso?** La risposta porta alle **equazioni di Cauchy-Riemann**, all'**olomorfia**, alle **serie di potenze**, agli **integrali complessi**, ai **residui** e al **teorema dei residui**. ### Una possibile progressione per studiarle Se stai imparando l'argomento da zero, l'ordine più naturale è: 1. **Numeri complessi** 2. Piano complesso 3. Modulo e argomento 4. Forma polare ed esponenziale 5. Potenze e radici complesse 6. Funzioni \(f(z)\) 7. Limiti e continuità 8. Derivata complessa 9. Equazioni di Cauchy-Riemann 10. Funzioni olomorfe 11. Esponenziale, logaritmo, seno e coseno complessi 12. Integrali complessi 13. Teorema e formula di Cauchy 14. Serie di Taylor e Laurent 15. Singolarità e residui 16. Teorema dei residui Se vuoi una comprensione **da corso universitario**, il passaggio successivo più utile è partire da **\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)** e derivare passo per passo le equazioni di Cauchy-Riemann, mostrando **perché** la derivata complessa è molto più restrittiva di quella reale. 23lwloynitto8wgi8fa2ktjwb29sbx4 287584 287583 2026-09-19T15:44:02Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina svuotata 287584 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 287585 287584 2026-09-19T15:48:07Z Funzioni di correlazione 24136 287585 wikitext text/x-wiki Certo. Di seguito trovi un testo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, strutturato come un unico documento e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`, senza `\boxed{}`. Ho incluso definizioni, rappresentazioni, proprietà, derivazione, continuità, derivabilità, olomorfia, serie di potenze, integrazione e principali funzioni elementari. '''Funzione complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente, la variabile dipendente, oppure entrambe, appartengono all'insieme dei numeri complessi. Nel caso più generale si considera una funzione <math>f:D\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> dove <math>D</math> è un sottoinsieme del piano complesso. Le funzioni complesse costituiscono uno degli oggetti fondamentali dell'[[analisi complessa]], cioè il ramo della matematica che studia le funzioni di variabile complessa. Rispetto alle funzioni reali, le funzioni complesse presentano proprietà particolarmente forti: in condizioni opportune, la derivabilità complessa implica l'esistenza di derivate di ogni ordine, lo sviluppo in serie di potenze e numerose proprietà di rigidità. == Numeri complessi == Un numero complesso è un numero della forma <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Il numero reale <math>x</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math>, mentre <math>y</math> è detto '''parte immaginaria''' di <math>z</math>. Si scrive <math>\operatorname{Re}(z)=x</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=y</math> Il [[coniugato complesso]] di <math>z</math> è <math>\overline z=x-iy</math> Il modulo di <math>z</math> è <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e soddisfa <math>|z|^2=z\overline z</math> Ogni numero complesso può essere rappresentato nel [[piano complesso]] mediante il punto di coordinate <math>(x,y)</math>. Se <math>z\ne0</math>, può inoltre essere rappresentato in forma polare come <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> dove <math>r=|z|</math> e <math>\theta</math> è un argomento di <math>z</math>. Utilizzando la [[formula di Eulero]] si ottiene <math>z=re^{i\theta}</math> Poiché gli argomenti differiscono di multipli interi di <math>2\pi</math>, lo stesso numero complesso può essere scritto come <math>z=re^{i(\theta+2k\pi)}</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 9g7jcm0lz6w4dy3svutjlzuls7sw57u 102 37832 287586 287530 2026-09-19T15:55:49Z Funzioni di correlazione 24136 287586 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} opi4m25g8gy6m169z6zmq82kuhygxmx 0 37839 287554 287553 2026-09-19T14:08:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287554 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==2° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)?3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 3° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. mtapnqlsb8k7vzhoi05kl174oblv1yt 287555 287554 2026-09-19T14:21:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287555 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 3° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. 7hpxznkd0hzqfjo72w4xkji7l3jx61o 287556 287555 2026-09-19T14:21:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287556 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. 11x4pnucpom168r99y7e8ijjcqkz6xx 287557 287556 2026-09-19T14:22:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287557 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. jh12r9e7a86pi0gc96bf01p8bvi3qeg 287558 287557 2026-09-19T14:24:02Z Funzioni di correlazione 24136 287558 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Certo. Ecco il testo grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione. <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. m2lok56rrls8f9tqsv0gqiz4yneo33e 287559 287558 2026-09-19T14:29:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287559 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per il calcolo della terza potenza di (2 + 3j) si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. rzpqo5yy0xnybzh7a7z2wciyuwegwey 287560 287559 2026-09-19T14:35:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287560 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j) si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. omhfbouul1mzcxlc670n3zfwhyq96m8 287561 287560 2026-09-19T14:36:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287561 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. kq5xnophkl9zq73e2s8e7h28105bhjr 287562 287561 2026-09-19T14:37:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287562 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ke2voqvtcto4gavrqtau65xovplavjc 287563 287562 2026-09-19T14:38:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287563 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. d0317tske9lbqdlezemkt2ovdkfe4uv 287564 287563 2026-09-19T14:43:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287564 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. 4bk8sdcshfdv11mcv0zzo5wpglik439 287565 287564 2026-09-19T14:55:31Z Funzioni di correlazione 24136 287565 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==4° Esercizio== Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con `<math>...</math>` per ogni espressione e senza `\boxed`. ```text Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. == Derivata parziale rispetto a x == Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` jb0kxaqqc6z5rp24h4wy3ptofdoqadf 287566 287565 2026-09-19T14:56:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287566 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. == Derivata parziale rispetto a x == Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` av3k7ad2zy2nqgspzkbddfllic92d8i 287567 287566 2026-09-19T15:04:18Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287566|287566]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287567 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==4° Esercizio== Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con `<math>...</math>` per ogni espressione e senza `\boxed`. ```text Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. == Derivata parziale rispetto a x == Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` jb0kxaqqc6z5rp24h4wy3ptofdoqadf 287568 287567 2026-09-19T15:06:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287568 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con `<math>...</math>` per ogni espressione e senza `\boxed`. ```text Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. == Derivata parziale rispetto a x == Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` gt580804e8ubapd8hse19xqru6oxs13 287569 287568 2026-09-19T15:08:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata parziale rispetto a x */ 287569 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con `<math>...</math>` per ogni espressione e senza `\boxed`. ```text Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` fk2p2qb5moirxuhpts00ksuyoyqg48v 287570 287569 2026-09-19T15:15:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287570 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math>z = \sqrt{x+jy}</math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` o7oyn6v3fuuk6nh2ylxw7vrem8xn3o4 287571 287570 2026-09-19T15:16:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287571 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math>z = \sqrt{x+jy}\\\ </math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` hxq6gxuzr6t6rej1frj29wr2mr2mr3t 287572 287571 2026-09-19T15:17:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287572 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math>z = \\sqrt{x+jy} </math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` td10k442i8ni51t97nnuxifxppk25rm 287573 287572 2026-09-19T15:17:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287573 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> \\ z = \sqrt{x+jy} </math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` 75unqw2bxmvdh1q5nlg4nek6z9cnu0y 287574 287573 2026-09-19T15:18:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287574 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` d5sig5z9wbgj71xywnhcoaiete8re9a 287575 287574 2026-09-19T15:19:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287575 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math>; in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` m514fyfny4nd8xd0dm070zrpxled9h8 287576 287575 2026-09-19T15:19:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287576 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Derivata parziale rispetto a y == Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` m8vycvd7aupxt2ulqh0pugth5604qul 287577 287576 2026-09-19T15:21:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata parziale rispetto a y */ 287577 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> == Risultato == Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` 064ypin6b055dnwwyhc6543hi6mv3b4 287578 287577 2026-09-19T15:22:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato */ 287578 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` 4cc3j6oj3r3k688c8kn9i8sdm6qfphg 287579 287578 2026-09-19T15:22:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287579 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` eomgjheim7avzje0bt42qmqnbbh9248 287580 287579 2026-09-19T15:24:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287580 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ``` eeay04oxy2x6axi5y3avjuyo45ue97e 287581 287580 2026-09-19T15:25:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287581 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 0% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> sfro9j9o8ktyyn0sdcd6k9v9ccqszei 287582 287581 2026-09-19T15:34:47Z Funzioni di correlazione 24136 287582 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> 4rotf8zec2pbpiqlz5ve3gz0j1n7yak 287589 287582 2026-09-19T16:05:09Z Funzioni di correlazione 24136 287589 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabile complessa | avanzamento = 1% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> ea8rws3h9wzrj4yi5gnz3lj8flua6ah 287590 287589 2026-09-19T16:06:56Z Funzioni di correlazione 24136 287590 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> 4rotf8zec2pbpiqlz5ve3gz0j1n7yak 0 37840 287587 2026-09-19T15:57:56Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "== Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <m..." 287587 wikitext text/x-wiki == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. dj544i962mw5da8s1kjwh2b6sos31ic 287588 287587 2026-09-19T15:59:19Z Funzioni di correlazione 24136 287588 wikitext text/x-wiki == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. du2z1jo3fi4q8l8adnbevas3twpoc2c 287591 287588 2026-09-19T16:08:19Z Funzioni di correlazione 24136 287591 wikitext text/x-wiki {Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabileicomplesse | avanzamento = 100% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ofyr3aucdodo674e03ttbqqn7o52tqd 287592 287591 2026-09-19T16:09:37Z Funzioni di correlazione 24136 287592 wikitext text/x-wiki {Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 1% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. 04fnydpbgq0w4u07oleuv5vr0pg9bl5 287593 287592 2026-09-19T16:10:59Z Funzioni di correlazione 24136 287593 wikitext text/x-wiki == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. q7nxslc5xiezn5s850acn5kd5hayydc 287594 287593 2026-09-19T16:13:16Z Funzioni di correlazione 24136 287594 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 100% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. c9ics63o0n7u9rn1e1tymrl5ybcn7bq 287595 287594 2026-09-19T16:16:04Z Funzioni di correlazione 24136 287595 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. fw1yu8cbq1twjz3790k9xdame8uqvkc 287596 287595 2026-09-20T06:16:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio fondamentale */ 287596 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Si voglia costruire una funzione complessa di variabile complessa Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. 4bzb71jvq1o1bx37aydcj9ysexy685i 287597 287596 2026-09-20T06:23:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287597 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Sviluppa la funzione complessa di variabile complessa f(z) = x^2''' Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. 8w5majygl8d2mwt1tjgit9ktojy8kkm 287598 287597 2026-09-20T06:24:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287598 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Sviluppa la funzione complessa di variabile complessa f(z) = x^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. bj6vy98bldqggiiew9nv7lwh3oxme6j 287599 287598 2026-09-20T06:30:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287599 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. snl5uep0trf9vdeke7f95xjeihdeds1 287600 287599 2026-09-20T06:37:04Z Funzioni di correlazione 24136 287600 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=sqr z</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' 7si35hmvpqyeia44qp3ehx5zab6qo5r 287601 287600 2026-09-20T06:37:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287601 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=\sqr z</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' je4oyl877m2yaackw627ro770bni771 287602 287601 2026-09-20T06:40:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287602 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>{\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' 2spja3fyf6zxfgt9akmuc6iil0w7vl6 287603 287602 2026-09-20T06:40:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287603 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' jjktb3jb6no1favjyoblvffbmn9mtg2 287604 287603 2026-09-20T06:44:58Z Funzioni di correlazione 24136 287604 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' La risposta di IA: Certo. Per Wikipedia, se con \(f(z)=\sqrt z\) intendi la **radice quadrata complessa principale**, il percorso di calcolo completo è: Consideriamo la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=\sqrt{z}</math> Scriviamo la variabile complessa in forma cartesiana: <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Poniamo <math>w=\sqrt{z}</math> e scriviamo anche <math>w</math> in forma cartesiana: <math>w=u+iv</math> con <math>u,v\in\mathbb{R}</math>. Dalla definizione di radice quadrata complessa deve valere <math>w^2=z</math>. Sviluppando il quadrato si ottiene <math>(u+iv)^2=x+iy</math> <math>u^2+2iuv+v^2i^2=x+iy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>, segue <math>u^2-v^2+2iuv=x+iy</math>. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottiene il sistema <math>u^2-v^2=x</math> <math>2uv=y</math>. Inoltre, calcolando il modulo di entrambe le parti della relazione <math>w^2=z</math>, si ha <math>|w|^2=|z|</math>. Poiché <math>|w|^2=u^2+v^2</math> e <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math>, segue <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Sommando e sottraendo le equazioni <math>u^2-v^2=x</math> e <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ottiene <math>2u^2=x+\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>u^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}</math>. Analogamente, <math>2v^2=\sqrt{x^2+y^2}-x</math> e quindi <math>v^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}</math>. Pertanto i valori di <math>u</math> e <math>v</math> devono soddisfare <math>u=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e <math>v=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Il segno di <math>v</math> deve essere scelto in accordo con la relazione <math>2uv=y</math>. Per la radice quadrata principale si sceglie <math>u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e, se <math>y\neq0</math>, <math>v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Si ottiene quindi la forma cartesiana della radice quadrata principale: <math>\sqrt{x+iy}= \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Nel caso <math>y=0</math> si distinguono i casi reali. Se <math>x\geq0</math>, allora <math>\sqrt{x}=\sqrt{x}</math>. Se invece <math>x<0</math>, la radice quadrata principale è <math>\sqrt{x}=i\sqrt{-x}</math>. In forma polare, ponendo <math>z=re^{i\theta}</math> con <math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e scegliendo l'argomento principale <math>\theta=\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, si ha <math>\sqrt{z}=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. Utilizzando la formula di Eulero, <math>e^{i\theta/2}=\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}</math>, si ottiene <math>\sqrt{z}=\sqrt{r}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)</math>. Le due radici quadrate di un numero complesso non nullo sono quindi <math>w_1=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math> e <math>w_2=-\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. La funzione radice quadrata principale è dunque definita scegliendo <math>\sqrt{z}=\sqrt{|z|},e^{i\operatorname{Arg}(z)/2}</math>. Per rendere la funzione monodroma si introduce il ramo principale dell'argomento, con <math>\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, e conseguentemente il ramo principale della radice quadrata è definito sul piano complesso privato del semiasse reale negativo, con taglio di ramo lungo <math>{x\in\mathbb{R}:x\leq0}</math>. Per <math>z\neq0</math>, la derivata della radice quadrata principale è <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}</math>. Infatti, dalla relazione <math>f(z)^2=z</math> si ottiene, derivando rispetto a <math>z</math>, <math>2f(z)f'(z)=1</math>, da cui <math>f'(z)=\frac{1}{2f(z)}</math> e quindi <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}.</math> ni1wcd3yumjqdc0mnl9vf6w155a3c81 287605 287604 2026-09-20T06:45:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287605 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' La risposta di IA: Certo. Per Wikipedia, se con \(f(z)=\sqrt z\) intendi la **radice quadrata complessa principale**, il percorso di calcolo completo è: Consideriamo la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=\sqrt{z}</math> Scriviamo la variabile complessa in forma cartesiana: <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Poniamo <math>w=\sqrt{z}</math> e scriviamo anche <math>w</math> in forma cartesiana: <math>w=u+iv</math> con <math>u,v\in\mathbb{R}</math>. Dalla definizione di radice quadrata complessa deve valere <math>w^2=z</math>. Sviluppando il quadrato si ottiene <math>(u+iv)^2=x+iy</math> <math>u^2+2iuv+v^2i^2=x+iy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>, segue <math>u^2-v^2+2iuv=x+iy</math>. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottiene il sistema <math>u^2-v^2=x</math> <math>2uv=y</math>. Inoltre, calcolando il modulo di entrambe le parti della relazione <math>w^2=z</math>, si ha <math>|w|^2=|z|</math>. Poiché <math>|w|^2=u^2+v^2</math> e <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math>, segue <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Sommando e sottraendo le equazioni <math>u^2-v^2=x</math> e <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ottiene <math>2u^2=x+\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>u^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}</math>. Analogamente, <math>2v^2=\sqrt{x^2+y^2}-x</math> e quindi <math>v^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}</math>. Pertanto i valori di <math>u</math> e <math>v</math> devono soddisfare <math>u=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e <math>v=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Il segno di <math>v</math> deve essere scelto in accordo con la relazione <math>2uv=y</math>. Per la radice quadrata principale si sceglie <math>u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e, se <math>y\neq0</math>, <math>v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Si ottiene quindi la forma cartesiana della radice quadrata principale: <math>\sqrt{x+iy}= \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Nel caso <math>y=0</math> si distinguono i casi reali. Se <math>x\geq0</math>, allora <math>\sqrt{x}=\sqrt{x}</math>. Se invece <math>x<0</math>, la radice quadrata principale è <math>\sqrt{x}=i\sqrt{-x}</math>. In forma polare, ponendo <math>z=re^{i\theta}</math> con <math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e scegliendo l'argomento principale <math>\theta=\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, si ha <math>\sqrt{z}=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. Utilizzando la formula di Eulero, <math>e^{i\theta/2}=\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}</math>, si ottiene <math>\sqrt{z}=\sqrt{r}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)</math>. Le due radici quadrate di un numero complesso non nullo sono quindi <math>w_1=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math> e <math>w_2=-\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. La funzione radice quadrata principale è dunque definita scegliendo <math>\sqrt{z}=\sqrt{|z|},e^{i\operatorname{Arg}(z)/2}</math>. Per rendere la funzione monodroma si introduce il ramo principale dell'argomento, con <math>\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, e conseguentemente il ramo principale della radice quadrata è definito sul piano complesso privato del semiasse reale negativo, con taglio di ramo lungo <math>{x\in\mathbb{R}:x\leq0}</math>. Per <math>z\neq0</math>, la derivata della radice quadrata principale è <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}</math>. Infatti, dalla relazione <math>f(z)^2=z</math> si ottiene, derivando rispetto a <math>z</math>, <math>2f(z)f'(z)=1</math>, da cui <math>f'(z)=\frac{1}{2f(z)}</math> e quindi <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}.</math> pnbpbg6mv7xv1qlysjvcotb3f9ioj9q 287606 287605 2026-09-20T06:46:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287606 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=\sqrt{z}</math> Scriviamo la variabile complessa in forma cartesiana: <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Poniamo <math>w=\sqrt{z}</math> e scriviamo anche <math>w</math> in forma cartesiana: <math>w=u+iv</math> con <math>u,v\in\mathbb{R}</math>. Dalla definizione di radice quadrata complessa deve valere <math>w^2=z</math>. Sviluppando il quadrato si ottiene <math>(u+iv)^2=x+iy</math> <math>u^2+2iuv+v^2i^2=x+iy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>, segue <math>u^2-v^2+2iuv=x+iy</math>. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottiene il sistema <math>u^2-v^2=x</math> <math>2uv=y</math>. Inoltre, calcolando il modulo di entrambe le parti della relazione <math>w^2=z</math>, si ha <math>|w|^2=|z|</math>. Poiché <math>|w|^2=u^2+v^2</math> e <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math>, segue <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Sommando e sottraendo le equazioni <math>u^2-v^2=x</math> e <math>u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ottiene <math>2u^2=x+\sqrt{x^2+y^2}</math> e quindi <math>u^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}</math>. Analogamente, <math>2v^2=\sqrt{x^2+y^2}-x</math> e quindi <math>v^2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}</math>. Pertanto i valori di <math>u</math> e <math>v</math> devono soddisfare <math>u=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e <math>v=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Il segno di <math>v</math> deve essere scelto in accordo con la relazione <math>2uv=y</math>. Per la radice quadrata principale si sceglie <math>u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}</math> e, se <math>y\neq0</math>, <math>v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Si ottiene quindi la forma cartesiana della radice quadrata principale: <math>\sqrt{x+iy}= \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}</math>. Nel caso <math>y=0</math> si distinguono i casi reali. Se <math>x\geq0</math>, allora <math>\sqrt{x}=\sqrt{x}</math>. Se invece <math>x<0</math>, la radice quadrata principale è <math>\sqrt{x}=i\sqrt{-x}</math>. In forma polare, ponendo <math>z=re^{i\theta}</math> con <math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e scegliendo l'argomento principale <math>\theta=\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, si ha <math>\sqrt{z}=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. Utilizzando la formula di Eulero, <math>e^{i\theta/2}=\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}</math>, si ottiene <math>\sqrt{z}=\sqrt{r}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)</math>. Le due radici quadrate di un numero complesso non nullo sono quindi <math>w_1=\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math> e <math>w_2=-\sqrt{r},e^{i\theta/2}</math>. La funzione radice quadrata principale è dunque definita scegliendo <math>\sqrt{z}=\sqrt{|z|},e^{i\operatorname{Arg}(z)/2}</math>. Per rendere la funzione monodroma si introduce il ramo principale dell'argomento, con <math>\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]</math>, e conseguentemente il ramo principale della radice quadrata è definito sul piano complesso privato del semiasse reale negativo, con taglio di ramo lungo <math>{x\in\mathbb{R}:x\leq0}</math>. Per <math>z\neq0</math>, la derivata della radice quadrata principale è <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}</math>. Infatti, dalla relazione <math>f(z)^2=z</math> si ottiene, derivando rispetto a <math>z</math>, <math>2f(z)f'(z)=1</math>, da cui <math>f'(z)=\frac{1}{2f(z)}</math> e quindi <math>f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{z}}.</math> bb1mdgz91ha3d5lwcwaunxa5x32ppw1 287607 287606 2026-09-20T07:13:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287607 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: Certo. Se vuoi esprimere la funzione complessa $$ f(z)=\sqrt z $$ in **forma cartesiana**, poniamo $$ z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. $$ Dalla relazione $$ (u+iv)^2=x+iy $$ otteniamo $$ u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. $$ Inoltre, $$ |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. $$ Quindi: $$ \boxed{ u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } $$ e $$ \boxed{ v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } $$ per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: $$ \boxed{ \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } $$ dove \(\operatorname{sgn}(y)\) vale \(1\) se \(y>0\), \(-1\) se \(y<0\), e \(0\) se \(y=0\). Se vuoi, posso anche mostrarti **la derivazione passo per passo** partendo da \(z=x+iy\). t0yfpy4i9yvv9jbx5nujrw4m75lbodf 287608 287607 2026-09-20T07:14:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287608 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: $$ f(z)=\sqrt z $$ in **forma cartesiana**, poniamo $$ z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. $$ Dalla relazione $$ (u+iv)^2=x+iy $$ otteniamo $$ u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. $$ Inoltre, $$ |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. $$ Quindi: $$ \boxed{ u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } $$ e $$ \boxed{ v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } $$ per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: $$ \boxed{ \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } $$ dove \(\operatorname{sgn}(y)\) vale \(1\) se \(y>0\), \(-1\) se \(y<0\), e \(0\) se \(y=0\). Se vuoi, posso anche mostrarti **la derivazione passo per passo** partendo da \(z=x+iy\). bewyr9ujk6slgueu68b8zevcjsaf5yz 287609 287608 2026-09-20T07:18:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287609 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> \boxed{ v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> \boxed{ \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove \(\operatorname{sgn}(y)\) vale \(1\) se \(y>0\), \(-1\) se \(y<0\), e \(0\) se \(y=0\). Se vuoi, posso anche mostrarti **la derivazione passo per passo** partendo da \(z=x+iy\). jm9i2ej0fgotug6c5yhxtjipdeu7i3v 287610 287609 2026-09-20T07:19:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287610 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove \(\operatorname{sgn}(y)\) vale \(1\) se \(y>0\), \(-1\) se \(y<0\), e \(0\) se \(y=0\). Se vuoi, posso anche mostrarti **la derivazione passo per passo** partendo da \(z=x+iy\). c9ggy4dltzr8db27joe7njp5rwbyzik 287611 287610 2026-09-20T07:21:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287611 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove \(\operatorname{sgn}(y)\) vale \(1\) se \(y>0\), \(-1\) se \(y<0\), e \(0\) se \(y=0\). t2z9ajtt1ud51chmouay44x2pbm1qbc 287612 287611 2026-09-20T07:23:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287612 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove operatorname {sgn (y)) vale \(1 ) se \(y>0 ), \(-1) se \(y<0), e \(0) se \(y=0). crd2l6sa69r414yga0r0iby8r7par8a 287613 287612 2026-09-20T07:25:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287613 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), se\(0) se (y=0). e6mkc6uglc8vwn95f6w1e6rjk78a6ue 287614 287613 2026-09-20T07:31:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287614 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). s9uhilf0xwe050noczmsy25oznlea6f