Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 287633 287585 2026-09-21T11:41:12Z Funzioni di correlazione 24136 287633 wikitext text/x-wiki Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione. Consideriamo il punto <math>z_0=2+j4</math> e vogliamo costruire una funzione complessa <math>f(z)</math> tale che <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=1</math> Una scelta semplice è <math>f(z)=1+(z-(2+j4))</math> Verifichiamo il limite. Sostituendo <math>z_0=2+j4</math> nella funzione otteniamo <math>f(2+j4)=1+(2+j4-(2+j4))</math> Semplificando <math>f(2+j4)=1+0=1</math> Poiché la funzione <math>f(z)=1+(z-(2+j4))</math> è continua in <math>z_0=2+j4</math>, il limite coincide con il valore della funzione nel punto: <math>\lim_{z\to(2+j4)}\left[1+(z-(2+j4))\right]=1</math> Quindi la funzione scelta soddisfa la condizione richiesta. Un'altra possibile scelta è <math>f(z)=e^{z-(2+j4)}</math> In questo caso, applicando direttamente la continuità della funzione esponenziale complessa, si ha <math>\lim_{z\to(2+j4)}e^{z-(2+j4)}=e^{(2+j4)-(2+j4)}</math> e quindi <math>e^{(2+j4)-(2+j4)}=e^0=1</math> Pertanto anche la funzione <math>f(z)=e^{z-(2+j4)}</math> soddisfa la condizione <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=1</math> In generale, è sufficiente scegliere una funzione della forma <math>f(z)=1+g(z)</math> dove <math>g(z)</math> soddisfa la condizione <math>\lim_{z\to(2+j4)}g(z)=0</math> Infatti, per le proprietà dei limiti, <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=\lim_{z\to(2+j4)}[1+g(z)]</math> <math>=1+\lim_{z\to(2+j4)}g(z)</math> <math>=1+0=1</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Certo. Di seguito trovi un testo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, strutturato come un unico documento e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`, senza `\boxed{}`. Ho incluso definizioni, rappresentazioni, proprietà, derivazione, continuità, derivabilità, olomorfia, serie di potenze, integrazione e principali funzioni elementari. '''Funzione complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente, la variabile dipendente, oppure entrambe, appartengono all'insieme dei numeri complessi. Nel caso più generale si considera una funzione <math>f:D\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> dove <math>D</math> è un sottoinsieme del piano complesso. Le funzioni complesse costituiscono uno degli oggetti fondamentali dell'[[analisi complessa]], cioè il ramo della matematica che studia le funzioni di variabile complessa. Rispetto alle funzioni reali, le funzioni complesse presentano proprietà particolarmente forti: in condizioni opportune, la derivabilità complessa implica l'esistenza di derivate di ogni ordine, lo sviluppo in serie di potenze e numerose proprietà di rigidità. == Numeri complessi == Un numero complesso è un numero della forma <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Il numero reale <math>x</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math>, mentre <math>y</math> è detto '''parte immaginaria''' di <math>z</math>. Si scrive <math>\operatorname{Re}(z)=x</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=y</math> Il [[coniugato complesso]] di <math>z</math> è <math>\overline z=x-iy</math> Il modulo di <math>z</math> è <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e soddisfa <math>|z|^2=z\overline z</math> Ogni numero complesso può essere rappresentato nel [[piano complesso]] mediante il punto di coordinate <math>(x,y)</math>. Se <math>z\ne0</math>, può inoltre essere rappresentato in forma polare come <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> dove <math>r=|z|</math> e <math>\theta</math> è un argomento di <math>z</math>. Utilizzando la [[formula di Eulero]] si ottiene <math>z=re^{i\theta}</math> Poiché gli argomenti differiscono di multipli interi di <math>2\pi</math>, lo stesso numero complesso può essere scritto come <math>z=re^{i(\theta+2k\pi)}</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 257fxisrkq2sbrk0s45gh4iarrppvlm 287634 287633 2026-09-21T11:42:15Z Funzioni di correlazione 24136 287634 wikitext text/x-wiki Consideriamo il punto <math>z_0=2+j4</math> e vogliamo costruire una funzione complessa <math>f(z)</math> tale che <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=1</math> Una scelta semplice è <math>f(z)=1+(z-(2+j4))</math> Verifichiamo il limite. Sostituendo <math>z_0=2+j4</math> nella funzione otteniamo <math>f(2+j4)=1+(2+j4-(2+j4))</math> Semplificando <math>f(2+j4)=1+0=1</math> Poiché la funzione <math>f(z)=1+(z-(2+j4))</math> è continua in <math>z_0=2+j4</math>, il limite coincide con il valore della funzione nel punto: <math>\lim_{z\to(2+j4)}\left[1+(z-(2+j4))\right]=1</math> Quindi la funzione scelta soddisfa la condizione richiesta. Un'altra possibile scelta è <math>f(z)=e^{z-(2+j4)}</math> In questo caso, applicando direttamente la continuità della funzione esponenziale complessa, si ha <math>\lim_{z\to(2+j4)}e^{z-(2+j4)}=e^{(2+j4)-(2+j4)}</math> e quindi <math>e^{(2+j4)-(2+j4)}=e^0=1</math> Pertanto anche la funzione <math>f(z)=e^{z-(2+j4)}</math> soddisfa la condizione <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=1</math> In generale, è sufficiente scegliere una funzione della forma <math>f(z)=1+g(z)</math> dove <math>g(z)</math> soddisfa la condizione <math>\lim_{z\to(2+j4)}g(z)=0</math> Infatti, per le proprietà dei limiti, <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=\lim_{z\to(2+j4)}[1+g(z)]</math> <math>=1+\lim_{z\to(2+j4)}g(z)</math> <math>=1+0=1</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Certo. Di seguito trovi un testo in **wikitesto grezzo per Wikipedia**, strutturato come un unico documento e con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`, senza `\boxed{}`. Ho incluso definizioni, rappresentazioni, proprietà, derivazione, continuità, derivabilità, olomorfia, serie di potenze, integrazione e principali funzioni elementari. '''Funzione complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente, la variabile dipendente, oppure entrambe, appartengono all'insieme dei numeri complessi. Nel caso più generale si considera una funzione <math>f:D\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> dove <math>D</math> è un sottoinsieme del piano complesso. Le funzioni complesse costituiscono uno degli oggetti fondamentali dell'[[analisi complessa]], cioè il ramo della matematica che studia le funzioni di variabile complessa. Rispetto alle funzioni reali, le funzioni complesse presentano proprietà particolarmente forti: in condizioni opportune, la derivabilità complessa implica l'esistenza di derivate di ogni ordine, lo sviluppo in serie di potenze e numerose proprietà di rigidità. == Numeri complessi == Un numero complesso è un numero della forma <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Il numero reale <math>x</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math>, mentre <math>y</math> è detto '''parte immaginaria''' di <math>z</math>. Si scrive <math>\operatorname{Re}(z)=x</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=y</math> Il [[coniugato complesso]] di <math>z</math> è <math>\overline z=x-iy</math> Il modulo di <math>z</math> è <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e soddisfa <math>|z|^2=z\overline z</math> Ogni numero complesso può essere rappresentato nel [[piano complesso]] mediante il punto di coordinate <math>(x,y)</math>. Se <math>z\ne0</math>, può inoltre essere rappresentato in forma polare come <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> dove <math>r=|z|</math> e <math>\theta</math> è un argomento di <math>z</math>. Utilizzando la [[formula di Eulero]] si ottiene <math>z=re^{i\theta}</math> Poiché gli argomenti differiscono di multipli interi di <math>2\pi</math>, lo stesso numero complesso può essere scritto come <math>z=re^{i(\theta+2k\pi)}</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. ikrxu5c1uc2grbp6y8zo9se2rkqqutb 287635 287634 2026-09-21T11:53:57Z Funzioni di correlazione 24136 287635 wikitext text/x-wiki Consideriamo la funzione <math>f(z)=\frac{z-(2+j4)+1}{z-(2+j4)+1}</math> per <math>z\neq 2+j4</math>. Vogliamo calcolare il limite <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)</math>. Poiché numeratore e denominatore coincidono, per ogni <math>z\neq 2+j4</math> si ha <math>f(z)=1</math>. Pertanto <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=\lim_{z\to(2+j4)}1</math>. Il limite di una funzione costante è uguale alla costante stessa, quindi <math>\lim_{z\to(2+j4)}f(z)=1</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx '''Funzione complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente, la variabile dipendente, oppure entrambe, appartengono all'insieme dei numeri complessi. Nel caso più generale si considera una funzione <math>f:D\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> dove <math>D</math> è un sottoinsieme del piano complesso. Le funzioni complesse costituiscono uno degli oggetti fondamentali dell'[[analisi complessa]], cioè il ramo della matematica che studia le funzioni di variabile complessa. Rispetto alle funzioni reali, le funzioni complesse presentano proprietà particolarmente forti: in condizioni opportune, la derivabilità complessa implica l'esistenza di derivate di ogni ordine, lo sviluppo in serie di potenze e numerose proprietà di rigidità. == Numeri complessi == Un numero complesso è un numero della forma <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math> Il numero reale <math>x</math> è detto '''parte reale''' di <math>z</math>, mentre <math>y</math> è detto '''parte immaginaria''' di <math>z</math>. Si scrive <math>\operatorname{Re}(z)=x</math> e <math>\operatorname{Im}(z)=y</math> Il [[coniugato complesso]] di <math>z</math> è <math>\overline z=x-iy</math> Il modulo di <math>z</math> è <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e soddisfa <math>|z|^2=z\overline z</math> Ogni numero complesso può essere rappresentato nel [[piano complesso]] mediante il punto di coordinate <math>(x,y)</math>. Se <math>z\ne0</math>, può inoltre essere rappresentato in forma polare come <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> dove <math>r=|z|</math> e <math>\theta</math> è un argomento di <math>z</math>. Utilizzando la [[formula di Eulero]] si ottiene <math>z=re^{i\theta}</math> Poiché gli argomenti differiscono di multipli interi di <math>2\pi</math>, lo stesso numero complesso può essere scritto come <math>z=re^{i(\theta+2k\pi)}</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == Esempio fondamentale == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 4yh9p2vknzy6pkuk50o9igq51vxpsdg 2 33329 287616 286848 2026-09-20T16:33:56Z Funzioni di correlazione 24136 287616 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Certo. Ti propongo una **pagina principale già pronta per essere incollata in Wikiversità**, mantenendo l'impostazione del progetto attuale ma rendendola più ordinata, progressiva e facilmente ampliabile. Ho lasciato i collegamenti alle pagine già esistenti e predisposto quelli delle materie ancora da creare. ```text {{Corso | titolo = Con IA e P.C. l'Analisi Matematica Complessa | immagine = | livello = Universitario | durata = | prerequisiti = Algebra, trigonometria, elementi di analisi matematica | materie = Analisi matematica complessa; Informatica; Intelligenza artificiale }} [[Categoria:Corsi]] [[Categoria:Matematica]] [[Categoria:Analisi matematica]] [[Categoria:Numeri complessi]] [[Categoria:Intelligenza artificiale]] = Con IA e P.C. l'Analisi Matematica Complessa = == Presentazione == Il corso propone lo studio progressivo dell'[[w:Analisi complessa|Analisi Matematica Complessa]] attraverso l'integrazione tra: * studio teorico della matematica; * esercizi e problemi; * utilizzo dell'[[w:Intelligenza artificiale|Intelligenza Artificiale]] (IA); * utilizzo del [[w:Personal computer|Personal Computer]] (P.C.); * rappresentazione grafica e calcolo simbolico; * verifica indipendente dei risultati. L'obiettivo non è sostituire lo studio e il ragionamento matematico con l'IA, ma imparare a utilizzare gli strumenti informatici come supporto allo studio, mantenendo sempre la verifica matematica dei risultati. == Obiettivi del corso == Al termine del percorso lo studente dovrebbe essere in grado di: * operare con i numeri complessi; * rappresentare i numeri complessi nel piano; * utilizzare le forme cartesiana, trigonometrica, polare ed esponenziale; * applicare la formula di Eulero e la formula di De Moivre; * studiare funzioni di variabile complessa; * calcolare limiti e derivate complesse; * utilizzare le condizioni di Cauchy-Riemann; * riconoscere e studiare funzioni olomorfe; * calcolare integrali complessi; * utilizzare le serie di Taylor e Laurent; * classificare le singolarità; * calcolare residui; * applicare il teorema dei residui; * utilizzare IA e P.C. per eseguire, verificare e visualizzare calcoli matematici; * riconoscere e correggere eventuali errori prodotti dall'IA. == Prerequisiti == È consigliabile possedere conoscenze di: * algebra; * equazioni e disequazioni; * trigonometria; * funzioni reali; * limiti; * derivate; * integrali; * geometria analitica; * elementi di calcolo differenziale e integrale. Non è necessario possedere una conoscenza preliminare dell'Analisi Complessa: il corso introduce progressivamente i concetti fondamentali. == Metodo di lavoro == Il percorso utilizza, per quanto possibile, il seguente schema: # '''Comprendere il problema''' # '''Tentare autonomamente la soluzione''' # '''Utilizzare l'IA come supporto''' # '''Verificare matematicamente la risposta''' # '''Utilizzare il P.C. per il calcolo o la rappresentazione grafica''' # '''Confrontare i risultati''' # '''Individuare eventuali errori''' # '''Comprendere il procedimento''' L'IA deve quindi essere considerata uno strumento di supporto e non una fonte automaticamente affidabile. Una risposta generata dall'IA deve essere controllata attraverso il ragionamento matematico, il calcolo manuale e, quando possibile, una verifica indipendente mediante il P.C. == Come utilizzare gli esercizi == Gli esercizi sono organizzati secondo difficoltà crescente. ; Livello A – Fondamentale : esercizi destinati alla comprensione e alla verifica dei concetti teorici. ; Livello B – Applicativo : esercizi nei quali è necessario scegliere e applicare il procedimento matematico più adatto. ; Livello C – Laboratorio IA/P.C. : problemi nei quali l'IA e il P.C. vengono utilizzati per ottenere, verificare, confrontare o rappresentare i risultati. Quando indicato, lo studente dovrebbe procedere secondo la sequenza: '''tentativo personale → IA → verifica matematica → P.C. → confronto finale'''. = Percorso del corso = == 1. IA e Personal Computer per la matematica == Introduzione all'utilizzo consapevole dell'IA e degli strumenti informatici nello studio della matematica. === Argomenti === # Che cosa può fare l'IA in matematica # Limiti e possibili errori dell'IA # Come formulare una richiesta matematica # Come inserire correttamente formule e dati # Richieste di soluzione passo-passo # Calcolo simbolico # Calcolo numerico # Rappresentazione grafica # Verifica indipendente # Confronto tra soluzione personale e soluzione dell'IA '''Esercizi: 1–10''' [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] == 2. Numeri complessi == Introduzione al concetto di numero complesso e alla sua rappresentazione algebrica. === Argomenti === # Unità immaginaria # Forma algebrica # Parte reale e parte immaginaria # Numeri reali e immaginari puri # Uguaglianza tra numeri complessi # Equazioni nel campo complesso # Prime rappresentazioni grafiche '''Esercizi: 11–20''' [[Definizione di numero complesso]] == 3. Operazioni con i numeri complessi == Studio delle principali operazioni algebriche. === Argomenti === # Somma # Sottrazione # Opposto # Moltiplicazione # Potenze dell'unità immaginaria # Coniugato # Modulo # Divisione # Inverso # Espressioni miste '''Esercizi: 21–35''' [[Operazioni tra numeri complessi]] == 4. Il piano complesso == Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. === Argomenti === # Piano di Argand-Gauss # Punto associato a un numero complesso # Vettore associato # Modulo # Argomento # Quadranti # Distanza tra numeri complessi # Luoghi geometrici # Circonferenze # Dischi e corone circolari '''Esercizi: 36–50''' [[Il piano complesso]] == 5. Forma trigonometrica e forma polare == Passaggio dalla rappresentazione cartesiana alle rappresentazioni polare e trigonometrica. === Argomenti === # Coordinate polari # Modulo e argomento # Forma trigonometrica # Conversione cartesiana-trigonometrica # Conversione trigonometrica-cartesiana # Prodotto in forma polare # Quoziente in forma polare # Potenze # Radici '''Esercizi: 51–65''' == 6. Formula di Eulero e formula di De Moivre == Studio delle principali relazioni tra funzioni esponenziali e funzioni trigonometriche nel campo complesso. === Argomenti === # Esponenziale complesso # Formula di Eulero # Dimostrazione mediante serie # Identità di Eulero # Interpretazione geometrica # Formula di De Moivre # Potenze # Radici n-esime # Rappresentazione geometrica delle radici '''Esercizi: 66–80''' [[La formula di Eulero]] == 7. Funzioni di variabile complessa a valori reali == Studio delle funzioni :<math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}</math> e del loro collegamento con le funzioni reali di due variabili. === Argomenti === # Definizione # Dominio # Rappresentazione <math>z=x+iy</math> # Funzioni reali di due variabili # Rappresentazione grafica # Continuità # Derivate parziali # Gradiente '''Esercizi: 81–95''' [[Funzioni reali di variabile complessa]] == 8. Funzioni complesse di variabile complessa == Studio delle funzioni :<math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}</math>. === Argomenti === # Definizione # Dominio e immagine # Parte reale # Parte immaginaria # Rappresentazione <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> # Interpretazione geometrica # Trasformazioni del piano complesso # Esempi fondamentali # Funzioni polinomiali # Funzioni razionali '''Esercizi: 96–110''' [[Funzioni complesse di variabili complesse]] == 9. Limiti e continuità nel campo complesso == Studio del concetto di limite per funzioni di variabile complessa. === Argomenti === # Intorni di un punto # Limite # Limiti lungo rette # Limiti lungo curve # Verifica dell'esistenza del limite # Continuità # Discontinuità # Controesempi # Verifica numerica mediante P.C. '''Esercizi: 111–125''' == 10. Derivabilità complessa == Introduzione alla derivata di una funzione complessa. === Argomenti === # Rapporto incrementale # Definizione di derivata complessa # Derivabilità # Differenza tra derivabilità reale e complessa # Condizioni di Cauchy-Riemann # Applicazione delle condizioni # Calcolo della derivata # Esempi ed esercizi '''Esercizi: 126–145''' == 11. Funzioni olomorfe == Studio delle funzioni derivabili in senso complesso. === Argomenti === # Funzioni olomorfe # Funzioni intere # Condizioni di Cauchy-Riemann # Funzioni armoniche # Coniugata armonica # Costruzione di funzioni analitiche # Proprietà delle funzioni olomorfe '''Esercizi: 146–165''' == 12. Funzioni elementari complesse == Studio delle principali funzioni elementari nel campo complesso. === Argomenti === # Funzione esponenziale complessa # Logaritmo complesso # Potenze complesse # Radici # Funzioni seno e coseno complesse # Funzione tangente complessa # Proprietà e identità fondamentali '''Esercizi: 166–185''' == 13. Integrali complessi == Studio degli integrali di funzioni complesse lungo curve. === Argomenti === # Curve nel piano complesso # Parametrizzazione # Integrale lungo una curva # Calcolo di integrali complessi # Integrali indipendenti dal cammino # Teorema integrale di Cauchy # Formula integrale di Cauchy # Applicazioni '''Esercizi: 186–210''' == 14. Serie e singolarità == Studio delle serie di funzioni complesse e delle singolarità. === Argomenti === # Successioni complesse # Serie numeriche complesse # Serie di potenze # Serie di Taylor # Serie di Laurent # Singolarità eliminabili # Poli # Singolarità essenziali # Classificazione delle singolarità '''Esercizi: 211–235''' == 15. Residui e applicazioni == Studio dei residui e delle loro applicazioni al calcolo degli integrali. === Argomenti === # Definizione di residuo # Calcolo del residuo # Residui nei poli semplici # Poli multipli # Teorema dei residui # Integrali lungo curve chiuse # Applicazioni al calcolo di integrali reali # Utilizzo dell'IA nel calcolo dei residui # Verifica mediante P.C. '''Esercizi: 236–260''' == Laboratorio finale == Il laboratorio finale raccoglie problemi nei quali devono essere utilizzate contemporaneamente più conoscenze acquisite durante il corso. === Attività === # Analisi di una funzione complessa # Studio del dominio # Rappresentazione nel piano complesso # Studio di limiti e continuità # Verifica delle condizioni di Cauchy-Riemann # Studio dell'olomorfia # Calcolo di integrali # Individuazione delle singolarità # Calcolo dei residui # Confronto tra soluzione personale, IA e P.C. '''Esercizi: 261–270''' = Struttura tipo di un esercizio = Quando possibile, gli esercizi di laboratorio seguiranno questa struttura: === 1. Problema === Presentazione del problema matematico. === 2. Tentativo personale === Lo studente cerca autonomamente una soluzione. === 3. Utilizzo dell'IA === Si formula una richiesta all'IA per ottenere un procedimento o una verifica. === 4. Analisi della risposta === La risposta dell'IA viene esaminata criticamente. === 5. Verifica matematica === Il procedimento e il risultato vengono controllati mediante la matematica. === 6. Verifica con il P.C. === Quando opportuno, il risultato viene verificato mediante calcolo simbolico, numerico o rappresentazione grafica. === 7. Confronto === Si confrontano le diverse soluzioni ottenute. === 8. Conclusione === Si evidenziano il procedimento corretto, gli eventuali errori e le conoscenze acquisite. = Avvertenza sull'utilizzo dell'IA = L'Intelligenza Artificiale può produrre risposte apparentemente corrette ma matematicamente errate. Pertanto: * una risposta dell'IA non costituisce di per sé una dimostrazione; * un risultato numerico deve essere verificato quando possibile; * i passaggi algebrici devono essere controllati; * le definizioni e i teoremi devono essere confrontati con le fonti matematiche; * il P.C. può essere utilizzato come strumento di verifica, ma non sostituisce il ragionamento matematico. Il corso considera quindi l'IA non come un'autorità, ma come uno strumento da interrogare, controllare e utilizzare criticamente. = Bibliografia e risorse = * [[w:Analisi complessa|Analisi complessa]] su Wikipedia * Testi universitari di Analisi Complessa * Risorse didattiche di Wikiversità * Documentazione dei software utilizzati nel laboratorio * Risorse sull'utilizzo dell'Intelligenza Artificiale nello studio della matematica = Sviluppi futuri = Il corso è in fase di sviluppo. Le attività future comprenderanno: * completamento delle materie; * ampliamento degli esercizi; * inserimento di esercizi graduati; * inserimento di esercizi con soluzione; * inserimento di esercizi di laboratorio IA/P.C.; * realizzazione di rappresentazioni grafiche; * collegamento tra teoria ed esercizi; * verifica e aggiornamento delle pagine; * eventuale introduzione di ulteriori applicazioni dell'Analisi Complessa. [[Categoria:Corsi di matematica]] [[Categoria:Analisi complessa]] [[Categoria:Numeri complessi]] [[Categoria:Intelligenza artificiale]] ``` **Nota importante:** ho impostato i collegamenti delle materie future come normali wikilink, così Wikiversità li mostrerà come pagine da creare finché non saranno sviluppati. Ho inoltre mantenuto le quattro pagine già esistenti come punti di ingresso, invece di disperdere il lavoro già fatto. Per la pagina principale, **non inserirei subito tutti i 270 esercizi**: la numerazione proposta serve soprattutto a definire l'architettura. Nella pratica partirei con i primi 30–50, verificando bene ogni esercizio e il relativo uso dell'IA prima di estendere il percorso. }} sd3fodmrnoow37n7yvkjnwo8ciasokl 102 37832 287623 287586 2026-09-21T06:50:34Z Funzioni di correlazione 24136 287623 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [[Derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} sqdq3zb36a5bhzlf6uhjiehz0w16acr 287624 287623 2026-09-21T06:54:11Z Funzioni di correlazione 24136 287624 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [Limiti e dDerivate di funzioni complesse di variabili complesse]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} 3rmf3f43kvblz3065xs22cbqx8451ng 287625 287624 2026-09-21T06:54:43Z Funzioni di correlazione 24136 287625 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [Limiti e derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} 9hwpb1hg14nh592vvz2rdww4lgivbzh 287626 287625 2026-09-21T06:56:22Z Funzioni di correlazione 24136 287626 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [[Limiti e derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} k1n82m04pnwccz3dmqq3eg35bc8kg7o 0 37840 287617 287614 2026-09-21T06:01:20Z Funzioni di correlazione 24136 287617 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == Premessa: Si vogliano tracciare in tre dimensione le variabili di <math>f(z)=z^2</math>, si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di variabili di funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: p4u0eoa93r8mwesut652q4bru2u45ke 287618 287617 2026-09-21T06:28:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287618 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per racciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA: t1zw8h8b49ieii5g3z9iyqnq08jwqff 287619 287618 2026-09-21T06:40:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287619 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per racciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]] kimvlcrsd67rwi25w8xf1zwmcdg2c11 287620 287619 2026-09-21T06:41:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287620 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]] j9vzi0895jfic3z9ogvinseg08zaq1l 287621 287620 2026-09-21T06:42:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287621 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] 7nw74iqu7dp0fupkrn8kuwtt2m5bvj3 287622 287621 2026-09-21T06:42:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287622 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] r30pn4l9go7cmun2ggyhsusdxgtmwjc 0 37841 287627 2026-09-21T06:56:53Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive" 287627 wikitext text/x-wiki == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive 136h7yesf776ewmle9s26jm8kui26sk 287628 287627 2026-09-21T07:01:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* Limite di una funzione complessa */ 287628 wikitext text/x-wiki == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. ka4cj4mgtvawxicuar1cnmh68j46p00 287629 287628 2026-09-21T07:04:13Z Funzioni di correlazione 24136 287629 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 =Limiti e derivate d Funzioni complesse | avanzamento = 0% }} == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. cuo2gcxv9k4uvihaj140lbyeplw28x4 287630 287629 2026-09-21T07:13:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Limite di una funzione complessa */ 287630 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 =Limiti e derivate d Funzioni complesse | avanzamento = 0% }} == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. ==1° esercizio== Si calcoli il limite di f(z) = z^3 per z che tende a 2+j3 Interrogata IA risponde: == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. 3cy2ah8k0avsu1d0jd6qzpmzi3vir9g 287631 287630 2026-09-21T07:15:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287631 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 =Limiti e derivate d Funzioni complesse | avanzamento = 0% }} == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. ==1° esercizio== Si calcoli il limite di f(z) = z^3 per z che tende a 2+j3 Interrogata IA risponde: Ecco il testo in formato grezzo, pronto da copiare su Wikipedia, con i tag <math>...</math> per ogni espressione. Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> e si consideri il limite per <math>z\to 2+3j</math>. Essendo <math>f(z)=z^3</math> un polinomio, essa è continua in tutto il piano complesso. Pertanto il limite coincide con il valore della funzione nel punto a cui tende <math>z</math>: <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=(2+3j)^3</math> Sviluppando il cubo di un binomio si ottiene: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ha: <math>(2+3j)^3=8+36j+18j^2+27j^3</math> e, usando <math>j^2=-1</math> e <math>j^3=-j</math>: <math>(2+3j)^3=8+36j-18-27j</math> Raccogliendo separatamente parte reale e parte immaginaria: <math>(2+3j)^3=(8-18)+(36-27)j</math> quindi: <math>(2+3j)^3=-10+9j</math> Pertanto il limite è <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=-10+9j</math> == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. 9xh0fu0pmshg8lmrqe3mq444ywk4e59 287632 287631 2026-09-21T07:16:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287632 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 =Limiti e derivate d Funzioni complesse | avanzamento = 0% }} == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. ==1° esercizio== Si calcoli il limite di f(z) = z^3 per z che tende a 2+j3 Interrogata IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> e si consideri il limite per <math>z\to 2+3j</math>. Essendo <math>f(z)=z^3</math> un polinomio, essa è continua in tutto il piano complesso. Pertanto il limite coincide con il valore della funzione nel punto a cui tende <math>z</math>: <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=(2+3j)^3</math> Sviluppando il cubo di un binomio si ottiene: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ha: <math>(2+3j)^3=8+36j+18j^2+27j^3</math> e, usando <math>j^2=-1</math> e <math>j^3=-j</math>: <math>(2+3j)^3=8+36j-18-27j</math> Raccogliendo separatamente parte reale e parte immaginaria: <math>(2+3j)^3=(8-18)+(36-27)j</math> quindi: <math>(2+3j)^3=-10+9j</math> Pertanto il limite è <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=-10+9j</math> == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. 2sgye74vb3uneafk23d9ny08hn5ued2