Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.21 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 12871 287650 268926 2026-09-23T15:49:25Z ~2026-51303-58 46945 /* Sovranità limitata */ 287650 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=storia della filosofia|materia2=Storia delle dottrine politiche}} [[Immagine:John Locke by John Greenhill.jpg|right|220px]] '''John Locke''' (1632 - 1704) è stato uno dei massimi teorici della ''Felicità'', della ''divisione dei poteri'' e della ''proprietà''. È inoltre considerato il padre dell'[[w:empirismo|empirismo]]; è bene tuttavia considerare che il concetto di esperienza che egli teorizza è tutto incluso nel più ampio concetto di ''ragione''. ==Breve Biografia== Figlio di un medio proprietario terriero, seguì gli studi universitari a Oxford, ma l'ambiente non gli riuscì particolarmente congeniale. Nel 1664 scrive gli "Essays on the Law of Nature", che rimasero inediti fino al 1954. Nel 1666 iniziò lo studio della medicina, che gli avrebbe consentito di restare all'università senza prendere gli ordini religiosi, e conobbe [[w:Anthony Ashley Cooper|Anthony Cooper]], il futuro conte di Shaftesbury, che lo accolse in casa, dapprima come medico, poi come tutore del figlio e lo introdusse nel mondo dell'alta politica londinese. Locke diventò il braccio destro di Shaftesbury e fu incaricato di molte questioni politiche tra le più complesse. ==I trattati sul Governo== In questa sua importantissima opera Locke respinge le teorie che, come quella della monarchia di diritto divino mascheravano, nel pensiero e nei fatti, la vera natura dei rapporti politico-sociali. I [[w:Due trattati sul governo|due trattati sul Governo]] di [[w:John Locke|Locke]] furono scritti circa un decennio prima che la [[w:Gloriosa Rivoluzione|Gloriosa Rivoluzione]] (1688-1689) avesse inizio: l<nowiki>'</nowiki>opera fu scritta all<nowiki>'</nowiki>incirca nel 1679-80. Non bisogna trascurare, inoltre, che Locke negò sempre di essere l<nowiki>'</nowiki>autore del testo, data la sua consapevolezza del carattere radicalmente “rivoluzionario” di quanto aveva scritto. *Il Primo dei due trattati è utilizzato per confutare le tesi di [[w:Robert Filmer|Robert Filmer]], espresse nel "Patriarca": secondo Filmer, la Bibbia rappresenta la fonte della massima autorità e da tale testo egli trae tutta la concatenazione logica della sua argomentazione. "''Dio conferì ad Adamo il diritto di dominare la razza originaria, l<nowiki>'</nowiki>autorità paterna nasce quindi in Adamo, continua nei patriarchi fino al diluvio universale, si perpetua in Noè, nei suoi figli e nei re fino al periodo della cattività in Egitto. Quando Dio concede nuovamente un re agli ebrei, Egli stabilisce l<nowiki>'</nowiki>antico diritto alla successione patrilineare del governo.'' '''L<nowiki>'</nowiki>attuale re è il discendente dei patriarchi e di conseguenza è il legittimo sovrano'''". :Filmer, cercando nella Bibbia la fonte dell<nowiki>'</nowiki>autorità detenuta dal patriarca del clan, sostiene che il re eredita il diritto di esercitare il dominio assoluto ''a prescindere'' dai mutamenti avvenuti nella società. :'''La Risposta di Locke nel primo trattato''': Locke, ironicamente, rileva che Dio comanda di onorare il padre e la madre, ma Filmer omette ogni riferimento all'autorità materna. L<nowiki>'</nowiki>autore del Patriarcha non dava alcun peso al matriarcato, nonostante nella storia, specialmente in quella inglese, non fossero mancati esempi di monarchi di sesso femminile. Locke, inoltre accusa Filmer di non definire mai chiaramente il concetto di autorità paterna e soprattutto di non dimostrare come questa si trasmetta nell<nowiki>'</nowiki>autorità regia. Per Locke era fondamentalmente impossibile asserire che l<nowiki>'</nowiki>attuale re sia un discendente di Adamo; altrettanto arduo era sostenere che la “patria potestà” di Adamo rappresentasse un potere assoluto in base al quale fosse possibile esercitare il diritto di vita e di morte sui figli. *''Riflessione sulla legge di natura'': non può essere semplicemente iscritta nel cuore e considerata innata. La ragione acquista la consapevolezza della legge di natura, dei suoi dettami, attraverso l<nowiki>'</nowiki>esperienza (empirismo). Locke è cristiano e contrario a qualunque forma di riduzione fideistica del ruolo della ragione. ==Sovranità limitata== In Locke assistiamo ad una generale dissoluzione del concetto stesso di sovranità (vedere [[w:Jean Bodin|Jean Bodin]]). Come deve funzionare una comunità politica? Locke non mostra dubbi sul fatto che l<nowiki>'</nowiki>unanimità dovrebbe essere il criterio principe, tuttavia, data l<nowiki>'</nowiki>impraticabilità tecnica di questa soluzione, egli conclude che il principio di maggioranza debba essere considerato una “legge naturale”, dettato della “giusta ragione” e veicolo attraverso il quale la società si muove, cambia e progredisce. La maggioranza ha il potere di agire e deliberare come se fosse il tutto. Per Locke il potere non è e non può essere concentrato nelle mani di un'unica entità, né tanto meno è irrevocabile, assoluto e indivisibile. Il potere supremo è il potere legislativo. Supremo non perché senza limiti, ma perché quello posto al vertice della piramide dei poteri, il più importante. È il potere di predisporre ed emanare leggi e appartiene al popolo che lo conferisce per delega ad una figura preposta ad adempierlo. Subordinato al '''potere legislativo''', c'è '''il potere esecutivo''', in capo al sovrano ed atto a eseguire le leggi stesse. Successivamente Locke individua altri due poteri ascrivibili ai precedenti: il '''potere giudiziario e il potere federativo''' (''politica estera''). Il primo, rientrante nel potere legislativo, è preposto al rispetto della legge, la quale deve essere unica per tutti e deve far sì che tutti siano uguali di fronte ad essa e che ci sia certezza del diritto (principio di legalità). Quindi il potere legislativo esplica due funzioni: quella di emanare leggi e quella di farle rispettare. Il potere federativo rientra nel potere esecutivo e prevede la possibilità di muovere guerra verso altri Stati e di stipulare accordi di pace. ==Felicità== Si tratta di un valore supremo che domina le azioni degli uomini e addirittura di Dio: “Lo stesso Dio onnipotente si trova necessitato ad essere felice”. Locke l<nowiki>'</nowiki>ha formulata come una teoria dell<nowiki>'</nowiki>agire umano: l<nowiki>'</nowiki>uomo mira ad essere felice. La ricerca della felicità è quindi il sommo bene che rende libere la volontà e le azioni dell<nowiki>'</nowiki>uomo. L<nowiki>'</nowiki>uomo è tanto più libero quanto più il suo cammino verso la felicità è saldo. Infatti, “la felicità consiste in ciò che allieta e soddisfa l<nowiki>'</nowiki>intelletto, l<nowiki>'</nowiki>infelicità in ciò che lo sconvolge o lo tormenta”.<br> E come si trova la felicità? “La moralità è ciò che regola le azioni dell<nowiki>'</nowiki>uomo per ottenere la felicità”. Ma essa è anche una delle solide basi sulle quali poggia l<nowiki>'</nowiki>edificio della proprietà privata, perché, sebbene la comunione dei beni non abbia nulla di ingiustificato in sé, tuttavia, afferma Locke, “se tutto fosse in comune, ne conseguirebbero necessariamente il bisogno, la rapina e la forza; in tali condizioni, è evidente, non può darsi la felicità”. ===Felicità e Governo=== E allora cosa deve fare il governo per promuovere la felicità dei cittadini? L<nowiki>'</nowiki>obbligo è quello di intervenire contro i violatori dell<nowiki>'</nowiki>ordine naturale per restaurare la sicurezza, la precondizione per il perseguimento della felicità, e nulla di più. ===Proprietà come ''libertà e diritti naturali''=== Locke è il filosofo della proprietà: ma che cosa è per Locke? Egli non utilizza il termine in maniera univoca nel Secondo trattato: mentre spesso è sinonimo di beni immobili, in più occasioni diventa il termine riassuntivo di tutti i diritti naturali dell<nowiki>'</nowiki>uomo. <br> Già nel 1664 Locke aveva individuato il fulcro della propria analisi politica: la proprietà e la legge di natura. “La più salda garanzia della proprietà privata di ciascuno risiede nella legge di natura, senza il cui rispetto è impossibile per chicchessia essere padrone dei propri beni e badare al proprio interesse”. Dal fatto che la terra è originariamente data da Dio ad Adamo e poi a tutti i suoi discendenti consegue che essa è stata data in comune a tutti gli uomini. Tuttavia, ciò che non è mai stato in comunione è la proprietà di sé. Allo stato di natura gli uomini vivono pacificamente e razionalmente, ma non hanno la possibilità di proteggere la propria proprietà. Qui vengono introdotti da Locke i concetti di libertà, diritto e Stato Civile, una unione tra individui. ==Altri progetti== {{interprogetto}} jir725px6acjiir3k9jjhgebjcmpxh7 0 37341 287651 282170 2026-09-24T09:57:51Z Vilnius 20434 spaziature 287651 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Teoria quantistica dei campi}} Nella [[w:Relatività ristretta|relatività speciale]], in ogni trasformazione di coordinate tra [[w:Sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], in moto relativo costante, le variazioni del tempo <math>dt</math> e delle coordinate spaziali <math>dx</math>'', <math>dy</math>'' e <math>dz</math>, devono rispettare la condizione <math>ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, \qquad \qquad \qquad \qquad</math>(1.1.8) con ''<math>ds</math>'' costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come [[w:spaziotempo di Minkowski|spaziotempo di Minkowski]], di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio. Definita la matrice diagonale <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.9) nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale <math>x_\alpha</math> con <math>x_\alpha = 0,1,2,3</math> la (1.1.8) si può riscrivere come <math>ds^2 = \sum_{\alpha,\beta}\eta_{\alpha,\beta} x_\alpha x_\beta</math> o, in forma matriciale, <math>ds^2 = x^T\eta x</math>. È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue: <math>\begin{cases} x'_\alpha = \sum_{\alpha\beta} L_{\alpha\beta} x_\beta \\ x_\beta ~= \sum_{\beta\alpha}L^{-1} _{\beta\alpha} x'_\alpha \end{cases} </math> con <math>\alpha,\beta = 0,1,2,3 \qquad \qquad</math> (1.1.10) Poiché per qualunque trasformazione di coordinate <math>ds</math> non deve variare, si ha <math>ds'^2=ds^2 \quad \Rightarrow \quad (Lx)^T\eta (Lx)=x^T\eta x \quad \Rightarrow \quad x^T L^T\eta Lx=x^T\eta x</math>, perciò <math>L^T\eta L = \eta</math> (1.1.11) Le trasformazioni (1.1.10) formano un [[w:Gruppo generale lineare|gruppo lineare]] detto [[w:Gruppo di Lorentz|gruppo di Lorentz omogeneo]]<ref>{{Cita libro|lingua=inglese|autore=S.S. Schweber|titolo=An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory|p=38}}</ref> o semplicemente gruppo di Lorentz, il quale è costituito da tutte le possibili trasformazioni di coordinate per un sistema di riferimento nello [[w:Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] (in verità mancherebbero le [[w:Traslazione (geometria)|traslazioni]], considerando le quali si avrebbe il cosiddetto gruppo inomogeneo o [[w:Gruppo di Poincaré|gruppo di Poincarè]]''',''' di cui il gruppo di Lorentz è un [[w:sottogruppo|sottogruppo]]). In base alla relazione ''<math>L^T\eta L = \eta</math>'' si ottengono per le matrici ''<math>L</math>'' le seguenti condizioni:<ref><math>L^T\eta L = \eta \quad \Rightarrow \begin{pmatrix} L_{00}&-L_{10}&-L_{20}&-L_{30}\\ L_{01}&-L_{11}&-L_{21}&-L_{31}\\ L_{02}&-L_{12}&-L_{22}&-L_{32}\\ L_{03}&-L_{13}&-L_{23}&-L_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_{00}&L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\ L_{10}&L_{11}&-L_{12}&-L_{13}\\ L_{20}&L_{21}&-L_{22}&-L_{23}\\ L_{30}&L_{31}&-L_{32}&-L_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow L_{00}^2 - (L_{10}^2 + L_{20}^2 + L_{30}^2) = 1 \Rightarrow |L_{00}| \geqslant 1 </math> Inoltre il determinante di una matrice è uno scalare, quindi <math>|L^T| \cdot 1 \cdot |L|=1 \quad \Rightarrow \quad |L|^2 = 1 </math></ref> <math>\begin{cases} \|L\| = \pm 1\\ |L^0_{0}| \leqslant 1 \end{cases}</math> È possibile imporre condizioni più restrittive, ad esempio <math>L^0_{0} \leqslant 1 </math>, che comporta che il tempo non venga mai invertito. In tal caso si parla di '''gruppo di Lorentz ortocrono'''. Oppure imporre <math>\|L\| = 1</math>, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente [[w:Parità (fisica)|trasformazione di parità]]) e si ottiene il '''gruppo di Lorentz proprio'''. Le due condizioni insieme producono il cosiddetto '''gruppo di Lorentz ristretto''' che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità<ref>Si può passare con “continuità” da un elemento all'altro mentre le inversioni implicano un “salto”.</ref>. In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski. I gruppi di questo tipo sono noti come [[w:Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da [[w:Sophus Lie|Sophus Lie]], nota come [[w:algebra di Lie|algebra di Lie]]. L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime<ref>“Una trasformazione unitaria infinitesima” ''S'', “cioè una trasformazione che differisca infinitamente poco dall'identità” 1, “può essere sempre scritta nella forma '''''S''''' = '''1''' + ''iε '''G''''' , dove ''ε'' è il parametro infinitesimale e '''''G''''' è un operatore autoaggiunto che prende il nome di ''generatore'' della trasformazione”, Caldirola - Prosperi - Cirelli, ''Introduzione alla fisica teorica'', p.555</ref> degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.<ref>(I + ''ε''A)(I + ''ε''B) = I + ''ε''(A + B) + ''ε''²AB = I + ''ε''(A + B)</ref> Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i '''boost'''<ref>“spinta, impulso”: in quanto rappresentano le trasformazioni di Lorentz propriamente dette, ossia il passaggio da un sistema di riferimento inerziale a velocità ''v'' ad uno a velocità ''v'''</ref> di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.<ref>A conferma di ciò si osservi dalla nota 3 che la matrice ''L'' ha 16 elementi e la relazione (1.1.11) corrisponde a 10 equazioni lineari, lasciando 6 parametri liberi.</ref> == Note == [[Categoria:Lezioni di Teoria quantistica dei campi]] 06nuwpofnf450wzqd837uw42of3myaa 287652 287651 2026-09-24T09:59:53Z Vilnius 20434 287652 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Teoria quantistica dei campi}} Nella [[w:Relatività ristretta|relatività speciale]], in ogni trasformazione di coordinate tra [[w:Sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], in moto relativo costante, le variazioni del tempo <math>dt</math> e delle coordinate spaziali <math>dx</math>'', <math>dy</math>'' e <math>dz</math>, devono rispettare la condizione <math>ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, \qquad \qquad \qquad \qquad</math>(1.1.8) con ''<math>ds</math>'' costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come [[w:spaziotempo di Minkowski|spaziotempo di Minkowski]], di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio. Definita la matrice diagonale <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.9) nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale <math>x_\alpha</math> con <math>x_\alpha = 0,1,2,3</math>, la (1.1.8) si può riscrivere come <math>ds^2 = \sum_{\alpha,\beta}\eta_{\alpha,\beta} x_\alpha x_\beta</math> o, in forma matriciale, <math>ds^2 = x^T\eta x</math>. È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue: <math>\begin{cases} x'_\alpha = \sum_{\alpha\beta} L_{\alpha\beta} x_\beta \\ x_\beta ~= \sum_{\beta\alpha}L^{-1} _{\beta\alpha} x'_\alpha \end{cases} </math> con <math>\alpha,\beta = 0,1,2,3 \qquad \qquad</math> (1.1.10) Poiché per qualunque trasformazione di coordinate <math>ds</math> non deve variare, si ha <math>ds'^2=ds^2 \quad \Rightarrow \quad (Lx)^T\eta (Lx)=x^T\eta x \quad \Rightarrow \quad x^T L^T\eta Lx=x^T\eta x</math>, perciò <math>L^T\eta L = \eta</math> (1.1.11) Le trasformazioni (1.1.10) formano un [[w:Gruppo generale lineare|gruppo lineare]] detto [[w:Gruppo di Lorentz|gruppo di Lorentz omogeneo]]<ref>{{Cita libro|lingua=inglese|autore=S.S. Schweber|titolo=An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory|p=38}}</ref> o semplicemente gruppo di Lorentz, il quale è costituito da tutte le possibili trasformazioni di coordinate per un sistema di riferimento nello [[w:Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] (in verità mancherebbero le [[w:Traslazione (geometria)|traslazioni]], considerando le quali si avrebbe il cosiddetto gruppo inomogeneo o [[w:Gruppo di Poincaré|gruppo di Poincarè]]''',''' di cui il gruppo di Lorentz è un [[w:sottogruppo|sottogruppo]]). In base alla relazione ''<math>L^T\eta L = \eta</math>'' si ottengono per le matrici ''<math>L</math>'' le seguenti condizioni:<ref><math>L^T\eta L = \eta \quad \Rightarrow \begin{pmatrix} L_{00}&-L_{10}&-L_{20}&-L_{30}\\ L_{01}&-L_{11}&-L_{21}&-L_{31}\\ L_{02}&-L_{12}&-L_{22}&-L_{32}\\ L_{03}&-L_{13}&-L_{23}&-L_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_{00}&L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\ L_{10}&L_{11}&-L_{12}&-L_{13}\\ L_{20}&L_{21}&-L_{22}&-L_{23}\\ L_{30}&L_{31}&-L_{32}&-L_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow L_{00}^2 - (L_{10}^2 + L_{20}^2 + L_{30}^2) = 1 \Rightarrow |L_{00}| \geqslant 1 </math> Inoltre il determinante di una matrice è uno scalare, quindi <math>|L^T| \cdot 1 \cdot |L|=1 \quad \Rightarrow \quad |L|^2 = 1 </math></ref> <math>\begin{cases} \|L\| = \pm 1\\ |L^0_{0}| \leqslant 1 \end{cases}</math> È possibile imporre condizioni più restrittive, ad esempio <math>L^0_{0} \leqslant 1 </math>, che comporta che il tempo non venga mai invertito. In tal caso si parla di '''gruppo di Lorentz ortocrono'''. Oppure imporre <math>\|L\| = 1</math>, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente [[w:Parità (fisica)|trasformazione di parità]]) e si ottiene il '''gruppo di Lorentz proprio'''. Le due condizioni insieme producono il cosiddetto '''gruppo di Lorentz ristretto''' che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità<ref>Si può passare con “continuità” da un elemento all'altro mentre le inversioni implicano un “salto”.</ref>. In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski. I gruppi di questo tipo sono noti come [[w:Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da [[w:Sophus Lie|Sophus Lie]], nota come [[w:algebra di Lie|algebra di Lie]]. L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime<ref>“Una trasformazione unitaria infinitesima” ''S'', “cioè una trasformazione che differisca infinitamente poco dall'identità” 1, “può essere sempre scritta nella forma '''''S''''' = '''1''' + ''iε '''G''''' , dove ''ε'' è il parametro infinitesimale e '''''G''''' è un operatore autoaggiunto che prende il nome di ''generatore'' della trasformazione”, Caldirola - Prosperi - Cirelli, ''Introduzione alla fisica teorica'', p.555</ref> degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.<ref>(I + ''ε''A)(I + ''ε''B) = I + ''ε''(A + B) + ''ε''²AB = I + ''ε''(A + B)</ref> Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i '''boost'''<ref>“spinta, impulso”: in quanto rappresentano le trasformazioni di Lorentz propriamente dette, ossia il passaggio da un sistema di riferimento inerziale a velocità ''v'' ad uno a velocità ''v'''</ref> di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.<ref>A conferma di ciò si osservi dalla nota 3 che la matrice ''L'' ha 16 elementi e la relazione (1.1.11) corrisponde a 10 equazioni lineari, lasciando 6 parametri liberi.</ref> == Note == [[Categoria:Lezioni di Teoria quantistica dei campi]] 20z449ndq5erz2tmv6mhvli5fsyd4ek 287653 287652 2026-09-24T10:02:48Z Vilnius 20434 287653 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Teoria quantistica dei campi}} Nella [[w:Relatività ristretta|relatività speciale]], in ogni trasformazione di coordinate tra [[w:Sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], in moto relativo costante, le variazioni del tempo <math>dt</math> e delle coordinate spaziali <math>dx</math>'', <math>dy</math>'' e <math>dz</math>, devono rispettare la condizione <math>ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, \qquad \qquad \qquad \qquad</math>(1.1.8) con ''<math>ds</math>'' costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come [[w:spaziotempo di Minkowski|spaziotempo di Minkowski]], di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio. Definita la matrice diagonale <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.9) nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale <math>x_\alpha</math> con <math>x_\alpha = 0,1,2,3</math>, la (1.1.8) si può riscrivere come <math>ds^2 = \sum_{\alpha,\beta}\eta_{\alpha,\beta} x_\alpha x_\beta</math> o, in forma matriciale, <math>ds^2 = x^T\eta x</math>. È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue: <math>\begin{cases} x'_\alpha = \sum_{\alpha\beta} L_{\alpha\beta} x_\beta \\ x_\beta ~= \sum_{\beta\alpha}L^{-1} _{\beta\alpha} x'_\alpha \end{cases} </math> con <math>\alpha,\beta = 0,1,2,3 \qquad \qquad</math> (1.1.10) Poiché per qualunque trasformazione di coordinate <math>ds</math> non deve variare, si ha <math>ds'^2=ds^2 \quad \Rightarrow \quad (Lx)^T\eta (Lx)=x^T\eta x \quad \Rightarrow \quad x^T L^T\eta Lx=x^T\eta x</math>, perciò <math>L^T\eta L = \eta</math> (1.1.11) Le trasformazioni (1.1.10) formano un [[w:Gruppo generale lineare|gruppo lineare]] detto [[w:Gruppo di Lorentz|gruppo di Lorentz omogeneo]]<ref>{{Cita libro|lingua=inglese|autore=S.S. 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In tal caso si parla di '''gruppo di Lorentz ortocrono'''. Oppure imporre <math>\|L\| = 1</math>, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente [[w:Parità (fisica)|trasformazione di parità]]) e si ottiene il '''gruppo di Lorentz proprio'''. Le due condizioni insieme producono il cosiddetto '''gruppo di Lorentz ristretto''' che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità<ref>Si può passare con “continuità” da un elemento all'altro mentre le inversioni implicano un “salto”.</ref>. In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski. I gruppi di questo tipo sono noti come [[w:Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da [[w:Sophus Lie|Sophus Lie]], nota come [[w:algebra di Lie|algebra di Lie]]. L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime<ref>“Una trasformazione unitaria infinitesima” ''S'', “cioè una trasformazione che differisca infinitamente poco dall'identità” 1, “può essere sempre scritta nella forma '''''S''''' = '''1''' + ''iε '''G''''' , dove ''ε'' è il parametro infinitesimale e '''''G''''' è un operatore autoaggiunto che prende il nome di ''generatore'' della trasformazione”, Caldirola - Prosperi - Cirelli, ''Introduzione alla fisica teorica'', p.555</ref> degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.<ref>(I + ''ε''A)(I + ''ε''B) = I + ''ε''(A + B) + ''ε''²AB = I + ''ε''(A + B)</ref> Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i '''boost'''<ref>“spinta, impulso”: in quanto rappresentano le trasformazioni di Lorentz propriamente dette, ossia il passaggio da un sistema di riferimento inerziale a velocità ''v'' ad uno a velocità ''v'''</ref> di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.<ref>A conferma di ciò si osservi dalla nota 3 che la matrice ''L'' ha 16 elementi e la relazione (1.1.11) corrisponde a 10 equazioni lineari, lasciando 6 parametri liberi.</ref> == Note == [[Categoria:Lezioni di Teoria quantistica dei campi]] 0ye6l3ets33208a0aiciy4nc3358i1g 287654 287653 2026-09-24T10:04:44Z Vilnius 20434 287654 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Teoria quantistica dei campi}} Nella [[w:Relatività ristretta|relatività speciale]], in ogni trasformazione di coordinate tra [[w:Sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], in moto relativo costante, le variazioni del tempo <math>dt</math> e delle coordinate spaziali <math>dx</math>'', <math>dy</math>'' e <math>dz</math>, devono rispettare la condizione <math>ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, \qquad \qquad \qquad \qquad</math>(1.1.8) con ''<math>ds</math>'' costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come [[w:spaziotempo di Minkowski|spaziotempo di Minkowski]], di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio. Definita la matrice diagonale <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.9) nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale <math>x_\alpha</math> con <math>x_\alpha = 0,1,2,3</math>, la (1.1.8) si può riscrivere come <math>ds^2 = \sum_{\alpha,\beta}\eta_{\alpha,\beta} x_\alpha x_\beta</math> o, in forma matriciale, <math>ds^2 = x^T\eta x</math>. È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue: <math>\begin{cases} x'_\alpha = \sum_{\alpha\beta} L_{\alpha\beta} x_\beta \\ x_\beta ~= \sum_{\beta\alpha}L^{-1} _{\beta\alpha} x'_\alpha \end{cases} </math> con <math>\alpha,\beta = 0,1,2,3 \qquad \qquad</math> (1.1.10) Poiché per qualunque trasformazione di coordinate <math>ds</math> non deve variare, si ha <math>ds'^2=ds^2 \quad \Rightarrow \quad (Lx)^T\eta (Lx)=x^T\eta x \quad \Rightarrow \quad x^T L^T\eta Lx=x^T\eta x</math>, perciò <math>L^T\eta L = \eta \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.11) Le trasformazioni (1.1.10) formano un [[w:Gruppo generale lineare|gruppo lineare]] detto [[w:Gruppo di Lorentz|gruppo di Lorentz omogeneo]]<ref>{{Cita libro|lingua=inglese|autore=S.S. Schweber|titolo=An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory|p=38}}</ref> o semplicemente gruppo di Lorentz, il quale è costituito da tutte le possibili trasformazioni di coordinate per un sistema di riferimento nello [[w:Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] (in verità mancherebbero le [[w:Traslazione (geometria)|traslazioni]], considerando le quali si avrebbe il cosiddetto gruppo inomogeneo o [[w:Gruppo di Poincaré|gruppo di Poincarè]]''',''' di cui il gruppo di Lorentz è un [[w:sottogruppo|sottogruppo]]). In base alla relazione <math>L^T\eta L = \eta</math>, si ottengono per le matrici <math>L</math> le seguenti condizioni:<ref><math>L^T\eta L = \eta \quad \Rightarrow \begin{pmatrix} L_{00}&-L_{10}&-L_{20}&-L_{30}\\ L_{01}&-L_{11}&-L_{21}&-L_{31}\\ L_{02}&-L_{12}&-L_{22}&-L_{32}\\ L_{03}&-L_{13}&-L_{23}&-L_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_{00}&L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\ L_{10}&L_{11}&-L_{12}&-L_{13}\\ L_{20}&L_{21}&-L_{22}&-L_{23}\\ L_{30}&L_{31}&-L_{32}&-L_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow L_{00}^2 - (L_{10}^2 + L_{20}^2 + L_{30}^2) = 1 \Rightarrow |L_{00}| \geqslant 1 </math> Inoltre il determinante di una matrice è uno scalare, quindi <math>|L^T| \cdot 1 \cdot |L|=1 \quad \Rightarrow \quad |L|^2 = 1 </math></ref> <math>\begin{cases} \|L\| = \pm 1\\ |L^0_{0}| \leqslant 1 \end{cases}</math> È possibile imporre condizioni più restrittive, ad esempio <math>L^0_{0} \leqslant 1 </math>, che comporta che il tempo non venga mai invertito. In tal caso si parla di '''gruppo di Lorentz ortocrono'''. Oppure imporre <math>\|L\| = 1</math>, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente [[w:Parità (fisica)|trasformazione di parità]]) e si ottiene il '''gruppo di Lorentz proprio'''. Le due condizioni insieme producono il cosiddetto '''gruppo di Lorentz ristretto''' che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità<ref>Si può passare con “continuità” da un elemento all'altro mentre le inversioni implicano un “salto”.</ref>. In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski. I gruppi di questo tipo sono noti come [[w:Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da [[w:Sophus Lie|Sophus Lie]], nota come [[w:algebra di Lie|algebra di Lie]]. L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime<ref>“Una trasformazione unitaria infinitesima” ''S'', “cioè una trasformazione che differisca infinitamente poco dall'identità” 1, “può essere sempre scritta nella forma '''''S''''' = '''1''' + ''iε '''G''''' , dove ''ε'' è il parametro infinitesimale e '''''G''''' è un operatore autoaggiunto che prende il nome di ''generatore'' della trasformazione”, Caldirola - Prosperi - Cirelli, ''Introduzione alla fisica teorica'', p.555</ref> degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.<ref>(I + ''ε''A)(I + ''ε''B) = I + ''ε''(A + B) + ''ε''²AB = I + ''ε''(A + B)</ref> Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i '''boost'''<ref>“spinta, impulso”: in quanto rappresentano le trasformazioni di Lorentz propriamente dette, ossia il passaggio da un sistema di riferimento inerziale a velocità ''v'' ad uno a velocità ''v'''</ref> di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.<ref>A conferma di ciò si osservi dalla nota 3 che la matrice ''L'' ha 16 elementi e la relazione (1.1.11) corrisponde a 10 equazioni lineari, lasciando 6 parametri liberi.</ref> == Note == [[Categoria:Lezioni di Teoria quantistica dei campi]] a2jztabgtzykxldly38zrmrgofgpkog 287655 287654 2026-09-24T10:07:27Z Vilnius 20434 287655 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Teoria quantistica dei campi}} Nella [[w:Relatività ristretta|relatività speciale]], in ogni trasformazione di coordinate tra [[w:Sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]], in moto relativo costante, le variazioni del tempo <math>dt</math> e delle coordinate spaziali <math>dx</math>'', <math>dy</math>'' e <math>dz</math>, devono rispettare la condizione <math>ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, \qquad \qquad \qquad \qquad</math>(1.1.8) con ''<math>ds</math>'' costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come [[w:spaziotempo di Minkowski|spaziotempo di Minkowski]], di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio. Definita la matrice diagonale <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.9) nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale <math>x_\alpha</math> con <math>x_\alpha = 0,1,2,3</math>, la (1.1.8) si può riscrivere come <math>ds^2 = \sum_{\alpha,\beta}\eta_{\alpha,\beta} x_\alpha x_\beta</math> o, in forma matriciale, <math>ds^2 = x^T\eta x</math>. È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue: <math>\begin{cases} x'_\alpha = \sum_{\alpha\beta} L_{\alpha\beta} x_\beta \\ x_\beta ~= \sum_{\beta\alpha}L^{-1} _{\beta\alpha} x'_\alpha \end{cases} </math> con <math>\alpha,\beta = 0,1,2,3 \qquad \qquad</math> (1.1.10) Poiché per qualunque trasformazione di coordinate <math>ds</math> non deve variare, si ha <math>ds'^2=ds^2 \quad \Rightarrow \quad (Lx)^T\eta (Lx)=x^T\eta x \quad \Rightarrow \quad x^T L^T\eta Lx=x^T\eta x</math>, perciò <math>L^T\eta L = \eta \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad</math> (1.1.11) Le trasformazioni (1.1.10) formano un [[w:Gruppo generale lineare|gruppo lineare]] detto [[w:Gruppo di Lorentz|gruppo di Lorentz omogeneo]]<ref>{{Cita libro|lingua=inglese|autore=S.S. Schweber|titolo=An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory|p=38}}</ref> o semplicemente gruppo di Lorentz, il quale è costituito da tutte le possibili trasformazioni di coordinate per un sistema di riferimento nello [[w:Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] (in verità mancherebbero le [[w:Traslazione (geometria)|traslazioni]], considerando le quali si avrebbe il cosiddetto gruppo inomogeneo o [[w:Gruppo di Poincaré|gruppo di Poincarè]]''',''' di cui il gruppo di Lorentz è un [[w:sottogruppo|sottogruppo]]). In base alla relazione <math>L^T\eta L = \eta</math>, si ottengono per le matrici <math>L</math> le seguenti condizioni:<ref><math>L^T\eta L = \eta \quad \Rightarrow \begin{pmatrix} L_{00}&-L_{10}&-L_{20}&-L_{30}\\ L_{01}&-L_{11}&-L_{21}&-L_{31}\\ L_{02}&-L_{12}&-L_{22}&-L_{32}\\ L_{03}&-L_{13}&-L_{23}&-L_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_{00}&L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\ L_{10}&L_{11}&-L_{12}&-L_{13}\\ L_{20}&L_{21}&-L_{22}&-L_{23}\\ L_{30}&L_{31}&-L_{32}&-L_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow L_{00}^2 - (L_{10}^2 + L_{20}^2 + L_{30}^2) = 1 \Rightarrow |L_{00}| \geqslant 1 </math> Inoltre il determinante di una matrice è uno scalare, quindi <math>|L^T| \cdot 1 \cdot |L|=1 \quad \Rightarrow \quad |L|^2 = 1 </math></ref> <math>\begin{cases} \|L\| = \pm 1\\ |L^0_{0}| \leqslant 1 \end{cases}</math> È possibile imporre condizioni più restrittive, ad esempio <math>L^0_{0} \leqslant 1 </math>, che comporta che il tempo non venga mai invertito. In tal caso si parla di '''gruppo di Lorentz ortocrono'''. Oppure imporre <math>\|L\| = 1</math>, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente [[w:Parità (fisica)|trasformazione di parità]]) e si ottiene il '''gruppo di Lorentz proprio'''. Le due condizioni insieme producono il cosiddetto '''gruppo di Lorentz ristretto''' che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità.<ref>Si può passare con “continuità” da un elemento all'altro mentre le inversioni implicano un “salto”.</ref> In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski. I gruppi di questo tipo sono noti come [[w:Gruppo di Lie|gruppi di Lie]], in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da [[w:Sophus Lie|Sophus Lie]], nota come [[w:algebra di Lie|algebra di Lie]]. L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime<ref>“Una trasformazione unitaria infinitesima” ''S'', “cioè una trasformazione che differisca infinitamente poco dall'identità” 1, “può essere sempre scritta nella forma '''''S''''' = '''1''' + ''iε '''G''''' , dove ''ε'' è il parametro infinitesimale e '''''G''''' è un operatore autoaggiunto che prende il nome di ''generatore'' della trasformazione”, Caldirola - Prosperi - Cirelli, ''Introduzione alla fisica teorica'', p.555</ref> degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.<ref>(I + ''ε''A)(I + ''ε''B) = I + ''ε''(A + B) + ''ε''²AB = I + ''ε''(A + B)</ref> Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i '''boost'''<ref>“spinta, impulso”: in quanto rappresentano le trasformazioni di Lorentz propriamente dette, ossia il passaggio da un sistema di riferimento inerziale a velocità ''v'' ad uno a velocità ''v'''</ref> di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.<ref>A conferma di ciò si osservi dalla nota 3 che la matrice ''L'' ha 16 elementi e la relazione (1.1.11) corrisponde a 10 equazioni lineari, lasciando 6 parametri liberi.</ref> == Note == [[Categoria:Lezioni di Teoria quantistica dei campi]] gvod7f0x1h242ur12tkkve7qacy7kg8