Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 106 18217 287681 201888 2026-09-29T20:00:31Z ~2026-51658-73 46953 /* */ 287681 wikitext text/x-wiki {{biblioteca |dip = Dipartimento di Economia |catalogo = *[[:en:w:Category:Bibliographies of economics‎]] *[[:en:w:Category:Bibliographies of industry‎]] *[[Risorse per: Economia dell'età preindustriale]] *[[Risorse per: Storia del pensiero economico]] ==Storia della moneta== *[[Signoraggio (bibliografia)]] == Da Wikisource == B *[[Itwikisource:Breve trattato delle cause che possono far abbondare li regni d'oro e d'argento dove non sono miniere]] di Antonio Serra (1613) C *[[Itwikisource:Canapa e potenza navale. L'approvvigionamento dell'Arsenale di Venezia]] di David Celetti (2005) *[[Itwikisource:Canapa: dall’Ottocento al Novecento, tra cedimenti e riprese, fino al tracollo]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:Condizioni politiche e amministrative della Sicilia]] di Leopoldo Franchetti (1876) D *[[Itwikisource:Della divisione del lavoro in attribuzioni maschili e femminili]] di Maffeo Pantaleoni (1925) *[[Itwikisource:Della moneta]] di Ferdinando Galiani (1751) *[[https://it.wikisource.org/wiki/Della_moneta_(1788)|Itwikisource:Della moneta (1788)]] di Giambattista Vasco (1788) *[[Itwikisource:Di alcuni teoremi fondamentali per la teoria matematica dell'imposta]] di Enrico Barone (1894) *[[Itwikisource:Discorso economico sopra la Maremma di Siena]] di Sallustio Bandini (1775) *[[Itwikisource:Disputa sull'idea del commercio]] di Gian Domenico Romagnosi (1827) E *[[Itwikisource:Elementi di economia pubblica]] di Cesare Beccaria (1804) F *[[Itwikisource:Federconsorzi: storia di un'onta nazionale]] di Antonio Saltini (1977) I *[[Itwikisource:Il materialismo storico e la sociologia generale]] di Alfonso Asturaro (1903) *[[Itwikisource:Il metodo dell'economia pura nell'etica]] di Erminio Juvalta (1907) *[[Itwikisource:Inchiesta del ministero per la costituente]] di Arrigo Serpieri (1946) *[[Itwikisource:Interviste dal libro "Dialoghi D.O.C. con manager di qualità"]] di Rita Melillo (1996) L *[[Itwikisource:L'agricoltura americana]] di Antonio Saltini (1982) *[[Itwikisource:L'economia politica]] di Angelo Messedaglia (1891) *[[Itwikisource:L'epopea della bonifica nel Polesine di San Giorgio]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:L'imperatore Diocleziano e la legge economica del mercato]] di Angelo Messedaglia (1866) *[[Itwikisource:L'insegnamento politico-amministrativo]] di Angelo Messedaglia (1880) *[[Itwikisource:Lo scontro mezzadrile nelle campagne bolognesi]] di Antonio Saltini (1998) M *[[Itwikisource:Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale]] di Vilfredo Pareto (1919) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica]] di Pietro Verri (1771) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica con annotazioni]] di Pietro Verri (1771) N *[[Itwikisource:Nigrizia]] di Autori vari (2011) *[[Itwikisource:Nigrizia/Editoriale]] febbraio 2012 P *[[Itwikisource:Prohibitione di fonder o' diminuire monete ducali d'argento]] di Ferdinando I de' Medici (1606) S *[[Itwikisource:Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa - Statuto 1897]] di Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa (1897) *[[Itwikisource:Per la storia della circolazione monetaria nell’Italia nord-occidentale tra l’XI e la prima metà del XII secolo]] *[[Itwikisource:Sul bilancio delle consumazioni colle produzioni]] di Jean-Baptiste Say (1824), traduzione dal francese di Francesco Lampato (1824) }} [[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Economia|biblioteca]] rljqor4olfrzpuw51bc3mgc9abi3ryi 287682 287681 2026-09-29T20:01:09Z ~2026-51658-73 46953 /* */ 287682 wikitext text/x-wiki {{biblioteca |dip = Dipartimento di Economia |catalogo = *[[:en:w:Category:Bibliographies of economics‎]] *[[:en:w:Category:Bibliographies of industry‎]] *[[Risorse per: Economia dell'età preindustriale]] *[[Risorse per: Storia del pensiero economico]] ==Storia della moneta== *[[Signoraggio (bibliografia)]] == Da Wikisource == B *[[Itwikisource:Breve trattato delle cause che possono far abbondare li regni d'oro e d'argento dove non sono miniere]] di Antonio Serra (1613) C *[[Itwikisource:Canapa e potenza navale. L'approvvigionamento dell'Arsenale di Venezia]] di David Celetti (2005) *[[Itwikisource:Canapa: dall’Ottocento al Novecento, tra cedimenti e riprese, fino al tracollo]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:Condizioni politiche e amministrative della Sicilia]] di Leopoldo Franchetti (1876) D *[[Itwikisource:Della divisione del lavoro in attribuzioni maschili e femminili]] di Maffeo Pantaleoni (1925) *[[Itwikisource:Della moneta]] di Ferdinando Galiani (1751) *[[https://it.wikisource.org/wiki/Della_moneta_(1788)| Itwikisource:Della moneta (1788)]] di Giambattista Vasco (1788) *[[Itwikisource:Di alcuni teoremi fondamentali per la teoria matematica dell'imposta]] di Enrico Barone (1894) *[[Itwikisource:Discorso economico sopra la Maremma di Siena]] di Sallustio Bandini (1775) *[[Itwikisource:Disputa sull'idea del commercio]] di Gian Domenico Romagnosi (1827) E *[[Itwikisource:Elementi di economia pubblica]] di Cesare Beccaria (1804) F *[[Itwikisource:Federconsorzi: storia di un'onta nazionale]] di Antonio Saltini (1977) I *[[Itwikisource:Il materialismo storico e la sociologia generale]] di Alfonso Asturaro (1903) *[[Itwikisource:Il metodo dell'economia pura nell'etica]] di Erminio Juvalta (1907) *[[Itwikisource:Inchiesta del ministero per la costituente]] di Arrigo Serpieri (1946) *[[Itwikisource:Interviste dal libro "Dialoghi D.O.C. con manager di qualità"]] di Rita Melillo (1996) L *[[Itwikisource:L'agricoltura americana]] di Antonio Saltini (1982) *[[Itwikisource:L'economia politica]] di Angelo Messedaglia (1891) *[[Itwikisource:L'epopea della bonifica nel Polesine di San Giorgio]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:L'imperatore Diocleziano e la legge economica del mercato]] di Angelo Messedaglia (1866) *[[Itwikisource:L'insegnamento politico-amministrativo]] di Angelo Messedaglia (1880) *[[Itwikisource:Lo scontro mezzadrile nelle campagne bolognesi]] di Antonio Saltini (1998) M *[[Itwikisource:Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale]] di Vilfredo Pareto (1919) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica]] di Pietro Verri (1771) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica con annotazioni]] di Pietro Verri (1771) N *[[Itwikisource:Nigrizia]] di Autori vari (2011) *[[Itwikisource:Nigrizia/Editoriale]] febbraio 2012 P *[[Itwikisource:Prohibitione di fonder o' diminuire monete ducali d'argento]] di Ferdinando I de' Medici (1606) S *[[Itwikisource:Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa - Statuto 1897]] di Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa (1897) *[[Itwikisource:Per la storia della circolazione monetaria nell’Italia nord-occidentale tra l’XI e la prima metà del XII secolo]] *[[Itwikisource:Sul bilancio delle consumazioni colle produzioni]] di Jean-Baptiste Say (1824), traduzione dal francese di Francesco Lampato (1824) }} [[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Economia|biblioteca]] m3ooq5pa5hd395020cy1stn16c6pjsx 287683 287682 2026-09-29T20:02:04Z ~2026-51658-73 46953 /* */ 287683 wikitext text/x-wiki {{biblioteca |dip = Dipartimento di Economia |catalogo = *[[:en:w:Category:Bibliographies of economics‎]] *[[:en:w:Category:Bibliographies of industry‎]] *[[Risorse per: Economia dell'età preindustriale]] *[[Risorse per: Storia del pensiero economico]] ==Storia della moneta== *[[Signoraggio (bibliografia)]] == Da Wikisource == B *[[Itwikisource:Breve trattato delle cause che possono far abbondare li regni d'oro e d'argento dove non sono miniere]] di Antonio Serra (1613) C *[[Itwikisource:Canapa e potenza navale. L'approvvigionamento dell'Arsenale di Venezia]] di David Celetti (2005) *[[Itwikisource:Canapa: dall’Ottocento al Novecento, tra cedimenti e riprese, fino al tracollo]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:Condizioni politiche e amministrative della Sicilia]] di Leopoldo Franchetti (1876) D *[[Itwikisource:Della divisione del lavoro in attribuzioni maschili e femminili]] di Maffeo Pantaleoni (1925) *[[Itwikisource:Della moneta]] di Ferdinando Galiani (1751) *[[https://it.wikisource.org/wiki/Della_moneta_(1788) Itwikisource:Della moneta (1788)]] di Giambattista Vasco (1788) *[[Itwikisource:Di alcuni teoremi fondamentali per la teoria matematica dell'imposta]] di Enrico Barone (1894) *[[Itwikisource:Discorso economico sopra la Maremma di Siena]] di Sallustio Bandini (1775) *[[Itwikisource:Disputa sull'idea del commercio]] di Gian Domenico Romagnosi (1827) E *[[Itwikisource:Elementi di economia pubblica]] di Cesare Beccaria (1804) F *[[Itwikisource:Federconsorzi: storia di un'onta nazionale]] di Antonio Saltini (1977) I *[[Itwikisource:Il materialismo storico e la sociologia generale]] di Alfonso Asturaro (1903) *[[Itwikisource:Il metodo dell'economia pura nell'etica]] di Erminio Juvalta (1907) *[[Itwikisource:Inchiesta del ministero per la costituente]] di Arrigo Serpieri (1946) *[[Itwikisource:Interviste dal libro "Dialoghi D.O.C. con manager di qualità"]] di Rita Melillo (1996) L *[[Itwikisource:L'agricoltura americana]] di Antonio Saltini (1982) *[[Itwikisource:L'economia politica]] di Angelo Messedaglia (1891) *[[Itwikisource:L'epopea della bonifica nel Polesine di San Giorgio]] di Antonio Saltini (2005) *[[Itwikisource:L'imperatore Diocleziano e la legge economica del mercato]] di Angelo Messedaglia (1866) *[[Itwikisource:L'insegnamento politico-amministrativo]] di Angelo Messedaglia (1880) *[[Itwikisource:Lo scontro mezzadrile nelle campagne bolognesi]] di Antonio Saltini (1998) M *[[Itwikisource:Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale]] di Vilfredo Pareto (1919) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica]] di Pietro Verri (1771) *[[Itwikisource:Meditazioni sulla economia politica con annotazioni]] di Pietro Verri (1771) N *[[Itwikisource:Nigrizia]] di Autori vari (2011) *[[Itwikisource:Nigrizia/Editoriale]] febbraio 2012 P *[[Itwikisource:Prohibitione di fonder o' diminuire monete ducali d'argento]] di Ferdinando I de' Medici (1606) S *[[Itwikisource:Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa - Statuto 1897]] di Società anonima cooperativa di consumo di Castelleone di Suasa (1897) *[[Itwikisource:Per la storia della circolazione monetaria nell’Italia nord-occidentale tra l’XI e la prima metà del XII secolo]] *[[Itwikisource:Sul bilancio delle consumazioni colle produzioni]] di Jean-Baptiste Say (1824), traduzione dal francese di Francesco Lampato (1824) }} [[Categoria:Biblioteca del Dipartimento di Economia|biblioteca]] kunvds7x883jm95y5k961grwi7n4pp0 102 37832 287684 287626 2026-09-30T05:55:51Z Funzioni di correlazione 24136 287684 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [[Limiti e derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] [[Condizioni di Cauchy - Riemann]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} fbe6l8smfejz3meee4dujko8x3urhff 0 37839 287671 287590 2026-09-29T14:44:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287671 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> cl60xkw63n8db9mbcmjmce6ks7hctry 287672 287671 2026-09-29T14:45:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287672 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = z^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> mil2v0j7eq40d0t52jfmp80tz5mt2w3 287673 287672 2026-09-29T14:47:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287673 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = z ^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> dw8x2xymu2xxylaix5lp362mv8rl6kw 287674 287673 2026-09-29T14:49:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287674 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] ==3° Esercizio== Si voglia tracciare il punto nello spazio indicato da: <math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> giacente sulla superficie di <math> f(z) = ( x + jy ) ^ 3 </math> ; indichiamo ad IA la richiesta: '''Traccia in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = (x + jy)^3 </math> sulla superfice della quale giace il punto :<math>f(z) = ( 2 + j 3 )^3 </math> '''La superfice tridimensionale deve essere a colori e di ottimo tratto''' Al link 3D2 la risposta di IA [[https://drive.google.com/file/d/1IqIZMrOPbnQL_UVtSaSE_WjAwgf7HJme/view?usp=drive_link]3d2] Come si veeùde dal disegno 3D il punto già calcolato nell'esercizio 2 è evidenziato, nella parte destra in alto con una freccia e un cerchietto, == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> mtdq64t2s5pgn8kt7gy9bzhf6ugof25 287675 287674 2026-09-29T14:50:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287675 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 4° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> 0gbu6ynvjev7c2k2v7kfyxxgt9fs88i 287676 287675 2026-09-29T15:08:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287676 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> jcf79ujxqdflbergnx1hp1zquilwmgz 287677 287676 2026-09-29T15:10:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287677 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==3° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> 6h7r1x3etx5xwhw4dbr3h691xrxz9li 287678 287677 2026-09-29T15:10:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287678 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==5° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> jcf79ujxqdflbergnx1hp1zquilwmgz 287679 287678 2026-09-29T15:11:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287679 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==3° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> 6h7r1x3etx5xwhw4dbr3h691xrxz9li 287680 287679 2026-09-29T15:45:00Z Funzioni di correlazione 24136 287680 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni reali di variabile complessa | avanzamento = 100% }} In analisi matematica, una '''funzione reale di variabile complessa''' è una funzione nella quale la variabile indipendente è un numero complesso, mentre il valore della funzione è un numero reale. In generale, una tale funzione può essere scritta nella forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> e associa a ogni numero complesso <math>z\in\mathbb{C}</math> un numero reale <math>f(z)\in\mathbb{R}</math>. Poiché ogni numero complesso può essere rappresentato mediante una parte reale e una parte immaginaria, si può scrivere <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i</math> è l'unità immaginaria, definita dalla relazione <math>i^2=-1</math>. Di conseguenza, una funzione reale di variabile complessa può essere interpretata anche come una funzione reale di due variabili reali: <math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)</math> dove <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Rappresentazione geometrica == Identificando il numero complesso <math>z=x+iy</math> con il punto <math>(x,y)</math> del piano cartesiano, una funzione reale di variabile complessa può essere vista come una funzione definita sul piano complesso e a valori reali. Il dominio della funzione è quindi un sottoinsieme del piano complesso, <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> mentre la funzione associa a ogni punto <math>(x,y)\in D</math> un numero reale <math>f(x+iy)=u(x,y)</math>. Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione reale di variabile complessa è una superficie nello spazio tridimensionale. Infatti, introducendo una coordinata reale <math>w</math>, il grafico è descritto dall'equazione <math>w=u(x,y)</math>. In questo modo, il piano complesso costituisce il piano delle variabili indipendenti, mentre il valore reale della funzione costituisce la terza coordinata. ==1° Esercizio== Si voglia tracciare in tre dimensioni la funzione reale di varibile complessa: <math>f(z) = |z|^2 </math> : indicheremo ad IA: '''Traccia la funzione di variabile complessa f(z) = |z |^2 in tre dimensioni a colori di bella presenza''' Al link 3D1 la funzione di risposta da IA: [[https://drive.google.com/file/d/1kOLWuDZ3SdNh2-oDTRObECje0lpZUeqY/view?usp=drive_link]3D1] == 2° Esercizio == Un esempio fondamentale, proposto da IA, riguarda la parte reale di un numero complesso. Definendo <math>f(z)=\operatorname{Re}(z)</math> e scrivendo <math>z=x+iy</math> si ottiene <math>f(z)=x</math>. Analogamente, la parte immaginaria è una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=\operatorname{Im}(z)</math> per la quale <math>f(x+iy)=y</math>. Anche il modulo di un numero complesso definisce una funzione reale di variabile complessa: <math>f(z)=|z|</math>. Poiché <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> si ha <math>f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. Un altro esempio è il quadrato del modulo: <math>f(z)=|z|^2</math> che, in termini delle coordinate reali, diventa <math>f(x+iy)=x^2+y^2</math>. Si possono inoltre considerare funzioni definite mediante espressioni più generali nelle coordinate <math>x</math> e <math>y</math>, ad esempio <math>f(z)=x^2-y^2</math> oppure <math>f(z)=\sin(x)+\cos(y)</math>, dove in entrambi i casi <math>x=\operatorname{Re}(z)</math> e <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>. ==3° Esercizio== Un esempio di funzione reale di variabile complessa è la funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}</math> definita da <math> f(z)=\operatorname{Re}(z^2). </math> Poniamo <math> z=x+iy, </math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math> z^2=(x+iy)^2. </math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math> z^2=x^2+2ixy+i^2y^2. </math> Poiché <math> i^2=-1, </math> segue che <math> z^2=x^2-y^2+2ixy. </math> La parte reale di <math>z^2</math> è quindi <math> \operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2. </math> Pertanto la funzione può essere scritta, in termini delle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>, come <math> f(x+iy)=x^2-y^2. </math> In questo modo <math>f</math> associa a ogni numero complesso <math>z=x+iy</math> un numero reale. Ad esempio, per <math> z=1+2i, </math> si ha <math> f(1+2i)=1^2-2^2=1-4=-3. </math> Quindi <math> f(1+2i)=-3. </math> La funzione è dunque un esempio di funzione reale di variabile complessa, perché il suo argomento appartiene a <math>\mathbb{C}</math>, mentre i suoi valori appartengono a <math>\mathbb{R}</math>. == Continuità == La continuità di una funzione reale di variabile complessa si definisce utilizzando la struttura metrica del piano complesso. Sia <math>f:D\to\mathbb{R}</math> e sia <math>z_0\in D</math>. La funzione è continua in <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>z_0=x_0+iy_0</math>, la condizione <math>z\to z_0</math> equivale a <math>(x,y)\to(x_0,y_0)</math>. Pertanto, la continuità di una funzione reale di variabile complessa coincide con la continuità, nel senso usuale, della funzione reale di due variabili <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>. == Derivate parziali == Poiché una funzione reale di variabile complessa può essere espressa come <math>f(z)=u(x,y)</math>, è possibile studiarne le derivate rispetto alle coordinate reali <math>x</math> e <math>y</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Quando le derivate parziali esistono, esse descrivono la variazione della funzione lungo le direzioni dell'asse reale e dell'asse immaginario. ==4° Esercizio== Si calcolino con IA le derivate parziali della funzione reale di variabile complessa: <math> z = \sqrt{x+jy} </math> in grssetto la richiesta ad IA: ''' Calcola le derivate parziali di z = sqr( x + jy)''' Risposta di IA : Sia data la funzione <math>z = \sqrt{x+jy}</math> dove <math>j = \sqrt{-1}</math>. Per calcolare le derivate parziali rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>, si considerano <math>x</math> e <math>y</math> come variabili indipendenti. '' Derivata parziale rispetto a x '' Si applica la regola della derivata della radice quadrata: <math>\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial x}</math> ponendo <math>u = x+jy</math>. Poiché <math>\frac{\partial}{\partial x}(x+jy)=1</math>, si ottiene <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot 1</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Derivata parziale rispetto a y '' Analogamente, ponendo <math>u = x+jy</math>, si ha <math>\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\partial u}{\partial y}.</math> Poiché <math>\frac{\partial}{\partial y}(x+jy)=j</math>, segue che <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}\cdot j</math> e quindi <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> '' Risultato '' Le due derivate parziali sono pertanto <math>\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x+jy}}</math> e <math>\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{j}{2\sqrt{x+jy}}.</math> me8t1r9ftodcfs6g3evy3zujzo3bgcl 0 37840 287670 287622 2026-09-29T14:43:40Z Funzioni di correlazione 24136 287670 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> tj06qm4wv3jgow4p03nj0o8ouc8w6nb 0 37842 287685 2026-09-30T05:56:27Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "Certo. Ti preparo un percorso completo e lineare, in formato facilmente copiabile, spiegando le condizioni di Cauchy-Riemann e mostrando il calcolo passo per passo, senza usare `\boxed{}`. CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN 1. Scrittura di una funzione complessa Consideriamo una funzione complessa f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dove z = x + iy e u(x,y), v(x,y) sono funzioni reali. Per esempio, se f(z) = z^2 scriviamo z = x + iy e quindi f(z) = (x+iy)^2 Sviluppando: f(..." 287685 wikitext text/x-wiki Certo. Ti preparo un percorso completo e lineare, in formato facilmente copiabile, spiegando le condizioni di Cauchy-Riemann e mostrando il calcolo passo per passo, senza usare `\boxed{}`. CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN 1. Scrittura di una funzione complessa Consideriamo una funzione complessa f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dove z = x + iy e u(x,y), v(x,y) sono funzioni reali. Per esempio, se f(z) = z^2 scriviamo z = x + iy e quindi f(z) = (x+iy)^2 Sviluppando: f(z) = x^2 + 2ixy + i^2y^2 Poiché i^2 = -1 otteniamo f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) Confrontando con f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si ha u(x,y) = x^2 - y^2 v(x,y) = 2xy 2. Condizioni di Cauchy-Riemann Le condizioni di Cauchy-Riemann sono ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x Queste sono le due condizioni fondamentali da verificare. 3. Calcolo delle derivate parziali Partiamo da u(x,y) = x^2 - y^2 Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂u/∂x = 2x Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂u/∂y = -2y Ora consideriamo v(x,y) = 2xy Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂v/∂x = 2y Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂v/∂y = 2x 4. Verifica della prima condizione La prima condizione è ∂u/∂x = ∂v/∂y Sostituiamo i risultati: 2x = 2x La condizione è verificata. 5. Verifica della seconda condizione La seconda condizione è ∂u/∂y = -∂v/∂x Sostituiamo: -2y = -(2y) quindi -2y = -2y Anche la seconda condizione è verificata. 6. Conclusione Le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. Quindi, nel caso della funzione f(z) = z^2 le condizioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte per ogni punto (x,y). Inoltre, poiché le derivate parziali di u e v sono continue, possiamo concludere che f è olomorfa. 7. Formula generale da usare negli esercizi Data una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si procede sempre nel seguente modo: PASSO 1 Scrivere z = x + iy e trasformare la funzione in funzione di x e y. PASSO 2 Separare parte reale e parte immaginaria: f(z) = u(x,y) + i v(x,y) PASSO 3 Calcolare le quattro derivate parziali: ∂u/∂x ∂u/∂y ∂v/∂x ∂v/∂y PASSO 4 Verificare la prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y PASSO 5 Verificare la seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x PASSO 6 Se entrambe le condizioni sono soddisfatte, allora le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. 8. Attenzione: cosa si può concludere? Le condizioni di Cauchy-Riemann sono necessarie per la derivabilità complessa in un punto. Quindi: se f è derivabile in z₀ → le condizioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte in z₀. In generale, però, il semplice fatto che le condizioni di Cauchy-Riemann siano soddisfatte in un punto non è sufficiente, da solo, per garantire la derivabilità complessa. Se invece le derivate parziali di u e v esistono e sono continue in un intorno del punto e le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, allora f è derivabile complessamente nel punto. 9. Esempio completo con una funzione non olomorfa Consideriamo f(z) = |z|^2 Poiché |z|^2 = x^2 + y^2 abbiamo f(z) = x^2 + y^2 La parte reale è u(x,y) = x^2 + y^2 mentre la parte immaginaria è v(x,y) = 0 Calcoliamo le derivate: ∂u/∂x = 2x ∂u/∂y = 2y ∂v/∂x = 0 ∂v/∂y = 0 Prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y quindi 2x = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando x = 0 Seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x quindi 2y = -0 cioè 2y = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando y = 0 Le due condizioni sono quindi soddisfatte contemporaneamente solo nel punto (x,y) = (0,0) Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte in generale. 10. Controllo rapido da ricordare Per una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) bisogna sempre arrivare a questo schema: u(x,y) = ... v(x,y) = ... ∂u/∂x = ... ∂u/∂y = ... ∂v/∂x = ... ∂v/∂y = ... Poi verificare: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Se entrambe sono vere nel punto o nella regione considerata, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Se le condizioni devono essere verificate in un insieme, bisogna controllare che le due uguaglianze valgano in tutti i punti dell'insieme. 11. Forma compatta da usare all'esame Data f(z) = u(x,y) + i v(x,y) le condizioni di Cauchy-Riemann sono u_x = v_y u_y = -v_x dove u_x = ∂u/∂x u_y = ∂u/∂y v_x = ∂v/∂x v_y = ∂v/∂y. Si calcolano quindi le quattro derivate parziali e si verificano le due uguaglianze. Se le derivate parziali sono continue in un intorno del punto e le condizioni sono soddisfatte, allora la funzione è derivabile complessamente nel punto. Se vuoi, posso anche prepararti **lo stesso schema applicato a un esercizio specifico**, mostrando ogni singolo passaggio di calcolo. dtgxyh0sc0gi49qi4qr7wd3w5qb5d6c 287686 287685 2026-09-30T05:56:59Z Funzioni di correlazione 24136 287686 wikitext text/x-wiki CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN 1. Scrittura di una funzione complessa Consideriamo una funzione complessa f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dove z = x + iy e u(x,y), v(x,y) sono funzioni reali. Per esempio, se f(z) = z^2 scriviamo z = x + iy e quindi f(z) = (x+iy)^2 Sviluppando: f(z) = x^2 + 2ixy + i^2y^2 Poiché i^2 = -1 otteniamo f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) Confrontando con f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si ha u(x,y) = x^2 - y^2 v(x,y) = 2xy 2. Condizioni di Cauchy-Riemann Le condizioni di Cauchy-Riemann sono ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x Queste sono le due condizioni fondamentali da verificare. 3. Calcolo delle derivate parziali Partiamo da u(x,y) = x^2 - y^2 Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂u/∂x = 2x Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂u/∂y = -2y Ora consideriamo v(x,y) = 2xy Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂v/∂x = 2y Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂v/∂y = 2x 4. Verifica della prima condizione La prima condizione è ∂u/∂x = ∂v/∂y Sostituiamo i risultati: 2x = 2x La condizione è verificata. 5. Verifica della seconda condizione La seconda condizione è ∂u/∂y = -∂v/∂x Sostituiamo: -2y = -(2y) quindi -2y = -2y Anche la seconda condizione è verificata. 6. Conclusione Le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. Quindi, nel caso della funzione f(z) = z^2 le condizioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte per ogni punto (x,y). Inoltre, poiché le derivate parziali di u e v sono continue, possiamo concludere che f è olomorfa. 7. Formula generale da usare negli esercizi Data una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si procede sempre nel seguente modo: PASSO 1 Scrivere z = x + iy e trasformare la funzione in funzione di x e y. PASSO 2 Separare parte reale e parte immaginaria: f(z) = u(x,y) + i v(x,y) PASSO 3 Calcolare le quattro derivate parziali: ∂u/∂x ∂u/∂y ∂v/∂x ∂v/∂y PASSO 4 Verificare la prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y PASSO 5 Verificare la seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x PASSO 6 Se entrambe le condizioni sono soddisfatte, allora le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. 8. Attenzione: cosa si può concludere? Le condizioni di Cauchy-Riemann sono necessarie per la derivabilità complessa in un punto. Quindi: se f è derivabile in z₀ → le condizioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte in z₀. In generale, però, il semplice fatto che le condizioni di Cauchy-Riemann siano soddisfatte in un punto non è sufficiente, da solo, per garantire la derivabilità complessa. Se invece le derivate parziali di u e v esistono e sono continue in un intorno del punto e le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, allora f è derivabile complessamente nel punto. 9. Esempio completo con una funzione non olomorfa Consideriamo f(z) = |z|^2 Poiché |z|^2 = x^2 + y^2 abbiamo f(z) = x^2 + y^2 La parte reale è u(x,y) = x^2 + y^2 mentre la parte immaginaria è v(x,y) = 0 Calcoliamo le derivate: ∂u/∂x = 2x ∂u/∂y = 2y ∂v/∂x = 0 ∂v/∂y = 0 Prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y quindi 2x = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando x = 0 Seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x quindi 2y = -0 cioè 2y = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando y = 0 Le due condizioni sono quindi soddisfatte contemporaneamente solo nel punto (x,y) = (0,0) Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte in generale. 10. Controllo rapido da ricordare Per una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) bisogna sempre arrivare a questo schema: u(x,y) = ... v(x,y) = ... ∂u/∂x = ... ∂u/∂y = ... ∂v/∂x = ... ∂v/∂y = ... Poi verificare: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Se entrambe sono vere nel punto o nella regione considerata, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Se le condizioni devono essere verificate in un insieme, bisogna controllare che le due uguaglianze valgano in tutti i punti dell'insieme. 11. Forma compatta da usare all'esame Data f(z) = u(x,y) + i v(x,y) le condizioni di Cauchy-Riemann sono u_x = v_y u_y = -v_x dove u_x = ∂u/∂x u_y = ∂u/∂y v_x = ∂v/∂x v_y = ∂v/∂y. Si calcolano quindi le quattro derivate parziali e si verificano le due uguaglianze. Se le derivate parziali sono continue in un intorno del punto e le condizioni sono soddisfatte, allora la funzione è derivabile complessamente nel punto. Se vuoi, posso anche prepararti **lo stesso schema applicato a un esercizio specifico**, mostrando ogni singolo passaggio di calcolo. jlj5gmkg97ywu139vgrpbolpqrms3an 287687 287686 2026-09-30T05:58:57Z Funzioni di correlazione 24136 287687 wikitext text/x-wiki CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN 1. Scrittura di una funzione complessa Consideriamo una funzione complessa f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dove z = x + iy e u(x,y), v(x,y) sono funzioni reali. Per esempio, se f(z) = z^2 scriviamo z = x + iy e quindi f(z) = (x+iy)^2 Sviluppando: f(z) = x^2 + 2ixy + i^2y^2 Poiché i^2 = -1 otteniamo f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) Confrontando con f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si ha u(x,y) = x^2 - y^2 v(x,y) = 2xy 2. Condizioni di Cauchy-Riemann Le condizioni di Cauchy-Riemann sono ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x Queste sono le due condizioni fondamentali da verificare. 3. Calcolo delle derivate parziali Partiamo da u(x,y) = x^2 - y^2 Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂u/∂x = 2x Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂u/∂y = -2y Ora consideriamo v(x,y) = 2xy Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂v/∂x = 2y Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂v/∂y = 2x 4. Verifica della prima condizione La prima condizione è ∂u/∂x = ∂v/∂y Sostituiamo i risultati: 2x = 2x La condizione è verificata. 5. Verifica della seconda condizione La seconda condizione è ∂u/∂y = -∂v/∂x Sostituiamo: -2y = -(2y) quindi -2y = -2y Anche la seconda condizione è verificata. 6. Conclusione Le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. Quindi, nel caso della funzione f(z) = z^2 le condizioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte per ogni punto (x,y). Inoltre, poiché le derivate parziali di u e v sono continue, possiamo concludere che f è olomorfa. 7. Formula generale da usare negli esercizi Data una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si procede sempre nel seguente modo: PASSO 1 Scrivere z = x + iy e trasformare la funzione in funzione di x e y. PASSO 2 Separare parte reale e parte immaginaria: f(z) = u(x,y) + i v(x,y) PASSO 3 Calcolare le quattro derivate parziali: ∂u/∂x ∂u/∂y ∂v/∂x ∂v/∂y PASSO 4 Verificare la prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y PASSO 5 Verificare la seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x PASSO 6 Se entrambe le condizioni sono soddisfatte, allora le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. 8. Attenzione: cosa si può concludere? Le condizioni di Cauchy-Riemann sono necessarie per la derivabilità complessa in un punto. Quindi: se f è derivabile in z₀ → le condizioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte in z₀. In generale, però, il semplice fatto che le condizioni di Cauchy-Riemann siano soddisfatte in un punto non è sufficiente, da solo, per garantire la derivabilità complessa. Se invece le derivate parziali di u e v esistono e sono continue in un intorno del punto e le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, allora f è derivabile complessamente nel punto. 9. Esempio completo con una funzione non olomorfa Consideriamo f(z) = |z|^2 Poiché |z|^2 = x^2 + y^2 abbiamo f(z) = x^2 + y^2 La parte reale è u(x,y) = x^2 + y^2 mentre la parte immaginaria è v(x,y) = 0 Calcoliamo le derivate: ∂u/∂x = 2x ∂u/∂y = 2y ∂v/∂x = 0 ∂v/∂y = 0 Prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y quindi 2x = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando x = 0 Seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x quindi 2y = -0 cioè 2y = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando y = 0 Le due condizioni sono quindi soddisfatte contemporaneamente solo nel punto (x,y) = (0,0) Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte in generale. 10. Controllo rapido da ricordare Per una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) bisogna sempre arrivare a questo schema: u(x,y) = ... v(x,y) = ... ∂u/∂x = ... ∂u/∂y = ... ∂v/∂x = ... ∂v/∂y = ... Poi verificare: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Se entrambe sono vere nel punto o nella regione considerata, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Se le condizioni devono essere verificate in un insieme, bisogna controllare che le due uguaglianze valgano in tutti i punti dell'insieme. 11. Forma compatta da usare all'esame Data f(z) = u(x,y) + i v(x,y) le condizioni di Cauchy-Riemann sono u_x = v_y u_y = -v_x dove u_x = ∂u/∂x u_y = ∂u/∂y v_x = ∂v/∂x v_y = ∂v/∂y. Si calcolano quindi le quattro derivate parziali e si verificano le due uguaglianze. Se le derivate parziali sono continue in un intorno del punto e le condizioni sono soddisfatte, allora la funzione è derivabile complessamente nel punto. 15wgl5v24u3slc879ti2mscamwxqyzv 287688 287687 2026-09-30T06:03:01Z Funzioni di correlazione 24136 287688 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = su CAUCHY-RIEMANN | avanzamento = 100% }} CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN 1. Scrittura di una funzione complessa Consideriamo una funzione complessa f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dove z = x + iy e u(x,y), v(x,y) sono funzioni reali. Per esempio, se f(z) = z^2 scriviamo z = x + iy e quindi f(z) = (x+iy)^2 Sviluppando: f(z) = x^2 + 2ixy + i^2y^2 Poiché i^2 = -1 otteniamo f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) Confrontando con f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si ha u(x,y) = x^2 - y^2 v(x,y) = 2xy 2. Condizioni di Cauchy-Riemann Le condizioni di Cauchy-Riemann sono ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂u/∂y = -∂v/∂x Queste sono le due condizioni fondamentali da verificare. 3. Calcolo delle derivate parziali Partiamo da u(x,y) = x^2 - y^2 Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂u/∂x = 2x Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂u/∂y = -2y Ora consideriamo v(x,y) = 2xy Calcoliamo la derivata rispetto a x: ∂v/∂x = 2y Calcoliamo la derivata rispetto a y: ∂v/∂y = 2x 4. Verifica della prima condizione La prima condizione è ∂u/∂x = ∂v/∂y Sostituiamo i risultati: 2x = 2x La condizione è verificata. 5. Verifica della seconda condizione La seconda condizione è ∂u/∂y = -∂v/∂x Sostituiamo: -2y = -(2y) quindi -2y = -2y Anche la seconda condizione è verificata. 6. Conclusione Le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. Quindi, nel caso della funzione f(z) = z^2 le condizioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte per ogni punto (x,y). Inoltre, poiché le derivate parziali di u e v sono continue, possiamo concludere che f è olomorfa. 7. Formula generale da usare negli esercizi Data una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) si procede sempre nel seguente modo: PASSO 1 Scrivere z = x + iy e trasformare la funzione in funzione di x e y. PASSO 2 Separare parte reale e parte immaginaria: f(z) = u(x,y) + i v(x,y) PASSO 3 Calcolare le quattro derivate parziali: ∂u/∂x ∂u/∂y ∂v/∂x ∂v/∂y PASSO 4 Verificare la prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y PASSO 5 Verificare la seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x PASSO 6 Se entrambe le condizioni sono soddisfatte, allora le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate. 8. Attenzione: cosa si può concludere? Le condizioni di Cauchy-Riemann sono necessarie per la derivabilità complessa in un punto. Quindi: se f è derivabile in z₀ → le condizioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte in z₀. In generale, però, il semplice fatto che le condizioni di Cauchy-Riemann siano soddisfatte in un punto non è sufficiente, da solo, per garantire la derivabilità complessa. Se invece le derivate parziali di u e v esistono e sono continue in un intorno del punto e le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, allora f è derivabile complessamente nel punto. 9. Esempio completo con una funzione non olomorfa Consideriamo f(z) = |z|^2 Poiché |z|^2 = x^2 + y^2 abbiamo f(z) = x^2 + y^2 La parte reale è u(x,y) = x^2 + y^2 mentre la parte immaginaria è v(x,y) = 0 Calcoliamo le derivate: ∂u/∂x = 2x ∂u/∂y = 2y ∂v/∂x = 0 ∂v/∂y = 0 Prima condizione: ∂u/∂x = ∂v/∂y quindi 2x = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando x = 0 Seconda condizione: ∂u/∂y = -∂v/∂x quindi 2y = -0 cioè 2y = 0 Questa uguaglianza è verificata solo quando y = 0 Le due condizioni sono quindi soddisfatte contemporaneamente solo nel punto (x,y) = (0,0) Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte in generale. 10. Controllo rapido da ricordare Per una funzione f(z) = u(x,y) + i v(x,y) bisogna sempre arrivare a questo schema: u(x,y) = ... v(x,y) = ... ∂u/∂x = ... ∂u/∂y = ... ∂v/∂x = ... ∂v/∂y = ... Poi verificare: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Se entrambe sono vere nel punto o nella regione considerata, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte. Se le condizioni devono essere verificate in un insieme, bisogna controllare che le due uguaglianze valgano in tutti i punti dell'insieme. 11. Forma compatta da usare all'esame Data f(z) = u(x,y) + i v(x,y) le condizioni di Cauchy-Riemann sono u_x = v_y u_y = -v_x dove u_x = ∂u/∂x u_y = ∂u/∂y v_x = ∂v/∂x v_y = ∂v/∂y. Si calcolano quindi le quattro derivate parziali e si verificano le due uguaglianze. Se le derivate parziali sono continue in un intorno del punto e le condizioni sono soddisfatte, allora la funzione è derivabile complessamente nel punto. tbmw6nze0845ktb7ak76yveytcgtnqp