Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 14190 287721 126330 2026-10-02T14:05:14Z Avemundi 2081 Ortografia 287721 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=programma|materia1=Programmi scolastici italiani}} == CHIMICA DEI MATERIALI == === LINEE GENERALI E COMPETENZE === Al termine del percorso liceale lo studente dovrà possedere le conoscenze di tipo chimico e tecnico relative ai vari materiali che ha utilizzato e utilizzerà in ambito artistico, inteso in senso ampio. Lo studio riprende, approfondisce e sviluppa i contenuti di chimica appresi al primo biennio e si rivolge quindi ad esaminare le caratteristiche dei materiali di utilizzo nei vari ambiti di attività. In particolare, lo studente apprende le caratteristiche fisico-chimiche e tecnologiche fondamentali dei materiali di interesse per il proprio indirizzo, la loro origine, la loro preparazione e gli impieghi a cui sono destinati; dovrà inoltre padroneggiare i fondamenti delle tecniche che impiega. Si cercherà il raccordo con gli altri ambiti disciplinari, in particolare con fisica e matematica e con le discipline teorico-pratiche dell'indirizzo, specialmente con quelle che prevedono attività di laboratorio in cui siano utilizzati i materiali oggetto di studio. === OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO === ==== SECONDO BIENNIO ==== Nel secondo biennio si completano e si approfondiscono i contenuti di chimica generale e inorganica del I biennio con la classificazione dei principali composti inorganici e la relativa nomenclatura, lo studio della struttura della materia e i fondamenti della relazione tra struttura e proprietà, la teoria atomica, i modelli atomici, il sistema periodico e le proprietà periodiche, i legami chimici, la chimica organica di base. Si sviluppa lo studio dei materiali di più comune impiego nell'ambito dei vari indirizzi, quali legno, carta, colori per l'arte, pitture e vernici, solventi, inchiostri, materiali ceramici e relative decorazioni, vetri, laterizi, leganti, metalli, fibre e tessuti, polimeri e materiali plastici, adesivi e resine naturali ecc., unitamente a quello delle tecniche artistiche in cui essi sono utilizzati. Si accenna al degrado dei materiali e alle tecniche di restauro. Si possono svolgere attività sperimentali per la parte di chimica generale, inorganica e organica e prove di laboratorio sulla caratterizzazione dei materiali, anche in connessione con i laboratori delle discipline di indirizzo. [[Categoria:Programmi scolastici italiani del liceo artistico indirizzo architettura e ambiente‎]] hqbjkbreqc500ai5xsexermnlv2sm1s 0 14273 287723 126388 2026-10-02T14:10:05Z Avemundi 2081 Ortografia 287723 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=programma|materia1=Programmi scolastici italiani}} == Chimica dei materiali == === Linee generali e competenze === Al termine del percorso liceale lo studente dovrà possedere le conoscenze di tipo chimico e tecnico relative ai vari materiali che ha utilizzato e utilizzerà in ambito artistico, inteso in senso ampio. Lo studio riprende, approfondisce e sviluppa i contenuti di chimica appresi al primo biennio e si rivolge quindi ad esaminare le caratteristiche dei materiali di utilizzo nei vari ambiti di attività. In particolare, lo studente apprende le caratteristiche fisico-chimiche e tecnologiche fondamentali dei materiali di interesse per il proprio indirizzo, la loro origine, la loro preparazione e gli impieghi a cui sono destinati; dovrà inoltre padroneggiare i fondamenti delle tecniche che impiega. Si cercherà il raccordo con gli altri ambiti disciplinari, in particolare con fisica e matematica e con le discipline teorico-pratiche dell'indirizzo, specialmente con quelle che prevedono attività di laboratorio in cui siano utilizzati i materiali oggetto di studio. === Obiettivi specifici di apprendimento === ==== Secondo biennio ==== Nel secondo biennio si completano e si approfondiscono i contenuti di chimica generale e inorganica del I biennio con la classificazione dei principali composti inorganici e la relativa nomenclatura, lo studio della struttura della materia e i fondamenti della relazione tra struttura e proprietà, la teoria atomica, i modelli atomici, il sistema periodico e le proprietà periodiche, i legami chimici, la chimica organica di base. Si sviluppa lo studio dei materiali di più comune impiego nell'ambito dei vari indirizzi, quali legno, carta, colori per l'>arte, pitture e vernici, solventi, inchiostri, materiali ceramici e relative decorazioni, vetri, laterizi, leganti, metalli, fibre e tessuti, polimeri e materiali plastici, adesivi e resine naturali ecc., unitamente a quello delle tecniche artistiche in cui essi sono utilizzati. Si accenna al degrado dei materiali e alle tecniche di restauro. Si possono svolgere attività sperimentali per la parte di chimica generale, inorganica e organica e prove di laboratorio sulla caratterizzazione dei materiali, anche in connessione con i laboratori delle discipline di indirizzo. [[Categoria:Programmi scolastici italiani del liceo artistico indirizzo scenografia]] ds6z4bphjp4o4jah7259uki9abg3p6u 2 32658 287727 287712 2026-10-02T15:59:20Z Funzioni di correlazione 24136 287727 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} Certo. Ecco un esercizio completo di **analisi di funzione** con tutto il percorso di calcolo, scritto in modo da poter essere copiato e incollato direttamente. Ho usato `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e non ho inserito `\boxed{}`. # Esercizio di analisi di una funzione Studiare completamente la funzione <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}</math> determinando: 1. dominio; 2. eventuali simmetrie; 3. intersezioni con gli assi; 4. segno della funzione; 5. limiti agli estremi del dominio; 6. eventuali asintoti; 7. derivata prima e intervalli di monotonia; 8. massimi e minimi relativi; 9. derivata seconda e concavità; 10. eventuali punti di flesso; 11. insieme immagine; 12. schizzo qualitativo del grafico. --- ## 1. Dominio La funzione è <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}</math>. Essendo una funzione razionale fratta, il denominatore deve essere diverso da zero: <math>x-1\neq 0</math>. Quindi: <math>x\neq 1</math>. Il dominio è pertanto <math>D=\mathbb{R}\setminus{1}</math>. --- ## 2. Semplificazione e forma utile Scomponiamo il numeratore: <math>x^2-4=(x-2)(x+2)</math>. Quindi <math>f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}</math>. Per studiare più facilmente i limiti e l'andamento della funzione, eseguiamo la divisione tra polinomi: <math>\frac{x^2-4}{x-1}=x+1-\frac{3}{x-1}</math>. Pertanto possiamo scrivere <math>f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}</math>. --- ## 3. Simmetrie Calcoliamo <math>f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{-x-1}=\frac{x^2-4}{-(x+1)}</math>. Quindi <math>f(-x)=-\frac{x^2-4}{x+1}</math>. In generale <math>f(-x)\neq f(x)</math> e <math>f(-x)\neq -f(x)</math>. La funzione non è quindi né pari né dispari. --- ## 4. Intersezioni con gli assi ### Intersezione con l'asse <math>y</math> Poniamo <math>x=0</math>. Otteniamo <math>f(0)=\frac{0^2-4}{0-1}=\frac{-4}{-1}=4</math>. Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è <math>(0,4)</math>. ### Intersezioni con l'asse <math>x</math> Per trovare le intersezioni con l'asse <math>x</math> poniamo <math>f(x)=0</math>. Una frazione è nulla quando il numeratore è nullo e il denominatore è diverso da zero: <math>x^2-4=0</math>. Scomponiamo: <math>(x-2)(x+2)=0</math>. Pertanto <math>x=2</math> oppure <math>x=-2</math>. Entrambi i valori appartengono al dominio. Le intersezioni con l'asse <math>x</math> sono quindi <math>(2,0)</math> e <math>(-2,0)</math>. --- ## 5. Segno della funzione Studiamo il segno di <math>f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}</math>. I valori che annullano il numeratore sono <math>x=-2</math> e <math>x=2</math>. Il denominatore si annulla per <math>x=1</math>. Dividiamo quindi la retta reale nei seguenti intervalli: <math>(-\infty,-2)</math>, <math>(-2,1)</math>, <math>(1,2)</math>, <math>(2,+\infty)</math>. Studiamo il segno dei tre fattori. Per <math>x<-2</math>: <math>x-2<0</math>, <math>x+2<0</math>, <math>x-1<0</math>. Quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>-2<x<1</math>: <math>x-2<0</math>, <math>x+2>0</math>, <math>x-1<0</math>. Quindi <math>f(x)>0</math>. Per <math>1<x<2</math>: <math>x-2<0</math>, <math>x+2>0</math>, <math>x-1>0</math>. Quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>2</math>: <math>x-2>0</math>, <math>x+2>0</math>, <math>x-1>0</math>. Quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad -2<x<1</math> oppure <math>x>2</math>. Inoltre: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<-2</math> oppure <math>1<x<2</math>. Infine: <math>f(x)=0\quad\text{per}\quad x=-2,;x=2</math>. --- ## 6. Limiti ### Limite per <math>x\to 1^-</math> Utilizziamo la forma <math>f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}</math>. Per <math>x\to1^-</math> si ha <math>x-1\to0^-</math>. Di conseguenza <math>\frac{3}{x-1}\to-\infty</math>. Quindi <math>-\frac{3}{x-1}\to+\infty</math>. Pertanto <math>\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty</math>. ### Limite per <math>x\to1^+</math> Per <math>x\to1^+</math> si ha <math>x-1\to0^+</math>. Quindi <math>\frac{3}{x-1}\to+\infty</math> e dunque <math>-\frac{3}{x-1}\to-\infty</math>. Pertanto <math>\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty</math>. Poiché i due limiti laterali sono infiniti, la retta <math>x=1</math> è un asintoto verticale. --- ## 7. Limiti per <math>x\to\pm\infty</math> Dalla forma <math>f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}</math> osserviamo che <math>\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-1}=0</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(x+1)\right)=0</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(x+1)\right)=0</math>. Pertanto la funzione presenta l'asintoto obliquo <math>y=x+1</math>. In particolare: <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. --- ## 8. Derivata prima Partiamo dalla forma <math>f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}</math>. Scriviamo <math>f(x)=x+1-3(x-1)^{-1}</math>. Derivando otteniamo <math>f'(x)=1+3(x-1)^{-2}</math>. Quindi <math>f'(x)=1+\frac{3}{(x-1)^2}</math>. Portiamo tutto a denominatore comune: <math>f'(x)=\frac{(x-1)^2+3}{(x-1)^2}</math>. Sviluppiamo il numeratore: <math>(x-1)^2+3=x^2-2x+1+3=x^2-2x+4</math>. Quindi <math>f'(x)=\frac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}</math>. Studiamo il segno della derivata. Il denominatore è sempre positivo per ogni <math>x\neq1</math>: <math>(x-1)^2>0</math>. Il numeratore può essere scritto come <math>x^2-2x+4=(x-1)^2+3</math>. Poiché <math>(x-1)^2+3>0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, risulta <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x\neq1</math>. Pertanto la funzione è strettamente crescente negli intervalli <math>(-\infty,1)</math> e <math>(1,+\infty)</math>. --- ## 9. Massimi e minimi relativi Per trovare eventuali punti di massimo o minimo relativo dovremmo risolvere <math>f'(x)=0</math>. Ma <math>f'(x)=\frac{(x-1)^2+3}{(x-1)^2}>0</math> per ogni <math>x\neq1</math>. Quindi la derivata non si annulla mai nel dominio. La funzione non presenta quindi né massimi relativi né minimi relativi. Il punto <math>x=1</math> non può essere considerato perché non appartiene al dominio. --- ## 10. Derivata seconda Partiamo da <math>f'(x)=1+3(x-1)^{-2}</math>. Derivando: <math>f''(x)=-6(x-1)^{-3}</math>. Quindi <math>f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}</math>. --- ## 11. Concavità Studiamo il segno della derivata seconda. Per <math>x<1</math> abbiamo <math>(x-1)^3<0</math>. Di conseguenza <math>-\frac{6}{(x-1)^3}>0</math>. Quindi la funzione è concava verso l'alto per <math>x<1</math>. Per <math>x>1</math> abbiamo <math>(x-1)^3>0</math>. Pertanto <math>-\frac{6}{(x-1)^3}<0</math>. Quindi la funzione è concava verso il basso per <math>x>1</math>. In sintesi: <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x<1</math> e <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x>1</math>. --- ## 12. Punti di flesso La derivata seconda non si annulla mai: <math>f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}\neq0</math>. L'unico punto in cui la concavità cambia è <math>x=1</math>. Tuttavia <math>x=1\notin D</math>. Perciò non esiste alcun punto di flesso. --- ## 13. Insieme immagine Per determinare l'insieme immagine possiamo risolvere l'equazione <math>y=\frac{x^2-4}{x-1}</math>. Moltiplichiamo per <math>x-1</math>: <math>y(x-1)=x^2-4</math>. Portiamo tutto a sinistra: <math>x^2-yx+y-4=0</math>. Consideriamo questa come un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math>. Il discriminante è <math>\Delta=(-y)^2-4(y-4)</math>. Quindi <math>\Delta=y^2-4y+16</math>. Completiamo il quadrato: <math>\Delta=(y-2)^2+12</math>. Poiché <math>(y-2)^2+12>0</math> per ogni <math>y\in\mathbb{R}</math>, l'equazione ammette sempre soluzioni reali. Inoltre tali soluzioni non possono essere <math>x=1</math>, perché sostituendo <math>x=1</math> nell'equazione <math>x^2-yx+y-4=0</math> si ottiene <math>1-y+y-4=-3\neq0</math>. Quindi ogni valore reale di <math>y</math> è assunto dalla funzione. L'insieme immagine è pertanto <math>\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}</math>. --- ## 14. Tabella riassuntiva Dominio: <math>D=\mathbb{R}\setminus{1}</math>. Intersezioni con gli assi: <math>(-2,0)</math>, <math>(2,0)</math>, <math>(0,4)</math>. Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x\in(-\infty,-2)\cup(1,2)</math>. <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x\in(-2,1)\cup(2,+\infty)</math>. Asintoto verticale: <math>x=1</math>. Asintoto obliquo: <math>y=x+1</math>. Derivata prima: <math>f'(x)=\frac{(x-1)^2+3}{(x-1)^2}>0</math>. Monotonia: <math>f</math> è crescente in <math>(-\infty,1)</math>. <math>f</math> è crescente in <math>(1,+\infty)</math>. Massimi e minimi relativi: <math>\text{nessuno}</math>. Derivata seconda: <math>f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}</math>. Concavità: <math>f''(x)>0</math> per <math>x<1</math>. <math>f''(x)<0</math> per <math>x>1</math>. Flessi: <math>\text{nessuno}</math>. Immagine: <math>\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}</math>. --- ## 15. Schizzo qualitativo del grafico Il grafico è formato da due rami separati dall'asintoto verticale <math>x=1</math>. Il ramo sinistro è crescente e concavo verso l'alto. Passa per i punti <math>(-2,0)</math> e <math>(0,4)</math>. Inoltre: <math>\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty</math>. Il ramo destro è crescente e concavo verso il basso. Passa per il punto <math>(2,0)</math>. Inoltre: <math>\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty</math>. Per <math>x\to\pm\infty</math>, entrambi i rami si avvicinano alla retta <math>y=x+1</math>. Quindi il grafico complessivo è quello di una funzione razionale con asintoto verticale <math>x=1</math> e asintoto obliquo <math>y=x+1</math>. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. d3q3dlnazsgftt6mozfng5y09bvuqoo 287728 287727 2026-10-02T16:01:19Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287727|287727]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287728 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. jbldnke1osgfe0yoed40ea305gkyfxs 287729 287728 2026-10-02T16:04:16Z Funzioni di correlazione 24136 287729 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 6vno870jlu8edo9e6236fprtpp1mnjw 287730 287729 2026-10-02T16:07:40Z Funzioni di correlazione 24136 287730 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} Certo. Ecco un esercizio completo su una **funzione analitica**, con tutto il percorso di calcolo in un unico testo copiabile. Ho usato `<math>` e `</math>` per ogni espressione matematica e non ho inserito `\boxed{}`. ESERCIZIO Studiare la funzione <math>f(x)=x^3-3x^2+2x+1</math> determinando: 1. il dominio; 2. i punti di intersezione con gli assi; 3. il segno della funzione; 4. la derivata prima e gli intervalli di monotonia; 5. i punti di massimo e minimo relativo; 6. la derivata seconda e gli intervalli di concavità; 7. il punto di flesso; 8. gli eventuali asintoti; 9. il comportamento della funzione agli estremi del dominio; 10. una rappresentazione qualitativa del grafico. SVOLGIMENTO 1. DOMINIO La funzione è un polinomio: <math>f(x)=x^3-3x^2+2x+1</math> I polinomi sono definiti per ogni numero reale. Quindi il dominio è <math>D_f=\mathbb{R}</math> 2. INTERSEZIONI CON GLI ASSI Intersezione con l'asse <math>y</math>: poniamo <math>x=0</math>. <math>f(0)=0^3-3\cdot0^2+2\cdot0+1=1</math> Quindi il grafico interseca l'asse <math>y</math> nel punto <math>A=(0,1)</math> Intersezioni con l'asse <math>x</math>: dobbiamo risolvere l'equazione <math>x^3-3x^2+2x+1=0</math> Questa equazione non presenta radici intere immediate. Per determinare le eventuali radici reali possiamo studiare il comportamento della funzione attraverso la derivata. Osserviamo comunque che <math>f(-1)=-1-3-2+1=-5</math> mentre <math>f(0)=1</math> Quindi, per il teorema degli zeri, esiste almeno una radice nell'intervallo <math>(-1,0)</math>. Inoltre <math>f(1)=1-3+2+1=1</math> e <math>f(2)=8-12+4+1=1</math> Per determinare con precisione il numero delle radici reali utilizzeremo lo studio della monotonia. 3. DERIVATA PRIMA Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=3x^2-6x+2</math> Poniamo <math>f'(x)=0</math> ottenendo <math>3x^2-6x+2=0</math> Applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}</math> <math>x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{6}</math> <math>x=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}</math> quindi <math>x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}</math> e <math>x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}</math> 4. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA La derivata è una parabola con coefficiente del termine di secondo grado positivo: <math>f'(x)=3x^2-6x+2</math> Pertanto è positiva al di fuori delle due radici e negativa tra esse. Quindi: <math>f'(x)>0</math> per <math>x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}</math> e per <math>x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}</math>. Invece <math>f'(x)<0</math> per <math>1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}</math>. 5. INTERVALLI DI MONOTONIA La funzione è crescente negli intervalli <math>\left(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)</math> e <math>\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)</math>. La funzione è decrescente nell'intervallo <math>\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)</math>. 6. MASSIMO E MINIMO RELATIVO Nel punto <math>x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}</math> la derivata passa da positiva a negativa. Quindi abbiamo un massimo relativo. Calcoliamo la coordinata <math>y</math>: <math>f\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1-\frac{2\sqrt{3}}{9}</math> Pertanto il massimo relativo è <math>M=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math> Nel punto <math>x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}</math> la derivata passa da negativa a positiva. Quindi abbiamo un minimo relativo. Calcoliamo la coordinata <math>y</math>: <math>f\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1-\frac{2\sqrt{3}}{9}</math> Pertanto il minimo relativo è <math>m=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math> 7. DERIVATA SECONDA Calcoliamo la derivata seconda: <math>f''(x)=6x-6</math> Poniamo <math>f''(x)=0</math> e otteniamo <math>6x-6=0</math> da cui <math>x=1</math> 8. CONCAVITÀ Studiamo il segno della derivata seconda. Per <math>x<1</math> abbiamo <math>f''(x)<0</math> quindi la funzione è concava verso il basso. Per <math>x>1</math> abbiamo <math>f''(x)>0</math> quindi la funzione è concava verso l'alto. 9. PUNTO DI FLESSO Poiché la derivata seconda cambia segno in corrispondenza di <math>x=1</math> abbiamo un punto di flesso. Calcoliamo la coordinata <math>y</math>: <math>f(1)=1-3+2+1=1</math> Pertanto il punto di flesso è <math>F=(1,1)</math> 10. ASINTOTI La funzione è un polinomio ed è definita per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>. Non esistono quindi asintoti verticali. Non esistono nemmeno asintoti orizzontali o obliqui, perché per <math>x\to+\infty</math> e per <math>x\to-\infty</math> il termine dominante è <math>x^3</math>. 11. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO Per <math>x\to+\infty</math> abbiamo <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> mentre per <math>x\to-\infty</math> abbiamo <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Quindi il grafico sale indefinitamente verso destra e scende indefinitamente verso sinistra. 12. DETERMINAZIONE DELLE INTERSEZIONI CON L'ASSE <math>x</math> Dallo studio della derivata sappiamo che la funzione presenta un massimo relativo e un minimo relativo. Il valore del massimo è <math>1+\frac{2\sqrt{3}}{9}>0</math> e il valore del minimo è <math>1-\frac{2\sqrt{3}}{9}>0</math>. Poiché sia il massimo sia il minimo relativi sono positivi, la funzione attraversa l'asse <math>x</math> una sola volta, prima del massimo relativo. Sappiamo infatti che <math>f(-1)=-5<0</math> e <math>f(0)=1>0</math>. Quindi esiste un'unica radice reale nell'intervallo <math>(-1,0)</math>. La radice può essere approssimata numericamente. Provando alcuni valori: <math>f(-0,3)=-0,027-0,27-0,6+1=0,103</math> mentre <math>f(-0,35)=-0,042875-0,3675-0,7+1=-0,110375</math>. Quindi la radice è compresa tra <math>-0,35</math> e <math>-0,30</math>. Un'approssimazione più precisa è <math>x\approx-0,325</math>. Pertanto l'intersezione con l'asse <math>x</math> è approssimativamente <math>P=(-0,325,0)</math>. 13. SEGNO DELLA FUNZIONE Poiché esiste un'unica radice reale <math>x_0\approx-0,325</math> e la funzione tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>, mentre tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>, abbiamo: <math>f(x)<0</math> per <math>x<-0,325</math> e <math>f(x)>0</math> per <math>x>-0,325</math>. 14. RIASSUNTO DELLO STUDIO Dominio: <math>D_f=\mathbb{R}</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,1)</math> Intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-0,325,0)</math> circa. Derivata prima: <math>f'(x)=3x^2-6x+2</math> Punto di massimo relativo: <math>M=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math> Punto di minimo relativo: <math>m=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=6x-6</math> Punto di flesso: <math>F=(1,1)</math> Crescenza: <math>\left(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)</math> Decrescenza: <math>\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)</math> Concavità verso il basso: <math>(-\infty,1)</math> Concavità verso l'alto: <math>(1,+\infty)</math> Limite a sinistra: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> Limite a destra: <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Asintoti: nessun asintoto. CONCLUSIONE Il grafico della funzione <math>f(x)=x^3-3x^2+2x+1</math> è quello di una funzione cubica definita su tutto l'insieme dei numeri reali. La funzione parte da <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>, cresce fino al massimo relativo <math>M=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math>, poi decresce fino al minimo relativo <math>m=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)</math>, e infine torna a crescere verso <math>+\infty</math>. Il cambio di concavità avviene nel punto di flesso <math>F=(1,1)</math>. Il grafico interseca l'asse <math>x</math> una sola volta, approssimativamente nel punto <math>P=(-0,325,0)</math>, e interseca l'asse <math>y</math> nel punto <math>A=(0,1)</math>. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. cfjy9131y45fowzmb4vc0xx04lcso7g 287731 287730 2026-10-02T16:14:28Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287730|287730]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287731 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 6vno870jlu8edo9e6236fprtpp1mnjw 287732 287731 2026-10-02T16:15:00Z Funzioni di correlazione 24136 287732 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} Un ottimo modo per alzare il livello è passare a una **funzione razionale (fratta)**. A differenza di un polinomio, questa funzione possiede una **singolarità** (un punto in cui non è definita), il che ci permette di studiare il dominio di analiticità in modo più interessante e di calcolarne lo sviluppo in serie di Taylor attorno a un punto diverso dall'origine. --- ## Testo dell'esercizio Data la funzione complessa di variabile complessa $f(z) = \frac{1}{z}$: 1. Esprimi $f(z)$ nella forma $u(x,y) + iv(x,y)$, identificando le parti reale e immaginaria. 2. Verifica le equazioni di Cauchy-Riemann e determina il **dominio di analiticità** della funzione. 3. Calcola la derivata complessa $f'(z)$. 4. Determina lo sviluppo in serie di Taylor della funzione centrato nel punto $z_0 = 1$ e il relativo raggio di convergenza. --- ## Svolgimento passo dopo passo ### 1. Separazione in parte reale e immaginaria Poniamo $z = x + iy$. Sostituendo nella funzione, razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore ($\bar{z} = x - iy$): $$f(z) = \frac{1}{x + iy} = \frac{x - iy}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$$ Separando la parte reale da quella immaginaria, otteniamo: * $u(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$ * $v(x,y) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$ --- ### 2. Verifica delle equazioni di Cauchy-Riemann e Dominio Calcoliamo le derivate parziali prime usando le regole di derivazione dei rapporti: * $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1 \cdot (x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ * $\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{-1 \cdot (x^2 + y^2) - (-y)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ $\rightarrow$ **Verificata** ($\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$) * $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$ * $\frac{\partial v}{\partial x} = -(-y) \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$ $\rightarrow$ **Verificata** ($\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$) **Dominio di analiticità:** Le derivate parziali sono continue ovunque tranne dove si annulla il denominatore ($x^2 + y^2 = 0$), ovvero nel punto $z = 0$. La funzione è quindi analitica su **tutto il piano complesso privato dell'origine** ($\mathbb{C} \setminus \{0\}$). --- ### 3. Calcolo della derivata complessa Usando la formula basata sulle derivate parziali: $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2 + i(2xy)}{(x^2 + y^2)^2}$$ Raccogliendo un segno meno al numeratore e ricordando che $(x - iy)^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$, otteniamo: $$f'(z) = -\frac{(x - iy)^2}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{\bar{z}^2}{(z\bar{z})^2} = -\frac{\bar{z}^2}{z^2 \bar{z}^2} = -\frac{1}{z^2}$$ Il risultato è perfettamente coerente con la regola algebrica standard della derivazione ($D[z^{-1}] = -z^{-2}$). --- ### 4. Sviluppo in serie di Taylor centrato in $z_0 = 1$ Vogliamo scrivere $f(z)$ come una serie di potenze di $(z - 1)$. Sfruttiamo la formula della **serie geometrica** $\sum_{n=0}^{\infty} w^n = \frac{1}{1-w}$ (valida per $\vert{}w\vert{} < 1$): Riscriviamo la funzione in modo opportuno: $$f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{1 - (1 - z)} = \frac{1}{1 + (z - 1)}$$ Ponendo $w = -(z - 1)$, la sviluppiamo come: $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (z - 1)^n = 1 - (z - 1) + (z - 1)^2 - (z - 1)^3 + \dots$$ **Raggio di convergenza:** Poiché la singolarità più vicina al centro $z_0 = 1$ è il polo in $z = 0$ (che dista $1$ unità), il raggio di convergenza della serie è **$R = 1$**. --- Ti è chiaro il meccanismo della serie geometrica applicato al campo complesso, oppure vuoi passare a un livello ancora superiore (es. studio dei residui o integrazione complessa)? ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 54uj5yse0luaawuct7yrvg7papsz7l3 287733 287732 2026-10-02T16:24:30Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287732|287732]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287733 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 6vno870jlu8edo9e6236fprtpp1mnjw 287734 287733 2026-10-02T16:24:54Z Funzioni di correlazione 24136 287734 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} Certo. Ecco il percorso completo, pronto da copiare e incollare in un unico documento. Ho usato `<math>` e `</math>` per ogni espressione matematica e non ho inserito `\boxed{}`. <h2>Sviluppo della funzione analitica <math>f(z)=\frac{1}{z}</math></h2> Consideriamo la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> che è definita e analitica in tutto il piano complesso tranne nel punto <math>z=0</math>. Vogliamo sviluppare la funzione in serie di potenze, distinguendo i casi in base al punto rispetto al quale viene effettuato lo sviluppo. <h3>1. Sviluppo centrato in <math>z_0\neq 0</math></h3> Poniamo <math>z=z_0+(z-z_0)</math>. Allora <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{z_0+(z-z_0)}</math>. Raccogliamo <math>z_0</math> al denominatore: <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{z_0\left(1+\frac{z-z_0}{z_0}\right)}</math>. Quindi <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{z_0}\frac{1}{1+\frac{z-z_0}{z_0}}.</math> Utilizziamo ora la serie geometrica <math>\frac{1}{1+w}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n</math> valida per <math>|w|<1.</math> Ponendo <math>w=\frac{z-z_0}{z_0}</math> otteniamo # <math>\frac{1}{1+\frac{z-z_0}{z_0}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{z-z_0}{z_0}\right)^n.</math> Pertanto # <math>f(z) \frac{1}{z_0} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{z-z_0}{z_0}\right)^n.</math> Possiamo quindi scrivere # <math>\frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z_0^{n+1}}(z-z_0)^n.</math> Lo sviluppo è dunque # <math>\frac{1}{z} \frac{1}{z_0} -\frac{z-z_0}{z_0^2} +\frac{(z-z_0)^2}{z_0^3} -\frac{(z-z_0)^3}{z_0^4} +\cdots.</math> La condizione di convergenza è <math>\left|\frac{z-z_0}{z_0}\right|<1</math> e quindi <math>|z-z_0|<|z_0|.</math> <h3>2. Sviluppo di Laurent centrato in <math>z_0=0</math></h3> Se il centro dello sviluppo è <math>z_0=0</math> la funzione è già nella forma di una serie di Laurent: <math>f(z)=\frac{1}{z}.</math> Infatti la serie di Laurent è <math>\frac{1}{z}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n</math> con un solo coefficiente non nullo, cioè <math>a_{-1}=1.</math> Tutti gli altri coefficienti sono nulli: <math>a_n=0\qquad\text{per }n\neq -1.</math> Quindi <math>\frac{1}{z}=z^{-1}.</math> Questa è la serie di Laurent di <math>f(z)</math> centrata nell'origine. <h3>3. Tipo di singolarità in <math>z=0</math></h3> La funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> non è definita in <math>z=0.</math> Tuttavia, la sua serie di Laurent contiene un numero finito di potenze negative, precisamente una sola: <math>z^{-1}.</math> Pertanto <math>z=0</math> è un polo semplice. L'ordine del polo è <math>1.</math> <h3>4. Residuo in <math>z=0</math></h3> Il residuo di una funzione nel punto <math>z=0</math> è il coefficiente della potenza <math>z^{-1}</math> nella serie di Laurent. Poiché <math>\frac{1}{z}=z^{-1}</math> si ha <math>\operatorname{Res}(f,0)=1.</math> <h3>5. Sviluppo attorno a un punto generico <math>z_0\neq0</math>: forma finale</h3> Lo sviluppo in serie di Taylor della funzione attorno a <math>z_0</math> è quindi <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n.</math> Le derivate successive sono <math>f(z)=z^{-1}</math> <math>f'(z)=-z^{-2}</math> <math>f''(z)=2z^{-3}</math> <math>f^{(3)}(z)=-6z^{-4}</math> e, in generale, <math>f^{(n)}(z)=(-1)^n n! z^{-(n+1)}.</math> Valutando in <math>z_0</math> otteniamo <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{(-1)^n n!}{z_0^{n+1}}.</math> Sostituendo nella serie di Taylor: # <math>f(z) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{(-1)^n n!}{z_0^{n+1}} (z-z_0)^n.</math> Semplificando <math>n!</math>: # <math>f(z) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z_0^{n+1}} (z-z_0)^n.</math> Pertanto lo sviluppo definitivo è # <math>\frac{1}{z} \frac{1}{z_0} -\frac{z-z_0}{z_0^2} +\frac{(z-z_0)^2}{z_0^3} -\frac{(z-z_0)^3}{z_0^4} +\cdots</math> con condizione <math>|z-z_0|<|z_0|.</math> <h3>Risultato finale</h3> Per <math>z_0\neq0</math>, la funzione <math>f(z)=1/z</math> ammette lo sviluppo di Taylor # <math>\frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z_0^{n+1}}(z-z_0)^n</math> valido per <math>|z-z_0|<|z_0|.</math> Invece, centrando lo sviluppo nell'origine, si ottiene la serie di Laurent <math>\frac{1}{z}=z^{-1},</math> per cui <math>z=0</math> è un polo semplice e <math>\operatorname{Res}(f,0)=1.</math> ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 7nv5uaobwiaa338mrst8k4d2nvhj6tr 287735 287734 2026-10-02T16:32:45Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287734|287734]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287735 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 6vno870jlu8edo9e6236fprtpp1mnjw 287736 287735 2026-10-02T16:33:08Z Funzioni di correlazione 24136 287736 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. q7yy6nltxhraeppragxydr2jp1uwpfc 0 33234 287722 249648 2026-10-02T14:06:02Z Avemundi 2081 Ortografia 287722 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Studio delle basi idrofoniche | avanzamento = 100% }} I sottomarini, per la scoperta dei bersagli attivi molto lontani, a volte, utilizzano [[Base idrofonica|basi acustiche]] di notevole lunghezza, rilasciate e trainate come code del battello stesso; queste basi sono identificate con il termine di "Cortine trainate". In figura 1 è mostrato, con un semplice disegno non in scala, un sommergibile con la cortina estesa. [[File:dltf1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Il disegno mostra come la cortina sia tenuta, tramite il cavo di traino, a notevole distanza dal battello per ridurre al massimo le interferenze acustiche del sottomarino sulla cortina stessa. ==Sulle dimensioni e la struttura delle cortine trainate == La cortina trainata è formata da un lungo tubo di materiale plastico, trasparente al suono, all'interno del quale sono cablati numerosi elementi idrofonici, generalmente di tipo cilindrico, dotati di preamplificatori a basso rumore. All'interno del sottomarino le cortine sono avvolte in speciali tamburi che oltre alla ottimale sistemazione volumetrica consentono il loro collegamento con un dedicato settore funzionale del sonar di bordo. Generalmente il collegamento al sonar prevede tante connessioni separate quante sono le zone acusticamente sensibili della cortina ( possono essere per ciascun elemento idrofonico o per gruppi di elementi). Una bella immagine di cortina trainata è mostrata in figura 2, diapositiva tratta da conferenza 5 Marzo 2014 presso Circolo Uff. MMI La Spezia, dalla quale si possono dedurre, di massima, dimensioni e struttura: [[File:dltf2.jpg|thumb|left|800px|]] {{clear}} Le caratteristiche della cortina di figura 2, saranno assunte come base per l’esercizio di calcolo di questa lezione. ==Le frequenza di lavoro delle cortine trainate == Grazie alla possibilità di realizzare cortine di notevoli lunghezze lo spettro delle frequenze di ricezione è collocabile nella parte inferiore del campo di lavoro dei sistemi di localizzazione subacquea. Questa caratteristica consente portate di scoperta molto elevate dato che l'attenuazione del suono per assorbimento, a frequenze molto basse, è quasi irrilevante come mostra la curva di figura 3. [[File:dltf3.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} La curva è rappresentativa della funzione di Thorp riportata nella 1) [[File:dltfor1.jpg|thumb|left|800px|]] '''<math> 1) </math>''' {{clear}} che computa l'attenuazione in <math> dB / km </math> in funzione di <math>fo </math> ( frequenza media geometrica della banda ) espressa in <math> kHz. </math> Il diagramma di figura 3 mostra come l'attenuazione per assorbimento decresca molto rapidamente con il decrescere della frequenza; un'idea si può avere supponendo di ricevere i segnali idrofonici in banda <math> 100-500 \ Hz </math> , in tal caso la frequenza media geometrica è <math> fo = 223 \ Hz = 0.223 \ kHz </math> che, secondo figura 3, porta ad un'attenuazione per assorbimento estremamente piccola: circa <math> 0.004 \ dB/km</math> . ==Il calcolo del guadagno di direttività delle cortine trainate== In '''linea di massima''' il guadagno di direttività di una cortina trainata ad <math>n</math> sensori è stimabile con l'espressione: <math> G = 10 \cdot log_{10} {n}</math> valida se gli <math> n</math> sensori sono disposti alla distanza di <math> \lambda / 2</math> l'uno dall'altro dove <math> \lambda = 1530/fo . </math> Prendendo ad esempio i valori di frequenza riportati in figura 3) si ha: <math> \lambda = 1530/fo = 1530/223 = 6.86 \ m \ e \ \lambda / 2 = 3.43 \ m </math> Se la cortina ha una lunghezza di <math> 100\ m </math> il numero dei sensori sarà: <math> n = 100 / 3.43 \approx 30 </math> ed infine il calcolo di <math> G</math> : <math> G = 10 \cdot log_{10} {\ 30} \approx 15 \ dB </math> ==La curva di direttività di una cortina trainata == La curva di direttività di una cortina trainata può essere calcolata secondo l'algoritmo di Stenzel: <math> R(\alpha) = \sqrt[]{ (1 / n) + (2/n^2) \cdot \sum_{m=1}^j \left \{ ( n - m ) \cdot [ \sin \ ( m\cdot p \cdot x ) / (m\cdot p\cdot x ) ] \cdot \cos \ [ ( p + 2 ) \cdot m \cdot x] \right \} }</math> Dove: <math>n = </math> numero degli idrofoni <math>j = n - 1 </math> <math>d = L / ( n - 1 )</math> <math>L = </math> lunghezza della base in metri <math>c = </math> velocità del suono in <math> m / s </math> <math>x = ( \pi \cdot d \cdot f_{{1}} / c ) \cdot \sin \ \alpha</math> <math>f_{{1}} = </math> frequenza inferiore della banda <math> f_{{2}} = </math> frequenza superiore della banda <math>p = ( f_{{2}} - f_{{1}} ) / f_{{1}} </math> Possiamo ora calcolare la curva di direttività nel piano orizzontale, al traverso, secondo <math> \alpha</math> variabile di <math>+/- 20</math>° ed in base ai dati visti in precedenza: *<math>n = 30</math> *<math>L = 100 \ m</math> *<math>d = 3.45</math> *<math>x = ( 3.14 \cdot d \cdot f1 / c ) \sin \ \alpha </math> *<math>f1 = 100 \ Hz </math> *<math>f2 = 500 \ Hz</math> *<math>p = 4 </math> Il risultato del calcolo in funzione dell'angolo di puntamento è riportato nel grafico di figura 4 nel caso di sorgente acustica posta al traverso della cortina trainata: [[File:dltf4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} La curva, tracciata in coordinate cartesiane, evidenzia una larghezza <math> \Delta \alpha </math> del lobo a <math>- 3 \ dB </math> pari a circa <math>2.8</math>° . Dato che in figura 4 l'intervallo delle ascisse copre un arco di soli <math>+/-20</math>° non si evidenzia il fatto fondamentale che la cortina trainata, non essendo schermata da nessuna parte, presenta, sul piano orizzontale, la stessa caratteristica di direttività per la direzione opposta, a <math>180</math>° rispetto a quella indicata in figura. La rappresentazione della caratteristica di direttività nel piano orizzontale, tracciata in coordinate polari, vedi figura 5, consente la visione completa del diagramma mettendo in evidenza la contemporaneità dei due lobi contrapposti di <math>180</math>° [[File:dltf5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Come si vede dalla figura 5 la base idrofonica in esame presenta ambiguità di scoperta; infatti, una volta, individuato un bersaglio non era possibile stabilire se questo si trovasse sulla destra o sulla sinistra rispetto all'asse longitudinale della cortina. Il problema è stato risolto impiegando, invece che singoli elementi sensibili, triplette di trasduttori disposti a stella; con una opportuna elaborazione dei segnali <ref>Si tratta di complicate routine software non disponibili nella letteratura tecnica.</ref> provenienti dalle triplette si ottiene l'abbattimento di uno dei lobi che crea ambiguità. ==Portate di scoperta di una cortina trainata == E' indicativo dell'impiego di una cortina trainata il calcolo della portata di scoperta che, nei casi di propagazione normale, al di fuori dallo strato di mare nel quale il [[Il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici in mare nello strato termoclino|termoclino]] è più penalizzante, può realizzare condizioni di scoperta eccellenti. Con l'ausilio del calcolatore SONARMATH (lezione 1^ della materia '''Sistemi di calcolo automatico per il sonar''' ), sia con i dati elaborati in precedenza, sia con nuove grandezze da stabilire, eseguiamo un calcolo di previsione di portata per la cortina trainata indicata al paragrafo 2) secondo le variabili <ref>Con i valori presi ad esempio un sonar con basi acustiche a scafo ha estrema difficoltà nella scoperta del bersaglio.</ref>: *Scoperta con [[ricevitore in correlazione|rivelatori in correlazione]] *Costante di tempo d'integrazione <math>RC = 1\ s</math> *Assunta <math>Priv = 90 \% \ e\ Pfa = 5 \% </math> si ha <math>d = 8.5</math> *<math>f1 = 100 \ Hz</math> * <math>f2 = 500 \ Hz </math> * <math>fo = 223 \ Hz </math> *<math>SL</math>; caccia a bassa velocità ( <math>v < 10 \ nodi </math>) e <math> fo = 223 \ Hz</math> : <math> SL = 130\ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>NL</math>; per mare <math>SS = 2 </math> e <math>fo = 223 \ Hz </math> : <math>NL = 72 \ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>DI</math> in correlazione pari a <math> DI = G - 3 \ dB = 15 - 3 = 12 \ dB </math> <ref>Nell'elaborazione con i sistemi di correlazione, dato che la base idrofonica viene divisa in due parti per il collegamento al correlatore, il valore del guadagno della base viene ridotto di <math> 3 \ dB </math> </ref> *propagazione sferico-cilindrica Dal calcolo e dal grafico ottenuti con SONARMATH, mostrati in figura 6 risulta: Portata <math>R = 89 \ km </math> ; il dato è certamente al di sopra delle portate di scoperta ottenibili con basi idrofoniche montate sulle strutture del sottomarino nel caso che il bersaglio navigasse lentamente come nel caso trattato (<math>v < 10 \ nodi </math>). [[File:dltf6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} ==note== <references/> ==Bibliografia== *R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968. *H&B Stenzel, ''Leitfaden zur berechnung von schallvorgangenh'', Berlino, Julius Springer, 1939. *C. Del Turco, '' SONAR'', Testo a cura dell'Accademia Navale di Livorno per i corsi di Abilit. Smg. AS/T, Agg. Prof. EA/AST 1992. ==Siti di riferimento== https://www.ametek-ecp.com/resources/blog/2019/march/towed-array-sonar-uses-and-design-challenges https://doi.org/10.1007/s40857-019-00157-2 56gnw5a1wiwry5yffd3iuvvubt0vvyg 287725 287722 2026-10-02T14:12:53Z Avemundi 2081 /* Portate di scoperta di una cortina trainata */ Ortografia 287725 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Studio delle basi idrofoniche | avanzamento = 100% }} I sottomarini, per la scoperta dei bersagli attivi molto lontani, a volte, utilizzano [[Base idrofonica|basi acustiche]] di notevole lunghezza, rilasciate e trainate come code del battello stesso; queste basi sono identificate con il termine di "Cortine trainate". In figura 1 è mostrato, con un semplice disegno non in scala, un sommergibile con la cortina estesa. [[File:dltf1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Il disegno mostra come la cortina sia tenuta, tramite il cavo di traino, a notevole distanza dal battello per ridurre al massimo le interferenze acustiche del sottomarino sulla cortina stessa. ==Sulle dimensioni e la struttura delle cortine trainate == La cortina trainata è formata da un lungo tubo di materiale plastico, trasparente al suono, all'interno del quale sono cablati numerosi elementi idrofonici, generalmente di tipo cilindrico, dotati di preamplificatori a basso rumore. All'interno del sottomarino le cortine sono avvolte in speciali tamburi che oltre alla ottimale sistemazione volumetrica consentono il loro collegamento con un dedicato settore funzionale del sonar di bordo. Generalmente il collegamento al sonar prevede tante connessioni separate quante sono le zone acusticamente sensibili della cortina ( possono essere per ciascun elemento idrofonico o per gruppi di elementi). Una bella immagine di cortina trainata è mostrata in figura 2, diapositiva tratta da conferenza 5 Marzo 2014 presso Circolo Uff. MMI La Spezia, dalla quale si possono dedurre, di massima, dimensioni e struttura: [[File:dltf2.jpg|thumb|left|800px|]] {{clear}} Le caratteristiche della cortina di figura 2, saranno assunte come base per l’esercizio di calcolo di questa lezione. ==Le frequenza di lavoro delle cortine trainate == Grazie alla possibilità di realizzare cortine di notevoli lunghezze lo spettro delle frequenze di ricezione è collocabile nella parte inferiore del campo di lavoro dei sistemi di localizzazione subacquea. Questa caratteristica consente portate di scoperta molto elevate dato che l'attenuazione del suono per assorbimento, a frequenze molto basse, è quasi irrilevante come mostra la curva di figura 3. [[File:dltf3.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} La curva è rappresentativa della funzione di Thorp riportata nella 1) [[File:dltfor1.jpg|thumb|left|800px|]] '''<math> 1) </math>''' {{clear}} che computa l'attenuazione in <math> dB / km </math> in funzione di <math>fo </math> ( frequenza media geometrica della banda ) espressa in <math> kHz. </math> Il diagramma di figura 3 mostra come l'attenuazione per assorbimento decresca molto rapidamente con il decrescere della frequenza; un'idea si può avere supponendo di ricevere i segnali idrofonici in banda <math> 100-500 \ Hz </math> , in tal caso la frequenza media geometrica è <math> fo = 223 \ Hz = 0.223 \ kHz </math> che, secondo figura 3, porta ad un'attenuazione per assorbimento estremamente piccola: circa <math> 0.004 \ dB/km</math> . ==Il calcolo del guadagno di direttività delle cortine trainate== In '''linea di massima''' il guadagno di direttività di una cortina trainata ad <math>n</math> sensori è stimabile con l'espressione: <math> G = 10 \cdot log_{10} {n}</math> valida se gli <math> n</math> sensori sono disposti alla distanza di <math> \lambda / 2</math> l'uno dall'altro dove <math> \lambda = 1530/fo . </math> Prendendo ad esempio i valori di frequenza riportati in figura 3) si ha: <math> \lambda = 1530/fo = 1530/223 = 6.86 \ m \ e \ \lambda / 2 = 3.43 \ m </math> Se la cortina ha una lunghezza di <math> 100\ m </math> il numero dei sensori sarà: <math> n = 100 / 3.43 \approx 30 </math> ed infine il calcolo di <math> G</math> : <math> G = 10 \cdot log_{10} {\ 30} \approx 15 \ dB </math> ==La curva di direttività di una cortina trainata == La curva di direttività di una cortina trainata può essere calcolata secondo l'algoritmo di Stenzel: <math> R(\alpha) = \sqrt[]{ (1 / n) + (2/n^2) \cdot \sum_{m=1}^j \left \{ ( n - m ) \cdot [ \sin \ ( m\cdot p \cdot x ) / (m\cdot p\cdot x ) ] \cdot \cos \ [ ( p + 2 ) \cdot m \cdot x] \right \} }</math> Dove: <math>n = </math> numero degli idrofoni <math>j = n - 1 </math> <math>d = L / ( n - 1 )</math> <math>L = </math> lunghezza della base in metri <math>c = </math> velocità del suono in <math> m / s </math> <math>x = ( \pi \cdot d \cdot f_{{1}} / c ) \cdot \sin \ \alpha</math> <math>f_{{1}} = </math> frequenza inferiore della banda <math> f_{{2}} = </math> frequenza superiore della banda <math>p = ( f_{{2}} - f_{{1}} ) / f_{{1}} </math> Possiamo ora calcolare la curva di direttività nel piano orizzontale, al traverso, secondo <math> \alpha</math> variabile di <math>+/- 20</math>° ed in base ai dati visti in precedenza: *<math>n = 30</math> *<math>L = 100 \ m</math> *<math>d = 3.45</math> *<math>x = ( 3.14 \cdot d \cdot f1 / c ) \sin \ \alpha </math> *<math>f1 = 100 \ Hz </math> *<math>f2 = 500 \ Hz</math> *<math>p = 4 </math> Il risultato del calcolo in funzione dell'angolo di puntamento è riportato nel grafico di figura 4 nel caso di sorgente acustica posta al traverso della cortina trainata: [[File:dltf4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} La curva, tracciata in coordinate cartesiane, evidenzia una larghezza <math> \Delta \alpha </math> del lobo a <math>- 3 \ dB </math> pari a circa <math>2.8</math>° . Dato che in figura 4 l'intervallo delle ascisse copre un arco di soli <math>+/-20</math>° non si evidenzia il fatto fondamentale che la cortina trainata, non essendo schermata da nessuna parte, presenta, sul piano orizzontale, la stessa caratteristica di direttività per la direzione opposta, a <math>180</math>° rispetto a quella indicata in figura. La rappresentazione della caratteristica di direttività nel piano orizzontale, tracciata in coordinate polari, vedi figura 5, consente la visione completa del diagramma mettendo in evidenza la contemporaneità dei due lobi contrapposti di <math>180</math>° [[File:dltf5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Come si vede dalla figura 5 la base idrofonica in esame presenta ambiguità di scoperta; infatti, una volta, individuato un bersaglio non era possibile stabilire se questo si trovasse sulla destra o sulla sinistra rispetto all'asse longitudinale della cortina. Il problema è stato risolto impiegando, invece che singoli elementi sensibili, triplette di trasduttori disposti a stella; con una opportuna elaborazione dei segnali <ref>Si tratta di complicate routine software non disponibili nella letteratura tecnica.</ref> provenienti dalle triplette si ottiene l'abbattimento di uno dei lobi che crea ambiguità. ==Portate di scoperta di una cortina trainata == È indicativo dell'impiego di una cortina trainata il calcolo della portata di scoperta che, nei casi di propagazione normale, al di fuori dallo strato di mare nel quale il [[Il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici in mare nello strato termoclino|termoclino]] è più penalizzante, può realizzare condizioni di scoperta eccellenti. Con l'ausilio del calcolatore SONARMATH (lezione 1^ della materia '''Sistemi di calcolo automatico per il sonar''' ), sia con i dati elaborati in precedenza, sia con nuove grandezze da stabilire, eseguiamo un calcolo di previsione di portata per la cortina trainata indicata al paragrafo 2) secondo le variabili <ref>Con i valori presi ad esempio un sonar con basi acustiche a scafo ha estrema difficoltà nella scoperta del bersaglio.</ref>: *Scoperta con [[ricevitore in correlazione|rivelatori in correlazione]] *Costante di tempo d'integrazione <math>RC = 1\ s</math> *Assunta <math>Priv = 90 \% \ e\ Pfa = 5 \% </math> si ha <math>d = 8.5</math> *<math>f1 = 100 \ Hz</math> * <math>f2 = 500 \ Hz </math> * <math>fo = 223 \ Hz </math> *<math>SL</math>; caccia a bassa velocità ( <math>v < 10 \ nodi </math>) e <math> fo = 223 \ Hz</math> : <math> SL = 130\ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>NL</math>; per mare <math>SS = 2 </math> e <math>fo = 223 \ Hz </math> : <math>NL = 72 \ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>DI</math> in correlazione pari a <math> DI = G - 3 \ dB = 15 - 3 = 12 \ dB </math> <ref>Nell'elaborazione con i sistemi di correlazione, dato che la base idrofonica viene divisa in due parti per il collegamento al correlatore, il valore del guadagno della base viene ridotto di <math> 3 \ dB </math> </ref> *propagazione sferico-cilindrica Dal calcolo e dal grafico ottenuti con SONARMATH, mostrati in figura 6 risulta: Portata <math>R = 89 \ km </math> ; il dato è certamente al di sopra delle portate di scoperta ottenibili con basi idrofoniche montate sulle strutture del sottomarino nel caso che il bersaglio navigasse lentamente come nel caso trattato (<math>v < 10 \ nodi </math>). [[File:dltf6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} ==note== <references/> ==Bibliografia== *R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968. *H&B Stenzel, ''Leitfaden zur berechnung von schallvorgangenh'', Berlino, Julius Springer, 1939. *C. Del Turco, '' SONAR'', Testo a cura dell'Accademia Navale di Livorno per i corsi di Abilit. Smg. AS/T, Agg. Prof. EA/AST 1992. ==Siti di riferimento== https://www.ametek-ecp.com/resources/blog/2019/march/towed-array-sonar-uses-and-design-challenges https://doi.org/10.1007/s40857-019-00157-2 9j9dpnb4m689ump9r7th54yb3557dpy 287726 287725 2026-10-02T14:13:33Z Avemundi 2081 /* La curva di direttività di una cortina trainata */ Elisione obbligatoria 287726 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Studio delle basi idrofoniche | avanzamento = 100% }} I sottomarini, per la scoperta dei bersagli attivi molto lontani, a volte, utilizzano [[Base idrofonica|basi acustiche]] di notevole lunghezza, rilasciate e trainate come code del battello stesso; queste basi sono identificate con il termine di "Cortine trainate". In figura 1 è mostrato, con un semplice disegno non in scala, un sommergibile con la cortina estesa. [[File:dltf1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Il disegno mostra come la cortina sia tenuta, tramite il cavo di traino, a notevole distanza dal battello per ridurre al massimo le interferenze acustiche del sottomarino sulla cortina stessa. ==Sulle dimensioni e la struttura delle cortine trainate == La cortina trainata è formata da un lungo tubo di materiale plastico, trasparente al suono, all'interno del quale sono cablati numerosi elementi idrofonici, generalmente di tipo cilindrico, dotati di preamplificatori a basso rumore. All'interno del sottomarino le cortine sono avvolte in speciali tamburi che oltre alla ottimale sistemazione volumetrica consentono il loro collegamento con un dedicato settore funzionale del sonar di bordo. Generalmente il collegamento al sonar prevede tante connessioni separate quante sono le zone acusticamente sensibili della cortina ( possono essere per ciascun elemento idrofonico o per gruppi di elementi). Una bella immagine di cortina trainata è mostrata in figura 2, diapositiva tratta da conferenza 5 Marzo 2014 presso Circolo Uff. MMI La Spezia, dalla quale si possono dedurre, di massima, dimensioni e struttura: [[File:dltf2.jpg|thumb|left|800px|]] {{clear}} Le caratteristiche della cortina di figura 2, saranno assunte come base per l’esercizio di calcolo di questa lezione. ==Le frequenza di lavoro delle cortine trainate == Grazie alla possibilità di realizzare cortine di notevoli lunghezze lo spettro delle frequenze di ricezione è collocabile nella parte inferiore del campo di lavoro dei sistemi di localizzazione subacquea. Questa caratteristica consente portate di scoperta molto elevate dato che l'attenuazione del suono per assorbimento, a frequenze molto basse, è quasi irrilevante come mostra la curva di figura 3. [[File:dltf3.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} La curva è rappresentativa della funzione di Thorp riportata nella 1) [[File:dltfor1.jpg|thumb|left|800px|]] '''<math> 1) </math>''' {{clear}} che computa l'attenuazione in <math> dB / km </math> in funzione di <math>fo </math> ( frequenza media geometrica della banda ) espressa in <math> kHz. </math> Il diagramma di figura 3 mostra come l'attenuazione per assorbimento decresca molto rapidamente con il decrescere della frequenza; un'idea si può avere supponendo di ricevere i segnali idrofonici in banda <math> 100-500 \ Hz </math> , in tal caso la frequenza media geometrica è <math> fo = 223 \ Hz = 0.223 \ kHz </math> che, secondo figura 3, porta ad un'attenuazione per assorbimento estremamente piccola: circa <math> 0.004 \ dB/km</math> . ==Il calcolo del guadagno di direttività delle cortine trainate== In '''linea di massima''' il guadagno di direttività di una cortina trainata ad <math>n</math> sensori è stimabile con l'espressione: <math> G = 10 \cdot log_{10} {n}</math> valida se gli <math> n</math> sensori sono disposti alla distanza di <math> \lambda / 2</math> l'uno dall'altro dove <math> \lambda = 1530/fo . </math> Prendendo ad esempio i valori di frequenza riportati in figura 3) si ha: <math> \lambda = 1530/fo = 1530/223 = 6.86 \ m \ e \ \lambda / 2 = 3.43 \ m </math> Se la cortina ha una lunghezza di <math> 100\ m </math> il numero dei sensori sarà: <math> n = 100 / 3.43 \approx 30 </math> ed infine il calcolo di <math> G</math> : <math> G = 10 \cdot log_{10} {\ 30} \approx 15 \ dB </math> ==La curva di direttività di una cortina trainata == La curva di direttività di una cortina trainata può essere calcolata secondo l'algoritmo di Stenzel: <math> R(\alpha) = \sqrt[]{ (1 / n) + (2/n^2) \cdot \sum_{m=1}^j \left \{ ( n - m ) \cdot [ \sin \ ( m\cdot p \cdot x ) / (m\cdot p\cdot x ) ] \cdot \cos \ [ ( p + 2 ) \cdot m \cdot x] \right \} }</math> Dove: <math>n = </math> numero degli idrofoni <math>j = n - 1 </math> <math>d = L / ( n - 1 )</math> <math>L = </math> lunghezza della base in metri <math>c = </math> velocità del suono in <math> m / s </math> <math>x = ( \pi \cdot d \cdot f_{{1}} / c ) \cdot \sin \ \alpha</math> <math>f_{{1}} = </math> frequenza inferiore della banda <math> f_{{2}} = </math> frequenza superiore della banda <math>p = ( f_{{2}} - f_{{1}} ) / f_{{1}} </math> Possiamo ora calcolare la curva di direttività nel piano orizzontale, al traverso, secondo <math> \alpha</math> variabile di <math>+/- 20</math>° ed in base ai dati visti in precedenza: *<math>n = 30</math> *<math>L = 100 \ m</math> *<math>d = 3.45</math> *<math>x = ( 3.14 \cdot d \cdot f1 / c ) \sin \ \alpha </math> *<math>f1 = 100 \ Hz </math> *<math>f2 = 500 \ Hz</math> *<math>p = 4 </math> Il risultato del calcolo in funzione dell'angolo di puntamento è riportato nel grafico di figura 4 nel caso di sorgente acustica posta al traverso della cortina trainata: [[File:dltf4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} La curva, tracciata in coordinate cartesiane, evidenzia una larghezza <math> \Delta \alpha </math> del lobo a <math>- 3 \ dB </math> pari a circa <math>2.8</math>° . Dato che in figura 4 l'intervallo delle ascisse copre un arco di soli <math>+/-20</math>° non si evidenzia il fatto fondamentale che la cortina trainata, non essendo schermata da nessuna parte, presenta, sul piano orizzontale, la stessa caratteristica di direttività per la direzione opposta, a <math>180</math>° rispetto a quella indicata in figura. La rappresentazione della caratteristica di direttività nel piano orizzontale, tracciata in coordinate polari, vedi figura 5, consente la visione completa del diagramma mettendo in evidenza la contemporaneità dei due lobi contrapposti di <math>180</math>° [[File:dltf5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Come si vede dalla figura 5 la base idrofonica in esame presenta ambiguità di scoperta; infatti, una volta, individuato un bersaglio non era possibile stabilire se questo si trovasse sulla destra o sulla sinistra rispetto all'asse longitudinale della cortina. Il problema è stato risolto impiegando, invece che singoli elementi sensibili, triplette di trasduttori disposti a stella; con un'opportuna elaborazione dei segnali <ref>Si tratta di complicate routine software non disponibili nella letteratura tecnica.</ref> provenienti dalle triplette si ottiene l'abbattimento di uno dei lobi che crea ambiguità. ==Portate di scoperta di una cortina trainata == È indicativo dell'impiego di una cortina trainata il calcolo della portata di scoperta che, nei casi di propagazione normale, al di fuori dallo strato di mare nel quale il [[Il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici in mare nello strato termoclino|termoclino]] è più penalizzante, può realizzare condizioni di scoperta eccellenti. Con l'ausilio del calcolatore SONARMATH (lezione 1^ della materia '''Sistemi di calcolo automatico per il sonar''' ), sia con i dati elaborati in precedenza, sia con nuove grandezze da stabilire, eseguiamo un calcolo di previsione di portata per la cortina trainata indicata al paragrafo 2) secondo le variabili <ref>Con i valori presi ad esempio un sonar con basi acustiche a scafo ha estrema difficoltà nella scoperta del bersaglio.</ref>: *Scoperta con [[ricevitore in correlazione|rivelatori in correlazione]] *Costante di tempo d'integrazione <math>RC = 1\ s</math> *Assunta <math>Priv = 90 \% \ e\ Pfa = 5 \% </math> si ha <math>d = 8.5</math> *<math>f1 = 100 \ Hz</math> * <math>f2 = 500 \ Hz </math> * <math>fo = 223 \ Hz </math> *<math>SL</math>; caccia a bassa velocità ( <math>v < 10 \ nodi </math>) e <math> fo = 223 \ Hz</math> : <math> SL = 130\ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>NL</math>; per mare <math>SS = 2 </math> e <math>fo = 223 \ Hz </math> : <math>NL = 72 \ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>DI</math> in correlazione pari a <math> DI = G - 3 \ dB = 15 - 3 = 12 \ dB </math> <ref>Nell'elaborazione con i sistemi di correlazione, dato che la base idrofonica viene divisa in due parti per il collegamento al correlatore, il valore del guadagno della base viene ridotto di <math> 3 \ dB </math> </ref> *propagazione sferico-cilindrica Dal calcolo e dal grafico ottenuti con SONARMATH, mostrati in figura 6 risulta: Portata <math>R = 89 \ km </math> ; il dato è certamente al di sopra delle portate di scoperta ottenibili con basi idrofoniche montate sulle strutture del sottomarino nel caso che il bersaglio navigasse lentamente come nel caso trattato (<math>v < 10 \ nodi </math>). [[File:dltf6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} ==note== <references/> ==Bibliografia== *R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968. *H&B Stenzel, ''Leitfaden zur berechnung von schallvorgangenh'', Berlino, Julius Springer, 1939. *C. Del Turco, '' SONAR'', Testo a cura dell'Accademia Navale di Livorno per i corsi di Abilit. Smg. AS/T, Agg. Prof. EA/AST 1992. ==Siti di riferimento== https://www.ametek-ecp.com/resources/blog/2019/march/towed-array-sonar-uses-and-design-challenges https://doi.org/10.1007/s40857-019-00157-2 ojgnv9ic3g7e9bs6ze8b9ebndzm1i73 4 35656 287739 287656 2026-10-03T04:49:01Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 287739 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. 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In figura 1 è mostrato, con un semplice disegno non in scala, un sommergibile con la cortina estesa. [[File:dltf1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Il disegno mostra come la cortina sia tenuta, tramite il cavo di traino, a notevole distanza dal battello per ridurre al massimo le interferenze acustiche del sottomarino sulla cortina stessa. ==Sulle dimensioni e la struttura delle cortine trainate == La cortina trainata è formata da un lungo tubo di materiale plastico, trasparente al suono, all'interno del quale sono cablati numerosi elementi idrofonici, generalmente di tipo cilindrico, dotati di preamplificatori a basso rumore. All'interno del sottomarino le cortine sono avvolte in speciali tamburi che oltre alla ottimale sistemazione volumetrica consentono il loro collegamento con un dedicato settore funzionale del sonar di bordo. Generalmente il collegamento al sonar prevede tante connessioni separate quante sono le zone acusticamente sensibili della cortina ( possono essere per ciascun elemento idrofonico o per gruppi di elementi). Una bella immagine di cortina trainata è mostrata in figura 2, diapositiva tratta da conferenza 5 Marzo 2014 presso Circolo Uff. MMI La Spezia, dalla quale si possono dedurre, di massima, dimensioni e struttura: [[File:dltf2.jpg|thumb|left|800px|]] {{clear}} Le caratteristiche della cortina di figura 2, saranno assunte come base per l’esercizio di calcolo di questa lezione. ==Le frequenza di lavoro delle cortine trainate == Grazie alla possibilità di realizzare cortine di notevoli lunghezze lo spettro delle frequenze di ricezione è collocabile nella parte inferiore del campo di lavoro dei sistemi di localizzazione subacquea. Questa caratteristica consente portate di scoperta molto elevate dato che l'attenuazione del suono per assorbimento, a frequenze molto basse, è quasi irrilevante come mostra la curva di figura 3. [[File:dltf3.jpg|thumb|left|400px|]] {{clear}} La curva è rappresentativa della funzione di Thorp riportata nella 1) [[File:dltfor1.jpg|thumb|left|800px|]] '''<math> 1) </math>''' {{clear}} che computa l'attenuazione in <math> dB / km </math> in funzione di <math>fo </math> ( frequenza media geometrica della banda ) espressa in <math> kHz. </math> Il diagramma di figura 3 mostra come l'attenuazione per assorbimento decresca molto rapidamente con il decrescere della frequenza; un'idea si può avere supponendo di ricevere i segnali idrofonici in banda <math> 100-500 \ Hz </math> , in tal caso la frequenza media geometrica è <math> fo = 223 \ Hz = 0.223 \ kHz </math> che, secondo figura 3, porta ad un'attenuazione per assorbimento estremamente piccola: circa <math> 0.004 \ dB/km</math> . ==Il calcolo del guadagno di direttività delle cortine trainate== In '''linea di massima''' il guadagno di direttività di una cortina trainata ad <math>n</math> sensori è stimabile con l'espressione: <math> G = 10 \cdot log_{10} {n}</math> valida se gli <math> n</math> sensori sono disposti alla distanza di <math> \lambda / 2</math> l'uno dall'altro dove <math> \lambda = 1530/fo . </math> Prendendo ad esempio i valori di frequenza riportati in figura 3) si ha: <math> \lambda = 1530/fo = 1530/223 = 6.86 \ m \ e \ \lambda / 2 = 3.43 \ m </math> Se la cortina ha una lunghezza di <math> 100\ m </math> il numero dei sensori sarà: <math> n = 100 / 3.43 \approx 30 </math> ed infine il calcolo di <math> G</math> : <math> G = 10 \cdot log_{10} {\ 30} \approx 15 \ dB </math> ==La curva di direttività di una cortina trainata == La curva di direttività di una cortina trainata può essere calcolata secondo l'algoritmo di Stenzel: <math> R(\alpha) = \sqrt[]{ (1 / n) + (2/n^2) \cdot \sum_{m=1}^j \left \{ ( n - m ) \cdot [ \sin \ ( m\cdot p \cdot x ) / (m\cdot p\cdot x ) ] \cdot \cos \ [ ( p + 2 ) \cdot m \cdot x] \right \} }</math> Dove: <math>n = </math> numero degli idrofoni <math>j = n - 1 </math> <math>d = L / ( n - 1 )</math> <math>L = </math> lunghezza della base in metri <math>c = </math> velocità del suono in <math> m / s </math> <math>x = ( \pi \cdot d \cdot f_{{1}} / c ) \cdot \sin \ \alpha</math> <math>f_{{1}} = </math> frequenza inferiore della banda <math> f_{{2}} = </math> frequenza superiore della banda <math>p = ( f_{{2}} - f_{{1}} ) / f_{{1}} </math> Possiamo ora calcolare la curva di direttività nel piano orizzontale, al traverso, secondo <math> \alpha</math> variabile di <math>+/- 20</math>° ed in base ai dati visti in precedenza: *<math>n = 30</math> *<math>L = 100 \ m</math> *<math>d = 3.45</math> *<math>x = ( 3.14 \cdot d \cdot f1 / c ) \sin \ \alpha </math> *<math>f1 = 100 \ Hz </math> *<math>f2 = 500 \ Hz</math> *<math>p = 4 </math> Il risultato del calcolo in funzione dell'angolo di puntamento è riportato nel grafico di figura 4 nel caso di sorgente acustica posta al traverso della cortina trainata: [[File:dltf4.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} La curva, tracciata in coordinate cartesiane, evidenzia una larghezza <math> \Delta \alpha </math> del lobo a <math>- 3 \ dB </math> pari a circa <math>2.8</math>° . Dato che in figura 4 l'intervallo delle ascisse copre un arco di soli <math>+/-20</math>° non si evidenzia il fatto fondamentale che la cortina trainata, non essendo schermata da nessuna parte, presenta, sul piano orizzontale, la stessa caratteristica di direttività per la direzione opposta, a <math>180</math>° rispetto a quella indicata in figura. La rappresentazione della caratteristica di direttività nel piano orizzontale, tracciata in coordinate polari, vedi figura 5, consente la visione completa del diagramma mettendo in evidenza la contemporaneità dei due lobi contrapposti di <math>180</math>° [[File:dltf5.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} Come si vede dalla figura 5 la base idrofonica in esame presenta ambiguità di scoperta; infatti, una volta, individuato un bersaglio non era possibile stabilire se questo si trovasse sulla destra o sulla sinistra rispetto all'asse longitudinale della cortina. Il problema è stato risolto impiegando, invece che singoli elementi sensibili, triplette di trasduttori disposti a stella; con un'opportuna elaborazione dei segnali <ref>Si tratta di complicate routine software non disponibili nella letteratura tecnica.</ref> provenienti dalle triplette si ottiene l'abbattimento di uno dei lobi che crea ambiguità. ==Portate di scoperta di una cortina trainata == È indicativo dell'impiego di una cortina trainata il calcolo della portata di scoperta che, nei casi di propagazione normale, al di fuori dallo strato di mare nel quale il [[Il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici in mare nello strato termoclino|termoclino]] è più penalizzante, può realizzare condizioni di scoperta eccellenti. Con l'ausilio del calcolatore SONARMATH ( lezione 1^ della materia '''Sistemi di calcolo automatico per il sonar''' ), sia con i dati elaborati in precedenza, sia con nuove grandezze da stabilire, eseguiamo un calcolo di previsione di portata per la cortina trainata indicata al paragrafo 2) secondo le variabili <ref>Con i valori presi ad esempio un sonar con basi acustiche a scafo ha estrema difficoltà nella scoperta del bersaglio.</ref>: *Scoperta con [[ricevitore in correlazione|rivelatori in correlazione]] *Costante di tempo d'integrazione <math>RC = 1\ s</math> *Assunta <math>Priv = 90 \% \ e\ Pfa = 5 \% </math> si ha <math>d = 8.5</math> *<math>f1 = 100 \ Hz</math> * <math>f2 = 500 \ Hz </math> * <math>fo = 223 \ Hz </math> *<math>SL</math>; caccia a bassa velocità ( <math>v < 10 \ nodi </math>) e <math> fo = 223 \ Hz</math> : <math> SL = 130\ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>NL</math>; per mare <math>SS = 2 </math> e <math>fo = 223 \ Hz </math> : <math>NL = 72 \ dB/ \mu Pa/Hz </math> *<math>DI</math> in correlazione pari a <math> DI = G - 3 \ dB = 15 - 3 = 12 \ dB </math> <ref>Nell'elaborazione con i sistemi di correlazione, dato che la base idrofonica viene divisa in due parti per il collegamento al correlatore, il valore del guadagno della base viene ridotto di <math> 3 \ dB </math> </ref> *propagazione sferico-cilindrica Dal calcolo e dal grafico ottenuti con SONARMATH, mostrati in figura 6 risulta: Portata <math>R = 89 \ km </math> ; il dato è certamente al di sopra delle portate di scoperta ottenibili con basi idrofoniche montate sulle strutture del sottomarino nel caso che il bersaglio navigasse lentamente come nel caso trattato (<math>v < 10 \ nodi </math>). [[File:dltf6.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} ==note== <references/> ==Bibliografia== *R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968. *H&B Stenzel, ''Leitfaden zur berechnung von schallvorgangenh'', Berlino, Julius Springer, 1939. *C. Del Turco, '' SONAR'', Testo a cura dell'Accademia Navale di Livorno per i corsi di Abilit. Smg. AS/T, Agg. Prof. EA/AST 1992. ==Siti di riferimento== https://www.ametek-ecp.com/resources/blog/2019/march/towed-array-sonar-uses-and-design-challenges https://doi.org/10.1007/s40857-019-00157-2 ==Collegamenti esterni== [https://github.com/sonar2020/wiki/archive/refs/heads/main.zip N° FASCI Selenia] [https://github.com/sonar2020/wiki2/archive/refs/heads/main.zip Sonar FALCON] [https://github.com/sonar2020/Schemi-FALCON/archive/refs/heads/main.zip Schemi sonar FALCON] [https://github.com/sonar2020/Sonar-Principi-Tecnologie-Applicazioni/archive/refs/heads/main.zip Testo discorsivo sul sonar] [https://github.com/sonar2020/CorrelaTESTO/archive/refs/heads/main.zip Testo tecnico sulla Correlazione] [[ Categoria:Sonar ]] lz70ccyof6xd2cqjmkreowpze26reop 102 37832 287740 287713 2026-10-03T07:37:49Z Funzioni di correlazione 24136 287740 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [[Limiti e derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] [[Condizioni_di_Cauchy_-_Riemann]] [[Le funzioni analitiche]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} hhb4stqkk3mg53gjm0n9cf8hzs9surn 0 37843 287737 287717 2026-10-02T16:40:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* ESERCIZIO 6 */ 287737 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando : Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzata dalla derivabilità complessa=== '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: aoiqkcehh2vqnxl1w45f0w3bww8xrex 287738 287737 2026-10-02T16:42:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* ESERCIZIO 7 */ 287738 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando : Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzata dalla derivabilità complessa=== '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. kst9683x1kqw8b9wu6wmd21vc4vyh8o