Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 37840 287742 287670 2026-10-05T06:14:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 287742 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> <math>=-46+9j</math> 1mw1xajpgieuta3v86jng3adqty1o4l 287743 287742 2026-10-05T06:23:11Z Funzioni di correlazione 24136 287743 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: c4zad7n6avkxqdywambvkcmgnredox1 287744 287743 2026-10-05T06:26:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287744 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: Certo. Per \(z=x+jy\), ecco tutto il percorso algebrico per esplicitare \(f(z)=\frac{1}{z}\). Dato \(z=x+jy\) e \(f(z)=\frac{1}{z}\) sostituiamo \(z=x+jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\) Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato di \(x+jy\), cioè \(x-jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy}\) \(f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}\) Sviluppiamo il denominatore usando la differenza di quadrati: \((x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2\) Poiché \((jy)^2=j^2y^2=-y^2\) si ottiene: \((x+jy)(x-jy)=x^2+y^2\) Quindi: \(f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}\) Separiamo la parte reale dalla parte immaginaria: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) Pertanto, scrivendo \(f(z)=u(x,y)+jv(x,y)\) si ha: \(u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\) \(v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\) Quindi l'espressione algebrica finale è: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) con la condizione \(x^2+y^2\neq0\) ossia \(z\neq0\). 90uww1q0lm53pbxe3yhs4fx53mds17s 287745 287744 2026-10-05T06:27:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287745 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: Esplicitare \(f(z)=\frac{1}{z}\). Dato \(z=x+jy\) e \(f(z)=\frac{1}{z}\) sostituiamo \(z=x+jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\) Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato di \(x+jy\), cioè \(x-jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy}\) \(f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}\) Sviluppiamo il denominatore usando la differenza di quadrati: \((x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2\) Poiché \((jy)^2=j^2y^2=-y^2\) si ottiene: \((x+jy)(x-jy)=x^2+y^2\) Quindi: \(f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}\) Separiamo la parte reale dalla parte immaginaria: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) Pertanto, scrivendo \(f(z)=u(x,y)+jv(x,y)\) si ha: \(u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\) \(v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\) Quindi l'espressione algebrica finale è: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) con la condizione \(x^2+y^2\neq0\) ossia \(z\neq0\). pc7klelw81cazh1cmbsv49zkjphzv4z 287746 287745 2026-10-05T06:28:58Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287745|287745]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287746 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: Certo. Per \(z=x+jy\), ecco tutto il percorso algebrico per esplicitare \(f(z)=\frac{1}{z}\). Dato \(z=x+jy\) e \(f(z)=\frac{1}{z}\) sostituiamo \(z=x+jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\) Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato di \(x+jy\), cioè \(x-jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy}\) \(f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}\) Sviluppiamo il denominatore usando la differenza di quadrati: \((x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2\) Poiché \((jy)^2=j^2y^2=-y^2\) si ottiene: \((x+jy)(x-jy)=x^2+y^2\) Quindi: \(f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}\) Separiamo la parte reale dalla parte immaginaria: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) Pertanto, scrivendo \(f(z)=u(x,y)+jv(x,y)\) si ha: \(u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\) \(v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\) Quindi l'espressione algebrica finale è: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) con la condizione \(x^2+y^2\neq0\) ossia \(z\neq0\). 90uww1q0lm53pbxe3yhs4fx53mds17s 287747 287746 2026-10-05T06:29:41Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287746|287746]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287747 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: Esplicitare \(f(z)=\frac{1}{z}\). Dato \(z=x+jy\) e \(f(z)=\frac{1}{z}\) sostituiamo \(z=x+jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\) Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato di \(x+jy\), cioè \(x-jy\): \(f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy}\) \(f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}\) Sviluppiamo il denominatore usando la differenza di quadrati: \((x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2\) Poiché \((jy)^2=j^2y^2=-y^2\) si ottiene: \((x+jy)(x-jy)=x^2+y^2\) Quindi: \(f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}\) Separiamo la parte reale dalla parte immaginaria: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) Pertanto, scrivendo \(f(z)=u(x,y)+jv(x,y)\) si ha: \(u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\) \(v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\) Quindi l'espressione algebrica finale è: \(f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}\) con la condizione \(x^2+y^2\neq0\) ossia \(z\neq0\). pc7klelw81cazh1cmbsv49zkjphzv4z 287748 287747 2026-10-05T06:33:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287748 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z ''' IA risponde: Certo. Per \(f(z)=\frac{1}{z}\), poniamo \(z=x+iy\) e razionalizziamo il denominatore. ```text <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> \boxed{\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> 4j48dpe12to3tj2z5xohc59nxfr4d3l 287749 287748 2026-10-05T06:34:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287749 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Poniamo \(z=x+iy\) e razionalizziamo il denominatore. ```text <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> \boxed{\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> bzt8xuuvq97jljl5ey609zpug2eg28j 287750 287749 2026-10-05T06:36:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287750 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Poniamo \(z=x+iy\) e razionalizziamo il denominatore. ```text <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> o4sd5vebg3qts6zqz9g4ff2zgwhpa5s 287751 287750 2026-10-05T06:37:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287751 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Poniamo <math>\(z=x+iy\) </math> e razionalizziamo il denominatore. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> 123gjlu3xeomv02yjbjxp9m2tuh1wg5 287752 287751 2026-10-05T06:37:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287752 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Poniamo <math>(z=x+iy\) </math> e razionalizziamo il denominatore. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> 5vqfigcxglam1bahejaqhao8j6xitu9 287753 287752 2026-10-05T06:40:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287753 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> 7n6hhl5appcs2rkohpjjbelyzsy6ulq 287754 287753 2026-10-05T06:41:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287754 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> 4cwf5r4cl00cgv84k5sxp6ygilmre64 287755 287754 2026-10-05T06:45:28Z Funzioni di correlazione 24136 287755 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} == 6° Esercizio== Esplicitazione parte reale e immaginaria di f(z) = 1/z per z = x + jy: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: </math> mun0zdh1y28zwkpicyzkcqir75pq7vm 287756 287755 2026-10-05T06:50:28Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287754|287754]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287756 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} == 6° Esercizio== Esplicitazione parte reale e immaginaria di f(z) = 1/z per z = x + jy: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: </math> 1vyfhw9o6ysezxwznwy83g4sihequgu 287757 287756 2026-10-05T06:51:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287757 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Forma algebrica di f(z) = 1/z, si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitazione parte reale e immaginaria di f(z) = 1/z per z = x + jy: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: </math> 0up8rh41jzoopk1yjxbmeoe36esmp0u 287758 287757 2026-10-05T06:53:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287758 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitazione parte reale e immaginaria di f(z) = 1/z per z = x + jy: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: </math> fh3dgzxv9hznojdph1d8a3fl8no74di 287759 287758 2026-10-05T06:58:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 287759 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: == 6° Esercizio== Esplicitazione parte reale e immaginaria di f(z) = 1/z per z = x + jy: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde data: </math> t9keq4u8u1sshq39jxhszoojx4krmsg 287760 287759 2026-10-05T07:00:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° Esercizio */ 287760 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: aqm7cjyzwqj8woka475qami0x5rb1k0 287761 287760 2026-10-05T07:04:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° Esercizio */ 287761 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Certo. Ecco il percorso completo, in un unico blocco, pronto da copiare e incollare. Ho usato \(j\) come unità immaginaria e non ho inserito `\boxed{}`. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> 2fyodyfcqywm1tvwlr8fk89bqi1d3lh 287762 287761 2026-10-05T07:04:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° Esercizio */ 287762 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> ro9t1gz0lnjbz72jkuwgytk1in0h9c1 287763 287762 2026-10-05T07:08:56Z Funzioni di correlazione 24136 287763 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: dbjbz7cit1gqkz8hpr89jxdjystrtlo 287764 287763 2026-10-05T07:11:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° Esercizio */ 287764 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: Certo. Ecco tutto il percorso di calcolo, in formato pronto per il copia-incolla, senza riquadri. <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. 5emqycqu6rlmo33pyc62wife1etk058 287765 287764 2026-10-05T07:12:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° Esercizio */ 287765 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. ei83tre1cslkygomoxm93s5ezg2omka 287766 287765 2026-10-05T07:22:43Z Funzioni di correlazione 24136 287766 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. == 8° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = f(z) = z^3 ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = z^3 per z = x + jy''' IA risponde: iihlmcxwo8wraswhrakray4vpl1cdro 287767 287766 2026-10-05T07:28:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Esercizio */ 287767 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. == 8° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = f(z) = z^3 ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = z^3 per z = x + jy''' IA risponde: Certo. Ecco il percorso completo, pronto da copiare e incollare, con ogni espressione racchiusa in `<math>...</math>` e senza `\boxed`. Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x</math> e <math>y</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di <math>z</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=(x+jy)^3</math> Sviluppiamo il cubo di un binomio: <math>(x+jy)^3=x^3+3x^2(jy)+3x(jy)^2+(jy)^3</math> Calcoliamo le potenze dell'unità immaginaria <math>j</math>: <math>j^2=-1</math> <math>j^3=-j</math> Quindi: <math>(jy)^2=j^2y^2=-y^2</math> e <math>(jy)^3=j^3y^3=-jy^3</math> Sostituendo questi risultati nell'espressione precedente: <math>f(z)=x^3+3x^2jy+3x(-y^2)-jy^3</math> Riordinando i termini reali e quelli immaginari: <math>f(z)=x^3-3xy^2+j(3x^2y-y^3)</math> Poiché una funzione complessa può essere scritta nella forma <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si identificano la parte reale e la parte immaginaria. Pertanto, la parte reale è: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=x^3-3xy^2</math> mentre la parte immaginaria è: <math>\operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=3x^2y-y^3</math> Risultato finale: <math>f(z)=(x^3-3xy^2)+j(3x^2y-y^3)</math> <math>\operatorname{Re}[f(z)]=x^3-3xy^2</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=3x^2y-y^3</math> 8qedriaq8sbj3jc0p01081is0zhyvuo 287768 287767 2026-10-05T07:29:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Esercizio */ 287768 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. == 8° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = f(z) = z^3 ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = z^3 per z = x + jy''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x</math> e <math>y</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di <math>z</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=(x+jy)^3</math> Sviluppiamo il cubo di un binomio: <math>(x+jy)^3=x^3+3x^2(jy)+3x(jy)^2+(jy)^3</math> Calcoliamo le potenze dell'unità immaginaria <math>j</math>: <math>j^2=-1</math> <math>j^3=-j</math> Quindi: <math>(jy)^2=j^2y^2=-y^2</math> e <math>(jy)^3=j^3y^3=-jy^3</math> Sostituendo questi risultati nell'espressione precedente: <math>f(z)=x^3+3x^2jy+3x(-y^2)-jy^3</math> Riordinando i termini reali e quelli immaginari: <math>f(z)=x^3-3xy^2+j(3x^2y-y^3)</math> Poiché una funzione complessa può essere scritta nella forma <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si identificano la parte reale e la parte immaginaria. Pertanto, la parte reale è: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=x^3-3xy^2</math> mentre la parte immaginaria è: <math>\operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=3x^2y-y^3</math> Risultato finale: <math>f(z)=(x^3-3xy^2)+j(3x^2y-y^3)</math> <math>\operatorname{Re}[f(z)]=x^3-3xy^2</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=3x^2y-y^3</math> mofgu8jdjvku1ssfkbqtkaie4hyxe2o 287769 287768 2026-10-05T07:38:46Z Funzioni di correlazione 24136 287769 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 0% }} ===Le funzioni complesse di variabile complessa rappresentano la base per tutte le applicazioni che coinvolgono le funzioni analitiche; a seguito dell'introduzione ad esse dedicata si propongono 8 esercizi che possono essere modificati per ripeterli a tema libero per meglio comprendere come si trattano gli argomenti connessi.=== == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. == 8° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = f(z) = z^3 ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = z^3 per z = x + jy''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x</math> e <math>y</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di <math>z</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=(x+jy)^3</math> Sviluppiamo il cubo di un binomio: <math>(x+jy)^3=x^3+3x^2(jy)+3x(jy)^2+(jy)^3</math> Calcoliamo le potenze dell'unità immaginaria <math>j</math>: <math>j^2=-1</math> <math>j^3=-j</math> Quindi: <math>(jy)^2=j^2y^2=-y^2</math> e <math>(jy)^3=j^3y^3=-jy^3</math> Sostituendo questi risultati nell'espressione precedente: <math>f(z)=x^3+3x^2jy+3x(-y^2)-jy^3</math> Riordinando i termini reali e quelli immaginari: <math>f(z)=x^3-3xy^2+j(3x^2y-y^3)</math> Poiché una funzione complessa può essere scritta nella forma <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si identificano la parte reale e la parte immaginaria. Pertanto, la parte reale è: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=x^3-3xy^2</math> mentre la parte immaginaria è: <math>\operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=3x^2y-y^3</math> Risultato finale: <math>f(z)=(x^3-3xy^2)+j(3x^2y-y^3)</math> <math>\operatorname{Re}[f(z)]=x^3-3xy^2</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=3x^2y-y^3</math> 2c3zyi2d14abhujwo3ue4rr47fz4d2r