Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 287800 287787 2026-10-09T06:02:00Z Funzioni di correlazione 24136 287800 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. 2. CURVE NEL PIANO COMPLESSO Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 2x3xqc2f90hgd1kmkx52rn97dlvoyn3 102 37832 287801 287788 2026-10-09T06:03:27Z Funzioni di correlazione 24136 287801 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso con IA e P.C. d' Analisi Matematica Complessa''' '''''Un percorso pratico attraverso oltre xx esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici relativi all'Analisi Matematica Complessa. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e xx materie, con più di yyy esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio dell'analisi matematica complessa; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] [[Definizione di numero complesso]] [[Operazioni tra numeri complessi]] [[Il piano complesso]] [[La formula di Eulero]] [[Funzioni reali di variabile complessa]] [[Funzioni complesse di variabili complesse]] [[Limiti e derivate di funzioni complesse di variabili complesse]] [[Condizioni_di_Cauchy_-_Riemann]] [[Le funzioni analitiche]] [[Integrazione nel Campo Complesso]] [[ Teorema di Cauchy]] [[ Teorema di Cauchy generalizzato]] [[ Rappresentazione integrale di Cauchy]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base di trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. F. Tricomi, ''Funzioni analitiche'', Zanichelli, Bologna. N.W.MacLACHLAN, ''Complex Variable Theory,'' Cambridge University Press. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' }} n1wadsqq73fd8dr3iohnx17szx0ycxb 0 37840 287797 287784 2026-10-09T05:44:01Z Funzioni di correlazione 24136 287797 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni complesse di variabili complesse | avanzamento = 100% }} '''Le funzioni complesse di variabile complessa rappresentano la base per tutte le applicazioni che coinvolgono le funzioni analitiche; a seguito dell'introduzione ad esse dedicata si propongono 10 esercizi che possono essere modificati per ripeterli a tema libero per meglio comprendere come si trattano gli argomenti connessi.''' == Definizione di funzione complessa == Una funzione complessa di una variabile complessa è una funzione <math>f:D\to\mathbb{C}</math> con <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> e si indica generalmente con <math>w=f(z)</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> e scrivendo il valore della funzione nella forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ottengono due funzioni reali di due variabili reali: <math>u:D'\to\mathbb{R}</math> e <math>v:D'\to\mathbb{R}</math> dove <math>D'</math> è il corrispondente sottoinsieme del piano <math>(x,y)</math>. Pertanto ogni funzione complessa di una variabile complessa può essere rappresentata nella forma <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> Questa rappresentazione permette di studiare una funzione complessa attraverso due funzioni reali di due variabili reali. == 1° Esercizio == Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)=z^2</math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 in forma algebrica''' La risposta di IA: Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^2</math> Ponendo <math>z=x+iy</math> si ha <math>f(z)=(x+iy)^2</math> Sviluppando il quadrato si ottiene <math>f(z)=x^2+2ixy+i^2y^2</math> Poiché <math>i^2=-1</math> segue <math>f(z)=x^2-y^2+2xyi</math> Quindi la funzione può essere scritta come <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. ==2° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {\sqrt{z}} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = sqr z in forma cartesiana''' La risposta di IA: <math> f(z)=\sqrt z </math> in **forma cartesiana**, poniamo <math> z=x+iy,\qquad f(z)=u+iv. </math> Dalla relazione <math> (u+iv)^2=x+iy </math> otteniamo <math> u^2-v^2=x,\qquad 2uv=y. </math> Inoltre, <math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}=u^2+v^2. </math> Quindi: <math> { u=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} } </math> e <math> { v=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> per la **radice principale**. Pertanto, in forma cartesiana: <math> { \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} +i\,\operatorname{sgn}(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} } </math> dove l'operatore sgn (y) vale (1 ) se (y>0 ), (-1) se (y<0), (0) se (y=0). == 3° Esercizio == '''Tracciamento nello spazio di funzoni complesse.''' Per tracciare nello spazio funzioni complesse di variabili complesse servirebbero **4 dimensioni** per rappresentarle completamente, dato che ciò non è possibile si possono rappresentare separatamente **modulo** e **argomento**, oppure parte reale e immaginaria. Con tale premessa si vogliano tracciare in tre dimensione, separatamente, modulo e aegomento di <math>f(z)=z^2</math>, all'uopo si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Traccia diagrammi tridimensionali di modulo e argomento di f(z) = z^2''' La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/1aiBz5kmrXUEARPkr3yjh7mfr96CD4uH6/view?usp=drive_link]2 x 3 D] == 4° Esercizio== Per l'esercizio a seguire si calcoli la terza potenza di (2 + 3j), si pone ad IA tl questito: '''Calcola la terza potenza di (2+ j3) IA risponde: Sviluppo: <math>(2+3j)^3</math> Usando la formula del cubo di un binomio: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> con <math>a=2</math> e <math>b=3j</math>: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> <math>=8+36j+6\cdot9j^2+27j^3</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> e: <math>j^3=-j</math> si ottiene: <math>=8+36j+54(-1)+27(-j)</math> <math>=8+36j-54-27j</math> == 5° Esercizio== Esplicitare la forma algebrica di f(z) = 1/z; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: da: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+iy </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy} </math> <math> f(z)=\frac{1}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2-(iy)^2} </math> <math> f(z)=\frac{x-iy}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) </math> <math> u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> <math> {\text{Quindi }f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2},\qquad z\neq0} </math> == 6° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy} </math> Per eliminare il numero complesso dal denominatore, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato di <math>x+jy</math>, cioè <math>x-jy</math>: <math> f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy} </math> Otteniamo: <math> f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)} </math> Sviluppiamo il denominatore utilizzando il prodotto tra somma e differenza: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2 </math> Poiché: <math> j^2=-1 </math> si ha: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Pertanto: <math> (x+jy)(x-jy)=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2} </math> Separiamo ora la parte reale dalla parte immaginaria: <math> f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2} </math> Confrontando con la forma generale: <math> f(z)=u(x,y)+jv(x,y) </math> ricaviamo la parte reale: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} </math> e la parte immaginaria: <math> \operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> Pertanto, il risultato finale è: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x}{x^2+y^2} </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{y}{x^2+y^2} </math> con: <math> x^2+y^2\neq0 </math> ovvero: <math> z\neq0 </math> == 7° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/(z^2) ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z^2 per z = x + jy''' IA risponde: <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math> Poniamo: <math>z=x+jy</math> Calcoliamo il quadrato di <math>z</math>: <math>z^2=(x+jy)^2</math> <math>z^2=x^2+2jxy+(jy)^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>z^2=x^2-y^2+2jxy</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}</math> Per separare la parte reale e la parte immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x^2-y^2+2jxy}\cdot\frac{x^2-y^2-2jxy}{x^2-y^2-2jxy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2-y^2)^2-(2jxy)^2}</math> Poiché: <math>(2jxy)^2=-4x^2y^2</math> il denominatore diventa: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2</math> Sviluppiamo: <math>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2</math> <math>=x^4+2x^2y^2+y^4</math> <math>=(x^2+y^2)^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2-2jxy}{(x^2+y^2)^2}</math> Separiamo ora la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}-j\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Confrontando con: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Pertanto la parte reale e la parte immaginaria della funzione sono: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> con: <math>z\neq0</math>, cioè <math>(x,y)\neq(0,0)</math>. == 8° Esercizio== Esplicitare in forma algebrica la parte immaginaria e quella reale di f(z) = f(z) = z^3 ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma algebrica la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = z^3 per z = x + jy''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x</math> e <math>y</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di <math>z</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=(x+jy)^3</math> Sviluppiamo il cubo di un binomio: <math>(x+jy)^3=x^3+3x^2(jy)+3x(jy)^2+(jy)^3</math> Calcoliamo le potenze dell'unità immaginaria <math>j</math>: <math>j^2=-1</math> <math>j^3=-j</math> Quindi: <math>(jy)^2=j^2y^2=-y^2</math> e <math>(jy)^3=j^3y^3=-jy^3</math> Sostituendo questi risultati nell'espressione precedente: <math>f(z)=x^3+3x^2jy+3x(-y^2)-jy^3</math> Riordinando i termini reali e quelli immaginari: <math>f(z)=x^3-3xy^2+j(3x^2y-y^3)</math> Poiché una funzione complessa può essere scritta nella forma <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si identificano la parte reale e la parte immaginaria. Pertanto, la parte reale è: <math>\operatorname{Re}[f(z)]=u(x,y)=x^3-3xy^2</math> mentre la parte immaginaria è: <math>\operatorname{Im}[f(z)]=v(x,y)=3x^2y-y^3</math> Risultato finale: <math>f(z)=(x^3-3xy^2)+j(3x^2y-y^3)</math> <math>\operatorname{Re}[f(z)]=x^3-3xy^2</math> <math>\operatorname{Im}[f(z)]=3x^2y-y^3</math> == 9° Esercizio== Esplicitare in forma esponenziale la parte immaginaria e quella reale di f(z) = 1/z ; si pone ad IA il quesito: '''Per l'esercizio a seguire si espliciti in forma esponenziale la parte reale e l'immaginaria della funzione f(z) = 1/z per z = x + jy''' IA risponde: Si consideri la funzione: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con: <math>z=x+jy</math> Dobbiamo esprimere la parte reale e la parte immaginaria di <math>f(z)</math> in forma esponenziale. Partiamo da: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\cdot\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-jxy+jxy-j^2y^2</math> Poiché: <math>j^2=-1</math> si ha: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2+y^2</math> Pertanto: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separiamo la parte reale e la parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Confrontando con la forma: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> si ottiene: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Quindi la parte reale è: <math>\operatorname{Re}{f(z)}=\frac{x}{x^2+y^2}</math> mentre la parte immaginaria è: <math>\operatorname{Im}{f(z)}=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Ora esprimiamo il risultato in forma esponenziale. Scriviamo <math>z</math> in coordinate polari: <math>z=re^{j\theta}</math> dove: <math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> e: <math>\theta=\arg(z)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> Più precisamente, per determinare correttamente l'angolo in tutti i quadranti, si può utilizzare: <math>\theta=\operatorname{atan2}(y,x)</math> Poiché: <math>z=re^{j\theta}</math> abbiamo: <math>f(z)=\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{j\theta}}</math> Applicando le proprietà degli esponenziali: <math>f(z)=\frac{1}{r}e^{-j\theta}</math> Usando la formula di Eulero: <math>e^{-j\theta}=\cos\theta-j\sin\theta</math> si ottiene: <math>f(z)=\frac{1}{r}\left(\cos\theta-j\sin\theta\right)</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{1}{r}\cos\theta-j\frac{1}{r}\sin\theta</math> Da cui la parte reale e la parte immaginaria in forma esponenziale/polare sono: <math>\operatorname{Re}{f(z)}=\frac{1}{r}\cos\theta</math> <math>\operatorname{Im}{f(z)}=-\frac{1}{r}\sin\theta</math> Poiché: <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> e: <math>\cos\theta=\frac{x}{r}</math> <math>\sin\theta=\frac{y}{r}</math> si ritrovano le espressioni precedenti: <math>\operatorname{Re}{f(z)}=\frac{x}{x^2+y^2}</math> <math>\operatorname{Im}{f(z)}=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Risultato finale: <math>f(z)=\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-j\theta}</math> con: <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> e: <math>\theta=\operatorname{atan2}(y,x)</math> e quindi: <math>\operatorname{Re}{f(z)}=\frac{1}{r}\cos\theta=\frac{x}{x^2+y^2}</math> <math>\operatorname{Im}{f(z)}=-\frac{1}{r}\sin\theta=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> == 10° Esercizio== Per esplicitare la funzione complessa di variabile complessa <math>f(z)= {z^2+2} </math> si ricorre ad IA ponendo il problema in grasseto: ''' Esplicita la funzione complessa di variabile complessa f(z) = z^2 + 2 in forma cartesiana per z = x + jy''' La risposta di IA: Dato: <math> f(z)=z^2+2 </math> <math> z=x+jy </math> Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math> f(z)=(x+jy)^2+2 </math> Sviluppiamo il quadrato del binomio: <math> f(z)=x^2+2x(jy)+(jy)^2+2 </math> Poiché <math>j^2=-1</math>, abbiamo: <math> (jy)^2=j^2y^2=-y^2 </math> Quindi: <math> f(z)=x^2+2jxy-y^2+2 </math> Raggruppando parte reale e parte immaginaria: <math> f(z)=(x^2-y^2+2)+j(2xy) </math> Pertanto, la forma algebrica è: <math> f(z)=(x^2-y^2+2)+j\,2xy </math> con: <math> \operatorname{Re}[f(z)]=x^2-y^2+2 </math> <math> \operatorname{Im}[f(z)]=2xy </math> qtqtxexc7924o0xqrxhc6wufd8zwtv9 0 37841 287798 287646 2026-10-09T05:44:35Z Funzioni di correlazione 24136 287798 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 =Limiti e derivate d Funzioni complesse | avanzamento = 100% }} == Limite di una funzione complessa == Sia <math>f:D\to\mathbb{C}</math> e sia <math>z_0</math> un punto di accumulazione di <math>D</math>. Si dice che <math>f(z)</math> tende al limite <math>L\in\mathbb{C}</math> per <math>z\to z_0</math> se per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste un <math>\delta>0</math> tale che <math>0<|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-L|<\varepsilon</math>. Si scrive <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> La definizione è formalmente analoga a quella del limite per funzioni reali, ma nel piano complesso il punto <math>z</math> può avvicinarsi a <math>z_0</math> lungo un numero arbitrario di direzioni. Scrivendo <math>z=x+iy</math> e <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> si ha <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=L</math> se e solo se le parti reale e immaginaria convergono rispettivamente alle parti reale e immaginaria di <math>L</math>. Se <math>z_0=x_0+iy_0</math> e <math>L=a+ib</math> allora <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=a</math> e <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=b</math>. == Continuità == Una funzione complessa <math>f</math> è continua nel punto <math>z_0</math> se <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. ==1° esercizio== Ad IA: '''Si calcoli il limite di f(z) = z^3 per z che tende a 2+j3 ''' Interrogata IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=z^3</math> e si consideri il limite per <math>z\to 2+3j</math>. Essendo <math>f(z)=z^3</math> un polinomio, essa è continua in tutto il piano complesso. Pertanto il limite coincide con il valore della funzione nel punto a cui tende <math>z</math>: <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=(2+3j)^3</math> Sviluppando il cubo di un binomio si ottiene: <math>(2+3j)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3j+3\cdot2\cdot(3j)^2+(3j)^3</math> Poiché <math>j^2=-1</math>, si ha: <math>(2+3j)^3=8+36j+18j^2+27j^3</math> e, usando <math>j^2=-1</math> e <math>j^3=-j</math>: <math>(2+3j)^3=8+36j-18-27j</math> Raccogliendo separatamente parte reale e parte immaginaria: <math>(2+3j)^3=(8-18)+(36-27)j</math> quindi: <math>(2+3j)^3=-10+9j</math> Pertanto il limite è <math>\lim_{z\to 2+3j}z^3=-10+9j</math> ==2° Esercizio== Proposto da IA: Consideriamo la funzione complessa <math> f(z)=\frac{\sqrt{2}\left[(z-4-2j)^3+3(z-4-2j)^2\right]+(z-4-2j)^4}{(z-4-2j)^3+3(z-4-2j)^2} </math> e calcoliamo il limite per <math> z\to 4+2j. </math> Poniamo <math> w=z-4-2j. </math> Quando <math> z\to4+2j, </math> si ha <math> w\to0. </math> Sostituendo <math>w=z-4-2j</math> nella funzione otteniamo <math> f(z)=\frac{\sqrt{2}(w^3+3w^2)+w^4}{w^3+3w^2}. </math> Raccogliendo <math>w^2</math> al numeratore e al denominatore: <math> f(z)=\frac{\sqrt{2}w^2(w+3)+w^4}{w^2(w+3)}. </math> Raccogliendo ulteriormente <math>w^2</math> al numeratore: <math> f(z)=\frac{w^2\left[\sqrt{2}(w+3)+w^2\right]}{w^2(w+3)}. </math> Per <math>w\ne0</math> possiamo semplificare <math>w^2</math>: <math> f(z)=\frac{\sqrt{2}(w+3)+w^2}{w+3}. </math> Separando i termini: <math> f(z)=\sqrt{2}+\frac{w^2}{w+3}. </math> A questo punto calcoliamo il limite: <math> \lim_{z\to4+2j}f(z) = \lim_{w\to0}\left(\sqrt{2}+\frac{w^2}{w+3}\right). </math> Per continuità delle funzioni coinvolte: <math> \lim_{w\to0}\left(\sqrt{2}+\frac{w^2}{w+3}\right) = \sqrt{2}+\frac{0^2}{0+3}. </math> Quindi: <math> \sqrt{2}+\frac{0}{3}=\sqrt{2}. </math> Pertanto il limite richiesto è <math> \lim_{z\to4+2j}f(z)=\sqrt{2}. </math> == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. ==3° esercizio== Si calcoli la derivata di una funzione complessa di variabile complessa secondo la richiesta ad IA: '''Calcola la derivata di:'''<math>f(z)=z^3</math>''' IA risponde: Per definizione, la derivata è <math>f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> Sostituendo <math>f(z)=z^3</math>: <math>f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{(z+h)^3-z^3}{h}</math> Sviluppando il cubo: <math>(z+h)^3=z^3+3z^2h+3zh^2+h^3</math> Quindi: <math>f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{z^3+3z^2h+3zh^2+h^3-z^3}{h}</math> Semplificando: <math>f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{3z^2h+3zh^2+h^3}{h}</math> Raccogliendo e semplificando <math>h</math>: <math>f'(z)=\lim_{h\to0}(3z^2+3zh+h^2)</math> Passando al limite per <math>h\to0</math>: <math>f'(z)=3z^2</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dz}z^3=3z^2</math> 74hehjk94zah2g8032q09qzr9m7jdou 0 37843 287799 287738 2026-10-09T05:46:50Z Funzioni di correlazione 24136 287799 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando : Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzata dalla derivabilità complessa=== # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ljl6sx8ytowyv1rcckix2bb733utl0f 0 37844 287802 2026-10-09T06:04:42Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+..." 287802 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. 2. CURVE NEL PIANO COMPLESSO Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. 9na5484c2jboiluiemo86wri87ow5op 287803 287802 2026-10-09T06:09:18Z Funzioni di correlazione 24136 287803 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. 2. CURVE NEL PIANO COMPLESSO Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. 8cekd9p6zh7tcq48q4ppy4g9pvhgd5s 287804 287803 2026-10-09T06:17:26Z Funzioni di correlazione 24136 287804 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. 2a9u43w7tdyzu72hspxfx2czv33bbos 287805 287804 2026-10-09T06:19:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287805 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale lungo gamma di f(z) = z^2''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. 328c4iu2pow7klscycdzj5jo2m5ufkh 287806 287805 2026-10-09T06:25:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287806 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale lungo un segmento di retta gamma di f(z) = z^2''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. 1s695qt12cmh48l9wk0v4kl613obnu2 287807 287806 2026-10-09T06:29:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287807 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale lungo un segmento di retta gamma di f(z) = z^2 (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. )''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. aql8us6qnwa4xf17ntlj0my5gzocmq1 287808 287807 2026-10-09T06:31:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287808 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale lungo un segmento di retta gamma di f(z) = z^2 (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <\\\math>z=1+i</math>. )''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. fxgqqewrci4dzcnyfeoykyr8do7s11u 287809 287808 2026-10-09T06:33:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287809 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale lungo un segmento di retta gamma di f(z) = z^2 (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. )''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. aql8us6qnwa4xf17ntlj0my5gzocmq1 287810 287809 2026-10-09T06:35:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287810 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>.)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. t6w2g4lfx5pvpl0sz6f8bma7kvkmc5d 287811 287810 2026-10-09T06:43:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso */ 287811 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. exso1edtlilg8g48f5gzlzpyog2xpf7 287812 287811 2026-10-09T07:11:34Z Funzioni di correlazione 24136 287812 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== Scrittura **Calcolo dell’integrale curvilineo di (f(z)=x^4) lungo il segmento (\gamma)** **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> ctrvsehaxvbh4wxekjudzqlc2a3ny5s 287813 287812 2026-10-09T07:12:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287813 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> 8rs4xck60ukhsls5b9ns5zaa1ycyky7 287814 287813 2026-10-09T07:17:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287814 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> 39jscdbvvmfpiq6m8syfeh8tzw0o8xw 287815 287814 2026-10-09T07:18:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287815 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0) \quad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> h3vxj48a1u7vt8e69sr3w5vf6g82xj0 287816 287815 2026-10-09T07:19:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287816 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0) , \quad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> hylu39y8sypq22kz3t0nqami1ud6jji 287817 287816 2026-10-09T07:58:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287817 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. ==2° Esercizio== **Dati del problema** Calcolare l’integrale <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce i punti <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione del segmento è <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0), \quad t\in(0,1)</math> <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0) , \quad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it,\quad t\in\(0,1\)</math> Pertanto, <math>x(t)=t,\quad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di <math>dz</math>** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi, <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale curvilineo diventa <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 x(t)^4z'(t),dt</math> Poiché <math>x(t)=t</math> e <math>z'(t)=1+4i</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> una costante, possiamo portarla fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** La primitiva di <math>t^4</math> è <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Applicando gli estremi di integrazione, otteniamo <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcoliamo il valore agli estremi: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Quindi, <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Moltiplicando per <math>\frac15</math>, otteniamo <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1+4i}{5}</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, il risultato è <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> gk8eechq4ckh8ljmnjjxxrvtvrtrag4 287818 287817 2026-10-09T08:00:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287818 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. exso1edtlilg8g48f5gzlzpyog2xpf7 287819 287818 2026-10-09T08:06:15Z Funzioni di correlazione 24136 287819 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura **Calcolo dell’integrale curvilineo di (f(z)=x^4) lungo il segmento (\gamma)** **1. Definizione del percorso** Il segmento (\gamma) unisce il punto (z_0=0) al punto (z_1=1+4i). Parametrizziamo il segmento ponendo $$ z(t)=z\_0+t(z\_1-z\_0), \\qquad t\\in\[0,1\]. $$ Sostituendo gli estremi, otteniamo $$ z(t)=t(1+4i)=t+4it, \\qquad t\\in\[0,1\]. $$ Poiché (z=x+iy), confrontando le parti reale e immaginaria si ricava $$ x(t)=t, \\qquad y(t)=4t. $$ **2. Calcolo della derivata della parametrizzazione** Derivando rispetto a (t), otteniamo $$ z'(t)=1+4i. $$ Di conseguenza, $$ dz=z'(t),dt=(1+4i),dt. $$ **3. Riscrittura della funzione lungo il percorso** La funzione è $$ f(z)=x^4. $$ Dato che lungo il segmento (x(t)=t), si ha $$ f(z(t))=x(t)^4=t^4. $$ **4. Calcolo dell’integrale curvilineo** L’integrale lungo il percorso (\gamma) è $$ \\int\_\\gamma f(z),dz. $$ Applicando la formula di parametrizzazione, otteniamo $$ \\int\_\\gamma f(z),dz \=\\int\_0^1 f(z(t)),z'(t),dt. $$ Sostituendo le espressioni trovate, $$ \\int\_\\gamma x^4,dz \=\\int\_0^1 t^4(1+4i),dt. $$ Poiché (1+4i) è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: $$ \\int\_\\gamma x^4,dz \=(1+4i)\\int\_0^1 t^4,dt. $$ Calcoliamo l’integrale definito: $$ \\int\_0^1 t^4,dt \=\\left\[\\frac{t^5}{5}\\right\]\_0^1. $$ Valutando agli estremi, $$ \\left\[\\frac{t^5}{5}\\right\]\_0^1 \=\\frac{1^5}{5}-\\frac{0^5}{5} \=\\frac15. $$ Pertanto, $$ \\int\_\\gamma x^4,dz \=(1+4i)\\frac15. $$ **Risultato finale** $$ \\int\_\\gamma x^4,dz \=\\frac15+\\frac45i. $$ oafpsn047mq8il9jt6dwjgz14pdxlmr 287820 287819 2026-10-09T08:24:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287820 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== k3lruwj6o1cofmxfuiq1sjvf4vzg4o1 287821 287820 2026-10-09T08:25:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287821 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> # Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> **Dati del problema** La funzione integranda è: <math>f(z)=x^4</math> Il cammino <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce gli estremi: <math>z_0=0,\qquad z_1=1+4i</math> Dobbiamo calcolare l’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> ## 1. Parametrizzazione del segmento La parametrizzazione del segmento che unisce <math>z_0</math> a <math>z_1</math> è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\qquad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=0+t(1+4i)</math> Quindi: <math>z(t)=t+4it,\qquad t\in\(0,1\)</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, abbiamo: <math>x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> ## 2. Calcolo della derivata Deriviamo la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>: <math>z'(t)=1+4i</math> Pertanto, il differenziale è: <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> ## 3. Riscrittura della funzione lungo il cammino Poiché la funzione è <math>f(z)=x^4</math> e lungo il cammino vale <math>x(t)=t</math>, otteniamo: <math>f(z(t))=x(t)^4=t^4</math> ## 4. Sostituzione nell’integrale curvilineo Utilizziamo la formula di parametrizzazione dell’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t)),z'(t),dt</math> Sostituendo le espressioni trovate: <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Poiché <math>1+4i</math> è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> ## 5. Calcolo dell’integrale definito La primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Quindi: <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Applichiamo gli estremi di integrazione: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando: <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> ## 6. Risultato finale Moltiplicando il fattore reale per quello complesso, otteniamo: <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> Il valore dell’integrale curvilineo è: <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> 3dnbukvnddxdr46bfuexe0qgaqf9p0l 287822 287821 2026-10-09T08:26:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287822 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> # Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> **Dati del problema** La funzione integranda è: <math>f(z)=x^4</math> Il cammino <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce gli estremi: <math>z_0=0,\qquad z_1=1+4i</math> Dobbiamo calcolare l’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> ## 1. Parametrizzazione del segmento La parametrizzazione del segmento che unisce <math>z_0</math> a <math>z_1</math> è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\qquad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=0+t(1+4i)</math> Quindi: <math>z(t)=t+4it, t\in\(0,1\)</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, abbiamo: <math>x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> ## 2. Calcolo della derivata Deriviamo la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>: <math>z'(t)=1+4i</math> Pertanto, il differenziale è: <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> ## 3. Riscrittura della funzione lungo il cammino Poiché la funzione è <math>f(z)=x^4</math> e lungo il cammino vale <math>x(t)=t</math>, otteniamo: <math>f(z(t))=x(t)^4=t^4</math> ## 4. Sostituzione nell’integrale curvilineo Utilizziamo la formula di parametrizzazione dell’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t)),z'(t),dt</math> Sostituendo le espressioni trovate: <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Poiché <math>1+4i</math> è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> ## 5. Calcolo dell’integrale definito La primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Quindi: <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Applichiamo gli estremi di integrazione: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando: <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> ## 6. Risultato finale Moltiplicando il fattore reale per quello complesso, otteniamo: <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> Il valore dell’integrale curvilineo è: <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> 9aloz7vu0lg8dd3mw1jeuat5z8isst3 287823 287822 2026-10-09T08:28:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287823 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> # Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> **Dati del problema** La funzione integranda è: <math>f(z)=x^4</math> Il cammino <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce gli estremi: <math>z_0=0,\qquad z_1=1+4i</math> Dobbiamo calcolare l’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> ## 1. Parametrizzazione del segmento La parametrizzazione del segmento che unisce <math>z_0</math> a <math>z_1</math> è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=0+t(1+4i)</math> Quindi: <math>z(t)=t+4it, t\in\(0,1\)</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, abbiamo: <math>x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> ## 2. Calcolo della derivata Deriviamo la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>: <math>z'(t)=1+4i</math> Pertanto, il differenziale è: <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> ## 3. Riscrittura della funzione lungo il cammino Poiché la funzione è <math>f(z)=x^4</math> e lungo il cammino vale <math>x(t)=t</math>, otteniamo: <math>f(z(t))=x(t)^4=t^4</math> ## 4. Sostituzione nell’integrale curvilineo Utilizziamo la formula di parametrizzazione dell’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t)),z'(t),dt</math> Sostituendo le espressioni trovate: <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Poiché <math>1+4i</math> è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> ## 5. Calcolo dell’integrale definito La primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Quindi: <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Applichiamo gli estremi di integrazione: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando: <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> ## 6. Risultato finale Moltiplicando il fattore reale per quello complesso, otteniamo: <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> Il valore dell’integrale curvilineo è: <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> 422iqwini3vsluoekk2b4w5mhjdrd1a 287824 287823 2026-10-09T08:29:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287824 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> # Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> **Dati del problema** La funzione integranda è: <math>f(z)=x^4</math> Il cammino <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce gli estremi: <math>z_0=0,\qquad z_1=1+4i</math> Dobbiamo calcolare l’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> ## 1. Parametrizzazione del segmento La parametrizzazione del segmento che unisce <math>z_0</math> a <math>z_1</math> è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=0+t(1+4i)</math> Quindi: <math>z(t)=t+4it, t\in\(0,1\)</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, abbiamo: <math>x(t)=t, y(t)=4t</math> ## 2. Calcolo della derivata Deriviamo la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>: <math>z'(t)=1+4i</math> Pertanto, il differenziale è: <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> ## 3. Riscrittura della funzione lungo il cammino Poiché la funzione è <math>f(z)=x^4</math> e lungo il cammino vale <math>x(t)=t</math>, otteniamo: <math>f(z(t))=x(t)^4=t^4</math> ## 4. Sostituzione nell’integrale curvilineo Utilizziamo la formula di parametrizzazione dell’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t)),z'(t),dt</math> Sostituendo le espressioni trovate: <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Poiché <math>1+4i</math> è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> ## 5. Calcolo dell’integrale definito La primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Quindi: <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Applichiamo gli estremi di integrazione: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando: <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> ## 6. Risultato finale Moltiplicando il fattore reale per quello complesso, otteniamo: <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> Il valore dell’integrale curvilineo è: <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> 7mzd14seoxx7jzrf11s7z7pxg0aj0yx 287825 287824 2026-10-09T08:40:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287825 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> # Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> **Dati del problema** La funzione integranda è: <math>f(z)=x^4</math> Il cammino <math>\gamma</math> è il segmento di retta che unisce gli estremi: <math>z_0=0,\qquad z_1=1+4i</math> Dobbiamo calcolare l’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_\gamma x^4,dz</math> ## 1. Parametrizzazione del segmento La parametrizzazione del segmento che unisce <math>z_0</math> a <math>z_1</math> è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=0+t(1+4i)</math> Quindi: <math>z(t)=t+4it, t\in\(0,1\)</math> Separando la parte reale dalla parte immaginaria, abbiamo: <math>x(t)=t, y(t)=4t</math> ## 2. Calcolo della derivata Deriviamo la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>: <math>z'(t)=1+4i</math> Pertanto, il differenziale è: <math>dz=z'(t),dt=(1+4i),dt</math> ## 3. Riscrittura della funzione lungo il cammino Poiché la funzione è <math>f(z)=x^4</math> e lungo il cammino vale <math>x(t)=t</math>, otteniamo: <math>f(z(t))=x(t)^4=t^4</math> ## 4. Sostituzione nell’integrale curvilineo Utilizziamo la formula di parametrizzazione dell’integrale curvilineo: <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t)),z'(t),dt</math> Sostituendo le espressioni trovate: <math>\int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Poiché <math>1+4i</math> è costante, possiamo portarlo fuori dall’integrale: <math>\int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> ## 5. Calcolo dell’integrale definito La primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Quindi: <math>(1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Applichiamo gli estremi di integrazione: <math>=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando: <math>=(1+4i)\frac{1}{5}</math> ## 6. Risultato finale Moltiplicando il fattore reale per quello complesso, otteniamo: <math>\int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> Il valore dell’integrale curvilineo è: <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> k91gnn39jivrz7c8fsais29dijphhw3 287826 287825 2026-10-09T08:44:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287826 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolo dell’integrale curvilineo di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> Per poter copiare il testo direttamente su Wikipedia, utilizziamo la sintassi wiki standard (con i tag `<math>` per le formule) senza la formattazione markdown avanzata o i blocchi speciali. Ecco il testo pronto per essere incollato: ```text Per calcolare l'integrale di linea della funzione $f(z) = x^4$ (dove $x = \text{Re}(z)$) lungo il segmento di retta $\gamma$ che unisce $z = 0$ a $z = 1 + 4i$, si procede parametrizzando il cammino. == Parametrizzazione del cammino == Il segmento di retta che collega l'origine $z_0 = 0$ al punto $z_1 = 1 + 4i$ si esprime mediante il parametro reale $t \in [0, 1]$ come: <math>z(t) = (1 + 4i)t = t + 4it</math> Da questa parametrizzazione si ricava che la parte reale è: <math>x(t) = t</math> Mentre il differenziale $dz$ è: <math>dz = (1 + 4i) \, dt</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` lxe2occ8u37dte8msc668flzx1faf5s 287827 287826 2026-10-09T08:51:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287827 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura **Calcolo dell’integrale di linea complesso** **Testo dell’esercizio** Calcolare l’integrale di <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento di retta <math>\gamma</math> che unisce il punto <math>z=0</math> al punto <math>z=1+4i</math>. **1. Parametrizzazione del segmento** Il segmento congiunge gli estremi <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. Una parametrizzazione è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0)</math> Sostituendo gli estremi, otteniamo: <math>z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> con <math>0\le t\le 1</math>. Pertanto: <math>x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo del differenziale** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=1+4i</math> Quindi il differenziale è: <math>dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** L’integrale di linea complesso si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \int_\gamma f(z),dz=\int_0^1 f(z(t))z'(t),dt</math> Poiché <math>f(z)=x^4</math> e <math>x(t)=t</math>, abbiamo: <math>f(z(t))=t^4</math> Sostituendo nell’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Portando fuori il fattore costante: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle \int_0^1 t^4,dt=\left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1</math> Calcolando agli estremi: <math>\displaystyle \left\(\\frac{t^5}{5}\\right\)_0^1=\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}=\frac15</math> **5. Risultato finale** Sostituendo il valore ottenuto: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\frac15</math> Distribuendo il fattore <math>\frac15</math>: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac15+\frac45i</math> Il valore dell’integrale è quindi <math>\displaystyle \frac15+\frac45i</math>. == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` mdpki2ff0klk9tvv8ygpyilmxo9fbaq 287828 287827 2026-10-09T09:08:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287828 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>\displaystyle z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\qquad t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` 93n4pkhy8onhrgm1vlyfp3i3sywcv5c 287829 287828 2026-10-09T09:09:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287829 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>\displaystyle z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1\)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` ta7uafs5lo8y57u186oy61kqt0oyh97 287830 287829 2026-10-09T09:10:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287830 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>\displaystyle z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` hx4dd7w6tepcek41sytnevf35o1yqhg 287831 287830 2026-10-09T09:16:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287831 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math> z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` bkx5mpndbaljx2hprgztvjgt442i9gh 287832 287831 2026-10-09T09:17:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287832 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math> \displaystyle z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` 8tohhut09itgrt3cd8pkbfxu7vf7g20 287833 287832 2026-10-09T09:18:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287833 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>\displaystyle \displaystyle z(t)=z_0+t(z_1-z_0), t\in\(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` rx8zkfyse43q21uribrc88nuzznepj2 287834 287833 2026-10-09T09:24:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287834 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> == Sostituzione e calcolo dell'integrale == Sostituendo all'interno dell'integrale si ottiene: <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{0}^{1} (x(t))^4 \, dz = \int_{0}^{1} t^4 (1 + 4i) \, dt</math> Estraendo la costante complessa dal segno di integrale: <math>(1 + 4i) \int_{0}^{1} t^4 \, dt</math> Risolvendo l'integrale definito: <math>\int_{0}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}</math> Moltiplicando per la costante si ottiene il risultato finale: <math>(1 + 4i) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 + 4i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}i</math> ``` cz4sclfxpirt5iizekl1u5culqijp4s 287835 287834 2026-10-09T09:27:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sostituzione e calcolo dell'integrale */ 287835 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Scrittura Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> 6g244x25f4b0rxa1kdxlkt94f80p9fz 287836 287835 2026-10-09T09:28:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287836 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Calcolare l’integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=x^4</math> lungo il segmento <math>\gamma</math> che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+4i</math>. L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> oby9mol5tcygi2xu0iwbms7jhr90apg 287837 287836 2026-10-09T09:32:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287837 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> pq95cabcdvdgpg2bgra9vwtfamauhv6 287838 287837 2026-10-09T09:33:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287838 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedenteb con valori diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> kudv9hdhgkoicc0oogcynv44mywzyap 287839 287838 2026-10-09T09:33:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287839 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con valori diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> rk1nsmpluv3lti8uxifjy2m1f0j31hw 287840 287839 2026-10-09T09:34:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 287840 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> g8w54otc6sz42nybplkss4hwmr0sgs1