Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 287841 287800 2026-10-09T14:24:44Z Funzioni di correlazione 24136 287841 wikitext text/x-wiki Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. sjr3iaxef9gm2pgpp5bjd1ieo74u8zs 287842 287841 2026-10-09T14:30:03Z Funzioni di correlazione 24136 287842 wikitext text/x-wiki Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – svolgimento completo Esercizio proposto Calcolare il seguente integrale complesso, dove la curva è la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario: ∫∣z∣=11z−2 dz\int_{|z|=1}\frac{1}{z-2}\,dz∫∣z∣=1z−21dz ## 1. Individuazione della funzione La funzione integranda è: f(z)=1z−2f(z)=\frac{1}{z-2}f(z)=z−21 Il denominatore si annulla quando: z−2=0⟹z=2z-2=0\quad\Longrightarrow\quad z=2z−2=0⟹z=2 La funzione presenta quindi una singolarità in z=2z=2z=2. La curva di integrazione è la circonferenza unitaria, cioè: ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1 Poiché ∣2∣=2&gt;1|2|=2>1∣2∣=2&gt;1, il punto singolare si trova all'esterno della circonferenza. La funzione è quindi olomorfa all'interno e sulla curva. ## 2. Parametrizzazione della curva Parametrizziamo la circonferenza unitaria mediante: z(t)=eit,0≤t≤2πz(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\piz(t)=eit,0≤t≤2π Usando la formula di Eulero, otteniamo: z(t)=cos⁡t+isin⁡tz(t)=\cos t+i\sin tz(t)=cost+isint Calcoliamo il differenziale: dz=ieit dtdz=ie^{it}\,dtdz=ieitdt Sostituendo nell'integrale, si ottiene: ∫∣z∣=11z−2 dz=∫02πieiteit−2 dt\int_{|z|=1}\frac{1}{z-2}\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2}\,dt∫∣z∣=1z−21dz=∫02πeit−2ieitdt ## 3. Sviluppo in serie geometrica Per sviluppare la funzione, riscriviamo il denominatore: 1z−2=−1211−z2\frac{1}{z-2}=-\frac12\frac{1}{1-\frac z2}z−21=−211−2z1 Ricordiamo la serie geometrica: 11−w=∑n=0∞wn,∣w∣<1\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n,\qquad |w|<11−w1=n=0∑∞wn,∣w∣<1 Nel nostro caso poniamo: w=z2w=\frac z2w=2z La condizione di convergenza diventa: ∣z2∣<1⟹∣z∣<2\left|\frac z2\right|<1\quad\Longrightarrow\quad |z|<22z<1⟹∣z∣<2 Poiché sulla circonferenza di integrazione vale ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1, lo sviluppo è valido. Pertanto: 1z−2=−12∑n=0∞(z2)n\frac{1}{z-2}=-\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac z2\right)^nz−21=−21n=0∑∞(2z)n Sviluppando i primi termini: 1z−2=−12−z4−z28−z316−⋯\frac{1}{z-2}=-\frac12-\frac z4-\frac{z^2}{8}-\frac{z^3}{16}-\cdotsz−21=−21−4z−8z2−16z3−⋯ ## 4. Integrazione termine per termine Sostituiamo lo sviluppo nell'integrale: ∫∣z∣=11z−2 dz=∫∣z∣=1(−12−z4−z28−z316−⋯ )dz\int_{|z|=1}\frac{1}{z-2}\,dz=\int_{|z|=1}\left(-\frac12-\frac z4-\frac{z^2}{8}-\frac{z^3}{16}-\cdots\right)dz∫∣z∣=1z−21dz=∫∣z∣=1(−21−4z−8z2−16z3−⋯)dz Per linearità dell'integrale: =−12∫∣z∣=1dz−14∫∣z∣=1z dz−18∫∣z∣=1z2 dz−⋯=-\frac12\int_{|z|=1}dz-\frac14\int_{|z|=1}z\,dz-\frac18\int_{|z|=1}z^2\,dz-\cdots=−21∫∣z∣=1dz−41∫∣z∣=1zdz−81∫∣z∣=1z2dz−⋯ Ora osserviamo che l'integrale di ogni potenza intera non negativa lungo una curva chiusa è nullo. Infatti, per ogni intero k≥0k\geq 0k≥0, la funzione zkz^kzk possiede una primitiva: F(z)=zk+1k+1F(z)=\frac{z^{k+1}}{k+1}F(z)=k+1zk+1 Di conseguenza: ∫∣z∣=1zk dz=0\int_{|z|=1}z^k\,dz=0∫∣z∣=1zkdz=0 In particolare: ∫∣z∣=1dz=0\int_{|z|=1}dz=0∫∣z∣=1dz=0 ∫∣z∣=1z dz=0\int_{|z|=1}z\,dz=0∫∣z∣=1zdz=0 ∫∣z∣=1z2 dz=0\int_{|z|=1}z^2\,dz=0∫∣z∣=1z2dz=0 Lo stesso vale per tutti gli altri termini dello sviluppo. ## 5. Risultato finale Poiché tutti gli integrali dei singoli termini sono nulli, la somma è nulla: ∫∣z∣=11z−2 dz=0\int_{|z|=1}\frac{1}{z-2}\,dz=0∫∣z∣=1z−21dz=0 Il risultato è coerente anche con il teorema integrale di Cauchy, perché la funzione è olomorfa su tutto il disco delimitato dalla curva e sul suo bordo. Conclusione: l'integrale complesso richiesto vale zero. ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. qxpr7ahi7w8nqm6l0li8v3tcyudd60a 287846 287842 2026-10-10T07:29:33Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287842|287842]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287846 wikitext text/x-wiki Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. sjr3iaxef9gm2pgpp5bjd1ieo74u8zs 287847 287846 2026-10-10T07:32:37Z Funzioni di correlazione 24136 287847 wikitext text/x-wiki Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. i5v1b5vhabv4wni109donwq9redjfv6 287848 287847 2026-10-10T07:35:38Z Funzioni di correlazione 24136 287848 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C</math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. ropwu1x5f5wrkpa1lh39zj4w84ohn0p 287849 287848 2026-10-10T07:40:55Z Funzioni di correlazione 24136 287849 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C</math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle \I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. r4ceizkpx7z5cmcetngkrahn7laiz4n 287850 287849 2026-10-10T07:42:28Z Funzioni di correlazione 24136 287850 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C</math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. ropwu1x5f5wrkpa1lh39zj4w84ohn0p 287851 287850 2026-10-10T07:43:41Z Funzioni di correlazione 24136 287851 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C<\math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. ny7fng84ps6kwb2o8or1rrxhijxe072 287852 287851 2026-10-10T07:46:19Z Funzioni di correlazione 24136 287852 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C <\math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 1y8l7lxv9qwot0c1isi4dgg6uak7j6b 287853 287852 2026-10-10T07:48:10Z Funzioni di correlazione 24136 287853 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. aegesj4wj0jz6hfwcuazeit27mxpb7w 287854 287853 2026-10-10T07:53:59Z Funzioni di correlazione 24136 287854 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo xxxxxxxx <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. qevddyw77to8f0yhwrg40ok93di0kil 287855 287854 2026-10-10T07:55:38Z Funzioni di correlazione 24136 287855 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo xxxxxxxx <math>\displaystyle I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> vvvvvvvvvvvv <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. lf6amed3wu194yqxqh442ds4absi7co 287856 287855 2026-10-10T07:56:46Z Funzioni di correlazione 24136 287856 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo xxxxxxxx <math>\displaystyle \I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. r0kj6ffizjvettxwcm9qh7fnojb4481 287857 287856 2026-10-10T07:57:44Z Funzioni di correlazione 24136 287857 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math>\displaystyle \I=\left\(\\arctan(t)\\right\)_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. gtti81idqgh5g7yodsriz5j2zxf640x 287858 287857 2026-10-10T08:02:04Z Funzioni di correlazione 24136 287858 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math>\displaystyle \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> I=\left[\arctan(t)\right]_0^1 Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. hfmpf1el596orluw4eurbqzxmkzrvvt 287859 287858 2026-10-10T08:02:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo */ 287859 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math>\displaystyle \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 8dreyqm9z4qoleli894f8amb56a439p 287860 287859 2026-10-10T08:03:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo */ 287860 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 7lyw7uqkgoswr15a0idcipu5d49pfp9 287861 287860 2026-10-10T08:05:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo */ 287861 wikitext text/x-wiki Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. onlhkjj2oy78fd6b6rq68a8c863h5jj 287862 287861 2026-10-10T08:08:49Z Funzioni di correlazione 24136 287862 wikitext text/x-wiki ```wikitext == Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione == Proponiamo il calcolo di un integrale di linea nel piano complesso utilizzando la definizione e la parametrizzazione diretta, senza ricorrere al teorema dei residui e senza utilizzare potenze intere della variabile <math>z</math>. Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. totp223r9ee2p4cgyk8q4ivgqsqiy89 287863 287862 2026-10-10T08:12:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione */ 287863 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione == Proponiamo il calcolo di un integrale di linea nel piano complesso utilizzando la definizione e la parametrizzazione diretta, senza ricorrere al teorema dei residui e senza utilizzare potenze intere della variabile <math>z</math>. Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. fuzd2zfb650v2w23aywfujiasbsd8jx 287864 287863 2026-10-10T08:20:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287864 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione z Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 0mex27dmx8nwxiq8vaf1gk9j385rr2v 287865 287864 2026-10-10T08:26:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287865 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. t1lqngs2pjvucleoksf55aahcqkdjlu 287866 287865 2026-10-10T08:28:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287866 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione f(z) = (z coniugata) per z = x+jy Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 1sm81jvc4b3wqgi5pg7pbqbvxnpuoqh 287867 287866 2026-10-10T08:30:17Z Funzioni di correlazione 24136 287867 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione f(z) = (z coniugata) per z = x+jy IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 8cc7jtwuus1jns8cgotv9m1wi7kban6 287868 287867 2026-10-10T08:38:40Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287866|287866]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287868 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. ppw1wkp2ejn434ltwh85jrbxjjnl2g1 287869 287868 2026-10-10T08:42:18Z Funzioni di correlazione 24136 287869 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 04debhtkivumbn1b6i48b017ck0cxre 287870 287869 2026-10-10T08:58:06Z Funzioni di correlazione 24136 287870 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{\sin\varphi+j}</math> dove <math>j^2=-1</math>. == 1. Razionalizzazione del denominatore == Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{1}{\sin\varphi+j}\cdot\frac{\sin\varphi-j}{\sin\varphi-j}\,d\varphi</math> Poiché <math>(\sin\varphi+j)(\sin\varphi-j)=\sin^2\varphi+1</math> otteniamo <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin\varphi-j}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi</math> Separiamo la parte reale e quella immaginaria: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin\varphi}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi-j\int_0^{2\pi}\frac{1}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi</math> == 2. Calcolo del primo integrale == Consideriamo <math>I_1=\int_0^{2\pi}\frac{\sin\varphi}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi</math> Con la sostituzione <math>u=2\pi-\varphi</math> si ha <math>\sin(2\pi-\varphi)=-\sin\varphi</math> mentre <math>1+\sin^2(2\pi-\varphi)=1+\sin^2\varphi</math> Pertanto, i contributi nei due semiperiodi si annullano e si ottiene <math>I_1=0</math> == 3. Calcolo del secondo integrale == Consideriamo <math>I_2=\int_0^{2\pi}\frac{1}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi</math> La funzione è periodica e simmetrica, quindi <math>I_2=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin^2\varphi}\,d\varphi</math> Poniamo <math>t=\tan\varphi</math> da cui <math>d\varphi=\frac{dt}{1+t^2}</math> e <math>\sin^2\varphi=\frac{t^2}{1+t^2}</math> Quando <math>\varphi=0</math>, si ha <math>t=0</math>; quando <math>\varphi\to\frac{\pi}{2}</math>, si ha <math>t\to+\infty</math>. Sostituendo nell'integrale: <math>I_2=4\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+\frac{t^2}{1+t^2}}\frac{dt}{1+t^2}</math> Semplificando: <math>I_2=4\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+2t^2}</math> Utilizzando la formula <math>\int\frac{dt}{1+a^2t^2}=\frac{1}{a}\arctan(at)+C</math> si ottiene <math>I_2=4\left\(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\arctan(\\sqrt{2}t)\\right\)_0^{+\infty}</math> Poiché <math>\lim_{t\to+\infty}\arctan(\sqrt{2}t)=\frac{\pi}{2}</math> risulta <math>I_2=4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}\pi</math> == 4. Risultato finale == Ricombinando i due contributi: <math>I=I_1-jI_2</math> Sostituendo i valori calcolati: <math>I=0-j\sqrt{2}\pi</math> Il risultato è <math>I=-j\sqrt{2}\pi</math> '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. geakrzdbq94979v9tovh9crna5lx73o 287871 287870 2026-10-10T09:03:08Z Funzioni di correlazione 24136 287871 wikitext text/x-wiki ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. pruf61qnskx3rp8o4rrnb7qk5fyvj3t 0 34914 287844 254708 2026-10-10T06:16:46Z Eumolpo 11994 ortografia 287844 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=laboratorio|materia1=Sistemi automatici per le superiori 2|avanzamento=100%}} In questa lezione si mostrerà come, tramite la scheda [[w:Arduino|Arduino]], sia possibile ricostruire il funzionamento di un ipotetico sistema di raccolta, come quello della spazzatura, guidato da una linea che va a formare un "circuito" che l'utente può sbizzarrirsi a creare; questo grazie l'utilizzo di appositi sensori di prossimità, 4 motori e il driver che li gestisce (l298n), e un ricevitore Bluetooth per controllare tutto da Smartphone. == Descrizione del progetto == [[File:3V DC Motor.jpg|miniatura|170x170px|Motore 3-6V]] Il sistema ha il seguente funzionamento: # in ingresso riceviamo il segnale d'avvio, dato dal cellulare tramite BT, che andrà a inizializzare i sensori di prossimità. # in uscita si avrà il movimento dei 4 motori, che seguiranno e rimarranno sul percorso stabilito, oltre che una luce in caso di bassa luminosità e il magnete, utilizzato per la raccolta. [[File:Controllo motore DC con Arduino.svg|sinistra|miniatura|217x217px|Collegamento base di un L298N per la gestione di un singolo motore]] Questo processo ha inizio quando dal cellulare viene indicata la modalità di funzionamento voluta: # Modalità 1 - la macchina continuerà a seguire all'infinito la linea del circuito. # Modalità 2 - Attiva la modalità notturna, accendendo l'abbagliante davanti # Modalità 3 - Attiva la funzione raccolta: quando entrambi i sensori incroceranno una linea perpendicolare a quella del circuito, che li farà attivare entrambi, la macchina si fermerà e attiverà il magnete che andrà ad attrarre l'oggetto posto vicino ad essa. Lo rilascerà con un apposito comando dato dall'utente dal cellulare. Tutti i parametri sono regolabili attraverso le variabili nella prima parte del codice. == Schema di montaggio == Di seguito viene riportato lo schema di montaggio. [[File:Schema di Montaggio Sistema di Raccolta con Arduino.png|centro|senza_cornice|800x800px]] == Componenti utilizzati == {| class="wikitable" |+Elenco componenti !Componente !Descrizione !Q.tà |- |DC Motor <math>3~\text{V}-6~\text{V}</math> |Motore |4 |- |SG035 |Sensore di prossimità |2 |- |Led <math>12~\text{V}</math> |Fanale anteriore |1 |- | Magnete <math>5~\text{V}</math> | |1 |- | L298n |Ponte ad H |1 |- |HC-05 |BT sensor |1 |} [[Categoria:Arduino]] . == Prototipo == <gallery widths="300" heights="300"> File:Sistema Guidato di raccolta con arduino (No Wires).stl|Prototipo 3D del progetto File:Render 3d del progetto.png|Render del prototipo File:Prototipo Sistema di Raccolta Guidato con Arduino.jpg|Modello realizzato in laboratorio </gallery> == Codice == Di seguito viene riportato il codice sorgente. Per una maggior comprensibilità viene suddiviso in tre parti: # inclusione delle librerie, definizione delle costanti e variabili; # codice da eseguire all'avvio del programma e alla pressione del tasto di reset; # programma vero e proprio. === Librerie, costanti e variabili === <syntaxhighlight lang="arduino" line="1"> #include <SoftwareSerial.h> int bt_data; //variabili per funzionamento Bluetooth int mode = 0; int IR1=11; //pin a cui si collegano i due sensori di prossimità int IR2=12; //collegamenti al L2998n int enA = 5; //pin per abilitare Motore A int MotorAOR=2; //pin per far ruotare il Motore A in Orario int MotorAANT=3; //pin per far ruotare il Motore A in Antiorario int enB = 6; //pin per abilitare Motore B int MotorBOR=4; //pin per far ruotare il Motore B in Orario int MotorBANT=7; //pin per far ruotare il Motore B in Antiorario int rele1=10; //pin per collegamento ai relé (Luce 12v e Magnete) int rele2=9; int sx; //variabili per funzionamento dei sensori di prossimità int dx; </syntaxhighlight> === Setup === Inizializzazione del progetto, dove vengono identificate le uscite e le entrate di Arduino verso i vari componenti e si inizializza la comunicazione seriale.<syntaxhighlight lang="arduino" line="1" start="22"> void setup() { pinMode(enA, OUTPUT); //Dichiarazione Output e Input dei vari componenti pinMode(enB, OUTPUT); pinMode(IR1,INPUT); pinMode(IR2,INPUT); pinMode(MotorAOR,OUTPUT); pinMode(MotorAANT,OUTPUT); pinMode(MotorBOR,OUTPUT); pinMode(MotorBANT,OUTPUT); pinMode(rele1, OUTPUT); pinMode(rele2, OUTPUT); Serial.begin(9600); //Inizializzazione comunicazione seriale delay(500); } </syntaxhighlight> === Corpo del programma === <syntaxhighlight lang="arduino" line="1" start="38"> void loop() { if(Serial.available() > 0){ //Lettura BT bt_data = Serial.read(); } if (bt_data == 10){ //Se il dato è uguale a 1 allora vai alla modalita 1 mode = 1; } if (bt_data == 2){ //Se il dato è uguale a 2 allora vai alla modalita 2 mode = 2; } if (bt_data == 3){ //Se il dato è uguale a 3 allora vai alla modalita 3 mode = 3; } switch (mode){ //In base al valore della variabile "mode" fai: case 1: //Se mode=1 funziona solo come Line Follower dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); if(dx == 0 && sx == 0){ Avanti(); } if(dx == 1 && sx == 0){ Destra(); } if(dx == 0 && sx == 1){ Sinistra(); } case 2: //Se mode=2 accende abbaglianti e funziona come Line Follower Luce(); dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); if(dx == 0 && sx == 0){ Avanti(); } if(dx == 1 && sx == 0){ Destra(); } if(dx == 0 && sx == 1){ Sinistra(); } case 3: // Se 3 attiva la funzione di Raccolta: quando incontrerà 2 linee dx = digitalRead(IR1); // nere attiverà il magnete che potra cosi recuperare l'oggetto sx = digitalRead(IR2); if(dx == 0 && sx == 0){ Avanti(); } if(dx == 1 && sx == 1){ Fermo(); Raccolta(); } if(dx == 1 && sx == 0){ Destra(); } if(dx == 0 && sx == 1){ Sinistra(); } } } void Avanti(){ //Funzione avanti Serial.println("Avanti"); dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); Ruota(); analogWrite (enA, 180); analogWrite (enB, 180); } void Fermo(){ //Funzione fermo Serial.println("fermo"); dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); digitalWrite(MotorAOR,LOW); digitalWrite(MotorAANT,LOW); digitalWrite(MotorBOR,LOW); digitalWrite(MotorBANT,LOW); analogWrite (enA, 0); analogWrite (enB, 0); } void Sinistra(){ //Funzione sinistra Serial.println("Sinistra"); dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); Ruota(); analogWrite (enA, 150); analogWrite (enB, 180); delay(100); } void Destra(){ //Funzione destra Serial.println("Destra"); dx = digitalRead(IR1); sx = digitalRead(IR2); Ruota(); analogWrite (enA, 180); analogWrite (enB, 150); delay(100); } void Ruota(){ //Funzione che detta l'orientamento delle ruote digitalWrite(MotorAOR,HIGH); digitalWrite(MotorAANT,LOW); digitalWrite(MotorBOR,HIGH); digitalWrite(MotorBANT,LOW); } void Luce(){ //Funzione abbaglianti digitalWrite(rele1,HIGH); } void Raccolta(){ //Funzione raccolta digitalWrite(rele2,HIGH); delay(300); Avanti(); delay(60); } </syntaxhighlight> == Espansioni suggerite == Implementazioni supplementari da poter aggiungere potrebbe essere un timer che automatizza il processo di raccolta oppure un sensore RFID che abiliti la partenza della macchina solo con apposita autorizzazione. Inoltre, aumentandone il carico della batteria, la potenza dei motori e del magnete, sarà possibile trasportare carichi più pesanti in strade più sconnesse, ad esempio in salita, o solamente in modo più veloce. eyl9b52zsg9hdp0uabgfgrt0qr9dln2 0 37844 287845 287840 2026-10-10T07:19:14Z Funzioni di correlazione 24136 287845 wikitext text/x-wiki Integrale in campo complesso — Svolgimento completo # Integrale in campo complesso — Svolgimento completo ## Testo dell'esercizio Calcolare il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>[ $$int_\gamma \frac{1}{z-1},dz \]&lt;/math&gt; dove &lt;math&gt;(\\gamma)&lt;/math&gt; è la circonferenza di centro &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; e raggio &lt;math&gt;(2)&lt;/math&gt;, percorsa una volta in senso antiorario. 1\. Individuazione della funzione --------------------------------- Poniamo: &lt;math&gt;\[ f(z)=1 \]&lt;/math&gt; L'integranda è della forma: &lt;math&gt;\[ \\frac{f(z)}{z-a} \]&lt;/math&gt; con: &lt;math&gt;\[ a=1 \]&lt;/math&gt; La funzione &lt;math&gt;(f(z)=1)&lt;/math&gt; è olomorfa in tutto il piano complesso, quindi anche all'interno e sul bordo della circonferenza &lt;math&gt;(\\gamma)&lt;/math&gt;. 2\. Verifica delle condizioni ----------------------------- La curva &lt;math&gt;(\\gamma)&lt;/math&gt; è una circonferenza chiusa, percorsa in senso antiorario. Il punto &lt;math&gt;(z=1)&lt;/math&gt; si trova al centro della circonferenza, quindi è interno alla curva. La funzione &lt;math&gt;(f(z)=1)&lt;/math&gt; è olomorfa in tutta la regione considerata. Possiamo quindi applicare la formula integrale di Cauchy. 3\. Applicazione della formula integrale di Cauchy -------------------------------------------------- La formula integrale di Cauchy afferma che: &lt;math&gt;\[ \\int\_\\gamma \\frac{f(z)}{z-a},dz=2\\pi i,f(a) \]&lt;/math&gt; Nel nostro caso abbiamo: &lt;math&gt;\[ f(z)=1,\\qquad a=1 \]&lt;/math&gt; Pertanto: &lt;math&gt;\[ \\int\_\\gamma \\frac{1}{z-1},dz=2\\pi i,f(1) \]&lt;/math&gt; Calcoliamo il valore della funzione nel punto: &lt;math&gt;\[ f(1)=1 \]&lt;/math&gt; Sostituendo, otteniamo: &lt;math&gt;\[ \\int\_\\gamma \\frac{1}{z-1},dz=2\\pi i\\cdot 1 \]&lt;/math&gt; 4\. Risultato finale -------------------- Quindi il valore dell'integrale è: &lt;math&gt;\[ \\int\_\\gamma \\frac{1}{z-1},dz=2\\pi i \]&lt;/math&gt; Il risultato è puramente immaginario perché è uguale a &lt;math&gt;(2\\pi)&lt;/math&gt; moltiplicato per l'unità immaginaria &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt;. Conclusione ----------- L'integrale è stato calcolato applicando direttamente la formula integrale di Cauchy, verificando che la funzione sia olomorfa e che il punto &lt;math&gt;(a=1)&lt;/math&gt; sia interno alla curva. Non sono stati utilizzati né il calcolo dei residui né lo sviluppo in potenze di &lt;math&gt;(z^n)&lt;/math&gt;. $$ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> hkqit3iid5y4rncnedkf23ekqrjjcqc 0 37845 287843 2026-10-10T04:23:12Z Lovepeacejoy404 41446 Creata pagina con "{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=50%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Calc''', programma opensource che gestisce fogli di calcolo in alternativa al software commerciale '''Excel'''. ==Bloccare righe e colonne== Quando un foglio di calcolo ha molte righe e colonne può essere utile per la visualizzazione del foglio, bloccare righe di intestazione in alto e/o colonne a sinistra del foglio. Selez..." 287843 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=50%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Calc''', programma opensource che gestisce fogli di calcolo in alternativa al software commerciale '''Excel'''. ==Bloccare righe e colonne== Quando un foglio di calcolo ha molte righe e colonne può essere utile per la visualizzazione del foglio, bloccare righe di intestazione in alto e/o colonne a sinistra del foglio. Selezionare la cella a destra delle colonne e al di sotto delle righe da bloccare e poi cliccare su Visualizza -->Blocca righe e colonne ==Maniglia di riempimento== Quando si seleziona una cella del foglio, l'angolo in basso a destra di essa è a forma di quadratino e prende il nome di maniglia di riempimento. Facendo doppio click su sulla maniglia o trascinandola verso il basso, nella colonna corrispondente verranno calcolati numeri, date, giorni della settimana, mesi, formule in base al contenuto della cella. ==Riferimenti assoluti== Quando si vuole utilizzare la maniglia di riempimento in una cella contenente una formula tra più celle e una di queste celle si vuole che non cambi nel riempimento bisogna inserire un riferimento assoluto alla cella, lasciando le altre celle in riferimento relativo. Un riferimento relativo ad una cella è ad esempio nella forma B3, assoluto è nella forma $B$3 . Quando in una formula si vuole inserire il riferimento assoluto a una cella, bisogna selezionarla e premere il tasto F4. ==Calcolo tra più fogli== Se in una cella si vuole inserire il riferimento relativo ad una cella di un altro foglio, bisogna digitare = nella cella e selezionare la cella dell'altro foglio. Se in una cella si vuole inserire il riferimento assoluto ad una cella di un altro foglio, bisogna digitare = nella cella , selezionare la cella dell'altro foglio e poi premere il tasto F4. ==Formattazione condizionale== Oltre al pulsante per clonare la formattazione di una cella, la formattazione condizionale consente di formattare una colonna numerica in base a dei valori. Ad esempio si può impostare la condizione: se la cella contiene un valore maggiore di 100 inserisci nella cella una freccia verso l'alto, se contiene un valore minore di 100 inserisci una freccia verso il basso ecc. Nelle celle possono essere inseriti oltre ad icone, anche gradienti o barre dati. Selezionare la colonna del foglio di calcolo e scegliere Formato -->Condizionale ==Filtri e ordinamento== Se si vogliono visualizzare solo determinate righe del foglio in base al valore in una o più colonne . Bisogna selezionare la tabella con CTRL-A e scegliere Dati -->Filtro automatico , in tal modo nelle celle delle intestazioni di colonna apparirà una freccia verso il basso. Cliccandola si potrà scegliere il valore in base a cui filtrare i dati. Per deselezionare il filtraggio bisogna cliccare nuovamente su Dati -->Filtro automatico. Se si vogliono ordinare i dati in base a una o più colonne, bisogna selezionare Dati -->Ordina e scegliere le colonne in base a cui fare l'ordinamento crescente o decrescente. ==Stampa== ==Intestazione del foglio e piè di pagina== ==Grafici== blbfb987u54gal2saoo23r3xdedcpyq 287872 287843 2026-10-10T09:10:47Z Lovepeacejoy404 41446 287872 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=75%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Calc''', programma opensource che gestisce fogli di calcolo in alternativa al software commerciale '''Excel'''. ==Bloccare righe e colonne== Quando un foglio di calcolo ha molte righe e colonne può essere utile per la visualizzazione del foglio, bloccare righe di intestazione in alto e/o colonne a sinistra del foglio. Selezionare la cella a destra delle colonne e al di sotto delle righe da bloccare e poi cliccare su Visualizza -->Blocca righe e colonne ==Maniglia di riempimento== Quando si seleziona una cella del foglio, l'angolo in basso a destra di essa è a forma di quadratino e prende il nome di maniglia di riempimento. Facendo doppio click su sulla maniglia o trascinandola verso il basso, nella colonna corrispondente verranno calcolati numeri, date, giorni della settimana, mesi, formule in base al contenuto della cella. ==Nascondere colonne e/o righe== Se un foglio ha molte colonne e si vuole visualizzare le prime n colonne e poi l'ultima colonna si possono nascondere le colonne intermedie, selezionandole e poi cliccando col tasto destro si sceglie "Nascondi colonne" , apparirà una linea nera per segnalare la presenza di colonne nascoste. Selezionando la linea nera e cliccando col destro si può scegliere "Mostra colonne" per fare riapparire le colonne. Stessa cosa può essere fatta per le righe. ==Riferimenti assoluti== Quando si vuole utilizzare la maniglia di riempimento in una cella contenente una formula tra più celle e una di queste celle si vuole che non cambi nel riempimento bisogna inserire un riferimento assoluto alla cella, lasciando le altre celle in riferimento relativo. Un riferimento relativo ad una cella è ad esempio nella forma B3, assoluto è nella forma $B$3 . Quando in una formula si vuole inserire il riferimento assoluto a una cella, bisogna selezionarla e premere il tasto F4. ==Calcolo tra più fogli== Se in una cella si vuole inserire il riferimento relativo ad una cella di un altro foglio, bisogna digitare = nella cella e selezionare la cella dell'altro foglio. Se in una cella si vuole inserire il riferimento assoluto ad una cella di un altro foglio, bisogna digitare = nella cella , selezionare la cella dell'altro foglio e poi premere il tasto F4. ==Formattazione condizionale== Oltre al pulsante per clonare la formattazione di una cella, la formattazione condizionale consente di formattare una colonna numerica in base a dei valori. Ad esempio si può impostare la condizione: se la cella contiene un valore maggiore di 100 inserisci nella cella una freccia verso l'alto, se contiene un valore minore di 100 inserisci una freccia verso il basso ecc. Nelle celle possono essere inseriti oltre ad icone, anche gradienti o barre dati. Selezionare la colonna del foglio di calcolo e scegliere Formato -->Condizionale ==Filtri e ordinamento== Se si vogliono visualizzare solo determinate righe del foglio in base al valore in una o più colonne . Bisogna selezionare la tabella con CTRL-A e scegliere Dati -->Filtro automatico , in tal modo nelle celle delle intestazioni di colonna apparirà una freccia verso il basso. Cliccandola si potrà scegliere il valore in base a cui filtrare i dati. Per deselezionare il filtraggio bisogna cliccare nuovamente su Dati -->Filtro automatico. Se si vogliono ordinare i dati in base a una o più colonne, bisogna selezionare Dati -->Ordina e scegliere le colonne in base a cui fare l'ordinamento crescente o decrescente. ==Stampa== Quando il foglio da stampare è molto grande conviene fare in modo che le colonne entrino tutte in una pagina o al massimo in 2, pertanto cliccando sul pulsante "Attiva anteprima di stampa" oppure selezionando File-->Anteprima di stampa, si clicca sul pulsante "Formatta pagina" e si sceglie orientazione orizzontale, poi di clicca sul pulsante Margini e si restringono il più possibile. Infine si agisce sullo slider "Scala" per scalare l'anteprima in modo da fare entrare tutte le colonne in 1, 2 pagine. Poi se ci sono molte righe può essere necessario ripetere nei fogli da stampare le righe di intestazione della tabella o alcune colonne, per cui selezionando Formato -->Aree di stampa --> Modifica si scelgono le righe e/o le colonne da ripetere nei fogli , oppure si può selezionare l'area da stampare del foglio. Infine se si ordina il foglio in base ad una colonna o si utilizza la formattazione condizionale per raggruppare le righe si possono inserire interruzioni di pagina per stampare in ogni pagina un raggruppamento, selezionando la cella al di sotto di un gruppo e poi cliccando su Foglio -->Inserisci interruzione di pagina . In tal modo ogni gruppo di righe verrà stampato assieme. ==Intestazione del foglio e piè di pagina== Nella stampa può essere utile inserire un'intestazione dove a sinistra si mette la data e a destra il numero di pagina seguito dal numero di pagine totali e un piè di pagina dove mettere ad esempio al centro il nome del foglio. Selezionare Inserisci --> Intestazione e piè di pagina ==Grafici== I grafici principali che conviene utilizzare sono la torta per le percentuali, le linee per le serie storiche e le barre per associare ad una serie di valori di testo, una serie di valori numerici. Sia per i grafici a torta che per le barre occorre quindi selezionare valori di testo a valori numerici associati, mentre per le linee occorre selezionare serie storiche. Se le celle da selezionare non sono contigue nel foglio, bisogna tenere premuto il tasto CTRL per sceglierle. Dopo avere selezionato le opportune celle nel foglio, scegliere Inserisci -->Grafico ==Intelligenza artificiale== Se si vuole completare o migliorare graficamente un foglio di calcolo, si può dare ad esempio a Claude di Antrophic e dopo 5 minuti lo si otterrà fatto! bb00iji146ib27egjkn5xess2vts1dd