Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 14 13385 287882 145596 2026-10-11T04:16:35Z Lovepeacejoy404 41446 287882 wikitext text/x-wiki {{Cat_Materia|Informatica}} afwjcryvagiho2jgl0e78kk4oxtarwk 2 32658 287874 287871 2026-10-10T16:28:36Z Funzioni di correlazione 24136 287874 wikitext text/x-wiki Ecco il codice in wikitext (il linguaggio di markup utilizzato da Wikipedia) pronto per essere copiato e incollato direttamente in una voce: ```wikitext Un esempio classico e fondamentale di integrale complesso lungo la circonferenza unitaria <math>C: |z| = 1</math> (percorsa in senso antiorario) è il calcolo di: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> == Esempio complementare: Polo esterno == Se integriamo una funzione i cui poli si trovano '''all'esterno''' della circonferenza <math>C: |z| = 1</math>, per il '''Teorema di Cauchy-Goursat''' l'integrale è nullo. Ad esempio, considera: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz</math> Il polo si trova in <math>z = 5</math>, che è esterno al cerchio <math>|z| = 1</math>. Poiché la funzione integranda è analitica ovunque all'interno e sul bordo di <math>C</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz = 0</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 2xqw8bzdiplgyt4yjwrxko49dqaebuh 287875 287874 2026-10-10T16:32:06Z Funzioni di correlazione 24136 287875 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso tramite parametrizzazione ```wikitext <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> == Esempio complementare: Polo esterno == Se integriamo una funzione i cui poli si trovano '''all'esterno''' della circonferenza <math>C: |z| = 1</math>, per il '''Teorema di Cauchy-Goursat''' l'integrale è nullo. Ad esempio, considera: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz</math> Il polo si trova in <math>z = 5</math>, che è esterno al cerchio <math>|z| = 1</math>. Poiché la funzione integranda è analitica ovunque all'interno e sul bordo di <math>C</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz = 0</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. q5ueakz8f94qpkb4mldmnoloa3mx533 287876 287875 2026-10-10T16:34:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287876 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso ''' ```wikitext <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> == Esempio complementare: Polo esterno == Se integriamo una funzione i cui poli si trovano '''all'esterno''' della circonferenza <math>C: |z| = 1</math>, per il '''Teorema di Cauchy-Goursat''' l'integrale è nullo. Ad esempio, considera: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz</math> Il polo si trova in <math>z = 5</math>, che è esterno al cerchio <math>|z| = 1</math>. Poiché la funzione integranda è analitica ovunque all'interno e sul bordo di <math>C</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz = 0</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. be2ml09dm75kt8i5oyziozlpv8tybwh 287877 287876 2026-10-10T16:35:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287877 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> == Esempio complementare: Polo esterno == Se integriamo una funzione i cui poli si trovano '''all'esterno''' della circonferenza <math>C: |z| = 1</math>, per il '''Teorema di Cauchy-Goursat''' l'integrale è nullo. Ad esempio, considera: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz</math> Il polo si trova in <math>z = 5</math>, che è esterno al cerchio <math>|z| = 1</math>. Poiché la funzione integranda è analitica ovunque all'interno e sul bordo di <math>C</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz = 0</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. s2nfcg7o01ru91hftqeqcpk2iqb4op8 287878 287877 2026-10-10T16:37:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287878 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> == Esempio complementare: Polo esterno == Se integriamo una funzione i cui poli si trovano '''all'esterno''' della circonferenza <math>C: |z| = 1</math>, per il '''Teorema di Cauchy-Goursat''' l'integrale è nullo. Ad esempio, considera: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz</math> Il polo si trova in <math>z = 5</math>, che è esterno al cerchio <math>|z| = 1</math>. Poiché la funzione integranda è analitica ovunque all'interno e sul bordo di <math>C</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 5} \, dz = 0</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 8c7daz0yq4qoyggunkgzxpoeqxhqjpd 287879 287878 2026-10-10T16:38:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio complementare: Polo esterno */ 287879 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 1aiyu77wz4n7j0vshusrymgbv80r24d 287880 287879 2026-10-10T16:40:30Z Funzioni di correlazione 24136 287880 wikitext text/x-wiki ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso (circonferenza) tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ``` C CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC ```wikitext ==3° Esercizio== Calcolo di un integrale nel campo complesso tramite parametrizzazione Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, diverso da quelli con , con tutti i passaggi dello sviluppo. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, usando i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica e senza ambienti `boxed`. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si vuole calcolare il seguente integrale complesso mediante il teorema dei residui: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz </math> dove il cammino di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2, percorsa in senso antiorario. === 1. Scomposizione del denominatore === Il denominatore si può scomporre nel campo complesso nel seguente modo: <math> z^2+1=(z-i)(z+i) </math> Pertanto, la funzione integranda è: <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> I punti singolari della funzione sono: <math> z_1=i,\qquad z_2=-i </math> Entrambi i punti si trovano all'interno della circonferenza, poiché: <math> |i|=1<2 </math> e <math> |-i|=1<2 </math> === 2. Calcolo dei residui === Poiché i punti singolari sono poli semplici, il residuo in un polo si calcola mediante il limite: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> Calcoliamo il residuo nel punto <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune, si ottiene: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} </math> Sostituendo <math>z=i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,i)=\frac{1}{2i} </math> Calcoliamo ora il residuo nel punto <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} </math> Semplificando il fattore comune: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{1}{z-i} </math> Sostituendo <math>z=-i</math>: <math> \operatorname{Res}(f,-i)=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i} </math> === 3. Applicazione del teorema dei residui === Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è meromorfa all'interno e sul contorno di una curva chiusa semplice e non presenta poli sul contorno, allora il suo integrale lungo il contorno è uguale a <math>2\pi i</math> moltiplicato per la somma dei residui dei poli interni. Nel caso considerato: <math> \oint_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\left\(\\operatorname{Res}(f,i)+\\operatorname{Res}(f,-i)\\right\) </math> Sostituendo i residui calcolati: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\right) </math> La somma dei residui è nulla: <math> \frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}=0 </math> Di conseguenza: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=2\pi i\cdot 0=0 </math> === 4. Risultato finale === Il valore dell'integrale complesso è: <math> \oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0 </math> Il risultato si ottiene perché i due poli semplici interni alla circonferenza hanno residui opposti, la cui somma è nulla. '''Calcola integrale in campo complesso C della funzione coniugata di z per z = x+jy Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, con sviluppo dettagliato, senza usare potenze del tipo znz^nzn, senza serie e senza teorema dei residui. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Scrittura == Esempio di integrale nel campo complesso == Si consideri il seguente integrale di linea nel campo complesso: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario, definita da: <math>\gamma(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi.</math> === Sviluppo del calcolo === Per calcolare l'integrale si utilizza la parametrizzazione della circonferenza unitaria. Dalla definizione esponenziale si ha: <math>z(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t.</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}.</math> Pertanto il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt.</math> Sostituendo la parametrizzazione nell'integrale iniziale, si ricava: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it},dt.</math> Poiché il prodotto tra <math>e^{-it}</math> ed <math>e^{it}</math> è uguale a <math>1</math>, l'espressione si semplifica: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=i\int_0^{2\pi}1,dt.</math> L'integrale rispetto al parametro reale è immediato: <math>\displaystyle i\int_0^{2\pi}1,dt=i\(t\)_0^{2\pi}.</math> Applicando gli estremi di integrazione, si ottiene: <math>i(2\pi-0)=2\pi i.</math> === Risultato === Il valore dell'integrale di linea lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è: <math>\displaystyle \int_\gamma \frac{1}{z},dz=2\pi i.</math> L'esempio mostra come un integrale complesso possa essere calcolato mediante una parametrizzazione della curva e la successiva riduzione a un integrale reale definito, senza ricorrere allo sviluppo in serie o al teorema dei residui. VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV IA risponde: Consideriamo l'integrale: <math>\int_C \bar{z} \, dz</math> dove <math>C</math> è la semicirconferenza superiore del cerchio unitario, percorsa in senso antiorario dal punto <math>z = 1</math> al punto <math>z = -1</math>. === 1. Parametrizzazione della curva === La curva <math>C</math> può essere parametrizzata in coordinate polari introducendo il parametro reale <math>t</math> nell'intervallo <math>[0, \pi]</math>: <math>z(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t</math> con <math>t \in [0, \pi]</math>. Il coniugato complesso lungo la curva sarà: <math>\bar{z}(t) = e^{-it} = \cos t - i \sin t</math> === 2. Calcolo del differenziale === Derivando la funzione di parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, otteniamo il differenziale <math>dz</math>: <math>dz = \frac{d}{dt}(e^{it}) dt = i e^{it} dt</math> === 3. Sostituzione nell'integrale === Sostituiamo l'espressione di <math>\bar{z}</math> e il differenziale <math>dz</math> all'interno dell'integrale di linea: <math>\int_C \bar{z} \, dz = \int_0^\pi e^{-it} \cdot (i e^{it}) dt</math> Semplificando il prodotto degli esponenziali (poiché <math>e^{-it} \cdot e^{it} = e^0 = 1</math>): <math>\int_0^\pi i \cdot 1 \, dt = i \int_0^\pi 1 \, dt</math> === 4. Risoluzione dell'integrale === Calcoliamo l'integrale definito elementare rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math>i \int_0^\pi 1 \, dt = i [t]_0^\pi = i (\pi - 0) = i\pi</math> === Risultato Finale === <math>\int_C \bar{z} \, dz = i\pi</math> ``` ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. tt10mizy52onh1da857vdrzblsbq1j4 287884 287880 2026-10-11T06:34:57Z Funzioni di correlazione 24136 287884 wikitext text/x-wiki Ecco il documento completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Il risultato dell'integrale è zero, perché la singolarità della funzione si trova in z=−2z=-2z=−2, che è esterna al cerchio unitario. Scrittura == Calcolo dell'integrale curvilineo in campo complesso == Si consideri la funzione complessa: <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> Si vuole calcolare l'integrale curvilineo lungo la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. === 1. Definizione del percorso di integrazione === La circonferenza unitaria è definita da: <math>C={z\in\mathbb{C}:|z|=1}</math> Una parametrizzazione del percorso è: <math>z(t)=e^{it},\qquad t\in\(0,2\\pi\)</math> Equivalentemente: <math>z(t)=\cos t+i\sin t</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Pertanto, il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> === 2. Scrittura dell'integrale mediante parametrizzazione === L'integrale da calcolare è: <math>I=\oint_C\frac{1}{z+2},dz</math> Sostituendo la parametrizzazione <math>z=e^{it}</math> e il differenziale <math>dz=ie^{it},dt</math>, si ottiene: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}+2},dt</math> === 3. Analisi delle singolarità === La funzione presenta una singolarità quando il denominatore è nullo: <math>z+2=0</math> Da cui: <math>z=-2</math> Il modulo di tale punto è: <math>|-2|=2</math> Poiché il raggio della circonferenza è unitario, vale: <math>|-2|=2>1</math> La singolarità si trova quindi all'esterno del percorso di integrazione. Di conseguenza, la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un aperto contenente il disco chiuso unitario: <math>{z\in\mathbb{C}:|z|\leq 1}</math> === 4. Applicazione del teorema integrale di Cauchy === Il teorema integrale di Cauchy afferma che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa, contenuta nel suo dominio di olomorfia e contraibile al suo interno, è nullo. Poiché <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> è olomorfa in un aperto contenente il disco unitario, si può applicare il teorema di Cauchy: <math>\oint_C f(z),dz=0</math> Sostituendo l'espressione della funzione, si conclude che: <math>\boxed{\oint_C\frac{1}{z+2},dz=0}</math> === 5. Verifica mediante il teorema dei residui === Il teorema dei residui fornisce un'ulteriore verifica del risultato. Esso stabilisce che: <math>\oint_C f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità isolate contenute all'interno della curva <math>C</math>. Nel caso in esame, l'unica singolarità è: <math>z=-2</math> Tale punto è esterno alla circonferenza unitaria e non contribuisce alla somma dei residui interni. La somma è quindi vuota e vale zero: <math>\sum_{|z_k|<1}\operatorname{Res}(f,z_k)=0</math> Pertanto: <math>\oint_C\frac{1}{z+2},dz=2\pi i\cdot 0=0</math> === Risultato finale === L'integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> lungo la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario, è: <math>\boxed{I=0}</math> ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. 2aak3og5zrd561k416vc2vr4486pagl 287885 287884 2026-10-11T06:37:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1. Definizione del percorso di integrazione */ 287885 wikitext text/x-wiki Ecco il documento completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Il risultato dell'integrale è zero, perché la singolarità della funzione si trova in z=−2z=-2z=−2, che è esterna al cerchio unitario. Scrittura == Calcolo dell'integrale curvilineo in campo complesso == Si consideri la funzione complessa: <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> Si vuole calcolare l'integrale curvilineo lungo la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. === 1. Definizione del percorso di integrazione === La circonferenza unitaria è definita da: <math>C={z\in\mathbb{C}:|z|=1}</math> Una parametrizzazione del percorso è: <math>z(t)=e^{it},\qquad t\in\(0,2\pi\)</math> Equivalentemente: <math>z(t)=\cos t+i\sin t</math> Derivando rispetto al parametro <math>t</math>, si ottiene: <math>z'(t)=ie^{it}</math> Pertanto, il differenziale complesso è: <math>dz=ie^{it},dt</math> === 2. Scrittura dell'integrale mediante parametrizzazione === L'integrale da calcolare è: <math>I=\oint_C\frac{1}{z+2},dz</math> Sostituendo la parametrizzazione <math>z=e^{it}</math> e il differenziale <math>dz=ie^{it},dt</math>, si ottiene: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}+2},dt</math> === 3. Analisi delle singolarità === La funzione presenta una singolarità quando il denominatore è nullo: <math>z+2=0</math> Da cui: <math>z=-2</math> Il modulo di tale punto è: <math>|-2|=2</math> Poiché il raggio della circonferenza è unitario, vale: <math>|-2|=2>1</math> La singolarità si trova quindi all'esterno del percorso di integrazione. Di conseguenza, la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un aperto contenente il disco chiuso unitario: <math>{z\in\mathbb{C}:|z|\leq 1}</math> === 4. Applicazione del teorema integrale di Cauchy === Il teorema integrale di Cauchy afferma che l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa, contenuta nel suo dominio di olomorfia e contraibile al suo interno, è nullo. Poiché <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> è olomorfa in un aperto contenente il disco unitario, si può applicare il teorema di Cauchy: <math>\oint_C f(z),dz=0</math> Sostituendo l'espressione della funzione, si conclude che: <math>\boxed{\oint_C\frac{1}{z+2},dz=0}</math> === 5. Verifica mediante il teorema dei residui === Il teorema dei residui fornisce un'ulteriore verifica del risultato. Esso stabilisce che: <math>\oint_C f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità isolate contenute all'interno della curva <math>C</math>. Nel caso in esame, l'unica singolarità è: <math>z=-2</math> Tale punto è esterno alla circonferenza unitaria e non contribuisce alla somma dei residui interni. La somma è quindi vuota e vale zero: <math>\sum_{|z_k|<1}\operatorname{Res}(f,z_k)=0</math> Pertanto: <math>\oint_C\frac{1}{z+2},dz=2\pi i\cdot 0=0</math> === Risultato finale === L'integrale curvilineo della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z+2}</math> lungo la circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario, è: <math>\boxed{I=0}</math> ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato # Esempio di integrale nel campo complesso con svolgimento dettagliato Consideriamo il seguente integrale complesso, semplice ma interessante, da calcolare mediante il teorema dei residui non è necessario in questo caso, perché possiamo utilizzare direttamente una primitiva. Calcolare l'integrale <math>\displaystyle I=\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+1},dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento orientato che va da <math>z=0</math> a <math>z=1</math> lungo l'asse reale. ## 1. Individuazione dei poli Il denominatore si fattorizza nel modo seguente: <math>z^2+1=(z-i)(z+i)</math> Pertanto, la funzione integranda è <math>f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}</math> I punti singolari sono <math>z=i,\qquad z=-i</math> Entrambi sono poli semplici. Tuttavia, nessuno dei due appartiene al segmento <math>\gamma</math>, che è contenuto nell'asse reale tra <math>0</math> e <math>1</math>. La funzione è quindi olomorfa lungo tutto il cammino di integrazione. ## 2. Parametrizzazione del cammino Poiché il cammino coincide con il segmento reale da <math>0</math> a <math>1</math>, possiamo porre <math>z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq 1</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, otteniamo <math>z'(t)=1</math> Di conseguenza, <math>dz=dt</math> Sostituendo nella definizione dell'integrale curvilineo, si ottiene <math>\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{t^2+1},dt</math> ## 3. Calcolo dell'integrale Ricordiamo la formula della primitiva <math>\displaystyle \int\frac{1}{1+t^2},dt=\arctan(t)+C </math> ==Applicando la formula agli estremi di integrazione, troviamo == <math> \I=\left\(\arctan(t)\right\)_0^1</math> <math>I=\left[\arctan(t)\right\]_0^1</math> Calcoliamo separatamente i due valori: <math>\displaystyle \arctan(1)=\frac{\pi}{4}</math> <math>\displaystyle \arctan(0)=0</math> Pertanto, <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}-0</math> ## 4. Risultato finale Il valore dell'integrale complesso lungo il segmento orientato da <math>0</math> a <math>1</math> è <math>\displaystyle I=\frac{\pi}{4}</math> Il risultato è reale perché il cammino di integrazione è contenuto nell'asse reale e la funzione integranda assume valori reali lungo tale cammino. L'esempio mostra come un integrale nel campo complesso possa essere calcolato mediante parametrizzazione e integrazione reale, senza utilizzare serie di potenze né il teorema dei residui. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv Ecco un esempio semplice di integrale nel campo complesso, risolto con lo sviluppo in serie di Taylor, senza usare il teorema dei residui e senza potenze del tipo znz^nzn come integrando. Il testo è in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per le espressioni matematiche. Scrittura = Esempio di integrale nel campo complesso mediante sviluppo in serie = Si consideri il seguente integrale curvilineo nel campo complesso: <math>I=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è la circonferenza di centro <math>0</math> e raggio <math>1</math>, percorsa in senso antiorario. == 1. Parametrizzazione della curva == La circonferenza può essere parametrizzata nel seguente modo: <math>z(t)=e^{it},\qquad 0\leq t\leq 2\pi</math> Derivando rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>dz=ie^{it},dt</math> Sostituendo nell'integrale, si ha: <math>I=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}-2},dt</math> == 2. Sviluppo in serie geometrica == Si riscrive il denominatore raccogliendo il fattore costante: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}</math> Poiché sulla curva vale <math>|z|=1</math>, si ha: <math>\left|\frac{z}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> È quindi possibile utilizzare lo sviluppo in serie geometrica: <math>\frac{1}{1-w}=\sum_{k=0}^{\infty}w^k,\qquad |w|<1</math> Ponendo <math>w=\frac{z}{2}</math>, si ottiene: <math>\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^k</math> Pertanto: <math>\frac{1}{z-2}=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{2^{k+1}}</math> La serie converge uniformemente sulla circonferenza considerata, perché il rapporto della serie geometrica in valore assoluto è costante e minore di uno. È dunque possibile integrare termine a termine. == 3. Integrazione termine a termine == Sostituendo lo sviluppo nell'integrale, si ottiene: <math>I=-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Per ogni intero <math>k\geq 0</math>, si considera l'integrale: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz</math> Utilizzando la parametrizzazione della circonferenza, si ha: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\int_0^{2\pi}e^{ikt}ie^{it},dt</math> Quindi: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=i\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)t},dt</math> Integrando, si ottiene: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=\left\(\\frac{e^{i(k+1)t}}{k+1}\\right\)_0^{2\pi}</math> Poiché <math>e^{i(k+1)2\pi}=1</math>, risulta: <math>\oint_{\gamma}z^k,dz=0</math> Di conseguenza, tutti i termini della serie integrata sono nulli e si conclude che: <math>I=0</math> == 4. Risultato finale == L'integrale della funzione <math>f(z)=\frac{1}{z-2}</math> lungo la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario è quindi: <math>\oint_{\gamma}\frac{1}{z-2},dz=0</math> Il risultato è stato ottenuto mediante parametrizzazione della curva e sviluppo in serie geometrica, senza ricorrere al teorema dei residui. ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIntegrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato # Integrale in campo complesso – Svolgimento completo con sviluppo dettagliato ## 1. Testo dell’esercizio Calcolare, mediante il teorema dei residui, il seguente integrale lungo la circonferenza unitaria orientata positivamente: <math>\displaystyle I=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz</math> Sviluppare tutti i passaggi del calcolo, individuando i poli, determinando i residui e applicando il teorema dei residui. ## 2. Individuazione dei poli La funzione integranda è: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> I poli si ottengono annullando il denominatore: <math>\displaystyle z(z-2)^2=0</math> Pertanto: <math>\displaystyle z=0,\qquad z=2</math> Il punto <math>z=0</math> è un polo semplice, poiché il fattore <math>z</math> compare alla prima potenza e <math>(z-2)^2\neq 0</math> in <math>z=0</math>. Il punto <math>z=2</math> è un polo doppio, poiché il fattore <math>(z-2)^2</math> compare alla seconda potenza. ## 3. Individuazione dei poli interni al percorso Il percorso di integrazione è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle |z|=1</math> Il polo <math>z=0</math> è interno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |0|=0<1</math> Il polo <math>z=2</math> è esterno alla circonferenza, perché: <math>\displaystyle |2|=2>1</math> Quindi, all’interno del percorso di integrazione è presente soltanto il polo semplice <math>z=0</math>. ## 4. Calcolo del residuo nel polo semplice Per un polo semplice <math>z_0</math>, il residuo si calcola mediante la formula: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math> Nel nostro caso, il polo semplice è <math>z_0=0</math>. Pertanto: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}z\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Semplificando il fattore <math>z</math> al numeratore con quello al denominatore, otteniamo: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{(z-2)^2}</math> La funzione risultante è continua in <math>z=0</math>, quindi possiamo sostituire direttamente il valore: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle e^0=1</math> e: <math>\displaystyle (0-2)^2=(-2)^2=4</math> si ottiene: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> ## 5. Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che, se una funzione è olomorfa lungo il percorso chiuso e presenta al suo interno un numero finito di singolarità isolate, allora: <math>\displaystyle \oint_{\gamma}f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> Nel nostro esercizio, il percorso è la circonferenza unitaria: <math>\displaystyle \gamma:\ |z|=1</math> L’unico polo interno è <math>z=0</math>. Pertanto, la somma dei residui interni è: <math>\displaystyle \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)=\operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui: <math>\displaystyle I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)</math> Sostituendo il residuo calcolato: <math>\displaystyle I=2\pi i\cdot\frac14</math> Semplificando: <math>\displaystyle I=\frac{2\pi i}{4}</math> Otteniamo quindi: <math>\displaystyle I=\frac{\pi i}{2}</math> ## 6. Verifica dello sviluppo in serie di Laurent Per verificare il risultato, possiamo sviluppare la funzione integranda in serie di Laurent attorno a <math>z=0</math>. Partiamo da: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)^2}</math> Poiché: <math>\displaystyle (z-2)^2=4\left(1-\frac z2\right)^2</math> possiamo riscrivere la funzione come: <math>\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{4z}\left(1-\frac z2\right)^{-2}</math> Utilizziamo lo sviluppo noto: <math>\displaystyle (1-w)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)w^n,\qquad |w|<1</math> Ponendo: <math>\displaystyle w=\frac z2</math> otteniamo: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\frac{z^n}{2^n}</math> I primi termini dello sviluppo sono: <math>\displaystyle \left(1-\frac z2\right)^{-2}=1+z+\frac34z^2+\frac12z^3+\cdots</math> Sappiamo inoltre che lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale è: <math>\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> Quindi: <math>\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots</math> Sostituendo entrambi gli sviluppi nella funzione integranda: <math>\displaystyle f(z)=\frac{1}{4z}\left(1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots\right)\left(1+z+\frac34z^2+\cdots\right)</math> Per trovare il residuo è sufficiente individuare il coefficiente del termine <math>z^{-1}</math>. Il termine costante del prodotto tra parentesi è: <math>\displaystyle 1\cdot 1=1</math> Di conseguenza, dopo aver moltiplicato per <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math>, il termine di grado <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \frac{1}{4z}</math> Pertanto, il coefficiente di <math>z^{-1}</math> è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Il risultato coincide con quello ottenuto mediante la formula del residuo per un polo semplice. ## 7. Risultato finale Il residuo dell’unico polo interno alla circonferenza unitaria è: <math>\displaystyle \operatorname{Res}(f,0)=\frac14</math> Applicando il teorema dei residui, si conclude che l’integrale richiesto vale: <math>\displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z-2)^2},dz=\frac{\pi i}{2}</math> Il procedimento è completo: individuazione dei poli, verifica della loro posizione rispetto al percorso, calcolo del residuo, applicazione del teorema dei residui e verifica mediante lo sviluppo in serie di Laurent. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} 1. INTRODUZIONE L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. 3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. 4. ESEMPIO: INTEGRALE LUNGO UN SEGMENTO Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. ortiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. sopra gia fatta xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE COMPLESSA SEPARANDO PARTE REALE E IMMAGINARIA Supponiamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e <math>z=x+iy</math>. Poiché <math>dz=dx+i,dy</math> abbiamo <math>f(z),dz=(u+iv)(dx+i,dy)</math>. Sviluppiamo il prodotto: <math>(u+iv)(dx+i,dy)=u,dx+iu,dy+iv,dx+i^2v,dy</math>. Poiché <math>i^2=-1</math> si ottiene <math>f(z),dz=(u,dx-v,dy)+i(v,dx+u,dy)</math>. Pertanto # <math>\int_\gamma f(z),dz \int_\gamma(u,dx-v,dy) + i\int_\gamma(v,dx+u,dy)</math>. Questa formula mostra che l'integrale complesso può essere ricondotto a due integrali di linea reali. 6. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA Una funzione <math>F(z)</math> si chiama primitiva di <math>f(z)</math> in un dominio se <math>F'(z)=f(z)</math>. In questo caso l'integrale lungo una curva dipende soltanto dagli estremi. Se <math>\gamma(a)=z_0</math> e <math>\gamma(b)=z_1</math> allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Questo è l'analogo complesso del teorema fondamentale del calcolo. 7. ESEMPIO CON UNA PRIMITIVA Calcoliamo <math>\int_\gamma 3z^2,dz</math> dove la curva va da <math>z_0=1</math> a <math>z_1=2+i</math>. Cerchiamo una primitiva. Poiché <math>\frac{d}{dz}(z^3)=3z^2</math> abbiamo <math>F(z)=z^3</math>. Pertanto <math>\int_\gamma3z^2,dz=F(2+i)-F(1)</math>. Quindi <math>=(2+i)^3-1</math>. Calcoliamo il cubo: <math>(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i</math>. Moltiplichiamo ancora per <math>2+i</math>: <math>(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i^2</math>. Poiché <math>i^2=-1</math>: <math>=6+11i-4</math> e quindi <math>=2+11i</math>. Infine <math>\int_\gamma3z^2,dz=(2+11i)-1=1+11i</math>. 8. INDIPENDENZA DAL CAMMINO Se <math>f</math> possiede una primitiva <math>F</math> in un dominio, allora <math>\int_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)</math>. Il risultato non dipende dalla forma della curva, ma soltanto dagli estremi. Quindi, se due curve <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> hanno gli stessi estremi, # <math>\int_{\gamma_1}f(z),dz \int_{\gamma_2}f(z),dz</math>. Una conseguenza importante è che per ogni curva chiusa <math>\gamma</math> si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math> quando <math>f</math> possiede una primitiva nel dominio considerato. 9. FUNZIONI OLOMORFE Una funzione <math>f(z)</math> si dice olomorfa in un aperto se è derivabile rispetto alla variabile complessa in ogni punto dell'aperto. La derivabilità complessa è una condizione molto più forte della semplice derivabilità rispetto alle variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. Scriviamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Se le derivate parziali sono sufficientemente regolari, la condizione fondamentale è costituita dalle equazioni di Cauchy-Riemann: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Queste equazioni sono necessarie per la derivabilità complessa e, sotto opportune ipotesi di regolarità, anche sufficienti. 10. TEOREMA DI CAUCHY Uno dei risultati fondamentali dell'analisi complessa è il teorema integrale di Cauchy. Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso e <math>\gamma</math> è una curva chiusa contenuta nel dominio, allora <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. In altre parole, se non sono presenti singolarità all'interno della curva, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo. 11. ESEMPIO DEL TEOREMA DI CAUCHY Consideriamo <math>f(z)=z^2+3z+1</math>. Questa funzione è un polinomio e quindi è olomorfa in tutto il piano complesso. Se <math>\gamma</math> è una qualsiasi curva chiusa, <math>\oint_\gamma(z^2+3z+1),dz=0</math>. Infatti una primitiva è <math>F(z)=\frac{z^3}{3}+\frac{3z^2}{2}+z</math>. Essendo la curva chiusa, il punto iniziale e quello finale coincidono: <math>z_0=z_1</math>. Quindi <math>\oint_\gamma f(z),dz=F(z_1)-F(z_0)=0</math>. 12. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY La formula integrale di Cauchy permette di calcolare integrali molto importanti. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva chiusa <math>\gamma</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Moltiplicando entrambi i membri per <math>2\pi i</math> otteniamo <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz=2\pi i,f(z_0)</math>. Questa formula è uno degli strumenti principali per il calcolo degli integrali complessi. 13. ESEMPIO DELLA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>z_0=2</math> al suo interno. Confrontiamo l'integrale con la forma <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=z^2+1</math> e <math>z_0=2</math>. La funzione <math>f(z)=z^2+1</math> è olomorfa ovunque. Possiamo quindi applicare Cauchy: # <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz 2\pi i,f(2)</math>. Calcoliamo <math>f(2)=2^2+1=5</math>. Pertanto <math>\oint_\gamma\frac{z^2+1}{z-2},dz=10\pi i</math>. 14. FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY PER LE DERIVATE La formula può essere generalizzata. Se <math>f</math> è olomorfa dentro e sulla curva <math>\gamma</math>, allora <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Di conseguenza # <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)</math>. Questa formula permette di calcolare integrali con potenze più alte del denominatore. 15. ESEMPIO CON LA DERIVATA Calcoliamo <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz</math> supponendo che <math>1</math> sia interno a <math>\gamma</math> e che <math>\gamma</math> sia orientata positivamente. Confrontiamo con <math>\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Abbiamo <math>f(z)=e^z</math> e <math>z_0=1</math>. Il denominatore è <math>(z-1)^3</math>. Pertanto <math>n+1=3</math> e quindi <math>n=2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2!}f''(1)</math>. Poiché <math>f(z)=e^z</math> abbiamo <math>f''(z)=e^z</math>. Quindi <math>f''(1)=e</math>. Pertanto # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz \frac{2\pi i}{2}e</math> e dunque <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{(z-1)^3},dz=\pi i e</math>. 16. SINGOLARITÀ Una funzione può non essere olomorfa in alcuni punti. Consideriamo ad esempio <math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>. La funzione non è definita nel punto <math>z=z_0</math>. Il punto <math>z_0</math> è una singolarità isolata. Le principali singolarità isolate sono: 1. Singolarità eliminabile. 2. Polo. 3. Singolarità essenziale. 4. RESIDUO Supponiamo che <math>f</math> abbia uno sviluppo di Laurent intorno a <math>z_0</math>: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. Il residuo di <math>f</math> in <math>z_0</math> è il coefficiente del termine con potenza <math>-1</math>: <math>\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}</math>. Il residuo è fondamentale perché permette di calcolare rapidamente integrali lungo curve chiuse. 18. TEOREMA DEI RESIDUI Se <math>f</math> è olomorfa tranne che in un numero finito di singolarità isolate <math>z_1,\ldots,z_n</math> all'interno della curva chiusa <math>\gamma</math>, orientata positivamente, allora # <math>\oint_\gamma f(z),dz 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}(f,z_k)</math>. Questa formula costituisce uno dei metodi più potenti per il calcolo degli integrali complessi. 19. CALCOLO DEL RESIDUO DI UN POLO SEMPLICE Supponiamo che <math>z_0</math> sia un polo semplice di <math>f</math>. Il residuo si calcola mediante # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. Questo procedimento è particolarmente importante negli esercizi. 20. ESEMPIO DI RESIDUO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{z-2}</math>. Il punto <math>z_0=2</math> è un polo semplice. Calcoliamo il residuo: # <math>\operatorname{Res}(f,2) \lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^z}{z-2}</math>. Semplificando: <math>=\lim_{z\to2}e^z</math>. Quindi <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. 21. CALCOLO DELL'INTEGRALE CON IL TEOREMA DEI RESIDUI Supponiamo che <math>\gamma</math> sia una curva chiusa orientata positivamente che contiene <math>2</math>. Vogliamo calcolare <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz</math>. L'unica singolarità interna è <math>z=2</math>. Abbiamo già calcolato <math>\operatorname{Res}(f,2)=e^2</math>. Applicando il teorema dei residui: # <math>\oint_\gamma\frac{e^z}{z-2},dz 2\pi i,e^2</math>. 22. POLO DI ORDINE n Se <math>z_0</math> è un polo di ordine <math>m</math>, il residuo può essere calcolato tramite # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]</math>. Questa formula generalizza il caso del polo semplice. Per <math>m=1</math> otteniamo infatti # <math>\operatorname{Res}(f,z_0) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>. 23. ESEMPIO DI POLO DOPPIO Consideriamo <math>f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2}</math>. Il punto <math>z_0=1</math> è un polo di ordine <math>2</math>. Applichiamo la formula: # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1} \frac{d}{dz} \left[(z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}\right]</math>. Semplifichiamo: <math> (z-1)^2\frac{e^z}{(z-1)^2}=e^z </math>. Quindi # <math>\operatorname{Res}(f,1) \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}e^z</math>. Poiché <math>\frac{d}{dz}e^z=e^z</math> abbiamo <math>\operatorname{Res}(f,1)=e</math>. 24. CURVE ORIENTATE POSITIVAMENTE L'orientamento della curva è importante. Una curva chiusa nel piano complesso è orientata positivamente quando il suo interno rimane alla sinistra mentre percorriamo la curva. Per una circonferenza centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, l'orientamento positivo è quello antiorario. Una parametrizzazione tipica è <math>z(t)=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Derivando: <math>z'(t)=iRe^{it}</math>. Quindi <math>dz=iRe^{it},dt</math>. 25. ESEMPIO: INTEGRALE SU UNA CIRCONFERENZA Calcoliamo <math>\oint_{|z|=R}\frac{1}{z},dz</math>. Parametrizziamo la circonferenza: <math>z=Re^{it}</math> con <math>0\leq t\leq2\pi</math>. Abbiamo <math>dz=iRe^{it},dt</math>. Inoltre <math>\frac{1}{z}=\frac{1}{Re^{it}}</math>. Sostituendo: <math> \oint_{|z|=R}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{Re^{it}} iRe^{it}\,dt </math>. Semplificando: <math> = \int_0^{2\pi}i\,dt </math>. Pertanto <math> =i[t]_0^{2\pi} </math> e quindi <math> =2\pi i </math>. 26. PERCHÉ L'INTEGRALE DI 1/z NON È ZERO? La funzione <math>f(z)=\frac1z</math> è olomorfa in <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math>. Tuttavia la curva <math>|z|=R</math> circonda la singolarità <math>z=0</math>. Quindi non possiamo applicare il teorema di Cauchy come se la funzione fosse olomorfa anche all'interno della curva. Infatti <math>\operatorname{Res}\left(\frac1z,0\right)=1</math>. Il teorema dei residui dà quindi <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz = 2\pi i\cdot1 </math> e dunque <math> \oint_{|z|=R}\frac1z\,dz=2\pi i </math>. 27. FORMULA GENERALE PER LE FUNZIONI RAZIONALI Consideriamo una funzione razionale <math>f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> dove <math>P</math> e <math>Q</math> sono polinomi. Le singolarità si trovano risolvendo <math>Q(z)=0</math>. Una volta individuate le singolarità interne alla curva, possiamo: 1. Individuare i poli. 2. Calcolare i residui. 3. Sommare i residui. 4. Moltiplicare la somma per <math>2\pi i</math>. In formula: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k\text{ interno}} \operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 28. PROCEDURA GENERALE PER RISOLVERE UN INTEGRALE COMPLESSO Dato un integrale <math>\oint_\gamma f(z),dz</math> il percorso logico da seguire è il seguente. PASSO 1: ANALIZZARE LA FUNZIONE Studiare <math>f(z)</math> e determinare dove è olomorfa e dove presenta singolarità. PASSO 2: TROVARE LE SINGOLARITÀ Risolvere le condizioni che annullano il denominatore oppure individuare i punti problematici della funzione. PASSO 3: CONTROLLARE QUALI SINGOLARITÀ SONO INTERNE ALLA CURVA Bisogna stabilire quali punti <math>z_k</math> sono contenuti all'interno di <math>\gamma</math>. PASSO 4: SCEGLIERE IL METODO Se la funzione è olomorfa all'interno della curva: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 </math>. Se l'integrale ha la forma della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0) </math>. Se sono presenti più singolarità, spesso conviene usare il teorema dei residui: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. PASSO 5: CALCOLARE I RESIDUI Per un polo semplice: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math>. Per un polo di ordine <math>m</math>: <math> \operatorname{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)] </math>. PASSO 6: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k) </math>. 29. ESEMPIO COMPLETO Calcoliamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz </math>. PASSO 1: TROVARE LE SINGOLARITÀ Il denominatore è <math> z(z-1) </math>. Quindi le singolarità sono <math> z=0 </math> e <math> z=1 </math>. Entrambe sono interne alla circonferenza <math> |z|=2 </math>. PASSO 2: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=0</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z\to0} z\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-1} </math>. Sostituendo <math>z=0</math>: <math> \operatorname{Res}(f,0) = \frac{1}{-1} =-1 </math>. PASSO 3: CALCOLARE IL RESIDUO IN <math>z=1</math> Abbiamo <math> \operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z\to1} (z-1)\frac{z+1}{z(z-1)} </math>. Semplificando: <math> = \lim_{z\to1}\frac{z+1}{z} </math>. Sostituendo <math>z=1</math>: <math> \operatorname{Res}(f,1)=2 </math>. PASSO 4: SOMMARE I RESIDUI La somma è <math> -1+2=1 </math>. PASSO 5: APPLICARE IL TEOREMA DEI RESIDUI Abbiamo <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(1) </math>. Quindi <math> \oint_{|z|=2} \frac{z+1}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i </math>. 30. DIFFERENZA TRA INTEGRALE REALE E COMPLESSO Nel calcolo reale abbiamo tipicamente <math> \int_a^b f(x)\,dx </math>. L'intervallo di integrazione è un segmento della retta reale. Nel caso complesso abbiamo invece <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>. Il dominio di integrazione è una curva nel piano complesso. Nel caso reale la variabile percorre <math> x\in[a,b] </math>. Nel caso complesso la variabile percorre <math> z=\gamma(t) </math> con <math> t\in[a,b]. </math> La formula generale diventa <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> 31. IDEA FONDAMENTALE DA RICORDARE L'idea centrale dell'integrazione complessa può essere riassunta così: Una curva <math> z=\gamma(t) </math> trasforma l'integrale complesso in un normale integrale rispetto alla variabile reale <math>t</math>: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt. </math> Quando la funzione possiede una primitiva, possiamo evitare la parametrizzazione e usare direttamente <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0). </math> Quando integriamo lungo una curva chiusa e la funzione è olomorfa all'interno, il teorema di Cauchy dà <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Quando sono presenti singolarità, il teorema dei residui permette di trasformare l'integrale in una somma: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Queste quattro formule costituiscono il nucleo del calcolo integrale in campo complesso: <math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt </math> <math> \int_\gamma f(z)\,dz = F(z_1)-F(z_0) \quad\text{se }F'=f </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0 \quad\text{se }f\text{ è olomorfa all'interno} </math> <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> 32. SCHEMA FINALE DEL METODO DI CALCOLO Quando compare un integrale complesso, procedere sempre nel seguente ordine: <math> \text{Integrale} \longrightarrow \text{curva} \longrightarrow \text{singolarità} \longrightarrow \text{posizione delle singolarità} \longrightarrow \text{metodo} \longrightarrow \text{calcolo} \longrightarrow \text{risultato}. </math> In particolare: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz </math> prima si studia la curva <math>\gamma</math>. Poi si studia la funzione <math>f</math>. Si individuano le singolarità. Si verifica quali singolarità sono dentro la curva. Se non ci sono singolarità e la funzione è olomorfa: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz=0. </math> Se c'è una singolarità con la struttura della formula di Cauchy: <math> \oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i f(z_0). </math> Altrimenti si calcolano i residui: <math> \operatorname{Res}(f,z_k) </math> e infine: <math> \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Questo costituisce il percorso standard di calcolo degli integrali in campo complesso. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. --- ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)</math>. Equivalentemente, per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>|z-z_0|<\delta</math> implica <math>|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon</math>. Se <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> allora <math>f</math> è continua in <math>z_0</math> se e solo se <math>u</math> e <math>v</math> sono continue nel corrispondente punto <math>(x_0,y_0)</math>. == Derivata complessa == La derivata di una funzione complessa in un punto <math>z_0</math> è definita come il limite <math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> quando tale limite esiste ed è finito. Ponendo <math>h=z-z_0</math> la definizione può essere riscritta come <math>f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. La differenza fondamentale rispetto alla derivata reale è che <math>h</math> è complesso e può tendere a zero lungo una qualsiasi direzione del piano complesso. Per questo motivo l'esistenza della derivata complessa è una condizione molto più restrittiva della semplice derivabilità rispetto a una delle coordinate reali. == Derivabilità complessa == Una funzione è detta '''derivabile in senso complesso''' in <math>z_0</math> se esiste il limite <math>\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math>. È detta '''olomorfa''' in un insieme aperto <math>D</math> se è derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivabilità complessa in un singolo punto e l'olomorfia in un intorno sono concetti distinti. == Condizioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> con <math>z=x+iy</math>. Supponiamo che le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> esistano in un intorno del punto considerato. Se <math>f</math> è derivabile complessamente nel punto, allora devono essere soddisfatte le '''equazioni di Cauchy-Riemann''' <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono quindi una condizione necessaria per la derivabilità complessa. Se, in un intorno di un punto, le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la funzione è derivabile complessamente in quel punto. == Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann == Consideriamo <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> e supponiamo di calcolare la derivata avvicinandoci al punto lungo la direzione reale. Poniamo <math>h=\Delta x</math> con <math>\Delta x\in\mathbb{R}</math>. Allora <math>\frac{f(z+\Delta x)-f(z)}{\Delta x}</math> tende a <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Consideriamo ora un incremento puramente immaginario: <math>h=i\Delta y</math>. In questo caso <math>\frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y}</math> tende a <math>\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)</math>. Poiché <math>\frac{1}{i}=-i</math> si ottiene <math>\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Se la derivata complessa esiste, i due risultati devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Confrontando parte reale e parte immaginaria si ottengono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math> ossia le equazioni di Cauchy-Riemann. == Calcolo della derivata == Quando le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte e valgono le opportune ipotesi di regolarità, la derivata può essere calcolata mediante <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math> oppure, equivalentemente, <math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. == Esempio: derivata di <math>f(z)=z^2</math> == Per <math>f(z)=z^2</math> si è ottenuto <math>u(x,y)=x^2-y^2</math> e <math>v(x,y)=2xy</math>. Le derivate parziali sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x</math>. Pertanto <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto del piano. La funzione è quindi interamente olomorfa e <math>f'(z)=2x+2iy</math> da cui <math>f'(z)=2z</math>. == Funzioni olomorfe == Una funzione è olomorfa in un aperto <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> se è derivabile complessamente in ogni punto di <math>D</math>. L'olomorfia è una proprietà molto più forte rispetto alla semplice continuità. Una funzione olomorfa possiede infatti derivate complesse di ogni ordine ed è localmente rappresentabile mediante una serie di potenze. Se <math>f</math> è olomorfa in un disco centrato in <math>z_0</math>, allora esistono coefficienti <math>a_n</math> tali che <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> per tutti i punti sufficientemente vicini a <math>z_0</math>. I coefficienti sono dati da <math>a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}</math>. Pertanto <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>. Questa è la serie di Taylor complessa della funzione. == Funzioni intere == Una funzione olomorfa su tutto il piano complesso è detta '''funzione intera'''. Formalmente, una funzione <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> è intera se è olomorfa in ogni punto di <math>\mathbb{C}</math>. Sono esempi di funzioni intere i polinomi e la funzione esponenziale complessa. == Funzione esponenziale complessa == La funzione esponenziale complessa è definita dalla serie <math>e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>. Se <math>z=x+iy</math> si può dimostrare che <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>. La formula di Eulero <math>e^{iy}=\cos y+i\sin y</math> permette quindi di scrivere <math>e^z=e^x e^{iy}</math>. La funzione esponenziale complessa soddisfa <math>e^{z+w}=e^ze^w</math>. In particolare, <math>e^{z+2\pi i}=e^z</math>. La funzione esponenziale complessa è quindi periodica rispetto alla direzione immaginaria, con periodo fondamentale <math>2\pi i</math>. == Funzioni trigonometriche complesse == Le funzioni seno e coseno possono essere definite mediante l'esponenziale complesso: <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> e <math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. Analogamente, <math>\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}</math> nei punti in cui <math>\cos z\ne0</math>. Le identità trigonometriche fondamentali continuano a valere nel campo complesso, con le opportune interpretazioni. Per esempio, <math>\sin^2z+\cos^2z=1</math>. A differenza delle funzioni trigonometriche reali, tuttavia, le funzioni seno e coseno complesso non sono limitate sul piano complesso. == Logaritmo complesso == Il logaritmo complesso è una funzione multivalore. Per <math>z\ne0</math> e <math>z=re^{i\theta}</math> si può scrivere <math>\log z=\ln r+i(\theta+2k\pi)</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Questo accade perché <math>e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}</math>. Non esiste quindi un unico valore del logaritmo complesso su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> senza effettuare una scelta di argomento. Una determinazione particolare del logaritmo è il '''logaritmo principale''', generalmente indicato con <math>\operatorname{Log}z</math>. Esso utilizza un argomento scelto in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math>, per esempio <math>-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi</math>. In questo caso <math>\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z</math>. Il logaritmo principale non può essere olomorfo su tutto <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> a causa della scelta del ramo dell'argomento. Un dominio comunemente utilizzato è il piano privato di una semiretta, per esempio <math>\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]</math>. == Potenze complesse == Per un esponente complesso <math>w</math>, la potenza complessa può essere definita attraverso il logaritmo: <math>z^w=e^{w\log z}</math>. Poiché il logaritmo complesso è generalmente multivalore, anche la potenza può essere multivalore. Utilizzando una determinazione del logaritmo si ottiene una specifica determinazione della potenza. == Funzioni razionali == Una funzione razionale complessa ha la forma <math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> dove <math>p</math> e <math>q</math> sono polinomi complessi e <math>q(z)\ne0</math>. Le funzioni razionali sono olomorfe in tutti i punti in cui il denominatore è diverso da zero. Gli zeri di <math>q</math> costituiscono punti nei quali la funzione può presentare singolarità. == Singolarità == Una funzione può essere olomorfa in un dominio ma non esserlo in alcuni punti isolati. Sia <math>z_0</math> un punto nel quale una funzione non è olomorfa, mentre è olomorfa in un intorno punturato di <math>z_0</math>. Il punto può essere una '''singolarità isolata'''. Le principali categorie sono: * '''singolarità eliminabile'''; * '''polo'''; * '''singolarità essenziale'''. Se il limite <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math> esiste ed è finito, la singolarità può essere eliminabile mediante una opportuna definizione del valore della funzione nel punto. Un punto <math>z_0</math> è un '''polo''' se <math>|f(z)|\to\infty</math> per <math>z\to z_0</math>. Una singolarità isolata che non sia né eliminabile né un polo è una '''singolarità essenziale'''. == Serie di Laurent == In presenza di una singolarità isolata, una funzione olomorfa può essere rappresentata mediante una serie di Laurent: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La serie può essere separata in una parte principale e una parte regolare: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>. La parte con potenze negative permette di classificare la singolarità. Se tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli, la singolarità è eliminabile. Se esiste un numero finito di coefficienti non nulli con indice negativo, la funzione presenta un polo. Se esistono infiniti coefficienti non nulli con indice negativo, la singolarità è essenziale. Il coefficiente <math>a_{-1}</math> è detto '''residuo''' della funzione nel punto <math>z_0</math> e si indica con <math>\operatorname{Res}(f,z_0)</math>. == Integrale complesso == Sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata e sia <math>f</math> una funzione definita lungo la curva. L'integrale complesso lungo <math>\gamma</math> è definito, quando esiste, da <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Scrivendo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math> si ha <math>\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. L'integrale complesso può quindi essere ricondotto a integrali di funzioni reali. Una delle proprietà fondamentali dell'analisi complessa è il '''teorema integrale di Cauchy'''. In una delle sue forme, se <math>f</math> è olomorfa su un dominio semplicemente connesso, allora per ogni curva chiusa sufficientemente regolare contenuta nel dominio si ha <math>\oint_\gamma f(z),dz=0</math>. == Formula integrale di Cauchy == Se <math>f</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice <math>\gamma</math> e la regione da essa delimitata, e se <math>z_0</math> è interno alla curva, allora <math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0},dz</math>. Più in generale, per le derivate si ha <math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz</math>. Questa formula mostra una delle caratteristiche fondamentali delle funzioni olomorfe: i valori delle derivate possono essere determinati attraverso i valori della funzione sul bordo della regione. == Teorema dei residui == Se <math>f</math> presenta un numero finito di singolarità isolate all'interno di una curva chiusa <math>\gamma</math>, il teorema dei residui stabilisce che <math>\oint_\gamma f(z),dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)</math> dove la somma è estesa alle singolarità contenute nella regione delimitata dalla curva, assumendo le opportune ipotesi sulle curve e sulla funzione. Il teorema dei residui costituisce uno strumento fondamentale per il calcolo di numerosi integrali reali e complessi. == Zeri delle funzioni olomorfe == Un punto <math>z_0</math> è uno '''zero''' di una funzione <math>f</math> se <math>f(z_0)=0</math>. Se esiste un intero positivo <math>m</math> tale che <math>f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0</math> ma <math>f^{(m)}(z_0)\ne0</math>, allora <math>z_0</math> è uno zero di ordine <math>m</math>. In un intorno di <math>z_0</math> la funzione può essere scritta nella forma <math>f(z)=(z-z_0)^m g(z)</math> dove <math>g</math> è olomorfa e <math>g(z_0)\ne0</math>. == Principio di identità == Se due funzioni olomorfe definite su un dominio connesso coincidono su un insieme che possiede almeno un punto di accumulazione interno al dominio, allora coincidono in tutto il dominio. In particolare, se una funzione olomorfa è nulla su un insieme con un punto di accumulazione interno, allora è identicamente nulla nel dominio connesso. Questo risultato distingue profondamente le funzioni olomorfe dalle generiche funzioni reali di due variabili. == Teorema fondamentale dell'algebra == La teoria delle funzioni complesse contiene il '''teorema fondamentale dell'algebra''', secondo il quale ogni polinomio non costante a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa. Di conseguenza, un polinomio complesso di grado <math>n</math> possiede esattamente <math>n</math> radici complesse contando le molteplicità. Un polinomio può quindi essere fattorizzato nella forma <math>p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)</math> dove <math>a_n\ne0</math> e i valori <math>z_k</math> rappresentano le radici, ripetute secondo la loro molteplicità. == Mappa complessa == Una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> può essere interpretata come una trasformazione del piano. Il punto di partenza <math>z=x+iy</math> viene trasformato nel punto <math>w=u(x,y)+iv(x,y)</math>. Pertanto una funzione complessa può essere vista come una mappa <math>(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))</math>. Quando la funzione è olomorfa e la derivata non è nulla, localmente essa conserva gli angoli tra curve regolari. Una tale trasformazione è detta '''conforme''' nel punto considerato. == Derivata come trasformazione lineare == Se <math>f</math> è derivabile complessamente in <math>z_0</math>, allora per piccoli incrementi <math>h</math> si ha <math>f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(|h|)</math>. Il termine <math>f'(z_0)h</math> rappresenta l'approssimazione lineare complessa della funzione. Se <math>f'(z_0)=re^{i\theta}</math> allora la moltiplicazione per <math>f'(z_0)</math> corrisponde geometricamente, quando <math>r>0</math>, a una dilatazione di fattore <math>r</math> combinata con una rotazione di angolo <math>\theta</math>. Questo spiega il comportamento conforme delle funzioni olomorfe nei punti in cui la derivata non è nulla. == Differenza rispetto alle funzioni reali == Una funzione reale di una variabile ha la forma <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Una funzione complessa di una variabile complessa ha invece la forma <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>. Poiché <math>\mathbb{C}</math> può essere identificato con <math>\mathbb{R}^2</math>, una funzione complessa può essere vista come una trasformazione <math>\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Tuttavia, la derivabilità complessa non equivale semplicemente alla derivabilità di una funzione di due variabili reali. La derivata complessa deve essere indipendente dalla direzione lungo la quale l'incremento tende a zero. Questa condizione produce le equazioni di Cauchy-Riemann. La conseguenza è che le funzioni olomorfe sono fortemente vincolate e possiedono proprietà che non sono condivise dalle generiche funzioni differenziabili da <math>\mathbb{R}^2</math> a <math>\mathbb{R}^2</math>. == Esempio completo di calcolo == Consideriamo la funzione <math>f(z)=z^3</math>. Poniamo <math>z=x+iy</math>. Si ha <math>f(z)=(x+iy)^3</math>. Sviluppando il cubo, <math>(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3</math>. Poiché <math>(iy)^2=-y^2</math> e <math>(iy)^3=-iy^3</math>, si ottiene <math>f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)</math>. Pertanto <math>u(x,y)=x^3-3xy^2</math> e <math>v(x,y)=3x^2y-y^3</math>. Calcoliamo le derivate parziali: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial x}=6xy</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2</math>. Le equazioni di Cauchy-Riemann risultano soddisfatte: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math>. La funzione è quindi olomorfa su tutto il piano complesso. La derivata è <math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Sostituendo, <math>f'(z)=3x^2-3y^2+6ixy</math>. Osservando che <math>z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy</math> si ottiene <math>f'(z)=3z^2</math>. Derivando nuovamente, <math>f''(z)=6z</math> e <math>f'''(z)=6</math>. Tutte le derivate di ordine superiore a tre sono nulle: <math>f^{(n)}(z)=0</math> per <math>n>3</math>. Questo è coerente con il fatto che <math>z^3</math> è un polinomio di grado tre. == Voci correlate == * [[Analisi complessa]] * [[Numero complesso]] * [[Piano complesso]] * [[Funzione olomorfa]] * [[Funzione analitica]] * [[Equazioni di Cauchy-Riemann]] * [[Serie di Laurent]] * [[Teorema integrale di Cauchy]] * [[Teorema dei residui]] * [[Funzione intera]] * [[Logaritmo complesso]] * [[Funzione esponenziale]] * [[Formula di Eulero]] == Bibliografia == * [[Augustin-Louis Cauchy]], opere fondamentali sull'analisi complessa. * [[Bernhard Riemann]], contributi fondamentali alla teoria delle funzioni di variabile complessa. * [[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable''. * [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis''. Se vuoi, posso anche trasformarlo in una **versione ancora più enciclopedica**, con dimostrazioni dettagliate dei teoremi, esempi numerici, geometria delle trasformazioni e una sezione completa sulle funzioni meromorfe e sulle superfici di Riemann. pu1y893em55c53ztwb94gozmlcs0lsq 4 35656 287881 287739 2026-10-10T22:05:47Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 287881 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2026-10-10T07:07:21Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> g8w54otc6sz42nybplkss4hwmr0sgs1 287883 287873 2026-10-11T06:22:12Z Funzioni di correlazione 24136 287883 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ``` nexhdzd770zna02cwtqj4kvcwh0cwmt 287886 287883 2026-10-11T06:43:54Z Funzioni di correlazione 24136 287886 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Ecco il percorso di calcolo completo formattato in wikitext grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>` e racchiuso in un unico blocco pronto per la copia: ```text == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> ``` ``` 4pfy7ray0hw53nwxf7pmim93qvssxql 287887 287886 2026-10-11T06:44:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287887 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== ```text == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> ``` ``` 6jbnf8nk81jf4j7s3kwanp0quwgw3ra 287888 287887 2026-10-11T06:46:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'integrale in campo complesso */ 287888 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== ```text Calcolo dell'integrale in campo complesso Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> ``` ``` 13o0wprxpcfq1iges66lwy7r97jr2dy 287889 287888 2026-10-11T06:47:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287889 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale in campo complesso Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> ``` ``` bi9kenm35votw2df2eukmg11rsk3z3w 287890 287889 2026-10-11T06:51:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287890 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> ``` ``` coj5vlyaqwaii78nobc05bmpnowjni5 287891 287890 2026-10-11T07:05:30Z Funzioni di correlazione 24136 287891 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` 10dvtqlm2i1wjllpjpfukxavq1yo0cb 287892 287891 2026-10-11T07:08:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287892 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di <math>f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferena <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` 4xa7au1j9go3qvqit8dc1bozmt8lrnb 287893 287892 2026-10-11T07:09:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287893 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferena <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` 9vfh4aipweiq663vcqaq5llobv1v2un 287894 287893 2026-10-11T07:10:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287894 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> == Calcolo dell'integrale in campo complesso == Vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` gxmeempzwiie61mczuy4f85jjeza4nc 287895 287894 2026-10-11T07:12:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'integrale in campo complesso */ 287895 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> Vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` i9pmcdkq7t07b0h8e27oghb7wd6xgty 287896 287895 2026-10-11T07:15:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287896 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. === 1. Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === 2. Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. === 3. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` iwnb0ev1de6qasqd5ly01vancez1eyz 287897 287896 2026-10-11T07:17:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287897 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === 1. Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === 2. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> === 3. Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` igfbzp4ldv9b3wafwmzyldxqtemqbgt 287898 287897 2026-10-11T07:19:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287898 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> ===Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` skl67p6eo1le8iwb4et62dmjeg70kzl 287899 287898 2026-10-11T07:20:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 287899 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> ===Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` dj6s6dzplys8tzfwef92un9tid8180x 287900 287899 2026-10-11T07:26:46Z Funzioni di correlazione 24136 287900 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> su circonferenza r = 1 '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> ===Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` 878jjx0tmqje9gs2kf3cos8fgk5lum9 287901 287900 2026-10-11T07:31:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 287901 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio Calcolo integrale lungo una circonferenza== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> su circonferenza r = 1 '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> ===Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` m1xacz3wimy8xdp0tailzkdq7jcvebs 287902 287901 2026-10-11T07:33:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 287902 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ==INTRODUZIONE== L'integrazione in campo complesso estende il concetto di integrale definito dal campo reale al campo dei numeri complessi. Nel campo reale integriamo una funzione lungo un intervallo dell'asse reale. Nel campo complesso, invece, una funzione complessa può essere integrata lungo una curva contenuta nel piano complesso. Un numero complesso è scritto come <math>z=x+iy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math> e <math>i^2=-1</math>. Una funzione complessa di variabile complessa è <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> sono funzioni reali di due variabili reali. L'integrale complesso più importante è quindi l'integrale di linea <math>\int_\gamma f(z),dz</math> dove <math>\gamma</math> è una curva nel piano complesso. ==CURVE NEL PIANO COMPLESSO== Per integrare una funzione complessa dobbiamo prima descrivere la curva lungo la quale integriamo. Una curva parametrica è una funzione <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> che può essere scritta come <math>z=\gamma(t)</math> con <math>a\leq t\leq b</math>. Scrivendo parte reale e parte immaginaria otteniamo <math>\gamma(t)=x(t)+iy(t)</math>. Di conseguenza <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>. La derivata rispetto al parametro è <math>z'(t)=x'(t)+iy'(t)</math>. Il differenziale di <math>z</math> lungo la curva è quindi <math>dz=z'(t),dt</math>. ==DEFINIZIONE DI INTEGRALE COMPLESSO== Sia <math>f(z)</math> una funzione complessa e sia <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> una curva parametrizzata da <math>z=\gamma(t)</math>. L'integrale di <math>f</math> lungo <math>\gamma</math> è definito come <math>\int_\gamma f(z),dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. Questa è la formula fondamentale per effettuare concretamente un integrale complesso. Il procedimento di calcolo è: 1. Parametrizzare la curva: <math>z=\gamma(t)</math>. 2. Calcolare la derivata: <math>z'(t)=\gamma'(t)</math>. 3. Sostituire <math>z=\gamma(t)</math> nella funzione: <math>f(z)\longrightarrow f(\gamma(t))</math>. 4. Moltiplicare per <math>\gamma'(t)</math>: <math>f(\gamma(t))\gamma'(t)</math>. 5. Integrare rispetto a <math>t</math>: <math>\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t),dt</math>. ==1° Esercizio di calcolo di un integrale lungo un segmento nel piano complesso== Si voglia calcolare l'integrale di: <math>\int_\gamma z^2,dz</math> lungo un segmento <math> \gamma </math> '''Calcola integrale di f(z) = x^2 lungo un segmento di retta gamma (dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce z=0 a z=1+i .)''' Calcoliamo <math>\int_\gamma z^2,dz</math> dove <math>\gamma</math> è il segmento che unisce <math>z=0</math> a <math>z=1+i</math>. Parametrizziamo il segmento: <math>z(t)=t(1+i)</math> con <math>0\leq t\leq1</math>. Quindi <math>z(t)=t+it</math>. Derivando otteniamo <math>z'(t)=1+i</math>. La funzione diventa <math>f(z(t))=z(t)^2</math>. Pertanto <math>f(z(t))=[t(1+i)]^2</math>. Calcoliamo il quadrato: <math>[t(1+i)]^2=t^2(1+i)^2</math>. Poiché <math>(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i</math> otteniamo <math>f(z(t))=2it^2</math>. Ora applichiamo la definizione: <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1 2it^2(1+i),dt</math>. Moltiplichiamo: <math>2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i</math>. Quindi <math>\int_\gamma z^2,dz=\int_0^1(-2+2i)t^2,dt</math>. Portiamo la costante fuori dall'integrale: <math>=(-2+2i)\int_0^1t^2,dt</math>. Calcoliamo l'integrale reale: <math>\int_0^1t^2,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac13</math>. Pertanto <math>\int_\gamma z^2,dz=\frac{-2+2i}{3}</math>. == 2° Esercizio== Ripetizione dell'esercizio precedente con estremi diversi- '''Calcolare l’integrale curvilineo della funzione f(z)=x^4 lungo il segmento gamma che unisce z=0 a =1+4i''' IA risponde: L’integrale da calcolare è: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz</math> **1. Parametrizzazione del segmento** Gli estremi del segmento sono <math>z_0=0</math> e <math>z_1=1+4i</math>. La parametrizzazione del segmento è: <math>z(t)=z_0+t(z_1-z_0),\quad t\in(0,1)</math> Sostituendo gli estremi, si ottiene: <math>\displaystyle z(t)=t(1+4i)=t+4it</math> Pertanto: <math>\displaystyle x(t)=t,\qquad y(t)=4t</math> **2. Calcolo di dz** Derivando la parametrizzazione rispetto a <math>t</math>, si ottiene: <math>\displaystyle z'(t)=1+4i</math> Quindi: <math>\displaystyle dz=(1+4i),dt</math> **3. Sostituzione nell’integrale** Poiché <math>x(t)=t</math>, si ha: <math>\displaystyle x^4(t)=t^4</math> Sostituendo la parametrizzazione nell’integrale curvilineo: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\int_0^1 t^4(1+4i),dt</math> Essendo <math>1+4i</math> costante, si può portare fuori dall’integrale: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=(1+4i)\int_0^1 t^4,dt</math> **4. Calcolo dell’integrale definito** Una primitiva di <math>t^4</math> è: <math>\displaystyle \int t^4,dt=\frac{t^5}{5}</math> Pertanto: <math>\displaystyle (1+4i)\int_0^1 t^4,dt=(1+4i)\left(\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}\right)</math> Semplificando si ottiene: <math>\displaystyle =(1+4i)\frac{1}{5}</math> **5. Risultato finale** Sviluppando il prodotto, si ottiene: <math>\displaystyle \int_\gamma x^4,dz=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}i</math> ==3° Esercizio Calcolo integrale lungo una circonferenza== Calcolo dell'integrale di f(z) = 1/z nel campo complesso lungo una circonferenza, tramite parametrizzazione ''' Calcola integrale di 1/z complesso su percocorso circolare con r = 1 ''' IA risponde: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz</math> Questo integrale vale sempre <math>2\pi i</math> ed è il banco di prova per comprendere la '''Formula Integrale di Cauchy''' o il metodo della '''parameterizzazione diretta'''. Vediamo entrambi i modi per risolverlo. == Metodo 1: Parameterizzazione diretta == La circonferenza unitaria nel piano complesso può essere descritta in coordinate polari tramite la formula di Eulero: <math>z(\theta) = e^{i\theta}, \quad \theta \in [0, 2\pi]</math> Derivando rispetto a <math>\theta</math> otteniamo il differenziale: <math>dz = i e^{i\theta} d\theta</math> Sostituiamo <math>z</math> e <math>dz</math> all'interno dell'integrale: <math>\oint_{C} \frac{1}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta</math> Semplificando <math>e^{i\theta}</math> a numeratore e denominatore: <math>= \int_{0}^{2\pi} i \, d\theta = i [\theta]_{0}^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i</math> == Metodo 2: Applicazione della Formula Integrale di Cauchy == La formula integrale di Cauchy afferma che se una funzione <math>f(z)</math> è analitica all'interno e sulla curva chiusa semplice <math>C</math>, e <math>z_0</math> è un punto interno a <math>C</math>, allora: <math>\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz = 2\pi i \, f(z_0)</math> Nel nostro caso: * <math>f(z) = 1</math> (che è una funzione costante e quindi analitica ovunque) * <math>z_0 = 0</math> (il polo della funzione <math>\frac{1}{z}</math>, che si trova esattamente al centro del cerchio <math>|z| = 1</math>, quindi è interno) Applicando direttamente la formula con <math>f(0) = 1</math>: <math>\oint_{C} \frac{1}{z - 0} \, dz = 2\pi i \cdot f(0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i</math> ==4° Esercizio- Ancora integrazione complessa su circonferenza== Calcolo dell'integrale di <math> f(z) = 1 / (x + 2) </math> in campo complesso '''Vogliamo calcolare l'integrale curvilineo in campo complesso di f(z) = 1 / (x + 2) ''' La risposta di IA: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz</math> dove <math>C</math> è la circonferenza di raggio <math>r = 1</math> e centro nell'origine del piano complesso, percorsa in senso antiorario. ===Analisi della funzione integranda e delle singolarità === La funzione integranda è: <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> Questa funzione presenta una singolarità (un polo semplice) nel punto in cui il denominatore si annulla: <math>z + 2 = 0 \implies z = -2</math> === Posizione della singolarità rispetto al cammino di integrazione === Il cammino di integrazione <math>C</math> è definito dall'equazione: <math>|z| = 1</math> Verifichiamo la posizione del punto singolare <math>z = -2</math> rispetto al cerchio <math>C</math> calcolandone il modulo: <math>|-2| = 2</math> Poiché il raggio del cerchio è <math>r = 1</math> e la distanza della singolarità dall'origine è <math>2 > 1</math>, il punto <math>z = -2</math> si trova **all'esterno** del dominio racchiuso dalla curva <math>C</math>. Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === La funzione <math>f(z) = \frac{1}{z+2}</math> è continua su <math>C</math> ed è olomorfa (analitica) in tutti i punti interni e sul bordo della regione delimitata da <math>C</math>, poiché l'unica singolarità si trova all'esterno del cammino. Per il **Teorema Integrale di Cauchy**, se una funzione è analitica in un dominio semplicemente connesso e sul suo bordo, l'integrale della funzione lungo la curva chiusa <math>C</math> è nullo: <math>\oint_C f(z) \, dz = 0</math> Pertanto, il risultato dell'integrale è: <math>\oint_C \frac{1}{z+2} \, dz = 0</math> == 5° Esercizio== Calcolo dell'intregrale di :<math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> su circonferenza r = 1 '''Calcolo di f(z) = 1/(z^-2) su di una circonferenza per r = 1 IA risponde: data: <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> vogliamo calcolare l'integrale di linea nel campo complesso della funzione <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math> lungo una curva chiusa <math>\gamma</math> costituita da un cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine degli assi. === Analisi della funzione === La funzione data è <math>f(z) = \frac{1}{z^{-2}}</math>. Sfruttando le proprietà delle potenze ad esponente negativo, possiamo riscrivere la funzione come: <math>f(z) = z^2</math> La funzione <math>f(z) = z^2</math> è un polinomio in <math>z</math>, e pertanto risulta essere una funzione **intera** (ovvero olomorfa in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>), non presentando alcuna singolarità o polo in alcun punto, inclusi l'interno e la frontiera del cerchio di raggio <math>r = 1</math>. === Applicazione del Teorema Integrale di Cauchy === Poiché la funzione <math>f(z)</math> è olomorfa in un dominio semplicemente connesso che contiene il cammino chiuso <math>\gamma</math> e la sua parte interna, per il **Teorema Integrale di Cauchy** l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa regolare è pari a zero: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = 0</math> ===Risoluzione mediante parametrizzazione diretta === A titolo di verifica, possiamo eseguire il calcolo esatto dell'integrale mediante la parametrizzazione del cammino. Il cerchio di raggio <math>r = 1</math> centrato nell'origine può essere parametrizzato in coordinate complesse come: <math>z(t) = e^{it}</math> con il parametro <math>t</math> che varia nell'intervallo <math>t \in [0, 2\pi]</math>. Calcoliamo il differenziale <math>dz</math> derivando rispetto a <math>t</math>: <math>dz = i e^{it} dt</math> Sostituiamo la parametrizzazione all'interno dell'integrale: <math>\oint_\gamma z^2 \, dz = \int_0^{2\pi} (e^{it})^2 \cdot (i e^{it}) dt</math> Sviluppando il calcolo algebrico: <math>= \int_0^{2\pi} e^{2it} \cdot i e^{it} dt = i \int_0^{2\pi} e^{3it} dt</math> Calcoliamo l'integrale definito della funzione esponenziale complessa: <math>\int_0^{2\pi} e^{3it} dt = \left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi}</math> Valutando agli estremi dell'intervallo, ricordando la formula di Eulero (<math>e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)</math>) e il fatto che <math>e^{6\pi i} = 1</math> e <math>e^0 = 1</math>: <math>\left[ \frac{e^{3it}}{3i} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{6\pi i} - e^0}{3i} = \frac{1 - 1}{3i} = 0</math> Moltiplicando per la costante <math>i</math> otteniamo infine: <math>\oint_\gamma f(z) \, dz = i \cdot 0 = 0</math> === Risultato === Il valore dell'integrale è <math>0</math>. ``` ``` ``` l5jbwbjtdmtsdaggg1b74jnkqb6m8rx