Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 31796 287973 287792 2026-10-16T14:16:42Z Funzioni di correlazione 24136 287973 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math> e \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche \<math>g\</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che \<math>g(z)=0\</math> in tutto il dominio, allora \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza f0w07hrqn1u3zh45jx36sb5fgxvjwrk 2 31912 287972 287307 2026-10-16T14:01:40Z Funzioni di correlazione 24136 287972 wikitext text/x-wiki sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 080c98oewfajedtbttlae3dvista1dc 287974 287972 2026-10-16T14:17:45Z Funzioni di correlazione 24136 287974 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math> e \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche \<math>g\</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che \<math>g(z)=0\</math> in tutto il dominio, allora \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. qyiz51a2ckq84yl9cj2hqxk0vzmzr23 287975 287974 2026-10-16T14:19:31Z Funzioni di correlazione 24136 287975 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove \<math>z=x+iy\</math> e \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche \<math>g\</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che \<math>g(z)=0\</math> in tutto il dominio, allora \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. aco5u91yxighru6a3ctad6jpsudayo1 287976 287975 2026-10-16T14:20:58Z Funzioni di correlazione 24136 287976 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy\/math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche \<math>g\</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che \<math>g(z)=0\</math> in tutto il dominio, allora \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. e67cvs0osnpri9wsgijp82odjtwq5na 287977 287976 2026-10-16T14:21:53Z Funzioni di correlazione 24136 287977 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche \<math>g\</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che \<math>g(z)=0\</math> in tutto il dominio, allora \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 8arab955g8s0hoxhyga8qon2mqbbxwe 287978 287977 2026-10-16T14:24:05Z Funzioni di correlazione 24136 287978 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1\/math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. av7x68i7d0o68kny1p152ff2e7wlbmw 287979 287978 2026-10-16T14:24:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287979 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1\<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. j6t1jxwlulcnkmk0fkval707ile9cml 287980 287979 2026-10-16T14:25:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287980 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. rcuclnt6hqzus3xjy4uz585c9z3c4ro 287981 287980 2026-10-16T14:27:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287981 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2<math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. srkphos15enqxtbveu6rvqdr6cywi5i 287982 287981 2026-10-16T14:27:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287982 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. \=== Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche \<math>f_1\</math> e \<math>f_2\</math> soddisfino la condizione \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo \<math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)\</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, \<math>g\</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che \<math>f_1(z)=f_2(z)\</math> in tutto il dominio. \=== Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. rcuclnt6hqzus3xjy4uz585c9z3c4ro 287983 287982 2026-10-16T14:29:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287983 wikitext text/x-wiki Ecco il testo semplificato, adattato alla sintassi Wikipedia, con particolare attenzione al metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann per dimostrare l'unicità di una funzione analitica. Ho mantenuto le formule nei tag `<math>...</math>` e il testo pronto da copiare e incollare. \== Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. === Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche <math>f_1</math> e <math>f_2</math> soddisfino la condizione <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, <math>g</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che <math>f_1(z)=f_2(z)</math> in tutto il dominio. === Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 12bf4vae2ukdtas2jgvhtnzpn7o5sg7 287984 287983 2026-10-16T14:30:18Z Funzioni di correlazione 24136 287984 wikitext text/x-wiki == Unicità di una funzione analitica mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. === Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche <math>f_1</math> e <math>f_2</math> soddisfino la condizione <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, <math>g</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che <math>f_1(z)=f_2(z)</math> in tutto il dominio. === Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. pqvso8pymegpa2wmq53kq4jy8vy3r7s 287985 287984 2026-10-16T14:32:08Z Funzioni di correlazione 24136 287985 wikitext text/x-wiki == Analicità di una funzione complessa mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1<math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. === Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche <math>f_1</math> e <math>f_2</math> soddisfino la condizione <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, <math>g</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che <math>f_1(z)=f_2(z)</math> in tutto il dominio. === Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 7bt3ce9aiky5c5lpr8x23eu89n2bmy8 287986 287985 2026-10-16T14:36:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dimostrazione dell'unicità */ 287986 wikitext text/x-wiki == Analicità di una funzione complessa mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di verificare l'analiticità di una funzione complessa. Per dimostrare l'unicità di una funzione analitica, è necessario utilizzare anche le condizioni assegnate nel problema. Si consideri una funzione complessa <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math> dove <math>z=x+iy</math> e <math>u</math> e <math>v</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Se le derivate parziali prime sono continue e le equazioni sono soddisfatte in un aperto, la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. === Dimostrazione dell'unicità === Si supponga che due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> siano analitiche nello stesso dominio e soddisfino le medesime condizioni assegnate. Si definisca la funzione differenza <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> Poiché la differenza di due funzioni analitiche è analitica, anche <math>g</math> è analitica. Se le condizioni del problema implicano che <math>g(z)=0</math> in tutto il dominio, allora <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto del dominio. Pertanto, la funzione analitica è unica. Un caso importante si verifica quando due funzioni analitiche assumono gli stessi valori in un insieme che possiede un punto di accumulazione interno al dominio. In base al teorema di identità, le due funzioni coincidono in tutto il dominio connesso. === Esempio === Si supponga che due funzioni analitiche <math>f_1</math> e <math>f_2</math> soddisfino la condizione <math>f_1(z)=f_2(z)</math> per ogni punto di un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio. Definendo <math>g(z)=f_1(z)-f_2(z)</math> si ottiene una funzione analitica che si annulla nell'insieme considerato. Per il teorema di identità, <math>g</math> è identicamente nulla nel dominio connesso. Ne consegue che <math>f_1(z)=f_2(z)</math> in tutto il dominio. === Osservazioni === Il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann non garantisce l'unicità di una funzione analitica. È necessario disporre di ulteriori condizioni, come valori assegnati su un insieme con un punto di accumulazione interno al dominio oppure altre condizioni sufficienti a determinare univocamente la funzione. Distingui analiticità e unicitàCollega le Cauchy-Riemann alla differenza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss Ecco il testo completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. \== Metodi per verificare l'analiticità di una funzione complessa == L'analiticità di una funzione complessa può essere dimostrata mediante diversi metodi. La scelta del metodo dipende dalla forma della funzione e dalle informazioni disponibili. \=== 1. Equazioni di Cauchy-Riemann === Questo metodo è particolarmente utile quando la funzione è espressa in termini di parte reale e parte immaginaria. Si consideri una funzione complessa \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>z=x+iy\</math>, mentre \<math>u(x,y)\</math> e \<math>v(x,y)\</math> sono funzioni reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Se le derivate parziali prime sono continue in un aperto e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in ogni punto dell'aperto, allora la funzione è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 2. Verifica della derivabilità complessa === La derivata complessa di una funzione nel punto \<math>z_0\</math> è definita come \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> Il limite deve esistere ed essere indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero nel piano complesso. Se la funzione è derivabile complessamente in ogni punto di un aperto, allora è olomorfa e quindi analitica in tale aperto. \=== 3. Formula integrale di Cauchy === Se \<math>f\</math> è olomorfa in un dominio che contiene una curva chiusa semplice \<math>\gamma\</math> e il suo interno, la formula integrale di Cauchy permette di scrivere \<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z},d\zeta\</math> per ogni punto \<math>z\</math> interno alla curva. Questa formula implica che la funzione ammette derivate complesse di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze in un intorno di ciascun punto del dominio. \=== 4. Sviluppo in serie di potenze === Una funzione è analitica in un intorno di \<math>z_0\</math> se può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente in tale intorno: \<math>f(z)=\sum\_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\</math> dove \<math>a_n\</math> sono coefficienti complessi. Se la serie converge in un disco e rappresenta la funzione in tale disco, allora la funzione è analitica al suo interno. \=== 5. Proprietà delle funzioni olomorfe === È possibile dimostrare l'analiticità sfruttando le proprietà delle funzioni olomorfe già note. La somma e il prodotto di due funzioni olomorfe sono olomorfi nel dominio comune. Il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo nei punti in cui il denominatore non si annulla. Anche la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa dove è definita. Le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale complessa e le funzioni seno e coseno complesse sono intere, cioè olomorfe in tutto il piano complesso. \=== 6. Teorema di Morera === Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. b7d9lrgn9qlyf1z22e2pnw3pp5kjm0k 287987 287986 2026-10-16T15:20:20Z Funzioni di correlazione 24136 287987 wikitext text/x-wiki Ecco un documento in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>` e lo svolgimento analitico completo della dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann. \== Dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Sia \<math>f: D \to \mathbb{C}\</math> una funzione definita su un insieme aperto \<math>D \subseteq \mathbb{C}\</math>. Scrivendo la variabile complessa nella forma \<math>z=x+iy\</math> e la funzione nella forma \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono funzioni reali di due variabili reali, è possibile studiare l'analiticità di \<math>f\</math> attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Definizione di derivabilità complessa === Una funzione \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso in un punto \<math>z_0 \in D\</math> se esiste finito il limite \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> dove \<math>h\</math> è una variabile complessa. Ponendo \<math>z_0=x_0+iy_0\</math> e scrivendo l'incremento complesso nella forma \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> si ottiene \<math>f(z_0+h)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v\</math> dove \<math>\Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)\</math> e \<math>\Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)\</math>. Pertanto, il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\</math>. Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=\frac{(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)}{(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)}\</math>. Poiché \<math>(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\</math> e \<math>(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)=\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y+i(\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y)\</math> segue che \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}+i\frac{\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math>. Affinché il limite esista e sia indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero, le parti reale e immaginaria devono convergere a valori compatibili lungo tutte le direzioni. \=== Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann === Si considera dapprima il caso in cui l'incremento sia reale, cioè \<math>\Delta y=0\</math>. In questo caso si ha \<math>h=\Delta x\</math> e il rapporto incrementale assume la forma \<math>\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\frac{\Delta v}{\Delta x}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta x\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)\</math> purché esistano le derivate parziali considerate. Si considera ora il caso in cui l'incremento sia puramente immaginario, cioè \<math>\Delta x=0\</math>. In questo caso \<math>h=i\Delta y\</math> e il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}\</math>. Poiché \<math>\frac{1}{i}=-i\</math> si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}=\frac{\Delta v}{\Delta y}-i\frac{\Delta u}{\Delta y}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta y\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)\</math>. Perché la derivata complessa esista, le due espressioni di \<math>f'(z_0)\</math> devono coincidere. Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, si ottengono rispettivamente le relazioni \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> e \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. Queste sono le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Dimostrazione della sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann === Le equazioni di Cauchy-Riemann sono condizioni necessarie per la derivabilità complessa, ma da sole, senza ulteriori ipotesi di regolarità, non sono sufficienti in generale. Si supponga che le derivate parziali di \<math>u\</math> e \<math>v\</math> siano continue in un intorno di \<math>(x_0,y_0)\</math> e che in tale intorno valgano le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math>. Si dimostra che \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. Poiché \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono differenziabili come funzioni reali di due variabili, i loro incrementi possono essere espressi come \<math>\Delta u=u_x(x_0,y_0)\Delta x+u_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> e \<math>\Delta v=v_x(x_0,y_0)\Delta x+v_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> dove \<math>|h|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math> e il simbolo \<math>o(|h|)\</math> indica un termine che, diviso per \<math>|h|\</math>, tende a zero per \<math>h\to 0\</math>. Di conseguenza, \<math>\Delta f=\Delta u+i\Delta v\</math> e quindi \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(u_y+iv_y)\Delta y+o(|h|)\</math>. Tutte le derivate parziali nell'espressione precedente sono valutate nel punto \<math>(x_0,y_0)\</math>. Applicando le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>u_y=-v_x\</math> e \<math>v_y=u_x\</math> si ottiene \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(-v_x+iu_x)\Delta y+o(|h|)\</math>. Osservando che \<math>-v_x+iu_x=i(u_x+iv_x)\</math> si ricava \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)\</math>. Poiché \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> segue che \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)h+o(|h|)\</math>. Dividendo per \<math>h\</math>, con \<math>h\ne 0\</math>, si ottiene \<math>\frac{\Delta f}{h}=u_x+iv_x+\frac{o(|h|)}{h}\</math>. Dal momento che \<math>\left|\frac{o(|h|)}{h}\right|=\frac{o(|h|)}{|h|}\to 0\</math> per \<math>h\to 0\</math>, il limite del rapporto incrementale esiste ed è indipendente dalla direzione di avvicinamento. Pertanto \<math>f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)\</math>. La funzione è dunque derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. \=== Conclusione === Se le funzioni \<math>u\</math> e \<math>v\</math> hanno derivate parziali prime continue in un aperto \<math>D\</math> e soddisfano in ogni punto le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> allora la funzione \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>, cioè derivabile in senso complesso in ogni punto di \<math>D\</math>. La derivata complessa è data dalla formula \<math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\</math> che, grazie alle equazioni di Cauchy-Riemann, può essere scritta anche come \<math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. La continuità delle derivate parziali prime costituisce una condizione sufficiente per garantire la differenziabilità reale necessaria alla dimostrazione. Essa non è una condizione necessaria per l'olomorfia: esistono infatti funzioni olomorfe le cui derivate parziali non sono continue in tutti i punti secondo ipotesi più deboli, mentre le equazioni di Cauchy-Riemann, considerate isolatamente, non garantiscono sempre la derivabilità complessa. Nota matematica: il risultato dimostrato è il criterio di Cauchy-Riemann con derivate parziali prime continue. In termini rigorosi, una funzione olomorfa è analitica, cioè sviluppabile localmente in serie di potenze complesse; questa equivalenza segue dai teoremi fondamentali dell'analisi complessa e non soltanto dal calcolo del rapporto incrementale riportato sopra. SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 61lo7wkx211g2l92sm35q4xm70tr1zx 287988 287987 2026-10-16T15:27:28Z Funzioni di correlazione 24136 287988 wikitext text/x-wiki Ecco il testo formattato con i tag nativi `<math> ... </math>` (anziché LaTeX generico o simboli grezzi), pronto per essere copiato direttamente su Wikipedia: ```wikitext == Dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Sia <math>f: D \to \mathbb{C}</math> una funzione definita su un insieme aperto <math>D \subseteq \mathbb{C}</math>. Scrivendo la variabile complessa nella forma <math>z = x + iy</math> e la funzione nella forma <math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math> dove <math>u</math> e <math>v</math> sono funzioni reali di due variabili reali, è possibile studiare l'analiticità di <math>f</math> attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. === Definizione di derivabilità complessa === Una funzione <math>f</math> è derivabile in senso complesso in un punto <math>z_0 \in D</math> se esiste finito il limite <math>f'(z_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> dove <math>h</math> è una variabile complessa. Ponendo <math>z_0 = x_0 + iy_0</math> e scrivendo l'incremento complesso nella forma <math>h = \Delta x + i\Delta y</math> si ottiene <math>f(z_0+h)-f(z_0) = \Delta u + i\Delta v</math> dove <math>\Delta u = u(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)</math> e <math>\Delta v = v(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)</math>. Pertanto, il rapporto incrementale diventa <math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}</math>. Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si ricava <math>\frac{\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} = \frac{(\Delta u + i\Delta v)(\Delta x - i\Delta y)}{(\Delta x + i\Delta y)(\Delta x - i\Delta y)}</math>. Poiché <math>(\Delta x + i\Delta y)(\Delta x - i\Delta y) = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2</math> e <math>(\Delta u + i\Delta v)(\Delta x - i\Delta y) = \Delta u\Delta x + \Delta v\Delta y + i(\Delta v\Delta x - \Delta u\Delta y)</math> segue che <math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\Delta u\Delta x + \Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} + i\frac{\Delta v\Delta x - \Delta u\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math>. Affinché il limite esista e sia indipendente dalla direzione lungo la quale <math>h</math> tende a zero, le parti reale e immaginaria devono convergere a valori compatibili lungo tutte le direzioni. === Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann === Si considera dapprima il caso in cui l'incremento sia reale, cioè <math>\Delta y = 0</math>. In questo caso si ha <math>h = \Delta x</math> e il rapporto incrementale assume la forma <math>\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta u}{\Delta x} + i\frac{\Delta v}{\Delta x}</math>. Passando al limite per <math>\Delta x \to 0</math>, si ottiene <math>f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)</math> purché esistano le derivate parziali considerate. Si considera ora il caso in cui l'incremento sia puramente immaginario, cioè <math>\Delta x = 0</math>. In questo caso <math>h = i\Delta y</math> e il rapporto incrementale diventa <math>\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y} = \frac{\Delta u + i\Delta v}{i\Delta y}</math>. Poiché <math>\frac{1}{i} = -i</math> si ricava <math>\frac{\Delta u + i\Delta v}{i\Delta y} = \frac{\Delta v}{\Delta y} - i\frac{\Delta u}{\Delta y}</math>. Passando al limite per <math>\Delta y \to 0</math>, si ottiene <math>f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)</math>. Perché la derivata complessa esista, le due espressioni di <math>f'(z_0)</math> devono coincidere. Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, si ottengono rispettivamente le relazioni <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}</math>. Queste sono le equazioni di Cauchy-Riemann. === Dimostrazione della sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann === Le equazioni di Cauchy-Riemann sono condizioni necessarie per la derivabilità complessa, ma da sole, senza ulteriori ipotesi di regolarità, non sono sufficienti in generale. Si supponga che le derivate parziali di <math>u</math> e <math>v</math> siano continue in un intorno di <math>(x_0,y_0)</math> e che in tale intorno valgano le equazioni di Cauchy-Riemann <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>. Si dimostra che <math>f</math> è derivabile in senso complesso nel punto <math>z_0</math>. Poiché <math>u</math> e <math>v</math> sono differenziabili come funzioni reali di due variabili, i loro incrementi possono essere espressi come <math>\Delta u = u_x(x_0,y_0)\Delta x + u_y(x_0,y_0)\Delta y + o(|h|)</math> e <math>\Delta v = v_x(x_0,y_0)\Delta x + v_y(x_0,y_0)\Delta y + o(|h|)</math> dove <math>|h| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}</math> e il simbolo <math>o(|h|)</math> indica un termine che, diviso per <math>|h|</math>, tende a zero per <math>h \to 0</math>. Di conseguenza, <math>\Delta f = \Delta u + i\Delta v</math> e quindi <math>\Delta f = (u_x + iv_x)\Delta x + (u_y + iv_y)\Delta y + o(|h|)</math>. Tutte le derivate parziali nell'espressione precedente sono valutate nel punto <math>(x_0,y_0)</math>. Applicando le equazioni di Cauchy-Riemann <math>u_y = -v_x</math> e <math>v_y = u_x</math> si ottiene <math>\Delta f = (u_x + iv_x)\Delta x + (-v_x + iu_x)\Delta y + o(|h|)</math>. Osservando che <math>-v_x + iu_x = i(u_x + iv_x)</math> si ricava <math>\Delta f = (u_x + iv_x)(\Delta x + i\Delta y) + o(|h|)</math>. Poiché <math>h = \Delta x + i\Delta y</math> segue che <math>\Delta f = (u_x + iv_x)h + o(|h|)</math>. Dividendo per <math>h</math>, con <math>h \neq 0</math>, si ottiene <math>\frac{\Delta f}{h} = u_x + iv_x + \frac{o(|h|)}{h}</math>. Dal momento che <math>\left|\frac{o(|h|)}{h}\right| = \frac{o(|h|)}{|h|} \to 0</math> per <math>h \to 0</math>, il limite del rapporto incrementale esiste ed è indipendente dalla direzione di avvicinamento. Pertanto <math>f'(z_0) = u_x(x_0,y_0) + iv_x(x_0,y_0)</math>. La funzione è dunque derivabile in senso complesso nel punto <math>z_0</math>. === Conclusione === Se le funzioni <math>u</math> e <math>v</math> hanno derivate parziali prime continue in un aperto <math>D</math> e soddisfano in ogni punto le equazioni di Cauchy-Riemann <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> allora la funzione <math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math> è olomorfa in <math>D</math>, cioè derivabile in senso complesso in ogni punto di <math>D</math>. La derivata complessa è data dalla formula <math>f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}</math> che, grazie alle equazioni di Cauchy-Riemann, può essere scritta anche come <math>f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}</math>. La continuità delle derivate parziali prime costituisce una condizione sufficiente per garantire la differenziabilità reale necessaria alla dimostrazione. Essa non è una condizione necessaria per l'olomorfia: esistono infatti funzioni olomorfe le cui derivate parziali non sono continue in tutti i punti secondo ipotesi più deboli, mentre le equazioni di Cauchy-Riemann, considerate isolatamente, non garantiscono sempre la derivabilità complessa. ''Nota matematica'': il risultato dimostrato è il criterio di Cauchy-Riemann con derivate parziali prime continue. In termini rigorosi, una funzione olomorfa è analitica, cioè sviluppabile localmente in serie di potenze complesse; questa equivalenza segue dai teoremi fondamentali dell'analisi complessa e non soltanto dal calcolo del rapporto incrementale riportato sopra. ``` --- xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxSi calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 2i6kjdczr55vd4mgp86szhrht6qnzy3 287989 287988 2026-10-16T15:33:42Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287988|287988]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287989 wikitext text/x-wiki Ecco un documento in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>` e lo svolgimento analitico completo della dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann. \== Dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Sia \<math>f: D \to \mathbb{C}\</math> una funzione definita su un insieme aperto \<math>D \subseteq \mathbb{C}\</math>. Scrivendo la variabile complessa nella forma \<math>z=x+iy\</math> e la funzione nella forma \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono funzioni reali di due variabili reali, è possibile studiare l'analiticità di \<math>f\</math> attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Definizione di derivabilità complessa === Una funzione \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso in un punto \<math>z_0 \in D\</math> se esiste finito il limite \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> dove \<math>h\</math> è una variabile complessa. Ponendo \<math>z_0=x_0+iy_0\</math> e scrivendo l'incremento complesso nella forma \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> si ottiene \<math>f(z_0+h)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v\</math> dove \<math>\Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)\</math> e \<math>\Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)\</math>. Pertanto, il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\</math>. Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=\frac{(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)}{(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)}\</math>. Poiché \<math>(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\</math> e \<math>(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)=\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y+i(\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y)\</math> segue che \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}+i\frac{\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math>. Affinché il limite esista e sia indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero, le parti reale e immaginaria devono convergere a valori compatibili lungo tutte le direzioni. \=== Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann === Si considera dapprima il caso in cui l'incremento sia reale, cioè \<math>\Delta y=0\</math>. In questo caso si ha \<math>h=\Delta x\</math> e il rapporto incrementale assume la forma \<math>\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\frac{\Delta v}{\Delta x}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta x\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)\</math> purché esistano le derivate parziali considerate. Si considera ora il caso in cui l'incremento sia puramente immaginario, cioè \<math>\Delta x=0\</math>. In questo caso \<math>h=i\Delta y\</math> e il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}\</math>. Poiché \<math>\frac{1}{i}=-i\</math> si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}=\frac{\Delta v}{\Delta y}-i\frac{\Delta u}{\Delta y}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta y\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)\</math>. Perché la derivata complessa esista, le due espressioni di \<math>f'(z_0)\</math> devono coincidere. Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, si ottengono rispettivamente le relazioni \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> e \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. Queste sono le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Dimostrazione della sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann === Le equazioni di Cauchy-Riemann sono condizioni necessarie per la derivabilità complessa, ma da sole, senza ulteriori ipotesi di regolarità, non sono sufficienti in generale. Si supponga che le derivate parziali di \<math>u\</math> e \<math>v\</math> siano continue in un intorno di \<math>(x_0,y_0)\</math> e che in tale intorno valgano le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math>. Si dimostra che \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. Poiché \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono differenziabili come funzioni reali di due variabili, i loro incrementi possono essere espressi come \<math>\Delta u=u_x(x_0,y_0)\Delta x+u_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> e \<math>\Delta v=v_x(x_0,y_0)\Delta x+v_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> dove \<math>|h|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math> e il simbolo \<math>o(|h|)\</math> indica un termine che, diviso per \<math>|h|\</math>, tende a zero per \<math>h\to 0\</math>. Di conseguenza, \<math>\Delta f=\Delta u+i\Delta v\</math> e quindi \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(u_y+iv_y)\Delta y+o(|h|)\</math>. Tutte le derivate parziali nell'espressione precedente sono valutate nel punto \<math>(x_0,y_0)\</math>. Applicando le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>u_y=-v_x\</math> e \<math>v_y=u_x\</math> si ottiene \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(-v_x+iu_x)\Delta y+o(|h|)\</math>. Osservando che \<math>-v_x+iu_x=i(u_x+iv_x)\</math> si ricava \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)\</math>. Poiché \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> segue che \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)h+o(|h|)\</math>. Dividendo per \<math>h\</math>, con \<math>h\ne 0\</math>, si ottiene \<math>\frac{\Delta f}{h}=u_x+iv_x+\frac{o(|h|)}{h}\</math>. Dal momento che \<math>\left|\frac{o(|h|)}{h}\right|=\frac{o(|h|)}{|h|}\to 0\</math> per \<math>h\to 0\</math>, il limite del rapporto incrementale esiste ed è indipendente dalla direzione di avvicinamento. Pertanto \<math>f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)\</math>. La funzione è dunque derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. \=== Conclusione === Se le funzioni \<math>u\</math> e \<math>v\</math> hanno derivate parziali prime continue in un aperto \<math>D\</math> e soddisfano in ogni punto le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> allora la funzione \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>, cioè derivabile in senso complesso in ogni punto di \<math>D\</math>. La derivata complessa è data dalla formula \<math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\</math> che, grazie alle equazioni di Cauchy-Riemann, può essere scritta anche come \<math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. La continuità delle derivate parziali prime costituisce una condizione sufficiente per garantire la differenziabilità reale necessaria alla dimostrazione. Essa non è una condizione necessaria per l'olomorfia: esistono infatti funzioni olomorfe le cui derivate parziali non sono continue in tutti i punti secondo ipotesi più deboli, mentre le equazioni di Cauchy-Riemann, considerate isolatamente, non garantiscono sempre la derivabilità complessa. Nota matematica: il risultato dimostrato è il criterio di Cauchy-Riemann con derivate parziali prime continue. In termini rigorosi, una funzione olomorfa è analitica, cioè sviluppabile localmente in serie di potenze complesse; questa equivalenza segue dai teoremi fondamentali dell'analisi complessa e non soltanto dal calcolo del rapporto incrementale riportato sopra. SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. 61lo7wkx211g2l92sm35q4xm70tr1zx 287990 287989 2026-10-16T15:34:10Z Funzioni di correlazione 24136 287990 wikitext text/x-wiki Ecco la trattazione in formato wikitext grezzo, racchiudendo ogni espressione matematica tra i tag `<math>` e `</math>` come richiesto, inserendo l'intero percorso di calcolo e derivazione delle condizioni di Cauchy-Riemann in un unico blocco pronto per il copia-incolla. --- ```text == Condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le equazioni di Cauchy-Riemann costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme a opportune condizioni di continuità, caratterizzano le funzioni analitiche (o olomorfe) di variabile complessa. Sia <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> una funzione complessa definita da: <math>f(z) = u(x, y) + i v(x, y)</math> dove <math>z = x + iy</math>, e <math>u(x, y)</math> e <math>v(x, y)</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione, intese come funzioni reali di due variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. La derivata complessa della funzione <math>f</math> in un punto <math>z_0</math> è definita dal limite del rapporto incrementale: <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}</math> Posto <math>\Delta z = \Delta x + i \Delta y</math>, affinché il limite esista e sia unico, esso deve dare lo stesso risultato indipendentemente dalla direzione lungo la quale l'incremento <math>\Delta z</math> tende a zero nel piano complesso. === Percorso di calcolo e derivazione === Valutiamo il limite percorrendo due direzioni particolari: 1. **Primo caso: incremento puramente reale** (<math>\Delta y = 0</math>, quindi <math>\Delta z = \Delta x</math> con <math>\Delta x \to 0</math>): <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x, y) + i v(x + \Delta x, y) - u(x, y) - i v(x, y)}{\Delta x}</math> <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} + i \frac{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}{\Delta x} \right)</math> Passando al limite, per definizione di derivata parziale rispetto a <math>x</math>, otteniamo: <math>f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}</math> 2. **Secondo caso: incremento puramente immaginario** (<math>\Delta x = 0</math>, quindi <math>\Delta z = i \Delta y</math> con <math>\Delta y \to 0</math>): <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x, y + \Delta y) + i v(x, y + \Delta y) - u(x, y) - i v(x, y)}{i \Delta y}</math> Ricordando che <math>\frac{1}{i} = -i</math>, possiamo scrivere: <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \left( -i \frac{u(x, y + \Delta y) - u(x, y)}{\Delta y} + \frac{v(x, y + \Delta y) - v(x, y)}{\Delta y} \right)</math> Passando al limite, per definizione di derivata parziale rispetto a <math>y</math>, otteniamo: <math>f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}</math> === Uguaglianza delle derivate direzionali === Affinché la funzione sia derivabile nel campo complesso (ovvero sia olomorfa/analitica nel punto), i due valori calcolati lungo i diversi percorsi devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}</math> Uguagliando la parte reale con la parte reale e la parte immaginaria con la parte immaginaria, si ottiene il sistema delle **equazioni di Cauchy-Riemann**: <math>\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Ecco un documento in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>` e lo svolgimento analitico completo della dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann. \== Dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Sia \<math>f: D \to \mathbb{C}\</math> una funzione definita su un insieme aperto \<math>D \subseteq \mathbb{C}\</math>. Scrivendo la variabile complessa nella forma \<math>z=x+iy\</math> e la funzione nella forma \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono funzioni reali di due variabili reali, è possibile studiare l'analiticità di \<math>f\</math> attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Definizione di derivabilità complessa === Una funzione \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso in un punto \<math>z_0 \in D\</math> se esiste finito il limite \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> dove \<math>h\</math> è una variabile complessa. Ponendo \<math>z_0=x_0+iy_0\</math> e scrivendo l'incremento complesso nella forma \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> si ottiene \<math>f(z_0+h)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v\</math> dove \<math>\Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)\</math> e \<math>\Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)\</math>. Pertanto, il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\</math>. Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=\frac{(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)}{(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)}\</math>. Poiché \<math>(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\</math> e \<math>(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)=\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y+i(\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y)\</math> segue che \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}+i\frac{\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math>. Affinché il limite esista e sia indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero, le parti reale e immaginaria devono convergere a valori compatibili lungo tutte le direzioni. \=== Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann === Si considera dapprima il caso in cui l'incremento sia reale, cioè \<math>\Delta y=0\</math>. In questo caso si ha \<math>h=\Delta x\</math> e il rapporto incrementale assume la forma \<math>\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\frac{\Delta v}{\Delta x}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta x\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)\</math> purché esistano le derivate parziali considerate. Si considera ora il caso in cui l'incremento sia puramente immaginario, cioè \<math>\Delta x=0\</math>. In questo caso \<math>h=i\Delta y\</math> e il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}\</math>. Poiché \<math>\frac{1}{i}=-i\</math> si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}=\frac{\Delta v}{\Delta y}-i\frac{\Delta u}{\Delta y}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta y\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)\</math>. Perché la derivata complessa esista, le due espressioni di \<math>f'(z_0)\</math> devono coincidere. Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, si ottengono rispettivamente le relazioni \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> e \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. Queste sono le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Dimostrazione della sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann === Le equazioni di Cauchy-Riemann sono condizioni necessarie per la derivabilità complessa, ma da sole, senza ulteriori ipotesi di regolarità, non sono sufficienti in generale. Si supponga che le derivate parziali di \<math>u\</math> e \<math>v\</math> siano continue in un intorno di \<math>(x_0,y_0)\</math> e che in tale intorno valgano le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math>. Si dimostra che \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. Poiché \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono differenziabili come funzioni reali di due variabili, i loro incrementi possono essere espressi come \<math>\Delta u=u_x(x_0,y_0)\Delta x+u_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> e \<math>\Delta v=v_x(x_0,y_0)\Delta x+v_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> dove \<math>|h|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math> e il simbolo \<math>o(|h|)\</math> indica un termine che, diviso per \<math>|h|\</math>, tende a zero per \<math>h\to 0\</math>. Di conseguenza, \<math>\Delta f=\Delta u+i\Delta v\</math> e quindi \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(u_y+iv_y)\Delta y+o(|h|)\</math>. Tutte le derivate parziali nell'espressione precedente sono valutate nel punto \<math>(x_0,y_0)\</math>. Applicando le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>u_y=-v_x\</math> e \<math>v_y=u_x\</math> si ottiene \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(-v_x+iu_x)\Delta y+o(|h|)\</math>. Osservando che \<math>-v_x+iu_x=i(u_x+iv_x)\</math> si ricava \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)\</math>. Poiché \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> segue che \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)h+o(|h|)\</math>. Dividendo per \<math>h\</math>, con \<math>h\ne 0\</math>, si ottiene \<math>\frac{\Delta f}{h}=u_x+iv_x+\frac{o(|h|)}{h}\</math>. Dal momento che \<math>\left|\frac{o(|h|)}{h}\right|=\frac{o(|h|)}{|h|}\to 0\</math> per \<math>h\to 0\</math>, il limite del rapporto incrementale esiste ed è indipendente dalla direzione di avvicinamento. Pertanto \<math>f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)\</math>. La funzione è dunque derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. \=== Conclusione === Se le funzioni \<math>u\</math> e \<math>v\</math> hanno derivate parziali prime continue in un aperto \<math>D\</math> e soddisfano in ogni punto le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> allora la funzione \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>, cioè derivabile in senso complesso in ogni punto di \<math>D\</math>. La derivata complessa è data dalla formula \<math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\</math> che, grazie alle equazioni di Cauchy-Riemann, può essere scritta anche come \<math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. La continuità delle derivate parziali prime costituisce una condizione sufficiente per garantire la differenziabilità reale necessaria alla dimostrazione. Essa non è una condizione necessaria per l'olomorfia: esistono infatti funzioni olomorfe le cui derivate parziali non sono continue in tutti i punti secondo ipotesi più deboli, mentre le equazioni di Cauchy-Riemann, considerate isolatamente, non garantiscono sempre la derivabilità complessa. Nota matematica: il risultato dimostrato è il criterio di Cauchy-Riemann con derivate parziali prime continue. In termini rigorosi, una funzione olomorfa è analitica, cioè sviluppabile localmente in serie di potenze complesse; questa equivalenza segue dai teoremi fondamentali dell'analisi complessa e non soltanto dal calcolo del rapporto incrementale riportato sopra. SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. g0netl1cj9syovzcehw5lomjoz2hx8k 287991 287990 2026-10-16T15:40:50Z Funzioni di correlazione 24136 287991 wikitext text/x-wiki ```wikitext == Condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio svolto: analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> 2. **Calcolo delle derivate parziali prime:** Deriviamo <math>u</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> Deriviamo <math>v</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> 3. **Verifica delle equazioni di Cauchy-Riemann:** * Prima equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math>): <math>2x = 2x</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) * Seconda equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>): <math>-2y = -(2y)</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) 4. **Conclusione:** Le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono espressioni polinomiali, e pertanto risultano continue ovunque in <math>\mathbb{R}^2</math>. Poiché le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in tutto il piano, la funzione <math>f(z) = z^2</math> è **analitica** (ed è una funzione intera) su tutto <math>\mathbb{C}</math>. ``` XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ Ecco la trattazione in formato wikitext grezzo, racchiudendo ogni espressione matematica tra i tag `<math>` e `</math>` come richiesto, inserendo l'intero percorso di calcolo e derivazione delle condizioni di Cauchy-Riemann in un unico blocco pronto per il copia-incolla. --- ```text == Condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le equazioni di Cauchy-Riemann costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme a opportune condizioni di continuità, caratterizzano le funzioni analitiche (o olomorfe) di variabile complessa. Sia <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> una funzione complessa definita da: <math>f(z) = u(x, y) + i v(x, y)</math> dove <math>z = x + iy</math>, e <math>u(x, y)</math> e <math>v(x, y)</math> sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della funzione, intese come funzioni reali di due variabili reali <math>x</math> e <math>y</math>. La derivata complessa della funzione <math>f</math> in un punto <math>z_0</math> è definita dal limite del rapporto incrementale: <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}</math> Posto <math>\Delta z = \Delta x + i \Delta y</math>, affinché il limite esista e sia unico, esso deve dare lo stesso risultato indipendentemente dalla direzione lungo la quale l'incremento <math>\Delta z</math> tende a zero nel piano complesso. === Percorso di calcolo e derivazione === Valutiamo il limite percorrendo due direzioni particolari: 1. **Primo caso: incremento puramente reale** (<math>\Delta y = 0</math>, quindi <math>\Delta z = \Delta x</math> con <math>\Delta x \to 0</math>): <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x, y) + i v(x + \Delta x, y) - u(x, y) - i v(x, y)}{\Delta x}</math> <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} + i \frac{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}{\Delta x} \right)</math> Passando al limite, per definizione di derivata parziale rispetto a <math>x</math>, otteniamo: <math>f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}</math> 2. **Secondo caso: incremento puramente immaginario** (<math>\Delta x = 0</math>, quindi <math>\Delta z = i \Delta y</math> con <math>\Delta y \to 0</math>): <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x, y + \Delta y) + i v(x, y + \Delta y) - u(x, y) - i v(x, y)}{i \Delta y}</math> Ricordando che <math>\frac{1}{i} = -i</math>, possiamo scrivere: <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \left( -i \frac{u(x, y + \Delta y) - u(x, y)}{\Delta y} + \frac{v(x, y + \Delta y) - v(x, y)}{\Delta y} \right)</math> Passando al limite, per definizione di derivata parziale rispetto a <math>y</math>, otteniamo: <math>f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}</math> === Uguaglianza delle derivate direzionali === Affinché la funzione sia derivabile nel campo complesso (ovvero sia olomorfa/analitica nel punto), i due valori calcolati lungo i diversi percorsi devono coincidere: <math>\frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}</math> Uguagliando la parte reale con la parte reale e la parte immaginaria con la parte immaginaria, si ottiene il sistema delle **equazioni di Cauchy-Riemann**: <math>\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Ecco un documento in formato grezzo, pronto da copiare e incollare su Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>` e lo svolgimento analitico completo della dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann. \== Dimostrazione dell'analiticità mediante le equazioni di Cauchy-Riemann == Sia \<math>f: D \to \mathbb{C}\</math> una funzione definita su un insieme aperto \<math>D \subseteq \mathbb{C}\</math>. Scrivendo la variabile complessa nella forma \<math>z=x+iy\</math> e la funzione nella forma \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> dove \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono funzioni reali di due variabili reali, è possibile studiare l'analiticità di \<math>f\</math> attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Definizione di derivabilità complessa === Una funzione \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso in un punto \<math>z_0 \in D\</math> se esiste finito il limite \<math>f'(z_0)=\lim\_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\</math> dove \<math>h\</math> è una variabile complessa. Ponendo \<math>z_0=x_0+iy_0\</math> e scrivendo l'incremento complesso nella forma \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> si ottiene \<math>f(z_0+h)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v\</math> dove \<math>\Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)\</math> e \<math>\Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)\</math>. Pertanto, il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\</math>. Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=\frac{(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)}{(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)}\</math>. Poiché \<math>(\Delta x+i\Delta y)(\Delta x-i\Delta y)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\</math> e \<math>(\Delta u+i\Delta v)(\Delta x-i\Delta y)=\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y+i(\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y)\</math> segue che \<math>\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\Delta u\Delta x+\Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}+i\frac{\Delta v\Delta x-\Delta u\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math>. Affinché il limite esista e sia indipendente dalla direzione lungo la quale \<math>h\</math> tende a zero, le parti reale e immaginaria devono convergere a valori compatibili lungo tutte le direzioni. \=== Derivazione delle equazioni di Cauchy-Riemann === Si considera dapprima il caso in cui l'incremento sia reale, cioè \<math>\Delta y=0\</math>. In questo caso si ha \<math>h=\Delta x\</math> e il rapporto incrementale assume la forma \<math>\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\frac{\Delta v}{\Delta x}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta x\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)\</math> purché esistano le derivate parziali considerate. Si considera ora il caso in cui l'incremento sia puramente immaginario, cioè \<math>\Delta x=0\</math>. In questo caso \<math>h=i\Delta y\</math> e il rapporto incrementale diventa \<math>\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}\</math>. Poiché \<math>\frac{1}{i}=-i\</math> si ricava \<math>\frac{\Delta u+i\Delta v}{i\Delta y}=\frac{\Delta v}{\Delta y}-i\frac{\Delta u}{\Delta y}\</math>. Passando al limite per \<math>\Delta y\to 0\</math>, si ottiene \<math>f'(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)\</math>. Perché la derivata complessa esista, le due espressioni di \<math>f'(z_0)\</math> devono coincidere. Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, si ottengono rispettivamente le relazioni \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> e \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. Queste sono le equazioni di Cauchy-Riemann. \=== Dimostrazione della sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann === Le equazioni di Cauchy-Riemann sono condizioni necessarie per la derivabilità complessa, ma da sole, senza ulteriori ipotesi di regolarità, non sono sufficienti in generale. Si supponga che le derivate parziali di \<math>u\</math> e \<math>v\</math> siano continue in un intorno di \<math>(x_0,y_0)\</math> e che in tale intorno valgano le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math>. Si dimostra che \<math>f\</math> è derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. Poiché \<math>u\</math> e \<math>v\</math> sono differenziabili come funzioni reali di due variabili, i loro incrementi possono essere espressi come \<math>\Delta u=u_x(x_0,y_0)\Delta x+u_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> e \<math>\Delta v=v_x(x_0,y_0)\Delta x+v_y(x_0,y_0)\Delta y+o(|h|)\</math> dove \<math>|h|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\</math> e il simbolo \<math>o(|h|)\</math> indica un termine che, diviso per \<math>|h|\</math>, tende a zero per \<math>h\to 0\</math>. Di conseguenza, \<math>\Delta f=\Delta u+i\Delta v\</math> e quindi \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(u_y+iv_y)\Delta y+o(|h|)\</math>. Tutte le derivate parziali nell'espressione precedente sono valutate nel punto \<math>(x_0,y_0)\</math>. Applicando le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>u_y=-v_x\</math> e \<math>v_y=u_x\</math> si ottiene \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)\Delta x+(-v_x+iu_x)\Delta y+o(|h|)\</math>. Osservando che \<math>-v_x+iu_x=i(u_x+iv_x)\</math> si ricava \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)\</math>. Poiché \<math>h=\Delta x+i\Delta y\</math> segue che \<math>\Delta f=(u_x+iv_x)h+o(|h|)\</math>. Dividendo per \<math>h\</math>, con \<math>h\ne 0\</math>, si ottiene \<math>\frac{\Delta f}{h}=u_x+iv_x+\frac{o(|h|)}{h}\</math>. Dal momento che \<math>\left|\frac{o(|h|)}{h}\right|=\frac{o(|h|)}{|h|}\to 0\</math> per \<math>h\to 0\</math>, il limite del rapporto incrementale esiste ed è indipendente dalla direzione di avvicinamento. Pertanto \<math>f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)\</math>. La funzione è dunque derivabile in senso complesso nel punto \<math>z_0\</math>. \=== Conclusione === Se le funzioni \<math>u\</math> e \<math>v\</math> hanno derivate parziali prime continue in un aperto \<math>D\</math> e soddisfano in ogni punto le equazioni di Cauchy-Riemann \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> allora la funzione \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>, cioè derivabile in senso complesso in ogni punto di \<math>D\</math>. La derivata complessa è data dalla formula \<math>f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\</math> che, grazie alle equazioni di Cauchy-Riemann, può essere scritta anche come \<math>f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\</math>. La continuità delle derivate parziali prime costituisce una condizione sufficiente per garantire la differenziabilità reale necessaria alla dimostrazione. Essa non è una condizione necessaria per l'olomorfia: esistono infatti funzioni olomorfe le cui derivate parziali non sono continue in tutti i punti secondo ipotesi più deboli, mentre le equazioni di Cauchy-Riemann, considerate isolatamente, non garantiscono sempre la derivabilità complessa. Nota matematica: il risultato dimostrato è il criterio di Cauchy-Riemann con derivate parziali prime continue. In termini rigorosi, una funzione olomorfa è analitica, cioè sviluppabile localmente in serie di potenze complesse; questa equivalenza segue dai teoremi fondamentali dell'analisi complessa e non soltanto dal calcolo del rapporto incrementale riportato sopra. SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF Il teorema di Morera afferma che, se una funzione \<math>f\</math> è continua in un dominio \<math>D\</math> e il suo integrale lungo il bordo di ogni triangolo contenuto in \<math>D\</math> è nullo, allora \<math>f\</math> è olomorfa in \<math>D\</math>. In formule, \<math>\oint\_{\partial T}f(z),dz=0\</math> per ogni triangolo \<math>T\</math> contenuto in \<math>D\</math>. \=== Esempio: verifica dell'analiticità di \<math>f(z)=z^2\</math> === Si consideri la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> Ponendo \<math>z=x+iy\</math>, si ottiene \<math>f(z)=(x+iy)^2\</math> Sviluppando il quadrato, \<math>f(z)=x^2+2ixy+(iy)^2\</math> Poiché \<math>i^2=-1\</math>, segue che \<math>f(z)=x^2-y^2+i2xy\</math> Confrontando questa espressione con \<math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\</math>, si ricava \<math>u(x,y)=x^2-y^2\</math> \<math>v(x,y)=2xy\</math> Calcoliamo le derivate parziali prime: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x\</math> \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial x}=2y\</math> \<math>\frac{\partial v}{\partial y}=2x\</math> Verifichiamo la prima equazione di Cauchy-Riemann: \<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\</math> Sostituendo le derivate ottenute, \<math>2x=2x\</math> La prima equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Verifichiamo la seconda equazione: \<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\</math> Sostituendo, \<math>-2y=-2y\</math> Anche la seconda equazione è soddisfatta per ogni \<math>(x,y)\in\mathbb{R}^2\</math>. Le derivate parziali prime sono polinomiali e quindi continue in tutto il piano reale. Per il criterio di Cauchy-Riemann, la funzione \<math>f(z)=z^2\</math> è olomorfa in tutto il piano complesso. Di conseguenza, \<math>f(z)=z^2\</math> è una funzione intera. \=== Scelta del metodo === Il metodo delle equazioni di Cauchy-Riemann è spesso conveniente quando la funzione è espressa in termini di \<math>x\</math> e \<math>y\</math>. Se la funzione è una combinazione di funzioni olomorfe note, è generalmente più semplice utilizzare le proprietà di chiusura. Il rapporto incrementale è utile quando si vuole verificare direttamente la derivabilità complessa, mentre le serie di potenze e il teorema di Morera sono particolarmente utili in problemi più specifici. È importante osservare che il solo soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in un punto non garantisce, in generale, l'analiticità in un intorno di quel punto. Per applicare il criterio usuale sono sufficienti la continuità delle derivate parziali prime in un intorno e il soddisfacimento delle equazioni di Cauchy-Riemann in tale intorno. Correggi i tag matematici per WikipediaSemplifica il documento per il copia-incolla == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math>y=x^5-x^4</math> Si vuole determinare il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti, gli eventuali asintoti, i punti di massimo e minimo, i punti di flesso, gli intervalli di monotonia e concavità e infine effettuare il tracciamento qualitativo della curva. === 1. Dominio === La funzione è un polinomio, quindi è definita per ogni valore reale di <math>x</math>. <math>D=\mathbb{R}</math> La funzione non presenta quindi punti di discontinuità e non presenta asintoti verticali. === 2. Intersezioni con gli assi cartesiani === ==== Intersezione con l'asse <math>y</math> ==== Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate si pone <math>x=0</math>. <math>y=0^5-0^4</math> <math>y=0</math> Quindi la curva passa per il punto <math>A=(0,0)</math> ==== Intersezioni con l'asse <math>x</math> ==== Per trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse si pone <math>y=0</math>. <math>x^5-x^4=0</math> Si raccoglie il fattore comune <math>x^4</math>. <math>x^4(x-1)=0</math> Un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto: <math>x^4=0</math> da cui <math>x=0</math> oppure <math>x-1=0</math> da cui <math>x=1</math>. Le intersezioni con l'asse delle ascisse sono quindi <math>A=(0,0)</math> e <math>B=(1,0)</math>. Il punto <math>x=0</math> è uno zero di molteplicità quattro, mentre <math>x=1</math> è uno zero semplice. === 3. Studio del segno della funzione === Si considera <math>y=x^5-x^4</math> e si raccoglie <math>x^4</math>: <math>y=x^4(x-1)</math> Poiché <math>x^4\geq 0</math> per ogni <math>x\in\mathbb{R}</math>, il segno della funzione, escluso il punto <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>x-1</math>. I punti che annullano la funzione sono <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Per <math>x<0</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>0<x<1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1<0</math> quindi <math>f(x)<0</math>. Per <math>x>1</math> si ha <math>x^4>0</math> e <math>x-1>0</math> quindi <math>f(x)>0</math>. Pertanto: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(0)=0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(1)=0</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math>. === 4. Limiti agli estremi del dominio === La funzione è <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Per <math>x\to+\infty</math>, il termine di grado maggiore è <math>x^5</math>, quindi <math>\lim_{x\to+\infty}(x^5-x^4)=+\infty</math>. Infatti si può raccogliere <math>x^4</math>: <math>x^5-x^4=x^4(x-1)</math> e, per <math>x\to+\infty</math>, <math>x^4\to+\infty</math> e <math>x-1\to+\infty</math>. Quindi <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Per <math>x\to-\infty</math>, si ha <math>x^5\to-\infty</math> mentre <math>x^4\to+\infty</math>. Il termine <math>x^5</math>, essendo di grado superiore, determina il comportamento della funzione. Pertanto <math>\lim_{x\to-\infty}(x^5-x^4)=-\infty</math>. === 5. Asintoti === Non essendoci valori esclusi dal dominio, non esistono asintoti verticali. Non esiste un asintoto orizzontale perché <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> e <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Non esiste neppure un asintoto obliquo. Infatti il grado del polinomio è cinque e, per un polinomio di grado maggiore di uno, non esiste un asintoto lineare agli infiniti. === 6. Derivata prima === Si parte dalla funzione <math>f(x)=x^5-x^4</math>. Derivando termine per termine si ottiene <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Si raccoglie <math>x^3</math>: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I punti stazionari si trovano ponendo <math>f'(x)=0</math>. Quindi <math>x^3(5x-4)=0</math>. Si ottiene <math>x^3=0</math> oppure <math>5x-4=0</math>. Nel primo caso <math>x=0</math>. Nel secondo caso <math>5x=4</math> e quindi <math>x=\frac45</math>. I punti critici sono dunque <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. === 7. Coordinate dei punti stazionari === ==== Punto corrispondente a <math>x=0</math> ==== Si calcola <math>f(0)=0^5-0^4=0</math>. Si ottiene quindi <math>A=(0,0)</math>. ==== Punto corrispondente a <math>x=\frac45</math> ==== Si sostituisce <math>x=\frac45</math> nella funzione: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^5-\left(\frac45\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(\frac45-1\right)</math>. Si calcola la differenza: <math>\frac45-1=-\frac15</math>. Pertanto <math>f\left(\frac45\right)=\left(\frac45\right)^4\left(-\frac15\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Il secondo punto stazionario è quindi <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 8. Studio del segno della derivata prima === Abbiamo <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. I valori che annullano la derivata prima sono <math>x=0</math> e <math>x=\frac45</math>. Si studiano quindi gli intervalli determinati da questi due valori. ==== Intervallo <math>x<0</math> ==== Per <math>x<0</math> si ha <math>x^3<0</math> e <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. ==== Intervallo <math>0<x<\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> mentre <math>5x-4<0</math>. Quindi <math>f'(x)<0</math>. La funzione è decrescente. ==== Intervallo <math>x>\frac45</math> ==== In questo intervallo <math>x^3>0</math> e <math>5x-4>0</math>. Quindi <math>f'(x)>0</math>. La funzione è crescente. Pertanto la funzione è: <math>\text{crescente per }x<0</math> <math>\text{decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>\text{crescente per }x>\frac45</math>. === 9. Massimi e minimi relativi === Nel punto <math>x=0</math> la derivata passa da positiva a negativa: <math>f'(x):+\to-</math>. Quindi <math>x=0</math> è un punto di massimo relativo. Il valore della funzione è <math>f(0)=0</math>. Pertanto il massimo relativo è <math>A=(0,0)</math>. Nel punto <math>x=\frac45</math> la derivata passa da negativa a positiva: <math>f'(x):-\to+</math>. Quindi <math>x=\frac45</math> è un punto di minimo relativo. Il valore della funzione è <math>f\left(\frac45\right)=-\frac{256}{3125}</math>. Pertanto il minimo relativo è <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. === 10. Derivata seconda === La derivata prima è <math>f'(x)=5x^4-4x^3</math>. Derivando nuovamente si ottiene <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Si raccoglie <math>4x^2</math>: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. I candidati punti di flesso si trovano ponendo <math>f''(x)=0</math>. Quindi <math>4x^2(5x-3)=0</math>. Si ottiene <math>x^2=0</math> oppure <math>5x-3=0</math>. Da cui <math>x=0</math> oppure <math>x=\frac35</math>. I candidati sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=\frac35</math>. === 11. Studio della concavità === La derivata seconda è <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math>. Poiché <math>4x^2\geq0</math>, il segno di <math>f''(x)</math>, escluso <math>x=0</math>, dipende dal fattore <math>5x-3</math>. ==== Per <math>x<0</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>0<x<\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3<0</math>. Quindi <math>f''(x)<0</math>. La curva è concava verso il basso. ==== Per <math>x>\frac35</math> ==== Si ha <math>5x-3>0</math>. Quindi <math>f''(x)>0</math>. La curva è concava verso l'alto. In sintesi: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> e <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math>. Nel punto <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla, ma il segno di <math>f''</math> non cambia passando da sinistra a destra. Pertanto <math>x=0</math> non è un punto di flesso. Invece in <math>x=\frac35</math> la concavità cambia da verso il basso a verso l'alto. Pertanto questo è un punto di flesso. === 12. Coordinate del punto di flesso === Si calcola il valore della funzione per <math>x=\frac35</math>. <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^5-\left(\frac35\right)^4</math>. Si raccoglie la quarta potenza: <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35-1\right)</math>. Si calcola <math>\frac35-1=-\frac25</math>. Quindi <math>f\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^4\left(-\frac25\right)</math>. Poiché <math>\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}</math>, si ottiene <math>f\left(\frac35\right)=-\frac{162}{3125}</math>. Il punto di flesso è quindi <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. === 13. Verifica del flesso mediante la derivata terza === Per completezza si può calcolare la derivata terza. <math>f''(x)=20x^3-12x^2</math>. Quindi <math>f'''(x)=60x^2-24x</math>. Raccogliendo <math>12x</math>: <math>f'''(x)=12x(5x-2)</math>. Nel punto candidato <math>x=\frac35</math> si ha <math>f'''\left(\frac35\right)=12\left(\frac35\right)\left(5\frac35-2\right)</math>. Si calcola <math>5\frac35-2=3-2=1</math>. Pertanto <math>f'''\left(\frac35\right)=\frac{36}{5}\neq0</math>. Questo conferma che <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è effettivamente un punto di flesso. === 14. Tangente nel punto di massimo relativo === Nel punto <math>A=(0,0)</math> si ha <math>f'(0)=0</math>. La pendenza della tangente è quindi nulla. L'equazione della tangente è <math>y=f'(0)(x-0)+f(0)</math>. Pertanto <math>y=0</math>. La tangente nel punto di massimo relativo coincide quindi con l'asse delle ascisse. === 15. Tangente nel punto di minimo relativo === Nel punto <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> si ha <math>f'\left(\frac45\right)=0</math>. Anche in questo caso la tangente è orizzontale. L'equazione della tangente è quindi <math>y=-\frac{256}{3125}</math>. === 16. Tangente nel punto di flesso === Il punto di flesso è <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Calcoliamo la derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math>. Nel punto <math>x=\frac35</math>: <math>f'\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^3\left(5\frac35-4\right)</math>. Si ha <math>\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}</math> e <math>5\frac35-4=3-4=-1</math>. Quindi <math>f'\left(\frac35\right)=-\frac{27}{125}</math>. L'equazione della tangente al flesso è <math>y+\frac{162}{3125}=-\frac{27}{125}\left(x-\frac35\right)</math>. Sviluppando: <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{81}{625}-\frac{162}{3125}</math>. Portando i termini costanti allo stesso denominatore: <math>\frac{81}{625}=\frac{405}{3125}</math>. Pertanto <math>y=-\frac{27}{125}x+\frac{243}{3125}</math>. === 17. Tabella riassuntiva dello studio === Dominio: <math>D=\mathbb{R}</math> Zeri: <math>x=0,\quad x=1</math> Segno: <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad x<0</math> <math>f(x)<0\quad\text{per}\quad 0<x<1</math> <math>f(x)>0\quad\text{per}\quad x>1</math> Limiti: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math> Derivata prima: <math>f'(x)=x^3(5x-4)</math> Punti stazionari: <math>A=(0,0)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Monotonia: <math>f\text{ è crescente per }x<0</math> <math>f\text{ è decrescente per }0<x<\frac45</math> <math>f\text{ è crescente per }x>\frac45</math> Massimo relativo: <math>A=(0,0)</math> Minimo relativo: <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> Derivata seconda: <math>f''(x)=4x^2(5x-3)</math> Concavità: <math>f''(x)<0\quad\text{per}\quad x<\frac35,\ x\neq0</math> <math>f''(x)>0\quad\text{per}\quad x>\frac35</math> Punto di flesso: <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> === 18. Tracciamento qualitativo della curva === Per tracciare la curva nel piano cartesiano si utilizzano i punti notevoli e le informazioni ottenute dallo studio. La curva parte, per <math>x\to-\infty</math>, da valori negativi molto grandi in valore assoluto: <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>. Procedendo verso destra, la funzione è crescente fino al punto <math>A=(0,0)</math>. In <math>A</math> la curva raggiunge un massimo relativo. Poiché <math>f(0)=0</math> e <math>f'(0)=0</math>, la curva tocca l'asse delle ascisse con tangente orizzontale. Dopo <math>x=0</math> la funzione diventa decrescente. Rimane sotto l'asse delle ascisse e attraversa il punto di flesso <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>. Successivamente raggiunge il minimo relativo <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>. In corrispondenza di <math>x=\frac45</math> la tangente è orizzontale. Dopo il minimo, la funzione torna crescente. Raggiunge l'asse delle ascisse nel punto <math>(1,0)</math> e, per <math>x>1</math>, assume valori positivi sempre maggiori. Infine, <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Il tracciamento qualitativo deve quindi rispettare il seguente andamento: <math>x\to-\infty\quad\longrightarrow\quad f(x)\to-\infty</math> <math>\nearrow\quad A=(0,0)\quad\searrow\quad C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)\quad\searrow\quad B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)\quad\nearrow\quad (1,0)\quad\nearrow\quad+\infty</math> === 19. Schema finale per il grafico === I principali punti da riportare sul piano cartesiano sono: <math>A=(0,0)</math> <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> <math>D=(1,0)</math> La curva: * è crescente per <math>x<0</math>; * ha un massimo relativo in <math>A=(0,0)</math>; * è decrescente per <math>0<x<\frac45</math>; * ha un flesso in <math>C=\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math>; * ha un minimo relativo in <math>B=\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math>; * è crescente per <math>x>\frac45</math>; * attraversa nuovamente l'asse delle ascisse in <math>D=(1,0)</math>; * tende a <math>-\infty</math> per <math>x\to-\infty</math>; * tende a <math>+\infty</math> per <math>x\to+\infty</math>. === 20. Conclusione === La funzione <math>f(x)=x^5-x^4=x^4(x-1)</math> è un polinomio definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Presenta due zeri distinti: <math>x=0</math> e <math>x=1</math>. Il punto <math>(0,0)</math> è un massimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac45,-\frac{256}{3125}\right)</math> è un minimo relativo con tangente orizzontale. Il punto <math>\left(\frac35,-\frac{162}{3125}\right)</math> è un punto di flesso. La curva è concava verso il basso per <math>x<\frac35</math> ad eccezione del fatto che in <math>x=0</math> la derivata seconda si annulla senza produrre un cambio di concavità, mentre è concava verso l'alto per <math>x>\frac35</math>. Il comportamento agli estremi è <math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math> e <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>. Pertanto il grafico presenta il caratteristico andamento di un polinomio di quinto grado, con un massimo relativo nell'origine, un punto di flesso tra il massimo e il minimo, un minimo relativo e un successivo andamento crescente verso <math>+\infty</math>. Questa versione è già organizzata come **un unico blocco da copiare e incollare** nel sorgente di Wikipedia, senza `boxed`. fm8plp05vawr041iypkt6ze9j49qdgo 2 32468 288004 213995 2026-10-16T23:45:38Z Ziv 45078 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:Duplicate|Duplicate]]: [[File:Sprite7.png]] → [[File:Flag of Germany.svg]] Exact or scaled-down duplicate: [[c::File:Flag of Germany.svg]] 288004 wikitext text/x-wiki ==Titolo progetto quiz_bandiere == == Versione di Scratch utilizzata == versione 3.0 online == Cosa richiede l'esercizio == Questo quiz ha lo scopo di mettere alla prova le proprie conoscenze su qualche bandiera del mondo. == Soluzione == In questo quiz vi verranno fatte delle domande la cui risposta va scritta nello spazio visualizzato in basso. == Script da progettare == Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons. {| class="wikitable" |- ! Sprite !! Codice !! Codice !! Codice |- | [[File:Sprite1.png|thumb|Sprite1]] || [[File:Quiz bandiere1.png|thumb|Quiz bandiere1]]||[[File:Quiz bandiere2.png|thumb|Quiz bandiere2]]||[[File:Quiz bandiere3.png|thumb|Quiz bandiere3]] |- | [[File:Sprite2.png|thumb|Sprite2]] ||[[File:Quiz bandiere4.png|thumb|Quiz bandiere4]] |- | [[File:Sprite3.png|thumb|Sprite3]] || [[File:Quiz bandiere5.png|thumb|Quiz bandiere5]] |- | [[File:Sprite4.png|thumb|Sprite4]] || [[File:Quiz bandiere6.png|thumb|Quiz bandiere6]] |- |[[File:Sprite5.png|thumb|Sprite5]] || [[File:Quiz bandiere7.png|thumb|Quiz bandiere7]] |- |[[File:Sprite6.png|thumb|Sprite6]] || [[File:Quiz bandiere8.png|thumb|Quiz bandiere8]] |- |[[File:Flag of Germany.svg|thumb|Sprite7]] || [[File:Quiz bandiere9.png|thumb|Quiz bandiere9]] |- |[[File:Sprite8.png|thumb|Sprite8]] ||[[File:Quiz bandiere10.png|thumb|Quiz bandiere10]] |} == Variazioni sul tema == Questo progetto potrebbe essere migliorato aggiungendo domande, personaggi, livelli o inserendo un punteggio di gioco. == Progetto pubblicato all'interno della Community == https://scratch.mit.edu/projects/360802888/ i7arfsm6c4rd2jbifkxoquc9wz7krxd 288006 288004 2026-10-16T23:46:38Z Ziv 45078 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:Duplicate|Duplicate]]: [[File:Sprite6.png]] → [[File:Flag of Italy.svg]] Exact or scaled-down duplicate: [[c::File:Flag of Italy.svg]] 288006 wikitext text/x-wiki ==Titolo progetto quiz_bandiere == == Versione di Scratch utilizzata == versione 3.0 online == Cosa richiede l'esercizio == Questo quiz ha lo scopo di mettere alla prova le proprie conoscenze su qualche bandiera del mondo. == Soluzione == In questo quiz vi verranno fatte delle domande la cui risposta va scritta nello spazio visualizzato in basso. == Script da progettare == Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons. {| class="wikitable" |- ! Sprite !! Codice !! Codice !! Codice |- | [[File:Sprite1.png|thumb|Sprite1]] || [[File:Quiz bandiere1.png|thumb|Quiz bandiere1]]||[[File:Quiz bandiere2.png|thumb|Quiz bandiere2]]||[[File:Quiz bandiere3.png|thumb|Quiz bandiere3]] |- | [[File:Sprite2.png|thumb|Sprite2]] ||[[File:Quiz bandiere4.png|thumb|Quiz bandiere4]] |- | [[File:Sprite3.png|thumb|Sprite3]] || [[File:Quiz bandiere5.png|thumb|Quiz bandiere5]] |- | [[File:Sprite4.png|thumb|Sprite4]] || [[File:Quiz bandiere6.png|thumb|Quiz bandiere6]] |- |[[File:Sprite5.png|thumb|Sprite5]] || [[File:Quiz bandiere7.png|thumb|Quiz bandiere7]] |- |[[File:Flag of Italy.svg|thumb|Sprite6]] || [[File:Quiz bandiere8.png|thumb|Quiz bandiere8]] |- |[[File:Flag of Germany.svg|thumb|Sprite7]] || [[File:Quiz bandiere9.png|thumb|Quiz bandiere9]] |- |[[File:Sprite8.png|thumb|Sprite8]] ||[[File:Quiz bandiere10.png|thumb|Quiz bandiere10]] |} == Variazioni sul tema == Questo progetto potrebbe essere migliorato aggiungendo domande, personaggi, livelli o inserendo un punteggio di gioco. == Progetto pubblicato all'interno della Community == https://scratch.mit.edu/projects/360802888/ ngoix2qdh42as4jl2aj8wvsfqt34y1o 0 32515 288005 255470 2026-10-16T23:45:39Z Ziv 45078 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:Duplicate|Duplicate]]: [[File:Sprite7.png]] → [[File:Flag of Germany.svg]] Exact or scaled-down duplicate: [[c::File:Flag of Germany.svg]] 288005 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica per la scuola media 2|avanzamento=50%}} ==Titolo progetto quiz_bandiere == == Versione di Scratch utilizzata == versione 3.0 online == Cosa richiede l'esercizio == Questo quiz ha lo scopo di mettere alla prova le proprie conoscenze su qualche bandiera del mondo. == Soluzione == In questo quiz vi verranno fatte delle domande la cui risposta va scritta nello spazio visualizzato in basso. == Script da progettare == Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons. {| class="wikitable" |- ! 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Codice |- | [[File:Sprite1.png|thumb|Sprite1]] || [[File:Quiz bandiere1.png|thumb|Quiz bandiere1]]||[[File:Quiz bandiere2.png|thumb|Quiz bandiere2]]||[[File:Quiz bandiere3.png|thumb|Quiz bandiere3]] |- | [[File:Sprite2.png|thumb|Sprite2]] ||[[File:Quiz bandiere4.png|thumb|Quiz bandiere4]] |- | [[File:Sprite3.png|thumb|Sprite3]] || [[File:Quiz bandiere5.png|thumb|Quiz bandiere5]] |- | [[File:Sprite4.png|thumb|Sprite4]] || [[File:Quiz bandiere6.png|thumb|Quiz bandiere6]] |- |[[File:Sprite5.png|thumb|Sprite5]] || [[File:Quiz bandiere7.png|thumb|Quiz bandiere7]] |- |[[File:Flag of Italy.svg|thumb|Sprite6]] || [[File:Quiz bandiere8.png|thumb|Quiz bandiere8]] |- |[[File:Flag of Germany.svg|thumb|Sprite7]] || [[File:Quiz bandiere9.png|thumb|Quiz bandiere9]] |- |[[File:Sprite8.png|thumb|Sprite8]] ||[[File:Quiz bandiere10.png|thumb|Quiz bandiere10]] |} == Variazioni sul tema == Questo progetto potrebbe essere migliorato aggiungendo domande, personaggi, livelli o inserendo un punteggio di gioco. == Progetto pubblicato all'interno della Community == https://scratch.mit.edu/projects/360802888/ moghkefhyl9voflmsmfobh18ubnk5p8 0 32516 288012 269139 2026-10-17T08:44:45Z CommonsDelinker 53 [[commons:User:CommonsDelinker/commands|Bot]]: il file Sfondo_progetto_quiz_sulle_città.png è stato rimosso in quanto cancellato da [[w:Wikimedia Commons|Commons]] da Túrelio 288012 wikitext text/x-wiki ==Titolo progetto == Quiz delle città == Versione di Scratch utilizzata == Versione online 3.0 == Cosa richiede l'esercizio == Questo progetto consiste nel creare un gioco per esercitarsi e riconoscere varie città/stati == Soluzione == == Script da progettare == Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons. {| class="wikitable" |- ! Sprite !! Codice |- | || [[File:Quiz sulle città1.png|thumb|Codice della prima parte]] |- | || [[File:Quiz sulle città2.png|thumb|Codice della seconda parte]] |} == Variazioni sul tema == Per migliorare questo progetto potete scaricare nuovi sfondi di città, o se volete immagini di personaggi storici, qualunque immagine da riconoscere; magari se si vuole si può aggiungere una musica trionfante quando si risponde correttamente oppure una musica triste per quando si dà una risposta errata. == Progetto pubblicato all'interno della Community == https://scratch.mit.edu/projects/360660019/ k79v07mfqlch1wj8wj6qsuabppz0yk8 0 37620 288010 287948 2026-10-17T06:52:49Z Funzioni di correlazione 24136 288010 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = introduzione | avanzamento = 100% }} Il corso si sviluppa mediante l'impiego di file eseguibili di calcolo e applicazioni della IA; dell'IA si scrive: '''Una premessa di IA: ''' ChatGPT è un sistema IA e può commettere errori''' '''Da un'interrogazione di IA: ''' L'intelligenza artificiale (IA) sta trasformando profondamente il campo della matematica, ma è importante distinguere tra ciò che può fare oggi, ciò che fa bene e ciò che rimane principalmente nelle mani dei matematici umani. 1. Assistenza nella risoluzione di problemi L'IA può: Eseguire calcoli simbolici complessi. Risolvere equazioni algebriche, differenziali e integrali. Manipolare espressioni matematiche molto grandi. Verificare passaggi di dimostrazioni. Per esempio, può trovare soluzioni a sistemi di equazioni con centinaia o migliaia di variabili molto più rapidamente di una persona. 2. Dimostrazione automatica di teoremi Uno dei campi più avanzati è la dimostrazione automatica. Sistemi come: Lean Coq Isabelle permettono di verificare formalmente che una dimostrazione sia corretta. L'IA può: suggerire passaggi intermedi; cercare lemmi utili; costruire parti di una dimostrazione; verificare rigorosamente ogni inferenza logica. In alcuni casi è riuscita a dimostrare automaticamente teoremi che richiederebbero molto tempo agli esseri umani. 3. Scoperta di nuove congetture L'IA può analizzare enormi quantità di dati matematici e individuare schemi invisibili all'occhio umano. '''Come si possono inserire variabili e numeri su IA''' Nel caso di computazioni algebriche uno dei metodi più semplici consiste nel formulare funzioni o variabili secondo il vecchio linguaggio Basic e copiarle nell'apposita finestra di https://chatgpt.com/ '''Corrispondenza tra simboli aritmetici e simboli Basic all'indirizzo:''' [[https://drive.google.com/file/d/1p2SdpvYcvLmrq-MFa0G5JrdiPrjQL6T2/view?usp=drive_link Basic]] Nel caso generale i dati possono essere inseriti in IA mediante periodi discorsivi che illustrano la struttura della formula come ad esempio per: y = x² + x - 5 si digita: calcola il quadrato di x più x meno 5. '''Esempio di compilazione in basic''' Risolvere l'equazione: X² + <big>V</big> x + x – 4 = 0 sintassi algebrica x^2 + <small>S</small>qr (x) + x – 4 = 0 Basic [[https://drive.google.com/file/d/15oAWJAZJz_b8JNIIBP_TWQCRssNIXNzx/view?usp=drive_link la risposta di IA]] '''Dettagli d'impiego IA''' Sull'equazioni di primo grado. (soltanto come primo approccio ad AI) risolvere l'equazione 3 x + 6 = 12 con AI Sequenza di lavoro per AI: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Risolvi l'equazione di primo grado 3 x + 6 = 2 ''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: Risolviamo l’equazione: 3x+6=2 Sottraiamo 6 da entrambi i membri: 3x=2−6 3x=−4 Dividiamo per 3: x=−4/3 8) per altri esercizi uscire da AI 9) Modificare le variabili del testo in grassetto con nuovi valori 10) Entrare su AI 11 )Incollare nuovo testo grassetto 12) Seguire la procedura precedente Indirizzo AI: https://chatgpt.com/ Una seconda disponibilità di lavorare con IA si può trovare in Gemini edc21ravz1gwlzvt6s1zweumq8v1qdt 288011 288010 2026-10-17T06:55:23Z Funzioni di correlazione 24136 288011 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = introduzione | avanzamento = 100% }} Il corso si sviluppa mediante l'impiego di file eseguibili di calcolo e applicazioni della IA; dell'IA si scrive: '''Una premessa di IA: ''' ChatGPT è un sistema IA e può commettere errori''' '''Da un'interrogazione di IA: ''' L'intelligenza artificiale (IA) sta trasformando profondamente il campo della matematica, ma è importante distinguere tra ciò che può fare oggi, ciò che fa bene e ciò che rimane principalmente nelle mani dei matematici umani. 1. Assistenza nella risoluzione di problemi L'IA può: Eseguire calcoli simbolici complessi. Risolvere equazioni algebriche, differenziali e integrali. Manipolare espressioni matematiche molto grandi. Verificare passaggi di dimostrazioni. Per esempio, può trovare soluzioni a sistemi di equazioni con centinaia o migliaia di variabili molto più rapidamente di una persona. 2. Dimostrazione automatica di teoremi Uno dei campi più avanzati è la dimostrazione automatica. Sistemi come: Lean Coq Isabelle permettono di verificare formalmente che una dimostrazione sia corretta. L'IA può: suggerire passaggi intermedi; cercare lemmi utili; costruire parti di una dimostrazione; verificare rigorosamente ogni inferenza logica. In alcuni casi è riuscita a dimostrare automaticamente teoremi che richiederebbero molto tempo agli esseri umani. 3. Scoperta di nuove congetture L'IA può analizzare enormi quantità di dati matematici e individuare schemi invisibili all'occhio umano. '''Come si possono inserire variabili e numeri su IA''' Nel caso di computazioni algebriche uno dei metodi più semplici consiste nel formulare funzioni o variabili secondo il vecchio linguaggio Basic e copiarle nell'apposita finestra di https://chatgpt.com/ '''Corrispondenza tra simboli aritmetici e simboli Basic all'indirizzo:''' [[https://drive.google.com/file/d/1p2SdpvYcvLmrq-MFa0G5JrdiPrjQL6T2/view?usp=drive_link Basic]] Nel caso generale i dati possono essere inseriti in IA mediante periodi discorsivi che illustrano la struttura della formula come ad esempio per: y = x² + x - 5 si digita: calcola il quadrato di x più x meno 5. '''Esempio di compilazione in basic''' Risolvere l'equazione: X² + <big>V</big> x + x – 4 = 0 sintassi algebrica x^2 + <small>S</small>qr (x) + x – 4 = 0 Basic [[https://drive.google.com/file/d/15oAWJAZJz_b8JNIIBP_TWQCRssNIXNzx/view?usp=drive_link la risposta di IA]] '''Dettagli d'impiego IA''' Sull'equazioni di primo grado. (soltanto come primo approccio ad AI) risolvere l'equazione 3 x + 6 = 12 con AI Sequenza di lavoro per AI: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Risolvi l'equazione di primo grado 3 x + 6 = 2 ''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: Risolviamo l’equazione: 3x+6=2 Sottraiamo 6 da entrambi i membri: 3x=2−6 3x=−4 Dividiamo per 3: x=−4/3 8) per altri esercizi uscire da AI 9) Modificare le variabili del testo in grassetto con nuovi valori 10) Entrare su AI 11 )Incollare nuovo testo grassetto 12) Seguire la procedura precedente Indirizzo AI: https://chatgpt.com/ Una seconda disponibilità di lavorare con IA si può trovare in Gemini: https://gemini.google.com/app?hl=it p3ob9u9753afaxdvmbqzy2xn6696ozu 0 37843 287992 287922 2026-10-16T15:48:33Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/287922|287922]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 287992 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== # FUNZIONI ANALITICHE ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. i9j2pysa7dq67ep2fd3082nj6y02ij6 287993 287992 2026-10-16T15:51:17Z Funzioni di correlazione 24136 287993 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==FUNZIONI ANALITICHE VERIFICATE SECONDO CAUCHY _ RIEMANN== # ==FUNZIONI ANALITICHE VERIFICATE CON SERIE DI POTENZE== ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. sa4se0vv8i2gez1nss4hrp9hwxffla2 287994 287993 2026-10-16T15:55:34Z Funzioni di correlazione 24136 287994 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondole le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. ==FUNZIONI ANALITICHE VERIFICATE CON SERIE DI POTENZE== ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. dag5dvsqledabf886taiz16syc4sdv5 287995 287994 2026-10-16T15:58:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Funzioni analitiche verificate secondole le condizioni di Cauchy-Riemann */ 287995 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondole le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio svolto: analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==FUNZIONI ANALITICHE VERIFICATE CON SERIE DI POTENZE== ## 1. Definizione di funzione analitica Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. sui8c478uh4p4j6iz9y3vzn8sdif0up 287996 287995 2026-10-16T16:00:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* FUNZIONI ANALITICHE VERIFICATE CON SERIE DI POTENZE */ 287996 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondole le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio svolto: analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. q7qfydebde2zvjgmj9cgh3060nifa6e 287997 287996 2026-10-16T16:01:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Funzioni analitiche verificate secondole le condizioni di Cauchy-Riemann */ 287997 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio svolto: analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. tf9960qm5jifxw8t10m56cjjah0wihp 287998 287997 2026-10-16T16:02:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio svolto: analiticità di f(z) = z^2 */ 287998 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. ==o°. Esercizio : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. h7zk3sizjqmi4o7q99ok93am9so4du8 287999 287998 2026-10-16T16:04:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* o°. Esercizio : analiticità di f(z) = z^2 */ 287999 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. ==0°. Esercizio : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. 9hhzzq6jwol22degtolzucchrwbawed 288000 287999 2026-10-16T16:08:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 0°. Esercizio : analiticità di f(z) = z^2 */ 288000 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio 0° : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. h3pxpvd3okfdp1aug4vfo9z33pvm4c5 288001 288000 2026-10-16T16:11:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esercizio 0° : analiticità di f(z) = z^2 */ 288001 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio 0° : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> 2. **Calcolo delle derivate parziali prime:** Deriviamo <math>u</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> Deriviamo <math>v</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> 3. **Verifica delle equazioni di Cauchy-Riemann:** * Prima equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math>): <math>2x = 2x</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) * Seconda equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>): <math>-2y = -(2y)</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) 4. **Conclusione:** Le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono espressioni polinomiali, e pertanto risultano continue ovunque in <math>\mathbb{R}^2</math>. Poiché le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in tutto il piano, la funzione <math>f(z) = z^2</math> è **analitica** (ed è una funzione intera) su tutto <math>\mathbb{C}</math>. 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. royivkta7plp6o0szmonpzgynwxj6a6 288002 288001 2026-10-16T16:11:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* Svolgimento */ 288002 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio 0° : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> 2. **Calcolo delle derivate parziali prime:** Deriviamo <math>u</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> Deriviamo <math>v</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> 3. **Verifica delle equazioni di Cauchy-Riemann:** * Prima equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math>): <math>2x = 2x</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) * Seconda equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>): <math>-2y = -(2y)</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) 4. **Conclusione:** Le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono espressioni polinomiali, e pertanto risultano continue ovunque in <math>\mathbb{R}^2</math>. Poiché le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in tutto il piano, la funzione <math>f(z) = z^2</math> è **analitica** (ed è una funzione intera) su tutto <math>\mathbb{C}</math>. 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. ga5bne2jnljtcv4a0fjuz5qaand01w4 288003 288002 2026-10-16T16:12:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Svolgimento */ 288003 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Funzioni analitiche | avanzamento = 100% }} ===Iniziamo la lezione precisando: Le funzioni analitiche sono una particolare classe di funzioni complesse di variabile complessa, caratterizzate dalla derivabilità complessa in ogni punto del dominio.=== ==Funzioni analitiche verificate secondo le condizioni di Cauchy-Riemann == In analisi complessa, le **equazioni di Cauchy-Riemann** costituiscono un sistema di due equazioni alle derivate parziali che, insieme alla continuità delle derivate stesse, forniscono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione complessa sia olomorfa (e quindi analitica) in un dominio aperto. Sia <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math> una funzione complessa definita in un aperto <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>, dove <math>z = x + iy</math> e <math>u, v</math> sono le parti rispettivamente reale e immaginaria a valori reali. Le equazioni di Cauchy-Riemann sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Teorema di analiticità === Se le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono continue in <math>U</math> e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto di <math>U</math>, allora la funzione <math>f(z)</math> è analitica in <math>U</math>. == Esercizio 0° : analiticità di <math>f(z) = z^2</math> == Verifichiamo mediante le equazioni di Cauchy-Riemann se la funzione <math>f(z) = z^2</math> è analitica in tutto il piano complesso <math>\mathbb{C}</math>. === Svolgimento === 1. **Scomposizione in parte reale e immaginaria:** Sostituendo <math>z = x + iy</math> all'interno della funzione, si ottiene: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Da cui si identificano la parte reale <math>u(x,y)</math> e la parte immaginaria <math>v(x,y)</math>: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math> <math>v(x,y) = 2xy</math> 2. **Calcolo delle derivate parziali prime:** Deriviamo <math>u</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> Deriviamo <math>v</math> rispetto a <math>x</math> e <math>y</math>: <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math> <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> 3. **Verifica delle equazioni di Cauchy-Riemann:** * Prima equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math>): <math>2x = 2x</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) * Seconda equazione (<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>): <math>-2y = -(2y)</math> (verificata identicamente per ogni <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>) 4. **Conclusione:** Le derivate parziali prime di <math>u</math> e <math>v</math> sono espressioni polinomiali, e pertanto risultano continue ovunque in <math>\mathbb{R}^2</math>. Poiché le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte in tutto il piano, la funzione <math>f(z) = z^2</math> è **analitica** (ed è una funzione intera) su tutto <math>\mathbb{C}</math>. ==Funzioni analitiche verificate con serie di potenze== Una funzione <math>f</math> si dice analitica in un punto <math>x_0</math> se, in un intorno di <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente. La rappresentazione ha la forma: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Esplicitando i primi termini: <math>f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots</math> Il punto <math>x_0</math> è il centro dello sviluppo. Una funzione analitica, quindi, può essere descritta localmente attraverso una somma infinita di potenze della quantità: <math>x-x_0</math> I coefficienti della serie non sono scelti arbitrariamente: quando la funzione è infinitamente derivabile e ammette sviluppo di Taylor, essi sono determinati dalle derivate della funzione nel punto <math>x_0</math>. '''Le richieste di calcolo da parte di IA sono riportate in grassetto a seguito dell'intestazione degli esercizi''' ==ESERCIZIO 1 == '''Riconoscere lo sviluppo della funzione analitica f(x )= e^ x''' IA tisponde: Consideriamo la funzione: <math>f(x)=e^x</math> La sua serie di potenze centrata in <math>x_0=0</math> è: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Calcoliamo i primi termini numericamente. Abbiamo: <math>2!=2</math> quindi: <math>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}</math> Inoltre: <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math> quindi: <math>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6}</math> e: <math>4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24</math> quindi: <math>\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}</math> Pertanto: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> Questa è una rappresentazione analitica della funzione esponenziale attraverso una serie di potenze. --- # 2. Serie di Taylor Lo sviluppo più importante per una funzione analitica è lo sviluppo di Taylor. Se la funzione è analitica nel punto <math>x_0</math>, possiamo scrivere: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots</math> In forma compatta: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> Il primo termine dipende dal valore della funzione: <math>f(x_0)</math> Il secondo dipende dalla prima derivata: <math>f'(x_0)</math> Il terzo dipende dalla seconda derivata: <math>f''(x_0)</math> e così via. Perciò le derivate della funzione nel punto <math>x_0</math> determinano completamente i coefficienti dello sviluppo di Taylor. --- == ESERCIZIO 2 == '''Sviluppo di Taylor di e^x nel punto x_0 = 0 IA risponde: Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Calcoliamo le derivate successive: <math>f'(x)=e^x</math> <math>f''(x)=e^x</math> <math>f'''(x)=e^x</math> <math>f^{(4)}(x)=e^x</math> Tutte le derivate sono quindi uguali alla funzione iniziale. Calcoliamo ora i valori nel punto: <math>x_0=0</math> Otteniamo: <math>f(0)=e^0=1</math> <math>f'(0)=e^0=1</math> <math>f''(0)=e^0=1</math> <math>f'''(0)=e^0=1</math> <math>f^{(4)}(0)=e^0=1</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots</math> Sostituendo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Quindi: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots</math> --- # 3. Sviluppo di Taylor centrato in un punto diverso da zero Lo sviluppo non deve necessariamente essere centrato nell'origine. Possiamo scegliere un qualsiasi punto <math>x_0</math> nel quale la funzione sia analitica. La formula generale è: <math>f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots</math> La differenza fondamentale rispetto allo sviluppo centrato in zero è la presenza di: <math>x-x_0</math> al posto di: <math>x</math> Il centro dello sviluppo determina quindi il punto attorno al quale viene costruita la serie. --- ==ESERCIZIO 3 == ''' Sviluppo di e^x centrato in x_0 = 1 Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Scegliamo: <math>x_0=1</math> Le derivate sono sempre: <math>f^{(n)}(x)=e^x</math> Calcoliamo i valori nel punto <math>x_0=1</math>: <math>f(1)=e</math> <math>f'(1)=e</math> <math>f''(1)=e</math> <math>f'''(1)=e</math> Inseriamo questi valori nella formula di Taylor: <math>f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Otteniamo: <math>e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+\frac{e}{3!}(x-1)^3+\cdots</math> Raccogliendo <math>e</math>: <math>e^x=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2!}+\frac{(x-1)^3}{3!}+\cdots\right]</math> Questo è lo sviluppo di Taylor della funzione <math>e^x</math> centrato nel punto <math>x_0=1</math>. --- # 4. Funzioni analitiche e approssimazione Uno degli aspetti più importanti delle funzioni analitiche è la possibilità di approssimarle mediante un numero finito di termini della loro serie di Taylor. Consideriamo: <math>f(x)=e^x</math> Il polinomio di Taylor di primo grado centrato in <math>0</math> è: <math>T_1(x)=1+x</math> Il polinomio di Taylor di secondo grado è: <math>T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}</math> Il polinomio di Taylor di terzo grado è: <math>T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}</math> Aumentando il numero di termini, l'approssimazione diventa progressivamente più precisa nell'intorno del centro dello sviluppo. --- ==ESERCIZIO 4 == ''' Approssimazione numerica di e^{0,2}''' IA risponde: Vogliamo calcolare un'approssimazione di: <math>e^{0,2}</math> Utilizziamo lo sviluppo: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,2</math> Utilizziamo i primi quattro termini: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{(0,2)^2}{2}+\frac{(0,2)^3}{6}</math> Calcoliamo: <math>(0,2)^2=0,04</math> e: <math>(0,2)^3=0,008</math> Quindi: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+\frac{0,04}{2}+\frac{0,008}{6}</math> Calcoliamo le frazioni: <math>\frac{0,04}{2}=0,02</math> e: <math>\frac{0,008}{6}\approx0,001333</math> Pertanto: <math>e^{0,2}\approx1+0,2+0,02+0,001333</math> <math>e^{0,2}\approx1,221333</math> Aggiungendo ulteriori termini si ottiene un'approssimazione ancora più precisa. Il valore reale è circa: <math>e^{0,2}\approx1,221403</math> La differenza è quindi molto piccola. --- # 5. Altre importanti funzioni analitiche Tra le funzioni analitiche più importanti troviamo la funzione esponenziale: <math>e^x</math> le funzioni trigonometriche: <math>\sin x</math> e: <math>\cos x</math> e, in determinati intervalli del loro dominio, anche altre funzioni che ammettono sviluppo in serie di potenze. Le funzioni seno e coseno possiedono sviluppi particolarmente importanti. Per il seno: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Per il coseno: <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Queste due serie sono centrate in: <math>x_0=0</math> e contengono solamente potenze dispari nel caso del seno e solamente potenze pari nel caso del coseno. --- ==ESERCIZIO 5 == ''' Approssimazione di sin(0,1)''' IA risponde: Consideriamo lo sviluppo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> Poniamo: <math>x=0,1</math> Utilizziamo i primi tre termini: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{(0,1)^3}{6}+\frac{(0,1)^5}{120}</math> Calcoliamo: <math>(0,1)^3=0,001</math> e: <math>(0,1)^5=0,00001</math> Quindi: <math>\sin(0,1)\approx0,1-\frac{0,001}{6}+\frac{0,00001}{120}</math> Calcoliamo: <math>\frac{0,001}{6}\approx0,000166667</math> e: <math>\frac{0,00001}{120}\approx0,0000000833</math> Pertanto: <math>\sin(0,1)\approx0,1-0,000166667+0,0000000833</math> <math>\sin(0,1)\approx0,099833416</math> Quindi lo sviluppo in serie permette di ottenere un'ottima approssimazione del valore della funzione. --- # 6. Derivazione di una funzione analitica La derivazione è strettamente collegata alla rappresentazione in serie. Se: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> allora, nel contesto in cui la serie può essere derivata termine per termine, otteniamo: <math>f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}</math> Derivando nuovamente: <math>f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math> Le derivate permettono quindi di ricavare informazioni direttamente dai coefficienti della serie. --- ==ESERCIZIO 6 == ''' Derivazione dello sviluppo di sin x IA risponfde: Consideriamo: <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> Deriviamo termine per termine. La derivata di: <math>x</math> è: <math>1</math> La derivata di: <math>-\frac{x^3}{3!}</math> è: <math>-\frac{3x^2}{3!}</math> Poiché: <math>3!=6</math> otteniamo: <math>-\frac{3x^2}{6}=-\frac{x^2}{2}</math> La derivata di: <math>\frac{x^5}{5!}</math> è: <math>\frac{5x^4}{5!}</math> Poiché: <math>5!=120</math> otteniamo: <math>\frac{5x^4}{120}=\frac{x^4}{24}</math> La derivata di: <math>-\frac{x^7}{7!}</math> è: <math>-\frac{7x^6}{7!}</math> Poiché: <math>7!=5040</math> otteniamo: <math>-\frac{7x^6}{5040}=-\frac{x^6}{720}</math> Quindi: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> Ma la serie: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math> è proprio lo sviluppo di: <math>\cos x</math> Pertanto: <math>\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x</math> Questo mostra direttamente, attraverso le serie di potenze, il rapporto tra le due funzioni analitiche <math>\sin x</math> e <math>\cos x</math>. --- # CONCLUSIONE Una funzione analitica è una funzione che, in un intorno di un punto <math>x_0</math>, può essere rappresentata mediante una serie di potenze convergente: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n</math> Quando i coefficienti sono determinati dalle derivate della funzione, otteniamo lo sviluppo di Taylor: <math>f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math> I concetti fondamentali sono quindi: <math>1.\quad\text{punto di sviluppo }x_0</math> <math>2.\quad\text{derivate della funzione}</math> <math>3.\quad\text{coefficienti della serie}</math> <math>4.\quad\text{serie di potenze}</math> <math>5.\quad\text{convergenza della serie}</math> <math>6.\quad\text{approssimazione mediante polinomi di Taylor}</math> Le funzioni analitiche più importanti possono essere rappresentate attraverso sviluppi di questo tipo. Per esempio: <math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots</math> <math>\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> <math>\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots</math> La caratteristica essenziale è quindi la possibilità di descrivere la funzione, in un opportuno intorno, mediante una serie di potenze. ==ESERCIZIO 7 == ''' Sviluppare la funzione f(z) = 1/z con z = x+jy e dimostrare che è ANALITICA''' IA risponde: Sia data la funzione <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> con <math>z=x+jy</math> dove <math>x,y\in\mathbb{R}</math>. Sostituiamo <math>z=x+jy</math> nella funzione: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}</math> Per separare la parte reale da quella immaginaria, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: <math>f(z)=\frac{1}{x+jy}\frac{x-jy}{x-jy}</math> Otteniamo: <math>f(z)=\frac{x-jy}{(x+jy)(x-jy)}</math> Calcoliamo il denominatore utilizzando il prodotto tra complessi coniugati: <math>(x+jy)(x-jy)=x^2-(jy)^2</math> Poiché <math>j^2=-1</math> si ha: <math>x^2-(jy)^2=x^2-j^2y^2=x^2+y^2</math> Quindi: <math>f(z)=\frac{x-jy}{x^2+y^2}</math> Separando parte reale e parte immaginaria: <math>f(z)=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> Pertanto possiamo scrivere: <math>f(z)=u(x,y)+jv(x,y)</math> con <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> Il dominio della funzione è: <math>z\neq 0</math> ovvero: <math>(x,y)\neq(0,0)</math> Calcoliamo ora le derivate parziali di <math>u(x,y)</math>. Partendo da <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> la derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> Passiamo ora a <math>v(x,y)</math>: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>x</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> La derivata parziale rispetto a <math>y</math> è: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}</math> quindi: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> Verifichiamo ora le equazioni di Cauchy-Riemann. Le equazioni sono: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Per la prima equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math> Per la seconda equazione: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> mentre: <math>-\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}</math> pertanto: <math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math> Le equazioni di Cauchy-Riemann sono quindi soddisfatte per ogni punto tale che: <math>x^2+y^2\neq 0</math> cioè per: <math>z\neq0</math> Le derivate parziali sono inoltre continue in ogni punto del dominio. Di conseguenza, la funzione è analitica in tutto il piano complesso escluso il punto <math>z=0</math>. Possiamo quindi concludere che: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> è analitica per: <math>z\in\mathbb{C}\setminus{0}</math> Calcoliamo anche la derivata della funzione analitica. Partendo da: <math>f(z)=z^{-1}</math> si ottiene: <math>f'(z)=-z^{-2}</math> quindi: <math>f'(z)=-\frac{1}{z^2}</math> Sostituendo <math>z=x+jy</math>: <math>f'(z)=-\frac{1}{(x+jy)^2}</math> Pertanto lo sviluppo della funzione nella forma parte reale più parte immaginaria è: <math>\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-j\frac{y}{x^2+y^2}</math> con: <math>u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> e: <math>v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}</math> e la funzione risulta analitica in: <math>\mathbb{C}\setminus{0}</math> mentre in: <math>z=0</math> la funzione non è definita e presenta una singolarità. qui2se1q1b4q3ag8lzkhlqoqfbydqk3 0 37849 288008 2026-10-17T03:06:10Z Lovepeacejoy404 41446 Creata pagina con "{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=75%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Writer''', programma opensource che gestisce documenti in alternativa al software commerciale '''Word'''. ==Formattazione e stili== Invece di impostare manualmente la formattazione del testo conviene utilizzare gli stili. Ad esempio *Titolo 1: per i capitoli principali. *Titolo 2: per le sezioni. *Titolo 3: per le sottosezion..." 288008 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=75%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Writer''', programma opensource che gestisce documenti in alternativa al software commerciale '''Word'''. ==Formattazione e stili== Invece di impostare manualmente la formattazione del testo conviene utilizzare gli stili. Ad esempio *Titolo 1: per i capitoli principali. *Titolo 2: per le sezioni. *Titolo 3: per le sottosezioni. *Corpo del testo: per i paragrafi normali. In tal modo si possono modificare gli stili di un livello in tutto il documento, si può generare automaticamente un indice e si può navigare rapidamente tra le sezioni. Nella barra laterale destra c'è un pulsante "Stili" che apre l'elenco di tutti gli stili oppure nella barra degli strumenti Formattazione c'è un menù a tendina dove selezionare gli stili. Se si vuole modificare uno stile in tutto il documento cliccare col destro sullo stile e scegliere Modifica . Se si vuole incollare del testo non formattato scegliere Modifica --> Incolla speciale --> Testo non formattato. Se si vuole annullare la formattazione in un testo selezionato, usare CTRL + M ==Stili di pagina== Se si vuole ad esempio una pagina in orizzontale in mezzo al documento bisogna cambiare lo stile della pagina. Nella barra laterale destra c'è un pulsante "Pagina", dove si può cambiare margini, orientamento, intestazioni e numerazione diversi nello stesso documento della pagina selezionata. ==Interlinea , distanza sopra e sotto il paragrafo, rientri== Selezionare il paragrafo da modificare , cliccare col destro e poi scegliere Paragrafo... modificando Interlinea, distanza e rientri. ==Indice automatico== Se si sono utilizzati gli stili, si può inserire in un punto del documento un indice automatico da Inserisci --> Indice generale e indice analitico . Se si modifica il documento, bisogna cliccare col destro sull'indice e scegliere "Aggiorna indice" ==Numerazione capitoli== I capitoli possono essere numerati attraverso i titoli, da Strumenti --> Numerazione titoli . Ciò si riflette sull'indice. ==Navigatore== Nella barra laterale destra c'è un pulsante che apre il navigatore per spostarsi rapidamente in documenti molto lunghi raggiungendo capitoli, sottocapitoli, tabelle, immagini ecc. ==Interruzione di pagina== Per inserirla scegliere Inserisci -->Interruzione di pagina oppure CTRL + Invio ==Intestazioni e piè di pagina== Per inserirle scegliere Inserisci --> Intestazioni e piè di pagina e poi ad esempio nell'intestazione o piè di pagina Inserisci --> Numero di pagina oppure Inserisci -->Comando di campo -->Data ==Modelli di documento== Se si scrivono frequentemente documenti simili si può creare un modello con logo, intestazione, piè di pagina, margini, stili, tabelle . e salvare il documento come modello di Writer, normalmente con estensione .ott . Per creare un file da modello selezionare File -->Nuovo-->Modello... mexq693z22jocyi5k6o4pm80o3trxtg 288009 288008 2026-10-17T05:02:40Z Lovepeacejoy404 41446 288009 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Informatica|avanzamento=75%}} In questa lezione verranno elencati alcuni suggerimenti e trucchi per '''LibreOffice Writer''', programma opensource che gestisce documenti in alternativa al software commerciale '''Word'''. ==Formattazione e stili== Invece di impostare manualmente la formattazione del testo conviene utilizzare gli stili. Ad esempio *Titolo 1: per i capitoli principali. *Titolo 2: per le sezioni. *Titolo 3: per le sottosezioni. *Corpo del testo: per i paragrafi normali. In tal modo si possono modificare gli stili di un livello in tutto il documento, si può generare automaticamente un indice e si può navigare rapidamente tra le sezioni. 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Ciò si riflette sull'indice. ==Navigatore== Nella barra laterale destra c'è un pulsante che apre il navigatore per spostarsi rapidamente in documenti molto lunghi raggiungendo capitoli, sottocapitoli, tabelle, immagini ecc. ==Interruzione di pagina== Per inserirla scegliere Inserisci -->Interruzione di pagina oppure CTRL + Invio ==Intestazioni e piè di pagina== Per inserirle scegliere Inserisci --> Intestazioni e piè di pagina e poi ad esempio nell'intestazione o piè di pagina Inserisci --> Numero di pagina oppure Inserisci -->Comando di campo -->Data ==Modelli di documento== Se si scrivono frequentemente documenti simili si può creare un modello con logo, intestazione, piè di pagina, margini, stili, tabelle . e salvare il documento come modello di Writer, normalmente con estensione .ott . Per creare un file da modello selezionare File -->Nuovo-->Modello... 7pt45c4aoglcusnq32q4kbotpah7oqi