Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk トーク:量子力学 1 1525 299805 299242 2026-05-24T12:46:25Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 範囲の確認をお願いします。???(0≦x≦x) */ 新しい節 299805 wikitext text/x-wiki == 化学数学大辞典に書いてあるんだが == （すじにくシチューの意見）化学数学大辞典に、ベッセル関数に置き換える変換を2回使ってシュレーディンガー方程式の解を求める方法が書いてあるんですが、 それを知らずに、単に自分が知らないだけで「誤り」とかする Nermer314 は、大迷惑です。 このNermer314、大学教養レベルの理科ぐらいしか知らない科学オンチのくせに知ったかぶりして口出ししてくるので、大迷惑です。 Kanade k さんとか Glayhours さんとかも編集してチェックしてるんだから、そんなに大きな間違いはないはずなんだが、そういうのが分からないバカが Nermer なんでしょう。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 14:28 (UTC) （すじにくシチュー）出典の追加です。本wikiの単元とは異なりますが、ベッセル関数を使って量子力学の教育を展開する方法は、下記サイトのように一般的にも行われています たとえば、 [http://irobutsu.a.la9.jp/kougi/qm/qm2_12.html 『4.2 ２次元における角運動量』 , （2004年度の琉球大学理学部物質地球科学科の講義）、 2024年08月10日に確認. ] こういうの知らない低レベルなのに Nermer は理系ヅラして他人の編集を消すので、ただただ、迷惑です。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 14:39 (UTC) Nermer の理系知識は、おそらく生成AIでしょう。ネットに上がってない情報とか、そういうのは「誤り」としているだけの人物。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 15:04 (UTC) :水素原子の部分は長々と語っている割に、「球座標に変換して解く、解にルジャンドル多項式が現れる」という情報しかないから削除が妥当です。通常の教科書だと具体的に求解すべきところですが、それもない。 :しかも文章が全く同じ内容を反復してるところもあってかなり読みにくい。例えば、次の２つの文は同じような内容を言葉を変えて言っているだけです。 :『シュレーディンガーの方程式を球座標に変換する必要がある。あとは、方程式を解くだけである。文章で書くと短いが、実際の計算が、なかなか複雑である。直交座標用の波動方程式の微分方程式を、球座標用に座標変換すると、特殊関数のルシャンドル関数が導かれる。』 :『量子力学でも、シュレーディンガー方程式を球座標に変換する際、座標変換するときに、類似の計算をする。したがって水素原子模型のシュレーディンガー方程式を解く際に、特殊関数のルジャンドル関数を用いる。』--[[利用者:Nermer314|Nermer314]] ([[利用者・トーク:Nermer314|トーク]]) 2024年8月11日 (日) 00:02 (UTC) ==記述すべき項目のリストアップ== *序文: 量子論がなぜ必要か *基本的枠組み *数学的体系 **ブラケット **ユニタリー変換・対称性と保存則 ***基底の変換とユニタリー変換 ***対称性と保存則 *電子と電磁場の相互作用 **電磁場とスカラー・ベクトルポテンシャル、ゲージ対称性 **古典論における電磁場中の電子 **電磁場中の電子に関するシュレディンガー方程式 **Landauレベル **Aharonov-Bohm効果 *演算子と行列、スピン **電磁場中の原子とZeemann効果 **スピンを表す行列 **スピン歳差運動／spin precession *[[量子力学/角運動量の合成]] **物理的意味 **スピン1/2の合成 **一般の合成 *[[量子力学/時間に依存しない摂動論]] **摂動論の必要性 **線形代数における摂動論 **縮退が無い場合の摂動論 **縮退がある場合の摂動論 **正常Zeeman効果 *本当の水素原子 **運動エネルギーの相対論的補正 **Spin-Orbit coupling **異常Zeeman効果 *同種粒子の系 ==雑談 == 更新が再開されたようですね。 こちらも初等的な数学が終わったら物理の執筆に移って来たいと思っています。 そのときはよろしくお願いします。:：-) --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月6日 (金) 11:20 (UTC) こんにちは。 このページを"物理学" 以下に移動したいのですが、 よろしいでしょうか? もし不都合があれば、ご連絡をお願いします。 この連絡以降,1週間程経過しても元の作者からの 連絡が無かった場合、GNU FDLの規定に従って、 これらの文書を再配布させて頂きます。:-) --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月15日 (日) 07:21 (UTC) 編集が再開されて項の内容も充実して来ました。 そろそろ"削除依頼"の表示を消してしまってもよいように思うのですが どうでしょうか? --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年6月19日 (日) 04:15 (UTC) そうですねえ。ここまで書いたのに削除されたらちょっとがっくりきますね。しかし、スピンに限って話を進めればかなりすっきり書けると思って書いてみたのですが、読み返してみるとやはり長くなるにつれごちゃごちゃしてくる感がありますね。 [[利用者:Tenarai|Tenarai]] 2005年6月19日 (日) 13:31 (UTC) そうかも知れませんね。ただ、簡潔すぎるよりはいろいろと書いてあった方がわかりやすくなることもありそうなので、スッキリしすぎるのも考え物だと思います。案外これぐらいが丁度いいのかもしれません。--[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年6月20日 (月) 13:06 (UTC) wikipediaの量子力学の項を編集していたらこっちにリンクがつながっていて、このwikibookがしっかりしてほしいとおもったので加筆参加します。 そのうちアカウントつくります。--[[特別:Contributions/203.110.227.178|203.110.227.178]] 2008年9月1日 (月) 09:06 (UTC) == 明確に間違っていること以外は消さないでほしい == Glayhoursさんが、2015年4月24日 (金) 18:11‎の編集で、ボーアの提案の説明を消していますが（「高名な物理学者である[[w:ボーア]]は、これを解決する非常に不思議に思える提案をした。」）、消すほどのことではないと思います。他の編集者が使おうとする場合もあります。今後の他の編集者が、新たにボーアの提案について調べなおすのは時間の無駄です。なので明確な間違い以外では、なるべく書いてあることは消さずに、他の章や節への移動や統合によって対処してほしいです。他にも、電気素量との関連を消してる件や、「うなり」との関連の件を消してることも気になります。うなりの件の記述は、不確定性原理やフーリエ解析を念頭にして書いたことであり、量子力学の専門書でも不確定原理の説明などでフーリエ解析は用いられる場合もあります。 それと「非相対論的な物質波の運動方程式は'''シュレーディンガー方程式''' (Schr&ouml;dinger equation) と呼ばれる」というふうに「非相対論的な」と書かれてありますが、わざわざ相対性理論の予備知識を必要としかねない解説を加えるのは、量子力学の入門であるこのページには相応しくないと思います。理系の大学でも、工学部などでは相対性理論を習わずに量子力学を習う場合もあります。普通の量子力学の入門書を見ても、おそらくシュレーディンガーの方程式の導入では、いちいち「非相対論的」とか断り書きしてないだろうと思います。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年4月24日 (金) 20:35 (UTC) :ボーアに関する記述はまったく嘘で、ボーアが理論を発表した1913年時点では「高名な物理学者」ではなく、ボーア理論が受容されるのはそこから更に時間を要しています。また、ボーアは波動とのアナロジーから結果を得たのではなく、単に古典力学ではラザフォードモデルが破綻することから着想を得ています。この点に関しても、直前が古典的な振動問題に関する記述であることと相容れません。 :付け加えるなら、そもそも教科書に「高名な」という主観的情報を入れるべきではないと思います。 :電気素量やうなりの部分は余りに唐突で、記述も短く他の節でフォローされているわけでもないので、必要であれば理論的部分を抽出してまとまった文章を書くべきだと感じました。コメントとして残すにしろ、現在の節には入る余地はないと思います。 :シュレーディンガーの理論において非相対論的であることは本質的で、歴史的にもシュレーディンガーが相対論的理論の導出を試みて失敗し、その非相対論的理論としてシュレーディンガー方程式を導いています。教育的な配慮として、相対論に関する言及を避けるべきということですが、ニュートン力学や解析力学を知らないからといって電磁気学や熱力学の学習を諦めるような人はまず居ないと思われます。なので、相対論を特別視する意味はないでしょう。普通の量子力学の入門書の部類に当たるかは知りませんが、ランダウ＝リフシッツの理論物理学教程は「非相対論的量子力学」と「相対論的量子力学」の巻が分けられていますし、小教程の「量子力学」では通常の量子力学と相対論的量子力学の両方を含み、非相対論的な理由からシュレーディンガーの理論が成り立っていることが言及されています。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年4月25日 (土) 16:08 (UTC) ランダウ＝リフシッツの本は、どう考えても、非初心者に向けて書かれた本でしょう。この記事は、初心者が読むんですよ。弁明の根拠としてランダウの本を持ち出す時点で、このウィキブックス記事の執筆方針からは、ずれています。そのような、より専門的な量子力学のウィキブックス記事の執筆は、大学上級用の記事や、大学院用の記事など、他のページで行うべきでしょう。思うに、ここの記事での執筆方針で大切なのは、けっして正しいかどうかだけではなく、さらに読者（大学1年～2年程度）が読んで分かるかどうかです。相対論の予備知識のある読者もいるかもしれませんから、必要ならば「非相対論」と書いても良いでしょうが、しかし予備知識の無い読者もいるでしょうから、そのような読者のことも考えてほしいです。それに仮に、この文で非相対論と紹介したところで、それが読者の理解を深めることにはならないでしょう。なぜなら、相対論でない場合なので、相対論の知識を必要とせず、わざわざ紹介する必要が薄いからです。たとえば小学校のヨウ素デンプン反応は、非・相対論ですが、事実どおりに「非相対論的なヨウ素デンプン反応」と書いた所で、小学生にとって、なんの理解にも役立ちません。 大学1年生が、相対論とシュレーディンガー式とかの関係文を読んでも、相対論の予備知識が無いため、なんの理解も深まりません。この記事は科学史の記事ではありません。理工系を志望する読者の、物理学の計算力を中心とした学力を発展させるための、記事です。 「電気素量やうなりの部分は余りに唐突で」と、唐突といいますが、私には、相対論を持ち出すのが唐突だと思います。電気素量やうなりは、高校物理で習っています。たとえば大学1年生の読者でも、電気素量やうなりの予備知識もあるので、理解の参考になるでしょう。直接は「電気素量」という言葉を用いる教科書は少ないかもしれませんが、まったく電気素量が無関係とも思いません。 「相対論に関する言及を避けるべきということですが、ニュートン力学や解析力学を知らないからといって電磁気学や熱力学の学習を諦めるような人はまず居ないと思われます。」といわれますが、私には論旨が意味不明です。どういう論理展開なのか、さっぱり分かりません。それに力学の入門書や電磁気学の入門書でも、普通は、相対論には、あまり言及していません。大学1年レベルの力学の一般的な教科書の場合、まず古典物理の角運動量の計算や、微分積分を用いた力学法則の記述などから始まりますので、まず相対論に言及することは、ほとんど無かったと思います。仮に言及したとしても、かなり少ない文量だろうし、後回しでしょう。いちいち非相対論的な角運動量保存則とか、非相対論的なビオサバールの法則とか、断りを入れてないのが、普通の入門的な力学や電気磁気学の教科書での説明スタイルでしょう。また、たとえば一般的な電磁気学の教科書で、もし相対論に言及したとしても、その場合は、まず静止座標系で古典物理的な電磁気学の具体的な計算をしたあとに、その計算の発展として、座標が動く場合などを考えて、必要に応じて相対論などの現代物理に言及するなどでしょう。 それと、明らかな間違いでもない文章を非表示にしないでください。非表示タグは、他の執筆者が該当箇所を探しづらくなり、編集しずらくなるのです。非表示にしたいと思う部分の完成度が低いと思うなら、スタブなどのテンプレートを貼り付ければ済みます。ウィキブックス中に、完成度の低い記事は多くありますが、だからといって非表示にはしなかったのが今までです。非表示タグ中に「もっと明確に書くべき」などと義務命令口調に言うのではなく、「自分は、こう書き足したい。こう書き加えれば、もっと明確になると思う。」などと提言するべきでしょう。具体的に、どう書き足すかが提言できなければ、まだアナタの考えがそこまで整理されてないので、あなたの思考よりかは既存の記事のほうが情報量が多いのであり、既存の記事を非表示にする必要は無いと思います。また意見があれば、直接、議論ページなどで提言してください。-[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年4月25日 (土) 19:52 (UTC) == 章単位に分割しませんか == 大変おもしろい記事で、興味深く見ておりますが、ちょっと分量が多く見通しが悪くなってきている印象があります。章単位に分割しリンクで飛ばすようにしたらよいのではないかと思いますが、いかがですか。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2015年5月2日 (土) 03:37 (UTC) :良い提案だと思います。量子力学の記事については部分的に下位ページが作られているようなので、整合性と利便性を保つためにも分割・下位ページ化をするべきだと思います。一週間以内に別な意見がでなければ自分で分割作業を開始しようと考えていますが、特に他の方が分割にあたって下さるのであればそれを邪魔する意図はありません。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年5月2日 (土) 03:53 (UTC) ::そろそろ一週間が経過するので分割作業を進めたいと思います。ただし、すべての節をページ別に作成するにはまだ内容的に整理されていない箇所が多すぎるように感じるので、大きな変更があっても（容易には）ページを跨がない程度に収める内容がまとまってきた節から順次移動し、スタブ状態の部分に関してはこのページで編集を続ける形をとろうかと考えています。差し当たってイントロの2つは分割ページ化しますが、他の章については分割化は時間がかかる見通しです。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年5月8日 (金) 11:50 (UTC) == 光学測定の記述の有無の件 == ドイツ工業での回折格子などによる光学測定の技術の話と、量子論との関係は、たとえば学研『ハイベスト教科事典』の物理の本にも、中学高校生向け（あるいは教員向け）として、原子物理の説明で書かれています。（手元に本が無いので、記憶ですが。）学研のこの本には、当時の加工精度とか、そういった細かな数値まで紹介されてます。そもそも、測定技術ってのは、科学の基礎技術です。だから日本の産業技術総合研究所や、ドイツの物理工学研究所みたいに、アメリカの標準技術局みたいに、測定技術開発のための国立研究所すら、存在するくらいです。中学高校の段階では、授業時間の関係上で測定器の原理すら教えないのは仕方ないかもしれませんが、大学ではどうなんでしょう。もし大学の物理学科ですら、初等的な測定器の原理すら教えないのなら、測定器の原理よりも方程式の計算のほうが大切というなら、私から言わせれば、もはや物理学会のほうが低レベルです。私から言わせれば、もはや学研『ハイベスト教科事典』の読者の高校生以下です。そんな物理学科を卒業した人ですら、大企業などの研究職として就職できるなら、もはや採用した企業が馬鹿なんでしょう。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年5月5日 (火) 18:09 (UTC) 出典を訂正します。講談社『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、および、学研『新図詳エリア教科辞典　物理』に、フラウンホーファーによる回折格子を用いた光波長の測定や、マイケルソンによる干渉計の反射鏡を精密ネジで動かす装置を用いた波長測定が書かれていました。学研のハイベスト教科辞典の物理には、私が確認した版では、波長測定の件は書かれていませんでした。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年5月6日 (水) 08:41 (UTC) == 【要望】素人です。 == ①Englishの目次と1:1だと助かります。 ②人名一覧を教えて下さい。オススメの外部リンクでも、あると助かります。 御投稿とタイアップでも。 カナカナ 日本語順と アルファベット順の両方。 ウィクショナリーの辞書項目の充実デモ。サブページ? ③人名一覧の年代順デモ。生年月日順デモ。10年単位でも 1950年代　 　abcさん 1960年代　 　efg博士 ④(以下敬称略)AI検索などという安易な方法です。 オリビア・ニュートン＝ジョンの母方の祖父はマックス・ボルン 藤井風と仁科芳雄（物理学者）は岡山県浅口郡里庄町出身でご近所さん? 量子力学の命名者?　quantum mechanics　の命名者は? ⑤ボルン近似。偶然ですか。 ご検討よろしくお願いします。 (以下、別件です) 素人が専門家に口出しすると ＞あなたは○○に関して一定の修養等の経験はないものと理解します。そういう方が○○の教科書の作成に参加するのは無理ですし、それに携わっている編集者にとっては、チェック等の労を要しかなり迷惑です。教科書作りに参加するのであれば、自分が取得した、または、きちんとした教育プロセス（AI検索などという安易な方法ではなく、...--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月5日 (木) 20:55 (UTC) :申し訳ありません。トークで「'''ウィキブックスへの参加について」、指摘をもらいました。'''--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月6日 (金) 09:59 (UTC) == 記事間の文末の統一について == [[量子力学|量子力学のトップの記事]]では「だ・である調」が使われているのに対し、[[量子力学/量子力学とは]]と[[量子力学/量子力学の発展]]では「です・ます調」が使われているようですが、これらの文末をどちらかに統一すべきではないでしょうか。--[[利用者:Hatyanezu|Hatyanezu]] ([[利用者・トーク:Hatyanezu|トーク]]) 2026年5月5日 (火) 16:39 (UTC) :①私でよければ、wikipediaですけど、（?「……である」調） ::次行リンクが参考になれば幸いです。 ::[[Wikipedia:表記ガイド#文体]] ::＞...標準としつつ、....で統一します。 :②?wikibooksの許容範囲カモ。通常、ガイドライン外の編集は、即座に差し戻されます。 :③私は次行を言われました。 ::＞気になるなら周りに要求するのではなく、ご自身で修正してください。w:WP:CHOICEです。（トーク:早稲田大対策/政治経済学部より） ::そうです。 :--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月6日 (水) 09:24 (UTC) == 範囲の確認をお願いします。???(0≦x≦x) == :[[量子力学#土手型ポテンシャル]] :＞波動関数は...(0≦x≦x) ←←←?a :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月24日 (日) 12:46 (UTC) 2t4cnzytri5w8snfliedgtn9nv717kj 299806 299805 2026-05-24T13:08:53Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 範囲の確認をお願いします。???(0≦x≦x) */ 299806 wikitext text/x-wiki == 化学数学大辞典に書いてあるんだが == （すじにくシチューの意見）化学数学大辞典に、ベッセル関数に置き換える変換を2回使ってシュレーディンガー方程式の解を求める方法が書いてあるんですが、 それを知らずに、単に自分が知らないだけで「誤り」とかする Nermer314 は、大迷惑です。 このNermer314、大学教養レベルの理科ぐらいしか知らない科学オンチのくせに知ったかぶりして口出ししてくるので、大迷惑です。 Kanade k さんとか Glayhours さんとかも編集してチェックしてるんだから、そんなに大きな間違いはないはずなんだが、そういうのが分からないバカが Nermer なんでしょう。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 14:28 (UTC) （すじにくシチュー）出典の追加です。本wikiの単元とは異なりますが、ベッセル関数を使って量子力学の教育を展開する方法は、下記サイトのように一般的にも行われています たとえば、 [http://irobutsu.a.la9.jp/kougi/qm/qm2_12.html 『4.2 ２次元における角運動量』 , （2004年度の琉球大学理学部物質地球科学科の講義）、 2024年08月10日に確認. ] こういうの知らない低レベルなのに Nermer は理系ヅラして他人の編集を消すので、ただただ、迷惑です。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 14:39 (UTC) Nermer の理系知識は、おそらく生成AIでしょう。ネットに上がってない情報とか、そういうのは「誤り」としているだけの人物。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2024年8月10日 (土) 15:04 (UTC) :水素原子の部分は長々と語っている割に、「球座標に変換して解く、解にルジャンドル多項式が現れる」という情報しかないから削除が妥当です。通常の教科書だと具体的に求解すべきところですが、それもない。 :しかも文章が全く同じ内容を反復してるところもあってかなり読みにくい。例えば、次の２つの文は同じような内容を言葉を変えて言っているだけです。 :『シュレーディンガーの方程式を球座標に変換する必要がある。あとは、方程式を解くだけである。文章で書くと短いが、実際の計算が、なかなか複雑である。直交座標用の波動方程式の微分方程式を、球座標用に座標変換すると、特殊関数のルシャンドル関数が導かれる。』 :『量子力学でも、シュレーディンガー方程式を球座標に変換する際、座標変換するときに、類似の計算をする。したがって水素原子模型のシュレーディンガー方程式を解く際に、特殊関数のルジャンドル関数を用いる。』--[[利用者:Nermer314|Nermer314]] ([[利用者・トーク:Nermer314|トーク]]) 2024年8月11日 (日) 00:02 (UTC) ==記述すべき項目のリストアップ== *序文: 量子論がなぜ必要か *基本的枠組み *数学的体系 **ブラケット **ユニタリー変換・対称性と保存則 ***基底の変換とユニタリー変換 ***対称性と保存則 *電子と電磁場の相互作用 **電磁場とスカラー・ベクトルポテンシャル、ゲージ対称性 **古典論における電磁場中の電子 **電磁場中の電子に関するシュレディンガー方程式 **Landauレベル **Aharonov-Bohm効果 *演算子と行列、スピン **電磁場中の原子とZeemann効果 **スピンを表す行列 **スピン歳差運動／spin precession *[[量子力学/角運動量の合成]] **物理的意味 **スピン1/2の合成 **一般の合成 *[[量子力学/時間に依存しない摂動論]] **摂動論の必要性 **線形代数における摂動論 **縮退が無い場合の摂動論 **縮退がある場合の摂動論 **正常Zeeman効果 *本当の水素原子 **運動エネルギーの相対論的補正 **Spin-Orbit coupling **異常Zeeman効果 *同種粒子の系 ==雑談 == 更新が再開されたようですね。 こちらも初等的な数学が終わったら物理の執筆に移って来たいと思っています。 そのときはよろしくお願いします。:：-) --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月6日 (金) 11:20 (UTC) こんにちは。 このページを"物理学" 以下に移動したいのですが、 よろしいでしょうか? もし不都合があれば、ご連絡をお願いします。 この連絡以降,1週間程経過しても元の作者からの 連絡が無かった場合、GNU FDLの規定に従って、 これらの文書を再配布させて頂きます。:-) --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月15日 (日) 07:21 (UTC) 編集が再開されて項の内容も充実して来ました。 そろそろ"削除依頼"の表示を消してしまってもよいように思うのですが どうでしょうか? --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年6月19日 (日) 04:15 (UTC) そうですねえ。ここまで書いたのに削除されたらちょっとがっくりきますね。しかし、スピンに限って話を進めればかなりすっきり書けると思って書いてみたのですが、読み返してみるとやはり長くなるにつれごちゃごちゃしてくる感がありますね。 [[利用者:Tenarai|Tenarai]] 2005年6月19日 (日) 13:31 (UTC) そうかも知れませんね。ただ、簡潔すぎるよりはいろいろと書いてあった方がわかりやすくなることもありそうなので、スッキリしすぎるのも考え物だと思います。案外これぐらいが丁度いいのかもしれません。--[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年6月20日 (月) 13:06 (UTC) wikipediaの量子力学の項を編集していたらこっちにリンクがつながっていて、このwikibookがしっかりしてほしいとおもったので加筆参加します。 そのうちアカウントつくります。--[[特別:Contributions/203.110.227.178|203.110.227.178]] 2008年9月1日 (月) 09:06 (UTC) == 明確に間違っていること以外は消さないでほしい == Glayhoursさんが、2015年4月24日 (金) 18:11‎の編集で、ボーアの提案の説明を消していますが（「高名な物理学者である[[w:ボーア]]は、これを解決する非常に不思議に思える提案をした。」）、消すほどのことではないと思います。他の編集者が使おうとする場合もあります。今後の他の編集者が、新たにボーアの提案について調べなおすのは時間の無駄です。なので明確な間違い以外では、なるべく書いてあることは消さずに、他の章や節への移動や統合によって対処してほしいです。他にも、電気素量との関連を消してる件や、「うなり」との関連の件を消してることも気になります。うなりの件の記述は、不確定性原理やフーリエ解析を念頭にして書いたことであり、量子力学の専門書でも不確定原理の説明などでフーリエ解析は用いられる場合もあります。 それと「非相対論的な物質波の運動方程式は'''シュレーディンガー方程式''' (Schr&ouml;dinger equation) と呼ばれる」というふうに「非相対論的な」と書かれてありますが、わざわざ相対性理論の予備知識を必要としかねない解説を加えるのは、量子力学の入門であるこのページには相応しくないと思います。理系の大学でも、工学部などでは相対性理論を習わずに量子力学を習う場合もあります。普通の量子力学の入門書を見ても、おそらくシュレーディンガーの方程式の導入では、いちいち「非相対論的」とか断り書きしてないだろうと思います。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年4月24日 (金) 20:35 (UTC) :ボーアに関する記述はまったく嘘で、ボーアが理論を発表した1913年時点では「高名な物理学者」ではなく、ボーア理論が受容されるのはそこから更に時間を要しています。また、ボーアは波動とのアナロジーから結果を得たのではなく、単に古典力学ではラザフォードモデルが破綻することから着想を得ています。この点に関しても、直前が古典的な振動問題に関する記述であることと相容れません。 :付け加えるなら、そもそも教科書に「高名な」という主観的情報を入れるべきではないと思います。 :電気素量やうなりの部分は余りに唐突で、記述も短く他の節でフォローされているわけでもないので、必要であれば理論的部分を抽出してまとまった文章を書くべきだと感じました。コメントとして残すにしろ、現在の節には入る余地はないと思います。 :シュレーディンガーの理論において非相対論的であることは本質的で、歴史的にもシュレーディンガーが相対論的理論の導出を試みて失敗し、その非相対論的理論としてシュレーディンガー方程式を導いています。教育的な配慮として、相対論に関する言及を避けるべきということですが、ニュートン力学や解析力学を知らないからといって電磁気学や熱力学の学習を諦めるような人はまず居ないと思われます。なので、相対論を特別視する意味はないでしょう。普通の量子力学の入門書の部類に当たるかは知りませんが、ランダウ＝リフシッツの理論物理学教程は「非相対論的量子力学」と「相対論的量子力学」の巻が分けられていますし、小教程の「量子力学」では通常の量子力学と相対論的量子力学の両方を含み、非相対論的な理由からシュレーディンガーの理論が成り立っていることが言及されています。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年4月25日 (土) 16:08 (UTC) ランダウ＝リフシッツの本は、どう考えても、非初心者に向けて書かれた本でしょう。この記事は、初心者が読むんですよ。弁明の根拠としてランダウの本を持ち出す時点で、このウィキブックス記事の執筆方針からは、ずれています。そのような、より専門的な量子力学のウィキブックス記事の執筆は、大学上級用の記事や、大学院用の記事など、他のページで行うべきでしょう。思うに、ここの記事での執筆方針で大切なのは、けっして正しいかどうかだけではなく、さらに読者（大学1年～2年程度）が読んで分かるかどうかです。相対論の予備知識のある読者もいるかもしれませんから、必要ならば「非相対論」と書いても良いでしょうが、しかし予備知識の無い読者もいるでしょうから、そのような読者のことも考えてほしいです。それに仮に、この文で非相対論と紹介したところで、それが読者の理解を深めることにはならないでしょう。なぜなら、相対論でない場合なので、相対論の知識を必要とせず、わざわざ紹介する必要が薄いからです。たとえば小学校のヨウ素デンプン反応は、非・相対論ですが、事実どおりに「非相対論的なヨウ素デンプン反応」と書いた所で、小学生にとって、なんの理解にも役立ちません。 大学1年生が、相対論とシュレーディンガー式とかの関係文を読んでも、相対論の予備知識が無いため、なんの理解も深まりません。この記事は科学史の記事ではありません。理工系を志望する読者の、物理学の計算力を中心とした学力を発展させるための、記事です。 「電気素量やうなりの部分は余りに唐突で」と、唐突といいますが、私には、相対論を持ち出すのが唐突だと思います。電気素量やうなりは、高校物理で習っています。たとえば大学1年生の読者でも、電気素量やうなりの予備知識もあるので、理解の参考になるでしょう。直接は「電気素量」という言葉を用いる教科書は少ないかもしれませんが、まったく電気素量が無関係とも思いません。 「相対論に関する言及を避けるべきということですが、ニュートン力学や解析力学を知らないからといって電磁気学や熱力学の学習を諦めるような人はまず居ないと思われます。」といわれますが、私には論旨が意味不明です。どういう論理展開なのか、さっぱり分かりません。それに力学の入門書や電磁気学の入門書でも、普通は、相対論には、あまり言及していません。大学1年レベルの力学の一般的な教科書の場合、まず古典物理の角運動量の計算や、微分積分を用いた力学法則の記述などから始まりますので、まず相対論に言及することは、ほとんど無かったと思います。仮に言及したとしても、かなり少ない文量だろうし、後回しでしょう。いちいち非相対論的な角運動量保存則とか、非相対論的なビオサバールの法則とか、断りを入れてないのが、普通の入門的な力学や電気磁気学の教科書での説明スタイルでしょう。また、たとえば一般的な電磁気学の教科書で、もし相対論に言及したとしても、その場合は、まず静止座標系で古典物理的な電磁気学の具体的な計算をしたあとに、その計算の発展として、座標が動く場合などを考えて、必要に応じて相対論などの現代物理に言及するなどでしょう。 それと、明らかな間違いでもない文章を非表示にしないでください。非表示タグは、他の執筆者が該当箇所を探しづらくなり、編集しずらくなるのです。非表示にしたいと思う部分の完成度が低いと思うなら、スタブなどのテンプレートを貼り付ければ済みます。ウィキブックス中に、完成度の低い記事は多くありますが、だからといって非表示にはしなかったのが今までです。非表示タグ中に「もっと明確に書くべき」などと義務命令口調に言うのではなく、「自分は、こう書き足したい。こう書き加えれば、もっと明確になると思う。」などと提言するべきでしょう。具体的に、どう書き足すかが提言できなければ、まだアナタの考えがそこまで整理されてないので、あなたの思考よりかは既存の記事のほうが情報量が多いのであり、既存の記事を非表示にする必要は無いと思います。また意見があれば、直接、議論ページなどで提言してください。-[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年4月25日 (土) 19:52 (UTC) == 章単位に分割しませんか == 大変おもしろい記事で、興味深く見ておりますが、ちょっと分量が多く見通しが悪くなってきている印象があります。章単位に分割しリンクで飛ばすようにしたらよいのではないかと思いますが、いかがですか。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2015年5月2日 (土) 03:37 (UTC) :良い提案だと思います。量子力学の記事については部分的に下位ページが作られているようなので、整合性と利便性を保つためにも分割・下位ページ化をするべきだと思います。一週間以内に別な意見がでなければ自分で分割作業を開始しようと考えていますが、特に他の方が分割にあたって下さるのであればそれを邪魔する意図はありません。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年5月2日 (土) 03:53 (UTC) ::そろそろ一週間が経過するので分割作業を進めたいと思います。ただし、すべての節をページ別に作成するにはまだ内容的に整理されていない箇所が多すぎるように感じるので、大きな変更があっても（容易には）ページを跨がない程度に収める内容がまとまってきた節から順次移動し、スタブ状態の部分に関してはこのページで編集を続ける形をとろうかと考えています。差し当たってイントロの2つは分割ページ化しますが、他の章については分割化は時間がかかる見通しです。--[[利用者:Glayhours|Glayhours]] ([[利用者・トーク:Glayhours|トーク]]) 2015年5月8日 (金) 11:50 (UTC) == 光学測定の記述の有無の件 == ドイツ工業での回折格子などによる光学測定の技術の話と、量子論との関係は、たとえば学研『ハイベスト教科事典』の物理の本にも、中学高校生向け（あるいは教員向け）として、原子物理の説明で書かれています。（手元に本が無いので、記憶ですが。）学研のこの本には、当時の加工精度とか、そういった細かな数値まで紹介されてます。そもそも、測定技術ってのは、科学の基礎技術です。だから日本の産業技術総合研究所や、ドイツの物理工学研究所みたいに、アメリカの標準技術局みたいに、測定技術開発のための国立研究所すら、存在するくらいです。中学高校の段階では、授業時間の関係上で測定器の原理すら教えないのは仕方ないかもしれませんが、大学ではどうなんでしょう。もし大学の物理学科ですら、初等的な測定器の原理すら教えないのなら、測定器の原理よりも方程式の計算のほうが大切というなら、私から言わせれば、もはや物理学会のほうが低レベルです。私から言わせれば、もはや学研『ハイベスト教科事典』の読者の高校生以下です。そんな物理学科を卒業した人ですら、大企業などの研究職として就職できるなら、もはや採用した企業が馬鹿なんでしょう。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年5月5日 (火) 18:09 (UTC) 出典を訂正します。講談社『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、および、学研『新図詳エリア教科辞典　物理』に、フラウンホーファーによる回折格子を用いた光波長の測定や、マイケルソンによる干渉計の反射鏡を精密ネジで動かす装置を用いた波長測定が書かれていました。学研のハイベスト教科辞典の物理には、私が確認した版では、波長測定の件は書かれていませんでした。--[[利用者:すじにくシチュー|すじにくシチュー]] ([[利用者・トーク:すじにくシチュー|トーク]]) 2015年5月6日 (水) 08:41 (UTC) == 【要望】素人です。 == ①Englishの目次と1:1だと助かります。 ②人名一覧を教えて下さい。オススメの外部リンクでも、あると助かります。 御投稿とタイアップでも。 カナカナ 日本語順と アルファベット順の両方。 ウィクショナリーの辞書項目の充実デモ。サブページ? ③人名一覧の年代順デモ。生年月日順デモ。10年単位でも 1950年代　 　abcさん 1960年代　 　efg博士 ④(以下敬称略)AI検索などという安易な方法です。 オリビア・ニュートン＝ジョンの母方の祖父はマックス・ボルン 藤井風と仁科芳雄（物理学者）は岡山県浅口郡里庄町出身でご近所さん? 量子力学の命名者?　quantum mechanics　の命名者は? ⑤ボルン近似。偶然ですか。 ご検討よろしくお願いします。 (以下、別件です) 素人が専門家に口出しすると ＞あなたは○○に関して一定の修養等の経験はないものと理解します。そういう方が○○の教科書の作成に参加するのは無理ですし、それに携わっている編集者にとっては、チェック等の労を要しかなり迷惑です。教科書作りに参加するのであれば、自分が取得した、または、きちんとした教育プロセス（AI検索などという安易な方法ではなく、...--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月5日 (木) 20:55 (UTC) :申し訳ありません。トークで「'''ウィキブックスへの参加について」、指摘をもらいました。'''--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月6日 (金) 09:59 (UTC) == 記事間の文末の統一について == [[量子力学|量子力学のトップの記事]]では「だ・である調」が使われているのに対し、[[量子力学/量子力学とは]]と[[量子力学/量子力学の発展]]では「です・ます調」が使われているようですが、これらの文末をどちらかに統一すべきではないでしょうか。--[[利用者:Hatyanezu|Hatyanezu]] ([[利用者・トーク:Hatyanezu|トーク]]) 2026年5月5日 (火) 16:39 (UTC) :①私でよければ、wikipediaですけど、（?「……である」調） ::次行リンクが参考になれば幸いです。 ::[[Wikipedia:表記ガイド#文体]] ::＞...標準としつつ、....で統一します。 :②?wikibooksの許容範囲カモ。通常、ガイドライン外の編集は、即座に差し戻されます。 :③私は次行を言われました。 ::＞気になるなら周りに要求するのではなく、ご自身で修正してください。w:WP:CHOICEです。（トーク:早稲田大対策/政治経済学部より） ::そうです。 :--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月6日 (水) 09:24 (UTC) == 範囲の確認をお願いします。???(0≦x≦x) == :[[量子力学#土手型ポテンシャル]] ①＞波動関数は...(0≦x≦x) ←←←?a :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 ②不等号。小さいもん順は、どうですか。量子力学スタイルかも。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月24日 (日) 12:46 (UTC) fthp7wdixtk4ujnz32dux1pwh3b8miv Wikibooks:蔵書一覧 4 1862 299825 282813 2026-05-25T11:01:16Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 執筆中の書籍 */ 目次の対応。===== 数学 ===== →レベル4へ。節?目?の移動を、今回は、しませんでした。意味があるカモ。 299825 wikitext text/x-wiki <!-- このページはテンプレート:蔵書一覧として呼び出されるため、タグが配置されています --><includeonly>{{枠|<small></includeonly><noinclude>[[メインページ|ウィキブックス]]の全ての書籍です。</noinclude>日本十進分類法を用いた蔵書一覧は[[Wikibooks:日本十進分類法]]を<noinclude>ご覧ください。 また</noinclude>、<noinclude>テンプレートの一覧については、[[Wikibooks:蔵書一覧/テンプレート一覧|テンプレート一覧]]を、</noinclude>[[Wikijunior:メインページ|ウィキジュニア]]の蔵書については、[[Wikijunior:蔵書一覧]]を<includeonly>参照</small><div style="float:left; vertical-align:top"></includeonly><noinclude>ご覧ください。 == 執筆中の書籍 == {{進捗状況}} {{蔵書一覧}} === 自然科学 ===</noinclude> <includeonly>* [[自然科学]]</includeonly><noinclude>[[自然科学|自然科学の書棚]]に自然科学関連の書物が収められています。 ==== 理学 ====</noinclude> <includeonly>** [[理学]]</includeonly><noinclude>[[理学|理学の書棚]]に理学関連の書籍が収められています。 * [[地球科学]] {{進捗|25%|2005-12-01}} * [[地球環境科学]] {{進捗|100%|2020-04-06}} * [[天文学]] {{進捗|25%|2005-12-01}} ==== 物理学 ====</noinclude> <includeonly>** [[物理学]]</includeonly><noinclude>[[物理学|物理学の書棚]]に物理学関連の書籍が収められています。 * [[一般力学]] {{進捗|00%|2020-04-07}}</noinclude> *<includeonly>**</includeonly> [[古典力学]]<noinclude> {{進捗|25%|2015-09-23}} * [[解析力学]] {{進捗|100%|2020-04-07}} * [[電磁気学]] {{進捗|25%|2015-09-23}} * [[電磁気学II]] {{進捗|100%|2020-04-07}} * [[熱力学]] {{進捗|25%|2015-09-23}}</noinclude> *<includeonly>**</includeonly> 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{{進捗|100%|2020-04-06}} * [[生理学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[解剖学]] {{進捗|25%|2006-11-09}} * [[神経解剖学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[組織学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[微生物学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[病理学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[薬理学]] {{進捗|00%|2006-11-09}} * [[内科学_呼吸器]] {{進捗|00%|2006-11-09}} === 歯学 === * [[OsiriX_オンライン解説文書]] {{進捗|75%|2005-05-04}} === 社会科学 ===</noinclude> <includeonly>* [[社会科学]]</includeonly><noinclude>[[社会科学|社会科学の書棚]]に社会科学関連の書物が収められています。</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[法学]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[地理学]]<noinclude> {{進捗|00%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[経済学]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[教育学]]<noinclude> * [[教育勅語]] {{進捗|75%|2005-05-04}} </noinclude> **<includeonly>*</includeonly> [[学校教育]]<noinclude> === 語学 === [[語学]]に語学関連の書籍があります。</noinclude><includeonly></div><div style="float:left; vertical-align:top"> * [[語学]]</includeonly><noinclude> * [[アイスランド語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[アブハズ語]] {{進捗|100%|2020-04-06}} * [[アラビア語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[ウビフ語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[ウルドゥー語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[エストニア語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[エスペラント]] {{進捗|00%|2005-05-04}} * [[オランダ語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[カン語]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[ギリシア語]] {{進捗|50%|2020-04-06}} ** [[古典ギリシア語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[シュメール語]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[スペイン語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[デンマーク語]] {{進捗|25%|2005-12-01}} * [[ドイツ語]] {{進捗|50%|2005-05-04}} * [[トキポナ]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[トルコ語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[ヒンディー語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[フランス語]] {{進捗|25%|2005-05-04}} * [[ヘブライ語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} ** [[聖書ヘブライ語]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[ペルシア語]] {{進捗|100%|2020-04-06}} * [[ポーランド語]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[ポルトガル語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[ラテン語]] {{進捗|50%|2006-03-21}} ** [[古典ラテン語]] {{進捗|50%|2020-04-07}} * [[ルーマニア語]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[ロシア語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[ロジバン]] {{進捗|100%|2020-04-06}} * [[日本語]] {{進捗|75%|2019-06-16}} {{琉球語/一覧}} * [[英語]] {{進捗|50%|2005-05-04}} * [[朝鮮語]] {{進捗|25%|2005-05-04}} * [[満州語]] {{進捗|00%|2020-04-06}}</noinclude><includeonly> ** [[日本語]] {{琉球語/一覧}} ** [[英語]] ** [[中国語]] ** [[朝鮮語|韓国・朝鮮語]] ** [[スペイン語]] ** [[ポルトガル語]] ** [[ヒンディー語]] ** [[エスペラント]] ** [[トキポナ]] ** [[ロジバン]]</includeonly><noinclude> === 人文科学 === [[人文科学|人文科学の書棚]]に人文科学関連の書物が収められています。</noinclude><includeonly> * [[人文科学]]</includeonly> *<includeonly>*</includeonly> [[心理学]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} </noinclude> * [[催眠術]] *<includeonly>*</includeonly> [[哲学・思想]]<noinclude> {{進捗|00%|2005-05-04}} * [[学校教育]] {{進捗|25%|2005-05-04}} * [[倫理学]] * [[宗教学]]</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[芸術]] **<includeonly>*</includeonly> [[音楽]] {{進捗|50%|2021-10-23}} **<includeonly>*</includeonly> [[美術]]<noinclude> ** [[伝統芸能]] ==== 歴史学 ==== [[歴史学|歴史学の書棚]]に歴史学関連の書籍があります。</noinclude><includeonly> * [[歴史学]]</includeonly> *<includeonly>*</includeonly> [[日本史]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[アメリカ合衆国史]]<noinclude> {{進捗|50%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[中国史]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-12-01}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[朝鮮の歴史|朝鮮史]]<noinclude> {{進捗|50%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[香港の歴史|香港史]]<noinclude> {{進捗|25%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[台湾史]]<noinclude> {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[マカオ史]] {{進捗|25%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[世界史]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[歴史観]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} ==== 文学 ====</noinclude> <includeonly>* [[文学]]</includeonly><noinclude>[[文学|文学の書庫]]に文学を学ぶ手助けが用意されています。</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[古典文学]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-15}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[近代文学]]<noinclude> {{進捗|25%|2020-04-07}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[現代文学]]<noinclude> {{進捗|50%|2020-04-07}} * [[漢詩]] {{進捗|25%|2020-04-07}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[ガリア戦記]]<noinclude> {{進捗|75%|2020-04-07}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[小説の書き方]]<noinclude> {{進捗|00%|2020-04-26}} === 小学校・中学校・高等学校の学習 === [[小学校・中学校・高等学校の学習|小学校・中学校・高等学校の学習の書棚]]に小学校・中学校・高等学校の学習内容の関連書籍があります。</noinclude><includeonly> * [[小学校・中学校・高等学校の学習]]</includeonly><noinclude> * [[小学校ガイド]] {{進捗|00%|2020-04-07}} * [[中学生活ガイド]] {{進捗|100%|2020-04-07}} * [[高校生活ガイド]] {{進捗|100%|2020-04-07}} * [[中高一貫校生活ガイド]] {{進捗|25%|2020-04-07}} * [[初等数学公式集]] {{進捗|100%|2010-05-27}} * [[小・中・高等学校演習]] {{進捗|25%|2010-05-27}} ==== 小学校の教科書 ==== [[小学校の学習]]に小学生のための書籍があります。</noinclude><includeonly> ** [[小学校の学習]]</includeonly><noinclude> * [[小学校国語]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[小学校書写]] {{進捗|00%|2019-09-11}} * [[小学校算数]] {{進捗|75%|2010-05-27}} * [[小学校理科]] {{進捗|75%|2015-08-30}} * [[小学校社会]] {{進捗|75%|2015-08-30}} * [[小学校英語]] {{進捗|00%|2019-10-09}} * [[小学校生活]] {{進捗|75%|2014-04-13}} * [[小学校保健]] {{進捗|00%|2015-02-15}} * [[小学校体育]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[小学校音楽]] {{進捗|00%|2019-10-14}} * [[小学校図画工作]] {{進捗|25%|2019-09-30}} * [[小学校家庭]] {{進捗|25%|2019-09-06}} * [[小学校総合学習]] {{進捗|25%|2013-09-30}} ==== 中学校の教科書 ==== [[中学校の学習]]に中学生のための教科書があります。</noinclude><includeonly> ** [[中学校の学習]]</includeonly><noinclude> * [[中学校国語]] {{進捗|50%|2015-08-30}} * [[中学校書写]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[中学校社会]] {{進捗|50%|2015-08-30}} * [[中学校数学]] {{進捗|75%|2010-05-27}} * [[中学校理科]] {{進捗|50%|2015-08-30}} * [[中学校英語]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[中学校音楽]] {{進捗|25%|2013-09-30}} * [[中学校美術]] {{進捗|100%|2014-09-06}} * [[中学校保健体育]] {{進捗|75%|2013-09-30}} * [[中学校技術]] {{進捗|75%|2013-10-28}} * [[中学校家庭]] {{進捗|50%|2014-09-12}} ==== 高校の教科書 ====</noinclude> <includeonly>** </includeonly>[[高等学校の学習]]<noinclude>に高等学校関連の書籍があります。 * [[高等学校国語]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[高等学校地理歴史]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[高等学校公民]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[高等学校数学]] {{進捗|50%|2019-04-11}} * [[高等学校理科]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[高等学校英語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校外国語]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校保健体育]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校芸術]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校家庭]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校情報]] {{進捗|25%|2015-08-30}} * [[高等学校農業]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校工業]] {{進捗|50%|2020-04-06}} * [[高等学校商業]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校水産]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校看護]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校福祉]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校理数]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校音楽]] {{進捗|25%|2020-04-06}} * [[高等学校美術]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[高等学校部活動]] {{進捗|25%|2020-04-06}} ==== 中高一貫校の教科書 ====</noinclude> <includeonly>** </includeonly>[[中高一貫校の学習]]<noinclude>に中高一貫校関連の書籍があります。 * [[中等教育前期の国語]] {{進捗|00%|2020-04-07}} * [[中等教育前期の社会]] {{進捗|00%|2020-04-07}} * [[中等教育前期の数学]] {{進捗|00%|2020-04-07}} * [[中等教育前期の理科]] {{進捗|00%|2020-04-07}} * [[中等教育前期の英語]] {{進捗|00%|2020-04-07}} ==== 大学の教科書 ==== [[日本における大学での学習|大学の学習]]に大学関連の書籍があります。</noinclude><includeonly> * [[日本における大学での学習]]</includeonly><noinclude> === 家庭・生活 ===</noinclude> * [[料理本]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-05-04}} * [[生活と進路]] {{進捗|50%|2005-05-04}} </noinclude> * [[防災]]<noinclude> {{進捗|25%|2020-04-08}} </noinclude> * [[キャンプ]]<noinclude> {{進捗|00%|2020-04-10}} * [[スマートフォンの使い方]] {{進捗|00%|2021-05-19}} === スポーツ ===</noinclude> <includeonly>* [[スポーツ]]</includeonly><noinclude>[[スポーツ]]にスポーツ関連の書籍があります。</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[野球]]<noinclude> {{進捗|25%|2006-1-7}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[サッカー]]<noinclude> {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[テニス]] {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[セーリング]] {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[剣道]] {{進捗|25%|2007-6-30}} * [[相撲]] {{進捗|25%|2006-2-23}} === ゲーム ===</noinclude> <includeonly>* [[ゲーム]]</includeonly><noinclude>[[ゲーム|ゲームの書棚]]にゲーム関連の本があります。</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[オセロ]]<noinclude> {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[かくれんぼ]] {{進捗|75%|2020-04-06}} * [[かんぽっくり]] {{進捗|00%|2020-04-06}} * [[ゲームプログラミング]] {{進捗|50%|2021-05-19}} * [[コントラクトブリッジ]] {{進捗|75%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[チェス]]<noinclude> {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[ルービックキューブ]] {{進捗|25%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[囲碁]]<noinclude> {{進捗|25%|2006-1-7}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[将棋]]<noinclude> {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[麻雀]] {{進捗|25%|2006-1-7}} * [[鬼ごっこ]] {{進捗|75%|2020-04-06}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[トランプ]]<noinclude> === 試験ガイドと参考書 ===</noinclude> <includeonly>* [[試験]]</includeonly><noinclude>[[試験|試験の書棚]]に試験の手引きがあります。</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[資格試験]]<noinclude> {{進捗|00%|2013-10-21}} * [[小学校受験ガイド]] * [[中学受験ガイド]] * [[中学受験参考書]] {{進捗|00%|2013-12-06}} * [[高校受験ガイド]] * [[高校受験参考書]] {{進捗|00%|2013-12-06}} * [[高専受験ガイド]] {{進捗|00%|2013-12-06}} * [[大学受験ガイド]] {{進捗|00%|2013-12-06}} * [[大学受験参考書]] {{進捗|00%|2013-12-06}} * [[日本の大学受験ガイド]] * [[海外の大学受験ガイド]] * [[大学校受験ガイド]] {{進捗|00%|2013-12-06}} === その他の本 ===</noinclude> <includeonly>* </includeonly>[[その他の本]]<noinclude>に、いずれのカテゴリーにも属さない書籍が収められています。 * [[同人誌即売会参加方法]] {{進捗|75%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[ウィキペディアの書き方]]<noinclude> {{進捗|50%|2005-05-04}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[自転車のパンクの修理]]<noinclude> * [[貧乏生活入門]]</noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[ジョーク集]]<noinclude> {{進捗|25%|2005-12-01}} * [[飼育法]] {{進捗|25%|2008-09-14}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[地球温暖化防止対策]]<noinclude> {{進捗|00%|2019-03-01}} </noinclude> *<includeonly>*</includeonly> [[サバイバル]]<noinclude> {{進捗|25%|2020-04-21}} === Wikijunior === [[Wikijunior:メインページ]]</noinclude><includeonly> * [[Wikijunior]] </div>|<!-- テンプレート:枠のタイトル引数を指定しています -->[[Wikibooks:蔵書一覧|蔵書一覧]]}}</includeonly><noinclude> == 蔵書一覧を表示する == 各書籍のページで'''<nowiki>{{</nowiki>[[テンプレート:蔵書一覧|蔵書一覧]]<nowiki>}}</nowiki>'''と記述すると、蔵書一覧を表示します。 [[Category:ウィキブックス|そうしよいちらん]]</noinclude> cn7scmogb0hhdsm1yayjmly2xllz7jj 民事執行法第22条 0 9361 299831 264284 2026-05-25T11:31:00Z Tomzo 248 299831 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[コンメンタール民事訴訟法]]＞[[コンメンタール民事執行法]] ==条文== （債務名義） ;第22条 :強制執行は、次に掲げるもの（以下「債務名義」という。）により行う。 :#確定判決 :#仮執行の宣言を付した判決 :#抗告によらなければ不服を申し立てることができない裁判（確定しなければその効力を生じない裁判にあつては、確定したものに限る。） :#:3の2 仮執行の宣言を付した損害賠償命令''（平成19年法律第95号にて追加）'' :#:3の3 仮執行の宣言を付した届出債権支払命令''（平成25年法律第96号にて追加）'' :#仮執行の宣言を付した支払督促 :#:4の2 :#::訴訟費用、和解の費用若しくは非訟事件（他の法令の規定により[[非訟事件手続法|非訟事件手続法（平成23年法律第51号）]]の規定を準用することとされる事件を含む。）、家事事件若しくは[[コンメンタール国際的な子の奪取の民事上の側面に関する条約の実施に関する法律|国際的な子の奪取の民事上の側面に関する条約の実施に関する法律（平成25年法律第48号）]][[国際的な子の奪取の民事上の側面に関する条約の実施に関する法律第29条|第29条]]に規定する子の返還に関する事件の手続の費用の負担の額を定める裁判所書記官の処分又は[[民事執行法第42条|第42条]]第4項に規定する執行費用及び返還すべき金銭の額を定める裁判所書記官の処分（後者の処分にあつては、確定したものに限る。） :#<span id="執行証書"></span>金銭の一定の額の支払又はその他の代替物若しくは有価証券の一定の数量の給付を目的とする請求について公証人が作成した公正証書で、債務者が直ちに強制執行に服する旨の陳述が記載され、又は記録されているもの（以下「'''[[執行証書]]'''」という。） :#確定した執行判決のある外国裁判所の判決 :#:6の2 確定した執行決定のある仲裁判断（家事事件における裁判を含む。[[民事執行法第24条|第24条]]において同じ。） :#:6の3 確定した執行等認可決定のある[[仲裁法第48条|仲裁法（平成15年法律第138号）第48条]]に規定する暫定保全措置命令 ''（令和5年法律第15号）'' :#:6の4 確定した執行決定のある国際和解合意''（令和5年法律第16号）'' :#:6の5 確定した執行決定のある特定和解''（令和5年法律第17号）'' :#確定判決と同一の効力を有するもの（第3号に掲げる裁判を除く。） ===改正経緯=== 都度の項目の追加は、追加の法律番号を斜体で付記。 ====2023年民事訴訟法改正に伴う改正==== 第5号 :（改正前）陳述が記載されているもの :（改正後）陳述が記載され、又は記録されているもの 第6号の3（施行日未定、2028年6月末日までに施行） :（改正前）仲裁法（平成15年法律第138号）第48条 :（改正後）仲裁法（平成15年法律第138号）第50条 ====2018年人事訴訟法改正に伴う改正==== 第6号の括弧書きを挿入。 ====2017年民法改正に伴う改正==== 第4号の2 :（改正前）若しくは家事事件の手続 :（改正後）、家事事件若しくは国際的な子の奪取の民事上の側面に関する条約の実施に関する法律（平成25年法律第48号）第29条に規定する子の返還に関する事件の手続 ====2015年（平成23年法律第53号）改正==== 以下の条項より改正 :''訴訟費用若しくは和解の費用の負担の額を定める裁判所書記官の処分又は[[民事執行法第42条|第42条第4項]]に規定する執行費用及び返還すべき金銭の額を定める裁判所書記官の処分（後者の処分にあつては、確定したものに限る。）'' ====2013年改正==== 「第3号の3」を新設。 ==解説== {{wikipedia|債務名義}} ==参照条文== *[[民事執行法第42条|第42条(執行費用の負担)]] ==判例== ---- {{前後 |[[コンメンタール民事執行法|民事執行法]] |[[コンメンタール民事執行法#2|第2章 強制執行]]<br> [[コンメンタール民事執行法#2-1|第1節 総則]]<br> |[[民事執行法第21条]]<br>（最高裁判所規則）<br><br>[[民事執行法第21条の2]]<br>（家庭裁判所における執行関係訴訟手続に関する特例） |[[民事執行法第23条]]<br>（強制執行をすることができる者の範囲） }} {{stub|law}} [[category:民事執行法|022]] [[category:民事執行法 2023年改正|022]] [[category:人事訴訟法 2018年改正|執022]] [[category:民法 2017年改正|執022]] [[category:民事執行法 2013年改正|022]] qtbx90tmkyl0nlqk0pp1l3nnvsxmnej 倫理学 0 11038 299807 299693 2026-05-24T13:28:32Z 椎楽 32225 299807 wikitext text/x-wiki == 倫理学は何をする学問か == 「よいこと」とは何だろうか。たとえば、ボランティアで街の清掃をすることや災害のときに炊き出しなどの救援活動をすることは、ほぼすべての人が「よいこと」だと言うだろう。他にも困っている人のために寄付をする、様々な無償の奉仕活動をする、もっと身近には公共交通機関で高齢者や障碍者に席をゆずる、ベビーカーを押している母親の手伝いをするなども「よいこと」とする人がほとんどだろう。 だが、この「よいこと」が強制されたものだったらどうだろう。例えば無償の奉仕活動が国によって参加を義務付けられたもの(拒否したらペナルティもある)であったら、それを「よいこと」として肯定する人はかなり減少するだろう。現代の先進諸国では、寄付も政治家に対して見返りを求めて行ったのであれば「よいこと」どころか収賄という立派な犯罪行為になりうる。 また、優れたアスリートは、えてして「多くの人々に勇気を与えた」として表彰される。芸術家が多くの人に感動と感銘を与えることもある。こうしたこともまた、「よいこと」とみなされる可能性が高い。一方、私たちの日々の暮らしを支える様々な営み――農業をして食糧を作る、工場でものを作る、トラックや列車などで人やものを運ぶ、様々なインフラを支える、警察や消防などなどを、わざわざ「よいこと」という人はいないかもしれない。 だが、極論すればアスリートや芸術家はいなくても私たちの暮らしに直接の影響はほとんどない。だが、日々の営みを支える人がいなくなれば、途端に私たちの暮らしは行き詰まる。その観点からするとアスリートや芸術家の活動よりも、一見地味な仕事の方が「よいこと」のようにも思われる。 さらに「よいこと」は時代や場所による違いが起きる場合もある。例として、『[[w:忠臣蔵|忠臣蔵]]』を見てみよう。長く『忠臣蔵』は日本におけるエンターテイメントの中心だった。芝居はもちろん、雑誌や小説、ラジオ、映画、テレビといった時代時代のメディアでは必ず取り上げられ、ヒット作となった。だが、2026年現在、『忠臣蔵』は歌舞伎以外では滅多に見なくなった。その背景として指摘されるのは「価値観の変化」である。 曰く「『主君への忠義』や『主君の敵討ち』という価値が理解されなくなった」という。つまり、「忠義」「敵討ち」というかつての「よいこと」が「よいこと」として理解されない――場合によっては、非難されたり嘲笑されたりすることすらある。 こうしてみると私たちが素朴に考える「よいこと」が随分とあやふやなものであることがわかる。だが、それをもって「『よいこと』が曖昧であるならば『よいこと』を考えることそのものが無意味である」と考えるかもしれない。現に、私たちの周りではいわゆる[[w:相対主義|価値相対主義]]とよばれる「絶対的な正義、必ず正しいと言えるものはない」という価値観も珍しいものではない。 だが、「よいこと」は本当に曖昧なものだろうか。「よいこと」を判断する基準はないのか。そもそも何をもって「よい」と言えるのか……。 こうした問いに対する答えを体系的に理論立てていく営みが倫理学である。 === 倫理と道徳 === 倫理と道徳は重なり合うところが多い。実際、日常では倫理と道徳をそれほど区別せずに使うことも珍しくはないかもしれない。しかし、現代の倫理学はこの両者を区別するのが普通である。 結論を先に言えば、道徳moralityは社会や共同体といった人間集団の中で他者と生きていくうえで、守るべきものとして相互に承認されている行為規範の体系である。この中には'''集団を維持するために守るべきとされるもの'''と'''集団生活をより有意義にするためのもの'''に分けられる<ref>『倫理学入門』p.2(品川哲彦著, 中央公論新社, 2020年)</ref>。「集団を維持するために守るべきとされるもの」は、例えば「他人のものを盗んではならない」「人を傷つけてはならない」などがある。「集団生活をより有意義にするためのもの」の場合には、「他人に親切にしよう」「困ったときには助け合おう」などが挙げられよう。 一方、倫理ethicは「個人がどのように生きていくのか」ということと関わりが深い。例えば「自分の能力を高めていこう」「自分の人生を大切にしなければならない」「有意義な人生を送るべきだ」といったことが倫理的な行為として挙げられる。 こうした違いはmoralityとethicの語源の違いに由来する。 morality(道徳)はラテン語で「慣習」を意味するmosに由来する。一方、ethic(倫理)の方は古代ギリシャ語で「慣習」を意味するethos({{ruby|ἦθος|エートス}})に由来する。どちらも「慣習」の意味だが、ethosには「人柄」や「高貴さ」といった意味を含む。そのため、伝統的な西洋の倫理学においては人間個人や魂のあり方に関する問題を扱うことが多い。 === 倫理学と哲学 === 哲学もまた、倫理学との関連が深い。それどころか哲学の下位カテゴリに倫理学を位置付けられることも多い。実際、小規模の大学の文学部や教育学部の倫理学ゼミは「哲学・倫理学研究室」となっていることもあり、両者の区別が傍目からは付かないこともある。 いささか単純化すると哲学の扱う領域は非常に広いのに対し、倫理学は善悪の指針、そして人間の生き方・あり方に範囲を絞った学問である。 例えば、哲学的な問いは「世界はどこから来た」「私とは何か」「私たちは何を知ることができるのか」といった、人間そのものだけでなく自然や社会なども思索の対象としてきた。 それに対して、倫理学的な問いは「よい/悪いとはどういうことか」「不平等は許されるか」「我々は必ず助け合うべきか」といった、価値判断や行為に関することが検討される。 === 相対主義との対決 === ==== 倫理的判断 ==== 倫理は規範に関する判断と価値判断で言い表される。 規範に関する判断は、例えば「人に親切にすべきだ」「時間は守らなければならない」「今日は宿題をしなくてもよい」「嘘をついてはならない」などのように、「～すべき」「～してはならない」という行動と関わる。 それに対して、価値判断の例は「善い/悪い」「上手い/下手」「美しい/醜い」「正々堂々/卑怯」「快/不快」などが挙げられよう。これらの判断はえてして「善/悪」としてカテゴライズされる。 こうした倫理的判断は「現実を伝えるのではなく、現実を創り出そうとする判断<ref>品川,2020年, p.8</ref>」である。このことは規範に関するものであれば明らかであろう。先ほどの例示はまさに現実を作り出すための呼びかけであることは論を待たない。 では、「人種差別は許されない」というのはどうだろうか。これは価値判断である。ここには「肌の色や宗教で他の人間を差別することは悪である」という、「私」の判断が根底にある。 ただ、ここで一つの問題が生じる。つまり、こうした判断は個人的・感情的判断ではないかという問題である。個人的・感情的判断と倫理的判断にはどこか違いがあるのだろうか。 例を出せば「モネの『睡蓮』は美しい」という判断と、黒人が奴隷として扱われている場面を見て「人種差別は許されない」という判断にはどんな違いがあるのだろうか。ごく単純化すれば、「同じ論拠が成り立つすべての事態に同じ評価を下<ref>品川, 2020年, p.9</ref>」せるかがカギとなる。 「モネの『睡蓮』は美しい」という判断は「私」の気分によって変わるかもしれないし、[[w:睡蓮 (モネ)|他の『睡蓮』]]にも同じような判断を下すとは限らない。しかし、「人種差別は許されない」という判断は同じような事象では同じ判断を下せる。つまり、「黒人を奴隷として扱うことは許されない」「[[w:黄禍論|黄禍論]]は差別的である」といった具合に。倫理的な判断には'''普遍妥当性の要求'''が生じるのだ。 ただし、これは要求であって、他の可能性を完全に否定できるわけではない。「人種差別は許されない」という要求すら他の受け止めをすることも可能だ。例えば「奴隷は奴隷主が責任をもって管理しているからかえって人道的だ」という意見も可能となる(事実、そうした見解は過去にあった。仔細は[[w:アメリカ合衆国の奴隷制度の歴史]]を参照のこと)。 そのため、倫理を考えるときには、こうした人や時代によって異なる倫理――すなわち、倫理の相対性についても考察しなければならない。 ==== 相対主義と倫理 ==== == 倫理学の基礎 == === 記述倫理学 === === 規範倫理学 === === メタ倫理学 === == 倫理理論 == === 徳倫理学 === === 義務論/義務倫理学 === === 功利主義 === === プラグマティズム === === ケアの倫理 === == 応用倫理学 == {{進捗状況}} 応用倫理学は現実の、より具体的な諸問題に対する倫理学的考察と行為の在り方を探究する分野である。以下は代表的な応用倫理学の分野である。 * [[メディア倫理]]{{進捗|00%|2009-07-18}} * [[生命倫理学]] *[[環境倫理学]] *[[情報倫理学]] *[[動物倫理学]] == 基本的な術語 == === 倫理学全般 === * 公正 * 自然主義的誤謬 :事実判断（存在命題）のみから、価値判断（当為命題）を導出する推論。あるいは「……である」ことから「……すべきである」を導く論法のこと。 :例えば「Aさんはカレーが好きだ」という事実のみから「Aさんにはカレーを食事に出すべき」という判断を導くことは自然主義的誤謬である。 :現代倫理学では「『……である』から『……すべきである』を導いてはならない」というのが基本的なドグマとなっている<ref>加藤 p.100</ref>。 * 自己決定 * 滑りやすい坂論法 :「事態Aが起こると必然的に事態Bが起こる。事態Bが起こると事態Cが続けて起きる。さらに事態Cが起きると事態Dが起きる……」といったように「ある行為や事態を認めると、なし崩し的に事態が進んでいく」という論法。一般的には推論上の誤りとされる<ref>例えば『論理的思考　最高の教科書』(福沢一吉著, SBクリエイティブ, 2017年)p.139-140</ref>。 :特に、事態と続いて起きるという事態との関連に必然的な関連が見いだせず、恣意的であれば誤謬ないし詭弁として退けられる。 :倫理学、特に生命倫理(学)においては安楽死や尊厳死、遺伝子操作の問題を取り扱う際に問題となる。例えば「終末期医療患者の安楽死は認めるべきではない。なぜなら、厳しい条件をつけても、なし崩し的に条件が緩和されて障がい者やまだ治る見込みのある重病患者にまで安楽死が拡大されるからだ」というのは「滑りやすい坂論法」による安楽死反対論である。 :しかし、先ほどの例として挙げた安楽死においては、現実に安楽死を認めた国々でその領域が拡大していること<ref>例えば『安楽死が合法の国で起こっていること』 (児玉真美著, 筑摩書房, 2023年)参照。</ref>が現実に起こっていることもある。事態同士の関連の社会科学的な視野を欠いた「滑りやすい坂論法」は確かに詭弁の一種ではあるが、裏を返せば社会科学的な観察と分析によっては「滑りやすい坂」を単なる詭弁として排撃できないのも事実である。 * 正義 === 生命倫理 === * 安楽死 * 尊厳死 * 生命の質(QOL) * 優生学 === 環境倫理 === * 自然の生存権 * 持続可能な開発 * 世代間倫理 == 倫理学上の諸問題 == 倫理学では具体的な問題の解決、ないしはより良い判断を下せるようにすることも求められる。そのため、いくつかの思考実験や問いが出されることがある。また、具体的な問題に直面するとジレンマに陥ることもある。ここでは、代表的な倫理学的な問いやジレンマを見ていきたい。 なお、現在ここは加藤尚武『現代倫理学入門』に多くを依っている。読者や参加者の皆さんからのご指摘などの追加をお願いします。ただし、「トロッコ問題」はいりませんのであしからず。 === 倫理学の諸原理 === * 人を助けるために嘘をつくことは許されるか * 10人の命を助けるために1人を犠牲にすることは許されるか * 10人の重病患者に特効薬が1つしかなければどうするか * 他人に迷惑をかけなければ何をしても良いか * 貧しい人を助けるのは豊かな人の義務か * 正義は時代によって変わるか === 生命倫理 === * 生命に差はあるのか * 脳死を人の死と認めてよいか * 自分の臓器のクローンをつくることは認められるか === 環境倫理 === * 動物や植物にも人間と同じ権利があるのか * 今を生きる我々は将来世代に対して責任があるのか * 人間の暮らしを犠牲にしてでも自然環境は守るべきか === 他の諸問題 === * 正しい戦争は存在しうるか * 上司や上官の命令に道徳的な問題があれば従わなくともよいか * 科学に限界を定めることは出来るか == 重要な思想家 == === 倫理学の始まり === * ソクラテス * プラトン * アリストテレス === キリスト教倫理 === * トマス・アクィナス === 社会契約説と倫理 === * ホッブズ * ロック * ルソー === 義務倫理学 === * カント === 功利主義 === * ベンタム * J.S.ミル === 現代倫理学 === ==== リベラリズム・コミュニタリアニズム論争 ==== * リベラリズム ** ロールズ * コミュニタリアニズム ** マッキンタイア ** チャールズ・ティラー ** サンデル * リバタリアニズム ** ノージック ==== 経済と倫理 ==== * セン * ヌスバウム ==== 生命倫理学・環境倫理学 ==== * シンガー * ハンス・ヨナス * アルド・レオポルド ==== ケアの倫理 ==== * キャロル・ギリガン * ノディングス == 参考文献 == * 『現代倫理学入門』(加藤尚武著, 講談社, 1997年) * 『倫理学入門』(品川哲彦著, 中央公論新社, 2020年) == 脚注 == <references/> [[Category:人文科学|りんりかく]] oisa6fgp6q0yddhzoyem93ypxu85k53 民事執行法第26条 0 16281 299832 249512 2026-05-25T11:31:17Z Tomzo 248 299832 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[民事手続法]]＞[[民事執行法]] ==条文== （執行文の付与） ;第26条 　 # 執行文は、申立てにより、執行証書以外の[[債務名義]]については事件の記録の存する裁判所の裁判所書記官が、[[執行証書]]についてはその原本（執行証書が電磁的記録をもつて作成されている場合にあつては、当該電磁的記録）を保存する公証人が付与する。 # 執行文の付与は、債権者が債務者に対しその債務名義により強制執行をすることができる場合に、次の各号に掲げる区分に応じ、それぞれ当該各号に定める方法により行う。 ##債務名義に係る電磁的記録がファイルに記録されたものである場合における執行文の付与 ##:債権者が債務者に対しその債務名義により強制執行をすることができる旨を当該電磁的記録に併せて記録する方法 ##債務名義が電磁的記録をもつて作成された執行証書である場合における執行文の付与 ##:債権者が債務者に対しその債務名義により強制執行をすることができる旨を当該電磁的記録に併せて記録するとともに、その旨を当該債務名義に係る[[公証人法第44条]]第1項第2号の書面の末尾に付記し、又はその旨を当該債務名義に係る同項第3号の電磁的記録に併せて記録する方法 ##前二号に掲げる場合以外の場合における執行文の付与 ##:債権者が債務者に対しその債務名義により強制執行をすることができる旨を債務名義の正本の末尾に付記する方法 ===改正経緯=== 2023年改正により以下のとおり改正。 #第1項 #:「原本」に関する括弧書きを挿入。 #第2項 #:以下の条項から改正。 #::''執行文の付与は、債権者が債務者に対しその債務名義により強制執行をすることができる場合に、その旨を債務名義の正本の末尾に付記する方法により行う。'' ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |[[コンメンタール民事執行法|民事執行法]] |[[コンメンタール民事執行法#2|第2章 強制執行]]<br> [[コンメンタール民事執行法#2-1|第1節 総則]]<br> |[[民事執行法第25条]]<br>（強制執行の実施） |[[民事執行法第27条]]<br>（執行文の付与） }} {{stub|law}} [[category:民事執行法|026]] [[category:民事執行法 2023年改正|026]] jvbcaf71yftkht0s88lmaanebahmfgl 雇用保険法第32条 0 17433 299818 285961 2026-05-25T06:24:27Z Tomzo 248 299818 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[社会法]]＞[[雇用保険法]] ==条文== （給付制限） ;第32条 　 #受給資格者（訓練延長給付、広域延長給付又は全国延長給付を受けている者を除く。以下この条において同じ。）が、公共職業安定所の紹介する職業に就くこと又は公共職業安定所長の指示した公共職業訓練等を受けることを拒んだときは、その拒んだ日から起算して1箇月間は、基本手当を支給しない。ただし、次の各号のいずれかに該当するときは、この限りでない。 ##紹介された職業又は公共職業訓練等を受けることを指示された職種が、受給資格者の能力からみて不適当であると認められるとき。 ##就職するため、又は公共職業訓練等を受けるため、現在の住所又は居所を変更することを要する場合において、その変更が困難であると認められるとき。 ##就職先の賃金が、同一地域における同種の業務及び同程度の技能に係る一般の賃金水準に比べて、不当に低いとき。 ##[[職業安定法第20条|職業安定法第20条（第2項ただし書を除く。）の規定]]に該当する事業所に紹介されたとき。 ##その他正当な理由があるとき。 #受給資格者が、正当な理由がなく、厚生労働大臣の定める基準に従つて公共職業安定所が行うその者の再就職を促進するために必要な職業指導を受けることを拒んだときは、その拒んだ日から起算して1箇月を超えない範囲内において公共職業安定所長の定める期間は、基本手当を支給しない。 #受給資格者についての第1項各号のいずれかに該当するかどうかの認定及び前項に規定する正当な理由があるかどうかの認定は、公共職業安定所長が厚生労働大臣の定める基準に従つてするものとする。 ==解説== :雇用保険は、就業までの救済給付であるから、就業の意思に欠けると判断される場合、すなわち、①公共職業安定所が紹介する職業に就業することを拒否する場合、②公共職業安定所長の指示した公共職業訓練等を受けることを拒否する場合には、基本給付が概ね1ヶ月間停止される。 : ==参照条文== *[[職業安定法第20条]](労働争議に対する不介入) *[[雇用保険法第29条]](給付日数を延長した場合の給付制限） ==判例== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法#3-2|第2節 一般被保険者の求職者給付]]<br> [[雇用保険法#3-2-1|第1款 基本手当]] |[[雇用保険法第31条]]<br>(未支給の基本手当の請求手続) |[[雇用保険法第33条]]<br>【失職責任が被保険者にあるときの給付制限】 }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|32]] nw0iv3dr0dtvwqq0semu385kmcxowky 299819 299818 2026-05-25T10:13:52Z Tomzo 248 299819 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[社会法]]＞[[雇用保険法]] ==条文== （給付制限） ;第32条 　 #受給資格者（訓練延長給付、広域延長給付又は全国延長給付を受けている者を除く。以下この条において同じ。）が、公共職業安定所の紹介する職業に就くこと又は公共職業安定所長の指示した公共職業訓練等を受けることを拒んだときは、その拒んだ日から起算して1箇月間は、基本手当を支給しない。ただし、次の各号のいずれかに該当するときは、この限りでない。 ##紹介された職業又は公共職業訓練等を受けることを指示された職種が、受給資格者の能力からみて不適当であると認められるとき。 ##就職するため、又は公共職業訓練等を受けるため、現在の住所又は居所を変更することを要する場合において、その変更が困難であると認められるとき。 ##就職先の賃金が、同一地域における同種の業務及び同程度の技能に係る一般の賃金水準に比べて、不当に低いとき。 ##[[職業安定法第20条|職業安定法第20条（第2項ただし書を除く。）の規定]]に該当する事業所に紹介されたとき。 ##その他正当な理由があるとき。 #受給資格者が、正当な理由がなく、厚生労働大臣の定める基準に従つて公共職業安定所が行うその者の再就職を促進するために必要な職業指導を受けることを拒んだときは、その拒んだ日から起算して1箇月を超えない範囲内において公共職業安定所長の定める期間は、基本手当を支給しない。 #受給資格者についての第1項各号のいずれかに該当するかどうかの認定及び前項に規定する正当な理由があるかどうかの認定は、公共職業安定所長が厚生労働大臣の定める基準に従つてするものとする。 ==解説== :雇用保険は、就業までの救済給付であるから、就業の意思に欠けると判断される場合、すなわち、①公共職業安定所が紹介する職業に就業することを拒否する場合、②公共職業安定所長の指示した公共職業訓練等を受けることを拒否する場合には、基本給付が概ね1ヶ月間停止される。 :ただし、国民には職業選択の自由があり、紹介された職業に就業することを拒否することについて正当な事由がある場合（すなわち、受給資格者の意思に反することが客観的に明白である場合）は、基本手当の不支給という不利益を被ることはない。 ==参照条文== *[[職業安定法第20条]](労働争議に対する不介入) *[[雇用保険法第29条]](給付日数を延長した場合の給付制限） ==判例== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法#3-2|第2節 一般被保険者の求職者給付]]<br> [[雇用保険法#3-2-1|第1款 基本手当]] |[[雇用保険法第31条]]<br>(未支給の基本手当の請求手続) |[[雇用保険法第33条]]<br>【失職責任が被保険者にあるときの給付制限】 }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|32]] 68hn6y395cm0a6fad5dbl9msmhwbx0w 高等学校倫理/ギリシャの思想Ⅱ 0 23178 299808 299802 2026-05-24T13:32:42Z 椎楽 32225 299808 wikitext text/x-wiki {{Nav}} == 古代ギリシア == 古代ギリシア人は当初、古代エジプト文明の影響を受けて文化を発達させてきた。やがて、古代ギリシア人は独自の文化を作り上げ、建築や彫刻などの美術の世界にすぐれた創造力を発揮しただけでなく、今なお読み次がれる文学を生み出し、哲学を生み出した。また、ポリス(都市国家)という共同体の中で民主的な社会制度を作り上げていった。 ギリシア文化がその後の西洋思想や様々な学問に与えた影響は計り知れない。特に理性的にものごとを考察しようとする合理的精神や人間のあるべき姿を追求する理想主義の生き方は古代ギリシアが後世に伝えたすぐれた遺産である。 === ポリス === 古代ギリシアの文化を生み出し、育んだのがポリスの生活である。それぞれのポリスには国家の守護神を祭る神殿のほか、アゴラ(公共広場)や野外劇場などがあり、市民たちはそこでの生活を通じて所属するポリスへの愛着や他のポリスへの競争心を育てていった。 ポリスごとに政治体制などの違いがあり、絶えずポリス間の抗争はあったが、言語・宗教・デルフィの神託・オリンピックの元になったオリンピアの祭典などによって、一民族としての意識は持ち続けていた。また、古代ギリシア社会は多数の奴隷による労働によって支えられた奴隷制社会であり、市民だけが自由であった。市民たちにとっては、労働とは奴隷のすることとみなされた。市民は政治に参加したり、軍務に着いたり、学問や芸術についてアゴラで対話したりすることの方が大切だとされた。このようなポリスでの生活と文化がその後のギリシア哲学の形成に大きな影響を与えることになる。 == 哲学のはじまり == === 自然哲学 === ギリシアで哲学が生まれたのは紀元前6世紀ごろである。人々は「人間とは何か」「世界はどうしてできているのか」といったことを考えるようになった。はじめ、人々はこれらを神々の働きを中心とした神話（ミュトス）によって説明しようとした('''神話的世界観''')。しかし、古代ギリシアの植民都市であったミレトスを中心として、自然を合理的に説明することで、世界や人間存在などの万物の'''根源'''('''アルケー''')について探求する動きが生まれた。そこで重視されたのが、人間固有の能力である理性('''ロゴス'''、logos)に基づいた合理的な考え方である。 そうした中、エジプトで数学を学んだ'''タレス'''は「'''万物の根源は水である'''」と主張し、「水」によって自然界の生成変化を説明しようとした。タレスによる説明の特徴は、ある一つのものを基準としてとらえること(一元論)、経験・観察に基づいていること、世界を感覚可能な自然物によって説明しようとしたことにある。 タレス以降、さまざまな哲学者があらわれ、タレスとは異なるアルケーを主張した。たとえば'''ヘラクレイトス'''は世界を動的にとらえたため、「万物は流転する」ととなえ、アルケーを「火」とした。 また、'''ピタゴラス'''は数学の比例などに注目し、アルケーは「数」であるとした。ピタゴラスは数学上の発見も多い。 '''デモクリトス'''はアルケーを分割不可能な「原子(アトム、アトモン)」であるとした。 このような哲学者たちが、ギリシアおよび周辺のイタリアやエーゲ海東岸の小アジアなどの植民都市に登場し、世界や人間についての自由で大胆な問いを発した。「哲学」はこのように、われわれをとりまく自然界の根源をさぐるいとなみ('''自然哲学''')として出発したのだ。 彼らの著作は長い歴史の中で様々な不運が積み重なって、現代ではまとまったものとして残ってはいない。しかし、その後の西洋哲学の基礎を作り上げたという事実に変わりはない。また、ピタゴラスやデモクリトスなどは数学や自然科学にも多大な影響を与え、近代科学の発展を準備することになった。 [[File:古代ギリシャ関連地図.png|thumb|400px|古代ギリシアの植民地]] {| class="wikitable" |- ! 自然哲学者 !! アルケー !! 出身地 |- | タレス || 水 || ミレトス （エーゲ海東部の港湾都市） |- | ヘラクレイトス || 火 || エフェソス （エーゲ海東部の港湾都市） |- | ピタゴラス || 数(整数) || サモス島 （エーゲ海東部の島） |- | エンペドクレス || 火・風（空気）・土・水 || アクラガス （シチリア島の都市） |- | デモクリトス || 原子('''アトム''', アトモン) || アブデラ （エーゲ海北岸の都市） |} === 発展・古代ギリシアと科学 === ピタゴラスは（直角三角形の）「三平方の定理」の発見者でもあるとされる。海外では、直角三角形のこの定理は「ピタゴラスの定理」（に相当する訳語）と言われるのが普通である。ピタゴラスのほかタレスも、幾何学の研究をしていた。このように古代ギリシアでは、数学が重視されていた。 歴史学では一般に、古代ギリシアでこのように数学が論理思考の手段として尊重されるようになった背景として、半島国家であるギリシアは異民族（地中海周辺の異民族）との貿易などのために世界共通の知識土台が必要となったこと、統一された「ギリシア」という国家が存在せず、ポリスごとに文化や社会制度が異なっていたことがあげられる。どこでも共通に必要とされることの多い計算法や作図手法などが、論理的な説明の手段として尊重されるようになっていき数学として論理的に体系化されただろう、と考える通説が、歴史学などではよく言われる。そして、数学と同様に、土などの物質や風などの自然現象も、民族にかかわらず共通であろう。このような背景のもと、自然哲学が古代ギリシアで盛んになっていったと思われる。 当時、エジプトなどギリシア以外の外国でも計算術や作図法はあったが、しかし、それら外国の計算法・作図法では、ギリシアほど論理的な厳密化はなされなかったようだ。そのため、論理的な証明を重んじる数学の発祥の有力な地として、古代ギリシアが発祥地だろうと考えられている。ギリシアで数学が論理的に整備された背景として、民主主義が言われる。民主制では、自らの意見を的確かつ誰でもわかるように説明することが求められたため論理学・数学が発展したのだろうと考えられている。 しかし、古代ギリシアの自然哲学は、自然の観察と経験を元にした考察が重視された反面、実験による検証法は確立していなかった。こうした制限があったため、後述するように、弁論をもてあそぶソフィストの流行を迎えることになる。 == ソフィスト == [[File:The_Parthenon_in_Athens.jpg|200px|thumb|パルテノン神殿。古代ギリシアのポリスの一つ、アテネの中心に建てられた神殿。]] 紀元前5世紀ごろになると、古代ギリシア社会がさらに発展し、特にアテネにて民主制が成立すると、人々の関心は自然から人間や社会へと移っていった。そうした中で活躍したのが'''ソフィスト'''とよばれる人々である。彼らは数学や自然哲学、政治、法律などを修め、市民たちに様々な学問を教えるようになった。かれらはポリスからポリスへと渡り歩いていたため、法律や道徳がポリスごとにちがうことをよく知っており、善悪や正邪の基準も決して絶対的ではないと論じた。特に'''プロタゴラス'''は「'''人間は万物の尺度である'''」という言葉を残した。物事の真偽をはかるものさし(尺度)は絶対的な何かではなく、ひとりひとりの人間の考え方や感じ方にあるというのである(人間中心主義)。 特にかれらが重視したのが弁論術である。ソフィストは人々を説得し、自分の主張を伝えるための方法を発達させていった。特にアテネのような民主政のポリスでは、民会や法廷で自分の考えを的確に伝え、説得する技術は非常に重要だったからである。しかし、ソフィストたちの議論はやがてわざと論理を誤用する詭弁を用いたり、巧妙な説得の技術を用いて人々の注目を集めるだけのものとなった。もともとソフィストたちには「真理とは何か」と問う気持ちは強くなかったのが原因である。 かれらの新しい思想は古いしきたりや権威から自由なものの考え方を広めるのに貢献した。その一方で、普遍的・客観的な真理を追究しようという姿勢は軽視された。 == まとめ == タレスは「万物の根源は水である」と主張した。エンペドクレスは「万物の根源は、火、水、空気、土の4つが万物の構成要素である」とした。もちろん現代の我々からしてみれば、この主張は化学的に間違っている事を知っている。また、デモクリトスは「万物の根源は原子（アトム）だ」と主張した。しかし、デモクリトスのいう「原子」は理科(化学)で習う「原子」とは大きく異なる。 では、どうして、古代ギリシアの自然哲学者たちについて学ぶのだろうか。「大昔はいまほど科学が発達してなかった」ことを確認するためだろうか。それならば、わざわざ彼らの考えたことを見るまでもないだろう。 古代ギリシアのあらゆる学問をまとめたアリストテレスによれば、「哲学する」ということは、この世界のありように驚きをもって接し、それが「何であるのか」「何ゆえか」というものごとの原理・原因・根拠への問いを行い、それを根気強く探求する営みだという。このことから言えることは、古代ギリシアの自然哲学者が'''何を'''考えたのかについて知ることは重要ではなく、'''どのように'''考えたのかが重要だということである。彼らは自然界の営みを「当たり前のこと」とせず、神話による説明にも止まらず、自然を観察することによって自然を理解しようとした。これはこの世界がどのようなものであるのかを探り、'''世界観'''を確立する試みの例である。それは神の意思や運命といった自然を越えたものから自由になろうとする試みでもあり、究極的には自分はどう生きるのかという問いかけにもつながっていく。 このことは、あとでソクラテス、プラトン、アリストテレスやルネサンス以降の思想家たちについて見ていくときにも思い起こしてほしい。 [[カテゴリ:高等学校教育|こたいきりしあのてつかく]] [[カテゴリ:社会科教育|こたいきりしあのてつかく]] [[カテゴリ:高等学校倫理|こたいきりしあのてつかく]] [[カテゴリ:哲学史|こうこうりんりこたいきりしあのてつかく]] [[カテゴリ:ギリシャ]] 0ia26ppmnl1qe271d1ugq6pacxvdo3x アイヌ語 数の数え方 0 37831 299823 297476 2026-05-25T10:46:41Z BrassSnail 71325 キリル文字の全削除 299823 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > [[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別重要語彙]] > '''数の数え方''' アイヌ語の数詞は、全体としては二十進法であり、中に十進法が含まれています。また、完全に十進法の地域や、100までは二十進法で、百の位からは十進法になる地域もあります。日本語などの周辺の言語と異なる、独自の数体系を持っています。 地域や場合によっては、ここに示したものとは異なる言い方をする場合があります。地域名を示したものでも、示した地域すべてには当てはまらないことがあります。また、今のところ、各地の方言を網羅できていない他、誤りも多くは訂正できていません(特に90以降)。 == 0～10 == {| class="wikitable" |+1～10（数連体詞） !数 !カナ !ラテン文字 |- !1 |シネ |sine |- !2 |ツ゚ |tú |- !3 |レ |ré |- !4 |イネ<ref name=":0">例外アクセントのため、樺太では「イーネ îne」となる。含まれる語も同様（イーネホッネ:40 等）。</ref> |íne |- !5 |アシㇰネ、アㇱネ |asikne, asne |- !6 |イワ<small>ン</small> |iwan |- !7 |アㇻワ<small>ン</small> |arwan |- !8 |ツ゚ペサ<small>ン</small> |tupesan |- !9 |シネペサ<small>ン</small> |sinepesan |- !10 |ワ<small>ン</small> |wan |} （多蘭泊などを除く樺太方言のp,t,kの規則的なh,sへの変化は省略、以下注記のない限り同様） 基本になる数です。しっかり覚えましょう。 何かを数えるときには、この数詞のあとに数える物の名前を置きます。数連体詞の状態で単独で使われることは基本的にありません。 例えば、二匹の猫（チャペ/サ゚ペ cápe ча́пэ）はツ゚ サ゚ペ、三人の人（アィヌ ajnu айну）はレ アィヌと言います。何を数えるときもこれは変わりません。 因みに、日本語での神聖数は4[よ]と8[や]ですが、アイヌ語における神聖数はイワ<small>ン</small> iwan иўан（6）です。しばしば日本語での8と同じように、ものがたくさんあることを表します。（例：iwan sike イワン シケ/イワイ シケ 六個の荷物､ たくさんの荷物｡ <ref group="引用元">[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ]</ref>、「kokutkor kane, iwan kosonte opannere　帯をしめ、六枚の着物を羽織って<ref group="引用元">アイヌ神謡集p78　Nitatorunpe yaieyukar, “Harit kunna”</ref>」） 樺太西海岸では５がasisne(=asikne)ではなくasne アㇱネとなります。<ref group="参照">[https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/repo/huscap/all/84608/15_05_Sakaguchi.pdf アイヌ語樺太方言における数詞と計算 — 阪口, 諒]</ref><sup>:69頁</sup> {| class="wikitable" |+1〜10の個数、人数 ! ! colspan="2" |個数 ! colspan="2" |人数 |- !数 !カナ !ラテン文字 !カナ !ラテン文字 |- !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ㇷ゚ |sinép |シネ<small>ン</small> |sinen |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ㇷ゚ |tup |ツ゚<small>ン</small> |tun |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ㇷ゚ |rep |レ<small>ン</small> |ren |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネㇷ゚<ref name=":0" /> |ínep |イネ<small>ン</small> |ínen |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネㇷ゚ |asíknep |アシㇰネ<small>ン</small> |asiknen |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |iwánpe |イワニゥ |iwaniw |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ペ |árwanpe |アㇻワニゥ |arwaniw |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ペ |tupésanpe |ツ゚ペサニゥ |tupesaniw |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ペ |sinépesanpe |シネペサニゥ |sinepesaniw |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |wanpe |ワニゥ |waniw |} 個数を数えるとき、1から5までの数（e,u,e,e,eと、全て母音で終わっている）にはㇷ゚ p пを付け、6から10まで（全て子音(<small>ン</small> n)で終わっている）にはペpe пэを付けます。（これは述詞を名詞化するときにつける接尾辞<ref>述詞を伴う形式名詞だとする考え方もあるが、ここでは触れない。</ref>p(e)の変化と全く同じです。）トゥキ　レㇷ゚＜お椀3杯＞、イナゥ　イワ<small>ン</small>ペ＜御幣6つ＞などのように数えます。数詞を単独で使いたいときはこちらを使います。例えば、何かが5個あると言いたい場合は「アシㇰネ」だけ言うのではなく、「アシㇰネㇷ゚」または「アシㇰネ　何々」といいます。 人数を数えるときは、1から5までには𛅧 n нを付け、6から10までには(イ)ゥ iw иўを付けます。シサㇺウタㇻ　アシㇰネ<small>ン</small>＜和人5人＞のように数えます。 また、個数、人数は前に名詞がなくても単独で使えます。 == 10〜20 == 音韻変化による単語の違いはあるものの、1～19までの数詞はどの方言でも同じ発想で形成されます。（ここから紹介する数詞も、数連体詞単独で使われることはないことに注意してください。） {| class="wikitable" |+10～20（数連体詞） !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |wán |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |siné ikásma wán |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |tú ikásma wán |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |ré ikásma wán |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |íne ikásma wán |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |asíkne ikásma wán |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |iwán ikasma wan |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |arwan ikasma wan |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |tupesan ikasma wan |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |sinepesan ikasma wan |- !20<sub>二十進</sub> |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ､　ホワッ､　シネホッ など |hótne |- !20<sub>十進</sub> |ツ゚　ク<small>ン</small>クツ゚､　ツ゚　ホッ など<ref>数連体詞か名詞か要確認。</ref> |tú kúnkutu, tu hot |} イカㇱマとは、「余る」を意味する一項述詞（自動詞）です。日本語の「とあまりひとつ(11)」と同じような考え方ですが、アイヌ語では小さい数の方が先に来ます。 物を数えるときは、どちらの数字の後にも数える物の名前を付けます。例えば、14匹の犬（セタ seta сэта）は「イネ セタ イカㇱマ ワ<small>ン</small> セタ」のように言います。 {{コラム|hot, hotneの品詞について|ここでは20を表すアイヌ語を「ホッネ」だと紹介しましたが、この元々の形は「ホッ」です。これまでのシネ「1の」〜ワ<small>ン</small>「10の」は全て、名詞の前に付くことでその物の数を表す「数連体詞」と呼ばれる品詞なのですが、ホッ「20」は名詞なので、そういった使い方が出来ないのです。（例えば、花 ノ<small>ン</small>ノを数えるとき、「シネ　ノ<small>ン</small>ノ＜1本の花＞」や「ノ<small>ン</small>ノ　アㇻワ<small>ン</small>ペ＜花6本＞」とは言えても「ホッ　ノ<small>ン</small>ノ」や「ノ<small>ン</small>ノ　ホッペ」などとは言えない。） そこで、物の数を数えるために「ネ」という辞をつけ、「ホッネ」という形にします。そうすることで数連体詞になり、これまで見てきた数と同じように、ホッネ　エㇽム「20匹のネズミ」やエムㇱ　ホッネㇷ゚「刀20本」、カッケマッ<ref>ká'''t'''kemat</ref> ホッネ<small>ン</small>「淑女20人」のように表すことができます。 （以上は沙流方言においてであり、他の地域では異なる可能性もありますが、文献で区別が不明確なこともあり詳細は）}} また、20を表す数詞には地域によって「ホッ」、「ホッネ」の他に「イㇰ」、「ホワッ」、「シネホッ」、「ホㇹ」などがあります。 10進法の地域でもtu wanのような形は見られないようです。 {| class="wikitable" |+10〜20の個数 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |wánpe |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |sinép ikásma wánpe |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |túp ikásma wánpe |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |rép ikásma wánpe |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |ínep ikásma wánpe |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |asíknep ikásma wánpe |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |iwánpe ikasma wanpe |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |arwanpe ikasma wanpe |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |tupesanpe ikasma wanpe |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |sinepesanpe ikasma wanpe |- !20<sub>二十進</sub> |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネㇷ゚、ホッ、シネホッ など |hótnep |- !20<sub>十進</sub> |ツ゚　ク<small>ン</small>クツ゚､　ツ゚　ホッ など | |} {| class="wikitable" |+10〜20の人数 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |wániw |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |sinén ikásma wániw |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |tún ikásma wániw |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |rén ikásma wániw |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |ínen ikásma wániw |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |asíknen ikásma wániw |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |iwániw ikasma waniw |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |arwaniw ikasma waniw |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |tupesaniw ikasma waniw |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |sinepesaniw ikasma waniw |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ<small>ン</small> |hótnen |} 人数、個数を数える場合でも同様に、各数詞のあとにp/peやn/iwを付けます。 数えるものの名前を示すときでも、ちゃんと数える物の名前を言うのは最後だけで、それ以外の部分をp/peやn/iwで済ますことがあります。この場合、例えば14匹の犬は「イネㇷ゚ イカㇱマ ワン セタ」のように言えます。地域によってどちらをより使うかには差があります。 == 20～40 == {| class="wikitable" |+20～40(20進法) !数 !カナ !ラテン文字 |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ<ref>[ホッネ]の部分は方言によって異なる。「ホッネ」は北海道の中部・南部などで使われる。</ref> |hotne |- !21 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |sine ikasma hotne |- !22 |ツ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |tu ikasma hotne |- !︙ |︙ |︙ |- !29 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イカㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |sinepesan ikasma hotne |- ! ! ! |- !30 |(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ)　または　 (<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |wan-etuhotne |- !31 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |sine ikasma wan-etuhotne |- !32 |ツ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |tu ikasma wan-etuhotne |- !︙ |︙ |︙ |- !39 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(ワ<small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |sinepesan ikasma wan-etuhotne |- !40 |ツ゚(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |tuhotne |} （ここでは「シネ　イカㇱマ」と「ワ<small>ン</small>　エツ゚ホッネ」で切っていますが、「シネ　イカㇱマ　ワン」と「エツ゚ホッネ」で切り、「『11が40に向かう』、『40に届かぬ11』」などとする解釈もあります。） 「エ」は「そこへ(向かう)」という意味があると考えられ「ツ゚ペサ<small>ン</small>・エツ゚ホッネ(8が2×20へ向かう)」で「32」を表した例もあります。また、「シネ　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　ホッネ」で「32」を表した例もあります。 {| class="wikitable" |+20～40(10進法) ! ! ! ! |- | | | | |- | | | | |- | | | | |} == 80まで == 同じようにしていくと、このようになります。 {| class="wikitable" |+10～80の十の位 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |wan |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |hotne |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-etuhotne |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |tuhotne |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-erehotne |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |rehotne |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-einehotne |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |inehotne |} エ　は「～に向かう」という意味があると考えられています。 ここまでをまとめると、このようになります。 {| class="wikitable" |+表し方(1～89) !一の位 ! !十の位 |- | {| class="wikitable" |- !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span> |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span> |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span> |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small> |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small> |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small> |} | {| class="wikitable" |+ !+ |イカㇱマ |} | {| class="wikitable" |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |} |} === 十進法を使う地域もある === 旭川・宗谷・樺太などでは、20進法が消え、10進法になっています。 {| class="wikitable" |+10進法の十(1～80) !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |ツ゚ンクツ゚、ホッ | |- !20 |ツ゚(ホッ) | |- !30 |レ(ホッ) | |- ! |イネ | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |} == 90以降 == 90以降は、地域によって呼び名がかなり変わります。 {| class="wikitable" |+幌別・名寄・沙流など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ | |- !100 |アシㇰネホッネ | |- !110 |ワ<small>ン</small>・エイワ<small>ン</small>ホッネ | |- !120 |イワ<small>ン</small>ホッネ | |} これはそのまま20進法を続けてゆくものです。 {| class="wikitable" |+沙流　樺太など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ | |- !100 |'''アシㇰネホッネ''' | |- !110 |ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　アシㇰネホッネ | |- !120 |ホッネ　イカㇱマ　アシㇰネホッネ | |} これは100で一区切りをつけ、そこに加算してゆくものです。 {| class="wikitable" |+八雲・帯広など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ / ワ<small>ン</small>・エ(イㇰ) | |- !100 |'''(シネ)　イㇰ、　アツ゚ィタ、　シネ　タ<small>ン</small>ツ゚、　タ<small>ン</small>ク　等様々''' | |- !110 |ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　(イㇰ) | |- !120 |ホッネ　イカㇱマ　(イㇰ) | |} これは100で新たな単位を導入したものです。 {| class="wikitable" |+樺太・旭川など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 | | |- !100 | | |- !110 | | |- !120 | | |} {| class="wikitable" |+宗谷など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 | | |- !100 | | |- !110 | | |- !120 | | |} 十進法でも、さまざまな表し方があります。 == 大きな数 == 100や1000を超えるような数を表す際は地域ごとに異なる表現を使っていたと考えられ、全地域をまたいで使われた大数の体系は今のところ確認されていない。 しかし散発的ではあるものの、複数の地域で大きな数を表す表現が記録され、また新たに考案もされているため、ここに地域を（新案の場合はリンクを）付して概略を示す。また最後に20進法を大きな数まで拡張したWikibooks独自の案を記す。 === 樺太 === === ☆Wikibooks独自の案 === これがアイヌ語の基本的な(二十進法を使い続けたときの)数体系であると考えられます（あくまで独自の見解です。実際にこのような形で言い表している地域があったかは分かりません）。この表では、0〜3999（4000は20×20×20）まで表せます。また、このほかに大きな数の表し方がある地域もあります。 {| class="wikitable" |+ ! !一の位 !+ !十(二十､廿)の位 !+ !二百(四百)の位 |- | {| class="wikitable" !0 |オ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ハ</span> |} | {| class="wikitable" !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span> |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span> |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span> |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small> |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small> |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small> |} |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ | {| class="wikitable" !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !90 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>シㇰネホッネ |- !100 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネホッネ |- !110 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ワ<small>ン</small>ホッネ<ref><span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・<span style="text-emphasis-style: sesame;">エ</span>ィワンホッネになる可能性もある。</ref> |- !120 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ホッネ |- !130 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ホッネ |- !140 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ホッネ |- !150 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ペサ<small>ン</small>ホッネ |- !160 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ホッネ |- !170 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ネペサ<small>ン</small>ホッネ |- !180 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ホッネ |- !190 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ホッネ |} |イカㇱマ | {| class="wikitable" !200 |ワ<small>ン</small>ホッネ |- !400 |アツ゚ィタ<ref>ここでは「ホッネ」より一､二段階程度大きな数詞である「アツ゚ィタ」（示す数は地域によって異なる）を使いましたが、実際に400として使われていることがあるのを確かめたというわけではありません。</ref> |- !600 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エツ゚アツ゚ィタ |- !800 |ツ゚アツ゚ィタ |- !1000 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エレアツ゚ィタ |- !1200 |レアツ゚ィタ |- !1400 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エイネアツ゚ィタ |- !1600 |イネアツ゚ィタ |- !1800 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エアシㇰネアツ゚ィタ |- !2000 |アシㇰネアツ゚ィタ |- !2200 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エイワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2400 |イワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2600 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エアㇻワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2800 |アㇻワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3000 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エツ゚ぺサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3200 |ツ゚ぺサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3400 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エシネペサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3600 |シネペサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3800 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エワ<small>ン</small>アツ゚ィタ　　　　 |} |} {| class="wikitable" |+ !0<ref>「ただ(副詞)､ただの(連体詞)､空である(一項述詞)」という意味の語。数詞の0として使われるという説明・用例は、[https://wikitravel.org/ja/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%8C%E8%AA%9E%E4%BC%9A%E8%A9%B1%E9%9B%86 これ]でしか確認できなかった。但し、アイヌ語の一項述詞は一般的に名詞としても使われるため、「空であるもの」という意味の言葉として解釈することはできる。</ref> ! ! ! |- | | | | |- | | | | |- | | | | |} == 個数・人数 == 数を数えるときは、これらの数詞を「シネ　メノコ(1人の女)」や「ツ゚　オㇰカヨ(2人の男)」、「レ　セタ(三匹の犬)」のように、数えられる名詞の前に置きます。何を数えるときでも形は変わりません。 また、個数を表す「シネㇷ゚、ツ゚ㇷ゚、…アシㇰネㇷ゚、イワ<small>ン</small>ぺ、アㇻワ<small>ン</small>ペ…<ref>母音終わりならпㇷ゚p,子音終わりならpeペпэを付ける。（「もの」を表す言葉と同じもの。）樺太方言ではㇷ゚pはㇵㇶㇷㇸㇹxに変化している。</ref>」や、人数を表す「シネ<small>ン</small>、ツ゚<small>ン</small>、…アシㇰネ<small>ン</small>、イワニゥ、アㇻワニゥ…<ref>母音終わりならnンн,子音終わりならiwイゥиўを付ける。</ref>」を使って数えることもできます。この場合、「ポ<small>ン</small>　チセ　イネㇷ゚(小さな家一棟)」や「エユピヒ　アシㇰネ<small>ン</small>(あなたのお兄さん5人)」などのように、数名詞を後に置きます。 11以上の数で、数詞が二つ出てくるときは、「シネㇷ゚　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>ぺsine''<u>p</u>'' ikasma wan''<u>pe</u>''(11個)」「ツ゚<small>ン</small>　イカㇱマ　ホッネ<small>ン</small>tu<u>''n''</u> ikasma hotne<u>''n''</u>(22人)」「レㇷ゚　イカㇱマ　ワンぺ・エツ゚ホッネㇷ゚ re<u>''p''</u> ikasma wan<u>''pe''</u>-etuhotne<u>''p''</u>(33個)」「イワニゥ　イカㇱマ　ワニゥ・エレホッネ<small>ン</small>iwan<u>''iw''</u> ikasma wan<u>''iw''</u>-erehotne<u>''n''</u>(56人)」のように、1や2や-10の部分も、ワ<small>ン</small>やホッネも数名詞になります。同様に、「11匹のぬこ（チャペ/サ゚ペ<ref>表記法が違うだけで全く同じもの。</ref>cape：猫）」などという場合は、「シネ　チャペ　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>　サ゚ペ」のように、「ねこ」の部分も繰り返して言います。省略形を使って「シネㇷ゚　イカㇱマ　ワン　チャペ」と言うこともできます。 また、比較的少ない個数や人数を数える場合、固有の呼び方で呼ばれることがあります。下に示したものは沙流方言のものです。 {| class="wikitable" |+ !人数 !カナ !キリル !ラテン |- |5 |アシㇰ |асик |asik |- |8 |ツペㇱ |тупэс |tupes |- |9 |シネペㇱ |синэпэс |sinepes |- |5人 |ハィナ |һайна |hayna |- |8人 |ハ<small>ン</small>ピヤ |һанпийа |hanpiya |- |9人 |ハ<small>ン</small>チキ |һанчики |hanciki |} 序数（順番）は、「イｲｪエ～/iye-e-」を数詞の前に付けて表します。（国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブより）<blockquote>【接頭】[i-y-e-e もの・(挿入音)・(と一緒)で・で]…番目｡(｢二｣以上の数詞と共に用いられる｡) iye-einen イイェエイネン 四人目。 iye-einep ne イイェエイネﾌﾟ ネ 四番目の。 iye-einep ne ku=poho イイェエイネﾌﾟ ネ クポホ 四番目の息子。 iye-eiwan to イイェエイワン ト 六日目｡(Ｗ神謡) iye-ere pa イイェエレ パ 三年目｡(Ｗ民話) iye-erep イイェエレﾌﾟ 三番目。 iye-erep ne イイェエレﾌﾟネ 三番目の。 iye-ererko イイェエレﾚコ[名][i-e-e-rerko もの・で・それで・三日] 三日目。 iye-etup イイェエトゥﾌﾟ 二番目。 a=o uske oro wa iye-erep oro ta ráp=an アオ ウｼケ オロ ワ イイェエレﾌﾟ オロ タ ラパン 乗った所から三つ目で降りましょう｡(Ｓ) ☆参考 電車に乗ってから次の次の駅で降りることを言っている。 乗った駅を一つ目として数えている。 ☆発音 二語のアクセントで発音される。 iyé-etú､ iyé-eré。 ☆参考 このように iye-e- イイェ エ を使って言う｢…番目｣の言い方はサダモさんのみから聞いた。 ワテケさんによれば｢…番目｣という言い方はなく､ hoski a=ye p, iyos a=ye p, na iyos a=ye p ホｼキ アイェﾌﾟ､ イヨｼ アイェﾌﾟ､ ナ イヨｼ アイェﾌﾟ《最初に言ったこと､ その後に言ったこと､ さらに後に言ったこと》のように言う。 しかしワテケさんも､ 神謡の中では iye-eiwan to イイェエイワン ト《六日目の日》のようにこの形を使って歌っている。 （出典：田村、方言：沙流）（国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブより）</blockquote> == 大きな数詞一覧<ref>数連体詞の形。「個数・人数など」であげたような使い方ももちろんする。</ref> == {| class="wikitable" |+ !カナ !キリル !ラテン !アラビア数字10進法 !品詞 !方言 |- |ヘ<small>ン</small>パㇰ |һэнпак |henpak |幾つの（疑問詞）<ref>ヘンパㇰぺ（幾つ）、ヘンパキゥ（何人）のほか、ヘンパㇰパ（何年）などとしても使う。</ref> |数連体詞<ref>通常の疑問詞と同じようにhempakpe, hempakiwで何個、何人という意味の名詞にもなる。</ref> | |- |クンクツ゚ |кункуту |kunkutu |10 | |樺太 |- |ホッ |һот |hot |20, 10 |名詞<ref>あくまで20や10という数を表す名詞であり、20個(10個)を表すわけではない。</ref> | |- |ホッネ |һотнэ |hotne |20, 10 |数連体詞 | |- |アツ゚ィタ |атуйта |atuyta |10, 40, 100, 200, 1000 | | |- |シネㇰ |синэк |sinek |1000 | | |- |イㇰ |ик |ik |20, 100, 1000, 100000000 | | |- |タ<small>ン</small>ク |танку |tanku |100 | |樺太 |} これだけ種類がありますが数を作る規則は確固としてあり、どの数詞で何を表すかを文章の冒頭などで決めておけば、同じ表記で二通りに取れる、といったことは決して起こらないようになっているので誤解はなくなります。 == リンク・参考文献 == <references group="参照" /> [https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/80943/1/NoLS11_03_099_IzumiOCHIAI.pdf アイヌ語の数詞再考 : 二十進法における下方算法から上方算法への切り替え] ニューエクスプレス　アイヌ語（中川裕 著、白水社）ISBN === 引用元 === <references group="引用元" /> == 註釈 == <references /> [[カテゴリ:アイヌ語|かすのかそえかた]] [[カテゴリ:数]] 83q77bty32mpi49rzf28scyc784t6dt 299826 299823 2026-05-25T11:06:28Z BrassSnail 71325 /* リンク・参考文献 */ 書法の修正 299826 wikitext text/x-wiki [[アイヌ語]] > [[アイヌ語 テーマ別重要語彙|テーマ別重要語彙]] > '''数の数え方''' アイヌ語の数詞は、全体としては二十進法であり、中に十進法が含まれています。また、完全に十進法の地域や、100までは二十進法で、百の位からは十進法になる地域もあります。日本語などの周辺の言語と異なる、独自の数体系を持っています。 地域や場合によっては、ここに示したものとは異なる言い方をする場合があります。地域名を示したものでも、示した地域すべてには当てはまらないことがあります。また、今のところ、各地の方言を網羅できていない他、誤りも多くは訂正できていません(特に90以降)。 == 0～10 == {| class="wikitable" |+1～10（数連体詞） !数 !カナ !ラテン文字 |- !1 |シネ |sine |- !2 |ツ゚ |tú |- !3 |レ |ré |- !4 |イネ<ref name=":0">例外アクセントのため、樺太では「イーネ îne」となる。含まれる語も同様（イーネホッネ:40 等）。</ref> |íne |- !5 |アシㇰネ、アㇱネ |asikne, asne |- !6 |イワ<small>ン</small> |iwan |- !7 |アㇻワ<small>ン</small> |arwan |- !8 |ツ゚ペサ<small>ン</small> |tupesan |- !9 |シネペサ<small>ン</small> |sinepesan |- !10 |ワ<small>ン</small> |wan |} （多蘭泊などを除く樺太方言のp,t,kの規則的なh,sへの変化は省略、以下注記のない限り同様） 基本になる数です。しっかり覚えましょう。 何かを数えるときには、この数詞のあとに数える物の名前を置きます。数連体詞の状態で単独で使われることは基本的にありません。 例えば、二匹の猫（チャペ/サ゚ペ cápe ча́пэ）はツ゚ サ゚ペ、三人の人（アィヌ ajnu айну）はレ アィヌと言います。何を数えるときもこれは変わりません。 因みに、日本語での神聖数は4[よ]と8[や]ですが、アイヌ語における神聖数はイワ<small>ン</small> iwan иўан（6）です。しばしば日本語での8と同じように、ものがたくさんあることを表します。（例：iwan sike イワン シケ/イワイ シケ 六個の荷物､ たくさんの荷物｡ <ref group="引用元">[https://ainugo.nam.go.jp/ 国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブ]</ref>、「kokutkor kane, iwan kosonte opannere　帯をしめ、六枚の着物を羽織って<ref group="引用元">アイヌ神謡集p78　Nitatorunpe yaieyukar, “Harit kunna”</ref>」） 樺太西海岸では５がasisne(=asikne)ではなくasne アㇱネとなります。<ref group="参照">[https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/repo/huscap/all/84608/15_05_Sakaguchi.pdf アイヌ語樺太方言における数詞と計算 — 阪口, 諒]</ref><sup>:69頁</sup> {| class="wikitable" |+1〜10の個数、人数 ! ! colspan="2" |個数 ! colspan="2" |人数 |- !数 !カナ !ラテン文字 !カナ !ラテン文字 |- !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ㇷ゚ |sinép |シネ<small>ン</small> |sinen |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ㇷ゚ |tup |ツ゚<small>ン</small> |tun |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ㇷ゚ |rep |レ<small>ン</small> |ren |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネㇷ゚<ref name=":0" /> |ínep |イネ<small>ン</small> |ínen |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネㇷ゚ |asíknep |アシㇰネ<small>ン</small> |asiknen |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |iwánpe |イワニゥ |iwaniw |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ペ |árwanpe |アㇻワニゥ |arwaniw |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ペ |tupésanpe |ツ゚ペサニゥ |tupesaniw |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ペ |sinépesanpe |シネペサニゥ |sinepesaniw |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |wanpe |ワニゥ |waniw |} 個数を数えるとき、1から5までの数（e,u,e,e,eと、全て母音で終わっている）にはㇷ゚ p пを付け、6から10まで（全て子音(<small>ン</small> n)で終わっている）にはペpe пэを付けます。（これは述詞を名詞化するときにつける接尾辞<ref>述詞を伴う形式名詞だとする考え方もあるが、ここでは触れない。</ref>p(e)の変化と全く同じです。）トゥキ　レㇷ゚＜お椀3杯＞、イナゥ　イワ<small>ン</small>ペ＜御幣6つ＞などのように数えます。数詞を単独で使いたいときはこちらを使います。例えば、何かが5個あると言いたい場合は「アシㇰネ」だけ言うのではなく、「アシㇰネㇷ゚」または「アシㇰネ　何々」といいます。 人数を数えるときは、1から5までには𛅧 n нを付け、6から10までには(イ)ゥ iw иўを付けます。シサㇺウタㇻ　アシㇰネ<small>ン</small>＜和人5人＞のように数えます。 また、個数、人数は前に名詞がなくても単独で使えます。 == 10〜20 == 音韻変化による単語の違いはあるものの、1～19までの数詞はどの方言でも同じ発想で形成されます。（ここから紹介する数詞も、数連体詞単独で使われることはないことに注意してください。） {| class="wikitable" |+10～20（数連体詞） !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |wán |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |siné ikásma wán |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |tú ikásma wán |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |ré ikásma wán |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |íne ikásma wán |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |asíkne ikásma wán |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |iwán ikasma wan |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |arwan ikasma wan |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |tupesan ikasma wan |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |sinepesan ikasma wan |- !20<sub>二十進</sub> |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ､　ホワッ､　シネホッ など |hótne |- !20<sub>十進</sub> |ツ゚　ク<small>ン</small>クツ゚､　ツ゚　ホッ など<ref>数連体詞か名詞か要確認。</ref> |tú kúnkutu, tu hot |} イカㇱマとは、「余る」を意味する一項述詞（自動詞）です。日本語の「とあまりひとつ(11)」と同じような考え方ですが、アイヌ語では小さい数の方が先に来ます。 物を数えるときは、どちらの数字の後にも数える物の名前を付けます。例えば、14匹の犬（セタ seta сэта）は「イネ セタ イカㇱマ ワ<small>ン</small> セタ」のように言います。 {{コラム|hot, hotneの品詞について|ここでは20を表すアイヌ語を「ホッネ」だと紹介しましたが、この元々の形は「ホッ」です。これまでのシネ「1の」〜ワ<small>ン</small>「10の」は全て、名詞の前に付くことでその物の数を表す「数連体詞」と呼ばれる品詞なのですが、ホッ「20」は名詞なので、そういった使い方が出来ないのです。（例えば、花 ノ<small>ン</small>ノを数えるとき、「シネ　ノ<small>ン</small>ノ＜1本の花＞」や「ノ<small>ン</small>ノ　アㇻワ<small>ン</small>ペ＜花6本＞」とは言えても「ホッ　ノ<small>ン</small>ノ」や「ノ<small>ン</small>ノ　ホッペ」などとは言えない。） そこで、物の数を数えるために「ネ」という辞をつけ、「ホッネ」という形にします。そうすることで数連体詞になり、これまで見てきた数と同じように、ホッネ　エㇽム「20匹のネズミ」やエムㇱ　ホッネㇷ゚「刀20本」、カッケマッ<ref>ká'''t'''kemat</ref> ホッネ<small>ン</small>「淑女20人」のように表すことができます。 （以上は沙流方言においてであり、他の地域では異なる可能性もありますが、文献で区別が不明確なこともあり詳細は）}} また、20を表す数詞には地域によって「ホッ」、「ホッネ」の他に「イㇰ」、「ホワッ」、「シネホッ」、「ホㇹ」などがあります。 10進法の地域でもtu wanのような形は見られないようです。 {| class="wikitable" |+10〜20の個数 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |wánpe |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |sinép ikásma wánpe |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |túp ikásma wánpe |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |rép ikásma wánpe |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |ínep ikásma wánpe |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネㇷ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |asíknep ikásma wánpe |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |iwánpe ikasma wanpe |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |arwanpe ikasma wanpe |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |tupesanpe ikasma wanpe |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ペ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ペ |sinepesanpe ikasma wanpe |- !20<sub>二十進</sub> |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネㇷ゚、ホッ、シネホッ など |hótnep |- !20<sub>十進</sub> |ツ゚　ク<small>ン</small>クツ゚､　ツ゚　ホッ など | |} {| class="wikitable" |+10〜20の人数 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |wániw |- !11 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |sinén ikásma wániw |- !12 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |tún ikásma wániw |- !13 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |rén ikásma wániw |- !14 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |ínen ikásma wániw |- !15 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネン　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |asíknen ikásma wániw |- !16 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |iwániw ikasma waniw |- !17 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |arwaniw ikasma waniw |- !18 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |tupesaniw ikasma waniw |- !19 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサニゥ　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span>ニゥ |sinepesaniw ikasma waniw |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ<small>ン</small> |hótnen |} 人数、個数を数える場合でも同様に、各数詞のあとにp/peやn/iwを付けます。 数えるものの名前を示すときでも、ちゃんと数える物の名前を言うのは最後だけで、それ以外の部分をp/peやn/iwで済ますことがあります。この場合、例えば14匹の犬は「イネㇷ゚ イカㇱマ ワン セタ」のように言えます。地域によってどちらをより使うかには差があります。 == 20～40 == {| class="wikitable" |+20～40(20進法) !数 !カナ !ラテン文字 |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ<ref>[ホッネ]の部分は方言によって異なる。「ホッネ」は北海道の中部・南部などで使われる。</ref> |hotne |- !21 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |sine ikasma hotne |- !22 |ツ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |tu ikasma hotne |- !︙ |︙ |︙ |- !29 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イカㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |sinepesan ikasma hotne |- ! ! ! |- !30 |(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ)　または　 (<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |wan-etuhotne |- !31 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |sine ikasma wan-etuhotne |- !32 |ツ゚　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |tu ikasma wan-etuhotne |- !︙ |︙ |︙ |- !39 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　(ワ<small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ) |sinepesan ikasma wan-etuhotne |- !40 |ツ゚(<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ) |tuhotne |} （ここでは「シネ　イカㇱマ」と「ワ<small>ン</small>　エツ゚ホッネ」で切っていますが、「シネ　イカㇱマ　ワン」と「エツ゚ホッネ」で切り、「『11が40に向かう』、『40に届かぬ11』」などとする解釈もあります。） 「エ」は「そこへ(向かう)」という意味があると考えられ「ツ゚ペサ<small>ン</small>・エツ゚ホッネ(8が2×20へ向かう)」で「32」を表した例もあります。また、「シネ　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　ホッネ」で「32」を表した例もあります。 {| class="wikitable" |+20～40(10進法) ! ! ! ! |- | | | | |- | | | | |- | | | | |} == 80まで == 同じようにしていくと、このようになります。 {| class="wikitable" |+10～80の十の位 !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |wan |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |hotne |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-etuhotne |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |tuhotne |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-erehotne |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |rehotne |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ / <span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>　イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ　レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |wan-einehotne |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |inehotne |} エ　は「～に向かう」という意味があると考えられています。 ここまでをまとめると、このようになります。 {| class="wikitable" |+表し方(1～89) !一の位 ! !十の位 |- | {| class="wikitable" |- !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span> |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span> |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span> |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small> |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small> |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small> |} | {| class="wikitable" |+ !+ |イカㇱマ |} | {| class="wikitable" |- !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |} |} === 十進法を使う地域もある === 旭川・宗谷・樺太などでは、20進法が消え、10進法になっています。 {| class="wikitable" |+10進法の十(1～80) !数 !カナ !ラテン文字 |- !10 |ツ゚ンクツ゚、ホッ | |- !20 |ツ゚(ホッ) | |- !30 |レ(ホッ) | |- ! |イネ | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |- ! | | |} == 90以降 == 90以降は、地域によって呼び名がかなり変わります。 {| class="wikitable" |+幌別・名寄・沙流など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ | |- !100 |アシㇰネホッネ | |- !110 |ワ<small>ン</small>・エイワ<small>ン</small>ホッネ | |- !120 |イワ<small>ン</small>ホッネ | |} これはそのまま20進法を続けてゆくものです。 {| class="wikitable" |+沙流　樺太など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ | |- !100 |'''アシㇰネホッネ''' | |- !110 |ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　アシㇰネホッネ | |- !120 |ホッネ　イカㇱマ　アシㇰネホッネ | |} これは100で一区切りをつけ、そこに加算してゆくものです。 {| class="wikitable" |+八雲・帯広など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 |ワ<small>ン</small>・エアシㇰネホッネ / ワ<small>ン</small>・エ(イㇰ) | |- !100 |'''(シネ)　イㇰ、　アツ゚ィタ、　シネ　タ<small>ン</small>ツ゚、　タ<small>ン</small>ク　等様々''' | |- !110 |ワ<small>ン</small>　イカㇱマ　(イㇰ) | |- !120 |ホッネ　イカㇱマ　(イㇰ) | |} これは100で新たな単位を導入したものです。 {| class="wikitable" |+樺太・旭川など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 | | |- !100 | | |- !110 | | |- !120 | | |} {| class="wikitable" |+宗谷など !数 !カナ !ラテン文字 |- !90 | | |- !100 | | |- !110 | | |- !120 | | |} 十進法でも、さまざまな表し方があります。 == 大きな数 == 100や1000を超えるような数を表す際は地域ごとに異なる表現を使っていたと考えられ、全地域をまたいで使われた大数の体系は今のところ確認されていない。 しかし散発的ではあるものの、複数の地域で大きな数を表す表現が記録され、また新たに考案もされているため、ここに地域を（新案の場合はリンクを）付して概略を示す。また最後に20進法を大きな数まで拡張したWikibooks独自の案を記す。 === 樺太 === === ☆Wikibooks独自の案 === これがアイヌ語の基本的な(二十進法を使い続けたときの)数体系であると考えられます（あくまで独自の見解です。実際にこのような形で言い表している地域があったかは分かりません）。この表では、0〜3999（4000は20×20×20）まで表せます。また、このほかに大きな数の表し方がある地域もあります。 {| class="wikitable" |+ ! !一の位 !+ !十(二十､廿)の位 !+ !二百(四百)の位 |- | {| class="wikitable" !0 |オ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ハ</span> |} | {| class="wikitable" !1 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span> |- !2 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span> |- !3 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span> |- !4 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネ |- !5 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネ |- !6 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !7 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small> |- !8 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small> |- !9 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small> |} |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">カ</span>ㇱマ | {| class="wikitable" !10 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small> |- !20 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !30 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ホッネ |- !40 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !50 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">レ</span>ホッネ |- !60 |レ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ホ</span>ッネ |- !70 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !80 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ネホッネ |- !90 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>シㇰネホッネ |- !100 |ア<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ㇰネホッネ |- !110 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">イ</span>ワ<small>ン</small>ホッネ<ref><span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・<span style="text-emphasis-style: sesame;">エ</span>ィワンホッネになる可能性もある。</ref> |- !120 |イ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ホッネ |- !130 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ホッネ |- !140 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ア</span>ㇻワ<small>ン</small>ホッネ |- !150 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ツ゚</span>ペサ<small>ン</small>ホッネ |- !160 |ツ゚<span style="text-emphasis-style: sesame;">ペ</span>サ<small>ン</small>ホッネ |- !170 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">シ</span>ネペサ<small>ン</small>ホッネ |- !180 |シ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ネ</span>ペサ<small>ン</small>ホッネ |- !190 |<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>・エ<span style="text-emphasis-style: sesame;">ワ</span><small>ン</small>ホッネ |} |イカㇱマ | {| class="wikitable" !200 |ワ<small>ン</small>ホッネ |- !400 |アツ゚ィタ<ref>ここでは「ホッネ」より一､二段階程度大きな数詞である「アツ゚ィタ」（示す数は地域によって異なる）を使いましたが、実際に400として使われていることがあるのを確かめたというわけではありません。</ref> |- !600 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エツ゚アツ゚ィタ |- !800 |ツ゚アツ゚ィタ |- !1000 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エレアツ゚ィタ |- !1200 |レアツ゚ィタ |- !1400 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エイネアツ゚ィタ |- !1600 |イネアツ゚ィタ |- !1800 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エアシㇰネアツ゚ィタ |- !2000 |アシㇰネアツ゚ィタ |- !2200 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エイワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2400 |イワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2600 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エアㇻワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !2800 |アㇻワ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3000 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エツ゚ぺサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3200 |ツ゚ぺサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3400 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エシネペサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3600 |シネペサ<small>ン</small>アツ゚ィタ |- !3800 |ワ<small>ン</small>ホッネ・エワ<small>ン</small>アツ゚ィタ　　　　 |} |} {| class="wikitable" |+ !0<ref>「ただ(副詞)､ただの(連体詞)､空である(一項述詞)」という意味の語。数詞の0として使われるという説明・用例は、[https://wikitravel.org/ja/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%8C%E8%AA%9E%E4%BC%9A%E8%A9%B1%E9%9B%86 これ]でしか確認できなかった。但し、アイヌ語の一項述詞は一般的に名詞としても使われるため、「空であるもの」という意味の言葉として解釈することはできる。</ref> ! ! ! |- | | | | |- | | | | |- | | | | |} == 個数・人数 == 数を数えるときは、これらの数詞を「シネ　メノコ(1人の女)」や「ツ゚　オㇰカヨ(2人の男)」、「レ　セタ(三匹の犬)」のように、数えられる名詞の前に置きます。何を数えるときでも形は変わりません。 また、個数を表す「シネㇷ゚、ツ゚ㇷ゚、…アシㇰネㇷ゚、イワ<small>ン</small>ぺ、アㇻワ<small>ン</small>ペ…<ref>母音終わりならпㇷ゚p,子音終わりならpeペпэを付ける。（「もの」を表す言葉と同じもの。）樺太方言ではㇷ゚pはㇵㇶㇷㇸㇹxに変化している。</ref>」や、人数を表す「シネ<small>ン</small>、ツ゚<small>ン</small>、…アシㇰネ<small>ン</small>、イワニゥ、アㇻワニゥ…<ref>母音終わりならnンн,子音終わりならiwイゥиўを付ける。</ref>」を使って数えることもできます。この場合、「ポ<small>ン</small>　チセ　イネㇷ゚(小さな家一棟)」や「エユピヒ　アシㇰネ<small>ン</small>(あなたのお兄さん5人)」などのように、数名詞を後に置きます。 11以上の数で、数詞が二つ出てくるときは、「シネㇷ゚　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>ぺsine''<u>p</u>'' ikasma wan''<u>pe</u>''(11個)」「ツ゚<small>ン</small>　イカㇱマ　ホッネ<small>ン</small>tu<u>''n''</u> ikasma hotne<u>''n''</u>(22人)」「レㇷ゚　イカㇱマ　ワンぺ・エツ゚ホッネㇷ゚ re<u>''p''</u> ikasma wan<u>''pe''</u>-etuhotne<u>''p''</u>(33個)」「イワニゥ　イカㇱマ　ワニゥ・エレホッネ<small>ン</small>iwan<u>''iw''</u> ikasma wan<u>''iw''</u>-erehotne<u>''n''</u>(56人)」のように、1や2や-10の部分も、ワ<small>ン</small>やホッネも数名詞になります。同様に、「11匹のぬこ（チャペ/サ゚ペ<ref>表記法が違うだけで全く同じもの。</ref>cape：猫）」などという場合は、「シネ　チャペ　イカㇱマ　ワ<small>ン</small>　サ゚ペ」のように、「ねこ」の部分も繰り返して言います。省略形を使って「シネㇷ゚　イカㇱマ　ワン　チャペ」と言うこともできます。 また、比較的少ない個数や人数を数える場合、固有の呼び方で呼ばれることがあります。下に示したものは沙流方言のものです。 {| class="wikitable" |+ !人数 !カナ !キリル !ラテン |- |5 |アシㇰ |асик |asik |- |8 |ツペㇱ |тупэс |tupes |- |9 |シネペㇱ |синэпэс |sinepes |- |5人 |ハィナ |һайна |hayna |- |8人 |ハ<small>ン</small>ピヤ |һанпийа |hanpiya |- |9人 |ハ<small>ン</small>チキ |һанчики |hanciki |} 序数（順番）は、「イｲｪエ～/iye-e-」を数詞の前に付けて表します。（国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブより）<blockquote>【接頭】[i-y-e-e もの・(挿入音)・(と一緒)で・で]…番目｡(｢二｣以上の数詞と共に用いられる｡) iye-einen イイェエイネン 四人目。 iye-einep ne イイェエイネﾌﾟ ネ 四番目の。 iye-einep ne ku=poho イイェエイネﾌﾟ ネ クポホ 四番目の息子。 iye-eiwan to イイェエイワン ト 六日目｡(Ｗ神謡) iye-ere pa イイェエレ パ 三年目｡(Ｗ民話) iye-erep イイェエレﾌﾟ 三番目。 iye-erep ne イイェエレﾌﾟネ 三番目の。 iye-ererko イイェエレﾚコ[名][i-e-e-rerko もの・で・それで・三日] 三日目。 iye-etup イイェエトゥﾌﾟ 二番目。 a=o uske oro wa iye-erep oro ta ráp=an アオ ウｼケ オロ ワ イイェエレﾌﾟ オロ タ ラパン 乗った所から三つ目で降りましょう｡(Ｓ) ☆参考 電車に乗ってから次の次の駅で降りることを言っている。 乗った駅を一つ目として数えている。 ☆発音 二語のアクセントで発音される。 iyé-etú､ iyé-eré。 ☆参考 このように iye-e- イイェ エ を使って言う｢…番目｣の言い方はサダモさんのみから聞いた。 ワテケさんによれば｢…番目｣という言い方はなく､ hoski a=ye p, iyos a=ye p, na iyos a=ye p ホｼキ アイェﾌﾟ､ イヨｼ アイェﾌﾟ､ ナ イヨｼ アイェﾌﾟ《最初に言ったこと､ その後に言ったこと､ さらに後に言ったこと》のように言う。 しかしワテケさんも､ 神謡の中では iye-eiwan to イイェエイワン ト《六日目の日》のようにこの形を使って歌っている。 （出典：田村、方言：沙流）（国立アイヌ民族博物館アイヌ語アーカイブより）</blockquote> == 大きな数詞一覧<ref>数連体詞の形。「個数・人数など」であげたような使い方ももちろんする。</ref> == {| class="wikitable" |+ !カナ !キリル !ラテン !アラビア数字10進法 !品詞 !方言 |- |ヘ<small>ン</small>パㇰ |һэнпак |henpak |幾つの（疑問詞）<ref>ヘンパㇰぺ（幾つ）、ヘンパキゥ（何人）のほか、ヘンパㇰパ（何年）などとしても使う。</ref> |数連体詞<ref>通常の疑問詞と同じようにhempakpe, hempakiwで何個、何人という意味の名詞にもなる。</ref> | |- |クンクツ゚ |кункуту |kunkutu |10 | |樺太 |- |ホッ |һот |hot |20, 10 |名詞<ref>あくまで20や10という数を表す名詞であり、20個(10個)を表すわけではない。</ref> | |- |ホッネ |һотнэ |hotne |20, 10 |数連体詞 | |- |アツ゚ィタ |атуйта |atuyta |10, 40, 100, 200, 1000 | | |- |シネㇰ |синэк |sinek |1000 | | |- |イㇰ |ик |ik |20, 100, 1000, 100000000 | | |- |タ<small>ン</small>ク |танку |tanku |100 | |樺太 |} これだけ種類がありますが数を作る規則は確固としてあり、どの数詞で何を表すかを文章の冒頭などで決めておけば、同じ表記で二通りに取れる、といったことは決して起こらないようになっているので誤解はなくなります。 == リンク・参考文献 == <references group="参照" /> * [https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/80943/1/NoLS11_03_099_IzumiOCHIAI.pdf 落合いずみ（2021）「アイヌ語の数詞再考 : 二十進法における下方算法から上方算法への切り替え」、『北方言語研究』第11号pp.99–121] * [https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/repo/huscap/all/84608/15_05_Sakaguchi.pdf 阪口諒（2022）「アイヌ語樺太方言における数詞と計算」、『北方人文研究』第15号pp.63–84] * ニューエクスプレスプラス アイヌ語（中川裕 2021、白水社）ISBN 978-4-560-08868-5 pp.100–105,106 === 引用元 === <references group="引用元" /> == 註釈 == <references /> [[カテゴリ:アイヌ語|かすのかそえかた]] [[カテゴリ:数]] pbqgruqu8rc6qqrphb5rpn04trepu5y トーク:初等数学公式集/解析幾何 1 47851 299827 299614 2026-05-25T11:11:25Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 今後の参考にして下さい。「平面」について。グラフと2次元空間で分割です。 */ 新しい節 299827 wikitext text/x-wiki == wikibooksの方言ですか。事例を探しています。 == 事例を探しています。カテゴリー、ジャンルは何でも。法文でも。 ＞...厳密性は求められません。(コンメンタール執筆ガイドラインより) ①コロン：:　使い方について。 座標にコロンが多数あります。F:(,)不要に思いました。←←←多数 平面 2点間の関係 ・距離:AB=　←←←　距離AB: 又は　距離AB= ・m:nに内分する点P:(　←←←　コロンが紛らわしい 双曲線:　←←←　コロン不要 媒介変数:t ←←←　コロン不要 ②セミコロン;の使い方について。 その他の;　x軸対称移動　の行　他←←←　： の意味ですか。多数 ③中点・　の使い方について。 3点A・B・Cを結んで　→→→　カンマ、への意味です。 参考.2点(,)、(,)を通る式　 参考 同一直線にない3点(.)... ④「捉えられる文」?　3箇所 と捉える　→→→とする 捉えることができる　→→→となる ⑤理解しても良い。→→→　となる。 ⑥?「ことが文」 と表すことができる。→→→　と表せる。又は　となる。 双曲線であることがわかる。→→→　双曲線である。 平面上にあることとなる。 得ることができる。 一意に決めることができる。 ⑦⑧?「なおである時またならば文」 平面の式の一般式 d≠の時...=1 ???　1の意味がわかりました。 d=の時 ⑨「有さない文」 ⑩直行する。→→→直交する。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 10:54 (UTC) :変だと思ったら自分で直してください。それが編集に参加するということです。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 11:59 (UTC) :なお、誤字は直しますが、ご指摘は基本的に考えて編集したものなので強い根拠がなければ拒否します（多分AIに相談しましたね。あれは結構嘘をつきますよ）。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 12:08 (UTC) == 媒介変数表示の行頭の記号について、高校数学で、中点・でなく 中括弧の左?｛でした。 == （状況・状態の報告） <math>\begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \end{cases}</math>と表せ、 （状況等の評価） 初等数学 と 高校数学  は異なる数学である。 （状況等の改善の提案） ページ最後に、関連項目の追加の検討をお願いします。 <nowiki>== 関連項目 ==</nowiki> <nowiki>*</nowiki> <nowiki>[[高等学校数学C/平面上の曲線#媒介変数表示]]</nowiki> （提案の理由） ページ最後に関連項目の追加が、わかりやすい。修正は不要です。 ＞...(中点は?)基本的に考えて編集したもの... 参考例　[[トランプ#関連項目]] ＞...論理的な問いかけをもらえれば、..(利用者・トーク:Tomzoより) でした。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月5日 (日) 10:04 (UTC) :論理が一貫していません。 ::（状況・状態の報告）-現在ページの記述はこうなっている(A)と言う報告。 ::（状況等の評価）AはBという観点から不適当であるという評価 :::現在の記述では「報告」と「評価」は無関係です。 ::（状況等の改善の提案） :::Aに対する改善を言っていません。 ::（提案の理由） :::「関連項目」の追加を行っているのであれば、その理由として感覚にしかなっていません。 :いじょう、あなたの記述が論理的でないことを説明しました。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年4月5日 (日) 12:43 (UTC) == 目次ページと条文ページ?　の見出しの数が不揃い。 == 目次ページ [[初等数学公式集]] 条文ページ?　[[初等数学公式集/解析幾何]] 判例ページ?　[[初等数学公式集/解析幾何/コラム]] ①目次ページと条文ページ?　の見出しの数が不揃い。 　過不足があるのは、わかりにくい。レベルも一致して下さい。 ②条文ページ?は、条数?始まりが望ましい。目次の見出しに揃える。 ③判例ページ?(コラム)が目次ページに載っていない。 　そのため、条文ページを思いつきで作成しているように見えます。 条文ページ内の構成:解析幾何 1.　平面　レベル2 1.1　2点間の関係　レベル3 1.2　関数のグラフの移動　レベル3 1.2.1 平行移動　レベル4 ???　その他　目次ページにない。 ???　離心率 ???　コラム 目次ページのどこ ＞...感覚にしかなっていません。 でした。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月11日 (土) 03:13 (UTC) == 表示の検討よろしくお願いします。 == ①その他　内で、　a b のフォント?　統一。異なった記号に見えます。 ②2平面の交線　内で、　1.平面1及び平面2　→　平面Π1及び平面Π2--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 03:55 (UTC) :①について :字体の統一がとられていない意味がわかりました。申し訳ありませんでした。 :[[Wikibooks:スタイルマニュアル#数式の様式]] より :＞<math>タグ...多用するとページの表示を遅くする原因になる...--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月4日 (月) 21:38 (UTC) == 「における_文」「とき_時_文」「を表す_文」== における接線→の接線 における法線→の法線 のとき　の時 グラフを表す式→グラフの式 直線の式　→　ないです。直線を表す式 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 13:49 (UTC) == 「点と直線の関係」 内の 「点と直線がなす平面」 は、平面の定義だと思いました。 == :点 と 直線 と 平面。3つ。平面は、余計。 :検討よろしくお願いします。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月19日 (日) 03:18 (UTC) == 今後の参考にして下さい。球面の方程式 でした。高等学校数学C#ベクトルより == :[[高等学校数学C/ベクトル#球面の方程式]]を参考にしました。 :[[初等数学公式集/解析幾何#球面の式]] :①球面の式　→球面の方程式 :②球の方程式→球面の方程式 :③接する平面　だから字下げ。 :④接する平面の式。の式。 :⑤リンク または 関連項目で対応でも。 :⑥目次の[[初等数学公式集#解析幾何]]内にあります。 :今後の参考にして下さい。 :(参考)[[初等数学公式集/解析幾何#接線の方程式]] ::接線の式になっていませんでした。方程式でした。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月2日 (土) 11:12 (UTC) == 今後の参考にして下さい。「(?ただ)の関係」じゃなくて、「の位置関係」はどうですか。 == 10箇所。[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の関係]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月6日 (水) 09:53 (UTC) :見つけました。[[中学数学1年 空間図形#平面や直線の位置関係]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月18日 (月) 09:55 (UTC) == 今後の参考にして下さい。3次元の距離 l: と 直線l: の同じ記号。何とかならなかったものですか。 == :[[初等数学公式集/解析幾何#点と平面の関係]] :距離 l: と 直線l: :(例1) :＞...時、定点Fを焦点、直線Lを準線という。 :?距離dは、使いづらいです。 :?ページ後半は、直線l1,l2でした。 :(例2) :[[初等数学公式集/解析幾何#直線]] :＞点Pと直線L :2次元の場合です。 :(例3) :[[初等数学公式集/解析幾何/証明]] :直線 L上で最短となる点 :(例4) :[[高等学校数学A/図形の性質#直線と平面の位置関係]] :高等学校数学A のal記号は小文字でした。 :節、目?が異なるから、意味が通じるケースです。 :今後の参考にして下さい。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月13日 (水) 14:07 (UTC) == 今後の参考にして下さい。表現「点と直線がなす平面 」と「 点と直線を含む平面」の違い。 == :[[初等数学公式集/解析幾何#点・直線・平面の関係]] :表現を統一。同じ意味。 :点と直線がなす平面 → 点と直線を含む平面の方程式。 :トーク参照。言い換え_文 :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月14日 (木) 14:08 (UTC) == 今後の参考にして下さい。表現です。解析幾何⊂数学的な事項⊂数学。?山あり谷あり_文 == :ページ先頭。 :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項についてのコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項のコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集/解析幾何に関するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集/解析幾何のコラムである。←←←目的。 :私は、数学的な事項?が目的に含まれるかわかりませんでした。 :?山あり谷あり_文の気がしました。wikibooksスタイルでした。 :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月17日 (日) 10:18 (UTC) == 今後の参考にして下さい。「平面」について。グラフと2次元空間で分割です。 == :関数、グラフが「平面」の項目内でした。別項目へ。同レベルで分けるです。 :【現在】 ::目次 ::1 平面 :::1.1 2点間の関係 :::1.2 関数のグラフの移動 :::... :::1.4 二次曲線　 ::　　↓ :【要望】(私のイメージ。私のレベル。fのありなしで分割です。) 高校数学を参考です。 ::目次 ::1 関数 :::1.1 定義域、値域　?関数とは　←←← 追加が必要かも。wikipediaへリンクでも。グラフを移動する前にです。 :::1.2 関数のグラフの移動 :::... :::1.4 二次曲線　←←←　ちょっと微妙 ::2 平面 :::2.1 直線　2点間の関係 :以上、現在が「解析幾何」標準スタイルかも。今後の参考にして下さい。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月25日 (月) 11:11 (UTC) c1nsfft3crmh8dt7ius0bnd65a8hd2b 299829 299827 2026-05-25T11:25:34Z ~2026-30297-95 91534 /* 今後の参考にして下さい。「平面」について。グラフと2次元空間で分割です。 */ 返信 299829 wikitext text/x-wiki == wikibooksの方言ですか。事例を探しています。 == 事例を探しています。カテゴリー、ジャンルは何でも。法文でも。 ＞...厳密性は求められません。(コンメンタール執筆ガイドラインより) ①コロン：:　使い方について。 座標にコロンが多数あります。F:(,)不要に思いました。←←←多数 平面 2点間の関係 ・距離:AB=　←←←　距離AB: 又は　距離AB= ・m:nに内分する点P:(　←←←　コロンが紛らわしい 双曲線:　←←←　コロン不要 媒介変数:t ←←←　コロン不要 ②セミコロン;の使い方について。 その他の;　x軸対称移動　の行　他←←←　： の意味ですか。多数 ③中点・　の使い方について。 3点A・B・Cを結んで　→→→　カンマ、への意味です。 参考.2点(,)、(,)を通る式　 参考 同一直線にない3点(.)... ④「捉えられる文」?　3箇所 と捉える　→→→とする 捉えることができる　→→→となる ⑤理解しても良い。→→→　となる。 ⑥?「ことが文」 と表すことができる。→→→　と表せる。又は　となる。 双曲線であることがわかる。→→→　双曲線である。 平面上にあることとなる。 得ることができる。 一意に決めることができる。 ⑦⑧?「なおである時またならば文」 平面の式の一般式 d≠の時...=1 ???　1の意味がわかりました。 d=の時 ⑨「有さない文」 ⑩直行する。→→→直交する。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 10:54 (UTC) :変だと思ったら自分で直してください。それが編集に参加するということです。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 11:59 (UTC) :なお、誤字は直しますが、ご指摘は基本的に考えて編集したものなので強い根拠がなければ拒否します（多分AIに相談しましたね。あれは結構嘘をつきますよ）。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年3月31日 (火) 12:08 (UTC) == 媒介変数表示の行頭の記号について、高校数学で、中点・でなく 中括弧の左?｛でした。 == （状況・状態の報告） <math>\begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \end{cases}</math>と表せ、 （状況等の評価） 初等数学 と 高校数学  は異なる数学である。 （状況等の改善の提案） ページ最後に、関連項目の追加の検討をお願いします。 <nowiki>== 関連項目 ==</nowiki> <nowiki>*</nowiki> <nowiki>[[高等学校数学C/平面上の曲線#媒介変数表示]]</nowiki> （提案の理由） ページ最後に関連項目の追加が、わかりやすい。修正は不要です。 ＞...(中点は?)基本的に考えて編集したもの... 参考例　[[トランプ#関連項目]] ＞...論理的な問いかけをもらえれば、..(利用者・トーク:Tomzoより) でした。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月5日 (日) 10:04 (UTC) :論理が一貫していません。 ::（状況・状態の報告）-現在ページの記述はこうなっている(A)と言う報告。 ::（状況等の評価）AはBという観点から不適当であるという評価 :::現在の記述では「報告」と「評価」は無関係です。 ::（状況等の改善の提案） :::Aに対する改善を言っていません。 ::（提案の理由） :::「関連項目」の追加を行っているのであれば、その理由として感覚にしかなっていません。 :いじょう、あなたの記述が論理的でないことを説明しました。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年4月5日 (日) 12:43 (UTC) == 目次ページと条文ページ?　の見出しの数が不揃い。 == 目次ページ [[初等数学公式集]] 条文ページ?　[[初等数学公式集/解析幾何]] 判例ページ?　[[初等数学公式集/解析幾何/コラム]] ①目次ページと条文ページ?　の見出しの数が不揃い。 　過不足があるのは、わかりにくい。レベルも一致して下さい。 ②条文ページ?は、条数?始まりが望ましい。目次の見出しに揃える。 ③判例ページ?(コラム)が目次ページに載っていない。 　そのため、条文ページを思いつきで作成しているように見えます。 条文ページ内の構成:解析幾何 1.　平面　レベル2 1.1　2点間の関係　レベル3 1.2　関数のグラフの移動　レベル3 1.2.1 平行移動　レベル4 ???　その他　目次ページにない。 ???　離心率 ???　コラム 目次ページのどこ ＞...感覚にしかなっていません。 でした。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月11日 (土) 03:13 (UTC) == 表示の検討よろしくお願いします。 == ①その他　内で、　a b のフォント?　統一。異なった記号に見えます。 ②2平面の交線　内で、　1.平面1及び平面2　→　平面Π1及び平面Π2--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 03:55 (UTC) :①について :字体の統一がとられていない意味がわかりました。申し訳ありませんでした。 :[[Wikibooks:スタイルマニュアル#数式の様式]] より :＞<math>タグ...多用するとページの表示を遅くする原因になる...--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月4日 (月) 21:38 (UTC) == 「における_文」「とき_時_文」「を表す_文」== における接線→の接線 における法線→の法線 のとき　の時 グラフを表す式→グラフの式 直線の式　→　ないです。直線を表す式 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 13:49 (UTC) == 「点と直線の関係」 内の 「点と直線がなす平面」 は、平面の定義だと思いました。 == :点 と 直線 と 平面。3つ。平面は、余計。 :検討よろしくお願いします。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月19日 (日) 03:18 (UTC) == 今後の参考にして下さい。球面の方程式 でした。高等学校数学C#ベクトルより == :[[高等学校数学C/ベクトル#球面の方程式]]を参考にしました。 :[[初等数学公式集/解析幾何#球面の式]] :①球面の式　→球面の方程式 :②球の方程式→球面の方程式 :③接する平面　だから字下げ。 :④接する平面の式。の式。 :⑤リンク または 関連項目で対応でも。 :⑥目次の[[初等数学公式集#解析幾何]]内にあります。 :今後の参考にして下さい。 :(参考)[[初等数学公式集/解析幾何#接線の方程式]] ::接線の式になっていませんでした。方程式でした。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月2日 (土) 11:12 (UTC) == 今後の参考にして下さい。「(?ただ)の関係」じゃなくて、「の位置関係」はどうですか。 == 10箇所。[[初等数学公式集/解析幾何#点と直線の関係]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月6日 (水) 09:53 (UTC) :見つけました。[[中学数学1年 空間図形#平面や直線の位置関係]]--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月18日 (月) 09:55 (UTC) == 今後の参考にして下さい。3次元の距離 l: と 直線l: の同じ記号。何とかならなかったものですか。 == :[[初等数学公式集/解析幾何#点と平面の関係]] :距離 l: と 直線l: :(例1) :＞...時、定点Fを焦点、直線Lを準線という。 :?距離dは、使いづらいです。 :?ページ後半は、直線l1,l2でした。 :(例2) :[[初等数学公式集/解析幾何#直線]] :＞点Pと直線L :2次元の場合です。 :(例3) :[[初等数学公式集/解析幾何/証明]] :直線 L上で最短となる点 :(例4) :[[高等学校数学A/図形の性質#直線と平面の位置関係]] :高等学校数学A のal記号は小文字でした。 :節、目?が異なるから、意味が通じるケースです。 :今後の参考にして下さい。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月13日 (水) 14:07 (UTC) == 今後の参考にして下さい。表現「点と直線がなす平面 」と「 点と直線を含む平面」の違い。 == :[[初等数学公式集/解析幾何#点・直線・平面の関係]] :表現を統一。同じ意味。 :点と直線がなす平面 → 点と直線を含む平面の方程式。 :トーク参照。言い換え_文 :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月14日 (木) 14:08 (UTC) == 今後の参考にして下さい。表現です。解析幾何⊂数学的な事項⊂数学。?山あり谷あり_文 == :ページ先頭。 :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項についてのコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係する数学的な事項のコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関係するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集の解析幾何に関するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集/解析幾何に関するコラムである。 :　　↓ :このページは、初等数学公式集/解析幾何のコラムである。←←←目的。 :私は、数学的な事項?が目的に含まれるかわかりませんでした。 :?山あり谷あり_文の気がしました。wikibooksスタイルでした。 :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月17日 (日) 10:18 (UTC) == 今後の参考にして下さい。「平面」について。グラフと2次元空間で分割です。 == :関数、グラフが「平面」の項目内でした。別項目へ。同レベルで分けるです。 :【現在】 ::目次 ::1 平面 :::1.1 2点間の関係 :::1.2 関数のグラフの移動 :::... :::1.4 二次曲線　 ::　　↓ :【要望】(私のイメージ。私のレベル。fのありなしで分割です。) 高校数学を参考です。 ::目次 ::1 関数 :::1.1 定義域、値域　?関数とは　←←← 追加が必要かも。wikipediaへリンクでも。グラフを移動する前にです。 :::1.2 関数のグラフの移動 :::... :::1.4 二次曲線　←←←　ちょっと微妙 ::2 平面 :::2.1 直線　2点間の関係 :以上、現在が「解析幾何」標準スタイルかも。今後の参考にして下さい。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月25日 (月) 11:11 (UTC) :関数は解析幾何の範疇ではないので追加不要。あと、書き方が支離滅裂で何を伝えたいのか判然としない。--[[特別:投稿記録/&#126;2026-30297-95|&#126;2026-30297-95]] ([[利用者・トーク:&#126;2026-30297-95|トーク]]) 2026年5月25日 (月) 11:25 (UTC) 7snlfy7g7b0unja7fobhilb8y2vm1kr トーク:初等数学公式集/解析幾何/コラム 1 47904 299822 299640 2026-05-25T10:42:43Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 一次独立 が本章に見当たりません。 */ 返信 299822 wikitext text/x-wiki == 「操作」使用例を探しています。「操作」は高等数学の固有名詞ですか? == ①「操作_文」何?。 実は、v1v2 の各成分を用いてn のように表す操作は「外積」と言って、 　　↓ 実は、v1v2 の各成分を用いてn のように表すのは「外積」と言って、 　　↓ 実は、nを、v1v2 の各成分を用いて表すのは「外積」と言って、 「nが重要か,v1,v2の各成分が重要か_文」でした。 ②「使わなくていい言葉文」 点・直線・平面の関係を表す操作として各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。 　　↓ 点・直線・平面の関係が各種出題に埋め込まれている場合が少なくない。 　　↓ 点・直線・平面の関係を表す出題がある。 　　↓ ／ 点・直線・平面の関係の出題がある。 ③＞...高等数学（大学以上の課程で取り扱う数学）... 初等数学は何?　高校数学と別物と理解していました。高校数学、初等数学、高等数学。 ④「操作」使用例を探しています。「操作」は高等数学の固有名詞ですか? ＞ただ言い回しは単に好みの問題です。(トーク:初等数学公式集/解析幾何/証明 より) かもしれません。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月12日 (日) 01:47 (UTC) == 一次独立 が本章に見当たりません。 == ①＞本節のタイトルである「三次元空間上で一次独立である2つのべクトルと直行するベクトル」は本章の「三次元空間」節に繰り返し登場するもので。 一次独立 が本章に見当たりません。繰り返し登場? どこですか。 ②タイトルから一次独立を消して、本文で、一次独立の条件が必要です。でいいと思いました。 ③参考　と　コラム　の表示の不一致です。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月13日 (月) 14:28 (UTC) :①1次独立を見つけました。 ::[[初等数学公式集/初等幾何#1次独立]] ::解析幾何に無く、初等幾何にありました。 ::?1次独立を見つけました。 ::?1次独立?一次独立。もしかしたら、意味が違うカモ。 :--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月14日 (木) 14:31 (UTC) ::(続き)①1次独立を見つけました ::[[線型代数学/ベクトル#一次従属と一次独立]] ::???従属が先でした。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月25日 (月) 10:42 (UTC) == 直行 を 直交 に置換をお願いします。 == 9箇所です。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月25日 (土) 12:24 (UTC) == 今後の参考にして下さい。外積となるベクトルを何も、記号eを使わなくてもいいと思いました。 == :事例があれば教えて下さい。 :[[初等数学公式集/解析幾何/コラム#外積の定義]] :①＞外積となるベクトル e=axbとする。 :外積を、何もベクトルeにしなくてもです。 :[[w:単位ベクトル]] :＞単位ベクトルは e などで表されることが多い。 :②?そもそも論。「外積となるベクトルe=axbとする。」の行を削除。 :ベクトルa・(ベクトルa x ベクトルb)=0 他2箇所 :外積を、ベクトルに代入する必要はない。 :＞新たなベクトルを与える... :与えてある。?乗算記号を用いる場合?、「axb」と言うひとつの記号の考え方です。 :＞...ご指摘は基本的に考えて編集したものなので...(wikibooksの方言ですか。より) --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月4日 (月) 10:07 (UTC) == 今後の参考にして下さい。注目点。突然、3例が出てきた。?3番目の例 ?4例の内の1~3例 ?4例全部。ところで_ところが文です。 == ①注目点です。 :＞以下のように繰り返し微妙に形を変えて登場している。 :　　　↓ :＞以下の4例がある。 :?(繰り返し微妙に形を変えて)登場しなくてもです。微妙にドラマ風。 ②ところで_ところが_文。ということで_文。にも_文 :＞2.ところで、上記の3例では、「三次元空間において2個のベクトルに直交する」ということで、その方向ベクトルの性質が利用されてきた。ところが、この形の係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現にも出てくる :　　　↓ :＞2.上記の3例の方向ベクトルの係数の組み合わせが、長さや面積といった量の表現に出てくる :?何も止めなくても。逆戻りしなくてもいいと思いました。 :今後の参考にして下さい。 :＞...ご指摘は基本的に考えて編集したものなので...(wikibooksの方言ですか。より) --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月7日 (木) 09:38 (UTC) ::(続き)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ::　　　 　↓ ::＞2.上記の3例の方向ベクトルの係数の組み合わせが、長さや面積に出てくる ::体積は?です。ここは無難に省略。 ::?長さ、面積。は「量」?必要条件?十分条件のため、省略。 :といった_文。でした。 :ご迷惑をかけないためトークにしました。--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月9日 (土) 04:06 (UTC) == 今後の参考にして下さい。2番めの→2番目の。文字「め」→「目」へ。8箇所。ok第7番目。 == :[[初等数学公式集/解析幾何/コラム#三次元空間上で一次独立である2つのベクトルと直交するベクトル]] :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月14日 (木) 14:15 (UTC) == 今後の参考にして下さい。外積の応用と用途 →外積の応用 でいいと思いました。 == :[[初等数学公式集/解析幾何/コラム#外積の応用と用途]] :応用はドコ? 用途アリ状態です。 :(現在) :2.3外積の応用と用途 :　　2.3.1平行六面体 :　　2.3.2外積の用途 :　　　　　2.3.2.1物理計算 :　　　　　2.3.2.2意外な利用法:コンピューター・グラフィック :(案1) :2.3外積の応用と用途 :　　2.3.2外積の応用 :　　　　　2.3.1.1平行六面体 :　　2.3.2外積の用途 :　　　　　2.3.2.1物理計算 :　　　　　2.3.2.2意外な利用法:コンピューター・グラフィック :(案2) :2.3外積の応用 :　　2.3.1平行六面体 :2.4外積の用途 :　　2.4.1物理計算 :　　2.4.2.意外な利用法:コンピューター・グラフィック :差し戻しのご迷惑をかけないためトークにしました。 --[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年5月19日 (火) 09:48 (UTC) 1vot078hdpa80v3ub3vo0hs0sa71pxf 利用者:Tkkn46tkkn46 2 48053 299820 299762 2026-05-25T10:36:56Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 社会科学（3類） */ 高等学校数学 幾何学のみ 299820 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] *[[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）]] ＜　 [[w:日本十進分類法]] == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] ::*[[小学校算数/3学年#図形]] 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イタリア文学 * 979 その他のロマンス文学 * 980 ロシア・ソビエト文学 * 989 その他のスラブ文学 * 990 その他の諸言語文学 ** 991 ギリシア文学 ** 992 [[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> piovog1tqr621ub8hu88lnf73ocltvs 299821 299820 2026-05-25T10:39:11Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 関連項目 */ 緑色は、履歴色でした。 299821 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] *[[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:green">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]] ＜　 [[:w:日本十進分類法|<span style="color:green">w:日本十進分類法</span>]] == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 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国際語（人工語）による文学 </div> p45tccxwuoztett5c0accl1mliajw8u 299824 299821 2026-05-25T10:55:43Z Tkkn46tkkn46 89925 /* 技術（5類） */ の追加 299824 wikitext text/x-wiki == 関連項目 == *[[Wikibooks:日本十進分類法]] *[[:Category:日本十進分類法|カテゴリ:日本十進分類法]] *[[Wikibooks:蔵書一覧]] *[[:w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）|<span style="color:green">w:日本十進分類法#要目表（第3次区分表）</span>]] ＜　 [[:w:日本十進分類法|<span style="color:green">w:日本十進分類法</span>]] == 総記（0類） == == 哲学（1類） == == 歴史（2類） == == 社会科学（3類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * 300 社会科学 * 310 政治 ** 311 政治学、政治思想 ** 312 政治史・事情 ** 313 国家の形態、政治体制 ** 314 議会 ** 315 政党、政治結社 ** 316 国家と個人・宗教・民族 ** 317 行政 ** 318 地方自治、地方行政 ** 319 外交、国際問題 * 320 法律 ** 321 法学 ** 322 法制史 ** 323 憲法 ** 324 民法、民事法 ** 325 商法、商事法 ** 326 刑法、刑事法 ** 327 司法、訴訟手続法 ** 328 諸法 ** 329 国際法 * 330 経済 ** 331 経済学、経済思想 ** 332 経済史・事情、経済体制 ** 333 経済政策、国際経済 ** 334 人口、土地、資源 ** 335 企業、経営 ** 336 経営管理 ** 337 貨幣、通貨 ** 338 金融、銀行、信託 ** 339 保険 * 340 財政 ** 341 財政学、財政思想 ** 342 財政史・事情 ** 343 財政政策、財務行政 ** 344 予算、決算 ** 345 租税 ** 346 ** 347 公債、国債 ** 348 専売、国有財産 ** 349 地方財政 * 350 統計 * 360 社会 * 370 教育 ** 371 教育学、教育思想 ** 372 教育史・事情 ** 373 教育政策、教育制度、教育行財政 ** 374 学校経営・管理、学校保健 ** 375 教育課程、学習指導、教科別教育 ** 376 幼児・初等・中等教育 :::小学校算数,中学数学 幾何学のみ ::*[[Wikijunior:算数/小学校入学前 算数教育#かたち]] ::*[[小学校算数/1学年#かたち]] ::*[[小学校算数/2学年#ながさ]] ::*[[小学校算数/2学年#形]] ::*[[小学校算数/3学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#図形]] ::*[[小学校算数/4学年#直方体と立方体]] ::*[[小学校算数/5学年#図形]] ::*[[小学校算数/5学年#角柱と円柱]] ::*[[小学校算数/6学年#量と測定]] ::*[[小学校算数/6学年#図形]] ::*[[中学数学1年 平面図形]] ::*[[中学数学1年 空間図形]] ::*[[中学数学2年 図形の調べ方]] ::*[[中学数学2年 三角形と四角形]] ::*[[中学数学3年 相似な図形]] ::*[[中学数学3年 円]] ::*[[中学数学3年 三平方の定理]] :* 377 大学、高等・専門教育、学術行政 ::*[[高等学校数学]] :::高等学校数学 幾何学のみ ::*[[高等学校数学I/図形と計量]] ::*[[高等学校数学A/図形の性質]] ::*[[高等学校数学II/図形と方程式]] ::*[[高等学校数学III/微分法]] ::*[[高等学校数学III/積分法]] ::*[[高等学校数学C/ベクトル]] ＊旧課程のままです。 ::*[[高等学校数学C/平面上の曲線]] ::*[[高等学校数学C/複素数平面]] ::*[[高等学校理数数学#円と円の共有点]] ::*[[高等学校理数数学#平面の方程式]] ::*[[高等学校物理]]＊スペースなしの物理 :::*[[高等学校 物理基礎]] ::::*[[高等学校 物理基礎/物理のための数学]] ::::*[[高等学校 物理]]＊スペースありの物理 ::::*[[高校物理 波]]＊高校物理 * 378 障害児教育（特別支援教育） * 379 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土木設計・施工法 ** 514 道路工学 ** 515 橋梁工学 ** 516 鉄道工学 ** 517 河海工学、河川工学 ** 518 衛生工学、都市工学 ** 519 環境工学、公害 * 520 建築学 ** 521 日本の建築 ** 522 東洋の建築、アジアの建築 ** 523 西洋の建築、その他の様式の建築 ** 524 建築構造 ** 525 建築計画・施工 ** 526 各種の建築 ** 527 住宅建築 ** 528 建築設備、設備工学 ** 529 建築意匠・装飾 * 530 機械工学 ** 531 機械力学・材料・設計 ** 532 機械工作、工作機械 ** 533 熱機関、熱工学 ** 534 流体機械、流体工学 ** 535 精密機器、光学機器 ** 536 運輸工学、車両、運搬機械 ** 537 自動車工学 ** 538 航空工学、宇宙工学 ** 539 原子力工学 * 540 電気工学 ** 541 電気回路・計測・材料 ** 542 電気機器 ** 543 発電 ** 544 送電、変電、配電 ** 545 電灯、照明、電熱 ** 547 通信工学、電気通信 ** 548 情報工学 ** 549 電子工学 * 550 海洋工学、船舶工学 ** 551 理論造船学 ** 552 船体構造・材料・施工 ** 553 船体艤装、船舶設備 ** 554 舶用機関（造機） ** 555 船舶修理、保守 ** 556 各種の船舶・艦艇 ** 557 航海、航海学 ** 558 海洋開発 ** 559 兵器、軍事工学 * 560 金属工学、鉱山工学 * 570 化学工業 * 580 製造工業 * 590 家政学、生活科学 </div> == 産業（6類） == == 芸術（7類） == == 言語（8類） == == 文学（9類） == <div style="column-count:2; column-gap:24px;"> * [[:Category:日本十進分類法/900|900 文学]] ** 901 文学理論・作法 ** 902 文学史、文学思想史 ** 903 参考図書（レファレンスブック） ** 904 論文集、評論集、講演集 ** 905 逐次刊行物 ** 906 団体 ** 907 研究法、指導法、文学教育 ** 908 叢書、全集、選集 ** 909 児童文学研究 * 910 日本文学 * 920 中国文学 * 929 その他の東洋文学 * 930 英米文学 * 940 ドイツ文学 * 949 その他のゲルマン文学 * 950 フランス文学 * 959 プロバンス文学 * 960 スペイン文学 * 969 ポルトガル文学 * 970 イタリア文学 * 979 その他のロマンス文学 * 980 ロシア・ソビエト文学 * 989 その他のスラブ文学 * 990 その他の諸言語文学 ** 991 ギリシア文学 ** 992 [[:Category:日本十進分類法/992|ラテン文学]] ** 993 その他のヨーロッパ文学 ** 994 アフリカ文学 ** 995 アメリカ諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 996 ** 997 オーストラリア諸言語の文学 <span style="background-color:#dde;">※10版3刷での変更</span> ** 998 ** 999 国際語（人工語）による文学 </div> m5nsyoynclo5udm3pjv9bwmg4ksc5uz 解析学基礎/フーリエ変換 0 48111 299809 2026-05-25T03:21:21Z ~2026-30297-95 91534 ページの作成:「{{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関…」 299809 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 tsibighy9bf8susnwxdgx8rsl1gua3j 299810 299809 2026-05-25T03:23:16Z ~2026-30297-95 91534 299810 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 cknp570r6gvxrjm66922wilr60jx87n 299811 299810 2026-05-25T03:23:54Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 299811 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 nvpc3cyblxm2kozeji9y5l19yi154nn 299812 299811 2026-05-25T03:24:23Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 299812 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> 5lvenmairvfjc6vdoet6qy4rtnz1hjr 299813 299812 2026-05-25T03:24:46Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 299813 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}[\overline{f(-y)}](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>R(\chi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対'''である。 <math>R_fg(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda(\xi{f}(\xi)) &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}(\lambda{f}(\xi)) &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math> ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda = \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi}=a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 9k4oc30551ss1h90h38zpk4glnzljih 299814 299813 2026-05-25T03:26:17Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 299814 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}[\overline{f(-y)}](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>R(\chi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対'''である。 <math>R_fg(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda(\xi{f}(\xi)) &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}(\lambda{f}(\xi)) &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math> ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda = \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi}=a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 05boduyky5198py21lsroke8thch3gv 299815 299814 2026-05-25T03:28:57Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換 */ 299815 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \left\rightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}[\overline{f(-y)}](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>R(\chi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対'''である。 <math>R_fg(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda(\xi{f}(\xi)) &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}(\lambda{f}(\xi)) &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math> ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda = \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi}=a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] q4nr3tcbvk1vilhxcqxl6weg2fro1uf 299816 299815 2026-05-25T03:29:36Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換 */ 299816 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}[\overline{f(-y)}](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>R(\chi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対'''である。 <math>R_fg(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda(\xi{f}(\xi)) &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}(\lambda{f}(\xi)) &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math> ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda = \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi}=a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 5znwg24dpicrf14tnaz4dxccba3l01g 299817 299816 2026-05-25T03:33:58Z ~2026-30297-95 91534 /* フーリエ変換の性質 */ 299817 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 ここで周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると、エルミート性から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つ。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(t+x_0)\}dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(t)\mathrm{cis}(-\tau\xi{t})dt</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(t)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がフーリエ変換の固有関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>と畳み込みで表される。 :よって畳み込みのフーリエ変換より :<math>\tilde{R}(\xi)=\tilde{(\hat{f})}(\xi)f(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}[\overline{f(-y)}](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>R(\chi)=\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対'''である。 <math>R_fg(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda(\xi{f}(\xi)) &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}(\lambda{f}(\xi)) &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi d\xi</math> :<math>\ln f(\xi) = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math> ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda = \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi}=a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #コーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] sjlutezw1eeoz5su0k86dvfvhkyjl0h 債務名義 0 48112 299828 2026-05-25T11:25:22Z Tomzo 248 新規リダイレクト 299828 wikitext text/x-wiki #転送 [[民事執行法第22条]] tti909wwl1zbgty7zdsqwve70owb72z 執行証書 0 48113 299830 2026-05-25T11:30:50Z Tomzo 248 新規リダイレクト 299830 wikitext text/x-wiki #転送 [[民事執行法第22条#執行証書]] t41qun5ms5nr9dg4wxsa1cy86i6q5fr