Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.12 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 2074 301890 299437 2026-07-28T13:13:06Z Nermer314 62933 301890 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} 本書を読むための前提知識は、基本的な解析学の知識で十分である。 * [[解析力学 はじめに|はじめに]] == 質点系の力学 == === ニュートンの運動の法則 === ;第一法則 :ある座標系が存在し、その座標系では、すべての力が働いていない質点は、静止するか直線上を一定の速度で運動をする（これを慣性系という)。 ;第二法則 :慣性系において、質点に加わる力は質点の質量と加速度の積に等しい。 ;第三法則 :二つの質点1,2が互いに力を及ぼし合うとき、質点1が質点2に作用する力と、質点2が質点1に作用する力とは、大きさが等しく逆向きである。 <math>N</math> 個の質点の系を考える。この系の自由度は <math>3N</math> だから、その座標を <math>x_1,\dots, x_{3N}</math> と書く事が出来る。各 <math>i</math> について、第二法則は、 <math>m_i \ddot x_i = F_i </math> となる。ここで、関数 <math>U(x_1,\dots, x_{3N})</math> が存在して、 <math>F_i = -\frac{\partial U(x_1,\dots, x_{3N})}{\partial x_i}</math> と書く事が出来るとき、これを保存力という。質点系に保存力のみが働く場合、ラグランジアンを <math>L = \sum_i \frac{1}{2}m_i \dot {x_i}^2 - U </math> と定義すると、運動方程式は、 <math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0</math> と変形することが出来る。これをオイラー・ラグランジュ方程式という。この方程式の重要なことは、これが座標変換によって形を変えないということである。 実際に、<math>q_i = q_i(x,t)</math> のように座標変換するとき、 <math>\frac{dx_i}{dt} = \frac{dq_k}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_k} + \frac{\partial x_i}{\partial t}</math> から、 <math>\frac{\partial \dot x_i}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial x_i}{\partial q_k}</math> となる。また、 <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial x_i} = \frac{\partial x_l}{dt}\frac{\partial}{\partial x_l}\left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{dx_l}{dt} \frac{\partial q_k}{\partial x_l} \right) = \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_l}</math> となる。従って、 <math>\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} \\ &= \frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial \dot x_i}\right)\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{\partial \dot q_k}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} \\ &= \frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] \end{align}</math> ここで、<math>\det \left(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\right) \neq 0</math> ならば、線形方程式 <math>\frac{\partial q_k}{\partial x_i}\left[\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}\right] = 0</math> を解いて、 <math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0</math> を得る。 == 変分原理 == オイラー・ラグランジュ方程式は変分原理からも導出することができる。 変分原理の簡単な例として、関数 <math>f(x) </math> を最小にする <math>x </math> について考えよう。<math>f(x) </math> が最小値を取るとき、<math>f'(x) = 0 </math> となるのだった。<math>f'(x) = 0 </math> となることは、<math>x </math> を微小量 <math>\delta x </math> だけ変化させたとき、<math>f(x) </math> の変化量 <math>\delta f := f(x+\delta x) - f(x) </math> は <math>\delta f = 0 </math> になるということである。これを一般化する。 汎函数<math>I[\boldsymbol{y}]</math>に対して始点<math>(a, \boldsymbol{y}_a)</math>と終点<math>(b, \boldsymbol{y}_b)</math>を固定したときに関数<math>f:x \to\boldsymbol{y}</math>を変化させたときの極値を考える。<math>\boldsymbol{y}</math>の微小変化に対する<math>I</math>の微小変化を'''変分'''という。 ここでは、簡単のため汎函数として1変数積分<math>I[\boldsymbol{y}]=\int_{a}^b F\left(x, \boldsymbol{y}, \frac{d\boldsymbol{y}}{dx}\right)dx</math>のみを考える。 各<math>y_i</math>の全微分を考えると変分は :<math>\delta{I}=\int_{a}^b \sum_{i} \left( \frac{\partial{F}}{\partial{y_i}} \delta y_i + \frac{\partial{y}}{\partial\left(\frac{dy_i}{dx}\right)}\delta\left(\frac{dy_i}{dx}\right) \right)dx=\left[ \sum_i \frac{\partial{F}}{\partial\left(\frac{dy_i}{dx}\right)} \delta y_i \right]_{x=a}^{x=b}+\int_a^b \sum_i \left( \frac{\partial{F}}{\partial{y_i}} - \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial{F}}{\partial\left(\frac{dy_i}{dx}\right)} \right) \right)\delta y_i dx</math> と表される。 ここで1項目は境界条件で0となるので、<math>\delta I=0</math>となるためには :<math>\forall{i}, \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y_i}}\right)-\frac{\partial{F}}{\partial\left(\frac{dy_i}{dx}\right)}=0</math> である。これを（数学的に）'''オイラーの方程式'''という。 オイラーの方程式の利用例を2つほど紹介しよう。 ①最短曲線 :<math>\mathbb{R}^3</math>中の定点<math>\mathrm{P, Q}</math>を結ぶ曲線のうち、距離が最小になるものを求める。但し、空間は歪んでいないものとする。 :<math>\mathrm{P}(a, y(a), z(a)), \mathrm{Q}(b, y(b), z(b))</math>とおく。 :曲線の長さは<math>I=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}dx</math> :これが極値をとるとき<math>F(x, y, z, \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx})=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}</math>に対するオイラー方程式を満たすので :<math>\begin{cases} \frac{d}{dx}\left(\frac{\frac{dy}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}}\right)=0 \\ \frac{d}{dx}\left(\frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}}\right)=0 \end{cases}</math> :これは直接積分形常微分方程式なので :<math>\begin{cases} \frac{\frac{dy}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}}=\mathrm{const}. \\ \frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2}}=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :さらに整理すると :<math>\begin{cases} \frac{dy}{dx}=\mathrm{const}. \\ \frac{dz}{dx}=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :よって解は :<math>y(x)=ax+b, z(x)=cx+d</math> :となる。 :これは空間の直線の方程式の一般形に直せるので直線である。 :（<math>\frac{x-0}{1}=\frac{y-b}{a}=\frac{z-d}{c}</math>） ②最速降下曲線（ブラキストクローン） :<math>\mathbb{R}^2</math>中のy座標が異なる2点を結ぶ連続曲線上を滑り落ちる質点を考えるとき、滑り落ちる時間が最小となるような曲線を求める。 :y軸を鉛直下向きにとる。 :曲線の微小距離は<math>ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}</math> :<math>x</math>での質点の速さは<math>v=\sqrt{2gx}</math>なので :<math>ds</math>だけ進む時間は :<math>dt=\frac{ds}{\sqrt{2gx}}=\sqrt{\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{2gx}}dx</math> :<math>0<x<b</math>で単調増加するときの時間は :<math>I=\frac{b}{0}\sqrt{\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{2gx}}dx</math> :極値をとる場合は<math>F(x, y, \frac{dy}{dx})=\sqrt{\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{2gx}}</math>に対するオイラー方程式を考えれば良い。 :オイラー方程式は<math>\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\sqrt{2gx}}\frac{\frac{dy}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}} \right)=0</math> :直接積分して :<math>\frac{1}{\sqrt{2gx}}\frac{\frac{dy}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}=\mathrm{const}.</math> :この定数を<math>\frac{1}{2\sqrt{ga}}</math>と置いて両辺二乗すると :<math>\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{x\left\{ 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \right\}}=\frac{1}{2a}</math> :変形して :<math>\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{x}{2a-x}}</math> :<math>x=a\mathrm{versin}\,\theta</math>と置換して :<math>\begin{array}{l} \frac{dy}{d\theta} &=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{d\theta} \\ &=\sqrt{\frac{\mathrm{versin}\,\theta}{\mathrm{vercos}\,\theta}}\cdot{a\sin\theta} \\ &=2a\sin^2\frac{\theta}{2} \\ &=a\mathrm{versin}\,\theta \end{array}</math> :よって :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} \mathrm{versin}\,\theta \\ \theta-\sin\theta \end{pmatrix}</math> :これはサイクロイド曲線である。 ラグランジアン <math>L(q_1,q_2,\cdots,q_K,\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_K)</math> の運動に沿った積分 :<math>S = \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t),t) </math> の値を'''作用'''（作用積分）と言う。 変分原理により、<math>S(q,\dot q) </math> を最小にする <math>q(t) </math> について、<math>q(t) </math> を少しだけ変化させて <math>q(t) + \delta q(t) </math> （ただし、境界条件 <math>\delta q_i(t_0) = \delta q_i(t_1) = 0 </math> を課す）としたときの <math>S </math> の変化量 <math>\delta S = S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q) </math> は <math>\delta S = 0 </math> となると考えることが出来る。 <math>\begin{align} \delta S &= S(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t) ) - S(q,\dot q)\\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t) + \delta q(t),\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(q(t),\dot q(t)) \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(q(t) + \delta q(t) ,\dot q(t) + \delta \dot q(t)\}) - L(q(t),\dot q(t))] \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\ &= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\ &= 0 \end{align} </math> ここで、 <math>\delta q_k(t) </math> は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式 :<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 </math> を得る。 変分原理のうち、「運動方程式の解が作用の極値で与えられる」という原理を特に'''ハミルトンの原理'''（'''最小作用の原理'''）という。 ==一般化運動量== 一般化運動量 <math>p_i</math> を :<math> p_i = \frac {\partial L}{\partial {\dot q_i} } </math> で定義する。デカルト座標を使った場合、質量 <math>m</math> の粒子のラグランジアンは、 <math>L = \frac{1}{2} m (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) -U(x,y,z)</math> であるから、 <math>p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x</math> となって、通常の運動量に一致する。また、極座標では、<math>L = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 ) -U(r,\theta)</math> より、 <math>p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r,\, p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = mr^2 \dot \theta </math> となる。<math>\theta</math> に共役な運動量は角運動量に一致する。 == 保存則 == ラグランジアン <math>L</math> が陽に <math>t</math> に依存しないならば、 <math>\begin{align} \frac{dL}{dt} &= \frac{dq_i}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{d\dot q_i}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\\ &= \dot q_i \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \ddot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \\ &= \frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) \end{align}</math> となる。変形すると、 <math>\frac{d}{dt}\left(\dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\right) = 0</math> となる。従って、 <math>E = \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L</math> は保存する。この量 <math>E</math> はエネルギーと呼ばれる。 ラグランジアンに <math>\dot x_i = \dot q_k \frac{\partial x_i}{\partial q_k}</math> を代入して一般座標で書くと、 <math>\begin{align} L &= \frac 1 2 m_i \dot x_i^2 - U(x) \\ &= \frac 1 2 m_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} \dot q_k \dot q_l - U(q) \\ &= \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l - U(q) \end{align}</math> となる。ここで、<math>a_{kl}(q) = m_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\frac{\partial x_i}{\partial q_l} </math> とした。 運動エネルギーの部分を <math>T(q,\dot q) = \frac 1 2 a_{kl}(q) \dot q_k \dot q_l </math> と置くと、同次関数に対するオイラーの定理より、 <math>\dot q_i \frac{\partial T} {\partial \dot q_i} = 2T</math> となるから、 <math>\begin{align} E &= \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L\\ &= \dot q_i \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - L\\ & = 2T -(T-U)\\ &= T+U \end{align}</math> を得る。エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるということが分かる。 == 重力二体問題 == 質量 <math>m_1,m_2</math> の質点が重力を及ぼし合うときの運動を考える。質点の座標をそれぞれ <math>\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2</math> とすればラグランジアンは、 <math>L = \frac 1 2 m_1 \dot\boldsymbol r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot\boldsymbol r_2^2 + \frac{Gm_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}</math> となる。ここで、重心 <math>\boldsymbol r_c = \frac{m_1\boldsymbol r_1 + m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}</math> と相対位置ベクトル <math>\boldsymbol r = \boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1</math> を使って、 <math>L = \frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2 + \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 + \frac{Gm M}{r}</math> と書き直すことができる。ここで、<math>M = m_1 + m_2</math> は全質量、<math>m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math> は換算質量である。<math>\boldsymbol r_c</math> は循環座標だから、<math>M \dot\boldsymbol r_c</math> は保存する。すなわち、ラグランジアンの <math>\frac 1 2 M \dot\boldsymbol r_c^2</math> の部分は定数だから取り除いて、 <math>L = \frac 1 2 m \dot\boldsymbol r^2 + \frac{Gm M}{r}</math> とすることができる。すなわち、質量 <math>m</math> を持った質点の距離に反比例するポテシャルでの運動に帰着される。このように中心対称の場での運動では、角運動量は保存されるから、質点の運動は中心を通るある面に限られる。この面で極座標を導入し、<math>\alpha = Gm M</math> とすると、 <math>L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + \frac{\alpha}{r}</math> となる。エネルギーは、 <math>\begin{align}E &= \dot r \frac{\partial L}{\partial \dot r} + \dot \varphi \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} -L \\&= \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r}\\ &=\frac 1 2 m \dot r^2 + \frac{J^2}{2m r^2} - \frac \alpha r \end{align}</math><ref><math>U_{\rm eff}(r) = -\frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2} </math> と定義すると、<math>E = \frac 1 2 m \dot r^2 + U_{\rm eff}(r)</math> と書くことができる。すなわち、運動は有効ポテンシャル <math>U_{\rm eff}(r) </math> の中で移動する一次元運動と見なすことができる。</ref> ただし、<math>\varphi</math> が循環座標であるから、角運動量 <math>J = m r^2 \dot \varphi </math> が保存されることを使った。この式を <math> dt </math> について解くと、 <math>dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E+\frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{m^2 r^2}}}</math><ref>平方根を取るときに、正負の符号が付くが、これは運動が右回りになるか左回りになるかの違いしかないから、正の方を選ぶことにする。</ref> となる。運動量保存から <math>d\varphi = \frac{J}{m r^2} dt </math> を使うと、 <math>d\varphi = \frac{\frac{J}{r^2}dr}{\sqrt{2m(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{J^2}{r^2}}} = \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> となる。<math>u = \frac 1 r</math> と変数変換して、積分すると、 <math>\begin{align} \varphi &= \int \frac{-du}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \alpha u)-u^2}}\\ &= \int \frac{-du}{\sqrt{-\left(u-\frac{m\alpha}{J^2}\right)^2 + \frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4} }}\\ &= \arccos\frac{u-\frac{m\alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} + C \end{align}</math> となる<ref>積分 <math>\varphi = \int \frac{\frac{1}{r^2}dr}{\sqrt{\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2}}} </math> で、<math>\frac{2m}{J^2}(E + \frac{\alpha}{r})-\frac{1}{r^2} = \left(c_1 - \frac{1}{r} \right)\left(\frac 1 r - c_2 \right) </math> と置き、<math>\frac 1 r = \frac{c_1 + c_2}{2} + \frac{c_1 - c_2}{2}\cos\theta</math> と変数変換することで、 <math>\varphi = \int \frac{\frac{c_1 - c_2}{2}\sin \theta d\theta}{\sqrt{\left(\frac{c_1 - c_2}{2}\right)^2(1-\cos^2 \theta )}} = \theta = \arccos \frac{\frac{1}{r} - \frac{c_1+c_2}{2}}{\frac{c_1-c_2}{2}} = \arccos \frac{\frac{1}{r}-\frac{m \alpha}{J^2}}{\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math>と計算することもできる。</ref>。ここで、積分定数はこれが0になるように選ぶ。さらに、 <math>p = \frac{J^2}{m\alpha},\, e= \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{m\alpha^2}}</math> とすると、 <math>\varphi = \arccos \frac{\frac p r - 1}{e} </math> あるいは、 <math>r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}</math> を得る。従って惑星の軌道は離心率 <math>e</math> の二次曲線になる。<math>p</math> は半直弦という量で、<math>\varphi = \frac \pi 2</math> の点の焦点からの距離である。 <math>E < 0</math> のときは、<math>e<1</math> となるから、惑星の軌道は楕円になる。また、<math>E\ge 0</math> のときは、<math>e\ge 1</math> となるから、惑星の軌道は放物線あるいは双曲線となる。放物線になる場合は無限遠に於いて速度が0となる。 軌道長半径 <math> a </math> を <math>a = \frac{r(\varphi=0)+r(\varphi=\pi)}{2} = \frac{p}{1-e^2} = -\frac{\alpha}{2E} </math> で定義する。軌道が楕円の場合は軌道長半径は長軸の半分の長さである。双曲線の場合は軌道長半径は負の値となり、絶対値は双曲線の半軸に等しい。 放物線の場合は軌道長半径は無限大になる。惑星の軌道要素には半直弦よりも軌道長半径と離心率を使うことが多い。惑星の軌道は <math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}</math> となる。また、エネルギーと角運動量を <math>a,e</math> を使って表すと <math>E = -\frac{\alpha}{2a},J=\sqrt{m\alpha a(1-e^2)}</math> となる。 === 惑星の運動 === ここでは、天体の軌道が楕円となる場合、すなわち <math>E < 0</math> の場合を扱う。 時刻 <math>t</math> と軌道上の惑星の位置の関係を求める。エネルギー保存の式まで立ち返って、それを <math>\dot r</math> について解くと、 <math>\dot{r} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{r}\right)-\frac{J^2}{m^2 r^2}}</math> となる。ここで、 <math>E = -\frac{\alpha}{2a},\, J = \sqrt{m \alpha a(1-e^2)}</math> を代入すると、 <math>\dot{r} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-r^2 + 2ar - a^2(1-e^2)} = \frac 1 r \sqrt{\frac{\alpha}{m a}} \sqrt{-(r-a)^2 + a^2e^2}</math> となる。さて、今までは楕円の焦点を原点とした座標で計算を進めていたが、これを楕円の中心を原点とした座標に移行するほうが便利である。この座標では楕円の方程式は <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> となる。極座標で書くと、 <math>x = a\cos u,\, y = b\sin u</math> [[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|Pは惑星の位置。P'はPをy軸と平行にその外接円（青）に射影した位置である。fは真近点角、Eが離心近点角である。]] となる。ここで導入した <math>u</math> は楕円の中心から測った角度で、離心近点角という。対して、<math>\varphi</math> は楕円の焦点から測った角度で真近点角という。右図より、 <math>r \cos \varphi = a\cos u - ae</math> となる。これに、軌道の極方程式 <math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\varphi}</math> すなわち <math>r + re\cos\varphi = a(1-e^2)</math> を代入すると、 <math>r = a(1-e\cos u)</math> また、 <math>\dot r = ae\sin u \dot u</math> [[ファイル:Аномалии.gif|サムネイル|Bは惑星。Cは惑星の軌道の外接円にy軸に平行にBを射影した仮想上の天体。Dは外接円を一定速度（平均運動）で動く仮想上の天体。直線SBと直線SOのなす角が真近点角。角SOCが離心近点角。角SODが平均近点角である。また、右上のMは平均近点角、Eは離心近点角である。]] を得る。この式を <math>\dot r</math> の式に代入すると、 <math>\dot u = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}} \frac{1}{1 - e \cos u} </math> となる。 平均運動を<math>n = \sqrt{\frac{\alpha}{m a^3}}</math> で定義すると、 <math>ndt = (1 - e \cos u)du </math> となる。積分すると、 <math>n(t-t_0) = u - e \sin u</math> を得る。<math>t_0</math> は積分定数で、<math>t = t_0</math> のとき、<math>u = 0</math> となるから近点通過時刻に対応する。 平均近点角 <math>l</math> を <math>l = n(t-t_0)</math> で定義する<ref>平均近点角は時間変数を1周が <math> 2\pi </math> となるように調整したものである。</ref>と、 <math>l = u - e\sin u</math> を得る。この方程式はケプラー方程式と呼ばれる。この方程式を <math>u</math> について解けば、惑星の運動が分かる。惑星が近日点を通過してから次に近日点を通過する時刻を <math>t_1</math> とする。このとき、<math>u = 2\pi</math> となる。惑星の周期は <math>T = t_1 - t_0</math>だから、ケプラー方程式より、 <math>T = \frac{2\pi}{n}</math> を得る。また、平均運動とは惑星の周期に対応する角振動数であったことも分かる。平均運動の定義より、 <math> n^2 a^3 = \frac{\alpha}{m} = GM</math> となる。周期で表すと <math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math> を得る。これはケプラー第三法則である。 ケプラー方程式で、 <math>u - l = e\sin u</math> とすると、<math>u-l</math> は周期 <math>2\pi </math> の周期関数で奇関数である。従って、 <math>e\sin u = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kl</math> とフーリエ展開できる。フーリエ係数は、 <math>b_k = \frac 2 \pi \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl dl </math> となる。部分積分して、 <math>\begin{align} \int_{0}^\pi e\sin u \sin kl \, dl &= \left[-\frac{1}{k} e \sin u \cos kl\right]_0^\pi + \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(e\sin u)}{dl} \, dl \\ &= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \frac{d(u-l)}{dl} \, dl \\ &= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du - \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, dl \\ &= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos kl \, du \\ &= \frac{1}{k}\int_0^\pi\cos k(u - e \sin u) \, du \\ \end{align}</math> となる。最後の積分は、ベッセル関数 <math>J_n(x) = \frac 1 \pi \int_0^\pi \cos(n\theta-x\sin\theta)d\theta </math> で表せるから、 <math>b_k = \frac 2 k J_k(ke) </math> となる。従って、 <math>\begin{align} u &= l + e \sin u \\ &= l + \sum_{k=1}^\infty \frac 2 k J_k(ke) \sin kl \end{align} </math> を得る。 === ケプラーの法則 === <math>m_1</math> を太陽、<math>m_2</math> を惑星とする場合、<math>m_1</math> が <math>m_2</math> よりも十分に大きいと近似することができる。このとき、重心は太陽の位置に近似できる。また、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> となる。このとき、次のケプラーの法則が成り立つ<ref>太陽と惑星以外にも、地球と月、地球と人工衛星のように、片方の質量が一方に比べて無視できるほど小さいならばケプラーの法則が成り立つ。</ref>。 ;第一法則 :惑星の軌道は、太陽を焦点の一つとする楕円である。 ;第二法則 :太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。 ;第三法則 :公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は惑星によらず一定である。 :[[ファイル:Eccentric_and_True_Anomaly.svg|サムネイル|再掲]] 第二法則はケプラー方程式を幾何学的に表現したものである。簡単のために時間の原点を <math>t_0 </math> に取る。ケプラー方程式 <math>nt = u - e\sin u</math> を、 <math>\frac t T = \frac{u - e \sin u}{2 \pi}</math> と変形する。 ここで、扇形 <math>\rm AFP' </math> <math>=</math> 扇形 <math>\rm ACP' </math> <math>-</math> 三角形 <math>\rm FCP' </math> <math>= \frac 1 2 a^2 u - \frac 1 2 ae \times a\sin u</math> より、 <math>\frac 1 2 (u - e\sin u)</math> は、扇形 <math>\rm AFP' </math> の面積を <math>a^2</math> で割ったものに等しい。点 <math>\rm P </math> の <math>x </math> 座標を <math>\xi </math> とすると、 扇形 <math>\rm AFP</math> の面積について、 扇形 <math>\rm AFP</math> <math>= \int_\xi^a \frac b a \sqrt{a^2 - x^2} dx - \frac 1 2 (ae-\xi) \frac b a \sqrt{a^2 - \xi^2} = \frac b a </math> 扇形 <math>\rm AFP' </math> となる。 よって、ケプラー方程式より、 <math>t \propto \frac 1 2 (u - e \sin u) \propto \rm{AFP}</math> を得る。 扇形 <math>\rm AFP </math> は太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積であるから、これが時間 <math>t </math> に比例することはケプラー第二法則に他ならない。 ケプラーの第三法則は太陽を公転するすべての惑星について述べたものである。惑星の公転周期の2乗と軌道長半径の3乗の比は<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}</math> であるから惑星の質量にも依存するが、<math>m_1 + m_2 \approx m_1</math> と近似できる場合は、すべての惑星についてこの比が一定となる。 === ケプラー軌道要素 === [[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|オイラー角の図。中心が太陽で、青のxy平面が黄道面でx軸は春分点の方向。赤のXY平面が軌道面でX軸の方向が近日点。緑のN軸は昇交点に対応する。]] 三次元空間中の惑星の軌道を決定するために、6つのパラメータが必要になる。軌道の形状は軌道長半径 <math>a</math> と離心率 <math>e</math> で決定される。 軌道の方向を決定するには、太陽系に基準となる基準面と方向を設定しなくてはいけない。基準面には黄道面を使うことが多い。黄道面は地球の公転する軌道面である。太陽と地球の中心を結んだ線分が地球表面と交わる点が赤道を南から北に交差する瞬間を春分という。このときの地球の方向を基準方向にする。[[File:Euler2a.gif|thumb|上図のオイラー角 α, β, γ の順に動かしたアニメーション。]] 基準面には、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直な平面である不変面や、赤道面を使うこともある。 この基準面と方向から、惑星の軌道面と近点の方向へのオイラー角によって軌道の方向を決定できる。オイラー角 <math>\alpha, \beta, \gamma</math> に対応して、それぞれ昇交点黄経 <math>\Omega</math> 、軌道傾斜角 <math>i</math> 、近点引数 <math>\omega</math> と呼ばれる。 最後に、惑星の軌道上の位置を特定するために、近点通過時刻が必要になる。 === ケプラー運動の時間平均 === いろいろな物理量のケプラー運動に渡る時間平均を計算する。いくつかは離心近点角で計算するほうが簡単である。ケプラー方程式を微分して、 <math>ndt = a(1-e\cos u)du</math> <math>dt = \frac{T}{2\pi a}rdu</math> となる。これを使って計算すると、 <math>\begin{align}\langle r \rangle &= \frac 1 T \int_0^T rdt\\ &= \frac{1}{2\pi a} \int_0^{2\pi} r^2 du\\ &= \frac{a}{2\pi} \int_0^{2\pi} (1-e\cos u)^2 du\\ &= a\left(1+ \frac 1 2 e^2 \right) \end{align}</math> <math>\begin{align}\left\langle \frac 1 r \right\rangle &= \frac 1 T \int_0^T \frac 1 r dt\\ &= \frac{1}{2\pi a} \int_0^{2\pi} du\\ &= \frac{1}{a} \end{align}</math> を得る。また、エネルギー保存の式 <math>E = -\frac{\alpha}{2a} = \frac 1 2 m v^2 - \frac{\alpha}{r}</math> より、 <math>\begin{align}\left\langle \frac 1 2 m v^2 \right\rangle &= \left\langle \frac \alpha r - \frac{\alpha}{2a} \right\rangle \\&= \alpha\left\langle \frac 1 r \right\rangle - \frac{\alpha}{2a} \\&= \frac{\alpha}{2a}\end{align}</math> であるから、 <math>\left\langle v^2 \right\rangle = \frac{\alpha}{ma}</math> を得る。 次に軌道平均速度を計算する。長半径 <math>a</math>、離心率 <math>e</math> の楕円の周の長さは <math>L = 4aE(e)</math> であることが知られている。ここで、<math>E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} \, d\theta = \frac \pi 2 F\left(\frac 1 2, -\frac 1 2; 1; k^2 \right)</math> は第二種完全楕円積分である。 これを使うと平均速度は <math>\langle v \rangle = \frac{L}{T}= \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{\alpha}{ma}} E(e)</math> と求まる。あるいは、 <math>v = \sqrt{\frac{\alpha}{m}\left(\frac{2}{r} - \frac 1 a\right)}</math> より、 <math>\begin{align}\left\langle v \right\rangle &= \frac{1}{2\pi a} \int_0^{2\pi} \sqrt{\frac{\alpha}{m}\left(\frac{2}{r} - \frac 1 a\right)} \, rdu\\ &= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\alpha}{ma}} \int_0^{2\pi} \sqrt{1-e^2\cos^2 u} \, du\\ &= \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{\alpha}{ma}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-e^2\sin^2 u} \, du\\ &= \frac{2}{\pi} \sqrt{\frac{\alpha}{ma}} E(e) \end{align}</math> と求めることもできる。 == ラザフォード散乱 == 原点に固定された正の電荷 <math>Z_1 e</math> を持つ原子核と正の電荷 <math>Z_2 e</math> と質量 <math>m</math> を持つ荷電粒子のラグランジアンは、 <math>L = \frac 1 2 m (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - \frac{\alpha}{r} </math><ref>重力場中の運動では引力が働くが、ラザフォード散乱では斥力が働くから、ポテンシャルの符号が逆になっている。我々は係数 <math>\alpha</math> が正となるように設定している。</ref> となる。原子核は十分重いため移動しないと考えていい。また、<math>\alpha = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi \varepsilon_0}</math> である。 ラグランジアンはケプラー問題と同じ形だから、その軌道は <math>\varphi = \arccos\frac{\frac 1 r +\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2 m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}}</math> となる。<math>\varphi_0</math> を粒子が無限遠に飛んでいった方向と、粒子が原子核に最接近する点と原子核を結んだ線分が為す角とすると、 [[ファイル:Rutherford scattering geometry 2.svg|中央|サムネイル|350x350ピクセル|図の <math>\Phi</math> が <math>\varphi_0</math> で、<math>\theta</math> は散乱角である。]] <math>\varphi_0 = \varphi(\infty) - \varphi(r_{\rm min}) = \arccos\frac{\frac{m \alpha}{J^2}} {\sqrt{\frac{2m E}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}}} </math><ref><math>r_{\rm min}</math> では <math>\dot r = 0</math> となるから、有効ポテンシャルを <math>U_{\rm eff}(r) = \frac{\alpha}{r} + \frac{J^2}{2m r^2}</math> とすると、<math>E = U_{\rm eff}(r_{\rm min})</math> となる。この式を変形すると、<math>\left(\frac{1}{r_{\rm min}} + \frac{m \alpha}{J^2} \right)^2 = \frac{2mE}{J^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{J^4}</math> となる。従って、<math>\varphi(r_{\rm min}) = 0.</math></ref> となる。ここで、無限遠での速度を <math>v_\infty</math> 衝突径数を <math>b</math> とすると、<math>J = mv_\infty b,\, E = \frac 1 2 m v_\infty^2</math> となるから、<math>J^2=2mb^2E</math> である。これを代入すると <math>\varphi_0 = \arccos\frac{\frac{\alpha}{2Eb}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\alpha}{2Eb}\right)^2}} </math> となる。散乱角を <math>\theta</math> とすると、<math>\varphi_0 = \pi - 2\theta</math> となる。これを使って書き換えると、 <math>b = \frac{\alpha}{2E} {\tan\varphi_0} = \frac{\alpha}{2E} \frac{1}{\tan^2 \frac {\theta}{2}}</math> [[ファイル:ScatteringDiagram.svg|サムネイル]] を得る。 ポテンシャルによる散乱のされやすさを見るために散乱断面積を定義する。一定の速度と密度を持った粒子束を散乱中心に向かって射出する。ここで、射出された粒子束の、単位面積単位時間あたりの粒子の個数を <math>N</math> とする。 <math>dn</math> を単位時間あたりに散乱角 <math>\theta</math> から <math>\theta + d\theta</math> の間に散乱される粒子の個数とする。直感的にもわかるように <math>dn</math> が大きいほど散乱されやすいことを意味する。散乱断面積を <math>d\sigma = \frac{dn}{N}</math> と定義する。これは面積の次元を持つ（<math>dn</math> は単位時間あたりの量で、<math>N</math> は単位時間単位面積あたりの量だから）。また、散乱角<math>\theta \sim \theta + d\theta</math> に対応する衝突径数を <math>b \sim b + db</math> とすると、入射粒子が <math>b \sim b + db</math> の円環の中にある確率、つまり <math>b \sim b + db</math> の円環の面積が散乱断面積を与える。 <math>d\sigma = 2\pi b db</math> 立体角 <math>d\Omega</math> についての関係式 <math>d\Omega = 2\pi \sin \theta d\theta</math> で割れば、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right|</math> を得る。これを微分散乱断面積という。絶対値を付けたのは <math>\frac{db}{d\theta}</math> が負になることもあるからである。これにラザフォード散乱の衝突径数の式を代入すると、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}</math> となる。 == 振動 == ==正準方程式== ハミルトニアン <math>H</math> を <math>H = \sum_i \dot q_i p_i - L</math> で定義する。ハミルトニアンの全微分は、 <math>\begin{align} dH &= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - dL\\ &= \sum \dot q_i dp_i + \sum p_i d\dot q_i - (\sum\dot p_i dq_i + \sum p_i d\dot q_i)\\ &= \sum \dot q_i dp_i - \sum \dot p_i d q_i \end{align} </math> となる。従って、ハミルトニアンは、<math>p,q</math> の関数 <math>H(q,p)</math> である。また、 <math>dH = \sum \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i</math> と比較すれば、 :<math> \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} </math> :<math> \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} </math> が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。 == 正準変換 == 変数変換 <math>Q_i = Q_i(q,p,t),\, P_i = P_i(q,p,t)</math> についてある関数 <math>H'(Q,P)</math> が存在し、 <math> \dot{Q}_i=\frac{\partial{}H'}{\partial{}P_i} ,\, \dot{P}_i=-\frac{\partial{}H'}{\partial{}Q_i} </math> が成立するとき、この変換を正準変換という。新旧変数の間の関係を求めよう。変分原理からは、 <math>\delta \int (p_i dq_i - Hdt) = 0</math> となる。同様に新変数に対しても、 <math>\delta \int (P_i dQ_i - H'dt) = 0</math> が成り立つ。すなわち、この被積分関数の差はある関数 <math>F</math> の全微分でなくてはならない。すなわち、 <math>p_i dq_i - Hdt = P_i dQ_i - H'dt + dF </math> となる。整理すると、 <math>dF = p_i dq_i - P_i dQ_i + (H' - H) dt </math> となる。<math>F</math> は <math>q,Q,t</math> の関数ということも分かる。また、 <math>p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i},\, P_i = -\frac{\partial F}{\partial Q_i},\, H' = H + \frac{\partial F}{\partial t} </math> を得る。関数 <math>F</math> を正準変換の母関数という。一般に母関数は新旧変数の関数 <math>F(q,p,Q,P,t)</math> である。母関数の変数が <math>q,P</math> で表される場合について、正準変換の公式を求めておこう。 <math>d(F+P_iQ_i) = p_i dq_i + Q_i dP_i + (H' - H) dt </math> と書き換える。母関数 <math>\Phi = F + P_i Q_i</math> を定義すると、 <math>p_i = \frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\, Q_i = \frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\, H' = H + \frac{\partial \Phi}{\partial t} </math> を得る。 ==ポアソン括弧== 関数 <math>f(q,p,t)</math> の時間微分は、 <math>\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{dq_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial q_i} + \frac{dp_i}{dt}\frac{\partial f}{\partial p_i}</math> となる。正準方程式より、 <math>\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}</math> となるから、ポアソン括弧を、 <math>\{f,H\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}</math> で定義すると、 <math>\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} </math> と書くことができる。一般の関数 <math>f,g</math> に対しては、 <math>\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}</math> と定義する。関数 <math>f</math> が時間に陽に依存しない場合は <math>\frac{df}{dt} = \{f,H\} </math> となる。特に、 <math>\dot p_i = \{p_i,H\},\dot q_i = \{q_i,H\}</math> となるが、これは正準方程式である。 次のポアソン括弧の一般的な性質は簡単に示すことができる。<math>f,g,h</math> は関数、<math>c</math> は定数である。 <math>\{f,g\} = -\{g,f\}</math> <math>\{f,c\} = 0</math> <math>\{f+g,h\} = \{f,h\} + \{g,h\}</math> <math>\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}</math> また、ヤコビ恒等式と呼ばれる次の恒等式が成り立つ。 <math>\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0</math> 例えば、<math>\{f,\{g,h\}\}</math> を展開して出てくる項は、 <math>\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial^2 g}{\partial q_j \partial p_i} \frac{\partial h}{\partial q_i}</math> のように <math>g</math> あるいは <math>h</math> の二階偏導関数とその他の2関数の一階偏導関数の積である。そこで、左辺の内 <math>f</math> の二階偏導関数が登場する項だけを集めて計算しよう。<math>\{f,\{g,h\}\}</math> に <math>f</math> の二階偏導関数は登場しないから、それが登場するのは、 <math>\{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\}</math> である。ここで、ポアソン括弧を線形微分演算子として <math>\begin{align} D_g(\varphi) &= \{g,\varphi \} \\&= \left(\frac{\partial g}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right)\varphi\\ &=\xi_i\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \end{align}</math> と書く。簡単のために <math>x_i = q_i,\, x_{K+i} = p_i \quad (i = 1,\dots, K)</math>と定義し <math>q,p</math> をひとまとめに扱った。<math>K</math> は系の自由度である。また、<math>\xi_i =- \frac{\partial g}{\partial q_i} ,\, \xi_{K+i} = \frac{\partial g}{\partial p_i} </math> は <math>q_i,p_i</math> の関数である。同様に、 <math>D_h = \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}</math> と置く。そうすると、<math>f</math> の二階偏導関数が登場する部分について、 <math>\begin{align} \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} &= \{g,\{h,f\}\} - \{h,\{g,f\}\}\\ &= D_gD_hf - D_h D_gf \\ &= \xi_i\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\eta_j\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) - \eta_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\xi_j \frac{\partial f}{\partial x_j}\right) \\ &= \xi_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} - \eta_i \frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \end{align}</math> となる<ref>数学的に言うと、ポアソン括弧は多様体上のベクトル場として考えることができ、ベクトル場の括弧積はまたベクトル場になるということである。</ref>。<math>f</math> の二階偏導関数は打ち消し合って、残っているのは <math>g,h</math> についての二階偏導関数である。 <math>g,h</math> についてもその二階偏導関数を持つ項は打ち消し合うから、結局、表式は0となる。 == ハミルトン–ヤコビ方程式 == 正準変換によって、新ハミルトニアンが恒等的に0となる変換を求めてみよう。新しい運動量を <math>\alpha_i</math>、新しい座標を <math>\beta_i</math> とすると、正準方程式は、 <math> \dot{\beta}_i=0 ,\, \dot{\alpha}_i=0 </math> となるから、<math>\alpha_i, \beta_i</math> は定数となる。この変換の母関数を <math>S(q,\alpha,t)</math> とすると、正準変換の公式より、 <math>H + \frac{\partial S}{\partial t} = H' = 0</math> となる。旧ハミルトニアンの中の運動量を <math>p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}</math> によって書き換えると、 <math>\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) = 0 </math> を得る。この偏微分方程式をハミルトン–ヤコビ方程式という。 ハミルトン–ヤコビ方程式の解 <math>S</math> が求まったら、代数方程式 <math>\beta_i = \frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial \alpha_i} </math> を <math>q_i</math> について解くことによって、座標 <math>q_i</math> を定数 <math>\alpha_i, \beta_i</math> 及び時間の関数によって表すことができる。運動量は <math>p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} </math> によって求まる。 == 参考文献 == * エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、広重徹、水戸巌訳『力学（増訂第3版）』東京図書（1974）ISBN 978-4489011603 (2022年の新装版はISBN 978-4489023866) * 須藤靖『解析力学・量子論 第2版』東京大学出版会（2019）ISBN 978-4130626187 ==脚注== <references group="注" /> {{DEFAULTSORT:かいせきりきかく}} [[Category:解析力学|*]] {{NDC|423|かいせきりきかく}} <references /> 01rsdols39k3ubjtdescng52awr0fa0 0 11645 301897 295821 2026-07-28T19:54:34Z Tomzo 248 301897 wikitext text/x-wiki #[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] #[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] ==条文== （死刑） ; 第11条 # 死刑は、刑事施設内において、絞首して執行する。 # 死刑の言渡しを受けた者は、その執行に至るまで刑事施設に拘置する。 ==解説== {{wikipedia|日本における死刑}} :[[死刑]]の執行方法（[[絞首刑]]）などを定めた規定である。 ==判例== #<span id="死刑合憲判決"/>[https://www.courts.go.jp/hanrei/56385/detail2/index.html 尊属殺、殺人、死体遺棄](最高裁判決 昭和23年03月12日) #*cf. [https://www.courts.go.jp/hanrei/50547/detail2/index.html 強盗殺人、死体遺棄](最高裁判決 昭和33年04月10日)においても判例を維持 #;死刑の合憲性 #:死刑そのものは[[日本国憲法第36条|憲法第36条]]にいわゆる「殘虐な刑罰」ではなく、したがつて刑法死刑の規定は憲法違反ではない。 #:*[[日本国憲法第13条|憲法第13条]]においては、すべて国民は個人として尊重せられ、生命に対する国民の権利については、立法その他の国政の上で最大の尊重を必要とする旨を規定している。しかし、同時に同条においては、公共の福祉に反しない限りという厳格な枠をはめているから、'''もし公共の福祉という基本的原則に反する場合には、生命に対する国民の権利といえども立法上制限乃至剥奪される'''ことを当然予想している。 #:*[[日本国憲法第31条|憲法第31条]]によれば、国民個人の生命の尊貴といえども、法律の定める適理の手続によつて、これを奪う刑罰を科せられることが、明かに定められている。 #:*憲法は、現代多数の文化国家におけると同様に、刑罰として死刑の存置を想定し、これを是認したものと解すべきである。言葉をかえれば、死刑の威嚇力によつて'''一般予防'''をなし、死刑の執行によつて特殊な社会悪の根元を絶ち、これをもつて社会を防衛せんとしたものであり、また個体に対する人道観の上に全体に対する人道観を優位せしめ、結局社会公共の福祉のために死刑制度の存続の必要性を承認したものと解せられる。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/55648/detail2/index.html 強盗殺人、同未遂、殺人予備、私文書偽造、偽造私文書行使、詐欺、詐欺未遂](最高裁判決 昭和30年04月06日) #;絞首刑の合憲性 #:現在わが国の採用している方法による絞首刑は[[日本国憲法第36条|憲法第36条]]にいう「残虐な刑罰」にあたらない。 #:*現在各国において採用している死刑執行方法は、絞殺、斬殺、銃殺、電気殺、瓦斯殺等であるが、これらの比較考量において一長一短の批判があるけれども、現在わが国の採用している絞首方法が他の方法に比して特に人道上残虐であるとする理由は認められない。 ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-2|第2章 刑]] |[[刑法第10条]]<br>（刑の軽重） |[[刑法第12条]]<br>（懲役） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|011]] [[Category:行刑法|011]] g1l7eu3zdhh13ki86qlsipf9p8md11o 301898 301897 2026-07-28T19:55:06Z Tomzo 248 /* 判例 */ 301898 wikitext text/x-wiki #[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] #[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] ==条文== （死刑） ; 第11条 # 死刑は、刑事施設内において、絞首して執行する。 # 死刑の言渡しを受けた者は、その執行に至るまで刑事施設に拘置する。 ==解説== {{wikipedia|日本における死刑}} :[[死刑]]の執行方法（[[絞首刑]]）などを定めた規定である。 ==判例== #<span id="死刑合憲判決"/>[https://www.courts.go.jp/hanrei/56385/detail2/index.html 尊属殺、殺人、死体遺棄](最高裁判決 昭和23年03月12日) #*cf. [https://www.courts.go.jp/hanrei/50547/detail2/index.html 強盗殺人、死体遺棄](最高裁判決 昭和33年04月10日)においても判例を維持 #;死刑の合憲性 #:死刑そのものは[[日本国憲法第36条|憲法第36条]]にいわゆる「殘虐な刑罰」ではなく、したがつて刑法死刑の規定は憲法違反ではない。 #:*[[日本国憲法第13条|憲法第13条]]においては、すべて国民は個人として尊重せられ、生命に対する国民の権利については、立法その他の国政の上で最大の尊重を必要とする旨を規定している。しかし、同時に同条においては、公共の福祉に反しない限りという厳格な枠をはめているから、'''もし公共の福祉という基本的原則に反する場合には、生命に対する国民の権利といえども立法上制限乃至剥奪される'''ことを当然予想している。 #:*[[日本国憲法第31条|憲法第31条]]によれば、国民個人の生命の尊貴といえども、法律の定める適理の手続によつて、これを奪う刑罰を科せられることが、明かに定められている。 #:*憲法は、現代多数の文化国家におけると同様に、刑罰として死刑の存置を想定し、これを是認したものと解すべきである。言葉をかえれば、死刑の威嚇力によつて'''一般予防'''をなし、死刑の執行によつて特殊な社会悪の根元を絶ち、これをもつて社会を防衛せんとしたものであり、また個体に対する人道観の上に全体に対する人道観を優位せしめ、結局社会公共の福祉のために死刑制度の存続の必要性を承認したものと解せられる。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/55648/detail2/index.html 強盗殺人、同未遂、殺人予備、私文書偽造、偽造私文書行使、詐欺、詐欺未遂](最高裁判決 昭和30年04月06日) #;絞首刑の合憲性 #:現在わが国の採用している方法による絞首刑は[[日本国憲法第36条|憲法第36条]]にいう「残虐な刑罰」にあたらない。 #:*現在各国において採用している死刑執行方法は、絞殺、斬殺、銃殺、電気殺、瓦斯殺等であるが、これらの比較考量において一長一短の批判があるけれども、現在わが国の採用している絞首方法が他の方法に比して特に人道上残虐であるとする理由は認められない。 ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-2|第2章 刑]] |[[刑法第10条]]<br>（刑の軽重） |[[刑法第12条]]<br>（拘禁刑） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|011]] [[Category:行刑法|011]] mqwtzgs9ci0dn8g2ina6620poiwfxph 0 12892 301899 300216 2026-07-28T21:48:47Z Tomzo 248 301899 wikitext text/x-wiki *[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] *[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] == 条文 == （有期拘禁刑の加重） ; 第47条 : 併合罪のうちの二個以上の罪について<u>有期拘禁刑</u>に処するときは、その最も重い罪について定めた刑の長期にその2分の1を加えたものを長期とする。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えることはできない。 ===改正経緯=== 2022年、以下のとおり改正（施行日2025年6月1日）。 :（改正前）有期の懲役又は禁錮 :（改正後）有期拘禁刑 == 解説 == :有期拘禁刑は、その最も重い罪について定めた刑の長期にその2分の1を加えたものが長期となる。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えない（加重主義）。併合罪の一部が他の犯罪の確定判決後になされた場合、この範囲において執行される（[[刑法第51条|第51条]]）。 == 関連条文 == == 判例 == # [https://www.courts.go.jp/hanrei/51426/detail2/index.html 恐喝、傷害、窃盗]（最高裁判決昭和32年7月16日)[[刑事訴訟法第335条]]第1項 #;法定刑（懲役刑）を同じくするが種類を異にする数個の犯罪を併合加重する場合と法令適用の判示方 #:窃盗、傷害（懲役刑選択）、恐喝の三罪につき併合罪の加重をする場合、いずれの罪を最も重いと認めて加重をしたかを明示しなくとも、必ずしも違法ではない。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/50069/detail2/index.html 略取，逮捕監禁致傷，窃盗被告事件]（[[w:新潟少女監禁事件]]　、最高裁判決 平成15年7月10日）[[刑事訴訟法第495条]] #;刑法47条の法意 #:刑法47条は，併合罪のうち２個以上の罪について有期の懲役又は禁錮に処するときは，同条が定めるところに従って併合罪を構成する各罪全体に対する統一刑を処断刑として形成し，その範囲内で各罪全体に対する刑を決することとした規定であって，併合罪の構成単位である各罪について個別的な量刑判断を行うことは，法律上予定されていない。 #:*本事件においては、主に逮捕監禁致傷罪（[[刑法第221条|第221条]]）にかかる案件であるが、量刑の上限が当時の[[傷害罪]]の上限である懲役10年である一方、本件被害者の監禁は約9年2か月という長期にわたるものであり、それに最長で10年の懲役では相当性を欠くとされた。そこで、加害者の監禁期中における万引き（被害者のための下着の万引き、実行当時は被害者への賠償等を行ない起訴猶予となっており、確定判決はない）について、窃盗罪（最長10年の懲役）の評価をして、「確定判決を受けていない罪」の一つとして、併合罪適用により量刑の最大を15年（逮捕監禁致傷罪の上限10年 + 窃盗罪の上限10年 × 1/2）とした。弁護側は、起訴猶予になるほどの犯罪を援用し、その犯罪自体では課されることは想定し難い刑罰を課すことは不当であると主張したが、最高裁は、併合罪において個別の量刑判断は行うものではないと判断し、量刑の最大を15年とすることは不当ではないとした。 ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-9|第9章 併合罪]]<br> |[[刑法第46条]]<br>（併科の制限） |[[刑法第48条]]<br>（罰金の併科等） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|047]] [[Category:罪数論|047]] [[category:刑法 2022年改正（主要）|047]] g61s62bbrzq5r37g87pi1r9ouoz548t 0 12900 301895 295856 2026-07-28T19:47:11Z Tomzo 248 301895 wikitext text/x-wiki *[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] *[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] == 条文 == （再犯） ; 第56条 #拘禁刑に処せられた者がその執行を終わった日又はその執行の免除を得た日から5年以内に更に罪を犯した場合において、その者を有期拘禁刑に処するときは、再犯とする。 #死刑に処せられた者がその執行の免除を得た日又は減刑により拘禁刑に減軽されてその執行を終わった日若しくはその執行の免除を得た日から5年以内に更に罪を犯した場合において、その者を有期拘禁刑に処するときも、前項と同様とする。 ===改正経緯=== 2022年改正にて、以下より改正（施行日2025年6月1日）。第3項は、懲役と禁錮の取り扱いに差異がつけられていたことが前提でありその差異がなくなるため、削除。 # <u>懲役</u>に処せられた者がその執行を終わった日又はその執行の免除を得た日から5年以内に更に罪を犯した場合において、その者を有期<u>懲役</u>に処するときは、再犯とする。 # <u>懲役に当たる罪と同質の罪により</u>死刑に処せられた者がその執行の免除を得た日又は減刑により<u>懲役</u>に減軽されてその執行を終わった日若しくはその執行の免除を得た日から5年以内に更に罪を犯した場合において、その者を<u>有期懲役</u>に処するときも、前項と同様とする。 # <u>併合罪について処断された者が、その併合罪のうちに懲役に処すべき罪があったのに、その罪が最も重い罪でなかったため懲役に処せられなかったものであるときは、再犯に関する規定の適用については、懲役に処せられたものとみなす。</u> == 解説 == {{wikipedia|再犯}} 本条は、[[再犯]]となる場合を定めたものである。 == 判例 == #[https://www.courts.go.jp/hanrei/55437/detail2/index.html 強盗、詐欺](最高裁判決 昭和24年12月21日)[[日本国憲法第39条|憲法第39条]],[[刑法第57条]] #;再犯加重の合憲性 #:刑法第56条・第57条の再犯加重の規定は第56条の所定の再犯者であるという事に基いて、新に犯した罪に対する法定刑を加重し、重い刑罰を科し得べきことを是認したに過ぎないもので、前科に対する確定判決を動かしたり、或は前犯に対し、重ねて刑罰を科する趣旨のものではないから所論憲法第39条の規定に反するものではない。従つて右刑法の規定が違憲であることを前提とする論旨はいずれも理由がない。 ---- {{前後 |[[コンメンタール刑法|刑法]] |[[コンメンタール刑法#1|第1編 総則]]<br> [[コンメンタール刑法#1-10|第10章 累犯]]<br> |[[刑法第54条]]<br>（一個の行為が二個以上の罪名に触れる場合等の処理）<br>[[刑法第55条]] - 削除 |[[刑法第57条]]<br>（再犯加重） }} {{stub|law}} [[Category:刑法|056]] [[Category:罪数論|056]] [[category:刑法 2022年改正（主要）|056]] 1h1fcjkx4c7agpf2h0jyq0h6920qtye 0 20847 301889 301888 2026-07-28T12:05:41Z ~2026-41547-90 92136 /* 重積分の応用 */ 301889 wikitext text/x-wiki {{Advanced|解析学基礎/ベクトル解析}} ==序論== ===多変数関数の定義=== 独立変数が2つであるような関数<math>z=f(x, y)</math>を'''二変数関数'''という。独立変数が3つであるような関数<math>w=f(x, y, z)</math>を'''三変数関数'''という。一般に、独立変数が<math>n</math>個であるような関数<math>y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を'''<math>n</math>変数関数'''という。<math>n</math>が2以上であるとき、'''多変数関数'''という。 「関数」という語の定義から、多変数関数は（定義域・値域に於いて）「独立変数の組の各々に対して対応する従属変数が必ず存在する」「独立変数の組を一意に定めたら従属変数が一意に定まる」という性質を満たす。 なお、ここで独立変数の組<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の点と捉えると、多変数関数とはベクトルをスカラーへ写す写像（'''スカラー関数'''）<math>F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>と考えることができる。拠って、以下で扱う話題はベクトル関数（'''[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]'''）で一般化され得る。 一般に、<math>n</math>変数関数のグラフは<math>n+1</math>次元空間ではじめて描画され得る。そのため、多変数関数の議論では（簡単な場合を除き）「グラフを考えて図形的に解釈する」手法はあまり通用しない。 多変数関数の考え方は変数が幾つであっても本質的には同じなので、以下の議論は全て(最も基本的な)二変数関数で扱うものとする。 ===多変数関数の極限=== 二変数関数の極限は、定性的には一変数関数と同様にして以下のように定義される。 :<math>z=f(x, y)</math>に於いて<math>(x, y)</math>を実定数の組<math>(a, b)</math>に<math>(a, b)</math>とは異なる値を取りながら限りなく近づけたとき、<math>z</math>が一定値<math>L</math>に近づくならば「<math>(x, y)\to(a, b)</math>のとき<math>z</math>は<math>L</math>に'''収束'''（'''収斂'''）する」といい、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=L</math>のように書く。 収束する値を'''極限値'''、収束しない場合を'''発散'''というのも同様である。 なお、ここで<math>(x, y), (a, b)</math>を<math>xy</math>平面上の点と見れば位置ベクトルを用いて :<math>\lim_{\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right)}</math> のように書くことができる。また、 :<math>\lim_{\scriptstyle x \to a \atop \scriptstyle y \to b}</math> のような書き方も許容される。 但し、 :<math>\lim_{x \to a, y\to b}</math> のような書き方は'''反復極限'''（各変数を独立に飛ばすような極限） :<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b}</math> と受け止められるので推奨しない（この場合は<math>x</math>と<math>y</math>を同時に飛ばしているので）。 同一値に飛ばす場合は :<math>\lim_{x, y\to c}</math> のような書き方も見られる。 ここからは、二変数関数の極限を定量的に考えていく。 一変数関数の場合を復習しておくと、「関数<math>y=f(x)</math>が<math>x \to a</math>で有限値<math>L</math>に収束する」とは<math>x \neq a</math>とすると<math>\varepsilon-\delta</math>論法を用いて :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall x \in \mathbb{R} \left( |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon \right)</math> で定義された。 二変数関数でも同様な定義にしたいので、<math>||</math>を適切に取り換える必要がある。高校数学を思い返してみると、<math>||</math>の意味は「実数の絶対値」から「ベクトル（複素数）の大きさ」に拡張されていた。つまり、先程と同様に変数の組<math>(x, y)</math>を<math>xy</math>平面上の点を表す位置ベクトルと見ればよい（より一般にはベクトル空間のノルム<math>\|\|</math>を用いる）。 つまり、<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies |f(x, y)-L| < \varepsilon \right)</math> とすればよい。 一変数の場合、<math>x \to a</math>の近づけ方は<math>x \to a^+</math>（右側極限）と<math>x \to a^-</math>（左側極限）の二通りしかなかった。しかし、二変数の場合は<math>xy</math>平面上のありとあらゆる方向からあらゆる経路で近づくことが考えられる。 つまり、二変数関数の収束は「2つの片側極限が一致」すれば良かった一変数の場合に比べ遙かに厳しい条件であることがわかる。 先程「反復極限のように表してはいけない」と述べたのは、反復極限では「どのような近づけ方であっても一意に収束する」ことが示せないからである。 それでは、実際に二変数関数の極限を求めるにはどうしたらよいであろうか？ <math>\varepsilon - \delta</math>法による上述の定義では、「全ての近づき方に就て一意に収束する」ことを言うしかないが、近づけ方は無数に考えられるので実務的に不可能である。ここで、「直線的に近づく」場合に限っては無数にある近づき方を纏めて判定できる方法がある。 それは、'''二次元極座標'''（'''円座標'''）を利用する方法である。 高校数学の復習だが、極座標とは極を原点に取ったときに変数変換<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>で定まる座標系だった。ここで<math>r = \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\|, \theta = \arctan \frac{y}{x}</math>である。 例えば<math>(x, y)\to(0, 0)</math>の極限を考えるとき、<math>g(r, \theta)=f(x, y)</math>と変換すると上記の関係式から<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)=\lim_{r\to0}g(r, \theta)</math>と表すことができる。ここで<math>g(r, \theta)</math>を計算したときに<math>r</math>が消えた場合、<math>g</math>は<math>\theta</math>にのみ依存するので<math>r\to0</math>の極限は存在しないと考えることに注意。 二変数関数でも極限に関する線型性などの性質はそのまま成り立つ。 *例題 **極限<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2}</math>を求めよ。 *解答 **<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2} = \lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3\cos^3\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0}\frac{r\sin\theta\cos^3\theta}{r\cos^3\theta+\sin^2\theta}=\frac{0}{\sin^2\theta}=0</math> ***なお、<math>(x, y)\neq(0, 0)</math>より<math>\sin\theta=0</math>や<math>\cos\theta=0</math>、つまり<math>\theta=\frac{n}{2}\pi(n\in\mathbb{Z})</math>の場合は除外できるので<math>\frac{0}{\sin^2\theta}</math>は不定形ではない。 ==偏微分== ===連続性=== 二変数関数の連続性は、一変数関数と同様である。 :*二変数関数<math>z=f(x, y)</math>が「<math>(a, b)</math>で連続」とは、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math>が成り立つこと。 :*<math>(a, b)</math>で連続な<math>f(x, y), g(x, y)</math>に就て、<math>g(a, b)\neq0, c=\mathrm{const}.</math>とすると :::<math>cf(a, b), f(a, b)\pm g(a, b), f(a, b)g(a, b), \frac{f(a, b)}{g(a, b)}</math> ::は全て<math>(a, b)</math>で連続。 :*任意の<math>(a, b)\in\mathbb{R}^2</math>で連続ならば「<math>\mathbb{R}^2</math>で連続」である。 ===偏微分の定義=== <math>z=f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>近傍での変化の様子を調べるとき、極限の節で述べたように<math>(x, y)</math>の動かし方・方向は無数にあるのでそれらを全て扱う厳しい。そこで、代表的に<math>x, y</math>軸のそれぞれの方向で動かしたときの値の変化を観察し、それを併せることで変化の様子がある程度理解される。 ここで<math>(x, y)</math>を<math>x</math>軸で動かすときは<math>y</math>を<math>b</math>に、<math>y</math>軸で動かすときには<math>x</math>を<math>a</math>に固定していることに注意すると、二変数関数<math>f(x, y)</math>は実質的に一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>と見做せる。 一変数関数のある点に於ける変化の度合いはその点での微分係数で表された。則ち、<math>x/y</math>軸方向で動かした変化の様子は<math>f(x, b)/f(a, y)</math>の<math>x=a/y=b</math>での微分係数を見ればよい。 これらの微分係数を<math>f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>に於ける<math>x/y</math>に関する'''偏微分係数'''といい、<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>のように表す。 ここで、記号「<math>\partial</math>」は「デル」「パーシャル」「ラウンドディー」「ラウンディー」「ラウンド」などと読まれる。 一変数関数での微分係数の定義式より、偏微分係数の定義式は以下のようになる。 :<math>f_{\partial x}(a, b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(a, b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a, b+k)-f(a, b)}{k}</math> 偏微分係数が存在するとき、<math>f(x, y)</math>はその点で'''偏微分可能'''という。 変数<math>(x,y)</math>が<math>xy</math>平面上の領域<math>D</math>を動く時を考える。 このとき、各点<math>(x, y)\in D</math>に対し、その点での偏微分係数<math>f_{\partial x}(x, y)/f_{\partial y}(x, y)</math>を与える関数を<math>f(x, y)</math>の<math>x/y</math>に関する'''偏導関数'''という。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''という。これに対し、一変数関数の微分を'''常微分'''という。 形式的には偏微分係数の定点を変数に置き換えればいいので、 :<math>f_{\partial x}(x, y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(x, y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}</math> のように定義される。 常微分に様々な記法があったように、偏微分にも様々な記法が存在する。 *<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数の場合 ::<math>f_{\partial x}(x, y),~ f_x(x, y),~ z_{\partial x},~ z_x,~ \frac{{\partial z}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x, y)~, \partial{x}f(x, y),~ u_x\big|_{x, y}</math> なお、偏微分係数は<math>(x, y)</math>を<math>(a, b)</math>に取り替えた記法の他、代入記号「<math>|</math>」を用いて :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{x=a, y=b},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} },~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{(x, y)=(a, b)},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array} \right)}</math> などと書く記法も存在する。 偏導関数の計算は偏微分係数に立ち戻ると「偏微分変数以外の独立変数を固定してできる一変数関数」に関する常微分なので、'''偏微分したい変数以外は定数と見做して常微分'''すればよい。 例えば、<math>f(x, y)=x^5y^3</math>の場合、 :<math>x</math>に関する偏導関数は<math>y</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^3 = 5x^4y^3</math>と求まる。 :同様に、<math>y</math>に関する偏導関数は<math>x</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = x^5\left(\frac{d}{dy}y^3\right) = 3x^5y^2</math>と求まる。 ===全微分=== 前節で二変数関数の変化の様子を測る道具として偏微分を定義したが、偏微分のみでは<math>f(x, y)</math>の変化の様子が全て分かったとは到底言えない。 例えば、区分的に定義された二変数関数<math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} ({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle \neq \vec{0}}) \\ 0 \qquad({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle = \vec{0}}) \end{cases}</math>を考える。 この関数は<math>x, y</math>軸（則ち直線<math>y=0, x=0</math>）上では値が常に0な定数関数である。よって軸上の全ての点で微分可能なので、原点に於いて<math>x, y</math>とも偏微分可能である。 しかし、区分的に定義された上の式の<math>x, y\to0</math>の極限をとってみると、 :<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\sin\theta\cos\theta</math> より原点に近づけた極限は存在しない。従ってこの<math>f(x, y)</math>は原点を不連続点に持つ。 このように、常微分で成り立った「ある点で微分可能ならばその点で連続」という定理は偏微分では成り立たない。 そこで、この定理を多変数関数でも成り立たせるような新たな微分を考える。 一変数関数の常微分係数の定義式は :<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> であったが、これは<math>h\to0</math>で<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)</math>ということなので、'''[[高等学校数学III/微分法#ランダウの記号|ランダウの記号]]'''（'''オーダー記法'''）を用いて :<math>f(a+h)-f(a)=hf'(a)+O(h)\quad (h\to0)</math> という式が出来上がる。 これを二変数に拡張するとき、<math>hf'(a)</math>の項を「極限で飛ばす変数と導関数の内積^※」と考えることによって、以下のような表示を得る。 :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> これをそのまま'''（完）全微分'''の定義式とする。 ※複素数の内積<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>より、実数同士の積<math>ab</math>は内積<math>\langle a, b \rangle</math>と考えることができる。詳しくは[[関数解析学]]を参照。 この式が成り立つとき（諄いが二変数関数の極限値はあらゆる方向あらゆる経路で近づいても一致する必要がある）、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''（完）全微分可能'''という。 また、<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix}</math>を'''（完）全微分係数'''という。 *全微分係数が偏微分係数の組で表されることの証明 :全微分係数を<math>(\alpha, \beta)</math>とおく。 :<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能であるとき、<math>k=0</math>と固定して<math>h\to0</math>の極限をとると、 :全微分の定義式より<math>f(a+h, b)-f(a, b)=\alpha h + O(|h|) \quad(h\to0)</math> :<math>\therefore \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}=\lim_{h\to0} \left\{ \alpha + \frac{O(|h|)}{h} \right\} = \alpha + 0 = \alpha</math> :最左辺は<math>f</math>の<math>x</math>に関する偏微分係数に等しいので<math>\alpha = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)</math> :<math>y</math>に就ても同様。// ここで証明したことから、以下が成り立つ。 {{定理|}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能<math>\implies</math><math>(a, b)</math>で<math>x, y</math>のどちらに関しても偏微分可能 {{定理終わり}} ここから、全微分可能は偏微分可能より強い条件であると判る。 更に、先ほど全微分を「微分可能なら連続」という定理を成り立たせる微分として導入したので、この定理が成り立つ筈である。 *証明 :<math>(x, y)</math>を全微分可能な点<math>(a, b)</math>の充分近傍にとる。 :<math>x-a=h, y-b=k</math>とすると<math>x=a+h, y=b+k</math>であり、<math>(x, y)\to(a, b)\iff h, k\to0</math>なので :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)} \{f(x, y)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \{f(a+h, b+k)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \left\{\alpha h+ \beta k + O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\right\}</math> :<math>=\alpha\cdot0+\beta\cdot0</math> :<math>=0</math> :よって極限の分配法則より :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)-\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(a, b)=0</math> :<math>\therefore \lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math> :従って、<math>f(x, y)</math>は全微分可能な点で連続である。 なお、全微分と常微分は完全に対応するため、両者を区別せずにただ「微分」と呼ぶ文献も存在する。実際、関数が一変数か多変数かは文脈で容易に判断されるので、両者を区別しなくとも実務的な支障はない。 余談だが、全微分は偏導関数に各独立変数の微小量を掛けて足し合わせた式 :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy</math> でも表される。 一変数関数に於いて、常微分可能性は「点<math>(a, f(a))</math>を通る接線の存在性」に対応した。 それでは、全微分可能性の幾何的意味は何であろうか？ 一変数の話に立ち戻ると、関数の接線とは「接点の充分近傍に於ける関数の一次近似」であった。つまり、次元を1つ上げると曲面<math>z=f(x, y)</math>は「点<math>(a, b, f(a, b))</math>を通る且つ方程式が<math>x, y, z</math>の一次方程式である」図形で一次近似される筈である。 高校数学を思い出すと、<math>xyz</math>空間で一次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>は平面の方程式であった。更に、ベクトル<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>はこの平面に垂直な法線ベクトルであった。 <math>f(x, y)</math>が全微分可能ならば<math>x, y</math>に関して偏微分可能なので、一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>はそれぞれ<math>x, y</math>に関して常微分可能であり、曲面<math>z=f(x, y)</math>を平面<math>y=b/x=a</math>で切った切り口の曲線の接線の傾きは<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>となる。よってこれらの接線に対してそれぞれ方向ベクトル<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>をとれる。 求める平面はこれらの接線を共に含む筈なので、<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>の両方に直交するようなベクトルが求める平面の法線ベクトルである。 よってこれらの外積を計算して、 :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot f_{\partial y}(a, b) - f_{\partial x}(a, b) \cdot 1 \\ f_{\partial x}(a, b) \cdot 0 - 1 \cdot f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -f_{\partial x}(a, b) \\ -f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \end{pmatrix}</math> 求める平面は<math>(a, b, f(a, b))</math>を通るので、方程式の一般形に代入して :<math>-f_{\partial x}(a, b)(x-a) - f_{\partial y}(a, b)(y-b) + 1 (z-f(a, b))=0</math> :<math>\therefore z-f(a, b)=f_{\partial x}(a, b)(x-a) + f_{\partial y}(a, b)(y-b)</math> この平面を、曲線<math>z=f(x, y)</math>の点<math>(a, b, f(a, b))</math>に於ける'''接平面'''という。 則ち、全微分可能性は接平面の存在性に対応することが判った。 {{演習問題|二変数関数<math>f(x, y)=x^3+y^3</math>が(1)任意点で全微分可能であることを示し、(2)点<math>(1, 1, 2)</math>に於ける接平面の方程式を<math>z=ax+by+c</math>の形で求めよ。|(1) 全微分可能性を示すには、<math>\lim_{h, k\to0} \left\{ f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}=0</math>・・・(*)を示せばよい。<br><math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^3, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より、<br><math>f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math><br><math>=(a+h)^3+(b+k)^3-(a^3+b^3)-(3a^2h+3b^2k)</math><br><math>=3ah^2+h^3+3bk^2+k^3</math><br><math>=O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right)</math><br>ここで<math>O\left(g(x, y)\right)</math>とは<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}\frac{f(x, y)}{g(x, y)}=0</math>を満たす<math>f(x, y)</math>のことだったので、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|</math>が0に収束する点<math>(a, b)</math>が存在することを示せばよい。<br>変数変換<math>\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>により、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{3ar^2\cos^2\theta+r^3\cos^3\theta+3br^2\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta}{r}\right|</math><br><math>=|3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)|</math><br><math>\leqq3r|a\cos^2\theta+b\sin^2\theta|+r^2|\cos^3\theta+\sin^3\theta|</math>(<math>\because</math>三角不等式)<br><math>\leqq3r(a+b)+2r^2 (\because |\sin\theta|, |\cos\theta|\leqq1)</math><br>最後の式で<math>r\to0</math>とした極限は0に収束し、不等式<math>0 \leqq |3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)| \leqq 3r(a+b)+2r^2</math>と挟み撃ちの原理より<br><math>\lim_{h, k\to0}\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=0</math>なので、(*)が示された。//<br> (2) (1)で求めた偏導関数から<math>f_{\partial x}(1, 1)=3, f_{\partial y}(1, 1)=3</math>なので、<br>一般形に代入して<math>z-2=3(x-1)+3(y-1) \iff z=3x+3y-4</math>// }} ===高階偏導関数=== <math>z=f(x, y)</math>の偏導関数<math>\partial{x} f(x, y), \partial{y}f(x, y)</math>は一般に<math>x, y</math>の二変数関数である。そのため、これらが偏微分可能であればさらに偏微分することが可能である。 今、<math>f(x, y)</math>の<math>x, y</math>について偏導関数が存在し、それぞれ偏微分可能であればそれぞれ更に<math>x, y</math>についての導関数が存在する。そのため、積の法則より二回偏微分した偏導関数（'''二階偏導関数'''）は4種類存在することになる。 <math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x^2}(x, y),~ f_{xx}(x, y),~ z_{\partial x^2},~ z_{xx},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(x, y),~ \partial{x^2} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y\partial x}(x, y),~ f_{xy}(x, y),~ z_{xy},~ z_{\partial y\partial x},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(x, y),~ \partial{y}\partial{x} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x\partial y}(x, y),~ f_{yx}(x, y),~ z_{yx},~ z_{\partial x\partial y},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(x, y),~ \partial{x}\partial{y} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y^2}(x, y),~ f_{yy}(x, y),~ z_{\partial y^2},~ z_{yy},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(x, y),~ \partial{y^2} f(x, y)</math>などと表す。 ここで、<math>\partial</math>を用いるか否かで<math>x, y</math>の順序が入れ替わっていることに注意。 また、それぞれの二階偏導関数が存在するかは一階偏導関数の偏微分可能性に依存するので、上の4種類が必ず揃う訳ではない。 先程の<math>f(x,y)=x^5y^3</math> の場合、 *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(5x^4 y^3)=5\left(\frac{d}{dx}x^4\right)y^3=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^3 y^3</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(5x^4 y^3)=5x^4\left(\frac{d}{dy}y^3\right)=5x^4\sdot 3y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(3x^5 y^2)=3\left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^2=3\sdot 5 x^4 y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(3x^5 y^2)=3x^5\left(\frac{d}{dy}y^2\right)=3x^5\sdot 2y=6 x^5 y</math> である。 ここで<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>が成り立っているが、これは応用上用いられるような「まとも」な関数ならば偏微分の順番が可換であることによる。 *「まとも」でない例 *::<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> *:とすると、 *::<math>f(x,0)=f(0,y)=0</math>より *::<math>\partial{x} f(0,0)=\partial{y} f(0,0)=0</math> *:一方、<math>(x,y) \ne (0,0)</math>のとき、 *::<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\therefore \partial{x} f(0,y)=-y, \ \partial{y} f(x,0)=x</math> *:従って *::<math>\partial{x}\partial{y}f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{h-0}{h}=1</math> *::<math>\partial{y}\partial{x}f(0,0)=\lim_{k \to 0}\frac{-k-0}{k}=-1</math> *:である。 「まとも」な関数が具体的にどのような関数であるかは、以下の定理により与えられる。 {{定理|(偏微分順序の可換性)}} 点<math>(a,b)</math>に於いて<math>f_{xy}(a, b), f_{yx}(a, b)</math>ともに連続ならば、 :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math> {{定理終わり}} ;証明の導入 まず、<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{xy}(a,b)= \frac{\partial{f_x}}{\partial{{y}}} =\lim_{k\to 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\to 0} \frac {\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k} </math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a,b+k) \} - \{ f(a+h,b)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> であり、同様に<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{yx}(a,b)= \frac{\partial{f_y}}{\partial{{x}}} =\lim_{h\to 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac {\lim_{k\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\to 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h} </math> :<math>= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a+h,b) \} - \{ f(a,b+k)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k) - f(a+h,b) -f(a,b+k) + f(a,b) } {hk}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> である。 よって、この定理は式 <math>\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}</math> における <math>\lim_{k\to 0}</math> と<math>\lim_{h\to 0}</math> （反復極限）の可換を証明している。 ;証明 やや天下り的だが、 :<math>F=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h, b)+f(a, b)</math> と置くと :<math>F=\{f(a+h, b+k)-f(a+h, b)\}-\{f(a, b+k)-f(a, b)\}=\{ f(a+h, b+k)-f(a, b+k) \} - \{ f(a+h, b)-f(a, b) \} </math> である。 技巧的だが、この式を参考に :<math>\phi(x):=f(x, b+k)-f(x, b)</math> :<math>\psi(y):=f(a+h, y)-f(a, y)</math> とすると、 :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a) = \psi(b+k)-\psi(b)</math> という風に<math>F</math>を1変数関数に置き換えられる。 ここで、1変数関数に於けるラグランジュの平均値の定理を適用すると、 :<math>F=\phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(c)</math> を満たす<math>c \in (a, h)</math>が存在するので、 :<math>\theta_1 \in (0, 1)</math> として :<math>c=a+\theta_1h</math> と書いておく。 ここで偏微分係数の定義に立ち戻ると、<math>\frac{d\phi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b+k)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b)</math>である。 なので :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(a+\theta_1h) = h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}</math> また、<math>\phi'(a+\theta_1h)</math>を<math>y</math>の関数と考えることにより、偏微分係数の定義を再び用いて :<math>F=h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k) \quad(\theta_2 \in (0, 1))</math> を得る。 一方、 :<math>F = \psi(b+k)-\psi(b)</math> と表した場合も、同様の式変形によって :<math>F=\psi(b+k)-\psi(b)=k\psi'(b+\theta_3k)=k\{f_y(a+h, b+\theta_3k)-f_y(a, b+\theta_3k)\}=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k) \quad(\theta_3, \theta_4 \in (0, 1))</math> よって :<math>F=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> <math>h, k\neq0</math>より :<math>f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=f_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> この式について、 <math>h, k\to 0</math>の極限をとれば、極限をとる順番に関係なく :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math>// <!--* 参考文献 証明の導入の参考として、 :http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日 証明中の数式の記法の参考として、 :サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、--> 二階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''三階偏導関数'''という。三階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''四階偏導関数'''という。同様に次数を上げていくことができる。次数が2以上の場合を'''高階偏導関数'''という。 一変数の場合と異なり、次数が上がるたびにそれぞれ<math>x, y</math>について偏導関数を考えるため、<math>n</math>階偏導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複順列 <math>{}_2 \Pi_n</math>に等しい。 但し、上で証明した定理を繰り返し用いると偏微分の順序が関係なくなるので、「どの変数で何回偏微分したか」のみが重要である。具体的には、一致する偏導関数たちを全体で<math>1</math>個と数えると、(偏微分が可換な)<math>n</math>階導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複組合せ <math>{}_2 \mathrm{H}_n</math>に等しくなる。 点<math>(a, b)</math>で二変数関数<math>f(x,y)</math>の<math>k</math>階偏導関数(<math>k=1, 2, \cdots, n</math>)が全て存在し、且つそれらが全て連続であるとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''<math>n</math>階連続微分可能'''といい、「<math>f</math>は<math>(a, b)</math>で<math>C^n</math>(級)関数である」という。また、定義域の全てで連続微分可能である場合は<math>f \in C^n</math>と書く。 <math>n\to\infty</math>でいえるときは<math>C^\infty</math>級関数という。 応用上で用いられる関数の殆どは<math>C^\infty</math>級関数である。 これを用いて先程の定理を言い換えると、 :<math>(a, b)</math>で<math>f</math>が<math>C^2</math>級<math>\implies f_{xy}(a, b)=f_{yx}(a, b)</math> である。 ===合成関数微分=== 二変数関数に対しても合成関数を考えることができるが、合成元の関数は一変数と二変数の二通り考えることができる。 先ずは、一変数関数の場合を考える。 一変数関数<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}</math>となるような媒介変数<math>t</math>が存在するとする。このとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>を考えることができる。 <math>F</math>は勿論一変数関数なので、<math>t</math>で微分するには常微分可能性を考えればよい。則ち、極限 :<math>\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}</math> が有限値<math>L</math>に収束すればよい。 ここで<math>\begin{cases} \Delta x := \phi(t+h)-\phi(t) \\ \Delta y := \psi(t+h)-\psi(t) \end{cases}</math>とする。<math>\phi(t), \psi(t)</math>が常微分可能とすると<math>\phi(t), \psi(t)</math>は連続なので<math>h\to0</math>で<math>\Delta x , \Delta y\to0</math>である。よって :<math>L=\lim_{h\to0}\frac{f(\phi(t)+\Delta x), \psi(t)+\Delta y)-f(\phi(t), \psi(t))}{h}</math> 更に<math>f</math>が全微分可能とするとどの方向から<math>\Delta x, \Delta y\to0</math>としても :(分母)<math>=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta y</math> よって :<math>L=\lim_{h\to0} \left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta x}{h}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta y}{h} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \right\}</math> ここで :<math>\lim_{h\to0}\frac{\Delta x}{h}=\phi'(t), \quad \lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=\psi'(t)</math> また、 :<math>\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = \frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{h}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{h}\right)^2}</math> より :<math>\lim_{h\to\pm0}\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = 0\cdot\sqrt{\{\phi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}}</math> よって :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\psi}{dt}</math> と求まる。 {{定理|(合成関数の常微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math>の何れも常微分可能であるとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>は常微分可能で :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}</math> {{定理終わり}} ここでは代入記号を省略する略記法を用いていることに注意。右辺を見ると、一変数関数の合成関数微分と同様に'''連鎖律'''（'''チェーン・ルール'''/'''チェイン・ルール'''）が成り立っていることが判る。 二変数の場合は、偏微分の定義に立ち戻って一変数の場合に帰着すれば容易にわかる。 {{定理|(合成関数の偏微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(u, v), y=\psi(u, v)</math>の何れも<math>u/v</math>で偏微分可能であるとき、合成関数<math>F(u, v)=f(\phi(u, v), \psi(u, v))</math>は<math>u/v</math>で偏微分可能で :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}</math> :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}</math> {{定理終わり}} *証明 合成関数の常微分の証明の計算に於いて<math>t=u, v</math>とそれぞれ置くことで直ちに成り立つ。 一変数関数の場合と同様に合成関数の二階微分も考えられるが、一変数の場合より遙かに煩雑である。 例えば、<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right) + \frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>和の微分) :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>積の微分) :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math> :<math>=\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>(<math>\because</math>合成関数の偏微分) :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>// ここで、<math>f</math>が<math>C^2</math>級であれば更に変形して :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2</math> 合成関数微分の計算は、[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]に役立てられている。 例えば、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0</math>（ポアソン方程式）という二階線型偏微分方程式を考える。 <math>f(x, y)</math>を極座標表示<math>F(r, \theta)</math>に直すとき、変換公式<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は<math>f</math>に二変数関数<math>\phi(r, \theta)=r\cos\theta, \psi(r, \theta)=r\sin\theta</math>を合成していると捉えることができる。 よって、 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}</math> 先程求めた合成関数の二階偏微分の式から :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\right)^2</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\right)^2</math> ここで<math>r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\frac{y}{x}</math>より :<math>\frac{\partial{r}}{\partial{x}}=\frac{x}{r},~ \frac{\partial{r}}{\partial{y}}=\frac{y}{r},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}=-\frac{y}{r^2},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}=\frac{x}{r^2},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}=\frac{y^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}=\frac{x^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}=\frac{2xy}{r^4},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}=-\frac{2xy}{r^4}</math> なので :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{y^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{y^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{x^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}-\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{x^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> 故に :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> と変形される。 ここで<math>f \in C^2</math>ならば<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}</math>なので :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> 更に、<math>f</math>が回転対称性（<math>\theta</math>の項を無視できる性質）を持っている場合、 :<math>\frac{d^2F}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dF}{dr}=0</math> という（元の二変数線型偏微分方程式に比べ）圧倒的に簡単な二階線型常微分方程式に帰着できる。 なお、元の偏微分方程式はベクトル解析の知識を用いると<math>\text{∆} f = 0</math>と非常に簡潔に表され、これは座標系に依らない記法なので大変便利である。 ===極値=== 一変数関数の場合と同様に、二変数関数でもテイラーの定理を考えることが可能である。 但し、先程も見たように<math>f(x, y)</math>の<math>n</math>階偏導関数の最大個数は<math>{}_2 \Pi_{n}</math>であり、その全てを式に書いたのでは非常に煩雑となって収拾がつかなくなる。 そこで、以下のような略記法を考える。 :<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>を形式的に<math>\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f</math>と変形する。ここで、<math>D:=\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすれば<math>Df</math>と表せる。 この<math>D</math>は「各独立変数に関して偏微分したそれぞれの偏導関数の総和をとる」という意味の演算子として定義され得る。一般に、偏微分演算子の一次結合として定義される演算子<math>D = \sum_{i} a_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}</math>を'''一次の偏微分作用素'''という。各<math>a_i</math>のとり方で微分する方向が変わることから'''方向偏微分作用素'''ともいう。 <math>f</math>にこの<math>D</math>を複数回作用させることを考える。 :<math>D(Df)=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f\right\}</math> :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> と、四種類の二階偏導関数が全て現れている。 ここで形式的に :<math>(D D)f=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\right\}f</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}\right)f</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> なので、偏微分作用素<math>D</math>と作用素の対象となる関数<math>f</math>の間に結合法則が成り立っていると見做せる。 そこで、<math>D^2:=DD</math>と定義すると、同様の議論により一般に<math>n</math>階偏導関数の総和は<math>D^nf</math>で表される。 これを用いて、以下のテイラーの定理を証明しよう。 {{定理|(二変数に於けるテイラーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^n</math>級であるとき、<math>h:=x-a, k:=y-b, D:=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i!}D^if(a, b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h, b+\theta k)</math> を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :<math>g(t):=f(a+ht, b+kt)</math>として<math>g(t)</math>の有限マクローリン展開より ::<math>g(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}g^{(i)}(0)+\frac{t^n}{n!}g^{(n)}(\theta t)</math> :を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 :合成関数の偏微分より ::<math>\frac{d}{dt}g(t)=\frac{dx}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=Df</math> :なので<math>g(t)</math>を常微分することと<math>f</math>に<math>D</math>を作用させることは同値であり、非負整数<math>i</math>に対して ::<math>g^{(i)}(t)=D^if(a+ht, b+kt)</math> :よって ::<math>g^{(i)}(0)=D^if(a, b)</math> ::<math>g^{n}(\theta t)=D^nf(a+\theta t h , b+\theta t k)</math> :より ::<math>f(a+ht, b+kt)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}D^if(a, b)+\frac{t^n}{n!}D^n(a+\theta th, b+\theta tk)</math> :ここで<math>t=1</math>とすれば定理の式を得る。// この定理の応用として最も基本的なのが、極値である。 一変数関数と同様、極小値・極大値を求めることは最大値最小値問題を解く手掛かりになるが、その求め方は複雑である。 先ずは、極値を定義する。 :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として、 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極大'''という。 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \geq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極小'''という。 :極大/極小となるときの<math>f(a, b)</math>を'''極大値/極小値'''といい、纏めて'''極値'''と呼ぶ。 一変数の場合と異なるのは、'''どの方向から見ても極大/極小'''でなければならない点である。 例えば、曲面<math>z=x^2-y^2</math>を考える。 :この曲面を<math>zx</math>平面（則ち平面<math>y=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=x^2</math>であり、<math>y=0</math>より原点で極小値をとる。 :然し、この曲面を<math>yz</math>平面（則ち平面<math>x=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=-y^2</math>であり、<math>x=0</math>より原点で極大値をとる。 このように、方向によって極大・極小が変わるような点を、馬の{{ruby|鞍|くら}}に見えることから'''{{ruby|鞍点|あんてん}}'''といい、極値点とは区別する。極大方向・極小方向の少なくとも一方が存在しない場合は鞍点とは呼ばない。 極値をとる点を求める手掛かりとなるのが、次の定理である。 {{定理|(二変数に於けるフェルマーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極値をとる<math>\implies \partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>f(a, b)</math>が極値ならば、<math>x/y</math>軸方向で見ても極値になっている筈である。 :ここで<math>x/y</math>軸方向に見るとは、他の独立変数を固定した一変数関数として見ることだったので、<math>f(x, b), f(a, y)</math>を考えていることになる。 :このとき、一変数に於けるフェルマーの定理より ::<math>\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a}=0,~ \frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}=0</math> :であるが、 :偏微分係数の定義より ::<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=\frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}</math> :だったので、 ::<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> :である。// なお、<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math>が成り立つ点<math>(a, b)</math>を'''停留点'''という。これは、ベクトル解析的に<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0 \iff \mathrm{grad} f=\boldsymbol{0}</math>である（<math>f</math>の勾配がない）ことに由来する。 フェルマーの定理の対偶を取れば :<math>(\partial{x}f(a, b)\neq0 \lor \partial{y}f(a, b)\neq0) \implies f(a, b)</math>は極値ではない となるので、極値を取る点を求めるには停留点のみを考えればよいことになる。 停留点を求めるには、連立方程式<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b)=0 \\ \partial{y}f(a, b)=0 \end{cases}</math>を解けばよい。 但し、その解<math>(a, b)</math>が極値をとる点とは限らない（必要条件であって十分条件ではないため）。 一変数関数の場合は<math>f'(a)=0</math>を満たす<math>a</math>近傍の増減を調べればよかったが、二変数の場合はより複雑な手続きを要する。 一般に、多変数関数<math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>に対して<math>(\mathbf{D})_{ij}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}</math>なるn次行列<math>\mathbf{D}</math>を'''ヘッセ行列'''という。 ヘッセ行列式（ヘッシアン）<math>D(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\det\mathbf{D}</math>を'''判別式'''という。 二変数の場合、<math>\mathbf{D}=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math>より判別式は<math>D(x, y)=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>である。 この判別式の符号を調べることによって、極値の有無を判定することができる。 {{定理|(極値の判定)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとり、 ::(ⅰ)<math>\partial{x^2}f<0 \implies f(a, b)</math>は極大値 ::(ⅱ)<math>\partial{x^2}f>0 \implies f(a, b)</math>は極小値 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとらない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとることもとらないこともある。則ち、判別式では判定できない。 {{定理終わり}} *証明 :テイラーの定理で<math>n=2</math>の場合を考えると、<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^2</math>級ならば<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在して :<math>f(a+h, k+b)=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より変形して :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :ここで<math>f \in C^2</math>より<math>f</math>の二階偏導関数は何れも連続なので、<math>D(a, b)\gtrless0</math>ならば充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>D(a+\theta h, b+\theta k)\gtrless0</math>となる。 :ここで<math>p = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k),~ q = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k),~ r = \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k)</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}(ph^2+2khq+kr^2)</math>・・・(*) :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき ::<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)=0</math>とすると<math>D(a, b)\leq0</math>となって不適。<math>\therefore \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)\neq0</math> ::充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>p\neq0</math>より(*)の右辺を平方完成して ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{pr-q^2}{p}k^2 \right\}</math> ::<math>=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{D(a+\theta h, b+\theta k)}{p}k^2 \right\}</math> ::ここで両辺<math>0 \iff h=k=0</math>に注意すると、 ::上式の最右辺は<math>p</math>の符号と正負が一致する。 ::これは<math>(a, b)</math>の充分近傍では<math>p>0</math>で<math>f(a, b)</math>が最小値、<math>p<0</math>で<math>f(a, b)</math>が最大値をとることを意味するので、<math>f(a, b)</math>は極値である。 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき ::<math>p\gtrless0</math>のとき、平方完成した最右辺の波括弧の中身は、 :::<math>h+\frac{qk}{p}\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると負/正 :::<math>h\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると正/負 ::であるので、<math>h, k</math>のとり方によって<math>f(a+h, b+k)\gtrless f(a, b)</math>のどちらにもなり得、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で最大でも最小でもない。 ::則ち、<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 ::<math>p=0</math>のとき、<math>r\neq0</math>ならば<math>h, k</math>を二階偏導関数に置き換えることで同様の結論を得る。 ::<math>r=0</math>のとき、 ::<math>D(a+\theta h, b+\theta k)=-q^2<0</math>より<math>q\neq0</math>なので(*)より ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=qhk</math> ::これは<math>h, k</math>の符号によって正負のどちらもとり得るので同様に<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、 ::<math>h, k</math>のとり方により<math>D(a+\theta h, b+\theta k)</math>は正負のどちらもとり得る。 ::よって(1), (2)より<math>f(a, b)</math>は極値であることも極値でないこともあるので、 ::判別式では判定不能である。// {{演習問題|次の関数に極値があるかどうか調べ、あるならば求めよ。 :1. <math>f(x, y)=x^2+y^2-2xy</math> :2. <math>f(x, y)=x^2+2xy-3y^2+4x+4y+1</math> :3. <math>f(x, y)=x^3+y^3</math> |1. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y-x</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=2,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=-1</math>より :<math>D(0, 0)=2\cdot2-(-1)^2=3>0</math> :また、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}>0</math>より :<math>f(x, y)</math>は<math>(0, 0)</math>で極小値<math>0</math>をとる。 2. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+2y+4,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-6y+2x+4</math>より :停留点は<math>(-2, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2,~ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}=-6,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=2</math>より :<math>D(-2, 0)=2\cdot(-6)-2^2=-16<0</math> :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。 3. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=6x,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=6y, \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=0</math>より :<math>D(0, 0)=0\cdot0-0^2=0</math> :よって判別不能。 :ここで、直線<math>y=x</math>を経路として原点から点<math>(x, y)</math>を動かしてみる。 :<math>f(x, x)=x^3+x^3=2x^3</math> :よって<math>x>0</math>で<math>f(x, y)>f(0, 0)</math>、<math>x<0</math>で<math>f(x, y)<f(0, 0)</math>より :原点近傍で<math>f(0, 0)</math>は最大でも最小でもない、則ち<math>f(0, 0)</math>は極値ではない。 :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。}} *発展問題 *:<math>f(x, y)=e^{xy}</math>を二次の項迄テイラー展開せよ。 停留点が鞍点である条件を補足しておく。 鞍点とは「関数が極大となる方向・極小となる方向の双方が存在する」ような点であった。 <math>f(x, y)</math>を停留点<math>(a, b)</math>に於けるテイラー展開で二次近似することを考える。 :テイラーの定理より厳密に ::<math>f(a+h, b+k)=\frac{1}{0!}D^0 f(a, b)+\frac{1}{1!}Df(a, b)+\frac{1}{2!}D^2f(a+\theta h, b+\theta k)</math> :であるが、<math>\theta \in(0, 1)</math>より<math>\theta\fallingdotseq0</math>と見做して近似すると ::<math>f(a, b)\fallingdotseq f(a, b)+Df(a, b)+\frac{1}{2}D^2f(a, b)</math> :<math>D=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>より ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=0</math>なので ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :ここで<math>\frac{1}{2}</math>で括られた部分に着目すると、 ::<math>h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)</math> ::<math>=h\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)+k\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>とすると ::<math>f(a+h, b+k)\fallingdotseq f(a, b)+\frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> :則ち ::<math>f(a+h, b+k) - f(a, b) \fallingdotseq \frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> 拠って、<math>\boldsymbol{v}</math>方向で極大・極小か見るには停留点から<math>\varepsilon\boldsymbol{v}</math>だけ動かしたときの :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の変化を見ればよいが、 :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2>0</math> より、結局は[[線型代数学/二次形式|二次形式]] :<math>({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の符号を見れば良いことになる。 ここでヘッセ行列<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>を対角化することを考える（ヘッセ行列は対称行列なので直交行列で対角化可能）。 :ヘッセ行列の各固有値を<math>\lambda_1, \lambda_2</math>とおくと、ある直交行列<math>\mathbf{P}</math>による相似変換で ::<math>({}^t \! \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}} = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2)</math> :と対角化できる。 :このとき、二次形式は<math>\boldsymbol{u}={}^t \! \mathbf{P} \boldsymbol{v}</math>という一次変換で ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}</math> :と表される。 :すると<math>\boldsymbol{u}_x\times\boldsymbol{u}_y</math>の項は対角行列の零成分が掛かって消えるので、 ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}=\lambda_1 (\boldsymbol{u}_x)^2+\lambda_2 (\boldsymbol{u}_y)^2</math> :（つまりこの変換は主軸変換） 則ち、任意方向で極大か極小か調べるには'''ヘッセ行列の各固有値の符号を見ればよい'''。 固有値が全て正であるとき、どのような<math>h, k</math>に対しても<math>f(a+h, b+k) - f(a, b)>0</math>と考えられるので、<math>\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>のとり方に依らず<math>f(a, b)</math>は極小値である。 固有値が全て負であるとき、同様に<math>f(a, b)</math>は極大値である。 固有値の符号が異なるとき、<math>\boldsymbol{v}</math>のとり方によって極大か極小か変わるので、<math>(a, b)</math>は鞍点である。 零固有値を持つときは、零固有値に対応する固有ベクトル方向の情報が近似の際に切り捨てられている（則ち<math>\theta</math>- 依存性が高い）ので極大・極小・鞍点・何れでもない、の全ての場合をとり得る。 纏めると、以下のようになる。 {{定理|(極値の判定Ⅱ)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が負定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極大。 :(2)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が正定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極小。 :(3)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が不定行列ならば<math>(a, b)</math>は鞍点。 :(4)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が半正定値行列又は半負定値行列又は完全退化行列ならば<math>(a, b)</math>は極値点であることも鞍点であることもそうでないこともある。則ち、ヘッセ行列の定値性では判定できない。 {{定理終わり}} 近似の際に切り捨てた項の振舞によってはこの判定法が通用しない場合がある。特に、三変数以上で(3)を用いる場合は注意。 ヘッセ行列が正定値・負定値・半正定値・半負定値・不定値の何れであるかは、[[線型代数学/固有値と固有ベクトル|シルヴェスターの判定法]]を用いると固有値を求めることなく判別できる。 ===陰関数=== <math>y=f(x)</math>という形で陽に表示される関数を'''陽関数'''という。 これに対し、方程式<math>f(x, y)=0</math>がある区間で定義が区分的でない関数<math>y=\varphi(x)</math>を表すとき、「<math>y=\varphi(x)</math>は<math>f(x, y)=0</math>で定義された'''陰関数'''」という。このとき、方程式<math>f(x, y)=0</math>を「<math>y=\varphi(x)</math>の'''陰関数表示'''」という。一般に、陰関数は陽に表示できるとは限らない。なお、陰関数表示のことを単に陰関数と呼ぶ場合もある。 例えば、単位円の方程式<math>x^2+y^2=1</math>に対し、<math>y=\sqrt{1-x^2},\quad y=-\sqrt{1-x^2}</math>はそれぞれ単位円の方程式で定義された陰関数である。ここで、点<math>(1, 0)</math>を内部に含む開区間を考える。このような区間をどんなに小さく取ったとしても、円の上半分と下半分を両方含んでしまうため、区分的に定義しなければ一意な関数で表せず、則ち陰関数が存在しない。 それでは、方程式<math>f(x, y)=0</math>の陰関数が点<math>(x, y)</math>の充分近傍で存在する条件は何であろうか？ 先ずは、厳密なことを抜きにして考える。 形式的に、陰関数<math>y=\varphi(x)</math>は方程式<math>f(x, y)=0</math>を<math>y</math>に就て解いた解である。そのため、このような関数が存在するならば<math>f(x, \varphi(x))=0</math>という<math>x</math>の一変数方程式が成り立つ。 媒介変数を<math>t=x</math>と見て方程式の両辺を<math>x</math>で常微分すると合成関数微分の公式より<math>\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\frac{dt}{dx}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=0</math> :<math>\therefore \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}}</math> ここで、実際には <math>\Big|_{y=\varphi(x)}</math>が省略されていることに注意。 この式の主張を纏めると、以下の定理を得る。 {{定理|(陰関数の定理Ⅰ)}} <math>f \in C^1,~ f(a, b)=0,~ \partial{y}f(a, b)\neq0</math>であるとき、<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>f(x, y)=0</math>の定義する陰関数<math>y=\varphi(x)</math>が唯一つ存在し、 :<math>b=\varphi(a)</math> また、この陰関数は<math>x=a</math>の充分近傍で常微分可能で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> {{定理終わり}} 先程の考え方では「<math>\varphi(x)</math>の存在性・一意性・常微分可能性」を既に仮定してしまっているので、それらを担保するこの定理の証明としては用いることができない（循環論法になってしまう）。 実は、二変数の場合ならば今迄習った知識で証明可能である。以下に示す。 *証明 :<math>\Omega</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の開集合とする。 :<math>\partial{y}f(a, b)>0</math>とすると<math>f \in C^1</math>より<math>\partial{y}f(x, y)</math>は連続で ::<math>\exist \delta_1, \delta_2>0,~ U=\{ x\big|~ |x-a|\leq\delta_1 \},~ V=\{y\big|~ |y-b|\leq\delta_2\},\quad f(x, y)>0 \quad \left( {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)} \in U \times V \subset \Omega \right)</math> :<math>y \in V</math>で<math>f(a, y)>0</math>よりこの区間で単調増加し ::<math>f(a, y)=f(a, b)=0 \lor f(a, b-\delta_2)<0<f(a, b+\delta_2)</math> :更に<math>f</math>が連続より<math>\delta_1</math>が十分小さければ ::<math>x \in U \implies f(x, b-\delta_2)<0<f(x, b+\delta_2)</math> :中間値の定理より ::<math>\forall x\in U,~ \exist y \in V,~ f(x, y)=0</math> :<math>\frac{d\varphi}{dy}>0</math>よりこのような<math>y</math>は一意に定まる。（仮に二つあるとしても、<math>f(x, y_1)=f(x, y_2)=0</math>なのでロルの定理より<math>\exist d \in [y_1, y_2],~ f(x, d)=0</math>。則ちこの<math>d</math>を<math>y</math>として新たにとれば良いことになるので一意である。） :ここで<math>y=\varphi(x)</math>とおくと<math>\varphi(x)</math>は一意で<math>\mathrm{dom}\varphi = U,~ \mathrm{ran}\varphi = V</math> :上記より<math>b=\varphi(a)</math> :<math>\varphi</math>が<math>x_0 \in U</math>で連続でないとすると ::<math>\exist \varepsilon_0,~ \exist x\in U,~ \forall \delta>0,~ ( |x-x_0|<\delta \implies |\varphi(x)-\varphi(x_0)| \geq \varepsilon_0 )</math> :<math>\delta:=\frac{1}{n} (n\in\mathbb{N})</math>とすると ::<math>\forall n\in\mathbb{N},~ \exist x_n\in U,~ ( |x-x_0|<\frac{1}{n} \implies |\varphi(x_n)-\varphi(a)| \geq \varepsilon_0 )</math> :但し<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math>に注意。 :ここで<math>\mathrm{ran}\varphi=V</math>より<math>\varphi(x_0)\in V</math>、則ち<math>\{\varphi(x_n)\}</math>は有界数列である。 :拠ってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より<math>\{x_n\}</math>の部分列<math>\{x_{n_k}\}</math>が存在して ::<math>\lim_{k\to\infty}\varphi(x_{n_k})=y_0 \in V</math> :<math>f(x_{n_k}, \varphi(x_{n_k}))=0</math>且つ<math>f</math>が連続より<math>k\to\infty</math>で<math>f(x_0, y_0)=0</math>でなければならないので ::<math>y_0=\varphi(x_0)</math> :一方、 ::<math>\lim_{k\to\infty}|\varphi(x_{n_k})-\varphi(x_0)|=|y_0-\varphi(x_0)|\geq\varepsilon_0>0</math> :これは<math>y=\varphi(x_0)</math>に矛盾する。 :従って<math>\varphi</math>は<math>x_0</math>で連続である。 :<math>\varphi(x_0+h)=\varphi(x_0)+k</math>とおくと<math>\varphi</math>が連続より<math>h\to0</math>で<math>k\to0</math>であり、 :<math>h</math>を充分小さくすると<math>(x_0, \varphi(x_0))</math>と<math>(x_0+h, \varphi(x_0)+k)</math>を結ぶ線分が<math>U\times V</math>に含まれる。 :拠ってテイラーの定理より ::<math>\exist \theta\in(0, 1), 0=f(x_0+h, \varphi(x_0)+k)=f(x_0, \varphi(x_0))+\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)h + \partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)k</math> :<math>k=\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)</math>と<math>f(x_0, \varphi(x_0))</math>より変形して ::<math>\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=-\frac{\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}{\partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}</math> :<math>h\to0</math>とすれば ::<math>\varphi'(x_0)=-\frac{\partial{x} f(x_0, \varphi(x_0))}{\partial{y} f(x_0, \varphi(x_0))}</math> :更に、 ::<math>\varphi'(x)=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> :の右辺が連続関数なので ::<math>\varphi(x) \in C^1</math> :<math>\partial{y}f(a, b)<0</math>の場合も同様に示される。// この証明は「一次元での単調性」に依存しているため、三変数以上に拡張することができない。そのため、（「解析学基礎」の範囲を大幅に超えるが）一般の場合を補足しておく。[[位相空間論]]や[[多様体論]]を修得してから戻ってくるのが良いだろう。 {{定理|(ベクトル関数に於ける陰関数の定理)}} <math>\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m</math>上の開集合を<math>\Omega</math>とする。 <math>C^r</math>級関数<math>\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m</math>に対して :<math>\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0} \\ \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} }\right)\neq0 \end{cases}</math> なる<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>が存在するとき、<br><math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\mathbb{R}^n</math>- 開近傍<math>U</math>、<math>\boldsymbol{\beta}</math>の<math>\mathbb{R}^m</math>- 開近傍<math>V</math>に対して<math>C^r</math>級微分同相写像<math>\boldsymbol{\varphi}:U \to V</math>が唯一つ存在して :<math>\begin{cases} U \times V \subset \Omega \\ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha}) \\ \forall {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\[-6pt] \boldsymbol{y} \end{array} \right)} \in U \times V,~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) \\ \forall \boldsymbol{x} \in U,~ \boldsymbol{\varphi}'(\boldsymbol{x})= - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \right)^{-1} \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} *証明 :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}:\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}</math>を ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{pmatrix}</math> :と定義する。 :<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>に就て<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0}</math>より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix}</math> :従って ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } & \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } \end{pmatrix}</math> :これは下三角行列なので ::<math>\mathrm{rank} \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=m+n</math> :階数が行列の次数に等しいのでこの行列は正則行列、則ち ::<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\neq0</math> :（なお、三角行列に関する行列式の公式を用いると<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\det \boldsymbol{E} \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array}}\right)\neq0</math>と導かれる。） :よって逆写像定理を適用すると :<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})</math>の開近傍<math>U</math>と<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{0})</math>の開近傍<math>V</math>が存在して :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}:U \to V</math>は<math>C^r</math>級微分同相写像となる。 :ここで<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}</math>の<math>C^r</math>級逆写像を<math>\boldsymbol{\psi}</math>とすると逆写像の定義より ::<math>(\tilde{\boldsymbol{f}}\circ\boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :また、<math>\boldsymbol{x}</math>は<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>の<math>1\sim n</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{\psi}_{1\sim n}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>、<math>\boldsymbol{y}</math>は<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>の<math>1\sim m</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{f}_{1\sim m}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>になるので、 ::<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>とすると定義より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :<math>\boldsymbol{y}</math>に<math>\boldsymbol{0}</math>を代入して ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}</math>の定義より<math>\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}):=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math>とすれば :<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}</math> :則ち<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math> :<math>\boldsymbol{\psi} \in C^r</math>より<math>\boldsymbol{\varphi} \in C^r</math>であり、逆写像の一意性より<math>\boldsymbol{\varphi}</math>は一意に定まるので、 :<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math>は陰関数の満たすべき性質を全て満たす。// （補足ここ迄） 陰関数の定理の応用として、陰関数表示で与えられた曲線の接線・法線の方程式を求めることが考えられる。 :円<math>x^2+y^2=r^2</math>を考える。 :<math>f(x, y)=x^2+y^2-r^2</math>とおくと<math>f\in C^2, f(x, y)=0</math>であり、何かしらの関数の陰関数表示となっている。 :よって陰関数定理より :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}</math> :ここで :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y</math> :より<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}</math> :接点を<math>(x_0, y_0)</math>とすれば接線の方程式の公式より :<math>y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)</math> :変形すると :<math>y_0(y-y_0)+x_0(x-x_0)=0</math> :<math>xx_0+yy_0=x^2_0+y^2_0=r^2</math> :ここで<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}</math>は明らかにこの接線の法線ベクトルなので :<math>y=0</math>でも成り立つ。 :同様に法線の方程式は :<math>y=\frac{y_0}{x_0}x</math> :と求まる。// 高校数学では「<math>y</math>を<math>x</math>の関数とみて合成関数微分を行う」という考え方で求めたが、陰関数定理はそのような関数<math>y=\varphi(x)</math>の存在を保証していたのである。 一般の二次曲線やその他の陰関数曲線でもこの考え方を適用することが可能である。 二変数方程式で定義される陰関数は一変数関数であった。では、二変数関数もある三変数方程式で定義された陰関数とは考えられないだろうか？実は、一般に<math>n</math>変数方程式の定義する陰関数は<math>n-1</math>変数関数である。直観的には、「元の<math>n</math>変数方程式に陰関数<math>x_n=g(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})</math>を代入することで自由度が一個下がる」と理解される。 <math>xyz</math>空間で方程式<math>f(x, y, z)=0</math>は一般に曲面を表す。この曲面上の点<math>(a, b, c)</math>近傍で曲面の関数表示が二変数関数<math>z=\psi(x, y)</math>であるための十分条件も陰関数定理で与えられる。 {{定理|(陰関数の定理Ⅱ)}} <math>f \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=0,~ \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>ならば<math>(a, b)</math>の<math>\mathbb{R}^2</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数<math>z=\psi(x, y)</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \psi \in C^1 \\ c=\psi(a, b) \\ f(x, y, \psi(x, y))=0 \quad((x, y) \in U) \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{x}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{y}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} <math>\partial{x} f(a, b, c) \partial{y} f(a, b, c) \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>のとき曲面<math>f(x, y, z)=0</math>の<math>(a, b, c)</math>に於ける接平面は :<math>\partial{x}f(a, b, c)(x-a)+\partial{y}f(a, b, c)(y-b)+\partial{z}f(a, b, c)(z-c)=0</math> である。 この定理を用いると :<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b, c) = -\partial{x}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{y}f(a, b, c) = -\partial{y}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{z}f(a, b, c)\neq0 \end{cases}</math> なので :<math>z-c=\partial{x}\psi(a, b)(x-a)+\partial{y}\psi(a, b)(y-b)</math> と、全微分の節で求めた接平面の方程式に一致する。 更に、以下も成り立つ。 {{定理|(陰関数の定理Ⅲ)}} <math> f, g \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=g(a, b, c)=0,~ \begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \\[-6pt] z = c \end{array}}\neq0</math>ならば<math>x=a</math>の<math>\mathbb{R}</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数の組<math>(y, z)=(\varphi(x), \psi(x))</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \varphi, \psi \in C^1 \\ b=\varphi(a) \\ c=\psi(a) \\ f(x, \varphi(x), \psi(x))=g(x, \varphi(x), \psi(x))=0 \\ \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} , \quad \frac{d\psi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} 陰関数定理が成り立つ状況下に於て、原点近傍で以下のような変換を考える。 :<math>(s, t)=\vartheta(x, y)=(f(x, y), x)</math> このとき逆写像定理により<math>\vartheta:(x, y)\to(s, t)</math>は微分同相写像なので、<math>F(s, t)=s</math>として :<math>(F\circ\vartheta^{-1})(x, y)=x</math> が成り立つ。 これは、<math>s=f(x, y)</math>を座標軸としてみる座標変換を考えていることになる。例えば二重積分で積分領域の境界が<math>f(x, y)=\mathrm{const}.</math>であるとき、これは一般に曲線を表すので扱いづらい。しかし、このような座標変換を行うことで<math>s=\mathrm{const}.</math>という非常に単純な<math>s</math>-単疆界領域となり、二重積分が容易となる。詳しくは「重積分」節で後述する。 {{演習問題| :1. 双曲線<math>x^2-2\sqrt{3}xy-y^2+4y+4=0</math>の点<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>に於ける法線を求めよ。 :2. レムニスケート<math>r^2=2a^2\cos^2 2\theta</math>に就いて、円<math>r=|a|</math>上を除く領域で<math>y</math>が<math>x</math>の関数として単調であることを示せ。 :3. 曲面<math>x^2+3xy-2yz+xz-y^2=0</math>の点<math>(1, 2, 1)</math>に於ける接平面の方程式を求めよ。 :4. <math>f(x, y, z)=x+y+z-3,~ g(x, y, z)=y^2+z-2</math>とする。点<math>(1, 1, 1)</math>近傍の陰関数<math>y=\varphi(x),~ z=\psi(x)</math>を具体的に表示し、その微分係数を求めよ。 | 1. :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-2\sqrt{3}y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-2y-2\sqrt{3}x</math> :<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=-4\sqrt{3}-4\sqrt{6},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-4-4\sqrt{2}\neq0</math> :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{-4(1+\sqrt{2})}=-\sqrt{3}</math> :<math>y-(2+2\sqrt{2})=-\frac{1}{-\sqrt{3}}(x-0)</math> :<math>y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2+2\sqrt{2}</math> 2. :<math>r^2=x^2+y^2,~ \cos^2 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=\left(\frac{x}{r}\right)^2-\left(\frac{y}{r}\right)^2</math>よりレムニスケートの方程式は :<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0</math> :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2(x^2+y^2)(2x)-2a^2(2x)=4x(x^2+y^2-a^2)</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2(x^2+y^2)(2y)-2a^2(-2y)=4y(x^2+y^2+a^2)</math> :<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x(x^2+y^2-a^2)}{y(x^2+y^2+a^2)}</math> :ここで<math>xy</math>平面上の象限を固定して考えると、 :<math>\frac{dy}{dx}</math>の符号は<math>x^2+y^2-a^2</math>の正負で決まる。 :よって<math>x^2+y^2-a^2=0</math>則ち円<math>r=|a|</math>上を除く領域で、 :<math>y</math>は<math>x</math>の関数として単調である。 3. :<math>f(x, y, z):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+3y+z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3x-2y-2z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=x-2y</math> :<math>(1, 2, 1)</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=9,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-3,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=-3\neq0</math> :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{9}{-3}=3,~ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{-3}{-3}=-1</math> :<math>z-1=3(x-1)-1(y-2)</math> :<math>z=3x-y</math> 4. :<math>f(x, y, z)=0</math>とすると<math>z=3-x-y</math>であり、<math>g(x, y, z)=0</math>に代入して :<math>y^2-(3-x-y)-2=0</math> :<math>y^2-y+1-x=0</math> :<math>y=\frac{1\pm\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>(x, y)=(1, 1)</math>となるためには :<math>y=\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>z=3-x-y=3-x-\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2} = \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :これは<math>(x, z)=(1, 1)</math>を満たす。 :根号の実数条件より<math>x\geq\frac{3}{4}</math>より「<math>x=1</math>近傍」も満たす。 :よって<math>(\varphi(x), \psi(x))=\left(\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}, \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}\right)</math> :逆にこのように<math>(\varphi(x), \psi(x))</math>を定義すると条件を満たす。 :<math>\frac{d\varphi}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4x-3}},~ \frac{d\psi}{dx}=-1-\frac{1}{\sqrt{4x-3}}</math> :<math>x=1</math>で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=1,~ \frac{d\psi}{dx}=-2</math> }} ===条件付極値=== 先程は点<math>(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>上を自由に動ける条件の下で極値を考えた。しかし、応用上は何かしらの制約が課された状態での極値を考えることが往々にしてある（寧ろ、無条件の方が稀であろう）。 則ち、次の問題を考える。 :点<math>(x, y)</math>が'''拘束条件'''（束縛条件）<math>g(x, y)=0</math>を満たしながら変化するとき、<math>f(x, y)</math>の'''条件付極値'''を求めよ。 このような問題を（2変数1拘束条件の）'''条件付極値問題'''という。また、拘束条件を表す関数<math>g(x, y)</math>を'''制約関数'''という。 一般に<math>g(x, y)=0</math>が<math>y=\phi(x)</math>や<math>x=\psi(y)</math>のように解けるとは限らず、解けたとしても増減を簡単に調べられるとは限らない。 そこで、条件付極値問題の解法には以下の定理が用いられる。 {{定理|(ラグランジュの未定乗数法)}} <math>f(x, y), g(x, y)\in C^1</math>として<math>f(x, y)</math>が点<math>(a, b)</math>で拘束条件<math>g(x, y)=0</math>の下での条件付極値をとるとき、 :<math>L(x, y, z)=f(x, y)-zg(x, y)</math> と置くと :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\times\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math> ならば :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math> を満たす実数<math>z=\lambda</math>が存在する。 {{定理終わり}} この<math>L</math>を'''ラグランジュ関数'''、<math>\lambda</math>を'''未定乗数'''（ラグランジュ乗数）という。未定乗数法では、条件付極値の問題を「ラグランジュ関数の無条件極値問題」に帰着している。 各偏導関数を計算すると、連立方程式 :<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math> に帰着される。 *証明 :<math>(a, b)</math>を極値点、<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>とする。 :陰関数定理より<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>g(x, y)=0</math>の<math>C^1</math>級陰関数<math>y=\phi(x)</math>が存在し、<math>\phi'(x)=-\frac{\frac{\partial{g}}{{\partial{x}}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}</math>となる。 :<math>h(x):=f(x, \phi(x))</math>とするとフェルマーの定理より<math>0=h'(a)=f_x(a, b)+f_y(a, b)\phi'(a)=f_x(a, b)-f_y(a, b)\frac{g_x(a, b)}{g_y(a, b)}</math> :ここで<math>\lambda:=\frac{f_y(a, b)}{g_y(a, b)}</math>と置くと<math>f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \iff \frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>を得る。 :定義した<math>\lambda</math>より<math>f_y(a, b) =\lambda g_y(a, b) \iff\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>。 :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>としても同様。 :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>は拘束条件から直ちに満たされる。 :よって実数<math>\lambda</math>が存在して定理の式が満たされる。// ベクトル解析の記法で書くと、未定乗数法の連立方程式は<math>\mathrm{grad} f=\lambda \mathrm{grad} g</math>と表される。これは幾何学的には、「曲面<math>z=f(x, y)</math>と曲面<math>g(x, y)=0</math>の共有点での接平面の法線ベクトルが平行」という条件である。 2曲面の共有点の<math>z</math>座標を<math>c</math>としたとき、曲面を<math>z=c</math>で切った切り口の曲線は<math>c=f(x, y), g(x, y)=0</math>であり、これらは曲面と同じ共有点を持つ。共有点で2曲線が交わるとすると「連続微分可能」という仮定より2曲面は「切れ目なく」繫がっているので、十分小さい<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線<math>c\pm\varepsilon=f(x, y)</math>は<math>g(x, y)</math>と共有点を持つ。このとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で<math>c=f(a, b)</math>より大きい値も小さい値もとるので、<math>(a, b)</math>は極値点ではない。よって、2曲線は極値点<math>c_0=f(a, b)</math>に於いて接していなければならない。 このとき、曲線の式<math>c_0=f(x, y), g(x, y)=0</math>の両辺を<math>x</math>で微分することで<math>\begin{cases} f_x\cdot1+f_x\cdot\frac{dy}{dx}=0 \\ g_x\cdot1+g_y\cdot\frac{dy}{dx}=0 \end{cases}</math>を得、接ベクトル<math>(1, \frac{dy}{dx})</math>に直交する平行な2ベクトル<math>(f_x, f_y), (g_x, g_y)</math>をそれぞれの曲線の法線ベクトルにとることができる。よって未定乗数<math>\lambda</math>が実数として存在する。 フェルマーの定理と同様に未定乗数法の式を満たすことは条件付極値であるための必要条件なので、十分性の確認は必須である。逆に、未定乗数法は条件付極値の候補となる点を与える（未定乗数<math>\lambda</math>は「存在する」だけでこの先一切使わないが、先述のように幾何学的意味が存在する）。 先程紹介したヘッセ行列は「無制約の場合」の議論だったので今回は用いることができない。 そこで、以下のように表示される'''境界付ヘッセ行列'''（縁付ヘッセ行列）が判定に使用される（代入記号は省略した）。 :<math>\mathbf{H}_B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{y}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math> 今回の場合、<math>\det \mathbf{H}_B>0</math>なら条件付極小値、<math>\det \mathbf{H}_B<0</math>なら条件付極大値と判定される。 但し、3変数以上や拘束条件が増えたときの拡張は非常に煩雑で複雑なものとなるので、ここでは紹介しない。 連立方程式<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math>を更に変形する。 :第三式は拘束条件そのものなので除外する。 :第一式・第二式を行列表現に直して :<math>\begin{pmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :線型代数で扱った定理「斉次連立一次方程式が非自明解を持つ<math>\iff</math>表現行列が特異行列」より、 :<math>\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}=0</math> よって、未定乗数<math>\lambda</math>を求めなくても未定乗数法を適用できる。 この変形は2変数1拘束条件の場合のみ成り立ち、一般化はできない。 ==重積分== 本項では、微分と積分の双対性及び[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]・[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]への接続を鑑みて、一般書では深く扱わない（定義すらしないことの多い）偏積分を冒頭で扱うことにする。 ===偏積分=== 偏微分と同様にして、二変数<math>f(x, y)</math>の片方の変数を固定したときの積分を考える。 <math>xyz</math>空間で<math>y</math>を固定したとき、<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>での積分を考える。直観的には、一変数での積分（'''常積分'''）のリーマン和を用いた定義を、<math>zx</math>平面でそのまま行えば良いことになる。 具体的には、 :<math>\int_{a}^{b} f(x, y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k, y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） と定義する。 これを<math>f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する'''偏積分'''という。幾何学的には、<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積に対応する。偏微分と異なり、積分記号は常積分と同じものを用いる。 <math>y</math>に関する偏積分は同様に ::<math>\int_{c}^{d} f(x, y) dy := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x, y_k) \Delta y</math>（<math>\Delta y = \frac{d-c}{n}, y_k = c + k\Delta y</math>） と定義され、幾何学的には<math>xyz</math>空間を<math>x</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>y</math>軸、直線<math>y=c, y=d</math>の囲む符号付き面積に対応する。 定積分に関して、一変数と同様に :<math>\int_a^b f(x, y)dx+\int_b^c f(x, y)dx=\int_a^c f(x, y)dx</math> :<math>\int_b^a f(x, y)dx=-\int_a^b f(x, y)dx</math> :<math>\int_a^a f(x, y)dx=0</math> が成立することは定義から容易に示される（<math>y</math>に関しても同様）。 また、積分の平均値の定理 :<math>\exist \xi \in (a, b), \quad f(\xi, y)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x, y)dx</math> も同様に成立することが判る（<math>y</math>に関しても同様）。 不定積分は、一変数と同様に<math>F(x, y):=\int_u^x f(t, y)dt+C</math>と定義される（<math>F(u, y)=0</math>とする）。但し、<math>x</math>に関する偏積分では<math>y</math>は定数と見做されるので、'''積分定数<math>C</math>は実際には<math>y</math>の関数<math>C(y)</math>である'''ことに注意が必要である。<math>y</math>に関する不定積分でも同様に、積分定数は<math>x</math>の関数<math>C(x)</math>である。<math>\int_u^x f(t, y)dt+C(y)</math>は<math>\int f(x, y)dx+C(y)</math>と略記する 一般に、偏積分の積分定数は積分変数以外の変数を全て含む関数である。 一変数の場合と同様に、 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math>（微分積分学の基本定理） が成立する。 *証明 :<math>F(x, y):=\int_a^x f(t, y)dt</math>とする。 :先程述べた定積分の性質より :<math>F(x+h, y)-F(x, y) = \int_a^{x+h} f(t, y)dt - \int_a^x f(t, y)dt = \int_a^{x+h}f(t, t)dt+\int_x^a f(t, y)dt =\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt</math>であるが、 :積分の平均値の定理より<math>\xi\in(x, x+h)</math>が存在して :<math>\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt=hf(\xi, y)</math> :ここで<math>h\to0</math>の極限をとると :<math>\lim_{h\to0} \{F(x+h, y)-F(x, y)\}=\frac{\partial{F}}{\partial{x}},\quad \lim_{h\to0} hf(\xi, y)=f(x, y)</math> :なので :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int_a^x f(x, y)dx=f(x, y)</math> :一般の不定積分<math>\int f(x, y)dx=\int_u^x f(t, y)dt + C(y)</math>に関しても積分定数<math>C(y)</math>は<math>x</math>の関数でないので偏微分すると0となり、 :結局は :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math> :が成り立つ。// 則ち'''偏積分は偏微分の逆演算'''であり、被積分関数を偏導関数とみて元の関数を復元することで原始関数が求まるので偏積分が計算できることがわかる。 一変数関数で成り立った性質の多くはほぼそのまま成立する。以下、<math>y</math>に関しても同様なので<math>x</math>に関する偏積分で記述する。また、定積分表示で書くが不定積分でも同様である。 :<math>\int_a^b \{\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)\}dx=\alpha\int_a^b f(x, y)dx+\beta\int_a^b g(x, y)dy</math>（線型性） :<math>\int_a^b f(x, y)\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dx=\left[ f(x, y)g(x, y) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_{a}^b \frac{\partial{f}}{\partial{x}}g(x, y)dx</math>（部分積分法） :<math>u=\phi(x)</math>として<math>\int_a^b f (\phi(x), y) \frac{du}{dx} dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u, y) du</math>（置換積分法） :<math>y=c, x\in[a, b]</math>で<math>f(x, c)\leq g(x, c)</math>ならば<math>\int_a^b f(x, c)dx\leq \int_a^b g(x, c)dx</math>（定積分不等式） 偏積分の微分に関して、以下の定理が成り立つことが知られている。 {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅰ)}} 2変数関数<math>f(x, y)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y)\in I \times[a(x), b(x)]</math>で連続且つ<math>a(x), b(x)</math>が常微分可能ならば :<math>\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, y)dy\right)=\left[f(x, y)\frac{dy}{dx}\right]_{y=a(x)}^{y=b(x)}+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> {{定理終わり}} {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅱ)}} 3変数関数<math>f(x, y, z)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y, z)\in I_x \times I_y \times[a(x, y), b(x, y)]</math>で連続且つ<math>a(x, y), b(x, y)</math>が<math>x</math>で偏微分可能ならば :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} f(x, y, z)dz\right)=\left[f(x, y, z)\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right]_{z=a(x, y)}^{z=b(x, y)}+\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dz</math> {{定理終わり}} Ⅰに於いて<math>a(x)=a, b(x)=x</math>としてみよう。すると、 :<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(x, y)dy = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> である。 これは、偏微分に関する微分積分学の基本定理を「微分変数と積分変数が異なる場合」に拡張したものと見ることができる。更に、<math>f(x, y)=g(y)</math>なら<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0</math>より常微分に関する微分積分学の基本定理に一致する。 則ち、ライプニッツの積分定理は常微分・偏微分双方の意味で「微分積分学の基本定理の拡張」と捉えることができる。 Ⅰ・Ⅱとも偏微分方程式やベクトル解析で当たり前のように用いられるので、覚えておいて損はないだろう。 ===重積分の定義=== 次に、連続関数<math>f(x, y)</math>の全ての変数が動く場合の積分に就いて考える。 変数の組<math>(x, y)</math>が動く範囲（'''積分領域'''）<math>D</math>は、点<math>(x, y)</math>の軌跡と考えることで<math>xy</math>平面上の領域として表現することができる。 先ずは、簡単な場合として矩形領域<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>の場合を考える。これは、<math>z=f(x, y)</math>を<math>xy</math>平面へ<math>z</math>方向から射影した投影面が矩形ということである。 なお、重積分の文脈では、積分領域を直積集合で表すよりも<math>D=\{(x, y)\mid a\leq x \leq b, c\leq y \leq d\}</math>や<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>のような記法が好まれる。 <math>[a, b], [c, d]</math>をそれぞれ<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_{m-1}<x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots<y_j<\cdots<y_{n-1}<y_n=d</math>と等分割し、<math>D_{ij}:=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]</math>とする。この矩形領域から代表点<math>(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>をとるとき、各<math>D_{ij}</math>を底面・<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>を高さとする長方形の体積は区間<math>[x_{i-1}, x_i],[y_{j-1}, y_j]</math>の幅を<math>\Delta x_i, \Delta y_j</math>として<math>V_{mn}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math>と表される。これは、'''リーマン和'''を2変数関数に拡張したものである。 分割を限りなく細かくしたときの極限<math>\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} V_{mn}</math>が収束するならば、<math>f(x, y)</math>は<math>D</math>で'''二重積分可能'''といい、その極限値を<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と表して<math>f(x, y)</math>の<math>D</math>に関する'''二重積分'''という。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math> 次に、<math>D</math>が有界領域の場合を考える。 <math>D</math>は有界であるから、<math>D</math>を包含するような矩形領域<math>\tilde{D}\subset\mathbb{R}^2</math>が必ず存在する。 このとき、<math>D</math>上の二変数関数<math>f(x, y)</math>を次のように拡張する。 :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} f(x, y) & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> このとき、<math>\tilde{D}\setminus D</math>に於ける<math>\tilde{f}(x, y)</math>の値は<math>0</math>なので重積分の計算結果に影響せず、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x, y)dxdy</math> として差し支えない（右辺は先ほど定義した「矩形領域での二重積分」である）。 <math>D</math>が有界領域でない場合は後述する。 重積分では「不定積分」に相当するものを考えないことが多い。これは、積分定数の自由度が比較的高いので偏積分より扱いにくくなるためである。 <math>f(x, y)=1</math>という定数関数の重積分を考える。先ずは矩形領域に就いて考える。 リーマン和は<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})=1</math>より<math>V_{mn}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \Delta x_i \Delta y_j</math>であるが、<math>\Delta x_i \Delta y_j</math>は矩形領域<math>D_{ij}</math>の面積に等しい。よってその総和<math>V_{mn}</math>は矩形領域<math>D</math>の面積である。これは分割がどれだけ細かくなっても変わらないので、結局は<math>|D|=\iint_D 1 dxdy</math>である。このとき、1を省略して<math>\iint_D dxdy</math>と表す。 <math>D</math>が有界領域であるとき、<math>D</math>を包含する矩形領域<math>\tilde{D}</math>に関して :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} 1 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> であり、<math>\tilde{D}</math>での重積分の値は同様の議論により結局は有界領域<math>D</math>の面積に等しくなる。 一変数の積分では<math>\int_a^b dx = b-a</math>（区間の幅）であったが、二変数の重積分では<math>\iint_D dxdy= |D|</math>（領域の面積）と判った。三変数でも、同様の議論により<math>\iiint_V dxdydz = |V|</math>（領域の体積）となる。一般に、1の<math>n</math>重積分は積分領域となる図形の大きさ（<math>n</math>次のルベーグ測度）に等しい。ベクトル解析で扱う線積分・面積分・体積分でも同様の事項が成り立つ。 [[測度論]]では、逆にルベーグ測度を1の重積分として定義する流儀もある。 ===累次積分=== 次に、重積分の具体的な計算方法に就いて見ていく。 先程見たように、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>は積分領域<math>D</math>と曲面<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体の体積と考えられる。 数学Ⅲで扱ったように、立体の体積は「立体の断面積を表す関数を積分」すれば求めることができる。つまり、「立体をある平面で切ったときの断面積」さえ求まれば計算することができると考えられる。 実は、この断面積は偏積分で与えられる。 偏積分<math>h(y)=\int_a^b f(x, y)dx</math>は「<math>D=[a, b]\times I</math>と<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体を<math>y</math>を固定した平面で切ったときの断面積」なので、これを<math>y</math>に関して区間<math>I</math>で常積分してやれば「断面積の積分=体積」が求まる。 この話を具体的に見ていく。 先ずは、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>という矩形領域を考える。 <math>y</math>を固定した平面で切った断面積は<math>\int_a^b f(x, y)dx</math>であり、この断面積を<math>[c, d]</math>で積分してやればいいので、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)dx \right) dy</math>である。 <math>x</math>を固定した平面で切った断面積で考えても同じであり、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)dy \right)dx</math>。 なお、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>且つ<math>f(x, y)=g(x)h(y)</math>と分離できる場合は<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \left( \int_a^b g(x) dx\right)\left( \int_c^d h(y)dy \right)</math>と、非常に単純な計算で求まる。 一般の有界領域<math>D</math>に関しては、「<math>(x, y)</math>が<math>D</math>内の全ての点を1点ずつ重複なく通る」ように<math>x, y</math>をそれぞれ動かす必要がある。そのような動かし方をいきなり定めるのは困難であるため、以下のような場合を考える。 '''定義が区分的でない'''関数<math>\phi_1(x), \phi_2(x)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\}</math>と表され、'''疆界が単純閉曲線'''^※である積分領域を'''<math>x</math>-単疆界領域'''<!-- 『例から学ぶ微分積分』馬場裕・笹尾哲・山本光・山本勇(共立出版、2022年)より -->（<math>x</math>-単線領域）と呼ぶことにする（統一名称は存在せず、書籍によって様々に呼ばれる）。同様に、定義が区分的でない関数<math>\psi_1(y), \psi_2(y)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>と表され、疆界が単純閉曲線である積分領域を'''<math>y</math>-単疆界領域'''（<math>y</math>-単線領域）と呼ぶ。 ※「単純閉曲線」とは、「'''閉曲線'''（端点(始点と終点)が一致する曲線）であって自己交叉しない（端点以外で自分自身と交わらない）」曲線のことである。[[位相幾何学]]の知識を用いると単疆界領域は「単純閉曲線で囲まれた単連結領域」と言い換えられる。 <math>x</math>-単疆界領域では例えば<math>x=x_0</math>を固定すると<math>y</math>を<math>\phi_1(x_0)</math>から<math>\phi_2(x_0)</math>まで動かしたときに点<math>(x, y)</math>は線分<math>x=x_0 (\phi_1(x_0)<y<\phi_2(x_0))</math>上の点を一回ずつ通る。次に、<math>x</math>を<math>a</math>から<math>b</math>まで動かせば<math>(x, y)</math>は<math>D</math>内の全ての点を重複なく通ったことになる。 よって、矩形領域と同様の議論で二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\} \right)</math>は次のように計算される。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> <math>y</math>-単疆界領域でも同様に二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\} \right)</math>は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx \right) dy</math> と計算される。 このように、重積分を偏積分の常積分で表したものを'''累次積分'''（逐次積分、反復積分）という。見た目上は常積分の反復であることが名前の由来である。3変数以上の場合、最外部の積分のみ常積分で残りは積分変数以外を固定した偏積分である。 昔からの慣習として、累次積分の先に計算する部分を右側に纏めて :<math>\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy</math> のように表す場合がある。 これは :<math>\left(\int_a^b dx\right) \left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy\right)</math> を意味しないので注意。 本項では、混乱を防ぐため通常の記法で書く。 なお、積分区間を更に詳しく明示した :<math>\int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> という記法も存在する。 単疆界領域でない領域の場合、疆界となる関数が切り替わる点（疆界点）で領域を分割することで単疆界領域になるので、それぞれの単疆界領域での重積分の和を計算すればよい。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \sum_i \iint_{D_i} f(x, y)dxdy</math> :例) :<math>x\in[-1, 1], \phi_1(x)=0, \phi_2(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ -x+1 & (x\geq0) \end{cases}</math>のとき、 :<math>D=D_1 \cup D_2</math> :<math>D_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} -1 \leq x < 0 \\ 0 \leq y \leq x+1 \end{array} \right\}</math> :<math>D_2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math> :とすれば良い。 二重積分を累次積分に直すとき、<math>D</math>の図を書くことで疆界となる区分的でない関数を正しく導くことができる。 なお、重積分でも線型性と定積分不等式が成り立つ。 :<math>\iint_D (\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) dxdy = \alpha \iint_D f(x, y)dxdy + \beta \iint_D g(x, y)dxdy</math> :<math>f(x, y)\leq g(x, y)\quad\mathrm{at}\, D \implies \iint_D f(x, y)dxdy \leq \iint_D g(x, y)dxdy</math> ===積分順序の変更=== 積分領域が<math>x</math>-単疆界領域且つ<math>y</math>-単疆界領域であるならば、累次積分で<math>x, y</math>のどちらを先に計算しても結果は同じである。単疆界領域でなくとも、単疆界領域に分割した重積分の和を考えれば同じく積分順序を交換できる。 一般に、次が成り立つ。 {{定理|(フビニの定理)}} 多変数関数が積分領域<math>D</math>で重積分可能ならば、累次積分の積分順序は可換である。 {{定理終わり}} 但し、'''積分順序を交換すると各積分の積分区間が変わる'''ことに注意が必要である。 例えば、三角形領域<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math>に於ける<math>f(x, y)=xy^2</math>の重積分を考える。 <math>D</math>は<math>x</math>-単疆界領域なのでこの重積分は累次積分により :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-x+1} xy^2 dy \right)dx</math> :<math>=\int_0^1 x\left[\frac{1}{3}y^3\right]_{1}^{-x+1} dx</math> :<math>=\frac{1}{3}\int_0^1 x(-x^3+3x^2-3x)dx</math> :<math>=\frac{1}{3} \left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-x^3 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> と計算される。 <math>D</math>の表式を今度は<math>y</math>-単疆界領域となるように変形する。 :<math>y=-x+1\iff x=-y+1</math> :<math>0\leq x \leq 1 \iff 0 \leq y \leq 1</math> :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq -y+1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> 同様に重積分を計算すると :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-y+1} xy^2 dx \right)dy</math> :<math>=\int_0^1 y^2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{-y+1}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^1 y^2(y^2-2y)dy</math> :<math>=\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}y^5-\frac{1}{2}y^4 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> このように、正しく積分順序を交換すれば同じ結果を得る。 また、以下のように積分順序を交換することで計算が容易となる場合がある。 {{演習問題|<math>\int_{0}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x dy \right)dx</math>を積分順序を交換することで計算せよ。| 二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と見て積分領域<math>D</math>を求めると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \end{array} \right\}</math> 則ち、<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2 \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array} \right\}</math>という半円領域である。<br>これを<math>y</math>-単疆界領域となるように変形すると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \\ -1 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> よって累次積分に直して :<math>\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{-1}^{1} \left( \int_0^{\sqrt{1-y^2}} x dx \right)dy</math> :<math>=\int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1-y^2)dy</math> :<math>=\int_0^1 (1-y^2)dy</math> :<math>=\frac{2}{3}</math>// }} ===変数変換=== 常積分では置換積分という手法により積分変数を別の変数に変換することができた。重積分でも同様に変数変換を考えることができる。 <math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \end{cases}</math>という変数変換によって積分領域が<math>(s, t)\in E</math>から<math>(x, y)\in D</math>に写されるとする。 このとき、全単射な写像<math>\Gamma:E\to D</math>が存在すれば変換前後で重積分の計算が可能である。 一変数の置換積分では<math>dx</math>が<math>\frac{dx}{dt}dt</math>に置き換わった。同様に<math>dxdy</math>が○○倍の<math>dsdt</math>に置き換わると予想されるが、この○○に入るのは何であろうか？ <math>dx, dy</math>はそれぞれ<math>\phi(s, t), \psi(s, t)</math>の<math>s, t</math>を微小変化させたときの変化量、則ち全微分と考えられるので、 :<math>dx=\frac{\partial{\phi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\phi}}{\partial{t}}dt</math> :<math>dy=\frac{\partial{\psi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}dt</math> これを一次変換の記法で表すと :<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \end{pmatrix}</math> である。 <math>(x, y)</math>の組と<math>(s, t)</math>の組がそれぞれ一次独立であるとすると、<math>dxdy</math>と<math>dsdy</math>はそれぞれ<math>D, E</math>での微小矩形の面積を表すと解釈でき、更に行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>は正則である。 ここで、一次変換による図形の拡大率は表現行列の行列式の絶対値だったので、 :<math>dxdy = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right|dsdt</math> が成り立つ。 則ち、重積分の変数変換の表式は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_E f(\phi(x, y), \psi(x, y)) \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right| dsdt</math> である。 行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>を'''ヤコビ行列'''（ヤコブ行列）と言い、<math>\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>と略記する。ヤコビ行列式<math>\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>を'''ヤコビアン'''という。 二次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x=s+t \\ y=s-t \end{cases}</math>（'''斜交座標'''）や<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>（'''円座標'''）が挙げられる。後者は特に、円が絡む積分領域のときに真価を発揮する。 三次元以上でも同様に全微分を一次変換表記することでヤコビ行列を得、それが変数変換の変換レートとなる。 三次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x= t+u \\ y=u+s \\ z=s+t \end{cases}</math>（'''ラヴィ変換'''）、<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}</math>（'''円筒座標'''）、<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z= r\cos\theta \end{cases}</math>（'''球面座標'''）が挙げられる。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x^2+y^2, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}</math>のとき、変数変換により<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\begin{cases} x=as \\ y=bt \end{cases}</math>と変換すると :<math>x^2+y^2=a^2s^2+b^2t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| s^2+t^2 \leq 1 \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\right|=ab</math> より :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy=\iint_E \{(a^2s^2+b^2t^2)ab\}dsdt</math> :<math>=a^3b\iint_E s^2dsdt + ab^3\iint_E t^2dsdt</math> 更に<math>\begin{cases} s=r\cos\theta \\ t=r\sin\theta \end{cases}</math>と変換すると :<math>s^2=r^2\cos^2\theta,\quad t^2=r^2\sin^2\theta</math> :<math>F = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \tau \end{array} \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(s, t)}}{\partial{(r, \theta)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\right|=r</math> より :<math>\iint_E s^2 dsdt = \iint_F \{(r^2\cos^2\theta) r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \cos^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x+\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> :<math>\iint_E t^2dsdt=\iint_F \{(r^2\sin^2\theta)r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \sin^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x-\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> よって最終的に :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy = a^3b\cdot\frac{\pi}{4}+ab^3\cdot\frac{\pi}{4}</math> :<math>=\frac{ab\pi}{4}(a^2+b^2)</math>// }} ここで、「極座標なのに<math>r=0</math>を考えてる」「<math>\theta=0</math>と<math>\theta=\tau</math>が点として重複してる」からおかしいと思うだろうが、実は問題ないことが示される。詳細は最後の節で扱う。 ===重積分の応用=== 重積分の応用例の一つは、体積の求積である。 先程述べたように、<math>\iiint_V dxdydz</math>は立体<math>V</math>の体積に等しい。数学Ⅲで習ったように「一変数関数の定積分」として求めようとすると、「いずれかの座標軸に垂直な平面で切った断面を考えてその面積を式で表し、座標軸で積分する」という手続きを要する。これは空間図形の素養が必要なので一般に苦しい。しかしながら、三重積分として計算すると見通しが立ちやすく、ある意味機械的な計算で求積可能である。 ここで、<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ f(x, y) \leq z \leq g(x, y) \end{array} \right\}</math>のように表されるとする。<!-- \middle|が使えないから長さが足りない --> すると、三重積分は :<math>\iiint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_{f(x, y)}^{g(x, y)}dz \right) dxdy</math> のように二重積分に帰着することが可能である。 勿論、二重積分が先になるように計算したり最初から3重の累次積分に直接直しても構わない。 {{演習問題|球<math>x^2+y^2+z^2\leq1</math>と円柱<math>x^2+y^2\leq x</math>の共通部分のうち、<math>y\geq0, z\geq0</math>にある部分の体積を求めよ。| 底面に於いて、<math>x^2+y^2\leq x, y\geq 0, z=0</math>を満たす点<math>(x, y, z)</math>をどこに固定しても<math>0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}</math>が成り立ち、 :<math>\iint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dz \right)dxdy</math> :<math>=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\quad \left(D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ y\geq 0 \end{array} \right\}\right)</math> 円座標に変換すると :<math>\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{1-r^2}</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq \cos\theta \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math> :<math>dxdy=rdrd\theta</math> よって :<math>\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=\iint_E r\sqrt{1-r^2}drd\theta</math> :<math>= \int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( \int_0^{\cos\theta} r\sqrt{1-r^2} \right) d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\theta-1)d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{2}\right)</math>（<math>\because</math>ウォリスの公式） :<math>=\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}</math>// }} 重積分のもう一つの応用例は、曲面の表面積（'''曲面積'''）である。 詳細な議論はベクトル解析の頁に任せ、結果だけ書いておく。 {{定理|(曲面積Ⅰ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>f(x, y)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:z=f(x, y)\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> {{定理終わり}} この式は[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|一変数関数に於ける曲線の長さの式]]<math>L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>の一般化である。 なお、<math>\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}</math>は「全微分」節で紹介した点<math>(x, y)</math>に於ける曲面<math>S</math>の接平面の法線ベクトル<math>\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math>の大きさに等しい。 発展として、曲面が<math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}</math>と媒介変数表示された場合の表式は以下のようになる。 {{定理|(曲面積Ⅱ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>\phi(s, t), \psi(s, t), \omega(s, t)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial{y}}{\partial{s}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}} -\frac{\partial{y}}{\partial{t}}\frac{\partial{z}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{z}}{\partial{s}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} -\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\frac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{x}}{\partial{s}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} -\frac{\partial{x}}{\partial{t}}\frac{\partial{y}}{\partial{s}} \right)^2}dsdt</math> {{定理終わり}} こちらは媒介変数表示された一変数関数に於ける曲線の長さの式<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math>の一般化である。 <math>\begin{cases} x=x \\ y=y \\ z = f(x, y) \end{cases}</math>とすればⅠの式に一致する。 ===広義重積分=== 重積分でも広義積分に相当するものを考えたい。しかし、序論から見てきたように二変数関数の変数の組<math>(x, y)</math>は<math>xy</math>平面上をありとあらゆる方向に無数の軌道で動くことができる。このため、広義積分を上手く定義できるとは一般に限らない。ここでは、上手く定義できる場合を見ていく。 先ずは、非有界領域での重積分を考える。 <math>xy</math>平面上の有界とは限らない領域<math>D</math>に対し、次を満たす有界領域<math>D_n</math>を考える。 #<math>D_1\subset D_2\subset D_3\subset \cdots \subset D_n \subset D</math> #<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D</math> #<math>\forall S(\mathrm{is\, bounded}) \subset D,\quad \exist n\in\mathbb{N},\quad S\subset D_n</math> このような有界領域の列<math>\{D_n\}</math>を<math>D</math>の'''近似増加列'''という。 <math>\{D_n\}</math>の選び方に依らず<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math>が収束するとき、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{n\to\infty} \iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math> と定義する。これを'''広義二重積分'''という。 次に、積分領域が特異点<math>\alpha</math>を含む場合を考える。 このときは、「<math>\alpha \notin D_n</math>（近似増加列は特異点を含まない）」且つ「<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D\setminus\{\alpha\}</math>（近似増加列の和集合が積分領域から特異点を除いたものに等しい）」且つ「<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right)^-=D</math>（近似増加列の閉包が積分領域に等しい）」となるように近似増加列<math>\{D_n\}</math>をとり、同様に極限値として広義二重積分を定義すればよい。 次の定理が成り立つ。 {{定理|}} 多変数関数が非負関数または非正関数であるとき、ある<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分が収束するならば任意の<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分は収束する。 {{定理終わり}} ここから、「広義重積分が収束するような簡単な近似増加列を見つければよい」という結論に至る。 広義重積分の有名な使用例を以下に示す。 *例題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2\leq n^2 \\ x\geq0, y\geq0 \end{array} \right\}</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy</math>を計算せよ。 *解答 :<math>e^{-(x^2+y^2)}</math>は明らかに非負関数であり、<math>\{D_n\}</math>が近似列であることも自明である。 :円座標に変換して<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}</math>、<math>E_n=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r\leq n \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math>、<math>dxdy=rdrd\theta</math> :<math>\iint_{D_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\iint_{E_n}re^{-r^2}drd\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left(\int_0^n re^{-r^2}dr \right)d\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^n d\theta</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( 1-e^{-n^2}\right) d\theta</math> :<math>=\frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right)</math> :よって広義重積分の値は :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\lim_{n\to\infty} \frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right) = \frac{\tau}{8}</math>// ここで<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-x^2}e^{-y^2}</math>であり、、<math>x, y</math>は独立に半開区間<math>[0, \infty)</math>を動くので矩形領域の場合と同様に分離することができる。則ち、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}dy \right)</math> 右辺に於いて積分変数のラベルは関係ないので<math>y</math>を<math>x</math>に取り換えると、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2</math> ここで左辺に先程求めた値を代入すると :<math>\frac{\tau}{8}=\left( \int_0^\infty e^{-x^2}dx \right)^2</math> 両辺正なので平方根をとって :<math>\sqrt{\frac{\tau}{8}}=\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math> 則ち、 :<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> 左辺の被積分関数は非負なので<math>\int_0^\infty |e^{-x^2}|<\infty</math>より絶対収束し、偶関数・奇関数の対称積分の性質を広義積分でも適用できる。<br> よって :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}</math> こうして、ガウス積分の値が求まった。 *発展問題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D'_n\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{n} \end{array} \right\}</math>として<math>D_n=D\setminus D'_n</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D \frac{dxdy}{x+y}</math>を計算せよ。 [[カテゴリ:微分積分学|たへんすうかんすうのひせきふん]] 08mzvpn3hj2f2nxklbkbw0a3q4yr8aq 301891 301889 2026-07-28T15:54:58Z ~2026-41547-90 92136 /* 陰関数 */ 301891 wikitext text/x-wiki {{Advanced|解析学基礎/ベクトル解析}} ==序論== ===多変数関数の定義=== 独立変数が2つであるような関数<math>z=f(x, y)</math>を'''二変数関数'''という。独立変数が3つであるような関数<math>w=f(x, y, z)</math>を'''三変数関数'''という。一般に、独立変数が<math>n</math>個であるような関数<math>y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を'''<math>n</math>変数関数'''という。<math>n</math>が2以上であるとき、'''多変数関数'''という。 「関数」という語の定義から、多変数関数は（定義域・値域に於いて）「独立変数の組の各々に対して対応する従属変数が必ず存在する」「独立変数の組を一意に定めたら従属変数が一意に定まる」という性質を満たす。 なお、ここで独立変数の組<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の点と捉えると、多変数関数とはベクトルをスカラーへ写す写像（'''スカラー関数'''）<math>F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>と考えることができる。拠って、以下で扱う話題はベクトル関数（'''[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]'''）で一般化され得る。 一般に、<math>n</math>変数関数のグラフは<math>n+1</math>次元空間ではじめて描画され得る。そのため、多変数関数の議論では（簡単な場合を除き）「グラフを考えて図形的に解釈する」手法はあまり通用しない。 多変数関数の考え方は変数が幾つであっても本質的には同じなので、以下の議論は全て(最も基本的な)二変数関数で扱うものとする。 ===多変数関数の極限=== 二変数関数の極限は、定性的には一変数関数と同様にして以下のように定義される。 :<math>z=f(x, y)</math>に於いて<math>(x, y)</math>を実定数の組<math>(a, b)</math>に<math>(a, b)</math>とは異なる値を取りながら限りなく近づけたとき、<math>z</math>が一定値<math>L</math>に近づくならば「<math>(x, y)\to(a, b)</math>のとき<math>z</math>は<math>L</math>に'''収束'''（'''収斂'''）する」といい、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=L</math>のように書く。 収束する値を'''極限値'''、収束しない場合を'''発散'''というのも同様である。 なお、ここで<math>(x, y), (a, b)</math>を<math>xy</math>平面上の点と見れば位置ベクトルを用いて :<math>\lim_{\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right)}</math> のように書くことができる。また、 :<math>\lim_{\scriptstyle x \to a \atop \scriptstyle y \to b}</math> のような書き方も許容される。 但し、 :<math>\lim_{x \to a, y\to b}</math> のような書き方は'''反復極限'''（各変数を独立に飛ばすような極限） :<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b}</math> と受け止められるので推奨しない（この場合は<math>x</math>と<math>y</math>を同時に飛ばしているので）。 同一値に飛ばす場合は :<math>\lim_{x, y\to c}</math> のような書き方も見られる。 ここからは、二変数関数の極限を定量的に考えていく。 一変数関数の場合を復習しておくと、「関数<math>y=f(x)</math>が<math>x \to a</math>で有限値<math>L</math>に収束する」とは<math>x \neq a</math>とすると<math>\varepsilon-\delta</math>論法を用いて :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall x \in \mathbb{R} \left( |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon \right)</math> で定義された。 二変数関数でも同様な定義にしたいので、<math>||</math>を適切に取り換える必要がある。高校数学を思い返してみると、<math>||</math>の意味は「実数の絶対値」から「ベクトル（複素数）の大きさ」に拡張されていた。つまり、先程と同様に変数の組<math>(x, y)</math>を<math>xy</math>平面上の点を表す位置ベクトルと見ればよい（より一般にはベクトル空間のノルム<math>\|\|</math>を用いる）。 つまり、<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies |f(x, y)-L| < \varepsilon \right)</math> とすればよい。 一変数の場合、<math>x \to a</math>の近づけ方は<math>x \to a^+</math>（右側極限）と<math>x \to a^-</math>（左側極限）の二通りしかなかった。しかし、二変数の場合は<math>xy</math>平面上のありとあらゆる方向からあらゆる経路で近づくことが考えられる。 つまり、二変数関数の収束は「2つの片側極限が一致」すれば良かった一変数の場合に比べ遙かに厳しい条件であることがわかる。 先程「反復極限のように表してはいけない」と述べたのは、反復極限では「どのような近づけ方であっても一意に収束する」ことが示せないからである。 それでは、実際に二変数関数の極限を求めるにはどうしたらよいであろうか？ <math>\varepsilon - \delta</math>法による上述の定義では、「全ての近づき方に就て一意に収束する」ことを言うしかないが、近づけ方は無数に考えられるので実務的に不可能である。ここで、「直線的に近づく」場合に限っては無数にある近づき方を纏めて判定できる方法がある。 それは、'''二次元極座標'''（'''円座標'''）を利用する方法である。 高校数学の復習だが、極座標とは極を原点に取ったときに変数変換<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>で定まる座標系だった。ここで<math>r = \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\|, \theta = \arctan \frac{y}{x}</math>である。 例えば<math>(x, y)\to(0, 0)</math>の極限を考えるとき、<math>g(r, \theta)=f(x, y)</math>と変換すると上記の関係式から<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)=\lim_{r\to0}g(r, \theta)</math>と表すことができる。ここで<math>g(r, \theta)</math>を計算したときに<math>r</math>が消えた場合、<math>g</math>は<math>\theta</math>にのみ依存するので<math>r\to0</math>の極限は存在しないと考えることに注意。 二変数関数でも極限に関する線型性などの性質はそのまま成り立つ。 *例題 **極限<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2}</math>を求めよ。 *解答 **<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2} = \lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3\cos^3\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0}\frac{r\sin\theta\cos^3\theta}{r\cos^3\theta+\sin^2\theta}=\frac{0}{\sin^2\theta}=0</math> ***なお、<math>(x, y)\neq(0, 0)</math>より<math>\sin\theta=0</math>や<math>\cos\theta=0</math>、つまり<math>\theta=\frac{n}{2}\pi(n\in\mathbb{Z})</math>の場合は除外できるので<math>\frac{0}{\sin^2\theta}</math>は不定形ではない。 ==偏微分== ===連続性=== 二変数関数の連続性は、一変数関数と同様である。 :*二変数関数<math>z=f(x, y)</math>が「<math>(a, b)</math>で連続」とは、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math>が成り立つこと。 :*<math>(a, b)</math>で連続な<math>f(x, y), g(x, y)</math>に就て、<math>g(a, b)\neq0, c=\mathrm{const}.</math>とすると :::<math>cf(a, b), f(a, b)\pm g(a, b), f(a, b)g(a, b), \frac{f(a, b)}{g(a, b)}</math> ::は全て<math>(a, b)</math>で連続。 :*任意の<math>(a, b)\in\mathbb{R}^2</math>で連続ならば「<math>\mathbb{R}^2</math>で連続」である。 ===偏微分の定義=== <math>z=f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>近傍での変化の様子を調べるとき、極限の節で述べたように<math>(x, y)</math>の動かし方・方向は無数にあるのでそれらを全て扱う厳しい。そこで、代表的に<math>x, y</math>軸のそれぞれの方向で動かしたときの値の変化を観察し、それを併せることで変化の様子がある程度理解される。 ここで<math>(x, y)</math>を<math>x</math>軸で動かすときは<math>y</math>を<math>b</math>に、<math>y</math>軸で動かすときには<math>x</math>を<math>a</math>に固定していることに注意すると、二変数関数<math>f(x, y)</math>は実質的に一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>と見做せる。 一変数関数のある点に於ける変化の度合いはその点での微分係数で表された。則ち、<math>x/y</math>軸方向で動かした変化の様子は<math>f(x, b)/f(a, y)</math>の<math>x=a/y=b</math>での微分係数を見ればよい。 これらの微分係数を<math>f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>に於ける<math>x/y</math>に関する'''偏微分係数'''といい、<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>のように表す。 ここで、記号「<math>\partial</math>」は「デル」「パーシャル」「ラウンドディー」「ラウンディー」「ラウンド」などと読まれる。 一変数関数での微分係数の定義式より、偏微分係数の定義式は以下のようになる。 :<math>f_{\partial x}(a, b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(a, b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a, b+k)-f(a, b)}{k}</math> 偏微分係数が存在するとき、<math>f(x, y)</math>はその点で'''偏微分可能'''という。 変数<math>(x,y)</math>が<math>xy</math>平面上の領域<math>D</math>を動く時を考える。 このとき、各点<math>(x, y)\in D</math>に対し、その点での偏微分係数<math>f_{\partial x}(x, y)/f_{\partial y}(x, y)</math>を与える関数を<math>f(x, y)</math>の<math>x/y</math>に関する'''偏導関数'''という。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''という。これに対し、一変数関数の微分を'''常微分'''という。 形式的には偏微分係数の定点を変数に置き換えればいいので、 :<math>f_{\partial x}(x, y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(x, y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}</math> のように定義される。 常微分に様々な記法があったように、偏微分にも様々な記法が存在する。 *<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数の場合 ::<math>f_{\partial x}(x, y),~ f_x(x, y),~ z_{\partial x},~ z_x,~ \frac{{\partial z}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x, y)~, \partial{x}f(x, y),~ u_x\big|_{x, y}</math> なお、偏微分係数は<math>(x, y)</math>を<math>(a, b)</math>に取り替えた記法の他、代入記号「<math>|</math>」を用いて :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{x=a, y=b},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} },~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{(x, y)=(a, b)},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array} \right)}</math> などと書く記法も存在する。 偏導関数の計算は偏微分係数に立ち戻ると「偏微分変数以外の独立変数を固定してできる一変数関数」に関する常微分なので、'''偏微分したい変数以外は定数と見做して常微分'''すればよい。 例えば、<math>f(x, y)=x^5y^3</math>の場合、 :<math>x</math>に関する偏導関数は<math>y</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^3 = 5x^4y^3</math>と求まる。 :同様に、<math>y</math>に関する偏導関数は<math>x</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = x^5\left(\frac{d}{dy}y^3\right) = 3x^5y^2</math>と求まる。 ===全微分=== 前節で二変数関数の変化の様子を測る道具として偏微分を定義したが、偏微分のみでは<math>f(x, y)</math>の変化の様子が全て分かったとは到底言えない。 例えば、区分的に定義された二変数関数<math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} ({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle \neq \vec{0}}) \\ 0 \qquad({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle = \vec{0}}) \end{cases}</math>を考える。 この関数は<math>x, y</math>軸（則ち直線<math>y=0, x=0</math>）上では値が常に0な定数関数である。よって軸上の全ての点で微分可能なので、原点に於いて<math>x, y</math>とも偏微分可能である。 しかし、区分的に定義された上の式の<math>x, y\to0</math>の極限をとってみると、 :<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\sin\theta\cos\theta</math> より原点に近づけた極限は存在しない。従ってこの<math>f(x, y)</math>は原点を不連続点に持つ。 このように、常微分で成り立った「ある点で微分可能ならばその点で連続」という定理は偏微分では成り立たない。 そこで、この定理を多変数関数でも成り立たせるような新たな微分を考える。 一変数関数の常微分係数の定義式は :<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> であったが、これは<math>h\to0</math>で<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)</math>ということなので、'''[[高等学校数学III/微分法#ランダウの記号|ランダウの記号]]'''（'''オーダー記法'''）を用いて :<math>f(a+h)-f(a)=hf'(a)+O(h)\quad (h\to0)</math> という式が出来上がる。 これを二変数に拡張するとき、<math>hf'(a)</math>の項を「極限で飛ばす変数と導関数の内積^※」と考えることによって、以下のような表示を得る。 :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> これをそのまま'''（完）全微分'''の定義式とする。 ※複素数の内積<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>より、実数同士の積<math>ab</math>は内積<math>\langle a, b \rangle</math>と考えることができる。詳しくは[[関数解析学]]を参照。 この式が成り立つとき（諄いが二変数関数の極限値はあらゆる方向あらゆる経路で近づいても一致する必要がある）、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''（完）全微分可能'''という。 また、<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix}</math>を'''（完）全微分係数'''という。 *全微分係数が偏微分係数の組で表されることの証明 :全微分係数を<math>(\alpha, \beta)</math>とおく。 :<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能であるとき、<math>k=0</math>と固定して<math>h\to0</math>の極限をとると、 :全微分の定義式より<math>f(a+h, b)-f(a, b)=\alpha h + O(|h|) \quad(h\to0)</math> :<math>\therefore \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}=\lim_{h\to0} \left\{ \alpha + \frac{O(|h|)}{h} \right\} = \alpha + 0 = \alpha</math> :最左辺は<math>f</math>の<math>x</math>に関する偏微分係数に等しいので<math>\alpha = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)</math> :<math>y</math>に就ても同様。// ここで証明したことから、以下が成り立つ。 {{定理|}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能<math>\implies</math><math>(a, b)</math>で<math>x, y</math>のどちらに関しても偏微分可能 {{定理終わり}} ここから、全微分可能は偏微分可能より強い条件であると判る。 更に、先ほど全微分を「微分可能なら連続」という定理を成り立たせる微分として導入したので、この定理が成り立つ筈である。 *証明 :<math>(x, y)</math>を全微分可能な点<math>(a, b)</math>の充分近傍にとる。 :<math>x-a=h, y-b=k</math>とすると<math>x=a+h, y=b+k</math>であり、<math>(x, y)\to(a, b)\iff h, k\to0</math>なので :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)} \{f(x, y)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \{f(a+h, b+k)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \left\{\alpha h+ \beta k + O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\right\}</math> :<math>=\alpha\cdot0+\beta\cdot0</math> :<math>=0</math> :よって極限の分配法則より :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)-\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(a, b)=0</math> :<math>\therefore \lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math> :従って、<math>f(x, y)</math>は全微分可能な点で連続である。 なお、全微分と常微分は完全に対応するため、両者を区別せずにただ「微分」と呼ぶ文献も存在する。実際、関数が一変数か多変数かは文脈で容易に判断されるので、両者を区別しなくとも実務的な支障はない。 余談だが、全微分は偏導関数に各独立変数の微小量を掛けて足し合わせた式 :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy</math> でも表される。 一変数関数に於いて、常微分可能性は「点<math>(a, f(a))</math>を通る接線の存在性」に対応した。 それでは、全微分可能性の幾何的意味は何であろうか？ 一変数の話に立ち戻ると、関数の接線とは「接点の充分近傍に於ける関数の一次近似」であった。つまり、次元を1つ上げると曲面<math>z=f(x, y)</math>は「点<math>(a, b, f(a, b))</math>を通る且つ方程式が<math>x, y, z</math>の一次方程式である」図形で一次近似される筈である。 高校数学を思い出すと、<math>xyz</math>空間で一次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>は平面の方程式であった。更に、ベクトル<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>はこの平面に垂直な法線ベクトルであった。 <math>f(x, y)</math>が全微分可能ならば<math>x, y</math>に関して偏微分可能なので、一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>はそれぞれ<math>x, y</math>に関して常微分可能であり、曲面<math>z=f(x, y)</math>を平面<math>y=b/x=a</math>で切った切り口の曲線の接線の傾きは<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>となる。よってこれらの接線に対してそれぞれ方向ベクトル<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>をとれる。 求める平面はこれらの接線を共に含む筈なので、<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>の両方に直交するようなベクトルが求める平面の法線ベクトルである。 よってこれらの外積を計算して、 :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot f_{\partial y}(a, b) - f_{\partial x}(a, b) \cdot 1 \\ f_{\partial x}(a, b) \cdot 0 - 1 \cdot f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -f_{\partial x}(a, b) \\ -f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \end{pmatrix}</math> 求める平面は<math>(a, b, f(a, b))</math>を通るので、方程式の一般形に代入して :<math>-f_{\partial x}(a, b)(x-a) - f_{\partial y}(a, b)(y-b) + 1 (z-f(a, b))=0</math> :<math>\therefore z-f(a, b)=f_{\partial x}(a, b)(x-a) + f_{\partial y}(a, b)(y-b)</math> この平面を、曲線<math>z=f(x, y)</math>の点<math>(a, b, f(a, b))</math>に於ける'''接平面'''という。 則ち、全微分可能性は接平面の存在性に対応することが判った。 {{演習問題|二変数関数<math>f(x, y)=x^3+y^3</math>が(1)任意点で全微分可能であることを示し、(2)点<math>(1, 1, 2)</math>に於ける接平面の方程式を<math>z=ax+by+c</math>の形で求めよ。|(1) 全微分可能性を示すには、<math>\lim_{h, k\to0} \left\{ f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}=0</math>・・・(*)を示せばよい。<br><math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^3, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より、<br><math>f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math><br><math>=(a+h)^3+(b+k)^3-(a^3+b^3)-(3a^2h+3b^2k)</math><br><math>=3ah^2+h^3+3bk^2+k^3</math><br><math>=O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right)</math><br>ここで<math>O\left(g(x, y)\right)</math>とは<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}\frac{f(x, y)}{g(x, y)}=0</math>を満たす<math>f(x, y)</math>のことだったので、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|</math>が0に収束する点<math>(a, b)</math>が存在することを示せばよい。<br>変数変換<math>\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>により、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{3ar^2\cos^2\theta+r^3\cos^3\theta+3br^2\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta}{r}\right|</math><br><math>=|3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)|</math><br><math>\leqq3r|a\cos^2\theta+b\sin^2\theta|+r^2|\cos^3\theta+\sin^3\theta|</math>(<math>\because</math>三角不等式)<br><math>\leqq3r(a+b)+2r^2 (\because |\sin\theta|, |\cos\theta|\leqq1)</math><br>最後の式で<math>r\to0</math>とした極限は0に収束し、不等式<math>0 \leqq |3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)| \leqq 3r(a+b)+2r^2</math>と挟み撃ちの原理より<br><math>\lim_{h, k\to0}\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=0</math>なので、(*)が示された。//<br> (2) (1)で求めた偏導関数から<math>f_{\partial x}(1, 1)=3, f_{\partial y}(1, 1)=3</math>なので、<br>一般形に代入して<math>z-2=3(x-1)+3(y-1) \iff z=3x+3y-4</math>// }} ===高階偏導関数=== <math>z=f(x, y)</math>の偏導関数<math>\partial{x} f(x, y), \partial{y}f(x, y)</math>は一般に<math>x, y</math>の二変数関数である。そのため、これらが偏微分可能であればさらに偏微分することが可能である。 今、<math>f(x, y)</math>の<math>x, y</math>について偏導関数が存在し、それぞれ偏微分可能であればそれぞれ更に<math>x, y</math>についての導関数が存在する。そのため、積の法則より二回偏微分した偏導関数（'''二階偏導関数'''）は4種類存在することになる。 <math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x^2}(x, y),~ f_{xx}(x, y),~ z_{\partial x^2},~ z_{xx},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(x, y),~ \partial{x^2} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y\partial x}(x, y),~ f_{xy}(x, y),~ z_{xy},~ z_{\partial y\partial x},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(x, y),~ \partial{y}\partial{x} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x\partial y}(x, y),~ f_{yx}(x, y),~ z_{yx},~ z_{\partial x\partial y},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(x, y),~ \partial{x}\partial{y} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y^2}(x, y),~ f_{yy}(x, y),~ z_{\partial y^2},~ z_{yy},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(x, y),~ \partial{y^2} f(x, y)</math>などと表す。 ここで、<math>\partial</math>を用いるか否かで<math>x, y</math>の順序が入れ替わっていることに注意。 また、それぞれの二階偏導関数が存在するかは一階偏導関数の偏微分可能性に依存するので、上の4種類が必ず揃う訳ではない。 先程の<math>f(x,y)=x^5y^3</math> の場合、 *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(5x^4 y^3)=5\left(\frac{d}{dx}x^4\right)y^3=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^3 y^3</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(5x^4 y^3)=5x^4\left(\frac{d}{dy}y^3\right)=5x^4\sdot 3y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(3x^5 y^2)=3\left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^2=3\sdot 5 x^4 y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(3x^5 y^2)=3x^5\left(\frac{d}{dy}y^2\right)=3x^5\sdot 2y=6 x^5 y</math> である。 ここで<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>が成り立っているが、これは応用上用いられるような「まとも」な関数ならば偏微分の順番が可換であることによる。 *「まとも」でない例 *::<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> *:とすると、 *::<math>f(x,0)=f(0,y)=0</math>より *::<math>\partial{x} f(0,0)=\partial{y} f(0,0)=0</math> *:一方、<math>(x,y) \ne (0,0)</math>のとき、 *::<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\therefore \partial{x} f(0,y)=-y, \ \partial{y} f(x,0)=x</math> *:従って *::<math>\partial{x}\partial{y}f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{h-0}{h}=1</math> *::<math>\partial{y}\partial{x}f(0,0)=\lim_{k \to 0}\frac{-k-0}{k}=-1</math> *:である。 「まとも」な関数が具体的にどのような関数であるかは、以下の定理により与えられる。 {{定理|(偏微分順序の可換性)}} 点<math>(a,b)</math>に於いて<math>f_{xy}(a, b), f_{yx}(a, b)</math>ともに連続ならば、 :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math> {{定理終わり}} ;証明の導入 まず、<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{xy}(a,b)= \frac{\partial{f_x}}{\partial{{y}}} =\lim_{k\to 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\to 0} \frac {\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k} </math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a,b+k) \} - \{ f(a+h,b)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> であり、同様に<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{yx}(a,b)= \frac{\partial{f_y}}{\partial{{x}}} =\lim_{h\to 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac {\lim_{k\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\to 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h} </math> :<math>= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a+h,b) \} - \{ f(a,b+k)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k) - f(a+h,b) -f(a,b+k) + f(a,b) } {hk}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> である。 よって、この定理は式 <math>\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}</math> における <math>\lim_{k\to 0}</math> と<math>\lim_{h\to 0}</math> （反復極限）の可換を証明している。 ;証明 やや天下り的だが、 :<math>F=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h, b)+f(a, b)</math> と置くと :<math>F=\{f(a+h, b+k)-f(a+h, b)\}-\{f(a, b+k)-f(a, b)\}=\{ f(a+h, b+k)-f(a, b+k) \} - \{ f(a+h, b)-f(a, b) \} </math> である。 技巧的だが、この式を参考に :<math>\phi(x):=f(x, b+k)-f(x, b)</math> :<math>\psi(y):=f(a+h, y)-f(a, y)</math> とすると、 :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a) = \psi(b+k)-\psi(b)</math> という風に<math>F</math>を1変数関数に置き換えられる。 ここで、1変数関数に於けるラグランジュの平均値の定理を適用すると、 :<math>F=\phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(c)</math> を満たす<math>c \in (a, h)</math>が存在するので、 :<math>\theta_1 \in (0, 1)</math> として :<math>c=a+\theta_1h</math> と書いておく。 ここで偏微分係数の定義に立ち戻ると、<math>\frac{d\phi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b+k)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b)</math>である。 なので :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(a+\theta_1h) = h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}</math> また、<math>\phi'(a+\theta_1h)</math>を<math>y</math>の関数と考えることにより、偏微分係数の定義を再び用いて :<math>F=h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k) \quad(\theta_2 \in (0, 1))</math> を得る。 一方、 :<math>F = \psi(b+k)-\psi(b)</math> と表した場合も、同様の式変形によって :<math>F=\psi(b+k)-\psi(b)=k\psi'(b+\theta_3k)=k\{f_y(a+h, b+\theta_3k)-f_y(a, b+\theta_3k)\}=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k) \quad(\theta_3, \theta_4 \in (0, 1))</math> よって :<math>F=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> <math>h, k\neq0</math>より :<math>f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=f_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> この式について、 <math>h, k\to 0</math>の極限をとれば、極限をとる順番に関係なく :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math>// <!--* 参考文献 証明の導入の参考として、 :http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日 証明中の数式の記法の参考として、 :サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、--> 二階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''三階偏導関数'''という。三階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''四階偏導関数'''という。同様に次数を上げていくことができる。次数が2以上の場合を'''高階偏導関数'''という。 一変数の場合と異なり、次数が上がるたびにそれぞれ<math>x, y</math>について偏導関数を考えるため、<math>n</math>階偏導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複順列 <math>{}_2 \Pi_n</math>に等しい。 但し、上で証明した定理を繰り返し用いると偏微分の順序が関係なくなるので、「どの変数で何回偏微分したか」のみが重要である。具体的には、一致する偏導関数たちを全体で<math>1</math>個と数えると、(偏微分が可換な)<math>n</math>階導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複組合せ <math>{}_2 \mathrm{H}_n</math>に等しくなる。 点<math>(a, b)</math>で二変数関数<math>f(x,y)</math>の<math>k</math>階偏導関数(<math>k=1, 2, \cdots, n</math>)が全て存在し、且つそれらが全て連続であるとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''<math>n</math>階連続微分可能'''といい、「<math>f</math>は<math>(a, b)</math>で<math>C^n</math>(級)関数である」という。また、定義域の全てで連続微分可能である場合は<math>f \in C^n</math>と書く。 <math>n\to\infty</math>でいえるときは<math>C^\infty</math>級関数という。 応用上で用いられる関数の殆どは<math>C^\infty</math>級関数である。 これを用いて先程の定理を言い換えると、 :<math>(a, b)</math>で<math>f</math>が<math>C^2</math>級<math>\implies f_{xy}(a, b)=f_{yx}(a, b)</math> である。 ===合成関数微分=== 二変数関数に対しても合成関数を考えることができるが、合成元の関数は一変数と二変数の二通り考えることができる。 先ずは、一変数関数の場合を考える。 一変数関数<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}</math>となるような媒介変数<math>t</math>が存在するとする。このとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>を考えることができる。 <math>F</math>は勿論一変数関数なので、<math>t</math>で微分するには常微分可能性を考えればよい。則ち、極限 :<math>\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}</math> が有限値<math>L</math>に収束すればよい。 ここで<math>\begin{cases} \Delta x := \phi(t+h)-\phi(t) \\ \Delta y := \psi(t+h)-\psi(t) \end{cases}</math>とする。<math>\phi(t), \psi(t)</math>が常微分可能とすると<math>\phi(t), \psi(t)</math>は連続なので<math>h\to0</math>で<math>\Delta x , \Delta y\to0</math>である。よって :<math>L=\lim_{h\to0}\frac{f(\phi(t)+\Delta x), \psi(t)+\Delta y)-f(\phi(t), \psi(t))}{h}</math> 更に<math>f</math>が全微分可能とするとどの方向から<math>\Delta x, \Delta y\to0</math>としても :(分母)<math>=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta y</math> よって :<math>L=\lim_{h\to0} \left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta x}{h}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta y}{h} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \right\}</math> ここで :<math>\lim_{h\to0}\frac{\Delta x}{h}=\phi'(t), \quad \lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=\psi'(t)</math> また、 :<math>\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = \frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{h}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{h}\right)^2}</math> より :<math>\lim_{h\to\pm0}\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = 0\cdot\sqrt{\{\phi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}}</math> よって :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\psi}{dt}</math> と求まる。 {{定理|(合成関数の常微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math>の何れも常微分可能であるとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>は常微分可能で :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}</math> {{定理終わり}} ここでは代入記号を省略する略記法を用いていることに注意。右辺を見ると、一変数関数の合成関数微分と同様に'''連鎖律'''（'''チェーン・ルール'''/'''チェイン・ルール'''）が成り立っていることが判る。 二変数の場合は、偏微分の定義に立ち戻って一変数の場合に帰着すれば容易にわかる。 {{定理|(合成関数の偏微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(u, v), y=\psi(u, v)</math>の何れも<math>u/v</math>で偏微分可能であるとき、合成関数<math>F(u, v)=f(\phi(u, v), \psi(u, v))</math>は<math>u/v</math>で偏微分可能で :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}</math> :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}</math> {{定理終わり}} *証明 合成関数の常微分の証明の計算に於いて<math>t=u, v</math>とそれぞれ置くことで直ちに成り立つ。 一変数関数の場合と同様に合成関数の二階微分も考えられるが、一変数の場合より遙かに煩雑である。 例えば、<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right) + \frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>和の微分) :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>積の微分) :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math> :<math>=\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>(<math>\because</math>合成関数の偏微分) :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>// ここで、<math>f</math>が<math>C^2</math>級であれば更に変形して :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2</math> 合成関数微分の計算は、[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]に役立てられている。 例えば、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0</math>（ポアソン方程式）という二階線型偏微分方程式を考える。 <math>f(x, y)</math>を極座標表示<math>F(r, \theta)</math>に直すとき、変換公式<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は<math>f</math>に二変数関数<math>\phi(r, \theta)=r\cos\theta, \psi(r, \theta)=r\sin\theta</math>を合成していると捉えることができる。 よって、 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}</math> 先程求めた合成関数の二階偏微分の式から :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\right)^2</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\right)^2</math> ここで<math>r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\frac{y}{x}</math>より :<math>\frac{\partial{r}}{\partial{x}}=\frac{x}{r},~ \frac{\partial{r}}{\partial{y}}=\frac{y}{r},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}=-\frac{y}{r^2},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}=\frac{x}{r^2},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}=\frac{y^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}=\frac{x^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}=\frac{2xy}{r^4},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}=-\frac{2xy}{r^4}</math> なので :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{y^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{y^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{x^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}-\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{x^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> 故に :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> と変形される。 ここで<math>f \in C^2</math>ならば<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}</math>なので :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> 更に、<math>f</math>が回転対称性（<math>\theta</math>の項を無視できる性質）を持っている場合、 :<math>\frac{d^2F}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dF}{dr}=0</math> という（元の二変数線型偏微分方程式に比べ）圧倒的に簡単な二階線型常微分方程式に帰着できる。 なお、元の偏微分方程式はベクトル解析の知識を用いると<math>\text{∆} f = 0</math>と非常に簡潔に表され、これは座標系に依らない記法なので大変便利である。 ===極値=== 一変数関数の場合と同様に、二変数関数でもテイラーの定理を考えることが可能である。 但し、先程も見たように<math>f(x, y)</math>の<math>n</math>階偏導関数の最大個数は<math>{}_2 \Pi_{n}</math>であり、その全てを式に書いたのでは非常に煩雑となって収拾がつかなくなる。 そこで、以下のような略記法を考える。 :<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>を形式的に<math>\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f</math>と変形する。ここで、<math>D:=\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすれば<math>Df</math>と表せる。 この<math>D</math>は「各独立変数に関して偏微分したそれぞれの偏導関数の総和をとる」という意味の演算子として定義され得る。一般に、偏微分演算子の一次結合として定義される演算子<math>D = \sum_{i} a_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}</math>を'''一次の偏微分作用素'''という。各<math>a_i</math>のとり方で微分する方向が変わることから'''方向偏微分作用素'''ともいう。 <math>f</math>にこの<math>D</math>を複数回作用させることを考える。 :<math>D(Df)=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f\right\}</math> :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> と、四種類の二階偏導関数が全て現れている。 ここで形式的に :<math>(D D)f=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\right\}f</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}\right)f</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> なので、偏微分作用素<math>D</math>と作用素の対象となる関数<math>f</math>の間に結合法則が成り立っていると見做せる。 そこで、<math>D^2:=DD</math>と定義すると、同様の議論により一般に<math>n</math>階偏導関数の総和は<math>D^nf</math>で表される。 これを用いて、以下のテイラーの定理を証明しよう。 {{定理|(二変数に於けるテイラーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^n</math>級であるとき、<math>h:=x-a, k:=y-b, D:=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i!}D^if(a, b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h, b+\theta k)</math> を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :<math>g(t):=f(a+ht, b+kt)</math>として<math>g(t)</math>の有限マクローリン展開より ::<math>g(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}g^{(i)}(0)+\frac{t^n}{n!}g^{(n)}(\theta t)</math> :を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 :合成関数の偏微分より ::<math>\frac{d}{dt}g(t)=\frac{dx}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=Df</math> :なので<math>g(t)</math>を常微分することと<math>f</math>に<math>D</math>を作用させることは同値であり、非負整数<math>i</math>に対して ::<math>g^{(i)}(t)=D^if(a+ht, b+kt)</math> :よって ::<math>g^{(i)}(0)=D^if(a, b)</math> ::<math>g^{n}(\theta t)=D^nf(a+\theta t h , b+\theta t k)</math> :より ::<math>f(a+ht, b+kt)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}D^if(a, b)+\frac{t^n}{n!}D^n(a+\theta th, b+\theta tk)</math> :ここで<math>t=1</math>とすれば定理の式を得る。// この定理の応用として最も基本的なのが、極値である。 一変数関数と同様、極小値・極大値を求めることは最大値最小値問題を解く手掛かりになるが、その求め方は複雑である。 先ずは、極値を定義する。 :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として、 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極大'''という。 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \geq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極小'''という。 :極大/極小となるときの<math>f(a, b)</math>を'''極大値/極小値'''といい、纏めて'''極値'''と呼ぶ。 一変数の場合と異なるのは、'''どの方向から見ても極大/極小'''でなければならない点である。 例えば、曲面<math>z=x^2-y^2</math>を考える。 :この曲面を<math>zx</math>平面（則ち平面<math>y=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=x^2</math>であり、<math>y=0</math>より原点で極小値をとる。 :然し、この曲面を<math>yz</math>平面（則ち平面<math>x=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=-y^2</math>であり、<math>x=0</math>より原点で極大値をとる。 このように、方向によって極大・極小が変わるような点を、馬の{{ruby|鞍|くら}}に見えることから'''{{ruby|鞍点|あんてん}}'''といい、極値点とは区別する。極大方向・極小方向の少なくとも一方が存在しない場合は鞍点とは呼ばない。 極値をとる点を求める手掛かりとなるのが、次の定理である。 {{定理|(二変数に於けるフェルマーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極値をとる<math>\implies \partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>f(a, b)</math>が極値ならば、<math>x/y</math>軸方向で見ても極値になっている筈である。 :ここで<math>x/y</math>軸方向に見るとは、他の独立変数を固定した一変数関数として見ることだったので、<math>f(x, b), f(a, y)</math>を考えていることになる。 :このとき、一変数に於けるフェルマーの定理より ::<math>\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a}=0,~ \frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}=0</math> :であるが、 :偏微分係数の定義より ::<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=\frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}</math> :だったので、 ::<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> :である。// なお、<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math>が成り立つ点<math>(a, b)</math>を'''停留点'''という。これは、ベクトル解析的に<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0 \iff \mathrm{grad} f=\boldsymbol{0}</math>である（<math>f</math>の勾配がない）ことに由来する。 フェルマーの定理の対偶を取れば :<math>(\partial{x}f(a, b)\neq0 \lor \partial{y}f(a, b)\neq0) \implies f(a, b)</math>は極値ではない となるので、極値を取る点を求めるには停留点のみを考えればよいことになる。 停留点を求めるには、連立方程式<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b)=0 \\ \partial{y}f(a, b)=0 \end{cases}</math>を解けばよい。 但し、その解<math>(a, b)</math>が極値をとる点とは限らない（必要条件であって十分条件ではないため）。 一変数関数の場合は<math>f'(a)=0</math>を満たす<math>a</math>近傍の増減を調べればよかったが、二変数の場合はより複雑な手続きを要する。 一般に、多変数関数<math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>に対して<math>(\mathbf{D})_{ij}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}</math>なるn次行列<math>\mathbf{D}</math>を'''ヘッセ行列'''という。 ヘッセ行列式（ヘッシアン）<math>D(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\det\mathbf{D}</math>を'''判別式'''という。 二変数の場合、<math>\mathbf{D}=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math>より判別式は<math>D(x, y)=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>である。 この判別式の符号を調べることによって、極値の有無を判定することができる。 {{定理|(極値の判定)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとり、 ::(ⅰ)<math>\partial{x^2}f<0 \implies f(a, b)</math>は極大値 ::(ⅱ)<math>\partial{x^2}f>0 \implies f(a, b)</math>は極小値 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとらない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとることもとらないこともある。則ち、判別式では判定できない。 {{定理終わり}} *証明 :テイラーの定理で<math>n=2</math>の場合を考えると、<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^2</math>級ならば<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在して :<math>f(a+h, k+b)=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より変形して :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :ここで<math>f \in C^2</math>より<math>f</math>の二階偏導関数は何れも連続なので、<math>D(a, b)\gtrless0</math>ならば充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>D(a+\theta h, b+\theta k)\gtrless0</math>となる。 :ここで<math>p = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k),~ q = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k),~ r = \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k)</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}(ph^2+2khq+kr^2)</math>・・・(*) :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき ::<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)=0</math>とすると<math>D(a, b)\leq0</math>となって不適。<math>\therefore \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)\neq0</math> ::充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>p\neq0</math>より(*)の右辺を平方完成して ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{pr-q^2}{p}k^2 \right\}</math> ::<math>=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{D(a+\theta h, b+\theta k)}{p}k^2 \right\}</math> ::ここで両辺<math>0 \iff h=k=0</math>に注意すると、 ::上式の最右辺は<math>p</math>の符号と正負が一致する。 ::これは<math>(a, b)</math>の充分近傍では<math>p>0</math>で<math>f(a, b)</math>が最小値、<math>p<0</math>で<math>f(a, b)</math>が最大値をとることを意味するので、<math>f(a, b)</math>は極値である。 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき ::<math>p\gtrless0</math>のとき、平方完成した最右辺の波括弧の中身は、 :::<math>h+\frac{qk}{p}\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると負/正 :::<math>h\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると正/負 ::であるので、<math>h, k</math>のとり方によって<math>f(a+h, b+k)\gtrless f(a, b)</math>のどちらにもなり得、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で最大でも最小でもない。 ::則ち、<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 ::<math>p=0</math>のとき、<math>r\neq0</math>ならば<math>h, k</math>を二階偏導関数に置き換えることで同様の結論を得る。 ::<math>r=0</math>のとき、 ::<math>D(a+\theta h, b+\theta k)=-q^2<0</math>より<math>q\neq0</math>なので(*)より ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=qhk</math> ::これは<math>h, k</math>の符号によって正負のどちらもとり得るので同様に<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、 ::<math>h, k</math>のとり方により<math>D(a+\theta h, b+\theta k)</math>は正負のどちらもとり得る。 ::よって(1), (2)より<math>f(a, b)</math>は極値であることも極値でないこともあるので、 ::判別式では判定不能である。// {{演習問題|次の関数に極値があるかどうか調べ、あるならば求めよ。 :1. <math>f(x, y)=x^2+y^2-2xy</math> :2. <math>f(x, y)=x^2+2xy-3y^2+4x+4y+1</math> :3. <math>f(x, y)=x^3+y^3</math> |1. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y-x</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=2,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=-1</math>より :<math>D(0, 0)=2\cdot2-(-1)^2=3>0</math> :また、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}>0</math>より :<math>f(x, y)</math>は<math>(0, 0)</math>で極小値<math>0</math>をとる。 2. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+2y+4,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-6y+2x+4</math>より :停留点は<math>(-2, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2,~ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}=-6,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=2</math>より :<math>D(-2, 0)=2\cdot(-6)-2^2=-16<0</math> :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。 3. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=6x,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=6y, \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=0</math>より :<math>D(0, 0)=0\cdot0-0^2=0</math> :よって判別不能。 :ここで、直線<math>y=x</math>を経路として原点から点<math>(x, y)</math>を動かしてみる。 :<math>f(x, x)=x^3+x^3=2x^3</math> :よって<math>x>0</math>で<math>f(x, y)>f(0, 0)</math>、<math>x<0</math>で<math>f(x, y)<f(0, 0)</math>より :原点近傍で<math>f(0, 0)</math>は最大でも最小でもない、則ち<math>f(0, 0)</math>は極値ではない。 :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。}} *発展問題 *:<math>f(x, y)=e^{xy}</math>を二次の項迄テイラー展開せよ。 停留点が鞍点である条件を補足しておく。 鞍点とは「関数が極大となる方向・極小となる方向の双方が存在する」ような点であった。 <math>f(x, y)</math>を停留点<math>(a, b)</math>に於けるテイラー展開で二次近似することを考える。 :テイラーの定理より厳密に ::<math>f(a+h, b+k)=\frac{1}{0!}D^0 f(a, b)+\frac{1}{1!}Df(a, b)+\frac{1}{2!}D^2f(a+\theta h, b+\theta k)</math> :であるが、<math>\theta \in(0, 1)</math>より<math>\theta\fallingdotseq0</math>と見做して近似すると ::<math>f(a, b)\fallingdotseq f(a, b)+Df(a, b)+\frac{1}{2}D^2f(a, b)</math> :<math>D=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>より ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=0</math>なので ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :ここで<math>\frac{1}{2}</math>で括られた部分に着目すると、 ::<math>h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)</math> ::<math>=h\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)+k\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>とすると ::<math>f(a+h, b+k)\fallingdotseq f(a, b)+\frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> :則ち ::<math>f(a+h, b+k) - f(a, b) \fallingdotseq \frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> 拠って、<math>\boldsymbol{v}</math>方向で極大・極小か見るには停留点から<math>\varepsilon\boldsymbol{v}</math>だけ動かしたときの :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の変化を見ればよいが、 :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2>0</math> より、結局は[[線型代数学/二次形式|二次形式]] :<math>({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の符号を見れば良いことになる。 ここでヘッセ行列<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>を対角化することを考える（ヘッセ行列は対称行列なので直交行列で対角化可能）。 :ヘッセ行列の各固有値を<math>\lambda_1, \lambda_2</math>とおくと、ある直交行列<math>\mathbf{P}</math>による相似変換で ::<math>({}^t \! \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}} = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2)</math> :と対角化できる。 :このとき、二次形式は<math>\boldsymbol{u}={}^t \! \mathbf{P} \boldsymbol{v}</math>という一次変換で ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}</math> :と表される。 :すると<math>\boldsymbol{u}_x\times\boldsymbol{u}_y</math>の項は対角行列の零成分が掛かって消えるので、 ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}=\lambda_1 (\boldsymbol{u}_x)^2+\lambda_2 (\boldsymbol{u}_y)^2</math> :（つまりこの変換は主軸変換） 則ち、任意方向で極大か極小か調べるには'''ヘッセ行列の各固有値の符号を見ればよい'''。 固有値が全て正であるとき、どのような<math>h, k</math>に対しても<math>f(a+h, b+k) - f(a, b)>0</math>と考えられるので、<math>\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>のとり方に依らず<math>f(a, b)</math>は極小値である。 固有値が全て負であるとき、同様に<math>f(a, b)</math>は極大値である。 固有値の符号が異なるとき、<math>\boldsymbol{v}</math>のとり方によって極大か極小か変わるので、<math>(a, b)</math>は鞍点である。 零固有値を持つときは、零固有値に対応する固有ベクトル方向の情報が近似の際に切り捨てられている（則ち<math>\theta</math>- 依存性が高い）ので極大・極小・鞍点・何れでもない、の全ての場合をとり得る。 纏めると、以下のようになる。 {{定理|(極値の判定Ⅱ)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が負定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極大。 :(2)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が正定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極小。 :(3)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が不定行列ならば<math>(a, b)</math>は鞍点。 :(4)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が半正定値行列又は半負定値行列又は完全退化行列ならば<math>(a, b)</math>は極値点であることも鞍点であることもそうでないこともある。則ち、ヘッセ行列の定値性では判定できない。 {{定理終わり}} 近似の際に切り捨てた項の振舞によってはこの判定法が通用しない場合がある。特に、三変数以上で(3)を用いる場合は注意。 ヘッセ行列が正定値・負定値・半正定値・半負定値・不定値の何れであるかは、[[線型代数学/固有値と固有ベクトル|シルヴェスターの判定法]]を用いると固有値を求めることなく判別できる。 ===陰関数=== <math>y=f(x)</math>という形で陽に表示される関数を'''陽関数'''という。 これに対し、方程式<math>f(x, y)=0</math>がある区間で定義が区分的でない関数<math>y=\varphi(x)</math>を表すとき、「<math>y=\varphi(x)</math>は<math>f(x, y)=0</math>で定義された'''陰関数'''」という。このとき、方程式<math>f(x, y)=0</math>を「<math>y=\varphi(x)</math>の'''陰関数表示'''」という。一般に、陰関数は陽に表示できるとは限らない。なお、陰関数表示のことを単に陰関数と呼ぶ場合もある。 例えば、単位円の方程式<math>x^2+y^2=1</math>に対し、<math>y=\sqrt{1-x^2},\quad y=-\sqrt{1-x^2}</math>はそれぞれ単位円の方程式で定義された陰関数である。ここで、点<math>(1, 0)</math>を内部に含む開区間を考える。このような区間をどんなに小さく取ったとしても、円の上半分と下半分を両方含んでしまうため、区分的に定義しなければ一意な関数で表せず、則ち陰関数が存在しない。 それでは、方程式<math>f(x, y)=0</math>の陰関数が点<math>(x, y)</math>の充分近傍で存在する条件は何であろうか？ 先ずは、厳密なことを抜きにして考える。 形式的に、陰関数<math>y=\varphi(x)</math>は方程式<math>f(x, y)=0</math>を<math>y</math>に就て解いた解である。そのため、このような関数が存在するならば<math>f(x, \varphi(x))=0</math>という<math>x</math>の一変数方程式が成り立つ。 媒介変数を<math>t=x</math>と見て方程式の両辺を<math>x</math>で常微分すると合成関数微分の公式より<math>\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\frac{dt}{dx}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=0</math> :<math>\therefore \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}}</math> ここで、実際には <math>\Big|_{y=\varphi(x)}</math>が省略されていることに注意。 この式の主張を纏めると、以下の定理を得る。 {{定理|(陰関数の定理Ⅰ)}} <math>f \in C^1,~ f(a, b)=0,~ \partial{y}f(a, b)\neq0</math>であるとき、<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>f(x, y)=0</math>の定義する陰関数<math>y=\varphi(x)</math>が唯一つ存在し、 :<math>b=\varphi(a)</math> また、この陰関数は<math>x=a</math>の充分近傍で常微分可能で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> {{定理終わり}} 先程の考え方では「<math>\varphi(x)</math>の存在性・一意性・常微分可能性」を既に仮定してしまっているので、それらを担保するこの定理の証明としては用いることができない（循環論法になってしまう）。 実は、二変数の場合ならば今迄習った知識で証明可能である。以下に示す。 *証明 :<math>\Omega</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の開集合とする。 :<math>\partial{y}f(a, b)>0</math>とすると<math>f \in C^1</math>より<math>\partial{y}f(x, y)</math>は連続で ::<math>\exist \delta_1, \delta_2>0,~ U=\{ x\big|~ |x-a|\leq\delta_1 \},~ V=\{y\big|~ |y-b|\leq\delta_2\},\quad f(x, y)>0 \quad \left( {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)} \in U \times V \subset \Omega \right)</math> :<math>y \in V</math>で<math>f(a, y)>0</math>よりこの区間で単調増加し ::<math>f(a, y)=f(a, b)=0 \lor f(a, b-\delta_2)<0<f(a, b+\delta_2)</math> :更に<math>f</math>が連続より<math>\delta_1</math>が十分小さければ ::<math>x \in U \implies f(x, b-\delta_2)<0<f(x, b+\delta_2)</math> :中間値の定理より ::<math>\forall x\in U,~ \exist y \in V,~ f(x, y)=0</math> :<math>\frac{d\varphi}{dy}>0</math>よりこのような<math>y</math>は一意に定まる。（仮に二つあるとしても、<math>f(x, y_1)=f(x, y_2)=0</math>なのでロルの定理より<math>\exist d \in [y_1, y_2],~ f(x, d)=0</math>。則ちこの<math>d</math>を<math>y</math>として新たにとれば良いことになるので一意である。） :ここで<math>y=\varphi(x)</math>とおくと<math>\varphi(x)</math>は一意で<math>\mathrm{dom}\varphi = U,~ \mathrm{ran}\varphi = V</math> :上記より<math>b=\varphi(a)</math> :<math>\varphi</math>が<math>x_0 \in U</math>で連続でないとすると ::<math>\exist \varepsilon_0,~ \exist x\in U,~ \forall \delta>0,~ ( |x-x_0|<\delta \implies |\varphi(x)-\varphi(x_0)| \geq \varepsilon_0 )</math> :<math>\delta:=\frac{1}{n} (n\in\mathbb{N})</math>とすると ::<math>\forall n\in\mathbb{N},~ \exist x_n\in U,~ ( |x-x_0|<\frac{1}{n} \implies |\varphi(x_n)-\varphi(a)| \geq \varepsilon_0 )</math> :但し<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math>に注意。 :ここで<math>\mathrm{ran}\varphi=V</math>より<math>\varphi(x_0)\in V</math>、則ち<math>\{\varphi(x_n)\}</math>は有界数列である。 :拠ってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より<math>\{x_n\}</math>の部分列<math>\{x_{n_k}\}</math>が存在して ::<math>\lim_{k\to\infty}\varphi(x_{n_k})=y_0 \in V</math> :<math>f(x_{n_k}, \varphi(x_{n_k}))=0</math>且つ<math>f</math>が連続より<math>k\to\infty</math>で<math>f(x_0, y_0)=0</math>でなければならないので ::<math>y_0=\varphi(x_0)</math> :一方、 ::<math>\lim_{k\to\infty}|\varphi(x_{n_k})-\varphi(x_0)|=|y_0-\varphi(x_0)|\geq\varepsilon_0>0</math> :これは<math>y=\varphi(x_0)</math>に矛盾する。 :従って<math>\varphi</math>は<math>x_0</math>で連続である。 :<math>\varphi(x_0+h)=\varphi(x_0)+k</math>とおくと<math>\varphi</math>が連続より<math>h\to0</math>で<math>k\to0</math>であり、 :<math>h</math>を充分小さくすると<math>(x_0, \varphi(x_0))</math>と<math>(x_0+h, \varphi(x_0)+k)</math>を結ぶ線分が<math>U\times V</math>に含まれる。 :拠ってテイラーの定理より ::<math>\exist \theta\in(0, 1), 0=f(x_0+h, \varphi(x_0)+k)=f(x_0, \varphi(x_0))+\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)h + \partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)k</math> :<math>k=\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)</math>と<math>f(x_0, \varphi(x_0))</math>より変形して ::<math>\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=-\frac{\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}{\partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}</math> :<math>h\to0</math>とすれば ::<math>\varphi'(x_0)=-\frac{\partial{x} f(x_0, \varphi(x_0))}{\partial{y} f(x_0, \varphi(x_0))}</math> :更に、 ::<math>\varphi'(x)=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> :の右辺が連続関数なので ::<math>\varphi(x) \in C^1</math> :<math>\partial{y}f(a, b)<0</math>の場合も同様に示される。// この証明は「一次元での単調性」に依存しているため、三変数以上に拡張することができない。そのため、（「解析学基礎」の範囲を大幅に超えるが）一般の場合を補足しておく。[[位相空間論]]や[[多様体論]]を修得してから戻ってくるのが良いだろう。 {{定理|(ベクトル関数に於ける陰関数の定理)}} <math>\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m</math>上の開集合を<math>\Omega</math>とする。 <math>C^r</math>級関数<math>\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m</math>に対して :<math>\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0} \\ \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} }\right)\neq0 \end{cases}</math> なる<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>が存在するとき、<br><math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\mathbb{R}^n</math>- 開近傍<math>U</math>、<math>\boldsymbol{\beta}</math>の<math>\mathbb{R}^m</math>- 開近傍<math>V</math>に対して<math>C^r</math>級微分同相写像<math>\boldsymbol{\varphi}:U \to V</math>が唯一つ存在して :<math>\begin{cases} U \times V \subset \Omega \\ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha}) \\ \forall {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\[-6pt] \boldsymbol{y} \end{array} \right)} \in U \times V,~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) \\ \forall \boldsymbol{x} \in U,~ \boldsymbol{\varphi}'(\boldsymbol{x})= - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \right)^{-1} \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} *証明 :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}:\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}</math>を ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{pmatrix}</math> :と定義する。 :<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>に就て<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0}</math>より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix}</math> :従って ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } & \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } \end{pmatrix}</math> :これは下三角行列なので ::<math>\mathrm{rank} \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=m+n</math> :階数が行列の次数に等しいのでこの行列は正則行列、則ち ::<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\neq0</math> :（なお、三角行列に関する行列式の公式を用いると<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\det \boldsymbol{E} \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array}}\right)\neq0</math>と導かれる。） :よって逆写像定理を適用すると :<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})</math>の開近傍<math>U</math>と<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{0})</math>の開近傍<math>V</math>が存在して :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}:U \to V</math>は<math>C^r</math>級微分同相写像となる。 :ここで<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}</math>の<math>C^r</math>級逆写像を<math>\boldsymbol{\psi}</math>とすると逆写像の定義より ::<math>(\tilde{\boldsymbol{f}}\circ\boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :また、<math>\boldsymbol{x}</math>は<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>の<math>1\sim n</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{\psi}_{1\sim n}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>、<math>\boldsymbol{y}</math>は<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>の<math>1\sim m</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{f}_{1\sim m}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>になるので、 ::<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>とすると定義より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :<math>\boldsymbol{y}</math>に<math>\boldsymbol{0}</math>を代入して ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}</math>の定義より<math>\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}):=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math>とすれば :<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}</math> :則ち<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math> :<math>\boldsymbol{\psi} \in C^r</math>より<math>\boldsymbol{\varphi} \in C^r</math>であり、逆写像の一意性より<math>\boldsymbol{\varphi}</math>は一意に定まるので、 :<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math>は陰関数の満たすべき性質を全て満たす。// （補足ここ迄） 陰関数の定理の応用として、陰関数表示で与えられた曲線の接線・法線の方程式を求めることが考えられる。 :円<math>x^2+y^2=r^2</math>を考える。 :<math>f(x, y)=x^2+y^2-r^2</math>とおくと<math>f\in C^2, f(x, y)=0</math>であり、何かしらの関数の陰関数表示となっている。 :よって陰関数定理より :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}</math> :ここで :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y</math> :より<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}</math> :接点を<math>(x_0, y_0)</math>とすれば接線の方程式の公式より :<math>y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)</math> :変形すると :<math>y_0(y-y_0)+x_0(x-x_0)=0</math> :<math>xx_0+yy_0=x^2_0+y^2_0=r^2</math> :ここで<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}</math>は明らかにこの接線の法線ベクトルなので :<math>y=0</math>でも成り立つ。 :同様に法線の方程式は :<math>y=\frac{y_0}{x_0}x</math> :と求まる。// 高校数学では「<math>y</math>を<math>x</math>の関数とみて合成関数微分を行う」という考え方で求めたが、陰関数定理はそのような関数<math>y=\varphi(x)</math>の存在を保証していたのである。 一般の二次曲線やその他の陰関数曲線でもこの考え方を適用することが可能である。 二変数方程式で定義される陰関数は一変数関数であった。では、二変数関数もある三変数方程式で定義された陰関数とは考えられないだろうか？実は、一般に<math>n</math>変数方程式の定義する陰関数は<math>n-1</math>変数関数である。直観的には、「元の<math>n</math>変数方程式に陰関数<math>x_n=g(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})</math>を代入することで自由度が一個下がる」と理解される。 <math>xyz</math>空間で方程式<math>f(x, y, z)=0</math>は一般に曲面を表す。この曲面上の点<math>(a, b, c)</math>近傍で曲面の関数表示が二変数関数<math>z=\psi(x, y)</math>であるための十分条件も陰関数定理で与えられる。 {{定理|(陰関数の定理Ⅱ)}} <math>f \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=0,~ \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>ならば<math>(a, b)</math>の<math>\mathbb{R}^2</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数<math>z=\psi(x, y)</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \psi \in C^1 \\ c=\psi(a, b) \\ f(x, y, \psi(x, y))=0 \quad((x, y) \in U) \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{x}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{y}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} <math>\partial{x} f(a, b, c) \partial{y} f(a, b, c) \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>のとき曲面<math>f(x, y, z)=0</math>の<math>(a, b, c)</math>に於ける接平面は :<math>\partial{x}f(a, b, c)(x-a)+\partial{y}f(a, b, c)(y-b)+\partial{z}f(a, b, c)(z-c)=0</math> である。 この定理を用いると :<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b, c) = -\partial{x}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{y}f(a, b, c) = -\partial{y}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{z}f(a, b, c)\neq0 \end{cases}</math> なので :<math>z-c=\partial{x}\psi(a, b)(x-a)+\partial{y}\psi(a, b)(y-b)</math> と、全微分の節で求めた接平面の方程式に一致する。 更に、以下も成り立つ。 {{定理|(陰関数の定理Ⅲ)}} <math> f, g \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=g(a, b, c)=0,~ \begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \\[-6pt] z = c \end{array}}\neq0</math>ならば<math>x=a</math>の<math>\mathbb{R}</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数の組<math>(y, z)=(\varphi(x), \psi(x))</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \varphi, \psi \in C^1 \\ b=\varphi(a) \\ c=\psi(a) \\ f(x, \varphi(x), \psi(x))=g(x, \varphi(x), \psi(x))=0 \\ \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} , \quad \frac{d\psi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} 陰関数定理が成り立つ状況下に於て、原点近傍で以下のような変換を考える。 :<math>(s, t)=\vartheta(x, y)=(f(x, y), x)</math> このとき逆写像定理により<math>\vartheta:(x, y)\to(s, t)</math>は微分同相写像なので、<math>F(s, t)=s</math>として :<math>(F\circ\vartheta^{-1})(x, y)=x</math> が成り立つ。 これは、<math>s=f(x, y)</math>を座標軸としてみる座標変換を考えていることになる。例えば二重積分で積分領域の境界が<math>f(x, y)=\mathrm{const}.</math>であるとき、これは一般に曲線を表すので扱いづらい。しかし、このような座標変換を行うことで<math>s=\mathrm{const}.</math>という非常に単純な疆界を持つ<math>s</math>-単疆界領域となり、二重積分が容易となる。詳しくは「重積分」節で後述する。 {{演習問題| :1. 双曲線<math>x^2-2\sqrt{3}xy-y^2+4y+4=0</math>の点<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>に於ける法線を求めよ。 :2. レムニスケート<math>r^2=2a^2\cos^2 2\theta</math>に就いて、円<math>r=|a|</math>上を除く領域で<math>y</math>が<math>x</math>の関数として単調であることを示せ。 :3. 曲面<math>x^2+3xy-2yz+xz-y^2=0</math>の点<math>(1, 2, 1)</math>に於ける接平面の方程式を求めよ。 :4. <math>f(x, y, z)=x+y+z-3,~ g(x, y, z)=y^2+z-2</math>とする。点<math>(1, 1, 1)</math>近傍の陰関数<math>y=\varphi(x),~ z=\psi(x)</math>を具体的に表示し、その微分係数を求めよ。 | 1. :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-2\sqrt{3}y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-2y-2\sqrt{3}x</math> :<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=-4\sqrt{3}-4\sqrt{6},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-4-4\sqrt{2}\neq0</math> :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{-4(1+\sqrt{2})}=-\sqrt{3}</math> :<math>y-(2+2\sqrt{2})=-\frac{1}{-\sqrt{3}}(x-0)</math> :<math>y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2+2\sqrt{2}</math> 2. :<math>r^2=x^2+y^2,~ \cos^2 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=\left(\frac{x}{r}\right)^2-\left(\frac{y}{r}\right)^2</math>よりレムニスケートの方程式は :<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0</math> :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2(x^2+y^2)(2x)-2a^2(2x)=4x(x^2+y^2-a^2)</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2(x^2+y^2)(2y)-2a^2(-2y)=4y(x^2+y^2+a^2)</math> :<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x(x^2+y^2-a^2)}{y(x^2+y^2+a^2)}</math> :ここで<math>xy</math>平面上の象限を固定して考えると、 :<math>\frac{dy}{dx}</math>の符号は<math>x^2+y^2-a^2</math>の正負で決まる。 :よって<math>x^2+y^2-a^2=0</math>則ち円<math>r=|a|</math>上を除く領域で、 :<math>y</math>は<math>x</math>の関数として単調である。 3. :<math>f(x, y, z):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+3y+z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3x-2y-2z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=x-2y</math> :<math>(1, 2, 1)</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=9,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-3,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=-3\neq0</math> :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{9}{-3}=3,~ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{-3}{-3}=-1</math> :<math>z-1=3(x-1)-1(y-2)</math> :<math>z=3x-y</math> 4. :<math>f(x, y, z)=0</math>とすると<math>z=3-x-y</math>であり、<math>g(x, y, z)=0</math>に代入して :<math>y^2-(3-x-y)-2=0</math> :<math>y^2-y+1-x=0</math> :<math>y=\frac{1\pm\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>(x, y)=(1, 1)</math>となるためには :<math>y=\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>z=3-x-y=3-x-\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2} = \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :これは<math>(x, z)=(1, 1)</math>を満たす。 :根号の実数条件より<math>x\geq\frac{3}{4}</math>より「<math>x=1</math>近傍」も満たす。 :よって<math>(\varphi(x), \psi(x))=\left(\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}, \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}\right)</math> :逆にこのように<math>(\varphi(x), \psi(x))</math>を定義すると条件を満たす。 :<math>\frac{d\varphi}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4x-3}},~ \frac{d\psi}{dx}=-1-\frac{1}{\sqrt{4x-3}}</math> :<math>x=1</math>で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=1,~ \frac{d\psi}{dx}=-2</math> }} ===条件付極値=== 先程は点<math>(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>上を自由に動ける条件の下で極値を考えた。しかし、応用上は何かしらの制約が課された状態での極値を考えることが往々にしてある（寧ろ、無条件の方が稀であろう）。 則ち、次の問題を考える。 :点<math>(x, y)</math>が'''拘束条件'''（束縛条件）<math>g(x, y)=0</math>を満たしながら変化するとき、<math>f(x, y)</math>の'''条件付極値'''を求めよ。 このような問題を（2変数1拘束条件の）'''条件付極値問題'''という。また、拘束条件を表す関数<math>g(x, y)</math>を'''制約関数'''という。 一般に<math>g(x, y)=0</math>が<math>y=\phi(x)</math>や<math>x=\psi(y)</math>のように解けるとは限らず、解けたとしても増減を簡単に調べられるとは限らない。 そこで、条件付極値問題の解法には以下の定理が用いられる。 {{定理|(ラグランジュの未定乗数法)}} <math>f(x, y), g(x, y)\in C^1</math>として<math>f(x, y)</math>が点<math>(a, b)</math>で拘束条件<math>g(x, y)=0</math>の下での条件付極値をとるとき、 :<math>L(x, y, z)=f(x, y)-zg(x, y)</math> と置くと :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\times\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math> ならば :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math> を満たす実数<math>z=\lambda</math>が存在する。 {{定理終わり}} この<math>L</math>を'''ラグランジュ関数'''、<math>\lambda</math>を'''未定乗数'''（ラグランジュ乗数）という。未定乗数法では、条件付極値の問題を「ラグランジュ関数の無条件極値問題」に帰着している。 各偏導関数を計算すると、連立方程式 :<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math> に帰着される。 *証明 :<math>(a, b)</math>を極値点、<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>とする。 :陰関数定理より<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>g(x, y)=0</math>の<math>C^1</math>級陰関数<math>y=\phi(x)</math>が存在し、<math>\phi'(x)=-\frac{\frac{\partial{g}}{{\partial{x}}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}</math>となる。 :<math>h(x):=f(x, \phi(x))</math>とするとフェルマーの定理より<math>0=h'(a)=f_x(a, b)+f_y(a, b)\phi'(a)=f_x(a, b)-f_y(a, b)\frac{g_x(a, b)}{g_y(a, b)}</math> :ここで<math>\lambda:=\frac{f_y(a, b)}{g_y(a, b)}</math>と置くと<math>f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \iff \frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>を得る。 :定義した<math>\lambda</math>より<math>f_y(a, b) =\lambda g_y(a, b) \iff\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>。 :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>としても同様。 :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>は拘束条件から直ちに満たされる。 :よって実数<math>\lambda</math>が存在して定理の式が満たされる。// ベクトル解析の記法で書くと、未定乗数法の連立方程式は<math>\mathrm{grad} f=\lambda \mathrm{grad} g</math>と表される。これは幾何学的には、「曲面<math>z=f(x, y)</math>と曲面<math>g(x, y)=0</math>の共有点での接平面の法線ベクトルが平行」という条件である。 2曲面の共有点の<math>z</math>座標を<math>c</math>としたとき、曲面を<math>z=c</math>で切った切り口の曲線は<math>c=f(x, y), g(x, y)=0</math>であり、これらは曲面と同じ共有点を持つ。共有点で2曲線が交わるとすると「連続微分可能」という仮定より2曲面は「切れ目なく」繫がっているので、十分小さい<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線<math>c\pm\varepsilon=f(x, y)</math>は<math>g(x, y)</math>と共有点を持つ。このとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で<math>c=f(a, b)</math>より大きい値も小さい値もとるので、<math>(a, b)</math>は極値点ではない。よって、2曲線は極値点<math>c_0=f(a, b)</math>に於いて接していなければならない。 このとき、曲線の式<math>c_0=f(x, y), g(x, y)=0</math>の両辺を<math>x</math>で微分することで<math>\begin{cases} f_x\cdot1+f_x\cdot\frac{dy}{dx}=0 \\ g_x\cdot1+g_y\cdot\frac{dy}{dx}=0 \end{cases}</math>を得、接ベクトル<math>(1, \frac{dy}{dx})</math>に直交する平行な2ベクトル<math>(f_x, f_y), (g_x, g_y)</math>をそれぞれの曲線の法線ベクトルにとることができる。よって未定乗数<math>\lambda</math>が実数として存在する。 フェルマーの定理と同様に未定乗数法の式を満たすことは条件付極値であるための必要条件なので、十分性の確認は必須である。逆に、未定乗数法は条件付極値の候補となる点を与える（未定乗数<math>\lambda</math>は「存在する」だけでこの先一切使わないが、先述のように幾何学的意味が存在する）。 先程紹介したヘッセ行列は「無制約の場合」の議論だったので今回は用いることができない。 そこで、以下のように表示される'''境界付ヘッセ行列'''（縁付ヘッセ行列）が判定に使用される（代入記号は省略した）。 :<math>\mathbf{H}_B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{y}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math> 今回の場合、<math>\det \mathbf{H}_B>0</math>なら条件付極小値、<math>\det \mathbf{H}_B<0</math>なら条件付極大値と判定される。 但し、3変数以上や拘束条件が増えたときの拡張は非常に煩雑で複雑なものとなるので、ここでは紹介しない。 連立方程式<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math>を更に変形する。 :第三式は拘束条件そのものなので除外する。 :第一式・第二式を行列表現に直して :<math>\begin{pmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :線型代数で扱った定理「斉次連立一次方程式が非自明解を持つ<math>\iff</math>表現行列が特異行列」より、 :<math>\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}=0</math> よって、未定乗数<math>\lambda</math>を求めなくても未定乗数法を適用できる。 この変形は2変数1拘束条件の場合のみ成り立ち、一般化はできない。 ==重積分== 本項では、微分と積分の双対性及び[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]・[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]への接続を鑑みて、一般書では深く扱わない（定義すらしないことの多い）偏積分を冒頭で扱うことにする。 ===偏積分=== 偏微分と同様にして、二変数<math>f(x, y)</math>の片方の変数を固定したときの積分を考える。 <math>xyz</math>空間で<math>y</math>を固定したとき、<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>での積分を考える。直観的には、一変数での積分（'''常積分'''）のリーマン和を用いた定義を、<math>zx</math>平面でそのまま行えば良いことになる。 具体的には、 :<math>\int_{a}^{b} f(x, y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k, y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） と定義する。 これを<math>f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する'''偏積分'''という。幾何学的には、<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積に対応する。偏微分と異なり、積分記号は常積分と同じものを用いる。 <math>y</math>に関する偏積分は同様に ::<math>\int_{c}^{d} f(x, y) dy := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x, y_k) \Delta y</math>（<math>\Delta y = \frac{d-c}{n}, y_k = c + k\Delta y</math>） と定義され、幾何学的には<math>xyz</math>空間を<math>x</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>y</math>軸、直線<math>y=c, y=d</math>の囲む符号付き面積に対応する。 定積分に関して、一変数と同様に :<math>\int_a^b f(x, y)dx+\int_b^c f(x, y)dx=\int_a^c f(x, y)dx</math> :<math>\int_b^a f(x, y)dx=-\int_a^b f(x, y)dx</math> :<math>\int_a^a f(x, y)dx=0</math> が成立することは定義から容易に示される（<math>y</math>に関しても同様）。 また、積分の平均値の定理 :<math>\exist \xi \in (a, b), \quad f(\xi, y)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x, y)dx</math> も同様に成立することが判る（<math>y</math>に関しても同様）。 不定積分は、一変数と同様に<math>F(x, y):=\int_u^x f(t, y)dt+C</math>と定義される（<math>F(u, y)=0</math>とする）。但し、<math>x</math>に関する偏積分では<math>y</math>は定数と見做されるので、'''積分定数<math>C</math>は実際には<math>y</math>の関数<math>C(y)</math>である'''ことに注意が必要である。<math>y</math>に関する不定積分でも同様に、積分定数は<math>x</math>の関数<math>C(x)</math>である。<math>\int_u^x f(t, y)dt+C(y)</math>は<math>\int f(x, y)dx+C(y)</math>と略記する 一般に、偏積分の積分定数は積分変数以外の変数を全て含む関数である。 一変数の場合と同様に、 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math>（微分積分学の基本定理） が成立する。 *証明 :<math>F(x, y):=\int_a^x f(t, y)dt</math>とする。 :先程述べた定積分の性質より :<math>F(x+h, y)-F(x, y) = \int_a^{x+h} f(t, y)dt - \int_a^x f(t, y)dt = \int_a^{x+h}f(t, t)dt+\int_x^a f(t, y)dt =\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt</math>であるが、 :積分の平均値の定理より<math>\xi\in(x, x+h)</math>が存在して :<math>\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt=hf(\xi, y)</math> :ここで<math>h\to0</math>の極限をとると :<math>\lim_{h\to0} \{F(x+h, y)-F(x, y)\}=\frac{\partial{F}}{\partial{x}},\quad \lim_{h\to0} hf(\xi, y)=f(x, y)</math> :なので :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int_a^x f(x, y)dx=f(x, y)</math> :一般の不定積分<math>\int f(x, y)dx=\int_u^x f(t, y)dt + C(y)</math>に関しても積分定数<math>C(y)</math>は<math>x</math>の関数でないので偏微分すると0となり、 :結局は :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math> :が成り立つ。// 則ち'''偏積分は偏微分の逆演算'''であり、被積分関数を偏導関数とみて元の関数を復元することで原始関数が求まるので偏積分が計算できることがわかる。 一変数関数で成り立った性質の多くはほぼそのまま成立する。以下、<math>y</math>に関しても同様なので<math>x</math>に関する偏積分で記述する。また、定積分表示で書くが不定積分でも同様である。 :<math>\int_a^b \{\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)\}dx=\alpha\int_a^b f(x, y)dx+\beta\int_a^b g(x, y)dy</math>（線型性） :<math>\int_a^b f(x, y)\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dx=\left[ f(x, y)g(x, y) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_{a}^b \frac{\partial{f}}{\partial{x}}g(x, y)dx</math>（部分積分法） :<math>u=\phi(x)</math>として<math>\int_a^b f (\phi(x), y) \frac{du}{dx} dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u, y) du</math>（置換積分法） :<math>y=c, x\in[a, b]</math>で<math>f(x, c)\leq g(x, c)</math>ならば<math>\int_a^b f(x, c)dx\leq \int_a^b g(x, c)dx</math>（定積分不等式） 偏積分の微分に関して、以下の定理が成り立つことが知られている。 {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅰ)}} 2変数関数<math>f(x, y)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y)\in I \times[a(x), b(x)]</math>で連続且つ<math>a(x), b(x)</math>が常微分可能ならば :<math>\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, y)dy\right)=\left[f(x, y)\frac{dy}{dx}\right]_{y=a(x)}^{y=b(x)}+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> {{定理終わり}} {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅱ)}} 3変数関数<math>f(x, y, z)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y, z)\in I_x \times I_y \times[a(x, y), b(x, y)]</math>で連続且つ<math>a(x, y), b(x, y)</math>が<math>x</math>で偏微分可能ならば :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} f(x, y, z)dz\right)=\left[f(x, y, z)\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right]_{z=a(x, y)}^{z=b(x, y)}+\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dz</math> {{定理終わり}} Ⅰに於いて<math>a(x)=a, b(x)=x</math>としてみよう。すると、 :<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(x, y)dy = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> である。 これは、偏微分に関する微分積分学の基本定理を「微分変数と積分変数が異なる場合」に拡張したものと見ることができる。更に、<math>f(x, y)=g(y)</math>なら<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0</math>より常微分に関する微分積分学の基本定理に一致する。 則ち、ライプニッツの積分定理は常微分・偏微分双方の意味で「微分積分学の基本定理の拡張」と捉えることができる。 Ⅰ・Ⅱとも偏微分方程式やベクトル解析で当たり前のように用いられるので、覚えておいて損はないだろう。 ===重積分の定義=== 次に、連続関数<math>f(x, y)</math>の全ての変数が動く場合の積分に就いて考える。 変数の組<math>(x, y)</math>が動く範囲（'''積分領域'''）<math>D</math>は、点<math>(x, y)</math>の軌跡と考えることで<math>xy</math>平面上の領域として表現することができる。 先ずは、簡単な場合として矩形領域<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>の場合を考える。これは、<math>z=f(x, y)</math>を<math>xy</math>平面へ<math>z</math>方向から射影した投影面が矩形ということである。 なお、重積分の文脈では、積分領域を直積集合で表すよりも<math>D=\{(x, y)\mid a\leq x \leq b, c\leq y \leq d\}</math>や<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>のような記法が好まれる。 <math>[a, b], [c, d]</math>をそれぞれ<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_{m-1}<x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots<y_j<\cdots<y_{n-1}<y_n=d</math>と等分割し、<math>D_{ij}:=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]</math>とする。この矩形領域から代表点<math>(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>をとるとき、各<math>D_{ij}</math>を底面・<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>を高さとする長方形の体積は区間<math>[x_{i-1}, x_i],[y_{j-1}, y_j]</math>の幅を<math>\Delta x_i, \Delta y_j</math>として<math>V_{mn}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math>と表される。これは、'''リーマン和'''を2変数関数に拡張したものである。 分割を限りなく細かくしたときの極限<math>\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} V_{mn}</math>が収束するならば、<math>f(x, y)</math>は<math>D</math>で'''二重積分可能'''といい、その極限値を<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と表して<math>f(x, y)</math>の<math>D</math>に関する'''二重積分'''という。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math> 次に、<math>D</math>が有界領域の場合を考える。 <math>D</math>は有界であるから、<math>D</math>を包含するような矩形領域<math>\tilde{D}\subset\mathbb{R}^2</math>が必ず存在する。 このとき、<math>D</math>上の二変数関数<math>f(x, y)</math>を次のように拡張する。 :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} f(x, y) & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> このとき、<math>\tilde{D}\setminus D</math>に於ける<math>\tilde{f}(x, y)</math>の値は<math>0</math>なので重積分の計算結果に影響せず、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x, y)dxdy</math> として差し支えない（右辺は先ほど定義した「矩形領域での二重積分」である）。 <math>D</math>が有界領域でない場合は後述する。 重積分では「不定積分」に相当するものを考えないことが多い。これは、積分定数の自由度が比較的高いので偏積分より扱いにくくなるためである。 <math>f(x, y)=1</math>という定数関数の重積分を考える。先ずは矩形領域に就いて考える。 リーマン和は<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})=1</math>より<math>V_{mn}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \Delta x_i \Delta y_j</math>であるが、<math>\Delta x_i \Delta y_j</math>は矩形領域<math>D_{ij}</math>の面積に等しい。よってその総和<math>V_{mn}</math>は矩形領域<math>D</math>の面積である。これは分割がどれだけ細かくなっても変わらないので、結局は<math>|D|=\iint_D 1 dxdy</math>である。このとき、1を省略して<math>\iint_D dxdy</math>と表す。 <math>D</math>が有界領域であるとき、<math>D</math>を包含する矩形領域<math>\tilde{D}</math>に関して :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} 1 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> であり、<math>\tilde{D}</math>での重積分の値は同様の議論により結局は有界領域<math>D</math>の面積に等しくなる。 一変数の積分では<math>\int_a^b dx = b-a</math>（区間の幅）であったが、二変数の重積分では<math>\iint_D dxdy= |D|</math>（領域の面積）と判った。三変数でも、同様の議論により<math>\iiint_V dxdydz = |V|</math>（領域の体積）となる。一般に、1の<math>n</math>重積分は積分領域となる図形の大きさ（<math>n</math>次のルベーグ測度）に等しい。ベクトル解析で扱う線積分・面積分・体積分でも同様の事項が成り立つ。 [[測度論]]では、逆にルベーグ測度を1の重積分として定義する流儀もある。 ===累次積分=== 次に、重積分の具体的な計算方法に就いて見ていく。 先程見たように、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>は積分領域<math>D</math>と曲面<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体の体積と考えられる。 数学Ⅲで扱ったように、立体の体積は「立体の断面積を表す関数を積分」すれば求めることができる。つまり、「立体をある平面で切ったときの断面積」さえ求まれば計算することができると考えられる。 実は、この断面積は偏積分で与えられる。 偏積分<math>h(y)=\int_a^b f(x, y)dx</math>は「<math>D=[a, b]\times I</math>と<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体を<math>y</math>を固定した平面で切ったときの断面積」なので、これを<math>y</math>に関して区間<math>I</math>で常積分してやれば「断面積の積分=体積」が求まる。 この話を具体的に見ていく。 先ずは、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>という矩形領域を考える。 <math>y</math>を固定した平面で切った断面積は<math>\int_a^b f(x, y)dx</math>であり、この断面積を<math>[c, d]</math>で積分してやればいいので、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)dx \right) dy</math>である。 <math>x</math>を固定した平面で切った断面積で考えても同じであり、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)dy \right)dx</math>。 なお、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>且つ<math>f(x, y)=g(x)h(y)</math>と分離できる場合は<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \left( \int_a^b g(x) dx\right)\left( \int_c^d h(y)dy \right)</math>と、非常に単純な計算で求まる。 一般の有界領域<math>D</math>に関しては、「<math>(x, y)</math>が<math>D</math>内の全ての点を1点ずつ重複なく通る」ように<math>x, y</math>をそれぞれ動かす必要がある。そのような動かし方をいきなり定めるのは困難であるため、以下のような場合を考える。 '''定義が区分的でない'''関数<math>\phi_1(x), \phi_2(x)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\}</math>と表され、'''疆界が単純閉曲線'''^※である積分領域を'''<math>x</math>-単疆界領域'''<!-- 『例から学ぶ微分積分』馬場裕・笹尾哲・山本光・山本勇(共立出版、2022年)より -->（<math>x</math>-単線領域）と呼ぶことにする（統一名称は存在せず、書籍によって様々に呼ばれる）。同様に、定義が区分的でない関数<math>\psi_1(y), \psi_2(y)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>と表され、疆界が単純閉曲線である積分領域を'''<math>y</math>-単疆界領域'''（<math>y</math>-単線領域）と呼ぶ。 ※「単純閉曲線」とは、「'''閉曲線'''（端点(始点と終点)が一致する曲線）であって自己交叉しない（端点以外で自分自身と交わらない）」曲線のことである。[[位相幾何学]]の知識を用いると単疆界領域は「単純閉曲線で囲まれた単連結領域」と言い換えられる。 <math>x</math>-単疆界領域では例えば<math>x=x_0</math>を固定すると<math>y</math>を<math>\phi_1(x_0)</math>から<math>\phi_2(x_0)</math>まで動かしたときに点<math>(x, y)</math>は線分<math>x=x_0 (\phi_1(x_0)<y<\phi_2(x_0))</math>上の点を一回ずつ通る。次に、<math>x</math>を<math>a</math>から<math>b</math>まで動かせば<math>(x, y)</math>は<math>D</math>内の全ての点を重複なく通ったことになる。 よって、矩形領域と同様の議論で二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\} \right)</math>は次のように計算される。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> <math>y</math>-単疆界領域でも同様に二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\} \right)</math>は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx \right) dy</math> と計算される。 このように、重積分を偏積分の常積分で表したものを'''累次積分'''（逐次積分、反復積分）という。見た目上は常積分の反復であることが名前の由来である。3変数以上の場合、最外部の積分のみ常積分で残りは積分変数以外を固定した偏積分である。 昔からの慣習として、累次積分の先に計算する部分を右側に纏めて :<math>\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy</math> のように表す場合がある。 これは :<math>\left(\int_a^b dx\right) \left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy\right)</math> を意味しないので注意。 本項では、混乱を防ぐため通常の記法で書く。 なお、積分区間を更に詳しく明示した :<math>\int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> という記法も存在する。 単疆界領域でない領域の場合、疆界となる関数が切り替わる点（疆界点）で領域を分割することで単疆界領域になるので、それぞれの単疆界領域での重積分の和を計算すればよい。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \sum_i \iint_{D_i} f(x, y)dxdy</math> :例) :<math>x\in[-1, 1], \phi_1(x)=0, \phi_2(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ -x+1 & (x\geq0) \end{cases}</math>のとき、 :<math>D=D_1 \cup D_2</math> :<math>D_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} -1 \leq x < 0 \\ 0 \leq y \leq x+1 \end{array} \right\}</math> :<math>D_2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math> :とすれば良い。 二重積分を累次積分に直すとき、<math>D</math>の図を書くことで疆界となる区分的でない関数を正しく導くことができる。 なお、重積分でも線型性と定積分不等式が成り立つ。 :<math>\iint_D (\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) dxdy = \alpha \iint_D f(x, y)dxdy + \beta \iint_D g(x, y)dxdy</math> :<math>f(x, y)\leq g(x, y)\quad\mathrm{at}\, D \implies \iint_D f(x, y)dxdy \leq \iint_D g(x, y)dxdy</math> ===積分順序の変更=== 積分領域が<math>x</math>-単疆界領域且つ<math>y</math>-単疆界領域であるならば、累次積分で<math>x, y</math>のどちらを先に計算しても結果は同じである。単疆界領域でなくとも、単疆界領域に分割した重積分の和を考えれば同じく積分順序を交換できる。 一般に、次が成り立つ。 {{定理|(フビニの定理)}} 多変数関数が積分領域<math>D</math>で重積分可能ならば、累次積分の積分順序は可換である。 {{定理終わり}} 但し、'''積分順序を交換すると各積分の積分区間が変わる'''ことに注意が必要である。 例えば、三角形領域<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math>に於ける<math>f(x, y)=xy^2</math>の重積分を考える。 <math>D</math>は<math>x</math>-単疆界領域なのでこの重積分は累次積分により :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-x+1} xy^2 dy \right)dx</math> :<math>=\int_0^1 x\left[\frac{1}{3}y^3\right]_{1}^{-x+1} dx</math> :<math>=\frac{1}{3}\int_0^1 x(-x^3+3x^2-3x)dx</math> :<math>=\frac{1}{3} \left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-x^3 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> と計算される。 <math>D</math>の表式を今度は<math>y</math>-単疆界領域となるように変形する。 :<math>y=-x+1\iff x=-y+1</math> :<math>0\leq x \leq 1 \iff 0 \leq y \leq 1</math> :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq -y+1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> 同様に重積分を計算すると :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-y+1} xy^2 dx \right)dy</math> :<math>=\int_0^1 y^2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{-y+1}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^1 y^2(y^2-2y)dy</math> :<math>=\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}y^5-\frac{1}{2}y^4 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> このように、正しく積分順序を交換すれば同じ結果を得る。 また、以下のように積分順序を交換することで計算が容易となる場合がある。 {{演習問題|<math>\int_{0}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x dy \right)dx</math>を積分順序を交換することで計算せよ。| 二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と見て積分領域<math>D</math>を求めると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \end{array} \right\}</math> 則ち、<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2 \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array} \right\}</math>という半円領域である。<br>これを<math>y</math>-単疆界領域となるように変形すると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \\ -1 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> よって累次積分に直して :<math>\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{-1}^{1} \left( \int_0^{\sqrt{1-y^2}} x dx \right)dy</math> :<math>=\int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1-y^2)dy</math> :<math>=\int_0^1 (1-y^2)dy</math> :<math>=\frac{2}{3}</math>// }} ===変数変換=== 常積分では置換積分という手法により積分変数を別の変数に変換することができた。重積分でも同様に変数変換を考えることができる。 <math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \end{cases}</math>という変数変換によって積分領域が<math>(s, t)\in E</math>から<math>(x, y)\in D</math>に写されるとする。 このとき、全単射な写像<math>\Gamma:E\to D</math>が存在すれば変換前後で重積分の計算が可能である。 一変数の置換積分では<math>dx</math>が<math>\frac{dx}{dt}dt</math>に置き換わった。同様に<math>dxdy</math>が○○倍の<math>dsdt</math>に置き換わると予想されるが、この○○に入るのは何であろうか？ <math>dx, dy</math>はそれぞれ<math>\phi(s, t), \psi(s, t)</math>の<math>s, t</math>を微小変化させたときの変化量、則ち全微分と考えられるので、 :<math>dx=\frac{\partial{\phi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\phi}}{\partial{t}}dt</math> :<math>dy=\frac{\partial{\psi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}dt</math> これを一次変換の記法で表すと :<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \end{pmatrix}</math> である。 <math>(x, y)</math>の組と<math>(s, t)</math>の組がそれぞれ一次独立であるとすると、<math>dxdy</math>と<math>dsdy</math>はそれぞれ<math>D, E</math>での微小矩形の面積を表すと解釈でき、更に行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>は正則である。 ここで、一次変換による図形の拡大率は表現行列の行列式の絶対値だったので、 :<math>dxdy = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right|dsdt</math> が成り立つ。 則ち、重積分の変数変換の表式は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_E f(\phi(x, y), \psi(x, y)) \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right| dsdt</math> である。 行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>を'''ヤコビ行列'''（ヤコブ行列）と言い、<math>\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>と略記する。ヤコビ行列式<math>\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>を'''ヤコビアン'''という。 二次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x=s+t \\ y=s-t \end{cases}</math>（'''斜交座標'''）や<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>（'''円座標'''）が挙げられる。後者は特に、円が絡む積分領域のときに真価を発揮する。 三次元以上でも同様に全微分を一次変換表記することでヤコビ行列を得、それが変数変換の変換レートとなる。 三次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x= t+u \\ y=u+s \\ z=s+t \end{cases}</math>（'''ラヴィ変換'''）、<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}</math>（'''円筒座標'''）、<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z= r\cos\theta \end{cases}</math>（'''球面座標'''）が挙げられる。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x^2+y^2, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}</math>のとき、変数変換により<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\begin{cases} x=as \\ y=bt \end{cases}</math>と変換すると :<math>x^2+y^2=a^2s^2+b^2t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| s^2+t^2 \leq 1 \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\right|=ab</math> より :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy=\iint_E \{(a^2s^2+b^2t^2)ab\}dsdt</math> :<math>=a^3b\iint_E s^2dsdt + ab^3\iint_E t^2dsdt</math> 更に<math>\begin{cases} s=r\cos\theta \\ t=r\sin\theta \end{cases}</math>と変換すると :<math>s^2=r^2\cos^2\theta,\quad t^2=r^2\sin^2\theta</math> :<math>F = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \tau \end{array} \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(s, t)}}{\partial{(r, \theta)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\right|=r</math> より :<math>\iint_E s^2 dsdt = \iint_F \{(r^2\cos^2\theta) r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \cos^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x+\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> :<math>\iint_E t^2dsdt=\iint_F \{(r^2\sin^2\theta)r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \sin^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x-\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> よって最終的に :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy = a^3b\cdot\frac{\pi}{4}+ab^3\cdot\frac{\pi}{4}</math> :<math>=\frac{ab\pi}{4}(a^2+b^2)</math>// }} ここで、「極座標なのに<math>r=0</math>を考えてる」「<math>\theta=0</math>と<math>\theta=\tau</math>が点として重複してる」からおかしいと思うだろうが、実は問題ないことが示される。詳細は最後の節で扱う。 ===重積分の応用=== 重積分の応用例の一つは、体積の求積である。 先程述べたように、<math>\iiint_V dxdydz</math>は立体<math>V</math>の体積に等しい。数学Ⅲで習ったように「一変数関数の定積分」として求めようとすると、「いずれかの座標軸に垂直な平面で切った断面を考えてその面積を式で表し、座標軸で積分する」という手続きを要する。これは空間図形の素養が必要なので一般に苦しい。しかしながら、三重積分として計算すると見通しが立ちやすく、ある意味機械的な計算で求積可能である。 ここで、<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ f(x, y) \leq z \leq g(x, y) \end{array} \right\}</math>のように表されるとする。<!-- \middle|が使えないから長さが足りない --> すると、三重積分は :<math>\iiint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_{f(x, y)}^{g(x, y)}dz \right) dxdy</math> のように二重積分に帰着することが可能である。 勿論、二重積分が先になるように計算したり最初から3重の累次積分に直接直しても構わない。 {{演習問題|球<math>x^2+y^2+z^2\leq1</math>と円柱<math>x^2+y^2\leq x</math>の共通部分のうち、<math>y\geq0, z\geq0</math>にある部分の体積を求めよ。| 底面に於いて、<math>x^2+y^2\leq x, y\geq 0, z=0</math>を満たす点<math>(x, y, z)</math>をどこに固定しても<math>0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}</math>が成り立ち、 :<math>\iint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dz \right)dxdy</math> :<math>=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\quad \left(D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ y\geq 0 \end{array} \right\}\right)</math> 円座標に変換すると :<math>\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{1-r^2}</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq \cos\theta \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math> :<math>dxdy=rdrd\theta</math> よって :<math>\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=\iint_E r\sqrt{1-r^2}drd\theta</math> :<math>= \int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( \int_0^{\cos\theta} r\sqrt{1-r^2} \right) d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\theta-1)d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{2}\right)</math>（<math>\because</math>ウォリスの公式） :<math>=\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}</math>// }} 重積分のもう一つの応用例は、曲面の表面積（'''曲面積'''）である。 詳細な議論はベクトル解析の頁に任せ、結果だけ書いておく。 {{定理|(曲面積Ⅰ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>f(x, y)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:z=f(x, y)\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> {{定理終わり}} この式は[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|一変数関数に於ける曲線の長さの式]]<math>L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>の一般化である。 なお、<math>\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}</math>は「全微分」節で紹介した点<math>(x, y)</math>に於ける曲面<math>S</math>の接平面の法線ベクトル<math>\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math>の大きさに等しい。 発展として、曲面が<math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}</math>と媒介変数表示された場合の表式は以下のようになる。 {{定理|(曲面積Ⅱ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>\phi(s, t), \psi(s, t), \omega(s, t)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial{y}}{\partial{s}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}} -\frac{\partial{y}}{\partial{t}}\frac{\partial{z}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{z}}{\partial{s}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} -\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\frac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{x}}{\partial{s}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} -\frac{\partial{x}}{\partial{t}}\frac{\partial{y}}{\partial{s}} \right)^2}dsdt</math> {{定理終わり}} こちらは媒介変数表示された一変数関数に於ける曲線の長さの式<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math>の一般化である。 <math>\begin{cases} x=x \\ y=y \\ z = f(x, y) \end{cases}</math>とすればⅠの式に一致する。 ===広義重積分=== 重積分でも広義積分に相当するものを考えたい。しかし、序論から見てきたように二変数関数の変数の組<math>(x, y)</math>は<math>xy</math>平面上をありとあらゆる方向に無数の軌道で動くことができる。このため、広義積分を上手く定義できるとは一般に限らない。ここでは、上手く定義できる場合を見ていく。 先ずは、非有界領域での重積分を考える。 <math>xy</math>平面上の有界とは限らない領域<math>D</math>に対し、次を満たす有界領域<math>D_n</math>を考える。 #<math>D_1\subset D_2\subset D_3\subset \cdots \subset D_n \subset D</math> #<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D</math> #<math>\forall S(\mathrm{is\, bounded}) \subset D,\quad \exist n\in\mathbb{N},\quad S\subset D_n</math> このような有界領域の列<math>\{D_n\}</math>を<math>D</math>の'''近似増加列'''という。 <math>\{D_n\}</math>の選び方に依らず<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math>が収束するとき、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{n\to\infty} \iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math> と定義する。これを'''広義二重積分'''という。 次に、積分領域が特異点<math>\alpha</math>を含む場合を考える。 このときは、「<math>\alpha \notin D_n</math>（近似増加列は特異点を含まない）」且つ「<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D\setminus\{\alpha\}</math>（近似増加列の和集合が積分領域から特異点を除いたものに等しい）」且つ「<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right)^-=D</math>（近似増加列の閉包が積分領域に等しい）」となるように近似増加列<math>\{D_n\}</math>をとり、同様に極限値として広義二重積分を定義すればよい。 次の定理が成り立つ。 {{定理|}} 多変数関数が非負関数または非正関数であるとき、ある<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分が収束するならば任意の<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分は収束する。 {{定理終わり}} ここから、「広義重積分が収束するような簡単な近似増加列を見つければよい」という結論に至る。 広義重積分の有名な使用例を以下に示す。 *例題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2\leq n^2 \\ x\geq0, y\geq0 \end{array} \right\}</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy</math>を計算せよ。 *解答 :<math>e^{-(x^2+y^2)}</math>は明らかに非負関数であり、<math>\{D_n\}</math>が近似列であることも自明である。 :円座標に変換して<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}</math>、<math>E_n=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r\leq n \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math>、<math>dxdy=rdrd\theta</math> :<math>\iint_{D_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\iint_{E_n}re^{-r^2}drd\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left(\int_0^n re^{-r^2}dr \right)d\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^n d\theta</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( 1-e^{-n^2}\right) d\theta</math> :<math>=\frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right)</math> :よって広義重積分の値は :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\lim_{n\to\infty} \frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right) = \frac{\tau}{8}</math>// ここで<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-x^2}e^{-y^2}</math>であり、、<math>x, y</math>は独立に半開区間<math>[0, \infty)</math>を動くので矩形領域の場合と同様に分離することができる。則ち、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}dy \right)</math> 右辺に於いて積分変数のラベルは関係ないので<math>y</math>を<math>x</math>に取り換えると、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2</math> ここで左辺に先程求めた値を代入すると :<math>\frac{\tau}{8}=\left( \int_0^\infty e^{-x^2}dx \right)^2</math> 両辺正なので平方根をとって :<math>\sqrt{\frac{\tau}{8}}=\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math> 則ち、 :<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> 左辺の被積分関数は非負なので<math>\int_0^\infty |e^{-x^2}|<\infty</math>より絶対収束し、偶関数・奇関数の対称積分の性質を広義積分でも適用できる。<br> よって :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}</math> こうして、ガウス積分の値が求まった。 *発展問題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D'_n\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{n} \end{array} \right\}</math>として<math>D_n=D\setminus D'_n</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D \frac{dxdy}{x+y}</math>を計算せよ。 [[カテゴリ:微分積分学|たへんすうかんすうのひせきふん]] cz5mf43rzxq8oosov45hbzsw27k55cp 301893 301891 2026-07-28T15:58:24Z ~2026-41547-90 92136 /* 変数変換 */ 301893 wikitext text/x-wiki {{Advanced|解析学基礎/ベクトル解析}} ==序論== ===多変数関数の定義=== 独立変数が2つであるような関数<math>z=f(x, y)</math>を'''二変数関数'''という。独立変数が3つであるような関数<math>w=f(x, y, z)</math>を'''三変数関数'''という。一般に、独立変数が<math>n</math>個であるような関数<math>y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を'''<math>n</math>変数関数'''という。<math>n</math>が2以上であるとき、'''多変数関数'''という。 「関数」という語の定義から、多変数関数は（定義域・値域に於いて）「独立変数の組の各々に対して対応する従属変数が必ず存在する」「独立変数の組を一意に定めたら従属変数が一意に定まる」という性質を満たす。 なお、ここで独立変数の組<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の点と捉えると、多変数関数とはベクトルをスカラーへ写す写像（'''スカラー関数'''）<math>F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>と考えることができる。拠って、以下で扱う話題はベクトル関数（'''[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]'''）で一般化され得る。 一般に、<math>n</math>変数関数のグラフは<math>n+1</math>次元空間ではじめて描画され得る。そのため、多変数関数の議論では（簡単な場合を除き）「グラフを考えて図形的に解釈する」手法はあまり通用しない。 多変数関数の考え方は変数が幾つであっても本質的には同じなので、以下の議論は全て(最も基本的な)二変数関数で扱うものとする。 ===多変数関数の極限=== 二変数関数の極限は、定性的には一変数関数と同様にして以下のように定義される。 :<math>z=f(x, y)</math>に於いて<math>(x, y)</math>を実定数の組<math>(a, b)</math>に<math>(a, b)</math>とは異なる値を取りながら限りなく近づけたとき、<math>z</math>が一定値<math>L</math>に近づくならば「<math>(x, y)\to(a, b)</math>のとき<math>z</math>は<math>L</math>に'''収束'''（'''収斂'''）する」といい、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=L</math>のように書く。 収束する値を'''極限値'''、収束しない場合を'''発散'''というのも同様である。 なお、ここで<math>(x, y), (a, b)</math>を<math>xy</math>平面上の点と見れば位置ベクトルを用いて :<math>\lim_{\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right)}</math> のように書くことができる。また、 :<math>\lim_{\scriptstyle x \to a \atop \scriptstyle y \to b}</math> のような書き方も許容される。 但し、 :<math>\lim_{x \to a, y\to b}</math> のような書き方は'''反復極限'''（各変数を独立に飛ばすような極限） :<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b}</math> と受け止められるので推奨しない（この場合は<math>x</math>と<math>y</math>を同時に飛ばしているので）。 同一値に飛ばす場合は :<math>\lim_{x, y\to c}</math> のような書き方も見られる。 ここからは、二変数関数の極限を定量的に考えていく。 一変数関数の場合を復習しておくと、「関数<math>y=f(x)</math>が<math>x \to a</math>で有限値<math>L</math>に収束する」とは<math>x \neq a</math>とすると<math>\varepsilon-\delta</math>論法を用いて :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall x \in \mathbb{R} \left( |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon \right)</math> で定義された。 二変数関数でも同様な定義にしたいので、<math>||</math>を適切に取り換える必要がある。高校数学を思い返してみると、<math>||</math>の意味は「実数の絶対値」から「ベクトル（複素数）の大きさ」に拡張されていた。つまり、先程と同様に変数の組<math>(x, y)</math>を<math>xy</math>平面上の点を表す位置ベクトルと見ればよい（より一般にはベクトル空間のノルム<math>\|\|</math>を用いる）。 つまり、<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies |f(x, y)-L| < \varepsilon \right)</math> とすればよい。 一変数の場合、<math>x \to a</math>の近づけ方は<math>x \to a^+</math>（右側極限）と<math>x \to a^-</math>（左側極限）の二通りしかなかった。しかし、二変数の場合は<math>xy</math>平面上のありとあらゆる方向からあらゆる経路で近づくことが考えられる。 つまり、二変数関数の収束は「2つの片側極限が一致」すれば良かった一変数の場合に比べ遙かに厳しい条件であることがわかる。 先程「反復極限のように表してはいけない」と述べたのは、反復極限では「どのような近づけ方であっても一意に収束する」ことが示せないからである。 それでは、実際に二変数関数の極限を求めるにはどうしたらよいであろうか？ <math>\varepsilon - \delta</math>法による上述の定義では、「全ての近づき方に就て一意に収束する」ことを言うしかないが、近づけ方は無数に考えられるので実務的に不可能である。ここで、「直線的に近づく」場合に限っては無数にある近づき方を纏めて判定できる方法がある。 それは、'''二次元極座標'''（'''円座標'''）を利用する方法である。 高校数学の復習だが、極座標とは極を原点に取ったときに変数変換<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>で定まる座標系だった。ここで<math>r = \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\|, \theta = \arctan \frac{y}{x}</math>である。 例えば<math>(x, y)\to(0, 0)</math>の極限を考えるとき、<math>g(r, \theta)=f(x, y)</math>と変換すると上記の関係式から<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)=\lim_{r\to0}g(r, \theta)</math>と表すことができる。ここで<math>g(r, \theta)</math>を計算したときに<math>r</math>が消えた場合、<math>g</math>は<math>\theta</math>にのみ依存するので<math>r\to0</math>の極限は存在しないと考えることに注意。 二変数関数でも極限に関する線型性などの性質はそのまま成り立つ。 *例題 **極限<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2}</math>を求めよ。 *解答 **<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2} = \lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3\cos^3\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0}\frac{r\sin\theta\cos^3\theta}{r\cos^3\theta+\sin^2\theta}=\frac{0}{\sin^2\theta}=0</math> ***なお、<math>(x, y)\neq(0, 0)</math>より<math>\sin\theta=0</math>や<math>\cos\theta=0</math>、つまり<math>\theta=\frac{n}{2}\pi(n\in\mathbb{Z})</math>の場合は除外できるので<math>\frac{0}{\sin^2\theta}</math>は不定形ではない。 ==偏微分== ===連続性=== 二変数関数の連続性は、一変数関数と同様である。 :*二変数関数<math>z=f(x, y)</math>が「<math>(a, b)</math>で連続」とは、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math>が成り立つこと。 :*<math>(a, b)</math>で連続な<math>f(x, y), g(x, y)</math>に就て、<math>g(a, b)\neq0, c=\mathrm{const}.</math>とすると :::<math>cf(a, b), f(a, b)\pm g(a, b), f(a, b)g(a, b), \frac{f(a, b)}{g(a, b)}</math> ::は全て<math>(a, b)</math>で連続。 :*任意の<math>(a, b)\in\mathbb{R}^2</math>で連続ならば「<math>\mathbb{R}^2</math>で連続」である。 ===偏微分の定義=== <math>z=f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>近傍での変化の様子を調べるとき、極限の節で述べたように<math>(x, y)</math>の動かし方・方向は無数にあるのでそれらを全て扱う厳しい。そこで、代表的に<math>x, y</math>軸のそれぞれの方向で動かしたときの値の変化を観察し、それを併せることで変化の様子がある程度理解される。 ここで<math>(x, y)</math>を<math>x</math>軸で動かすときは<math>y</math>を<math>b</math>に、<math>y</math>軸で動かすときには<math>x</math>を<math>a</math>に固定していることに注意すると、二変数関数<math>f(x, y)</math>は実質的に一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>と見做せる。 一変数関数のある点に於ける変化の度合いはその点での微分係数で表された。則ち、<math>x/y</math>軸方向で動かした変化の様子は<math>f(x, b)/f(a, y)</math>の<math>x=a/y=b</math>での微分係数を見ればよい。 これらの微分係数を<math>f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>に於ける<math>x/y</math>に関する'''偏微分係数'''といい、<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>のように表す。 ここで、記号「<math>\partial</math>」は「デル」「パーシャル」「ラウンドディー」「ラウンディー」「ラウンド」などと読まれる。 一変数関数での微分係数の定義式より、偏微分係数の定義式は以下のようになる。 :<math>f_{\partial x}(a, b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(a, b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a, b+k)-f(a, b)}{k}</math> 偏微分係数が存在するとき、<math>f(x, y)</math>はその点で'''偏微分可能'''という。 変数<math>(x,y)</math>が<math>xy</math>平面上の領域<math>D</math>を動く時を考える。 このとき、各点<math>(x, y)\in D</math>に対し、その点での偏微分係数<math>f_{\partial x}(x, y)/f_{\partial y}(x, y)</math>を与える関数を<math>f(x, y)</math>の<math>x/y</math>に関する'''偏導関数'''という。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''という。これに対し、一変数関数の微分を'''常微分'''という。 形式的には偏微分係数の定点を変数に置き換えればいいので、 :<math>f_{\partial x}(x, y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(x, y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}</math> のように定義される。 常微分に様々な記法があったように、偏微分にも様々な記法が存在する。 *<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数の場合 ::<math>f_{\partial x}(x, y),~ f_x(x, y),~ z_{\partial x},~ z_x,~ \frac{{\partial z}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x, y)~, \partial{x}f(x, y),~ u_x\big|_{x, y}</math> なお、偏微分係数は<math>(x, y)</math>を<math>(a, b)</math>に取り替えた記法の他、代入記号「<math>|</math>」を用いて :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{x=a, y=b},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} },~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{(x, y)=(a, b)},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array} \right)}</math> などと書く記法も存在する。 偏導関数の計算は偏微分係数に立ち戻ると「偏微分変数以外の独立変数を固定してできる一変数関数」に関する常微分なので、'''偏微分したい変数以外は定数と見做して常微分'''すればよい。 例えば、<math>f(x, y)=x^5y^3</math>の場合、 :<math>x</math>に関する偏導関数は<math>y</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^3 = 5x^4y^3</math>と求まる。 :同様に、<math>y</math>に関する偏導関数は<math>x</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = x^5\left(\frac{d}{dy}y^3\right) = 3x^5y^2</math>と求まる。 ===全微分=== 前節で二変数関数の変化の様子を測る道具として偏微分を定義したが、偏微分のみでは<math>f(x, y)</math>の変化の様子が全て分かったとは到底言えない。 例えば、区分的に定義された二変数関数<math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} ({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle \neq \vec{0}}) \\ 0 \qquad({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle = \vec{0}}) \end{cases}</math>を考える。 この関数は<math>x, y</math>軸（則ち直線<math>y=0, x=0</math>）上では値が常に0な定数関数である。よって軸上の全ての点で微分可能なので、原点に於いて<math>x, y</math>とも偏微分可能である。 しかし、区分的に定義された上の式の<math>x, y\to0</math>の極限をとってみると、 :<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\sin\theta\cos\theta</math> より原点に近づけた極限は存在しない。従ってこの<math>f(x, y)</math>は原点を不連続点に持つ。 このように、常微分で成り立った「ある点で微分可能ならばその点で連続」という定理は偏微分では成り立たない。 そこで、この定理を多変数関数でも成り立たせるような新たな微分を考える。 一変数関数の常微分係数の定義式は :<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> であったが、これは<math>h\to0</math>で<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)</math>ということなので、'''[[高等学校数学III/微分法#ランダウの記号|ランダウの記号]]'''（'''オーダー記法'''）を用いて :<math>f(a+h)-f(a)=hf'(a)+O(h)\quad (h\to0)</math> という式が出来上がる。 これを二変数に拡張するとき、<math>hf'(a)</math>の項を「極限で飛ばす変数と導関数の内積^※」と考えることによって、以下のような表示を得る。 :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> これをそのまま'''（完）全微分'''の定義式とする。 ※複素数の内積<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>より、実数同士の積<math>ab</math>は内積<math>\langle a, b \rangle</math>と考えることができる。詳しくは[[関数解析学]]を参照。 この式が成り立つとき（諄いが二変数関数の極限値はあらゆる方向あらゆる経路で近づいても一致する必要がある）、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''（完）全微分可能'''という。 また、<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix}</math>を'''（完）全微分係数'''という。 *全微分係数が偏微分係数の組で表されることの証明 :全微分係数を<math>(\alpha, \beta)</math>とおく。 :<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能であるとき、<math>k=0</math>と固定して<math>h\to0</math>の極限をとると、 :全微分の定義式より<math>f(a+h, b)-f(a, b)=\alpha h + O(|h|) \quad(h\to0)</math> :<math>\therefore \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}=\lim_{h\to0} \left\{ \alpha + \frac{O(|h|)}{h} \right\} = \alpha + 0 = \alpha</math> :最左辺は<math>f</math>の<math>x</math>に関する偏微分係数に等しいので<math>\alpha = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)</math> :<math>y</math>に就ても同様。// ここで証明したことから、以下が成り立つ。 {{定理|}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能<math>\implies</math><math>(a, b)</math>で<math>x, y</math>のどちらに関しても偏微分可能 {{定理終わり}} ここから、全微分可能は偏微分可能より強い条件であると判る。 更に、先ほど全微分を「微分可能なら連続」という定理を成り立たせる微分として導入したので、この定理が成り立つ筈である。 *証明 :<math>(x, y)</math>を全微分可能な点<math>(a, b)</math>の充分近傍にとる。 :<math>x-a=h, y-b=k</math>とすると<math>x=a+h, y=b+k</math>であり、<math>(x, y)\to(a, b)\iff h, k\to0</math>なので :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)} \{f(x, y)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \{f(a+h, b+k)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \left\{\alpha h+ \beta k + O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\right\}</math> :<math>=\alpha\cdot0+\beta\cdot0</math> :<math>=0</math> :よって極限の分配法則より :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)-\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(a, b)=0</math> :<math>\therefore \lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math> :従って、<math>f(x, y)</math>は全微分可能な点で連続である。 なお、全微分と常微分は完全に対応するため、両者を区別せずにただ「微分」と呼ぶ文献も存在する。実際、関数が一変数か多変数かは文脈で容易に判断されるので、両者を区別しなくとも実務的な支障はない。 余談だが、全微分は偏導関数に各独立変数の微小量を掛けて足し合わせた式 :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy</math> でも表される。 一変数関数に於いて、常微分可能性は「点<math>(a, f(a))</math>を通る接線の存在性」に対応した。 それでは、全微分可能性の幾何的意味は何であろうか？ 一変数の話に立ち戻ると、関数の接線とは「接点の充分近傍に於ける関数の一次近似」であった。つまり、次元を1つ上げると曲面<math>z=f(x, y)</math>は「点<math>(a, b, f(a, b))</math>を通る且つ方程式が<math>x, y, z</math>の一次方程式である」図形で一次近似される筈である。 高校数学を思い出すと、<math>xyz</math>空間で一次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>は平面の方程式であった。更に、ベクトル<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>はこの平面に垂直な法線ベクトルであった。 <math>f(x, y)</math>が全微分可能ならば<math>x, y</math>に関して偏微分可能なので、一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>はそれぞれ<math>x, y</math>に関して常微分可能であり、曲面<math>z=f(x, y)</math>を平面<math>y=b/x=a</math>で切った切り口の曲線の接線の傾きは<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>となる。よってこれらの接線に対してそれぞれ方向ベクトル<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>をとれる。 求める平面はこれらの接線を共に含む筈なので、<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>の両方に直交するようなベクトルが求める平面の法線ベクトルである。 よってこれらの外積を計算して、 :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot f_{\partial y}(a, b) - f_{\partial x}(a, b) \cdot 1 \\ f_{\partial x}(a, b) \cdot 0 - 1 \cdot f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -f_{\partial x}(a, b) \\ -f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \end{pmatrix}</math> 求める平面は<math>(a, b, f(a, b))</math>を通るので、方程式の一般形に代入して :<math>-f_{\partial x}(a, b)(x-a) - f_{\partial y}(a, b)(y-b) + 1 (z-f(a, b))=0</math> :<math>\therefore z-f(a, b)=f_{\partial x}(a, b)(x-a) + f_{\partial y}(a, b)(y-b)</math> この平面を、曲線<math>z=f(x, y)</math>の点<math>(a, b, f(a, b))</math>に於ける'''接平面'''という。 則ち、全微分可能性は接平面の存在性に対応することが判った。 {{演習問題|二変数関数<math>f(x, y)=x^3+y^3</math>が(1)任意点で全微分可能であることを示し、(2)点<math>(1, 1, 2)</math>に於ける接平面の方程式を<math>z=ax+by+c</math>の形で求めよ。|(1) 全微分可能性を示すには、<math>\lim_{h, k\to0} \left\{ f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}=0</math>・・・(*)を示せばよい。<br><math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^3, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より、<br><math>f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math><br><math>=(a+h)^3+(b+k)^3-(a^3+b^3)-(3a^2h+3b^2k)</math><br><math>=3ah^2+h^3+3bk^2+k^3</math><br><math>=O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right)</math><br>ここで<math>O\left(g(x, y)\right)</math>とは<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}\frac{f(x, y)}{g(x, y)}=0</math>を満たす<math>f(x, y)</math>のことだったので、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|</math>が0に収束する点<math>(a, b)</math>が存在することを示せばよい。<br>変数変換<math>\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>により、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{3ar^2\cos^2\theta+r^3\cos^3\theta+3br^2\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta}{r}\right|</math><br><math>=|3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)|</math><br><math>\leqq3r|a\cos^2\theta+b\sin^2\theta|+r^2|\cos^3\theta+\sin^3\theta|</math>(<math>\because</math>三角不等式)<br><math>\leqq3r(a+b)+2r^2 (\because |\sin\theta|, |\cos\theta|\leqq1)</math><br>最後の式で<math>r\to0</math>とした極限は0に収束し、不等式<math>0 \leqq |3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)| \leqq 3r(a+b)+2r^2</math>と挟み撃ちの原理より<br><math>\lim_{h, k\to0}\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=0</math>なので、(*)が示された。//<br> (2) (1)で求めた偏導関数から<math>f_{\partial x}(1, 1)=3, f_{\partial y}(1, 1)=3</math>なので、<br>一般形に代入して<math>z-2=3(x-1)+3(y-1) \iff z=3x+3y-4</math>// }} ===高階偏導関数=== <math>z=f(x, y)</math>の偏導関数<math>\partial{x} f(x, y), \partial{y}f(x, y)</math>は一般に<math>x, y</math>の二変数関数である。そのため、これらが偏微分可能であればさらに偏微分することが可能である。 今、<math>f(x, y)</math>の<math>x, y</math>について偏導関数が存在し、それぞれ偏微分可能であればそれぞれ更に<math>x, y</math>についての導関数が存在する。そのため、積の法則より二回偏微分した偏導関数（'''二階偏導関数'''）は4種類存在することになる。 <math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x^2}(x, y),~ f_{xx}(x, y),~ z_{\partial x^2},~ z_{xx},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(x, y),~ \partial{x^2} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y\partial x}(x, y),~ f_{xy}(x, y),~ z_{xy},~ z_{\partial y\partial x},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(x, y),~ \partial{y}\partial{x} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x\partial y}(x, y),~ f_{yx}(x, y),~ z_{yx},~ z_{\partial x\partial y},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(x, y),~ \partial{x}\partial{y} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y^2}(x, y),~ f_{yy}(x, y),~ z_{\partial y^2},~ z_{yy},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(x, y),~ \partial{y^2} f(x, y)</math>などと表す。 ここで、<math>\partial</math>を用いるか否かで<math>x, y</math>の順序が入れ替わっていることに注意。 また、それぞれの二階偏導関数が存在するかは一階偏導関数の偏微分可能性に依存するので、上の4種類が必ず揃う訳ではない。 先程の<math>f(x,y)=x^5y^3</math> の場合、 *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(5x^4 y^3)=5\left(\frac{d}{dx}x^4\right)y^3=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^3 y^3</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(5x^4 y^3)=5x^4\left(\frac{d}{dy}y^3\right)=5x^4\sdot 3y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(3x^5 y^2)=3\left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^2=3\sdot 5 x^4 y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(3x^5 y^2)=3x^5\left(\frac{d}{dy}y^2\right)=3x^5\sdot 2y=6 x^5 y</math> である。 ここで<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>が成り立っているが、これは応用上用いられるような「まとも」な関数ならば偏微分の順番が可換であることによる。 *「まとも」でない例 *::<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> *:とすると、 *::<math>f(x,0)=f(0,y)=0</math>より *::<math>\partial{x} f(0,0)=\partial{y} f(0,0)=0</math> *:一方、<math>(x,y) \ne (0,0)</math>のとき、 *::<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\therefore \partial{x} f(0,y)=-y, \ \partial{y} f(x,0)=x</math> *:従って *::<math>\partial{x}\partial{y}f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{h-0}{h}=1</math> *::<math>\partial{y}\partial{x}f(0,0)=\lim_{k \to 0}\frac{-k-0}{k}=-1</math> *:である。 「まとも」な関数が具体的にどのような関数であるかは、以下の定理により与えられる。 {{定理|(偏微分順序の可換性)}} 点<math>(a,b)</math>に於いて<math>f_{xy}(a, b), f_{yx}(a, b)</math>ともに連続ならば、 :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math> {{定理終わり}} ;証明の導入 まず、<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{xy}(a,b)= \frac{\partial{f_x}}{\partial{{y}}} =\lim_{k\to 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\to 0} \frac {\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k} </math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a,b+k) \} - \{ f(a+h,b)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> であり、同様に<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{yx}(a,b)= \frac{\partial{f_y}}{\partial{{x}}} =\lim_{h\to 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac {\lim_{k\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\to 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h} </math> :<math>= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a+h,b) \} - \{ f(a,b+k)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k) - f(a+h,b) -f(a,b+k) + f(a,b) } {hk}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> である。 よって、この定理は式 <math>\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}</math> における <math>\lim_{k\to 0}</math> と<math>\lim_{h\to 0}</math> （反復極限）の可換を証明している。 ;証明 やや天下り的だが、 :<math>F=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h, b)+f(a, b)</math> と置くと :<math>F=\{f(a+h, b+k)-f(a+h, b)\}-\{f(a, b+k)-f(a, b)\}=\{ f(a+h, b+k)-f(a, b+k) \} - \{ f(a+h, b)-f(a, b) \} </math> である。 技巧的だが、この式を参考に :<math>\phi(x):=f(x, b+k)-f(x, b)</math> :<math>\psi(y):=f(a+h, y)-f(a, y)</math> とすると、 :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a) = \psi(b+k)-\psi(b)</math> という風に<math>F</math>を1変数関数に置き換えられる。 ここで、1変数関数に於けるラグランジュの平均値の定理を適用すると、 :<math>F=\phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(c)</math> を満たす<math>c \in (a, h)</math>が存在するので、 :<math>\theta_1 \in (0, 1)</math> として :<math>c=a+\theta_1h</math> と書いておく。 ここで偏微分係数の定義に立ち戻ると、<math>\frac{d\phi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b+k)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b)</math>である。 なので :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(a+\theta_1h) = h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}</math> また、<math>\phi'(a+\theta_1h)</math>を<math>y</math>の関数と考えることにより、偏微分係数の定義を再び用いて :<math>F=h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k) \quad(\theta_2 \in (0, 1))</math> を得る。 一方、 :<math>F = \psi(b+k)-\psi(b)</math> と表した場合も、同様の式変形によって :<math>F=\psi(b+k)-\psi(b)=k\psi'(b+\theta_3k)=k\{f_y(a+h, b+\theta_3k)-f_y(a, b+\theta_3k)\}=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k) \quad(\theta_3, \theta_4 \in (0, 1))</math> よって :<math>F=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> <math>h, k\neq0</math>より :<math>f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=f_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> この式について、 <math>h, k\to 0</math>の極限をとれば、極限をとる順番に関係なく :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math>// <!--* 参考文献 証明の導入の参考として、 :http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日 証明中の数式の記法の参考として、 :サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、--> 二階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''三階偏導関数'''という。三階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''四階偏導関数'''という。同様に次数を上げていくことができる。次数が2以上の場合を'''高階偏導関数'''という。 一変数の場合と異なり、次数が上がるたびにそれぞれ<math>x, y</math>について偏導関数を考えるため、<math>n</math>階偏導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複順列 <math>{}_2 \Pi_n</math>に等しい。 但し、上で証明した定理を繰り返し用いると偏微分の順序が関係なくなるので、「どの変数で何回偏微分したか」のみが重要である。具体的には、一致する偏導関数たちを全体で<math>1</math>個と数えると、(偏微分が可換な)<math>n</math>階導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複組合せ <math>{}_2 \mathrm{H}_n</math>に等しくなる。 点<math>(a, b)</math>で二変数関数<math>f(x,y)</math>の<math>k</math>階偏導関数(<math>k=1, 2, \cdots, n</math>)が全て存在し、且つそれらが全て連続であるとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''<math>n</math>階連続微分可能'''といい、「<math>f</math>は<math>(a, b)</math>で<math>C^n</math>(級)関数である」という。また、定義域の全てで連続微分可能である場合は<math>f \in C^n</math>と書く。 <math>n\to\infty</math>でいえるときは<math>C^\infty</math>級関数という。 応用上で用いられる関数の殆どは<math>C^\infty</math>級関数である。 これを用いて先程の定理を言い換えると、 :<math>(a, b)</math>で<math>f</math>が<math>C^2</math>級<math>\implies f_{xy}(a, b)=f_{yx}(a, b)</math> である。 ===合成関数微分=== 二変数関数に対しても合成関数を考えることができるが、合成元の関数は一変数と二変数の二通り考えることができる。 先ずは、一変数関数の場合を考える。 一変数関数<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}</math>となるような媒介変数<math>t</math>が存在するとする。このとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>を考えることができる。 <math>F</math>は勿論一変数関数なので、<math>t</math>で微分するには常微分可能性を考えればよい。則ち、極限 :<math>\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}</math> が有限値<math>L</math>に収束すればよい。 ここで<math>\begin{cases} \Delta x := \phi(t+h)-\phi(t) \\ \Delta y := \psi(t+h)-\psi(t) \end{cases}</math>とする。<math>\phi(t), \psi(t)</math>が常微分可能とすると<math>\phi(t), \psi(t)</math>は連続なので<math>h\to0</math>で<math>\Delta x , \Delta y\to0</math>である。よって :<math>L=\lim_{h\to0}\frac{f(\phi(t)+\Delta x), \psi(t)+\Delta y)-f(\phi(t), \psi(t))}{h}</math> 更に<math>f</math>が全微分可能とするとどの方向から<math>\Delta x, \Delta y\to0</math>としても :(分母)<math>=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta y</math> よって :<math>L=\lim_{h\to0} \left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta x}{h}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta y}{h} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \right\}</math> ここで :<math>\lim_{h\to0}\frac{\Delta x}{h}=\phi'(t), \quad \lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=\psi'(t)</math> また、 :<math>\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = \frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{h}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{h}\right)^2}</math> より :<math>\lim_{h\to\pm0}\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = 0\cdot\sqrt{\{\phi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}}</math> よって :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\psi}{dt}</math> と求まる。 {{定理|(合成関数の常微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math>の何れも常微分可能であるとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>は常微分可能で :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}</math> {{定理終わり}} ここでは代入記号を省略する略記法を用いていることに注意。右辺を見ると、一変数関数の合成関数微分と同様に'''連鎖律'''（'''チェーン・ルール'''/'''チェイン・ルール'''）が成り立っていることが判る。 二変数の場合は、偏微分の定義に立ち戻って一変数の場合に帰着すれば容易にわかる。 {{定理|(合成関数の偏微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(u, v), y=\psi(u, v)</math>の何れも<math>u/v</math>で偏微分可能であるとき、合成関数<math>F(u, v)=f(\phi(u, v), \psi(u, v))</math>は<math>u/v</math>で偏微分可能で :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}</math> :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}</math> {{定理終わり}} *証明 合成関数の常微分の証明の計算に於いて<math>t=u, v</math>とそれぞれ置くことで直ちに成り立つ。 一変数関数の場合と同様に合成関数の二階微分も考えられるが、一変数の場合より遙かに煩雑である。 例えば、<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right) + \frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>和の微分) :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>積の微分) :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math> :<math>=\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>(<math>\because</math>合成関数の偏微分) :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>// ここで、<math>f</math>が<math>C^2</math>級であれば更に変形して :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2</math> 合成関数微分の計算は、[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]に役立てられている。 例えば、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0</math>（ポアソン方程式）という二階線型偏微分方程式を考える。 <math>f(x, y)</math>を極座標表示<math>F(r, \theta)</math>に直すとき、変換公式<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は<math>f</math>に二変数関数<math>\phi(r, \theta)=r\cos\theta, \psi(r, \theta)=r\sin\theta</math>を合成していると捉えることができる。 よって、 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}</math> 先程求めた合成関数の二階偏微分の式から :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\right)^2</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\right)^2</math> ここで<math>r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\frac{y}{x}</math>より :<math>\frac{\partial{r}}{\partial{x}}=\frac{x}{r},~ \frac{\partial{r}}{\partial{y}}=\frac{y}{r},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}=-\frac{y}{r^2},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}=\frac{x}{r^2},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}=\frac{y^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}=\frac{x^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}=\frac{2xy}{r^4},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}=-\frac{2xy}{r^4}</math> なので :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{y^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{y^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{x^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}-\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{x^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> 故に :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> と変形される。 ここで<math>f \in C^2</math>ならば<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}</math>なので :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> 更に、<math>f</math>が回転対称性（<math>\theta</math>の項を無視できる性質）を持っている場合、 :<math>\frac{d^2F}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dF}{dr}=0</math> という（元の二変数線型偏微分方程式に比べ）圧倒的に簡単な二階線型常微分方程式に帰着できる。 なお、元の偏微分方程式はベクトル解析の知識を用いると<math>\text{∆} f = 0</math>と非常に簡潔に表され、これは座標系に依らない記法なので大変便利である。 ===極値=== 一変数関数の場合と同様に、二変数関数でもテイラーの定理を考えることが可能である。 但し、先程も見たように<math>f(x, y)</math>の<math>n</math>階偏導関数の最大個数は<math>{}_2 \Pi_{n}</math>であり、その全てを式に書いたのでは非常に煩雑となって収拾がつかなくなる。 そこで、以下のような略記法を考える。 :<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>を形式的に<math>\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f</math>と変形する。ここで、<math>D:=\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすれば<math>Df</math>と表せる。 この<math>D</math>は「各独立変数に関して偏微分したそれぞれの偏導関数の総和をとる」という意味の演算子として定義され得る。一般に、偏微分演算子の一次結合として定義される演算子<math>D = \sum_{i} a_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}</math>を'''一次の偏微分作用素'''という。各<math>a_i</math>のとり方で微分する方向が変わることから'''方向偏微分作用素'''ともいう。 <math>f</math>にこの<math>D</math>を複数回作用させることを考える。 :<math>D(Df)=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f\right\}</math> :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> と、四種類の二階偏導関数が全て現れている。 ここで形式的に :<math>(D D)f=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\right\}f</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}\right)f</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> なので、偏微分作用素<math>D</math>と作用素の対象となる関数<math>f</math>の間に結合法則が成り立っていると見做せる。 そこで、<math>D^2:=DD</math>と定義すると、同様の議論により一般に<math>n</math>階偏導関数の総和は<math>D^nf</math>で表される。 これを用いて、以下のテイラーの定理を証明しよう。 {{定理|(二変数に於けるテイラーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^n</math>級であるとき、<math>h:=x-a, k:=y-b, D:=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i!}D^if(a, b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h, b+\theta k)</math> を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :<math>g(t):=f(a+ht, b+kt)</math>として<math>g(t)</math>の有限マクローリン展開より ::<math>g(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}g^{(i)}(0)+\frac{t^n}{n!}g^{(n)}(\theta t)</math> :を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 :合成関数の偏微分より ::<math>\frac{d}{dt}g(t)=\frac{dx}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=Df</math> :なので<math>g(t)</math>を常微分することと<math>f</math>に<math>D</math>を作用させることは同値であり、非負整数<math>i</math>に対して ::<math>g^{(i)}(t)=D^if(a+ht, b+kt)</math> :よって ::<math>g^{(i)}(0)=D^if(a, b)</math> ::<math>g^{n}(\theta t)=D^nf(a+\theta t h , b+\theta t k)</math> :より ::<math>f(a+ht, b+kt)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}D^if(a, b)+\frac{t^n}{n!}D^n(a+\theta th, b+\theta tk)</math> :ここで<math>t=1</math>とすれば定理の式を得る。// この定理の応用として最も基本的なのが、極値である。 一変数関数と同様、極小値・極大値を求めることは最大値最小値問題を解く手掛かりになるが、その求め方は複雑である。 先ずは、極値を定義する。 :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として、 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極大'''という。 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \geq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極小'''という。 :極大/極小となるときの<math>f(a, b)</math>を'''極大値/極小値'''といい、纏めて'''極値'''と呼ぶ。 一変数の場合と異なるのは、'''どの方向から見ても極大/極小'''でなければならない点である。 例えば、曲面<math>z=x^2-y^2</math>を考える。 :この曲面を<math>zx</math>平面（則ち平面<math>y=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=x^2</math>であり、<math>y=0</math>より原点で極小値をとる。 :然し、この曲面を<math>yz</math>平面（則ち平面<math>x=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=-y^2</math>であり、<math>x=0</math>より原点で極大値をとる。 このように、方向によって極大・極小が変わるような点を、馬の{{ruby|鞍|くら}}に見えることから'''{{ruby|鞍点|あんてん}}'''といい、極値点とは区別する。極大方向・極小方向の少なくとも一方が存在しない場合は鞍点とは呼ばない。 極値をとる点を求める手掛かりとなるのが、次の定理である。 {{定理|(二変数に於けるフェルマーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極値をとる<math>\implies \partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>f(a, b)</math>が極値ならば、<math>x/y</math>軸方向で見ても極値になっている筈である。 :ここで<math>x/y</math>軸方向に見るとは、他の独立変数を固定した一変数関数として見ることだったので、<math>f(x, b), f(a, y)</math>を考えていることになる。 :このとき、一変数に於けるフェルマーの定理より ::<math>\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a}=0,~ \frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}=0</math> :であるが、 :偏微分係数の定義より ::<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=\frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}</math> :だったので、 ::<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> :である。// なお、<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math>が成り立つ点<math>(a, b)</math>を'''停留点'''という。これは、ベクトル解析的に<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0 \iff \mathrm{grad} f=\boldsymbol{0}</math>である（<math>f</math>の勾配がない）ことに由来する。 フェルマーの定理の対偶を取れば :<math>(\partial{x}f(a, b)\neq0 \lor \partial{y}f(a, b)\neq0) \implies f(a, b)</math>は極値ではない となるので、極値を取る点を求めるには停留点のみを考えればよいことになる。 停留点を求めるには、連立方程式<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b)=0 \\ \partial{y}f(a, b)=0 \end{cases}</math>を解けばよい。 但し、その解<math>(a, b)</math>が極値をとる点とは限らない（必要条件であって十分条件ではないため）。 一変数関数の場合は<math>f'(a)=0</math>を満たす<math>a</math>近傍の増減を調べればよかったが、二変数の場合はより複雑な手続きを要する。 一般に、多変数関数<math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>に対して<math>(\mathbf{D})_{ij}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}</math>なるn次行列<math>\mathbf{D}</math>を'''ヘッセ行列'''という。 ヘッセ行列式（ヘッシアン）<math>D(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\det\mathbf{D}</math>を'''判別式'''という。 二変数の場合、<math>\mathbf{D}=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math>より判別式は<math>D(x, y)=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>である。 この判別式の符号を調べることによって、極値の有無を判定することができる。 {{定理|(極値の判定)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとり、 ::(ⅰ)<math>\partial{x^2}f<0 \implies f(a, b)</math>は極大値 ::(ⅱ)<math>\partial{x^2}f>0 \implies f(a, b)</math>は極小値 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとらない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとることもとらないこともある。則ち、判別式では判定できない。 {{定理終わり}} *証明 :テイラーの定理で<math>n=2</math>の場合を考えると、<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^2</math>級ならば<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在して :<math>f(a+h, k+b)=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より変形して :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :ここで<math>f \in C^2</math>より<math>f</math>の二階偏導関数は何れも連続なので、<math>D(a, b)\gtrless0</math>ならば充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>D(a+\theta h, b+\theta k)\gtrless0</math>となる。 :ここで<math>p = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k),~ q = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k),~ r = \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k)</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}(ph^2+2khq+kr^2)</math>・・・(*) :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき ::<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)=0</math>とすると<math>D(a, b)\leq0</math>となって不適。<math>\therefore \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)\neq0</math> ::充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>p\neq0</math>より(*)の右辺を平方完成して ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{pr-q^2}{p}k^2 \right\}</math> ::<math>=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{D(a+\theta h, b+\theta k)}{p}k^2 \right\}</math> ::ここで両辺<math>0 \iff h=k=0</math>に注意すると、 ::上式の最右辺は<math>p</math>の符号と正負が一致する。 ::これは<math>(a, b)</math>の充分近傍では<math>p>0</math>で<math>f(a, b)</math>が最小値、<math>p<0</math>で<math>f(a, b)</math>が最大値をとることを意味するので、<math>f(a, b)</math>は極値である。 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき ::<math>p\gtrless0</math>のとき、平方完成した最右辺の波括弧の中身は、 :::<math>h+\frac{qk}{p}\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると負/正 :::<math>h\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると正/負 ::であるので、<math>h, k</math>のとり方によって<math>f(a+h, b+k)\gtrless f(a, b)</math>のどちらにもなり得、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で最大でも最小でもない。 ::則ち、<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 ::<math>p=0</math>のとき、<math>r\neq0</math>ならば<math>h, k</math>を二階偏導関数に置き換えることで同様の結論を得る。 ::<math>r=0</math>のとき、 ::<math>D(a+\theta h, b+\theta k)=-q^2<0</math>より<math>q\neq0</math>なので(*)より ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=qhk</math> ::これは<math>h, k</math>の符号によって正負のどちらもとり得るので同様に<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、 ::<math>h, k</math>のとり方により<math>D(a+\theta h, b+\theta k)</math>は正負のどちらもとり得る。 ::よって(1), (2)より<math>f(a, b)</math>は極値であることも極値でないこともあるので、 ::判別式では判定不能である。// {{演習問題|次の関数に極値があるかどうか調べ、あるならば求めよ。 :1. <math>f(x, y)=x^2+y^2-2xy</math> :2. <math>f(x, y)=x^2+2xy-3y^2+4x+4y+1</math> :3. <math>f(x, y)=x^3+y^3</math> |1. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y-x</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=2,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=-1</math>より :<math>D(0, 0)=2\cdot2-(-1)^2=3>0</math> :また、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}>0</math>より :<math>f(x, y)</math>は<math>(0, 0)</math>で極小値<math>0</math>をとる。 2. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+2y+4,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-6y+2x+4</math>より :停留点は<math>(-2, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2,~ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}=-6,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=2</math>より :<math>D(-2, 0)=2\cdot(-6)-2^2=-16<0</math> :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。 3. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=6x,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=6y, \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=0</math>より :<math>D(0, 0)=0\cdot0-0^2=0</math> :よって判別不能。 :ここで、直線<math>y=x</math>を経路として原点から点<math>(x, y)</math>を動かしてみる。 :<math>f(x, x)=x^3+x^3=2x^3</math> :よって<math>x>0</math>で<math>f(x, y)>f(0, 0)</math>、<math>x<0</math>で<math>f(x, y)<f(0, 0)</math>より :原点近傍で<math>f(0, 0)</math>は最大でも最小でもない、則ち<math>f(0, 0)</math>は極値ではない。 :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。}} *発展問題 *:<math>f(x, y)=e^{xy}</math>を二次の項迄テイラー展開せよ。 停留点が鞍点である条件を補足しておく。 鞍点とは「関数が極大となる方向・極小となる方向の双方が存在する」ような点であった。 <math>f(x, y)</math>を停留点<math>(a, b)</math>に於けるテイラー展開で二次近似することを考える。 :テイラーの定理より厳密に ::<math>f(a+h, b+k)=\frac{1}{0!}D^0 f(a, b)+\frac{1}{1!}Df(a, b)+\frac{1}{2!}D^2f(a+\theta h, b+\theta k)</math> :であるが、<math>\theta \in(0, 1)</math>より<math>\theta\fallingdotseq0</math>と見做して近似すると ::<math>f(a, b)\fallingdotseq f(a, b)+Df(a, b)+\frac{1}{2}D^2f(a, b)</math> :<math>D=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>より ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=0</math>なので ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :ここで<math>\frac{1}{2}</math>で括られた部分に着目すると、 ::<math>h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)</math> ::<math>=h\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)+k\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>とすると ::<math>f(a+h, b+k)\fallingdotseq f(a, b)+\frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> :則ち ::<math>f(a+h, b+k) - f(a, b) \fallingdotseq \frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> 拠って、<math>\boldsymbol{v}</math>方向で極大・極小か見るには停留点から<math>\varepsilon\boldsymbol{v}</math>だけ動かしたときの :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の変化を見ればよいが、 :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2>0</math> より、結局は[[線型代数学/二次形式|二次形式]] :<math>({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の符号を見れば良いことになる。 ここでヘッセ行列<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>を対角化することを考える（ヘッセ行列は対称行列なので直交行列で対角化可能）。 :ヘッセ行列の各固有値を<math>\lambda_1, \lambda_2</math>とおくと、ある直交行列<math>\mathbf{P}</math>による相似変換で ::<math>({}^t \! \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}} = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2)</math> :と対角化できる。 :このとき、二次形式は<math>\boldsymbol{u}={}^t \! \mathbf{P} \boldsymbol{v}</math>という一次変換で ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}</math> :と表される。 :すると<math>\boldsymbol{u}_x\times\boldsymbol{u}_y</math>の項は対角行列の零成分が掛かって消えるので、 ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}=\lambda_1 (\boldsymbol{u}_x)^2+\lambda_2 (\boldsymbol{u}_y)^2</math> :（つまりこの変換は主軸変換） 則ち、任意方向で極大か極小か調べるには'''ヘッセ行列の各固有値の符号を見ればよい'''。 固有値が全て正であるとき、どのような<math>h, k</math>に対しても<math>f(a+h, b+k) - f(a, b)>0</math>と考えられるので、<math>\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>のとり方に依らず<math>f(a, b)</math>は極小値である。 固有値が全て負であるとき、同様に<math>f(a, b)</math>は極大値である。 固有値の符号が異なるとき、<math>\boldsymbol{v}</math>のとり方によって極大か極小か変わるので、<math>(a, b)</math>は鞍点である。 零固有値を持つときは、零固有値に対応する固有ベクトル方向の情報が近似の際に切り捨てられている（則ち<math>\theta</math>- 依存性が高い）ので極大・極小・鞍点・何れでもない、の全ての場合をとり得る。 纏めると、以下のようになる。 {{定理|(極値の判定Ⅱ)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が負定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極大。 :(2)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が正定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極小。 :(3)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が不定行列ならば<math>(a, b)</math>は鞍点。 :(4)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が半正定値行列又は半負定値行列又は完全退化行列ならば<math>(a, b)</math>は極値点であることも鞍点であることもそうでないこともある。則ち、ヘッセ行列の定値性では判定できない。 {{定理終わり}} 近似の際に切り捨てた項の振舞によってはこの判定法が通用しない場合がある。特に、三変数以上で(3)を用いる場合は注意。 ヘッセ行列が正定値・負定値・半正定値・半負定値・不定値の何れであるかは、[[線型代数学/固有値と固有ベクトル|シルヴェスターの判定法]]を用いると固有値を求めることなく判別できる。 ===陰関数=== <math>y=f(x)</math>という形で陽に表示される関数を'''陽関数'''という。 これに対し、方程式<math>f(x, y)=0</math>がある区間で定義が区分的でない関数<math>y=\varphi(x)</math>を表すとき、「<math>y=\varphi(x)</math>は<math>f(x, y)=0</math>で定義された'''陰関数'''」という。このとき、方程式<math>f(x, y)=0</math>を「<math>y=\varphi(x)</math>の'''陰関数表示'''」という。一般に、陰関数は陽に表示できるとは限らない。なお、陰関数表示のことを単に陰関数と呼ぶ場合もある。 例えば、単位円の方程式<math>x^2+y^2=1</math>に対し、<math>y=\sqrt{1-x^2},\quad y=-\sqrt{1-x^2}</math>はそれぞれ単位円の方程式で定義された陰関数である。ここで、点<math>(1, 0)</math>を内部に含む開区間を考える。このような区間をどんなに小さく取ったとしても、円の上半分と下半分を両方含んでしまうため、区分的に定義しなければ一意な関数で表せず、則ち陰関数が存在しない。 それでは、方程式<math>f(x, y)=0</math>の陰関数が点<math>(x, y)</math>の充分近傍で存在する条件は何であろうか？ 先ずは、厳密なことを抜きにして考える。 形式的に、陰関数<math>y=\varphi(x)</math>は方程式<math>f(x, y)=0</math>を<math>y</math>に就て解いた解である。そのため、このような関数が存在するならば<math>f(x, \varphi(x))=0</math>という<math>x</math>の一変数方程式が成り立つ。 媒介変数を<math>t=x</math>と見て方程式の両辺を<math>x</math>で常微分すると合成関数微分の公式より<math>\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\frac{dt}{dx}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=0</math> :<math>\therefore \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}}</math> ここで、実際には <math>\Big|_{y=\varphi(x)}</math>が省略されていることに注意。 この式の主張を纏めると、以下の定理を得る。 {{定理|(陰関数の定理Ⅰ)}} <math>f \in C^1,~ f(a, b)=0,~ \partial{y}f(a, b)\neq0</math>であるとき、<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>f(x, y)=0</math>の定義する陰関数<math>y=\varphi(x)</math>が唯一つ存在し、 :<math>b=\varphi(a)</math> また、この陰関数は<math>x=a</math>の充分近傍で常微分可能で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> {{定理終わり}} 先程の考え方では「<math>\varphi(x)</math>の存在性・一意性・常微分可能性」を既に仮定してしまっているので、それらを担保するこの定理の証明としては用いることができない（循環論法になってしまう）。 実は、二変数の場合ならば今迄習った知識で証明可能である。以下に示す。 *証明 :<math>\Omega</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の開集合とする。 :<math>\partial{y}f(a, b)>0</math>とすると<math>f \in C^1</math>より<math>\partial{y}f(x, y)</math>は連続で ::<math>\exist \delta_1, \delta_2>0,~ U=\{ x\big|~ |x-a|\leq\delta_1 \},~ V=\{y\big|~ |y-b|\leq\delta_2\},\quad f(x, y)>0 \quad \left( {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)} \in U \times V \subset \Omega \right)</math> :<math>y \in V</math>で<math>f(a, y)>0</math>よりこの区間で単調増加し ::<math>f(a, y)=f(a, b)=0 \lor f(a, b-\delta_2)<0<f(a, b+\delta_2)</math> :更に<math>f</math>が連続より<math>\delta_1</math>が十分小さければ ::<math>x \in U \implies f(x, b-\delta_2)<0<f(x, b+\delta_2)</math> :中間値の定理より ::<math>\forall x\in U,~ \exist y \in V,~ f(x, y)=0</math> :<math>\frac{d\varphi}{dy}>0</math>よりこのような<math>y</math>は一意に定まる。（仮に二つあるとしても、<math>f(x, y_1)=f(x, y_2)=0</math>なのでロルの定理より<math>\exist d \in [y_1, y_2],~ f(x, d)=0</math>。則ちこの<math>d</math>を<math>y</math>として新たにとれば良いことになるので一意である。） :ここで<math>y=\varphi(x)</math>とおくと<math>\varphi(x)</math>は一意で<math>\mathrm{dom}\varphi = U,~ \mathrm{ran}\varphi = V</math> :上記より<math>b=\varphi(a)</math> :<math>\varphi</math>が<math>x_0 \in U</math>で連続でないとすると ::<math>\exist \varepsilon_0,~ \exist x\in U,~ \forall \delta>0,~ ( |x-x_0|<\delta \implies |\varphi(x)-\varphi(x_0)| \geq \varepsilon_0 )</math> :<math>\delta:=\frac{1}{n} (n\in\mathbb{N})</math>とすると ::<math>\forall n\in\mathbb{N},~ \exist x_n\in U,~ ( |x-x_0|<\frac{1}{n} \implies |\varphi(x_n)-\varphi(a)| \geq \varepsilon_0 )</math> :但し<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math>に注意。 :ここで<math>\mathrm{ran}\varphi=V</math>より<math>\varphi(x_0)\in V</math>、則ち<math>\{\varphi(x_n)\}</math>は有界数列である。 :拠ってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より<math>\{x_n\}</math>の部分列<math>\{x_{n_k}\}</math>が存在して ::<math>\lim_{k\to\infty}\varphi(x_{n_k})=y_0 \in V</math> :<math>f(x_{n_k}, \varphi(x_{n_k}))=0</math>且つ<math>f</math>が連続より<math>k\to\infty</math>で<math>f(x_0, y_0)=0</math>でなければならないので ::<math>y_0=\varphi(x_0)</math> :一方、 ::<math>\lim_{k\to\infty}|\varphi(x_{n_k})-\varphi(x_0)|=|y_0-\varphi(x_0)|\geq\varepsilon_0>0</math> :これは<math>y=\varphi(x_0)</math>に矛盾する。 :従って<math>\varphi</math>は<math>x_0</math>で連続である。 :<math>\varphi(x_0+h)=\varphi(x_0)+k</math>とおくと<math>\varphi</math>が連続より<math>h\to0</math>で<math>k\to0</math>であり、 :<math>h</math>を充分小さくすると<math>(x_0, \varphi(x_0))</math>と<math>(x_0+h, \varphi(x_0)+k)</math>を結ぶ線分が<math>U\times V</math>に含まれる。 :拠ってテイラーの定理より ::<math>\exist \theta\in(0, 1), 0=f(x_0+h, \varphi(x_0)+k)=f(x_0, \varphi(x_0))+\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)h + \partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)k</math> :<math>k=\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)</math>と<math>f(x_0, \varphi(x_0))</math>より変形して ::<math>\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=-\frac{\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}{\partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}</math> :<math>h\to0</math>とすれば ::<math>\varphi'(x_0)=-\frac{\partial{x} f(x_0, \varphi(x_0))}{\partial{y} f(x_0, \varphi(x_0))}</math> :更に、 ::<math>\varphi'(x)=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> :の右辺が連続関数なので ::<math>\varphi(x) \in C^1</math> :<math>\partial{y}f(a, b)<0</math>の場合も同様に示される。// この証明は「一次元での単調性」に依存しているため、三変数以上に拡張することができない。そのため、（「解析学基礎」の範囲を大幅に超えるが）一般の場合を補足しておく。[[位相空間論]]や[[多様体論]]を修得してから戻ってくるのが良いだろう。 {{定理|(ベクトル関数に於ける陰関数の定理)}} <math>\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m</math>上の開集合を<math>\Omega</math>とする。 <math>C^r</math>級関数<math>\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m</math>に対して :<math>\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0} \\ \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} }\right)\neq0 \end{cases}</math> なる<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>が存在するとき、<br><math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\mathbb{R}^n</math>- 開近傍<math>U</math>、<math>\boldsymbol{\beta}</math>の<math>\mathbb{R}^m</math>- 開近傍<math>V</math>に対して<math>C^r</math>級微分同相写像<math>\boldsymbol{\varphi}:U \to V</math>が唯一つ存在して :<math>\begin{cases} U \times V \subset \Omega \\ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha}) \\ \forall {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\[-6pt] \boldsymbol{y} \end{array} \right)} \in U \times V,~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) \\ \forall \boldsymbol{x} \in U,~ \boldsymbol{\varphi}'(\boldsymbol{x})= - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \right)^{-1} \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} *証明 :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}:\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}</math>を ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{pmatrix}</math> :と定義する。 :<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>に就て<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0}</math>より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix}</math> :従って ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } & \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } \end{pmatrix}</math> :これは下三角行列なので ::<math>\mathrm{rank} \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=m+n</math> :階数が行列の次数に等しいのでこの行列は正則行列、則ち ::<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\neq0</math> :（なお、三角行列に関する行列式の公式を用いると<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\det \boldsymbol{E} \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array}}\right)\neq0</math>と導かれる。） :よって逆写像定理を適用すると :<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})</math>の開近傍<math>U</math>と<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{0})</math>の開近傍<math>V</math>が存在して :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}:U \to V</math>は<math>C^r</math>級微分同相写像となる。 :ここで<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}</math>の<math>C^r</math>級逆写像を<math>\boldsymbol{\psi}</math>とすると逆写像の定義より ::<math>(\tilde{\boldsymbol{f}}\circ\boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :また、<math>\boldsymbol{x}</math>は<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>の<math>1\sim n</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{\psi}_{1\sim n}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>、<math>\boldsymbol{y}</math>は<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>の<math>1\sim m</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{f}_{1\sim m}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>になるので、 ::<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>とすると定義より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :<math>\boldsymbol{y}</math>に<math>\boldsymbol{0}</math>を代入して ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}</math>の定義より<math>\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}):=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math>とすれば :<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}</math> :則ち<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math> :<math>\boldsymbol{\psi} \in C^r</math>より<math>\boldsymbol{\varphi} \in C^r</math>であり、逆写像の一意性より<math>\boldsymbol{\varphi}</math>は一意に定まるので、 :<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math>は陰関数の満たすべき性質を全て満たす。// （補足ここ迄） 陰関数の定理の応用として、陰関数表示で与えられた曲線の接線・法線の方程式を求めることが考えられる。 :円<math>x^2+y^2=r^2</math>を考える。 :<math>f(x, y)=x^2+y^2-r^2</math>とおくと<math>f\in C^2, f(x, y)=0</math>であり、何かしらの関数の陰関数表示となっている。 :よって陰関数定理より :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}</math> :ここで :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y</math> :より<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}</math> :接点を<math>(x_0, y_0)</math>とすれば接線の方程式の公式より :<math>y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)</math> :変形すると :<math>y_0(y-y_0)+x_0(x-x_0)=0</math> :<math>xx_0+yy_0=x^2_0+y^2_0=r^2</math> :ここで<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}</math>は明らかにこの接線の法線ベクトルなので :<math>y=0</math>でも成り立つ。 :同様に法線の方程式は :<math>y=\frac{y_0}{x_0}x</math> :と求まる。// 高校数学では「<math>y</math>を<math>x</math>の関数とみて合成関数微分を行う」という考え方で求めたが、陰関数定理はそのような関数<math>y=\varphi(x)</math>の存在を保証していたのである。 一般の二次曲線やその他の陰関数曲線でもこの考え方を適用することが可能である。 二変数方程式で定義される陰関数は一変数関数であった。では、二変数関数もある三変数方程式で定義された陰関数とは考えられないだろうか？実は、一般に<math>n</math>変数方程式の定義する陰関数は<math>n-1</math>変数関数である。直観的には、「元の<math>n</math>変数方程式に陰関数<math>x_n=g(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})</math>を代入することで自由度が一個下がる」と理解される。 <math>xyz</math>空間で方程式<math>f(x, y, z)=0</math>は一般に曲面を表す。この曲面上の点<math>(a, b, c)</math>近傍で曲面の関数表示が二変数関数<math>z=\psi(x, y)</math>であるための十分条件も陰関数定理で与えられる。 {{定理|(陰関数の定理Ⅱ)}} <math>f \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=0,~ \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>ならば<math>(a, b)</math>の<math>\mathbb{R}^2</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数<math>z=\psi(x, y)</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \psi \in C^1 \\ c=\psi(a, b) \\ f(x, y, \psi(x, y))=0 \quad((x, y) \in U) \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{x}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{y}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} <math>\partial{x} f(a, b, c) \partial{y} f(a, b, c) \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>のとき曲面<math>f(x, y, z)=0</math>の<math>(a, b, c)</math>に於ける接平面は :<math>\partial{x}f(a, b, c)(x-a)+\partial{y}f(a, b, c)(y-b)+\partial{z}f(a, b, c)(z-c)=0</math> である。 この定理を用いると :<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b, c) = -\partial{x}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{y}f(a, b, c) = -\partial{y}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{z}f(a, b, c)\neq0 \end{cases}</math> なので :<math>z-c=\partial{x}\psi(a, b)(x-a)+\partial{y}\psi(a, b)(y-b)</math> と、全微分の節で求めた接平面の方程式に一致する。 更に、以下も成り立つ。 {{定理|(陰関数の定理Ⅲ)}} <math> f, g \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=g(a, b, c)=0,~ \begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \\[-6pt] z = c \end{array}}\neq0</math>ならば<math>x=a</math>の<math>\mathbb{R}</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数の組<math>(y, z)=(\varphi(x), \psi(x))</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \varphi, \psi \in C^1 \\ b=\varphi(a) \\ c=\psi(a) \\ f(x, \varphi(x), \psi(x))=g(x, \varphi(x), \psi(x))=0 \\ \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} , \quad \frac{d\psi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} 陰関数定理が成り立つ状況下に於て、原点近傍で以下のような変換を考える。 :<math>(s, t)=\vartheta(x, y)=(f(x, y), x)</math> このとき逆写像定理により<math>\vartheta:(x, y)\to(s, t)</math>は微分同相写像なので、<math>F(s, t)=s</math>として :<math>(F\circ\vartheta^{-1})(x, y)=x</math> が成り立つ。 これは、<math>s=f(x, y)</math>を座標軸としてみる座標変換を考えていることになる。例えば二重積分で積分領域の境界が<math>f(x, y)=\mathrm{const}.</math>であるとき、これは一般に曲線を表すので扱いづらい。しかし、このような座標変換を行うことで<math>s=\mathrm{const}.</math>という非常に単純な疆界を持つ<math>s</math>-単疆界領域となり、二重積分が容易となる。詳しくは「重積分」節で後述する。 {{演習問題| :1. 双曲線<math>x^2-2\sqrt{3}xy-y^2+4y+4=0</math>の点<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>に於ける法線を求めよ。 :2. レムニスケート<math>r^2=2a^2\cos^2 2\theta</math>に就いて、円<math>r=|a|</math>上を除く領域で<math>y</math>が<math>x</math>の関数として単調であることを示せ。 :3. 曲面<math>x^2+3xy-2yz+xz-y^2=0</math>の点<math>(1, 2, 1)</math>に於ける接平面の方程式を求めよ。 :4. <math>f(x, y, z)=x+y+z-3,~ g(x, y, z)=y^2+z-2</math>とする。点<math>(1, 1, 1)</math>近傍の陰関数<math>y=\varphi(x),~ z=\psi(x)</math>を具体的に表示し、その微分係数を求めよ。 | 1. :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-2\sqrt{3}y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-2y-2\sqrt{3}x</math> :<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=-4\sqrt{3}-4\sqrt{6},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-4-4\sqrt{2}\neq0</math> :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{-4(1+\sqrt{2})}=-\sqrt{3}</math> :<math>y-(2+2\sqrt{2})=-\frac{1}{-\sqrt{3}}(x-0)</math> :<math>y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2+2\sqrt{2}</math> 2. :<math>r^2=x^2+y^2,~ \cos^2 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=\left(\frac{x}{r}\right)^2-\left(\frac{y}{r}\right)^2</math>よりレムニスケートの方程式は :<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0</math> :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2(x^2+y^2)(2x)-2a^2(2x)=4x(x^2+y^2-a^2)</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2(x^2+y^2)(2y)-2a^2(-2y)=4y(x^2+y^2+a^2)</math> :<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x(x^2+y^2-a^2)}{y(x^2+y^2+a^2)}</math> :ここで<math>xy</math>平面上の象限を固定して考えると、 :<math>\frac{dy}{dx}</math>の符号は<math>x^2+y^2-a^2</math>の正負で決まる。 :よって<math>x^2+y^2-a^2=0</math>則ち円<math>r=|a|</math>上を除く領域で、 :<math>y</math>は<math>x</math>の関数として単調である。 3. :<math>f(x, y, z):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+3y+z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3x-2y-2z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=x-2y</math> :<math>(1, 2, 1)</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=9,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-3,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=-3\neq0</math> :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{9}{-3}=3,~ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{-3}{-3}=-1</math> :<math>z-1=3(x-1)-1(y-2)</math> :<math>z=3x-y</math> 4. :<math>f(x, y, z)=0</math>とすると<math>z=3-x-y</math>であり、<math>g(x, y, z)=0</math>に代入して :<math>y^2-(3-x-y)-2=0</math> :<math>y^2-y+1-x=0</math> :<math>y=\frac{1\pm\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>(x, y)=(1, 1)</math>となるためには :<math>y=\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>z=3-x-y=3-x-\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2} = \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :これは<math>(x, z)=(1, 1)</math>を満たす。 :根号の実数条件より<math>x\geq\frac{3}{4}</math>より「<math>x=1</math>近傍」も満たす。 :よって<math>(\varphi(x), \psi(x))=\left(\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}, \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}\right)</math> :逆にこのように<math>(\varphi(x), \psi(x))</math>を定義すると条件を満たす。 :<math>\frac{d\varphi}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4x-3}},~ \frac{d\psi}{dx}=-1-\frac{1}{\sqrt{4x-3}}</math> :<math>x=1</math>で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=1,~ \frac{d\psi}{dx}=-2</math> }} ===条件付極値=== 先程は点<math>(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>上を自由に動ける条件の下で極値を考えた。しかし、応用上は何かしらの制約が課された状態での極値を考えることが往々にしてある（寧ろ、無条件の方が稀であろう）。 則ち、次の問題を考える。 :点<math>(x, y)</math>が'''拘束条件'''（束縛条件）<math>g(x, y)=0</math>を満たしながら変化するとき、<math>f(x, y)</math>の'''条件付極値'''を求めよ。 このような問題を（2変数1拘束条件の）'''条件付極値問題'''という。また、拘束条件を表す関数<math>g(x, y)</math>を'''制約関数'''という。 一般に<math>g(x, y)=0</math>が<math>y=\phi(x)</math>や<math>x=\psi(y)</math>のように解けるとは限らず、解けたとしても増減を簡単に調べられるとは限らない。 そこで、条件付極値問題の解法には以下の定理が用いられる。 {{定理|(ラグランジュの未定乗数法)}} <math>f(x, y), g(x, y)\in C^1</math>として<math>f(x, y)</math>が点<math>(a, b)</math>で拘束条件<math>g(x, y)=0</math>の下での条件付極値をとるとき、 :<math>L(x, y, z)=f(x, y)-zg(x, y)</math> と置くと :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\times\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math> ならば :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math> を満たす実数<math>z=\lambda</math>が存在する。 {{定理終わり}} この<math>L</math>を'''ラグランジュ関数'''、<math>\lambda</math>を'''未定乗数'''（ラグランジュ乗数）という。未定乗数法では、条件付極値の問題を「ラグランジュ関数の無条件極値問題」に帰着している。 各偏導関数を計算すると、連立方程式 :<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math> に帰着される。 *証明 :<math>(a, b)</math>を極値点、<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>とする。 :陰関数定理より<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>g(x, y)=0</math>の<math>C^1</math>級陰関数<math>y=\phi(x)</math>が存在し、<math>\phi'(x)=-\frac{\frac{\partial{g}}{{\partial{x}}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}</math>となる。 :<math>h(x):=f(x, \phi(x))</math>とするとフェルマーの定理より<math>0=h'(a)=f_x(a, b)+f_y(a, b)\phi'(a)=f_x(a, b)-f_y(a, b)\frac{g_x(a, b)}{g_y(a, b)}</math> :ここで<math>\lambda:=\frac{f_y(a, b)}{g_y(a, b)}</math>と置くと<math>f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \iff \frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>を得る。 :定義した<math>\lambda</math>より<math>f_y(a, b) =\lambda g_y(a, b) \iff\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>。 :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>としても同様。 :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>は拘束条件から直ちに満たされる。 :よって実数<math>\lambda</math>が存在して定理の式が満たされる。// ベクトル解析の記法で書くと、未定乗数法の連立方程式は<math>\mathrm{grad} f=\lambda \mathrm{grad} g</math>と表される。これは幾何学的には、「曲面<math>z=f(x, y)</math>と曲面<math>g(x, y)=0</math>の共有点での接平面の法線ベクトルが平行」という条件である。 2曲面の共有点の<math>z</math>座標を<math>c</math>としたとき、曲面を<math>z=c</math>で切った切り口の曲線は<math>c=f(x, y), g(x, y)=0</math>であり、これらは曲面と同じ共有点を持つ。共有点で2曲線が交わるとすると「連続微分可能」という仮定より2曲面は「切れ目なく」繫がっているので、十分小さい<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線<math>c\pm\varepsilon=f(x, y)</math>は<math>g(x, y)</math>と共有点を持つ。このとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で<math>c=f(a, b)</math>より大きい値も小さい値もとるので、<math>(a, b)</math>は極値点ではない。よって、2曲線は極値点<math>c_0=f(a, b)</math>に於いて接していなければならない。 このとき、曲線の式<math>c_0=f(x, y), g(x, y)=0</math>の両辺を<math>x</math>で微分することで<math>\begin{cases} f_x\cdot1+f_x\cdot\frac{dy}{dx}=0 \\ g_x\cdot1+g_y\cdot\frac{dy}{dx}=0 \end{cases}</math>を得、接ベクトル<math>(1, \frac{dy}{dx})</math>に直交する平行な2ベクトル<math>(f_x, f_y), (g_x, g_y)</math>をそれぞれの曲線の法線ベクトルにとることができる。よって未定乗数<math>\lambda</math>が実数として存在する。 フェルマーの定理と同様に未定乗数法の式を満たすことは条件付極値であるための必要条件なので、十分性の確認は必須である。逆に、未定乗数法は条件付極値の候補となる点を与える（未定乗数<math>\lambda</math>は「存在する」だけでこの先一切使わないが、先述のように幾何学的意味が存在する）。 先程紹介したヘッセ行列は「無制約の場合」の議論だったので今回は用いることができない。 そこで、以下のように表示される'''境界付ヘッセ行列'''（縁付ヘッセ行列）が判定に使用される（代入記号は省略した）。 :<math>\mathbf{H}_B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{y}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math> 今回の場合、<math>\det \mathbf{H}_B>0</math>なら条件付極小値、<math>\det \mathbf{H}_B<0</math>なら条件付極大値と判定される。 但し、3変数以上や拘束条件が増えたときの拡張は非常に煩雑で複雑なものとなるので、ここでは紹介しない。 連立方程式<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math>を更に変形する。 :第三式は拘束条件そのものなので除外する。 :第一式・第二式を行列表現に直して :<math>\begin{pmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :線型代数で扱った定理「斉次連立一次方程式が非自明解を持つ<math>\iff</math>表現行列が特異行列」より、 :<math>\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}=0</math> よって、未定乗数<math>\lambda</math>を求めなくても未定乗数法を適用できる。 この変形は2変数1拘束条件の場合のみ成り立ち、一般化はできない。 ==重積分== 本項では、微分と積分の双対性及び[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]・[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]への接続を鑑みて、一般書では深く扱わない（定義すらしないことの多い）偏積分を冒頭で扱うことにする。 ===偏積分=== 偏微分と同様にして、二変数<math>f(x, y)</math>の片方の変数を固定したときの積分を考える。 <math>xyz</math>空間で<math>y</math>を固定したとき、<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>での積分を考える。直観的には、一変数での積分（'''常積分'''）のリーマン和を用いた定義を、<math>zx</math>平面でそのまま行えば良いことになる。 具体的には、 :<math>\int_{a}^{b} f(x, y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k, y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） と定義する。 これを<math>f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する'''偏積分'''という。幾何学的には、<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積に対応する。偏微分と異なり、積分記号は常積分と同じものを用いる。 <math>y</math>に関する偏積分は同様に ::<math>\int_{c}^{d} f(x, y) dy := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x, y_k) \Delta y</math>（<math>\Delta y = \frac{d-c}{n}, y_k = c + k\Delta y</math>） と定義され、幾何学的には<math>xyz</math>空間を<math>x</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>y</math>軸、直線<math>y=c, y=d</math>の囲む符号付き面積に対応する。 定積分に関して、一変数と同様に :<math>\int_a^b f(x, y)dx+\int_b^c f(x, y)dx=\int_a^c f(x, y)dx</math> :<math>\int_b^a f(x, y)dx=-\int_a^b f(x, y)dx</math> :<math>\int_a^a f(x, y)dx=0</math> が成立することは定義から容易に示される（<math>y</math>に関しても同様）。 また、積分の平均値の定理 :<math>\exist \xi \in (a, b), \quad f(\xi, y)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x, y)dx</math> も同様に成立することが判る（<math>y</math>に関しても同様）。 不定積分は、一変数と同様に<math>F(x, y):=\int_u^x f(t, y)dt+C</math>と定義される（<math>F(u, y)=0</math>とする）。但し、<math>x</math>に関する偏積分では<math>y</math>は定数と見做されるので、'''積分定数<math>C</math>は実際には<math>y</math>の関数<math>C(y)</math>である'''ことに注意が必要である。<math>y</math>に関する不定積分でも同様に、積分定数は<math>x</math>の関数<math>C(x)</math>である。<math>\int_u^x f(t, y)dt+C(y)</math>は<math>\int f(x, y)dx+C(y)</math>と略記する 一般に、偏積分の積分定数は積分変数以外の変数を全て含む関数である。 一変数の場合と同様に、 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math>（微分積分学の基本定理） が成立する。 *証明 :<math>F(x, y):=\int_a^x f(t, y)dt</math>とする。 :先程述べた定積分の性質より :<math>F(x+h, y)-F(x, y) = \int_a^{x+h} f(t, y)dt - \int_a^x f(t, y)dt = \int_a^{x+h}f(t, t)dt+\int_x^a f(t, y)dt =\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt</math>であるが、 :積分の平均値の定理より<math>\xi\in(x, x+h)</math>が存在して :<math>\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt=hf(\xi, y)</math> :ここで<math>h\to0</math>の極限をとると :<math>\lim_{h\to0} \{F(x+h, y)-F(x, y)\}=\frac{\partial{F}}{\partial{x}},\quad \lim_{h\to0} hf(\xi, y)=f(x, y)</math> :なので :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int_a^x f(x, y)dx=f(x, y)</math> :一般の不定積分<math>\int f(x, y)dx=\int_u^x f(t, y)dt + C(y)</math>に関しても積分定数<math>C(y)</math>は<math>x</math>の関数でないので偏微分すると0となり、 :結局は :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math> :が成り立つ。// 則ち'''偏積分は偏微分の逆演算'''であり、被積分関数を偏導関数とみて元の関数を復元することで原始関数が求まるので偏積分が計算できることがわかる。 一変数関数で成り立った性質の多くはほぼそのまま成立する。以下、<math>y</math>に関しても同様なので<math>x</math>に関する偏積分で記述する。また、定積分表示で書くが不定積分でも同様である。 :<math>\int_a^b \{\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)\}dx=\alpha\int_a^b f(x, y)dx+\beta\int_a^b g(x, y)dy</math>（線型性） :<math>\int_a^b f(x, y)\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dx=\left[ f(x, y)g(x, y) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_{a}^b \frac{\partial{f}}{\partial{x}}g(x, y)dx</math>（部分積分法） :<math>u=\phi(x)</math>として<math>\int_a^b f (\phi(x), y) \frac{du}{dx} dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u, y) du</math>（置換積分法） :<math>y=c, x\in[a, b]</math>で<math>f(x, c)\leq g(x, c)</math>ならば<math>\int_a^b f(x, c)dx\leq \int_a^b g(x, c)dx</math>（定積分不等式） 偏積分の微分に関して、以下の定理が成り立つことが知られている。 {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅰ)}} 2変数関数<math>f(x, y)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y)\in I \times[a(x), b(x)]</math>で連続且つ<math>a(x), b(x)</math>が常微分可能ならば :<math>\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, y)dy\right)=\left[f(x, y)\frac{dy}{dx}\right]_{y=a(x)}^{y=b(x)}+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> {{定理終わり}} {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅱ)}} 3変数関数<math>f(x, y, z)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y, z)\in I_x \times I_y \times[a(x, y), b(x, y)]</math>で連続且つ<math>a(x, y), b(x, y)</math>が<math>x</math>で偏微分可能ならば :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} f(x, y, z)dz\right)=\left[f(x, y, z)\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right]_{z=a(x, y)}^{z=b(x, y)}+\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dz</math> {{定理終わり}} Ⅰに於いて<math>a(x)=a, b(x)=x</math>としてみよう。すると、 :<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(x, y)dy = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> である。 これは、偏微分に関する微分積分学の基本定理を「微分変数と積分変数が異なる場合」に拡張したものと見ることができる。更に、<math>f(x, y)=g(y)</math>なら<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0</math>より常微分に関する微分積分学の基本定理に一致する。 則ち、ライプニッツの積分定理は常微分・偏微分双方の意味で「微分積分学の基本定理の拡張」と捉えることができる。 Ⅰ・Ⅱとも偏微分方程式やベクトル解析で当たり前のように用いられるので、覚えておいて損はないだろう。 ===重積分の定義=== 次に、連続関数<math>f(x, y)</math>の全ての変数が動く場合の積分に就いて考える。 変数の組<math>(x, y)</math>が動く範囲（'''積分領域'''）<math>D</math>は、点<math>(x, y)</math>の軌跡と考えることで<math>xy</math>平面上の領域として表現することができる。 先ずは、簡単な場合として矩形領域<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>の場合を考える。これは、<math>z=f(x, y)</math>を<math>xy</math>平面へ<math>z</math>方向から射影した投影面が矩形ということである。 なお、重積分の文脈では、積分領域を直積集合で表すよりも<math>D=\{(x, y)\mid a\leq x \leq b, c\leq y \leq d\}</math>や<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>のような記法が好まれる。 <math>[a, b], [c, d]</math>をそれぞれ<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_{m-1}<x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots<y_j<\cdots<y_{n-1}<y_n=d</math>と等分割し、<math>D_{ij}:=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]</math>とする。この矩形領域から代表点<math>(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>をとるとき、各<math>D_{ij}</math>を底面・<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>を高さとする長方形の体積は区間<math>[x_{i-1}, x_i],[y_{j-1}, y_j]</math>の幅を<math>\Delta x_i, \Delta y_j</math>として<math>V_{mn}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math>と表される。これは、'''リーマン和'''を2変数関数に拡張したものである。 分割を限りなく細かくしたときの極限<math>\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} V_{mn}</math>が収束するならば、<math>f(x, y)</math>は<math>D</math>で'''二重積分可能'''といい、その極限値を<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と表して<math>f(x, y)</math>の<math>D</math>に関する'''二重積分'''という。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math> 次に、<math>D</math>が有界領域の場合を考える。 <math>D</math>は有界であるから、<math>D</math>を包含するような矩形領域<math>\tilde{D}\subset\mathbb{R}^2</math>が必ず存在する。 このとき、<math>D</math>上の二変数関数<math>f(x, y)</math>を次のように拡張する。 :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} f(x, y) & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> このとき、<math>\tilde{D}\setminus D</math>に於ける<math>\tilde{f}(x, y)</math>の値は<math>0</math>なので重積分の計算結果に影響せず、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x, y)dxdy</math> として差し支えない（右辺は先ほど定義した「矩形領域での二重積分」である）。 <math>D</math>が有界領域でない場合は後述する。 重積分では「不定積分」に相当するものを考えないことが多い。これは、積分定数の自由度が比較的高いので偏積分より扱いにくくなるためである。 <math>f(x, y)=1</math>という定数関数の重積分を考える。先ずは矩形領域に就いて考える。 リーマン和は<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})=1</math>より<math>V_{mn}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \Delta x_i \Delta y_j</math>であるが、<math>\Delta x_i \Delta y_j</math>は矩形領域<math>D_{ij}</math>の面積に等しい。よってその総和<math>V_{mn}</math>は矩形領域<math>D</math>の面積である。これは分割がどれだけ細かくなっても変わらないので、結局は<math>|D|=\iint_D 1 dxdy</math>である。このとき、1を省略して<math>\iint_D dxdy</math>と表す。 <math>D</math>が有界領域であるとき、<math>D</math>を包含する矩形領域<math>\tilde{D}</math>に関して :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} 1 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> であり、<math>\tilde{D}</math>での重積分の値は同様の議論により結局は有界領域<math>D</math>の面積に等しくなる。 一変数の積分では<math>\int_a^b dx = b-a</math>（区間の幅）であったが、二変数の重積分では<math>\iint_D dxdy= |D|</math>（領域の面積）と判った。三変数でも、同様の議論により<math>\iiint_V dxdydz = |V|</math>（領域の体積）となる。一般に、1の<math>n</math>重積分は積分領域となる図形の大きさ（<math>n</math>次のルベーグ測度）に等しい。ベクトル解析で扱う線積分・面積分・体積分でも同様の事項が成り立つ。 [[測度論]]では、逆にルベーグ測度を1の重積分として定義する流儀もある。 ===累次積分=== 次に、重積分の具体的な計算方法に就いて見ていく。 先程見たように、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>は積分領域<math>D</math>と曲面<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体の体積と考えられる。 数学Ⅲで扱ったように、立体の体積は「立体の断面積を表す関数を積分」すれば求めることができる。つまり、「立体をある平面で切ったときの断面積」さえ求まれば計算することができると考えられる。 実は、この断面積は偏積分で与えられる。 偏積分<math>h(y)=\int_a^b f(x, y)dx</math>は「<math>D=[a, b]\times I</math>と<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体を<math>y</math>を固定した平面で切ったときの断面積」なので、これを<math>y</math>に関して区間<math>I</math>で常積分してやれば「断面積の積分=体積」が求まる。 この話を具体的に見ていく。 先ずは、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>という矩形領域を考える。 <math>y</math>を固定した平面で切った断面積は<math>\int_a^b f(x, y)dx</math>であり、この断面積を<math>[c, d]</math>で積分してやればいいので、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)dx \right) dy</math>である。 <math>x</math>を固定した平面で切った断面積で考えても同じであり、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)dy \right)dx</math>。 なお、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>且つ<math>f(x, y)=g(x)h(y)</math>と分離できる場合は<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \left( \int_a^b g(x) dx\right)\left( \int_c^d h(y)dy \right)</math>と、非常に単純な計算で求まる。 一般の有界領域<math>D</math>に関しては、「<math>(x, y)</math>が<math>D</math>内の全ての点を1点ずつ重複なく通る」ように<math>x, y</math>をそれぞれ動かす必要がある。そのような動かし方をいきなり定めるのは困難であるため、以下のような場合を考える。 '''定義が区分的でない'''関数<math>\phi_1(x), \phi_2(x)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\}</math>と表され、'''疆界が単純閉曲線'''^※である積分領域を'''<math>x</math>-単疆界領域'''<!-- 『例から学ぶ微分積分』馬場裕・笹尾哲・山本光・山本勇(共立出版、2022年)より -->（<math>x</math>-単線領域）と呼ぶことにする（統一名称は存在せず、書籍によって様々に呼ばれる）。同様に、定義が区分的でない関数<math>\psi_1(y), \psi_2(y)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>と表され、疆界が単純閉曲線である積分領域を'''<math>y</math>-単疆界領域'''（<math>y</math>-単線領域）と呼ぶ。 ※「単純閉曲線」とは、「'''閉曲線'''（端点(始点と終点)が一致する曲線）であって自己交叉しない（端点以外で自分自身と交わらない）」曲線のことである。[[位相幾何学]]の知識を用いると単疆界領域は「単純閉曲線で囲まれた単連結領域」と言い換えられる。 <math>x</math>-単疆界領域では例えば<math>x=x_0</math>を固定すると<math>y</math>を<math>\phi_1(x_0)</math>から<math>\phi_2(x_0)</math>まで動かしたときに点<math>(x, y)</math>は線分<math>x=x_0 (\phi_1(x_0)<y<\phi_2(x_0))</math>上の点を一回ずつ通る。次に、<math>x</math>を<math>a</math>から<math>b</math>まで動かせば<math>(x, y)</math>は<math>D</math>内の全ての点を重複なく通ったことになる。 よって、矩形領域と同様の議論で二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\} \right)</math>は次のように計算される。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> <math>y</math>-単疆界領域でも同様に二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\} \right)</math>は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx \right) dy</math> と計算される。 このように、重積分を偏積分の常積分で表したものを'''累次積分'''（逐次積分、反復積分）という。見た目上は常積分の反復であることが名前の由来である。3変数以上の場合、最外部の積分のみ常積分で残りは積分変数以外を固定した偏積分である。 昔からの慣習として、累次積分の先に計算する部分を右側に纏めて :<math>\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy</math> のように表す場合がある。 これは :<math>\left(\int_a^b dx\right) \left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy\right)</math> を意味しないので注意。 本項では、混乱を防ぐため通常の記法で書く。 なお、積分区間を更に詳しく明示した :<math>\int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> という記法も存在する。 単疆界領域でない領域の場合、疆界となる関数が切り替わる点（疆界点）で領域を分割することで単疆界領域になるので、それぞれの単疆界領域での重積分の和を計算すればよい。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \sum_i \iint_{D_i} f(x, y)dxdy</math> :例) :<math>x\in[-1, 1], \phi_1(x)=0, \phi_2(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ -x+1 & (x\geq0) \end{cases}</math>のとき、 :<math>D=D_1 \cup D_2</math> :<math>D_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} -1 \leq x < 0 \\ 0 \leq y \leq x+1 \end{array} \right\}</math> :<math>D_2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math> :とすれば良い。 二重積分を累次積分に直すとき、<math>D</math>の図を書くことで疆界となる区分的でない関数を正しく導くことができる。 なお、重積分でも線型性と定積分不等式が成り立つ。 :<math>\iint_D (\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) dxdy = \alpha \iint_D f(x, y)dxdy + \beta \iint_D g(x, y)dxdy</math> :<math>f(x, y)\leq g(x, y)\quad\mathrm{at}\, D \implies \iint_D f(x, y)dxdy \leq \iint_D g(x, y)dxdy</math> ===積分順序の変更=== 積分領域が<math>x</math>-単疆界領域且つ<math>y</math>-単疆界領域であるならば、累次積分で<math>x, y</math>のどちらを先に計算しても結果は同じである。単疆界領域でなくとも、単疆界領域に分割した重積分の和を考えれば同じく積分順序を交換できる。 一般に、次が成り立つ。 {{定理|(フビニの定理)}} 多変数関数が積分領域<math>D</math>で重積分可能ならば、累次積分の積分順序は可換である。 {{定理終わり}} 但し、'''積分順序を交換すると各積分の積分区間が変わる'''ことに注意が必要である。 例えば、三角形領域<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math>に於ける<math>f(x, y)=xy^2</math>の重積分を考える。 <math>D</math>は<math>x</math>-単疆界領域なのでこの重積分は累次積分により :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-x+1} xy^2 dy \right)dx</math> :<math>=\int_0^1 x\left[\frac{1}{3}y^3\right]_{1}^{-x+1} dx</math> :<math>=\frac{1}{3}\int_0^1 x(-x^3+3x^2-3x)dx</math> :<math>=\frac{1}{3} \left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-x^3 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> と計算される。 <math>D</math>の表式を今度は<math>y</math>-単疆界領域となるように変形する。 :<math>y=-x+1\iff x=-y+1</math> :<math>0\leq x \leq 1 \iff 0 \leq y \leq 1</math> :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq -y+1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> 同様に重積分を計算すると :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-y+1} xy^2 dx \right)dy</math> :<math>=\int_0^1 y^2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{-y+1}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^1 y^2(y^2-2y)dy</math> :<math>=\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}y^5-\frac{1}{2}y^4 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> このように、正しく積分順序を交換すれば同じ結果を得る。 また、以下のように積分順序を交換することで計算が容易となる場合がある。 {{演習問題|<math>\int_{0}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x dy \right)dx</math>を積分順序を交換することで計算せよ。| 二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と見て積分領域<math>D</math>を求めると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \end{array} \right\}</math> 則ち、<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2 \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array} \right\}</math>という半円領域である。<br>これを<math>y</math>-単疆界領域となるように変形すると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \\ -1 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> よって累次積分に直して :<math>\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{-1}^{1} \left( \int_0^{\sqrt{1-y^2}} x dx \right)dy</math> :<math>=\int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1-y^2)dy</math> :<math>=\int_0^1 (1-y^2)dy</math> :<math>=\frac{2}{3}</math>// }} ===変数変換=== 常積分では置換積分という手法により積分変数を別の変数に変換することができた。重積分でも同様に変数変換を考えることができる。 <math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \end{cases}</math>という変数変換によって積分領域が<math>(s, t)\in E</math>から<math>(x, y)\in D</math>に写されるとする。 このとき、全単射な写像<math>\Gamma:E\to D</math>が存在すれば変換前後で重積分の計算が可能である。 一変数の置換積分では<math>dx</math>が<math>\frac{dx}{dt}dt</math>に置き換わった。同様に<math>dxdy</math>が○○倍の<math>dsdt</math>に置き換わると予想されるが、この○○に入るのは何であろうか？ <math>dx, dy</math>はそれぞれ<math>\phi(s, t), \psi(s, t)</math>の<math>s, t</math>を微小変化させたときの変化量、則ち全微分と考えられるので、 :<math>dx=\frac{\partial{\phi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\phi}}{\partial{t}}dt</math> :<math>dy=\frac{\partial{\psi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}dt</math> これを一次変換の記法で表すと :<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \end{pmatrix}</math> である。 <math>(x, y)</math>の組と<math>(s, t)</math>の組がそれぞれ一次独立であるとすると、<math>dxdy</math>と<math>dsdy</math>はそれぞれ<math>D, E</math>での微小矩形の面積を表すと解釈でき、更に行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>は正則である。 ここで、一次変換による図形の拡大率は表現行列の行列式の絶対値だったので、 :<math>dxdy = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right|dsdt</math> が成り立つ。 則ち、重積分の変数変換の表式は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_E f(\phi(x, y), \psi(x, y)) \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right| dsdt</math> である。 行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>を'''ヤコビ行列'''（ヤコブ行列）と言い、<math>\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>と略記する。ヤコビ行列式<math>\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>を'''ヤコビアン'''という。 二次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x=s+t \\ y=s-t \end{cases}</math>（'''斜交座標'''）や<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>（'''円座標'''）が挙げられる。後者は特に、円が絡む積分領域のときに真価を発揮する。 三次元以上でも同様に全微分を一次変換表記することでヤコビ行列を得、それが変数変換の変換レートとなる。 三次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x= t+u \\ y=u+s \\ z=s+t \end{cases}</math>（'''ラヴィ変換'''）、<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}</math>（'''円筒座標'''）、<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z= r\cos\theta \end{cases}</math>（'''球面座標'''）が挙げられる。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x^2+y^2, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}</math>のとき、変数変換により<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\begin{cases} x=as \\ y=bt \end{cases}</math>と変換すると :<math>x^2+y^2=a^2s^2+b^2t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| s^2+t^2 \leq 1 \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\right|=ab</math> より :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy=\iint_E \{(a^2s^2+b^2t^2)ab\}dsdt</math> :<math>=a^3b\iint_E s^2dsdt + ab^3\iint_E t^2dsdt</math> 更に<math>\begin{cases} s=r\cos\theta \\ t=r\sin\theta \end{cases}</math>と変換すると :<math>s^2=r^2\cos^2\theta,\quad t^2=r^2\sin^2\theta</math> :<math>F = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \tau \end{array} \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(s, t)}}{\partial{(r, \theta)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\right|=r</math> より :<math>\iint_E s^2 dsdt = \iint_F \{(r^2\cos^2\theta) r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \cos^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x+\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> :<math>\iint_E t^2dsdt=\iint_F \{(r^2\sin^2\theta)r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \sin^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x-\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> よって最終的に :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy = a^3b\cdot\frac{\pi}{4}+ab^3\cdot\frac{\pi}{4}</math> :<math>=\frac{ab\pi}{4}(a^2+b^2)</math>// }} ここで、「極座標なのに<math>r=0</math>を考えてる」「<math>\theta=0</math>と<math>\theta=\tau</math>が点として重複してる」からおかしいと思うだろうが、実は問題ないことが示される。詳細は最後の節で扱う。 積分領域が<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a \leq \varphi(x, y) \leq b \\ c \leq x \leq d \end{array} \right\}</math>と表されるとき、<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\neq0</math>ならば「陰関数」節で述べたように原点近傍で<math>\begin{cases} s = \varphi(x, y) \\ t=x \end{cases}</math>という変数変換が有効である。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x+y, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2 \leq y \leq x^2+4 \\ -2 \leq x \leq 2 \end{array} \right\}</math>のとき、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\varphi(x, y):=y-x^2</math>とすると<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=-1\neq0</math>であり、<math>0\leq \varphi(x, y)\leq 4</math><br> <math>\begin{cases} s = y-x^2 \\ t=x \end{cases}</math>と変換すると :<math>x+y=s+t+t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq s \leq 4 \\ -2 \leq t \leq 2 \end{array} \right\}</math> :<math>\left| \det \frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)} \right|= \left|\det \begin{pmatrix} -2x & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right|=1</math> より :<math>\iint_D (x+y)dxdy = \iint_E (t+s+t^2) dsdt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left( \int_0^4 (s+t+t^2)ds \right)dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left[ \frac{1}{2}s^2 + s(t+t^2) \right]_{s=0}^{s=4} dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 (8+4t+4t^2)dt</math> :<math>=8\int_0^2 (2+t^2)dt</math> :<math>=8\left[ 2t+\frac{1}{3}t^3 \right]_0^2</math> :<math>=8\left( 4+\frac{8}{3} \right)</math> :<math>=\frac{160}{3}</math>// }} この問題は変数変換せずに累次積分すると<math>\iint_D (x+y)dxdy = \int_{-2}^2 \left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_{y=x^2}^{y=x^2+4} dx</math>とかなり煩雑な式となるが、この変数変換によって非常に単純な単疆界領域となるので計算が容易となる。 但し、積分領域が簡単になっても被積分関数がかえって煩雑になってしまうと変換をする意味が薄れるので、適切な変換を選択できるように練習を積む必要がある。 ===重積分の応用=== 重積分の応用例の一つは、体積の求積である。 先程述べたように、<math>\iiint_V dxdydz</math>は立体<math>V</math>の体積に等しい。数学Ⅲで習ったように「一変数関数の定積分」として求めようとすると、「いずれかの座標軸に垂直な平面で切った断面を考えてその面積を式で表し、座標軸で積分する」という手続きを要する。これは空間図形の素養が必要なので一般に苦しい。しかしながら、三重積分として計算すると見通しが立ちやすく、ある意味機械的な計算で求積可能である。 ここで、<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ f(x, y) \leq z \leq g(x, y) \end{array} \right\}</math>のように表されるとする。<!-- \middle|が使えないから長さが足りない --> すると、三重積分は :<math>\iiint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_{f(x, y)}^{g(x, y)}dz \right) dxdy</math> のように二重積分に帰着することが可能である。 勿論、二重積分が先になるように計算したり最初から3重の累次積分に直接直しても構わない。 {{演習問題|球<math>x^2+y^2+z^2\leq1</math>と円柱<math>x^2+y^2\leq x</math>の共通部分のうち、<math>y\geq0, z\geq0</math>にある部分の体積を求めよ。| 底面に於いて、<math>x^2+y^2\leq x, y\geq 0, z=0</math>を満たす点<math>(x, y, z)</math>をどこに固定しても<math>0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}</math>が成り立ち、 :<math>\iint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dz \right)dxdy</math> :<math>=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\quad \left(D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ y\geq 0 \end{array} \right\}\right)</math> 円座標に変換すると :<math>\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{1-r^2}</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq \cos\theta \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math> :<math>dxdy=rdrd\theta</math> よって :<math>\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=\iint_E r\sqrt{1-r^2}drd\theta</math> :<math>= \int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( \int_0^{\cos\theta} r\sqrt{1-r^2} \right) d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\theta-1)d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{2}\right)</math>（<math>\because</math>ウォリスの公式） :<math>=\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}</math>// }} 重積分のもう一つの応用例は、曲面の表面積（'''曲面積'''）である。 詳細な議論はベクトル解析の頁に任せ、結果だけ書いておく。 {{定理|(曲面積Ⅰ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>f(x, y)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:z=f(x, y)\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> {{定理終わり}} この式は[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|一変数関数に於ける曲線の長さの式]]<math>L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>の一般化である。 なお、<math>\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}</math>は「全微分」節で紹介した点<math>(x, y)</math>に於ける曲面<math>S</math>の接平面の法線ベクトル<math>\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math>の大きさに等しい。 発展として、曲面が<math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}</math>と媒介変数表示された場合の表式は以下のようになる。 {{定理|(曲面積Ⅱ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>\phi(s, t), \psi(s, t), \omega(s, t)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial{y}}{\partial{s}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}} -\frac{\partial{y}}{\partial{t}}\frac{\partial{z}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{z}}{\partial{s}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} -\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\frac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{x}}{\partial{s}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} -\frac{\partial{x}}{\partial{t}}\frac{\partial{y}}{\partial{s}} \right)^2}dsdt</math> {{定理終わり}} こちらは媒介変数表示された一変数関数に於ける曲線の長さの式<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math>の一般化である。 <math>\begin{cases} x=x \\ y=y \\ z = f(x, y) \end{cases}</math>とすればⅠの式に一致する。 ===広義重積分=== 重積分でも広義積分に相当するものを考えたい。しかし、序論から見てきたように二変数関数の変数の組<math>(x, y)</math>は<math>xy</math>平面上をありとあらゆる方向に無数の軌道で動くことができる。このため、広義積分を上手く定義できるとは一般に限らない。ここでは、上手く定義できる場合を見ていく。 先ずは、非有界領域での重積分を考える。 <math>xy</math>平面上の有界とは限らない領域<math>D</math>に対し、次を満たす有界領域<math>D_n</math>を考える。 #<math>D_1\subset D_2\subset D_3\subset \cdots \subset D_n \subset D</math> #<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D</math> #<math>\forall S(\mathrm{is\, bounded}) \subset D,\quad \exist n\in\mathbb{N},\quad S\subset D_n</math> このような有界領域の列<math>\{D_n\}</math>を<math>D</math>の'''近似増加列'''という。 <math>\{D_n\}</math>の選び方に依らず<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math>が収束するとき、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{n\to\infty} \iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math> と定義する。これを'''広義二重積分'''という。 次に、積分領域が特異点<math>\alpha</math>を含む場合を考える。 このときは、「<math>\alpha \notin D_n</math>（近似増加列は特異点を含まない）」且つ「<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D\setminus\{\alpha\}</math>（近似増加列の和集合が積分領域から特異点を除いたものに等しい）」且つ「<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right)^-=D</math>（近似増加列の閉包が積分領域に等しい）」となるように近似増加列<math>\{D_n\}</math>をとり、同様に極限値として広義二重積分を定義すればよい。 次の定理が成り立つ。 {{定理|}} 多変数関数が非負関数または非正関数であるとき、ある<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分が収束するならば任意の<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分は収束する。 {{定理終わり}} ここから、「広義重積分が収束するような簡単な近似増加列を見つければよい」という結論に至る。 広義重積分の有名な使用例を以下に示す。 *例題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2\leq n^2 \\ x\geq0, y\geq0 \end{array} \right\}</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy</math>を計算せよ。 *解答 :<math>e^{-(x^2+y^2)}</math>は明らかに非負関数であり、<math>\{D_n\}</math>が近似列であることも自明である。 :円座標に変換して<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}</math>、<math>E_n=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r\leq n \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math>、<math>dxdy=rdrd\theta</math> :<math>\iint_{D_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\iint_{E_n}re^{-r^2}drd\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left(\int_0^n re^{-r^2}dr \right)d\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^n d\theta</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( 1-e^{-n^2}\right) d\theta</math> :<math>=\frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right)</math> :よって広義重積分の値は :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\lim_{n\to\infty} \frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right) = \frac{\tau}{8}</math>// ここで<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-x^2}e^{-y^2}</math>であり、、<math>x, y</math>は独立に半開区間<math>[0, \infty)</math>を動くので矩形領域の場合と同様に分離することができる。則ち、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}dy \right)</math> 右辺に於いて積分変数のラベルは関係ないので<math>y</math>を<math>x</math>に取り換えると、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2</math> ここで左辺に先程求めた値を代入すると :<math>\frac{\tau}{8}=\left( \int_0^\infty e^{-x^2}dx \right)^2</math> 両辺正なので平方根をとって :<math>\sqrt{\frac{\tau}{8}}=\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math> 則ち、 :<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> 左辺の被積分関数は非負なので<math>\int_0^\infty |e^{-x^2}|<\infty</math>より絶対収束し、偶関数・奇関数の対称積分の性質を広義積分でも適用できる。<br> よって :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}</math> こうして、ガウス積分の値が求まった。 *発展問題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D'_n\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{n} \end{array} \right\}</math>として<math>D_n=D\setminus D'_n</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D \frac{dxdy}{x+y}</math>を計算せよ。 [[カテゴリ:微分積分学|たへんすうかんすうのひせきふん]] lx2lx8gfy0q9q23mrwez3tzfz4uzm0b 0 32479 301894 301809 2026-07-28T19:19:44Z Tomzo 248 /* 包括一罪 */ 301894 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[刑法総論]]＞[[罪数論]] {{wikipedia|罪数}} == 総論 == === 罪数を論ずる意義 === ==== 刑事訴訟法における意義 ==== =====関係条文===== #関連事件（[[刑事訴訟法第9条]]） #:数個の事件が「関連するもの」とされる場合を定め、管轄・審理の単位の決定等を行うが、「1人が数罪を犯したとき」の各犯罪は関連事件としている。 #公訴時効（[[刑事訴訟法第251条]]） #:複数の罪がある場合や選択的法定刑がある場合、「'''重い方の刑'''」を基準にして時効期間を決める。 #起訴の範囲（[[刑事訴訟法第262条]]） #:起訴状に記載された犯罪事実の範囲内で裁判を行うこととし、罪数の処理（併合罪の認定など）が裁判の範囲に影響する。 #判決の範囲（[[刑事訴訟法第312条]]） #:判決は、起訴状に記載された犯罪事実の範囲内で行うとされ、複数の罪を併合して処断する場合の根拠となる。 #公訴時効（[[刑事訴訟法第321条]]） #:有罪判決には、罪名と刑を記載することとされており、罪数の認定（一罪か数罪か）が判決の内容に直接現れる。 =====訴因・罰条の変更===== === 罪数を区別する基準・行為の個数 === ===一個の行為=== :[[刑法第54条|刑法54条1項前段]]にいう1個の行為とは、法的評価をはなれ構成要件的観点を捨象した自然的観察のもとで、行為者の動態が社会的見解上1個のものとの評価をうける場合をいう（[[刑法第54条#1個の行為|最高裁決定昭和49年5月29日]]）。 === 罪数の種類 === #行為が1個と評価される場合 ##本来的一罪 ###[[#単純一罪|単純一罪]] ###[[#法条競合|法条競合]] ###[[#包括一罪|包括一罪]] ##科刑上一罪 ###[[#観念的競合|観念的競合]] ###[[#牽連犯|牽連犯]] #行為が複数と評価される場合 ##[[#併合罪|併合罪]] ##[[#単純数罪|単純数罪]] == 各論 == === 本来的一罪 === ==== 単純一罪 ==== :刑法各則において定める犯罪類型ないし構成要件を1回充足する事実。罪数を論ずる前提となる。 :以下に関しては、単独の一罪を構成する。 :#保護法益を基準として罪数が決せられる場合 :#*放火罪は、個々の個人の生命・身体・財産の価値より、それらを包括した公共の安全を保護法益としているため、1個の行為で延焼等が起こったとしても1個の犯罪と評価される。 :#*窃盗につき、1個の侵入・盗取行為で複数の所有者にかかる物品を盗取したとしても、[[財産犯総論#財産犯の保護法益|保護法益の見解（本権説・占有説）]]に関わらず1罪とのみ評価される。 :#構成要件が、初めから数個の行為を予定している場合（'''集合犯'''）。以下に分類される。 :##'''常習犯''' - 一定の犯罪を反復して行う習癖のある犯罪（cf.[[累犯]]） :##:例.常習賭博（[[刑法第186条]]第1項） :##'''職業犯''' - 業として一定の犯罪行為を繰り返すもの :##:例.わいせつ物頒布等（[[刑法第175条]]）、違法薬物の頒布 :##'''営業犯''' - 職業犯の目的に営利を含むもの :##:例.無免許医業罪（[[医師法第17条]]→罰則:[[医師法第31条]]1項1号） :##'''結合犯''' - それぞれ単独でも犯罪とされる2個以上の行為を結合して一つの構成要件としたもの。 :##:例.強盗・不同意性交等罪（[[刑法第241条]]） ==== 法条競合 ==== :一つの事実が同時に一つの犯罪類型ないし構成要件に該当し、2個の単純一罪が成立するように見えるが、実はやはり単純一罪は1個のみしか成立しない場合、即ち、それぞれの犯罪類型ないし構成要件は論理的に重なっており、その一方だけの適用が予定されている場合をいう。このような場合、数個の犯罪の成立を認めると、一個の犯罪事実に対して複数の評価を行うことになり妥当ではないので、一個の犯罪の成立のみを認める。その性質について、講学上、概ね以下の分類がなされるが、択一関係の分類を認めないなど論者によって見解を異にする。以下の分類は、あくまでも、講学上の整理であるので、詳細にこだわる必要はない。 :#特別関係 :#:罰条に適用される身分等の要件が添加される場合。特別法における罰則規定に多く見られ、「特別法は一般法を破る」の原則により、構成要件が添加された特別法が適用され一般法は適用されない。ただし、一般法の判例等は特別法の趣旨に反しない限り適用される。 :#::例. :#::*加重される場合 :#::**(一般)[[遺棄罪]]（[[刑法第217条]]）:(特別)[[保護責任者遺棄罪]]（[[刑法第218条]]） :#::**(一般)[[背任罪]]（[[刑法第247条]]）:(特別)会社法が定める役員等の特別背任罪（[[会社法第960条]]） :#::*軽減される場合 :#::**(一般)[[殺人罪]]（[[刑法第199条]]）:(特別)[[自殺関与及び同意殺人]]（[[刑法第202条]]） :#補充関係 :#:基本となる罰条（基本法規）の構成要件の一部を除き、その欠如した部分を補充（補充法規）する場合。基本法規が適用されるかを判断し、それにあたらない場合に補充法規の成否が判断される。以下に示す放火犯の事例が典型であるが、上記特別関係において、補充法規を一般法と、一般法規を特別法とみなす場合の取り扱いの差はないので、特別関係に含め、これを分けない見解もある。 :#::例. :#::*(基本)[[傷害罪]]（[[刑法第204条]]）:(補充)[[暴行罪]]（[[刑法第208条]]） :#::*(基本)[[現住建造物等放火罪]]（[[刑法第108条]]）/[[非現住建造物等放火罪]]（[[刑法第109条]]）:(補充)[[建造物等以外放火罪]]（[[刑法第110条]]） :#::*(基本)[[公用文書等毀棄]]（[[刑法第258条]]）/[[私用文書等毀棄]]（[[刑法第259条]]）/[[建造物等損壊及び同致死傷]]（[[刑法第260条]]）:(補充)[[器物損壊罪]]（[[刑法第261条]]） :#吸収関係 :#:構成要件に、そもそもその犯罪類型が含まれている（吸収されている）場合、被吸収の犯罪は評価しない。 :#::例 :#::*(吸収)[[強盗罪]]（[[刑法第236条]]）←(被吸収)[[暴行罪]]（[[刑法第208条]]） :#::*(吸収)[[恐喝罪]]（[[刑法第249条]]）←(被吸収・吸収)[[強要罪]]（[[刑法第223条]]）←(被吸収)[[脅迫罪]]（[[刑法第222条]]） :#::*(吸収)[[不同意性交等]]（[[刑法第177条]]）←(被吸収)[[不同意わいせつ罪]]（[[刑法第176条]]） - 特別関係とも :#::*(吸収)致傷の[[結果的加重犯]]←(被吸収)傷害罪または過失傷害罪 :#::*(吸収)放火←(被吸収)他人の所有物に関する器物損壊 :#::*(吸収)偽造通貨行使（[[刑法第148条]]）/収得後知情行使等（[[刑法第152条]]）、偽造有価証券等行使（[[刑法第153条]]）←(被吸収)[[詐欺罪]] :#::*:いずれも偽造品（通貨・有価証券）の行使という特殊な詐取様態を直接取り扱う特別法規で、詐欺罪と観念的競合の関係に立ち、詐欺罪はこれらに吸収されて併せて問われない。 :#択一関係 :#:犯した罪が排他的関係にあり、どちらかのみが適用される場合。 :#::例 :#::*典型とされるのは、「未成年者を営利目的をもって誘拐した場合」で、この場合、[[未成年者略取及び誘拐罪]]([[刑法第224条]])と[[営利目的等略取及び誘拐罪]]([[刑法第224条]])が成立しうるが、この場合、客体が未成年者か否かという要素は失われ、後者のみで評価される。 :#::*[[横領罪]]（[[刑法第252条]]）と[[背任罪]]（[[刑法第247条]]） ==== 包括一罪 ==== :構成要件に該当する事実が2個以上発生しても、なお一罪であるかのように取り扱われる場合がある。すなわち法定刑が重い方の罪の規定だけを適用し、その法定刑で処断するものである。これを包括一罪と言う。その中に以下の3種のものがあると考えられる。 :#同じ構成要件に該当する数個の事実が引き続いて生じた場合。「狭義の包括一罪」または「接続犯」とも呼ばれる。 :#:例 :#:*人を、逮捕し監禁したときは、逮捕罪と監禁罪との各別の二罪が成立し、牽連犯又は連続犯となるものではなく、これを包括的に観察して刑法220条1項の単純な一罪が成立するものと解すべきものである（[[刑法第54条#逮捕監禁|最高裁判決昭和28年06月17日]]）。 :#:*暴行し、相手の身体数カ所を傷害した。→1個の傷害罪 :#:*ある家に窃盗に入り、複数のものを盗み出した。→1個の窃盗罪 :#:*倉庫の管理を任されたのを利用し、数日にわたって倉庫のものを横領した。→1個の横領罪 :#:*複数の女性を集め、売春をさせた。→人数・回数に関わらず1個の売春をさせることを業とした罪（[[売春防止法第12条]]違反） :#:*:↓ :#:*:女性の中に未成年がおり、未成年に売春をさせることは児童福祉法違反の刑法犯（[[児童福祉法第34条|同法第34条]]、[[児童福祉法第60条|第60条]]）も問われ下級審で有罪判決となったが、売春防止法第12条と同旨であり、同法で有罪判決が出て確定しているならば、児童福祉法違反は評価済みとして、最高裁にて判決を覆した例がある（[[刑事訴訟法第411条#最高裁判決昭和37年4月26日|最高裁判決昭和37年4月26日]]）。 :#1個の行為で数個の構成要件に該当する結果を生じせせしめたが、軽い方の罪の法益は極めて軽微であるので、これらを包括して重い罪の刑だけで処断する場合。法条競合に分類する見解もある。 :#:例:服の上から刃物で刺して人を殺したという事案 :#:*殺人とともに衣服を毀損した器物損壊の罪を問いうるが、後者は前者に比べ罪質が相当に軽微であるため、殺人罪のみを評価する。 :#別の構成要件に該当する2個の行為が目的・手段、または原因・結果と言う関係で密接に結びついており、1個の行為に準ずるようなものであり、かつ法益が同一又は一方が軽微なものであるので、包括して重い罪だけで処罰する場合。法条競合に分類する見解もある。 :#::例1:人を殺そうとして毒薬を入手し、その毒薬を他人に飲ませた。 :#::*「人を殺そうとして毒薬を入手」したことで[[殺人予備罪]]の成立が認められるが、その後、その毒薬を他人に飲ませた時、殺人の[[実行の着手|実行に着手]]したこととなり、殺人罪の既遂又は未遂が成立する。殺人罪の既遂又は未遂の成立で、殺人予備罪はこれと別に評価されない。 :#::例2:窃盗した服を焼却した。 :#::*窃盗犯が盗取した物を毀損・損壊しても、窃盗罪に加えて、盗取物に関する器物損壊罪を問われることはない。 :#:例1のように、事後の犯罪に含まれ評価され個別の犯罪とならない犯罪行為を「不可罰的事前行為」といい、例2のように、事前の犯罪に含まれ評価される犯罪行為を「不可罰的事後行為」という。しかしながら、これら軽微な犯罪は罰せられないものではなく、重い罪に吸収されて処罰されるので（実際の裁判において、あらかじめ計画された殺人や盗品が毀損され被害者に原状での返還が不能となった場合は犯情が重いとされうる）、[[w:平野龍一|平野龍一]]は「共罰的事前行為/事後行為」と呼称するのが妥当と述べている。 :#共犯において、[[共謀共同正犯]]を含む[[共同正犯]]が成立する場合において、共犯者の犯罪行為における個々の[[教唆犯|教唆行為]]・[[幇助|幇助行為]]は共同正犯に吸収されるのはもちろんであるが、共謀に至らない程度の[[教唆犯]]が、共同とまでは言えない程度の犯罪行為の[[幇助]]を行った場合、教唆犯と幇助犯が各々成立するものではなく、幇助行為は、より重い教唆犯に吸収される。 === 科刑上一罪 === :上述のとおり、構成要件に該当する事実が2個以上発生しても、法益の主体が同一であり、軽い罪の法益が重い罪の法益に比べてはるかに軽微である場合などは包括一罪として評価される。そうでなければ、複数の犯罪として評価すべきであるが、法益主体が異なり、あるいは法益が共に重要である場合であっても、なお法は法定刑において各々に定められる刑のうちで重い刑で処断することにしている場合がある。 :[[刑法第54条]]において、①1個の行為が数個の罪名に抵触する場合（観念的競合・一所為数法）と②2個の行為が目的・手段、または原因・結果と言う関係がある場合（牽連犯）で、各々が上記包括一罪の第1類型や第2類型と異なり、軽い方の罪も重い罪に比較して軽微とは言い難いときに一罪として取り扱うこと（科刑上一罪）が定められる。 :科刑上一罪の場合、包括一罪の場合と異なり、それぞれの罪の事実を訴因として認定するとともに、これに対して罰状の適用を示す必要がある。 :また、「最も重い刑により処断する（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」という場合、「重い罪の刑」ということではなく、各々の罪の法定刑の重いものが適用されるということである（[[刑法第54条#重い刑|最高裁判決昭和28年4月14日]]）。 ::例:A罪とB罪が科刑上一罪の関係にある時 :::*A罪の法定刑が2年以上10年以下の拘禁刑で、B罪の法定刑が1年以上5年以下の拘禁刑であるとき、A罪の法定刑2年以上10年以下の拘禁刑が科せられる。 :::*A罪の法定刑が1年以上10年以下の拘禁刑で、B罪の法定刑が2年以上5年以下の拘禁刑であるとき、上限はA罪の法定刑10年、下限はB罪の法定刑2年となり、2年以上10年以下の拘禁刑が科せられる。 :::*A罪の法定刑が1年以上10年以下の拘禁刑又は罰金刑で、B罪の法定刑が6ヶ月以上2年以下の拘禁刑（のみ）であるとき、罰金刑を科することはできない。 ;科刑上一罪と共犯 :構成要件に該当する事実が2個以上発生して、行為者について科刑上一罪と評価される場合であっても、その共犯は故意他犯罪事実について個別の評価がなされ、複数の罪名のうち一部において選択的に共犯が成立する場合がありうる（[[刑法第199条#最高裁決定平成17年7月4日|最高裁決定平成17年7月4日]]参照）。 ==== 観念的競合 ==== {{wikipedia|観念的競合}} :「一個の行為が二個以上の罪名に触れるとき（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」一罪として取り扱われる。 :*一個の行為 :*:法的評価をはなれ構成要件的観点を捨象した自然的観察のもとで、行為者の動態が社会的見解上1個のものとの評価をうける場合をいう（[[刑法第54条#1個の行為|最高裁決定昭和49年5月29日]]）。 :*二個以上の罪名 :*:別種の罪名である必要はなく、同種の罪名であっても良い（大審院判決明治42年3月11日）。一個の行為で、被害者が複数に発生した場合、個々の被害者についてではなく一個の罪名で処断される。 :*:*例 :*:**Ａはドラム缶で保有するメタノールを、Ｂが飲用に販売することを承知しながらＢに販売し、Ｂから購入し飲用した者数名が体調を崩し、また、死亡した者もあった。 :*:**:→1個の傷害致死罪と評価（[[刑法第54条#メタノール|最高裁判決昭和26年9月25日]]） :*:**危険運転により事故を起こし、複数の人が死傷した。 :*:**:→1個の危険運転致死傷罪と評価される。 :*観念的競合となる例 :**無免許で飲酒運転をした。 :**:→[[道路交通法第118条]]第1項第1号、[[道路交通法第64条|第64条]]の罪（無免許運転）と[[道路交通法第117条の2|同法第117条の2]]第1号、[[道路交通法第65条|第65条]]第1項の罪（酒気帯び運転等）との観念的競合の関係にある。 :**窃盗犯が逃亡途中で警官と遭遇し、暴行を加え逃走しようとした。 :**:→事後強盗罪と公務執行妨害罪との観念的競合。 ==== 牽連犯 ==== {{wikipedia|牽連犯}} :「犯罪の手段若しくは結果である行為が他の罪名に触れるとき（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」一罪として取り扱われる。 :牽連犯が成立するためには犯人が主観的に数罪の一方を他方の手段または結果の関係において実行したというだけでは足りず、その数罪間にその罪質上通常手段結果の関係が存在することを必要とする（[[刑法第54条#昭和24年12月21日|最高裁判決昭和24年12月21日]]、[[刑法第54条#牽連犯の要件|最高裁判決昭和32年7月18日]]）。 :牽連犯はその数罪間に罪質上通例その一方が他方の手段または結果となる関係があり、しかも具体的に犯人がかかる関係においてその数罪を実行した場合に科刑上とくに一罪として取り扱うこととしたものであるから、牽連犯を構成する手段となる犯罪と結果となる犯罪との中間に別罪の確定裁判が介在する場合においても、なお刑法54条の適用がある（[[刑法第54条#昭和44年6月18日|最高裁判決昭和44年6月18日]]）。 :ある犯罪Ａが、通常であれば併合罪となるべき複数の犯罪行為Ｂ,Ｃ,…に対して、各々の手段行為である関係が認められ、犯罪Ａと犯罪Ｂ、犯罪Ａと犯罪Ｃ…は各々牽連犯であると判断される場合に、犯罪Ａ、犯罪Ｂ、犯罪Ｃ…は1個の牽連犯を構成するとされる（かすがい現象）。 ::例:住居に侵入して3名を殺害した事案で、3個の殺人の所為は1個の住居侵入の所為とそれぞれ牽連犯の関係にあるとした（[[刑法第54条#かすがい現象|最高裁決定昭和29年5月27日]]）。 ;牽連犯となる事例 :*窃盗や暴行のためになされる住居侵入 :*文書等の偽造と偽造文書の行使 :*偽造した文書を用いた詐欺 === 併合罪 === {{wikipedia|併合罪}} :確定判決を受けていない数個の罪を併合罪と言う。罪について確定判決があったときは、その罪とその確定判決前になされた罪だけが併合罪とされ、確定判決の前の罪と確定判決後の罪とは併合罪とはならない（[[刑法第45条|第45条]]）。 :併合罪の場合、処断方法に吸収主義、加重主義、併科主義がある。 :#重い刑として死刑・無期拘禁刑を科するときは、他の刑罰は科されない。ただし、死刑においては没収、無期拘禁刑については没収、科料及び罰金は科すことができる（吸収主義 [[刑法第46条|第46条]]）。 :#有期拘禁刑は、その最も重い罪について定めた刑の長期にその他の罪の刑の2分の1を加えたものが長期となる。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えない（加重主義 [[刑法第47条|第47条]]）。併合罪の一部が他の犯罪の確定判決後になされた場合、この範囲において執行される（[[刑法第51条|第51条]]）。 :#拘留刑は、累計される（併科主義）。 :#拘禁刑とともに罰金刑を科しうる（併科主義 [[刑法第48条|第48条]]第1項）。併合罪の各々に罰金刑が科される場合、それぞれの罪について定めた罰金の多額の合計以下で処断する（加重主義 [[刑法第48条|第48条]]第2項）。 :#科料は、累計される（併科主義）。 === 単純数罪 === :別罪を構成し（牽連犯では確定判決を間に挟むこともある）、確定判決前後にある数個の犯罪行為を単純数罪という。別罪となるため、各々の刑罰がそれぞれ累計される。 :一定期間中に行われた複数の犯罪行為について、その期間中に刑事事件に関する確定判決がなければ、その複数の犯罪行為が全く無関係な犯罪行為であっても併合罪とでき、一般に単純数罪の累計よりも併合罪として取り扱われた方が判決される刑期が短くなる。そのため、被告人側は、数個の犯罪行為を個別に起訴された場合、各犯罪事実を併合罪にするためにしばしば「弁論の併合請求（[[刑事訴訟法第313条]]）」を行い、訴訟の統合を試みる。 :逆に、犯罪の内容に関わらず刑事上の確定判決があれば、その前後の犯罪行為は別の犯罪と理解され各々の行為について処断される。[[w:勝田清孝事件|一人の被告人に対して、二個の死刑判決がなされた例]]もある。 == 条文 == 第1編総則 第9章 [[併合罪]]（第45条 - 第55条） *[[刑法第45条|第45条]]（併合罪） *[[刑法第46条|第46条]]（併科の制限） *[[刑法第47条|第47条]]（有期の拘禁刑の加重） *[[刑法第48条|第48条]]（罰金の併科等） *[[刑法第49条|第49条]]（没収の付加） *[[刑法第50条|第50条]]（余罪の処理） *[[刑法第51条|第51条]]（併合罪に係る二個以上の刑の執行） *[[刑法第52条|第52条]]（一部に大赦があった場合の措置） *[[刑法第53条|第53条]]（拘留及び科料の併科） *[[刑法第54条|第54条]]（一個の行為が二個以上の罪名に触れる場合等の処理） *[[刑法第55条|第55条]] 削除 - [[w:連続犯|連続犯]]についての規定が存在したが、1947年（昭和22年）に削除。 == 脚注 == <references/> {{stub|law}} {{DEFAULTSORT:さいすう}} [[Category:刑法総論]] [[Category:罪数論|*]] lcg9bh2qo1rs3y9qduefg26fpv1gqwu 301900 301894 2026-07-28T21:49:41Z Tomzo 248 /* 併合罪 */ 301900 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[刑法総論]]＞[[罪数論]] {{wikipedia|罪数}} == 総論 == === 罪数を論ずる意義 === ==== 刑事訴訟法における意義 ==== =====関係条文===== #関連事件（[[刑事訴訟法第9条]]） #:数個の事件が「関連するもの」とされる場合を定め、管轄・審理の単位の決定等を行うが、「1人が数罪を犯したとき」の各犯罪は関連事件としている。 #公訴時効（[[刑事訴訟法第251条]]） #:複数の罪がある場合や選択的法定刑がある場合、「'''重い方の刑'''」を基準にして時効期間を決める。 #起訴の範囲（[[刑事訴訟法第262条]]） #:起訴状に記載された犯罪事実の範囲内で裁判を行うこととし、罪数の処理（併合罪の認定など）が裁判の範囲に影響する。 #判決の範囲（[[刑事訴訟法第312条]]） #:判決は、起訴状に記載された犯罪事実の範囲内で行うとされ、複数の罪を併合して処断する場合の根拠となる。 #公訴時効（[[刑事訴訟法第321条]]） #:有罪判決には、罪名と刑を記載することとされており、罪数の認定（一罪か数罪か）が判決の内容に直接現れる。 =====訴因・罰条の変更===== === 罪数を区別する基準・行為の個数 === ===一個の行為=== :[[刑法第54条|刑法54条1項前段]]にいう1個の行為とは、法的評価をはなれ構成要件的観点を捨象した自然的観察のもとで、行為者の動態が社会的見解上1個のものとの評価をうける場合をいう（[[刑法第54条#1個の行為|最高裁決定昭和49年5月29日]]）。 === 罪数の種類 === #行為が1個と評価される場合 ##本来的一罪 ###[[#単純一罪|単純一罪]] ###[[#法条競合|法条競合]] ###[[#包括一罪|包括一罪]] ##科刑上一罪 ###[[#観念的競合|観念的競合]] ###[[#牽連犯|牽連犯]] #行為が複数と評価される場合 ##[[#併合罪|併合罪]] ##[[#単純数罪|単純数罪]] == 各論 == === 本来的一罪 === ==== 単純一罪 ==== :刑法各則において定める犯罪類型ないし構成要件を1回充足する事実。罪数を論ずる前提となる。 :以下に関しては、単独の一罪を構成する。 :#保護法益を基準として罪数が決せられる場合 :#*放火罪は、個々の個人の生命・身体・財産の価値より、それらを包括した公共の安全を保護法益としているため、1個の行為で延焼等が起こったとしても1個の犯罪と評価される。 :#*窃盗につき、1個の侵入・盗取行為で複数の所有者にかかる物品を盗取したとしても、[[財産犯総論#財産犯の保護法益|保護法益の見解（本権説・占有説）]]に関わらず1罪とのみ評価される。 :#構成要件が、初めから数個の行為を予定している場合（'''集合犯'''）。以下に分類される。 :##'''常習犯''' - 一定の犯罪を反復して行う習癖のある犯罪（cf.[[累犯]]） :##:例.常習賭博（[[刑法第186条]]第1項） :##'''職業犯''' - 業として一定の犯罪行為を繰り返すもの :##:例.わいせつ物頒布等（[[刑法第175条]]）、違法薬物の頒布 :##'''営業犯''' - 職業犯の目的に営利を含むもの :##:例.無免許医業罪（[[医師法第17条]]→罰則:[[医師法第31条]]1項1号） :##'''結合犯''' - それぞれ単独でも犯罪とされる2個以上の行為を結合して一つの構成要件としたもの。 :##:例.強盗・不同意性交等罪（[[刑法第241条]]） ==== 法条競合 ==== :一つの事実が同時に一つの犯罪類型ないし構成要件に該当し、2個の単純一罪が成立するように見えるが、実はやはり単純一罪は1個のみしか成立しない場合、即ち、それぞれの犯罪類型ないし構成要件は論理的に重なっており、その一方だけの適用が予定されている場合をいう。このような場合、数個の犯罪の成立を認めると、一個の犯罪事実に対して複数の評価を行うことになり妥当ではないので、一個の犯罪の成立のみを認める。その性質について、講学上、概ね以下の分類がなされるが、択一関係の分類を認めないなど論者によって見解を異にする。以下の分類は、あくまでも、講学上の整理であるので、詳細にこだわる必要はない。 :#特別関係 :#:罰条に適用される身分等の要件が添加される場合。特別法における罰則規定に多く見られ、「特別法は一般法を破る」の原則により、構成要件が添加された特別法が適用され一般法は適用されない。ただし、一般法の判例等は特別法の趣旨に反しない限り適用される。 :#::例. :#::*加重される場合 :#::**(一般)[[遺棄罪]]（[[刑法第217条]]）:(特別)[[保護責任者遺棄罪]]（[[刑法第218条]]） :#::**(一般)[[背任罪]]（[[刑法第247条]]）:(特別)会社法が定める役員等の特別背任罪（[[会社法第960条]]） :#::*軽減される場合 :#::**(一般)[[殺人罪]]（[[刑法第199条]]）:(特別)[[自殺関与及び同意殺人]]（[[刑法第202条]]） :#補充関係 :#:基本となる罰条（基本法規）の構成要件の一部を除き、その欠如した部分を補充（補充法規）する場合。基本法規が適用されるかを判断し、それにあたらない場合に補充法規の成否が判断される。以下に示す放火犯の事例が典型であるが、上記特別関係において、補充法規を一般法と、一般法規を特別法とみなす場合の取り扱いの差はないので、特別関係に含め、これを分けない見解もある。 :#::例. :#::*(基本)[[傷害罪]]（[[刑法第204条]]）:(補充)[[暴行罪]]（[[刑法第208条]]） :#::*(基本)[[現住建造物等放火罪]]（[[刑法第108条]]）/[[非現住建造物等放火罪]]（[[刑法第109条]]）:(補充)[[建造物等以外放火罪]]（[[刑法第110条]]） :#::*(基本)[[公用文書等毀棄]]（[[刑法第258条]]）/[[私用文書等毀棄]]（[[刑法第259条]]）/[[建造物等損壊及び同致死傷]]（[[刑法第260条]]）:(補充)[[器物損壊罪]]（[[刑法第261条]]） :#吸収関係 :#:構成要件に、そもそもその犯罪類型が含まれている（吸収されている）場合、被吸収の犯罪は評価しない。 :#::例 :#::*(吸収)[[強盗罪]]（[[刑法第236条]]）←(被吸収)[[暴行罪]]（[[刑法第208条]]） :#::*(吸収)[[恐喝罪]]（[[刑法第249条]]）←(被吸収・吸収)[[強要罪]]（[[刑法第223条]]）←(被吸収)[[脅迫罪]]（[[刑法第222条]]） :#::*(吸収)[[不同意性交等]]（[[刑法第177条]]）←(被吸収)[[不同意わいせつ罪]]（[[刑法第176条]]） - 特別関係とも :#::*(吸収)致傷の[[結果的加重犯]]←(被吸収)傷害罪または過失傷害罪 :#::*(吸収)放火←(被吸収)他人の所有物に関する器物損壊 :#::*(吸収)偽造通貨行使（[[刑法第148条]]）/収得後知情行使等（[[刑法第152条]]）、偽造有価証券等行使（[[刑法第153条]]）←(被吸収)[[詐欺罪]] :#::*:いずれも偽造品（通貨・有価証券）の行使という特殊な詐取様態を直接取り扱う特別法規で、詐欺罪と観念的競合の関係に立ち、詐欺罪はこれらに吸収されて併せて問われない。 :#択一関係 :#:犯した罪が排他的関係にあり、どちらかのみが適用される場合。 :#::例 :#::*典型とされるのは、「未成年者を営利目的をもって誘拐した場合」で、この場合、[[未成年者略取及び誘拐罪]]([[刑法第224条]])と[[営利目的等略取及び誘拐罪]]([[刑法第224条]])が成立しうるが、この場合、客体が未成年者か否かという要素は失われ、後者のみで評価される。 :#::*[[横領罪]]（[[刑法第252条]]）と[[背任罪]]（[[刑法第247条]]） ==== 包括一罪 ==== :構成要件に該当する事実が2個以上発生しても、なお一罪であるかのように取り扱われる場合がある。すなわち法定刑が重い方の罪の規定だけを適用し、その法定刑で処断するものである。これを包括一罪と言う。その中に以下の3種のものがあると考えられる。 :#同じ構成要件に該当する数個の事実が引き続いて生じた場合。「狭義の包括一罪」または「接続犯」とも呼ばれる。 :#:例 :#:*人を、逮捕し監禁したときは、逮捕罪と監禁罪との各別の二罪が成立し、牽連犯又は連続犯となるものではなく、これを包括的に観察して刑法220条1項の単純な一罪が成立するものと解すべきものである（[[刑法第54条#逮捕監禁|最高裁判決昭和28年06月17日]]）。 :#:*暴行し、相手の身体数カ所を傷害した。→1個の傷害罪 :#:*ある家に窃盗に入り、複数のものを盗み出した。→1個の窃盗罪 :#:*倉庫の管理を任されたのを利用し、数日にわたって倉庫のものを横領した。→1個の横領罪 :#:*複数の女性を集め、売春をさせた。→人数・回数に関わらず1個の売春をさせることを業とした罪（[[売春防止法第12条]]違反） :#:*:↓ :#:*:女性の中に未成年がおり、未成年に売春をさせることは児童福祉法違反の刑法犯（[[児童福祉法第34条|同法第34条]]、[[児童福祉法第60条|第60条]]）も問われ下級審で有罪判決となったが、売春防止法第12条と同旨であり、同法で有罪判決が出て確定しているならば、児童福祉法違反は評価済みとして、最高裁にて判決を覆した例がある（[[刑事訴訟法第411条#最高裁判決昭和37年4月26日|最高裁判決昭和37年4月26日]]）。 :#1個の行為で数個の構成要件に該当する結果を生じせせしめたが、軽い方の罪の法益は極めて軽微であるので、これらを包括して重い罪の刑だけで処断する場合。法条競合に分類する見解もある。 :#:例:服の上から刃物で刺して人を殺したという事案 :#:*殺人とともに衣服を毀損した器物損壊の罪を問いうるが、後者は前者に比べ罪質が相当に軽微であるため、殺人罪のみを評価する。 :#別の構成要件に該当する2個の行為が目的・手段、または原因・結果と言う関係で密接に結びついており、1個の行為に準ずるようなものであり、かつ法益が同一又は一方が軽微なものであるので、包括して重い罪だけで処罰する場合。法条競合に分類する見解もある。 :#::例1:人を殺そうとして毒薬を入手し、その毒薬を他人に飲ませた。 :#::*「人を殺そうとして毒薬を入手」したことで[[殺人予備罪]]の成立が認められるが、その後、その毒薬を他人に飲ませた時、殺人の[[実行の着手|実行に着手]]したこととなり、殺人罪の既遂又は未遂が成立する。殺人罪の既遂又は未遂の成立で、殺人予備罪はこれと別に評価されない。 :#::例2:窃盗した服を焼却した。 :#::*窃盗犯が盗取した物を毀損・損壊しても、窃盗罪に加えて、盗取物に関する器物損壊罪を問われることはない。 :#:例1のように、事後の犯罪に含まれ評価され個別の犯罪とならない犯罪行為を「不可罰的事前行為」といい、例2のように、事前の犯罪に含まれ評価される犯罪行為を「不可罰的事後行為」という。しかしながら、これら軽微な犯罪は罰せられないものではなく、重い罪に吸収されて処罰されるので（実際の裁判において、あらかじめ計画された殺人や盗品が毀損され被害者に原状での返還が不能となった場合は犯情が重いとされうる）、[[w:平野龍一|平野龍一]]は「共罰的事前行為/事後行為」と呼称するのが妥当と述べている。 :#共犯において、[[共謀共同正犯]]を含む[[共同正犯]]が成立する場合において、共犯者の犯罪行為における個々の[[教唆犯|教唆行為]]・[[幇助|幇助行為]]は共同正犯に吸収されるのはもちろんであるが、共謀に至らない程度の[[教唆犯]]が、共同とまでは言えない程度の犯罪行為の[[幇助]]を行った場合、教唆犯と幇助犯が各々成立するものではなく、幇助行為は、より重い教唆犯に吸収される。 === 科刑上一罪 === :上述のとおり、構成要件に該当する事実が2個以上発生しても、法益の主体が同一であり、軽い罪の法益が重い罪の法益に比べてはるかに軽微である場合などは包括一罪として評価される。そうでなければ、複数の犯罪として評価すべきであるが、法益主体が異なり、あるいは法益が共に重要である場合であっても、なお法は法定刑において各々に定められる刑のうちで重い刑で処断することにしている場合がある。 :[[刑法第54条]]において、①1個の行為が数個の罪名に抵触する場合（観念的競合・一所為数法）と②2個の行為が目的・手段、または原因・結果と言う関係がある場合（牽連犯）で、各々が上記包括一罪の第1類型や第2類型と異なり、軽い方の罪も重い罪に比較して軽微とは言い難いときに一罪として取り扱うこと（科刑上一罪）が定められる。 :科刑上一罪の場合、包括一罪の場合と異なり、それぞれの罪の事実を訴因として認定するとともに、これに対して罰状の適用を示す必要がある。 :また、「最も重い刑により処断する（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」という場合、「重い罪の刑」ということではなく、各々の罪の法定刑の重いものが適用されるということである（[[刑法第54条#重い刑|最高裁判決昭和28年4月14日]]）。 ::例:A罪とB罪が科刑上一罪の関係にある時 :::*A罪の法定刑が2年以上10年以下の拘禁刑で、B罪の法定刑が1年以上5年以下の拘禁刑であるとき、A罪の法定刑2年以上10年以下の拘禁刑が科せられる。 :::*A罪の法定刑が1年以上10年以下の拘禁刑で、B罪の法定刑が2年以上5年以下の拘禁刑であるとき、上限はA罪の法定刑10年、下限はB罪の法定刑2年となり、2年以上10年以下の拘禁刑が科せられる。 :::*A罪の法定刑が1年以上10年以下の拘禁刑又は罰金刑で、B罪の法定刑が6ヶ月以上2年以下の拘禁刑（のみ）であるとき、罰金刑を科することはできない。 ;科刑上一罪と共犯 :構成要件に該当する事実が2個以上発生して、行為者について科刑上一罪と評価される場合であっても、その共犯は故意他犯罪事実について個別の評価がなされ、複数の罪名のうち一部において選択的に共犯が成立する場合がありうる（[[刑法第199条#最高裁決定平成17年7月4日|最高裁決定平成17年7月4日]]参照）。 ==== 観念的競合 ==== {{wikipedia|観念的競合}} :「一個の行為が二個以上の罪名に触れるとき（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」一罪として取り扱われる。 :*一個の行為 :*:法的評価をはなれ構成要件的観点を捨象した自然的観察のもとで、行為者の動態が社会的見解上1個のものとの評価をうける場合をいう（[[刑法第54条#1個の行為|最高裁決定昭和49年5月29日]]）。 :*二個以上の罪名 :*:別種の罪名である必要はなく、同種の罪名であっても良い（大審院判決明治42年3月11日）。一個の行為で、被害者が複数に発生した場合、個々の被害者についてではなく一個の罪名で処断される。 :*:*例 :*:**Ａはドラム缶で保有するメタノールを、Ｂが飲用に販売することを承知しながらＢに販売し、Ｂから購入し飲用した者数名が体調を崩し、また、死亡した者もあった。 :*:**:→1個の傷害致死罪と評価（[[刑法第54条#メタノール|最高裁判決昭和26年9月25日]]） :*:**危険運転により事故を起こし、複数の人が死傷した。 :*:**:→1個の危険運転致死傷罪と評価される。 :*観念的競合となる例 :**無免許で飲酒運転をした。 :**:→[[道路交通法第118条]]第1項第1号、[[道路交通法第64条|第64条]]の罪（無免許運転）と[[道路交通法第117条の2|同法第117条の2]]第1号、[[道路交通法第65条|第65条]]第1項の罪（酒気帯び運転等）との観念的競合の関係にある。 :**窃盗犯が逃亡途中で警官と遭遇し、暴行を加え逃走しようとした。 :**:→事後強盗罪と公務執行妨害罪との観念的競合。 ==== 牽連犯 ==== {{wikipedia|牽連犯}} :「犯罪の手段若しくは結果である行為が他の罪名に触れるとき（[[刑法第54条|第54条]]第1項）」一罪として取り扱われる。 :牽連犯が成立するためには犯人が主観的に数罪の一方を他方の手段または結果の関係において実行したというだけでは足りず、その数罪間にその罪質上通常手段結果の関係が存在することを必要とする（[[刑法第54条#昭和24年12月21日|最高裁判決昭和24年12月21日]]、[[刑法第54条#牽連犯の要件|最高裁判決昭和32年7月18日]]）。 :牽連犯はその数罪間に罪質上通例その一方が他方の手段または結果となる関係があり、しかも具体的に犯人がかかる関係においてその数罪を実行した場合に科刑上とくに一罪として取り扱うこととしたものであるから、牽連犯を構成する手段となる犯罪と結果となる犯罪との中間に別罪の確定裁判が介在する場合においても、なお刑法54条の適用がある（[[刑法第54条#昭和44年6月18日|最高裁判決昭和44年6月18日]]）。 :ある犯罪Ａが、通常であれば併合罪となるべき複数の犯罪行為Ｂ,Ｃ,…に対して、各々の手段行為である関係が認められ、犯罪Ａと犯罪Ｂ、犯罪Ａと犯罪Ｃ…は各々牽連犯であると判断される場合に、犯罪Ａ、犯罪Ｂ、犯罪Ｃ…は1個の牽連犯を構成するとされる（かすがい現象）。 ::例:住居に侵入して3名を殺害した事案で、3個の殺人の所為は1個の住居侵入の所為とそれぞれ牽連犯の関係にあるとした（[[刑法第54条#かすがい現象|最高裁決定昭和29年5月27日]]）。 ;牽連犯となる事例 :*窃盗や暴行のためになされる住居侵入 :*文書等の偽造と偽造文書の行使 :*偽造した文書を用いた詐欺 === 併合罪 === {{wikipedia|併合罪}} :確定判決を受けていない数個の罪を併合罪と言う。罪について確定判決があったときは、その罪とその確定判決前になされた罪だけが併合罪とされ、確定判決の前の罪と確定判決後の罪とは併合罪とはならない（[[刑法第45条|第45条]]）。 :併合罪の場合、処断方法に吸収主義、加重主義、併科主義がある。 :#重い刑として死刑・無期拘禁刑を科するときは、他の刑罰は科されない。ただし、死刑においては没収、無期拘禁刑については没収、科料及び罰金は科すことができる（吸収主義 [[刑法第46条|第46条]]）。 :#有期拘禁刑は、その最も重い罪について定めた刑の長期にその2分の1を加えたものが長期となる。ただし、それぞれの罪について定めた刑の長期の合計を超えない（加重主義 [[刑法第47条|第47条]]）。併合罪の一部が他の犯罪の確定判決後になされた場合、この範囲において執行される（[[刑法第51条|第51条]]）。 :#拘留刑は、累計される（併科主義）。 :#拘禁刑とともに罰金刑を科しうる（併科主義 [[刑法第48条|第48条]]第1項）。併合罪の各々に罰金刑が科される場合、それぞれの罪について定めた罰金の多額の合計以下で処断する（加重主義 [[刑法第48条|第48条]]第2項）。 :#科料は、累計される（併科主義）。 === 単純数罪 === :別罪を構成し（牽連犯では確定判決を間に挟むこともある）、確定判決前後にある数個の犯罪行為を単純数罪という。別罪となるため、各々の刑罰がそれぞれ累計される。 :一定期間中に行われた複数の犯罪行為について、その期間中に刑事事件に関する確定判決がなければ、その複数の犯罪行為が全く無関係な犯罪行為であっても併合罪とでき、一般に単純数罪の累計よりも併合罪として取り扱われた方が判決される刑期が短くなる。そのため、被告人側は、数個の犯罪行為を個別に起訴された場合、各犯罪事実を併合罪にするためにしばしば「弁論の併合請求（[[刑事訴訟法第313条]]）」を行い、訴訟の統合を試みる。 :逆に、犯罪の内容に関わらず刑事上の確定判決があれば、その前後の犯罪行為は別の犯罪と理解され各々の行為について処断される。[[w:勝田清孝事件|一人の被告人に対して、二個の死刑判決がなされた例]]もある。 == 条文 == 第1編総則 第9章 [[併合罪]]（第45条 - 第55条） *[[刑法第45条|第45条]]（併合罪） *[[刑法第46条|第46条]]（併科の制限） *[[刑法第47条|第47条]]（有期の拘禁刑の加重） *[[刑法第48条|第48条]]（罰金の併科等） *[[刑法第49条|第49条]]（没収の付加） *[[刑法第50条|第50条]]（余罪の処理） *[[刑法第51条|第51条]]（併合罪に係る二個以上の刑の執行） *[[刑法第52条|第52条]]（一部に大赦があった場合の措置） *[[刑法第53条|第53条]]（拘留及び科料の併科） *[[刑法第54条|第54条]]（一個の行為が二個以上の罪名に触れる場合等の処理） *[[刑法第55条|第55条]] 削除 - [[w:連続犯|連続犯]]についての規定が存在したが、1947年（昭和22年）に削除。 == 脚注 == <references/> {{stub|law}} {{DEFAULTSORT:さいすう}} [[Category:刑法総論]] [[Category:罪数論|*]] stslxgu7jzbwam5fwat7uvxxlz4zhjz 0 35720 301896 209913 2026-07-28T19:47:34Z Tomzo 248 転送先を [[w:再犯]] から [[刑法第56条]] に変更しました 301896 wikitext text/x-wiki #redirect[[刑法第56条]] 2uc1lqnr1vudbfo12fxizdinw73vx02 0 44744 301892 276421 2026-07-28T15:57:06Z ~2026-41905-07 92144 301892 wikitext text/x-wiki == よく使われるフレーズ == * Ciao. [ちゃお] やあ。（軽いあいさつ） * Buon giorno. [ぶおんじょるの] こんにちは。（一日中使える） * Buona Notte. [ぶおなのって] おやすみなさい。 * Grazie. [ぐらつぃえ] ありがとう。 * Scusi. [すくーずぃ] ごめんなさい。 * Bene. [べーね] よし。OK。 * Sì. [すぃ] はい。 * No. [の] いいえ。 {{stub|言語}} [[カテゴリ:イタリア語]] 458vv8ioemmdbg69qmx2937yspnl9wq 4 47845 301905 297535 2026-07-29T10:11:19Z なまえみてい 90434 取り下げ 301905 wikitext text/x-wiki === [[利用者:なまえみてい]] === *'''管理者（賛成: 0/反対: 1/ その他: 0)''' こんにちは。[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]]です。今回は管理者に立候補します。立候補した理由は日本語版ウィキブックスでは利用者不足もそうですが、管理者不足が深刻であることです。最後に管理者への立候補があったのが6年前で、新しい管理者が生まれたのが13年前です。また、今現在の管理者は2名いらっしゃいますが、そのうちアクティブなのは一名だけです。 私が<nowiki>{{即時削除}}</nowiki>を添付したページの対処は基本的にグローバル管理者の方がしてくださる状況になっていますし、[[wikibooks:削除依頼#テンプレート:独自研究の可能性_-_トーク|この削除依頼]]は満場一致にもかかわらず、4年近く対処（終了宣言）がなされていません。また、[[WB:AN/I]]などの対処もグローバル管理者に依存してしまっています。 私はウィキペディアやウィキブックスに参加してからまだ日が経っていませんが、ある程度の知識は蓄えてきたつもりです。私が管理者になりましたら、上記のような長期化した削除案件や伝言板の対処、<nowiki>{{賛成}}</nowiki>のような便利なテンプレートの[[WB:IP|インポート]]を中心に活動したいと考えています。 ウィキペディア、ウィキブックスともに経験が浅いことも含め、厳しく審査していただけたら幸いです。よろしくお願いします。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年3月30日 (月) 08:28 (UTC) :{{コメント2|反対}} 活動実績が不足していると考えます。特に、書式関連の編集ばかりで、教科書本体への貢献がほぼ見られません。[[Wikibooks:管理者への立候補/Takumi3 20150430|Takumi3 20150430]]さん、[[Wikibooks:管理者への立候補/雪津風明石 20200516|雪津風明石 20200516]]さんにおいて反対した理由と同じです。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年4月2日 (木) 07:23 (UTC) :{{コメント2|取り下げ}} お久しぶりです。なまえみていです。もうそろそろで4カ月経過しますが、管理者による終了宣言がなされていませんので、私の方から取り下げをし、この議論を終了いたします。この議論に参加してくださいました[[利用者:Tomzo|Tomzo]]さん、ありがとうございました。<br>個人的な話になりますが、[[n:メインページ|ウィキニュース]]が今年の5月に閉鎖されたこともあり、日本語版ウィキブックスの管理者不足や利用者不足に危機感を持っています。今現在、アクティブな管理者は一人だけです。また、議論を終了をしてもよさそうな[[WB:AFD]]などがそのままになっていたり、様々な対処をグローバル管理者に依存してしまっていたりと課題が残っています。<br>ぜひ、他の方で「[[WB:SYSOP|管理者]]をやってもいいよ」という方がいましたら、ぜひ立候補をしていただきたいなと思います（できる限り、応援します）。--[[利用者:なまえみてい|なまえみてい]] ([[利用者・トーク:なまえみてい|トーク]]) 2026年7月29日 (水) 10:10 (UTC) evvqgslnha4lzxxf8jrkzavfyia0v9o 2 48629 301901 2026-07-29T09:36:24Z ~2026-41884-65 92153 自己紹介 301901 wikitext text/x-wiki はじめまして！飛行機好きの身長 低身長の、小6年生です！飛行機のことが何気なくすきなので、ぜひ見てってくださいませ！ぼくの近所の空港は松山空港で、松山空港の中身も知ってます！ぜひ質問してみてくださいませ！2026年3月には6番スポットが完成！2026年6月早々にはエアロK航空がチャーター便運航した。来年早々にむけ、誘致活動を進めるとのこと。すきなアーティスト 音羽-otoha- 、あのちゃん、 新垣結衣、 畑芽育、 速水けんたろう、 茂森あゆみ就航してほしい航空会社一覧 ジンエアー、フィンエアー、チャイナエアライン、ベトジェットエア、エアアジア、アメリカン航空です！最近、ウィキブックスで履歴消去されました😭これからもよろしくお願いいたします。 8ugzxwvob1yye96cqw6zq8ya1icltge 301902 301901 2026-07-29T09:38:02Z ~2026-41884-65 92153 自己紹介 301902 wikitext text/x-wiki はじめまして！飛行機好きの身長 低身長の、小6年生です！飛行機のことが何気なくすきなので、ぜひ見てってくださいませ！ぼくの近所の空港は松山空港で、松山空港の中身も知ってます！ぜひ質問してみてくださいませ！2026年3月には6番スポットが完成！2026年6月早々にはエアロK航空がチャーター便運航した。来年早々にむけ、誘致活動を進めるとのこと。すきなアーティスト 音羽-otoha- 、あのちゃん、 新垣結衣、 畑芽育、 速水けんたろう、 茂森あゆみ就航してほしい航空会社一覧 ジンエアー、フィンエアー、チャイナエアライン、ベトジェットエア、エアアジア、アメリカン航空です！よろしくお願いいたします f18bh136xmpdyefobsrbnjtw5ok8xpl 301903 301902 2026-07-29T09:40:53Z ~2026-41884-65 92153 自己紹介 301903 wikitext text/x-wiki はじめまして！飛行機好きの身長 低身長の、小6年生です！飛行機のことが何気なくすきなので、ぜひ見てってくださいませ！ぼくの近所の空港は松山空港で、松山空港の中身も知ってます！ぜひ質問してみてくださいませ！2026年3月には6番スポットが完成！2026年6月早々にはエアロK航空がチャーター便運航した。来年早々にむけ、誘致活動を進めるとのこと。すきなアーティスト 音羽-otoha- 、あのちゃん、 新垣結衣、 畑芽育、 速水けんたろう、 茂森あゆみ 就航してほしい航空会社一覧 ジンエアー、フィンエアー、チャイナエアライン、ベトジェットエア、エアアジア、アメリカン航空です！よろしくお願いいたします！ mx5z6m4jd5j7vg1abn6l3xq5sdd8gzy 3 48630 301904 2026-07-29T09:42:29Z ~2026-41884-65 92153 /* */ 自己紹介 301904 wikitext text/x-wiki 飛行機大好きです！質問してみてね tdxilaib4ktc3xmxwa6saspr7tmds0i