Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 1524 301935 301748 2026-07-31T05:37:59Z Nermer314 62933 301935 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|メインページ|自然科学|物理学|frame=1|small=1}} {{sisterlinks | b = 量子力学 | commons = Quantum physics | commonscat = Quantum mechanics | d = Q944 }} {| style="float:right" |- |{{Wikipedia|量子力学|量子力学}} |- |{{Wikiversity|Topic:量子力学|量子力学}} |} == 量子力学とは == * [[量子力学/量子力学とは]] == 量子力学の発展 == * [[量子力学/量子力学の発展]] <!-- == 古典および量子統計力学 == === デュロン＝プティの法則 === [[w:結晶|結晶]]を成す物質の[[w:内部エネルギー|内部エネルギー]]および[[w:熱容量|熱容量]]を求めよう。議論を簡単にするため、[[w:結晶構造|結晶構造]]の単位である[[w:単位胞|単位胞]] 1 つをとり、これを 1 つの[[w:分子|分子]]と見なす。このような取り扱いは結晶の具体的構造によらない普遍的な性質を議論する上で重要である。結晶を構成する分子は互いに[[w:相互作用|相互作用]]するが、最も主要な効果を及ぼすのは最近接格子点上の分子であり、より遠距離にある分子同士の相互作用はそれらの間に存在する分子同士の相互作用として含めることができる。ここまでで扱うべき問題はかなり簡素になったが、結晶分子の運動がそれほど激しいものでない場合には（気体分子運動論の考えを援用すれば、この状況は結晶内部の[[w:温度|温度]]が極めて低いことに相当する）、各分子は固定された平衡点近傍を振動していると見なすことができる。この場合、分子 1 つ 1 つの運動は独立なものとして取り扱うことができ、平衡点近傍で運動する分子 1 個の周りの[[w:ポテンシャル|ポテンシャルエネルギー]]は <math>U</math> は、その平衡点を原点として以下のように表すことができる。 :<math>U=\frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2</math> 分子の周りのポテンシャルは <math>x, y, z</math> の 3 成分に対応する 3 つの[[w:自由度|自由度]]を持っている。 また分子の[[w:運動エネルギー|運動エネルギー]] <math>K</math> は :<math>K=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_y^2 + \frac{1}{2}mv_z^2</math> となって <math>v_x, v_y, v_z</math> の 3 つの速度成分に対応する 3 つの自由度を持っている。これらの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は今、熱振動をする分子 1 個が持つ全エネルギーに対応し、分子のエネルギーの自由度は合わせて 6 と数えることができる。なぜならこのエネルギーは 3 次元空間上を運動する粒子の位置と速度の 6 つの独立変数 <math>x, y, z, v_x, v_y, v_z</math> によって決定されるからである。 古典的な統計力学において、[[w:熱力学的平衡|平衡状態]]では[[w:エネルギー等配分の法則|エネルギー等分配の法則]]が成り立つことから、独立に振動する結晶分子からなる系について、自由度 1 つにつき <math>kT/2</math> のエネルギーが分配され、系全体のエネルギー <math>E</math> との間に :<math>E = N\times 6 \times \frac{kT}{2} = 3NkT</math> という関係が成り立つ。ここで <math>N</math> は結晶内部に含まれる結晶分子の数であり、また <math>k \simeq 1.38\times 10^{-23}~\mathrm{[J/K]}</math> は[[w:ボルツマン定数|ボルツマン定数]]、<math>T</math> は[[w:熱力学温度|熱力学温度]]である（以下、温度とは熱力学温度のことを指すとする）。ボルツマン定数 <math>k</math> と[[w:アヴォガドロ定数|アヴォガドロ定数]] <math>N_\mathrm{A}</math> の積は[[w:気体定数|気体定数]] <math>R</math> を与える。 :<math>k =\frac{R}{N_\mathrm{A}}.</math> 結晶分子の個数 <math>N</math> をアヴォガドロ定数を用いて[[w:物質量|物質量]] <math>n = N/N_\mathrm{A}</math> に置き換えれば、上述の関係は気体定数を使って以下のように書き直すことができる。 :<math>E = 3NkT = 3nN_\mathrm{A}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = 3nRT.</math> 気体定数を用いた形式では分子数が現れず、代わりに物質量という量が定義されることに注意しよう。ボルツマン定数を基本定数とする立場では単なる置き換えに過ぎないが、気体定数を基本定数とする場合、ボルツマン定数を用いた形式を与えるには分子の存在をあからさまに認める必要がある。 結晶の[[w:比熱容量|1モル当たりの熱容量]] <math>C</math> は、温度変化に対するエネルギーの増減の割合を全体の物質量で割ったものに相当するから、 :<math>C = \frac{1}{n}\frac{\partial E}{\partial T} = 3R</math> となる。これは常温 (<math>T \sim 300 ~\mathrm{[K]}</math>) での結晶の比熱の測定値に一致する。この比熱は温度依存性がなく、常温の固体のモル比熱がほとんど一定であることを示す。固体のモル比熱が常温で一定の値を取るという法則は'''[[w:デュロン＝プティの法則|デュロン＝プティの法則]]''' (Dulong-Petit law) と呼ばれる。デュロンとプティはこの法則が多くの物質について良い精度で成り立つことを実験的に発見した人物である。 デュロン＝プティの法則が成り立つような系について、常温より遥かに低温の領域においても比熱が一定であることが予想されるが、実験により低温領域では比熱は 0 に収束することを示唆する結果が得られており、低温領域での比熱の温度依存性および比熱の値はデュロン＝プティの法則から外れることが知られている。 === 低温での固体の比熱 === 仮に振動数が <math>\nu</math> の[[w:調和振動子|調和振動子]]のエネルギーは <math>h\nu</math> の整数倍 <math>nh\nu</math> しか取れないとする（ただし <math>n</math> は負でないとする）。結晶内部の <math>N</math> 個の分子をそれぞれ振動数 <math>\nu</math> の調和振動子と見なせることを仮定し、全部で <math>3N</math> の自由度を持つ 1 次元調和振動子の集まりとする。 そうすると、断熱理想気体でも各分子のエネルギーが衝突などにより変動するように（気体全体の全エネルギーは一定）、固体の各振動子のエネルギーも <math>0, h\nu, 2h\nu, 3h\nu,\dots</math> という飛び飛びの値を移り変わっているとする。 そして <math>3N</math> 個の振動子のエネルギーの平均値は、仮に下記のように「ボルツマン因子を使って計算できるはず」だと仮定する（※ ボルツマン因子について分からなければ、記事『[[高等学校化学Ⅱ/化学反応の速さ]]』の[[w:反応速度論|反応速度論]]での説明（高校～大学初級レベル）、または記事『[[統計力学I ミクロカノニカル集合]]』の[[w:スターリングの公式|スターリングの公式]]を用いた統計力学モデルによる説明（大学中級～）を参照。統計力学的には他にも、ラグランジュの未定乗数法を用いてボルツマン因子の導入を行う方法もある）。 1個の振動子がエネルギー <math>\varepsilon_n = nh\nu</math> をとる[[w:確率|確率]]を <math>\operatorname{Pr}(n)</math> とし、この確率がボルツマン因子に比例するとする。 :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{1}{Z}e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}} = \frac{1}{Z}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}</math> この関数が通常の意味の確率であるためには、すべてのエネルギー状態についての和が 1 に規格化されている必要があるため、比例係数の <math>Z</math> は、 :<math>Z = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{\varepsilon_m}{kT}} = \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\frac{mh\nu}{kT}}</math> とならなければならない（なお、このZのような量子統計計算の規格化のための関数のことを「分配係数」または「状態和」という）。このとき確率 <math>\operatorname{Pr}(n)</math> は :<math>\operatorname{Pr}(n) = \frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}</math> となる（<math>\exp(\cdot)</math> は[[w:指数関数|指数関数]]）。エネルギーの期待値 <math>\langle\varepsilon\rangle</math> は、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{\varepsilon_n\operatorname{Pr}(n)\right\} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu \left(\frac{\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{\sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)} \sum_{n=0}^{\infty} \left\{nh\nu\exp\left(-\frac{nh\nu}{kT}\right)\right\} \end{align}</math> と表すことができる。ここでボルツマン定数と温度の積の逆数を <math>\beta = (kT)^{-1}</math> とし（これは[[w:逆温度|逆温度]]と呼ばれる）、エネルギーの期待値を逆温度 <math>\beta</math> に関する微分を用いて表せば、 :<math>Z(\beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{\varepsilon_m}{kT}\right) = \sum_{m=0}^{\infty} \exp\left(-\frac{mh\nu}{kT}\right)</math> より、 :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= -\frac{1}{Z(\beta)}\frac{d}{d\beta}Z(\beta)\\ &=-\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta) \end{align}</math> を得る。ここで具体的に右辺の対数を計算すれば、[[w:等比数列|等比級数]]の和の公式を用いて、 :<math>\begin{align} Z(\beta) &= \sum_{m=0}^{\infty}\left(e^{-\beta h\nu}\right)^n\\ &= \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)^{-1} \end{align}</math> と書き直せるから、結局エネルギーの期待値は :<math>\begin{align} \langle\varepsilon\rangle &= \frac{d}{d\beta}\ln \left(1 - e^{-\beta h\nu}\right)\\ &= h\nu\frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}\\ &= \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1} \end{align}</math> と表すことができる。 === プランク分布 === 前節で得た調和振動子のエネルギーの期待値について、調和振動子のエネルギー量子 <math>h\nu</math> に掛かる関数 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> を'''プランク分布'''と呼ぶ。温度がエネルギー量子の大きさに比べて充分小さい場合、<math>kT \ll h\nu</math> より <math>1 \ll \beta h\nu</math> という関係が成り立ち、プランク分布は、 :<math>\frac{1}{e^{\beta h\nu} - 1} \approx e^{-\beta h\nu}</math> という形に漸近する。 このプランク分布を利用して、結晶内部の比熱を得ることを考える。結晶を独立な調和振動子の集まりと見なす最も簡単な場合について、結晶全体の内部エネルギーがそれぞれの調和振動子のエネルギー期待値の和にほとんど等しいことから、 :<math>E = 3\langle\varepsilon\rangle = 3N\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}</math> と表すことができる。この場合、結晶分子に対する比熱容量は、 :<math>c = \frac{1}{N}\frac{dE}{dT} = \frac{1}{N}\frac{d\beta}{dT}\frac{dE}{d\beta} = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2}</math> となる。この比熱の低温領域での振る舞いは、 :<math>c = 3k(\beta h\nu)^2\frac{e^{\beta h\nu}}{(e^{\beta h\nu} - 1)^2} = 3k\frac{(\beta h\nu)^2}{e^{\beta h\nu}} \to 0</math> であり、0 へ収束するという点で低温領域における固体比熱の振る舞いと合致する。高温領域において（ここでいう高温とは調和振動子のエネルギー量子に対してであり、固体の融点温度に比べれば依然低温である）、比熱は :<math>c = 3ke^{\beta h\nu}\left(\frac{\beta h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}\right)^2 \to 3k</math> となる。高温領域の比熱について、分子比熱 <math>c</math> を定積モル比熱 <math>C</math> に直すと、 :<math>C = N_\mathrm{A}c \to 3N_\mathrm{A}k = 3R</math> となり、これはデュロン＝プティの法則に一致する。つまり、エネルギーの量子化という手順を踏むことで低温領域の温度依存性を再現しつつ、常温ではデュロン＝プティの法則に漸近するような分布を得られたことになる。 --> == ヒルベルト空間 == 量子力学における状態はあるヒルベルト空間の元で表される。ヒルベルト空間とは完備な複素数係数の内積空間である。ヒルベルト空間を <math>\mathcal H</math> とし、その元を <math>|\psi\rangle</math> と記す。この記法はブラケット記法と呼ばれる。 ここで、ある状態<math>|i\rangle</math>と、それと異なる状態<math>|j\rangle</math>を取る。ただし、これらの状態はハミルトニアン演算子の、互いに異なった固有値を持つ固有ベクトルであるとする。ここで、ハミルトニアンの固有値は必ず実数でなければならないことが分かる。なぜなら、そうでないときにはエネルギーが虚数になるような量子論的状態が存在することになってしまうからである。一般に、複素数の行列要素を持っており、しかもその固有値が実数になる行列の種類として、エルミート行列があげられる（エルミート行列については[[物理数学I]]を参照）。ここでは、ハミルトニアンはエルミート行列で与えられるものとする。一般に量子論の演算子は通常エルミート演算子である。 更に、あるエルミート行列に対してその行列は必ず対角化され、その固有ベクトルは互いに直交することが知られている。この結果を用いると、エルミート演算子であるハミルトニアンの固有ベクトルである<math>|i\rangle</math>と<math>|j\rangle</math>は、互いに直交することが知られる。更に、それぞれの状態の長さを適切に変更することで、任意の状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>についてこれらの内積を<math>\delta _{ij}</math>とすることが出来る。<math>\delta _{ij}</math>については、[[物理数学I]]を参照。ここで、状態の長さを調整することを量子状態の規格化と呼ぶ。ただし、慣習的に状態<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>の内積は<math>\langle i|j\rangle</math>のように書くことが多い。この記法を用いると、任意の<math>|i\rangle</math>,<math>|j\rangle</math>に対して、 :<math>\langle i|j\rangle = \delta={ij} </math> が成り立つ。ここで、ある状態<math>|i></math>とそれに対応する波動関数f(x)の関係を、 :<math> f(x) = \langle x|i\rangle </math> で取る。ここで、<math>|x></math>は対応する粒子がちょうどxで表わされる点にある状態である。この記法は、関数空間の内積の定義と、上で述べた量子論的状態の内積の定義を整合的にすることが分かる。このことを述べるためにまず、関数空間の内積について説明する。ここでは、一般的に波動関数がある複素関数であるとして考える。関数空間の性質によるとある元f(x),g(x)を関数空間の元としたとき、ある積分<math>\int</math>が存在して、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx </math> を元f(x),g(x)の内積と呼ぶ。ここで、xについての積分の範囲は、 <math>-\infty <x<\infty</math>とする。ただし、無限大のポテンシャルがある場合のように、波動関数が0となる範囲については積分しなくてもよい。このときには積分範囲はより狭い範囲になるのである。ここで、上の記法を用いると :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j \rangle </math> :<math> = \langle i|j\rangle = \delta _{ij} </math> となる。ここで、 :<math> \int dx \langle i|x\rangle \langle x|j\rangle </math> についてはまず、 <math>\langle i|x \rangle \langle x|j\rangle </math>は、任意のxについてもともと<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、xで表わされる点を通過して<math>|i\rangle</math>の状態に変化することを表わしている。ここで、上では全てのxについてその結果を足し合わせているので、結局、その結果は、<math>|j\rangle</math>の状態にあった粒子が、<math>|i\rangle</math>の状態に変化すること方法の全てをつくしていると考えるのである。上で得た :<math> \int |x\rangle \langle x| = 1 </math> のような表式はベクトルの完全性と呼ばれ、このあと頻繁にでてくる性質である。特に、エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の要請を満たすことが知られており、あるエルミート演算子の固有ベクトル<math>|i></math>に対して、 :<math> \Sigma _i |i\rangle \langle i| = 1 </math> が知られている。しかし、特に対応するベクトルが無限個あるときにはこの性質の数学的な証明は難しい場合が多い。 さて、上のことから分かる通り、 :<math> \int f^* (x) g(x) dx = \langle i|j \rangle = \delta _{ij} </math> となって、量子論的ベクトルの正規化と対応させるために、波動関数の長さも、1つに定める必要があることが分かる。この条件は全ての波動関数<math>\psi(x)</math>に対して、 :<math> \int |\psi(x)|^2 dx =1 </math> とすることで満たされる。このことを波動関数の正規化と呼ぶ。 ここまでで粒子がどの状態にいるのかを指定する方法が分かった。それぞれのエネルギーの固有状態は<math>|i\rangle</math>などの表示で表わされ、それらの量はどれも対応する波動関数を持つのである。ただし、これらの量はどれも正規化されていなければならない。次に粒子がある状態にいるときに、粒子が実際にどの位置にいるのかを知る方法を考える。ここでいう位置とは古典的な座標の意味であり、 あるエネルギー固有値を持った状態にいる粒子が古典的に見たときにはどの位置で発見されるのかという意味である。仮に対応するエネルギーの固有状態が偶然位置の演算子に対しても固有ベクトルとなっていたとすると、その状態は位置の演算子に対してただ1つの値を持つため、その状態にある粒子が発見される位置は決定している。一方、仮に対応するエネルギーの固有状態が位置の演算子に対して固有ベクトルとなっていなかったとすると、そのときにその粒子は様々な位置で発見されるように思える。実際実験的な結果はそのとおりであり、ある位置の固有状態でない状態にあるときその物体は位置の演算子が値を取り得る位置全体で見つかる確率がある。そして、実際にどの位置にあるかは実際に観測をしてみるまでは、知ることが出来ないのである。このことは全く不思議な結果であるが、例えば量子論的なヤングの実験などにおいてこの結果は確かに確認されているのである。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>からある位置に発見されてその位置にあることが確定している状態に移行する過程は、対応する位置をxとすると、 :<math> \langle x|i\rangle </math> で与えられることが予想される。しかし、この値はちょうどある固有状態に対応する波動関数f(x)であった。 :<math> \langle x|i \rangle = f(x) </math> このことから、波動関数f(x)は対応するエネルギーの固有状態にある粒子がある場所xに発見される位置に見つかる過程について関係していることがわかる。実際には更に、この量の絶対値を2乗した量が、ちょうどこの対応する状態にある粒子がその位置に見つかる確率となっているのである。 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> しかし、この量はちょうど :<math> \int dx |f(x)|^2 = P(x) =1 </math> として、波動関数の正規化を行なった量に対応するが、このことはP(x)を確率を表わす量として扱うための条件とも適合しているのである。 *問題例 **問題 波動関数f(x)が、 :<math> f(x) = \frac 1 {{}^4\sqrt \pi} e^{-x^2/2 } </math> で与えられるとする。このとき、ある点xで粒子が発見される確率を計算せよ。また、この波動関数が正しく正規化されていることを示せ。 **解答 ある点xで粒子が発見される確率P(x)について、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 </math> が成り立つことを用いればよい。よって、 :<math> P(x) = |f(x)|^2 =\frac 1 {\sqrt \pi} e^{-x^2 } </math> が得られる。更に、ガウス積分を用いて :<math> \int _{-\infty }^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt \pi </math> を用いると、 :<math> \int dx P(x) = 1 </math> が得られ、正しい正規化がなされていることが分かる。ガウス積分については [[物理数学I]]を参照。 実際にはある状態<math>|a></math>からある状態<math>|b></math>に移行する確率が :<math> |\langle b|a\rangle|^2 </math> で与えられることはあるエネルギーの固有状態がある位置に移行する場合だけにとどまらず、より広い場合にあてはまる。特に上の場合について :<math> \langle b|a\rangle </math> をaからbへの確率振幅と呼ぶ。波動関数は対応するエネルギーの固有状態からある位置で表わされる状態への確率振幅といえる。 ここで、あるエネルギーの固有状態<math>|i\rangle</math>と、対応する波動関数f(x)に対して :<math> \langle i|x|i \rangle = \int dx x |f(x)|^2 </math> がどのような意味を持つかを考える。ここで、<math>|f(x)|^2</math>が、対応する粒子がxで見つかる確率を表わしていることを考えると、上の式はxの期待値を表わす式そのものである。そのため、<math>\langle i|x|i \rangle</math>のようなx演算子の対角成分は、対応する状態に粒子が存在するときの粒子が見つかる位置の期待値となることが分かる。一方、位置演算子の非対角成分はそれほど簡単な解釈は持っていない。ただし、これらの量は量子力学的な摂動などでよく使われる。詳しくは[[量子力学II]]を参照。 == シュレーディンガー方程式 == 古典力学と量子力学との間の関係は、幾何光学と波動光学の間の関係に類似していると言うことができる。波動光学について簡単に復習すると、<math>f</math> を <math>\boldsymbol E</math> あるいは <math>\boldsymbol B</math> の任意の成分とすると、 <math>f = a e^{i\varphi}</math> と書くことができる。ここで、<math>a</math> は振幅であり、<math>\varphi</math> はアイコナールと呼ばれる量である。波動光学から幾何光学への移行は、波長 <math>\lambda</math> が0に近づく極限として定義される。<math>\lambda</math> は <math>\varphi</math> が <math>2\pi</math> だけ変化する距離に等しいため、<math>\varphi</math> が十分大きい量とすると幾何光学へ移行できる。十分微小な空間領域と時間領域に対して一次の項まで <math>\varphi = \varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> と近似する。このとき、 <math>f = a e^{i\left(\varphi_0 + \boldsymbol r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r} + t \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)}</math> となる。また、微小な空間領域と時間領域に対しては平面波として考えることができるから、 <math>f = a e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r - \omega t + \alpha)}</math> となる。両者の対応関係から <math>\boldsymbol k = \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol r},\, \omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> を得る。これを <math>\boldsymbol k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> に代入すると、 <math>(\nabla \varphi)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} </math> を得る。これはアイコナール方程式と呼ばれる幾何光学の基礎方程式である。アイコナール方程式はハミルトン・ヤコビ方程式と同じ形式である。簡約された作用を <math>S_0 = \varphi</math> としてハミルトン・ヤコビ方程式を書けば、 <math>\frac{(\nabla \varphi)^2}{2m} + V = E</math> となる。 <math>\frac{\omega^2}{c^2} = 2m (E-V)</math> とするとアイコナール方程式に一致する。ここで、 <math>S_0 = \varphi </math> であるから、最小作用の原理より、実現される光線は <math>\varphi</math> が最小となる経路である。 さて、幾何光学ではアイコナール <math>\varphi</math> が最小となる経路が実現されるのに対して、古典力学では作用 <math>S</math> が最小となる経路が実現される。波動力学では <math>f = a e^{i \varphi}</math> という量が存在したから、量子力学では <math>\Psi = a e^{i \frac S \hbar}</math> という関係にある量が存在すると考えることができる。ここで、<math>\hbar</math> はディラック定数と呼ばれるもので、指数の肩を無次元化するために導入した。古典力学では <math>\boldsymbol p = \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r},\, H = - \frac{\partial S}{\partial t}</math> となるから、 <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial t}\Psi ,\, \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol r}= \frac i \hbar \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol r}\Psi </math> より、 <math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = H\Psi ,\, -i\hbar\nabla \Psi = \boldsymbol p \Psi </math> を得る。<math>H = \frac{\boldsymbol p^2}{2m} + V </math> に代入すれば、 <math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V\right)\Psi </math> を得る。これがシュレーディンガー(Schrödinger)方程式である。運動量演算子とハミルトン演算子を <math>\hat \boldsymbol p = - i \hbar \nabla</math> <math>\hat H = \frac{\hat \boldsymbol p^2}{2m} + V(\boldsymbol r) = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V(\boldsymbol r) </math> で定義すると、 シュレーディンガー方程式を、 :<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}} = \hat H \Psi </math> と書くことができる。 <math>\Psi(\boldsymbol r, t) = f(t) \psi(\boldsymbol r)</math> と変数分離できたと仮定すると、 <math> i \hbar \frac 1 f \frac{df}{d{t}} = \frac 1 \psi \hat H \psi = E </math> (定数) となる。 <math>\frac{df}{dt} = \frac{-iE}{\hbar}f </math> はだたちに積分できて、 <math>f(t) = e^{\frac{-iEt}{\hbar}} </math> を得る。また、 <math>\hat H \psi = E \psi </math> となる。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式という。 == 波動関数 == 波動関数 <math>\Psi</math> の意味は <math>|\Psi(\boldsymbol r, t)|^2 dV</math> が位置 <math>\boldsymbol r</math> で時間 <math>t</math> の微小体積 <math>dV </math> の中に粒子が存在する確率であると解釈される。<math>\rho = |\Psi|^2</math> を確率密度とする。このとき、 <math>\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 &= \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi\\ &= \frac{1}{i\hbar}(\Psi^*\hat H \Psi - \Psi \hat H \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\triangle \Psi - \Psi \triangle \Psi^*)\\ &= -\frac{\hbar}{2mi}\nabla(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) \end{align}</math> となる。従って、<math>\boldsymbol j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*) </math> を確率流密度と定義すると連続の式 <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol j = 0</math> が成り立つ。 == 演算子 == ここからはある物理的な定数を持つことが量子力学的にどのような意味を持つかについて考える。物理的な定数とは例えば、ある物体の持つ位置や運動量のことである。古典力学ではある物体の物理的な状態は位置、運動量などを指定することによって得ることが出来、これらの間に特別な関係は無かった。これらはそれぞれの値を適当に取ってもよい量であったのである。 量子力学的にもある物体の物理的状態を定める量は存在しており、そのような量を定めることで物体がどのような状態にあるかを指定することが出来る。問題なのは、ある場合においてこれらの間に特殊な関係があらわれ、それらの量を任意に選ぶことが出来なくなることである。重要な例として、ある物体の位置と運動量は同時に定めることが出来ない。 ここで、ある物理的な状態の全てが数え上げられたとしてこれらの状態全体で張られるベクトルを取る。通常、ある物体が持つ物理的な状態は無数のエネルギーを持ち、このような操作は不可能に思える。実際このことは量子力学の発展の初期に大きな数学的な問題となった。しかし、現在ではベクトルの内積の取り方などを工夫することで、この様な作業が実際可能であることが示されている。詳しくは[[w:ヒルベルト空間]]などを参照。 このように全ての物理的状態が数え上げられたとするとき、それらの状態はあるエネルギーを持った状態として存在する。例えば、ある状態<math>\psi _1</math>がエネルギー<math>E _1</math>を持っていたとする。数学的にはこの様な状態はある行列<math>\hat H</math>を用いて :<math> \hat H \psi _1 = E _1 \psi _1 </math> と表わせる。ここで、<math>\hat H</math>は、全ての数え上げられた物理的な状態を1つの基底として持つような行列として考えられている。更に<math>\hat H</math>は、それぞれの物理的状態に対して対角化されており、 :<math> \psi _1, \psi _2,\psi _3, \cdots </math> などの全ての物理的状態に対して対応するエネルギー<math>E _1</math>,<math>E _2</math>,<math>E _3</math>などを返すものとする。 このような行列<math>\hat H</math>は、実際にあるエネルギーを持つ状態としては、古典的な考え方と変化することは無い。なぜなら、<math>\hat H</math>は、古典的に考えてある力学系の中に存在する物体が持つと考えられるエネルギー値を全て持っているものと考えることが出来るからである。 このため、仮に全ての量子的状態がエネルギーという量だけで特定されるのならば、ある力学系が取り得るエネルギーを全て定めることが量子的状態を全て求めることになる。ここまでの議論をより数学的な用語を用いてまとめると、出て来た量で<math>\hat H</math>は全ての物理的な状態によって張られた行列であり物理的な状態を表わす<math>\psi</math>は、<math>\hat H</math>がかかることによってE倍されるようなベクトルであるので、<math>\hat H</math>の固有ベクトルであると考えられる。このときエネルギーEは、固有値方程式 :<math> \hat H \psi = E \psi </math> の固有値である。 演算子 <math>\hat A , \hat B</math> について交換関係を <math>[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A</math> で定める。例えば、 <math>[\hat x_i,\hat p_j]f = -i\hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j}(x_i f) = i \hbar \delta_{ij}f</math> より、 <math>[\hat x_i,\hat p_j] = i \hbar \delta_{ij}</math> となる。また、 <math>[\hat x_i,\hat x_j] = 0, \, [\hat p_i,\hat p_j] = 0 </math> が成り立つ。 解析力学では、<math>\{x_i,p_j\} = \delta_{ij}</math> であることから、古典力学と量子力学の間には、 <math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\}</math> の関係があることが予想できる。 == 一次元量子系 == === 井戸型ポテンシャル === 1次元井戸型ポテンシャル : <math>V(x) = \begin{cases} \infty \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ \infty\quad (a<x) \end{cases}</math> を考える。このときのシュレーディンガー方程式は :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)</math> となる。このとき<math>V(x)=\infty</math>の領域<math>(x<0,a<x)</math>では粒子は侵入不可なので、この領域における波動関数は<math>\psi(x)=0</math>となる。波動関数<math>\psi(x)</math>は<math>x=0,x=a</math>でそれぞれ連続なので、<math>\psi(0)=\psi(a)=0</math>となる。<math>0 \le x \le a</math>におけるシュレーディンガー方程式は、 :<math>E\psi(x) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}</math> :<math>\psi''(x) + k^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\right)</math>とした。 :となるから、 :<math>\psi(x)=A\sin (kx+\delta)</math> <math>\psi(0)=0</math> より <math>\delta=0</math> である。 <math>\psi(a)=0</math> より、<math>\sin ka = 0</math> より、<math>ka = n\pi \quad (n=1,2,\cdots)</math> で、エネルギー準位は <math>E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2ma^2}</math> となる。波動関数を、<math>\int_0^{a}(\psi(x))^2 dx = 1</math>となるように規格化すると、 :<math>A=\sqrt{\frac{2}{a}}</math> となり :<math>\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}</math> を得る。 === 有限の場合 === 次に、ポテンシャルの深さが有限 <math>V(x) = \begin{cases} V_0 \quad (x<0)\\ 0\quad (0 \le x \le a)\\ V_0\quad (a<x) \end{cases}</math> で <math>0<E < V_0 </math> の場合を考える。井戸の外側でのシュレーディンガー方程式は <math>\psi''(x) + \kappa^2 \psi(x) = 0</math>　　<math>\left(\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\right)</math> となるから、<math>x \le 0</math> で <math>\psi(x) = ae^{\kappa x}</math> となり、<math>x \ge a</math> で <math>\psi(x) = be^{-\kappa x}</math> となる。また、<math>0 \le x \le a</math> で <math>\psi(x) = c\sin(kx+\delta)</math> となる。<math>\psi,\psi'</math> は連続で井戸の外では0にはならないから <math>\frac{\psi'}{\psi}</math> も連続で、 <math>\frac{\psi'}{\psi} = \kappa \quad (x \le 0)</math> <math>\frac{\psi'}{\psi} = -\kappa \quad (x \ge a) </math> となるから、 <math>k \cot \delta = \kappa,k \cot (ka+\delta) = -\kappa </math> を得る。ここで、 <math>\kappa = k \sqrt{\frac{2mV_0}{k^2\hbar^2}-1},\,\cot x = \sqrt{\frac{1}{\sin^2x}-1} </math> を使うと、 <math>\sin\delta = -\sin(ka+\delta) = \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} </math> となるから、 <math>ka = n \pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \quad(n=1,2,\cdots) </math> を得る。この超越方程式を <math>k</math> について解くことでエネルギー準位が分かる<ref><math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} = \arcsin\frac{k}{\sqrt{\kappa^2+k^2}}=\arctan\frac{k}{\kappa}</math> と変形して両辺の正接を取ると、奇数の <math>n</math> に対して <math>\eta=\xi\tan\xi.</math> 偶数の <math>n</math> に対して <math>\xi=-\eta\cot\eta</math> を得る。ここで、<math>\xi = \frac{ka}{2},\eta = \frac{\kappa a}{2}</math> である。これと <math>\xi^2 +\eta^2 = \frac{mV_0 a^2}{2\hbar^2}</math> の交点を求めることに帰着される。</ref>。<math>V_0\to\infty </math> とすると無限に深い井戸型ポテンシャルと同じ <math>ka = n\pi </math> に帰着する。 超越方程式の解 <math>k</math> の厳密解を求めることは容易ではないが、固有状態の数は正確にわかる。<math>k</math> は正であり、<math>\arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}}</math> が定義されるため <math>k</math> の最大値は <math>\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}</math> である。また、方程式の右辺は各 <math>n</math> について <math>n\pi > n\pi - 2 \arcsin \frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_0}} \ge (n-1)\pi </math> であり、単調減少である。したがって、<math>ka</math> と交わる回数が固有状態の数であるから、 <math>(n-1)\pi \le \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}a < n \pi</math> であるとき、<math>n</math> 個の固有状態が存在する。 === 階段型ポテンシャル === 1次元階段型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。<math>E > V_0</math> の場合で、 : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x}\quad (0 \leq x) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0</math>で滑らかである条件から定数を定める。 : <math>1+A=B</math> : <math>k_1(1-A)=k_2B</math> より、 : <math>A = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}</math> : <math> B=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math> === 土手型ポテンシャル === 1次元土手型ポテンシャル : <math>V(x)=\begin{cases} 0 \quad (x<0)\\ V_0 \quad (0 \leq x \le a)\\ 0\quad (x>a) \end{cases}</math> に入射波 <math>e^{ik_1x}</math> が左から向かってくる場合を考える。ただし、<math>E > V_0</math> で : <math> k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} </math> : <math> k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar}} </math> とする。波動関数は : <math>\psi(x)=\begin{cases} e^{ik_1x} + A e^{-ik_1x} \quad (x<0)\\ Be^{ik_2x} + B'e^{6ik_2x}\quad (0 \le x \le a)\\ Ce^{ik_1x} \quad (x > a) \end{cases}</math> 波動関数が<math>x=0,a</math>で滑らかである条件から : <math>1+A=B+B',1-A=\frac{k_2}{k_1}(B-B')</math> : <math>Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2a}=Ce^{ik_1a},Be^{ik_2x}-B'e^{-ik_2a}=\frac{k_1}{k_2}Ce^{ik_1a}</math> となる。後半の2式より、 <math>B = \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2e^{i(k_1-k_2)a}</math> <math>B' = \left(1-\frac{k_1}{k_2}\right)\frac C 2 e^{i(k_1+k_2)a}</math> となる。前半の2式から <math>2 = \left(1+\frac{k_2}{k_1}\right)B + \left(1-\frac{k_2}{k_1}\right)B'</math> となるから、 <math>C = \frac{2k_1k_2e^{-ik_1a}}{2k_1k_2\cos k_2a - i(k_1^2+k_2^2)\sin k_2a}</math> となる。したがって、透過係数は <math>T = |C|^2 = \frac{4k_1^2k_2^2}{4k_1^2k_2^2+(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2 k_2a}</math> となる。<math>E < V_0</math> のときは <math>k_2</math> は純虚数となるから、<math>k_2 = i\kappa_2</math> と置いて、 <math>T = \frac{4k_1^2\kappa_2^2}{4k_1^2\kappa_2^2+(k_1^2+\kappa_2^2)^2\sinh^2 \kappa_2a}</math> を得る。 === 調和振動子 === ハミルトニアンが <math>\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2 x^2</math> で与えられる系を考える。シュレーディンガー方程式は <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(\frac 1 2 m \omega^2 x^2 - E\right)\psi = 0</math> となる。無次元の変数 <math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> を導入すると、 <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \left(\frac{2E}{\hbar \omega}- \xi^2\right)\psi = 0</math> となる。ここで、<math>\xi \to \infty</math> では <math>\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \xi^2\psi</math> と振る舞うため、漸近的に <math>\psi \sim e^{\pm \frac{\xi^2}{2}}</math> となる。波動関数は <math>\xi \to \infty</math> で有限でなくてはならないため、<math>\psi \thicksim e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> である。そこで、 <math>\psi = H(\xi) e^{-\frac{\xi^2}{2}}</math> と置き、<math>H(\xi)</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\frac{d^2H}{d\xi^2} - 2\xi \frac{dH}{d\xi} + 2n H = 0</math> となる。ここで、<math>2n = \frac{2E}{\hbar \omega} - 1</math> である。微分方程式の冪級数解 <math>H = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> を仮定すると、 <math>\sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) \xi^{k-2} - 2\sum_{k=0}^\infty a_k k \xi^k + 2n \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k = 0</math> <math>\sum_{k=0}^\infty[ a_{k+2} (k+2) (k+1) - 2 a_k k + 2n a_k ]\xi^k = 0</math> すなわち、 <math>a_{k+2} = - \frac{2(n-k)}{(k+1)(k+2)}a_k</math> となる。<math>n</math> が非負整数ではないときは、<math>H</math> は無限級数で、漸近的に <math>\frac{a_{k+2}}{a_k} \sim \frac 2 k </math> となるから、 <math>H \propto \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \xi^{2k} = e^{\xi^2}</math> よって、<math>\psi \propto e^{\frac{\xi^2}{2}}</math> となり発散してしまう。<math>n</math> が非負整数であるなら級数は途中で打ち切られるから、<math>H</math> は多項式となる。 <math>k = n - 2l</math> と置くと、係数の関係は <math>a_{n-2l} = - \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)}{4l}a_{n-2(l-1)}</math> となるから、 <math>a_{n-2l} = (-1)^l \frac{(n-2l+1)(n-2l+2)(n-2l+3)(n-2l+4)\cdots n}{4^l l(l-1)\cdots 1}a_{n} = \frac{(-1)^l n!}{4^l l! (n-2l)!}a_n</math> <math>\begin{align} H(x) &= \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} a_{n-2k} x^{n-2k}\\ &= a_n n!\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{2^{2k} k! (n-2k)!} x^{n-2k}\\ \end{align}</math> となる。ここで <math>a_n = 2^n </math> としたものをエルミート多項式 <math>H_n(x) = \sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}</math> とする。エルミート多項式の直交関係 <math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx = \sqrt \pi n! 2^n \delta_{mn} </math> から波動関数を規格化すると <math>\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2} </math> エネルギー準位は、 <math>E_n = \left(n + \frac 1 2 \right)\hbar \omega</math> となる。 === 生成消滅演算子 === 生成演算子と消滅演算子をそれぞれ、 <math>\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> <math>\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p </math> で定義する。数演算子を <math>\hat n = \hat a^\dagger \hat a</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 </math> <math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger </math> <math>[\hat n, \hat a] = -\hat a </math> が分かる。 状態 <math>|n\rangle </math> を <math>\hat n </math> の固有状態 <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle </math> で定義する。 <math>\langle n| \hat n|n\rangle = ||\hat a |n\rangle||^2 \ge 0 </math> より、<math>n \ge 0 </math> である。 <math>\begin{align} \hat n \hat a |n\rangle &= (\hat a \hat n - \hat a)|n\rangle \\ &= (n-1) \hat a |n\rangle \end{align}</math> より、<math>\hat a |n\rangle </math> は固有値 <math>n-1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat n |n\rangle &= \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n-1 | n-1 \rangle\\ &= c_n^2\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt n</math> である。 <math>\hat a|n\rangle = \sqrt n |n-1\rangle</math> となるが、 <math>n</math> が整数でないならば <math>\hat a</math> を繰り返し適用することにより負の固有値 <math>n</math> を持つ状態が作れてしまう。<math>n</math> が整数ならば <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より、負の固有状態は作れないことになり <math>n \ge 0</math> の条件に矛盾しない。また、基底状態が <math>|0\rangle</math> で与えられることも分かる。 同様に、 <math>\begin{align} \hat n \hat a^\dagger |n\rangle &= (\hat a^\dagger \hat n + \hat a^\dagger)|n\rangle \\ &= (n + 1) \hat a^\dagger|n\rangle \end{align}</math> となる。<math>\hat a^\dagger |n\rangle </math> は固有値 <math>n+1 </math> に属する固有状態であり、 <math>\hat a^\dagger|n\rangle = c_n |n+1\rangle</math> と書ける。 <math>\begin{align} \langle n | \hat a^\dagger \hat a | n \rangle &= \langle n | \hat a \hat a^\dagger - 1 | n \rangle\\ &= c_n^2 \langle n+1 | n+1 \rangle - \langle n | n \rangle\\ &= c_n^2 - 1\\ &= n \end{align}</math> より、<math>c_n = \sqrt{n+1} </math> である。従って、 <math>\hat a^\dagger | n \rangle = \sqrt {n+1} | n+1 \rangle </math> を得る。基底状態 <math>|0\rangle </math> は <math>\hat a |0\rangle = 0</math> より波動関数は <math>\left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0</math> となるから、これを解いて <math>\psi_0(x) = C e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>となる。規格化は <math>\int |\psi_0|^2 dx = |C|^2 \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar}x^2}dx = |C^2| \sqrt{\frac{\hbar \pi}{m\omega}} = 1</math> より、<math>C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}</math> となる。また、 <math>|n \rangle = \frac{1}{\sqrt n} \hat a^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n |0\rangle </math> となるから、<math>\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> と変数変換すると、 <math>\psi_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat a^\dagger)^n \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} </math> となる。ここで、 <math>\begin{align} \hat a^\dagger &= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x - \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \frac{d}{dx}\\ &= \frac{1}{\sqrt 2}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d}{d\xi}e^{-\frac 1 2 \xi^2} \end{align} </math> となるから <math>\begin{align} \psi_n &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} e^{\frac 1 2 \xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \left(e^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\right)e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} H_n(\xi) e^{-\frac 1 2 \xi^2}\\ \end{align} </math> を得る。 == 角運動量 == 軌道角運動量演算子 <math>\hat L_i</math> を <math>\hat L_i = \varepsilon_{ijk} x_j \hat p_k</math> で定義する。すなわち <math>\hat L_x = y \hat p_z - z \hat p_y,\, \hat L_y = z \hat p_x - x \hat p_z,\,\hat L_z = x \hat p_y - y \hat p_x</math> である。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, x_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , x_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , x_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, x_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}x_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat p_j] &= \varepsilon_{ikl}[x_k \hat p_l , \hat p_j] \\ &= \varepsilon_{ikl}x_k[\hat p_l , \hat p_j] + \varepsilon_{ikl}[x_k, \hat p_j]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat p_k \end{align}</math> を得る。 <math>\begin{align} {}[\hat L_i, \hat L_j] &= \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k \hat p_l] \\ &= \varepsilon_{jkl} x_k[\hat L_i, \hat p_l] + \varepsilon_{jkl} [\hat L_i, x_k]\hat p_l \\ &= i\hbar\varepsilon_{jkl}\varepsilon_{ilm} x_k\hat p_m + i\hbar\varepsilon_{jkl} \varepsilon_{ikm}x_m\hat p_l\\ &= i\hbar(-\delta_{ij}x_{k}\hat p_k + x_i \hat p_j +\delta_{ij} x_l \hat p_l - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar(x_i \hat p_j - x_j \hat p_i)\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}x_l \hat p_m\\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k \end{align}</math> を得る<ref>これらは古典力学における <math>\{L_i, q_j\}= \varepsilon_{ijk}q_k, \{L_i, p_j\}= \varepsilon_{ijk}p_k, \{L_i, L_j\}= \varepsilon_{ijk}L_k</math> に対応する。このことは <math>\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,p_j\}=0</math> によりここでやったのと全く同じ計算で示される。あるいは、<math>[\hat A, \hat B] \longleftrightarrow i\hbar \{A,B\} </math> の対応原理からもわかる。</ref>。 角運動量演算子の二乗を <math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat{L_x^2} +\hat{L_y^2} +\hat{L_z^2}</math> で定義する。このとき、<math>[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] = 0</math> である。実際、 <math>\begin{align} {}[\hat{{\boldsymbol L}^2},\hat L_i] &= [\hat{L_j^2},\hat L_i]\\ &= \hat L_j [\hat L_j, \hat L_i] + [\hat L_j, \hat L_i]\hat L_j\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k + \varepsilon_{ijk}\hat L_k \hat L_j)\\ &= i\hbar (\varepsilon_{ijk}\hat L_j \hat L_k - \varepsilon_{ikj}\hat L_k \hat L_j)\\ &=0 \end{align}</math> である。 昇降演算子を <math>\hat L_\pm = \hat L_x \pm i\hat L_y</math> で定義する。 <math>\begin{align} {}[\hat L_z, \hat L_\pm] &= [\hat L_z, \hat L_x] \pm i[\hat L_z, \hat L_y]\\ &= i\hbar \hat L_y \pm \hbar \hat L_x\\ &= \pm \hbar \hat L_\pm \end{align} </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat L_- \hat L_+ &= (\hat L_x - i \hat L_y)(\hat L_x + i \hat L_y)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} + i(\hat L_x \hat L_y - \hat L_y \hat L_x)\\ &= \hat{L_x^2} + \hat{L_y^2} - \hbar \hat L_z \end{align} </math> より、<math>\hat{{\boldsymbol L}^2} = \hat L_- \hat L_+ +\hat{L_z^2} + \hbar \hat L_z </math> を得る。簡単のために、<math>\hbar\hat l_i = \hat L_i,\, \hat{{\boldsymbol l}^2} = \hat{l_x^2} +\hat{l_y^2} +\hat{l_z^2} </math> を定義しよう。このとき <math>[\hat{{\boldsymbol l}^2},\hat l_z] = 0</math> が成立するから、同時対角化可能で規格化された固有状態 <math>|\lambda,m \rangle </math> を <math>\hat{{\boldsymbol l}^2}|\lambda,m \rangle = \lambda |\lambda,m \rangle, \, \hat l_z|\lambda,m \rangle = m |\lambda,m \rangle </math> とする。 <math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = \langle \lambda,m| \hat{l_x^2} + \hat{l_y^2} |\lambda,m\rangle \ge 0 </math> ここで、<math>\langle \lambda,m| \hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} |\lambda,m\rangle = (\lambda - m^2) \langle \lambda,m|\lambda,m\rangle = \lambda - m^2 </math> より <math>\lambda \ge m^2 </math> を得る。従って、<math>m </math> には最大値と最小値があり、最大値を <math>l </math> とすると、対称性より最小値は <math>-l </math> で与えられる。 <math>\begin{align} \hat l_z \hat l_{\pm}|\lambda, m \rangle &= (\hat l_\pm \hat l_z + [\hat l_z, \hat l_{\pm}])|\lambda, m \rangle\\ &= (\hat l_\pm \hat l_z \pm \hat l_\pm)|\lambda, m \rangle\\ &= (m \pm 1 )\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \end{align} </math> より、<math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle </math> は固有値が <math>m\pm1 </math> である <math>\hat l_z </math> の固有状態となる<ref>一般に、<math>[\hat A, \hat B] = k \hat B</math> のとき、<math>\hat B</math> は <math>\hat A</math> の固有値を <math>k</math> だけ増減する演算子である。例えば<math>[\hat n, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger, [\hat n, \hat a] = -\hat a </math> など。</ref>。従って <math>\hat l_\pm |\lambda, m \rangle \propto |\lambda, m \pm 1\rangle </math> とかける。<math>m = l </math> の場合は、固有値が <math>l+1 </math> の状態は存在しないから、 <math>\hat l_+ |\lambda, l\rangle = 0 </math> となる。従って <math>\hat l_-\hat l_+ |\lambda, l\rangle = (\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z)|\lambda, l\rangle = (\lambda - l^2 - l)|\lambda, l\rangle = 0 </math> より、<math>\lambda = l(l+1) </math> を得る。今後は <math>\lambda </math> の代わりに <math>l </math> を用いて <math>|l,m \rangle </math> と書くことにする。<math>\hat l_\pm |l, m \rangle = C^\pm_{lm}|l, m \pm 1\rangle </math> とすると <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat l_+^\dagger\hat l_+ |l, m \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2\langle l, m+1 |l, m+1 \rangle\\ &= |C^+_{lm}|^2 \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} \langle l, m |\hat l_-\hat l_+ |l, m \rangle &= \langle l, m |\hat{{\boldsymbol l}^2} - \hat{l_z^2} - \hat l_z|l, m \rangle\\ &= l(l+1)-m(m+1) \\ &= (l-m)(l+m+1) \end{align} </math> より <math>\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)}|l, m+ 1\rangle </math> を得る。<math>\langle l, m+ 1|\hat l_+ |l, m \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> のエルミート共役を取って、 <math>\langle l, m|\hat l_- |l, m+1 \rangle = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} </math> あるいは、 <math>\langle l, m-1|\hat l_- |l, m \rangle = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} </math> を得る。 次に、角運動量演算子を極座標で表す表式を求めよう。球座標と直交座標の関係 <math>x = r\sin\theta\cos\varphi,y = r\sin\theta\sin\varphi,z = r\cos\theta</math> の関係から、 <math>\frac{\partial}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}</math> <math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial y}</math> となるから、 <math>\begin{align} i\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iz\frac{\partial}{\partial y}-iy\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_x \end{align} </math> <math>\begin{align} i\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi} &= -iz\frac{\partial}{\partial x}+ix\frac{\partial}{\partial z}\\ &= \hat l_y \end{align} </math> <math>\begin{align} -i\frac{\partial}{\partial \varphi} &= iy\frac{\partial}{\partial x}-ix\frac{\partial}{\partial y}\\ &= \hat l_z \end{align} </math> を得る。また、 <math>\hat l_{\pm} = e^{\pm i \varphi}\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right) </math> となる。また、 <math>\begin{align} \hat l^2 &= \hat l_- \hat l_+ + \hat l_z^2 + \hat l_z\\ &= - \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \end{align}</math> を得る。これはラプラシアンの角度部分である。 <math>\begin{align} \triangle &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat l^2 }{r^2} \end{align}</math> == 水素原子 == ポテンシャル <math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> での電子の運動を考えよう。シュレーディンガー方程式は <math>\triangle \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> となる。 <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) -\frac{1}{r^2}\hat l^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))\psi = 0</math> で <math>\psi = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> と変数分離すると、 <math>\frac 1 R \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right) + \frac{2m r^2}{\hbar^2}(E-V(r)) = \frac 1 Y \hat l^2 Y = \mu</math> となる。ここで、<math>\hat l^2 Y = \mu Y</math> は非負整数 <math>l</math> が存在して <math>\mu = l(l+1)</math> とかけるときのみ発散しない解が存在して、<math>Y</math> は球面調和関数 <math>Y_{l}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math> となる。ここで、<math>m</math> は角運動量の <math>z</math> 成分の固有値であり、 <math>m=-l,-l+1,\cdots,l</math> をとる。 <math>R</math> についての微分方程式 <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) -\frac{l(l+1)}{r^2}R + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R = 0</math> は、簡単のために <math>m = e = 4 \pi \varepsilon_0 = \hbar = 1</math> となる原子単位系を採用すると、 <math>R'' + \frac 2 r R' -\frac{l(l+1)}{r^2}R + 2\left(E+\frac{Z}{r}\right)R = 0</math> となる。ここで、<math>n = \frac{Z}{\sqrt{-2E}},\, \rho = \frac{2Z}{n}r</math> と変数変換すると、 <math>R'' + \frac 2 \rho R' + \left(-\frac 1 4 + \frac n \rho - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R = 0</math> となる。ここで <math>'</math> は <math>\rho</math> に対する微分である。 <math>\rho \ll 1</math> で <math>R \propto \rho^s</math> と仮定すると、 <math>\frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2 \frac{dR}{d\rho}\right) -\frac{l(l+1)}{\rho^2}R = 0</math> より、<math>s(s+1) = l(l+1)</math> を得る。<math>s = l, -l-1</math> となるが、<math>R \propto \rho^{-l-1}</math> は <math>\rho = 0</math> で発散するため <math>R \propto \rho^{l}</math> である。また、<math>\rho \to \infty</math> では <math>R'' -\frac 1 4 R = 0</math> より、<math>R \propto e^{-\frac \rho 2}</math> となる。従って、 <math>R = \rho^l e^{-\frac \rho 2}w(\rho)</math> として、<math>w</math> に対する微分方程式を求めると、 <math>\rho w'' + (2l + 2 - \rho)w' + (n - l - 1)w = 0</math> を得る。これは、一般化されたラゲール多項式 <math>L^{(\alpha)}_n(\rho) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,\alpha+1;\rho)</math> が微分方程式 <math>\rho L'' + (\alpha + 1 - \rho)L' + nL = 0</math> の解であるから、 <math>w = L^{(2l+1)}_{n-l-1}(\rho)</math> と書くことができる。 エネルギー準位は <math>n</math> の定義より、 <math>E_n = -\frac{Z^2}{2n^2}</math> となる。国際単位系で書くと<ref>原子単位系でのエネルギーの単位は <math>m, e, 4 \pi \varepsilon_0, \hbar</math> からエネルギーの次元を持つ量を作ると <math>E_h = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = \alpha^2 mc^2</math> となる。ここで、<math>\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}</math> は微細構造定数である。</ref>、 <math>E_n = -\frac{me^4Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2}</math> となる。 == 不確定性関係 == <math>\hat A, \hat B</math> をエルミート演算子とする。ある状態 <math>|\psi \rangle</math> についての演算子の期待値を <math>\langle \hat A \rangle = \langle \psi |\hat A |\psi\rangle</math> と書く。分散は <math>\sigma(A)^2 = \langle \hat A^2 \rangle - \langle \hat A \rangle ^2</math> て定義される。このとき、 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> が成り立つ。これを不確定性関係という。ただし正確にはロバートソンの不等式<ref>紛らわしいが、ハイゼンベルクの不確定性原理は位置の測定により系が擾乱されて運動量が変化するため、位置の誤差と運動量の擾乱を同時に小さくすることができないという主張である。これは定性的には正しいがその不等式は正しくない。この考えを定量的に示したのが小澤の不等式である。また、ここでいう不確定性関係（ロバートソンの不等式）は量子状態の測定値の分散の間の関係であり、測定による擾乱は考慮していない。</ref>である。<math>\lambda</math>を実数として、演算子 <math>\hat C = \hat A + i\lambda \hat B</math> を定義する。このとき、 <math>\langle \psi |\hat C^\dagger \hat C| \psi \rangle = || \hat C | \psi \rangle ||^2 \ge 0</math> となる。また、 <math>\langle \hat C^\dagger \hat C \rangle = \langle \hat A^2 \rangle + \lambda^2 \langle \hat B^2 \rangle + i\lambda \langle [\hat A, \hat B] \rangle \ge 0 </math> を得る。これを <math>\lambda</math> についての条件と見て、判別式を考えると <math>\sqrt{\langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle} \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。<math>\hat A \to \hat A - \langle \hat A \rangle ,\hat B \to \hat B - \langle \hat B \rangle</math> と置き換えると、不確定性関係 <math>\sigma(A) \sigma (B) \ge \frac 1 2 |\langle [\hat A,\hat B]\rangle |</math> を得る。特に、<math> [\hat x,\hat p] = i\hbar </math> より <math>\sigma(x) \sigma(p) \ge \frac \hbar 2</math> となる。 '''例''' 調和振動子のエネルギー固有状態 <math>| n \rangle</math> についての不確定性を計算する。 <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> であるから、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)|n\rangle = 0</math> となる。同様に<math>\langle \hat p \rangle = 0</math>である。また、 <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle n|(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (2n+1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|n\rangle = -\frac{m\hbar \omega}{2} \langle n|(-\hat a\hat a^\dagger - \hat a^\dagger\hat a)|n\rangle = \frac{m\hbar \omega}{2} (2n+1) </math> より、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}(n+1/2)},\sigma(p) = \sqrt{m\hbar\omega (n+1/2)} </math> となり、 <math>\sigma(x) \sigma(p) = \hbar(n+1/2) </math> を得る。従って、不確定性関係が成り立つことを直接示すことができた。 '''例2''' 複素数 <math>\alpha</math> に対して、状態 <math>|\alpha\rangle</math> を <math>|\alpha\rangle = e^{-\frac 1 2 |\alpha|^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle</math> で定義する。簡単な計算から、 <math>\hat a |\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle ,\, \langle \alpha | \alpha \rangle = 1</math> が成り立つことから、<math>|\alpha\rangle</math> は消滅演算子の固有状態で、規格化されていることがわかる。この状態をコヒーレント状態という。<math>|\alpha\rangle</math> の不確定性を求めよう。前と同じように計算すると、 <math>\langle \hat x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha+\alpha^*)</math> <math>\langle \hat p \rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)|\alpha\rangle = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\alpha-\alpha^*)</math> <math>\langle \hat x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a + \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} + 2\hat a^\dagger\hat a + 1 )|\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (\alpha^2 + \alpha^{*2} + 2\alpha^*\alpha + 1)</math> <math>\langle \hat p^2 \rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a - \hat a^\dagger)^2|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} \langle \alpha|(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} - 2\hat a^\dagger\hat a - 1 )|\alpha\rangle = -\frac{m\hbar\omega}{2} (\alpha^2 + \alpha^{*2} - 2\alpha^*\alpha - 1)</math> となる。従って、 <math>\sigma(x) = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\sigma(p) = \sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} </math> <math>\sigma(x) \sigma(p) = \frac{\hbar}{2} </math> となる。すなわち、コヒーレント状態は不確定性が最小となる状態である。 == エーレンフェストの定理 == 演算子 <math>\hat A</math> に対してその時間微分の演算子 <math>\frac{d\hat A}{dt}</math> を定義したい。これは、 <math>\frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} = \left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle</math> となるように定義するのがいいだろう。 <math>\begin{align} \frac{d\langle \hat A \rangle}{dt} &= \frac{d}{dt}\int \psi^* \hat A \psi dx \\ &= \int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \psi^* \hat A \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi^* \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* \hat H \hat A \psi + \psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* \hat A \hat H \psi\right) dx \\ &= \int \left(\psi^* \frac{\partial \hat A}{\partial t} \psi + \frac{1}{i \hbar}\psi^* [\hat A, \hat H] \psi\right) dx \\ \end{align}</math> となる。これが、 <math>\left\langle \frac{d \hat A}{dt} \right\rangle = \int \psi^* \frac{d \hat A}{dt} \psi dx</math> に等しいのだから、 <math>\frac{d \hat A}{dt} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [\hat A, \hat H] </math> となる。位置演算子 <math>\hat \boldsymbol r </math> の一階と二階の時間微分 <math>\hat \boldsymbol v , \, \hat \boldsymbol a </math> を作ってみよう。 <math>\hat \boldsymbol v = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol r \hat H - \hat H \hat \boldsymbol r ) = -\frac{i\hbar}{2m}(\boldsymbol r \triangle - \triangle \boldsymbol r) = -\frac{i\hbar}{m}\nabla </math> となる。また、 <math>\hat \boldsymbol a = \frac{1}{i\hbar}(\hat \boldsymbol v \hat H - \hat H \hat \boldsymbol v) = -\frac{1}{m}(\nabla V - V\nabla) = - \frac 1 m \nabla V </math> となる。よって、 <math>m \hat \boldsymbol a = - \nabla V </math> あるいは、 <math>m \frac{d^2 \langle\hat x\rangle}{dt^2} = - \langle \nabla V \rangle </math> を得る。これをエーレンフェストの定理という。 == エルミート多項式の性質 == エルミート多項式の母関数を求めよう。 <math>\begin{align} S(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]} \frac{(-1)^k}{ k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}t^n\\ \end{align}</math> となる。ここで、<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^{[\frac n 2]}</math> は <math>n - 2k \ge 0</math> を満たすすべての非負整数 <math>n,k</math> についての和である。そこで、<math>l = n - 2k</math> とし、<math>l</math> を0から∞まで走らせ、各 <math>l</math> について <math>k</math> を+1するごとに <math>n</math> に2を足すことにすると、 <math>l</math> が一定のまま <math>k</math> は0から∞まで走らせることができる。従って、総和は、 <math>\begin{align} \sum_{l=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ k! l!} (2x)^{l}t^{l+2k} &= \sum_{l=0}^\infty\frac{(2xt)^l}{l!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^k}{k!}\\ &= e^{2xt-t^2} \end{align}</math> となる。また、 <math>\begin{align} H_n(x) &= \frac{d^n}{dt^n}e^{2xt-t^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{dt^n}e^{(x-t)^2}|_{t=0}\\ &= e^{x^2} \frac{d^n}{d(-s)^n}e^{-s^2}|_{s=x}\\ &= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\ \end{align} </math> より、ロドリゲスの公式を得る。途中で、 <math>s=x-t </math> とした。 次に、エルミート多項式の直行性を調べる。 <math>\begin{align} \int_{-\infty}^\infty S(x,s)S(x,t)e^{-x^2}dx &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2xs-s^2 -2xt-t^2-x^2}dx\\ &=e^{2st} \int_{-\infty}^\infty e^{-\{x-(s+t)\}^2}dx\\ &= \sqrt \pi e^{2st}\\ &= \sqrt \pi \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!}s^nt^n \end{align} </math> また、 <math>\int_{-\infty}^\infty S(x,s)S(x,t)e^{-x^2}dx = \sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty s^m t^n\int_{-\infty}^\infty \frac{H_m(x)H_n(x)}{m!n!}e^{-x^2}dx </math> であるから、二式を比較して <math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx = \sqrt \pi n! 2^n \delta_{mn} </math> を得る。 == WKB近似 == エネルギーが一定のとき作用は <math>S = S_0 - Et </math> であるから、波動関数の準古典近似は <math>\Psi = ae^{\frac i \hbar S} = ae^{\frac{-iEt}{\hbar}}e^{\frac i \hbar S_0}</math> となる。そこで、<math>\psi = a e^{\frac i \hbar S_0} </math> をシュレーディンガー方程式に代入して <math>\hbar </math> の0次と1次について計算すると<ref><math>\left(\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V \right)\psi \approx \left(\frac{1}{2m}\left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2a-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S_0}{dx^2}a -\frac{i\hbar}{m}\frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} + Va\right)e^{\frac i \hbar S_0} </math> となる。</ref>、 <math>\frac{1}{2m} \left(\frac{dS_0}{dx}\right)^2 + V(x) = E </math> <math>\frac{1}{2m} a\frac{d^2S_0}{dx^2} + \frac 1 m \frac{dS_0}{dx}\frac{da}{dx} = 0 </math> を得る。第一式を解くと、 <math>S_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-V(x))}dx =: \pm\int pdx </math> となる。第二式は <math>2ma </math> を掛けると <math>\frac{d}{dx}\left(a^2\frac{dS_0}{dx}\right) = 0 </math> と変形されるから、<math>C </math> を定数として <math>a = \frac{C}{\sqrt p} </math> を得る。よって波動関数は <math>\psi(x) = \frac{C_1}{\sqrt p} e^{\frac i \hbar \int pdx} + \frac{C_2}{\sqrt p} e^{-\frac i \hbar \int pdx} </math> となる。<math> E < V(x) </math> の領域では <math>p </math> は純虚数となるから <math>p = i \tilde p </math> と置いて <math>\psi(x) = \frac{C'_1}{\sqrt \tilde p} e^{\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} + \frac{C'_2}{\sqrt \tilde p} e^{-\frac 1 \hbar \int \tilde p dx} </math> となる。 <math> E < V(x) </math> の領域は古典的には存在できない領域であるが、量子力学的には指数関数的に減衰するものの透過することが可能である。<math>x</math> 軸正の方向に移動する粒子を考えよう。転回点を <math>x_1 < x_2 </math> とするとき、波動関数は <math> E < V(x) </math> の領域では <math>\psi(x) \sim \exp\left(-\frac 1 \hbar \int_{x_1}^x \tilde p dx\right) </math> で減衰する。従って、ポテンシャル障壁を抜ける透過係数は <math>T \sim \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{x_1}^{x_2} \tilde p dx\right) </math> で与えられる。 '''例''' WKB近似の応用として、アルファ崩壊について考えてみよう。アルファ粒子は原子核の内部では核力により <math>-V_0</math> のポテンシャルで束縛されおり、原子核の外部ではクーロン力を受けるとする。ポテンシャルは <math>V(r)=\begin{cases} -V_0 \quad (r<r_1)\\ \frac{\alpha}{r} \quad (r > r_1) \end{cases}</math> で与えられる。<math>r_1</math> は原子核の半径である。転回点 <math>r_2</math> は <math>E = \frac{\alpha}{r_2} </math> となる。透過係数は <math>T = \exp\left(-\frac 2 \hbar \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr\right) </math> である。ここで、<math>r = r_1 \cos^2\theta </math> と変換して積分すると <math>\begin{align} \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\frac{\alpha}{r}-E\right)} dr &= 2\sqrt{2mE}r_2\int_{0}^{\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}} \sin^2\theta d\theta \\ &= \sqrt{2mE}r_2\left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right) \end{align} </math> となる。従って <math>T = \exp\left\{-\frac{2\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E} \left(\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_2}\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}\right)\right\}</math> を得る。<math>r_1 \ll r_2</math> とすると <math>T = \exp\left(-\frac{\pi\alpha\sqrt{2m}}{\hbar \sqrt E}\right)</math> となる。 == スピン == 電子などの素粒子には粒子に固有の角運動量が存在する。これをスピンという。<math>\hbar</math> を単位として測ったスピン演算子を <math>\hat s_i \; (i=x,y,z)</math> とする。これは角運動量演算子と同じ交換関係 <math>[\hat s_i, \hat s_j] = i\varepsilon_{ijk} \hat s_k </math> を満たす。[[量子力学#角運動量]]では、軌道角運動量の交換関係を求めてから後は、その交換関係しか使っていない。すなわち、[[量子力学#角運動量]]で求めたことはスピン演算子でも有効である。つまり、<math>\hat s_z</math> の固有値には最大値が存在し、その最大値を <math>s</math> とする。このとき、<math>s_z = -s,-s+1,\cdots,s-1,s</math> の <math>2s+1</math> 個のスピン状態が存在する。<math>2s+1</math> は自然数であるから、<math>s = 0, \frac 1 2, 1, \frac 3 2, \cdots</math> の値を取ることができる。 スピン <math>s=\frac 1 2</math> の場合を考える。<math>\hat s_z</math> の固有状態には <math>s_z = \pm \frac 1 2</math> の二通りがある。それぞれの固有状態を <math>\left|\frac 1 2\right\rangle,\left|-\frac 1 2\right\rangle</math> とする。 <math>\hat s_z \left|\frac 1 2\right\rangle = \frac 1 2 \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_z \left|-\frac 1 2\right\rangle = -\frac 1 2 \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> である。したがって、<math>\left|\frac 1 2\right\rangle = \binom{1}{0},\left|-\frac 1 2\right\rangle = \binom{0}{1}</math> と行列表示するとき、<math>\hat s_z</math> の行列表示は <math>\hat s_z = \begin{pmatrix} \frac 1 2 & 0 \\ 0 & -\frac 1 2 \end{pmatrix}</math> となる。また、 <math>\hat s_+ \left|-\frac 1 2\right\rangle = \left|\frac 1 2\right\rangle,\, \hat s_- \left|\frac 1 2\right\rangle = \left|-\frac 1 2\right\rangle</math> より、 <math>\hat s_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\hat s_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> となる。よって、 <math>\hat s_x =\frac 1 2 (\hat s_++\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math> <math>\hat s_y =\frac{1}{2i}(\hat s_+-\hat s_-) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} </math> となる。ここで、<math>\hat s_i = \frac 1 2 \sigma_i</math> となる行列 <math>\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> をパウリ行列と定義する。 == 角運動量の合成 == *[[量子力学/角運動量の合成|角運動量の合成]] == 時間に依存しない摂動論 == ハミルトニアン <math>\hat H_0</math> は完全に解かれていて <math>\hat H_0 |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> とする。規格化されていて縮退はないとする。<math>\lambda</math> を小さい量として摂動ハミルトニアン <math>\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V</math> を考える。目標はシュレーディンガー方程式 <math>\hat H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle </math> を摂動的に解くことである。 <math>|\psi_n\rangle = |\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle + \cdots</math> <math>E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots</math> と <math>\lambda</math> の冪で展開する。二次まででシュレーディンガー方程式に代入すると、 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)(|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}) (|\psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\psi_n^{(2)}\rangle) </math> 一次の方程式は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(1)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。二次は <math>\hat H_0 |\psi_n^{(2)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(1)}\rangle = E_n^{(0)} |\psi_n^{(2)}\rangle + E_n^{(1)} |\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。まずは一次の近似について考える。 <math>|\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して、 <math>\sum_k E^{(0)}_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} \sum_k c^{(1)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle + E_n^{(1)}|\psi_n^{(0)}\rangle </math> <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c^{(1)}_m + \langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c^{(1)}_m + E_n^{(1)}\langle \psi_m^{(0)}| \psi_n^{(0)}\rangle </math> となる。<math>m = n </math> とすると、 <math>E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle </math> を得る。<math>m \neq n </math> のときは、 <math>c_m^{(1)} = \frac{\langle \psi_m^{(0)}| \hat V |\psi_n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} </math> となる。この式では <math>c_n^{(1)} </math> は決定できないが、 <math>|\psi^{(0)}_n \rangle + |\psi^{(1)}_n \rangle </math> 一次までで規格化されていることを要請すると、 <math>(\langle\psi^{(0)}_n | + \langle \psi^{(1)}_n |)(|\psi^{(0)}_n \rangle + |\psi^{(1)}_n \rangle) = \langle\psi^{(0)}_n | \psi^{(0)}_n \rangle + \langle\psi^{(0)}_n |\psi^{(1)}_n \rangle + \langle \psi^{(1)}_n |\psi^{(0)}_n \rangle + \langle \psi^{(1)}_n |\psi^{(1)}_n \rangle </math> より、二次の項である <math>\langle \psi^{(1)}_n |\psi^{(1)}_n \rangle</math> を無視すると、 <math> \langle\psi^{(0)}_n |\psi^{(1)}_n \rangle + \langle \psi^{(1)}_n |\psi^{(0)}_n \rangle = 0</math> より、 <math>c^{(1)}_n + c^{(1)*}_n =0</math> という条件を得る。したがって、<math>c_n^{(1)} </math> は純虚数であることがわかる。この自由度は全体の位相を調整して <math>c_n^{(1)}=0 </math> とすることができる。 次に二次の摂動に移ろう。同じように、 <math>|\psi_n^{(2)}\rangle = \sum_k c^{(2)}_k|\psi_k^{(0)}\rangle </math> と展開して二次の方程式に <math>\langle \psi_m^{(0)}| </math> を左からかけると、 <math>E^{(0)}_m c_m^{(2)} + \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_m^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = E_n^{(0)} c_m^{(2)} + E_n^{(1)} c_m^{(1)} + E_n^{(2)}\langle \psi_m^{(0)}|\psi_n^{(0)}\rangle</math> となる。<math>m=n</math> とすると、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k} c_k^{(1)} \langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle = \sum_{k\neq n} \frac{|\langle \psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_k^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}</math> となる。 '''演習問題''' 調和振動子について摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_1 = \alpha \hat x^3</math> であるときにエネルギーの一次と二次の摂動を求めよ。また、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> であるときのエネルギーの一次の摂動を求めよ。 '''解答''' <math>\begin{align} \hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger),\\ \hat p &= -i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a - \hat a^\dagger) \end{align}</math> より、 <math>E_n^{(1)} = \langle n|\alpha \hat x^3|n\rangle = \alpha \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^{\frac 3 2}\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle</math> である。演算子を展開して交換関係 <math>a a^\dagger = a^\dagger a + 1</math> を使って消滅演算子を右側に来るようにすると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^{\dagger 2}a + 3 a^\dagger a^2 + a^3 + 3 a^\dagger + 3 a</math> となる。更に整理すると、 <math>(a + a^\dagger)^3 = a^{\dagger 3} + 3 a^\dagger a a^\dagger + 3 a a^\dagger a + a^3</math> となる。これには、<math>n \to n \pm 1, n \pm 3</math> の遷移に対応する演算子しか含まれていないから、 <math>\langle n|(a + a^\dagger)^3|n\rangle = 0, \quad E_n^{(1)} = 0</math> となる。次に、二次の摂動エネルギーを求める。行列要素を求めると、 <math>\begin{align} &\langle n+3 | a^{\dagger 3}|n \rangle = \sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)},\quad \langle n+1 | 3a^\dagger a a^\dagger |n \rangle =3(n+1)^{\frac 3 2}\\ &\langle n-1 | 3a a^\dagger a|n \rangle = 3n^{\frac 3 2},\quad \langle n-3 | a^3 |n \rangle = \sqrt{n(n-1)(n-2)} \end{align}</math> であり、これ以外の行列要素は0である。従って、 <math>E_n^{(2)} = \sum_{k=n \pm 1,n\pm 3} \frac{|\langle n|\alpha\hat x^3 |k\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} = -\frac{\alpha^2\hbar^2}{8m^3\omega^4}(30n^2+30n+11)</math> となる。 次に、摂動ハミルトニアンが <math>\hat V_2 = \beta \hat x^4</math> で与えられる場合を計算しよう。同じように<math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle </math> の値が必要になるが、展開したときに生成演算子と消滅演算子が同数だけある項のみが一般に0とは異なる値を与える<ref>例えば、<math>a a a a^\dagger </math> のような項は <math>aaaa^\dagger |n\rangle \propto |n-2\rangle</math> となるため <math>\langle n |</math> で挟んだときに消える。</ref>。そのような項は <math>{}_4\mathrm{C}_{2}</math> 通り <math>\begin{align} &a^\dagger a^\dagger a a\\ &a^\dagger a a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + a^\dagger a\\ &a^\dagger a a a^\dagger = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a^\dagger a = a^\dagger a a^\dagger a + a^\dagger a = a^\dagger a^\dagger a a + 2 a^\dagger a\\ &a a^\dagger a a^\dagger = a a^\dagger a^\dagger a + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 1\\ &a a a^\dagger a^\dagger = a a^\dagger a a^\dagger + a a^\dagger = a^\dagger a^\dagger a a + 3 a^\dagger a + 3\\ \end{align}</math> である。その和は、<math>6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3</math> となる。従って、 <math>\langle n | (a+a^\dagger)^4|n\rangle = \langle n |(6 a^\dagger a^\dagger a a + 12 a^\dagger a + 3)|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3 </math> を得る。よって、 <math>E_n^{(1)} = \frac{\beta\hbar^2}{4m^2\omega^2}(6n^2+6n+3)</math> となる。 === 永年方程式 === 縮退がある場合の摂動を考える。<math> E_n^{(0)}</math> に属する固有状態が <math>|\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle</math> であるとする。前節と同じように <math>|\psi_{n}\rangle = \sum_\alpha c_{n,\alpha}^{(0)} |\psi_{n,\alpha}^{(0)}\rangle </math> と展開する。これを一次までで切ったシュレーディンガー方程式 <math>(\hat H_0 + \lambda \hat V)|\psi_n\rangle = (E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)})|\psi_n\rangle</math> に代入して <math>\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|</math> を左からかけると、 <math>\sum_\alpha (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta})c^{(0)}_{n,\alpha} = 0</math> を得る。これが、すべての <math>c^{(0)}_{n,\alpha}</math> が0とはならない解が存在するためには、 <math>\det (\langle \psi^{(0)}_{n,\beta}|\hat V |\psi^{(0)}_{n,\alpha}\rangle - E^{(1)}_n\delta_{\alpha\beta}) = 0</math> でなくてはならない。これを永年方程式という。 == 部分波 == 自由粒子のシュレーディンガー方程式の解を極座標で考えてみよう。シュレーディンガー方程式は <math>(\triangle + k^2)\psi(r,\theta,\varphi) = 0</math> となる。ここで、<math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math> である。これはヘルムホルツ方程式である。<math>\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)</math> を変数分離すると <math>\frac{1}{R}\left(\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + r^2 k^2 R\right) = \frac 1 Y \hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)</math> より、 <math>\hat \boldsymbol l^2 Y = l(l+1)Y</math> <math>\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d R}{d r}\right) + \left(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R = 0</math> を得る。<math>Y</math> は球面調和関数で <math>l</math> は軌道角運動量であることがわかる。動径関数は <math>R(r) = \frac{X(kr)}{\sqrt{kr}}</math> と置くと、 <math>\frac{d^2}{dr^2}X(kr) + \frac 1 r \frac{d}{dr}X(kr) + \left(k^2-\frac{(l+1/2)^2}{r^2}\right) X(kr) = 0</math> を得る。これは <math>l+ \frac 1 2</math> 次のベッセルの微分方程式であるから、<math>X(kr) = A J_{l+1/2}(kr) + BN_{l+1/2}(kr)</math> となる。球ベッセル関数 <math>j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x),\, n_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{l+1/2}(x)</math> を使うと、 <math>R(r) = a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)</math> となる。最終的にヘルムホルツ方程式の解は、 <math>\psi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> となる。この式のそれぞれの項は確定した角運動量 <math>l</math> と角運動量の <math>z</math> 成分 <math>m</math> を持つ波動関数である。このように角運動量の固有状態で展開することを部分波展開という。 === 平面波の部分波展開 === 平面波 <math>e^{ikz}</math> はヘルムホルツ方程式を満たす。すなわち、 <math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l (a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} n_l(kr)) Y_{lm}(\theta,\varphi) </math> の形に変形することができる。まず、<math>r=0</math> で有限だから、<math>b_{lm}=0</math> である。また、左辺は <math>\varphi</math> に依存しないから、<math>m=0</math> である。よって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> となる<ref>ここでは <math>Y_{lm}(\theta,\varphi) \propto P^{|m|}_l(\cos\theta) e^{im\varphi}</math> だけで十分である。規格化因子は重要ではないから、係数に吸収させた。</ref>。ここで、<math>x\to 0</math> で漸近的に <math> j_l(x) \to \frac{x^l}{(2l+1)!!}\left(1-\frac{x^2}{2(2l+3)}+\cdots\right)</math> となる。実際、 <math> J_{l+1/2}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(l+k+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{2k+l+1/2} \to \frac{1}{\Gamma(l+3/2)}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2}</math> より、 <math> j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \to \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\frac{2^{l+1}}{(2l+1)!!\sqrt{\pi}}\left(\frac x 2\right)^{l+1/2} = \frac{x^l}{(2l+1)!!}</math> となる。また、<math> P_l(\cos\theta) </math> の最高次 <math>\cos^l\theta</math> の係数は、<math>\frac{(2l)!!}{l!}</math> である<ref>[[物理数学II/特殊関数#Legendre 多項式]]を見よ</ref>から、 <math>\sum_{l=0}^\infty a_l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \to \sum_{l=0}^\infty a_l \frac{(kr\cos\theta)^l}{(2l+1)l!}</math> となる。また、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty \frac{(ikr\cos\theta)^l}{l!}</math> より、<math> a_l = (2l+1)i^l </math> を得る。したがって、 <math>e^{ikr\cos\theta} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) </math> を得る。 == 散乱 == 平面波 <math>e^{ikz}</math> がポテンシャル <math>V(r)</math> に入射されて、散乱された波動関数は <math>r\to\infty</math> のところで、<math>f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}</math> の球面波の形をしている。波動関数は <math>r\to\infty</math> で <math>\psi \to e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} </math> に漸近する。<math>r\to\infty</math> ではポテンシャルの影響はなく自由粒子と仮定していいから、<math>\psi</math> はヘルムホルツ方程式の解に漸近する。入射波とポテンシャルは <math>\varphi</math> には依存しないから <math>m=0</math> である。したがって、 <math>\psi \to \sum_{l=0}^\infty (a_{l} j_l(kr) + b_{l} n_l(kr)) P_l(\cos\theta) </math> と展開される。さらに、<math>r\to\infty </math> で <math>\begin{align} j_l(kr) &\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right),\\ n_l(kr) &\to -\frac{1}{kr}\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) \end{align}</math> となることを使うと、 <math>\begin{align}\psi &\to \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty \left\{ a_l \sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) - b_l\cos\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right) \right\} P_l(\cos\theta) \\ &= \frac{1}{kr}\sum_{l=0}^\infty c_l\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l\right) P_l(\cos\theta) \end{align} </math> となる。ここで <math>a_l = c_l \cos \delta_l, b_l = c_l \sin \delta_l </math> で、 <math>\delta_l</math> は位相のずれという。後述のように <math>c_l </math> は <math>\delta_l </math> によって決定されるから、<math>\delta_l </math> を求めることで波動関数が決定される。入射波 <math>e^{ikr\cos\theta} </math> も同じように部分波展開して、球面ベッセル関数の漸近形を使うと、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} \to \frac{1}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty [c_l(e^{i\delta_l}i^{-l}e^{ikr}-e^{-i\delta_l}i^{l}e^{-ikr})P_l(\cos\theta) - (2l+1)i^l(i^{-l}e^{ikr}-i^le^{-ikr})P_l(\cos\theta)]</math> となる。<math>\psi - e^{ikr\cos\theta} </math> は外向きの散乱波である。したがって、内向き球面波の <math>\frac{e^{-ikr}}{r} </math> の部分の係数は0である必要がある。このことから <math>c_l </math> が決定できて、 <math>c_l = (2l+1)i^le^{i\delta_l} </math> となる。これを代入すると、 <math>\psi \to \sum_{l=0}^\infty (2l+1)i^l e^{i\delta_l}(\cos\delta_l j_l(kr) - \sin\delta_l n_l(kr)) P_l(\cos\theta) </math> となる。また、 <math>\psi - e^{ikr\cos\theta} = \frac{e^{ikr}}{2ikr}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> を得る。すなわち、散乱振幅は <math>f(\theta) = \frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)(e^{2i\delta_l}-1)P_l(\cos\theta)</math> である。散乱断面積は <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta\\ &= 2\pi\sum_{l=0}^\infty \int_0^\pi \frac{4k^2}{(2l+1)^2}|e^{2i\delta_l}-1|^2P_l(\cos\theta)^2\sin\theta d\theta\\ &= \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l \end{align}</math> となる。また、 <math>\operatorname{Im}f(0) = \frac{2l+1}{k}\sum_{l=0}^\infty \sin^2\delta_l</math> より、 <math>\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0) </math> を得る。これを光学定理という。 == ボルン近似 == ポテンシャル <math>V </math> が十分小さいときの散乱問題を考えよう。入射波を <math>\psi^{(0)} = e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> 、散乱波 <math>\psi^{(1)}</math> は <math>V</math> と同次の量とする。 <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle + V\right)(\psi^{(0)} + \psi^{(1)}) = E(\psi^{(0)} + \psi^{(1)})</math> について、二次の微小量 <math>V\psi^{(1)}</math> を無視すると、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(1)} + V\psi^{(0)} = E \psi^{(1)}</math> <math>\triangle \psi^{(1)} + k^2 \psi^{(1)} = \frac{2m}{\hbar^2} V\psi^{(0)} = \frac{2m}{\hbar^2} V e^{i\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r}</math> となる。ここで、 <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi^{(0)} = E\psi^{(0)}</math> が成り立つことを使った。 この方程式の解は、<math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'|</math> として <math>\begin{align}\psi^{(1)}(\boldsymbol r) &= -\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') \psi^{(0)}(\boldsymbol r') e^{ikR} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R}\\ &=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k \cdot \boldsymbol r + kR)} \frac{d^3\boldsymbol r'}{R} \end{align} </math> となる。<math>r \gg r' </math> のときは <math>R = |\boldsymbol r - \boldsymbol r'| \approx r - \boldsymbol r' \cdot \boldsymbol n</math> となる。ここで、<math>\boldsymbol n </math> は <math>\boldsymbol r </math> 方向の単位ベクトルである。さらに、 <math>\frac 1 R \approx \frac 1 r </math> とする。そうすると、 <math>\psi^{(1)}(\boldsymbol r) =-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int V(\boldsymbol r') e^{i(\boldsymbol k - \boldsymbol k')\cdot \boldsymbol r'} d^3\boldsymbol r' </math> を得る。ただし、<math>\boldsymbol k' = k \boldsymbol n </math> とした。最終的に散乱振幅は <math>f=-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r </math> で与えられる。<math>\boldsymbol q = \boldsymbol k' - \boldsymbol k </math> で <math>q= 2k \sin \frac{\theta}{2} </math> となる。微分散乱断面積は <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{m^2}{4\pi^2 \hbar^4}\left|\int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r\right|^2 </math> となる。 球対称ポテンシャル <math>V(r) </math> の場合は、積分を実行すると、 <math>\begin{align} \int V(\boldsymbol r) e^{-i\boldsymbol q\cdot \boldsymbol r} d^3\boldsymbol r &= \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta r^2 \sin\theta V(r) e^{-iqr\cos\theta}\\ &= 2\pi \int_0^\infty dr \, r^2 \left[\frac{1}{iqr}e^{-iqr\cos\theta}\right]_0^\pi \\ &=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr \end{align} </math> となるから、 <math>f=-\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^\infty rV(r) \sin qr dr </math> となる。 例として湯川ポテンシャル <math>V(r) = \frac{\alpha}{r} e^{-\mu r} </math> の場合の微分散乱断面積を計算しよう。 <math>\begin{align} \int_0^\infty rV(r) \sin qr dr &= \int_0^\infty \alpha e^{-\mu r} \sin qr dr \\ &= \alpha \operatorname{Im} \int_0^\infty e^{-\mu r} e^{iqr} dr\\ &= \alpha \operatorname{Im} \left[\frac{e^{(-\mu + iq)r}}{qi-\mu} \right]_0^\infty \\ &= \alpha \operatorname{Im} \frac{1}{\mu- iq} = \frac{\alpha q}{\mu^2 + q^2} \end{align} </math> となる。したがって、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2}{\hbar^4} \frac{\alpha^2}{(\mu^2+q^2)^2} </math> となる。散乱断面積は <math>q^2 = 2k^2(1-\cos\theta) </math> より、 <math>\begin{align} \sigma &= 2\pi \int_0^\pi \frac{4 m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \frac{\sin\theta d\theta}{(\mu^2 + 2k^2(1-\cos\theta))^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\int_0^2 \frac{dx}{(\mu^2 + 2k^2 x)^2}\\ &= \frac{8\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4} \left[\frac{-1}{2k^2}\frac{1}{(\mu^2 + 2k^2 x)}\right]_0^2\\ &= \frac{16\pi m^2 \alpha^2}{\hbar^4}\frac{1}{\mu^2(\mu^2 + 4k^2)} \end{align} </math> となる。途中で <math>x=1-\cos\theta </math> とした。 また、<math>\mu \to 0 </math> とするとポテンシャルはクーロンポテンシャルとなり、 <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{4m^2 \alpha^2}{\hbar^4 q^4} = \left(\frac{m\alpha}{2\hbar^2 k^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2} </math> となる。<math>E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} </math> とすると、<math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4\frac \theta 2}</math> となり[[解析力学#ラザフォード散乱|古典力学でのラザフォード散乱の微分散乱断面積]]に完全に一致する。 ==脚注== <references /> {{stub}} {{DEFAULTSORT:りようしりきかく}} [[Category:量子力学|*]] {{NDC|423}} j67g7p71s4tgyyon1h3810nen2ijy0s 0 2003 301937 252233 2026-07-31T09:32:34Z ~2026-42422-29 92167 タイトルの表記が"classi属性"となっていたので"classid"と訂正。 301937 wikitext text/x-wiki {{Nav}} HTMLにおけるオブジェクトは、ウェブページに画像、ビデオ、オーディオなどのマルチメディアコンテンツを埋め込むための要素です。代表的な要素には<syntaxhighlight lang=html inline><img></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><video></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><audio></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><iframe></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><canvas></syntaxhighlight>があります。これらの要素を使用して、リッチでインタラクティブなコンテンツを提供できます。 == 画像の挿入 == 画像はウェブページに視覚的なコンテンツを追加するための重要な要素です。HTMLでは、<syntaxhighlight lang=html inline><img></syntaxhighlight>要素を使用して画像を挿入します。 === 構文 === :<syntaxhighlight lang=html> <img src="画像のURL" alt="代替テキスト"> </syntaxhighlight> ; <code>src</code> : 画像ファイルのURLを指定します。 ; <code>alt</code> : 画像が表示されない場合に表示されるテキストを指定します。 === 例 === :<syntaxhighlight lang=html> <img src="example.jpg" alt="例の画像"> </syntaxhighlight> == 作成例 == 以下は、画像を挿入する具体的な例です。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>画像の例</title> </head> <body> <h1>画像の挿入例</h1> <p>以下は画像の挿入例です。</p> <img src="https://www.example.com/example.jpg" alt="美しい風景"> </body> </html> </syntaxhighlight> == イメージマップ == イメージマップは、画像の特定の領域にリンクを設定する方法です。これを使うことで、画像の異なる部分をクリックして異なるリンク先に移動させることができます。 === 構文 === :<syntaxhighlight lang=html> <img src="image.jpg" usemap="#mapname"> <map name="mapname"> <area shape="rect" coords="34,44,270,350" href="リンク先URL" alt="説明"> <area shape="circle" coords="100,100,50" href="リンク先URL" alt="説明"> <area shape="poly" coords="75,33,27,300,128,240" href="リンク先URL" alt="説明"> </map> </syntaxhighlight> HTMLの<syntaxhighlight lang=html inline><map></syntaxhighlight>要素の<syntaxhighlight lang=html inline><area></syntaxhighlight>タグに使用される<code>shape</code>属性は、クリック可能な領域の形状を指定します。以下に、<code>shape</code>属性の種類とその機能を表形式で示します。 :{| class=wikitable |+ <code>shape</code>属性の種類とその機能 ! <code>shape</code> の値 || 機能 || <code>coords</code> 属性の例 |- | <code>default</code> || 画像全体をクリック可能な領域にする || なし |- | <code>rect</code> || 長方形の領域を指定する || 左上の x 座標, 左上の y 座標, 右下の x 座標, 右下の y 座標<br>例: <code>34,44,270,350</code> |- | <code>circle</code> || 円形の領域を指定する || 円の中心の x 座標, 円の中心の y 座標, 半径<br>例: <code>100,100,50</code> |- | <code>poly</code> || 多角形の領域を指定する（複数の x, y 座標のペア） || 各頂点の x 座標と y 座標のペアのリスト<br>例: <code>75,33,27,300,128,240</code> |} ; 具体例 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>イメージマップの例</title> </head> <body> <h1>イメージマップの例</h1> <img src="example-map.jpg" usemap="#example-map" alt="イメージマップの例"> <map name="example-map"> <!-- 長方形のリンク --> <area shape="rect" coords="34,44,270,350" href="https://www.example1.com" alt="リンク1"> <!-- 円形のリンク --> <area shape="circle" coords="100,100,50" href="https://www.example2.com" alt="リンク2"> <!-- 多角形のリンク --> <area shape="poly" coords="75,33,27,300,128,240" href="https://www.example3.com" alt="リンク3"> </map> </body> </html> </syntaxhighlight> === MAP要素を使う場合のスマートフォンやタブレットへの配慮 === スマートフォンやタブレットのタッチインターフェースでは、<code>alt</code>属性に設定されたテキストが表示されないため、ユーザーが画像マップのクリック可能な領域を識別しにくくなる可能性があります。このため、画像マップを使用する際には、視覚的なヒントや代替手段を提供することが重要です。以下に、代替手段の例を示します。 ==== 視覚的なヒントを追加する ==== 画像に視覚的なヒントを追加して、クリック可能な領域がどこにあるのかを示します。例えば、ボーダーやハイライトを使用します。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>画像マップの例</title> <style> .map-hint { position: absolute; border: 2px solid red; pointer-events: none; /* クリックを通過させる */ } .map-container { position: relative; display: inline-block; } </style> </head> <body> <h1>画像マップの例</h1> <div class="map-container"> <img src="example-map.jpg" usemap="#example-map" alt="イメージマップの例"> <div class="map-hint" style="left: 34px; top: 44px; width: 236px; height: 306px;"></div> <div class="map-hint" style="left: 50px; top: 50px; width: 100px; height: 100px; border-radius: 50%;"></div> </div> <map name="example-map"> <!-- 長方形のリンク --> <area shape="rect" coords="34,44,270,350" href="https://www.example1.com" alt="リンク1"> <!-- 円形のリンク --> <area shape="circle" coords="100,100,50" href="https://www.example2.com" alt="リンク2"> <!-- 多角形のリンク --> <area shape="poly" coords="75,33,27,300,128,240" href="https://www.example3.com" alt="リンク3"> </map> </body> </html> </syntaxhighlight> ==== レスポンシブデザインを考慮する ==== レスポンシブデザインを使用して、モバイルデバイス向けにデザインを調整します。例えば、画像マップを使用せずに、[[CSS]]と[[JavaScript]]を使用して同様のインタラクティビティを提供する方法です。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>レスポンシブデザインの例</title> <style> .image-map { position: relative; display: inline-block; } .image-map img { width: 100%; height: auto; } .image-map .map-link { position: absolute; border: 2px solid transparent; } .image-map .rect { left: 10%; top: 10%; width: 50%; height: 30%; } .image-map .circle { left: 60%; top: 60%; width: 20%; height: 20%; border-radius: 50%; } .image-map .map-link:hover { border-color: red; } </style> </head> <body> <h1>レスポンシブデザインの例</h1> <div class="image-map"> <img src="example-map.jpg" alt="イメージマップの例"> <a href="https://www.example1.com" class="map-link rect" title="リンク1"></a> <a href="https://www.example2.com" class="map-link circle" title="リンク2"></a> </div> </body> </html> </syntaxhighlight> ==== JavaScriptを使用した代替手段 ==== [[JavaScript]]を使用して動的に視覚的なフィードバックを提供します。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>JavaScriptを使用した代替手段</title> <style> .image-map { position: relative; display: inline-block; } .image-map img { width: 100%; height: auto; } .image-map .map-link { position: absolute; border: 2px solid transparent; } .image-map .map-link:hover { border-color: red; } </style> <script> document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() { var mapLinks = document.querySelectorAll('.image-map .map-link'); mapLinks.forEach(function(link) { link.addEventListener('mouseover', function() { link.style.borderColor = 'red'; }); link.addEventListener('mouseout', function() { link.style.borderColor = 'transparent'; }); }); }); </script> </head> <body> <h1>JavaScriptを使用した代替手段</h1> <div class="image-map"> <img src="example-map.jpg" alt="イメージマップの例"> <a href="https://www.example1.com" class="map-link" style="left: 34px; top: 44px; width: 236px; height: 306px;" title="リンク1"></a> <a href="https://www.example2.com" class="map-link" style="left: 100px; top: 100px; width: 100px; height: 100px; border-radius: 50%;" title="リンク2"></a> </div> </body> </html> </syntaxhighlight> ==== まとめ ==== <syntaxhighlight lang=html inline><map></syntaxhighlight>要素と画像マップは依然として有用ですが、モバイルデバイスやタブレットでは視覚的なフィードバックが重要です。視覚的なヒントを追加したり、レスポンシブデザインやJavaScriptを活用して、ユーザーがクリック可能な領域を認識しやすくすることが推奨されます。これにより、ユーザーエクスペリエンスを向上させることができます。 == ビデオの挿入 == ビデオは、<syntaxhighlight lang=html inline><video></syntaxhighlight>要素を使用してウェブページに埋め込むことができます。 === 構文 === :<syntaxhighlight lang=html> <video src="ビデオのURL" controls> ブラウザがビデオタグをサポートしていません。 </video> </syntaxhighlight> ; <code>src</code> : ビデオファイルのURLを指定します。 ; <code>controls</code> : ビデオコントロール（再生、停止、ボリュームなど）を表示します。 === 例 === :<syntaxhighlight lang=html> <video src="movie.mp4" controls width="600" height="400"> ブラウザがビデオタグをサポートしていません。 </video> </syntaxhighlight> == オーディオの挿入 == オーディオは、<syntaxhighlight lang=html inline><audio></syntaxhighlight>要素を使用してウェブページに埋め込むことができます。 === 構文 === :<syntaxhighlight lang=html> <audio src="オーディオのURL" controls> ブラウザがオーディオタグをサポートしていません。 </audio> </syntaxhighlight> ; <code>src</code> : オーディオファイルのURLを指定します。 ; <code>controls</code> : オーディオコントロール（再生、停止、ボリュームなど）を表示します。 === 例 === :<syntaxhighlight lang=html> <audio src="sound.mp3" controls> ブラウザがオーディオタグをサポートしていません。 </audio> </syntaxhighlight> == マルチメディアの挿入 == マルチメディアコンテンツ（音声、動画、その他のリッチメディア）は、<syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>要素や<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用してウェブページに挿入できます。 ; embed要素 : <syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>要素は、外部のアプリケーションやインタラクティブなコンテンツを埋め込むために使用されます。 ; 構文 :<syntaxhighlight lang=html> <embed src="ファイルのURL" type="MIMEタイプ"> </syntaxhighlight> ; 例 :<syntaxhighlight lang=html> <embed src="video.mp4" type="video/mp4" width="600" height="400"> </syntaxhighlight> ; object要素 :<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素は、より汎用的に外部リソースを埋め込むために使用されます。 ; 構文 :<syntaxhighlight lang=html> <object data="ファイルのURL" type="MIMEタイプ"> <!-- 代替コンテンツ --> <p>このブラウザでは、オブジェクトを表示できません。</p> </object> </syntaxhighlight> ; ファイルタイプの指定例 :以下に、<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用してさまざまなファイルタイプを指定する例を示します。 ; PDFファイル :<syntaxhighlight lang=html> <object data="example.pdf" type="application/pdf" width="600" height="400"> <p>PDFファイルを表示するには、<a href="example.pdf">こちら</a>をクリックしてください。</p> </object> </syntaxhighlight> ; 動画ファイル :<syntaxhighlight lang=html> <object data="movie.mp4" type="video/mp4" width="600" height="400"> <p>動画を表示するには、<a href="movie.mp4">こちら</a>をクリックしてください。</p> </object> </syntaxhighlight> ; 記述例 : 以下は、<syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>要素と<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用してマルチメディアコンテンツを埋め込む具体的な例です。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>マルチメディアの例</title> </head> <body> <h1>マルチメディアの挿入例</h1> <h2>embed要素</h2> <p>以下は、<embed>要素を使用して動画を埋め込む例です。</p> <embed src="video.mp4" type="video/mp4" width="600" height="400"> <h2>object要素</h2> <p>以下は、<object>要素を使用してPDFを埋め込む例です。</p> <object data="example.pdf" type="application/pdf" width="600" height="400"> <p>PDFファイルを表示するには、<a href="example.pdf">こちら</a>をクリックしてください。</p> </object> </body> </html> </syntaxhighlight> == OBJECT要素のclassid属性は非推奨 == <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素の<code>classid</code>属性は、かつてActiveXコントロールやQuicktimeプレイヤーなどのプラグインオブジェクトを指定するために使用されていました。しかし、ActiveXは特定のブラウザ（主にInternet Explorer）でしか動作せず、現在のウェブ標準やモダンブラウザはこれをサポートしていないため、ほとんど使われなくなっています。<code>classid</code>属性は非推奨となっており、代替技術としてHTML5のネイティブ要素やJavaScript APIを使用するのが一般的です。 === 例：classid属性を使用する非推奨の記述 === :<syntaxhighlight lang=html> <object classid="clsid:XXXXXXXX-XXXX-XXXX-XXXX-XXXXXXXXXXXX" width="400" height="300"> <param name="paramName" value="paramValue"> <!-- 代替コンテンツ --> <p>このブラウザではオブジェクトを表示できません。</p> </object> </syntaxhighlight> === モダンな代替方法 === ActiveXコントロールやプラグインを使用せずに、動画やオーディオを埋め込むためのモダンな方法としては、HTML5の<syntaxhighlight lang=html inline><video></syntaxhighlight>や<syntaxhighlight lang=html inline><audio></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>, <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素などがあります。 ; 動画の埋め込み例 :<syntaxhighlight lang=html> <video src="movie.mp4" controls width="600" height="400"> ブラウザがビデオタグをサポートしていません。 </video> </syntaxhighlight> ; オーディオの埋め込み例 :<syntaxhighlight lang=html> <audio src="sound.mp3" controls> ブラウザがオーディオタグをサポートしていません。 </audio> </syntaxhighlight> == OBJECT要素の用途 == <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素は依然として特定のユースケースで使用されることがありますが、使用頻度は他のHTML5要素に比べて少ないです。以下に、<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素の使用例とそのユースケースを説明します。 === <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素の使用例とユースケース === ==== PDFファイルの埋め込み ==== <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用してPDFファイルを埋め込むことができます。これは特にドキュメントビューアとして有用です。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>PDFファイルの埋め込み</title> </head> <body> <h1>PDFファイルの埋め込み例</h1> <object data="example.pdf" type="application/pdf" width="600" height="400"> <p>PDFファイルを表示するには、<a href="example.pdf">こちら</a>をクリックしてください。</p> </object> </body> </html> </syntaxhighlight> ==== SVGファイルの埋め込み ==== SVGファイルを埋め込む際にも<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用できます。これにより、ベクターグラフィックスを表示することができます。 :<syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>SVGファイルの埋め込み</title> </head> <body> <h1>SVGファイルの埋め込み例</h1> <object data="example.svg" type="image/svg+xml" width="600" height="400"> <p>SVGファイルを表示するには、<a href="example.svg">こちら</a>をクリックしてください。</p> </object> </body> </html> </syntaxhighlight> ==== 異なるメディア形式の埋め込み ==== <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素は、互換性のない古いメディア形式を表示するために使用されることがあります。例えば、特定の種類のプラグインが必要な古いメディアファイルの場合です。 === <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素の利点 === ; 多様なメディアタイプ : <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素は、PDFやSVG、Flash（旧来の技術ですが）など、多様なメディアタイプをサポートします。 ; フォールバックコンテンツ : <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素内にフォールバックコンテンツを指定することで、対応していないブラウザに対しても代替の表示を提供できます。 === モダンな代替方法 === HTML5では、特定のメディアタイプに特化した要素が導入されており、これらを使用するのが一般的です。 ; 画像 : <syntaxhighlight lang=html inline><img></syntaxhighlight> ; 動画 : <syntaxhighlight lang=html inline><video></syntaxhighlight> ; 音声 : <syntaxhighlight lang=html inline><audio></syntaxhighlight> ; 埋め込み : <syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>（ただし、通常は特定のプラグインやリッチメディア用） === まとめ === <syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素は依然として有用な場合がありますが、その使用は特定のユースケースに限られます。PDFやSVGなど、特定のメディアタイプの埋め込みに便利です。モダンなHTML5の要素を使用することで、よりシンプルで互換性のある実装が可能となります。 == まとめ == 現在では、<code>classid</code>属性を使用することは推奨されず、HTML5の標準要素やAPIを使用してマルチメディアコンテンツやインタラクティブコンテンツを埋め込むのが一般的です。これにより、モダンブラウザでの互換性とパフォーマンスが向上します。 == その他のオブジェクト要素 == HTMLには、他にもさまざまなオブジェクトを埋め込むための要素があります。 ; <syntaxhighlight lang=html inline><iframe></syntaxhighlight>要素 : <syntaxhighlight lang=html inline><iframe></syntaxhighlight>要素は、別のHTMLページを埋め込むために使用されます。 ; 構文 :<syntaxhighlight lang=html> <iframe src="ページのURL" width="幅" height="高さ"></iframe> </syntaxhighlight> ; 例 :<syntaxhighlight lang=html> <iframe src="https://www.example.com" width="600" height="400"></iframe> </syntaxhighlight> ; <syntaxhighlight lang=html inline><canvas></syntaxhighlight>要素 :<syntaxhighlight lang=html inline><canvas></syntaxhighlight>要素は、JavaScriptを使用して動的なグラフィックスを描画するために使用されます。 ; 構文 :<syntaxhighlight lang=html> <canvas id="myCanvas" width="幅" height="高さ"></canvas> </syntaxhighlight> ; 例 :<syntaxhighlight lang=html> <canvas id="myCanvas" width="200" height="100"></canvas> <script> var canvas = document.getElementById('myCanvas'); var context = canvas.getContext('2d'); context.fillStyle = 'blue'; context.fillRect(10, 10, 150, 80); </script> </syntaxhighlight> == まとめ == HTMLを使用して画像やマルチメディアコンテンツを挿入することで、ウェブページに豊かな視覚的およびインタラクティブな要素を追加することができます。<syntaxhighlight lang=html inline><img></syntaxhighlight>要素は画像を表示するための基本的な手段であり、<syntaxhighlight lang=html inline><video></syntaxhighlight>および<syntaxhighlight lang=html inline><audio></syntaxhighlight>要素はビデオやオーディオを埋め込むためのツールです。<syntaxhighlight lang=html inline><embed></syntaxhighlight>や<syntaxhighlight lang=html inline><object></syntaxhighlight>要素を使用することで、さらに多様なマルチメディアコンテンツを埋め込むことができます。<syntaxhighlight lang=html inline><iframe></syntaxhighlight>要素や<syntaxhighlight lang=html inline><canvas></syntaxhighlight>要素を使用すると、別のHTMLページや動的なグラフィックスを埋め込むことも可能です。これらの要素を効果的に使用することで、ユーザーエクスペリエンスを向上させることができます。 {{Nav}} [[Category:HTML|おふしえくと]] sctp9jhkqnsznru0o5pt9bf562zlzj9 0 3675 301940 289544 2026-07-31T11:55:59Z ~2026-42432-97 92168 /* 第10章出水及び水利に関する罪]（第119条 - 第123条） */ 誤字削除 301940 wikitext text/x-wiki * [[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]] * [[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]] [[刑法]]（日本法）のコンメンタール。 == 刑法 == === <span id="1">第1編</span> 総則 === ==== <span id="1-1">第1章</span> 通則（第1 - 8条） ==== *[[刑法第1条|第1条]]（国内犯） *[[刑法第2条|第2条]]（全ての者の国外犯） *[[刑法第3条|第3条]]（国民の国外犯） *[[刑法第3条の2|第3条の2]]（国民以外の者の国外犯） *[[刑法第4条|第4条]]（公務員の国外犯） *[[刑法第4条の2|第4条の2]]（条約による国外犯） *[[刑法第5条|第5条]]（外国判決の効力） *[[刑法第6条|第6条]]（刑の変更） *[[刑法第7条|第7条]]（定義） *[[刑法第7条の2|第7条の2]]（電磁的記録の定義） *[[刑法第8条|第8条]]（他の法令の罪に対する適用） ==== <span id="1-2">第2章</span> 刑（第9 - 21条） ==== *[[刑法第9条|第9条]]（刑の種類） *[[刑法第10条|第10条]]（刑の軽重） *[[刑法第11条|第11条]]（死刑） *[[刑法第12条|第12条]]（拘禁刑）- 旧「懲役」 *[[刑法第13条|第13条]] 削除 - 旧「禁錮」 *[[刑法第14条|第14条]]（有期拘禁刑の加減の限度） *[[刑法第15条|第15条]]（罰金） *[[刑法第16条|第16条]]（拘留） *[[刑法第17条|第17条]]（科料） *[[刑法第18条|第18条]]（労役場留置） *[[刑法第19条|第19条]]（没収） *[[刑法第19条の2|第19条の2]]（追徴） *[[刑法第20条|第20条]]（没収の制限） *[[刑法第21条|第21条]]（未決勾留日数の本刑算入） ==== <span id="1-3">第3章</span> 期間計算（第22 - 24条） ==== *[[刑法第22条|第22条]]（期間の計算） *[[刑法第23条|第23条]]（刑期の計算） *[[刑法第24条|第24条]]（受刑等の初日及び釈放） ==== <span id="1-4">第4章</span> 刑の執行猶予（第25条 - 第27条の7） ==== *[[刑法第25条|第25条]]（刑の全部の執行猶予） *[[刑法第25条の2|第25条の2]]（刑の全部の執行猶予中の保護観察） *[[刑法第26条|第26条]]（刑の全部の執行猶予の必要的取消し） *[[刑法第26条の2|第26条の2]]（刑の全部の執行猶予の裁量的取消し） *[[刑法第26条の3|第26条の3]]（刑の全部の執行猶予の取消しの場合における他の刑の執行猶予の取消し） *[[刑法第27条|第27条]]（刑の全部の執行猶予の猶予期間経過の効果） *[[刑法第27条の2|第27条の2]]（刑の一部の執行猶予） *[[刑法第27条の3|第27条の3]]（刑の一部の執行猶予中の保護観察） *[[刑法第27条の4|第27条の4]]（刑の一部の執行猶予の必要的取消し） *[[刑法第27条の5|第27条の5]]（刑の一部の執行猶予の裁量的取消し） *[[刑法第27条の6|第27条の6]]（刑の一部の執行猶予の取消しの場合における他の刑の執行猶予の取消し） *[[刑法第27条の7|第27条の7]]（刑の一部の執行猶予の猶予期間経過の効果） ==== <span id="1-5">第5章</span> 仮釈放（第28条 - 第30条） ==== *[[刑法第28条|第28条]]（仮釈放） *[[刑法第29条|第29条]]（仮釈放の取消し） *[[刑法第30条|第30条]]（仮出場） ====<span id="1-6">第6章</span> 刑の時効及び刑の消滅（第31条～第34条の2） ==== *[[刑法第31条|第31条]]（刑の時効） *[[刑法第32条|第32条]]（時効の期間） *[[刑法第33条|第33条]]（時効の停止） *[[刑法第34条|第34条]]（時効の中断） *[[刑法第34条の2|第34条の2]]（刑の消滅） ==== <span id="1-7">第7章</span> 犯罪の不成立及び刑の減免（第35条 - 第42条） ==== *[[刑法第35条|第35条]]（正当行為） *[[刑法第36条|第36条]]（正当防衛） *[[刑法第37条|第37条]]（緊急避難） *[[刑法第38条|第38条]]（故意） *[[刑法第39条|第39条]]（心神喪失及び心神耗弱） *第40条 削除（聾者・唖者） *[[刑法第41条|第41条]]（責任年齢） *[[刑法第42条|第42条]]（自首等） ====<span id="1-8">第8章</span> 未遂罪（第43条・第44条） ==== *[[刑法第43条|第43条]]（未遂減免） *[[刑法第44条|第44条]]（未遂罪） ==== <span id="1-9">第9章</span> 併合罪（第45条 - 第55条） ==== *[[刑法第45条|第45条]]（併合罪） *[[刑法第46条|第46条]]（併科の制限） *[[刑法第47条|第47条]]（有期拘禁刑の加重） *[[刑法第48条|第48条]]（罰金の併科等） *[[刑法第49条|第49条]]（没収の付加） *[[刑法第50条|第50条]]（余罪の処理） *[[刑法第51条|第51条]]（併合罪に係る二個以上の刑の執行） *[[刑法第52条|第52条]]（一部に大赦があった場合の措置） *[[刑法第53条|第53条]]（拘留及び科料の併科） *[[刑法第54条|第54条]]（一個の行為が二個以上の罪名に触れる場合等の処理） *[[刑法第55条|第55条]] 削除 - [[連続犯]]についての規定が存在したが、1947年（昭和22年）に削除。 ==== <span id="1-10">第10章</span> 累犯（第56条 - 第59条） ==== *[[刑法第56条|第56条]]（再犯） *[[刑法第57条|第57条]]（再犯加重） *第58条 削除 *[[刑法第59条|第59条]]（三犯以上の累犯） ==== <span id="1-11">第11章</span> 共犯（第60条 - 第65条） ==== *[[刑法第60条|第60条]]（共同正犯） *[[刑法第61条|第61条]]（教唆） *[[刑法第62条|第62条]]（幇助） *[[刑法第63条|第63条]]（従犯減軽） *[[刑法第64条|第64条]]（教唆及び幇助の処罰の制限） *[[刑法第65条|第65条]]（身分犯の共犯） ====<span id="1-12">第12章</span> 酌量減軽（第66条・第67条） ==== *[[刑法第66条|第66条]]（酌量減軽） *[[刑法第67条|第67条]]（法律上の加減と酌量減軽） ==== <span id="1-13">第13章</span> 加重減軽の方法（第68条 - 第72条） ==== *[[刑法第68条|第68条]]（法律上の減軽の方法） *[[刑法第69条|第69条]]（法律上の減軽と刑の選択） *[[刑法第70条|第70条]]（端数の切捨て） *[[刑法第71条|第71条]]（酌量減軽の方法） *[[刑法第72条|第72条]]（加重減軽の順序） ===<span id="2">第2編</span> 罪=== ====<span id="2-1">第1章</span> 削除==== [[w:不敬罪|不敬罪]]規定 ==== <span id="2-2">第2章</span>内乱に関する罪（第77条 - 第80条） ==== {{wikipedia|内乱罪}} :[[刑法第77条|第77条]]（内乱） :[[刑法第78条|第78条]]（予備及び陰謀） :[[刑法第79条|第79条]]（内乱等幇助） :[[刑法第80条|第80条]]（自首による刑の免除） ==== <span id="2-3">第3章</span>外患に関する罪（第81条 - 第89条） ==== {{wikipedia|外患罪}} :[[刑法第81条|第81条]]（外患誘致） :[[刑法第82条|第82条]]（外患援助） :第83条 削除（通諜利敵の為の破壊行為） :第84条 削除（通諜利敵の為の物品供与） :第85条 削除（スパイ活動） :第86条 削除（前5条以外の全ての通諜利敵行為） :[[刑法第87条|第87条]]（未遂罪） :[[刑法第88条|第88条]]（予備及び陰謀） :第89条 削除（戦時同盟国に対する行為） ==== <span id="2-4">第4章</span>国交に関する罪（第90条 - 第94条） ==== {{wikipedia|国交に関する罪}} :第90条 削除（外国の元首に対する行為） :第91条 削除（外国の使節に対する行為） :[[刑法第92条|第92条]]（外国国章損壊等） :[[刑法第93条|第93条]]（私戦予備及び陰謀） :[[刑法第94条|第94条]]（中立命令違反） ==== <span id="2-5">第5章</span>公務の執行を妨害する罪（第95条 - 第96条の6） ==== {{wikipedia|公務の執行を妨害する罪}} :[[刑法第95条|第95条]]（公務執行妨害及び職務強要） :[[刑法第95条の2|第95条の2]]（電子計算機損壊等公務執行妨害） 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:[[刑法第114条|第114条]]（消火妨害） :[[刑法第115条|第115条]]（差押え等に係る自己の物に関する特例） :[[刑法第116条|第116条]]（失火） :[[刑法第117条|第117条]]（激発物破裂） :[[刑法第117条の2|第117条の2]]（業務上失火等） :[[刑法第118条|第118条]]（ガス漏出等及び同致死傷） ==== <span id="2-10">第10章</span>出水及び水利に関する罪（第119条 - 第123条） ==== {{wikipedia|出水及び水利に関する罪}} *[[刑法第119条|第119条]]（現住建造物等浸害） *[[刑法第120条|第120条]]（非現住建造物等浸害） *[[刑法第121条|第121条]]（水防妨害） *[[刑法第122条|第122条]]（過失建造物等浸害） *[[刑法第123条|第123条]]（水利妨害及び出水危険） ==== <span id="2-11">第11章</span>往来を妨害する罪（第124条 - 第129条） ==== {{wikipedia|往来妨害罪}} *[[刑法第124条|第124条]]（往来妨害及び同致死傷） *[[刑法第125条|第125条]]（往来危険） *[[刑法第126条|第126条]]（汽車転覆等及び同致死） *[[刑法第127条|第127条]]（往来危険による汽車転覆等） *[[刑法第128条|第128条]]（未遂罪） *[[刑法第129条|第129条]]（過失往来危険） ==== <span id="2-12">第12章</span>住居を侵す罪（第130条 - 第132条） ==== {{wikipedia|住居侵入罪}} :[[刑法第130条|第130条]]（住居侵入等） :第131条 削除（皇居等侵入） :[[刑法第132条|第132条]]（未遂罪） ==== <span id="2-13">第13章</span>秘密を侵す罪（第133条 - 第135条） ==== {{wikipedia|秘密を侵す罪}} :[[刑法第133条|第133条]]（信書開封） :[[刑法第134条|第134条]]（秘密漏示） :[[刑法第135条|第135条]]（親告罪） ==== <span id="2-14">第14章</span>あへん煙に関する罪（第136条 - 第141条） ==== {{wikipedia|あへん煙に関する罪}} *[[刑法第136条|第136条]]（あへん煙輸入等） *[[刑法第137条|第137条]]（あへん煙吸食器具輸入等） *[[刑法第138条|第138条]]（税関職員によるあへん煙輸入等） *[[刑法第139条|第139条]]（あへん煙吸食及び場所提供） *[[刑法第140条|第140条]]（あへん煙等所持） *[[刑法第141条|第141条]]（未遂罪） ==== <span id="2-15">第15章</span>飲料水に関する罪（第142条 - 第147条） ==== {{wikipedia|飲料水に関する罪}} *[[刑法第142条|第142条]]（浄水汚染） *[[刑法第143条|第143条]]（水道汚染） *[[刑法第144条|第144条]]（浄水毒物等混入） *[[刑法第145条|第145条]]（浄水汚染等致死傷） *[[刑法第146条|第146条]]（水道毒物等混入及び同致死） *[[刑法第147条|第147条]]（水道損壊及び閉塞） ==== <span id="2-16">第16章</span>通貨偽造の罪（第148条 - 第153条） ==== {{wikipedia|通貨偽造罪}} :[[刑法第148条|第148条]]（通貨偽造及び行使等） :[[刑法第149条|第149条]]（外国通貨偽造及び行使等） :[[刑法第150条|第150条]]（偽造通貨等収得） :[[刑法第151条|第151条]]（未遂罪） :[[刑法第152条|第152条]]（収得後知情行使等） :[[刑法第153条|第153条]]（通貨偽造等準備） ==== <span id="2-17">第17章</span>文書偽造の罪（第154条 - 第161条の2） ==== {{wikipedia|文書偽造罪}} :[[刑法第154条|第154条]]（詔書偽造等） :[[刑法第155条|第155条]]（公文書偽造等） :[[刑法第156条|第156条]]（虚偽公文書作成等） :[[刑法第157条|第157条]]（公正証書原本不実記載等） :[[刑法第158条|第158条]]（偽造公文書行使等） :[[刑法第159条|第159条]]（私文書偽造等） :[[刑法第160条|第160条]]（虚偽診断書等作成） :[[刑法第161条|第161条]]（偽造私文書等行使） :[[刑法第161条の2|第161条の2]]（電磁的記録不正作出及び供用） ==== <span id="2-18">第18章</span>有価証券偽造の罪（第162条・第163条） ==== {{wikipedia|有価証券偽造罪}} :[[刑法第162条|第162条]]（有価証券偽造等） :[[刑法第163条|第163条]]（偽造有価証券行使等） ==== <span id="2-18-2">第18章の2</span> 支払用カード電磁的記録に関する罪（第163条の2 - 第163条の5） ==== {{wikipedia|支払用カード電磁的記録に関する罪}} :[[刑法第163条の2|第163条の2]]（支払用カード電磁的記録不正作出等） :[[刑法第163条の3|第163条の3]]（不正電磁的記録カード所持） :[[刑法第163条の4|第163条の4]]（支払用カード電磁的記録不正作出準備） :[[刑法第163条の5|第163条の5]]（未遂罪） ==== <span id="2-19">第19章</span>印章偽造の罪（第164条 - 第168条） ==== {{wikipedia|印章偽造の罪}} :[[刑法第164条|第164条]]（御璽偽造及び不正使用等） :[[刑法第165条|第165条]]（公印偽造及び不正使用等） :[[刑法第166条|第166条]]（公記号偽造及び不正使用等） :[[刑法第167条|第167条]]（私印偽造及び不正使用等） :[[刑法第168条|第168条]]（未遂罪） ==== <span id="2-19の2">第19章の2</span>不正指令電磁的記録に関する罪（第168条の2・第168条の3） ==== {{wikipedia|不正指令電磁的記録に関する罪}} :[[刑法第168条の2|第168条の2]]（不正指令電磁的記録作成等） :[[刑法第168条の3|第168条の3]]（不正指令電磁的記録取得等） ==== <span id="2-20">第20章</span>偽証の罪（第169条 - 第171条） ==== {{wikipedia|偽証の罪}} :[[刑法第169条|第169条]]（偽証） :[[刑法第170条|第170条]]（自白による刑の減免） :[[刑法第171条|第171条]]（虚偽鑑定等） ====<span id="2-21">第21章</span>虚偽告訴の罪（第172条・第173条）==== {{wikipedia|虚偽告訴罪}} :[[刑法第172条|第172条]]（虚偽告訴等） :[[刑法第173条|第173条]]（自白による刑の減免） ==== <span id="2-22">第22章</span>わいせつ、不同意性交等及び重婚の罪（第174条 - 第184条） ==== {{wikipedia|わいせつ、強制性交等及び重婚の罪}} :[[刑法第174条|第174条]]（公然わいせつ） :[[刑法第175条|第175条]]（わいせつ物頒布等） :[[刑法第176条|第176条]]（不同意わいせつ） :[[刑法第177条|第177条]]（不同意性交等） :[[刑法第178条|第178条]] 削除（準強制わいせつ及び準強制性交等） :第178条の2 削除（集団強姦等） :[[刑法第179条|第179条]]（監護者わいせつ及び監護者性交等） :[[刑法第180条|第180条]]（未遂罪） :[[刑法第181条|第181条]]（不同意わいせつ等致死傷） :[[刑法第182条|第182条]]（16歳未満の者に対する面会要求等） :[[刑法第183条|第183条]]（淫行勧誘） :[[刑法第184条|第184条]]（重婚） ==== <span id="2-23">第23章</span>賭博及び富くじに関する罪（第185条 - 第187条） ==== {{wikipedia|賭博及び富くじに関する罪}} :[[刑法第185条|第185条]](賭博) :[[刑法第186条|第186条]](常習賭博及び賭博場開張等図利) :[[刑法第187条|第187条]](富くじ発売等) ==== <span id="2-24">第24章</span>礼拝所及び墳墓に関する罪（第188条 - 第192条） ==== {{wikipedia|礼拝所及び墳墓に関する罪}} :[[刑法第188条|第188条]]（礼拝所不敬及び説教等妨害） 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<span id="2-28">第28章</span>過失傷害の罪（第209条 - 第211条） ==== {{wikipedia|過失傷害罪}} :[[刑法第209条|第209条]]（過失傷害） :[[刑法第210条|第210条]]（過失致死） :[[刑法第211条|第211条]]（業務上過失致死傷等） ==== <span id="2-29">第29章</span>堕胎の罪（第212条 - 第216条） ==== {{wikipedia|堕胎罪}} :[[刑法第212条|第212条]]（堕胎） :[[刑法第213条|第213条]]（同意堕胎及び同致死傷） :[[刑法第214条|第214条]]（業務上堕胎及び同致死傷） :[[刑法第215条|第215条]]（不同意堕胎） :[[刑法第216条|第216条]]（不同意堕胎致死傷） ==== <span id="2-30">第30章</span>遺棄の罪（第217条 - 第219条） ==== {{wikipedia|遺棄罪}} :[[刑法第217条|第217条]]（遺棄） :[[刑法第218条|第218条]]（保護責任者遺棄等） :[[刑法第219条|第219条]]（遺棄等致死傷） ====<span id="2-31">第31章</span>逮捕及び監禁の罪（第220条・第221条）==== {{wikipedia|逮捕・監禁罪}} :[[刑法第220条|第220条]]（逮捕及び監禁） :[[刑法第221条|第221条]]（逮捕等致死傷） ==== <span id="2-32">第32章</span>脅迫の罪（第222条・第223条） ==== {{wikipedia|脅迫罪}} :[[刑法第222条|第222条]]（脅迫） :[[刑法第223条|第223条]]（強要） ==== <span id="2-33">第33章</span>略取、誘拐及び人身売買の罪（第224条 - 第229条） ==== {{wikipedia|略取・誘拐罪}} {{wikipedia|人身売買罪}} :[[刑法第224条|第224条]]（未成年者略取及び誘拐） :[[刑法第225条|第225条]]（営利目的等略取及び誘拐） :[[刑法第225条の2|第225条の2]]（身の代金目的略取等） 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=== 第1編総則 === *第1章（刑の適用） *第2章（犯罪） *第3章（未遂犯） *第4章（正犯及び共犯） *第5章（刑） *第6章（刑の適用） *第7章（累犯） *第8章（競合犯） *第9章（刑の執行猶予） *第10章（没収） *第11章（仮釈放） *第12章（保護観察） *第13章（刑の時効） *第14章（刑の消滅） *第15章（保安処分） *第16章（期間） === 第2編各則 === *第1章（内乱に関する罪） *第2章（外患に関する罪） *第3章（国交に関する罪） *第4章（職務に関する罪） *第5章（公務妨害の罪） *第6章（逃走及び蔵匿の罪） *第7章（偽証及び証拠隠滅の罪） *第8章（虚告の罪） *第9章（騒動の罪） *第10章（爆発物及び危険物に関する罪） *第11章（放火及び出火の罪） *第12章（出水及び水利に関する罪） *第13章（交通妨害罪） *第14章（船舶及び航空機の強奪及び運航支配の罪） *第15章（公衆の健康に関する罪） *第16章（通貨偽造の罪） *第17章（有価証券偽造の罪） *第18章（文書偽造の罪） *第19章（署名押印偽造の罪） *第20章（礼拝所に関する罪） *第21章（風俗を害する罪） *第22章（賭博及び富くじに関する罪） *第23章（殺人の罪） *第24章（傷害及び暴行の罪） *第25章（過失傷害の罪） *第26章（堕胎の罪） *第27章（遺棄の罪） *第28章（逮捕及び監禁の罪） *第29章（略取及び誘拐の罪） *第30章（姦淫の罪） *第31章（脅迫の罪） *第32章（住居を侵す罪） *第33章（名誉に対する罪） *第34章（信用及び業務に対する罪） *第35章（秘密を侵す罪） *第36章（堕胎の罪） *第37章（詐欺の罪） *第38章（恐喝の罪） *第39章（横領及び背任の罪） *第40章（贓物に関する罪） *第41章（損壊の罪） == 特別刑法 == *[[軽犯罪法]] *[[自動車の運転により人を死傷させる行為等の処罰に関する法律]] *[[コンメンタール盗犯等ノ防止及処分ニ関スル法律|盗犯等防止法]] *[[コンメンタール売春防止法|売春防止法]] *[[破壊活動防止法]] *[[暴力行為等処罰ニ関スル法律|暴力行為等処罰法]] ==外部リンク== *[https://laws.e-gov.go.jp/law/140AC0000000045 eGov法令検索] 刑法(明治40年4月24日法律第45号) {{stub|law}} {{DEFAULTSORT:けいほう こんめんたある}} [[Category:刑法|*けいほう こんめんたある]] [[Category:コンメンタール]] 2q9izqasbt736gw1rl6v9xmu4s73pou 0 10642 301936 172883 2026-07-31T07:04:24Z ~2026-41547-90 92136 301936 wikitext text/x-wiki このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。 2、3次元の数ベクトルの場合は、[[高等学校数学B ベクトル#ベクトルの長さ|高等学校数学B ベクトル]]を参照のこと。 == 数ベクトルのノルム・内積 == === ノルム === ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは<math>\|a\|</math>で表され、 :<math>\|\boldsymbol{a}\|=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math> と定義される。これをaの'''ノルム''' （norm）と言う。 '''例''' :<math>\boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 6\\ 2\\ 4\\ \end{pmatrix}</math> :<math>\|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt 10</math> '''演習''' :次のベクトルのノルムを求めよ #<math>\boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 8\\ 6\\ 3\\ \end{pmatrix}</math> #<math>\boldsymbol{a}= \begin{pmatrix} a\\ \sqrt a\\ 3a\\ \sqrt 3a\\ \end{pmatrix}</math> === 内積 === ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。 :<math>\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math> を'''a'''と'''b'''の''内積'' （inner product）という。 特に2,3次元空間ベクトル'''a'''と'''b'''との内積は、'''a'''と'''b'''のなす角をθとすると、 :<math>\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos \theta</math> と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。 内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。 *('''a''','''a''')=\|a\|² *'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0<ref>なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。</ref> *c('''a''','''b''')=(c'''a''','''b''')=('''a''',c'''b''') *('''a''','''b'''+'''c''')=('''a''','''b''')+('''a''','''c''') *('''a'''+'''b''','''c''')=('''a''','''c''')+('''b''','''c''') *('''a''','''b''')=('''b''','''a''') *\|'''a'''\|+\|'''b'''\|≧\|'''a'''+'''b'''\|（三角不等式） *|('''a''','''b''')|≦\|'''a'''\|\|'''b'''\|(コーシー=シュワルツの不等式、CS不等式） <references/> '''演習''' 空間ベクトル :<math>\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}</math> とのなす角が<math>\pi\over6</math>であり、かつ :<math>\boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 4\\ \end{pmatrix}</math> とのなす角が<math>\pi\over4</math>であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。 注）そのようなベクトルはただひとつではない。 ==<math>\R,\Complex</math> 上の線型空間でのノルム・内積== 次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。 ===定義=== <math>\ V</math>を<math>\R </math>または<math>\Complex</math>上の線型空間とする。（以下、<math>\boldsymbol K</math> は一般の体ではなく、実数体 <math>\R </math>または複素数体 <math>\Complex</math>を指すことにする ） <math> \boldsymbol x,\boldsymbol y \in \ V </math> に対して、<math> \boldsymbol K </math> の元をかえすような演算<math>\langle \boldsymbol x, \boldsymbol y\rangle</math>が次の'''（Ⅰ）'''～'''（Ⅳ）'''の性質をみたすとき、<math> \langle\boldsymbol x, \boldsymbol y\rangle</math>を'''内積'''という。 ;（Ⅰ）<math>\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y_1 + \boldsymbol y_2\rangle = \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y_1\rangle + \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y_2\rangle</math> :<math>\langle\boldsymbol x_1 +\boldsymbol x_2, \boldsymbol y\rangle = \langle\boldsymbol x_1,\boldsymbol y\rangle + \langle\boldsymbol x_2,\boldsymbol y\rangle </math> ;(Ⅱ）<math>\langle c\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle = c\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle ,\langle\boldsymbol x,c\boldsymbol y\rangle = \bar c\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle </math> :（<math>\bar c </math>は<math>\ c</math> の複素共役） ;（Ⅲ）<math>\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle = \overline {\langle\boldsymbol y,\boldsymbol x\rangle} </math> ;（Ⅳ）<math>\langle\boldsymbol x, \boldsymbol x\rangle \geq 0 </math> :<math>\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle = 0 </math> が成り立つのは、<math>\boldsymbol x = \boldsymbol 0 </math> のときに限る。 また、 :<math>\| \boldsymbol x \| = \sqrt{\langle\boldsymbol x ,\boldsymbol x\rangle}</math> で定義される量を'''x'''の'''ノルム'''という。 このように、内積が定義された線型空間を'''計量ベクトル空間'''（'''計量線型空間'''）という。 ===例=== １．<math> \ V = \Complex^n ,\boldsymbol x,\boldsymbol y \in \Complex^n</math> のとき、 :<math> \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle = \sum^{n}_{i=1} x_i\bar y_i </math> とすれば、これは内積になっている。特に、<math>n=1</math>則ち<math>\mathbb{C}</math>では<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>、<math>\mathbb{R}</math>では<math>\langle a, b \rangle = ab</math>となる。則ち、'''内積は実数の積の自然な拡張'''である。 ２．<math>\ V = \ M(m,n;\R) ,\ A,\ B \in \ M(m,n;\R)</math>　のとき、 :<math>\langle A,\ B\rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A \ B)</math> とすれば、これは内積になっている。（Trについては[[線型代数学/行列概論#その他|行列概論]]を参照） ３．<math>\ V = </math>{<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数} ,<math>\ f(x),\ g(x)</math> は<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数のとき、 :<math>\langle f(x),\ g(x)\rangle = \int^{1}_{0} f(x)g(x) dx </math> とすれば、これは内積になっている。 ===三角不等式・シュワルツの不等式=== ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。 ''定理''　<math>\forall \boldsymbol x,\forall \boldsymbol y \in \ V </math> に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。 （１）<math> |\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle| \leq \|\boldsymbol x\| \cdot \|\boldsymbol y\| </math>（シュワルツの不等式） 等号が成り立つのは、<math>\boldsymbol x = \alpha \boldsymbol y</math>と書ける場合のみ。 （２）<math>\| \boldsymbol x + \boldsymbol y \| \leq \| \boldsymbol x \| + \| \boldsymbol y \| </math> 等号が成り立つのは、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\boldsymbol y = \beta \boldsymbol x </math> と書ける場合のみ。 （証明）（１）<math>\ a,b \in \boldsymbol K </math>　とすると :<math> 0 \leq \|a\boldsymbol x + b\boldsymbol y\|^2 = \langle a\boldsymbol x + b\boldsymbol y,a\boldsymbol x + b\boldsymbol y\rangle = |a|^2\|\boldsymbol x\|^2 + a\bar b\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle + \bar a b\langle\boldsymbol y,\boldsymbol x\rangle + |b|^2\|\boldsymbol y\|^2 </math> ここで、<math>\ a = \|\boldsymbol y\|^2 ,\ b = -\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle</math> とおけば、 :<math>\begin{align} 0 & \leq \|\boldsymbol y \|^4 \|\boldsymbol x\|^2 - \|\boldsymbol y\|^2 \overline{\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle} \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle - \|\boldsymbol y\|^2 \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle\overline{\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle} + |\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle|^2\|\boldsymbol y\|^2 \\ &= \|\boldsymbol y\|^2\langle\|\boldsymbol x\|^2\|\boldsymbol y\|^2- |\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle|^2\rangle\\ \end{align}</math> 両辺を　<math> \|\boldsymbol y\|^2 </math> で割り、正の平方根をとれば、 <math> |\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle| \leq \|\boldsymbol x\| \cdot \|\boldsymbol y\| </math>　　となる。 等号が成り立つのは、<math> 0 = \|a\boldsymbol x + b\boldsymbol y\|^2 </math> すなわち、<math>\boldsymbol 0 = a\boldsymbol x + b\boldsymbol y </math> となるときだから、<math>\boldsymbol x = \alpha \boldsymbol y</math>　と書ける。 逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□ （２）<math>\begin{align} \|\boldsymbol x + \boldsymbol y\|^2 = \langle\boldsymbol x + \boldsymbol y,\boldsymbol x + \boldsymbol y\rangle & = \|\boldsymbol x\|^2 + \langle\boldsymbol x, \boldsymbol y\rangle + \langle\boldsymbol y,\boldsymbol x\rangle + \|\boldsymbol y\|^2\\ & \leq \|\boldsymbol x\|^2 + 2|\langle\boldsymbol x, \boldsymbol y\rangle|+ \|\boldsymbol y\|^2 \\ & \leq \|\boldsymbol x\|^2 + 2\|\boldsymbol x\| \|\boldsymbol y\| + \|\boldsymbol y\|^2 \\&= \langle\|\boldsymbol x + \boldsymbol y\|\rangle^2\\ \end{align}</math> したがって、正の平方根をとれば　<math>\| \boldsymbol x + \boldsymbol y \| \leq \| \boldsymbol x \| + \| \boldsymbol y \| </math>　となる。 1つ目の等号は <math> \langle\boldsymbol x, \boldsymbol y\rangle </math> が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　<math>\boldsymbol x = \alpha \boldsymbol y</math>　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\boldsymbol y = \beta \boldsymbol x </math> と書けるときのみ等号が成立する□ ==基底の直交化== ==== 正規直交系 ==== 計量ベクトル空間<math>V</math>のベクトル<math>\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n</math>が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、<math>\langle \boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j \rangle = \begin{cases} 1& (i=j) \\0 & (i\neq j) \end{cases}</math>であるとき、ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n</math>は'''正規直交系'''(orthonormal system)であるという。'''ONS'''とも表される。 ==== 正規直交基底 ==== 計量ベクトル空間<math>V</math>の正規直交系<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>が、<math>\left \langle x_1,x_2,\cdots,x_n \right \rangle = V</math>であるとき、<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>は、'''正規直交基底'''(orthonormal basis)または、'''完全正規直交系'''(complete orthonormal system)であるという。'''CONS'''とも表される。 ==== グラム・シュミットの直交化法 ==== [[ファイル:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|サムネイル|グラム・シュミットの直交化法のイメージ]] 計量ベクトル空間<math>V</math>の線形独立なベクトル<math>\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n</math>を使って正規直交系を作ることができる。 <math>\begin{align} \boldsymbol u_1 &= \boldsymbol v_1 \\ \boldsymbol u_2 &= \boldsymbol v_2 - \frac{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_2\rangle}{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1\rangle} \boldsymbol u_1 \\ \boldsymbol u_3 &= \boldsymbol v_3 - \frac{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_3\rangle}{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1\rangle}\boldsymbol u_1 - \frac{\langle\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_3\rangle}{\langle\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2\rangle} \boldsymbol u_2 \\ &\vdots \\ \boldsymbol u_n &= \boldsymbol v_n - \frac{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_n\rangle}{\langle\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1\rangle} \boldsymbol u_1 - \frac{\langle\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_n\rangle}{\langle\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2\rangle} \boldsymbol u_2 - \dotsb - \frac{\langle\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol v_n\rangle}{\langle\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol u_{n-1}\rangle} \boldsymbol u_{n-1}\\ \end{align}</math> とすると、<math>\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots,\boldsymbol{u}_n</math>は互いに直行するベクトルとなる。 <math>\boldsymbol{e}_i = \frac{\boldsymbol{u}_i}{\|\boldsymbol{u}_i\|}</math>とすると、<math>\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n</math>は正規直交系となる。 これを'''グラム・シュミットの直交化法'''(Gram–Schmidt orthonormalization)という。 ==種々の特徴的な変換== ===随伴変換=== ===ユニタリ変換と直交変換=== ===エルミート変換と対称変換=== [[Category:線形代数学|けいりようへくとるくうかん]] 4c3k6xwbtv5767urrkgmcktm9elpxxz 0 20847 301934 301924 2026-07-31T04:54:42Z ~2026-41547-90 92136 /* 全微分 */ 301934 wikitext text/x-wiki {{Advanced|解析学基礎/ベクトル解析}} ==序論== ===多変数関数の定義=== 独立変数が2つであるような関数<math>z=f(x, y)</math>を'''二変数関数'''という。独立変数が3つであるような関数<math>w=f(x, y, z)</math>を'''三変数関数'''という。一般に、独立変数が<math>n</math>個であるような関数<math>y=f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を'''<math>n</math>変数関数'''という。<math>n</math>が2以上であるとき、'''多変数関数'''という。 「関数」という語の定義から、多変数関数は（定義域・値域に於いて）「独立変数の組の各々に対して対応する従属変数が必ず存在する」「独立変数の組を一意に定めたら従属変数が一意に定まる」という性質を満たす。 なお、ここで独立変数の組<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>上の点と捉えると、多変数関数とはベクトルをスカラーへ写す写像（'''スカラー関数'''）<math>F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>と考えることができる。拠って、以下で扱う話題はベクトル関数（'''[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]'''）で一般化され得る。 一般に、<math>n</math>変数関数のグラフは<math>n+1</math>次元空間ではじめて描画され得る。そのため、多変数関数の議論では（簡単な場合を除き）「グラフを考えて図形的に解釈する」手法はあまり通用しない。 多変数関数の考え方は変数が幾つであっても本質的には同じなので、以下の議論は全て(最も基本的な)二変数関数で扱うものとする。 ===多変数関数の極限=== 二変数関数の極限は、定性的には一変数関数と同様にして以下のように定義される。 :<math>z=f(x, y)</math>に於いて<math>(x, y)</math>を実定数の組<math>(a, b)</math>に<math>(a, b)</math>とは異なる値を取りながら限りなく近づけたとき、<math>z</math>が一定値<math>L</math>に近づくならば「<math>(x, y)\to(a, b)</math>のとき<math>z</math>は<math>L</math>に'''収束'''（'''収斂'''）する」といい、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=L</math>のように書く。 収束する値を'''極限値'''、収束しない場合を'''発散'''というのも同様である。 なお、ここで<math>(x, y), (a, b)</math>を<math>xy</math>平面上の点と見れば位置ベクトルを用いて :<math>\lim_{\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right)}</math> のように書くことができる。また、 :<math>\lim_{\scriptstyle x \to a \atop \scriptstyle y \to b}</math> のような書き方も許容される。 但し、 :<math>\lim_{x \to a, y\to b}</math> のような書き方は'''反復極限'''（各変数を独立に飛ばすような極限） :<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b}</math> と受け止められるので推奨しない（この場合は<math>x</math>と<math>y</math>を同時に飛ばしているので）。 同一値に飛ばす場合は :<math>\lim_{x, y\to c}</math> のような書き方も見られる。 ここからは、二変数関数の極限を定量的に考えていく。 一変数関数の場合を復習しておくと、「関数<math>y=f(x)</math>が<math>x \to a</math>で有限値<math>L</math>に収束する」とは<math>x \neq a</math>とすると<math>\varepsilon-\delta</math>論法を用いて :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall x \in \mathbb{R} \left( |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon \right)</math> で定義された。 二変数関数でも同様な定義にしたいので、<math>||</math>を適切に取り換える必要がある。高校数学を思い返してみると、<math>||</math>の意味は「実数の絶対値」から「ベクトル（複素数）の大きさ」に拡張されていた。つまり、先程と同様に変数の組<math>(x, y)</math>を<math>xy</math>平面上の点を表す位置ベクトルと見ればよい（より一般にはベクトル空間のノルム<math>\|\|</math>を用いる）。 つまり、<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\forall \varepsilon>0,\, \exist \delta>0,\, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies |f(x, y)-L| < \varepsilon \right)</math> とすればよい。 一変数の場合、<math>x \to a</math>の近づけ方は<math>x \to a^+</math>（右側極限）と<math>x \to a^-</math>（左側極限）の二通りしかなかった。しかし、二変数の場合は<math>xy</math>平面上のありとあらゆる方向からあらゆる経路で近づくことが考えられる。 つまり、二変数関数の収束は「2つの片側極限が一致」すれば良かった一変数の場合に比べ遙かに厳しい条件であることがわかる。 先程「反復極限のように表してはいけない」と述べたのは、反復極限では「どのような近づけ方であっても一意に収束する」ことが示せないからである。 それでは、実際に二変数関数の極限を求めるにはどうしたらよいであろうか？ <math>\varepsilon - \delta</math>法による上述の定義では、「全ての近づき方に就て一意に収束する」ことを言うしかないが、近づけ方は無数に考えられるので実務的に不可能である。ここで、「直線的に近づく」場合に限っては無数にある近づき方を纏めて判定できる方法がある。 それは、'''二次元極座標'''（'''円座標'''）を利用する方法である。 高校数学の復習だが、極座標とは極を原点に取ったときに変数変換<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>で定まる座標系だった。ここで<math>r = \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\|, \theta = \arctan \frac{y}{x}</math>である。 例えば<math>(x, y)\to(0, 0)</math>の極限を考えるとき、<math>g(r, \theta)=f(x, y)</math>と変換すると上記の関係式から<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y)=\lim_{r\to0}g(r, \theta)</math>と表すことができる。ここで<math>g(r, \theta)</math>を計算したときに<math>r</math>が消えた場合、<math>g</math>は<math>\theta</math>にのみ依存するので<math>r\to0</math>の極限は存在しないと考えることに注意。 二変数関数でも極限に関する線型性などの性質はそのまま成り立つ。 *例題 **極限<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2}</math>を求めよ。 *解答 **<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2y}{x^3+y^2} = \lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3\cos^3\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0}\frac{r\sin\theta\cos^3\theta}{r\cos^3\theta+\sin^2\theta}=\frac{0}{\sin^2\theta}=0</math> ***なお、<math>(x, y)\neq(0, 0)</math>より<math>\sin\theta=0</math>や<math>\cos\theta=0</math>、つまり<math>\theta=\frac{n}{2}\pi(n\in\mathbb{Z})</math>の場合は除外できるので<math>\frac{0}{\sin^2\theta}</math>は不定形ではない。 ==偏微分== ===連続性=== 二変数関数の連続性は、一変数関数と同様である。 :*二変数関数<math>z=f(x, y)</math>が「<math>(a, b)</math>で連続」とは、<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math>が成り立つこと。 :*<math>(a, b)</math>で連続な<math>f(x, y), g(x, y)</math>に就て、<math>g(a, b)\neq0, c=\mathrm{const}.</math>とすると :::<math>cf(a, b), f(a, b)\pm g(a, b), f(a, b)g(a, b), \frac{f(a, b)}{g(a, b)}</math> ::は全て<math>(a, b)</math>で連続。 :*任意の<math>(a, b)\in\mathbb{R}^2</math>で連続ならば「<math>\mathbb{R}^2</math>で連続」である。 ===偏微分の定義=== <math>z=f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>近傍での変化の様子を調べるとき、極限の節で述べたように<math>(x, y)</math>の動かし方・方向は無数にあるのでそれらを全て扱う厳しい。そこで、代表的に<math>x, y</math>軸のそれぞれの方向で動かしたときの値の変化を観察し、それを併せることで変化の様子がある程度理解される。 ここで<math>(x, y)</math>を<math>x</math>軸で動かすときは<math>y</math>を<math>b</math>に、<math>y</math>軸で動かすときには<math>x</math>を<math>a</math>に固定していることに注意すると、二変数関数<math>f(x, y)</math>は実質的に一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>と見做せる。 一変数関数のある点に於ける変化の度合いはその点での微分係数で表された。則ち、<math>x/y</math>軸方向で動かした変化の様子は<math>f(x, b)/f(a, y)</math>の<math>x=a/y=b</math>での微分係数を見ればよい。 これらの微分係数を<math>f(x, y)</math>の<math>(a, b)</math>に於ける<math>x/y</math>に関する'''偏微分係数'''といい、<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>のように表す。 ここで、記号「<math>\partial</math>」は「デル」「パーシャル」「ラウンドディー」「ラウンディー」「ラウンド」などと読まれる。 一変数関数での微分係数の定義式より、偏微分係数の定義式は以下のようになる。 :<math>f_{\partial x}(a, b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(a, b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a, b+k)-f(a, b)}{k}</math> 偏微分係数が存在するとき、<math>f(x, y)</math>はその点で'''偏微分可能'''という。 変数<math>(x,y)</math>が<math>xy</math>平面上の領域<math>D</math>を動く時を考える。 このとき、各点<math>(x, y)\in D</math>に対し、その点での偏微分係数<math>f_{\partial x}(x, y)/f_{\partial y}(x, y)</math>を与える関数を<math>f(x, y)</math>の<math>x/y</math>に関する'''偏導関数'''という。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''という。これに対し、一変数関数の微分を'''常微分'''という。 形式的には偏微分係数の定点を変数に置き換えればいいので、 :<math>f_{\partial x}(x, y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}</math> :<math>f_{\partial y}(x, y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}</math> のように定義される。 常微分に様々な記法があったように、偏微分にも様々な記法が存在する。 *<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数の場合 ::<math>f_{\partial x}(x, y),~ f_x(x, y),~ z_{\partial x},~ z_x,~ \frac{{\partial z}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}},~ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x, y)~, \partial{x}f(x, y),~ u_x\big|_{x, y}</math> なお、偏微分係数は<math>(x, y)</math>を<math>(a, b)</math>に取り替えた記法の他、代入記号「<math>|</math>」を用いて :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{x=a, y=b},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} },~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{(x, y)=(a, b)},~ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array} \right)}</math> などと書く記法も存在する。 偏導関数の計算は偏微分係数に立ち戻ると「偏微分変数以外の独立変数を固定してできる一変数関数」に関する常微分なので、'''偏微分したい変数以外は定数と見做して常微分'''すればよい。 例えば、<math>f(x, y)=x^5y^3</math>の場合、 :<math>x</math>に関する偏導関数は<math>y</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^3 = 5x^4y^3</math>と求まる。 :同様に、<math>y</math>に関する偏導関数は<math>x</math>を定数と見ることによって<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = x^5\left(\frac{d}{dy}y^3\right) = 3x^5y^2</math>と求まる。 ===全微分=== 前節で二変数関数の変化の様子を測る道具として偏微分を定義したが、偏微分のみでは<math>f(x, y)</math>の変化の様子が全て分かったとは到底言えない。 例えば、区分的に定義された二変数関数<math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} ({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle \neq \vec{0}}) \\ 0 \qquad({\scriptscriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)}{\scriptstyle = \vec{0}}) \end{cases}</math>を考える。 この関数は<math>x, y</math>軸（則ち直線<math>y=0, x=0</math>）上では値が常に0な定数関数である。よって軸上の全ての点で微分可能なので、原点に於いて<math>x, y</math>とも偏微分可能である。 しかし、区分的に定義された上の式の<math>x, y\to0</math>の極限をとってみると、 :<math>\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2}=\sin\theta\cos\theta</math> より原点に近づけた極限は存在しない。従ってこの<math>f(x, y)</math>は原点を不連続点に持つ。 このように、常微分で成り立った「ある点で微分可能ならばその点で連続」という定理は偏微分では成り立たない。 そこで、この定理を多変数関数でも成り立たせるような新たな微分を考える。 一変数関数の常微分係数の定義式は :<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> であったが、これは<math>h\to0</math>で<math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)</math>ということなので、'''[[高等学校数学III/微分法#ランダウの記号|ランダウの記号]]'''（'''オーダー記法'''）を用いて :<math>f(a+h)-f(a)=hf'(a)+O(h)\quad (h\to0)</math> という式が出来上がる。 これを二変数に拡張するとき、<math>hf'(a)</math>の項を「極限で飛ばす変数と導関数の内積^※」と考えることによって、以下のような表示を得る。 :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> これをそのまま'''（完）全微分'''の定義式とする。 ※複素数の内積<math>\langle z, w \rangle = z\bar{w}</math>より、実数同士の積<math>ab</math>は内積<math>\langle a, b \rangle</math>と考えることができる。詳しくは[[関数解析学]]を参照。 この式が成り立つとき（諄いが二変数関数の極限値はあらゆる方向あらゆる経路で近づいても一致する必要がある）、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''（完）全微分可能'''という。 また、<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b) & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} (a, b) \end{pmatrix}</math>を'''（完）全微分係数'''という。 *全微分係数が偏微分係数の組で表されることの証明 :全微分係数を<math>(\alpha, \beta)</math>とおく。 :<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能であるとき、<math>k=0</math>と固定して<math>h\to0</math>の極限をとると、 :全微分の定義式より<math>f(a+h, b)-f(a, b)=\alpha h + O(|h|) \quad(h\to0)</math> :<math>\therefore \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}=\lim_{h\to0} \left\{ \alpha + \frac{O(|h|)}{h} \right\} = \alpha + 0 = \alpha</math> :最左辺は<math>f</math>の<math>x</math>に関する偏微分係数に等しいので<math>\alpha = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)</math> :<math>y</math>に就ても同様。// ここで証明したことから、以下が成り立つ。 {{定理|}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で全微分可能<math>\implies</math><math>(a, b)</math>で<math>x, y</math>のどちらに関しても偏微分可能 {{定理終わり}} ここから、全微分可能は偏微分可能より強い条件であると判る。 更に、先ほど全微分を「微分可能なら連続」という定理を成り立たせる微分として導入したので、この定理が成り立つ筈である。 *証明 :<math>(x, y)</math>を全微分可能な点<math>(a, b)</math>の充分近傍にとる。 :<math>x-a=h, y-b=k</math>とすると<math>x=a+h, y=b+k</math>であり、<math>(x, y)\to(a, b)\iff h, k\to0</math>なので :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)} \{f(x, y)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \{f(a+h, b+k)-f(a, b)\}</math> :<math>=\lim_{(h, k)\to(0, 0)} \left\{\alpha h+ \beta k + O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\right\}</math> :<math>=\alpha\cdot0+\beta\cdot0</math> :<math>=0</math> :よって極限の分配法則より :<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)-\lim_{(x, y)\to(a, b)}f(a, b)=0</math> :<math>\therefore \lim_{(x, y)\to(a, b)}f(x, y)=f(a, b)</math> :従って、<math>f(x, y)</math>は全微分可能な点で連続である。 なお、全微分と常微分は完全に対応するため、両者を区別せずにただ「微分」と呼ぶ文献も存在する。実際、関数が一変数か多変数かは文脈で容易に判断されるので、両者を区別しなくとも実務的な支障はない。 各点<math>(x, y)</math>に対して全微分を与える関数は微分係数→導関数と同じ議論によって :<math>f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \quad \left(\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} \to \vec{0}\right)</math> と表されることが判る。 これは :<math>\lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0} \{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)\}= \lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0}\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Delta x + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Delta y\right)</math> と書き直せる<math>\left(\because \lim_{\scriptstyle \Delta x \to 0 \atop \scriptstyle \Delta y \to 0}O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right)=0\right)</math>。 左辺を<math>df</math>と書くことにすると、変分<math>\Delta x, \Delta y</math>を微小量<math>dx, dy</math>に置き換えて :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy</math> これが全微分の一般表示である。これを俗に'''全導関数'''と呼ぶ場合がある。<!-- こう呼ぶと「完全微分方程式を解く=全導関数から元の関数を復元する」という用語対応が成り立って「常微分方程式を解く=(常)導関数から元の関数を復元する」・「偏微分方程式を解く=偏導関数から元の関数を復元する」と同じ関係を成せる。 --> 一変数関数に於いて、常微分可能性は「点<math>(a, f(a))</math>を通る接線の存在性」に対応した。 それでは、全微分可能性の幾何的意味は何であろうか？ 一変数の話に立ち戻ると、関数の接線とは「接点の充分近傍に於ける関数の一次近似」であった。つまり、次元を1つ上げると曲面<math>z=f(x, y)</math>は「点<math>(a, b, f(a, b))</math>を通る且つ方程式が<math>x, y, z</math>の一次方程式である」図形で一次近似される筈である。 高校数学を思い出すと、<math>xyz</math>空間で一次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>は平面の方程式であった。更に、ベクトル<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>はこの平面に垂直な法線ベクトルであった。 <math>f(x, y)</math>が全微分可能ならば<math>x, y</math>に関して偏微分可能なので、一変数関数<math>f(x, b), f(a, y)</math>はそれぞれ<math>x, y</math>に関して常微分可能であり、曲面<math>z=f(x, y)</math>を平面<math>y=b/x=a</math>で切った切り口の曲線の接線の傾きは<math>f_{\partial x}(a, b)/f_{\partial y}(a, b)</math>となる。よってこれらの接線に対してそれぞれ方向ベクトル<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>をとれる。 求める平面はこれらの接線を共に含む筈なので、<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix}</math>の両方に直交するようなベクトルが求める平面の法線ベクトルである。 よってこれらの外積を計算して、 :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_{\partial x}(a, b) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_{\partial y}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot f_{\partial y}(a, b) - f_{\partial x}(a, b) \cdot 1 \\ f_{\partial x}(a, b) \cdot 0 - 1 \cdot f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -f_{\partial x}(a, b) \\ -f_{\partial y}(a, b) \\ 1 \end{pmatrix}</math> 求める平面は<math>(a, b, f(a, b))</math>を通るので、方程式の一般形に代入して :<math>-f_{\partial x}(a, b)(x-a) - f_{\partial y}(a, b)(y-b) + 1 (z-f(a, b))=0</math> :<math>\therefore z-f(a, b)=f_{\partial x}(a, b)(x-a) + f_{\partial y}(a, b)(y-b)</math> この平面を、曲線<math>z=f(x, y)</math>の点<math>(a, b, f(a, b))</math>に於ける'''接平面'''という。 則ち、全微分可能性は接平面の存在性に対応することが判った。 {{演習問題|二変数関数<math>f(x, y)=x^3+y^3</math>が(1)任意点で全微分可能であることを示し、(2)点<math>(1, 1, 2)</math>に於ける接平面の方程式を<math>z=ax+by+c</math>の形で求めよ。|(1) 全微分可能性を示すには、<math>\lim_{h, k\to0} \left\{ f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}=0</math>・・・(*)を示せばよい。<br><math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^3, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より、<br><math>f(a+h, b+k)-f(a, b)-\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math><br><math>=(a+h)^3+(b+k)^3-(a^3+b^3)-(3a^2h+3b^2k)</math><br><math>=3ah^2+h^3+3bk^2+k^3</math><br><math>=O\left(\left\|\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}\right\|\right)</math><br>ここで<math>O\left(g(x, y)\right)</math>とは<math>\lim_{(x, y)\to(a, b)}\frac{f(x, y)}{g(x, y)}=0</math>を満たす<math>f(x, y)</math>のことだったので、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|</math>が0に収束する点<math>(a, b)</math>が存在することを示せばよい。<br>変数変換<math>\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>により、<br><math>\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{3ar^2\cos^2\theta+r^3\cos^3\theta+3br^2\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta}{r}\right|</math><br><math>=|3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)|</math><br><math>\leqq3r|a\cos^2\theta+b\sin^2\theta|+r^2|\cos^3\theta+\sin^3\theta|</math>(<math>\because</math>三角不等式)<br><math>\leqq3r(a+b)+2r^2 (\because |\sin\theta|, |\cos\theta|\leqq1)</math><br>最後の式で<math>r\to0</math>とした極限は0に収束し、不等式<math>0 \leqq |3r(a\cos^2\theta+b\sin^2\theta)+r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)| \leqq 3r(a+b)+2r^2</math>と挟み撃ちの原理より<br><math>\lim_{h, k\to0}\left|\frac{O\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=0</math>なので、(*)が示された。//<br> (2) (1)で求めた偏導関数から<math>f_{\partial x}(1, 1)=3, f_{\partial y}(1, 1)=3</math>なので、<br>一般形に代入して<math>z-2=3(x-1)+3(y-1) \iff z=3x+3y-4</math>// }} ===高階偏導関数=== <math>z=f(x, y)</math>の偏導関数<math>\partial{x} f(x, y), \partial{y}f(x, y)</math>は一般に<math>x, y</math>の二変数関数である。そのため、これらが偏微分可能であればさらに偏微分することが可能である。 今、<math>f(x, y)</math>の<math>x, y</math>について偏導関数が存在し、それぞれ偏微分可能であればそれぞれ更に<math>x, y</math>についての導関数が存在する。そのため、積の法則より二回偏微分した偏導関数（'''二階偏導関数'''）は4種類存在することになる。 <math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x^2}(x, y),~ f_{xx}(x, y),~ z_{\partial x^2},~ z_{xx},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(x, y),~ \partial{x^2} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{x} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y\partial x}(x, y),~ f_{xy}(x, y),~ z_{xy},~ z_{\partial y\partial x},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(x, y),~ \partial{y}\partial{x} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial x\partial y}(x, y),~ f_{yx}(x, y),~ z_{yx},~ z_{\partial x\partial y},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(x, y),~ \partial{x}\partial{y} f(x, y)</math>などと表す。<br><math>\partial{y} f(x, y)</math>の<math>y</math>に関する偏導関数を<math>f_{\partial y^2}(x, y),~ f_{yy}(x, y),~ z_{\partial y^2},~ z_{yy},~ \frac{\partial^2{z}}{\partial{y^2}},~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(x, y),~ \partial{y^2} f(x, y)</math>などと表す。 ここで、<math>\partial</math>を用いるか否かで<math>x, y</math>の順序が入れ替わっていることに注意。 また、それぞれの二階偏導関数が存在するかは一階偏導関数の偏微分可能性に依存するので、上の4種類が必ず揃う訳ではない。 先程の<math>f(x,y)=x^5y^3</math> の場合、 *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(5x^4 y^3)=5\left(\frac{d}{dx}x^4\right)y^3=5\sdot 4 x^3 y^3=20 x^3 y^3</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(5x^4 y^3)=5x^4\left(\frac{d}{dy}y^3\right)=5x^4\sdot 3y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{x}}}(3x^5 y^2)=3\left(\frac{d}{dx}x^5\right)y^2=3\sdot 5 x^4 y^2=15 x^4 y^2</math> *<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)=\frac{\partial}{\partial{{y}}}(3x^5 y^2)=3x^5\left(\frac{d}{dy}y^2\right)=3x^5\sdot 2y=6 x^5 y</math> である。 ここで<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>が成り立っているが、これは応用上用いられるような「まとも」な関数ならば偏微分の順番が可換であることによる。 *「まとも」でない例 *::<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}</math> *:とすると、 *::<math>f(x,0)=f(0,y)=0</math>より *::<math>\partial{x} f(0,0)=\partial{y} f(0,0)=0</math> *:一方、<math>(x,y) \ne (0,0)</math>のとき、 *::<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}</math> *::<math>\therefore \partial{x} f(0,y)=-y, \ \partial{y} f(x,0)=x</math> *:従って *::<math>\partial{x}\partial{y}f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{h-0}{h}=1</math> *::<math>\partial{y}\partial{x}f(0,0)=\lim_{k \to 0}\frac{-k-0}{k}=-1</math> *:である。 「まとも」な関数が具体的にどのような関数であるかは、以下の定理により与えられる。 {{定理|(偏微分順序の可換性)}} 点<math>(a,b)</math>に於いて<math>f_{xy}(a, b), f_{yx}(a, b)</math>ともに連続ならば、 :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math> {{定理終わり}} *証明の導入 まず、<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{xy}(a,b)= \frac{\partial{f_x}}{\partial{{y}}} =\lim_{k\to 0} \frac {f_x(a,b+k) - f_x(a,b) }{k} = \lim_{k\to 0} \frac {\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k} </math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h} - \frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h} } {k}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a,b+k) \} - \{ f(a+h,b)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> であり、同様に<math>f_{xy}(a, b)</math>とは定義に従うと :<math>f_{yx}(a,b)= \frac{\partial{f_y}}{\partial{{x}}} =\lim_{h\to 0} \frac {f_y(a+h,b) - f_y(a,b) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac {\lim_{k\to 0} \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \lim_{k\to 0} \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h} </math> :<math>= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac {\frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k} - \frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k} } {h}= \lim_{h\to 0} \lim_{k\to 0} \frac { \{f(a+h,b+k)-f(a+h,b) \} - \{ f(a,b+k)-f(a,b) \} } {hk}</math> :<math>= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k) - f(a+h,b) -f(a,b+k) + f(a,b) } {hk}= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0} \frac { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) - f(a+h,b) + f(a,b) } {hk}</math> である。 よって、この定理は式 <math>\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}</math> における <math>\lim_{k\to 0}</math> と<math>\lim_{h\to 0}</math> （反復極限）の可換を証明している。 *証明 やや天下り的だが、 :<math>F=f(a+h, b+k)-f(a, b+k)-f(a+h, b)+f(a, b)</math> と置くと :<math>F=\{f(a+h, b+k)-f(a+h, b)\}-\{f(a, b+k)-f(a, b)\}=\{ f(a+h, b+k)-f(a, b+k) \} - \{ f(a+h, b)-f(a, b) \} </math> である。 技巧的だが、この式を参考に :<math>\phi(x):=f(x, b+k)-f(x, b)</math> :<math>\psi(y):=f(a+h, y)-f(a, y)</math> とすると、 :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a) = \psi(b+k)-\psi(b)</math> という風に<math>F</math>を1変数関数に置き換えられる。 ここで、1変数関数に於けるラグランジュの平均値の定理を適用すると、 :<math>F=\phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(c)</math> を満たす<math>c \in (a, h)</math>が存在するので、 :<math>\theta_1 \in (0, 1)</math> として :<math>c=a+\theta_1h</math> と書いておく。 ここで偏微分係数の定義に立ち戻ると、<math>\frac{d\phi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b+k)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x, b)</math>である。 なので :<math>F = \phi(a+h)-\phi(a)=h\phi'(a+\theta_1h) = h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}</math> また、<math>\phi'(a+\theta_1h)</math>を<math>y</math>の関数と考えることにより、偏微分係数の定義を再び用いて :<math>F=h \{ f_x(a+\theta_1h, b+k)-f_x(a+\theta_1h, b) \}=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k) \quad(\theta_2 \in (0, 1))</math> を得る。 一方、 :<math>F = \psi(b+k)-\psi(b)</math> と表した場合も、同様の式変形によって :<math>F=\psi(b+k)-\psi(b)=k\psi'(b+\theta_3k)=k\{f_y(a+h, b+\theta_3k)-f_y(a, b+\theta_3k)\}=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k) \quad(\theta_3, \theta_4 \in (0, 1))</math> よって :<math>F=hk f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=hkf_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> <math>h, k\neq0</math>より :<math>f_{xy}(a+\theta_1h, b+\theta_2k)=f_{yx}(a+\theta_4h, b+\theta_3k)</math> この式について、 <math>h, k\to 0</math>の極限をとれば、極限をとる順番に関係なく :<math>f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)</math>// <!--* 参考文献 証明の導入の参考として、 :http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日 証明中の数式の記法の参考として、 :サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、--> 二階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''三階偏導関数'''という。三階偏導関数が偏微分可能な場合、その偏導関数たちを'''四階偏導関数'''という。同様に次数を上げていくことができる。次数が2以上の場合を'''高階偏導関数'''という。 一変数の場合と異なり、次数が上がるたびにそれぞれ<math>x, y</math>について偏導関数を考えるため、<math>n</math>階偏導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複順列 <math>{}_2 \Pi_n</math>に等しい。 但し、上で証明した定理を繰り返し用いると偏微分の順序が関係なくなるので、「どの変数で何回偏微分したか」のみが重要である。具体的には、一致する偏導関数たちを全体で<math>1</math>個と数えると、(偏微分が可換な)<math>n</math>階導関数の(最大)個数は<math>2</math>個から<math>n</math>個とる重複組合せ <math>{}_2 \mathrm{H}_n</math>に等しくなる。 点<math>(a, b)</math>で二変数関数<math>f(x,y)</math>の<math>k</math>階偏導関数(<math>k=1, 2, \cdots, n</math>)が全て存在し、且つそれらが全て連続であるとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''<math>n</math>階連続微分可能'''といい、「<math>f</math>は<math>(a, b)</math>で<math>C^n</math>(級)関数である」という。また、定義域の全てで連続微分可能である場合は<math>f \in C^n</math>と書く。 <math>n\to\infty</math>でいえるときは<math>C^\infty</math>級関数という。 応用上で用いられる関数の殆どは<math>C^\infty</math>級関数である。 これを用いて先程の定理を言い換えると、 :<math>(a, b)</math>で<math>f</math>が<math>C^2</math>級<math>\implies f_{xy}(a, b)=f_{yx}(a, b)</math> である。 ===合成関数微分=== 二変数関数に対しても合成関数を考えることができるが、合成元の関数は一変数と二変数の二通り考えることができる。 先ずは、一変数関数の合成の場合を考える。 二変数関数<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}</math>となるような媒介変数<math>t</math>が存在するとする。このとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>を考えることができる。 <math>F</math>は勿論一変数関数なので、<math>t</math>で微分するには常微分可能性を考えればよい。則ち、極限 :<math>\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}</math> が有限値<math>L</math>に収束すればよい。 ここで<math>\begin{cases} \Delta x := \phi(t+h)-\phi(t) \\ \Delta y := \psi(t+h)-\psi(t) \end{cases}</math>とする。<math>\phi(t), \psi(t)</math>が常微分可能とすると<math>\phi(t), \psi(t)</math>は連続なので<math>h\to0</math>で<math>\Delta x , \Delta y\to0</math>である。よって :<math>L=\lim_{h\to0}\frac{f(\phi(t)+\Delta x, \psi(t)+\Delta y)-f(\phi(t), \psi(t))}{h}</math> 更に<math>f</math>が全微分可能とするとどの方向から<math>\Delta x, \Delta y\to0</math>としても :(分子)<math>=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\Delta y</math> よって :<math>L=\lim_{h\to0} \left\{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta x}{h}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{\Delta y}{h} + O\left(\left\|\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix}\right\|\right) \right\}</math> ここで :<math>\lim_{h\to0}\frac{\Delta x}{h}=\phi'(t), \quad \lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=\psi'(t)</math> また、 :<math>\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = \frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{h}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{h}\right)^2}</math> より :<math>\lim_{h\to\pm0}\frac{O(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{|h|} = 0\cdot\sqrt{\{\phi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}}</math> よって :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = \phi(t) \\[-6pt] y = \psi(t) \end{array} }\cdot\frac{d\psi}{dt}</math> と求まる。 {{定理|(合成関数の常微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math>の何れも常微分可能であるとき、合成関数<math>F(t)=f(\phi(t), \psi(t))</math>は常微分可能で :<math>\frac{dF}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt}</math> {{定理終わり}} ここでは代入記号を省略する略記法を用いていることに注意。右辺を見ると、一変数関数の合成関数微分と同様に'''連鎖律'''（'''チェーン・ルール'''/'''チェイン・ルール'''）が成り立っていることが判る。 二変数関数の合成の場合は、偏微分の定義に立ち戻って一変数の場合に帰着すれば容易にわかる。 {{定理|(合成関数の偏微分)}} <math>f(x, y)</math>が全微分可能で<math>x=\phi(u, v), y=\psi(u, v)</math>の何れも<math>u/v</math>で偏微分可能であるとき、合成関数<math>F(u, v)=f(\phi(u, v), \psi(u, v))</math>は<math>u/v</math>で偏微分可能で :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{u}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}</math> :<math>\frac{\partial{F}}{\partial{v}}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}</math> {{定理終わり}} *証明 合成関数の常微分の証明の計算に於いて<math>t=u, v</math>とそれぞれ置くことで直ちに成り立つ。 一変数関数の場合と同様に合成関数の二階微分も考えられるが、一変数の場合より遙かに煩雑である。 例えば、<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}</math>を考える。 :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right) + \frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>和の微分) :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)</math>(<math>\because</math>積の微分) :<math>=\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial}{\partial{u}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math> :<math>=\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\left(\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{\partial{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>(<math>\because</math>合成関数の偏微分) :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}</math>// ここで、<math>f</math>が<math>C^2</math>級であれば更に変形して :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{u^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\left(\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\right)^2+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial^2{x}}{\partial{u^2}}+2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{y}}{\partial{u^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}\left(\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\right)^2</math> 合成関数微分の計算は、[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]に役立てられている。 例えば、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0</math>（ラプラス方程式）という二階線型偏微分方程式を考える。 <math>f(x, y)</math>を極座標表示<math>F(r, \theta)</math>に直すとき、変換公式<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は<math>f</math>に二変数関数<math>\phi(r, \theta)=r\cos\theta, \psi(r, \theta)=r\sin\theta</math>を合成していると捉えることができる。 よって、 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}</math> 先程求めた合成関数の二階偏微分の式から :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}\right)^2</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}\left(\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\right)^2+\frac{\partial{F}}{\partial{r}}\frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\frac{\partial{r}}{\partial{y}}+\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}\frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta^2}}\left(\frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}\right)^2</math> ここで<math>r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\frac{y}{x}</math>より :<math>\frac{\partial{r}}{\partial{x}}=\frac{x}{r},~ \frac{\partial{r}}{\partial{y}}=\frac{y}{r},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{x}}=-\frac{y}{r^2},~ \frac{\partial{\theta}}{\partial{y}}=\frac{x}{r^2},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{x^2}}=\frac{y^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{r}}{\partial{y^2}}=\frac{x^2}{r^3},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{x^2}}=\frac{2xy}{r^4},~ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial{y^2}}=-\frac{2xy}{r^4}</math> なので :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{y^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{y^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{x^2}{r^3}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}-\frac{2xy}{r^4}\frac{\partial{F}}{\partial{\theta}}+\frac{x^2}{r^4}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}</math> 故に :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}-\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}+\frac{2xy}{r^3}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> と変形される。 ここで<math>f \in C^2</math>ならば<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r}\partial{\theta}}=\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}\partial{r}}</math>なので :<math>\frac{\partial^2{F}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{F}}{\partial{r}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{F}}{\partial{\theta}}=0</math> 更に、<math>f</math>が回転対称性（<math>\theta</math>の項を無視できる性質）を持っている場合、 :<math>\frac{d^2F}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dF}{dr}=0</math> という（元の二変数線型偏微分方程式に比べ）圧倒的に簡単な二階線型常微分方程式に帰着できる。 なお、元の偏微分方程式はベクトル解析の知識を用いると<math>\text{∆} f = 0</math>と非常に簡潔に表され、これは座標系に依らない記法なので大変便利である。 ===極値=== 一変数関数の場合と同様に、二変数関数でもテイラーの定理を考えることが可能である。 但し、先程も見たように<math>f(x, y)</math>の<math>n</math>階偏導関数の最大個数は<math>{}_2 \Pi_{n}</math>であり、その全てを式に書いたのでは非常に煩雑となって収拾がつかなくなる。 そこで、以下のような略記法を考える。 :<math>f(x, y)</math>に対し、<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}</math>を形式的に<math>\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f</math>と変形する。ここで、<math>D:=\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすれば<math>Df</math>と表せる。 この<math>D</math>は「各独立変数に関して偏微分したそれぞれの偏導関数の総和をとる」という意味の演算子として定義され得る。一般に、偏微分演算子の一次結合として定義される演算子<math>D = \sum_{i} a_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}</math>を'''一次の偏微分作用素'''という。各<math>a_i</math>のとり方で微分する方向が変わることから'''方向偏微分作用素'''ともいう。 <math>f</math>にこの<math>D</math>を複数回作用させることを考える。 :<math>D(Df)=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f\right\}</math> :<math>=\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> と、四種類の二階偏導関数が全て現れている。 ここで形式的に :<math>(D D)f=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{x}}+\frac{\partial}{\partial{y}}\right)\right\}f</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}\right)f</math> :<math>=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}</math> なので、偏微分作用素<math>D</math>と作用素の対象となる関数<math>f</math>の間に結合法則が成り立っていると見做せる。 そこで、<math>D^2:=DD</math>と定義すると、同様の議論により一般に<math>n</math>階偏導関数の総和は<math>D^nf</math>で表される。 これを用いて、以下のテイラーの定理を証明しよう。 {{定理|(二変数に於けるテイラーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^n</math>級であるとき、<math>h:=x-a, k:=y-b, D:=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i!}D^if(a, b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h, b+\theta k)</math> を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 {{定理終わり}} *証明 :<math>g(t):=f(a+ht, b+kt)</math>として<math>g(t)</math>の有限マクローリン展開より ::<math>g(t)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}g^{(i)}(0)+\frac{t^n}{n!}g^{(n)}(\theta t)</math> :を満たす<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在する。 :合成関数の偏微分より ::<math>\frac{d}{dt}g(t)=\frac{dx}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=Df</math> :なので<math>g(t)</math>を常微分することと<math>f</math>に<math>D</math>を作用させることは同値であり、非負整数<math>i</math>に対して ::<math>g^{(i)}(t)=D^if(a+ht, b+kt)</math> :よって ::<math>g^{(i)}(0)=D^if(a, b)</math> ::<math>g^{n}(\theta t)=D^nf(a+\theta t h , b+\theta t k)</math> :より ::<math>f(a+ht, b+kt)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{t^i}{i!}D^if(a, b)+\frac{t^n}{n!}D^n(a+\theta th, b+\theta tk)</math> :ここで<math>t=1</math>とすれば定理の式を得る。// この定理の応用として最も基本的なのが、極値である。 一変数関数と同様、極小値・極大値を求めることは最大値最小値問題を解く手掛かりになるが、その求め方は複雑である。 先ずは、極値を定義する。 :<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として、 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極大'''という。 ::<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2 \left( {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \geq f(a, b) \right)</math> ::ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で'''極小'''という。 :極大/極小となるときの<math>f(a, b)</math>を'''極大値/極小値'''といい、纏めて'''極値'''と呼ぶ。 一変数の場合と異なるのは、'''どの方向から見ても極大/極小'''でなければならない点である。 例えば、曲面<math>z=x^2-y^2</math>を考える。 :この曲面を<math>zx</math>平面（則ち平面<math>y=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=x^2</math>であり、<math>y=0</math>より原点で極小値をとる。 :然し、この曲面を<math>yz</math>平面（則ち平面<math>x=0</math>）で切った切り口は拋物線<math>z=-y^2</math>であり、<math>x=0</math>より原点で極大値をとる。 このように、方向によって極大・極小が変わるような点を、馬の{{ruby|鞍|くら}}に見えることから'''{{ruby|鞍点|あんてん}}'''といい、極値点とは区別する。極大方向・極小方向の少なくとも一方が存在しない場合は鞍点とは呼ばない。 極値をとる点を求める手掛かりとなるのが、次の定理である。 {{定理|(二変数に於けるフェルマーの定理)}} <math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極値をとる<math>\implies \partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>f(a, b)</math>が極値ならば、<math>x/y</math>軸方向で見ても極値になっている筈である。 :ここで<math>x/y</math>軸方向に見るとは、他の独立変数を固定した一変数関数として見ることだったので、<math>f(x, b), f(a, y)</math>を考えていることになる。 :このとき、一変数に於けるフェルマーの定理より ::<math>\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a}=0,~ \frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}=0</math> :であるが、 :偏微分係数の定義より ::<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{d}{dx}f(x, b)\Big|_{x=a},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=\frac{d}{dy}f(a, y)\Big|_{y=b}</math> :だったので、 ::<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math> :である。// なお、<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0</math>が成り立つ点<math>(a, b)</math>を'''停留点'''という。これは、ベクトル解析的に<math>\partial{x}f(a, b)=\partial{y}f(a, b)=0 \iff \mathrm{grad} f=\boldsymbol{0}</math>である（<math>f</math>の勾配がない）ことに由来する。 フェルマーの定理の対偶を取れば :<math>(\partial{x}f(a, b)\neq0 \lor \partial{y}f(a, b)\neq0) \implies f(a, b)</math>は極値ではない となるので、極値を取る点を求めるには停留点のみを考えればよいことになる。 停留点を求めるには、連立方程式<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b)=0 \\ \partial{y}f(a, b)=0 \end{cases}</math>を解けばよい。 但し、その解<math>(a, b)</math>が極値をとる点とは限らない（必要条件であって十分条件ではないため）。 一変数関数の場合は<math>f'(a)=0</math>を満たす<math>a</math>近傍の増減を調べればよかったが、二変数の場合はより複雑な手続きを要する。 一般に、多変数関数<math>f(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>に対して<math>(\mathbf{D})_{ij}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}</math>なるn次行列<math>\mathbf{D}</math>を'''ヘッセ行列'''という。 ヘッセ行列式（ヘッシアン）<math>D(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\det\mathbf{D}</math>を'''判別式'''という。 二変数の場合、<math>\mathbf{D}=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math>より判別式は<math>D(x, y)=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}</math>である。 この判別式の符号を調べることによって、極値の有無を判定することができる。 {{定理|(極値の判定)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとり、 ::(ⅰ)<math>\partial{x^2}f<0 \implies f(a, b)</math>は極大値 ::(ⅱ)<math>\partial{x^2}f>0 \implies f(a, b)</math>は極小値 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとらない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、<math>(a, b)</math>で<math>f(x, y)</math>は極値をとることもとらないこともある。則ち、判別式では判定できない。 {{定理終わり}} *証明 :テイラーの定理で<math>n=2</math>の場合を考えると、<math>f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>近傍で<math>C^2</math>級ならば<math>\theta \in (0, 1)</math>が存在して :<math>f(a+h, k+b)=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より変形して :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k) \right\}</math> :ここで<math>f \in C^2</math>より<math>f</math>の二階偏導関数は何れも連続なので、<math>D(a, b)\gtrless0</math>ならば充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>D(a+\theta h, b+\theta k)\gtrless0</math>となる。 :ここで<math>p = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a+\theta h, b+\theta k),~ q = \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a+\theta h, b+\theta k),~ r = \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a+\theta h, b+\theta k)</math>とすると :<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}(ph^2+2khq+kr^2)</math>・・・(*) :(1)<math>D(a, b)>0</math>のとき ::<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)=0</math>とすると<math>D(a, b)\leq0</math>となって不適。<math>\therefore \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)\neq0</math> ::充分小さい<math>h, k</math>に対して<math>p\neq0</math>より(*)の右辺を平方完成して ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{pr-q^2}{p}k^2 \right\}</math> ::<math>=\frac{1}{2}\left\{ p\left(h+\frac{qk}{p}\right)^2+\frac{D(a+\theta h, b+\theta k)}{p}k^2 \right\}</math> ::ここで両辺<math>0 \iff h=k=0</math>に注意すると、 ::上式の最右辺は<math>p</math>の符号と正負が一致する。 ::これは<math>(a, b)</math>の充分近傍では<math>p>0</math>で<math>f(a, b)</math>が最小値、<math>p<0</math>で<math>f(a, b)</math>が最大値をとることを意味するので、<math>f(a, b)</math>は極値である。 :(2)<math>D(a, b)<0</math>のとき ::<math>p\gtrless0</math>のとき、平方完成した最右辺の波括弧の中身は、 :::<math>h+\frac{qk}{p}\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると負/正 :::<math>h\neq0, k=0</math>を満たす<math>h, k</math>を充分小さくとると正/負 ::であるので、<math>h, k</math>のとり方によって<math>f(a+h, b+k)\gtrless f(a, b)</math>のどちらにもなり得、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で最大でも最小でもない。 ::則ち、<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 ::<math>p=0</math>のとき、<math>r\neq0</math>ならば<math>h, k</math>を二階偏導関数に置き換えることで同様の結論を得る。 ::<math>r=0</math>のとき、 ::<math>D(a+\theta h, b+\theta k)=-q^2<0</math>より<math>q\neq0</math>なので(*)より ::<math>f(a+h, b+k)-f(a, b)=qhk</math> ::これは<math>h, k</math>の符号によって正負のどちらもとり得るので同様に<math>f(a, b)</math>は極値ではない。 :(3)<math>D(a, b)=0</math>のとき、 ::<math>h, k</math>のとり方により<math>D(a+\theta h, b+\theta k)</math>は正負のどちらもとり得る。 ::よって(1), (2)より<math>f(a, b)</math>は極値であることも極値でないこともあるので、 ::判別式では判定不能である。// {{演習問題|次の関数に極値があるかどうか調べ、あるならば求めよ。 :1. <math>f(x, y)=x^2+y^2-2xy</math> :2. <math>f(x, y)=x^2+2xy-3y^2+4x+4y+1</math> :3. <math>f(x, y)=x^3+y^3</math> |1. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y-x</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=2,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=-1</math>より :<math>D(0, 0)=2\cdot2-(-1)^2=3>0</math> :また、<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}>0</math>より :<math>f(x, y)</math>は<math>(0, 0)</math>で極小値<math>0</math>をとる。 2. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+2y+4,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-6y+2x+4</math>より :停留点は<math>(-2, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=2,~ \frac{\partial^2}{\partial{y^2}}=-6,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=2</math>より :<math>D(-2, 0)=2\cdot(-6)-2^2=-16<0</math> :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。 3. :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=3x^2,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3y^2</math>より :停留点は<math>(0, 0)</math> :<math>\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=6x,~ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=6y, \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}=0</math>より :<math>D(0, 0)=0\cdot0-0^2=0</math> :よって判別不能。 :ここで、直線<math>y=x</math>を経路として原点から点<math>(x, y)</math>を動かしてみる。 :<math>f(x, x)=x^3+x^3=2x^3</math> :よって<math>x>0</math>で<math>f(x, y)>f(0, 0)</math>、<math>x<0</math>で<math>f(x, y)<f(0, 0)</math>より :原点近傍で<math>f(0, 0)</math>は最大でも最小でもない、則ち<math>f(0, 0)</math>は極値ではない。 :よって<math>f(x, y)</math>は極値を持たない。}} *発展問題 *:<math>f(x, y)=e^{xy}</math>を二次の項迄テイラー展開せよ。 停留点が鞍点である条件を補足しておく。 鞍点とは「関数が極大となる方向・極小となる方向の双方が存在する」ような点であった。 <math>f(x, y)</math>を停留点<math>(a, b)</math>に於けるテイラー展開で二次近似することを考える。 :テイラーの定理より厳密に ::<math>f(a+h, b+k)=\frac{1}{0!}D^0 f(a, b)+\frac{1}{1!}Df(a, b)+\frac{1}{2!}D^2f(a+\theta h, b+\theta k)</math> :であるが、<math>\theta \in(0, 1)</math>より<math>\theta\fallingdotseq0</math>と見做して近似すると ::<math>f(a, b)\fallingdotseq f(a, b)+Df(a, b)+\frac{1}{2}D^2f(a, b)</math> :<math>D=h\frac{\partial}{\partial{x}}+k\frac{\partial}{\partial{y}}</math>より ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+h\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)+k\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :<math>(a, b)</math>が停留点より<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a, b)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a, b)=0</math>なので ::<math>\mathrm{rhs}=f(a, b)+\frac{1}{2}\left(h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)\right)</math> :ここで<math>\frac{1}{2}</math>で括られた部分に着目すると、 ::<math>h^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+2hk\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k^2\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(a, b)</math> ::<math>=h\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)+k\left(h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)\right)</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ h\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b)+k\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right\}</math> ::<math>=\begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>とすると ::<math>f(a+h, b+k)\fallingdotseq f(a, b)+\frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> :則ち ::<math>f(a+h, b+k) - f(a, b) \fallingdotseq \frac{1}{2}({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> 拠って、<math>\boldsymbol{v}</math>方向で極大・極小か見るには停留点から<math>\varepsilon\boldsymbol{v}</math>だけ動かしたときの :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の変化を見ればよいが、 :<math>\frac{1}{2}\varepsilon^2>0</math> より、結局は[[線型代数学/二次形式|二次形式]] :<math>({}^t \! \boldsymbol{v} \mathbf{D} \boldsymbol{v})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math> の符号を見れば良いことになる。 ここでヘッセ行列<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>を対角化することを考える（ヘッセ行列は対称行列なので直交行列で対角化可能）。 :ヘッセ行列の各固有値を<math>\lambda_1, \lambda_2</math>とおくと、ある直交行列<math>\mathbf{P}</math>による相似変換で ::<math>({}^t \! \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P})\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}} = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2)</math> :と対角化できる。 :このとき、二次形式は<math>\boldsymbol{u}={}^t \! \mathbf{P} \boldsymbol{v}</math>という一次変換で ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}</math> :と表される。 :すると<math>\boldsymbol{u}_x\times\boldsymbol{u}_y</math>の項は対角行列の零成分が掛かって消えるので、 ::<math>{}^t \! \boldsymbol{u} \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2) \boldsymbol{u}=\lambda_1 (\boldsymbol{u}_x)^2+\lambda_2 (\boldsymbol{u}_y)^2</math> :（つまりこの変換は主軸変換） 則ち、任意方向で極大か極小か調べるには'''ヘッセ行列の各固有値の符号を見ればよい'''。 固有値が全て正であるとき、どのような<math>h, k</math>に対しても<math>f(a+h, b+k) - f(a, b)>0</math>と考えられるので、<math>\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}</math>のとり方に依らず<math>f(a, b)</math>は極小値である。 固有値が全て負であるとき、同様に<math>f(a, b)</math>は極大値である。 固有値の符号が異なるとき、<math>\boldsymbol{v}</math>のとり方によって極大か極小か変わるので、<math>(a, b)</math>は鞍点である。 零固有値を持つときは、零固有値に対応する固有ベクトル方向の情報が近似の際に切り捨てられている（則ち<math>\theta</math>- 依存性が高い）ので極大・極小・鞍点・何れでもない、の全ての場合をとり得る。 纏めると、以下のようになる。 {{定理|(極値の判定Ⅱ)}} <math>f\in C^2,~ (a, b)</math>を<math>f(x, y)</math>の停留点とすると、 :(1)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が負定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極大。 :(2)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が正定値行列ならば<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>で極小。 :(3)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が不定行列ならば<math>(a, b)</math>は鞍点。 :(4)<math>\mathbf{D}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x=a \\[-6pt] y=b \end{array}}</math>が半正定値行列又は半負定値行列又は完全退化行列ならば<math>(a, b)</math>は極値点であることも鞍点であることもそうでないこともある。則ち、ヘッセ行列の定値性では判定できない。 {{定理終わり}} 近似の際に切り捨てた項の振舞によってはこの判定法が通用しない場合がある。特に、三変数以上で(3)を用いる場合は注意。 ヘッセ行列が正定値・負定値・半正定値・半負定値・不定値の何れであるかは、[[線型代数学/固有値と固有ベクトル|シルヴェスターの判定法]]を用いると固有値を求めることなく判別できる。 ===陰関数=== <math>y=f(x)</math>という形で陽に表示される関数を'''陽関数'''という。 これに対し、方程式<math>f(x, y)=0</math>がある区間で定義が区分的でない関数<math>y=\varphi(x)</math>を表すとき、「<math>y=\varphi(x)</math>は<math>f(x, y)=0</math>で定義された'''陰関数'''」という。このとき、方程式<math>f(x, y)=0</math>を「<math>y=\varphi(x)</math>の'''陰関数表示'''」という。一般に、陰関数は陽に表示できるとは限らない。なお、陰関数表示のことを単に陰関数と呼ぶ場合もある。 例えば、単位円の方程式<math>x^2+y^2=1</math>に対し、<math>y=\sqrt{1-x^2},\quad y=-\sqrt{1-x^2}</math>はそれぞれ単位円の方程式で定義された陰関数である。ここで、点<math>(1, 0)</math>を内部に含む開区間を考える。このような区間をどんなに小さく取ったとしても、円の上半分と下半分を両方含んでしまうため、区分的に定義しなければ一意な関数で表せず、則ち陰関数が存在しない。 それでは、方程式<math>f(x, y)=0</math>の陰関数が点<math>(x, y)</math>の充分近傍で存在する条件は何であろうか？ 先ずは、厳密なことを抜きにして考える。 形式的に、陰関数<math>y=\varphi(x)</math>は方程式<math>f(x, y)=0</math>を<math>y</math>に就て解いた解である。そのため、このような関数が存在するならば<math>f(x, \varphi(x))=0</math>という<math>x</math>の一変数方程式が成り立つ。 媒介変数を<math>t=x</math>と見て方程式の両辺を<math>x</math>で常微分すると合成関数微分の公式より<math>\frac{dz}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\frac{dt}{dx}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}\frac{d\varphi}{dx}=0</math> :<math>\therefore \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{\varphi}}}</math> ここで、実際には <math>\Big|_{y=\varphi(x)}</math>が省略されていることに注意。 この式の主張を纏めると、以下の定理を得る。 {{定理|(陰関数の定理Ⅰ)}} <math>f \in C^1,~ f(a, b)=0,~ \partial{y}f(a, b)\neq0</math>であるとき、<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>f(x, y)=0</math>の定義する陰関数<math>y=\varphi(x)</math>が唯一つ存在し、 :<math>b=\varphi(a)</math> また、この陰関数は<math>x=a</math>の充分近傍で常微分可能で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> {{定理終わり}} 先程の考え方では「<math>\varphi(x)</math>の存在性・一意性・常微分可能性」を既に仮定してしまっているので、それらを担保するこの定理の証明としては用いることができない（循環論法になってしまう）。 実は、二変数の場合ならば今迄習った知識で証明可能である。以下に示す。 *証明 :<math>\Omega</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の開集合とする。 :<math>\partial{y}f(a, b)>0</math>とすると<math>f \in C^1</math>より<math>\partial{y}f(x, y)</math>は連続で ::<math>\exist \delta_1, \delta_2>0,~ U=\{ x\big|~ |x-a|\leq\delta_1 \},~ V=\{y\big|~ |y-b|\leq\delta_2\},\quad \partial{y}f(x, y)>0 \quad \left( {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array} \right)} \in U \times V \subset \Omega \right)</math> :<math>y \in V</math>で<math>\partial{y}f(a, y)>0</math>よりこの区間で単調増加し ::<math>f(a, y)=f(a, b)=0 \lor f(a, b-\delta_2)<0<f(a, b+\delta_2)</math> :更に<math>f</math>が連続より<math>\delta_1</math>が十分小さければ ::<math>x \in U \implies f(x, b-\delta_2)<0<f(x, b+\delta_2)</math> :中間値の定理より ::<math>\forall x\in U,~ \exist y \in V,~ f(x, y)=0</math> :<math>\frac{d\varphi}{dy}>0</math>よりこのような<math>y</math>は一意に定まる。（仮に二つあるとしても、<math>f(x, y_1)=f(x, y_2)=0</math>なのでロルの定理より<math>\exist d \in [y_1, y_2],~ \partial{y}f(x, d)=0</math>。これは<math>(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>の十分近傍で<math>\partial{y}f(x, y)>0</math>を満たすことと矛盾するので背理法より一意である。） :ここで<math>y=\varphi(x)</math>とおくと<math>\varphi(x)</math>は一意で<math>\mathrm{dom}\varphi = U,~ \mathrm{ran}\varphi = V</math> :上記より<math>b=\varphi(a)</math> :<math>\varphi</math>が<math>x_0 \in U</math>で連続でないとすると ::<math>\exist \varepsilon_0,~ \forall \delta>0,~ \exist x\in U,~ ( |x-x_0|<\delta \implies |\varphi(x)-\varphi(x_0)| \geq \varepsilon_0 )</math> :<math>\delta:=\frac{1}{n} (n\in\mathbb{N})</math>とすると ::<math>\forall n\in\mathbb{N},~ \exist x_n\in U,~ ( |x_n-x_0|<\frac{1}{n} \implies |\varphi(x_n)-\varphi(a)| \geq \varepsilon_0 )</math> :但し<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x_0</math>に注意。 :ここで<math>\mathrm{ran}\varphi=V</math>より<math>\varphi(x_0)\in V</math>、則ち<math>\{\varphi(x_n)\}</math>は有界数列である。 :拠ってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より<math>\{x_n\}</math>の部分列<math>\{x_{n_k}\}</math>が存在して ::<math>\lim_{k\to\infty}\varphi(x_{n_k})=y_0 \in V</math> :<math>f(x_{n_k}, \varphi(x_{n_k}))=0</math>且つ<math>f</math>が連続より<math>k\to\infty</math>で<math>f(x_0, y_0)=0</math>でなければならないので ::<math>y_0=\varphi(x_0)</math> :一方、 ::<math>\lim_{k\to\infty}|\varphi(x_{n_k})-\varphi(x_0)|=|y_0-\varphi(x_0)|\geq\varepsilon_0>0</math> :これは<math>y=\varphi(x_0)</math>に矛盾する。 :従って<math>\varphi</math>は<math>x_0</math>で連続である。 :<math>\varphi(x_0+h)=\varphi(x_0)+k</math>とおくと<math>\varphi</math>が連続より<math>h\to0</math>で<math>k\to0</math>であり、 :<math>h</math>を充分小さくすると<math>(x_0, \varphi(x_0))</math>と<math>(x_0+h, \varphi(x_0)+k)</math>を結ぶ線分が<math>U\times V</math>に含まれる。 :拠ってテイラーの定理より ::<math>\exist \theta\in(0, 1), 0=f(x_0+h, \varphi(x_0)+k)=f(x_0, \varphi(x_0))+\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)h + \partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)k</math> :<math>k=\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)</math>と<math>f(x_0, \varphi(x_0))</math>より変形して ::<math>\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)}{h}=-\frac{\partial{x} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}{\partial{y} f(x_0+\theta h, \varphi(x_0)+\theta k)}</math> :<math>h\to0</math>とすれば ::<math>\varphi'(x_0)=-\frac{\partial{x} f(x_0, \varphi(x_0))}{\partial{y} f(x_0, \varphi(x_0))}</math> :更に、 ::<math>\varphi'(x)=-\frac{\partial{x} f(x, \varphi(x))}{\partial{y} f(x, \varphi(x))}</math> :の右辺が連続関数なので ::<math>\varphi(x) \in C^1</math> :<math>\partial{y}f(a, b)<0</math>の場合も同様に示される。// この証明は「一次元での単調性」に依存しているため、三変数以上に拡張することができない。そのため、（「解析学基礎」の範囲を大幅に超えるが）一般の場合を補足しておく。[[位相空間論]]や[[多様体論]]を修得してから戻ってくるのが良いだろう。 {{定理|(ベクトル関数に於ける陰関数の定理)}} <math>\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m</math>上の開集合を<math>\Omega</math>とする。 <math>C^r</math>級関数<math>\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^m</math>に対して :<math>\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0} \\ \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} }\right)\neq0 \end{cases}</math> なる<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>が存在するとき、<br><math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\mathbb{R}^n</math>- 開近傍<math>U</math>、<math>\boldsymbol{\beta}</math>の<math>\mathbb{R}^m</math>- 開近傍<math>V</math>に対して<math>C^r</math>級微分同相写像<math>\boldsymbol{\varphi}:U \to V</math>が唯一つ存在して :<math>\begin{cases} U \times V \subset \Omega \\ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha}) \\ \forall {\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\[-6pt] \boldsymbol{y} \end{array} \right)} \in U \times V,~ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) \\ \forall \boldsymbol{x} \in U,~ \boldsymbol{\varphi}'(\boldsymbol{x})= - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \right)^{-1} \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Bigg|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} *証明 :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}:\Omega\to\mathbb{R}^{m+n}</math>を ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \end{pmatrix}</math> :と定義する。 :<math>{\scriptstyle \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{\beta} \end{array} \right)} \in \Omega</math>に就て<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{0}</math>より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{0} \end{pmatrix}</math> :従って ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } & \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array} } \end{pmatrix}</math> :これは下三角行列なので ::<math>\mathrm{rank} \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=m+n</math> :階数が行列の次数に等しいのでこの行列は正則行列、則ち ::<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\neq0</math> :（なお、三角行列に関する行列式の公式を用いると<math>\det \tilde{\boldsymbol{f}}'(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\det \boldsymbol{E} \det \left(\frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{y}}}\Big|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha} \\[-6pt] \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta} \end{array}}\right)\neq0</math>と導かれる。） :よって逆写像定理を適用すると :<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})</math>の開近傍<math>U</math>と<math>(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{0})</math>の開近傍<math>V</math>が存在して :<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}:U \to V</math>は<math>C^r</math>級微分同相写像となる。 :ここで<math>\tilde{\boldsymbol{f}}|_{U}</math>の<math>C^r</math>級逆写像を<math>\boldsymbol{\psi}</math>とすると逆写像の定義より ::<math>(\tilde{\boldsymbol{f}}\circ\boldsymbol{\psi})(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :また、<math>\boldsymbol{x}</math>は<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>の<math>1\sim n</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{\psi}_{1\sim n}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>、<math>\boldsymbol{y}</math>は<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>の<math>1\sim m</math>成分を並べたベクトル<math>\boldsymbol{f}_{1\sim m}(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math>になるので、 ::<math>\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\psi}_{1\sim m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math>とすると定義より ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})</math> :<math>\boldsymbol{y}</math>に<math>\boldsymbol{0}</math>を代入して ::<math>\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math> :<math>\tilde{\boldsymbol{\varphi}}</math>の定義より<math>\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}):=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})</math>とすれば :<math>\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}</math> :則ち<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math> :<math>\boldsymbol{\psi} \in C^r</math>より<math>\boldsymbol{\varphi} \in C^r</math>であり、逆写像の一意性より<math>\boldsymbol{\varphi}</math>は一意に定まるので、 :<math>\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})</math>は陰関数の満たすべき性質を全て満たす。// （補足ここ迄） 陰関数の定理の応用として、陰関数表示で与えられた曲線の接線・法線の方程式を求めることが考えられる。 :円<math>x^2+y^2=r^2</math>を考える。 :<math>f(x, y)=x^2+y^2-r^2</math>とおくと<math>f\in C^2, f(x, y)=0</math>であり、何かしらの関数の陰関数表示となっている。 :よって陰関数定理より :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}</math> :ここで :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2y</math> :より<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}</math> :接点を<math>(x_0, y_0)</math>とすれば接線の方程式の公式より :<math>y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)</math> :変形すると :<math>y_0(y-y_0)+x_0(x-x_0)=0</math> :<math>xx_0+yy_0=x^2_0+y^2_0=r^2</math> :ここで<math>\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}</math>は明らかにこの接線の法線ベクトルなので :<math>y=0</math>でも成り立つ。 :同様に法線の方程式は :<math>y=\frac{y_0}{x_0}x</math> :と求まる。// 高校数学では「<math>y</math>を<math>x</math>の関数とみて合成関数微分を行う」という考え方で求めたが、陰関数定理はそのような関数<math>y=\varphi(x)</math>の存在を保証していたのである。 一般の二次曲線やその他の陰関数曲線でもこの考え方を適用することが可能である。 二変数方程式で定義される陰関数は一変数関数であった。では、二変数関数もある三変数方程式で定義された陰関数とは考えられないだろうか？実は、一般に<math>n</math>変数方程式の定義する陰関数は<math>n-1</math>変数関数である。直観的には、「元の<math>n</math>変数方程式に陰関数<math>x_n=g(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})</math>を代入することで自由度が一個下がる」と理解される。 <math>xyz</math>空間で方程式<math>f(x, y, z)=0</math>は一般に曲面を表す。この曲面上の点<math>(a, b, c)</math>近傍で曲面の関数表示が二変数関数<math>z=\psi(x, y)</math>であるための十分条件も陰関数定理で与えられる。 {{定理|(陰関数の定理Ⅱ)}} <math>f \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=0,~ \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>ならば<math>(a, b)</math>の<math>\mathbb{R}^2</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数<math>z=\psi(x, y)</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \psi \in C^1 \\ c=\psi(a, b) \\ f(x, y, \psi(x, y))=0 \quad((x, y) \in U) \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{x}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{y}f(x, y, z)}{\partial{z} f(x, y, z)} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} <math>\partial{x} f(a, b, c) \partial{y} f(a, b, c) \partial{z} f(a, b, c)\neq0</math>のとき曲面<math>f(x, y, z)=0</math>の<math>(a, b, c)</math>に於ける接平面は :<math>\partial{x}f(a, b, c)(x-a)+\partial{y}f(a, b, c)(y-b)+\partial{z}f(a, b, c)(z-c)=0</math> である。 この定理を用いると :<math>\begin{cases} \partial{x}f(a, b, c) = -\partial{x}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{y}f(a, b, c) = -\partial{y}\psi(a, b) \times \partial{z}f(a, b, c) \\ \partial{z}f(a, b, c)\neq0 \end{cases}</math> なので :<math>z-c=\partial{x}\psi(a, b)(x-a)+\partial{y}\psi(a, b)(y-b)</math> と、全微分の節で求めた接平面の方程式に一致する。 更に、以下も成り立つ。 {{定理|(陰関数の定理Ⅲ)}} <math> f, g \in C^1</math>が<math>(a, b, c)</math>の<math>\mathbb{R}^3</math>- 開近傍で定義されているとしたとき、<math>f(a, b, c)=g(a, b, c)=0,~ \begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \\[-6pt] z = c \end{array}}\neq0</math>ならば<math>x=a</math>の<math>\mathbb{R}</math>- 開近傍<math>U</math>で陰関数の組<math>(y, z)=(\varphi(x), \psi(x))</math>が唯一つ存在し :<math>\begin{cases} \varphi, \psi \in C^1 \\ b=\varphi(a) \\ c=\psi(a) \\ f(x, \varphi(x), \psi(x))=g(x, \varphi(x), \psi(x))=0 \\ \frac{d\varphi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} , \quad \frac{d\psi}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{x}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial{f}_1}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_1}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f}_2}{\partial{y}} & \frac{\partial{f}_2}{\partial{z}} \end{vmatrix}} \end{cases}</math> を満たす。 {{定理終わり}} 陰関数定理が成り立つ状況下に於て、原点近傍で以下のような変換を考える。 :<math>(s, t)=\vartheta(x, y)=(f(x, y), x)</math> このとき逆写像定理により<math>\vartheta:(x, y)\to(s, t)</math>は微分同相写像なので、<math>F(s, t)=s</math>として :<math>(F\circ\vartheta^{-1})(x, y)=x</math> が成り立つ。 これは、<math>s=f(x, y)</math>を座標軸としてみる座標変換を考えていることになる。例えば二重積分で積分領域の境界が<math>f(x, y)=\mathrm{const}.</math>であるとき、これは一般に曲線を表すので扱いづらい。しかし、このような座標変換を行うことで<math>s=\mathrm{const}.</math>という非常に単純な疆界を持つ<math>s</math>-単疆界領域となり、二重積分が容易となる。詳しくは「重積分」節で後述する。 {{演習問題| :1. 双曲線<math>x^2-2\sqrt{3}xy-y^2+4y+4=0</math>の点<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>に於ける法線を求めよ。 :2. レムニスケート<math>r^2=2a^2\cos^2 2\theta</math>に就いて、円<math>r=|a|</math>上を除く領域で<math>y</math>が<math>x</math>の関数として単調であることを示せ。 :3. 曲面<math>x^2+3xy-2yz+xz-y^2=0</math>の点<math>(1, 2, 1)</math>に於ける接平面の方程式を求めよ。 :4. <math>f(x, y, z)=x+y+z-3,~ g(x, y, z)=y^2+z-2</math>とする。点<math>(1, 1, 1)</math>近傍の陰関数<math>y=\varphi(x),~ z=\psi(x)</math>を具体的に表示し、その微分係数を求めよ。 | 1. :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x-2\sqrt{3}y,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-2y-2\sqrt{3}x</math> :<math>(0, 2+2\sqrt{2})</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=-4\sqrt{3}-4\sqrt{6},~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-4-4\sqrt{2}\neq0</math> :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{-4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}{-4(1+\sqrt{2})}=-\sqrt{3}</math> :<math>y-(2+2\sqrt{2})=-\frac{1}{-\sqrt{3}}(x-0)</math> :<math>y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2+2\sqrt{2}</math> 2. :<math>r^2=x^2+y^2,~ \cos^2 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=\left(\frac{x}{r}\right)^2-\left(\frac{y}{r}\right)^2</math>よりレムニスケートの方程式は :<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0</math> :<math>f(x, y):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2(x^2+y^2)(2x)-2a^2(2x)=4x(x^2+y^2-a^2)</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=2(x^2+y^2)(2y)-2a^2(-2y)=4y(x^2+y^2+a^2)</math> :<math>y\neq0</math>で :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{x(x^2+y^2-a^2)}{y(x^2+y^2+a^2)}</math> :ここで<math>xy</math>平面上の象限を固定して考えると、 :<math>\frac{dy}{dx}</math>の符号は<math>x^2+y^2-a^2</math>の正負で決まる。 :よって<math>x^2+y^2-a^2=0</math>則ち円<math>r=|a|</math>上を除く領域で、 :<math>y</math>は<math>x</math>の関数として単調である。 3. :<math>f(x, y, z):=\mathrm{lhs}.</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2x+3y+z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=3x-2y-2z,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=x-2y</math> :<math>(1, 2, 1)</math>で :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=9,~ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-3,~ \frac{\partial{f}}{\partial{z}}=-3\neq0</math> :<math>\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{9}{-3}=3,~ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{-3}{-3}=-1</math> :<math>z-1=3(x-1)-1(y-2)</math> :<math>z=3x-y</math> 4. :<math>f(x, y, z)=0</math>とすると<math>z=3-x-y</math>であり、<math>g(x, y, z)=0</math>に代入して :<math>y^2-(3-x-y)-2=0</math> :<math>y^2-y+1-x=0</math> :<math>y=\frac{1\pm\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>(x, y)=(1, 1)</math>となるためには :<math>y=\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :<math>z=3-x-y=3-x-\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2} = \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}</math> :これは<math>(x, z)=(1, 1)</math>を満たす。 :根号の実数条件より<math>x\geq\frac{3}{4}</math>より「<math>x=1</math>近傍」も満たす。 :よって<math>(\varphi(x), \psi(x))=\left(\frac{1+\sqrt{4x-3}}{2}, \frac{5-2x+\sqrt{4x-3}}{2}\right)</math> :逆にこのように<math>(\varphi(x), \psi(x))</math>を定義すると条件を満たす。 :<math>\frac{d\varphi}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4x-3}},~ \frac{d\psi}{dx}=-1-\frac{1}{\sqrt{4x-3}}</math> :<math>x=1</math>で :<math>\frac{d\varphi}{dx}=1,~ \frac{d\psi}{dx}=-2</math> }} ===条件付極値=== 先程は点<math>(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>上を自由に動ける条件の下で極値を考えた。しかし、応用上は何かしらの制約が課された状態での極値を考えることが往々にしてある（寧ろ、無条件の方が稀であろう）。 則ち、次の問題を考える。 :点<math>(x, y)</math>が'''拘束条件'''（束縛条件）<math>g(x, y)=0</math>を満たしながら変化するとき、<math>f(x, y)</math>の'''条件付極値'''を求めよ。 このような問題を（2変数1拘束条件の）'''条件付極値問題'''という。また、拘束条件を表す関数<math>g(x, y)</math>を'''制約関数'''という。 一般に<math>g(x, y)=0</math>が<math>y=\phi(x)</math>や<math>x=\psi(y)</math>のように解けるとは限らず、解けたとしても増減を簡単に調べられるとは限らない。 そこで、条件付極値問題の解法には以下の定理が用いられる。 {{定理|(ラグランジュの未定乗数法)}} <math>f(x, y), g(x, y)\in C^1</math>として<math>f(x, y)</math>が点<math>(a, b)</math>で拘束条件<math>g(x, y)=0</math>の下での条件付極値をとるとき、 :<math>L(x, y, z)=f(x, y)-zg(x, y)</math> と置くと :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\times\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math> ならば :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math> を満たす実数<math>z=\lambda</math>が存在する。 {{定理終わり}} この<math>L</math>を'''ラグランジュ関数'''、<math>\lambda</math>を'''未定乗数'''（ラグランジュ乗数）という。未定乗数法では、条件付極値の問題を「ラグランジュ関数の無条件極値問題」に帰着している。 各偏導関数を計算すると、連立方程式 :<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math> に帰着される。 *証明 :<math>(a, b)</math>を極値点、<math>\frac{\partial{g}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>とする。 :陰関数定理より<math>(a, b)</math>の充分近傍で<math>g(x, y)=0</math>の<math>C^1</math>級陰関数<math>y=\phi(x)</math>が存在し、<math>\phi'(x)=-\frac{\frac{\partial{g}}{{\partial{x}}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}}</math>となる。 :<math>h(x):=f(x, \phi(x))</math>とするとフェルマーの定理より<math>0=h'(a)=f_x(a, b)+f_y(a, b)\phi'(a)=f_x(a, b)-f_y(a, b)\frac{g_x(a, b)}{g_y(a, b)}</math> :ここで<math>\lambda:=\frac{f_y(a, b)}{g_y(a, b)}</math>と置くと<math>f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \iff \frac{\partial{L}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>を得る。 :定義した<math>\lambda</math>より<math>f_y(a, b) =\lambda g_y(a, b) \iff\frac{\partial{L}}{\partial{y}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>。 :<math>\frac{\partial{g}}{\partial{x}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }\neq0</math>としても同様。 :<math>\frac{\partial{L}}{\partial{z}} \Bigg|_{\scriptscriptstyle \begin{array}{c} x = a \\[-6pt] y = b \end{array} }=0</math>は拘束条件から直ちに満たされる。 :よって実数<math>\lambda</math>が存在して定理の式が満たされる。// ベクトル解析の記法で書くと、未定乗数法の連立方程式は<math>\mathrm{grad} f=\lambda \mathrm{grad} g</math>と表される。これは幾何学的には、「曲面<math>z=f(x, y)</math>と曲面<math>g(x, y)=0</math>の共有点での接平面の法線ベクトルが平行」という条件である。 2曲面の共有点の<math>z</math>座標を<math>c</math>としたとき、曲面を<math>z=c</math>で切った切り口の曲線は<math>c=f(x, y), g(x, y)=0</math>であり、これらは曲面と同じ共有点を持つ。共有点で2曲線が交わるとすると「連続微分可能」という仮定より2曲面は「切れ目なく」繫がっているので、十分小さい<math>\varepsilon>0</math>に対して曲線<math>c\pm\varepsilon=f(x, y)</math>は<math>g(x, y)</math>と共有点を持つ。このとき、<math>f(x, y)</math>は<math>(a, b)</math>近傍で<math>c=f(a, b)</math>より大きい値も小さい値もとるので、<math>(a, b)</math>は極値点ではない。よって、2曲線は極値点<math>c_0=f(a, b)</math>に於いて接していなければならない。 このとき、曲線の式<math>c_0=f(x, y), g(x, y)=0</math>の両辺を<math>x</math>で微分することで<math>\begin{cases} f_x\cdot1+f_x\cdot\frac{dy}{dx}=0 \\ g_x\cdot1+g_y\cdot\frac{dy}{dx}=0 \end{cases}</math>を得、接ベクトル<math>(1, \frac{dy}{dx})</math>に直交する平行な2ベクトル<math>(f_x, f_y), (g_x, g_y)</math>をそれぞれの曲線の法線ベクトルにとることができる。よって未定乗数<math>\lambda</math>が実数として存在する。 フェルマーの定理と同様に未定乗数法の式を満たすことは条件付極値であるための必要条件なので、十分性の確認は必須である。逆に、未定乗数法は条件付極値の候補となる点を与える（未定乗数<math>\lambda</math>は「存在する」だけでこの先一切使わないが、先述のように幾何学的意味が存在する）。 先程紹介したヘッセ行列は「無制約の場合」の議論だったので今回は用いることができない。 そこで、以下のように表示される'''境界付ヘッセ行列'''（縁付ヘッセ行列）が判定に使用される（代入記号は省略した）。 :<math>\mathbf{H}_B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2L}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{\partial{g}}{\partial{y}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y}\partial{x}} & \frac{\partial^2L}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}</math> 今回の場合、<math>\det \mathbf{H}_B>0</math>なら条件付極小値、<math>\det \mathbf{H}_B<0</math>なら条件付極大値と判定される。 但し、3変数以上や拘束条件が増えたときの拡張は非常に煩雑で複雑なものとなるので、ここでは紹介しない。 連立方程式<math>\begin{cases} f_x(a, b)=\lambda g_x(a, b) \\ f_y(a, b)=\lambda g_y(a, b) \\ g(a, b)=0 \end{cases}</math>を更に変形する。 :第三式は拘束条件そのものなので除外する。 :第一式・第二式を行列表現に直して :<math>\begin{pmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :線型代数で扱った定理「斉次連立一次方程式が非自明解を持つ<math>\iff</math>表現行列が特異行列」より、 :<math>\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}=0</math> よって、未定乗数<math>\lambda</math>を求めなくても未定乗数法を適用できる。 この変形は2変数1拘束条件の場合のみ成り立ち、一般化はできない。 ==重積分== 本項では、微分と積分の双対性及び[[解析学基礎/偏微分方程式|偏微分方程式]]・[[解析学基礎/ベクトル解析|ベクトル解析学]]への接続を鑑みて、一般書では深く扱わない（定義すらしないことの多い）偏積分を冒頭で扱うことにする。 ===偏積分=== 偏微分と同様にして、二変数<math>f(x, y)</math>の片方の変数を固定したときの積分を考える。 <math>xyz</math>空間で<math>y</math>を固定したとき、<math>z=f(x, y)</math>の<math>x</math>での積分を考える。直観的には、一変数での積分（'''常積分'''）のリーマン和を用いた定義を、<math>zx</math>平面でそのまま行えば良いことになる。 具体的には、 :<math>\int_{a}^{b} f(x, y) dx := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k, y) \Delta x</math>（<math>\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x</math>） と定義する。 これを<math>f(x, y)</math>の<math>x</math>に関する'''偏積分'''という。幾何学的には、<math>xyz</math>空間を<math>y</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>x</math>軸、直線<math>x=a, x=b</math>の囲む符号付き面積に対応する。偏微分と異なり、積分記号は常積分と同じものを用いる。 <math>y</math>に関する偏積分は同様に ::<math>\int_{c}^{d} f(x, y) dy := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x, y_k) \Delta y</math>（<math>\Delta y = \frac{d-c}{n}, y_k = c + k\Delta y</math>） と定義され、幾何学的には<math>xyz</math>空間を<math>x</math>を固定した平面で切った断面に於ける曲線<math>z=f(x, y)</math>と<math>y</math>軸、直線<math>y=c, y=d</math>の囲む符号付き面積に対応する。 定積分に関して、一変数と同様に :<math>\int_a^b f(x, y)dx+\int_b^c f(x, y)dx=\int_a^c f(x, y)dx</math> :<math>\int_b^a f(x, y)dx=-\int_a^b f(x, y)dx</math> :<math>\int_a^a f(x, y)dx=0</math> が成立することは定義から容易に示される（<math>y</math>に関しても同様）。 また、積分の平均値の定理 :<math>\exist \xi \in (a, b), \quad f(\xi, y)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x, y)dx</math> も同様に成立することが判る（<math>y</math>に関しても同様）。 不定積分は、一変数と同様に<math>F(x, y):=\int_u^x f(t, y)dt+C</math>と定義される（<math>F(u, y)=0</math>とする）。但し、<math>x</math>に関する偏積分では<math>y</math>は定数と見做されるので、'''積分定数<math>C</math>は実際には<math>y</math>の関数<math>C(y)</math>である'''ことに注意が必要である。<math>y</math>に関する不定積分でも同様に、積分定数は<math>x</math>の関数<math>C(x)</math>である。<math>\int_u^x f(t, y)dt+C(y)</math>は<math>\int f(x, y)dx+C(y)</math>と略記する 一般に、偏積分の積分定数は積分変数以外の変数を全て含む関数である。 一変数の場合と同様に、 :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math>（微分積分学の基本定理） が成立する。 *証明 :<math>F(x, y):=\int_a^x f(t, y)dt</math>とする。 :先程述べた定積分の性質より :<math>F(x+h, y)-F(x, y) = \int_a^{x+h} f(t, y)dt - \int_a^x f(t, y)dt = \int_a^{x+h}f(t, t)dt+\int_x^a f(t, y)dt =\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt</math>であるが、 :積分の平均値の定理より<math>\xi\in(x, x+h)</math>が存在して :<math>\int_{x}^{x+h} f(t, y)dt=hf(\xi, y)</math> :ここで<math>h\to0</math>の極限をとると :<math>\lim_{h\to0} \{F(x+h, y)-F(x, y)\}=\frac{\partial{F}}{\partial{x}},\quad \lim_{h\to0} hf(\xi, y)=f(x, y)</math> :なので :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int_a^x f(x, y)dx=f(x, y)</math> :一般の不定積分<math>\int f(x, y)dx=\int_u^x f(t, y)dt + C(y)</math>に関しても積分定数<math>C(y)</math>は<math>x</math>の関数でないので偏微分すると0となり、 :結局は :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\int f(x, y)dx=f(x, y)</math> :が成り立つ。// 則ち'''偏積分は偏微分の逆演算'''であり、被積分関数を偏導関数とみて元の関数を復元することで原始関数が求まるので偏積分が計算できることがわかる。 一変数関数で成り立った性質の多くはほぼそのまま成立する。以下、<math>y</math>に関しても同様なので<math>x</math>に関する偏積分で記述する。また、定積分表示で書くが不定積分でも同様である。 :<math>\int_a^b \{\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)\}dx=\alpha\int_a^b f(x, y)dx+\beta\int_a^b g(x, y)dy</math>（線型性） :<math>\int_a^b f(x, y)\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dx=\left[ f(x, y)g(x, y) \right]_{x=a}^{x=b} - \int_{a}^b \frac{\partial{f}}{\partial{x}}g(x, y)dx</math>（部分積分法） :<math>u=\phi(x)</math>として<math>\int_a^b f (\phi(x), y) \frac{du}{dx} dx=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u, y) du</math>（置換積分法） :<math>y=c, x\in[a, b]</math>で<math>f(x, c)\leq g(x, c)</math>ならば<math>\int_a^b f(x, c)dx\leq \int_a^b g(x, c)dx</math>（定積分不等式） 偏積分の微分に関して、以下の定理が成り立つことが知られている。 {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅰ)}} 2変数関数<math>f(x, y)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y)\in I \times[a(x), b(x)]</math>で連続且つ<math>a(x), b(x)</math>が常微分可能ならば :<math>\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, y)dy\right)=\left[f(x, y)\frac{dy}{dx}\right]_{y=a(x)}^{y=b(x)}+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> {{定理終わり}} {{定理|(ライプニッツの積分定理Ⅱ)}} 3変数関数<math>f(x, y, z)</math>に対して<math>f, f_x</math>が<math>(x, y, z)\in I_x \times I_y \times[a(x, y), b(x, y)]</math>で連続且つ<math>a(x, y), b(x, y)</math>が<math>x</math>で偏微分可能ならば :<math>\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} f(x, y, z)dz\right)=\left[f(x, y, z)\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right]_{z=a(x, y)}^{z=b(x, y)}+\int_{a(x, y)}^{b(x, y)} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dz</math> {{定理終わり}} Ⅰに於いて<math>a(x)=a, b(x)=x</math>としてみよう。すると、 :<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(x, y)dy = f(x, x) + \int_a^x \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dy</math> である。 これは、偏微分に関する微分積分学の基本定理を「微分変数と積分変数が異なる場合」に拡張したものと見ることができる。更に、<math>f(x, y)=g(y)</math>なら<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=0</math>より常微分に関する微分積分学の基本定理に一致する。 則ち、ライプニッツの積分定理は常微分・偏微分双方の意味で「微分積分学の基本定理の拡張」と捉えることができる。 Ⅰ・Ⅱとも偏微分方程式やベクトル解析で当たり前のように用いられるので、覚えておいて損はないだろう。 ===重積分の定義=== 次に、連続関数<math>f(x, y)</math>の全ての変数が動く場合の積分に就いて考える。 変数の組<math>(x, y)</math>が動く範囲（'''積分領域'''）<math>D</math>は、点<math>(x, y)</math>の軌跡と考えることで<math>xy</math>平面上の領域として表現することができる。 先ずは、簡単な場合として矩形領域<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>の場合を考える。これは、<math>z=f(x, y)</math>を<math>xy</math>平面へ<math>z</math>方向から射影した投影面が矩形ということである。 なお、重積分の文脈では、積分領域を直積集合で表すよりも<math>D=\{(x, y)\mid a\leq x \leq b, c\leq y \leq d\}</math>や<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>のような記法が好まれる。 <math>[a, b], [c, d]</math>をそれぞれ<math>a=x_0<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_{m-1}<x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots<y_j<\cdots<y_{n-1}<y_n=d</math>と等分割し、<math>D_{ij}:=[x_{i-1}, x_i]\times[y_{j-1}, y_j]</math>とする。この矩形領域から代表点<math>(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>をとるとき、各<math>D_{ij}</math>を底面・<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})</math>を高さとする長方形の体積は区間<math>[x_{i-1}, x_i],[y_{j-1}, y_j]</math>の幅を<math>\Delta x_i, \Delta y_j</math>として<math>V_{mn}=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math>と表される。これは、'''リーマン和'''を2変数関数に拡張したものである。 分割を限りなく細かくしたときの極限<math>\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} V_{mn}</math>が収束するならば、<math>f(x, y)</math>は<math>D</math>で'''二重積分可能'''といい、その極限値を<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と表して<math>f(x, y)</math>の<math>D</math>に関する'''二重積分'''という。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{\scriptstyle m \to \infty \atop \scriptstyle n \to \infty} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})\Delta x_{i} \Delta y_{j}</math> 次に、<math>D</math>が有界領域の場合を考える。 <math>D</math>は有界であるから、<math>D</math>を包含するような矩形領域<math>\tilde{D}\subset\mathbb{R}^2</math>が必ず存在する。 このとき、<math>D</math>上の二変数関数<math>f(x, y)</math>を次のように拡張する。 :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} f(x, y) & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> このとき、<math>\tilde{D}\setminus D</math>に於ける<math>\tilde{f}(x, y)</math>の値は<math>0</math>なので重積分の計算結果に影響せず、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x, y)dxdy</math> として差し支えない（右辺は先ほど定義した「矩形領域での二重積分」である）。 <math>D</math>が有界領域でない場合は後述する。 重積分では「不定積分」に相当するものを考えないことが多い。これは、積分定数の自由度が比較的高いので偏積分より扱いにくくなるためである。 <math>f(x, y)=1</math>という定数関数の重積分を考える。先ずは矩形領域に就いて考える。 リーマン和は<math>f(\alpha_{ij}, \beta_{ij})=1</math>より<math>V_{mn}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \Delta x_i \Delta y_j</math>であるが、<math>\Delta x_i \Delta y_j</math>は矩形領域<math>D_{ij}</math>の面積に等しい。よってその総和<math>V_{mn}</math>は矩形領域<math>D</math>の面積である。これは分割がどれだけ細かくなっても変わらないので、結局は<math>|D|=\iint_D 1 dxdy</math>である。このとき、1を省略して<math>\iint_D dxdy</math>と表す。 <math>D</math>が有界領域であるとき、<math>D</math>を包含する矩形領域<math>\tilde{D}</math>に関して :<math>\tilde{f}(x, y)=\begin{cases} 1 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in D \\ 0 & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \tilde{D}\setminus D \end{cases}</math> であり、<math>\tilde{D}</math>での重積分の値は同様の議論により結局は有界領域<math>D</math>の面積に等しくなる。 一変数の積分では<math>\int_a^b dx = b-a</math>（区間の幅）であったが、二変数の重積分では<math>\iint_D dxdy= |D|</math>（領域の面積）と判った。三変数でも、同様の議論により<math>\iiint_V dxdydz = |V|</math>（領域の体積）となる。一般に、1の<math>n</math>重積分は積分領域となる図形の大きさ（<math>n</math>次のルベーグ測度）に等しい。ベクトル解析で扱う線積分・面積分・体積分でも同様の事項が成り立つ。 [[測度論]]では、逆にルベーグ測度を1の重積分として定義する流儀もある。 ===累次積分=== 次に、重積分の具体的な計算方法に就いて見ていく。 先程見たように、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>は積分領域<math>D</math>と曲面<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体の体積と考えられる。 数学Ⅲで扱ったように、立体の体積は「立体の断面積を表す関数を積分」すれば求めることができる。つまり、「立体をある平面で切ったときの断面積」さえ求まれば計算することができると考えられる。 実は、この断面積は偏積分で与えられる。 偏積分<math>h(y)=\int_a^b f(x, y)dx</math>は「<math>D=[a, b]\times I</math>と<math>z=f(x, y)</math>が囲む立体を<math>y</math>を固定した平面で切ったときの断面積」なので、これを<math>y</math>に関して区間<math>I</math>で常積分してやれば「断面積の積分=体積」が求まる。 この話を具体的に見ていく。 先ずは、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>という矩形領域を考える。 <math>y</math>を固定した平面で切った断面積は<math>\int_a^b f(x, y)dx</math>であり、この断面積を<math>[c, d]</math>で積分してやればいいので、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)dx \right) dy</math>である。 <math>x</math>を固定した平面で切った断面積で考えても同じであり、<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)dy \right)dx</math>。 なお、<math>D=[a, b]\times[c, d]</math>且つ<math>f(x, y)=g(x)h(y)</math>と分離できる場合は<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \left( \int_a^b g(x) dx\right)\left( \int_c^d h(y)dy \right)</math>と、非常に単純な計算で求まる。 一般の有界領域<math>D</math>に関しては、「<math>(x, y)</math>が<math>D</math>内の全ての点を1点ずつ重複なく通る」ように<math>x, y</math>をそれぞれ動かす必要がある。そのような動かし方をいきなり定めるのは困難であるため、以下のような場合を考える。 '''定義が区分的でない'''関数<math>\phi_1(x), \phi_2(x)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\}</math>と表され、'''疆界が単純閉曲線'''^※である積分領域を'''<math>x</math>-単疆界領域'''<!-- 『例から学ぶ微分積分』馬場裕・笹尾哲・山本光・山本勇(共立出版、2022年)より -->（<math>x</math>-単線領域）と呼ぶことにする（統一名称は存在せず、書籍によって様々に呼ばれる）。同様に、定義が区分的でない関数<math>\psi_1(y), \psi_2(y)</math>を用いて<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\}</math>と表され、疆界が単純閉曲線である積分領域を'''<math>y</math>-単疆界領域'''（<math>y</math>-単線領域）と呼ぶ。 ※「単純閉曲線」とは、「'''閉曲線'''（端点(始点と終点)が一致する曲線）であって自己交叉しない（端点以外で自分自身と交わらない）」曲線のことである。[[位相幾何学]]の知識を用いると単疆界領域は「単純閉曲線で囲まれた単連結領域」と言い換えられる。 <math>x</math>-単疆界領域では例えば<math>x=x_0</math>を固定すると<math>y</math>を<math>\phi_1(x_0)</math>から<math>\phi_2(x_0)</math>まで動かしたときに点<math>(x, y)</math>は線分<math>x=x_0 (\phi_1(x_0)<y<\phi_2(x_0))</math>上の点を一回ずつ通る。次に、<math>x</math>を<math>a</math>から<math>b</math>まで動かせば<math>(x, y)</math>は<math>D</math>内の全ての点を重複なく通ったことになる。 よって、矩形領域と同様の議論で二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a\leq x \leq b \\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{array} \right\} \right)</math>は次のように計算される。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> <math>y</math>-単疆界領域でも同様に二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy \quad \left( D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \\ c \leq y \leq d \end{array} \right\} \right)</math>は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx \right) dy</math> と計算される。 このように、重積分を偏積分の常積分で表したものを'''累次積分'''（逐次積分、反復積分）という。見た目上は常積分の反復であることが名前の由来である。3変数以上の場合、最外部の積分のみ常積分で残りは積分変数以外を固定した偏積分である。 昔からの慣習として、累次積分の先に計算する部分を右側に纏めて :<math>\int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy</math> のように表す場合がある。 これは :<math>\left(\int_a^b dx\right) \left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x, y)dy\right)</math> を意味しないので注意。 本項では、混乱を防ぐため通常の記法で書く。 なお、積分区間を更に詳しく明示した :<math>\int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=\phi_1(x)}^{y=\phi_2(x)} f(x, y)dy \right) dx</math> という記法も存在する。 単疆界領域でない領域の場合、疆界となる関数が切り替わる点（疆界点）で領域を分割することで単疆界領域になるので、それぞれの単疆界領域での重積分の和を計算すればよい。 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \sum_i \iint_{D_i} f(x, y)dxdy</math> :例) :<math>x\in[-1, 1], \phi_1(x)=0, \phi_2(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ -x+1 & (x\geq0) \end{cases}</math>のとき、 :<math>D=D_1 \cup D_2</math> :<math>D_1=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} -1 \leq x < 0 \\ 0 \leq y \leq x+1 \end{array} \right\}</math> :<math>D_2=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math> :とすれば良い。 二重積分を累次積分に直すとき、<math>D</math>の図を書くことで疆界となる区分的でない関数を正しく導くことができる。 なお、重積分でも線型性と定積分不等式が成り立つ。 :<math>\iint_D (\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) dxdy = \alpha \iint_D f(x, y)dxdy + \beta \iint_D g(x, y)dxdy</math> :<math>f(x, y)\leq g(x, y)\quad\mathrm{at}\, D \implies \iint_D f(x, y)dxdy \leq \iint_D g(x, y)dxdy</math> ===積分順序の変更=== 積分領域が<math>x</math>-単疆界領域且つ<math>y</math>-単疆界領域であるならば、累次積分で<math>x, y</math>のどちらを先に計算しても結果は同じである。単疆界領域でなくとも、単疆界領域に分割した重積分の和を考えれば同じく積分順序を交換できる。 一般に、次が成り立つ。 {{定理|(フビニの定理)}} 多変数関数が積分領域<math>D</math>で重積分可能ならば、累次積分の積分順序は可換である。 {{定理終わり}} 但し、'''積分順序を交換すると各積分の積分区間が変わる'''ことに注意が必要である。 例えば、三角形領域<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq -x+1 \end{array} \right\}</math>に於ける<math>f(x, y)=xy^2</math>の重積分を考える。 <math>D</math>は<math>x</math>-単疆界領域なのでこの重積分は累次積分により :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-x+1} xy^2 dy \right)dx</math> :<math>=\int_0^1 x\left[\frac{1}{3}y^3\right]_{1}^{-x+1} dx</math> :<math>=\frac{1}{3}\int_0^1 x(-x^3+3x^2-3x)dx</math> :<math>=\frac{1}{3} \left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-x^3 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> と計算される。 <math>D</math>の表式を今度は<math>y</math>-単疆界領域となるように変形する。 :<math>y=-x+1\iff x=-y+1</math> :<math>0\leq x \leq 1 \iff 0 \leq y \leq 1</math> :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0\leq x \leq -y+1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> 同様に重積分を計算すると :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{-y+1} xy^2 dx \right)dy</math> :<math>=\int_0^1 y^2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{-y+1}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^1 y^2(y^2-2y)dy</math> :<math>=\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}y^5-\frac{1}{2}y^4 \right]_0^1 </math> :<math>=-\frac{3}{20}</math> このように、正しく積分順序を交換すれば同じ結果を得る。 また、以下のように積分順序を交換することで計算が容易となる場合がある。 {{演習問題|<math>\int_{0}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x dy \right)dx</math>を積分順序を交換することで計算せよ。| 二重積分<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>と見て積分領域<math>D</math>を求めると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \end{array} \right\}</math> 則ち、<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2 \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array} \right\}</math>という半円領域である。<br>これを<math>y</math>-単疆界領域となるように変形すると :<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \\ -1 \leq y \leq 1 \end{array} \right\}</math> よって累次積分に直して :<math>\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{-1}^{1} \left( \int_0^{\sqrt{1-y^2}} x dx \right)dy</math> :<math>=\int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{\sqrt{1-y^2}}dy</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_{-1}^1(1-y^2)dy</math> :<math>=\int_0^1 (1-y^2)dy</math> :<math>=\frac{2}{3}</math>// }} ===変数変換=== 常積分では置換積分という手法により積分変数を別の変数に変換することができた。重積分でも同様に変数変換を考えることができる。 <math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \end{cases}</math>という変数変換によって積分領域が<math>(s, t)\in E</math>から<math>(x, y)\in D</math>に写されるとする。 このとき、全単射な写像<math>\Gamma:E\to D</math>が存在すれば変換前後で重積分の計算が可能である。 一変数の置換積分では<math>dx</math>が<math>\frac{dx}{dt}dt</math>に置き換わった。同様に<math>dxdy</math>が○○倍の<math>dsdt</math>に置き換わると予想されるが、この○○に入るのは何であろうか？ <math>dx, dy</math>はそれぞれ<math>\phi(s, t), \psi(s, t)</math>の<math>s, t</math>を微小変化させたときの変化量、則ち全微分と考えられるので、 :<math>dx=\frac{\partial{\phi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\phi}}{\partial{t}}dt</math> :<math>dy=\frac{\partial{\psi}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}dt</math> これを一次変換の記法で表すと :<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \end{pmatrix}</math> である。 <math>(x, y)</math>の組と<math>(s, t)</math>の組がそれぞれ一次独立であるとすると、<math>dxdy</math>と<math>dsdy</math>はそれぞれ<math>D, E</math>での微小矩形の面積を表すと解釈でき、更に行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>は正則である。 ここで、一次変換による図形の拡大率は表現行列の行列式の絶対値だったので、 :<math>dxdy = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right|dsdt</math> が成り立つ。 則ち、重積分の変数変換の表式は :<math>\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_E f(\phi(x, y), \psi(x, y)) \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix} \right| dsdt</math> である。 行列<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\phi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\phi}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\psi}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}} \end{pmatrix}</math>を'''ヤコビ行列'''（ヤコブ行列）と言い、<math>\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>と略記する。ヤコビ行列式<math>\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}</math>を'''ヤコビアン'''という。 二次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x=s+t \\ y=s-t \end{cases}</math>（'''斜交座標'''）や<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>（'''円座標'''）が挙げられる。後者は特に、円が絡む積分領域のときに真価を発揮する。 三次元以上でも同様に全微分を一次変換表記することでヤコビ行列を得、それが変数変換の変換レートとなる。 三次元でよく用いられる変換としては、<math>\begin{cases} x= t+u \\ y=u+s \\ z=s+t \end{cases}</math>（'''ラヴィ変換'''）、<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases}</math>（'''円筒座標'''）、<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z= r\cos\theta \end{cases}</math>（'''球面座標'''）が挙げられる。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x^2+y^2, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}</math>のとき、変数変換により<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\begin{cases} x=as \\ y=bt \end{cases}</math>と変換すると :<math>x^2+y^2=a^2s^2+b^2t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| s^2+t^2 \leq 1 \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(x, y)}}{\partial{(s, t)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\right|=ab</math> より :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy=\iint_E \{(a^2s^2+b^2t^2)ab\}dsdt</math> :<math>=a^3b\iint_E s^2dsdt + ab^3\iint_E t^2dsdt</math> 更に<math>\begin{cases} s=r\cos\theta \\ t=r\sin\theta \end{cases}</math>と変換すると :<math>s^2=r^2\cos^2\theta,\quad t^2=r^2\sin^2\theta</math> :<math>F = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \tau \end{array} \right\}</math> :<math>\left|\det\frac{\partial{(s, t)}}{\partial{(r, \theta)}}\right|=\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\right|=r</math> より :<math>\iint_E s^2 dsdt = \iint_F \{(r^2\cos^2\theta) r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \cos^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x+\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> :<math>\iint_E t^2dsdt=\iint_F \{(r^2\sin^2\theta)r\}drd\theta</math> :<math>=\left(\int_0^1 r^3 dr\right)\left(\int_0^\tau \sin^2\theta d\theta\right)</math> :<math>=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 \cdot \left[ \frac{2x-\sin2x}{4} \right]_0^\tau </math> :<math>=\frac{1}{4}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{\pi}{4}</math> よって最終的に :<math>\iint_D (x^2+y^2)dxdy = a^3b\cdot\frac{\pi}{4}+ab^3\cdot\frac{\pi}{4}</math> :<math>=\frac{ab\pi}{4}(a^2+b^2)</math>// }} ここで、「極座標なのに<math>r=0</math>を考えてる」「<math>\theta=0</math>と<math>\theta=\tau</math>が点として重複してる」からおかしいと思うだろうが、実は問題ないことが示される。詳細は最後の節で扱う。 積分領域が<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} a \leq \varphi(x, y) \leq b \\ c \leq x \leq d \end{array} \right\}</math>と表されるとき、<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}\neq0</math>ならば「陰関数」節で述べたように原点近傍で<math>\begin{cases} s = \varphi(x, y) \\ t=x \end{cases}</math>という変数変換が有効である。 {{演習問題|<math>f(x, y)=x+y, D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2 \leq y \leq x^2+4 \\ -2 \leq x \leq 2 \end{array} \right\}</math>のとき、<math>\iint_D f(x, y)dxdy</math>を計算せよ。| <math>\varphi(x, y):=y-x^2</math>とすると<math>-\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}=-1\neq0</math>であり、<math>0\leq \varphi(x, y)\leq 4</math><br> <math>\begin{cases} s = y-x^2 \\ t=x \end{cases}</math>と変換すると :<math>x+y=s+t+t^2</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq s \leq 4 \\ -2 \leq t \leq 2 \end{array} \right\}</math> :<math>\left| \det \frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)} \right|= \left|\det \begin{pmatrix} -2x & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right|=1</math> より :<math>\iint_D (x+y)dxdy = \iint_E (t+s+t^2) dsdt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left( \int_0^4 (s+t+t^2)ds \right)dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 \left[ \frac{1}{2}s^2 + s(t+t^2) \right]_{s=0}^{s=4} dt</math> :<math>=\int_{-2}^2 (8+4t+4t^2)dt</math> :<math>=8\int_0^2 (2+t^2)dt</math> :<math>=8\left[ 2t+\frac{1}{3}t^3 \right]_0^2</math> :<math>=8\left( 4+\frac{8}{3} \right)</math> :<math>=\frac{160}{3}</math>// }} この問題は変数変換せずに累次積分すると<math>\iint_D (x+y)dxdy = \int_{-2}^2 \left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_{y=x^2}^{y=x^2+4} dx</math>とかなり煩雑な式となるが、この変数変換によって非常に単純な単疆界領域となるので計算が容易となる。 但し、積分領域が簡単になっても被積分関数がかえって煩雑になってしまうと変換をする意味が薄れるので、適切な変換を選択できるように練習を積む必要がある。 ===重積分の応用=== 重積分の応用例の一つは、体積の求積である。 先程述べたように、<math>\iiint_V dxdydz</math>は立体<math>V</math>の体積に等しい。数学Ⅲで習ったように「一変数関数の定積分」として求めようとすると、「いずれかの座標軸に垂直な平面で切った断面を考えてその面積を式で表し、座標軸で積分する」という手続きを要する。これは空間図形の素養が必要なので一般に苦しい。しかしながら、三重積分として計算すると見通しが立ちやすく、ある意味機械的な計算で求積可能である。 ここで、<math>V=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D \\ f(x, y) \leq z \leq g(x, y) \end{array} \right\}</math>のように表されるとする。<!-- \middle|が使えないから長さが足りない --> すると、三重積分は :<math>\iiint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_{f(x, y)}^{g(x, y)}dz \right) dxdy</math> のように二重積分に帰着することが可能である。 勿論、二重積分が先になるように計算したり最初から3重の累次積分に直接直しても構わない。 {{演習問題|球<math>x^2+y^2+z^2\leq1</math>と円柱<math>x^2+y^2\leq x</math>の共通部分のうち、<math>y\geq0, z\geq0</math>にある部分の体積を求めよ。| 底面に於いて、<math>x^2+y^2\leq x, y\geq 0, z=0</math>を満たす点<math>(x, y, z)</math>をどこに固定しても<math>0\leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}</math>が成り立ち、 :<math>\iint_V dxdydz = \iint_D \left( \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dz \right)dxdy</math> :<math>=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\quad \left(D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ y\geq 0 \end{array} \right\}\right)</math> 円座標に変換すると :<math>\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{1-r^2}</math> :<math>E=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r \leq \cos\theta \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math> :<math>dxdy=rdrd\theta</math> よって :<math>\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=\iint_E r\sqrt{1-r^2}drd\theta</math> :<math>= \int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( \int_0^{\cos\theta} r\sqrt{1-r^2} \right) d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\theta-1)d\theta</math> :<math>=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{2}\right)</math>（<math>\because</math>ウォリスの公式） :<math>=\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}</math>// }} 重積分のもう一つの応用例は、曲面の表面積（'''曲面積'''）である。 詳細な議論はベクトル解析の頁に任せ、結果だけ書いておく。 {{定理|(曲面積Ⅰ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>f(x, y)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:z=f(x, y)\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}dxdy</math> {{定理終わり}} この式は[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|一変数関数に於ける曲線の長さの式]]<math>L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>の一般化である。 なお、<math>\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2}</math>は「全微分」節で紹介した点<math>(x, y)</math>に於ける曲面<math>S</math>の接平面の法線ベクトル<math>\begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix}</math>の大きさに等しい。 発展として、曲面が<math>\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}</math>と媒介変数表示された場合の表式は以下のようになる。 {{定理|(曲面積Ⅱ)}} <math>D\subset\mathbb{R}^2</math>を有界領域、<math>\phi(s, t), \psi(s, t), \omega(s, t)\in C^1</math>とすると、 曲面<math>S:\begin{cases} x=\phi(s, t) \\ y=\psi(s, t) \\ z = \omega(s, t) \end{cases}\quad ({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} s \\[-6pt] t \end{array}\right)} \in D)</math>の曲面積は :<math>|S|=\iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial{y}}{\partial{s}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}} -\frac{\partial{y}}{\partial{t}}\frac{\partial{z}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{z}}{\partial{s}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} -\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\frac{\partial{x}}{\partial{s}} \right)^2+\left( \frac{\partial{x}}{\partial{s}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} -\frac{\partial{x}}{\partial{t}}\frac{\partial{y}}{\partial{s}} \right)^2}dsdt</math> {{定理終わり}} こちらは媒介変数表示された一変数関数に於ける曲線の長さの式<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math>の一般化である。 <math>\begin{cases} x=x \\ y=y \\ z = f(x, y) \end{cases}</math>とすればⅠの式に一致する。 ===広義重積分=== 重積分でも広義積分に相当するものを考えたい。しかし、序論から見てきたように二変数関数の変数の組<math>(x, y)</math>は<math>xy</math>平面上をありとあらゆる方向に無数の軌道で動くことができる。このため、広義積分を上手く定義できるとは一般に限らない。ここでは、上手く定義できる場合を見ていく。 先ずは、非有界領域での重積分を考える。 <math>xy</math>平面上の有界とは限らない領域<math>D</math>に対し、次を満たす有界領域<math>D_n</math>を考える。 #<math>D_1\subset D_2\subset D_3\subset \cdots \subset D_n \subset D</math> #<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D</math> #<math>\forall S(\mathrm{is\, bounded}) \subset D,\quad \exist n\in\mathbb{N},\quad S\subset D_n</math> このような有界領域の列<math>\{D_n\}</math>を<math>D</math>の'''近似増加列'''という。 <math>\{D_n\}</math>の選び方に依らず<math>\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math>が収束するとき、 :<math>\iint_D f(x, y)dxdy:=\lim_{n\to\infty} \iint_{D_n}f(x, y)dxdy</math> と定義する。これを'''広義二重積分'''という。 次に、積分領域が特異点<math>\alpha</math>を含む場合を考える。 このときは、「<math>\alpha \notin D_n</math>（近似増加列は特異点を含まない）」且つ「<math>\bigcup_{n=1}^\infty D_n=D\setminus\{\alpha\}</math>（近似増加列の和集合が積分領域から特異点を除いたものに等しい）」且つ「<math>\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right)^-=D</math>（近似増加列の閉包が積分領域に等しい）」となるように近似増加列<math>\{D_n\}</math>をとり、同様に極限値として広義二重積分を定義すればよい。 極座標変換に於ける<math>r=0</math>や<math>\theta=\tau</math>が積分領域の境界として許されているのは、広義重積分によって特異点を含んでも問題なく計算可能なことが示されるからである。定性的・直観的には、「特異点の測度は0なので測度の総和である積分結果には影響しない」という説明がなされる。 次の定理が成り立つ。 {{定理|}} 多変数関数が非負関数または非正関数であるとき、ある<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分が収束するならば任意の<math>\{D_n\}</math>に対して広義重積分は収束する。 {{定理終わり}} ここから、「広義重積分が収束するような簡単な近似増加列を見つければよい」という結論に至る。 広義重積分の有名な使用例を以下に示す。 *例題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D_n=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} x^2+y^2\leq n^2 \\ x\geq0, y\geq0 \end{array} \right\}</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy</math>を計算せよ。 *解答 :<math>e^{-(x^2+y^2)}</math>は明らかに非負関数であり、<math>\{D_n\}</math>が近似列であることも自明である。 :円座標に変換して<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}</math>、<math>E_n=\left\{ \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq r\leq n \\ 0 \leq \theta \leq \frac{\tau}{4} \end{array} \right\}</math>、<math>dxdy=rdrd\theta</math> :<math>\iint_{D_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\iint_{E_n}re^{-r^2}drd\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left(\int_0^n re^{-r^2}dr \right)d\theta</math> :<math>=\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^n d\theta</math> :<math>=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\tau}{4}} \left( 1-e^{-n^2}\right) d\theta</math> :<math>=\frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right)</math> :よって広義重積分の値は :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\lim_{n\to\infty} \frac{\tau}{8}\left(1-\frac{1}{e^{n^2}}\right) = \frac{\tau}{8}</math>// ここで<math>e^{-(x^2+y^2)}=e^{-x^2}e^{-y^2}</math>であり、、<math>x, y</math>は独立に半開区間<math>[0, \infty)</math>を動くので矩形領域の場合と同様に分離することができる。則ち、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}dy \right)</math> 右辺に於いて積分変数のラベルは関係ないので<math>y</math>を<math>x</math>に取り換えると、 :<math>\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2</math> ここで左辺に先程求めた値を代入すると :<math>\frac{\tau}{8}=\left( \int_0^\infty e^{-x^2}dx \right)^2</math> 両辺正なので平方根をとって :<math>\sqrt{\frac{\tau}{8}}=\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math> 則ち、 :<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> 左辺の被積分関数は非負なので<math>\int_0^\infty |e^{-x^2}|<\infty</math>より絶対収束し、偶関数・奇関数の対称積分の性質を広義積分でも適用できる。<br> よって :<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}</math> こうして、ガウス積分の値が求まった。 *発展問題 **<math>D=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1\end{array} \right\}</math>の近似増加列の一般項を<math>D'_n\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Bigg| \begin{array}{c} 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{n} \end{array} \right\}</math>として<math>D_n=D\setminus D'_n</math>とする。 *:このとき、広義重積分<math>\iint_D \frac{dxdy}{x+y}</math>を計算せよ。 [[カテゴリ:微分積分学|たへんすうかんすうのひせきふん]] oj11hl5wi16r1lkm166i9t27u5mlz1k 0 35879 301938 267683 2026-07-31T09:59:00Z ~2026-42422-29 92167 smallの使用例に"©"と直接書いてあったので"&copy;"と訂正。 301938 wikitext text/x-wiki {{Nav}} == HTMLとは == いま見ているこのページもHTMLを返しています。基本的にはウェブページはHTMLを返します。 静止画・動画・スクリプトやスタイルシートなどの他の構成要素もありますが、多くはHTMLから間接的に参照されます。 ;例:<syntaxhighlight lang=html5 line copy> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>タイトル</title> </head> <body> <h1>レベル１の見出し</h1> コンテンツ </body> </html> </syntaxhighlight> == HTML基本構成 == :<syntaxhighlight lang=html line copy> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>タイトル</title> <link href="style.css" rel="stylesheet"> <meta name="description" content="ページの概要"> </head> <body> <h1>テストHTML</h1> <p>このページはテストHTMLです。</p> <p>pタグで囲った文章</p> </body> </html> </syntaxhighlight> ;表示:[[ファイル:テストHTML.png|サムネイル|左|代替文=上のhtmlの表示結果|テストHTMLの表示]] <br style="clear: both> ブラウザなどの環境によって異なりますが、概ね上記のように表示されます。 === DOCTYPE === <code><!DOCTYPE html></code>は、HTML Living Standard に従って書かれたHTML文書を示すものです。HTML Living Standardは、廃止されたHTML5の後継で、常に進化しているHTMLの最新の状態を表現しています。そのため、<code><!DOCTYPE html></code>を使用することで、HTML Living Standardに準拠した文書であることを示すことができます。 HTML Living Standardは、WHATWG（Web Hypertext Application Technology Working Group）によって管理されています。HTML Living Standardは、Web技術の進化や新しい機能の追加に対応するため、非定期に更新されています。 HTML Living StandardのDOCTYPEには、文書型宣言（DTD; Document Type Declaration）が含まれていないので、もはやSGMLではありません。 === html要素 === <code>html</code>要素はHTML文書のルート要素であり、全体のHTML構造を定義します。<code>html</code>要素は以下のように記述されます： :<syntaxhighlight lang=html copy> <html lang="ja"> <!-- ここにHTML文書の他の要素が入ります --> </html> </syntaxhighlight> <code>lang</code>属性は、要素内のテキストがどの言語で書かれているかを指定します。<code>lang</code>属性の値は、対象の言語を表す言語コードで指定されます。例えば、<code>ja</code>は日本語を表し、<code>en</code>は英語を表します。<code>lang</code>属性は主にアクセシビリティや検索エンジンのインデックスなどに使用され、ブラウザーが文書の言語を適切に解釈するのに役立ちます。 したがって、<code><html lang="ja"></code>という記述は、このHTML文書が日本語で書かれていることを示しています。このようにして言語を指定することで、ブラウザーや検索エンジンが適切に文書を処理し、ユーザーにとってより使いやすい環境を提供することができます。 === head要素 とは === <code>head</code>要素は、HTML文書内で文書のメタデータやリソースへのリンク、スタイルシートの設定、JavaScriptの埋め込みなど、文書の構造や表示方法に関する情報を含むセクションです。<code>head</code>要素は文書の開始タグ <code><[[HTML Living Standard/html|html]]></code> の直後に配置され、終了タグ <code></head></code> で終わります。 以下は<code>head</code>要素が含むことができる主な要素です： * <code><[[HTML Living Standard/title|title]]></code>: ページのタイトルを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/meta|meta]]></code>: 文書のメタデータ（文字エンコーディング、キーワード、説明など）を指定します。 * <code><[[HTML Living Standard/link|link]]></code>: 外部リソース（CSS、アイコン、スタイルシートなど）へのリンクを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/style|style]]></code>: 文書内で使用されるスタイルシートを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/script|script]]></code>: JavaScriptコードを埋め込むための要素です。 <code>head</code>要素内のコンテンツは、ブラウザーに直接表示されるものではなく、ページのタイトルや検索エンジンの索引、ページの外観や挙動を制御するために使用されます。 ==== title要素 ==== <code>title</code>要素は、HTML文書内でページのタイトルを定義するための要素です。ブラウザーのタブやブラウザーのウィンドウのタイトルバーに表示されるページのタイトルを設定します。 ==== エンコーディング ==== UTF-8でエンコードされたHTML文書を正しく解釈するためには、以下のように<code><meta charset="UTF-8"></code>を使用します。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <head> <meta charset="UTF-8"> <!-- 他のメタ情報やスタイルシートやスクリプトのリンクなどもここに配置 --> </head> </syntaxhighlight> このメタタグによって、ブラウザーは文書の文字エンコーディングがUTF-8であることを知り、そのように文書を解釈します。文字エンコーディングが正しく指定されていない場合、特定の文字が正しく表示されない、または文字化けが発生する可能性があります。 HTML Living Standardでは、<code><meta charset="UTF-8"></code>のようにcharset属性の値としてエンコーディングを直接指定することが推奨されています。 ==== 外部スタイルシート ==== <code>link</code>要素は、HTML文書内で外部リソースへのリンクを定義するための要素です。<code>link</code>要素を使用して外部のスタイルシートファイルをHTML文書にリンクする場合、以下のように記述します： :<syntaxhighlight lang=html copy> <link href="style.css" rel="stylesheet"> </syntaxhighlight> ここでの各属性の意味は以下の通りです： * <code>href="style.css"</code>: リンク先の外部スタイルシートファイルのURLまたは相対パスを指定します。この例では、<code>style.css</code>という名前のスタイルシートファイルが同じディレクトリ内に存在することを前提としています。 * <code>rel="stylesheet"</code>: リンクされているリソースがスタイルシートであることを示します。 このようにして<code>link</code>要素を使用すると、ブラウザーは指定されたスタイルシートファイルをダウンロードし、HTML文書に適用します。これにより、外部のスタイルシートファイルに記述されたスタイルがHTML文書に適用され、ページの外観が変更されます。 === body要素 === <code>body</code>要素は、HTML文書内で実際のコンテンツ（テキスト、画像、リンク、動画、音声など）を含むセクションを定義します。ブラウザーが表示するページの実際のコンテンツは、通常は<code>body</code>要素内に配置されます。 以下は<code>body</code>要素が含むことができる主な要素です： * テキストコンテンツ（段落、見出し、リストなど） * 画像 <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code> * リンク <code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> * 動画 <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code> や音声 <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code> * フォーム要素（入力フォーム、ボタン、ラベルなど） * スクリプトやスタイルシートの埋め込み（通常は<code><[[HTML Living Standard/script|script]]></code>や<code>style</code>要素を使用） <code>body</code>要素はHTML文書内で1つだけ使用される必要があり、ページの実際のコンテンツが表示されるメインエリアとなります。 == ブロック要素 == HTML Living Standardのブロック要素の一覧を表形式で示します。以下の表は、主要なブロック要素の名前、説明、および使用例を提供します。 :{| class="wikitable" |+ ブロック要素!要素名 !説明 !用例 |- |<code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code> |連絡先情報を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><address>Email: info@example.com</address></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code> |独立したコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><article><h1>記事タイトル</h1><p>記事本文...</p></article></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code> |メインコンテンツに間接的に関連するコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><aside><h3>関連記事</h3><ul>...</ul></aside></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code> |長い引用を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><blockquote><p>引用文...</p></blockquote></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/details|details]]></code> |追加の詳細を定義（開閉可能） |<syntaxhighlight lang=html inline><details><summary>詳細を表示</summary><p>追加情報...</p></details></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dialog|dialog]]></code> |ダイアログボックスやモーダルウィンドウを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><dialog open><p>ダイアログの内容</p></dialog></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/div|div]]></code> |汎用的なコンテナー要素 |<syntaxhighlight lang=html inline><div class="container">...</div></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dl|dl]]></code> |説明リストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><dl><dt>用語</dt><dd>説明</dd></dl></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/fieldset|fieldset]]></code> |フォーム要素をグループ化 |<syntaxhighlight lang=html inline><fieldset><legend>個人情報</legend>...</fieldset></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code> |自己完結型のコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><figure><img src="image.jpg"><figcaption>説明</figcaption></figure></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code> |文書またはセクションのフッターを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><footer><p>© 2024 Example Corp.</p></footer></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/form|form]]></code> |ユーザー入力のためのフォームを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><form action="/submit" method="post">...</form></syntaxhighlight> |- |<syntaxhighlight lang=html inline><h1>-<h6></syntaxhighlight> |見出しを定義（h1が最上位、h6が最下位） |<syntaxhighlight lang=html inline><h1>メインタイトル</h1></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code> |文書またはセクションのヘッダーを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><header><h1>ウェブサイト名</h1><nav>...</nav></header></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/hr|hr]]></code> |主題の区切りを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><p>セクション1</p><hr><p>セクション2</p></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code> |文書の主要なコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><main><h1>記事タイトル</h1><p>本文...</p></main></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code> |ナビゲーションリンクのセットを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><nav><ul><li><a href="#">ホーム</a></li>...</ul></nav></syntaxhighlight> |- | <code><[[HTML Living Standard/noscript|noscript]]></code> || スクリプトが無効な場合に表示する代替コンテンツを定義 || <syntaxhighlight lang=html inline><noscript>JavaScriptが無効です。</noscript></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ol|ol]]></code> |順序付きリストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ol><li>第一項目</li><li>第二項目</li></ol></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code> |段落を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><p>これは段落のテキストです。</p></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/pre|pre]]></code> |整形済みテキストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><pre>function example() {}</pre></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code> |文書の一般的なセクションを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><section><h2>セクションタイトル</h2><p>セクション内容...</p></section></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/table|table]]></code> |表を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><table><tr><th>ヘッダー</th></tr><tr><td>データ</td></tr></table></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code> |順序なしリストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ul><li>項目1</li><li>項目2</li></ul></syntaxhighlight> |} これらの要素は、Webページの構造を定義するために使用され、それぞれが異なる役割を果たします。各要素の詳細な使用方法や属性については、HTML Living Standardの公式仕様やリファレンスを参照することをお勧めします。 == インライン要素 == HTML Living Standardのインライン要素の一覧を表形式で示します。以下の表は、主要なブロック要素の名前、説明、および使用例を提供します。 :{| class="wikitable" |+ インライン要素 !要素名 !説明 !用例 |- |<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> |ハイパーリンクを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><a href="https://example.com">リンク</a></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code> |略語を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><abbr title="HyperText Markup Language">HTML</abbr></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code> |テキストを太字で表示（視覚的な強調） |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<b>重要な</b>ポイントです。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/bdi|bdi]]></code> |双方向テキストの分離 |<syntaxhighlight lang=html inline>ユーザー名: <bdi>إيان</bdi></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/bdo|bdo]]></code> |テキストの方向を上書き |<syntaxhighlight lang=html inline><bdo dir="rtl">This text will go right to left</bdo></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code> |改行を挿入 |<syntaxhighlight lang=html inline>一行目<br>二行目</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code> |作品のタイトルを引用 |<syntaxhighlight lang=html inline><cite>源氏物語</cite>は日本の古典文学です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code> |コンピューターコードを表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>関数は<code>function()</code>で定義します。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code> |機械可読なデータを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><data value="398">ミニ・クーパー</data></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code> |定義する用語を指定 |<syntaxhighlight lang=html inline><dfn>HTML</dfn>はウェブページを作成するための言語です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code> |テキストを強調（意味的な強調） |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<em>非常に重要な</em>ポイントです。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code> |イタリック体で表示（異なる声や雰囲気を表現） |<syntaxhighlight lang=html inline>彼は<i>心の中で</i>つぶやいた。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/kbd|kbd]]></code> |キーボード入力を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>保存するには<kbd>Ctrl+S</kbd>を押してください。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code> |マーカーで強調表示されたテキスト |<syntaxhighlight lang=html inline>最も<mark>重要な</mark>部分を強調します。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code> |短い引用を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline>彼は<q>明日また来ます</q>と言った。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rp|rp]]></code> |ルビをサポートしないブラウザ用の括弧 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rp>(</rp><rt>かんじ</rt><rp>)</rp></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rt|rt]]></code> |ルビテキストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rt>かんじ</rt></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rtc|rtc]]></code> |ルビのコンテナを示す要素 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby><rb>漢字</rb><rtc><rt>かんじ</rt><rt>カンジ</rt></rtc></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ruby|ruby]]></code> |ルビ注釈を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rt>かんじ</rt></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code> |取り消し線を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline><s>旧価格: 1000円</s> 新価格: 800円</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/samp|samp]]></code> |プログラムの出力例を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>エラーメッセージ: <samp>ファイルが見つかりません</samp></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code> |小さな文字で表示（著作権表示など） |<syntaxhighlight lang=html inline><small>&copy; 2024 Example Corp.</small></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code> |インラインテキストをグループ化 |<syntaxhighlight lang=html inline><span style="color: red;">赤いテキスト</span></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code> |テキストを強く強調 |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<strong>非常に重要な</strong>警告です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code> |下付き文字を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>H₂O</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code> |上付き文字を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>2³ = 8</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code> |日付や時刻を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><time datetime="2024-01-01">元旦</time></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code> |下線を表示（非推奨、スタイリングに使用） |<syntaxhighlight lang=html inline><u>下線付きテキスト</u></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code> |変数を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>方程式 <var>x</var> + <var>y</var> = 10</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/wbr|wbr]]></code> |任意の改行位置を指定 |<syntaxhighlight lang=html inline>This<wbr>Is<wbr>A<wbr>VeryLongWord</syntaxhighlight> |} これらの要素は、HTML文書内で行内要素として使用され、ブロックレベル要素の中には配置できますが、直接他の行内要素の中には配置できません。 == HTMLの書き方 == ここまで説明してきましたが、重要な「'''HTMLの書き方'''」について説明していなかったので、説明します。 === 「<」と「>」,「</」「>」で挟む === <開始タグ> ・・・ </終了タグ> という順番を意識して、次の解説をお読みください。 今まで、「'''<body>'''」とか、「'''<link>'''」とか、とにかくタグを「'''<'''」「'''>'''」ではさみまくっていますが、この「'''<'''」で始まり、「'''>'''」で終わるタグを、「'''開始タグ'''」。 「'''</'''」で始まり、「'''>'''」で終わるタグを、「'''終了タグ'''」と言います。HTMLのタグは、「終了タグ」が無いものもありますが、<span style="color:gray;">(例えば「<link>」や「<input>」)</span>絶対に「開始タグ」はあります。 == id と class を使う利点 == <code>id</code> と <code>class</code> を使うことで、さまざまなメリットがあります。たとえば、<code>CSS</code> を使用して特定の要素にスタイルを適用することができます。 === id と class の設定方法 === <code>id</code> と <code>class</code> の名前には一定のルールがありますが、基本的に自由に設定できます。 ==== 名前のルール ==== <code>id</code> 名と <code>class</code> 名をつける際のルールは次の通りです： * 空白（<code> </code> スペース）を使用しないこと * 英数字、ハイフン（<code>-</code>）、およびアンダースコア（<code>_</code>）を使うこと * 最初の文字は必ずアルファベットで始めること === id と class はどこに書くべきか？ === 次の HTML コード例を見て、<code>id</code> と <code>class</code> の使用方法を理解しましょう。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>id と class の使い方</title> </head> <body> <p id="time">2022/11/1 12:00</p> <p class="when">編集時の時刻を教えて</p> <p class="when">日付も教えて</p> </body> </html> </syntaxhighlight> この例では、「id」はページ内で一度だけ使用できますが、「class」は何度でも使用できます。<code>id</code> と <code>class</code> は、開始要素の直前にスペースを挿入して記述します。 === なぜ id は一度しか使えないのか？ === ページ内でよく見かけるリンクの中で、特に目次などからジャンプする際に、<code>id</code> を使ってページ内を移動することがあります。これは、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> 要素の <code>href</code> 属性に「#id名」を指定することで実現しています。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <!-- ページ内リンク --> <a href="#idはなぜ一回しか使えないの?">id はなぜ一回しか使えないのか</a> </syntaxhighlight> もし同じ <code>id</code> 名を複数の場所で使ってしまうと、ブラウザがどの位置にリンクすればよいかを判別できなくなります。これを避けるため、<code>id</code> は１つのHTML文書の中では一度しか使用できません。複数の場所で同じスタイルや機能を適用したい場合は、<code>class</code> を使用するようにしましょう。 == よく使うHTML要素(body要素内) == HTML Living Standardでは、<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>などが<code><[[HTML Living Standard/body|body]]></code>要素の直接の子要素として使用されることが推奨されています。これらの要素はセマンティックなマークアップを促進し、ウェブページの構造をより意味深く、明確に表現するために設計されています。 ここでそれぞれの要素の役割と使用方法を説明します: # '''<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>''' #; 役割: ページの主要なコンテンツを表す。一つのページには一つだけ使用すべきであり、通常はページ全体を包括する。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>''' #; 役割: セクションやページ全体のヘッダーを表す。通常はブランドロゴやサイトのタイトル、ナビゲーションなどが含まれる。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <h1>サイトのタイトル</h1> <nav> <!-- ナビゲーションのリンク --> </nav> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>''' #; 役割: 文書内で論理的に関連するコンテンツのグループを表す。見出し（<code><[[HTML Living Standard/h1|h1]]></code>〜<code><[[HTML Living Standard/h6|h6]]></code>）と共に使用されることが多い。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <section> <h2>セクションの見出し</h2> <!-- セクションのコンテンツ --> </section> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>''' #; 役割: サイドバーや余談を表す。メインコンテンツから関連する情報や補足情報を分離して表示するために使用される。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <aside> <!-- サイドバーのコンテンツ --> </aside> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>''' #; 役割: セクションやページ全体のフッターを表す。通常は著作権情報、連絡先情報、サイトマップなどが含まれる。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <p>&copy; 2024 サイト名. All Rights Reserved.</p> </footer> </body> </syntaxhighlight> これらの要素を適切に使用することで、ウェブページの構造が明確になり、コンテンツの理解が容易になります。また、SEO（検索エンジン最適化）にも有利です。それぞれの要素は、それぞれが持つ役割と意味に従って使用することが重要です。 === 典型的なウェブページの構成例 === これらのHTML Living Standard要素を使った典型的なウェブページの構成例を以下に示します。各要素はセマンティックな意味を持ち、ページの構造化やコンテンツの意味付けに役立ちます。 ; 典型的なウェブページの構成例 <syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>典型的なウェブページ</title> <style> /* CSS スタイルはここに記述 */ body { font-family: Arial, sans-serif; line-height: 1.6; margin: 0; padding: 0; } header { background-color: #333; color: #fff; text-align: center; padding: 1rem; } nav { display: flex; justify-content: center; gap: 1rem; margin-top: 1rem; } nav a { color: #fff; text-decoration: none; padding: 0.5rem 1rem; border-radius: 4px; transition: background-color 0.3s ease; } nav a:hover { background-color: #555; } main { display: grid; grid-template-columns: 2fr 1fr; gap: 20px; padding: 20px; } section { background-color: #f4f4f4; padding: 10px; border-radius: 8px; } aside { background-color: #f0f0f0; padding: 10px; border-radius: 8px; } footer { background-color: #333; color: #fff; text-align: center; padding: 1rem; position: fixed; bottom: 0; width: 100%; } </style> </head> <body> <header> <h1>サイトのタイトル</h1> <nav> <a href="#">ホーム</a> <a href="#">サービス</a> <a href="#">会社概要</a> <a href="#">お問い合わせ</a> </nav> </header> <main> <section> <h2>最新のニュース</h2> <article> <h3>記事タイトル1</h3> <p>記事の本文...</p> </article> <article> <h3>記事タイトル2</h3> <p>記事の本文...</p> </article> </section> <aside> <h2>お知らせ</h2> <ul> <li>イベントのお知らせ</li> <li>新製品の発売情報</li> <li>重要なお知らせ</li> </ul> </aside> </main> <footer> <p>&copy; 2024 サイトの著作権情報. All Rights Reserved.</p> </footer> </body> </html> </syntaxhighlight> ; 解説: # '''<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>''' #: サイトのタイトルとナビゲーションメニューを含む。 # '''<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>''' #: ページの主要なコンテンツを包括する。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>''' ##: 最新のニュースなどのコンテンツをグループ化する。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>''' ##: 各ニュース記事を表す。見出し (<code><[[HTML Living Standard/h3|h3]]></code>) と本文 (<code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>) を含む。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>''' ##: サイドバーにお知らせや重要な情報を表示する。 ##: <code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code> と <code><[[HTML Living Standard/li|li]]></code> を使用してリスト形式で情報を表現。 # '''<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>''' #: サイトの著作権情報や必要なリンクを含む。 この例では、<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>がそれぞれ適切な役割を果たしています。これらの要素を使うことで、ページの構造が明確になり、検索エンジンやアクセシビリティにも良い影響を与えます。また、CSSを使ってそれぞれの要素に適切なスタイルを適用することで、ページ全体の見た目と使いやすさを向上させることができます。 == HTML Living Standardの要素とその子要素について == HTML Living Standardの要素とその子要素についての表を以下に示します。各要素が持つ子要素は多岐にわたるため、一部の代表的な子要素のみを挙げています。なお、実際に使用する際には詳細な仕様を確認することを推奨します。 :{| class=wikitable |+ HTML Living Standardの要素とその子要素 ! 要素 || 子要素 |- | <code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> || テキスト、画像、<code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/canvas|canvas]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/object|object]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/picture|picture]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/source|source]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/body|body]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/button|button]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/canvas|canvas]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/caption|caption]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/colgroup|colgroup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/colgroup|colgroup]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/dd|dd]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living 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<code><[[HTML Living Standard/ruby|ruby]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/rb|rb]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/rt|rt]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/rp|rp]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/samp|samp]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/script|script]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/button|button]]></code>, <code><[[HTML 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Standard/h5|h5]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h6|h6]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/hr|hr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/kbd|kbd]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/label|label]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/map|map]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ol|ol]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/pre|pre]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/table|table]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tbody|tbody]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/td|td]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/textarea|textarea]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tfoot|tfoot]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/th|th]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/thead|thead]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/select|select]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/optgroup|optgroup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/option|option]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/source|source]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/style|style]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/summary|summary]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/table|table]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/caption|caption]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/colgroup|colgroup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/thead|thead]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tbody|tbody]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tfoot|tfoot]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/tbody|tbody]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/td|td]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/textarea|textarea]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/tfoot|tfoot]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/th|th]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/thead|thead]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/title|title]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/td|td]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/th|th]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/track|track]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/li|li]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/source|source]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/track|track]]></code>, テキスト |} この表は、HTML Living Standardで定義されている主要な要素と、それぞれが持つ子要素を一部抜粋して示したものです。各要素が実際に持つ子要素はさまざまであり、具体的な使用方法についてはHTMLの仕様書やドキュメントを参照することが重要です。 == 参考文献等 == === HTML === {{Wikipedia|HTML}} * [https://developer.mozilla.org/ja/docs/Learn/Getting_started_with_the_web/HTML_basics MDN Web Docs ~HTMLの基本~] * [[HTML|Wikibooks: HTML]] * [https://ja.wikipedia.org/wiki/HyperText%20Markup%20Language Wikipedia: Hyper Text Markup Language] * [[HTML/HTML5|Wikibooks: HTML/HTML5]] === その他 === === ページのHTMLを確認するには === ==== Google chrome ==== # 右上の「︙」を選択 # 「その他のツール」から、「デペロッパーツール」を選択 # 「要素」を選ぶ ==== Microsoft Edge ==== # 右上の「…」を選択 # 「開発者ツール」を選択 # 「要素」を選ぶ ==== Firefox ==== # 右上の「ハンバーガーボタン」を選択 # 「ウェブ開発」を選択 # 「インスペクター」を選択 ==== Internet Explorer ==== # 右上の「⚙」みたいなマークを選択 # F12 開発者ツールを選択 # DOM Explorerを選択 (ただし、最近のWindowsには「Microsoft Edge」が搭載されています) ==== Safari ==== # 「Safari」の「環境設定」を選択 # 「詳細」を選択 # 「メニューバーに”開発”メニューを表示」を選択 # 「⌘ + ⌥ + C」でJavaScriptコンソールを表示させる # 要素を選択 {{Nav}} [[カテゴリ:HTML]] [[カテゴリ:CSS]] 490sto4lq15x7l4xfbutngukvaizgjr 301939 301938 2026-07-31T10:07:11Z ~2026-42422-29 92167 "~みたいなマーク"がちょっと教科書にふさわしいかな？と思って自己満足で"歯車マーク"に訂正 301939 wikitext text/x-wiki {{Nav}} == HTMLとは == いま見ているこのページもHTMLを返しています。基本的にはウェブページはHTMLを返します。 静止画・動画・スクリプトやスタイルシートなどの他の構成要素もありますが、多くはHTMLから間接的に参照されます。 ;例:<syntaxhighlight lang=html5 line copy> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>タイトル</title> </head> <body> <h1>レベル１の見出し</h1> コンテンツ </body> </html> </syntaxhighlight> == HTML基本構成 == :<syntaxhighlight lang=html line copy> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>タイトル</title> <link href="style.css" rel="stylesheet"> <meta name="description" content="ページの概要"> </head> <body> <h1>テストHTML</h1> <p>このページはテストHTMLです。</p> <p>pタグで囲った文章</p> </body> </html> </syntaxhighlight> ;表示:[[ファイル:テストHTML.png|サムネイル|左|代替文=上のhtmlの表示結果|テストHTMLの表示]] <br style="clear: both> ブラウザなどの環境によって異なりますが、概ね上記のように表示されます。 === DOCTYPE === <code><!DOCTYPE html></code>は、HTML Living Standard に従って書かれたHTML文書を示すものです。HTML Living Standardは、廃止されたHTML5の後継で、常に進化しているHTMLの最新の状態を表現しています。そのため、<code><!DOCTYPE html></code>を使用することで、HTML Living Standardに準拠した文書であることを示すことができます。 HTML Living Standardは、WHATWG（Web Hypertext Application Technology Working Group）によって管理されています。HTML Living Standardは、Web技術の進化や新しい機能の追加に対応するため、非定期に更新されています。 HTML Living StandardのDOCTYPEには、文書型宣言（DTD; Document Type Declaration）が含まれていないので、もはやSGMLではありません。 === html要素 === <code>html</code>要素はHTML文書のルート要素であり、全体のHTML構造を定義します。<code>html</code>要素は以下のように記述されます： :<syntaxhighlight lang=html copy> <html lang="ja"> <!-- ここにHTML文書の他の要素が入ります --> </html> </syntaxhighlight> <code>lang</code>属性は、要素内のテキストがどの言語で書かれているかを指定します。<code>lang</code>属性の値は、対象の言語を表す言語コードで指定されます。例えば、<code>ja</code>は日本語を表し、<code>en</code>は英語を表します。<code>lang</code>属性は主にアクセシビリティや検索エンジンのインデックスなどに使用され、ブラウザーが文書の言語を適切に解釈するのに役立ちます。 したがって、<code><html lang="ja"></code>という記述は、このHTML文書が日本語で書かれていることを示しています。このようにして言語を指定することで、ブラウザーや検索エンジンが適切に文書を処理し、ユーザーにとってより使いやすい環境を提供することができます。 === head要素 とは === <code>head</code>要素は、HTML文書内で文書のメタデータやリソースへのリンク、スタイルシートの設定、JavaScriptの埋め込みなど、文書の構造や表示方法に関する情報を含むセクションです。<code>head</code>要素は文書の開始タグ <code><[[HTML Living Standard/html|html]]></code> の直後に配置され、終了タグ <code></head></code> で終わります。 以下は<code>head</code>要素が含むことができる主な要素です： * <code><[[HTML Living Standard/title|title]]></code>: ページのタイトルを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/meta|meta]]></code>: 文書のメタデータ（文字エンコーディング、キーワード、説明など）を指定します。 * <code><[[HTML Living Standard/link|link]]></code>: 外部リソース（CSS、アイコン、スタイルシートなど）へのリンクを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/style|style]]></code>: 文書内で使用されるスタイルシートを定義します。 * <code><[[HTML Living Standard/script|script]]></code>: JavaScriptコードを埋め込むための要素です。 <code>head</code>要素内のコンテンツは、ブラウザーに直接表示されるものではなく、ページのタイトルや検索エンジンの索引、ページの外観や挙動を制御するために使用されます。 ==== title要素 ==== <code>title</code>要素は、HTML文書内でページのタイトルを定義するための要素です。ブラウザーのタブやブラウザーのウィンドウのタイトルバーに表示されるページのタイトルを設定します。 ==== エンコーディング ==== UTF-8でエンコードされたHTML文書を正しく解釈するためには、以下のように<code><meta charset="UTF-8"></code>を使用します。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <head> <meta charset="UTF-8"> <!-- 他のメタ情報やスタイルシートやスクリプトのリンクなどもここに配置 --> </head> </syntaxhighlight> このメタタグによって、ブラウザーは文書の文字エンコーディングがUTF-8であることを知り、そのように文書を解釈します。文字エンコーディングが正しく指定されていない場合、特定の文字が正しく表示されない、または文字化けが発生する可能性があります。 HTML Living Standardでは、<code><meta charset="UTF-8"></code>のようにcharset属性の値としてエンコーディングを直接指定することが推奨されています。 ==== 外部スタイルシート ==== <code>link</code>要素は、HTML文書内で外部リソースへのリンクを定義するための要素です。<code>link</code>要素を使用して外部のスタイルシートファイルをHTML文書にリンクする場合、以下のように記述します： :<syntaxhighlight lang=html copy> <link href="style.css" rel="stylesheet"> </syntaxhighlight> ここでの各属性の意味は以下の通りです： * <code>href="style.css"</code>: リンク先の外部スタイルシートファイルのURLまたは相対パスを指定します。この例では、<code>style.css</code>という名前のスタイルシートファイルが同じディレクトリ内に存在することを前提としています。 * <code>rel="stylesheet"</code>: リンクされているリソースがスタイルシートであることを示します。 このようにして<code>link</code>要素を使用すると、ブラウザーは指定されたスタイルシートファイルをダウンロードし、HTML文書に適用します。これにより、外部のスタイルシートファイルに記述されたスタイルがHTML文書に適用され、ページの外観が変更されます。 === body要素 === <code>body</code>要素は、HTML文書内で実際のコンテンツ（テキスト、画像、リンク、動画、音声など）を含むセクションを定義します。ブラウザーが表示するページの実際のコンテンツは、通常は<code>body</code>要素内に配置されます。 以下は<code>body</code>要素が含むことができる主な要素です： * テキストコンテンツ（段落、見出し、リストなど） * 画像 <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code> * リンク <code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> * 動画 <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code> や音声 <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code> * フォーム要素（入力フォーム、ボタン、ラベルなど） * スクリプトやスタイルシートの埋め込み（通常は<code><[[HTML Living Standard/script|script]]></code>や<code>style</code>要素を使用） <code>body</code>要素はHTML文書内で1つだけ使用される必要があり、ページの実際のコンテンツが表示されるメインエリアとなります。 == ブロック要素 == HTML Living Standardのブロック要素の一覧を表形式で示します。以下の表は、主要なブロック要素の名前、説明、および使用例を提供します。 :{| class="wikitable" |+ ブロック要素!要素名 !説明 !用例 |- |<code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code> |連絡先情報を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><address>Email: info@example.com</address></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code> |独立したコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><article><h1>記事タイトル</h1><p>記事本文...</p></article></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code> |メインコンテンツに間接的に関連するコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><aside><h3>関連記事</h3><ul>...</ul></aside></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code> |長い引用を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><blockquote><p>引用文...</p></blockquote></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/details|details]]></code> |追加の詳細を定義（開閉可能） |<syntaxhighlight lang=html inline><details><summary>詳細を表示</summary><p>追加情報...</p></details></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dialog|dialog]]></code> |ダイアログボックスやモーダルウィンドウを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><dialog open><p>ダイアログの内容</p></dialog></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/div|div]]></code> |汎用的なコンテナー要素 |<syntaxhighlight lang=html inline><div class="container">...</div></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dl|dl]]></code> |説明リストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><dl><dt>用語</dt><dd>説明</dd></dl></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/fieldset|fieldset]]></code> |フォーム要素をグループ化 |<syntaxhighlight lang=html inline><fieldset><legend>個人情報</legend>...</fieldset></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code> |自己完結型のコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><figure><img src="image.jpg"><figcaption>説明</figcaption></figure></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code> |文書またはセクションのフッターを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><footer><p>© 2024 Example Corp.</p></footer></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/form|form]]></code> |ユーザー入力のためのフォームを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><form action="/submit" method="post">...</form></syntaxhighlight> |- |<syntaxhighlight lang=html inline><h1>-<h6></syntaxhighlight> |見出しを定義（h1が最上位、h6が最下位） |<syntaxhighlight lang=html inline><h1>メインタイトル</h1></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code> |文書またはセクションのヘッダーを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><header><h1>ウェブサイト名</h1><nav>...</nav></header></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/hr|hr]]></code> |主題の区切りを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><p>セクション1</p><hr><p>セクション2</p></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code> |文書の主要なコンテンツを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><main><h1>記事タイトル</h1><p>本文...</p></main></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code> |ナビゲーションリンクのセットを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><nav><ul><li><a href="#">ホーム</a></li>...</ul></nav></syntaxhighlight> |- | <code><[[HTML Living Standard/noscript|noscript]]></code> || スクリプトが無効な場合に表示する代替コンテンツを定義 || <syntaxhighlight lang=html inline><noscript>JavaScriptが無効です。</noscript></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ol|ol]]></code> |順序付きリストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ol><li>第一項目</li><li>第二項目</li></ol></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code> |段落を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><p>これは段落のテキストです。</p></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/pre|pre]]></code> |整形済みテキストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><pre>function example() {}</pre></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code> |文書の一般的なセクションを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><section><h2>セクションタイトル</h2><p>セクション内容...</p></section></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/table|table]]></code> |表を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><table><tr><th>ヘッダー</th></tr><tr><td>データ</td></tr></table></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code> |順序なしリストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ul><li>項目1</li><li>項目2</li></ul></syntaxhighlight> |} これらの要素は、Webページの構造を定義するために使用され、それぞれが異なる役割を果たします。各要素の詳細な使用方法や属性については、HTML Living Standardの公式仕様やリファレンスを参照することをお勧めします。 == インライン要素 == HTML Living Standardのインライン要素の一覧を表形式で示します。以下の表は、主要なブロック要素の名前、説明、および使用例を提供します。 :{| class="wikitable" |+ インライン要素 !要素名 !説明 !用例 |- |<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> |ハイパーリンクを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><a href="https://example.com">リンク</a></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code> |略語を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><abbr title="HyperText Markup Language">HTML</abbr></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code> |テキストを太字で表示（視覚的な強調） |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<b>重要な</b>ポイントです。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/bdi|bdi]]></code> |双方向テキストの分離 |<syntaxhighlight lang=html inline>ユーザー名: <bdi>إيان</bdi></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/bdo|bdo]]></code> |テキストの方向を上書き |<syntaxhighlight lang=html inline><bdo dir="rtl">This text will go right to left</bdo></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code> |改行を挿入 |<syntaxhighlight lang=html inline>一行目<br>二行目</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code> |作品のタイトルを引用 |<syntaxhighlight lang=html inline><cite>源氏物語</cite>は日本の古典文学です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code> |コンピューターコードを表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>関数は<code>function()</code>で定義します。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code> |機械可読なデータを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><data value="398">ミニ・クーパー</data></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code> |定義する用語を指定 |<syntaxhighlight lang=html inline><dfn>HTML</dfn>はウェブページを作成するための言語です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code> |テキストを強調（意味的な強調） |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<em>非常に重要な</em>ポイントです。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code> |イタリック体で表示（異なる声や雰囲気を表現） |<syntaxhighlight lang=html inline>彼は<i>心の中で</i>つぶやいた。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/kbd|kbd]]></code> |キーボード入力を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>保存するには<kbd>Ctrl+S</kbd>を押してください。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code> |マーカーで強調表示されたテキスト |<syntaxhighlight lang=html inline>最も<mark>重要な</mark>部分を強調します。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code> |短い引用を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline>彼は<q>明日また来ます</q>と言った。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rp|rp]]></code> |ルビをサポートしないブラウザ用の括弧 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rp>(</rp><rt>かんじ</rt><rp>)</rp></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rt|rt]]></code> |ルビテキストを定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rt>かんじ</rt></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/rtc|rtc]]></code> |ルビのコンテナを示す要素 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby><rb>漢字</rb><rtc><rt>かんじ</rt><rt>カンジ</rt></rtc></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/ruby|ruby]]></code> |ルビ注釈を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><ruby>漢字<rt>かんじ</rt></ruby></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code> |取り消し線を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline><s>旧価格: 1000円</s> 新価格: 800円</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/samp|samp]]></code> |プログラムの出力例を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>エラーメッセージ: <samp>ファイルが見つかりません</samp></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code> |小さな文字で表示（著作権表示など） |<syntaxhighlight lang=html inline><small>&copy; 2024 Example Corp.</small></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code> |インラインテキストをグループ化 |<syntaxhighlight lang=html inline><span style="color: red;">赤いテキスト</span></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code> |テキストを強く強調 |<syntaxhighlight lang=html inline>これは<strong>非常に重要な</strong>警告です。</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code> |下付き文字を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>H₂O</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code> |上付き文字を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>2³ = 8</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code> |日付や時刻を定義 |<syntaxhighlight lang=html inline><time datetime="2024-01-01">元旦</time></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code> |下線を表示（非推奨、スタイリングに使用） |<syntaxhighlight lang=html inline><u>下線付きテキスト</u></syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code> |変数を表示 |<syntaxhighlight lang=html inline>方程式 <var>x</var> + <var>y</var> = 10</syntaxhighlight> |- |<code><[[HTML Living Standard/wbr|wbr]]></code> |任意の改行位置を指定 |<syntaxhighlight lang=html inline>This<wbr>Is<wbr>A<wbr>VeryLongWord</syntaxhighlight> |} これらの要素は、HTML文書内で行内要素として使用され、ブロックレベル要素の中には配置できますが、直接他の行内要素の中には配置できません。 == HTMLの書き方 == ここまで説明してきましたが、重要な「'''HTMLの書き方'''」について説明していなかったので、説明します。 === 「<」と「>」,「</」「>」で挟む === <開始タグ> ・・・ </終了タグ> という順番を意識して、次の解説をお読みください。 今まで、「'''<body>'''」とか、「'''<link>'''」とか、とにかくタグを「'''<'''」「'''>'''」ではさみまくっていますが、この「'''<'''」で始まり、「'''>'''」で終わるタグを、「'''開始タグ'''」。 「'''</'''」で始まり、「'''>'''」で終わるタグを、「'''終了タグ'''」と言います。HTMLのタグは、「終了タグ」が無いものもありますが、<span style="color:gray;">(例えば「<link>」や「<input>」)</span>絶対に「開始タグ」はあります。 == id と class を使う利点 == <code>id</code> と <code>class</code> を使うことで、さまざまなメリットがあります。たとえば、<code>CSS</code> を使用して特定の要素にスタイルを適用することができます。 === id と class の設定方法 === <code>id</code> と <code>class</code> の名前には一定のルールがありますが、基本的に自由に設定できます。 ==== 名前のルール ==== <code>id</code> 名と <code>class</code> 名をつける際のルールは次の通りです： * 空白（<code> </code> スペース）を使用しないこと * 英数字、ハイフン（<code>-</code>）、およびアンダースコア（<code>_</code>）を使うこと * 最初の文字は必ずアルファベットで始めること === id と class はどこに書くべきか？ === 次の HTML コード例を見て、<code>id</code> と <code>class</code> の使用方法を理解しましょう。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>id と class の使い方</title> </head> <body> <p id="time">2022/11/1 12:00</p> <p class="when">編集時の時刻を教えて</p> <p class="when">日付も教えて</p> </body> </html> </syntaxhighlight> この例では、「id」はページ内で一度だけ使用できますが、「class」は何度でも使用できます。<code>id</code> と <code>class</code> は、開始要素の直前にスペースを挿入して記述します。 === なぜ id は一度しか使えないのか？ === ページ内でよく見かけるリンクの中で、特に目次などからジャンプする際に、<code>id</code> を使ってページ内を移動することがあります。これは、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> 要素の <code>href</code> 属性に「#id名」を指定することで実現しています。 :<syntaxhighlight lang=html copy> <!-- ページ内リンク --> <a href="#idはなぜ一回しか使えないの?">id はなぜ一回しか使えないのか</a> </syntaxhighlight> もし同じ <code>id</code> 名を複数の場所で使ってしまうと、ブラウザがどの位置にリンクすればよいかを判別できなくなります。これを避けるため、<code>id</code> は１つのHTML文書の中では一度しか使用できません。複数の場所で同じスタイルや機能を適用したい場合は、<code>class</code> を使用するようにしましょう。 == よく使うHTML要素(body要素内) == HTML Living Standardでは、<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>などが<code><[[HTML Living Standard/body|body]]></code>要素の直接の子要素として使用されることが推奨されています。これらの要素はセマンティックなマークアップを促進し、ウェブページの構造をより意味深く、明確に表現するために設計されています。 ここでそれぞれの要素の役割と使用方法を説明します: # '''<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>''' #; 役割: ページの主要なコンテンツを表す。一つのページには一つだけ使用すべきであり、通常はページ全体を包括する。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>''' #; 役割: セクションやページ全体のヘッダーを表す。通常はブランドロゴやサイトのタイトル、ナビゲーションなどが含まれる。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <h1>サイトのタイトル</h1> <nav> <!-- ナビゲーションのリンク --> </nav> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>''' #; 役割: 文書内で論理的に関連するコンテンツのグループを表す。見出し（<code><[[HTML Living Standard/h1|h1]]></code>〜<code><[[HTML Living Standard/h6|h6]]></code>）と共に使用されることが多い。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <section> <h2>セクションの見出し</h2> <!-- セクションのコンテンツ --> </section> </main> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>''' #; 役割: サイドバーや余談を表す。メインコンテンツから関連する情報や補足情報を分離して表示するために使用される。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <aside> <!-- サイドバーのコンテンツ --> </aside> <footer> <!-- フッターのコンテンツ --> </footer> </body> </syntaxhighlight> # '''<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>''' #; 役割: セクションやページ全体のフッターを表す。通常は著作権情報、連絡先情報、サイトマップなどが含まれる。 #; 例: #:<syntaxhighlight lang=html copy> <body> <header> <!-- ヘッダーのコンテンツ --> </header> <main> <!-- ページの主要なコンテンツ --> </main> <footer> <p>&copy; 2024 サイト名. All Rights Reserved.</p> </footer> </body> </syntaxhighlight> これらの要素を適切に使用することで、ウェブページの構造が明確になり、コンテンツの理解が容易になります。また、SEO（検索エンジン最適化）にも有利です。それぞれの要素は、それぞれが持つ役割と意味に従って使用することが重要です。 === 典型的なウェブページの構成例 === これらのHTML Living Standard要素を使った典型的なウェブページの構成例を以下に示します。各要素はセマンティックな意味を持ち、ページの構造化やコンテンツの意味付けに役立ちます。 ; 典型的なウェブページの構成例 <syntaxhighlight lang=html> <!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>典型的なウェブページ</title> <style> /* CSS スタイルはここに記述 */ body { font-family: Arial, sans-serif; line-height: 1.6; margin: 0; padding: 0; } header { background-color: #333; color: #fff; text-align: center; padding: 1rem; } nav { display: flex; justify-content: center; gap: 1rem; margin-top: 1rem; } nav a { color: #fff; text-decoration: none; padding: 0.5rem 1rem; border-radius: 4px; transition: background-color 0.3s ease; } nav a:hover { background-color: #555; } main { display: grid; grid-template-columns: 2fr 1fr; gap: 20px; padding: 20px; } section { background-color: #f4f4f4; padding: 10px; border-radius: 8px; } aside { background-color: #f0f0f0; padding: 10px; border-radius: 8px; } footer { background-color: #333; color: #fff; text-align: center; padding: 1rem; position: fixed; bottom: 0; width: 100%; } </style> </head> <body> <header> <h1>サイトのタイトル</h1> <nav> <a href="#">ホーム</a> <a href="#">サービス</a> <a href="#">会社概要</a> <a href="#">お問い合わせ</a> </nav> </header> <main> <section> <h2>最新のニュース</h2> <article> <h3>記事タイトル1</h3> <p>記事の本文...</p> </article> <article> <h3>記事タイトル2</h3> <p>記事の本文...</p> </article> </section> <aside> <h2>お知らせ</h2> <ul> <li>イベントのお知らせ</li> <li>新製品の発売情報</li> <li>重要なお知らせ</li> </ul> </aside> </main> <footer> <p>&copy; 2024 サイトの著作権情報. All Rights Reserved.</p> </footer> </body> </html> </syntaxhighlight> ; 解説: # '''<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>''' #: サイトのタイトルとナビゲーションメニューを含む。 # '''<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>''' #: ページの主要なコンテンツを包括する。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>''' ##: 最新のニュースなどのコンテンツをグループ化する。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>''' ##: 各ニュース記事を表す。見出し (<code><[[HTML Living Standard/h3|h3]]></code>) と本文 (<code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>) を含む。 ## '''<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>''' ##: サイドバーにお知らせや重要な情報を表示する。 ##: <code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code> と <code><[[HTML Living Standard/li|li]]></code> を使用してリスト形式で情報を表現。 # '''<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>''' #: サイトの著作権情報や必要なリンクを含む。 この例では、<code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>、<code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>がそれぞれ適切な役割を果たしています。これらの要素を使うことで、ページの構造が明確になり、検索エンジンやアクセシビリティにも良い影響を与えます。また、CSSを使ってそれぞれの要素に適切なスタイルを適用することで、ページ全体の見た目と使いやすさを向上させることができます。 == HTML Living Standardの要素とその子要素について == HTML Living Standardの要素とその子要素についての表を以下に示します。各要素が持つ子要素は多岐にわたるため、一部の代表的な子要素のみを挙げています。なお、実際に使用する際には詳細な仕様を確認することを推奨します。 :{| class=wikitable |+ HTML Living Standardの要素とその子要素 ! 要素 || 子要素 |- | <code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code> || テキスト、画像、<code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/canvas|canvas]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/object|object]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/picture|picture]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/source|source]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/body|body]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/button|button]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/canvas|canvas]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/caption|caption]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/colgroup|colgroup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code> || - |- | <code><[[HTML Living Standard/colgroup|colgroup]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/col|col]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/dd|dd]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/details|details]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/summary|summary]]></code>, テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/dialog|dialog]]></code> || テキスト |- | <code><[[HTML Living Standard/div|div]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/article|article]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/aside|aside]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/blockquote|blockquote]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/br|br]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/button|button]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/canvas|canvas]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/caption|caption]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/cite|cite]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/code|code]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/data|data]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dd|dd]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/del|del]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/details|details]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dfn|dfn]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dialog|dialog]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/em|em]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/fieldset|fieldset]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/figure|figure]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/footer|footer]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/form|form]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h1|h1]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h2|h2]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h3|h3]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h4|h4]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h5|h5]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/h6|h6]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/header|header]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/hr|hr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/i|i]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/iframe|iframe]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/img|img]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ins|ins]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/kbd|kbd]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/label|label]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/main|main]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/map|map]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/mark|mark]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/nav|nav]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ol|ol]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/p|p]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/pre|pre]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/q|q]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/s|s]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/section|section]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/select|select]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/small|small]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/span|span]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/strong|strong]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sub|sub]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/sup|sup]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/table|table]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tbody|tbody]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/td|td]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/textarea|textarea]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tfoot|tfoot]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/th|th]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/thead|thead]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/time|time]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/tr|tr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/u|u]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/ul|ul]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/var|var]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/video|video]]></code>, 他 |- | <code><[[HTML Living Standard/dl|dl]]></code> || <code><[[HTML Living Standard/dt|dt]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/dd|dd]]></code> |- | <code><[[HTML Living Standard/dt|dt]]></code> || テキスト、<code><[[HTML Living Standard/a|a]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/abbr|abbr]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/address|address]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/audio|audio]]></code>, <code><[[HTML Living Standard/b|b]]></code>, 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~HTMLの基本~] * [[HTML|Wikibooks: HTML]] * [https://ja.wikipedia.org/wiki/HyperText%20Markup%20Language Wikipedia: Hyper Text Markup Language] * [[HTML/HTML5|Wikibooks: HTML/HTML5]] === その他 === === ページのHTMLを確認するには === ==== Google chrome ==== # 右上の「︙」を選択 # 「その他のツール」から、「デペロッパーツール」を選択 # 「要素」を選ぶ ==== Microsoft Edge ==== # 右上の「…」を選択 # 「開発者ツール」を選択 # 「要素」を選ぶ ==== Firefox ==== # 右上の「ハンバーガーボタン」を選択 # 「ウェブ開発」を選択 # 「インスペクター」を選択 ==== Internet Explorer ==== # 右上の歯車マークを選択 # F12 開発者ツールを選択 # DOM Explorerを選択 (ただし、最近のWindowsには「Microsoft Edge」が搭載されています) ==== Safari ==== # 「Safari」の「環境設定」を選択 # 「詳細」を選択 # 「メニューバーに”開発”メニューを表示」を選択 # 「⌘ + ⌥ + C」でJavaScriptコンソールを表示させる # 要素を選択 {{Nav}} [[カテゴリ:HTML]] [[カテゴリ:CSS]] 1v79ncg68uywk3p2tisbdp0x34kgiy1 0 48111 301933 300347 2026-07-30T12:53:08Z ~2026-41547-90 92136 /* フーリエ変換の性質 */ 301933 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} ここでは、フーリエ変換について扱う。[[解析学基礎/フーリエ級数]]を既習とする。また、[[確率論]]の知識を要する場面がある。フーリエ変換の応用として信号処理に関係する話題も扱う。 [[物理数学II フーリエ解析]]及び[[電子工学/フーリエ変換]]も参照。 {{stub}} ==フーリエ変換== 周期<math>T</math>の周期関数<math>f(x)</math>に対する複素フーリエ展開は<math>\omega:=\frac{\tau}{T}</math>として<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>で定義された。 指数フーリエ係数は<math>C_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\mathrm{cis}(-n\omega{x})dx</math>と計算されたが、積分区間は幅が<math>T</math>に等しければどこでも良いので、ここでは対称区間<math>[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]</math>で考えることにする。 則ち、<math>C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau}{T}x\right)dx</math> ここで<math>T\to\infty</math>とした極限が収束するならば、複素フーリエ展開が非周期関数にも一般化されることが期待される。 <math>\xi:=\frac{n}{T}</math>は<math>T\to\infty</math>で連続値をとることに注意して、<math>\lim_{T\to\infty}TC_n</math>が収束するとき、非周期関数<math>f(x)</math>の'''フーリエ変換'''を :<math>\tilde{f}(\xi):=\lim_{T\to\infty}TC_n=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> と定義する。 上の導出に於いて、'''最右辺の広義積分は二重極限による通常の広義積分でなく対称極限によるコーシー主値である'''ことに注意。但し、<math>f\in{L^1}</math>の場合は通常の広義積分と一致する。 フーリエ変換の記法には以下のようなものが存在する。 :<math>\tilde{f}(\xi),\quad\hat{f}(\xi),\quad\mathcal{F}[f(x)](\xi),\quad{F}(\xi),\quad(\mathcal{F}f)(\xi)</math> <math>\mathcal{F}</math>はFのカリグラフィー体であるが、スクリプト体の<math>\text{ℱ}</math>を用いることもある。 フーリエ変換<math>\text{ℱ}:f(x)\to{F}(\xi)</math>について、<math>x, \xi</math>はそれぞれ物理的には時刻<math>t</math>, 周波数<math>\nu</math>に対応する。そのため、フーリエ変換前の空間を「時間領域」、変換後の空間を「周波数領域」と呼ぶ場合がある。また、フーリエ変換によって得られる関数<math>\tilde{f}(\xi)</math>は'''周波数スペクトル密度'''とも呼ばれる。周波数スペクトル密度の周波数に対するグラフを'''周波数スペクトル'''と呼ぶ。変換前の関数は'''変換核'''や'''元信号'''と呼ぶ場合がある。 2つの関数<math>f, g</math>がフーリエ変換の元信号と周波数スペクトルの関係になっているとき、このペアを'''フーリエ対'''と呼ぶ。フーリエ対は<math>f \leftrightarrow g</math>のように示す場合もある。 フーリエ変換の逆変換を考える。 複素フーリエ展開は<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\omega{x})</math>である。 <math>\text{∆}\xi:=\frac{1}{T}</math>とすると<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi</math> ここで<math>T\to\infty</math>とすると<math>\text{∆}\xi\to0</math>であり、<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \frac{C_n}{\text{∆}\xi}=\tilde{f}(\xi), \quad n\omega =\tau\xi</math>と区分求積法より :<math>\lim_{\text{∆}\xi\to0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{C_n}{\text{∆}\xi} \mathrm{cis}(n\omega{x})\text{∆}\xi=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> これを'''逆フーリエ変換'''という。 逆フーリエ変換は<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\xi)](x)</math>とも表す。 フーリエ変換には異なる定義も存在する。 具体的には、<math>\omega=\tau\xi</math>と改めて置いて :<math>\text{ℱ}[f(x)](\omega):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\omega{x})dx</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[\tilde{f}(\omega)]:={\color{orangered}\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega)\mathrm{cis}(\omega{x})d\omega</math> と定義する。 この定義では、逆フーリエ変換に正規化定数<math>\frac{1}{\tau}</math>が出現するので注意が必要である。この正規化係数は変数変換のヤコビ行列式に由来する。 絶対可積分関数（<math>f\in{L^1}</math>）に対してはフーリエ変換は必ず収束する。一般の関数や超関数に対する収束性は省略する。 ==フーリエ変換の性質== ;初期値 フーリエ変換の定義より、<math>\tilde{f}(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math>である。 則ち、'''周波数スペクトル密度の初期値は波形の総面積に等しい'''。 孤立波の場合、この事実は周波数スペクトル密度の検算に使える。 ;奇関数・偶関数 <math>f(x)</math>が奇関数とすると、そのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math> 第一項の被積分関数は奇関数と偶関数の積なので奇関数であるが、フーリエ変換がコーシー主値で定義されたことを鑑みると「奇関数の対称積分は0」をそのまま適用できる。第二項の被積分関数は奇関数と奇関数の積なので偶関数であるので、その原始関数は奇関数である。 則ち、'''奇関数のフーリエ変換は奇関数且つ純虚数値をとる'''。 同様に、'''偶関数のフーリエ変換は偶関数且つ実数値をとる'''ことも証明できる。 なお、最右辺の式<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})-i\int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(-\tau\xi{x})dx</math>を用いると、同様に以下が導かれる。 :偶関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=2\int_0^\infty f(x)\cos(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ余弦変換'''）。 :奇関数のフーリエ変換は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=-2i\int_0^\infty f(x)\sin(\tau\xi{x})dx</math>（'''フーリエ正弦変換'''）。 これらを用いると、変換の計算が楽になる場合がある。 更に、周波数スペクトル密度の実部と虚部を考えると再右辺の式から :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=\mathrm{Re}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> :<math>\mathrm{Re}\{\tilde{f}(-\xi)\}=-\mathrm{Im}\{\tilde{f}(\xi)\}</math> が成り立つことがわかる。 則ち、'''周波数スペクトル密度の実部は偶関数、虚部は奇関数'''である。 ;線型性 積分及び極限の線型性より、フーリエ変換の線型性も直ちに成り立つ。 ;デルタ関数 以下のような性質を持つ<math>\delta(x)</math>を'''ディラックのデルタ関数'''（'''衝撃関数'''）という。 :<math>\delta(x)=\begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1</math> :<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)</math> デルタ関数は通常の意味での関数の定義を満たさない'''超関数'''の一つである。超関数に就いては[[超関数論]]を参照。 デルタ関数のフーリエ変換を考えると、3番目の性質を用いて :<math>\text{ℱ}[\delta(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\mathrm{cis}\,0=1</math> 則ち、'''1の逆フーリエ変換はデルタ関数'''である。 孤立単一方形波<math>t(x)=\begin{cases} \frac{1}{T} & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[t(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{T}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau\xi{Ti}}\left[ \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}</math> :<math>=\frac{2i}{\tau\xi{Ti}}\sin(\pi{T}\xi)</math> :<math>=\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{\pi{T}\xi}</math> :<math>=\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math> よって :<math>\lim_{T\to0}t(x)=\delta(x)</math> より :<math>\lim_{T\to0}\mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)=\lim_{\pi{T}\xi\to0}\frac{\sin(\pi{T}\xi)}{(\pi{T}\xi)}=1</math> とも示せる。 デルタ関数が1の逆フーリエ変換に等しいので :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> であるが、<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換すると :<math>\delta(x)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> を得る。 ここで、変数を交換しても式はそのまま成り立つので、 :<math>\delta(\xi)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>・・・★ も得る。 極限がデルタ関数となる関数のとり方は一意ではない。先ほど紹介した孤立単一方形波だけでなく、例えば正規分布の確率密度関数<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>の<math>\sigma\to0</math>の極限や標本化波<math>\frac{k}{\pi}\mathrm{sinc}(kx)</math>の<math>k\to\infty</math>の極限も<math>\delta(x)</math>である。 一般に、関数列<math>\{\delta_n\}</math>がデルタ関数に収束する条件は :<math>\begin{cases}\forall{n},\, \int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1 \\ \forall{\varepsilon>0},\,\forall{\eta>0},\,\exist{N\in\mathbb{N}},\, \forall{n\geq{N}},\, \int_{ |x|>\varepsilon} |\delta_n(x)|dx < \eta \end{cases}</math> であることが知られている。 ;単位ステップ関数 以下のように区分的に定義される関数<math>H(x)</math>を'''単位ステップ関数'''（'''ヘヴィサイドの階段関数'''）という。 :<math>H(x)=\begin{cases} 1 & x\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> これのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty H(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{0}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> であるが、この広義積分は収束しない。 そこで、指数関数を用いて以下のように偶関数成分と奇関数成分に分解して考える。 :<math>H(x)=\lim_{a\to+0}\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-ax} & x\geq0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> 原点対称な関数<math>v(x):=\begin{cases} e^{-ax} & x\geq0 \\ -e^{ax} & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>のフーリエ変換を考えると、 :<math>\text{ℱ}[v(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty v(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^0 -e^{ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx+\int_0^\infty e^{-ax}e^{-\tau\xi{xi}}dx</math> :<math>=-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}\left[ e^{(a-\tau\xi{i})x} \right]_{-\infty}^0-\frac{1}{a+\tau\xi{i}}\left[ e^{-(a+\tau\xi{i})x} \right]_0^\infty</math> :<math>=\frac{1}{a+\tau\xi{i}}-\frac{1}{a-\tau\xi{i}}</math> :<math>=-\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i</math> よって :<math>\text{ℱ}[H(x)](\xi)=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}v(x)\right](\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}\left[\frac{1}{2}\right](\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\text{ℱ}[v(x)](\xi)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{2}\lim_{a\to0}\left( -\frac{2\tau\xi}{a^2+\tau^2\xi^2}i \right)</math> :<math>=\frac{1}{2}\delta(\xi)+\frac{1}{\tau\xi{i}}</math> ここで、<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}</math>は<math>\xi=0</math>で発散する為、実際には主値超関数<math>\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)</math>と読み替える必要がある。 幅<math>\text{∆}t</math>高さ<math>\frac{1}{\text{∆}t}</math>, 面積<math>1</math>の方形波は以下のように表される。 :<math>\gamma(x)=\frac{u(t)-u(t-\text{∆}t)}{\text{∆}t}</math> ここで<math>\text{∆}t\to0</math>の極限を考えると :<math>\lim_{\text{∆}t\to0}\gamma(x)=\frac{du}{dt}=\delta(x)</math> となる。 則ち、デルタ関数は超関数の意味で単位ステップ関数の導関数と考えられる。 これを用いると、デルタ関数の2番目の性質は :<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=\left[H(x)\right]_{-\infty}^\infty=1-0=1</math> という考え方もできる。 ;周期関数 周期関数を複素フーリエ展開して<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x)</math> これのフーリエ変換は :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \mathrm{cis}(n\tau\xi_{0}x) \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}\{ -\tau(\xi-n\xi_0)x \} \right)dx</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty C_n\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \left( \int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{-\tau(\xi-n\xi_0)x\} dx \right)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \delta(\xi-n\xi_0)\quad(\because\text{★})</math> と求まる。 則ち、周期関数をフーリエ変換した周波数スペクトルは基本振動数<math>\xi_0</math>の整数倍の位置に線スペクトルが出現する離散的なグラフであると判る。 ;エルミート性・複素共軛 <math>f</math>が実関数とする。 <math>\tilde{f}(-\xi)</math>を考えると、 :<math>\tilde{f}(-\xi)=\text{ℱ}[f(x)](-\xi)</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(-\xi)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> と、エルミート性（共軛対称性）が成り立つ。 また、同様にして複素共軛のフーリエ変換も得る。 :<math>\text{ℱ}\left[\overline{f(x)}\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})}dx</math> :<math>=\overline{\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau(-\xi){x})dx}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(x)](-\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(-\xi)}</math> これは<math>f</math>が一般の複素関数で成り立つ。逆に、この関係に「<math>f</math>が実関数」という条件を入れるとエルミート性に一致する。 ;平行移動・変調 時間領域での平行移動（'''時間シフト'''）を考える。 :<math>\text{ℱ}[f(x-x_0)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x-x_0)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{cis}\{-\tau\xi(x+x_0)\}dx</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\mathrm{cis}(-\tau\xi{x_0})\tilde{f}(\xi)</math> ここで、<math>|\mathrm{cis}(g(x))|=1</math>より、時間シフトはフーリエ変換に対して周波数領域のノルムを保存し、遅延時間に比例して周波数領域の位相を回転させる。 また、周波数領域での平行移動（'''変調・周波数シフト'''）を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi-\xi_0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}\{-\tau(\xi-\xi_0)x\}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left\{ f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x) \right\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\text{ℱ}[f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_{0}x)](\xi)</math> よって、周波数シフトはフーリエ変換に対して時間領域のノルムを保存し、時間領域の位相回転に応じて周波数領域のシフトが現れる。 則ち、時間シフトと周波数シフトはフーリエ変換に関して双対である。 ;相位変換 時間領域での原点を中心とした伸縮（'''相位変換・スケーリング'''）を考える。 :①<math>a\geq0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math> :<math>=\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :②<math>a<0</math>のとき :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(ax)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{\infty}^{-\infty} f(y)\mathrm{cis}\left(-\tau\frac{\xi}{a}y\right)\frac{1}{a}dy</math>（※<math>a<0</math>より変数変換<math>y=ax</math>で積分区間が反転する） :<math>=-\frac{1}{a}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> :①, ②を組み合わせて :<math>\text{ℱ}[f(ax)](\xi)=\frac{1}{|a|}\tilde{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math> 時間シフトと相位変換を合成することで、<math>x\to{ax+b}</math>という[[線型代数学続論/アフィン変換|アフィン変換]]に対するフーリエ変換を計算できる。 ;周波数スペクトル 周波数スペクトルを時間領域の関数と見た<math>\tilde{f}(x)</math>のフーリエ変換を考える。 :<math>\tilde{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>x, \xi</math>を入れ替えて :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\xi</math>を<math>-\xi</math>で置換して :<math>\tilde{f}(x)=\int_{-\infty}^\infty f(-\xi) \mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>\text{ℱ}^{-1}[f(-\xi)](x)=\tilde{f}(x)</math>より :<math>\text{ℱ}[\tilde{f}(x)](\xi)=f(-\xi)</math> よって、フーリエ変換を4回合成したものは恒等変換である。これは、[[関数解析学]]的には「フーリエ変換は関数空間の位相を<math>90^\circ</math>だけ回転する」と解釈される。 ;畳み込み 全区間で定義される実関数<math>f, g</math>に対し、 :<math>(f\ast{g})(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du</math> を'''畳み込み'''（'''重畳積分・コンボリューション'''）という。 時間領域での畳み込みのフーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}[(f\ast{g})(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty (f\ast{g})(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)du \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \left( \int_{-\infty}^\infty g(x-u)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right) du</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(u) \mathrm{cis}(-\tau\xi{u}) du\cdot \tilde{g}(\xi)</math>（<math>\because</math>時間シフトの性質） :<math>=\tilde{f}(\xi)\cdot\tilde{g}(\xi)</math> 則ち、'''時間領域での畳み込みは周波数領域での乗算'''である。 周波数領域での畳み込みの逆フーリエ変換を考える。 :<math>\text{ℱ}^{-1}[(\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)](x)=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}\ast\tilde{g})(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\xi-\zeta) d\zeta \right) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(\xi-\zeta) \mathrm{cis}(\tau\xi{x}) d\xi \right) d\zeta</math>（<math>\because</math>フビニの定理） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}(\tau\zeta{x}) d\zeta\cdot g(x)</math>（<math>\because</math>周波数シフトの性質） :<math>=f(x)\cdot{g}(x)</math> 則ち、'''周波数領域での畳み込みは時間領域での乗算'''である。 よって、畳み込みと乗算はフーリエ変換に関して双対である。 デルタ関数の3番目の性質は、「デルタ関数との畳み込みが恒等変換」であることを示している。なお、デルタ関数の引数を平行移動すれば関数全体が平行移動する。 ;導関数・定積分 導関数のフーリエ変換を求める。 :<math>\text{ℱ}\left[\frac{d}{dx}f(x)\right](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty f(x) \left(\frac{d}{dx}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})\right)dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=[ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math> 実際に用いる際は、元信号に境界条件<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を課す場合が多い（<math>|\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})|=1</math>より境界項が0に収束し、第二項のみが残るので）。 定積分のフーリエ変換を求める。但し、積分区間は<math>(-\infty, x]</math>で固定されているものとする。 :<math>\int_{-\infty}^x f(t)dt = \int_{x}^{-\infty} f(t) (-dt)</math> :<math>t=x-u</math>と置換すると<math>du=-dt,\quad t|x\to-\infty \iff u|0\to\infty</math>なので :<math>=\int_{0}^\infty f(x-u)du</math> :ヘヴィサイド関数<math>H(u)=\begin{cases} 1 & u\geq0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math>を用いると :<math>=\int_{-\infty}^\infty H(u)f(x-u)du</math> :<math>=(H\ast{f})(x)</math> :よって畳み込みのフーリエ変換から :<math>\text{ℱ}\left[ \int_{-\infty}^x f(t) dt\right](\xi)=\text{ℱ}\left[ (H\ast{f})(x)\right] (\xi)</math> :<math>=\text{ℱ}[H(x)](\xi)\cdot\text{ℱ}[f(x)](\xi)</math> :<math>=\left\{\frac{1}{2}\delta(\xi)+\mathrm{PV}\left(\frac{1}{\tau\xi{i}}\right)\right\}\tilde{f}(\xi)</math> ここで<math>\xi\neq0</math>の時を考えると、周波数スペクトル密度は<math>\frac{1}{\tau\xi{i}}\tilde{f}(\xi)</math>である。 微分・積分は逆演算であるが、性質の良い函数に就いては周波数領域で見るとそれぞれ<math>\tau\xi{i}</math>の乗算・除算に対応し、こちらも逆演算となっている。 導関数のフーリエ変換結果から類推して、以下のようなフーリエ変換を考えてみる。 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=-\frac{1}{\tau{i}} \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{d\xi} f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx </math> :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math>（<math>\because</math>ルベーグの優収束定理） :<math>=\frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\tilde{f}(\xi)</math> 則ち、元信号に変数自身を掛ける操作と微分操作はフーリエ変換に関して双対である。 ;リーマン・ルベーグの補題 フーリエ変換に関して、以下が成り立つ（'''リーマン・ルベーグの補題'''）。 :<math>f \in L^1 \implies \lim_{|\xi|\to\infty} \tilde{f}(\xi)=0</math> つまり、周波数スペクトル密度は高周波領域では減衰する。 ;プランシュレルの定理 時間領域で自身の複素共軛との積を考えると、畳み込みの逆フーリエ変換及び複素共軛のフーリエ変換から :<math>\int_{-\infty}^\infty \{f(x)\cdot\overline{f(x)}\} \mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta)\cdot\overline{\tilde{f}(\zeta-\xi)}d\zeta</math> ここで<math>\xi=0</math>と置いてみると :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\zeta)|^2 d\zeta</math> <math>\zeta</math>は束縛変数なので改めて<math>\xi</math>で置くと :<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^\infty|\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi</math> これを'''プランシュレルの定理'''という。工学ではこれと同値な'''パーシバルの定理'''（複素フーリエ級数の各指数係数の内積の総和が元の関数同士の内積に一致するという定理）と同一視されることもある。 右辺の被積分関数である、<math>W(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2</math>を'''エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。プランシュレルの定理は「時間領域で表した全エネルギーと周波数領域で表した全エネルギーが常に等しい=フーリエ変換に対する保存量はエネルギー」ということを主張する。 関連して、指数係数のノルム平方にデルタ関数列を掛けて足し合わせた無限級数<math>S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-n\xi_0)</math>の値を'''電力スペクトル密度'''という。 この定理を用いると「フーリエ変換が<math>L^2</math>空間に関してユニタリ作用素である」ことが導かれ、<math>f\in L^2</math>でのフーリエ変換を正当化する。 ;不確定性関係 <math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=1</math>であるとする。このとき、プランシュレルの定理から同様に<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(\xi)|^2 d\xi=1</math>である。 ここで、<math>|f(x)|^2</math>を確率密度関数<math>f_X</math>とみて<math>E(X)=0</math>の下での分散<math>V(X)</math>を<math>D_0(f)</math>と置く。 このとき、<math>f</math>が絶対連続で<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)</math>が二乗絶対可積分関数であるならば、以下が成り立つ（'''不確定性関係'''）。 :<math>D_0(f)D_0(\tilde{f})\geq\frac{1}{4\tau^2}</math> これは、一般に<math>E(X)\neq0</math>でも成り立つ。 等号成立条件は<math>f</math>がガウス型の関数であることである。 ;ポアソン和の公式 '''ポアソン和の公式'''は、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを示す等式である。 :<math>\begin{align} \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\xi) &= \sum_{\xi=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{\tau=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math> ;自己相関・相互相関 無限に観測できる（ノルム平方の全区間積分が正に発散する）波形関数<math>f</math>の'''自己相関関数'''<math>R(\chi)</math>をエルゴード平均によって以下のように定義する。この<math>\chi</math>を'''ラグ'''という。 :<math>R(\chi):=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> ここで、<math>f</math>が周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{f(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 これのフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)</math>に複素フーリエ展開表示を代入して :<math>R(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T \left(\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \mathrm{cis}(\tau\xi_{n}x) \right) \overline{\left( \sum_{k=-\infty}^\infty C_k \mathrm{cis}\{\tau\xi_{k}(x+\chi)\} \right)} dx</math> :<math>=\sum_{n, k}C_n \overline{C_k} \mathrm{cis}(-\tau\xi_k\chi)\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{cis}\{-\tau(\xi_n-\xi_k)x\}dx</math> :ここで最後の積分はクロネッカーのデルタ<math>\delta_{nk}</math>に等しくなるので<math>n=k</math>の項だけ考えれば良くて :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[(R(\chi)](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \cdot \text{ℱ}[\mathrm{cis}(-\tau\xi_n\chi)](\xi)</math> :<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty |C_n|^2 \delta(\xi-\xi_n)</math> ここで<math>\xi_n=n\xi_0</math>であることから、求まった式は電力スペクトル密度に等しい。 則ち、'''周期関数に対して自己相関関数と電力スペクトル密度はフーリエ対'''である。 自己相関の式に於いて、二項目の<math>f</math>を（<math>f</math>同様に無限に観測可能な）<math>g</math>に置き換えたものを'''相互相関関数'''という。 :<math>R_{fg}(\chi)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> 自己相関の場合と同様に、<math>f, g</math>が共通周期<math>T</math>を持つ場合には、一周期平均に置き換えて :<math>R_{fg}(\chi)=\frac{1}{T}\int_{0}^T f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> と考えて良いものとする。 このとき、<math>R_{fg}</math>の周波数スペクトル密度'''相互電力スペクトル密度'''と呼ぶ。 定義式から分かるように、一般に<math>R_{fg} \neq R_{gf}</math>である（<math>R(-\chi)=R(\chi),\quad R_{fg}(-\chi)=\overline{R_{gf}(\chi)}</math>が成り立つ）。 相互相関関数は、畳み込みに類似した記号を用いて<math>(f\star{g})(\chi)</math>のように表す場合もある。 波形関数が孤立波を表す場合を考える。このとき、ノルム平方の全区間積分は収束する、則ち<math>f, g\in L^2</math>である。 この場合の自己相関関数・相互相関関数はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>R_{fg}(\chi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)} dx</math> :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> 自己相関関数のフーリエ変換を考える。 :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{f(y)}dy</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(-y)}f(\chi-y)dy</math> :ここで<math>\hat{f}(y):=\overline{f(-y)}</math>と置くと :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)</math>と畳み込みで表される。 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)</math>をフーリエ変換すると畳み込みのフーリエ変換より :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\tilde{(\hat{f})}(\xi)\tilde{f}(\xi)</math> :更に、複素共軛のフーリエ変換から :<math>\tilde{(\hat{f})}(\xi)=\text{ℱ}\left[\overline{f(-y)}\right](\xi)</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(-(-y))](\xi)}</math> :<math>=\overline{\text{ℱ}[f(y)](\xi)}</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)}</math> :則ち、 :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)\leftrightarrow\overline{\tilde{f}(\xi)}\tilde{f}(\xi)=|\tilde{f}(\xi)|^2=W(\xi)</math> :ここから :<math>(\hat{f}\ast{f})(\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi\chi)d\xi</math> :なので、 :<math>R(\chi)=(\hat{f}\ast{f})(-\chi)=\int_{-\infty}^\infty W(\xi)\mathrm{cis}(-\tau\xi\chi)d\xi = \text{ℱ}[W(\xi)](\chi)</math> よって、'''孤立波の波形関数に対して自己相関関数とエネルギースペクトル密度はフーリエ対'''である。 <math>R_{fg}(\chi)</math>の周波数スペクトル密度は'''相互エネルギースペクトル密度'''と呼ぶ。 <math>f</math>が実関数の場合、相互エネルギースペクトル密度は相互相関関数をそのままフーリエ変換するよりも以下の関係を使用した方が簡単である。 :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)](\xi)=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math> *証明 :<math>R_{fg}(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty f(y-\chi)\overline{g(y)}dy</math> :<math>f^\circ(y):=f(-y), h(y):=\overline{g(y)}</math>とすると :<math>=(f^\circ\ast{h})(\chi)</math> :よって :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)]=\text{ℱ}[(f^\circ\ast{h})(\chi)](\xi)</math> :<math>=\tilde{f^\circ}(\xi)\tilde{h}(\xi)</math> :<math>=\overline{\tilde{f}(\xi)\tilde{g}(-\xi)}</math> :<math>=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math>// 自己相関関数のフーリエ変換が電力スペクトル密度/エネルギースペクトル密度であるという定理を'''ウィーナー=ヒンチンの定理'''という。[[確率過程]]の用語を用いて厳密に言うと、定常過程に於ける相関関数が時刻に無関係であること、エルゴード性から時間平均と集合平均が一致することがこの定理の背景にある。 ランダム過程に於ける電力スペクトル密度は「雑音解析」の節で扱う。 ;固有関数 フーリエ変換の固有関数を求める。 固有関数条件は<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\lambda{f}(\xi), \quad f\in L^2</math> ここで、 :<math>\text{ℱ}[xf(x)](\xi) = \frac{i}{\tau} \frac{d}{d\xi} \text{ℱ}[f(x)](\xi) </math> 固有関数条件より :<math>\begin{cases} \mathrm{lhs}. &= \lambda\{\xi{f}(\xi)\} &= \lambda\xi f(\xi) \\ \mathrm{rhs}. &= \frac{i}{\tau}\frac{d}{d\xi}\{\lambda{f}(\xi)\} &= \frac{\lambda{i}}{\tau} \frac{d}{d\xi}f(\xi) \end{cases}</math> よって微分方程式<math>f'=\frac{\tau\xi}{i} f</math>を得る。<br> これは変数分離形なので :<math>\int \frac{df}{f(\xi)} = -\tau\xi{i} d\xi</math> :<math>\ln |f(\xi)| = -\frac{\tau}{2}\xi^2i+A</math> :<math>f(\xi)=\pm e^{A}\exp\left(-\frac{\tau}{2}\xi^2i\right)</math> 但し、これは<math>f \in L^2</math>を満たさないので固有関数として不適格である。<br> そこで、固有関数を<math>Ce^{-(a+bi)x^2}</math>と仮定する。<br> これをフーリエ変換すると :<math>\text{ℱ}\left[Ce^{-(a+bi)x^2}\right](\xi)=C\int_{-\infty}^\infty e^{-(a+bi)x^2} e^{-\tau\xi{x}i}dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right\} dx</math> :<math>=C\int_{-\infty}^\infty \exp\left\{-(a+bi)\left( x+\frac{\tau\xi{i}}{2(a+bi)} \right)^2 \right\} dx \exp\left( - \frac{\tau^2\xi^2}{4(a+bi)} \right)</math> :<math>=C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)</math>（<math>\because</math>ガウス積分の値） ここで、再び固有関数条件を用いて :<math>C\sqrt{\frac{\pi}{a+bi}}\exp\left(-\frac{\pi^2\xi^2}{a+bi}\right)=\lambda{C}\exp\{-(a+bi)\xi^2\}</math> これが<math>\xi</math>の恒等式なので、 :<math>\begin{cases} \lambda &= \sqrt{\frac{\pi}{a+bi}} \\ \frac{\pi^2}{a+bi} &= a+bi \end{cases}</math> :<math>\therefore a+bi=\pm\pi</math> ここで<math>f\in L^2</math>より<math>a>0</math>が課されるので、 :<math>a=\pi, b=0, \lambda=1</math> 故に、フーリエ変換の固有関数はガウス型の関数 :<math>f(x)=Ce^{-\pi x^2}</math>（<math>C</math>は任意定数） である。 フーリエ変換を<math>\omega</math>で定義する流儀では、同様にして固有関数は<math>f(x)=Ce^{-\frac{1}{2}x^2}</math>と求まる。 このように、フーリエ変換の定義の仕方によって<math>-x^2</math>の係数である正数<math>a</math>の値が変わって来る。 ;演習問題 #以下の波形関数をフーリエ変換せよ。 ##単一孤立三角波<math>f(x)=\begin{cases} A\left( 1-\frac{2|x|}{T} \right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##二乗余弦波<math>f(x)=\begin{cases} A\cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right) & |x|\leq\frac{T}{2} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}</math> ##両側指数波<math>f(x)=A\exp\left(-\frac{|x|}{T}\right)</math> ##周期<math>K</math>の{{中付きルビ||鋸歯|きょし}}波<math>f(x)=\frac{A}{K}x</math> #三角関数の複素指数関数表記と周波数シフトの性質を用いて、正弦波・余弦波のフーリエ変換を導出せよ。 #プランシュレルの定理とコーシー=シュワルツの不等式を用いて<math>E(X)=0</math>の場合の不確定性関係を導け。 #自己相関関数の定義式をフーリエ逆変換の式に代入することによって、自己相関関数とエネルギースペクトル密度がフーリエ対となることを証明せよ。 #<math>|\chi|<\frac{T}{2}</math>としたとき、(1)に於ける二乗余弦波と両側指数波の相互相関関数と相互エネルギースペクトル密度をそれぞれ求めよ。 ;解答 {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} - \frac{2A}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx+\int_0^\frac{T}{2} x\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx \right)</math> <math>\int xe^{-ax}dx=-\frac{ax+1}{a^2}e^{-ax}+C</math>を利用して :<math>=A\frac{\mathrm{cis}(\tau\xi\frac{T}{2})-\mathrm{cis}(-\tau\xi\frac{T}{2})}{\tau\xi{i}}-\frac{2A}{T} \left( \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{-\frac{T}{2}}+ \left[ -\frac{\tau\xi{i}x+1}{\tau^2\xi^2{i^2}}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]_0^{\frac{T}{2}} \right)</math> :<math>=\frac{2AT}{2}\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ \frac{-\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{1}{\tau^2\xi^2} + \frac{\frac{T}{2}\tau\xi{i}+1}{\tau^2\xi^2}\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right) -\frac{1}{\tau^2\xi^2} \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\mathrm{cis}\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left(1-\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)+i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+\left(1+\frac{T}{2}\tau\xi{i}\right)\left\{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-i\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}+i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+\left[\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}-i\left\{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\frac{T}{2}\tau\xi\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)\right\}\right]+2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right\}-2}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{2\left\{\frac{T}{2}\tau\xi\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)+\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1 \right\}}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T} \left\{ T\frac{\sin\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{\tau\xi} - \frac{4}{\tau^2\xi^2}\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right) \right\}</math> :<math>=AT\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) - \frac{2A}{T}\cdot\frac{T^2}{2}\mathrm{sinc}\left( \frac{T}{2}\tau\xi \right) + \frac{2A}{T}\cdot \frac{T^2}{4}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（別解）}} <math>f(-x)=f(x)</math>より偶関数なので、フーリエ余弦変換を利用できる。 :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2\int_0^\infty f(x)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \left( 1-\frac{2|x|}{T} \right)\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A\int_0^\frac{T}{2} \cos(-\tau\xi{x})dx - \frac{4A}{T} \int_0^\frac{T}{2} x\cos(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\sin0}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T}\left( \left[ \frac{x\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi} \right]_0^\frac{T}{2}- \int_0^\frac{T}{2} \frac{\sin(-\tau\xi{x})}{-\tau\xi}dx \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-\frac{4A}{T} \left( \frac{\frac{T}{2}\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-0\sin0}{-\tau\xi} - \left[ \frac{-\cos(-\tau\xi{x})}{\tau^2\xi^2} \right]_0^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}-2A \frac{\sin\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)}{-\tau\xi}+\frac{4A}{T} \frac{\cos\left(-\frac{T}{2}\tau\xi\right)-\cos0}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{4A}{T}\frac{\cos\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)-1}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2A}{T}\frac{\sin^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)}{\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{AT}{2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{T}{4}\tau\xi\right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-1'''（補足）}} sinc関数は矩形波のフーリエ変換で得られるので、畳み込みの逆フーリエ変換が乗算であることから「矩形波の自己畳み込みが三角波」ということがわかる。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-2'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> <math>\cos x=\frac{\mathrm{cis}\,x+\mathrm{cis}(-x)}{2}</math>より<math>\cos^2x=\frac{\mathrm{cis}(2x)+\mathrm{cis}(-2x)+2}{4}</math>なので :<math>=A\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left\{ \frac{\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi{x}}{T}\right)+\mathrm{cis}\left(-\frac{2\pi{x}}{T}\right)+2}{4} \right\}\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \left[ \mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\} + \mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\} + 2\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) \right]dx</math> :<math>=\frac{A}{4}\left( \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)x\right\}}{\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + \left[ \frac{\mathrm{cis}\left\{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)x\right\}}{-\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right)i} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} + 2\left[ \frac{\mathrm{cis}(-\tau\xi)}{-\tau\xi{i}} \right]_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \right)</math> :<math>=\frac{A}{4} \left[ T\mathrm{sinc}\left\{ \frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}-\xi\right) \right\} + T\mathrm{sinc}\left\{-\frac{T}{2}\tau\left(\frac{1}{T}+\xi\right) \right\} + 2T\mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right) \right]</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}\left(-\pi-\frac{T}{2}\tau\xi\right) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}\left(\frac{T}{2}\tau\xi\right)</math> :<math>=\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-3'''}} :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x})dx</math> :<math>=A\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x|}{T}\right) \exp(-\tau\xi{xi})dx</math> :<math>=A \left[ \int_{-\infty}^0 \exp\left\{\left(\frac{1}{T}-\tau\xi{i}\right)x\right\}dx+\int_0^\infty \exp\left\{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)x \right\}dx \right]</math> :<math>=A\left( \frac{1-0}{\frac{1}{T}-\tau\xi{i}} + \frac{0-1}{-\left(\frac{1}{T}+\tau\xi{i}\right)} \right)</math> :<math>=\frac{2\frac{A}{T}}{\frac{1}{T^2}+\tau^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{2AT}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''1-4'''}} <math>f(x)=\frac{A}{K}x</math>を複素フーリエ展開すれば周期関数のフーリエ変換を利用できる。 :<math>C_n=\frac{1}{K}\int_{0}^K f(x)\mathrm{cis}\left(-\frac{n\tau{x}}{K}\right)dx</math> :<math>=\frac{A}{K^2} \int_0^K x\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right)dx</math> :<math>=-\frac{A}{K^2}\left[ \frac{Kx}{n\tau{i}}\exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) + \frac{K^2}{n^2\tau^2} \exp\left(-\frac{n\tau{x}i}{K}\right) \right]_0^K</math> :<math>=-\frac{A}{n\tau{i}}e^{n\tau{i}}-\frac{A}{n^2\tau^2}e^{n\tau{i}}+\frac{A}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{A\left\{1-(1-n\tau{i})\mathrm{cis}(n\tau)\right\}}{n^2\tau^2}</math> :<math>=\frac{Ai}{n\tau}</math>（<math>\because \mathrm{cis}(n\tau)=1</math>） <math>n=0</math>のときは :<math>C_0=\frac{1}{K} \int_0^K \frac{A}{K}xdx = \frac{A(K^2-0)}{2K^2}=\frac{A}{2}</math> よって :<math>f(x)=\frac{A}{2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \mathrm{cis}\left( \frac{n\tau{x}}{K} \right)</math> 周期関数のフーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f(x)](\xi)= \frac{A}{2}\delta(\xi) + \sum_{n\in\mathbb{Z}_{\neq0}} \frac{Ai}{n\tau} \delta\left(\xi - \frac{n}{K} \right)</math>// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''2'''}} 周波数シフトの性質より :<math>f(x)\mathrm{cis}(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi-\xi_0)</math> <math>\xi_0</math>を<math>-\xi_0</math>に置き換えて :<math>f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi_0x)\leftrightarrow\tilde{f}(\xi+\xi_0)</math> <math>\cos\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta + \mathrm{cis}(-\theta)}{2}, \quad \sin\theta=\frac{\mathrm{cis}\,\theta-\mathrm{cis}(-\theta)}{2i}</math>とフーリエ変換の線型性より<math>\leftrightarrow</math>の両辺をそれぞれ足し引きして整理すると :<math>f(x)\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)+\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>f(x)\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{1}{2i}\{\tilde{f}(\xi-\xi_0)-\tilde{f}(\xi+\xi_0)\}</math> ここで、<math>f</math>が定数関数<math>f(x)=A</math>のとき、 :<math>A\cos(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2}\{\delta(\xi-\xi_0)+\delta(\xi+\xi_0)\}</math> :<math>A\sin(\tau\xi_0x)\leftrightarrow\frac{A}{2i}\{\delta(\xi-\xi_0)-\delta(\xi+\xi_0)\}</math> と求まる。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''}} <math>\|\cdot\|</math>は<math>L^2</math>空間でのノルムを表すものとする。則ち、内積を<math>\langle f(x), g(x) \rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} dx</math>として<math>\|f(x)\|=\sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx}</math>。<br> <math>E(X)=0</math>より :<math>D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|^2dx = \|xf(x)\|^2</math> :<math>D_0(\tilde{f})=\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\tilde{f}(\xi)|^2d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\xi\tilde{f}(\xi)|^2d\xi =\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2</math> ここで、<math>\xi\tilde{f}(\xi)</math>の逆フーリエ変換を考える。<br><math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow [ f(x)\mathrm{cis}(-\tau\xi{x}) ]_{-\infty}^{\infty} + \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>であるが仮定より<math>f</math>は絶対連続且つ<math>f, f' \in L^2</math>なので<math>\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0</math>を満たし<math>\left(\because (|f|^2)' = 2\mathrm{Re}(f'\overline{f}) \in L^1 \land |f|^2 \in L^1 \right)</math>、境界項が消えるので<math>\frac{d}{dx}f(x)\leftrightarrow \tau\xi{i}\tilde{f}(\xi)</math>、則ち<math>\xi\tilde{f}(\xi)\leftrightarrow \frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)</math>。<br> よってプランシュレルの定理より :<math>D_0(\tilde{f})=\|\xi\tilde{f}(\xi)\|^2=\left\|\frac{1}{\tau{i}}\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2=\frac{1}{\tau^2}\left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2</math> 故に、示すべき不等式は :<math>\|xf(x)\|^2 \left\|\frac{d}{dx}f(x)\right\|^2 \geq \frac{1}{4}</math> である。<br> 仮定より<math>1=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx</math>であるが、右辺を部分積分すると<math>xf(x), \frac{d}{dx}f(x)\in L^2</math>より<math>\lim_{|x|\to\infty}|f(x)|^2=0</math>なので境界項が消えて :<math>1=-\int_{-\infty}^\infty x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx</math> :<math>=-2\mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right)</math> 両辺の絶対値をとると :<math>\frac{1}{2} = \left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| \leq \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|</math> ここで、コーシー=シュワルツの不等式より内積の絶対値はノルムの積以下の値をとるので :<math>|\langle xf(x), f'(x) \rangle| \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> よって :<math>\frac{1}{2} \leq \|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> 両辺を二乗しても大小関係は変わらないので :<math>\frac{1}{4} \leq \|xf(x)\|^2 \|f'(x)\|^2</math> これで示された。// {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf,#223)|title='''3'''（補足）}} 等号成立の場合を調べてみる。 :<math>\frac{1}{2}=\left| \mathrm{Re}\left( \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right) \right| = \left| \int_{-\infty}^\infty xf(x)\overline{f'(x)} dx \right| = |\langle xf(x), f'(x) \rangle|=\|xf(x)\| \|f'(x)\|</math> CS不等式で等号のとき、 :<math>|\cos\theta|=1 \iff \theta=0^\circ, 180^\circ \iff</math>一次従属 :<math>\therefore f'(x)=\lambda xf(x)\quad (\lambda\in\mathbb{C})</math> また、2つ目の等号より<math>\langle xf(x), f'(x) \rangle \in \mathbb{R}</math>なので<math>\lambda = c \in \mathbb{R}</math>であり、微分方程式 :<math>f'(x)=cxf(x)</math> を得る。これは変数分離形なので :<math>\frac{df}{f(x)}=cxdx</math> :<math>\ln|f(x)|=\frac{c}{2}x^2+A</math> :<math>f(x)=\pm e^{A}e^{\frac{c}{2}x^2}</math> ここで、<math>f \in L^2</math>より<math>c<0</math>が課される。<br> よって、不確定性関係で等号成立の場合はガウス型関数<math>f(x)=Ce^{-ax^2} \quad(C\neq0, a>0)</math>であることが分かる。 フーリエ変換の固有関数と異なるのは、ガウス曲線の裾の広がり方を定める正数<math>a</math>の値が一つに定まらないことである。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''4'''}} :<math>R(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{f(x+\chi)} dx</math> <math>f(x)</math>を逆フーリエ変換表記して :<math>=\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\mathrm{cis}(\tau\xi{x})d\xi \right) \overline{\left( \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\zeta) \mathrm{cis}\{\tau\zeta(x+\chi)\} d\zeta \right)}dx</math> フビニの定理を用いて<math>x\to\zeta\to\xi</math>の順に積分すると^※ :<math>=\iiint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi)d\xi d\zeta dx</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \left(\int_{-\infty}^\infty \mathrm{cis}\{\tau(\xi-\zeta)x\} dx\right) d\xi d\zeta</math> :<math>=\iint \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\zeta)}\mathrm{cis}(-\tau\zeta\chi) \delta(\xi-\zeta) d\xi d\zeta</math>（<math>\because1</math>のフーリエ変換） :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{f}(\xi)}\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math>（<math>\because</math>デルタ関数の3番目の性質） :<math>=\int_{-\infty}^\infty |\tilde{f}(\xi)|^2\mathrm{cis}(-\tau\chi\xi)d\xi</math> よって<math>R(\chi)\leftrightarrow W(\xi)</math>// ※積分領域は自明なので省略した。 {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''5'''（相互相関関数）}} 二乗余弦波を<math>f(x)</math>, 両側指数波を<math>g(x)</math>とすると相互相関関数は :<math>R_{fg}(\chi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x+\chi)}dx</math> :<math>=A^2\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos^2\left(\frac{\pi{x}}{T}\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(-\frac{|x+\chi|}{T}\right)dx\right\}</math> :<math>=\frac{A^2}{2}\left[\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \exp\left(\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\frac{T}{2}}^{-\chi} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right)\exp\left(\frac{x}{T}\right)dx\right\}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx+\int_{-\chi}^\frac{T}{2} \cos\left(\frac{\tau}{T}x\right) \exp\left(-\frac{x}{T}\right)dx\right\}\right]</math> ここで<math>\int \cos axe^{px}dx = \frac{a\sin ax+p\cos ax}{a^2+p^2}e^{px}+C</math>を利用して :<math>=\frac{A^2T}{2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)\left\{\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp(-\frac{\chi}{T}) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{2}\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) \right\}</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)\left\{ \exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \exp\left(\frac{\chi}{T}\right) + \frac{\tau\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)-\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\frac{A^2T}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)+\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}-\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{-1}{1+\tau^2}\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)</math> ::<math>+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{A^2T}{2}+\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\frac{1}{1+\tau^2}\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)-\frac{AT^2}{2}\frac{\tau\sin\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)-\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)}{1+\tau^2}</math> :<math>=\frac{A^2T}{2\sqrt{e}}\left\{\frac{\exp\left(\frac{\chi}{T}\right)+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2}+\exp\left(-\frac{\chi}{T}\right) - \exp\left( \frac{\chi}{T} \right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(-\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> :<math>=\frac{A^2T}{\sqrt{e}}\left\{ \frac{\cosh\left(\frac{\chi}{T}\right)}{1+\tau^2} - \sinh\left(\frac{\chi}{T}\right) \right\} + \frac{A^2T}{1+\tau^2}\cos\left(\frac{\tau}{T}\chi\right)</math> {{NavBottom}} {{NavTop|bgcolor=light-dark(#ccf, #223)|title='''5'''（相互エネルギースペクトル密度）}} <math>f</math>は実関数なので :<math>\text{ℱ}[R_{fg}(\chi)](\xi)=\tilde{f}(\xi)\overline{\tilde{g}(-\xi)}</math> を利用でき、更に<math>g</math>も実関数なので :<math>=\tilde{f}(\xi)\tilde{g}(-\xi)</math> ここで、(1-2), (1-3)の結果を用いて :<math>=\left\{\frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \frac{AT}{4} \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)\right\} \cdot \frac{2AT}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math> :<math>=\frac{A^2T^2}{2} \cdot \frac{ \mathrm{sinc}(\pi-\pi{T}\xi) + \mathrm{sinc}(\pi+\pi{T}\xi) + 2 \mathrm{sinc}(\pi{T}\xi)}{1+\tau^2T^2\xi^2}</math>// {{NavBottom}} ==フーリエ変換の応用== ;確率密度関数のフーリエ変換が特性関数 ;ナイキスト=シャノンの標本化定理 <math>|\xi|<\xi_m</math>であるとする。この<math>\xi_m</math>を'''最高周波数'''といい、元信号<math>f(x)</math>は<math>\xi_m</math>で'''帯域制限'''されているという。 元信号を間隔<math>T</math>で'''標本化'''（'''サンプリング'''）することを考える。[[高等学校情報]]で扱ったように、標本化とは「連続的な量からある基準に従って離散的な値を取り出す」ことである。 ここで、間隔<math>T</math>で標本化するとは、「間隔<math>T</math>で非零の点が現れるように関数を変形する」ということである。そこで、「引数が<math>0</math>のときのみ非零、それ以外では<math>0</math>である」デルタ関数を用いることを考える。デルタ関数が間隔<math>T</math>で非零であるということは、<math>\delta(x-T)=\delta(x-2T)=\cdots=\delta(x-nT)\neq0</math>が成り立つということである。 よって、標本化を数式で表すと以下のようになる。 :<math>f_s(x)=\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)f(x)</math> :但し<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-nT)</math> <math>f_s(x)</math>を'''標本化波関数'''、<math>\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)</math>を'''ディラックの櫛型関数'''（'''{{中付きルビ||Ш|シャー}}関数'''）という。 なお、Ш関数は「周期<math>T</math>の一様なインパルス列」とも捉えられる。 Ш関数のフーリエ変換を考える。 :周期関数のフーリエ変換と周波数スペクトルのフーリエ変換を組み合わせて :<math>\text{ℱ}\left[\mathrm{I}\!\mathrm{I}\!\mathrm{I}_T(x)\right](\xi)=\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)</math> ここで、以下の等式が成り立つことが知られている（証明略）。 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\xi)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\xi-\frac{n}{T})</math> これを用いて、標本化波のフーリエ変換を考える。 :畳み込みの逆フーリエ変換より :<math>\text{ℱ}[f_s(x)](\xi)=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{cis}(-n\tau{T}\zeta)\right)d\zeta</math> :<math>=\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta)\left(\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)\right)d\zeta</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\xi-\zeta) \delta\left(\zeta-\frac{n}{T}\right)d\zeta\right)</math> :<math>=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \tilde{f}\left(\xi-\frac{n}{T}\right)</math> よって、標本化波の周波数スペクトルは間隔<math>\frac{1}{T}</math>で現れる。元信号は帯域制限されているので、スペクトルの幅は<math>2\xi_m</math>である。このとき、周波数間隔<math>\xi_s:=\frac{1}{T}</math>を'''標本化周波数'''（'''サンプリング周波数'''）という。 標本化波の周波数スペクトルから元の波を復元するためには低域通過フィルタ（ローパスフィルタ、LPF）が用いられる。単位時間当たりの情報量を削減できるので標本化周波数が低ければ低いほど望ましいが、周波数スペクトル同士が重なってしまうと歪みが生じるので復元ができない（折り返し雑音）。 そこで、歪まない最低の標本化周波数を求めたい。周波数スペクトルが重ならない且つ幅が最大であるようなとき、周波数スペクトル同士は互いに一点で接している。このとき、<math>\xi_s=2\xi_m</math>である。則ち、<u>不等式<math>\frac{\xi_s}{2}\geq\xi_m</math>が成り立つことが、元信号復元の条件</u>である。 これを'''ナイキスト=シャノンの標本化定理'''（'''サンプリング定理'''）という。 なお、<math>\frac{\xi_s}{2}</math>を'''ナイキスト周波数'''という。 ;線形システムのインパルス応答 ;雑音解析 ;離散時間フーリエ変換 ;離散フーリエ変換 ;高速フーリエ変換 ;ウェーブレット変換 ;短時間フーリエ変換 ;離散余弦変換 ==一般化== ;分布論 ;分数次フーリエ変換 ;多次元フーリエ変換 ;フーリエ・スティルチェス変換 ;フーリエ–ドリーニュ変換 ;フーリエ–向井変換 ;フーリエ–佐藤変換 ;ポントリャーギン双対 ==参考文献== 森北出版『通信方式』第二版 滑川敏彦ほか 2012年 [[Category:解析学]] [[Category:フーリエ解析]] 4er8xul9njzwd0udx7hnwgxjz8hbdgt