Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 0 3583 302735 275711 2026-08-26T17:20:21Z Tomzo 248 302735 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[法学]]＞[[関係諸法等]] *[[民事法]]については、[[関係諸法等 (民事法)]] *[[刑事法]]については、[[関係諸法等 (刑事法)]] [[Category:法学|かんけいしようほうとう]] [[Category:水先案内のページ|かんけいしようほうとう]] lp0elyl14a1bqv1bp7qewiptfrge414 0 3813 302783 275694 2026-08-27T11:51:26Z Tomzo 248 302783 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ {{wikipedia}} '''取消''' *[[民法]]の取消制度については[[無効と取消]] *消費者法（[[w:消費者契約法|消費者契約法]]等）の取消については、別の項目（項目名未定）において解説する。 [[Category:水先案内のページ|とりけし]] [[Category:民法|とりけし]] fe1l8owxxclp3x8bvqybkp9tlo59eu6 0 4291 302768 235473 2026-08-27T03:31:45Z ~2026-46561-84 92381 302768 wikitext text/x-wiki 本稿では、日本の民間企業における就職活動のガイドを行う。 == 就職活動とは == 通常、学生・失業者など職に就いていない者が、企業や官公庁などに雇用されるための活動などを指す。 特に新卒の学生同士の会話や、彼らをターゲットにしたビジネスにおいて用いられることが多い。 転職のための活動や、自営業を始めるための活動は就活とは言わないことが多い。 一般的に大切だと言われることは、自己理解に基づいて、しっかり「自分のやりたいこと」や「その業界に就職したい目的」を明らかにした上でやりたい仕事、自分に適う仕事をキチンと捜し出すことだとされる。 自身の思考が漠然とし、やりたい仕事や自分に適う仕事がわからないまま就職活動に突入すると、あまり良い結果につながりにくいとされる。 == 大学生の就職活動 == 大学生の就職活動は規模が大きく、学生の就職活動の代表例として大学生の就職活動がメディアなどで扱われる事が多い。 高専生、短大生、大学院生、専門学校生、各種学校生の就職活動も、大学生の就職活動とほぼ同様である。 就職協定の廃止で、一人の学生が好きなだけ企業を受けることが可能になり、メガバンクや大手メーカー、総合商社、航空会社など大手企業への採用希望者は採用枠の数百倍に及び、就職活動は大変な競争になっている。 ===就職活動の試験内容=== どこの企業でも、ほぼ必ず面接は行われる。大企業、中小企業、公務員を問わず、面接は就職活動で行われるのが一般である。 大企業の採用選別方法の多くでは、一次試験で「SPI」試験などとして中学・高校レベル（主に中学レベル）の基礎的な学力検査を課し、二次試験以降で面接を行うのが一般的である。 ====学力検査==== 先程も述べたように、大企業では学力検査として、中学レベル・高校レベルの数学などの学力検査を一次試験で「SPI」試験などとして課す場合がある。注意すべきことは、大学レベルの専門的な問題はこれらのSPIなどの学力検査には、一般に出題されないことである。 たとえ就職先志望が専門知識を要する業界でも、SPIには専門知識は出題されない。文科系の事務職志望だけでなく、理科系の技術職志望ですら就職試験では専門知識は一般に出題されないのが一般である。 例えば工業系などの技術職を志望しても、就職活動の学力検査では、大学レベルの数学や物理などの問題なんて、まず出ない。大学入試レベルの数学や理科の問題ですら、就職活動時の筆記試験ではまず出ない。 外部サイトの中には、あたかもSPIで大学受験～大学講義レベルの学力が測定できるかのように説明しているサイトもあるが（ [https://contents.jobcatalog.yahoo.co.jp/qa/list/14239883999/ ※たとえばyahooの質問サイト]） 、デタラメなので決して真に受けてはいけない。 SPIのような就活産業の作った試験問題には、こういった問題点があり、つまり出題内容が会社の必要とする専門知識とはズレているという問題点があるので、中小企業などでは就活産業の作った試験を行わない場合がある。また、中小企業で独自の試験問題を作って、専門分野に近い職業高校レベルの知識などを検査する場合もある。 企業によっては、学力検査で英語の試験を行う場合がある。主に大企業に、英語読解問題のマークシート式の筆記試験をする企業が、いくつかある。英語の試験の難度は、大企業の行う英語試験の場合なら大学入試レベルを越えたレベルの場合が多く、大企業では、日本で最難関の大学とされる東京大学や京都大学などの学部の入試の過去問よりも難しい英文の出る場合も多く（TOEICハイスコアやTOEFLハイスコアなどのような大学受験参考書の範囲を大幅に越えた単語が、企業の英語試験に出ることも多いので）、なので試験対策としてTOEICやTOEFLのハイスコア対策の教材などを普段から練習していないと解けないような英文問題が出題される事も多い。 とはいえ企業は、必ずしもこの英語試験を英語が得意な学生だけを採用する手段として試験しているとは限らず、就職志望者の出身大学の偏差値がその企業に採用基準に満たないものを落とすための口実として、英語試験を行っている場合もある。 たとえば、偏差値の高い大学の学生が、ほとんど英語試験の問題を解けなくても、試験を突破扱いになる事もあるというハナシも聞く。学生の学部によっては、理系の学部のように英語の勉強にあまり時間を割けない場合もあるので、そのような場合は、英語試験ではなく肩書きで試験を突破をするようにしよう。 早い話が就活での学力検査の対策では、専門分野の勉強をするよりも、いっそのこと英語の試験勉強をしたほうが良く、さらに英語の勉強をするよりも大学院に進学するなどして学歴を上げるほうが、はるかに大企業の学力選考を通りやすくなり、就職しやすくなるのが日本の企業の現状である。 ====面接==== どこの企業でも、ほぼ必ず面接は行われる。大企業、中小企業、公務員を問わず、面接は就職活動で行われるのが一般である。大企業の面接は複数回行われ、最終面接では役員が出席することも多い。 大企業の面接の回数は、合計でおおむね5回ほど行われることになる場合が多い。 中小企業などでも、そこそこ規模の大きい企業では2回以上の面接があり、2次面接または2次以降から役員が出席する場合がある。社長や役員は仕事が忙しいので、そんなに多くの学生と面接は出来ないのである。 零細企業や小企業や無名な企業では、最初から役員や経営者などが面接に出席している場合もある。大企業の採用活動では面接に加え、面接以外の選考方法も多く行われる。 以下によくある質問例を挙げてみたので、参考にしてほしい。 ====卒業研究についての質問==== 理系学生で技術職を志望の場合、大企業の複数回ある面接では、そのうち1回「卒業研究テーマについて説明してください」というのもある場合が多い。なので、卒業研究のテーマについて説明できるようにしておこう。ここで重要な事は、研究テーマ以外の学業の知識についてはまったく聞かれないことである。 このような事から分かるように、この質問の目的は、けっして学力検査が目的ではない。おそらく、専門分野についてのプレゼンテーション能力などの検査が目的であろう。大企業の面接ですら学生のその学科ならば、どこの大学でも習うような全国共通の知識ですら面接官が聞いてこない。 また、学生が編入学や転学科などで学科を変わったような場合<ref>たとえば数学科から物理学科に転学科した等</ref>や、出身高校が普通科高校ではなく工業高校のような場合で、高校時代の学科が大学での学科と違うような場合ですら<ref>例えば高校は電気科だったが、大学では機械工学科に進学のような場合</ref>、工業高校やら前の学科での学力を確認するような質問はしてこないのが通常である。 説明中、面接官から研究内容について質問をされるが、しかし技術的にあまり深い内容の質問はされず、せいぜい、その分野の科学雑誌などに出てくるような常識的な用語などを確認してくる程度である<ref>マイナーな研究テーマだと、あまり細かい事は、面接官の側が知らない場合もある</ref>。なので、自分の研究分野をあつかった入門書などを読んで、そのような質問に対して答えを説明できるようにしよう。 そもそも分野によっては、まだ技術が成熟しておらず、しかもあまり細かい技術知識を質問しても、価値が低い場合もある。 定型的に用語さえ説明できてしまえば、この面接はほぼ突破できてしまう。逆に、学生側が数式の計算練習など、言葉では説明しづらいような事をいくら練習して準備してきても、数式は「用語」ではないので、まったく評価されないのが、日本の大手製造業などの技術職志望の面接である。 ====質問「趣味は何ですか？」==== 日本企業の多くにとって、英語や数学の勉強は、「趣味」とはみなされない事が多いようである。例えば質問で、面接官からの質問で「学業以外で打ち込んだことは、なんですか？」という質問に対して、「数学」と答えると、「答えになってません」とか「そういう事を質問してるのではありません」などと返答される場合もある。 たとえ自分の学科が数学科以外で、学校の授業以外に数学書を読んでいて、たくさん数学の問題集などを解いていても、このように、面接官から批判をされる事も多い。 どうやら、大学入試・大学院入試には出てこない科目を、勉強してもらいたいようです。いわゆる「5教科<ref>国語・数学・理科・社会・英語</ref>」以外についての趣味を聞いているようです。なので、趣味は「スポーツ」とか「音楽の楽器演奏」とか、その中から、自分の実際の趣味を言うしかありません。 どうやら、日本企業の面接官の脳内には、体育学部や美術学部・音楽学部などのような、スポーツや芸術を学業としている学校の存在はないようです。 大学の学部学科によっては、理系の大学などのように、時間的な都合により、大学時代にスポーツや美術音楽の表現活動などをするのが難しい場合もあるので、そういう場合は、「高校時代の趣味は ◯◯（音楽演奏、美術表現、スポーツなど） でしたが、しかし大学時代では時間がなくて、この趣味をできませんでした。」などと言うようにしましょう。 また、聞かれた「自分の趣味」として「パソコン」などと言うと、プログラミング能力の有無などを聞いてくる場合があります。あるwikibooks編集者は、就活時の面接官からの趣味についての質問で「LINUXについて趣味で勉強しています」と答えたら、「サーバーを構築できますか？」などと質問されました。 ====その他の選考方法==== 近年は、従来の選考方法に加え、適性診断やグループディスカッション、グループワークなどなど独自の方式で学生の可否を見極めようとする企業も増えている。 === スケジュール === 比較的多くの学生が、3年次の秋や初冬には就職セミナーを受けるなどして、就職活動の準備に入る。 11月になると経団連に属さない企業が面接などの採用試験を開始する。 2、3月には経団連の紳士協定に沿う多くの大手企業も会社説明会を開始し、6月1日から一斉に採用試験が開始される。 ゴールデンウィーク前後には、最初の内定者がほぼ出揃う。 5月以降は地方、中小企業や、大手企業の二次募集が行われる。 9月には留学生向けや公務員試験不合格組や内定辞退者の補充を目的とした採用が行われ、10月1日に多くの企業で内定式が行われ、学生の就職活動はほぼ終わる。 === 求人状況 === なお2008年のリーマンショックを境に景気が悪化し、就職状況が悪化し、企業の求人数は大幅に下がった。 2011年3月卒業予定の大卒求人倍率は、リクルートワークス研究所の調査によると、求人倍率は09年卒の2.14倍、10年卒の1.62倍から2年連続して減少し、1.28倍へと低下、全国の民間企業の求人総数は、前年の72.5万人から58.5万人ーの19.8%のマイナスとなった。 なお、学生の民間企業就職希望者数は、前年の44.7万人から45.6万人への1.9%のプラスとなった。 === 時期はいつごろ始めるのか === 1990年代半ば以降は、通年採用を行う企業が増え、その結果として就職活動は長期化する傾向にある。 近年は就職活動開始時期は早期化の傾向にある。 事務職・営業などの就職を志望する大学生では、遅くとも3年生の秋ごろから就職活動をスタートし、最低でも半年から1年程度行うのが通常である。 この間、大学の講義や卒業研究を抜けて活動を行わなければならない。 このようなことから、「企業側は採用活動の時期を考えるべきである」とする意見もあがっている。近年では、理工系の技術職でも学生の就職活動の期間も早期化・長期化の傾向が見られる。 この傾向に対して、旧帝国大学と東京工業大学の工学系研究科長が組織する8大学工学部長会議は経団連に対して、「企業の行き過ぎた採用活動や就職前研修が是正され、大学院における教育研究が正常に推進される環境を取り戻せるよう強く要望いたします。」との主旨の要望書を出し、就職活動の早期化、長期化及び入社前研修による学生の拘束の是正を要求している。 経団連は加盟企業に対して採用試験や面接は、6月1日以降に行うことを紳士協定として呼びかけている。 === 企業側の採用活動 === ==== 会社説明会 ==== 企業が、自社のことを志望者により知ってもらうために開催する説明会のことで、セミナーとも呼ばれることが多い。自社ビルで行われることが多いが、外部の会議場などを借りて行われることもある。会場のキャパシティの問題もあって、基本的に先着順で受付を行い、満員になったら締め切られる。志望する学生や求職者を集めて、会社概要や募集要項などを説明するのが一般的である。 しかし、単純に会社の説明のみを行う企業もあれば、その日に面接、あるいは選考試験に移行する企業も少なくない。エントリーシート記入や、筆記試験がセットになって行われることが非常に多い。この場合、エントリーシートは「アンケート」や「受付票」、筆記試験は「適性検査」などと称される。 よって、「たかが会社説明会」と高を括るのではく、万全な態勢で臨む姿勢が求められる。 以降の選考には、説明会参加が必須となっている企業も多いため、意中の企業への説明会予約は早めに行うべきである。 最近では、Web上で予約を受け付ける企業がほとんどである。 いずれにせよ、資料請求に次ぎ、企業と直接コンタクトが取れるのがこの会社説明会である。その日に直接、あるいは個人宛のメールなどでその後の日程を告知される場合が多いので、スケジュール管理も徹底しておくことが望ましい。 ==== OB訪問 ==== OB訪問（オービーほうもん）とは、主に大学生が就職活動を行うときに情報収集の一環として行う行為。訪問相手が女性(OG)ならOG訪問という。すでに企業で活躍されている先輩方を訪ねて、会社のリアルな情報を収集する行為のことである。 就職情報誌などの情報は、客観的な内容に陥りやすいため、OB訪問は就職活動において必要不可欠なものとなっている。 自分の大学のOBを訪問することからそう呼ばれる。大学4年に行うことが多い。 OB・OGの連絡先を調べ、直接連絡を取り、面会依頼をするという方法もあるし、希望の企業の人事担当者に連絡し、OB・OGを紹介してもらうという方法もある。 面会のアポイントが取れたら、実際に会って話を聞く。資料を見ればわかるようなことは、聞かない方が良いとされる。 類似する語句として、「OB懇談会」というものがある。 OB訪問が学生側からOBにはたらきかけるものであるなら、OB懇談会はその逆で、就職部主催で企業で勤務している先輩方を呼び、懇談の場を設けるという企業側からのはたらきかけに近いものがある。 どちらにしても、会社の雰囲気を知るため、企業研究や職業選択のため、そして採用に向けての第一段階として必須なことである。 企業によっては実質的な第一次面接を兼ねているところもある。 面会をしてもらったら後日、礼状を出すのがマナーである。 個人情報保護法の施行に伴い、OB・OGの連絡先を教えない企業も増えている。 個人情報に該当するか否かにかかわらず、OB・OG本人の同意が得られた場合にのみ、連絡先を開示してもらうことが望ましい。 ==== エントリーシート ==== エントリーシートとは、就職活動において大企業や一部の中堅企業が独自に作成した応募用紙である。「ES」と略される事もある。ESは主に一次選考として応募者の絞込みに使われる。有名企業では応募者の大部分がESで不合格となる場合が多い。 ESの内容は、氏名と連絡先、出身高校名と大学名（中途採用の場合はこれに加えて職歴）を記載する欄の他、各企業が独自に作成した何問かの設問がある。 これらの設問の内容は志望動機や自己PRに関連した内容が対多数で、記入欄が広く取られ、論作文試験と同じような形式になっている事が特徴である。 また、TOEICや英検などの資格や特技などを申告させるスペースもある。履歴書と違い、捺印はしないので記述にある程度誇張や潤色があったとしても、経歴詐称には問われないし企業側も想定している。 ただし面接でその件について質問されても明確に答えられるようにしておかなければ、苦しい状況に追い込まれることになる。これにより、同時に応募者の文章力も分かるため、論作文試験を課さない企業もある。 そして、ES選考や筆記試験に通ると、次は面接がある。ここでは、ESの内容が話題になる場合がある。 この時、ESの内容と面接での発言が矛盾していると、面接官の評価が悪くなる。 ==== 面接試験 ==== 面接試験では、学校や企業が受験者に直接会って質問する試験方法の1つである。質問に対する答えの内容、受け答えの仕方や態度について評価をする。 形式は、個人面接や集団面接ないしグループディスカッションがある。幾つもの方法があるのは、より多くの情報を面接を受ける側から引き出すためである。 就職の場では、民間企業の正社員採用のほか、公務員試験や教員採用試験においても、殆ど全てにおいて面接が行われる（ただし非正規雇用で雇われる場合は電話先着順や書類選考だけということもある）。 大企業では複数回面接し、最初の段階で採用担当者（人事部）が、最終面接では役員が面接に当たることが多い。 中小企業は直接雇用者が一度だけ面接をして決めることもある。 特に国家公務員の採用試験では筆記試験合格後官庁訪問をして省庁ごとの数次の面接を受ける必要がある。 面接担当者によっては、応募者・受験者に対して故意に高圧的な態度を取ったり、受験者の嫌がる内容を質問するいわゆる「圧迫面接」を行う場合もある。 この手法はプレッシャーや予測できない事態への反応、不条理・理不尽な状況に対してどう対応するか見たい場合に行われる。 こうした手法の中には侮辱や名誉毀損などに相当するものも多数見受けられる。 絶対的に弱い立場の受験者を愚弄するかのような面接手法には批判もあるが、業務に求められる資質を見出す上で必要だという理由付けから行われる。 ただしこれは受験者の受け取り方次第でもある。 何人かの受験者と共にグループディスカッションを行い、時事問題等をテーマに話し合い、その発言や議論の進め方などを見て評価する手法もある。 他者との関係をどう構築するかや、テーマへの参加に対する積極性、あるいは他者の意見を汲み取る理解力などが観察される。 テーマは採用される業務に関係しない場合もあるが、その多くでは新聞などで情報収集が可能な範疇である。 採用活動において「コミュニケーション能力」の重視を標榜する企業や官公庁も多く、就職試験の際に筆記試験より面接が重視されるのはもはや常識である。 1990年代後半以降、大学やハローワークが就職率向上という名目で「面接対策セミナー」、「コミュニケーション能力養成講座」等を学生等に対し行うことも増加した。 ==== グループディスカッション ==== グループディスカッションとは、集団討論のことである。あるテーマについて複数で議論し合い、学生の発言内容や態度を採用担当官が審査していくという形式で行われる。 一般的にグループディスカッションでは、4～10人程度の学生を集めて実施される。 近年では多くの企業が、このグループディスカッションを採用選考の過程に取り入れるようになっている。 ただし、その目的や実施段階は、それぞれの企業によって異なるようである。 最終選考の手前あたりで優秀な学生を選び出すために行われることもあれば、一次面接と二次面接の間あたりで「足切り」的に行われることもある。 通常、グループディスカッション試験をクリアできる学生は、５割以内となっており、言い換えれば半数以上の学生がこのグループディスカッションで不採用となる。 一般的に誤解されがちであるが、与えられたテーマに対して自分の意見を明確に話したとしても、グループディスカッションとの合格には直結しないといえる。 独断的な言動や、逆に全く目立たないことは選考上不利になるとされる。 グループディスカッション試験を突破するためには、まずグループディスカッションのルールと目的、意義を理解することが重要とされる。 == 高校生の就職活動 == 高校生は、現在も大学生と並んで新規就業者の多くを占める。 就職を希望する高校生は9月16日の就職選考解禁日から、一斉に会社を訪問して入社試験を受け、筆記、面接など数週間の選考の後に内定を得る。 後述の大学生の就職活動と異なり、中学生や高校生の 新卒求人については、職業安定法に基づきすべて公共職業安定所（ハローワーク）を通して学校に掲示することが義務付けられている<ref>中学生や高校生は未成年であり、無秩序な就職活動で学業が混乱するのを抑制する観点からの規定</ref>。 10月末までは1人1社が基本だが、11月からは同時に複数の企業を受けられる。 したがって、実際の応募については 学校を経由して企業とコンタクトを取ることになる。 また、大企業などへの就職試験を受けるためには、学校での書類選考を受けなければならず、しかも、抽選で受験者を決定する。 不採用になったら再び別な企業に挑戦し、学校での書類選考を受けることになる。 高校生の就職内定率は通常、年度末には90数％となる。 2010年度も「前年度より4ポイントほど低くはなるが、最終的には92％程度までにはなるのではないか」と予測されている。 ただ、2008年以降の雇用の冷え込みによる求人数の減少から、未内定のまま卒業してしまう生徒が多数出てくるだろうとの見方が強い。 == 中学生の就職活動 == 日本では、法律により「満15歳に達した日以後の最初の3月31日が終了するまで、これを使用してはならない」とされており、小学校と中学校の進級制度が年齢主義に基づく例が多いので、その期日と中学校の最終学年終了日が同じ日である例が多い。このため、就職を希望する中学生は1月1日の就職選考解禁日から就職活動の最初の機会となる。 18歳未満の労働者は法律により年少者として扱われるため、年少者を証明する書類を事業所に備え付けなければならない上に深夜労働や時間外労働ができなかったり危険有害作業が制限されたりするなどの制約がある。 就職先は極めて限定的で学歴よりも個人の技量に依存される職種である職人（特に伝統工芸や料理人、伝統芸能など）や作業が単調で高い学力をあまり必要としないブルーカラー（特に建設業や製造業など）や一部のサービス業（特に飲食業など）と呼ばれる職に限られる。 高校進学率が97％強を占める昨今では中学生の就職率は1％にも満たない。企業（特に地方）によっては資格や自動車運転などの免許を必要とするところもあるため、年齢の下限で国家資格や免許の取得が制限される中学生にとっては就職活動は厳しい状況にある。 企業は学校とは異なり、勉強を教える場所ではないことを理解する必要がある。中学を卒業しただけでは高校で学ぶべき教育を教わっていないため、定時制高校や通信制高校に通いながら働いたり企業内学校のある企業へ就職希望する人もいる。 ==就職活動の共通事項== ここまで、所属別に就職活動の進め方を紹介してきたが、共通して言えることを紹介する。 === 自動車免許 === 多くの企業では採用活動時、志望者の将来的な保有資格として、自動車の運転免許を企業は気にする。大学生の場合は、学業の兼ね合いもあるのでたとえ免許を持っていなくても、多くの企業は許すが<ref>ただし運送業界などは別だろう。</ref>、なるべく夏休みなどに自動車教習所に通うなどして、「将来的には自動車免許を取得する意思がある。」ことを企業側に見せたほうが良い。企業の実務では、移動や運搬などのために自動車を運転することが多いからである。高校生の場合は、18歳になったらなるべく早めに取得の検討を行ったほうが良い。 なお、普通自動車の免許の種類には、MT（マニュアル車）とAT（オートマ限定）がある。なるべくMT免許を取るのが無難であり、AT限定では通勤以外しか使い道がない。自動車を購入しに行く予定までは必要ない。一般の会社には社有車がある。 自動車の免許を取得するのは、最低でも3ヶ月程度はかかる。企業もそういった事情を知っているので、あまりすぐには免許を取るように要求しない。ただし、就職してから教習所に通うのは時間的に難しいので、一般的には就職前に教習所に通っておくのが慣習である。たとえ免許を取れなくても、なるべく運転の練習をしておくのが望ましいだろう。 == ブラック企業の注意 == 企業の中には、労働基準法などに違反しており、従業員に低賃金で重労働をさせている企業もあり、そのような企業を [[w:ブラック企業|ブラック企業]] と言う。また、違法行為などを行って利益を上げている企業のことも、ブラック企業と言う。 たとえ成長産業や成長企業であっても、ブラック企業である場合がある。従業員を低賃金で重労働させることによって、利益を上げているから、会社が成長できるというわけである。 ついつい「知名度の高い大企業なら、安全」と考えがちだが、そうとではない。知名度の高い企業であってもブラック企業の場合がある。なぜなら従業員に重労働をさせてるので会社の利益率が高く、したがって広告費に金を掛けることができるからです。 ブラック企業には、就職しないほうが安全である。ブラック企業の多い業界は、業界自体を敬遠したほうが安全だろう。 === ブラック企業の傾向 === （※ 例である。） * 末端従業員の犠牲と大量消費を前提とした経営 ** 一時的に大量採用したり、社員を全員名ばかり管理職にするなど、従業員の過剰な負担や、短期の雇用による'''使い捨てを前提としたビジネスモデル'''が構築されている。 ** '''雇われ店長、名ばかり管理職'''などの一部の現場の責任者がまともな権限や待遇を与えられず責任だけを負わされる。不祥事や事故が起きても末端社員に刑事責任・社会的責任や国家資格の剥奪などのペナルティを全て負わせ、経営陣には一切の責任が及ばないシステムが巧妙に構築されている。 * イメージの偽装 ** 「明るい雰囲気」→「明るいという感想を強制される雰囲気」。体育会系的な体質の企業（根性論中心の営業職、精神論中心の社風、経営者や上司、先輩社員による理不尽な暴力や暴言が日常茶飯事） ** 求人誌での好々爺風の初老の男性や綺麗目な女性の写真や、社長と社員が笑顔で語らう写真など無害そうなイメージを前面に出す企業→印象操作によりブラック会社であることを逆に隠そうとしていることを疑わせる。 ** 求人広告や会社の求人用パンフレットでの「働きやすい」「実力を発揮できる」「私（僕）の人生を変えた」などの体験談→上層部や求人誌の制作会社による「やらせ」。 ** 求人サイトにおける「学生に人気のある企業ランキング」の投票でアルバイトを雇ったり社員を動員させたりして「組織票」を入れさせ、あたかも大学生に人気があるかのように擬装する。 **「明るい明日」、「明るい未来」、など曖昧かつポジティブな将来像を強調する。→現状はその正反対であるということ。 * 業種・職種の偽装 ** 不人気な業種・職種で募集する際、カタカナ語や専門用語、あるいは独自の造語などを用い、誤認を導く曖昧な表現が多用されている。 *** 例えば、不人気な職種である飛び込みの訪問販売や営業を「販売」（小売業のような店舗内での販売と誤認されやすい）「○○アドバイザー」「○○エージェント」「○○プランナー」と言い替えたり、「お客様サポート」が修理[クレーム対応の電話係を兼任させるなど。 ***パチンコ・パチスロ店の場合、業種を単に「遊技場」 [パーラー」としか記載せず、店員を「アミューズメント・スタッフ」「ホールスタッフ」のように表現する。<ref>ゲームセンターのスタッフも「アミューズメントスタッフ」と呼ばれることがあるため、混同しやすい。風営法（風俗営業等の規制及び業務の適正化等に関する法律）に基づく「遊技場」には、パチンコ店や性風俗の他にも、ゲームセンターや雀荘なども含まれるため、適用範囲が広くなっている。</ref> ** 高給の職種を強調する求人誌の中には、職種が単に「営業」「販売」（悪徳商法・詐欺的な訪問販売や勧誘の可能性あり）「接客」（違法風俗の業種・職種の可能性あり）「データ入力」（迷惑メール業者や出会い系サイトのサクラ役などパソコンやインターネットを使った犯罪を生業とする会社の可能性）などとしか書かれていない企業もあり、業種や職種を明確に記していないのもある。 ** 「講師募集」→悪徳教材会社の訪問販売。また、実際の「教室」である場合でも、異業種の会社が手掛けるサイドビジネスであることも珍しいものではなく、全く門外漢の上司に振り回されたり、講師業とはかけ離れた会社の本業を手伝わされることも多い。 ** 内勤事務の求人にもかかわらず「要運転免許」→物品の調達や別の事務所での打ち合わせ、顧客の送迎などで社用車を運転する必要性もあるが、入社後に「人手不足」「適性が欠如している」などの口実がつけられ、営業職へ強制的に職種転換させるケースもある。 ** 業務請負会社・人材派遣会社の「営業」や「コーディネーター」→請負社員・派遣社員の募集。「現場研修」の名目で、取引先（請負先・派遣先）企業に単なる請負労働者・派遣労働者として請負・派遣する。 ** 募集職種が「幹部候補生」→小売業や飲食業など、接客業に多い。実際はただの店長募集。正社員募集とセットになっていることが多く、店長が「名ばかり管理職」扱いをされる可能性も。 * 経営者の責任感の欠如 ** 経営者・上層部の負うべき責任を（広告、ウェブサイトなどで）明示していない。 ** 経営者・上層部に「社内で強大な権限を持つ代わりに重い責任も負っている」という根本的な'''責任の自覚がない'''。（実際は責任は末端に押し付けており、経営者は権限だけ大きい。） ** '''独裁的経営、恐怖政治的経営、ワンマン経営、同族経営、社会的成功による増長'''などが要因となり、成り行き任せの経営、法制度に対する軽視が蔓延している。 ** 部下に対する'''暴力制裁の横行'''。確信犯的にパワーハラスメントを繰り返し、それを指摘されると言いがかりであると主張する。実際に暴力を自覚していない事も多い。 ** '''セクシャル・ハラスメント（いわゆる「逆セクハラ」も含む）、暴言や暴力などのパワーハラスメント、職場いじめ'''が起こっても「言われたことができないから」とか「これぐらい耐えて当然」などと黙認、正当化する。または上司や幹部が職場いじめに加担している。問題化した際には激励・叱責・教育などと主張したり、「そんなことしたつもりはない」「指導の一環である」と管理責任の全否定に走る。 * 周辺人物や交友関係が原因の労働環境の悪化 ** 経営者・上層部に'''暴力団などの反社会的勢力やフロント企業との関係'''がある。あるいは、それらの構成員や関連の深い人物が内密ないし公然と経営に関与・干渉している。 ** 経営者・上層部に'''カルト、宗教団体、新興宗教'''との繋がりがあり、会社組織やその上下関係が教勢拡大に利用されている。 ** 会社経営の知識が一切なく、経営的責任を負う立場でもない社外の人物（元官僚や県市町村職員の天下り、経営者の親族や時には愛人など）や、経営者や会社と特定の利害関係を持つ人物が会社組織に入り込んで我が物顔で跋扈したり、'''会社や資産を私物化'''している。現場の実情や現実性を無視した素人経営や、反社会的勢力による組織や経営への介入・干渉が引き起こされるなど、労働環境悪化の原因となる。 * 会社の宗教化 ** 経営者を神格化し、個人崇拝を強制する。職場に経営者の写真が飾られており朝礼や出社時に礼をする、経営者の偉業を湛えることを趣旨とした社内行事があるなど、 ** 経営者の個人歴や言語録の暗記、経営者の著書の購入、感想文の執筆などが通常の業務の一環として義務付けられおり、経営者への信仰心が仕事の評価に繋がる仕組みになっている。 ** サービス残業など劣悪な労働環境が美徳とされており、それらを自主的に行わざるを得ない雰囲気が作られている。外部で問題化した際は「従業員が自主的にやっている」と主張したり、信仰心の強い社員の言動を盾に「これを問題化することは従業員に対する侮辱だ」と主張する。 ==== ブラック企業の面接 ==== * 面接が一切ないか、形骸化している。大量に離職するか離職されてもすぐに代替の人材を確保できるため、よほどのことがない限り採用される。 * 面接時に履歴書や職務経歴書を提出しても、内容を精読せず質問する。そもそも履歴書も要らないところも多い。 * 質問の際、好都合な待遇（給与・休日など）に関する質問をすると、曖昧な返答しかせず、言葉を濁そうとする。 * 面接の担当者が応募者より年上である場合、または応募者の職業経験が浅い（転職が多い）場合、横柄な態度で質問してくる。 * 「学歴不問」「人物本位の選考」→退職者が多いことと、すぐに代替の人材が確保できることから、入社するなら誰でもよいことの一例。 * 派遣先企業での事前面接→顔合わせ・打ち合わせ・面談・職場見学などの名目で行われる。交通費や拘束時間分の賃金は支給されない。違法行為。正社員への転換を前提とする紹介予定派遣を除き人物を特定する事前面接行為は違法である。常用型(専門職)派遣で無期契約であっても違法行為。 * 休業日、あるいは業務とは無関係な場所で面接や説明会・選考試験を行う。「今の時間はたいして忙しくないから」「個人情報を扱っているので」などとの口実を付け、不都合なものを見せないようにするため職場の見学を拒否する。 * 不採用になった場合、応募者の履歴書・職務経歴書などの応募書類を返却してこない。または応募者に送料を負担させる（返信用の封筒と切手を添付するよう要求する）。 ==== ブラック企業の採用方法 ==== * 採用通知を書面で通達しない。採用通知の電話連絡や雇用契約の締結後に、雇用条件を口頭のみで次々と変える。職種の変更などもある。これらは録音しない限り証拠が残らない。 * 個人事業者として採用する。社員でない場合、労災の責任や社会保険の会社負担がない。正社員で採用されたと思っていても、労働契約書の記載が違う場合がある。あるいは正社員で採用したかのように誤認させる。 * 採用後に雇用契約書を書かせない（労働者に不利な雇用契約を締結させるため）。または契約書のコピーを控えさせない。 * 採用後に従業員の給与振込み用の口座を尋ねないか、または従業員に給与のシステム（タイムカード制か歩合制かなど）を一切伝えない。働きが悪ければ、給与未払いまたは減給や解雇しようと目論んでいるため。 * 法人ならば加入義務がある社会保険の制度がない、あるいは入社後一定期間を経なければ加入できない。 * 従順な人間だけを絞り込もうとしている。試用期間中に新人教育と称して暴力行為・しごきを行ったり、過重なノルマを与えたりして絞り込もうとしている。 * 試用期間が長すぎる。解雇されやすく、給与が低く抑えられる。 * 内定通知を出しておきながら、年度が替わる前に研修などを行い、働きがよくなければそこで内定を取り消す。 === 商工会議所会員のブラック企業 === また、小企業や零細企業の場合、地元の商工会議所などの会員企業であっても、ブラック企業の場合がある。 商工会の会員企業というと、なんとなく会員になるための審査が厳しそうだが、たんに地元の会社であって、ある程度の資本金とかがあって、あとは年会費を払えばイイわけであるのでブラック企業でも入会できる。 むしろ、ブラック企業だからこそ社長は本業がヒマだし、マスコミなどへの技術アピールもろくにできない技術力なので、自治会活動などでの宣伝には余念を欠かさないわけである。 一方有能な企業ほど、他地域の企業などとの取り引きが忙しく、ごく一部の地元の下請け取引先との付き合いを除けば、あまり地元の企業との付き合いが無いという場合すらありうる。 === 製造業や農業の違法企業 === 「ブラック企業」と聞くと、ついつい営業販売活動や転売屋や小売業・外食産業などを想像してしまいがちであり、製造業や土木工事などの技能職などの現業や農業ではブラック企業はありえないと考えがちだが、そうとは限らない。 賃金が安くてボッタクリだから、ろくな技術が無くても、安値で製品を売る事ができるので、利益を上げられてしまうのである。 中小の製造業や土木工事業や農業などでも、労働基準法の最低賃金を下回る賃金だったり、外国人研修生や不法滞在・残留外国人などを働かせている企業も、ときどき発覚している。不法滞在者などを残留させてる違法企業は、入国管理局などに査察されてバレたり、場合によっては警察沙汰になって経営者が刑法的に処分・逮捕される。 製造業や土木工事のブラック企業では、経営者にろくに専門技能も業界人脈も無い場合もある。叩き上げの職人あがりのビジネスマンを装い、無知な若者を雇って、低賃金で働かせている企業もある。 また、たとえ親子代々続く地元の中小企業でも、たとえ先代や先々代の社長が人格者で熟練した職人あがりで誠実だからって、跡取り息子の現・社長が人格者とは限らない。そのようなブラック企業の社長的な息子でも、親の情で跡取りにさせた場合もありうるだろうから。 ==脚注== <references/> == 関連サイト(参考文献) == {{Wikipedia|就職活動}} *[http://d.hatena.ne.jp/keyword/%BD%A2%B3%E8 就活とは - はてなキーワード] *[http://s-coach.com/students 2011年度の新卒就活環境 - 就職・面接対策の就活塾「就活コーチ」] {{DEFAULTSORT:しゆうかつかつとうかいと}} [[Category:生活]] 4aoajju4t7krj0g4ge1zkwyctilap7z 302769 302768 2026-08-27T03:32:18Z ~2026-46561-84 92381 302769 wikitext text/x-wiki == 就職活動とは == 通常、学生・失業者など職に就いていない者が、企業や官公庁などに雇用されるための活動などを指す。 特に新卒の学生同士の会話や、彼らをターゲットにしたビジネスにおいて用いられることが多い。 転職のための活動や、自営業を始めるための活動は就活とは言わないことが多い。 一般的に大切だと言われることは、自己理解に基づいて、しっかり「自分のやりたいこと」や「その業界に就職したい目的」を明らかにした上でやりたい仕事、自分に適う仕事をキチンと捜し出すことだとされる。 自身の思考が漠然とし、やりたい仕事や自分に適う仕事がわからないまま就職活動に突入すると、あまり良い結果につながりにくいとされる。 == 大学生の就職活動 == 大学生の就職活動は規模が大きく、学生の就職活動の代表例として大学生の就職活動がメディアなどで扱われる事が多い。 高専生、短大生、大学院生、専門学校生、各種学校生の就職活動も、大学生の就職活動とほぼ同様である。 就職協定の廃止で、一人の学生が好きなだけ企業を受けることが可能になり、メガバンクや大手メーカー、総合商社、航空会社など大手企業への採用希望者は採用枠の数百倍に及び、就職活動は大変な競争になっている。 ===就職活動の試験内容=== どこの企業でも、ほぼ必ず面接は行われる。大企業、中小企業、公務員を問わず、面接は就職活動で行われるのが一般である。 大企業の採用選別方法の多くでは、一次試験で「SPI」試験などとして中学・高校レベル（主に中学レベル）の基礎的な学力検査を課し、二次試験以降で面接を行うのが一般的である。 ====学力検査==== 先程も述べたように、大企業では学力検査として、中学レベル・高校レベルの数学などの学力検査を一次試験で「SPI」試験などとして課す場合がある。注意すべきことは、大学レベルの専門的な問題はこれらのSPIなどの学力検査には、一般に出題されないことである。 たとえ就職先志望が専門知識を要する業界でも、SPIには専門知識は出題されない。文科系の事務職志望だけでなく、理科系の技術職志望ですら就職試験では専門知識は一般に出題されないのが一般である。 例えば工業系などの技術職を志望しても、就職活動の学力検査では、大学レベルの数学や物理などの問題なんて、まず出ない。大学入試レベルの数学や理科の問題ですら、就職活動時の筆記試験ではまず出ない。 外部サイトの中には、あたかもSPIで大学受験～大学講義レベルの学力が測定できるかのように説明しているサイトもあるが（ [https://contents.jobcatalog.yahoo.co.jp/qa/list/14239883999/ ※たとえばyahooの質問サイト]） 、デタラメなので決して真に受けてはいけない。 SPIのような就活産業の作った試験問題には、こういった問題点があり、つまり出題内容が会社の必要とする専門知識とはズレているという問題点があるので、中小企業などでは就活産業の作った試験を行わない場合がある。また、中小企業で独自の試験問題を作って、専門分野に近い職業高校レベルの知識などを検査する場合もある。 企業によっては、学力検査で英語の試験を行う場合がある。主に大企業に、英語読解問題のマークシート式の筆記試験をする企業が、いくつかある。英語の試験の難度は、大企業の行う英語試験の場合なら大学入試レベルを越えたレベルの場合が多く、大企業では、日本で最難関の大学とされる東京大学や京都大学などの学部の入試の過去問よりも難しい英文の出る場合も多く（TOEICハイスコアやTOEFLハイスコアなどのような大学受験参考書の範囲を大幅に越えた単語が、企業の英語試験に出ることも多いので）、なので試験対策としてTOEICやTOEFLのハイスコア対策の教材などを普段から練習していないと解けないような英文問題が出題される事も多い。 とはいえ企業は、必ずしもこの英語試験を英語が得意な学生だけを採用する手段として試験しているとは限らず、就職志望者の出身大学の偏差値がその企業に採用基準に満たないものを落とすための口実として、英語試験を行っている場合もある。 たとえば、偏差値の高い大学の学生が、ほとんど英語試験の問題を解けなくても、試験を突破扱いになる事もあるというハナシも聞く。学生の学部によっては、理系の学部のように英語の勉強にあまり時間を割けない場合もあるので、そのような場合は、英語試験ではなく肩書きで試験を突破をするようにしよう。 早い話が就活での学力検査の対策では、専門分野の勉強をするよりも、いっそのこと英語の試験勉強をしたほうが良く、さらに英語の勉強をするよりも大学院に進学するなどして学歴を上げるほうが、はるかに大企業の学力選考を通りやすくなり、就職しやすくなるのが日本の企業の現状である。 ====面接==== どこの企業でも、ほぼ必ず面接は行われる。大企業、中小企業、公務員を問わず、面接は就職活動で行われるのが一般である。大企業の面接は複数回行われ、最終面接では役員が出席することも多い。 大企業の面接の回数は、合計でおおむね5回ほど行われることになる場合が多い。 中小企業などでも、そこそこ規模の大きい企業では2回以上の面接があり、2次面接または2次以降から役員が出席する場合がある。社長や役員は仕事が忙しいので、そんなに多くの学生と面接は出来ないのである。 零細企業や小企業や無名な企業では、最初から役員や経営者などが面接に出席している場合もある。大企業の採用活動では面接に加え、面接以外の選考方法も多く行われる。 以下によくある質問例を挙げてみたので、参考にしてほしい。 ====卒業研究についての質問==== 理系学生で技術職を志望の場合、大企業の複数回ある面接では、そのうち1回「卒業研究テーマについて説明してください」というのもある場合が多い。なので、卒業研究のテーマについて説明できるようにしておこう。ここで重要な事は、研究テーマ以外の学業の知識についてはまったく聞かれないことである。 このような事から分かるように、この質問の目的は、けっして学力検査が目的ではない。おそらく、専門分野についてのプレゼンテーション能力などの検査が目的であろう。大企業の面接ですら学生のその学科ならば、どこの大学でも習うような全国共通の知識ですら面接官が聞いてこない。 また、学生が編入学や転学科などで学科を変わったような場合<ref>たとえば数学科から物理学科に転学科した等</ref>や、出身高校が普通科高校ではなく工業高校のような場合で、高校時代の学科が大学での学科と違うような場合ですら<ref>例えば高校は電気科だったが、大学では機械工学科に進学のような場合</ref>、工業高校やら前の学科での学力を確認するような質問はしてこないのが通常である。 説明中、面接官から研究内容について質問をされるが、しかし技術的にあまり深い内容の質問はされず、せいぜい、その分野の科学雑誌などに出てくるような常識的な用語などを確認してくる程度である<ref>マイナーな研究テーマだと、あまり細かい事は、面接官の側が知らない場合もある</ref>。なので、自分の研究分野をあつかった入門書などを読んで、そのような質問に対して答えを説明できるようにしよう。 そもそも分野によっては、まだ技術が成熟しておらず、しかもあまり細かい技術知識を質問しても、価値が低い場合もある。 定型的に用語さえ説明できてしまえば、この面接はほぼ突破できてしまう。逆に、学生側が数式の計算練習など、言葉では説明しづらいような事をいくら練習して準備してきても、数式は「用語」ではないので、まったく評価されないのが、日本の大手製造業などの技術職志望の面接である。 ====質問「趣味は何ですか？」==== 日本企業の多くにとって、英語や数学の勉強は、「趣味」とはみなされない事が多いようである。例えば質問で、面接官からの質問で「学業以外で打ち込んだことは、なんですか？」という質問に対して、「数学」と答えると、「答えになってません」とか「そういう事を質問してるのではありません」などと返答される場合もある。 たとえ自分の学科が数学科以外で、学校の授業以外に数学書を読んでいて、たくさん数学の問題集などを解いていても、このように、面接官から批判をされる事も多い。 どうやら、大学入試・大学院入試には出てこない科目を、勉強してもらいたいようです。いわゆる「5教科<ref>国語・数学・理科・社会・英語</ref>」以外についての趣味を聞いているようです。なので、趣味は「スポーツ」とか「音楽の楽器演奏」とか、その中から、自分の実際の趣味を言うしかありません。 どうやら、日本企業の面接官の脳内には、体育学部や美術学部・音楽学部などのような、スポーツや芸術を学業としている学校の存在はないようです。 大学の学部学科によっては、理系の大学などのように、時間的な都合により、大学時代にスポーツや美術音楽の表現活動などをするのが難しい場合もあるので、そういう場合は、「高校時代の趣味は ◯◯（音楽演奏、美術表現、スポーツなど） でしたが、しかし大学時代では時間がなくて、この趣味をできませんでした。」などと言うようにしましょう。 また、聞かれた「自分の趣味」として「パソコン」などと言うと、プログラミング能力の有無などを聞いてくる場合があります。あるwikibooks編集者は、就活時の面接官からの趣味についての質問で「LINUXについて趣味で勉強しています」と答えたら、「サーバーを構築できますか？」などと質問されました。 ====その他の選考方法==== 近年は、従来の選考方法に加え、適性診断やグループディスカッション、グループワークなどなど独自の方式で学生の可否を見極めようとする企業も増えている。 === スケジュール === 比較的多くの学生が、3年次の秋や初冬には就職セミナーを受けるなどして、就職活動の準備に入る。 11月になると経団連に属さない企業が面接などの採用試験を開始する。 2、3月には経団連の紳士協定に沿う多くの大手企業も会社説明会を開始し、6月1日から一斉に採用試験が開始される。 ゴールデンウィーク前後には、最初の内定者がほぼ出揃う。 5月以降は地方、中小企業や、大手企業の二次募集が行われる。 9月には留学生向けや公務員試験不合格組や内定辞退者の補充を目的とした採用が行われ、10月1日に多くの企業で内定式が行われ、学生の就職活動はほぼ終わる。 === 求人状況 === なお2008年のリーマンショックを境に景気が悪化し、就職状況が悪化し、企業の求人数は大幅に下がった。 2011年3月卒業予定の大卒求人倍率は、リクルートワークス研究所の調査によると、求人倍率は09年卒の2.14倍、10年卒の1.62倍から2年連続して減少し、1.28倍へと低下、全国の民間企業の求人総数は、前年の72.5万人から58.5万人ーの19.8%のマイナスとなった。 なお、学生の民間企業就職希望者数は、前年の44.7万人から45.6万人への1.9%のプラスとなった。 === 時期はいつごろ始めるのか === 1990年代半ば以降は、通年採用を行う企業が増え、その結果として就職活動は長期化する傾向にある。 近年は就職活動開始時期は早期化の傾向にある。 事務職・営業などの就職を志望する大学生では、遅くとも3年生の秋ごろから就職活動をスタートし、最低でも半年から1年程度行うのが通常である。 この間、大学の講義や卒業研究を抜けて活動を行わなければならない。 このようなことから、「企業側は採用活動の時期を考えるべきである」とする意見もあがっている。近年では、理工系の技術職でも学生の就職活動の期間も早期化・長期化の傾向が見られる。 この傾向に対して、旧帝国大学と東京工業大学の工学系研究科長が組織する8大学工学部長会議は経団連に対して、「企業の行き過ぎた採用活動や就職前研修が是正され、大学院における教育研究が正常に推進される環境を取り戻せるよう強く要望いたします。」との主旨の要望書を出し、就職活動の早期化、長期化及び入社前研修による学生の拘束の是正を要求している。 経団連は加盟企業に対して採用試験や面接は、6月1日以降に行うことを紳士協定として呼びかけている。 === 企業側の採用活動 === ==== 会社説明会 ==== 企業が、自社のことを志望者により知ってもらうために開催する説明会のことで、セミナーとも呼ばれることが多い。自社ビルで行われることが多いが、外部の会議場などを借りて行われることもある。会場のキャパシティの問題もあって、基本的に先着順で受付を行い、満員になったら締め切られる。志望する学生や求職者を集めて、会社概要や募集要項などを説明するのが一般的である。 しかし、単純に会社の説明のみを行う企業もあれば、その日に面接、あるいは選考試験に移行する企業も少なくない。エントリーシート記入や、筆記試験がセットになって行われることが非常に多い。この場合、エントリーシートは「アンケート」や「受付票」、筆記試験は「適性検査」などと称される。 よって、「たかが会社説明会」と高を括るのではく、万全な態勢で臨む姿勢が求められる。 以降の選考には、説明会参加が必須となっている企業も多いため、意中の企業への説明会予約は早めに行うべきである。 最近では、Web上で予約を受け付ける企業がほとんどである。 いずれにせよ、資料請求に次ぎ、企業と直接コンタクトが取れるのがこの会社説明会である。その日に直接、あるいは個人宛のメールなどでその後の日程を告知される場合が多いので、スケジュール管理も徹底しておくことが望ましい。 ==== OB訪問 ==== OB訪問（オービーほうもん）とは、主に大学生が就職活動を行うときに情報収集の一環として行う行為。訪問相手が女性(OG)ならOG訪問という。すでに企業で活躍されている先輩方を訪ねて、会社のリアルな情報を収集する行為のことである。 就職情報誌などの情報は、客観的な内容に陥りやすいため、OB訪問は就職活動において必要不可欠なものとなっている。 自分の大学のOBを訪問することからそう呼ばれる。大学4年に行うことが多い。 OB・OGの連絡先を調べ、直接連絡を取り、面会依頼をするという方法もあるし、希望の企業の人事担当者に連絡し、OB・OGを紹介してもらうという方法もある。 面会のアポイントが取れたら、実際に会って話を聞く。資料を見ればわかるようなことは、聞かない方が良いとされる。 類似する語句として、「OB懇談会」というものがある。 OB訪問が学生側からOBにはたらきかけるものであるなら、OB懇談会はその逆で、就職部主催で企業で勤務している先輩方を呼び、懇談の場を設けるという企業側からのはたらきかけに近いものがある。 どちらにしても、会社の雰囲気を知るため、企業研究や職業選択のため、そして採用に向けての第一段階として必須なことである。 企業によっては実質的な第一次面接を兼ねているところもある。 面会をしてもらったら後日、礼状を出すのがマナーである。 個人情報保護法の施行に伴い、OB・OGの連絡先を教えない企業も増えている。 個人情報に該当するか否かにかかわらず、OB・OG本人の同意が得られた場合にのみ、連絡先を開示してもらうことが望ましい。 ==== エントリーシート ==== エントリーシートとは、就職活動において大企業や一部の中堅企業が独自に作成した応募用紙である。「ES」と略される事もある。ESは主に一次選考として応募者の絞込みに使われる。有名企業では応募者の大部分がESで不合格となる場合が多い。 ESの内容は、氏名と連絡先、出身高校名と大学名（中途採用の場合はこれに加えて職歴）を記載する欄の他、各企業が独自に作成した何問かの設問がある。 これらの設問の内容は志望動機や自己PRに関連した内容が対多数で、記入欄が広く取られ、論作文試験と同じような形式になっている事が特徴である。 また、TOEICや英検などの資格や特技などを申告させるスペースもある。履歴書と違い、捺印はしないので記述にある程度誇張や潤色があったとしても、経歴詐称には問われないし企業側も想定している。 ただし面接でその件について質問されても明確に答えられるようにしておかなければ、苦しい状況に追い込まれることになる。これにより、同時に応募者の文章力も分かるため、論作文試験を課さない企業もある。 そして、ES選考や筆記試験に通ると、次は面接がある。ここでは、ESの内容が話題になる場合がある。 この時、ESの内容と面接での発言が矛盾していると、面接官の評価が悪くなる。 ==== 面接試験 ==== 面接試験では、学校や企業が受験者に直接会って質問する試験方法の1つである。質問に対する答えの内容、受け答えの仕方や態度について評価をする。 形式は、個人面接や集団面接ないしグループディスカッションがある。幾つもの方法があるのは、より多くの情報を面接を受ける側から引き出すためである。 就職の場では、民間企業の正社員採用のほか、公務員試験や教員採用試験においても、殆ど全てにおいて面接が行われる（ただし非正規雇用で雇われる場合は電話先着順や書類選考だけということもある）。 大企業では複数回面接し、最初の段階で採用担当者（人事部）が、最終面接では役員が面接に当たることが多い。 中小企業は直接雇用者が一度だけ面接をして決めることもある。 特に国家公務員の採用試験では筆記試験合格後官庁訪問をして省庁ごとの数次の面接を受ける必要がある。 面接担当者によっては、応募者・受験者に対して故意に高圧的な態度を取ったり、受験者の嫌がる内容を質問するいわゆる「圧迫面接」を行う場合もある。 この手法はプレッシャーや予測できない事態への反応、不条理・理不尽な状況に対してどう対応するか見たい場合に行われる。 こうした手法の中には侮辱や名誉毀損などに相当するものも多数見受けられる。 絶対的に弱い立場の受験者を愚弄するかのような面接手法には批判もあるが、業務に求められる資質を見出す上で必要だという理由付けから行われる。 ただしこれは受験者の受け取り方次第でもある。 何人かの受験者と共にグループディスカッションを行い、時事問題等をテーマに話し合い、その発言や議論の進め方などを見て評価する手法もある。 他者との関係をどう構築するかや、テーマへの参加に対する積極性、あるいは他者の意見を汲み取る理解力などが観察される。 テーマは採用される業務に関係しない場合もあるが、その多くでは新聞などで情報収集が可能な範疇である。 採用活動において「コミュニケーション能力」の重視を標榜する企業や官公庁も多く、就職試験の際に筆記試験より面接が重視されるのはもはや常識である。 1990年代後半以降、大学やハローワークが就職率向上という名目で「面接対策セミナー」、「コミュニケーション能力養成講座」等を学生等に対し行うことも増加した。 ==== グループディスカッション ==== グループディスカッションとは、集団討論のことである。あるテーマについて複数で議論し合い、学生の発言内容や態度を採用担当官が審査していくという形式で行われる。 一般的にグループディスカッションでは、4～10人程度の学生を集めて実施される。 近年では多くの企業が、このグループディスカッションを採用選考の過程に取り入れるようになっている。 ただし、その目的や実施段階は、それぞれの企業によって異なるようである。 最終選考の手前あたりで優秀な学生を選び出すために行われることもあれば、一次面接と二次面接の間あたりで「足切り」的に行われることもある。 通常、グループディスカッション試験をクリアできる学生は、５割以内となっており、言い換えれば半数以上の学生がこのグループディスカッションで不採用となる。 一般的に誤解されがちであるが、与えられたテーマに対して自分の意見を明確に話したとしても、グループディスカッションとの合格には直結しないといえる。 独断的な言動や、逆に全く目立たないことは選考上不利になるとされる。 グループディスカッション試験を突破するためには、まずグループディスカッションのルールと目的、意義を理解することが重要とされる。 == 高校生の就職活動 == 高校生は、現在も大学生と並んで新規就業者の多くを占める。 就職を希望する高校生は9月16日の就職選考解禁日から、一斉に会社を訪問して入社試験を受け、筆記、面接など数週間の選考の後に内定を得る。 後述の大学生の就職活動と異なり、中学生や高校生の 新卒求人については、職業安定法に基づきすべて公共職業安定所（ハローワーク）を通して学校に掲示することが義務付けられている<ref>中学生や高校生は未成年であり、無秩序な就職活動で学業が混乱するのを抑制する観点からの規定</ref>。 10月末までは1人1社が基本だが、11月からは同時に複数の企業を受けられる。 したがって、実際の応募については 学校を経由して企業とコンタクトを取ることになる。 また、大企業などへの就職試験を受けるためには、学校での書類選考を受けなければならず、しかも、抽選で受験者を決定する。 不採用になったら再び別な企業に挑戦し、学校での書類選考を受けることになる。 高校生の就職内定率は通常、年度末には90数％となる。 2010年度も「前年度より4ポイントほど低くはなるが、最終的には92％程度までにはなるのではないか」と予測されている。 ただ、2008年以降の雇用の冷え込みによる求人数の減少から、未内定のまま卒業してしまう生徒が多数出てくるだろうとの見方が強い。 == 中学生の就職活動 == 日本では、法律により「満15歳に達した日以後の最初の3月31日が終了するまで、これを使用してはならない」とされており、小学校と中学校の進級制度が年齢主義に基づく例が多いので、その期日と中学校の最終学年終了日が同じ日である例が多い。このため、就職を希望する中学生は1月1日の就職選考解禁日から就職活動の最初の機会となる。 18歳未満の労働者は法律により年少者として扱われるため、年少者を証明する書類を事業所に備え付けなければならない上に深夜労働や時間外労働ができなかったり危険有害作業が制限されたりするなどの制約がある。 就職先は極めて限定的で学歴よりも個人の技量に依存される職種である職人（特に伝統工芸や料理人、伝統芸能など）や作業が単調で高い学力をあまり必要としないブルーカラー（特に建設業や製造業など）や一部のサービス業（特に飲食業など）と呼ばれる職に限られる。 高校進学率が97％強を占める昨今では中学生の就職率は1％にも満たない。企業（特に地方）によっては資格や自動車運転などの免許を必要とするところもあるため、年齢の下限で国家資格や免許の取得が制限される中学生にとっては就職活動は厳しい状況にある。 企業は学校とは異なり、勉強を教える場所ではないことを理解する必要がある。中学を卒業しただけでは高校で学ぶべき教育を教わっていないため、定時制高校や通信制高校に通いながら働いたり企業内学校のある企業へ就職希望する人もいる。 ==就職活動の共通事項== ここまで、所属別に就職活動の進め方を紹介してきたが、共通して言えることを紹介する。 === 自動車免許 === 多くの企業では採用活動時、志望者の将来的な保有資格として、自動車の運転免許を企業は気にする。大学生の場合は、学業の兼ね合いもあるのでたとえ免許を持っていなくても、多くの企業は許すが<ref>ただし運送業界などは別だろう。</ref>、なるべく夏休みなどに自動車教習所に通うなどして、「将来的には自動車免許を取得する意思がある。」ことを企業側に見せたほうが良い。企業の実務では、移動や運搬などのために自動車を運転することが多いからである。高校生の場合は、18歳になったらなるべく早めに取得の検討を行ったほうが良い。 なお、普通自動車の免許の種類には、MT（マニュアル車）とAT（オートマ限定）がある。なるべくMT免許を取るのが無難であり、AT限定では通勤以外しか使い道がない。自動車を購入しに行く予定までは必要ない。一般の会社には社有車がある。 自動車の免許を取得するのは、最低でも3ヶ月程度はかかる。企業もそういった事情を知っているので、あまりすぐには免許を取るように要求しない。ただし、就職してから教習所に通うのは時間的に難しいので、一般的には就職前に教習所に通っておくのが慣習である。たとえ免許を取れなくても、なるべく運転の練習をしておくのが望ましいだろう。 == ブラック企業の注意 == 企業の中には、労働基準法などに違反しており、従業員に低賃金で重労働をさせている企業もあり、そのような企業を [[w:ブラック企業|ブラック企業]] と言う。また、違法行為などを行って利益を上げている企業のことも、ブラック企業と言う。 たとえ成長産業や成長企業であっても、ブラック企業である場合がある。従業員を低賃金で重労働させることによって、利益を上げているから、会社が成長できるというわけである。 ついつい「知名度の高い大企業なら、安全」と考えがちだが、そうとではない。知名度の高い企業であってもブラック企業の場合がある。なぜなら従業員に重労働をさせてるので会社の利益率が高く、したがって広告費に金を掛けることができるからです。 ブラック企業には、就職しないほうが安全である。ブラック企業の多い業界は、業界自体を敬遠したほうが安全だろう。 === ブラック企業の傾向 === （※ 例である。） * 末端従業員の犠牲と大量消費を前提とした経営 ** 一時的に大量採用したり、社員を全員名ばかり管理職にするなど、従業員の過剰な負担や、短期の雇用による'''使い捨てを前提としたビジネスモデル'''が構築されている。 ** '''雇われ店長、名ばかり管理職'''などの一部の現場の責任者がまともな権限や待遇を与えられず責任だけを負わされる。不祥事や事故が起きても末端社員に刑事責任・社会的責任や国家資格の剥奪などのペナルティを全て負わせ、経営陣には一切の責任が及ばないシステムが巧妙に構築されている。 * イメージの偽装 ** 「明るい雰囲気」→「明るいという感想を強制される雰囲気」。体育会系的な体質の企業（根性論中心の営業職、精神論中心の社風、経営者や上司、先輩社員による理不尽な暴力や暴言が日常茶飯事） ** 求人誌での好々爺風の初老の男性や綺麗目な女性の写真や、社長と社員が笑顔で語らう写真など無害そうなイメージを前面に出す企業→印象操作によりブラック会社であることを逆に隠そうとしていることを疑わせる。 ** 求人広告や会社の求人用パンフレットでの「働きやすい」「実力を発揮できる」「私（僕）の人生を変えた」などの体験談→上層部や求人誌の制作会社による「やらせ」。 ** 求人サイトにおける「学生に人気のある企業ランキング」の投票でアルバイトを雇ったり社員を動員させたりして「組織票」を入れさせ、あたかも大学生に人気があるかのように擬装する。 **「明るい明日」、「明るい未来」、など曖昧かつポジティブな将来像を強調する。→現状はその正反対であるということ。 * 業種・職種の偽装 ** 不人気な業種・職種で募集する際、カタカナ語や専門用語、あるいは独自の造語などを用い、誤認を導く曖昧な表現が多用されている。 *** 例えば、不人気な職種である飛び込みの訪問販売や営業を「販売」（小売業のような店舗内での販売と誤認されやすい）「○○アドバイザー」「○○エージェント」「○○プランナー」と言い替えたり、「お客様サポート」が修理[クレーム対応の電話係を兼任させるなど。 ***パチンコ・パチスロ店の場合、業種を単に「遊技場」 [パーラー」としか記載せず、店員を「アミューズメント・スタッフ」「ホールスタッフ」のように表現する。<ref>ゲームセンターのスタッフも「アミューズメントスタッフ」と呼ばれることがあるため、混同しやすい。風営法（風俗営業等の規制及び業務の適正化等に関する法律）に基づく「遊技場」には、パチンコ店や性風俗の他にも、ゲームセンターや雀荘なども含まれるため、適用範囲が広くなっている。</ref> ** 高給の職種を強調する求人誌の中には、職種が単に「営業」「販売」（悪徳商法・詐欺的な訪問販売や勧誘の可能性あり）「接客」（違法風俗の業種・職種の可能性あり）「データ入力」（迷惑メール業者や出会い系サイトのサクラ役などパソコンやインターネットを使った犯罪を生業とする会社の可能性）などとしか書かれていない企業もあり、業種や職種を明確に記していないのもある。 ** 「講師募集」→悪徳教材会社の訪問販売。また、実際の「教室」である場合でも、異業種の会社が手掛けるサイドビジネスであることも珍しいものではなく、全く門外漢の上司に振り回されたり、講師業とはかけ離れた会社の本業を手伝わされることも多い。 ** 内勤事務の求人にもかかわらず「要運転免許」→物品の調達や別の事務所での打ち合わせ、顧客の送迎などで社用車を運転する必要性もあるが、入社後に「人手不足」「適性が欠如している」などの口実がつけられ、営業職へ強制的に職種転換させるケースもある。 ** 業務請負会社・人材派遣会社の「営業」や「コーディネーター」→請負社員・派遣社員の募集。「現場研修」の名目で、取引先（請負先・派遣先）企業に単なる請負労働者・派遣労働者として請負・派遣する。 ** 募集職種が「幹部候補生」→小売業や飲食業など、接客業に多い。実際はただの店長募集。正社員募集とセットになっていることが多く、店長が「名ばかり管理職」扱いをされる可能性も。 * 経営者の責任感の欠如 ** 経営者・上層部の負うべき責任を（広告、ウェブサイトなどで）明示していない。 ** 経営者・上層部に「社内で強大な権限を持つ代わりに重い責任も負っている」という根本的な'''責任の自覚がない'''。（実際は責任は末端に押し付けており、経営者は権限だけ大きい。） ** '''独裁的経営、恐怖政治的経営、ワンマン経営、同族経営、社会的成功による増長'''などが要因となり、成り行き任せの経営、法制度に対する軽視が蔓延している。 ** 部下に対する'''暴力制裁の横行'''。確信犯的にパワーハラスメントを繰り返し、それを指摘されると言いがかりであると主張する。実際に暴力を自覚していない事も多い。 ** '''セクシャル・ハラスメント（いわゆる「逆セクハラ」も含む）、暴言や暴力などのパワーハラスメント、職場いじめ'''が起こっても「言われたことができないから」とか「これぐらい耐えて当然」などと黙認、正当化する。または上司や幹部が職場いじめに加担している。問題化した際には激励・叱責・教育などと主張したり、「そんなことしたつもりはない」「指導の一環である」と管理責任の全否定に走る。 * 周辺人物や交友関係が原因の労働環境の悪化 ** 経営者・上層部に'''暴力団などの反社会的勢力やフロント企業との関係'''がある。あるいは、それらの構成員や関連の深い人物が内密ないし公然と経営に関与・干渉している。 ** 経営者・上層部に'''カルト、宗教団体、新興宗教'''との繋がりがあり、会社組織やその上下関係が教勢拡大に利用されている。 ** 会社経営の知識が一切なく、経営的責任を負う立場でもない社外の人物（元官僚や県市町村職員の天下り、経営者の親族や時には愛人など）や、経営者や会社と特定の利害関係を持つ人物が会社組織に入り込んで我が物顔で跋扈したり、'''会社や資産を私物化'''している。現場の実情や現実性を無視した素人経営や、反社会的勢力による組織や経営への介入・干渉が引き起こされるなど、労働環境悪化の原因となる。 * 会社の宗教化 ** 経営者を神格化し、個人崇拝を強制する。職場に経営者の写真が飾られており朝礼や出社時に礼をする、経営者の偉業を湛えることを趣旨とした社内行事があるなど、 ** 経営者の個人歴や言語録の暗記、経営者の著書の購入、感想文の執筆などが通常の業務の一環として義務付けられおり、経営者への信仰心が仕事の評価に繋がる仕組みになっている。 ** サービス残業など劣悪な労働環境が美徳とされており、それらを自主的に行わざるを得ない雰囲気が作られている。外部で問題化した際は「従業員が自主的にやっている」と主張したり、信仰心の強い社員の言動を盾に「これを問題化することは従業員に対する侮辱だ」と主張する。 ==== ブラック企業の面接 ==== * 面接が一切ないか、形骸化している。大量に離職するか離職されてもすぐに代替の人材を確保できるため、よほどのことがない限り採用される。 * 面接時に履歴書や職務経歴書を提出しても、内容を精読せず質問する。そもそも履歴書も要らないところも多い。 * 質問の際、好都合な待遇（給与・休日など）に関する質問をすると、曖昧な返答しかせず、言葉を濁そうとする。 * 面接の担当者が応募者より年上である場合、または応募者の職業経験が浅い（転職が多い）場合、横柄な態度で質問してくる。 * 「学歴不問」「人物本位の選考」→退職者が多いことと、すぐに代替の人材が確保できることから、入社するなら誰でもよいことの一例。 * 派遣先企業での事前面接→顔合わせ・打ち合わせ・面談・職場見学などの名目で行われる。交通費や拘束時間分の賃金は支給されない。違法行為。正社員への転換を前提とする紹介予定派遣を除き人物を特定する事前面接行為は違法である。常用型(専門職)派遣で無期契約であっても違法行為。 * 休業日、あるいは業務とは無関係な場所で面接や説明会・選考試験を行う。「今の時間はたいして忙しくないから」「個人情報を扱っているので」などとの口実を付け、不都合なものを見せないようにするため職場の見学を拒否する。 * 不採用になった場合、応募者の履歴書・職務経歴書などの応募書類を返却してこない。または応募者に送料を負担させる（返信用の封筒と切手を添付するよう要求する）。 ==== ブラック企業の採用方法 ==== * 採用通知を書面で通達しない。採用通知の電話連絡や雇用契約の締結後に、雇用条件を口頭のみで次々と変える。職種の変更などもある。これらは録音しない限り証拠が残らない。 * 個人事業者として採用する。社員でない場合、労災の責任や社会保険の会社負担がない。正社員で採用されたと思っていても、労働契約書の記載が違う場合がある。あるいは正社員で採用したかのように誤認させる。 * 採用後に雇用契約書を書かせない（労働者に不利な雇用契約を締結させるため）。または契約書のコピーを控えさせない。 * 採用後に従業員の給与振込み用の口座を尋ねないか、または従業員に給与のシステム（タイムカード制か歩合制かなど）を一切伝えない。働きが悪ければ、給与未払いまたは減給や解雇しようと目論んでいるため。 * 法人ならば加入義務がある社会保険の制度がない、あるいは入社後一定期間を経なければ加入できない。 * 従順な人間だけを絞り込もうとしている。試用期間中に新人教育と称して暴力行為・しごきを行ったり、過重なノルマを与えたりして絞り込もうとしている。 * 試用期間が長すぎる。解雇されやすく、給与が低く抑えられる。 * 内定通知を出しておきながら、年度が替わる前に研修などを行い、働きがよくなければそこで内定を取り消す。 === 商工会議所会員のブラック企業 === また、小企業や零細企業の場合、地元の商工会議所などの会員企業であっても、ブラック企業の場合がある。 商工会の会員企業というと、なんとなく会員になるための審査が厳しそうだが、たんに地元の会社であって、ある程度の資本金とかがあって、あとは年会費を払えばイイわけであるのでブラック企業でも入会できる。 むしろ、ブラック企業だからこそ社長は本業がヒマだし、マスコミなどへの技術アピールもろくにできない技術力なので、自治会活動などでの宣伝には余念を欠かさないわけである。 一方有能な企業ほど、他地域の企業などとの取り引きが忙しく、ごく一部の地元の下請け取引先との付き合いを除けば、あまり地元の企業との付き合いが無いという場合すらありうる。 === 製造業や農業の違法企業 === 「ブラック企業」と聞くと、ついつい営業販売活動や転売屋や小売業・外食産業などを想像してしまいがちであり、製造業や土木工事などの技能職などの現業や農業ではブラック企業はありえないと考えがちだが、そうとは限らない。 賃金が安くてボッタクリだから、ろくな技術が無くても、安値で製品を売る事ができるので、利益を上げられてしまうのである。 中小の製造業や土木工事業や農業などでも、労働基準法の最低賃金を下回る賃金だったり、外国人研修生や不法滞在・残留外国人などを働かせている企業も、ときどき発覚している。不法滞在者などを残留させてる違法企業は、入国管理局などに査察されてバレたり、場合によっては警察沙汰になって経営者が刑法的に処分・逮捕される。 製造業や土木工事のブラック企業では、経営者にろくに専門技能も業界人脈も無い場合もある。叩き上げの職人あがりのビジネスマンを装い、無知な若者を雇って、低賃金で働かせている企業もある。 また、たとえ親子代々続く地元の中小企業でも、たとえ先代や先々代の社長が人格者で熟練した職人あがりで誠実だからって、跡取り息子の現・社長が人格者とは限らない。そのようなブラック企業の社長的な息子でも、親の情で跡取りにさせた場合もありうるだろうから。 ==脚注== <references/> == 関連サイト(参考文献) == {{Wikipedia|就職活動}} *[http://d.hatena.ne.jp/keyword/%BD%A2%B3%E8 就活とは - はてなキーワード] *[http://s-coach.com/students 2011年度の新卒就活環境 - 就職・面接対策の就活塾「就活コーチ」] {{DEFAULTSORT:しゆうかつかつとうかいと}} [[Category:生活]] h4htj71jne0r65q1r4aofymvqghnqs5 0 5716 302780 297665 2026-08-27T11:39:42Z Tomzo 248 302780 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[コンメンタール民法]]＞[[第3編 債権 (コンメンタール民法)|第3編 債権]] {{wikipedia|委任}} ==条文== （[[委任]]） ;第643条 : 委任は、当事者の一方が法律行為をすることを相手方に委託し、相手方がこれを承諾することによって、その効力を生ずる。 ==解説== 弁護士に事件の弁護を依頼する場合が、典型的な委任契約。ただし法律行為でない事務の依頼についても委任契約の規定が準用される([[民法第656条|656条]]、準委任という)。 ==参照条文== *[[建物の区分所有等に関する法律第28条]]（委任の規定の準用） ;第10節　委任 :*本条（[[委任]]） :*[[民法第644条|第644条]]（受任者の[[注意義務]]） :*[[民法第644条の2|第644条の2]]（復受任者の選任等） :*[[民法第645条|第645条]]（受任者による報告） :*[[民法第646条|第646条]]（受任者による受取物の引渡し等） :*[[民法第647条|第647条]]（受任者の金銭の消費についての責任） :*[[民法第648条|第648条]]（受任者の報酬） :*[[民法第648条の2|第648条の2]]（成果等に対する報酬） :*[[民法第649条|第649条]]（受任者による費用の前払請求） :*[[民法第650条|第650条]]（受任者による費用等の償還請求等） :*[[民法第651条|第651条]]（委任の解除） :*[[民法第652条|第652条]]（委任の解除の効力） :*[[民法第653条|第653条]]（委任の終了事由） :*[[民法第654条|第654条]]（委任の終了後の処分） :*[[民法第655条|第655条]]（委任の終了の対抗要件） :*[[民法第656条|第656条]]（準委任） ==判例== #[https://www.courts.go.jp/hanrei/57696/detail2/index.html 株式取引受理請求](最高裁判決 昭和36年5月25日) [[労働基準法第20条|労働基準法（昭和62年法律第99号による改正前のもの）第20条]]，[[民法第651条]]1項 #;証券業者の外務員につき労働基準法第20条の適用がないとされた事例。 #:証券業者と外務員間の契約により、外務員は右業者の顧客から株式その他の有価証券の売買又はその委託の媒介、取次又はその代理の注文を受けた場合これを業者に通じて売買その他の有価証券取引を成立させるいわゆる外務行為に従事すべき義務を負担し、業者はこれに対する報酬として出来高に応じ賃金を支払うと共に外務員のした有価証券の売買委託を受理すべき義務を負担しておるときは、業者の右契約解除につき労働基準法第20条の適用はない。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/73140/detail2/index.html 損害賠償](最高裁判決 平成5年03月25日) [[労働基準法第24条|労働基準法（昭和62年法律第99号による改正前のもの）第24条]]1項，[[民法第651条]]1項 #;いわゆるチェック・オフと個々の組合員からの委任の要否 #:使用者と労働組合との間にいわゆるチェック・オフ協定が締結されている場合であっても、使用者が有効なチェック・オフを行うためには、賃金から控除した組合費相当分を労働組合に支払うことにつき個々の組合員から委任を受けることが必要である。 ---- {{前後 |[[コンメンタール民法|民法]] |[[第3編 債権 (コンメンタール民法)|第3編 債権]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#2|第2章 契約]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#2-10|第10節 委任]] |[[民法第642条]]<br>（注文者についての破産手続の開始による解除） |[[民法第644条]]<br>（受任者の注意義務） }} {{stub|law}} [[category:民法|643]] szq2xe220odnkv4w6dxe70564dbtv5v 302781 302780 2026-08-27T11:42:30Z Tomzo 248 /* 判例 */ 302781 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[民事法]]＞[[コンメンタール民法]]＞[[第3編 債権 (コンメンタール民法)|第3編 債権]] {{wikipedia|委任}} ==条文== （[[委任]]） ;第643条 : 委任は、当事者の一方が法律行為をすることを相手方に委託し、相手方がこれを承諾することによって、その効力を生ずる。 ==解説== 弁護士に事件の弁護を依頼する場合が、典型的な委任契約。ただし法律行為でない事務の依頼についても委任契約の規定が準用される([[民法第656条|656条]]、準委任という)。 ==参照条文== *[[建物の区分所有等に関する法律第28条]]（委任の規定の準用） ;第10節　委任 :*本条（[[委任]]） :*[[民法第644条|第644条]]（受任者の[[注意義務]]） :*[[民法第644条の2|第644条の2]]（復受任者の選任等） :*[[民法第645条|第645条]]（受任者による報告） 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#:使用者と労働組合との間にいわゆるチェック・オフ協定が締結されている場合であっても、使用者が有効なチェック・オフを行うためには、賃金から控除した組合費相当分を労働組合に支払うことにつき個々の組合員から委任を受けることが必要である。 ---- {{前後 |[[コンメンタール民法|民法]] |[[第3編 債権 (コンメンタール民法)|第3編 債権]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#2|第2章 契約]]<br> [[第3編 債権 (コンメンタール民法)#2-10|第10節 委任]] |[[民法第642条]]<br>（注文者についての破産手続の開始による解除） |[[民法第644条]]<br>（受任者の注意義務） }} {{stub|law}} [[category:民法|643]] oguhbko44wb0xhk2lbck8dij8qi5q3t 0 9770 302777 293026 2026-08-27T07:38:52Z Tomzo 248 302777 wikitext text/x-wiki ==本文== :　 <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun|詩ニ云ハク、\\ 「瞻みレバ[二]彼ノ淇澳ヲ[一]、菉竹猗猗タリ。\\ 有リ[二]斐タル君子[一]、\\ 如ク[レ]切スルガ如ク[レ]磋スルガ、如ク[レ]琢スルガ如シ[レ]磨スルガ。\\ 瑟兮たり僩兮たり、赫兮たり喧兮たり。\\ 有リ[二]斐タル君子[一]、\\ 終つひニ不ずト[レ]可べカラ[レ]諠わすル兮」\\ 「如ク[レ]切スルガ如ク[レ]磋スルガ」者とは、道いフ[レ]學ヲ也なり、\\ 「如ク[レ]琢スルガ如シ[レ]磨スルガ」者とは、自みズカラ脩をさムル也なり。\\ 「瑟兮たり僩兮たり」者とは、恂慄也なり、\\ 「赫兮たり喧兮たり」者とは、威儀也なり。\\ 「終つひニ不ずト[レ]可べカラ[レ]諠わすル兮」者とは、\\ 道フ[二]盛德至善、民之不ざルヲ[レ]能ハ[レ]忘ル也なり。\\ 詩ニ云ハク、\\ 「於あ戲あ前王不ず[レ]忘ラレ」\\ 君子ハ賢トシテ[二]其賢ヲ[一]而親トス[二]其親ヲ[一]\\ 小人ハ樂ミテ[二]其樂ミヲ[一]而利トス[二]其利ヲ[一]\\ 此ヲ以テ沒をヘテ[レ]世ヲ不ざル[レ]忘ラレ也なり。\\ }} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> :詩<ref group="†">儒家の重要な経典の一つ『[[詩経]]』、中国最古の詩集とされる。以降、「終不可諠兮」の句まで『詩経・衛風・淇澳篇』を引用する。</ref>に云はく、 :「かの{{ruby|淇澳|きいく}}<ref group="†">淇澳 - 淇水（古代国家[[w:衛|衛]]を流れる川の名。現在の湖南省北部）のほとり（=澳、なお『詩経』では「奥」）。</ref>を{{ruby|瞻|み}}<ref group="†">瞻 - 遠く遥かに望む、見めぐらす。「彼」の後に対象を置く「瞻彼」が定型となる。</ref>れば、{{ruby|菉|りょく}}<ref group="†">「緑」の異体字。『詩経』では「緑」を用いる。</ref>竹{{ruby|猗猗|ゐゐ}}<ref group="†">木の葉の美しく茂るさま。</ref>たり。 :<u>{{ruby|斐|ひ}}たる<ref group="†">立派な。『詩経』では「匪」を用いる。</ref></u>君子あり、 :<u>{{ruby|切|せっ}}するがごとく{{ruby|磋|さ}}するがごとく<ref group="†">骨や象牙を、「切」りそろえ、やすりをかけて「{{ruby|磋|と}}」ぐ姿のよう</ref></u>、 :<u>{{ruby|琢|たく}}するがごとく{{ruby|磨|ま}}するがごとし<ref group="†">玉石を原石からうち出し（「琢」）、砂石で「磨」く姿のよう</ref></u>。 :{{ruby|瑟|ひつ}}<ref group="†">「しつ」とも。儀礼に用いる大きな琴。その音のようにおごそかなこと。</ref>たり{{ruby|僴|かん}}<ref group="†">寛大であること。</ref>たり、 :{{ruby|赫|かく}}<ref group="†">光輝く様。</ref>たり{{ruby|喧|けん}}<ref group="†">「喧騒・喧嘩・喧々轟々」のように騒がしい様子をいうが、ここでは、際立って明らかである、目立っている様を言う。『詩経』では「咺」を用いる。</ref>たり。 :斐たる君子あり、 :ついに{{ruby|諠|わす}}<ref group="†">しばしば、「喧」と同義に扱われ、「かまびすしい」ことを意味するが。ここでは、そのような雑音に気を取られ「忘れる」ことを言う。『詩経』では「諼」を用いる。</ref>るべからず」と。 :「切するが如く磋するが如し」とは、學<ref group="†">[[論語/巻第一 学而第一/第一#学|「学而第一 第一『学而時習』」語釈欄参照]]</ref>を<u>{{ruby|道|い}}ふ<ref group="†">言う、語る。</ref></u>なり。 :「琢するが如く磨するが如し」とは、<u>自ずから{{ruby|脩|をさ}}むる<ref group="†">学んだことの実践を試みる。[[論語/巻第一 学而第一/第一#習|「学而第一 第一『学而時習』」の「習」の態度に通じる。（同語釈欄参照）]]</ref></u>なり。 :「瑟たり僩たり」とは、{{ruby|恂慄|じゆんりつ}}<ref group="†">ふるえるほど畏まるほど威厳に溢れていること。「恂」は「真心」「心から」「信じる」などの意を持ち、「慄」は震える。</ref>なり。 :「赫たり喧たり」とは、{{ruby|威儀|ゐぎ}}<ref group="†">尊敬せずにはいられないほど威厳のある様子。</ref>なり。 :「斐たる君子有り、終に諠る可からず」とは、 :盛德<ref group="†">徳に満ち溢れている様子。</ref>至善<ref group="†">この上ない善。</ref>、民の忘るる{{ruby|能|あた}}はざるを{{ruby|道|い}}ふなり。 :<u>詩に云ふ<ref group="†">偉大な王を讃えた『詩経・周頌・清廟之什・烈文篇』の末尾の句を引用し、徳が民衆に忘れられないことを示す。</ref></u>、 :「{{ruby|於戲|あゝ}}<ref group="†">感嘆の発声。</ref>、前王<ref group="†">周初代の王[[w:武王 (周)|武王]]と解される。</ref>忘られず」と。 :君子<ref group="†">この場合は為政者をさす。</ref>は<u>其賢を賢として<ref group="†">先人が確立した礼儀を備えた者を登用することで、</ref></u>、<u>其親を親とす<ref group="†">親族が融和したものになる。</ref></u>、 :小人<ref group="†">庶民。</ref>は<u>其樂みを樂みて<ref group="†">社会が治り、生産活動に安心して従事できることにより、</ref></u>、<u>其利を利とす<ref group="†">正当に富むことができる。</ref></u>、 :此を以て世を{{ruby|沒|を}}へて<ref group="†">亡くなって。</ref>忘られざるなり。 </big> |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == == 解説 == {{stub}} [[Category:高等学校教育_国語_漢文|せつさたくま]] [[category:古典 大学|3-3]] to4ux8feg8rtg3w34fhag1fm19rxixl 302778 302777 2026-08-27T10:34:21Z Tomzo 248 302778 wikitext text/x-wiki ==本文== :　 <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun|詩ニ云ハク、\\ 「瞻みレバ[二]彼ノ淇澳ヲ[一]、菉竹猗猗タリ。\\ 有リ[二]斐タル君子[一]、\\ 如ク[レ]切スルガ如ク[レ]磋スルガ、如ク[レ]琢スルガ如シ[レ]磨スルガ。\\ 瑟兮たり僩兮たり、赫兮たり喧兮たり。\\ 有リ[二]斐タル君子[一]、\\ 終つひニ不ずト[レ]可べカラ[レ]諠わすル兮」\\ 「如ク[レ]切スルガ如ク[レ]磋スルガ」者とは、道いフ[レ]學ヲ也なり、\\ 「如ク[レ]琢スルガ如シ[レ]磨スルガ」者とは、自みズカラ脩をさムル也なり。\\ 「瑟兮たり僩兮たり」者とは、恂慄也なり、\\ 「赫兮たり喧兮たり」者とは、威儀也なり。\\ 「終つひニ不ずト[レ]可べカラ[レ]諠わすル兮」者とは、\\ 道フ[二]盛德至善、民之不ざルヲ[㆒㆑]能ハ[レ]忘ル也なり。\\ 詩ニ云ハク、\\ 「於あ戲あ前王不ず[レ]忘ラレ」\\ 君子ハ賢トシテ[二]其賢ヲ[一]而親トス[二]其親ヲ[一]\\ 小人ハ樂ミテ[二]其樂ミヲ[一]而利トス[二]其利ヲ[一]\\ 此ヲ以テ沒をヘテ[レ]世ヲ不ざル[レ]忘ラレ也なり。\\ }} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> :詩<ref group="†">儒家の重要な経典の一つ『[[詩経]]』、中国最古の詩集とされる。以降、「終不可諠兮」の句まで『詩経・衛風・淇澳篇』を引用する。</ref>に云はく、 :「かの{{ruby|淇澳|きいく}}<ref group="†">淇澳 - 淇水（古代国家[[w:衛|衛]]を流れる川の名。現在の湖南省北部）のほとり（=澳、なお『詩経』では「奥」）。</ref>を{{ruby|瞻|み}}<ref group="†">瞻 - 遠く遥かに望む、見めぐらす。「彼」の後に対象を置く「瞻彼」が定型となる。</ref>れば、{{ruby|菉|りょく}}<ref group="†">「緑」の異体字。『詩経』では「緑」を用いる。</ref>竹{{ruby|猗猗|ゐゐ}}<ref group="†">木の葉の美しく茂るさま。</ref>たり。 :<u>{{ruby|斐|ひ}}たる<ref group="†">立派な。「斐」は、「文」様がはっきりしていて美しいの意。『詩経』では「匪」を用いる。</ref></u>君子あり、 :<u>{{ruby|切|せっ}}するがごとく{{ruby|磋|さ}}するがごとく<ref group="†">骨や象牙を、「切」りとり、やすりをかけて「{{ruby|磋|と}}」ぐ姿のよう</ref></u>、 :<u>{{ruby|琢|たく}}するがごとく{{ruby|磨|ま}}するがごとし<ref group="†">玉石を原石からうち出し（「琢」）、砂石で「磨」く姿のよう</ref></u>。 :{{ruby|瑟|ひつ}}<ref group="†">「しつ」とも。儀礼に用いる大きな琴。その音のようにおごそかなこと。</ref>たり{{ruby|僴|かん}}<ref group="†">寛大であること。</ref>たり、 :{{ruby|赫|かく}}<ref group="†">光輝く様。</ref>たり{{ruby|喧|けん}}<ref group="†">「喧騒・喧嘩・喧々轟々」のように騒がしい様子をいうが、ここでは、際立って明らかである、目立っている様を言う。『詩経』では「咺」を用いる。</ref>たり。 :斐たる君子あり、 :ついに{{ruby|諠|わす}}<ref group="†">しばしば、「喧」と同義に扱われ、「かまびすしい」ことを意味するが。ここでは、そのような雑音に気を取られ「忘れる」ことを言う。『詩経』では「諼」を用いる。</ref>るべからず」と。 :「切するが如く磋するが如し」とは、學<ref group="†">[[論語/巻第一 学而第一/第一#学|「学而第一 第一『学而時習』」語釈欄参照]]</ref>を<u>{{ruby|道|い}}ふ<ref group="†">言う、語る。</ref></u>なり。 :「琢するが如く磨するが如し」とは、<u>自ずから{{ruby|脩|をさ}}むる<ref group="†">学んだことの実践を試みる。[[論語/巻第一 学而第一/第一#習|「学而第一 第一『学而時習』」の「習」の態度に通じる。（同語釈欄参照）]]</ref></u>なり。 :「瑟たり僩たり」とは、{{ruby|恂慄|じゆんりつ}}<ref group="†">ふるえるほど畏まるほど威厳に溢れていること。「恂」は「真心」「心から」「信じる」などの意を持ち、「慄」は「戰慄」に見られるとおりで「ふるえる」。</ref>なり。 :「赫たり喧たり」とは、{{ruby|威儀|ゐぎ}}<ref group="†">尊敬せずにはいられないほど威厳のある様子。</ref>なり。 :「斐たる君子有り、終に諠る可からず」とは、 :盛德<ref group="†">徳に満ち溢れている様子。</ref>至善<ref group="†">この上ない善。</ref>、民の忘るる{{ruby|能|あた}}はざるを{{ruby|道|い}}ふなり。 :<u>詩に云ふ<ref group="†">偉大な王を讃えた『詩経・周頌・清廟之什・烈文篇』の末尾の句を引用し、徳が民衆に忘れられないことを示す。</ref></u>、 :「{{ruby|於戲|あゝ}}<ref group="†">感嘆の発声。</ref>、前王<ref group="†">周初代の王[[w:武王 (周)|武王]]と解される。</ref>忘られず」と。 :君子<ref group="†">この場合は為政者をさす。</ref>は<u>其賢を賢として<ref group="†">先人が確立した礼儀を備えた者を登用することで、</ref></u>、<u>其親を親とす<ref group="†">親族が融和したものになる。</ref></u>、 :小人<ref group="†">庶民。</ref>は<u>其樂みを樂みて<ref group="†">社会が治り、生産活動に安心して従事できることにより、</ref></u>、<u>其利を利とす<ref group="†">正当に富むことができる。</ref></u>、 :此を以て世を{{ruby|沒|を}}へて<ref group="†">亡くなって。</ref>忘られざるなり。 </big> |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == :詩経に次の詩がある。 ::淇水のほとりを望むと、緑竹が青々として美しい、 ::それと同様に、立派な君子がいる。 ::その君子は、（自らの徳を高めるために）すなわち、あたかも骨を切りとり、丁寧に研いだりするようで（「切するが如く磋するが如し」）、 ::また、岩石を穿って玉の原石を取り出し、それを磨くようだ（「琢するが如く磨するが如し」）。（そのように、身を修めている）。 ::そうしたことで、（その徳は）殿中での大琴のように、大きく厳かに鳴り響き（「瑟たり僩たり」）、 ::眩く光り輝いている（「赫たり喧たり」）のである。 ::そのような立派な君子であるならば、 ::人々は決して忘れることはないだろう（「斐たる君子有り、終に諠る可からず」）。 :「切するが如く磋するが如し（粗く切り取り、丁寧に研ぐ）」とは、聖賢の道を学ぶこと、 :「琢するが如く磨するが如し（鑿などで荒く打ち出し、丁寧に磨く）」とは、学んだことを現実に実践してみること、 :「瑟たり僩たり」とは、ふるえるほどに厳かなこと、 :「赫たり喧たり」とは、眩く尊敬せざるを得ないほどの威厳のあること、 :「斐たる君子有り、終に諠る可からず」とは、徳に満ち溢れこの上ない善を備えれば、人々は忘れることはできないと言うことである。 :　 :また、詩経では次の様にも言っている。 ::ああ、得の高い亡くなった王のことが忘れられない。 :為政者が、学識を積んだ賢者を、信頼する者として用いるならば、一族は融和したものになるであろう。 :庶民は、その様な社会で安心して暮らし、生活も豊かになるであろう。 :こうなれば、為政者が亡くなってもいつまでも人々に忘れられることはない。 == 解説 == {{stub}} [[Category:高等学校教育_国語_漢文|せつさたくま]] [[category:古典 大学|3-3]] qudrxxcfhox7ot9izcq9p7n47rzave9 0 10278 302773 295532 2026-08-27T06:54:41Z Kyoikukunren.jp 91270 附則 302773 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[社会法]]＞[[雇用保険法]] 雇用保険法（最終改正：令和7年法律第32号）の逐条解説書。 {{Wikipedia|雇用保険法}} ==条文== ===<span id="1"/>第1章 総則（第1条～第4条）=== :[[雇用保険法第1条|第1条]]（目的） :[[雇用保険法第2条|第2条]]（管掌） :[[雇用保険法第3条|第3条]]（雇用保険事業） :[[雇用保険法第4条|第4条]]（定義） ===<span id="2"/>第2章 適用事業等（第5条～第9条）=== :[[雇用保険法第5条|第5条]]（適用事業） :[[雇用保険法第6条|第6条]]（適用除外） :[[雇用保険法第7条|第7条]]（被保険者に関する届出） :[[雇用保険法第8条|第8条]]（確認の請求） :[[雇用保険法第9条|第9条]]（確認） ===<span id="3"/>第3章 失業等給付 === ====<span id="3-1"/>第1節 通則（第10条～第12条）==== :[[雇用保険法第10条|第10条]]（失業等給付） :[[雇用保険法第10条の2|第10条の2]]（就職への努力） :[[雇用保険法第10条の3|第10条の3]]（未支給の失業等給付） :[[雇用保険法第10条の4|第10条の4]]（返還命令等） :[[雇用保険法第11条|第11条]]（受給権の保護） :[[雇用保険法第12条|第12条]]（公課の禁止） ====<span id="3-2"/>第2節 一般被保険者の求職者給付 ==== ======<span id="3-2-1"/>第1款 基本手当（第13条～第35条）====== :[[雇用保険法第13条|第13条]]（基本手当の受給資格） :[[雇用保険法第14条|第14条]]（被保険者期間） :[[雇用保険法第15条|第15条]]（失業の認定） :[[雇用保険法第16条|第16条]]（基本手当の日額） :[[雇用保険法第17条|第17条]]（賃金日額） :[[雇用保険法第18条|第18条]]（基本手当の日額の算定に用いる賃金日額の範囲等の自動的変更） :[[雇用保険法第19条|第19条]]（基本手当の減額） :[[雇用保険法第20条|第20条]]（支給の期間及び日数） :[[雇用保険法第21条|第21条]]（待期） :[[雇用保険法第22条|第22条]]（所定給付日数） :[[雇用保険法第23条|第23条]]【特定受給資格者の所定給付日数】 :[[雇用保険法第24条|第24条]]（訓練延長給付） :[[雇用保険法第24条の2|第24条の2]]（個別延長給付） :[[雇用保険法第25条|第25条]]（広域延長給付） :[[雇用保険法第26条|第26条]]【広域延長給付の制限】 :[[雇用保険法第27条|第27条]]（全国延長給付） :[[雇用保険法第28条|第28条]]（延長給付に関する調整） :[[雇用保険法第29条|第29条]]（給付日数を延長した場合の給付制限） :[[雇用保険法第30条|第30条]]（支給方法及び支給期日） :[[雇用保険法第31条|第31条]]（未支給の基本手当の請求手続） :[[雇用保険法第32条|第32条]]（給付制限） :[[雇用保険法第33条|第33条]]【失職責任が被保険者にあるときの給付制限】 :[[雇用保険法第34条|第34条]]【不正な受給等があるときの給付制限】 :第35条 削除 ======<span id="3-2-2"/>第2款 技能習得手当及び寄宿手当（第36条）====== :[[雇用保険法第36条|第36条]]（技能習得手当及び寄宿手当） ======<span id="3-2-3"/>第3款 傷病手当（第37条）====== :[[雇用保険法第37条|第37条]]（傷病手当） ====<span id="3-2の2"/>第2節の2 高年齢被保険者の求職者給付（第37条の2～第37条の6） ==== :[[雇用保険法第37条の2|第37条の2]]（高年齢継続被保険者） :[[雇用保険法第37条の3|第37条の3]]（高年齢受給資格） :[[雇用保険法第37条の4|第37条の4]]（高年齢求職者給付金） :[[雇用保険法第37条の5|第37条の5]]（高年齢被保険者の特例） :[[雇用保険法第37条の6|第37条の6]]（特例高年齢被保険者に対する失業等給付等の特例） ====<span id="3-3"/>第3節 短期雇用特例被保険者の求職者給付（第38条～第41条）==== :[[雇用保険法第38条|第38条]]（短期雇用特例被保険者） :[[雇用保険法第39条|第39条]]（特例受給資格） :[[雇用保険法第40条|第40条]]（特例一時金） :[[雇用保険法第41条|第41条]]（公共職業訓練等を受ける場合） ====<span id="3-4"/>第4節 日雇労働被保険者の求職者給付（第42条～第56条の2）==== :[[雇用保険法第42条|第42条]]（日雇労働者） :[[雇用保険法第43条|第43条]]（日雇労働被保険者） :[[雇用保険法第44条|第44条]]（日雇労働被保険者手帳） :[[雇用保険法第45条|第45条]]（日雇労働求職者給付金の受給資格） :[[雇用保険法第46条|第46条]]【基本手当と日雇給付の調整】 :[[雇用保険法第47条|第47条]]（日雇労働被保険者に係る失業の認定） :[[雇用保険法第48条|第48条]]（日雇労働求職者給付金の日額） :[[雇用保険法第49条|第49条]]（日雇労働求職者給付金の日額等の自動的変更） :[[雇用保険法第50条|第50条]]（日雇労働求職者給付金の支給日数等） :[[雇用保険法第51条|第51条]]（日雇労働求職者給付金の支給方法等） :[[雇用保険法第52条|第52条]]（給付制限） :[[雇用保険法第53条|第53条]]（日雇労働求職者給付金の特例） :[[雇用保険法第54条|第54条]]【日雇労働求職者給付金の特例・支給日額及び給日数等】 :[[雇用保険法第55条|第55条]]【日雇労働求職者給付金の特例・給付制限】 :[[雇用保険法第56条|第56条]]（日雇労働被保険者であつた者に係る被保険者期間等の特例） :[[雇用保険法第56条の2|第56条の2]]【日雇労働被保険者であつた者に係る被保険者期間等の特例・継続して31日以上雇用された後に離職した場合】 ====<span id="3-5"/>第5節 就職促進給付（第56条の3～第60条）==== :[[雇用保険法第56条の3|第56条の3]]（就業促進手当） :[[雇用保険法第57条|第57条]]（就業促進手当の支給を受けた場合の特例） :[[雇用保険法第58条|第58条]]（移転費） :[[雇用保険法第59条|第59条]]（広域求職活動費） :[[雇用保険法第60条|第60条]]（給付制限） ====<span id="3-5の2"/>第5節の2 教育訓練給付（第60条の2〜第60条の5）==== :[[雇用保険法第60条の2|第60条の2]]（教育訓練給付金） :[[雇用保険法第60条の3|第60条の3]]（教育訓練休暇給付金） :[[雇用保険法第60条の4|第60条の4]]（特定教育訓練休暇給付金受給者に対する失業等給付の特例） :[[雇用保険法第60条の5|第60条の5]]（給付制限） ====<span id="3-6"/>第6節 雇用継続給付 ==== ======<span id="3-6-1"/>第1款 高年齢雇用継続給付（第61条～第61条の3）====== :[[雇用保険法第61条|第61条]]（高年齢雇用継続基本給付金） :[[雇用保険法第61条の2|第61条の2]]（高年齢再就職給付金） :[[雇用保険法第61条の3|第61条の3]]（給付制限） ======<span id="3-6-2"/>第2款 介護休業給付（第61条の4・第61条の5）====== :[[雇用保険法第61条の4|第61条の4]]（介護休業給付金） :[[雇用保険法第61条の5|第61条の5]]（給付制限） ===<span id="3の2"/>第3章の2 育児休業等給付=== ====<span id="3の2-1"/>第1節 通則（第61条の6）==== :[[雇用保険法第61条の6|第61条の6]] ====<span id="3の2-2"/>第2節 育児休業給付（第61条の7～第61条の9）==== :[[雇用保険法第61条の7|第61条の7]]（育児休業基本給付金） :[[雇用保険法第61条の8|第61条の8]]（出生時育児休業給付金） :[[雇用保険法第61条の9|第61条の9]]（給付制限） ====<span id="3の2-3"/>第3節 出生後休業支援給付（第61条の10・第61条の11）==== :[[雇用保険法第61条の10|第61条の10]]（出生後休業支援給付金） :[[雇用保険法第61条の11|第61条の11]]（給付制限） ====<span id="3の2-4"/>第4節 育児時短就業給付（第61条の12・第61条の13）==== :[[雇用保険法第61条の12|第61条の12]]（育児時短就業給付金） :[[雇用保険法第61条の13|第61条の13]]（給付制限） ===<span id="4"/>第4章 雇用安定事業等（第62条～第65条）=== :[[雇用保険法第62条|第62条]]（雇用安定事業） :[[雇用保険法第63条|第63条]]（能力開発事業） :[[雇用保険法第64条|第64条]]【職業訓練受講給付金の支給】 :[[雇用保険法第65条|第65条]]（事業等の利用） ===<span id="5"/>第5章 費用の負担（第66条～第68条）=== :[[雇用保険法第66条|第66条]]（国庫の負担） :[[雇用保険法第67条|第67条]]【広域延長給付に関する特例】 :[[雇用保険法第68条|第68条]]（保険料） ===<span id="6"/>第6章 不服申立て及び訴訟（第69条～第71条）=== :[[雇用保険法第69条|第69条]]（不服申立て） :[[雇用保険法第70条|第70条]]（不服理由の制限） :[[雇用保険法第71条|第71条]]（不服申立てと訴訟との関係） ===<span id="7"/>第7章 雑則（第72条～第82条）=== :[[雇用保険法第72条|第72条]]（労働政策審議会への諮問） :[[雇用保険法第73条|第73条]]（不利益取扱いの禁止） :[[雇用保険法第74条|第74条]]（時効） :[[雇用保険法第75条|第75条]]（戸籍事項の無料証明） :[[雇用保険法第76条|第76条]]（報告等） :[[雇用保険法第77条|第77条]]【支給請求者による報告等】 :[[雇用保険法第77条の2|第77条の2]]（資料の提供等） :[[雇用保険法第78条|第78条]]（診断） :[[雇用保険法第79条|第79条]]（立入検査） :[[雇用保険法第79条の2|第79条の2]]（船員に関する特例） :[[雇用保険法第80条|第80条]]（経過措置の命令への委任） :[[雇用保険法第81条|第81条]]（権限の委任） :[[雇用保険法第82条|第82条]]（厚生労働省令への委任） ===<span id="8"/>第8章 罰則（第83条～第86条）=== :[[雇用保険法第83条|第83条]]【事業主の違反行為等に対する罰則】 :[[雇用保険法第84条|第84条]]【労働保険事務組合の違反行為等に対する罰則】 :[[雇用保険法第85条|第85条]]【支給を請求する者等の違反行為等に対する罰則】 :[[雇用保険法第86条|第86条]]【両罰規定】 ===<span id="附則"/>附則 （附則第1条～第16条）=== :[[雇用保険法附則第1条|附則第1条]]（施行期日） :[[雇用保険法附則第2条|附則第2条]]（適用範囲に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第3条|附則第3条]]（被保険者期間に関する経過措置） :[[雇用保険法附則第4条|附則第4条]]（基本手当の支給に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第5条|附則第5条]]（審査官による審査） :[[雇用保険法附則第6条|附則第6条]]（基本手当の給付日数の延長措置に関する経過措置） :[[雇用保険法附則第7条|附則第7条]] 削除 :[[雇用保険法附則第8条|附則第8条]]（特例一時金に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第9条|附則第9条]] 削除 :[[雇用保険法附則第10条|附則第10条]]（就業促進手当の支給を受けた場合の特例に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第11条|附則第11条]]（教育訓練給付金に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第11条の2|附則第11条の2]]（教育訓練支援給付金） :[[雇用保険法附則第11条の3|附則第11条の3]]（教育訓練休暇給付金受給者に対する失業等給付の特例に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第12条|附則第12条]]（介護休業給付金に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第13条|附則第13条]]（国庫負担に関する暫定措置） :[[雇用保険法附則第14条|附則第14条]] :[[雇用保険法附則第15条|附則第15条]] :[[雇用保険法附則第16条|附則第16条]]（出生後休業支援給付及び育児時短就業給付に要する費用等の財源の特例） ==下位法令== *[[雇用保険法施行令]] *[[雇用保険法施行規則]] ==外部リンク== *[https://laws.e-gov.go.jp/law/349AC0000000116 eGov法令検索] {{stub|law}} [[Category:コンメンタール|こようほけんほう こんめんたある]] [[Category:雇用保険法|*こんめんたあるこようほけんほう]] 4e0gj3jhelt0j9gc6ungv5cpfgmeama 0 10346 302745 302716 2026-08-26T22:37:56Z Kyoikukunren.jp 91270 302745 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[社会法]]＞[[雇用保険法]]＞[[雇用保険法施行令]]＞[[雇用保険法施行規則]] 雇用保険法施行規則（最終改正：令和7年厚生労働省令第54号）の逐条解説書。 ==条文== ===<span id="1"/>第1章 総則 （第1条～第3条）=== :[[雇用保険法施行規則第1条|第1条]]（事務の管轄） :[[雇用保険法施行規則第2条|第2条]]（通貨以外のもので支払われる賃金の範囲及び評価） :[[雇用保険法施行規則第3条|第3条]]（事務の処理単位） ===<span id="2"/>第2章 適用事業等 （第3条の2～第17条）=== :[[雇用保険法施行規則第3条の2|第3条の2]]（法第6条第4号に規定する厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第3条の3|第3条の3]]（令第2条第1号の厚生労働省令で定めるもの） :[[雇用保険法施行規則第4条|第4条]]（法第6条第4号の厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第5条|第5条]]（法を適用しないことの承認の申請） :[[雇用保険法施行規則第6条|第6条]]（被保険者となつたことの届出） :[[雇用保険法施行規則第7条|第7条]]（被保険者でなくなつたことの届出） :[[雇用保険法施行規則第8条|第8条]]（確認の請求） :[[雇用保険法施行規則第9条|第9条]]（確認の通知） :[[雇用保険法施行規則第10条|第10条]]（被保険者証の交付） :[[雇用保険法施行規則第11条|第11条]]（被保険者となつたこと又は被保険者でなくなつたことの事実がない場合の通知） :[[雇用保険法施行規則第12条|第12条]] :[[雇用保険法施行規則第12条の2|第12条の2]]（雇用継続交流採用職員に関する届出） :[[雇用保険法施行規則第13条|第13条]]（被保険者の転勤の届出） :[[雇用保険法施行規則第14条|第14条]]（被保険者の個人番号の変更の届出） :[[雇用保険法施行規則第14条の2|第14条の2]]（一般被保険者の教育訓練休暇開始時の賃金の届出） :[[雇用保険法施行規則第14条の3|第14条の3]]（被保険者の介護休業、育児休業又は育児時短就業開始時の賃金の届出） :[[雇用保険法施行規則第14条の4|第14条の4]]（特定理由離職者又は特定受給資格者の介護又は育児のための休業又は所定労働時間短縮の開始時の賃金の届出） :[[雇用保険法施行規則第15条|第15条]]（被保険者に関する台帳の保管） :[[雇用保険法施行規則第16条|第16条]]（離職証明書の交付） :[[雇用保険法施行規則第17条|第17条]]（離職票の交付） ===<span id="3"/>第3章 失業等給付 === ====<span id="3-1"/>第1節 通則 （第17条の2～第17条の7）==== :[[雇用保険法施行規則第17条の2|第17条の2]]（未支給失業等給付の請求手続） :[[雇用保険法施行規則第17条の3|第17条の3]]（未支給失業等給付の支給手続） :[[雇用保険法施行規則第17条の4|第17条の4]]（未支給失業等給付に関する事務の委嘱） :[[雇用保険法施行規則第17条の5|第17条の5]]（失業等給付の返還等） :[[雇用保険法施行規則第17条の6|第17条の6]] :[[雇用保険法施行規則第17条の7|第17条の7]] ====<span id="3-2"/>第2節 一般被保険者の求職者給付 ==== =====<span id="3-2-1"/>第1款 基本手当 （第18条～第55条）===== :[[雇用保険法施行規則第18条|第18条]]（法第13条第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第19条|第19条]]（受給資格の決定） :[[雇用保険法施行規則第19条の2|第19条の2]]（法第13条第3項の厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第20条|第20条]]（受給期間内に再就職した場合の受給手続） :[[雇用保険法施行規則第21条|第21条]]（公共職業訓練等を受講する場合における届出） :[[雇用保険法施行規則第22条|第22条]]（失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第23条|第23条]]（法第15条第3項の厚生労働省令で定める受給資格者） :[[雇用保険法施行規則第24条|第24条]]（失業の認定日の特例等） :[[雇用保険法施行規則第25条|第25条]]（証明書による失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第26条|第26条]] :[[雇用保険法施行規則第27条|第27条]] :[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]] :[[雇用保険法施行規則第28条の2|第28条の2]]（失業の認定の方法等） :[[雇用保険法施行規則第28条の3|第28条の3]]（法第16条第1項の厚生労働省令で定める率） :[[雇用保険法施行規則第28条の4|第28条の4]]（年度の平均給与額の算定） :[[雇用保険法施行規則第29条|第29条]]（自己の労働による収入の届出） :[[雇用保険法施行規則第30条|第30条]]（法第20条第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第31条|第31条]]（受給期間延長の申出） :[[雇用保険法施行規則第31条の2|第31条の2]]（法第20条第2項の厚生労働省令で定める年齢及び理由） :[[雇用保険法施行規則第31条の3|第31条の3]]（定年退職者等に係る受給期間延長の申出） :[[雇用保険法施行規則第32条|第32条]]（法第22条第2項の厚生労働省令で定める理由により就職が困難な者） :[[雇用保険法施行規則第33条|第33条]]（法第22条第5項の厚生労働省令で定める事由） :[[雇用保険法施行規則第33条の2|第33条の2]]（法第22条第5項第2号の厚生労働省令で定める書類） :[[雇用保険法施行規則第34条|第34条]]（法第23条第2項第1号の厚生労働省令で定める事由） :[[雇用保険法施行規則第35条|第35条]]（法第23条第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） :[[雇用保険法施行規則第36条|第36条]]（法第23条第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第37条|第37条]]（訓練延長給付に係る失業の認定手続） :[[雇用保険法施行規則第38条|第38条]]（訓練延長給付の通知） :[[雇用保険法施行規則第39条|第39条]]（広域延長給付の通知） :[[雇用保険法施行規則第40条|第40条]]（住所又は居所を移転した者の申出） :[[雇用保険法施行規則第41条|第41条]]（全国延長給付の通知） :[[雇用保険法施行規則第42条|第42条]]（基本手当の支給日の決定及び通知） :[[雇用保険法施行規則第43条|第43条]]（基本手当の支給の特例） :[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]（基本手当の支給手続） :[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]] :[[雇用保険法施行規則第46条|第46条]]（代理人による基本手当の受給） :[[雇用保険法施行規則第47条|第47条]]（未支給基本手当に係る失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第48条|第48条]]（給付制限期間中の受給資格者に対する職業紹介等） :[[雇用保険法施行規則第48条の2|第48条の2]]（法第33条第3項の厚生労働省令で定める日数） :[[雇用保険法施行規則第48条の3|第48条の3]]（法第33条第5項の厚生労働省令で定める受給期間についての調整） :[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]（受給資格者の氏名変更等の届出） :[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]（受給資格者証の再交付） :[[雇用保険法施行規則第51条|第51条]] :[[雇用保険法施行規則第52条|第52条]] :[[雇用保険法施行規則第53条|第53条]] :[[雇用保険法施行規則第54条|第54条]]（事務の委嘱） :[[雇用保険法施行規則第55条|第55条]] =====<span id="3-2-1"/>第2款 技能習得手当及び寄宿手当 （第56条～第62条）===== :[[雇用保険法施行規則第56条|第56条]]（技能習得手当の種類） :[[雇用保険法施行規則第57条|第57条]]（受講手当） :[[雇用保険法施行規則第58条|第58条]] :[[雇用保険法施行規則第59条|第59条]]（通所手当） :[[雇用保険法施行規則第60条|第60条]]（寄宿手当） :[[雇用保険法施行規則第61条|第61条]]（技能習得手当及び寄宿手当の支給手続） :[[雇用保険法施行規則第62条|第62条]]（準用） =====<span id="3-2-1"/>第3款 傷病手当 （第63条～第65条）===== :[[雇用保険法施行規則第63条|第63条]]（傷病手当の認定手続） :[[雇用保険法施行規則第64条|第64条]]（傷病手当の支給手続） :[[雇用保険法施行規則第65条|第65条]]（準用） ====<span id="3-3"/>第3節 高年齢継続被保険者の求職者給付 （第65条の2～第65条の5）==== :[[雇用保険法施行規則第65条の2|第65条の2]]（法第37条の3第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第65条の3|第65条の3]]（法第37条の4第3項の厚生労働省令で定める率） :[[雇用保険法施行規則第65条の4|第65条の4]]（失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第65条の5|第65条の5]]（準用） ====<span id="3-4"/>第4節 短期雇用特例被保険者の求職者給付 （第66条～第70条）==== :[[雇用保険法施行規則第66条|第66条]]（短期雇用特例被保険者の確認） :[[雇用保険法施行規則第67条|第67条]]（法第39条第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第68条|第68条]]（失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第69条|第69条]]（準用） :[[雇用保険法施行規則第70条|第70条]]（特例受給資格者が公共職業訓練等を受ける場合の手続） ====<span id="3-5"/>第5節 日雇労働被保険者の求職者給付 （第71条～第81条）==== :[[雇用保険法施行規則第71条|第71条]]（日雇労働被保険者任意加入の申請） :[[雇用保険法施行規則第72条|第72条]]（日雇労働被保険者となつたことの届出） :[[雇用保険法施行規則第73条|第73条]]（日雇労働被保険者手帳の交付） :[[雇用保険法施行規則第74条|第74条]]（日雇労働被保険者資格継続の認可申請） :[[雇用保険法施行規則第75条|第75条]]（失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第76条|第76条]]（日雇労働求職者給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第77条|第77条]]（準用） :[[雇用保険法施行規則第78条|第78条]]（日雇労働求職者給付金の特例の申出） :[[雇用保険法施行規則第79条|第79条]]（日雇労働求職者給付金の特例に係る失業の認定） :[[雇用保険法施行規則第80条|第80条]]（準用） :[[雇用保険法施行規則第81条|第81条]]（受給資格の調整） ====<span id="3-6"/>第6節 就職促進給付 （第82条～第101条の2の10）==== :[[雇用保険法施行規則第82条|第82条]]（法第56条の3第1項の厚生労働省令で定める基準） :[[雇用保険法施行規則第82条の2|第82条の2]]（法第56条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める安定した職業に就いた受給資格者） :[[雇用保険法施行規則第82条の3|第82条の3]]（法第56条の3第1項第2号の厚生労働省令で定める安定した職業に就いた受給資格者等及び就職が困難な者） :[[雇用保険法施行規則第82条の4|第82条の4]]（法第56条の3第2項の厚生労働省令で定める期間） :[[雇用保険法施行規則第82条の5|第82条の5]]（再就業手当の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第83条|第83条]]（再就職手当の支給） :[[雇用保険法施行規則第83条の2|第83条の2]]（法第56条の3第3項第1号の厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第83条の3|第83条の3]]（法第56条の3第3項第1号の厚生労働省令で定める額） :[[雇用保険法施行規則第83条の4|第83条の4]]（就業促進定着手当の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第83条の5|第83条の5]]（就業促進定着手当の支給） :[[雇用保険法施行規則第83条の6|第83条の6]]（就業促進定着手当の額） :[[雇用保険法施行規則第84条|第84条]]（常用就職支度手当の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第85条|第85条]]（常用就職支度手当の支給） :[[雇用保険法施行規則第85条の2|第85条の2]]（法第57条第1項第1号イの厚生労働省令で定める日数） :[[雇用保険法施行規則第85条の3|第85条の3]]（法第57条第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） :[[雇用保険法施行規則第85条の4|第85条の4]]（法第57条第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第85条の5|第85条の5]]（法第57条第4項の規定による受給期間についての調整） :[[雇用保険法施行規則第86条|第86条]]（移転費の支給要件） :[[雇用保険法施行規則第87条|第87条]]（移転費の種類及び計算） :[[雇用保険法施行規則第88条|第88条]]（鉄道賃、船賃及び車賃の額） :[[雇用保険法施行規則第89条|第89条]]（移転料の額） :[[雇用保険法施行規則第90条|第90条]]（着後手当の額） :[[雇用保険法施行規則第91条|第91条]]（移転費の差額支給） :[[雇用保険法施行規則第92条|第92条]]（移転費の支給申請） :[[雇用保険法施行規則第93条|第93条]]（移転費の支給） :[[雇用保険法施行規則第94条|第94条]]（移転費の支給を受けた場合の手続） :[[雇用保険法施行規則第95条|第95条]]（移転費の返還） :[[雇用保険法施行規則第96条|第96条]]（広域求職活動費の支給要件） :[[雇用保険法施行規則第97条|第97条]]（広域求職活動費の種類及び計算） :[[雇用保険法施行規則第98条|第98条]]（広域求職活動費の額） :[[雇用保険法施行規則第98条の2|第98条の2]]（広域求職活動費の差額支給） :[[雇用保険法施行規則第99条|第99条]]（広域求職活動費の支給申請） :[[雇用保険法施行規則第100条|第100条]]（広域求職活動費の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条|第101条]]（広域求職活動費の返還） :[[雇用保険法施行規則第101条の2|第101条の2]]（準用） ====<span id="3-6-2"/>第6節の2 教育訓練給付 （第101条の2の2～第101条の2の30）==== :[[雇用保険法施行規則第101条の2の2|第101条の2の2]]（法第60条の2第1項の厚生労働大臣の指定の通知等） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の3|第101条の2の3]]（法第60条の2第1項の厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の4|第101条の2の4]]（法第60条の2第1項の厚生労働省令で定める証明） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の5|第101条の2の5]]（法第60条の2第1項第2号の厚生労働省令で定める期間） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6]]（法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める費用の範囲） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7]]（法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める率） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の8|第101条の2の8]]（法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める額） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の9|第101条の2の9]]（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める額） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の10|第101条の2の10]]（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める期間） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の11|第101条の2の11]]（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の12|第101条の2の12]]（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の13|第101条の2の13]]（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の14|第101条の2の14]]（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の15|第101条の2の15]]（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の16|第101条の2の16]]（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の17|第101条の2の17]]（準用） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の18|第101条の2の18]]（法第60条の3第1項の休暇） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の19|第101条の2の19]]（教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の20|第101条の2の20]]（教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の21|第101条の2の21]]（法第60条の3第1項に規定する期間内に再び教育訓練休暇を取得した場合の受給手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の22|第101条の2の22]]（法第60条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の23|第101条の2の23]]（法第60条の3第3項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の24|第101条の2の24]]（法第60条の3第3項に規定する申出） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|第101条の2の25]]（教育訓練休暇取得の認定） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の26|第101条の2の26]]（教育訓練休暇取得の認定の方法等） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の27|第101条の2の27]]（教育訓練休暇給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の28|第101条の2の28]]（準用） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の29|第101条の2の29]]（法第60条の4第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） :[[雇用保険法施行規則第101条の2の30|第101条の2の30]]（法第60条の4第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） ====<span id="3-7"/>第7節 雇用継続給付 ==== =====<span id="3-7-1"/>第1款 高年齢雇用継続給付 （第101条の3～第101条の10）===== :[[雇用保険法施行規則第101条の3|第101条の3]]（法第61条第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の4|第101条の4]]（法第61条第5項第2号の厚生労働省令で定める率） :[[雇用保険法施行規則第101条の5|第101条の5]]（高年齢雇用継続基本給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の6|第101条の6]]（高年齢雇用継続基本給付金の支給） :[[雇用保険法施行規則第101条の7|第101条の7]]（高年齢再就職給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の8|第101条の8]]'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第101条の9|第101条の9]]（事業主の助力等） :[[雇用保険法施行規則第101条の10|第101条の10]]（準用） =====<span id="3-7-2"/>第2款 育児休業給付 （第101条の11～第101条の15） '''削除'''===== =====<span id="3-7-3"/>第3款 介護休業給付 （第101条の16～第101条の20）===== :[[雇用保険法施行規則第101条の16|第101条の16]]（法第61条の4第1項の休業） :[[雇用保険法施行規則第101条の17|第101条の17]]（法第61条の4第1項の厚生労働省令で定めるもの） :[[雇用保険法施行規則第101条の18|第101条の18]]（法第61条の4第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の19|第101条の19]]（介護休業給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の20|第101条の20]]（準用） ===<span id="3の2"/>第3章の2 育児休業等給付 （第101条の21～第102条） === :[[雇用保険法施行規則第101条の21|第101条の21]]（通則） :[[雇用保険法施行規則第101条の22|第101条の22]]（法第61条の7第1項の休業） :[[雇用保険法施行規則第101条の23|第101条の23]]（法第61条の7第1項の厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第101条の24|第101条の24]]（法第61条の7第1項の厚生労働省令で定めるところにより委託されている者） :[[雇用保険法施行規則第101条の25|第101条の25]]（法第61条の7第1項のその子が1歳に達した日後の期間について休業することが雇用の継続のために特に必要と認められる場合として厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の26|第101条の26]]（法第61条の7第1項のその子が1歳6か月に達した日後の期間について休業することが雇用の継続のために特に必要と認められる場合として厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の27|第101条の27]]（同一の子について配偶者が休業をする場合の特例） :[[雇用保険法施行規則第101条の28|第101条の28]]（公務員である配偶者がする育児休業に関する規定の適用） :[[雇用保険法施行規則第101条の29|第101条の29]]（法第61条の7第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の29の2|第101条の29の2]]（法第61条の7第2項の厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の29の3|第101条の29の3]]（法第61条の7第4項の規定により読み替えて適用する同条第一項の理由及び日） :[[雇用保険法施行規則第101条の30|第101条の30]]（育児休業給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の31|第101条の31]]（法第61条の8第1項の休業） :[[雇用保険法施行規則第101条の32|第101条の32]]（法第61条の7第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の33|第101条の33]]（出生時育児休業給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の34|第101条の34]]（法第61条の10第1項の休業） :[[雇用保険法施行規則第101条の35|第101条の35]]（公務員である配偶者がする出生後休業に関する規定の適用） :[[雇用保険法施行規則第101条の36|第101条の36]]（法第61条の10第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の37|第101条の37]]（法第61条の10第2項第1号の厚生労働省令で定める者） :[[雇用保険法施行規則第101条の38|第101条の38]]（法第61条の10第2項第4号の厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の39|第101条の39]]（法第61条の10第3項第1号の厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の40|第101条の40]]（法第61条の10第3項第2号の厚生労働省令で定める場合） :[[雇用保険法施行規則第101条の41|第101条の41]]（法第61条の10第5項の規定により読み替えて適用する同条第一項の理由及び日） :[[雇用保険法施行規則第101条の42|第101条の42]]（出生後休業支援給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第101条の43|第101条の43]]（法第61条の12第1項の就業） :[[雇用保険法施行規則第101条の44|第101条の44]]（法第61条の12第1項の厚生労働省令で定める理由） :[[雇用保険法施行規則第101条の45|第101条の45]]（法第61条の12第2項の区分） :[[雇用保険法施行規則第101条の46|第101条の46]]（法第61条の12第4項の規定により読み替えて適用する同条第一項の理由及び日） :[[雇用保険法施行規則第101条の47|第101条の47]]（法第61条の12第6項第2号の厚生労働省令で定める率） :[[雇用保険法施行規則第101条の48|第101条の48]]（育児時短就業給付金の支給申請手続） :[[雇用保険法施行規則第102条|第102条]]（準用） ===<span id="4"/>第4章 雇用安定事業等 === ====<span id="4-1"/>第1節 雇用安定事業 （第102条の2～第120条の2）==== :[[雇用保険法施行規則第102条の2|第102条の2]]（法第62条第1項第1号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第102条の3|第102条の3]]（雇用調整助成金） :[[雇用保険法施行規則第102条の4|第102条の4]]（法第62条第1項第2号及び第3号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第102条の5|第102条の5]]（労働移動支援助成金） :[[雇用保険法施行規則第103条|第103条]]（法第62条第1項第3号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第104条|第104条]]（定年引上げ等奨励金） :<del>[[雇用保険法施行規則第105条|第105条]]</del>'''削除''' :<del>[[雇用保険法施行規則第106条|第106条]]</del>'''削除''' :<del>[[雇用保険法施行規則第107条|第107条]]</del>'''削除''' :<del>[[雇用保険法施行規則第108条|第108条]]</del>'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第109条|第109条]]（法第62条第1項第3号及び第5号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第110条|第110条]]（特定求職者雇用開発助成金） :<del>[[雇用保険法施行規則第110条の2|第110条の2]]（自立就業支援助成金）</del>'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第110条の3|第110条の3]]（トライアル雇用助成金） :[[雇用保険法施行規則第111条|第111条]]（法第62条第1項第4号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第112条|第112条]]（地域雇用開発助成金） :[[雇用保険法施行規則第113条|第113条]]（通年雇用奨励金） :[[雇用保険法施行規則第114条|第114条]]【通年雇用助成金の支給特例】 :[[雇用保険法施行規則第115条|第115条]]（法第62条第1項第5号の厚生労働省令で定める事業） :[[雇用保険法施行規則第116条|第116条]]（育児・介護雇用安定等助成金） :<del>[[雇用保険法施行規則第117条|第117条]]</del>'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第118条|第118条]]（人材確保等支援助成金） :[[雇用保険法施行規則第118条の2|第118条の2]]（短時間労働者均衡待遇推進等助成金） :[[雇用保険法施行規則第119条|第119条]]（調整） :[[雇用保険法施行規則第120条|第120条]]（国等に対する不支給） :[[雇用保険法施行規則第120条の2|第120条の2]]（労働保険料滞納事業主等に対する不支給） ====<span id="4-2"/>第2節 能力開発事業 （第121条～第139条の4）==== :[[雇用保険法施行規則第121条|第121条]]（法第63条第1項第1号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第122条|第122条]]（広域団体認定訓練助成金） :[[雇用保険法施行規則第123条|第123条]]（認定訓練助成事業費補助金） :[[雇用保険法施行規則第124条|第124条]]（法第63条第1項第1号 、第4号、第5号及び第7号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第125条|第125条]]（キャリア形成促進助成金） :[[雇用保険法施行規則第125条の2|第125条の2]]（法第63条第1項第1号及び第7号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第125条の3|第125条の3]]（職業能力開発推進者講習） :[[雇用保険法施行規則第126条|第126条]]（法第63条第1項第2号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第127条|第127条]]（公共職業能力開発施設の設置及び運営） :[[雇用保険法施行規則第128条|第128条]]（職業能力開発総合大学校の設置及び運営） :[[雇用保険法施行規則第129条|第129条]]（法第63条第1項第3号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第130条|第130条]]（職場適応訓練） :[[雇用保険法施行規則第131条|第131条]]（介護労働講習） :[[雇用保険法施行規則第132条|第132条]]（若年者の就職に必要な基礎的な能力を付与するための講習）'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第133条|第133条]]'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第134条|第134条]]（法第63条第1項第1号 、第6号及び第7号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第135条|第135条]]（中央職業能力開発協会費補助金） :[[雇用保険法施行規則第136条|第136条]]（都道府県職業能力開発協会費補助金） :[[雇用保険法施行規則第137条|第137条]]（法第63条第1項第6号に掲げる事業） :[[雇用保険法施行規則第137条の2|第137条の2]]（技能検定試験業務費補助金） :[[雇用保険法施行規則第138条|第138条]]（法第63条第1項第7号の厚生労働省令で定める事業） :[[雇用保険法施行規則第138条の2|第138条の2]]（人材確保等支援助成金） :[[雇用保険法施行規則第139条|第139条]]（育児・介護雇用安定等助成金）'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第139条の2|第139条の2]]（調整）'''削除''' :[[雇用保険法施行規則第139条の3|第139条の3]]（国等に対する不支給） :[[雇用保険法施行規則第139条の4|第139条の4]]（労働保険料滞納事業主等に対する不支給） ====<span id="4-3"/>第3節 地域雇用創造推進事業 （第140条）==== :[[雇用保険法施行規則第140条|第140条]]（地域雇用創造推進事業） ===<span id="5"/>第5章 雑則 （第141条～第149条）=== :[[雇用保険法施行規則第141条|第141条]]（事業所の設置等の届出） :[[雇用保険法施行規則第142条|第142条]]【事業所の変更等の届出】 :[[雇用保険法施行規則第143条|第143条]]（書類の保管義務） :[[雇用保険法施行規則第143条の2|第143条の2]]（報告等） :[[雇用保険法施行規則第144条|第144条]]（立入検査の為の証明書） :[[雇用保険法施行規則第145条|第145条]]（代理人） :[[雇用保険法施行規則第146条|第146条]]（フレキシブルディスクによる手続） :[[雇用保険法施行規則第147条|第147条]]（フレキシブルディスクの構造） :[[雇用保険法施行規則第148条|第148条]]（フレキシブルディスクの記録方式） :[[雇用保険法施行規則第149条|第149条]]（フレキシブルディスクにはり付ける書面） ==上位法令== *[[雇用保険法]] *[[雇用保険法施行令]] ==外部リンク== *[https://laws.e-gov.go.jp/law/350M50002000003 e-Gov法令検索] {{stub|law}} [[Category:コンメンタール|こようほけんほうしこうきそく こんめんたある]] [[Category:雇用保険法施行規則|*こんめんたあるこようほけんほうしこうきそく]] 4yqfgp7x2wt8nbrdbfw51gkerdir3kq 0 10830 302779 295302 2026-08-27T11:39:22Z Tomzo 248 /* 判例 */ 302779 wikitext text/x-wiki [[法学]]＞[[労働法]]＞[[個別的労働関係法]]＞[[労働基準法]] ==条文== （解雇の予告） ;第20条 　 #使用者は、労働者を解雇しようとする場合においては、少くとも30日前にその予告をしなければならない。30日前に予告をしない使用者は、30日分以上の[[平均賃金]]を支払わなければならない。但し、天災事変その他やむを得ない事由のために事業の継続が不可能となつた場合又は労働者の責に帰すべき事由に基いて解雇する場合においては、この限りでない。 #前項の予告の日数は、一日について平均賃金を支払つた場合においては、その日数を短縮することができる。 #[[労働基準法第19条|前条第2項]]の規定は、第1項但書の場合にこれを準用する。 == 解説 == 本条文は、[[民法第523条]]における「承諾の期間の定めのある申込み」に該当しており、「労働契約法の一部を改正する法律」が平成24年８月10日に公布された。それ以前の時代において、有期雇用形態の職業（例：港湾労働者、アルバイト、パート）などの雇用を保全するために生じた。 雇用において、使用者はある業務を労働者に対して指示する（つまり、労働者にその業務を行うことへの承諾を要求する）。その期間を30日と定めたのは、以下の理由に伴う。 #日々雇い入れられる者が、次の就業を得るための平均期間が30日程度だった（ただし、1960年の事）。 #雇用保険法において、失業認定を4週間毎に行わなればならないという規定による（つまり、予告解雇とは失業状態にあたる）。 #それまで30日を超えて雇用されなかった事によるペナルティ（労使によって、雇用保険に加入させる義務が生じる）。 ただし、全てを使用者の責任とできる場合は限られており、そのため例外事項が設けられた。 #天変地異（大規模地震、大規模噴火、大規模津波）などの災害は予見不可能であり、災害時において死亡した従業員を解雇することはやむをえない。 #風紀を乱す、社内・社外ルールを守らない（例：資格を必要とする業務だが、無資格で行う）、職務誠実違反などの要件に該当する場合には、やむを得ない（例：暴力団が、偽って会社に就職する）。 #業務を妨害して、会社に損害を与える。 などの要件に該当する場合には、予告解雇を適応せず、 #穏便な措置として平均賃金を支払い解雇する。 #契約の更新を行わない。 という規定である。 == 参照条文 == * [[労働基準法第22条]](退職時等の証明) * [[労働基準法第56条]]（最低年齢） * [[労働基準法第114条]]（付加金の支払） * [[労働基準法第119条]]　罰則 - 6箇月以下の拘禁刑（旧・懲役）又は30万円以下の罰金 * [[民法第627条]]（期間の定めのない雇用の解約の申入れ） == 判例 == # [https://www.courts.go.jp/hanrei/54823/detail2/index.html 棒給等請求](最高裁判決 昭和35年3月11日) [[労働基準法第114条]] ##'''労働基準法第20条に違反してなされた解雇の効力''' ##:使用者が労働基準法第20条所定の予告期間をおかず、また予告手当の支払をしないで労働者に解雇の通知をした場合、その通知は、即時解雇としては効力を生じないが、使用者が即時解雇を固執する趣旨でないかぎり、通知後同条所定の30日の期間を経過するか、または予告手当の支払をしたときに解雇の効力を生ずるものと解すべきである。 ##'''労働基準法第114条の附加金支払義務の性質''' ##:労働基準法第114条の附加金支払義務は、使用者が予告手当等を支払わない場合に当然に発生するものではなく、労働者の請求により裁判所がその支払を命ずることによつて、初めて発生するものであるから、使用者に労働基準法第20条の違反があつても、すでに予告手当に相当する金額の支払を完了し、使用者の義務違反の状況が消滅した後においては、労働者は、附加金請求の申立をすることができないものと解すべきである。 #[https://www.courts.go.jp/hanrei/57696/detail2/index.html 株式取引受理請求](最高裁判決 昭和36年5月25日) [[民法第643条]]，[[民法第651条]]1項 #;証券業者の外務員につき労働基準法第20条の適用がないとされた事例。 #:証券業者と外務員間の契約により、外務員は右業者の顧客から株式その他の有価証券の売買又はその委託の媒介、取次又はその代理の注文を受けた場合これを業者に通じて売買その他の有価証券取引を成立させるいわゆる外務行為に従事すべき義務を負担し、業者はこれに対する報酬として出来高に応じ賃金を支払うと共に外務員のした有価証券の売買委託を受理すべき義務を負担しておるときは、業者の右契約解除につき労働基準法第20条の適用はない。 # [https://www.courts.go.jp/hanrei/20022/detail2/index.html 京急横浜自動車懲戒解雇](東京高等裁判所判決 昭和44年12月24日)[[労働基準法第26条]] #*企業内の労働組合間の対立を原因として、一方の組合員を待機扱いとしていたところ、同組合員が減収に耐えられず他社で就労し、会社が就業規則違反として解雇をした事案。 #;会社に原因の一端がある待機期間中に他で就労したことのみをもって、就業規則違反として解雇することは解雇権の濫用に当たるか。 #:労働者の待機措置は緊急事態に対処するための応急手段であり、長期化させることは適切ではなく、会社が業務を維持するための措置を講じなかったことは失当であって、労働者がやむを得ず他で就労したとしても、就業規則が目的とする生産性の維持には影響を与えないことから、待期扱による不利益を緩和するためにした被控訴人らの前記所為を就業規則条項に該当するとしてこれを懲戒解雇したことは、徒らに同人らの非を責めるにのみ急なものであつて、酷に失するといわざるを得ない。従つて、被控訴人らに対する本件解雇は解雇権の濫用であつて無効であり、同人らは会社の従業員たる地位を有するものというべきである。 ---- {{前後 |[[労働基準法]] |[[労働基準法#第2章 労働契約 (第13条～第23条)|第2章 労働契約]] |[[労働基準法第19条]]<br />（解雇制限） |[[労働基準法第21条]]<br />【解雇の予告の適用除外】 }} {{stub|law}} [[category:労働基準法|020]] 1mrcktfq6vfzkw1p2bh2iivl8qsclua 0 12319 302771 302719 2026-08-27T03:45:36Z Kyoikukunren.jp 91270 302771 wikitext text/x-wiki ==条文== （法第60条の2第1項の厚生労働省令で定める場合） ;第101条の2の3 　 :[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第1項]]の厚生労働省令で定める場合は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]に規定する専門実践教育訓練を受けている場合であつて、当該専門実践教育訓練の受講状況が適切であると認められるときとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の2]]<br>（法第60条の2第1項の厚生労働大臣の指定の通知等） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の4]]<br>（法第60条の2第1項の厚生労働省令で定める証明） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の3]] ggxrdwgofpf77kmj3oyjq8nd807u6x7 0 12321 302770 295522 2026-08-27T03:43:19Z Kyoikukunren.jp 91270 302770 wikitext text/x-wiki ==条文== （教育訓練給付金） ;第60条の2 　 #教育訓練給付金は、次の各号のいずれかに該当する者（以下「教育訓練給付金支給対象者」という。）が、厚生労働省令で定めるところにより、雇用の安定及び就職の促進を図るために必要な職業に関する教育訓練として厚生労働大臣が指定する教育訓練を受け、当該教育訓練を修了した場合（当該教育訓練を受けている場合であつて厚生労働省令で定める場合を含み、当該教育訓練に係る指定教育訓練実施者により厚生労働省令で定める証明がされた場合に限る。）において、支給要件期間が3年以上であるときに、支給する。 ##当該教育訓練を開始した日（以下この条において「基準日」という。）に一般被保険者（被保険者のうち、高年齢被保険者、短期雇用特例被保険者及び日雇労働被保険者以外の者をいう。以下同じ。）又は高年齢被保険者である者 ##前号に掲げる者以外の者であつて、基準日が当該基準日の直前の一般被保険者又は高年齢被保険者でなくなつた日から厚生労働省令で定める期間内にあるもの #前項の支給要件期間は、教育訓練給付金支給対象者が基準日までの間に同一の事業主の適用事業に引き続いて被保険者として雇用された期間（当該雇用された期間に係る被保険者となつた日前に被保険者であつたことがある者については、当該雇用された期間と当該被保険者であつた期間を通算した期間）とする。ただし、当該期間に次の各号に掲げる期間が含まれているときは、当該各号に掲げる期間に該当する全ての期間を除いて算定した期間とする。 ##当該雇用された期間又は当該被保険者であつた期間に係る被保険者となつた日の直前の被保険者でなくなつた日が当該被保険者となつた日前1年の期間内にないときは、当該直前の被保険者でなくなつた日前の被保険者であつた期間 ##当該基準日前に教育訓練給付金の支給を受けたことがあるときは、当該給付金に係る基準日前の被保険者であつた期間 #[[雇用保険法第22条|第22条第4項の規定]]は、前項の支給要件期間の算定について準用する。 #教育訓練給付金の額は、教育訓練給付金支給対象者が第1項に規定する教育訓練の受講のために支払つた費用（厚生労働省令で定める範囲内のものに限る。）の額（当該教育訓練の受講のために支払つた費用の額であることについて当該教育訓練に係る指定教育訓練実施者により証明がされたものに限る。）に100分の20以上100分の80以下の範囲内において厚生労働省令で定める率を乗じて得た額（その額が厚生労働省令で定める額を超えるときは、その定める額）とする。 #第1項及び前項の規定にかかわらず、同項の規定により教育訓練給付金の額として算定された額が厚生労働省令で定める額を超えないとき、又は教育訓練給付金支給対象者が基準日前厚生労働省令で定める期間内に教育訓練給付金の支給を受けたことがあるときは、教育訓練給付金は、支給しない。 ==解説== ==参照条文== *第22条(所定給付日数) *[[雇用保険法第10条の4]]（返還命令等） *[[雇用保険法施行規則第101条の2の2]] ==判例== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法#3-5の2|第5節の2 教育訓練給付]] |[[雇用保険法第60条]]<br>(給付制限) |[[雇用保険法第60条の3]]<br>(教育訓練休暇給付金) }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|60の2]] 451lrphvge53tcecxrhvpvlkcjuysae 0 12326 302741 285312 2026-08-26T22:09:37Z Kyoikukunren.jp 91270 302741 wikitext text/x-wiki ==条文== （法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める額） ;第101条の2の8 　 #[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第4項]]の厚生労働省令で定める額は、次の各号に掲げる者の区分に応じ、それぞれ当該各号に定める額とする。 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第1号]]に掲げる者　10万円 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第2号]]に掲げる者　20万円 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第3号]]に掲げる者　25万円 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第4号]]に掲げる者　120万円（連続した2支給単位期間（[[雇用保険法施行規則第101条の2の13|第101条の2の13第4項]]に規定する支給単位期間をいう。以下この条において同じ。）（当該専門実践教育訓練を修了した日が属する場合であつて、支給単位期間が連続して2ないときは1支給単位期間）ごとに支給する額は、40万円を限度とし、1の支給限度期間ごとに支給する額は、192万円を限度とする。） ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第5号]]に掲げる者　168万円（連続した2支給単位期間（当該専門実践教育訓練を修了した日が属する場合であつて、支給単位期間が連続して2ないときは1支給単位期間）ごとに支給する額は、56万円を限度とし、1の支給限度期間ごとに支給する額は、192万円を限度とする。） ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|前条第6号]]に掲げる者　192万円（連続した2支給単位期間（当該専門実践教育訓練を修了した日が属する場合であつて、支給単位期間が連続して2ないときは1支給単位期間）ごとに支給する額は、64万円を限度とし、1の支給限度期間ごとに支給する額は、192万円を限度とする。） #前項の支給限度期間とは、基準日から10年を経過する日までの1の期間をいう。ただし、当該基準日に係る1の支給限度期間内に他の基準日（以下この項において「2回目以降基準日」という。）がある場合における当該2回目以降基準日から10年を経過する日までの1の期間を除く。 #専門実践教育訓練のうち[[栄養士法第5条の3|栄養士法（昭和22年法律第245号）第5条の3第4号]]に規定する管理栄養士養成施設により行われる教育訓練その他の法令の規定により4年の修業年限が規定されている教育訓練（以下この条において「長期専門実践教育訓練」という。）を受講している者であつて、次の各号のいずれにも該当するものについての第1項第4号から第6号までの規定の適用については、同項第4号中「120万円」とあるのは「160万円」と、「192万円」とあるのは「256万円」と、同項第5号中「168万円」とあるのは「224万円」と、「192万円」とあるのは「256万円」と、同項第6号中「192万円」とあるのは「256万円」とする。 ##当該長期専門実践教育訓練の基準日から起算して3年が経過していること。 ##当該長期専門実践教育訓練の基準日が、前項に規定する支給限度期間の初日であること。 ##当該長期専門実践教育訓練の基準日から起算して30箇月を経過する日の属する支給単位期間における賃金の日額が、[[雇用保険法第16条|法第16条第1項]]の規定による基本手当の日額の算定に当たつて100分の50（[[雇用保険法第16条|同条第2項]]により読み替えて適用する場合にあつては、100分の45）を乗ずることとされている賃金日額の額のうち最も低額なもの未満であること。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7]]<br>（法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める率） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の9|第101条の2の9]]<br>（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める額） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の8]] osi04wapnu1rtnl4x4g33k6ihhm8wmu 0 12327 302767 285818 2026-08-27T03:28:36Z Kyoikukunren.jp 91270 302767 wikitext text/x-wiki ==条文== （法第61条第1項の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の3 　 :[[雇用保険法第61条|法第61条]]第1項の厚生労働省令で定める理由は、次のとおりとする。 :#非行 :#疾病又は負傷 :#事業所の休業 :#前各号に掲げる理由に準ずる理由であつて、公共職業安定所長が定めるもの ==解説== ==参照条文== *法第61条(高年齢雇用継続基本給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-7|第7節 雇用継続給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-7-1|第1款 高年齢雇用継続給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の30|第101条の2の30]]<br>（法第60条の4第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） |[[雇用保険法施行規則第101条の4|第101条の4]]<br>（法第61条第5項第2号の厚生労働省令で定める率） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の03]] 7ot50vbhc9qdjk9p5shnlxoq8ixq3gf 0 14995 302738 276279 2026-08-26T17:28:44Z Tomzo 248 302738 wikitext text/x-wiki === 目次 === *[[Python/プログラマのように考えるには/プログラミングのやり方|プログラミングのやり方]] {{stub|IT}} [[Category:Python|ふろくらまのようにかんかえるには]] [[category:分岐ページ|Python/ふろくらまのようにかんかえるには]] 4emz3s5h8e0x5w8ilqh3mku7wfj1moq 0 17396 302736 96066 2026-08-26T17:23:15Z Tomzo 248 302736 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[/Creating a simple model/]] - オブジェクトの生成 [[/Opening an existing example model/]] - exampleの実行 [[/Positioning an object/]] - オブジェクトの移動: [[/Changing the colour of an object/]] - 色の変更 [[/Model views/]] [[Category:OpenSCAD|First Steps]] [[Category:分岐ページ]] las89metyf8wna76ptrkwgv615klb0o 302737 302736 2026-08-26T17:25:14Z Tomzo 248 302737 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ [[/Creating a simple model/]] - オブジェクトの生成 [[/Opening an existing example model/]] - exampleの実行 [[/Positioning an object/]] - オブジェクトの移動: [[/Changing the colour of an object/]] - 色の変更 [[/Model views/]] {{stub|IT}}<!-- 分岐ページではあるものの、分岐先の概要程度は添えた方が良いのでは？ --> [[Category:OpenSCAD|First Steps]] [[Category:分岐ページ]] gq40kaqyzvpwclkjqo0ycyjj3aafc0g 0 19424 302739 242697 2026-08-26T17:33:25Z Tomzo 248 302739 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[中学校の学習]]>[[中学校保健体育]]>私達の体のつくり {{stub|中}} == 骨格 == [[File:中学校保健体育用の骨格.png|600px|]] == 内臓 == == 筋肉 == [[File:中学校保健 筋肉.png|600px|]] [[カテゴリ:中学校保健体育]] n8y3cu3mqajhfrucax3fw1ex035ngtg 0 25286 302784 176851 2026-08-27T11:52:22Z Tomzo 248 302784 wikitext text/x-wiki この本は、プログラミング言語としてC#を用いたOpenGL 3DCGプログラミングの入門者向けの本です。 # [[/MonoDevelopをインストールする/]] # [[/プロジェクトを作成する/]] # [[/立方体を表示する/]] {{stub}} [[カテゴリ:CSharpで始めるOpenGLプログラミング|*]] [[Category:分岐ページ]] 1dnrtbjlwbr27t5fghk0kgbq8ao13kt 0 29972 302782 170727 2026-08-27T11:49:57Z Tomzo 248 302782 wikitext text/x-wiki ※日本の中国地方の地誌。中華人民共和国の地誌は[[アジア地誌/中国 自然・文化]]、[[アジア地誌/中国 政治・産業]] #[[/中国総論]] #[[/鳥取県]] #[[/島根県]] #[[/岡山県]] #[[/広島県]] #[[/山口県]] {{DEFAULTSORT:ちゆうこくちし}} [[Category:地理学]] [[Category:分岐ページ]] pyrbzhop4qfa755t76cf3rzqkcbmefm 0 33451 302740 276283 2026-08-26T20:17:13Z Tomzo 248 302740 wikitext text/x-wiki __EXPECTSHORTPAGE__ {{wikipedia}} この教科書では、様々な交通機関について、地理学の観点から解説していきます。 *[[/鉄道]] *[[/航空]] *[[/海運]] *[[/道路交通]] {{DEFAULTSORT:こうつうちりかく}} {{stub}}<!-- 交通地理学の概説・創設等は必要に思われます。 --> [[カテゴリ:地理学]] [[カテゴリ:交通|ちり]] [[Category:分岐ページ]] mxraluw9uut5pgz2x3qy9m5qr1xplx4 4 35248 302751 302486 2026-08-27T01:07:50Z Alexis Jazz 56315 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 302751 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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[[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 '''直交条件の定理''' <math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 '''平行条件の定理''' <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として <math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{v}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h \circ g)_i (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{X}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。 ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}=(1,2,3), \boldsymbol{g}=(3, 4, 5)</math>について :<math>\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}=(1, 2, 3)+(3, 4, 5)=(1+3, 2+4, 3+5)=(4, 6, 8)</math>である。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上のベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>z=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{X}</math>の'''流線'''（streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式<math>\frac{dx_1}{X_{x_1}}=\frac{dx_2}{X_{x_2}}=\cdots=\frac{dx_n}{X_{x_n}}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 ==三次元ユークリッド空間== xyz空間上のスカラー場を<math>F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>、ベクトル場を<math>\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>とする。また、<math>\boldsymbol{X}</math>のx, y, z成分をそれぞれ<math>X_x, X_y, X_z</math>と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。 ===偏微分=== 三変数関数<math>f(x, y, z)</math>の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}</math> 偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。 つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。 記号「<math>\partial</math>」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。 着目する変数以外を明示したい場合は、<math>\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}</math>などの記法が用いられる。 偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。 例えば、<math>\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y</math>である。 偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> を<math>f(x, y, z)</math>の'''（完）全微分'''（total derivative）という。 全微分は、関数<math>f(x, y, z)</math>を<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z</math>だけ変化させたときの関数全体の変化量<math>\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)</math>の<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0</math>とした三重極限に等しい。 つまり、 :<math>f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> が成り立つ。 これを形式的に変形すると、 :<math>\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}</math> となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。 <math>\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}</math>としたとき、 :<math>\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\boldsymbol{f}</math>の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。 これを用いると、3次元ベクトル関数<math>\boldsymbol{f} (x, y, z)</math>の全微分は以下のように求められる。 :<math>d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0) d\boldsymbol{v}</math> ただし、<math>d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math>である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。 ===線積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲線<math>C</math>を描いているとする。 <math>C</math>上の点<math>A</math>から点<math>B</math>まで、<math>C</math>に沿って積分することを考える。 経路<math>A \to B</math>を微小線分<math>\text{∆} l</math>に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。 :<math>\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l</math> このとき、経路<math>A \to B</math>を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。 なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲線<math>C</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>とし、初期条件を<math>\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}</math>とする。 このとき、閉区間<math>[a, b]</math>を長さ<math>\text{∆} t = \frac{b-a}{n}</math>の<math>n</math>個の小区間<math>[t_{n-1}, t_n]</math>に分割し、<math>C</math>上に標本点<math>\boldsymbol{p}(t_i)</math>をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを<math>\text{∆} s_i</math>とおけば、<math>F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i</math>の総和はリーマン和である。 <math>\text{∆} t \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt</math> よりこのリーマン和の極限は収束し、 :<math>\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i)) \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math>// ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。 <math>\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]</math>という変数変換を考えると、<br>恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>のとき :<math>\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math> となり、一致する。 「恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>」は「<math>t, u</math>それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。 そこで、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math>を更に（形式的に）変形する。 :<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt</math> :<math>= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt</math> :<math>= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}</math> :<math>=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math> 最後の式を<math>dl</math>で置くと、<math>dl = \| d\boldsymbol{p} \|</math>が形式的に成り立つ。 この<math>dl</math>を'''線素'''（line element）と呼ぶ。 線素を用いることで、曲線<math>C</math>（の一部）を積分経路とするスカラー場<math>F</math>の線積分は以下のように略記される。 :<math>\int_C F dl</math> 特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい :<math>\oint_C F dl</math> と表す。 線積分<math>\int_C dl</math>は<math>C</math>の長さに等しい。 :<math>\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math> :<math>=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt</math> これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。 <math>C</math>を<math>C</math>上任意点からの符号付き距離<math>s</math>（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ<math>s=\alpha, \beta</math>の場合とする。 すなわち、<math>\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}</math>と表示する。 このとき定義から<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds</math>なので、両辺を<math>s</math>で微分すると微分積分学の基本定理より :<math>1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|</math> が恒等的に成り立つ。 これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。 よって、 :<math>\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds</math> である。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt</math> ここで<math>d\boldsymbol{l}</math>は'''線素ベクトル'''であり、 :<math>d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z</math> と定義される。 そのため、この線積分は :<math>\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz</math> とも書かれる。 線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。 <math>C</math>を弧長パラメータ<math>s</math>で媒介変数表示すると、 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds</math> ここで<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1</math>より、内積 <math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}</math>は<math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))</math>を<math>\boldsymbol{q}(s)</math>方向に射影したものである。 すなわち、線積分はベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>の<math>C</math>の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。 なお、スカラー場の線積分に登場した線素<math>dl</math>は、線素ベクトルの大きさ<math>\| d\boldsymbol{l} \|</math>に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。 位置ベクトルを<math>\boldsymbol{r}(x, y, z)</math>とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 <math>C</math>の単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおくと、先ほどの議論より<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}</math>であり、直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0</math>、則ち<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}</math>である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると<math>\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n</math>、則ち<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。 主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|</math>を<math>C</math>の'''曲率'''、<math>\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}</math>を<math>C</math>の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。 例えば、円<math>x^2+y^2=r^2</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{r}</math> :<math>\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}</math> :<math>\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0</math>// 曲率・捩率を用いることで、<math>\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}</math>のs-方向微分を求めることができる。 '''フレネ=セレーの公式''' <math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> 全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は<math>\infty</math>次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。 また、曲線は<math>(\kappa, \tau)</math>の値と初期条件のみで定まるので、<math>(\kappa, \tau)</math>の定める曲線族を<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として一般に<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ===面積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲面<math>S</math>を描いているとする。 <math>S</math>に沿って積分することを考える。 領域<math>S</math>を微小領域に分割した表面積を<math>\text{∆} S_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。 :<math>\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i</math> 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲面<math>S</math>の滑らかな媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}</math>とする。 ここで、パラメータベクトル<math>\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}</math>が属する領域<math>T (\subset \mathbb{R}^2)</math>を微小矩形領域<math>\text{∆} T_i</math>に分割する。このとき、各iについて<math>\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]</math>であり、各<math>\text{∆} T_i</math>に対応する曲面上の領域を<math>\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)</math>とする。 このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。 すなわち、<math>\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0</math>のとき :<math>\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i</math> である。 このリーマン和の二重極限は収束し、 :<math>\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}</math> :<math>=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt</math>// すなわち、面積分は二重積分に帰着される。 面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。 証明は恒等条件<math>\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}>0</math>を用いて線積分と同様に行われる。 そこで、<math>F</math>の<math>S</math>上での面積分を以下のように略記する。 :<math>\iint_S F dS</math> 1の面積分を考えると、 :<math>\iint_S dS</math> は曲面<math>S</math>の表面積に等しいことが知られている。 そのため、<math>dS</math>を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。 <math>S</math>が閉曲面のときは :<math>\oiint_S F dS</math> とも書く。 例えば、関数<math>z=f(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>上に描く曲面の表面積は、<math>\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>として :<math>\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy</math> :<math>=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy</math> :<math>=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy</math> と求められる。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt</math> :<math>=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt</math>（<math>\because</math>ベクトル三重積の性質） ここで<math>d\vec{S}</math>は面素ベクトルであり、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS</math> と定義される。 <math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面<math>S</math>と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。 <math>\boldsymbol{n}</math>は、x, y, z軸それぞれとなす角度を<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> と表せる。 敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。 ===体積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に立体領域<math>V</math>を描いているとする。 <math>V</math>に沿って積分することを考える。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\text{∆} V_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。 :<math>\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i</math> 体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。 そのため、以下のように考える。 微小立体の体積<math>dV</math>は、各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。 よって、<math>dV = dxdydz</math>。この<math>dV</math>を'''体（積）素'''（volume element）という。 つまり、体積分は<math>V</math>についての三重積分 :<math>\iiint_V f(x,y,z) dxdydz</math> に等しい。 <math>V</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}</math>とすると、スカラー場の<math>V</math>に関する体積分は :<math>\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu</math> で表される。 積分領域<math>V</math>が閉立体であるときは :<math>\oiiint_V F dV</math> とも書く。 また、ベクトル場 の<math>V</math>に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル :<math>\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}</math> で表される。 ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。 :θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。 :z曲線：z軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>P(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\vec{OP}</math>のz軸への正射影ベクトルを<math>\vec{OH}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>P</math>からxy平面に下した垂線の足<math>Q</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>P(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle OHP</math>について<math>\angle HOP=\theta</math>なので、<math>z=\overline{OH}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle OPQ</math>について<math>\angle OPQ=\theta</math>なので、<math>\overline{OQ}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :r曲線：原点を通る半直線。 :θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。 :φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。 ===勾配=== スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> 勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 <math>F</math>に一変数<math>f(x) ,g(y), h(z)</math>をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''<!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 -->）<math>\nabla</math>を以下のように定義する。 :<math>\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\text{∆}</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \nabla F</math> <math>F</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla F</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>E</math>は :<math>E:=-\mathrm{grad} \, \phi</math> スカラー場の全微分は :<math>dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz</math> で定義された。 これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は :<math>dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> である。 すなわち、スカラー場の全微分は :<math>dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>で表されるとすると、<math>\boldsymbol{n}</math>方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}</math> で定義された。 ここでn次行列 <math>\mathbf{A}</math>とn項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。 例えば、 :<math>\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}</math> である。 これは<math>\boldsymbol{r}</math>の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。 ===発散=== ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}</math> 発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。 発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。<math>\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}</math>より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}</math> 発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\boldsymbol{E}</math>、空間の誘電率<math>\varepsilon</math>とすると :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math> 極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 ベクトル場の存在する3次元領域内に体積<math>\text{∆} v</math>の閉曲面をとる。 閉曲面の有向微小表面積を<math>d\vec{S}</math>とするとき、この微小面を通過する指力線の量は :<math>\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math>（<math>\boldsymbol{X}_n</math>は法線成分） である。 この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分 :<math>\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> で与えられる。 発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。 :<math>\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> 発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math> ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 z軸方向の成分について考える。 z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。 回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>S</math>は<math>\boldsymbol{n}</math>を単位法線ベクトルとし点<math>l(\vec{l})</math>を含む微小有向面、<math>\partial{S}</math>はその境界となる微小閉曲線、<math>|S|</math>は<math>S</math>の表面積。 定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。<math>C</math>を積分経路とする。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)</math> :<math>=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>// 回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}</math> と表されることが判る。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x & X_y & X_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されている。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。 :<math>\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>C</math>は閉曲面<math>S</math>の境界曲線。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 :<math>\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}</math> 第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に<math>\nabla^2</math>と書かれる。 スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。 :<math>\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}</math> ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。 :<math>\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)</math> スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}</math> ベクトル場では以下の等式が成り立つ。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math> 回転が<math>\boldsymbol{0}</math>ならば<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})</math>であり、形式的に<math>(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2</math>が成り立つ。 ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。 ベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>にスカラー関数<math>\phi</math>を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。 :<math>\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}</math> ここで、<math>\boldsymbol{X}</math>をスカラー関数<math>\psi</math>の勾配<math>\mathrm{grad} \, \psi</math>と見做すと、 :<math>\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)</math> 空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、 :<math>\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi</math> 両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、 :<math>\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV</math> Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、 :<math>\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。 グリーンの第一定理に於いて、<math>\phi</math>と<math>\psi</math>を入れ替えた式は :<math>\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV</math> 元の式との差をとると :<math>\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。 <math>S</math>の単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>、その方向の軸を<math>n</math>とすると、 :<math>(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS</math> グリーンの第二定理の左辺を書き換えて :<math>\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。 ===積分定理=== {{節stub}} この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。 *ガウスの発散定理の証明 *ストークスの定理の証明 *グリーンの定理の証明 ;補足事項 一般に<math>\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0</math>が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。 <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{x}</math>を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f</math>となるスカラー場<math>f</math>が存在する。この<math>f</math>を、<math>\boldsymbol{x}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。 <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0</math>を満たすスカラー場<math>\boldsymbol{y}</math>を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}</math>となるベクトル場<math>\boldsymbol{g}</math>が存在する。この<math>\boldsymbol{g}</math>を、<math>\boldsymbol{y}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。 スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>では一般に成り立つ。 ;演習問題 #<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}</math>の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、 #<math>\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz</math>を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。 #<math>\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}</math>を示せ。 #<math>\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0</math>を証明せよ。 #<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math>を確かめよ。 #線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。 #極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。 #層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。 #<math>\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}</math>とする。円筒側面<math>x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2</math>上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。 ==複素ベクトル解析== [[複素解析学]]も参照。 {{節stub}} ==n次元== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ===体積分=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>M^1</math>、面積分を<math>M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== ===勾配・発散=== {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] o0pgnkmjeo56cwrootadl0o8q6bywxf 302732 302731 2026-08-26T12:12:49Z ~2026-45891-98 92335 /* ベクトル関数 */ 302732 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]及び[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 '''直交条件の定理''' <math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 '''平行条件の定理''' <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として <math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{v}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h \circ g)_i (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{X}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。 ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}=(1,2,3), \boldsymbol{g}=(3, 4, 5)</math>について :<math>\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}=(1, 2, 3)+(3, 4, 5)=(1+3, 2+4, 3+5)=(4, 6, 8)</math>である。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上のベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>z=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{X}</math>の'''流線'''（streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式<math>\frac{dx_1}{X_{x_1}}=\frac{dx_2}{X_{x_2}}=\cdots=\frac{dx_n}{X_{x_n}}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 ==三次元ユークリッド空間== xyz空間上のスカラー場を<math>F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>、ベクトル場を<math>\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>とする。また、<math>\boldsymbol{X}</math>のx, y, z成分をそれぞれ<math>X_x, X_y, X_z</math>と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。 ===偏微分=== 三変数関数<math>f(x, y, z)</math>の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}</math> 偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。 つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。 記号「<math>\partial</math>」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。 着目する変数以外を明示したい場合は、<math>\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}</math>などの記法が用いられる。 偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。 例えば、<math>\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y</math>である。 偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> を<math>f(x, y, z)</math>の'''（完）全微分'''（total derivative）という。 全微分は、関数<math>f(x, y, z)</math>を<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z</math>だけ変化させたときの関数全体の変化量<math>\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)</math>の<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0</math>とした三重極限に等しい。 つまり、 :<math>f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> が成り立つ。 これを形式的に変形すると、 :<math>\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}</math> となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。 <math>\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}</math>としたとき、 :<math>\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\boldsymbol{f}</math>の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。 これを用いると、3次元ベクトル関数<math>\boldsymbol{f} (x, y, z)</math>の全微分は以下のように求められる。 :<math>d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0) d\boldsymbol{v}</math> ただし、<math>d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math>である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。 ===線積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲線<math>C</math>を描いているとする。 <math>C</math>上の点<math>A</math>から点<math>B</math>まで、<math>C</math>に沿って積分することを考える。 経路<math>A \to B</math>を微小線分<math>\text{∆} l</math>に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。 :<math>\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l</math> このとき、経路<math>A \to B</math>を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。 なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲線<math>C</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>とし、初期条件を<math>\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}</math>とする。 このとき、閉区間<math>[a, b]</math>を長さ<math>\text{∆} t = \frac{b-a}{n}</math>の<math>n</math>個の小区間<math>[t_{n-1}, t_n]</math>に分割し、<math>C</math>上に標本点<math>\boldsymbol{p}(t_i)</math>をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを<math>\text{∆} s_i</math>とおけば、<math>F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i</math>の総和はリーマン和である。 <math>\text{∆} t \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt</math> よりこのリーマン和の極限は収束し、 :<math>\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i)) \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math>// ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。 <math>\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]</math>という変数変換を考えると、<br>恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>のとき :<math>\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math> となり、一致する。 「恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>」は「<math>t, u</math>それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。 そこで、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math>を更に（形式的に）変形する。 :<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt</math> :<math>= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt</math> :<math>= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}</math> :<math>=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math> 最後の式を<math>dl</math>で置くと、<math>dl = \| d\boldsymbol{p} \|</math>が形式的に成り立つ。 この<math>dl</math>を'''線素'''（line element）と呼ぶ。 線素を用いることで、曲線<math>C</math>（の一部）を積分経路とするスカラー場<math>F</math>の線積分は以下のように略記される。 :<math>\int_C F dl</math> 特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい :<math>\oint_C F dl</math> と表す。 線積分<math>\int_C dl</math>は<math>C</math>の長さに等しい。 :<math>\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math> :<math>=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt</math> これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。 <math>C</math>を<math>C</math>上任意点からの符号付き距離<math>s</math>（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ<math>s=\alpha, \beta</math>の場合とする。 すなわち、<math>\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}</math>と表示する。 このとき定義から<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds</math>なので、両辺を<math>s</math>で微分すると微分積分学の基本定理より :<math>1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|</math> が恒等的に成り立つ。 これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。 よって、 :<math>\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds</math> である。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt</math> ここで<math>d\boldsymbol{l}</math>は'''線素ベクトル'''であり、 :<math>d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z</math> と定義される。 そのため、この線積分は :<math>\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz</math> とも書かれる。 線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。 <math>C</math>を弧長パラメータ<math>s</math>で媒介変数表示すると、 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds</math> ここで<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1</math>より、内積 <math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}</math>は<math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))</math>を<math>\boldsymbol{q}(s)</math>方向に射影したものである。 すなわち、線積分はベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>の<math>C</math>の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。 なお、スカラー場の線積分に登場した線素<math>dl</math>は、線素ベクトルの大きさ<math>\| d\boldsymbol{l} \|</math>に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。 位置ベクトルを<math>\boldsymbol{r}(x, y, z)</math>とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 <math>C</math>の単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおくと、先ほどの議論より<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}</math>であり、直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0</math>、則ち<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}</math>である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると<math>\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n</math>、則ち<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。 主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|</math>を<math>C</math>の'''曲率'''、<math>\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}</math>を<math>C</math>の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。 例えば、円<math>x^2+y^2=r^2</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{r}</math> :<math>\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}</math> :<math>\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0</math>// 曲率・捩率を用いることで、<math>\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}</math>のs-方向微分を求めることができる。 '''フレネ=セレーの公式''' <math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> 全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は<math>\infty</math>次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。 また、曲線は<math>(\kappa, \tau)</math>の値と初期条件のみで定まるので、<math>(\kappa, \tau)</math>の定める曲線族を<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として一般に<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ===面積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲面<math>S</math>を描いているとする。 <math>S</math>に沿って積分することを考える。 領域<math>S</math>を微小領域に分割した表面積を<math>\text{∆} S_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。 :<math>\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i</math> 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲面<math>S</math>の滑らかな媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}</math>とする。 ここで、パラメータベクトル<math>\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}</math>が属する領域<math>T (\subset \mathbb{R}^2)</math>を微小矩形領域<math>\text{∆} T_i</math>に分割する。このとき、各iについて<math>\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]</math>であり、各<math>\text{∆} T_i</math>に対応する曲面上の領域を<math>\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)</math>とする。 このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。 すなわち、<math>\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0</math>のとき :<math>\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i</math> である。 このリーマン和の二重極限は収束し、 :<math>\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}</math> :<math>=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt</math>// すなわち、面積分は二重積分に帰着される。 面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。 証明は恒等条件<math>\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}>0</math>を用いて線積分と同様に行われる。 そこで、<math>F</math>の<math>S</math>上での面積分を以下のように略記する。 :<math>\iint_S F dS</math> 1の面積分を考えると、 :<math>\iint_S dS</math> は曲面<math>S</math>の表面積に等しいことが知られている。 そのため、<math>dS</math>を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。 <math>S</math>が閉曲面のときは :<math>\oiint_S F dS</math> とも書く。 例えば、関数<math>z=f(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>上に描く曲面の表面積は、<math>\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>として :<math>\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy</math> :<math>=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy</math> :<math>=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy</math> と求められる。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt</math> :<math>=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt</math>（<math>\because</math>ベクトル三重積の性質） ここで<math>d\vec{S}</math>は面素ベクトルであり、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS</math> と定義される。 <math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面<math>S</math>と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。 <math>\boldsymbol{n}</math>は、x, y, z軸それぞれとなす角度を<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> と表せる。 敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。 ===体積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に立体領域<math>V</math>を描いているとする。 <math>V</math>に沿って積分することを考える。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\text{∆} V_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。 :<math>\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i</math> 体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。 そのため、以下のように考える。 微小立体の体積<math>dV</math>は、各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。 よって、<math>dV = dxdydz</math>。この<math>dV</math>を'''体（積）素'''（volume element）という。 つまり、体積分は<math>V</math>についての三重積分 :<math>\iiint_V f(x,y,z) dxdydz</math> に等しい。 <math>V</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}</math>とすると、スカラー場の<math>V</math>に関する体積分は :<math>\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu</math> で表される。 積分領域<math>V</math>が閉立体であるときは :<math>\oiiint_V F dV</math> とも書く。 また、ベクトル場 の<math>V</math>に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル :<math>\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}</math> で表される。 ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。 :θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。 :z曲線：z軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>P(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\vec{OP}</math>のz軸への正射影ベクトルを<math>\vec{OH}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>P</math>からxy平面に下した垂線の足<math>Q</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>P(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle OHP</math>について<math>\angle HOP=\theta</math>なので、<math>z=\overline{OH}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle OPQ</math>について<math>\angle OPQ=\theta</math>なので、<math>\overline{OQ}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :r曲線：原点を通る半直線。 :θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。 :φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。 ===勾配=== スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> 勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 <math>F</math>に一変数<math>f(x) ,g(y), h(z)</math>をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''<!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 -->）<math>\nabla</math>を以下のように定義する。 :<math>\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\text{∆}</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \nabla F</math> <math>F</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla F</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>E</math>は :<math>E:=-\mathrm{grad} \, \phi</math> スカラー場の全微分は :<math>dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz</math> で定義された。 これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は :<math>dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> である。 すなわち、スカラー場の全微分は :<math>dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>で表されるとすると、<math>\boldsymbol{n}</math>方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}</math> で定義された。 ここでn次行列 <math>\mathbf{A}</math>とn項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。 例えば、 :<math>\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}</math> である。 これは<math>\boldsymbol{r}</math>の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。 ===発散=== ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}</math> 発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。 発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。<math>\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}</math>より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}</math> 発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\boldsymbol{E}</math>、空間の誘電率<math>\varepsilon</math>とすると :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math> 極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 ベクトル場の存在する3次元領域内に体積<math>\text{∆} v</math>の閉曲面をとる。 閉曲面の有向微小表面積を<math>d\vec{S}</math>とするとき、この微小面を通過する指力線の量は :<math>\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math>（<math>\boldsymbol{X}_n</math>は法線成分） である。 この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分 :<math>\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> で与えられる。 発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。 :<math>\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> 発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math> ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 z軸方向の成分について考える。 z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。 回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>S</math>は<math>\boldsymbol{n}</math>を単位法線ベクトルとし点<math>l(\vec{l})</math>を含む微小有向面、<math>\partial{S}</math>はその境界となる微小閉曲線、<math>|S|</math>は<math>S</math>の表面積。 定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。<math>C</math>を積分経路とする。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)</math> :<math>=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>// 回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}</math> と表されることが判る。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x & X_y & X_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されている。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。 :<math>\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>C</math>は閉曲面<math>S</math>の境界曲線。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 :<math>\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}</math> 第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に<math>\nabla^2</math>と書かれる。 スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。 :<math>\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}</math> ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。 :<math>\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)</math> スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}</math> ベクトル場では以下の等式が成り立つ。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math> 回転が<math>\boldsymbol{0}</math>ならば<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})</math>であり、形式的に<math>(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2</math>が成り立つ。 ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。 ベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>にスカラー関数<math>\phi</math>を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。 :<math>\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}</math> ここで、<math>\boldsymbol{X}</math>をスカラー関数<math>\psi</math>の勾配<math>\mathrm{grad} \, \psi</math>と見做すと、 :<math>\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)</math> 空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、 :<math>\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi</math> 両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、 :<math>\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV</math> Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、 :<math>\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。 グリーンの第一定理に於いて、<math>\phi</math>と<math>\psi</math>を入れ替えた式は :<math>\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV</math> 元の式との差をとると :<math>\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。 <math>S</math>の単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>、その方向の軸を<math>n</math>とすると、 :<math>(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS</math> グリーンの第二定理の左辺を書き換えて :<math>\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。 ===積分定理=== {{節stub}} この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。 *ガウスの発散定理の証明 *ストークスの定理の証明 *グリーンの定理の証明 ;補足事項 一般に<math>\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0</math>が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。 <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{x}</math>を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f</math>となるスカラー場<math>f</math>が存在する。この<math>f</math>を、<math>\boldsymbol{x}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。 <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0</math>を満たすスカラー場<math>\boldsymbol{y}</math>を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}</math>となるベクトル場<math>\boldsymbol{g}</math>が存在する。この<math>\boldsymbol{g}</math>を、<math>\boldsymbol{y}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。 スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>では一般に成り立つ。 ;演習問題 #<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}</math>の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、 #<math>\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz</math>を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。 #<math>\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}</math>を示せ。 #<math>\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0</math>を証明せよ。 #<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math>を確かめよ。 #線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。 #極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。 #層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。 #<math>\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}</math>とする。円筒側面<math>x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2</math>上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。 ==複素ベクトル解析== [[複素解析学]]も参照。 {{節stub}} ==n次元== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ===体積分=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>M^1</math>、面積分を<math>M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== ===勾配・発散=== {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] bs57b5bnrten9sxjui7b9m8l8b5tifh 302733 302732 2026-08-26T12:16:33Z ~2026-45891-98 92335 /* ベクトル関数 */ 302733 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]及び[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 '''直交条件の定理''' <math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 '''平行条件の定理''' <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として <math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h \circ g)_i (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{X}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。 ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}=(1,2,3), \boldsymbol{g}=(3, 4, 5)</math>について :<math>\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}=(1, 2, 3)+(3, 4, 5)=(1+3, 2+4, 3+5)=(4, 6, 8)</math>である。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上のベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>z=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{X}</math>の'''流線'''（streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式<math>\frac{dx_1}{X_{x_1}}=\frac{dx_2}{X_{x_2}}=\cdots=\frac{dx_n}{X_{x_n}}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 ==三次元ユークリッド空間== xyz空間上のスカラー場を<math>F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>、ベクトル場を<math>\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>とする。また、<math>\boldsymbol{X}</math>のx, y, z成分をそれぞれ<math>X_x, X_y, X_z</math>と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。 ===偏微分=== 三変数関数<math>f(x, y, z)</math>の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。 :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}</math> :<math>\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}</math> 偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。 偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。 つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。 記号「<math>\partial</math>」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。 着目する変数以外を明示したい場合は、<math>\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}</math>などの記法が用いられる。 偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。 例えば、<math>\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y</math>である。 偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた :<math>df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> を<math>f(x, y, z)</math>の'''（完）全微分'''（total derivative）という。 全微分は、関数<math>f(x, y, z)</math>を<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z</math>だけ変化させたときの関数全体の変化量<math>\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)</math>の<math>\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0</math>とした三重極限に等しい。 つまり、 :<math>f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz</math> が成り立つ。 これを形式的に変形すると、 :<math>\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}</math> となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。 <math>\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}</math>としたとき、 :<math>\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}</math> を<math>\boldsymbol{f}</math>の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。 これを用いると、3次元ベクトル関数<math>\boldsymbol{f} (x, y, z)</math>の全微分は以下のように求められる。 :<math>d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0) d\boldsymbol{v}</math> ただし、<math>d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math>である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。 ===線積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲線<math>C</math>を描いているとする。 <math>C</math>上の点<math>A</math>から点<math>B</math>まで、<math>C</math>に沿って積分することを考える。 経路<math>A \to B</math>を微小線分<math>\text{∆} l</math>に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。 :<math>\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l</math> このとき、経路<math>A \to B</math>を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。 なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲線<math>C</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>とし、初期条件を<math>\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}</math>とする。 このとき、閉区間<math>[a, b]</math>を長さ<math>\text{∆} t = \frac{b-a}{n}</math>の<math>n</math>個の小区間<math>[t_{n-1}, t_n]</math>に分割し、<math>C</math>上に標本点<math>\boldsymbol{p}(t_i)</math>をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを<math>\text{∆} s_i</math>とおけば、<math>F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i</math>の総和はリーマン和である。 <math>\text{∆} t \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt</math> よりこのリーマン和の極限は収束し、 :<math>\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i)) \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math>// ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。 <math>\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]</math>という変数変換を考えると、<br>恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>のとき :<math>\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt</math> となり、一致する。 「恒等的に<math>\frac{dt}{du}>0</math>」は「<math>t, u</math>それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。 そこで、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math>を更に（形式的に）変形する。 :<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt</math> :<math>= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt</math> :<math>= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}</math> :<math>=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math> 最後の式を<math>dl</math>で置くと、<math>dl = \| d\boldsymbol{p} \|</math>が形式的に成り立つ。 この<math>dl</math>を'''線素'''（line element）と呼ぶ。 線素を用いることで、曲線<math>C</math>（の一部）を積分経路とするスカラー場<math>F</math>の線積分は以下のように略記される。 :<math>\int_C F dl</math> 特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい :<math>\oint_C F dl</math> と表す。 線積分<math>\int_C dl</math>は<math>C</math>の長さに等しい。 :<math>\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt</math> :<math>=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt</math> これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。 <math>C</math>を<math>C</math>上任意点からの符号付き距離<math>s</math>（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ<math>s=\alpha, \beta</math>の場合とする。 すなわち、<math>\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}</math>と表示する。 このとき定義から<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds</math>なので、両辺を<math>s</math>で微分すると微分積分学の基本定理より :<math>1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|</math> が恒等的に成り立つ。 これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。 よって、 :<math>\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds</math> である。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt</math> ここで<math>d\boldsymbol{l}</math>は'''線素ベクトル'''であり、 :<math>d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z</math> と定義される。 そのため、この線積分は :<math>\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz</math> とも書かれる。 線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。 <math>C</math>を弧長パラメータ<math>s</math>で媒介変数表示すると、 :<math>\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds</math> ここで<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1</math>より、内積 <math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}</math>は<math>\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))</math>を<math>\boldsymbol{q}(s)</math>方向に射影したものである。 すなわち、線積分はベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>の<math>C</math>の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。 なお、スカラー場の線積分に登場した線素<math>dl</math>は、線素ベクトルの大きさ<math>\| d\boldsymbol{l} \|</math>に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。 位置ベクトルを<math>\boldsymbol{r}(x, y, z)</math>とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から<math>d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>則ち一次従属なので、<math>d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})</math>と書ける。 よって線積分の被積分関数は<math>\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、<math>\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2</math>とは書かず、<math>\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt</math>と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。 <math>C</math>の単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおくと、先ほどの議論より<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}</math>であり、直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0</math>、則ち<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}</math>である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると<math>\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n</math>、則ち<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。 主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|</math>を<math>C</math>の'''曲率'''、<math>\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}</math>を<math>C</math>の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。 例えば、円<math>x^2+y^2=r^2</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{r}</math> :<math>\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}</math> :<math>\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0</math>// 曲率・捩率を用いることで、<math>\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}</math>のs-方向微分を求めることができる。 '''フレネ=セレーの公式''' <math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> 全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は<math>\infty</math>次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。 また、曲線は<math>(\kappa, \tau)</math>の値と初期条件のみで定まるので、<math>(\kappa, \tau)</math>の定める曲線族を<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として一般に<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ===面積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に曲面<math>S</math>を描いているとする。 <math>S</math>に沿って積分することを考える。 領域<math>S</math>を微小領域に分割した表面積を<math>\text{∆} S_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。 :<math>\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i</math> 右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。 曲面<math>S</math>の滑らかな媒介変数表示を<math>\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}</math>とする。 ここで、パラメータベクトル<math>\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}</math>が属する領域<math>T (\subset \mathbb{R}^2)</math>を微小矩形領域<math>\text{∆} T_i</math>に分割する。このとき、各iについて<math>\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]</math>であり、各<math>\text{∆} T_i</math>に対応する曲面上の領域を<math>\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)</math>とする。 このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。 すなわち、<math>\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0</math>のとき :<math>\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i</math> である。 このリーマン和の二重極限は収束し、 :<math>\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}</math> :<math>=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt</math>// すなわち、面積分は二重積分に帰着される。 面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。 証明は恒等条件<math>\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}>0</math>を用いて線積分と同様に行われる。 そこで、<math>F</math>の<math>S</math>上での面積分を以下のように略記する。 :<math>\iint_S F dS</math> 1の面積分を考えると、 :<math>\iint_S dS</math> は曲面<math>S</math>の表面積に等しいことが知られている。 そのため、<math>dS</math>を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。 <math>S</math>が閉曲面のときは :<math>\oiint_S F dS</math> とも書く。 例えば、関数<math>z=f(x, y)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>上に描く曲面の表面積は、<math>\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>として :<math>\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy</math> :<math>=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy</math> :<math>=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy</math> と求められる。 スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。 :<math>\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt</math> :<math>=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt</math>（<math>\because</math>ベクトル三重積の性質） ここで<math>d\vec{S}</math>は面素ベクトルであり、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS</math> と定義される。 <math>\boldsymbol{n}</math>は有向曲面<math>S</math>と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。 <math>\boldsymbol{n}</math>は、x, y, z軸それぞれとなす角度を<math>\alpha, \beta, \gamma</math>とすると通常の余弦関数で表されるベクトル<math>\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}</math>に等しい。これを'''方向余弦'''という。 方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。 :<math>\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}</math> これを用いることで、 :<math>d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy = \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}</math> と表せる。 敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。 ===体積分=== 関数<math>f(x, y, z)</math>が三次元ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^3</math>上に立体領域<math>V</math>を描いているとする。 <math>V</math>に沿って積分することを考える。 立体<math>V</math>を微小立体に分割した体積を<math>\text{∆} V_i</math>としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。 :<math>\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i</math> 体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。 そのため、以下のように考える。 微小立体の体積<math>dV</math>は、各辺の長さが<math>dx, dy, dz</math>である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。 よって、<math>dV = dxdydz</math>。この<math>dV</math>を'''体（積）素'''（volume element）という。 つまり、体積分は<math>V</math>についての三重積分 :<math>\iiint_V f(x,y,z) dxdydz</math> に等しい。 <math>V</math>の媒介変数表示を<math>\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}</math>とすると、スカラー場の<math>V</math>に関する体積分は :<math>\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu</math> で表される。 積分領域<math>V</math>が閉立体であるときは :<math>\oiiint_V F dV</math> とも書く。 また、ベクトル場 の<math>V</math>に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル :<math>\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}</math> で表される。 ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。 :θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。 :z曲線：z軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>P(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\vec{OP}</math>のz軸への正射影ベクトルを<math>\vec{OH}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>P</math>からxy平面に下した垂線の足<math>Q</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>P(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle OHP</math>について<math>\angle HOP=\theta</math>なので、<math>z=\overline{OH}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle OPQ</math>について<math>\angle OPQ=\theta</math>なので、<math>\overline{OQ}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :r曲線：原点を通る半直線。 :θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。 :φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。 ===勾配=== スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> 勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。 <math>F</math>に一変数<math>f(x) ,g(y), h(z)</math>をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。 勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。 '''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''<!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 -->）<math>\nabla</math>を以下のように定義する。 :<math>\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z</math> この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。 <math>\nabla</math>の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、<math>\text{∆}</math>（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。 空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。 :<math>\mathrm{grad} \, F = \nabla F</math> <math>F</math>はスカラー場なのでスカラー量であり、<math>\nabla</math>は便宜的にベクトル量と考えることから、その積<math>\nabla F</math>はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。 勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。 :電位<math>\phi</math>に対する電場<math>E</math>は :<math>E:=-\mathrm{grad} \, \phi</math> スカラー場の全微分は :<math>dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz</math> で定義された。 これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は :<math>dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}</math> である。 すなわち、スカラー場の全微分は :<math>dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル<math>\boldsymbol{n}</math>で表されるとすると、<math>\boldsymbol{n}</math>方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。 ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}</math> で定義された。 ここでn次行列 <math>\mathbf{A}</math>とn項列ベクトル <math>\boldsymbol{a}</math>に対し、<math>(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i</math>となるような可換二項演算子 <math>\circledast</math>を定義する。これは本項独自の記法である。但し、<math>(\mathbf{P})_{ij}</math>は行列 <math>\mathbf{P}</math>の第ij成分を表す。 この記法を用いると、ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}</math>は<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X}</math>と表すことができる。 則ち、ベクトル場の全微分は :<math>d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}</math> と表される。 ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。 例えば、 :<math>\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}</math> である。 これは<math>\boldsymbol{r}</math>の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。 ===発散=== ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}</math> 発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。 発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。<math>\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}</math>より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}</math> 発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。 :電荷密度<math>\rho</math>、電場<math>\boldsymbol{E}</math>、空間の誘電率<math>\varepsilon</math>とすると :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math> 極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0</math>」を証明することができる。 ベクトル場の存在する3次元領域内に体積<math>\text{∆} v</math>の閉曲面をとる。 閉曲面の有向微小表面積を<math>d\vec{S}</math>とするとき、この微小面を通過する指力線の量は :<math>\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math>（<math>\boldsymbol{X}_n</math>は法線成分） である。 この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分 :<math>\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> で与えられる。 発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。 :<math>\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}</math> 発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。 :<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math> ===回転=== 回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。 *回転軸の方向 *回転の速さ *回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。 従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。 ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}</math> <math>\mathrm{curl}</math>は理学系、<math>\mathrm{rot}</math>は工学系が好んで使用する。 z軸方向の成分について考える。 z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。 ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を<math>\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>とすれば満足する。 x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。 ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。 回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>S</math>は<math>\boldsymbol{n}</math>を単位法線ベクトルとし点<math>l(\vec{l})</math>を含む微小有向面、<math>\partial{S}</math>はその境界となる微小閉曲線、<math>|S|</math>は<math>S</math>の表面積。 定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。<math>C</math>を積分経路とする。 :<math>(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)</math> :<math>=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)</math> :<math>=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}</math>// 回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。 成分に着目すると外積の形式なので、 :<math>\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}</math> と表されることが判る。 外積の性質から、回転は行列式 :<math>\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x & X_y & X_z \end{pmatrix}</math> でも表示される。 回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。 :電場<math>\boldsymbol{E}</math>、磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>として :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}</math> 流体の渦の記述にも応用されている。 回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。 回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。 :<math>\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}</math> :但し、<math>C</math>は閉曲面<math>S</math>の境界曲線。 回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。 :<math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)</math> :ここで<math>\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})</math>は反対称行列であり、<math>\mathrm{axl}</math>は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。 ===ラプラシアン=== 以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、<math>\text{∆}</math>は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。 :<math>\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}</math> 第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に<math>\nabla^2</math>と書かれる。 スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。 :<math>\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}</math> ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。 :<math>\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)</math> スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。 ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}</math> ベクトル場では以下の等式が成り立つ。 :<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math> 回転が<math>\boldsymbol{0}</math>ならば<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})</math>であり、形式的に<math>(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2</math>が成り立つ。 ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。 ベクトル場<math>\boldsymbol{X}</math>にスカラー関数<math>\phi</math>を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。 :<math>\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}</math> ここで、<math>\boldsymbol{X}</math>をスカラー関数<math>\psi</math>の勾配<math>\mathrm{grad} \, \psi</math>と見做すと、 :<math>\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)</math> 空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、 :<math>\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi</math> 両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、 :<math>\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV</math> Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、 :<math>\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV</math> これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。 グリーンの第一定理に於いて、<math>\phi</math>と<math>\psi</math>を入れ替えた式は :<math>\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV</math> 元の式との差をとると :<math>\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。 <math>S</math>の単位法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>、その方向の軸を<math>n</math>とすると、 :<math>(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS</math> グリーンの第二定理の左辺を書き換えて :<math>\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV</math> これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。 ===積分定理=== {{節stub}} この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。 *ガウスの発散定理の証明 *ストークスの定理の証明 *グリーンの定理の証明 ;補足事項 一般に<math>\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0</math>が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。 <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}</math>を満たすベクトル場<math>\boldsymbol{x}</math>を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f</math>となるスカラー場<math>f</math>が存在する。この<math>f</math>を、<math>\boldsymbol{x}</math>の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。 <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0</math>を満たすスカラー場<math>\boldsymbol{y}</math>を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。 上記の性質から、<math>\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}</math>となるベクトル場<math>\boldsymbol{g}</math>が存在する。この<math>\boldsymbol{g}</math>を、<math>\boldsymbol{y}</math>の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。 スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間<math>\mathbb{R}^n</math>では一般に成り立つ。 ;演習問題 #<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}</math>の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、 #<math>\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz</math>を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。 #<math>\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}</math>を示せ。 #<math>\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0</math>を証明せよ。 #<math>\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})</math>を確かめよ。 #線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。 #極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。 #層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。 #<math>\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}</math>とする。円筒側面<math>x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2</math>上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。 ==複素ベクトル解析== [[複素解析学]]も参照。 {{節stub}} ==n次元== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ===体積分=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>M^1</math>、面積分を<math>M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== ===勾配・発散=== {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] hb1xodz9ypksg2oqrl56lcyjrrwbq5w 0 46517 302734 284165 2026-08-26T17:19:22Z Tomzo 248 302734 wikitext text/x-wiki *はじみてぃ やーさい/やーたい - はじめまして *ゆたさるぐとぅ うにげーさびら - よろしくお願いします *はじみてぃ やーさい/やーたい、みーしっちょーてぃ きみそーれー - はじめまして、お見知り置きください {{substub|251007}} {{デフォルトソート:はしめて}} [[カテゴリ:日本語の方言]] [[カテゴリ:琉球語]] tnnnzdrj3zh7rf0uiy2xfkovrvg0706 0 48708 302772 302488 2026-08-27T05:36:24Z Tomzo 248 302772 wikitext text/x-wiki ==本文== :　 <div style="text-align: center;"> <div style="display: inline-block; text-align: left;"> <small> {{#invoke:Kanbun|kanbun| 子曰ク、\\ 学ビテ而時ニ習フ[レ]之ヲ、不ず[二]亦タ説よろこバシカラ[一]乎や。\\ 有リ[レ]朋自よリ[二]遠方[一]来タル、不ず[二]亦タ楽たのシカラ[一]乎や。\\ 人不ずシテ[レ]知ラ而不ず[レ]慍いかラ、不ず[二]亦タ君子ナラ[一]乎や。 }} </small> </div> </div> == 訓読文と語釈等 == <div> {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ ! style="width:40%;" | 訓読文 ! style="width:60%;" | 語釈等 |- |style="vertical-align:top"|<big> 子<ref group="†">{{anchors|子}}「子」 - 師に対する敬称、ここでは「孔子（姓名は孔丘なので「孔先生」）」。以降、論語全体において、単に「子」とし、「子曰」とするのは孔子の言葉である。</ref>曰く、 「学びて{{Refnest|group="†"|{{anchors|学}}論語において、「学ぶ」ということは、常に道徳的精進を意味し、更に進んでそれを政治に実現する道を学ぶことを意味する。そして孔子の理想とする有徳者乃至政治家は、堯・舜・禹・湯・武等の如き古代の帝王であるが故に、所詮はそうした先王の道を学ぶことが、論語における「学ぶ」ということになるのである<ref name="下村">[[w:下村湖人|下村湖人]][https://www.aozora.gr.jp/cards/001097/files/43785_58836.html 『現代訳論語』]</ref>。}}時に之を<u>習ふ<ref group="†">{{anchors|習}}書物で学んだことを、現実の世界に適用し実践してみる。</ref></u>、亦た{{ruby|説|よろこ}}ばしから<ref group="†">「説」は「はなす」ではなく、「よろこぶ」の意味。現在では「よろこぶ」には「悦」が当てられるが、「悦」は後漢に成立した字書である『説文解字』には採録されておらず、「説」から「よろこぶ」の意味を分けるために造字されたものが、漢代以降に一般化されたものとも考えられる。</ref>ず<u>や<ref group="†">乎 - 疑問・反語を意味する終助字。ここでは反語で「喜ばしくないものであろうか、いや決してそうではない（=大変に喜ばしい）」の意である。助字自体は機能語であるので、訓読時に読みをふらないことも多いが、本章においては反語用法の係助詞「や」をふっている。</ref></u>。 <u>朋有り遠方より来る<ref group="†">古い読みでは「朋遠方自り来る有り（有_下朋自_二遠方_一来_上）」、また、「有」を同音の「友」とするテキストもあり、この場合は、「友朋（=朋友）遠方自り来る（友朋自_二遠方_一来）」と読む。</ref></u>、亦た楽しからずや。 人知らずして<u>{{ruby|慍|いか}}ら<ref group="†">慍 - 表には出さないが、内心腹立たしく思う。すなわち、「{{ruby|慍|いか}}らず」とは、不満を外に表さないだけでなく、そもそも、気にしていないことを言う。</ref></u>ず、亦た君子{{Refnest|group="†"|この語はところによつて多少意味が変るが、主として「求道者」「真人」「上に立つ人」「為政家」等を意味し、場合によつては、そのすべてを含めた意味に用いられる。本章では「求道者」「真人」というような意味であろう<ref name="下村"/>。}}ならずや。」 </big> |style="vertical-align:top"|<small><references group="†"/></small> |} </div> == 現代語和訳 == [[w:下村湖人|下村湖人]][https://www.aozora.gr.jp/cards/001097/files/43785_58836.html 『現代訳論語』（青空文庫）より] :先師がいわれた。―― ::聖賢の道を学び、あらゆる機会に思索体験をつんで、それを自分の血肉とする。何と生き甲斐のある生活だろう。 ::こうして道に精進しているうちには、求道の同志が自分のことを伝えきいて、はるばると訪ねて来てくれることもあるだろうが、そうなつたら、何と人生は楽しいことだろう。 ::だが、むろん、名聞が大事なのではない。ひたすらに道を求める人なら、かりに自分の存在が全然社会に認められなくとも、それは少しも不安の種になることではない。そして、それほどに心が道そのものに落ちついてこそ、真に君子の名に値するのではあるまいか。 == 解説 == 論語の冒頭にあり、最も有名と言って良い章である。論語は、孔子の死後、その弟子や後学によって長い時間をかけて形成された言行録・逸話集であり、全体が孔子の生涯や思想を時系列に沿って記したものではない。そこから、本章が最初に置かれていることは、論語全体を読む上で重要な思想を示していると考えてよいだろう。 最初に、学習の喜びを説く。この「学」とは、単なる知識の獲得ではなく、[[#学|下村湖人も指摘している]]ように、古典をはじめとする古代の文化・制度・礼を学び、それを自らの人格形成につなげることである。儒学（儒教）成立期、春秋戦国時代における、諸子百家中にあって、古典の重視は儒家の顕著な特徴であり、儒家にとって、古典を学ぶことは、過去の知識を得ることではなく、失われつつある「道」を現在において回復することであった。すなわち、古代の聖王・賢人が残した秩序を、失われつつある現在において再発見し、伝承すると言う点にあると言って良い。論語には、「学」の重要性や位置付けが繰り返し説かれる。 また、「習」は、現代の復習のように、単に学んだものを読み返すというものではない。「習」は、雛が飛ぼうと親鳥をまね羽ばたく姿であるとも言われる。「時」に、すなわち、時宜をとらえては学んだことを身の回りに適用し、古典が単に文字に書かれたものなのではなく現実世界に当てはめられることに納得し、身につけていくことをいう。そうして理解が深まることに快感を覚えるであろうと説く。 次に、朋友に高い価値を認める。この場合の朋友とは、単なる、幼馴染や遊び仲間の類ではなく、下村湖人が訳したように、同じ学問を修する仲間、「求道の同志」と捉えるのが適当であろう。当時は、家族・親族を基礎とした地域社会であり、その上に構築された身分制社会（君臣など主従関係など）である。そこに、血縁・地縁を超え、場合によっては身分的な関係をも超えて、同じ道を学ぶ者同士が結びつくことに価値を認める。また、「遠方より来たる」を喜ぶことは、少なくとも、地縁的な閉鎖性を超えて、同じ道を求める者との交わりを肯定する姿勢を示している。これは、『[[高等学校古典B/漢文/小国寡民|小国寡民]]』など社会が広がりその接触の過程で平穏が乱されることを好まず小さな社会を是とする老荘思想などと対照的である。なお、下村湖人は、学問を極めた結果、名声が高まり、遠方から求道の同志が訪ねて来ると解したようにも見える。この解釈ならば、次句の「人不知」に対する「人知」の状況を言っていることになる。 最後に、目標とする人間像として「君子」を掲げる。君子とは、孔子の理想である「仁」をはじめとする徳を身につけた理想的人間であり、またそれを不断に追求する者である。この態度は、必ずしも世間一般に理解され表立って評価されることが期待できるものではないが、他者から認められることを自己の価値の基準としないことを理想とするものである。 以上をまとめると、本章は、「①古典を学び、それを習い実践する。→ ②同じものを学ぶ『朋』が生まれ、その共同体の中で人格を形成する。→ ③世評ではなく『道』によって自己を評価する『君子』になる。」と言う三段階の構造となっており、儒家における「学」の最終目的は単に知識量を増やすことではなく人格形成であると言うことが理解できる。 == 脚注 == <references /> [[Category:高等学校教育_国語_漢文|まなひてときにこれをならう]] [[category:論語|かくし01]] 9oh31t23mk545n7m01sxwp3mj4za0v2 0 48749 302742 2026-08-26T22:14:22Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める額） ;第101条の2の9　 :[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第5項]]の厚生労働省令で定める額は、4000円とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |雇用保…」 302742 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める額） ;第101条の2の9　 :[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第5項]]の厚生労働省令で定める額は、4000円とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の8]]<br>（法第60条の2第4項の厚生労働省令で定める額） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の10]]<br>（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める期間） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の9]] 1reno9tnvnau4072hquh3qqmdtqcxos 0 48750 302743 2026-08-26T22:16:57Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める期間） ;第101条の2の10　 :[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第5項]]の厚生労働省令で定める期間は、3年とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |雇…」 302743 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める期間） ;第101条の2の10　 :[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2第5項]]の厚生労働省令で定める期間は、3年とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の9]]<br>（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める額） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の11]]<br>（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の10]] rxsclr0egpuk6dlkrple0kb3u7448vz 0 48751 302744 2026-08-26T22:29:34Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の11 　 #教育訓練給付金支給対象者は、一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該教育訓練給付金の支給に係る一般教育訓練を修了した日の翌日から起算して1箇月以内に、…」 302744 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の11 　 #教育訓練給付金支給対象者は、一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該教育訓練給付金の支給に係る一般教育訓練を修了した日の翌日から起算して1箇月以内に、教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第1号及び第2号]]関係）支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2|様式第33号の2]]）に次の各号に掲げる書類を添えて管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##一般教育訓練修了証明書 ##当該教育訓練給付金の支給に係る一般教育訓練の受講のために支払つた費用（[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6第1号]]に掲げる費用に限る。）の額を証明することができる書類 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6第2号]]に掲げる費用の額を証明することができる書類及び当該一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとする者の就業に関する目標その他職業能力の開発及び向上に関する事項について、キャリアコンサルティングを踏まえて記載した職務経歴等記録書（[[職業能力開発促進法第15条の4|職業能力開発促進法第第15条の4第1項]]に規定する職務経歴等記録書をいう。以下同じ。） ##その他職業安定局長が定める書類 #教育訓練給付金支給対象者は、前項の規定にかかわらず、職業安定局長が定めるところにより、同項第4号に掲げる書類のうち職業安定局長が定めるものを添えないことができる。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の10]]<br>（法第60条の2第5項の厚生労働省令で定める期間） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の12]]<br>（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の11]] mf7hvqk4korkbnrepfxbb5igg1lw4ta 0 48752 302746 2026-08-26T22:53:29Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の12　 #教育訓練給付金支給対象者であつて、特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするもの（以下この条において「特定一般教育訓練受講予定者」という。）は、当該特定一般…」 302746 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の12　 #教育訓練給付金支給対象者であつて、特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするもの（以下この条において「特定一般教育訓練受講予定者」という。）は、当該特定一般教育訓練を開始する日の14日前までに、教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格確認票（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の2|様式第33号の2の2]]）に次の各号に掲げる書類を添えて管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##担当キャリアコンサルタント（キャリアコンサルタントであつて厚生労働大臣が定めるものをいう。第5項及び次条において同じ。）が、当該特定一般教育訓練受講予定者の就業に関する目標その他職業能力の開発及び向上に関する事項について、キャリアコンサルティングを踏まえて記載した職務経歴等記録書 ##運転免許証その他の特定一般教育訓練受講予定者が本人であることを確認することができる書類 ##過去に特定一般教育訓練又は専門実践教育訓練を受けた場合にあつては、過去に受けた特定一般教育訓練又は専門実践教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類 ##その他職業安定局長が定める書類 #管轄公共職業安定所の長は、前項の規定により教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格確認票を提出した特定一般教育訓練受講予定者が教育訓練給付金支給対象者であつて[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第2号]]に掲げる者に該当するものと認めたときは、次の各号に掲げる事項を通知しなければならない。 ##教育訓練給付金を支給する旨 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第3号]]に掲げる者に該当するに至つたときに当該特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請を行うべき期間 #前項の規定による通知を受けた[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第2号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者は、特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該教育訓練給付金の支給に係る特定一般教育訓練を修了した日の翌日から起算して1箇月以内に、教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第1号及び第2号]]関係）支給申請書に次の各号に掲げる書類を添えて管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##特定一般教育訓練修了証明書 ##当該教育訓練給付金の支給に係る特定一般教育訓練の受講のために支払つた費用（[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6]]に定める費用の範囲のものに限る。次項において同じ。）の額を証明することができる書類 ##前項の規定による教育訓練給付金を支給する旨の通知 ##当該特定一般教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類 ##その他厚生労働大臣が定める書類 #第2項の規定による通知を受けた[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第3号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者は、特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該特定一般教育訓練を修了し、当該特定一般教育訓練に係る資格を取得等し、かつ、一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用された日の翌日から起算して1箇月以内（一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用されている者にあつては、当該特定一般教育訓練を修了し、かつ、当該特定一般教育訓練に係る資格を取得等した日の翌日から起算して1箇月以内）に、次の各号に掲げる書類を添えて教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第3号]]関係）支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の3|様式第33号の2の3]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##当該教育訓練給付金の支給に係る特定一般教育訓練の受講のために支払つた費用（[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6]]に定める費用の範囲内のものに限る。）の額を証明することができる書類 ##当該特定一般教育訓練に係る資格を取得等したことの証明 ##第2項の規定による教育訓練給付金を支給する旨の通知 ##当該特定一般教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類 ##その他厚生労働大臣が定める書類 #教育訓練給付金支給対象者は、第1項、第3項及び前項の規定にかかわらず、職業安定局長が定めるところにより、第1項第4号、第3項第5号及び前項第5号に掲げる書類のうち職業安定局長が定めるものを添えないことができる。 #担当キャリアコンサルタントは、次に掲げる事項に留意しつつ、第1項第1号のキャリアコンサルティングを実施するものとする。 ##特定一般教育訓練受講予定者の速やかな再就職及び早期のキャリア形成に資する適切な特定一般教育訓練の選択を支援すること。 ##特定一般教育訓練受講予定者に対し、自らが役員である又は自らを雇用する法人又は団体の行う特定一般教育訓練を受けるよう不当な勧誘を行わないこと。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の11]]<br>（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の13]]<br>（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の12]] 99m4ql24yyfxd36gcg30cyvgtu3ltiz 0 48753 302747 2026-08-26T23:56:59Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の13　 #教育訓練給付金支給対象者であつて、専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするもの（以下この条において「専門実践教育訓練受講予定者」という。）は、当該専門実践…」 302747 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） ;第101条の2の13　 #教育訓練給付金支給対象者であつて、専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするもの（以下この条において「専門実践教育訓練受講予定者」という。）は、当該専門実践教育訓練を開始する日の14日前までに、次の各号に掲げる書類及び運転免許証その他の専門実践教育訓練受講予定者が本人であることを確認することができる書類を添えて、又は次の各号に掲げる書類の添付に併せて個人番号カードを提示して教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格確認票を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##担当キャリアコンサルタントが、当該専門実践教育訓練受講予定者の就業に関する目標その他職業能力の開発及び向上に関する事項について、キャリアコンサルティングを踏まえて記載した職務経歴等記録書 ##過去に特定一般教育訓練又は専門実践教育訓練を受けた場合にあつては、過去に受けた特定一般教育訓練又は専門実践教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類 ##その他職業安定局長が定める書類 #管轄公共職業安定所の長は、前項の規定により教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格確認票を提出した専門実践教育訓練受講予定者が教育訓練給付金支給対象者であつて[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]に掲げる者に該当するものと認めたときは、教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格者証（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の4|様式第33号の2の4]]）（個人番号カードを提示して前項の規定による提出をした教育訓練給付金支給対象者であつて、教育訓練受給資格通知（当該者の氏名、被保険者番号、性別、生年月日、教育訓練講座名、訓練期間、給付に係る処理状況その他の職業安定局長が定める事項を記載した通知をいう。以下同じ。）の交付を希望するものにあつては、教育訓練受給資格通知）に必要な事項を記載した上、当該専門実践教育訓練受講予定者に交付するとともに、次の各号に掲げる事項を通知しなければならない。 ##支給単位期間（既に行つた支給申請に係る支給単位期間を除く。第5項において同じ。）ごとに当該専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請を行うべき期間 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第5号又は第6号]]に掲げる者に該当するに至つたときに当該専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請を行うべきそれぞれの期間 #管轄公共職業安定所の長は、前項第1号に規定する支給申請を行うべき期間を定めるに当たつては、1支給単位期間について、当該支給単位期間の末日の翌日から起算して1箇月を超えない範囲で定めなければならない。ただし、管轄公共職業安定所の長が必要があると認めるときは、この限りでない。 #この条及び[[雇用保険法施行規則第101条の2の16|第101条の2の16]]において「支給単位期間」とは、専門実践教育訓練を受けている期間を、当該専門実践教育訓練を開始した日又は当該専門実践教育訓練を受けている期間において6箇月ごとにその日に応当し、かつ、当該専門実践教育訓練を受けている期間内にある日（その日に応当する日がない月においては、その月の末日。以下この項において「訓練開始応当日」という。）からそれぞれ6箇月後の訓練開始応当日の前日（当該専門実践教育訓練を修了した日の属する月にあつては、当該専門実践教育訓練を修了した日）までの各期間に区分した場合における当該区分による1の期間をいう。 #第2項の規定による通知を受けた[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者は、支給単位期間について専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、第2項第1号に規定する支給申請を行うこととされた期間内に、次の各号に掲げる書類及び教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格者証を添えて（当該教育訓練給付金支給対象者が教育訓練受給資格通知の交付を受けた場合にあつては、次の各号に掲げる書類の添付に併せて個人番号カードを提示して）教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]関係）支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の5|様式第33号の2の5]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##受講証明書（当該専門実践教育訓練を修了した場合にあつては、専門実践教育訓練修了証明書） ##当該支給申請に係る支給単位期間において当該専門実践教育訓練の受講のために支払つた費用（[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6]]に定める費用の範囲内のものに限る。）の額を証明することができる書類 ##当該専門実践教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類（当該専門実践教育訓練に係る最後の支給単位期間について教育訓練給付金の支給を受けようとする場合に限る。） ##その他厚生労働大臣が定める書類 #第2項の規定による通知を受けた[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第5号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者は、専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該専門実践教育訓練を修了し、当該専門実践教育訓練に係る資格を取得等し、かつ、一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用された日の翌日から起算して1箇月以内（一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用されている者にあつては、当該専門実践教育訓練を修了し、かつ、当該専門実践教育訓練に係る資格を取得等した日の翌日から起算して1箇月以内）に、次の各号に掲げる書類及び教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格者証を添えて（当該教育訓練給付金支給対象者が教育訓練受給資格通知の交付を受けた場合にあつては、次の各号に掲げる書類の添付に併せて個人番号カードを提示して）教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第5号]]関係）支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の6|様式第33号の2の6]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##全支給単位期間における当該専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給に係る専門実践教育訓練の受講のために支払つた費用（[[雇用保険法施行規則第101条の2の6|第101条の2の6]]に定める費用の範囲内のものに限る。）の額を証明することができる書類 ##当該専門実践教育訓練に係る資格を取得等したことの証明 ##当該専門実践教育訓練によるキャリア形成等の効果等を把握することができる書類 ##その他厚生労働大臣が定める書類 #第2項の規定による通知を受けた[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第6号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者は、専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を受けようとするときは、当該専門実践教育訓練を修了し、当該専門実践教育訓練に係る資格を取得等し、かつ、一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用された日の翌日から6箇月を経過した日から起算して6箇月以内（一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用されている者にあつては、当該専門実践教育訓練を修了し、かつ、当該専門実践教育訓練に係る資格を取得等した日の翌日から6箇月を経過した日から起算して6箇月以内）に、次の各号に掲げる書類及び教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格者証を添えて（当該教育訓練給付金支給対象者が教育訓練受給資格通知の交付を受けた場合にあつては、次の各号に掲げる書類の添付に併せて個人番号カードを提示して）教育訓練給付金（[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第6号]]関係）支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の6|様式第33号の2の7]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。 ##対象期間に支払われた賃金の額及び当該被保険者の基準日の直前の離職の日前の賃金の額（一般被保険者又は高年齢被保険者として雇用されている者にあつては、基準日前の賃金の額）を証明することができる書類 ##その他厚生労働大臣が定める書類 #教育訓練給付金支給対象者は、第1項、第5項、第6項及び前項の規定にかかわらず、職業安定局長が定めるところにより、第1項第3号、第5項第4号、第6項第4号及び前項各号に掲げる書類のうち職業安定局長が定めるものを添えないことができる。 #担当キャリアコンサルタントは、次に掲げる事項に留意しつつ、第1項第1号のキャリアコンサルティングを実施するものとする。 ##専門実践教育訓練受講予定者の中長期的なキャリア形成に資する適切な専門実践教育訓練の選択を支援すること。 ##専門実践教育訓練受講予定者に対し、自らが役員である又は自らを雇用する法人又は団体の行う専門実践教育訓練を受けるよう不当な勧誘を行わないこと。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の12]]<br>（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の14]]<br>（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の13]] dztjz10n3amg132rczvnb7i65y5i8ra 0 48754 302748 2026-08-27T00:00:12Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の14 :管轄公共職業安定所の長は、教育訓練給付金支給対象者に対する一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に教育訓練給付金を支給するものとする。 ==…」 302748 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の14 :管轄公共職業安定所の長は、教育訓練給付金支給対象者に対する一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に教育訓練給付金を支給するものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の13]]<br>（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給申請手続） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の15]]<br>（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の14]] dbha09slefhf2o5jpb12takmhcamrnz 0 48755 302749 2026-08-27T00:04:41Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の15 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第2号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したと…」 302749 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の15 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第2号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に教育訓練給付金を支給するものとする。 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第3号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に、当該教育訓練給付金の額から既に支給を受けた当該特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の額を減じて得た額を基礎として、厚生労働大臣の定める方法により算定して得た額を支給するものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の14]]<br>（一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の16]]<br>（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の15]] s4975kxndcm3tx545120tngcpvtdlda 0 48756 302750 2026-08-27T00:32:42Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の16 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したと…」 302750 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） ;第101条の2の16 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第4号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に、当該支給申請に係る支給単位期間について教育訓練給付金を支給するものとする。 #管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法施行規則第101条の2の7|第101条の2の7第5号又は第6号]]に掲げる者に該当する教育訓練給付金支給対象者に対する専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給を決定したときは、その日の翌日から起算して7日以内に、全支給単位期間分の教育訓練給付金の額から既に支給を受けた当該専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の額を減じて得た額を基礎として、厚生労働大臣の定める方法により算定して得た額を支給するものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の15]]<br>（特定一般教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の17]]<br>（準用） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の16]] al7489bfc6v0qb84jfyzne31lgbrhun 0 48757 302752 2026-08-27T01:51:36Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （準用） ;第101条の2の17　 :[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]（第4項を除く。）、[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]]、[[雇用保険法施行規則第46条|第46条]]、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]、[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]及び雇用保険法施行規則第54条|第54…」 302752 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （準用） ;第101条の2の17　 :[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]（第4項を除く。）、[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]]、[[雇用保険法施行規則第46条|第46条]]、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]、[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]及び[[雇用保険法施行規則第54条|第54条]]（一般教育訓練にあつては[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]及び[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]、特定一般教育訓練にあつては[[雇用保険法施行規則第50条|同条]]を除く。）の規定は、教育訓練給付金の支給について準用する。この場合において、これらの規定中「、受給資格者に」とあるのは「、教育訓練給付金の支給を受けることができる者に」と、「受給資格者の」とあるのは「教育訓練給付金の支給を受けることができる者の」と、「受給資格者（」とあるのは「教育訓練給付金の支給を受けることができる者（」と、「口座振込受給資格者」とあるのは「[[雇用保険法施行規則第44条|第44条第1項]]に規定する方法によつて教育訓練給付金の支給を受ける者」と、「受給資格者証」とあるのは「教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金受給資格者証」と、「受給資格通知」とあるのは「[[雇用保険法施行規則第101条の2の13|第101条の2の13第2項]]に規定する教育訓練受給資格通知」と、「当該受給資格者」とあるのは「当該教育訓練給付金の支給を受けることができる者」と、「又は住所若しくは居所」とあるのは「、住所若しくは居所又は電話番号」と、「受給資格者氏名変更届（[[雇用保険法施行規則様式第20号|様式第20号]]）」とあるのは「教育訓練給付金受給者氏名変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）」と、「受給資格者住所変更届（[[雇用保険法施行規則様式第20号|様式第20号]]）」とあるのは「教育訓練給付金受給者住所変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）を、電話番号を変更した場合にあつては教育訓練給付金受給者電話番号変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）」と、「受給資格者氏名変更届又は受給資格者住所変更届」とあるのは「教育訓練給付金受給者氏名変更届、教育訓練給付金受給者住所変更届又は教育訓練給付金受給者電話番号変更届」と、「受給資格者について」とあるのは「教育訓練給付金の支給を受けることができる者について」と、[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]]、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]及び[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]中「受給資格者は」とあるのは「教育訓練給付金の支給を受けることができる者は」と読み替えるものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の2|法第60条の2]](教育訓練給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の16]]<br>（専門実践教育訓練に係る教育訓練給付金の支給） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の18]]<br>（法第60条の3第1項の休暇） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の17]] iciat7ein2rzckqx9pcmeakfg7n045x 0 48758 302753 2026-08-27T01:57:59Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項の休暇） ;第101条の2の18 #教育訓練休暇給付金は、一般被保険者が、労働協約、就業規則その他これらに準ずるものに定めるところにより設けられた制度に基づき、自発的に教育訓練休暇を取得した場合に、当該休暇の期間内の自己の労働その他の職業…」 302753 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項の休暇） ;第101条の2の18 #教育訓練休暇給付金は、一般被保険者が、労働協約、就業規則その他これらに準ずるものに定めるところにより設けられた制度に基づき、自発的に教育訓練休暇を取得した場合に、当該休暇の期間内の自己の労働その他の職業安定局長が定める理由（[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|第101条の2の25]]において「自己の労働等」という。）によつて収入を得ていない日について支給する。 #前項の教育訓練休暇は、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項]]に規定する教育訓練休暇であつて、当該休暇の期間が30日以上であり、かつ、次に掲げる訓練を受けるものとして、事業主の承認を受けたものとする。 ##[[学校教育法|学校教育法]]に基づく大学、高等専門学校、専修学校又は各種学校が行う教育訓練 ##[[雇用保険法施行規則第101条の2の2|第101条の2の2]]の規定による通知を受けた指定教育訓練実施者が行う教育訓練 ##前2号に掲げるもののほか、職業に関する教育訓練として職業安定局長が定めるもの ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の17]]<br>（準用） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の19]]<br>（教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の18]] t27grnrtldgv392rlqlxj48vz7gl8u4 0 48759 302754 2026-08-27T02:11:24Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） ;第101条の2の19 #教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者（未支給給付請求者を除く。）は、運転免許証その他の教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者が本人であることを確認することができる書類、休暇開始日前…」 302754 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） ;第101条の2の19 #教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者（未支給給付請求者を除く。）は、運転免許証その他の教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者が本人であることを確認することができる書類、休暇開始日前に教育訓練休暇（[[雇用保険法施行規則第101条の2の18|前条第2項]]に規定する教育訓練休暇をいう。以下同じ。）を取得することについて事業主の承認を受けたことを証明することができる書類及び雇用保険被保険者教育訓練休暇開始時賃金月額証明票を添えて教育訓練休暇給付金支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の10|様式第33号の2の10]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。この場合において、その者が[[雇用保険法施行規則第101条の2の24|第101条の2の24第5項]]の規定により教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書の交付を受けているときは、併せて提出しなければならない。 #管轄公共職業安定所の長は、前項の規定により教育訓練休暇給付金支給申請書を提出した者が、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項本文]]（[[雇用保険法第60条の3|同条第3項]]において読み替えて適用する場合を含む。[[雇用保険法施行規則第101条の2の21|第101条の2の21]]において同じ。）の規定に該当すると認めたときは、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第4項]]の規定によりその者が教育訓練休暇を取得していることについての認定（以下「教育訓練休暇取得の認定」という。）を受けるべき日（以下「教育訓練休暇取得認定日」という。）を定め、その者に知らせるとともに、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の11|様式第33号の2の11]]）に必要な事項を記載した上、交付しなければならない。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の18]]<br>（法第60条の3第1項の休暇） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の20]]<br>（教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の19]] q3zvtqkn0cgnf0996fwot6ppaxbsj71 302756 302754 2026-08-27T02:18:47Z Kyoikukunren.jp 91270 302756 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） ;第101条の2の19 #教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者（未支給給付請求者を除く。）は、運転免許証その他の教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者が本人であることを確認することができる書類、休暇開始日前に教育訓練休暇（[[雇用保険法施行規則第101条の2の18|前条第2項]]に規定する教育訓練休暇をいう。以下同じ。）を取得することについて事業主の承認を受けたことを証明することができる書類及び雇用保険被保険者教育訓練休暇開始時賃金月額証明票を添えて教育訓練休暇給付金支給申請書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の10|様式第33号の2の10]]）を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。この場合において、その者が[[雇用保険法施行規則第101条の2の24|第101条の2の24第5項]]の規定により教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書の交付を受けているときは、併せて提出しなければならない。 #管轄公共職業安定所の長は、前項の規定により教育訓練休暇給付金支給申請書を提出した者が、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項]]本文（[[雇用保険法第60条の3|同条第3項]]において読み替えて適用する場合を含む。[[雇用保険法施行規則第101条の2の21|第101条の2の21]]において同じ。）の規定に該当すると認めたときは、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第4項]]の規定によりその者が教育訓練休暇を取得していることについての認定（以下「教育訓練休暇取得の認定」という。）を受けるべき日（以下「教育訓練休暇取得認定日」という。）を定め、その者に知らせるとともに、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の11|様式第33号の2の11]]）に必要な事項を記載した上、交付しなければならない。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の18]]<br>（法第60条の3第1項の休暇） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の20]]<br>（教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の19]] mxb9k7lzj76a40v2r706d5gxddgkxdc 0 48760 302755 2026-08-27T02:15:34Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） ;第101条の2の20 :教育訓練休暇給付金支給対象者は、教育訓練休暇給付金支給申請書その他[[雇用保険法施行規則第101条の2の19|前条第1項]]に規定する書類の記載事項に変更があつたときは、速やかに、変更の事実を証…」 302755 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） ;第101条の2の20 :教育訓練休暇給付金支給対象者は、教育訓練休暇給付金支給申請書その他[[雇用保険法施行規則第101条の2の19|前条第1項]]に規定する書類の記載事項に変更があつたときは、速やかに、変更の事実を証明することができる書類及び変更内容について事業主の承認を受けたことを証明することができる書類を添えて、その旨を管轄公共職業安定所の長に届け出なければならない。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の19]]<br>（教育訓練休暇給付金の受給資格の決定） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の21]]<br>（法第60条の3第1項に規定する期間内に再び教育訓練休暇を取得した場合の受給手続） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の20]] mgtliww6w2g1szv10dgblku46ve9zlx 0 48761 302757 2026-08-27T02:19:45Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項に規定する期間内に再び教育訓練休暇を取得した場合の受給手続） ;第101条の2の21 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項]]本文に規定する期間内に教育訓練休暇を終了したときは、当該期間内に再び教育訓練休暇を…」 302757 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項に規定する期間内に再び教育訓練休暇を取得した場合の受給手続） ;第101条の2の21 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項]]本文に規定する期間内に教育訓練休暇を終了したときは、当該期間内に再び教育訓練休暇を開始し、当該期間に係る受給資格に基づき教育訓練休暇給付金の支給を受ける場合のために、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知を保管しなければならない。 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、前項の期間内に教育訓練休暇を終了し、当該期間内に再び教育訓練休暇を開始し、当該期間に係る受給資格に基づき教育訓練休暇給付金の支給を受けようとするときは、その保管する教育訓練休暇給付金受給資格決定通知を添えて教育訓練休暇給付金支給申請書を管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。この場合において、管轄公共職業安定所の長は、[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項]]本文の規定に該当すると認めたときは、その者について新たに教育訓練休暇取得認定日を定め、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知に必要な事項を記載した上、交付しなければならない。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の20]]<br>（教育訓練休暇給付金の支給に係る事項の変更の届出） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の22]]<br>（法第60条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の21]] l0e59vbmyyb8hxljkdpy3ihbjehm03u 0 48762 302758 2026-08-27T02:25:27Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の22 :[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項第1号]]の厚生労働省令で定める理由は、次のとおりとする。 #事業所の休業 #出産 #事業主の命による外国における勤務 #国と民間企業との間の人事交流に関す…」 302758 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の22 :[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第1項第1号]]の厚生労働省令で定める理由は、次のとおりとする。 #事業所の休業 #出産 #事業主の命による外国における勤務 #[[国と民間企業との間の人事交流に関する法律第2条|国と民間企業との間の人事交流に関する法律第2条第4項第2号]]に該当する交流採用 #前各号に掲げる理由に準ずる理由であつて、管轄公共職業安定所の長がやむを得ないと認めるもの ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の21]]<br>（法第60条の3第1項に規定する期間内に再び教育訓練休暇を取得した場合の受給手続） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の23]]<br>（法第60条の3第3項の厚生労働省令で定める理由） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の22]] g5co9qe24o4jmp07ytjnajt3kl9s5wn 0 48763 302759 2026-08-27T02:28:21Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第3項の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の23 :[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]の厚生労働省令で定める理由は、次のとおりとする。 #疾病又は負傷 #前号に掲げるもののほか、管轄公共職業安定所の長がやむを得ないと認めるもの ==解説== ==参…」 302759 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第3項の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の23 :[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]の厚生労働省令で定める理由は、次のとおりとする。 #疾病又は負傷 #前号に掲げるもののほか、管轄公共職業安定所の長がやむを得ないと認めるもの ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の22]]<br>（法第60条の3第1項第1号の厚生労働省令で定める理由） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の24]]<br>（法第60条の3第3項に規定する申出） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の23]] ikr3aeb523hzcvgrkdwm9tff7eah77t 0 48764 302760 2026-08-27T02:38:38Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第3項に規定する申出） ;第101条の2の24 #[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]の申出は、医師の証明書その他の同項に規定する理由に該当することを証明することができる書類その他の職業安定局長が定める書類を添えて教育訓練休暇給付金受給期間延長…」 302760 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の3第3項に規定する申出） ;第101条の2の24 #[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]の申出は、医師の証明書その他の同項に規定する理由に該当することを証明することができる書類その他の職業安定局長が定める書類を添えて教育訓練休暇給付金受給期間延長申請書（[[雇用保険法施行規則様式第16号|様式第16号]]）を管轄公共職業安定所の長に提出することによつて行うものとする。 #前項の申出は、当該申出に係る者が[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]に規定する者に該当するに至つた日の翌日から、休暇開始日の翌日から起算して4年を経過する日までの間（同項の規定により加算された期間が4年に満たない場合は、当該期間の最後の日までの間）にしなければならない。ただし、天災その他申出をしなかつたことについてやむを得ない理由があるときは、この限りでない。 #前項ただし書の場合における第1項の申出は、当該理由がやんだ日の翌日から起算して7日以内にしなければならない。 #第2項ただし書の場合における第1項の申出は、教育訓練休暇給付金受給期間延長申請書に天災その他の申出をしなかつたことについてやむを得ない理由を証明することができる書類を添えなければならない。 #管轄公共職業安定所の長は、第1項の申出をした者が[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]に規定する者に該当すると認めたときは、その者に教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書（[[雇用保険法施行規則様式第17号|様式第17号]]）を交付しなければならない。この場合において、当該申出をした者が[[雇用保険法施行規則第101条の2の19|第101条の2の19第2項]]の規定により教育訓練休暇給付金受給資格決定通知の交付を受けているときは、管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知に必要な事項を記載した上、交付しなければならない。 #前項の規定により教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書の交付を受けた者は、次の各号のいずれかに該当する場合には、速やかに、その旨を管轄公共職業安定所の長に届け出るとともに、交付を受けた教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書を提出しなければならない。この場合において、管轄公共職業安定所の長は、提出を受けた書類に必要な事項を記載した上、返付（第2号に規定する場合であつて、当該者が教育訓練休暇給付金受給資格決定通知の交付を受けたときは、提出を受けた教育訓練休暇給付金受給期間延長通知書に必要な事項を記載した上、返付するとともに、教育訓練休暇給付金受給資格決定通知に必要な事項を記載した上、交付）しなければならない。 ##その者が提出した教育訓練休暇給付金受給期間延長申請書の記載内容に重大な変更があつた場合 ##[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3第3項]]に規定する理由がやんだ場合 #[[雇用保険法施行規則第17条の2|第17条の2第4項]]の規定は、第1項及び前項の場合並びに第2項ただし書の場合における第1項の申出に準用する。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の23]]<br>（法第60条の3第3項の厚生労働省令で定める理由） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の25]]<br>（教育訓練休暇取得の認定） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の24]] orjjsxry46v0jwz404oy12o4lu9gntd 0 48765 302761 2026-08-27T02:59:15Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇取得の認定） ;第101条の2の25 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、教育訓練休暇取得の認定を受けようとするときは、管轄公共職業安定所の長が定める教育訓練休暇取得認定日に、教育訓練休暇取得認定申告書（雇用保険法施行規則様式第33号の2の12|様式…」 302761 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇取得の認定） ;第101条の2の25 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、教育訓練休暇取得の認定を受けようとするときは、管轄公共職業安定所の長が定める教育訓練休暇取得認定日に、教育訓練休暇取得認定申告書（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の12|様式第33号の2の12]]）に教育訓練休暇の取得を証明することができる書類を添えて管轄公共職業安定所の長に提出しなければならない。ただし、やむを得ない理由により当該教育訓練休暇取得認定日に提出することが困難である場合は、当該教育訓練休暇取得認定日から7日以内に提出することができる。 #教育訓練休暇給付金支給対象者は、教育訓練休暇取得の認定を受けた期間中に自己の労働等によつて収入を得たときは、当該収入を得るに至つた日の後における最初の教育訓練休暇取得認定日に、教育訓練休暇取得認定申告書により、収入のあつた日数その他の事項を管轄公共職業安定所の長に届け出なければならない。 #管轄公共職業安定所の長は、前項の届出をしない教育訓練休暇給付金支給対象者について、自己の労働等による収入があつたかどうかを確認するために調査を行う必要があると認めるときは、教育訓練休暇取得認定日において教育訓練休暇取得の認定をした日分の教育訓練休暇給付金の支給の決定を次の教育訓練休暇給付金を支給すべき日まで延期することができる。 #管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇給付金支給対象者に対して教育訓練休暇取得の認定を行つたときは、その処分に関する事項を教育訓練休暇給付金支給決定通知（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の11|様式第33号の2の11]]）に記載した上、交付しなければならない。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の24]]<br>（法第60条の3第3項に規定する申出） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の26]]<br>（教育訓練休暇取得の認定の方法等） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の25]] czwb6eebvk2me3h7fv1gvgsciwd5eft 0 48766 302762 2026-08-27T03:03:10Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇取得の認定の方法等） ;第101条の2の26 #管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇取得の認定に当たつては、[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|前条第1項]]の規定により提出された教育訓練休暇取得認定申告書に記載された訓練内容を確認するものとする。…」 302762 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇取得の認定の方法等） ;第101条の2の26 #管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇取得の認定に当たつては、[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|前条第1項]]の規定により提出された教育訓練休暇取得認定申告書に記載された訓練内容を確認するものとする。 #管轄公共職業安定所の長は、前項の認定に関して必要があると認めるときは、教育訓練休暇給付金支給対象者に対し、運転免許証その他の教育訓練休暇給付金の支給を受けようとする者が本人であることを確認することができる書類の提示を命ずることができる。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の25]]<br>（教育訓練休暇取得の認定） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の27]]<br>（教育訓練休暇給付金の支給） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の26]] q2jfgspmxwlx4qix0rthtkr0m99sfzf 0 48767 302763 2026-08-27T03:04:54Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の支給） ;第101条の2の27 :管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇給付金支給対象者に対して教育訓練休暇取得の認定を行つたときは、その日の翌日から起算して7日以内に当該認定に係る日分の教育訓練休暇給付金を支給するものとする。 ==解説==…」 302763 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （教育訓練休暇給付金の支給） ;第101条の2の27 :管轄公共職業安定所の長は、教育訓練休暇給付金支給対象者に対して教育訓練休暇取得の認定を行つたときは、その日の翌日から起算して7日以内に当該認定に係る日分の教育訓練休暇給付金を支給するものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の26]]<br>（教育訓練休暇取得の認定の方法等） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の28]]<br>（準用） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の27]] fe49sr89x7q1arrr5j17rwwfnrhuk5r 0 48768 302764 2026-08-27T03:20:32Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （準用） ;第101条の2の28 :[[雇用保険法施行規則第25条|第25条]]、[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]]、[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]から[[雇用保険法施行規則第47条|第47条]]まで、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]、[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]（第五項を除…」 302764 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （準用） ;第101条の2の28 :[[雇用保険法施行規則第25条|第25条]]、[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]]、[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]から[[雇用保険法施行規則第47条|第47条]]まで、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]、[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]（第五項を除く。）及び[[雇用保険法施行規則第54条|第54条]]の規定は、教育訓練休暇給付金の支給について準用する。この場合において、これらの規定中「[[雇用保険法第15条|法第15条第4項第1号]]に該当する受給資格者」とあるのは「疾病又は負傷のために[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|第101条の2の25]]に規定する手続を行うことができなかつた教育訓練休暇給付金支給対象者であつて、その期間が継続して15日未満であるもの」と、「失業の認定を」とあるのは「教育訓練休暇取得の認定を」と、「失業の認定日」とあるのは「教育訓練休暇取得認定日」と、「受給資格者の」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者の」と、「[[雇用保険法第15条|法第15条第4項第4号]]に該当する受給資格者」とあるのは「天災その他やむを得ない理由のために[[雇用保険法施行規則第101条の2の25|第101条の2の25]]に規定する手続を行うことができなかつた教育訓練休暇給付金支給対象者」と、「、受給資格者に」とあるのは「、教育訓練休暇給付金支給対象者に」と、「受給資格者（」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者（」と、「口座振込受給資格者」とあるのは「[[雇用保険法施行規則第44条|第44条第1項]]に規定する方法によつて教育訓練休暇給付金の支給を受ける者」と、「当該受給資格者に」とあるのは「当該教育訓練休暇給付金支給対象者に」と、「[[雇用保険法第31条|法第31条第1項]]に規定する者」とあるのは「、教育訓練休暇給付金支給対象者が死亡したため教育訓練休暇取得の認定を受けることができなかつた期間に係る教育訓練休暇給付金の支給を請求する者」と、「受給資格者について」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者について」と、「返付（当該受給資格者が受給資格通知の交付を受けた場合にあつては、受給資格通知にその処分に関する事項を記載した上、交付）」とあるのは「交付」と、「又は住所若しくは居所」とあるのは「、住所若しくは居所又は電話番号」と、「失業の認定又は」とあるのは「教育訓練休暇取得の認定又は」と、「受給資格者氏名変更届（[[雇用保険法施行規則様式第20号|様式第20号]]）」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者氏名変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）」と、「受給資格者住所変更届（[[雇用保険法施行規則様式第20号|様式第20号]]）」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者住所変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）を、電話番号を変更した場合にあつては教育訓練休暇給付金支給対象者電話番号変更届（[[雇用保険法施行規則様式第33号の2の8|様式第33号の2の8]]）」と、「受給資格者氏名変更届又は受給資格者住所変更届」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者氏名変更届又は教育訓練休暇給付金支給対象者住所変更届」と、「返付（当該提出をした者が受給資格通知の交付を受けた場合にあつては、受給資格通知に必要な事項を記載した上、交付）」とあるのは「交付」と、[[雇用保険法施行規則第25条|第25条]]、[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]]及び[[雇用保険法施行規則第47条|第47条]]中「に出頭し」とあるのは「の長に対して」と、[[雇用保険法施行規則第25条|第25条]]、[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]]、[[雇用保険法施行規則第44条|第44条]]、[[雇用保険法施行規則第47条|第47条]]、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]及び[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]中「受給資格者証」とあるのは「教育訓練休暇給付金受給資格決定通知」と、[[雇用保険法施行規則第28条|第28条]]中「に出頭する」とあるのは「の長に対して、教育訓練休暇取得認定申告書を提出する」と、[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]]、[[雇用保険法施行規則第49条|第49条]]及び[[雇用保険法施行規則第50条|第50条]]中「受給資格者は」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給対象者は」と、[[雇用保険法施行規則第45条|第45条]]及び[[雇用保険法施行規則第46条|第46条]]中「受給資格者証」とあるのは「教育訓練休暇給付金支給決定通知」と読み替えるものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の27]]<br>（教育訓練休暇給付金の支給） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の29]]<br>（法第60条の4第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の28]] 5eeish4d4hn370nw5ytu9240r92iadj 0 48769 302765 2026-08-27T03:23:14Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の4第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） ;第101条の2の29 :[[雇用保険法第60条の4|法第60条の4第2項第1号]]の厚生労働省令で定めるものは、[[雇用保険法施行規則第35条|第35条]]各号に掲げるものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](…」 302765 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の4第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） ;第101条の2の29 :[[雇用保険法第60条の4|法第60条の4第2項第1号]]の厚生労働省令で定めるものは、[[雇用保険法施行規則第35条|第35条]]各号に掲げるものとする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の28]]<br>（準用） |[[雇用保険法施行規則第101条の2の30]]<br>（法第60条の4第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の29]] md6c7w7jp6bq4quxegyiz666akj47l2 0 48770 302766 2026-08-27T03:26:09Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の4第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の30 :[[雇用保険法第60条の4|法第60条の4第2項第2号]]の厚生労働省令で定める理由は、[[雇用保険法施行規則第36条|第36条]]各号に掲げる理由とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](…」 302766 wikitext text/x-wiki [[コンメンタール]]＞[[コンメンタール労働]]＞[[雇用保険法施行規則]] ==条文== （法第60条の4第2項第2号の厚生労働省令で定める理由） ;第101条の2の30 :[[雇用保険法第60条の4|法第60条の4第2項第2号]]の厚生労働省令で定める理由は、[[雇用保険法施行規則第36条|第36条]]各号に掲げる理由とする。 ==解説== ==参照条文== *[[雇用保険法第60条の3|法第60条の3]](教育訓練休暇給付金) ---- {{前後 |[[雇用保険法施行規則]] |[[雇用保険法施行規則#3|第3章 失業等給付]]<br> [[雇用保険法施行規則#3-6-2|第6節の2 教育訓練給付]]<br> |[[雇用保険法施行規則第101条の2の29]]<br>（法第60条の4第2項第1号の厚生労働省令で定めるもの） |[[雇用保険法施行規則第101条の3]]<br>（法第61条第1項の厚生労働省令で定める理由） }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法施行規則|101の2の30]] f8me5o7yonmcdjdjxnkqxmkv7qgzk4a 0 48771 302774 2026-08-27T07:01:47Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「==条文== （教育訓練給付金に関する暫定措置） ;附則第11条 :教育訓練給付金支給対象者であつて、[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第1項第1号]]に規定する基準日前に教育訓練給付金の支給を受けたことがないものに対する同項の規定の適用については、当分の間、同項中「3年」とあるのは、「1年」とする。 ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |雇用保険…」 302774 wikitext text/x-wiki ==条文== （教育訓練給付金に関する暫定措置） ;附則第11条 :教育訓練給付金支給対象者であつて、[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第1項第1号]]に規定する基準日前に教育訓練給付金の支給を受けたことがないものに対する同項の規定の適用については、当分の間、同項中「3年」とあるのは、「1年」とする。 ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#附則|附則]]<br> |[[雇用保険法附則第10条]]<br>(就業促進手当の支給を受けた場合の特例に関する暫定措置) |[[雇用保険法附則第11条の2]]<br>(教育訓練支援給付金) }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|附則11条]] 56awpf70wyjbb6rta3iindjc2hh2dkk 0 48772 302775 2026-08-27T07:26:47Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「==条文== （教育訓練支援給付金） ;附則第11条の2 #教育訓練支援給付金は、教育訓練給付金支給対象者（[[雇用保険法附則第11条|前条]]に規定する者のうち、[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第1項第2号]]に該当する者であつて、厚生労働省令で定めるものに限る。）であつて、厚生労働省令で定めるところにより、令和9年3月31日以前に同項に規定する教…」 302775 wikitext text/x-wiki ==条文== （教育訓練支援給付金） ;附則第11条の2 #教育訓練支援給付金は、教育訓練給付金支給対象者（[[雇用保険法附則第11条|前条]]に規定する者のうち、[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第1項第2号]]に該当する者であつて、厚生労働省令で定めるものに限る。）であつて、厚生労働省令で定めるところにより、令和9年3月31日以前に同項に規定する教育訓練であつて厚生労働省令で定めるものを開始したもの（当該教育訓練を開始した日における年齢が45歳未満であるものに限る。）が、当該教育訓練を受けている日（当該教育訓練に係る指定教育訓練実施者によりその旨の証明がされた日に限る。）のうち失業している日（失業していることについての認定を受けた日に限る。）について支給する。この場合における[[雇用保険法第10条|第10条第5項第1号]]、[[雇用保険法第60条の5|第60条の5第3項]]及び[[雇用保険法第72条|第72条第1項]]の規定の適用については、[[雇用保険法第10条|同号]]中「教育訓練給付金」とあるのは「教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金」と、[[雇用保険法第60条の5|第60条の5第3項]]中「教育訓練給付金」とあるのは「教育訓練給付金及び教育訓練支援給付金」と、「[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第2項]]」とあるのは「[[雇用保険法第60条の2|第60条の2第2項]]及び附則第11条の2第1項」と、[[雇用保険法第72条|第72条第1項]]中「若しくは[[雇用保険法第60条の2|第24条の2第1項]]」とあるのは「、[[雇用保険法第60条の2|第24条の2第1項]]若しくは附則第11条の2第1項」とする。 #前項の失業していることについての認定は、厚生労働省令で定めるところにより、公共職業安定所長が行う。 #教育訓練支援給付金の額は、[[雇用保険法第17条|第17条]]に規定する賃金日額（以下この項において単に「賃金日額」という。）に100分の50（2460円以上4920円未満の賃金日額（その額が[[雇用保険法第18条|第18条]]の規定により変更されたときは、その変更された額）については100分の80、4920円以上12090円以下の賃金日額（その額が[[雇用保険法第18条|第18条]]の規定により変更されたときは、その変更された額）については100分の80から100分の50までの範囲で、賃金日額の逓増に応じ、逓減するように厚生労働省令で定める率）を乗じて得た金額に100分の60を乗じて得た額とする。 #基本手当が支給される期間及び[[雇用保険法第21条|第21条]]、[[雇用保険法第29条|第29条第1項]]（[[雇用保険法附則第5条|附則第5条第4項]]の規定により読み替えて適用する場合を含む。）、[[雇用保険法第32条|第32条第1項若しくは第2項]]又は[[雇用保険法第33条|第33条第1項]]の規定により基本手当を支給しないこととされる期間については、教育訓練支援給付金は、支給しない。 #[[雇用保険法第21条|第21条]]、[[雇用保険法第31条|第31条第1項]]及び[[雇用保険法第78条|第78条]]の規定は、教育訓練支援給付金について準用する。この場合において、[[雇用保険法第21条|第21条]]及び[[雇用保険法第31条|同項]]中「受給資格者」とあるのは「教育訓練支援給付金の支給を受けることができる者」と、[[雇用保険法第31条|同項]]中「死亡したため失業の認定」とあるのは「死亡したため附則第11条の2第1項の失業していることについての認定」と、「について失業の認定」とあるのは「について同項の失業していることについての認定」と、[[雇用保険法第78条|第78条]]中「[[雇用保険法第15条|第15条第4項第1号]]の規定により[[雇用保険法第15条|同条第2項]]に規定する失業の認定」とあるのは「附則第11条の2第1項の失業していることについての認定」と読み替えるものとする。 ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#附則|附則]]<br> |[[雇用保険法附則第11条]]<br>(教育訓練給付金に関する暫定措置) |[[雇用保険法附則第11条の3]]<br>(教育訓練休暇給付金受給者に対する失業等給付の特例に関する暫定措置) }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|附則11条の2]] 152pu6pirc1wl3jd4v4hkwzxsxflzxa 0 48773 302776 2026-08-27T07:34:03Z Kyoikukunren.jp 91270 ページの作成:「==条文== （教育訓練休暇給付金受給者に対する失業等給付の特例に関する暫定措置） ;附則第11条の3 #[[雇用保険法第13条|第13条第3項]]に規定する特定理由離職者（厚生労働省令で定める者に限り、受給資格者を除く。）であつて、教育訓練休暇給付金の支給を受け、休暇開始日から当該給付金に係る教育訓練休暇を終了した日（休暇開始日から起算し…」 302776 wikitext text/x-wiki ==条文== （教育訓練休暇給付金受給者に対する失業等給付の特例に関する暫定措置） ;附則第11条の3 #[[雇用保険法第13条|第13条第3項]]に規定する特定理由離職者（厚生労働省令で定める者に限り、受給資格者を除く。）であつて、教育訓練休暇給付金の支給を受け、休暇開始日から当該給付金に係る教育訓練休暇を終了した日（休暇開始日から起算して1年を経過する日までに2回以上の教育訓練休暇を取得した場合にあつては、最後の教育訓練休暇を終了した日）から起算して6箇月を経過する日までに離職したもの（当該離職の日が特定期間内にあるものに限る。）については、当該特定理由離職者を[[雇用保険法第60条の4|第60条の4第2項]]に規定する特定教育訓練休暇給付金受給者とみなして同条第一項の規定を適用する。 #[[雇用保険法第60条の3|第60条の3第3項]]の規定の適用を受けた者に対する前項の規定の適用については、同項中「1年」とあるのは、「[[雇用保険法第60条の3|第60条の3第3項]]に規定する理由により教育訓練を受けることができない日数を1年に加算した期間（その期間が4年を超えるときは、4年）」とする。 #第1項の規定の適用がある場合における[[雇用保険法第72条|第72条第1項]]の規定の適用については、[[雇用保険法第72条|同項]]中「若しくは[[雇用保険法第24条の2|第24条の2第1項]]」とあるのは、「、[[雇用保険法第24条の2|第24条の2第1項]]若しくは附則第11条の3第1項」とする。 ==解説== ==参照条文== ---- {{前後 |[[雇用保険法]] |[[雇用保険法#附則|附則]]<br> |[[雇用保険法附則第11条の2]]<br>(教育訓練支援給付金) |[[雇用保険法附則第12条]]<br>(介護休業給付金に関する暫定措置) }} {{stub|law}} [[category:雇用保険法|附則11条の2]] 2at8h56ukq1bsbo6z5m5fb3kmuclrpn