教唆犯

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      <text bytes="3707" sha1="12a5lcd47c3z1jukkpvlev4mdvzvo0d" xml:space="preserve">[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[刑法総論]]＞[[修正された構成要件：共犯（その２）]]＞[[教唆犯]]
== 教唆犯とは ==
「教唆」とは、他人をそそのかして犯罪実行の決意を生じさせる行為を言い、その実行者は、[[刑法第61条|第61条]]により、共犯である教唆犯として正犯と共に罰せられる。
:（条文）
:#人を教唆して犯罪を実行させた者には、正犯の刑を科する。
:#教唆者を教唆した者についても、前項と同様とする。
教唆は、正犯の精神的な面を補強するものとされ、実行を補助する幇助犯には必要的減軽が適用される（[[刑法第63条|第63条]]）のに対して、正犯同等の科刑がなされる。ただし、一般に科刑が正犯を超えることはない。

== 要件 ==

=== 故意 ===
:教唆の故意につき、通説では、自己の教唆行為により、被教唆者が特定の犯罪を犯すことを決意し、かつその実行に出ることを表象・認容することとされる。

==== 「未遂の教唆」の設例 ====
#甲は乙に、金庫の中が無一物であることを知りながら、現金が入っていると偽り窃盗を教唆した。
#現実に現金が入っていたが、甲は乙の着手後、直ちにその犯行を阻止する意図であった。
##[[主観的危険犯]]、[[抽象的危険犯]]の立場からは未遂犯が成立。しかしながら、教唆者によって形成された意思の形成時点において、そもそも危険はなかったのだから、[[不能犯]]となり不可罰。したがって、甲の行為は（窃盗において）可罰性がない。
##具体的な危険が発生している。&lt;br&gt;（教唆犯成立）この場合の「結果」とは、正犯に未遂行為を行わせることにより結果発生の具体的危険を生ぜしめたことであり、このことについては教唆者も認識しており、主観的要件に欠くところはない。従って、教唆犯が成立する。&lt;br&gt;（教唆犯不成立）教唆者は、「結果」を認識しているが、同時に「結果阻止」を企図しているので「結果不発生」をも認識している。正犯による結果発生につき、未必の故意すらなければ、教唆犯として罪を問い得ない。（cf.「[[アジャン･プロヴォカトゥール]]」）

===教唆行為===

:方法は問わない。
::明示的、暗示的、命令、指示etc

===被教唆者の実行行為===
:被教唆者が犯罪の実行に着手しなければ、教唆者は処罰されない。共犯従属性説の帰結である。

===因果関係===
:教唆行為と被教唆者の実行行為との間には因果関係が必要とされる。

==教唆犯の従属性==
===実行従属性===
:法文上「'''犯罪を実行'''させた」とあることから、正犯が犯罪の実行に着手するまで教唆犯は成立しない。

===要素従属性===
:教唆者が処罰されるためには、正犯の行為が犯罪の処罰要件をどれだけ備えている必要があるか、という問題である。
:かつては極端従属性説が通説および判例であったが、判例が制限従属性説を採用したことにより学説上も制限従属性説が支配的となっている。

===罪名従属性===
:教唆犯に成立する罪名は正犯のそれと一致するのが原則であるが、[[共犯の錯誤]]や[[身分犯]]においては例外が認められている。

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{{DEFAULTSORT:きようさはん}}
[[category:刑法総論]]
[[category:共犯]]</text>
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    <title>高等学校理科基礎</title>
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      <text bytes="763" sha1="5obv7uuyspn7sbh6i6frhntygjnw8vd" xml:space="preserve">{{要アップデート}}
'''高等学校理科基礎'''（こうとうがっこうりかきそ）とは、科学史の観点から科学がどのように発展してきたかを観察、実験を通して学ぶ科目である。

* 高等学校理科基礎化学分野
** 原子と分子
** 物質の合成
* 高等学校理科基礎生物分野
** 細胞の発見と細胞説
** 進化とは何か
* 高等学校理科基礎物理分野
** エネルギーとは何か？
** 電気エネルギーの利用
* [[高等学校理科基礎地学分野]]
** 天動説と地動説
** プレートテクトニクスとは？

※各分野中より1つを選んで履修する。

[[Category:高等学校教育|理りかきそ]]
[[Category:理科教育|高りかきそ]]</text>
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    <title>刑法第176条</title>
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        <username>Seihigaisya</username>
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      <text bytes="18687" sha1="rvbiz1crbcs26i5gcnqjfiypclzjmjh" xml:space="preserve">*[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]]
*[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]]
== 条文 ==
（不同意わいせつ）
; 第176条
#次に掲げる行為又は事由その他これらに類する行為又は事由により、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態にさせ又はその状態にあることに乗じて、わいせつな行為をした者は、婚姻関係の有無にかかわらず、6月以上10年以下の拘禁刑に処する。
##暴行若しくは脅迫を用いること又はそれらを受けたこと。
##心身の障害を生じさせること又はそれがあること。
##アルコール若しくは薬物を摂取させること又はそれらの影響があること。
##睡眠その他の意識が明瞭でない状態にさせること又はその状態にあること。
##同意しない意思を形成し、表明し又は全うするいとまがないこと。
##予想と異なる事態に直面させて恐怖させ、若しくは驚愕させること又はその事態に直面して恐怖し、若しくは驚愕していること。
##虐待に起因する心理的反応を生じさせること又はそれがあること。
##経済的又は社会的関係上の地位に基づく影響力によって受ける不利益を憂慮させること又はそれを憂慮していること。
#行為がわいせつなものではないとの誤信をさせ、若しくは行為をする者について人違いをさせ、又はそれらの誤信若しくは人違いをしていることに乗じて、わいせつな行為をした者も、前項と同様とする。
#16歳未満の者に対し、わいせつな行為をした者（当該16歳未満の者が13歳以上である場合については、その者が生まれた日より5年以上前の日に生まれた者に限る。）も、第1項と同様とする。
===改正経緯===
====2023年改正====
2023年改正により、以下の条項から改正。
;（強制わいせつ）
: 13歳以上の者に対し、暴行又は脅迫を用いてわいせつな行為をした者は、6月以上10年以下の懲役に処する。13歳未満の者に対し、わいせつな行為をした者も、同様とする。
:*改正ポイント
:*#改正以前は、性犯罪の本質である「自由な意思決定が困難な状態で行われた性的行為」を暴行・脅迫、抗拒不能・心神喪失といった要件により判断していたが、これらを統合し、本罪ではその本質を「'''同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態'''」といった要件を用いた表現に変更された&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot;&gt;[https://www.moj.go.jp/keiji1/keiji12_00200.html 法務省「性犯罪関係の法改正等 Q&amp;A」]&lt;/ref&gt;。なお性犯罪の本質的な考え方に変更は加えられていない&lt;ref name=&quot;梶2023&quot;&gt;{{Cite journal ja-jp
 |author=梶美紗
 |year=2023
 |title=「刑法及び刑事訴訟法の一部を改正する法律」及び「性的な姿態を撮影する行為等の処罰及び押収物に記録された性的な姿態の影像に係る電磁的記録の消去等に関する法律」の概要（1）
 |journal=捜査研究
 |issue=877
 |publisher=東京法令出版
 |url=https://www.tokyo-horei.co.jp/magazine/sousakenkyu/202310/
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*ここでいう「不同意」とは、被害者の内心それ自体ではなく、性的行為を行うか否かについて自由な意思決定が困難な「不同意困難状態」をいい、また「状態」を要件としていることを理由に、性的行為を内心にて「応じたくない」という意思があった場合でも、「同意しない意思を形成・表明・全うすることが困難な状態」に陥っておらず性的行為に応じた場合は、犯罪の成立は認めることができない&lt;ref&gt;{{Cite journal ja-jp
 |author=山中純子
 |year=2025
 |title=2023年性犯罪規定改正の概要と課題
 |journal=東海法学
 |issue=69
 |publisher=東海大学法学部
 |url=https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/37/2025/12/fa854bb194b3fd8402a7373779697c50.pdf
}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot;&gt;{{Cite book|和書
 |title=性犯罪に対する処罰規定の改正等について
 |author=橋爪隆
 |year=2024
 |publisher=立花書房
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*犯罪成立には、以下の'''3要件'''を満たすことに加え、それぞれの事実について行為者の認識・認容が必要となるよう変更された&lt;ref name=&quot;梶2023&quot; /&gt;。
:*#*#'''手段など（アルコールの摂取・影響など）があること'''
:*#*#'''それらにより、要件の本体部分（全うすることが困難な状態など）まで被害者が陥ること'''
:*#*#'''その状態下のものにわいせつな行為が行われたこと'''
:*#*なお 1.手段など（アルコールの摂取・影響など）のみに該当する場合は性犯罪を構成せず、構成には 2.の程度（困難な状態）が必須である&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
:*#*法務省によれば'''旧法（暴行・脅迫、心神喪失・抗拒不能）から処罰範囲は拡大はしていない'''が、より明確で、判断にばらつきが生じない規定となったとしている&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot; /&gt;。
:*#*誤信類型は旧法抗拒不能に含めていたが、2項で処罰されることになった&lt;ref&gt;安達光治「『ハイブリッド刑法各論〔第3版〕』補遺」5頁、法律文化社。[https://www.hou-bun.com/01main/01_04_hoi_pdf_129.pdf]&lt;/ref&gt;。
:*#改正前から、13歳未満の若年者に対するわいせつは、「暴行・脅迫」の要件を要さず強制性交等罪を構成していた。本改正において16歳未満の若年者に対するわいせつは、他の要件を要さずとも本罪を構成することとなった。本改正は、対象年齢を引き上げただけの改正と言える。ただし、相手方が13歳以上16歳未満であって、わいせつをした者が当該相手方より5歳以上年上では'''ない'''場合は、年齢要件のみでは本罪は成立せず、第1項又は第2項の要件を満たした場合のみ本罪が成立することとした。
:*#婚姻関係の存在により本罪が成立しないものではないことを明確にした（[[刑法第177条#夫婦間における本罪の成立|次条（不同意性交等罪）解説]]参照）。

====2022年改正====
2022年改正により、以下のとおり改正。施行日については本改正時は未定であったが（後に他の条項に関しては2025年6月1日と決定）、2023年改正施行に合わせ拘禁刑としている。
:（改正前）懲役
:（改正後）拘禁刑

====2017年改正====
2017年改正により以下の通り改正。

改正前
:13歳以上の'''男女'''に対し
改正後
:13歳以上の'''者'''に対し

強制わいせつ罪の特別法の位置づけになる強姦罪等については、犯罪の主体は男性のみであった。一般法である強制わいせつ罪は犯罪の主体は男女を問わなかったため、それを明示する意図も含め「男女」と記したものであるが、改正により、強姦罪等の後継である強制性交等の一連の罪の主体は性別を問うことが無くなったので、「男女」の明記を一般的な表記にしたもの。

== 解説 ==
2023年改正前の強制わいせつ罪の、保護法益は被害者の「性的自由」とされるが、改正前は「暴行又は脅迫」を用いてこの自由を侵害した行為が可罰性あるものとされていた。本罪では準強制わいせつ罪と統合し、「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」に陥っている被害者にわいせつを行った場合に処罰される。

また本要件は「同意しない意思」が前提となっているため、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態であっても、そもそも内心などに「同意」が存在する場合は構成要件該当性が否定されるとの見解がある&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。同意は明示のみならず黙示でも良く、また同意を誤信した場合は故意が欠ける&lt;ref name=&quot;田中上&quot;&gt;{{Cite book
 |和書
 |title=性犯罪・児童虐待捜査ハンドブック〔第2版〕（上）―被害者心理から捜査・公判まで―
 |last=田中
 |first=嘉寿子
 |year=2026
 |publisher=立花書房
 |isbn=9784803707304
}}&lt;/ref&gt;。

黙示の消極的な同意（沈黙の同意）やその誤信が認められたこともあるが、田中は特段の事情がない限り認めるべきでないとしている&lt;ref name=&quot;田中上&quot;/&gt;。

なお第1項各号には行為・事由が列挙されているが、これらは単なる手段や契機であって、行為・事由のみに該当することは犯罪ではない。'''加えて「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」まで達していたことが必須'''であり、後者の要件で被害者の状態の検討を要する&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
===わいせつな行為===
:「わいせつな行為」とは、わいせつ物頒布等罪（[[刑法第175条|第175条]]）における判例「徒らに性慾を興奮又は刺戟せしめ且つ普通人の正常な性的羞恥心を害し、善良な性的道義観念に反するもの（[[刑法第175条#猥褻|最判昭和26年5月10日]]）」に準拠されるものとされ多くの判決などにも引かれるが、立法時と異なり、不同意わいせつ罪（強制わいせつ罪）の保護法益は「性的自由」と考えられるようになったため、176条の「わいせつな行為」の定義自体は、判例等において依然として変更されなかったものの、「客体である個人の性的自由を侵害するか」という見地から解釈すべきとされるようになった。その結果、現在では、刑法176条におけるわいせつ概念は、公然わいせつ罪におけるそれより広い概念だと理解されており、公然わいせつ罪にはあたらないが、強制わいせつ罪にあたりうるわいせつ行為が存在するとされる&lt;ref&gt;{{Cite web |url=https://www.ritsumei.ac.jp/acd/cg/law/lex/17-56/007kamon.pdf |title= 強制わいせつ罪におけるわいせつ概念について |author=嘉門優 |work=立命館法学 375/376 116-134 |publisher=立命館大学 |date=2018-03 |accessdate=2023-07-15}}&lt;/ref&gt;。たとえば、服の上から乳房や陰部などに触れる行為や接吻する行為自体は、公衆の前で行われても、わいせつとされ、公然わいせつ罪が問われる可能性は少ないが、その行為を相手方が同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態である場合に行えば不同意わいせつ罪を問いうる。しかし、現在、さらに進んで、わいせつな行為を単純に「性的性質を有する一定の重大な侵襲」と定義すべきとも主張もなされている&lt;ref&gt;{{Cite journal ja-jp|author = 佐藤陽子|year = 2016|title = 強制わいせつ罪におけるわいせつ概念について |journal = 法律時報|issue = 1104|publisher = 日本評論社|pages = 60-65}}&lt;/ref&gt;。しかしながら、この定義では曖昧に過ぎ罪刑法定主義に反するとの批判もある。実際の判定においては、わいせつとされる行為について、(ⅰ)関係する部位，(ⅱ)接触の有無・方法，(ⅲ)継続性，(ⅳ)強度，(ⅴ)性的意図，(ⅵ)その他の状況の全事情を評価するものと分析されている。

==参照条文==
*[[刑法第180条|第180条]]（未遂罪）
:未遂は、罰する。
==判例==
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/50960/detail2/index.html 強制わいせつ、強姦致傷](最高裁判決昭和44年7月25日)
#;13才未満の者に対しその反抗を著しく困難にさせる程度の脅迫を用いてわいせつ行為をした場合の擬律
#:13才未満の者に対し、その反抗を著しく困難にさせる程度の脅迫を用いてわいせつの行為をした場合には、刑法176条の前段と後段との区別なく右法条に該当する一罪が成立する。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/50924/detail2/index.html 強制わいせつ](最高裁判決昭和45年1月29日 刑集24巻1号1頁)
#;専ら報復または侮辱虐待の目的をもつて婦女を脅迫し裸にして撮影する行為と強制わいせつ罪の成否
#:強制わいせつ罪が成立するためには、その行為が犯人の性欲を刺戟興奮させまたは満足させるという性的意図のもとに行なわれることを要し、婦女を脅迫し裸にして、その立つているところを撮影する行為であつても、これが専らその婦女に報復し、または、これを侮辱し、虐待する目的に出たときは、強要罪その他の罪を構成するのは格別、強制わいせつの罪は成立しない。
#:*被告人が、専ら報復のために被害者を裸にして写真を撮った事例
#:*:本判例は、以下の判決（最高裁判決平成29年11月29日）により変更されている。
#:*:なお、[[w:リベンジポルノ|リベンジポルノ]]については、「[[私事性的画像記録の提供等による被害の防止に関する法律]]」が立法され、個別犯罪化されている。
#:*:また、盗撮等不同意の撮影・映像の提供については「[[性的な姿態を撮影する行為等の処罰及び押収物に記録された性的な姿態の影像に係る電磁的記録の消去等に関する法律]]」が立法され犯罪化されている。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/87256/detail2/index.html 児童買春、児童ポルノに係る行為等の規制及び処罰並びに児童の保護等に関する法律違反、強制わいせつ、犯罪による収益の移転防止に関する法律違反被告事件](最高裁判決平成29年11月29日 刑集71巻9号467頁)
#;強制わいせつ罪の成立と行為者の性的意図の要否
#:刑法（平成29年法律第72号による改正前のもの）176条にいう「わいせつな行為」に当たるか否かの判断を行うための個別具体的な事情の一つとして、行為者の目的等の主観的事情を判断要素として考慮すべき場合はあり得るが、行為者の性的意図は強制わいせつ罪の成立要件ではない。
===関連判例===
第1項第8号（セクシャルハラスメント）関連
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/88104/detail2/index.html 停職処分取消請求事件](最高裁判決平成30年11月6日)[[地方公務員法第29条|地方公務員法29条]]1項，[[地方公務員法第33条|地方公務員法33条]]，加古川市職員の懲戒の手続及び効果に関する条例（昭和28年加古川市条例第7号）4条
#;地方公共団体の男性職員が勤務時間中に訪れた店舗の女性従業員にわいせつな行為等をしたことを理由とする停職6月の懲戒処分に裁量権の範囲を逸脱し又はこれを濫用した違法があるとした原審の判断に違法があるとされた事例
#:*行為態様
#:*:被上告人は，勤務時間中，上告人の市章の付いた作業着である制服制服を着用して本件店舗を訪れ，顔見知りであった女性従業員（以下「本件従業員」という。）に飲物を買い与えようとして，自らの左手を本件従業員の右手首に絡めるようにしてショーケースの前まで連れて行き，そこで商品を選ばせた上で，自らの右腕を本件従業員の左腕に絡めて歩き始め，その後間もなく，自らの右手で本件従業員の左手首をつかんで引き寄せ，その指先を制服の上から自らの股間に軽く触れさせた。本件従業員は，被上告人の手を振りほどき，本件店舗の奥に逃げ込んだ。
#:地方公共団体の男性職員が勤務時間中に訪れた店舗においてその女性従業員の手を自らの下半身に接触させようとするなどのわいせつな行為等をしたことを理由とする停職6月の懲戒処分がされた場合において，次の1.～5.など判示の事情の下では，上記処分に裁量権の範囲を逸脱し，又はこれを濫用した違法があるとした原審の判断には，懲戒権者の裁量権に関する法令の解釈適用を誤った違法がある【したがって、懲戒処分は相当である】。
#:#上記行為は，&lt;u&gt;上記職員と上記従業員が客と店員の関係にあって拒絶が困難であることに乗じて行われた&lt;/u&gt;。
#:#上記行為は，勤務時間中に市の制服を着用してされたものである上，複数の新聞で報道されるなどしており，上記地方公共団体の公務一般に対する住民の信頼を大きく損なうものであった。
#:#上記職員は，以前から上記店舗の従業員らを不快に思わせる不適切な言動をしており，これを理由の一つとして退職した女性従業員もいた。
#:#&lt;u&gt;上記1.の従業員が終始笑顔で行動し，上記職員から手や腕を絡められるという身体的接触に抵抗を示さなかったとしても，それは客との間のトラブルを避けるためのものであったとみる余地がある&lt;/u&gt;。
#:#&lt;u&gt;上記従業員及び上記店舗のオーナーが上記職員の処罰を望まないとしても，それは事情聴取の負担や上記店舗の営業への悪影響等を懸念したことによるものとも解される&lt;/u&gt;。

==脚注==
&lt;references/&gt;
----
{{前後
|[[コンメンタール刑法|刑法]]
|[[コンメンタール刑法#2|第2編 罪]]&lt;br&gt;
[[コンメンタール刑法#2-22|第22章 わいせつ、不同意性交等及び重婚の罪]]&lt;br&gt;
|[[刑法第175条]]&lt;br&gt;（わいせつ物頒布等）&lt;br&gt;
|[[刑法第177条]]&lt;br&gt;（不同意性交等）&lt;br&gt;
}}
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[[Category:刑法|176]]
[[category:刑法 2017年改正|176]]
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        <id>92079</id>
      </contributor>
      <minor />
      <origin>303915</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18654" sha1="4jjkp4onyrb2hp32b33gmcwqdswebgv" xml:space="preserve">*[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]]
*[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]]
== 条文 ==
（不同意わいせつ）
; 第176条
#次に掲げる行為又は事由その他これらに類する行為又は事由により、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態にさせ又はその状態にあることに乗じて、わいせつな行為をした者は、婚姻関係の有無にかかわらず、6月以上10年以下の拘禁刑に処する。
##暴行若しくは脅迫を用いること又はそれらを受けたこと。
##心身の障害を生じさせること又はそれがあること。
##アルコール若しくは薬物を摂取させること又はそれらの影響があること。
##睡眠その他の意識が明瞭でない状態にさせること又はその状態にあること。
##同意しない意思を形成し、表明し又は全うするいとまがないこと。
##予想と異なる事態に直面させて恐怖させ、若しくは驚愕させること又はその事態に直面して恐怖し、若しくは驚愕していること。
##虐待に起因する心理的反応を生じさせること又はそれがあること。
##経済的又は社会的関係上の地位に基づく影響力によって受ける不利益を憂慮させること又はそれを憂慮していること。
#行為がわいせつなものではないとの誤信をさせ、若しくは行為をする者について人違いをさせ、又はそれらの誤信若しくは人違いをしていることに乗じて、わいせつな行為をした者も、前項と同様とする。
#16歳未満の者に対し、わいせつな行為をした者（当該16歳未満の者が13歳以上である場合については、その者が生まれた日より5年以上前の日に生まれた者に限る。）も、第1項と同様とする。
===改正経緯===
====2023年改正====
2023年改正により、以下の条項から改正。
;（強制わいせつ）
: 13歳以上の者に対し、暴行又は脅迫を用いてわいせつな行為をした者は、6月以上10年以下の懲役に処する。13歳未満の者に対し、わいせつな行為をした者も、同様とする。
:*改正ポイント
:*#改正以前は、性犯罪の本質である「自由な意思決定が困難な状態で行われた性的行為」を暴行・脅迫、抗拒不能・心神喪失といった要件により判断していたが、これらを統合し、本罪ではその本質を「'''同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態'''」といった要件を用いた表現に変更された&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot;&gt;[https://www.moj.go.jp/keiji1/keiji12_00200.html 法務省「性犯罪関係の法改正等 Q&amp;A」]&lt;/ref&gt;。なお性犯罪の本質的な考え方に変更は加えられていない&lt;ref name=&quot;梶2023&quot;&gt;{{Cite journal ja-jp
 |author=梶美紗
 |year=2023
 |title=「刑法及び刑事訴訟法の一部を改正する法律」及び「性的な姿態を撮影する行為等の処罰及び押収物に記録された性的な姿態の影像に係る電磁的記録の消去等に関する法律」の概要（1）
 |journal=捜査研究
 |issue=877
 |publisher=東京法令出版
 |url=https://www.tokyo-horei.co.jp/magazine/sousakenkyu/202310/
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*ここでいう「不同意」とは、被害者の内心それ自体ではなく、性的行為を行うか否かについて自由な意思決定が困難な「不同意困難状態」をいい、また「状態」を要件としていることを理由に、性的行為を内心にて「応じたくない」という意思があった場合でも、「同意しない意思を形成・表明・全うすることが困難な状態」に陥っておらず性的行為に応じた場合は、犯罪の成立は認めることができない&lt;ref&gt;{{Cite journal ja-jp
 |author=山中純子
 |year=2025
 |title=2023年性犯罪規定改正の概要と課題
 |journal=東海法学
 |issue=69
 |publisher=東海大学法学部
 |url=https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/37/2025/12/fa854bb194b3fd8402a7373779697c50.pdf
}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot;&gt;{{Cite book|和書
 |title=性犯罪に対する処罰規定の改正等について
 |author=橋爪隆
 |year=2024
 |publisher=立花書房
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*犯罪成立には、以下の'''3要件'''を満たすことに加え、それぞれの事実について行為者の認識・認容が必要となるよう変更された&lt;ref name=&quot;梶2023&quot; /&gt;。
:*#*#'''手段など（アルコールの摂取・影響など）があること'''
:*#*#'''それらにより、要件の本体部分（全うすることが困難な状態など）まで被害者が陥ること'''
:*#*#'''その状態下のものにわいせつな行為が行われたこと'''
:*#*なお 1.手段など（アルコールの摂取・影響など）のみに該当する場合は性犯罪を構成せず、構成には 2.の程度（困難な状態）が必須である&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
:*#*法務省によれば'''旧法（暴行・脅迫、心神喪失・抗拒不能）から処罰範囲は拡大はしていない'''が、より明確で、判断にばらつきが生じない規定となったとしている&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot; /&gt;。
:*#*誤信類型は旧法抗拒不能に含めていたが、2項で処罰されることになった&lt;ref&gt;安達光治「『ハイブリッド刑法各論〔第3版〕』補遺」5頁、法律文化社。[https://www.hou-bun.com/01main/01_04_hoi_pdf_129.pdf]&lt;/ref&gt;。
:*#改正前から、13歳未満の若年者に対するわいせつは、「暴行・脅迫」の要件を要さず強制性交等罪を構成していた。本改正において16歳未満の若年者に対するわいせつは、他の要件を要さずとも本罪を構成することとなった。本改正は、対象年齢を引き上げただけの改正と言える。ただし、相手方が13歳以上16歳未満であって、わいせつをした者が当該相手方より5歳以上年上では'''ない'''場合は、年齢要件のみでは本罪は成立せず、第1項又は第2項の要件を満たした場合のみ本罪が成立することとした。
:*#婚姻関係の存在により本罪が成立しないものではないことを明確にした（[[刑法第177条#夫婦間における本罪の成立|次条（不同意性交等罪）解説]]参照）。

====2022年改正====
2022年改正により、以下のとおり改正。施行日については本改正時は未定であったが（後に他の条項に関しては2025年6月1日と決定）、2023年改正施行に合わせ拘禁刑としている。
:（改正前）懲役
:（改正後）拘禁刑

====2017年改正====
2017年改正により以下の通り改正。

改正前
:13歳以上の'''男女'''に対し
改正後
:13歳以上の'''者'''に対し

強制わいせつ罪の特別法の位置づけになる強姦罪等については、犯罪の主体は男性のみであった。一般法である強制わいせつ罪は犯罪の主体は男女を問わなかったため、それを明示する意図も含め「男女」と記したものであるが、改正により、強姦罪等の後継である強制性交等の一連の罪の主体は性別を問うことが無くなったので、「男女」の明記を一般的な表記にしたもの。

== 解説 ==
2023年改正前の強制わいせつ罪の、保護法益は被害者の「性的自由」とされるが、改正前は「暴行又は脅迫」を用いてこの自由を侵害した行為が可罰性あるものとされていた。本罪では準強制わいせつ罪と統合し、「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」に陥っている被害者にわいせつを行った場合に処罰される。

また本要件は「同意しない意思」が前提となっているため、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態であっても、そもそも内心などに「同意」が存在する場合は構成要件該当性が否定されるとの見解がある&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。同意は明示のみならず黙示でも良く、また同意を誤信した場合は故意が欠ける&lt;ref name=&quot;田中上&quot;&gt;{{Cite book
 |和書
 |title=性犯罪・児童虐待捜査ハンドブック〔第2版〕（上）―被害者心理から捜査・公判まで―
 |last=田中
 |first=嘉寿子
 |year=2026
 |publisher=立花書房
 |isbn=9784803707304
}}&lt;/ref&gt;。

黙示の消極的な同意（沈黙の同意）やその誤信が認められたこともあるが、田中は否定的な意見を示している&lt;ref name=&quot;田中上&quot;/&gt;。

なお第1項各号には行為・事由が列挙されているが、これらは単なる手段や契機であって、行為・事由のみに該当することは犯罪ではない。'''加えて「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」まで達していたことが必須'''であり、後者の要件で被害者の状態の検討を要する&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
===わいせつな行為===
:「わいせつな行為」とは、わいせつ物頒布等罪（[[刑法第175条|第175条]]）における判例「徒らに性慾を興奮又は刺戟せしめ且つ普通人の正常な性的羞恥心を害し、善良な性的道義観念に反するもの（[[刑法第175条#猥褻|最判昭和26年5月10日]]）」に準拠されるものとされ多くの判決などにも引かれるが、立法時と異なり、不同意わいせつ罪（強制わいせつ罪）の保護法益は「性的自由」と考えられるようになったため、176条の「わいせつな行為」の定義自体は、判例等において依然として変更されなかったものの、「客体である個人の性的自由を侵害するか」という見地から解釈すべきとされるようになった。その結果、現在では、刑法176条におけるわいせつ概念は、公然わいせつ罪におけるそれより広い概念だと理解されており、公然わいせつ罪にはあたらないが、強制わいせつ罪にあたりうるわいせつ行為が存在するとされる&lt;ref&gt;{{Cite web |url=https://www.ritsumei.ac.jp/acd/cg/law/lex/17-56/007kamon.pdf |title= 強制わいせつ罪におけるわいせつ概念について |author=嘉門優 |work=立命館法学 375/376 116-134 |publisher=立命館大学 |date=2018-03 |accessdate=2023-07-15}}&lt;/ref&gt;。たとえば、服の上から乳房や陰部などに触れる行為や接吻する行為自体は、公衆の前で行われても、わいせつとされ、公然わいせつ罪が問われる可能性は少ないが、その行為を相手方が同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態である場合に行えば不同意わいせつ罪を問いうる。しかし、現在、さらに進んで、わいせつな行為を単純に「性的性質を有する一定の重大な侵襲」と定義すべきとも主張もなされている&lt;ref&gt;{{Cite journal ja-jp|author = 佐藤陽子|year = 2016|title = 強制わいせつ罪におけるわいせつ概念について |journal = 法律時報|issue = 1104|publisher = 日本評論社|pages = 60-65}}&lt;/ref&gt;。しかしながら、この定義では曖昧に過ぎ罪刑法定主義に反するとの批判もある。実際の判定においては、わいせつとされる行為について、(ⅰ)関係する部位，(ⅱ)接触の有無・方法，(ⅲ)継続性，(ⅳ)強度，(ⅴ)性的意図，(ⅵ)その他の状況の全事情を評価するものと分析されている。

==参照条文==
*[[刑法第180条|第180条]]（未遂罪）
:未遂は、罰する。
==判例==
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/50960/detail2/index.html 強制わいせつ、強姦致傷](最高裁判決昭和44年7月25日)
#;13才未満の者に対しその反抗を著しく困難にさせる程度の脅迫を用いてわいせつ行為をした場合の擬律
#:13才未満の者に対し、その反抗を著しく困難にさせる程度の脅迫を用いてわいせつの行為をした場合には、刑法176条の前段と後段との区別なく右法条に該当する一罪が成立する。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/50924/detail2/index.html 強制わいせつ](最高裁判決昭和45年1月29日 刑集24巻1号1頁)
#;専ら報復または侮辱虐待の目的をもつて婦女を脅迫し裸にして撮影する行為と強制わいせつ罪の成否
#:強制わいせつ罪が成立するためには、その行為が犯人の性欲を刺戟興奮させまたは満足させるという性的意図のもとに行なわれることを要し、婦女を脅迫し裸にして、その立つているところを撮影する行為であつても、これが専らその婦女に報復し、または、これを侮辱し、虐待する目的に出たときは、強要罪その他の罪を構成するのは格別、強制わいせつの罪は成立しない。
#:*被告人が、専ら報復のために被害者を裸にして写真を撮った事例
#:*:本判例は、以下の判決（最高裁判決平成29年11月29日）により変更されている。
#:*:なお、[[w:リベンジポルノ|リベンジポルノ]]については、「[[私事性的画像記録の提供等による被害の防止に関する法律]]」が立法され、個別犯罪化されている。
#:*:また、盗撮等不同意の撮影・映像の提供については「[[性的な姿態を撮影する行為等の処罰及び押収物に記録された性的な姿態の影像に係る電磁的記録の消去等に関する法律]]」が立法され犯罪化されている。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/87256/detail2/index.html 児童買春、児童ポルノに係る行為等の規制及び処罰並びに児童の保護等に関する法律違反、強制わいせつ、犯罪による収益の移転防止に関する法律違反被告事件](最高裁判決平成29年11月29日 刑集71巻9号467頁)
#;強制わいせつ罪の成立と行為者の性的意図の要否
#:刑法（平成29年法律第72号による改正前のもの）176条にいう「わいせつな行為」に当たるか否かの判断を行うための個別具体的な事情の一つとして、行為者の目的等の主観的事情を判断要素として考慮すべき場合はあり得るが、行為者の性的意図は強制わいせつ罪の成立要件ではない。
===関連判例===
第1項第8号（セクシャルハラスメント）関連
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/88104/detail2/index.html 停職処分取消請求事件](最高裁判決平成30年11月6日)[[地方公務員法第29条|地方公務員法29条]]1項，[[地方公務員法第33条|地方公務員法33条]]，加古川市職員の懲戒の手続及び効果に関する条例（昭和28年加古川市条例第7号）4条
#;地方公共団体の男性職員が勤務時間中に訪れた店舗の女性従業員にわいせつな行為等をしたことを理由とする停職6月の懲戒処分に裁量権の範囲を逸脱し又はこれを濫用した違法があるとした原審の判断に違法があるとされた事例
#:*行為態様
#:*:被上告人は，勤務時間中，上告人の市章の付いた作業着である制服制服を着用して本件店舗を訪れ，顔見知りであった女性従業員（以下「本件従業員」という。）に飲物を買い与えようとして，自らの左手を本件従業員の右手首に絡めるようにしてショーケースの前まで連れて行き，そこで商品を選ばせた上で，自らの右腕を本件従業員の左腕に絡めて歩き始め，その後間もなく，自らの右手で本件従業員の左手首をつかんで引き寄せ，その指先を制服の上から自らの股間に軽く触れさせた。本件従業員は，被上告人の手を振りほどき，本件店舗の奥に逃げ込んだ。
#:地方公共団体の男性職員が勤務時間中に訪れた店舗においてその女性従業員の手を自らの下半身に接触させようとするなどのわいせつな行為等をしたことを理由とする停職6月の懲戒処分がされた場合において，次の1.～5.など判示の事情の下では，上記処分に裁量権の範囲を逸脱し，又はこれを濫用した違法があるとした原審の判断には，懲戒権者の裁量権に関する法令の解釈適用を誤った違法がある【したがって、懲戒処分は相当である】。
#:#上記行為は，&lt;u&gt;上記職員と上記従業員が客と店員の関係にあって拒絶が困難であることに乗じて行われた&lt;/u&gt;。
#:#上記行為は，勤務時間中に市の制服を着用してされたものである上，複数の新聞で報道されるなどしており，上記地方公共団体の公務一般に対する住民の信頼を大きく損なうものであった。
#:#上記職員は，以前から上記店舗の従業員らを不快に思わせる不適切な言動をしており，これを理由の一つとして退職した女性従業員もいた。
#:#&lt;u&gt;上記1.の従業員が終始笑顔で行動し，上記職員から手や腕を絡められるという身体的接触に抵抗を示さなかったとしても，それは客との間のトラブルを避けるためのものであったとみる余地がある&lt;/u&gt;。
#:#&lt;u&gt;上記従業員及び上記店舗のオーナーが上記職員の処罰を望まないとしても，それは事情聴取の負担や上記店舗の営業への悪影響等を懸念したことによるものとも解される&lt;/u&gt;。

==脚注==
&lt;references/&gt;
----
{{前後
|[[コンメンタール刑法|刑法]]
|[[コンメンタール刑法#2|第2編 罪]]&lt;br&gt;
[[コンメンタール刑法#2-22|第22章 わいせつ、不同意性交等及び重婚の罪]]&lt;br&gt;
|[[刑法第175条]]&lt;br&gt;（わいせつ物頒布等）&lt;br&gt;
|[[刑法第177条]]&lt;br&gt;（不同意性交等）&lt;br&gt;
}}
{{stub|law}}
[[Category:刑法|176]]
[[category:刑法 2017年改正|176]]
[[category:刑法 2023年改正|176]]</text>
      <sha1>4jjkp4onyrb2hp32b33gmcwqdswebgv</sha1>
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    <title>刑法第177条</title>
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    <id>14022</id>
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      <text bytes="18186" sha1="ma4g0egpv5c4rhz8fu4kxlh6pw8yg4m" xml:space="preserve">*[[法学]]＞[[刑事法]]＞[[刑法]]＞[[コンメンタール刑法]]
*[[法学]]＞[[コンメンタール]]＞[[コンメンタール刑法]]
== 条文 ==
（不同意性交等）
; 第177条
#[[刑法第176条|前条]]第1項各号に掲げる行為又は事由その他これらに類する行為又は事由により、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態にさせ又はその状態にあることに乗じて、性交、肛門性交、口腔性交又は膣若しくは肛門に身体の一部（陰茎を除く。）若しくは物を挿入する行為であってわいせつなもの（以下この条及び[[刑法第179条|第179条]]第2項において「性交等」という。）をした者は、婚姻関係の有無にかかわらず、5年以上の有期拘禁刑に処する。
#行為がわいせつなものではないとの誤信をさせ、若しくは行為をする者について人違いをさせ、又はそれらの誤信若しくは人違いをしていることに乗じて、性交等をした者も、前項と同様とする。
#16歳未満の者に対し、性交等をした者（当該16歳未満の者が13歳以上である場合については、その者が生まれた日より5年以上前の日に生まれた者に限る。）も、第1項と同様とする。

===改正経緯===
====2023年改正====
2023年改正により、以下の条項から改正。
;（強制性交等）
: 13歳以上の者に対し、暴行又は脅迫を用いて性交、{{ruby|肛|こう}}門性交又は口{{ruby|腔|こう}}性交（以下「性交等」という。）をした者は、強制性交等の罪とし、5年以上の有期懲役に処する。13歳未満の者に対し、性交等をした者も、同様とする。
:*改正ポイント
:*#改正以前は、性犯罪の本質である「自由な意思決定が困難な状態で行われた性的行為」を暴行・脅迫、抗拒不能・心神喪失といった要件により判断していたが、これらを統合し、本罪ではその本質を「'''同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態'''」といった要件を用いた表現に変更された&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot;&gt;[https://www.moj.go.jp/keiji1/keiji12_00200.html 法務省「性犯罪関係の法改正等 Q&amp;A」]&lt;/ref&gt;。なお性犯罪の本質的な考え方に変更は加えられていない&lt;ref name=&quot;梶2023&quot;&gt;{{Cite journal ja-jp
 |author=梶美紗
 |year=2023
 |title=「刑法及び刑事訴訟法の一部を改正する法律」及び「性的な姿態を撮影する行為等の処罰及び押収物に記録された性的な姿態の影像に係る電磁的記録の消去等に関する法律」の概要（1）
 |journal=捜査研究
 |issue=877
 |publisher=東京法令出版
 |url=https://www.tokyo-horei.co.jp/magazine/sousakenkyu/202310/
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*ここでいう「不同意」とは、被害者の内心それ自体ではなく、性的行為を行うか否かについて自由な意思決定が困難な「不同意困難状態」をいい、また「状態」を要件としていることを理由に、性的行為を内心にて「応じたくない」という意思があった場合でも、「同意しない意思を形成・表明・全うすることが困難な状態」に陥っておらず性的行為に応じた場合は、犯罪の成立は認めることができない&lt;ref&gt;{{Cite journal ja-jp
|author=山中純子
|year=2025
|title=2023年性犯罪規定改正の概要と課題
|journal=東海法学
|issue=69
|publisher=東海大学法学部
|url=https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/37/2025/12/fa854bb194b3fd8402a7373779697c50.pdf
}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot;&gt;{{Cite book|和書
|title=性犯罪に対する処罰規定の改正等について
|author=橋爪隆
|year=2024
|publisher=立花書房
}}&lt;/ref&gt;。
:*#*犯罪成立には、以下の'''3要件'''を満たすことに加え、それぞれの事実について行為者の認識・認容が必要となるよう変更された&lt;ref name=&quot;梶2023&quot; /&gt;。
:*#*#'''手段など（アルコールの摂取・影響など）があること'''
:*#*#'''それらにより、要件の本体部分（全うすることが困難な状態など）まで被害者が陥ること'''
:*#*#'''その状態下の者に性交等が行われたこと'''
:*#*なお 1.手段など（アルコールの摂取・影響など）のみに該当する場合は性犯罪を構成せず、構成には 2.の程度（困難な状態）が必須である&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
:*#*法務省によれば'''旧法（暴行・脅迫、心神喪失・抗拒不能）から処罰範囲は拡大はしていない'''が、より明確で、判断にばらつきが生じない規定となったとしている&lt;ref name=&quot;moj_seihanzai&quot; /&gt;。
:*#*誤信類型は旧法抗拒不能に含めていたが、2項で処罰されることになった&lt;ref&gt;安達光治「『ハイブリッド刑法各論〔第3版〕』補遺」5頁、法律文化社。[https://www.hou-bun.com/01main/01_04_hoi_pdf_129.pdf]&lt;/ref&gt;。
:*#*本改正における要件の一元化により、[[刑法第178条|第178条]]第2項に定める事例は吸収・継承されることとなり、第1項は[[刑法第176条|前条]]に吸収されたため、同条は削除された。
:*#「性交等」の態様に関して、従来の「性交、肛門性交又は口腔性交」に「肛門に身体の一部（陰茎を除く。）若しくは物を挿入する行為であってわいせつなもの」が加わった。新たに加わった態様については「わいせつなもの」という[[傾向犯]]の要件を要する。
:*#改正前から、13歳未満の若年者に対する性交等は、「暴行・脅迫」の要件を要さず強制性交等罪を構成していた。本改正において16歳未満の若年者に対する性交等は、他の要件を要さずとも本罪を構成することとなった。本改正は、対象年齢を引き上げただけの改正と言える。ただし、相手方が13歳以上16歳未満であって、性交等をした者が当該相手方より5歳以上年上では'''ない'''場合は、年齢要件のみでは本罪は成立せず、第1項又は第2項の要件を満たした場合のみ本罪が成立することとした。
:*#婚姻関係の存在により本罪が成立しないものではないことを明確にした（[[#夫婦間における本罪の成立|解説]]参照）。

====2022年改正====
2022年改正により、以下のとおり改正。施行日については本改正時は未定であったが（後に他の条項に関しては2025年6月1日と決定）、2023年改正施行に合わせ拘禁刑としている。
:（改正前）懲役
:（改正後）拘禁刑

====2017年改正====
2017年改正により以下の条項から改正。

（改正前）
;見出し
:強姦
;条文
:'''暴行'''又は脅迫を用いて'''十三歳以上の女子を姦淫した者は、強姦の罪とし、三年'''以上の有期懲役に処する。十三歳未満の'''女子を姦淫した'''者も、同様とする。

（改正のポイント）
#処罰行為の拡張
#:処罰行為が、暴行又は脅迫を用いて（13歳未満については手段を問わない）の姦淫（「性交」）、いわゆる「強姦」に、「肛門性交」又は「口腔性交」を加えた。
#被害客体の拡張
#:処罰行為が拡張されたことに伴い、被害客体が女子のみであったものを、男性も被害客体とした。
#科刑の重罰化
#:科刑下限を3年の有期懲役から、5年の有期懲役へと厳罰化された。

== 解説 ==
2023年改正前の強制性交等罪の、保護法益は被害者の「性的自由」とされるが、改正前は「暴行又は脅迫」を用いてこの自由を侵害した行為が可罰性あるものとされていた。本罪では準強制性交等罪と統合し、「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」に陥っている被害者と性交等を行った場合に処罰される。

また本要件は「同意しない意思」が前提となっているため、同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態であっても、そもそも内心などに「同意」が存在する場合は構成要件該当性が否定されるとの見解がある&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。同意は明示のみならず黙示でも良く、また同意を誤信した場合は故意が欠ける&lt;ref name=&quot;田中上&quot;&gt;{{Cite book
 |和書
 |title=性犯罪・児童虐待捜査ハンドブック〔第2版〕（上）―被害者心理から捜査・公判まで―
 |last=田中
 |first=嘉寿子
 |year=2026
 |publisher=立花書房
 |isbn=9784803707304
}}&lt;/ref&gt;。

黙示の消極的な同意（沈黙の同意）やその誤信が認められたこともあるが、田中は否定的な意見を示している&lt;ref name=&quot;田中上&quot;/&gt;。

なお前条第1項各号には行為・事由が列挙されているが、これらは単なる手段や契機であって、行為・事由のみに該当することは犯罪ではない。'''加えて「同意しない意思を形成し、表明し若しくは全うすることが困難な状態」まで達していることが必須'''であり、後者の要件で被害者の状態の検討を要する&lt;ref name=&quot;hashizume2025&quot; /&gt;。
:#暴行若しくは脅迫を用いること又はそれらを受けたこと。
:#心身の障害を生じさせること又はそれがあること。
:#アルコール若しくは薬物を摂取させること又はそれらの影響があること。
:#睡眠その他の意識が明瞭でない状態にさせること又はその状態にあること。
:#同意しない意思を形成し、表明し又は全うするいとまがないこと。
:#予想と異なる事態に直面させて恐怖させ、若しくは驚愕させること又はその事態に直面して恐怖し、若しくは驚愕していること。
:#虐待に起因する心理的反応を生じさせること又はそれがあること。
:#経済的又は社会的関係上の地位に基づく影響力によって受ける不利益を憂慮させること又はそれを憂慮していること。

=== 夫婦間における本罪の成立 ===
:改正前、強姦罪の時代から、婚姻関係が存在する場合、すなわち夫婦間において本罪（夫婦間レイプ）が成立するかについての議論があった。
:学説においては、夫婦間レイプについて本罪が成立する余地はないとする①無条件否定説（[[w:団藤重光|団藤]]、[[w:大塚仁|大塚]] 等）、婚姻関係が実質的に破綻していた場合など、一定の場合にのみ本罪の成立を肯定する②限定的肯定説（[[w:町野朔|町野]]、[[w:林幹人|林]] 等）、夫婦間レイプについても通常の男女間と同様に本罪が成立するものと解する③無条件肯定説（[[w:平川宗信|平川]]、[[w:西田典之|西田]]、[[w:山口厚|山口]]、[[w:大谷實|大谷]] 等）がある。無条件否定説は、かつて、強姦罪の保護法益は女性の貞操と捉えられており、夫婦の関係においてそれを評価する必要がないと考えられたことを背景にしていると考えられるが、保護法益は個人の性的自己決定権であることが共通認識となっている現在においては支持を失う方向にあった。
:裁判例としては、[[#夫婦間レイプ|広島高裁松江支部昭和62年6月18日判決]]および東京高裁平成19年9月26日判決（東高時報58巻1=12号86頁）があり、いずれも、婚姻関係が実質的に破綻している状況において強制的な性行為がなされたものであり強姦罪が成立するとしている。なお、後者判決においては、「婚姻関係の実質的破綻」は必須のものとし無条件肯定説の採用を否定している。
:これら学説の傾向および判例をうけ、2023年改正において本罪に加え不同意わいせつ罪と「婚姻関係の有無にかかわらず」の文言が入り、無条件否定説は否定され、夫婦間レイプも本罪または不同意わいせつ罪が適用されることが明定された。しかし、「婚姻関係の実質的破綻」を要するか否かは明らかではない。

==参照条文==
*[[刑法第180条|第180条]]（未遂罪）
*[[刑法第241条|第241条]]（強盗・強制性交等及び同致死）

==判例==
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/55338/detail2/index.html  強姦致傷](最高裁判決  昭和24年05月10日)
#;本条の暴行又は脅迫の程度
#:本条にいわゆる暴行又は脅迫は相手方の抗拒を著しく困難ならしめる程度のものであることを以て足りる。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/56488/detail2/index.html 強姦致死](最高裁判決  昭和24年07月09日)
#;暴行又は脅迫を以つて婦女の心神を喪失させ若しくは抗拒不能に為して姦淫した行為の擬律
#:刑法第177条は暴行又は脅迫を以つて婦女を姦淫した者は、強姦の罪として処罰するを規定し、次に[[刑法第178条|同法第178條]]において、人の心神喪失若しくは抗拒不能に乗じ、又はこれをして心神を喪失せしめ、若しくは抗拒不能ならしめて姦淫したる者についても、前条の例による旨を規定している。かかる法条の排列から見れば、苟しくも暴行又は脅迫を以つて婦女を姦淫した者は、前条に該当するのであつて従ってその暴行又は脅迫によつて、婦女をして心神を喪失せしめ、若しくは抗拒不能ならしめて姦淫した者も、また当然これに包含せられるものと解すべきである。
#:*暴行脅迫により心神喪失となった被害者に対する姦淫行為（→強制性交行為）は次条【削除】準強姦（→準強制性交）ではなく、直接強姦（→強制性交）となる。
#:*:→2023年改正により、刑法第178条は削除され、本条に統合された。
#;強姦の点が未遂に終つた強姦致死罪の擬律
#:強姦致死罪は単一な[[刑法第181条]]の犯罪を構成するものであつて、強姦の点が未遂であるかどうか及びその未遂が中止未遂であるか障礙未遂であるかということは、単に情状の問題にすぎないのであつて、処断刑に変更を来たすべき性質のものではないから、本罪に対しては刑法第181条を適用すれば足り、未遂軽減に関する[[刑法第43条|同法第43条]]本文又は但書を適用すべきものではない。
#;驚愕によつて犯行を中止した場合と中止未遂
#:犯罪の実行に着手した後、驚愕によつて犯行を中止した場合においても、その驚愕の原因となつた諸般の状況が、被告人の犯意の遂行を思い止まらしめる障碍の事情として客観性のあるものと認められるときは、障碍未遂であつて中止未遂ではない。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/58672/detail2/index.html 窃盗、強姦致傷 ](最高裁判決 昭和33年06月06日 高刑集11巻10号701頁)
#;本条の暴行又は脅迫の程度
#:本条にいわゆる暴行脅迫は、&lt;u&gt;単にそれのみを取り上げて観察すれば「相手方の抗拒を著しく困難ならしめる」程度には達しないと認められるようなものであつても、&lt;/u&gt;その相手方の年令、性別、素行、経歴等やそれがなされた時間、場所の四囲の環境その他具体的事情の如何と相伴つて、相手方の抗拒を不能にし又はこれを著しく困難ならしめるものであれば足りると解すべきである。
#[https://www.courts.go.jp/hanrei/23390/detail2/index.html 住居侵入強姦致傷等被告事件](広島高裁判決 昭和33年12月24日)
#;錯誤を利用した姦淫と抗拒不能
#:犯人に当初よリ強姦の意思があり、被害者が睡気その他の事情により犯人を自己の夫と誤認しているのに乗じて姦淫する以上、性交の当時またはその直前に被害者が完全に覚せいしても右誤認の継続するかぎり刑法第178条にいわゆる抗拒不能に乗じて婦女を姦淫した場合にあたる。
#:*2023年改正前において「抗拒不能」を拡張した事例
#:*:半睡半覚状態の被害者が夫と誤認して行為者と性交した（松原89事例10：）→法益関係的錯誤説（西田＝橋爪104；山口112；浅田127）
#:*2023年改正後は「睡眠その他の意識が明瞭でない状態にさせること又はその状態にあること」により、争いなく不同意性交等罪が成立する。
#&lt;span id=&quot;夫婦間レイプ&quot;/&gt;[https://www.courts.go.jp/hanrei/24717/detail2/index.html 強姦、傷害被告事件](広島高裁松江支部判決 昭和62年6月18日)
#;夫婦間でも強姦罪が成立するとされた事例
#:法律上は夫婦であつても、婚姻が破綻して名ばかりの夫婦にすぎない場合に、夫が暴行又は脅迫をもつて妻を姦淫したときは強姦罪が成立する。

==脚注== &lt;references/&gt;
--------------------

{{前後
|[[コンメンタール刑法|刑法]]
|[[コンメンタール刑法#2|第2編 罪]]&lt;br&gt;
[[コンメンタール刑法#2-22|第22章 わいせつ、不同意性交等及び重婚の罪]]&lt;br&gt;
|[[刑法第176条]]&lt;br&gt;（不同意わいせつ）
|[[刑法第178条]]&lt;br&gt;'''削除'''&lt;br&gt;[[刑法第179条]]&lt;br&gt;（監護者わいせつ及び監護者性交等）
}}
{{stub|law}}
[[Category:刑法|177]]
[[category:刑法 2017年改正|177]]
[[category:刑法 2023年改正|177]]</text>
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    <title>中学校社会 地理/日本の諸地域 北海道地方</title>
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      <text bytes="15252" sha1="a80ubcmh5vk71t5h825bljb2c3ydjsm" xml:space="preserve">== 地図 ==
[[ファイル:Hokkaidomap-jp.png|thumb|600px|北海道地図]]
   
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== 気候 ==
北海道は、日本列島の北部に位置するため国内のその他の地域とは異なり梅雨がない。気候は冷帯（亜寒帯）である。冬は長く、11月ごろから雪が降り始める。夏の期間は冬の期間に比べると短いが、最近では30度を超える日も多くなってきている。

家の窓を二重窓にして冬の厳しい寒さを防いでいる。道路では、電熱線や温熱パイプで凍結をふせぐ'''ロード ヒーティング'''も発達している。

[[File:Ryuhyoh 01.jpg|250px|thumb|left|北海道の流氷（りゅうひょう）]]
オホーツク海の流氷（りゅうひょう）が冬に見られる。北海道の北東の海岸がオホーツク海側の海岸であり、1月ごろから3月ごろまで、流氷が見られる。

[[File:US Navy 080208-N-1083F-001 Members of the U.S. 7th Fleet Band perform in the snow during the annual Sapporo Snow Festival.jpg|250px|thumb|right|さっぽろ雪まつりの様子。]]
北海道では冬には雪が多く降るため、札幌市（さっぽろし）では毎年、さっぽろ雪まつりが冬の2月ごろに行われている。

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== 農業など ==
北海道は我が国の農地の約四分の一を占め、日本の'''食料倉庫'''とも呼ばれる。大規模な農家が多く、専業農家の数も多い。農業にコンバインなどの大型の機械を用い、大規模な酪農を行うことで日本の食糧供給を支えている。

* 西部
&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;石狩平野&lt;/span&gt;（いしかり へいや）など北海道の西部では稲作がさかん。
これは、東部と比べて西部では夏の気温が高くなるためである。

北海道の南部から中部に、南北に長く伸びる &lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;日高山脈&lt;/span&gt;（ひだか さんみゃく） があり、この山脈の東西で大きく気候が異なる。冬の降雪量は西部（日本海側）で多いが、夏は東部（太平洋側）の方が冷涼である。

米はもともと熱帯の作物なので北海道では育たなかった。近現代の北海道の米は、品種改良により寒くても育つように改良された米である。また、北海道に広がる泥炭地層はのちに'''客土'''によって改良され、農業に適するようになった。

北海道中央部の上川（かみかわ）盆地や富良野（ふらの）盆地などの盆地では夏の間気温が高くなり、十分に日射もあるため、稲作が行われている。


* 東部
[[File:Tokachi plain 01.jpg|280px|thumb|十勝平野（とかち へいや）。大規模な農園が広がる。]]
北海道東部では、あまり夏の気温が上がらない。これはオホーツク海上空にあるオホーツク海気団が冷たく湿った空気を送り込むためである。したがって霧が発生することも多く、日照量は少ない傾向にある。

稲作や畑作などに適さない場所では、かわりに畜産や酪農などが行われている。
北海道の東部、主に十勝平野などでは、畑作や畜産や酪農がさかんである。

&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;十勝平野&lt;/span&gt;（とかち へいや）は、気候がやや冷たいのと火山灰地が広がることから、あまり米づくりに向かず、かわりに畑作や酪農がさかんに行われている。
北海道の畑作物は、じゃがいも、てんさい、たまねぎ、かぼちゃ、にんじん、だいず、あずき などである。
北海道が日本１位の生産量を誇る農産物も多く、だいず、たまねぎ、かぼちゃ、てんさい、あずき、にんじん は、北海道が生産量日本第１位である。（「てんさい」とは砂糖大根のこと。甜菜（てんさい）。根を搾ってその汁を煮詰めると砂糖がとれる。）
甜菜は全国の生産量の100%を占める。

このほか、北海道中部にある夕張（ゆうばり）ではメロン栽培が有名。北海道中部にある富良野（ふらの）ではラベンダー栽培が有名。

[[File:Konsen_Plateau.JPG|right|thumb|300px|根釧台地（こんせんだいち）]]
&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;根釧台地&lt;/span&gt;（こんせんだいち）は冷涼な気候で、火山灰の土壌であるローム層が広がっている。
そのため、農産物の栽培には不向きであり、かわりに酪農や畜産が行われている。根釧台地の酪農では、バターやチーズ、牛乳などを生産している。

根釧台地の火山灰土は、阿寒岳（あかんだけ）や摩周（ましゅう）などからの火山灰である。

根釧台地の開発は、農作物が栽培しづらく開発が遅れたため、第二次世界大戦後になって開発が行われ、酪農などがさかんになった。
1950年代から「パイロットファーム」事業や、1970年代の新酪農村（しん らくのうそん）などで、根釧台地での酪農の開発がさかんになって大きな酪農地帯に発展したが、その後の貿易の自由化などで乳製品などの価格が落ちて、あまり利益があがっていない。

北海道の酪農は、消費地の本州から遠いこともあり、バター、チーズなどの乳製品の生産が発達したが、現代では冷凍輸送の発達もあり、牛乳なども多く生産している。

== アイヌ民族 ==
[[ファイル:AinuGroup.JPG|thumb|300px|アイヌ]]
北海道には、「'''アイヌ'''」と言われる先住民族がいる。江戸時代以前の日本では、アイヌ民族のことを「蝦夷」（えぞ、えみし）と言っていた。北海道は蝦夷地（えぞち）と言われていた。

なお、「アイヌ」という特定の１つの民族がいたわけでは無く、何種類かの先住民族がいて、それら先住民族をまとめた言葉が「アイヌ」である。


明治時代に北海道は大日本帝国の領土として一方的に組みこまれ、北海道の開拓が本格的に始まった。そのため、それ以前の自然が失われてしまった。現在の北海道でみられる田畑などの多くは、開拓後のものであり、森林を伐採して切り開いたものである。明治の開拓以前は、原野や森林が多くあった。
アイヌ民族は狩猟で生計をたてており、農耕の習慣が無かった。

明治のはじめごろに、&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;開拓使&lt;/span&gt;（かいたくし）という役所が置かれた。

ロシアなどに対抗する警備の役割を兼ねて、日本の兵士に農業をさせる&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;屯田兵&lt;/span&gt;（とんでんへい）が多く、北海道（道央以北）に置かれた。

このようにして、北海道の原野は農地などに開拓され、北海道は農業がさかんになった。
明治時代に日本の農学校に赴任（ふにん）したお雇い外国人のクラークも、農学校の教師であった。


* 地名に見られるアイヌ語の名ごり
地名に、アイヌの名残が多く見られる。たとえば「札幌」は「サッポロベ」が由来。

:札幌（さっぽろ） ← サッポロベ　（乾いた大きな川）
:苫小牧（とまこまい） ← トーマコマイ　（沼のある川）
:小樽（おたる） ← オタルナイ　（砂だらけの川）
:歌志内（うたしない） ← オタウシナイ　（砂の多い川）
:稚内（わっかない） ← ヤムワツカナイ　（冷たい水の川）
:富良野（ふらの） ← フラヌイ（においがするところ）　※　硫黄のにおい
:知床（しれとこ） ← シレトク　（大地の突き出たところ）　※　半島
:帯広（おびひろ）オペレペレケブ　（いくつも分かれている川）　
:登別（のぼりべつ）←ヌブルベ　（水の色の濃い川）　
:根室（ねむろ） ← ニムオロ　（樹木がしげる所）
:えりも ← エンルム　（つきでた所。岬）
:室蘭 （むろらん）← モルラン　（小さい坂）
:釧路（くしろ） ← クシル　（超える道）
:石狩川 （いしかりがわ）←  イシカラベ　（曲がりくねった川）
:夕張（ゆうばり） ← ユーパロ（鉱泉の湧き出る所）
:利尻（りしり） ← リイシリ　（高い島）


明治政府が、あまりアイヌの文化の保護に熱心では無く、同化政策に力を入れていたこともあり、アイヌの文化が衰退してしまっており、アイヌは少数民族になっている。第二次世界大戦後は、政府はアイヌ文化を保護する方針へと変えた。

== 自然 ==
[[ファイル:Kushiro marshland of winter Hokkaido,JAPAN.jpg|250px|thumb|left|釧路湿原（くしろ しつげん）。細岡展望台より冬の湿原を見る（2006年2月）]]
[[File:Grus japonensis in flight at Akan International Crane Center.jpg|thumb|タンチョウ（2007年）]]
[[File:140829 Ichiko of Shiretoko Goko Lakes Hokkaido Japan01s5.jpg|250px|thumb|left|知床半島（しれとこはんとう）の知床五湖（しれとこごこ）と知床連山（しれとこれんざん）。]]
知床半島は日本の三つの自然遺産のうちの一つであり、手つかずの自然が残っている。

&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;釧路湿原&lt;/span&gt;（くしろ しつげん）などの湿地も多く、タンチョウヅルなどの水鳥（みずどり）などの飛来する場所にもなっており、&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;ラムサール条約&lt;/span&gt;の区域内である。
ラムサール条約とは、水鳥の生息地の湿地を保護するための国際条約である。
タンチョウは、特別天然記念物である。

釧路湿原は国立公園になっている。
他にもラムサール条約に指定された湿地が北海道には多くある。

{{clear}}

== 火山 ==
[[File:有珠山.jpg|250px|thumb|left|有珠山（うすざん）]]
[[File:130922 Lake Toya Toyako Hokkaido Japan03s3.jpg|thumb|250px|洞爺湖（とうやこ）]]

火山も多く、&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;有珠山&lt;/span&gt;（うすざん）や周辺の山々は噴火することも多い。
&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;洞爺湖&lt;/span&gt;（とうやこ）は、有珠山の活動によって出来た'''カルデラ'''に水がたまってできた。このようにカルデラに水がたまって出来た湖を&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;カルデラ湖&lt;/span&gt;（カルデラこ）という。
北海道には、他にもカルデラ湖がいくつかあり、たとえば東部には阿寒湖（あかんこ）や摩周湖（ましゅうこ）や屈斜路湖（くっしゃろこ）がある。

なお、洞爺湖や有珠山周辺は、ユネスコ世界ジオパークに認定されている。


有珠山の周辺地域では、防災マップ（'''ハザードマップ'''）も作られている。これは過去に複数回災害が起こったためであり、災害への対策をすることが、被害を減らす上で重要である。

有珠山は資源としても利用されている。例えば、洞爺湖の近くに温泉（洞爺湖温泉）があり、重要な観光資源となっている。有珠山は、ほぼ30年ごとに噴火すると言われている。最近では1910年、1944年、1977年、2000年に噴火している。

[[File:130922 Showa-shinzan Sobetsu Hokkaido Japan01s3.jpg|thumb|昭和新山（しょうわ しんざん）]]
有珠山の近くにある &lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;昭和新山&lt;/span&gt;（しょうわ しんざん） は、第二次大戦の末期1944年（昭和19年）に出来た。

== 人口 ==
札幌市（さっぽろし）に人口が集中している。札幌市の人口は190万人ほどであり、北海道の人口の約3分の1が集中している。札幌は政令指定都市であり、さらに日本全国のうち4つほどしかない「地方中枢都市」になっている。

:※ 「政令指定都市」とは、基本的には人口50万人以上の都市である。なので、札幌のように、地方中枢都市は、同時に政令指定都市でもあるのが普通（2024年の時点では、日本の4つの地方中枢都市はすべて、政令指定都市でもある）。
:※ 地方中枢都市に、関東地方や、名古屋の周辺（中部地方）、京都・大阪はふくまれない。これらの地域は「地方」ではなく三大都市圏という扱い。

札幌市の町並みは、道が京都市のように碁盤（ごばん）の目（め）状に区画されている。これは明治政府が計画して都市が作られたからであり、明治時代に開拓使という役所が置かれた場所も、札幌市である。

== 水産業 ==
漁獲量が全国１位の海産物はさけ、ます、かに、ほたてがある。

1970年以前は、ロシアやアラスカ沿岸（アメリカ合衆国）、ベーリング海で、日本の漁船が漁をする北洋漁業で、 すけとうだら などを取るのが盛んだった。1970年代の排他的経済水域の設定で、北洋漁業がおとろえ、漁獲量が大きく減少した。

近年では、養殖に重点がおかれ、 ほたて や こんぶ などの養殖、栽培漁業などの「育てる漁業」に力を入れている。

水産加工業もさかんでかまぼこや缶詰食品などが生産されている。

根室や釧路は、ロシアとの水産貿易の拠点である。このためロシアの漁船も根室や釧路に立ち寄る。根室や釧路の街中には、ロシア語の標識もある。

== 工業 ==
&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;室蘭&lt;/span&gt;市（むろらん し）で&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;製鉄業&lt;/span&gt;。&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;苫小牧&lt;/span&gt;市（とまこまい し）で&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;製紙&lt;/span&gt;工業。室蘭、苫小牧ともに、場所は北海道南西部の太平洋側にある。

* 炭鉱都市（たんこう とし）
かつて、北海道に&lt;span style=&quot;font-size: large;&quot;&gt;石狩炭田&lt;/span&gt;（いしかり たんでん）など、かつて石炭の炭田があり、さかえたが、第二次世界大戦後に衰退した。夕張（ゆうばり）などは、かつて炭鉱都市（たんこう とし）として、さかえていた。
夕張市は、第二次世界大戦後にエネルギー革命によって石炭産業が衰えて、財政が悪化した。そのため夕張市は観光を振興したり、「夕張メロン」などの特産品を作ったりして町おこしをしたが、人口の減少は続き、今も夕張市の財政は苦しいままだ。

[[Category:中学校地理|にほんのしよちいき ほつかいとうちほう]]
[[カテゴリ:北海道]]</text>
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    <title>高等学校 科学と人間生活</title>
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        <username>Tomzo</username>
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      <text bytes="2290" sha1="cy2fujqmahjb1xumyddon7zl5dw99og" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校理科]]&gt;高等学校科学と人間生活
高等学校科学と人間生活のページです。

目次のタイトル・項目は、啓林館『[https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kou/science/text-2026/life/ 高等学校科学と人間生活 改訂版]』【科人061-901】の教科書に合わせました。また、内容は理数５大横綱教科書出版社【東京書籍・実教出版・啓林館・数研出版・第一学習社】の発行分対応になります。

== Prologue　科学技術の発展 ==

* [[/科学と技術の発展|科学と技術の発展]]

== Part１　生命の科学 ==

=== '''Chapter１　'''ヒトの生命現象 ===

* タンパク質と遺伝子
* ヒトの視覚と光

* 血糖濃度の調節
* 免疫

=== '''Chapter２　'''微生物とその利用 ===

* 生態系における微生物
* 微生物と人間の食生活
* 微生物と医学への利用

== Part２　物質の科学 ==

=== '''Chapter１　'''材料とその利用 ===

* プラスチック
* 金属
* セラミックス
* 資源の再利用

=== '''Chapter２　'''衣料と食品 ===

* [[高等学校 科学と人間生活/衣料の科学|衣料の科学]]
* [[高等学校 科学と人間生活/食品の科学|食品の科学]]

== Part３　光や熱の科学 ==

=== '''Chapter１　'''光の性質とその利用 ===

* 光の進み方
* 光の波としての性質
* 電磁波とその利用

=== '''Chapter２　'''熱の性質とその利用 ===

* 熱とは何か
* エネルギーの利用

== Part４　宇宙や地球の科学 ==

=== '''Chapter１　'''太陽と地球 ===

* 身近な天体～太陽と月～
* [[高等学校理科 科学と人間生活/身近な天体と太陽系における地球|身近な天体と地球]]
* 潮の満ち引き
* 太陽放射と地球
* 大気の運動

=== '''Chapter２　'''自然景観と自然災害 ===

* 河川のはたらきによる景観と災害
* 地震による景観と災害
* 火山による景観と災害

== Final Chapter　これからの科学と人間生活 ==
* [[/これからの科学と人間生活|これからの科学と人間生活]]

[[カテゴリ:生活]]
[[カテゴリ:高校理科]]</text>
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    <title>高等学校日本史探究</title>
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      <contributor>
        <username>Kwawe</username>
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      <minor />
      <comment>/* 第７章　グローバル化のなかの現代日本 */</comment>
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      <text bytes="8413" sha1="7kepd3pgd8n27mesnootu3kp0wuv1dz" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;高等学校日本史探究
　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。文章の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。'''

※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。

== 第１部　原始・古代の日本と東アジア ==
INTRODUCTION

=== 第１章　日本文化のあけぼの ===

# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住）
# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代）
# [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|25%|2026-04-24}}（縄文文化の成立～縄文社会と縄文人）
# 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 ===

# 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}}
# ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第３章　律令国家の形成 ===

# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国）
# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅱ|古代国家の形成Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-02-01}}（大化の改新～東北遠征と白村江の戦い）
# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅲ|古代国家の形成Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-02-11}}（近江朝廷と壬申の乱～天武・持統期の政治改革）
# [[高等学校日本史探究/飛鳥文化・白鳳文化|飛鳥文化・白鳳文化]]{{進捗|100%|2024-11-06}}
# [[高等学校日本史探究/律令制度|律令制度]]{{進捗|100%|2025-06-03}}（大宝律令の官制～土地・人民の支配制度）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅰ|奈良時代の政治Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-07-21}}（遣唐使派遣と平城京遷都）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅱ|奈良時代の政治Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-11-22}}（奈良時代初期の政策～度重なる遷都と鎮護国家の仏教）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅲ|奈良時代の政治Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-12-21}}（公地公民制の修正～奈良時代後半の政争）
# 天平文化

STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難）

=== 第４章　古代の国家・社会の変容 ===

# [[高等学校日本史探究/律令体制再編期の政治と社会Ⅰ|律令体制再編期の政治と社会Ⅰ]]{{進捗|75%|2026-09-09}}（平安京遷都と東北経営）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅱ{{進捗|00%|2026-09-6}}（律令政治の再編成～法・儀式の整備と教育）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅲ{{進捗|00%|2026-09-5}}（密教の隆盛～弘仁・貞観文化）
# 摂関政治の成立と支配体制の転換
# 国風文化

== 第２部　中世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　荘園公領制の成立と院政 ===
※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。
* 荘園公領制の成立と院政Ⅰ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅱ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅲ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅳ

=== 第２章　中世の国家・社会の展開 ===

# 鎌倉幕府の成立と朝廷
# 中世に生きる人々
# 蒙古襲来と幕府の衰退
# 鎌倉文化

=== 第３章　中世の国家・社会の変容 ===

# 南北朝の動乱
# 室町幕府の政治と外交
# 室町社会の展開と応仁の乱
# 室町文化
# [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱）
# 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営）
# 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱）

STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化

STEP UP 3　女性と仏教

== 第３部　近世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 ===

# 織豊政権
# 天下統一の完成
# 近世成立期の文化

歴史資料と近世の展望

=== 第２章　幕藩体制の成立と展開 ===

# 幕藩体制の成立
# 貿易の統制と対外関係
# 近世社会のしくみ
# 幕府政治の展開
# 経済の発展
# 元禄文化と学芸の発展

STEP UP 4　近世の遊郭

=== 第３章　近世の国家・社会の変容 ===

# 幕藩体制の動揺と幕政の改革
# 欧米列強の接近と天保の改革
# 近世文化の成熟と変容

STEP UP 5　百姓一揆と義民物語

== 第４部　近現代の地域・日本と世界 ==
INTRODUCTION（近代）

=== 第１章　開国から倒幕へ ===
歴史資料と近代の展望

=== 第２章　明治維新 ===

# 明治維新
# 文明開化

=== 第３章　近代国家の形成 ===

# 立憲国家への道
# 議会政治の展開と日清・日露戦争
# 産業革命と社会の変化
# 近代文化の形成と展開

STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響

=== 第４章　両大戦間の日本 ===

# 第一次世界大戦
# 政党政治の展開
# 市民文化の展開

STEP UP 7　近代日本の「食」と米

=== 第５章　十五年戦争と日本 ===

# 満洲事変
# 日中戦争
# アジア・太平洋戦争（太平洋戦争）

INTRODUCTION（現代）

=== 第６章　戦後日本の形成 ===

# 占領と民主改革
# 独立と日米安保体制の形成
# 高度経済成長下の日本

STEP UP 8　エネルギー革命

=== 第７章　グローバル化のなかの現代日本 ===

# 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで）
# 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代）
# 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅡ|新たな世紀の日本へⅡ]]{{進捗|00%|2026-09-03}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|75%|2026-04-18}}（「構造改革」と対テロ戦争～憲法改正論と政権交代まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅣ|新たな世紀の日本へⅣ]]{{進捗|00%|2026-09-21}}（新しい世界を目指して～平成時代・令和時代の文化史・科学史まで）

【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}}

現代の日本の課題の探究

== 読書案内・学習方法 ==

* [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]]
* [[学習方法/高校日本史|高校日本史学習方法]]{{進捗|100%|2026-04-29}}（新試験対応）

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　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。文章の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。'''

※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。

== 第１部　原始・古代の日本と東アジア ==
INTRODUCTION

=== 第１章　日本文化のあけぼの ===

# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住）
# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代）
# [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|25%|2026-04-24}}（縄文文化の成立～縄文社会と縄文人）
# 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 ===

# 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}}
# ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第３章　律令国家の形成 ===

# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国）
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# 天平文化

STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難）

=== 第４章　古代の国家・社会の変容 ===

# [[高等学校日本史探究/律令体制再編期の政治と社会Ⅰ|律令体制再編期の政治と社会Ⅰ]]{{進捗|75%|2026-09-09}}（平安京遷都と東北経営）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅱ{{進捗|00%|2026-09-6}}（律令政治の再編成～法・儀式の整備と教育）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅲ{{進捗|00%|2026-09-5}}（密教の隆盛～弘仁・貞観文化）
# 摂関政治の成立と支配体制の転換
# 国風文化

== 第２部　中世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　荘園公領制の成立と院政 ===
※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。
* 荘園公領制の成立と院政Ⅰ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅱ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅲ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅳ

=== 第２章　中世の国家・社会の展開 ===

# 鎌倉幕府の成立と朝廷
# 中世に生きる人々
# 蒙古襲来と幕府の衰退
# 鎌倉文化

=== 第３章　中世の国家・社会の変容 ===

# 南北朝の動乱
# 室町幕府の政治と外交
# 室町社会の展開と応仁の乱
# 室町文化
# [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱）
# 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営）
# 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱）

STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化

STEP UP 3　女性と仏教

== 第３部　近世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 ===

# 織豊政権
# 天下統一の完成
# 近世成立期の文化

歴史資料と近世の展望

=== 第２章　幕藩体制の成立と展開 ===

# 幕藩体制の成立
# 貿易の統制と対外関係
# 近世社会のしくみ
# 幕府政治の展開
# 経済の発展
# 元禄文化と学芸の発展

STEP UP 4　近世の遊郭

=== 第３章　近世の国家・社会の変容 ===

# 幕藩体制の動揺と幕政の改革
# 欧米列強の接近と天保の改革
# 近世文化の成熟と変容

STEP UP 5　百姓一揆と義民物語

== 第４部　近現代の地域・日本と世界 ==
INTRODUCTION（近代）

=== 第１章　開国から倒幕へ ===
歴史資料と近代の展望

=== 第２章　明治維新 ===

# 明治維新
# 文明開化

=== 第３章　近代国家の形成 ===

# 立憲国家への道
# 議会政治の展開と日清・日露戦争
# 産業革命と社会の変化
# 近代文化の形成と展開

STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響

=== 第４章　両大戦間の日本 ===

# 第一次世界大戦
# 政党政治の展開
# 市民文化の展開

STEP UP 7　近代日本の「食」と米

=== 第５章　十五年戦争と日本 ===

# 満洲事変
# 日中戦争
# アジア・太平洋戦争（太平洋戦争）

INTRODUCTION（現代）

=== 第６章　戦後日本の形成 ===

# 占領と民主改革
# 独立と日米安保体制の形成
# 高度経済成長下の日本

STEP UP 8　エネルギー革命

=== 第７章　グローバル化のなかの現代日本 ===

# 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで）
# 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代）
# 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅡ|新たな世紀の日本へⅡ]]{{進捗|00%|2026-09-03}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|75%|2026-09-23}}（「構造改革」と対テロ戦争～憲法改正論と政権交代まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅣ|新たな世紀の日本へⅣ]]{{進捗|00%|2026-09-21}}（新しい世界を目指して～平成時代・令和時代の文化史・科学史まで）

【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}}

現代の日本の課題の探究

== 読書案内・学習方法 ==

* [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]]
* [[学習方法/高校日本史|高校日本史学習方法]]{{進捗|100%|2026-04-29}}（新試験対応）

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　高等学校日本史探究のページです。{{進捗状況}}　本ページの目次と項目の配列は、実教出版株式会社の新課程教科書「[https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/23010423 日本史探究]」（日探702・日探007-901）に合わせて作成しています。文章の配列も原則上記教科書会社さんに従いました。学習指導要領に定められた日本史探究の標準単位数は'''３単位です。'''

※本ページは大学の二次試験まで対応させるため、日本史探究の完成時期は未定です。当面の間は日本史Ｂを参照して下さい。

== 第１部　原始・古代の日本と東アジア ==
INTRODUCTION

=== 第１章　日本文化のあけぼの ===

# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅰ|日本列島最古の文化Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-09-21}}（人類の誕生と日本列島への居住）
# [[高等学校日本史探究/日本列島最古の文化Ⅱ|日本列島最古の文化Ⅱ]]{{進捗|100%|2024-10-01}}（日本の旧石器時代）
# [[高等学校日本史探究/縄文時代の社会と文化|縄文時代の社会と文化]]{{進捗|25%|2026-04-24}}（縄文文化の成立～縄文社会と縄文人）
# 弥生時代の社会と文化Ⅰ{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 弥生時代の社会と文化Ⅱ{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第２章　ヤマト政権の成立と古墳文化 ===

# 小国の分立と邪馬台国{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳の出現とヤマト政権の成立{{進捗|00%|2023-11-11}}
# ヤマト政権の展開と統治の進展{{進捗|00%|2023-11-11}}
# 古墳時代の生活と文化{{進捗|00%|2023-11-11}}

=== 第３章　律令国家の形成 ===

# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅰ|古代国家の形成Ⅰ]]{{進捗|100%|2024-11-18}}（６世紀の朝鮮半島と倭～７世紀の東アジアと倭国）
# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅱ|古代国家の形成Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-02-01}}（大化の改新～東北遠征と白村江の戦い）
# [[高等学校日本史探究/古代国家の形成Ⅲ|古代国家の形成Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-02-11}}（近江朝廷と壬申の乱～天武・持統期の政治改革）
# [[高等学校日本史探究/飛鳥文化・白鳳文化|飛鳥文化・白鳳文化]]{{進捗|100%|2024-11-06}}
# [[高等学校日本史探究/律令制度|律令制度]]{{進捗|100%|2025-06-03}}（大宝律令の官制～土地・人民の支配制度）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅰ|奈良時代の政治Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-07-21}}（遣唐使派遣と平城京遷都）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅱ|奈良時代の政治Ⅱ]]{{進捗|100%|2025-11-22}}（奈良時代初期の政策～度重なる遷都と鎮護国家の仏教）
# [[高等学校日本史探究/奈良時代の政治Ⅲ|奈良時代の政治Ⅲ]]{{進捗|100%|2025-12-21}}（公地公民制の修正～奈良時代後半の政争）
# 天平文化

STEP UP 1　[[高等学校日本史探究/奈良時代の人々の暮らし|奈良時代の人々の暮らし]]{{進捗|100%|2026-04-09}}（奈良時代の貴族生活～生活文化の発展と庶民の苦難）

=== 第４章　古代の国家・社会の変容 ===

# [[高等学校日本史探究/律令体制再編期の政治と社会Ⅰ|律令体制再編期の政治と社会Ⅰ]]{{進捗|75%|2026-09-09}}（平安京遷都と東北経営）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅱ{{進捗|00%|2026-09-6}}（律令政治の再編成～法・儀式の整備と教育）
# 律令体制再編期の政治と社会Ⅲ{{進捗|00%|2026-09-5}}（密教の隆盛～弘仁・貞観文化）
# 摂関政治の成立と支配体制の転換
# 国風文化

== 第２部　中世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　荘園公領制の成立と院政 ===
※荘園公領制の成立と院政は２０２７年４月に記述します。
* 荘園公領制の成立と院政Ⅰ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅱ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅲ
* 荘園公領制の成立と院政Ⅳ

=== 第２章　中世の国家・社会の展開 ===

# 鎌倉幕府の成立と朝廷
# 中世に生きる人々
# 蒙古襲来と幕府の衰退
# 鎌倉文化

=== 第３章　中世の国家・社会の変容 ===

# 南北朝の動乱
# 室町幕府の政治と外交
# 室町社会の展開と応仁の乱
# 室町文化
# [[高等学校日本史探究/戦国大名の分国経営Ⅰ|戦国大名の分国経営Ⅰ]]{{進捗|100%|2025-02-15}}（戦国時代の特質～戦国の争乱）
# 戦国大名の分国経営Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（分国経営）
# 戦国大名の分国経営Ⅲ{{進捗|00%|2025-02-15}}（都市の発達と町衆～経済の混乱）

STEP UP 2　東アジアのなかのアイヌ文化・琉球文化

STEP UP 3　女性と仏教

== 第３部　近世の日本と世界 ==
INTRODUCTION

=== 第１章　東アジア世界の変容と天下統一 ===

# 織豊政権
# 天下統一の完成
# 近世成立期の文化

歴史資料と近世の展望

=== 第２章　幕藩体制の成立と展開 ===

# 幕藩体制の成立
# 貿易の統制と対外関係
# 近世社会のしくみ
# 幕府政治の展開
# 経済の発展
# 元禄文化と学芸の発展

STEP UP 4　近世の遊郭

=== 第３章　近世の国家・社会の変容 ===

# 幕藩体制の動揺と幕政の改革
# 欧米列強の接近と天保の改革
# 近世文化の成熟と変容

STEP UP 5　百姓一揆と義民物語

== 第４部　近現代の地域・日本と世界 ==
INTRODUCTION（近代）

=== 第１章　開国から倒幕へ ===
歴史資料と近代の展望

=== 第２章　明治維新 ===

# 明治維新
# 文明開化

=== 第３章　近代国家の形成 ===

# 立憲国家への道
# 議会政治の展開と日清・日露戦争
# 産業革命と社会の変化
# 近代文化の形成と展開

STEP UP 6　日露戦争のアジアへの影響

=== 第４章　両大戦間の日本 ===

# 第一次世界大戦
# 政党政治の展開
# 市民文化の展開

STEP UP 7　近代日本の「食」と米

=== 第５章　十五年戦争と日本 ===

# 満洲事変
# 日中戦争
# アジア・太平洋戦争（太平洋戦争）

INTRODUCTION（現代）

=== 第６章　戦後日本の形成 ===

# 占領と民主改革
# 独立と日米安保体制の形成
# 高度経済成長下の日本

STEP UP 8　エネルギー革命

=== 第７章　グローバル化のなかの現代日本 ===

# 「国際化」する経済大国Ⅰ{{進捗|00%|2023-00-00}}（ドル＝ショックと石油危機～安定成長への転換まで）
# 「国際化」する経済大国Ⅱ{{進捗|00%|2023-00-00}}（経済大国への道と国際化の時代）
# 「国際化」する経済大国Ⅲ{{進捗|00%|2023-00-00}}（貿易摩擦とバブル経済～「豊かさ」と社会・生活の変容まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅠ|新たな世紀の日本へⅠ]]{{進捗|100%|2026-04-10}}（冷戦の終結とグローバル化～湾岸戦争と平和維持活動まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅡ|新たな世紀の日本へⅡ]]{{進捗|00%|2026-09-03}}（政界再編と５５年体制の終結～行政改革と日米安保の変化まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ|新たな世紀の日本へⅢ]]{{進捗|100%|2026-09-23}}（「構造改革」と対テロ戦争～憲法改正論と政権交代まで）
# [[高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅣ|新たな世紀の日本へⅣ]]{{進捗|00%|2026-09-21}}（新しい世界を目指して～平成時代・令和時代の文化史・科学史まで）

【STEP UP 9】[[高等学校日本史探究/多文化共生|多文化共生]]{{進捗|100%|2024-09-24}}

現代の日本の課題の探究

== 読書案内・学習方法 ==

* [[高等学校日本史探究/資料出所・読書案内|資料出所・読書案内]]
* [[学習方法/高校日本史|高校日本史学習方法]]{{進捗|100%|2026-04-29}}（新試験対応）

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    <title>高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅢ</title>
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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 皇室典範改正法が２０２６年に成立した。</comment>
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      <text bytes="25326" sha1="kjsg5lwycgoijwupcgtyhas9w1mw4bs" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。


その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合いしました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]</text>
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。


その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]</text>
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        <username>Kwawe</username>
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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 政府は日本周辺国の暴走から安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めた。</comment>
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      <text bytes="26355" sha1="do7fu54xnpoi1lp8k2x7vsc5tkiymmf" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]</text>
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        <username>Kwawe</username>
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      </contributor>
      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ こども家庭庁・こども基本法を入れた。</comment>
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      <text bytes="27101" sha1="r9nx4lmtwiqj7u9yhpok1b8oapj9xm6" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。

２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
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      <text bytes="27231" sha1="8gh2tei5gz4jfrk5cq4m5fbeu7e3lk4" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
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ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）について叙述。</comment>
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
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ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自民党の派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 新しい世界を目指して ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。[[ファイル:Sustainable Development Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]</text>
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      <text bytes="28273" sha1="hxax11jeenmrdbut2ljwt738got00y7" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げ方針である。</comment>
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      <text bytes="28899" sha1="f9fd3iirrgtcw07f862se1g6mc0uc8c" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊が使うミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

２０２６年２月の衆議院議員総選挙後も自由民主党と日本維新の会は引き続き一緒に高市早苗内閣を支えました。そのまま２０２６年２月１８日に第２次高市早苗内閣が成立しました。高市早苗内閣は国民の物価高負担から税金の負担と社会保険料の負担も見直しました。また、所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げています。一方、税金を見直すと政府の収入も減るため、その分のお金をどこから用意するのかも話し合われました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

&lt;references /&gt;</text>
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        <username>Kwawe</username>
        <id>68789</id>
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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 子ども・子育て支援金制度について叙述。いわゆる独身税として国民から批判された。</comment>
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊のミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

高市早苗内閣総理大臣は物価上昇時の家計負担を軽くして経済を立て直しつつ、少子化対策と人口減少対策・エネルギー政策も進めました。外国から先に攻撃を受けても日本を守れるように、自衛隊のミサイル・艦船なども増やしました。また、重要な物資・重要な技術が日本周辺国の暴走から入らなくなっても困らないようにしました。さらに、科学技術・国産ＡＩ・半導体などの研究開発にも力を入れました。このうち、高市早苗内閣は岸田文雄内閣の安全保障関連３文書を引き継ぎました。また、少子化対策に必要なお金を集めるため、２０２６年４月分から医療保険料に国民の税金として子ども・子育て支援金が新しく上乗せされるようになりました（子ども・子育て支援金制度）。

２０２６年２月の衆議院議員総選挙後も自由民主党と日本維新の会は引き続き一緒に高市早苗内閣を支えました。そのまま２０２６年２月１８日に第２次高市早苗内閣が成立しました。高市早苗内閣は国民の物価高負担から税金の負担と社会保険料の負担も見直しました。また、所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げています。一方、税金を見直すと政府の収入も減るため、その分のお金をどこから用意するのかも話し合われました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

&lt;references /&gt;</text>
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　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊のミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

高市早苗内閣総理大臣は物価上昇時の家計負担を軽くして経済を立て直しつつ、少子化対策と人口減少対策・エネルギー政策も進めました。外国から先に攻撃を受けても日本を守れるように、自衛隊のミサイル・艦船なども増やしました。また、重要な物資・重要な技術が日本周辺国の暴走から入らなくなっても困らないようにしました。さらに、科学技術・国産ＡＩ・半導体などの研究開発にも力を入れました。このうち、高市早苗内閣は岸田文雄内閣の安全保障関連３文書を引き継ぎました。また、少子化対策に必要なお金を集めるため、２０２６年４月分から医療保険料に国民の税金として子ども・子育て支援金&lt;ref&gt;一部の日本国民はこの税金を独身税として批判しました。&lt;/ref&gt;が新しく上乗せされるようになりました（子ども・子育て支援金制度）。

２０２６年２月の衆議院議員総選挙後も自由民主党と日本維新の会は引き続き一緒に高市早苗内閣を支えました。そのまま２０２６年２月１８日に第２次高市早苗内閣が成立しました。高市早苗内閣は国民の物価高負担から税金の負担と社会保険料の負担も見直しました。また、所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げています。一方、税金を見直すと政府の収入も減るため、その分のお金をどこから用意するのかも話し合われました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

&lt;references /&gt;</text>
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      <id>303911</id>
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        <username>Kwawe</username>
        <id>68789</id>
      </contributor>
      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ ホルムズ海峡封鎖について記述。</comment>
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      <text bytes="30933" sha1="44sszgpls50mdios3em9s18lj20knvo" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊のミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

高市早苗内閣総理大臣は物価上昇時の家計負担を軽くして経済を立て直しつつ、少子化対策と人口減少対策・エネルギー政策も進めました。外国から先に攻撃を受けても日本を守れるように、自衛隊のミサイル・艦船なども増やしました。また、重要な物資・重要な技術が日本周辺国の暴走から入らなくなっても困らないようにしました。さらに、科学技術・国産ＡＩ・半導体などの研究開発にも力を入れました。このうち、高市早苗内閣は岸田文雄内閣の安全保障関連３文書を引き継ぎました。また、少子化対策に必要なお金を集めるため、２０２６年４月分から医療保険料に国民の税金として子ども・子育て支援金&lt;ref&gt;一部の日本国民はこの税金を独身税として批判しました。&lt;/ref&gt;が新しく上乗せされるようになりました（子ども・子育て支援金制度）。

２０２６年２月の衆議院議員総選挙後も自由民主党と日本維新の会は引き続き一緒に高市早苗内閣を支えました。そのまま２０２６年２月１８日に第２次高市早苗内閣が成立しました。高市早苗内閣は国民の物価高負担から税金の負担と社会保険料の負担も見直しました。また、所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げています。一方、税金を見直すと政府の収入も減るため、その分のお金をどこから用意するのかも話し合われました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

２０２６年、アメリカ合衆国がイラン・イスラム共和国を攻撃すると中東各地もこの攻撃に巻き込まれました。ホルムズ海峡の周辺でも争われ、貨物船はホルムズ海峡をほとんど通れなくなりました。日本も中東各国から大量の原油を輸入しており、貨物船がホルムズ海峡を通れなくなると原油・石油製品も日本へほとんど届かなくなります。原油がほとんど届かなくなると、ガソリン・灯油・発電燃料も足りなくなり国民生活と日本経済を守れません。そのため、貨物船がホルムズ海峡をいつでも通れるように関係国と日本政府で話し合いました。同時にホルムズ海峡を通らなくても原油・石油製品を日本へ運べるように、アメリカ合衆国・中南米・アジア太平洋・中央アジア・アフリカなどからも原油・石油製品を買い入れ、輸入先を広げました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

&lt;references /&gt;</text>
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        <username>Kwawe</username>
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      <comment>/* 憲法改正論と政権交代 */ 備蓄原油を追加した。</comment>
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      <text bytes="31535" sha1="5nl1m61n58on363v9u8wywbf1q0wkpl" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅢ

　「新たな世紀の日本へ」の第３回目では、森喜朗内閣から高市早苗内閣までの国内政治と歴史全体の課題を見ていきます。なお、各資料出所は最新の政治史・国際関係・社会情勢史まで反映されていません&lt;ref&gt;実教出版日本史探究教科書では岸田文雄内閣の誕生までです。山川出版社の日本史探究は安倍内閣まで。東京書籍の日本史探究は菅義偉内閣までとなります。&lt;/ref&gt;。そのため、当節は２０２６年９月中旬までの政治史・国際関係・社会情勢史・経済史を入れて解説をしております。

== 「構造改革」と対テロ戦争 ==
[[ファイル:Postal service privatization of Japan.jpg|サムネイル|347x347px|郵政民営化の概念図]]２０００年４月２日、小渕恵三内閣総理大臣が脳梗塞で倒れて入院しました。２０００年４月５日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''森喜朗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁になりました。自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。しかし、森喜朗内閣総理大臣は長期不景気の回復を放置して、問題発言を何回もしました。２００１年４月、森喜朗は国民の不支持も高まって内閣総理大臣を辞めました。次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''小泉純一郎'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣は自由民主党と公明党と保守党で連立政権を組んで、聖域なき構造改革の目標から新自由主義的な政策を大胆に進めました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''郵政事業の民営化'''&lt;/span&gt;を進めたり、地方の税金と財政の仕組みを見直したり、市町村を合併させたり、金融制度と雇用制度を緩めたり、国立大学を法人に変えたり、不良債権を徹底的に処理したり、年金の負担・医療保険の加入者負担を増やしたり、補助金と地方交付税を減らしたり、市町村の税源移譲を進めたり、道路公団を民間に移したりしました。このように広い分野で構造改革を次々行いました。その結果、大企業は業績を回復しても、中小企業の赤字を長く消せませんでした。このため、派遣の働き方が広がって正社員以外の雇用［非正規雇用］も増えたり、社会保障費の削減から貧しい人も増えたりしました。以降、労働者の所得格差・地域格差が広がって福祉政策も遅れました。インターネット・バブルが崩壊しても、政府のお金を積極的に配るような対策を全く取りませんでした。だから大半の企業は大量の労働者を減らしました（リストラ）。特に正社員数を減らしたり、新しく正社員を雇わなかったりしました。２００５年、'''郵政民営化関連法案'''が参議院で否決されました。構造改革の中心部分なので、小泉純一郎内閣総理大臣はすぐに衆議院を解散しました（郵政解散）。衆議院議員総選挙の結果、自由民主党は総議席の３分の２を超える大勝を収めました。郵政解散総選挙は小泉劇場として有名です。小泉純一郎内閣総理大臣が中心になって派手に劇場型政治を進めていました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;森喜朗・小泉純一郎・金正日総書記&quot;&gt;
ファイル:Yoshiro Mori 20000405.jpg|森喜朗
ファイル:Junichiro Koizumi 20010426 (cropped).jpg|小泉純一郎
ファイル:Kim Jong il Portrait-2.jpg|金正日総書記
&lt;/gallery&gt;２００２年９月、小泉純一郎は日本の首相として大胆な行動を取りました。初めて北朝鮮［朝鮮民主主義人民共和国］へ直接行って、金正日総書記に会いました。小泉純一郎と金正日は現地で日朝平壌宣言を出しました。日朝平壌宣言は昔の植民地支配を反省しつつ日本と北朝鮮の国交正常化に向けて意見をまとめました。また、北朝鮮の核問題と日本人拉致問題も解決して、お互いの安全を守っていくと記しました。この時、数名の拉致被害者と家族が日本へ帰国しました。しかし、北朝鮮側が日本人拉致問題を認めると日本と北朝鮮の話し合いも止まりました。その後の北朝鮮は日本人拉致問題の完全な解決に全く応じなくなり、核開発とミサイル開発を現在も続けています。
[[ファイル:UA Flight 175 hits WTC south tower 9-11 edit.jpeg|サムネイル|アメリカ同時多発テロ事件|260x260ピクセル]]２００１年９月１１日、かなり大きなテロ攻撃がアメリカ合衆国の世界貿易センタービルと国防総省で起きました（'''アメリカ同時多発テロ事件'''）。その後、テロ集団はウサーマ・ビン・ラーディン容疑者含むアルカイダ［イスラーム過激派テロ組織］と分かり、証言からイスラーム原理主義の考えに基づいて実行されました。そのため、ジョージ・ウォーカー・ブッシュ大統領はもし国家ぐるみでテロ集団を隠したり、テロ集団を助けたりしたら仕返しとして武力を使うと伝えました。２００１年１０月７日、アメリカ政府などはアフガニスタンに対して空中爆撃を始めました（アフガニスタン紛争）。一方、日本はすぐにテロ対策特別措置法を成立させました。その後、アメリカ軍の後方支援として自衛隊をインド洋へ送って給油活動を行いました。自衛隊創設以来、初めて戦争中の海外派遣になりました。また、日本は武力攻撃事態法などの有事法制を定めました。１９９１年の湾岸戦争で豊富な財政支援をしても国際社会から「日本は何をやっているのか。」と言われたからです。だから、日本は急いで関連法律を整えて、その悔しさを平和に晴らしました。&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot;&gt;
ファイル:Osama bin Laden portrait.jpg|ウサーマ・ビン・ラーディン
ファイル:George-W-Bush.jpeg|ジョージ・ウォーカー・ブッシュ
&lt;/gallery&gt;２００３年３月２０日、アメリカ軍・イギリス軍・多国籍軍はイラク南部の空に爆弾を落として攻撃しました（イラク戦争）。イラク側の大量破壊兵器所持を理由に国際連合の決議なしに攻撃を始めました。日本政府はイラク復興支援特別措置法を定めて、自衛隊をイラクに送りました。自衛隊は現地で食料と水の配布・怪我人の救助活動・建物の修復活動をしました。小泉純一郎はアメリカ側の軍事行動［テロとの戦い］を早くから支えました。イラク戦争後、反米武装勢力が爆弾を爆発させたり、銃で撃ち合ったりしました。その結果、多数の死傷者と多数の難民が出ました。２００６年、朝鮮民主主義人民共和国［北朝鮮］が地下核実験を行いました。

== 憲法改正論と政権交代 ==

※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

２００４年、イラク派兵と有事関連７法が明るみになると国民も日本国憲法の平和主義を守られていないと思いました。そこで、日本国憲法の平和主義を守るために市民運動「九条の会」を立ち上げました。なお、市民運動「九条の会」は日本全国に広がりました。２００５年、自由民主党が憲法改正案を出して大きな話題になりました。２００６年９月、小泉純一郎が内閣総理大臣を辞めてから、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''安倍晋三・福田康夫・麻生太郎'''&lt;/span&gt;と内閣総理大臣も頻繁に変わりました。第１次安倍晋三内閣総理大臣は「日本と郷土を愛する」の表現を改正教育基本法に入れたり、防衛庁を防衛省に上げたりしました。しかし、安倍晋三は２００７年の参議院議員通常選挙結果から第１次内閣総理大臣を辞めました。その後、福田康夫と麻生太郎はどちらも短期間で内閣総理大臣を辞めました。小泉純一郎の内閣総理大臣退陣後からどの政党も支持しない国民がかなり多くなったり、自民党支持者まで他の政党を支持したくなったりしました（政権交代前夜）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;安倍晋三・福田康夫・麻生太郎&quot;&gt;
ファイル:Shinzō Abe 20200101.jpg|安倍晋三
ファイル:Yasuo Fukuda 200709.jpg|福田康夫
ファイル:Tarō Asō 20121226.jpg|麻生太郎
&lt;/gallery&gt;

２００９年、民主党は第４５回衆議院議員総選挙で大きく勝ちました。国民の投票は古い日本の政治を変えてほしいから民主党議員候補者に大半流れました。一方、自由民主党は国民の意見にほとんど耳を傾けなかったので議席まで大きく失いました。その結果、戦後初めて政権が自由民主党から民主党に替わりました。&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''鳩山由紀夫'''&lt;/span&gt;は民主党・社会民主党・国民新党と連立政権を組んで、そのまま内閣総理大臣になりました。民主党政権は官僚中心体制から政治主導体制に変えようとしました。しかし、政策決定をどのように行うのか民主党内の各意見さえもかなり食い違っていました。そのため、民主党政権は早くも国家を上手くまとめにくくなりました。鳩山由紀夫は普天間基地移設問題から内閣総理大臣を辞めました。なお、普天間基地移設問題は日米関係にも影響を受けました。２０１０年６月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅直人'''&lt;/span&gt;が民主党代表選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅直人が選ばれて内閣総理大臣になりました。しかし、民主党は２０１０年７月の参議院議員通常選挙で大幅に議席を減らしました。民主党はもう信頼出来ないと大半の国民から挙がりました。そのため、国内政治はさらに混乱しました。国内政治の混乱理由として２００８年の世界金融危機（リーマンショック）が挙げられます。２００８年の世界金融危機（リーマンショック）から日本経済も大きく傷つき、大量の企業倒産・派遣労働者の大量解雇を招いており、国民もこれを早く何とかしてほしいと思っていました。しかし、国民の声を政治家が誰一人全く聞かなかったから政府を信頼しなくなりました。
[[ファイル:Aerial view of damage to Kirikiri, Otsuchi, a week after a 9.0 magnitude earthquake and subsequent tsunami.jpg|代替文=巨大地震の津波から町も壊滅的な被害|サムネイル|281x281ピクセル|東北地方太平洋沖地震の爪痕]]
２０１１年３月１１日、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）'''&lt;/span&gt;が起きました。日本の地震観測から数えても最も大きな巨大地震［マグニチュード9.0］になり、地震の震源は三陸沖でした。黒褐色の巨大津波が東北地方太平洋沖地震で最も被害を大きくしました。津波は東日本太平洋沿岸［東北から関東まで］の家屋・車・人を次々飲み込みました。その結果、約２万人がこの地震で命を落としました。福島県の東京電力第一原子力発電所は地震と巨大津波の影響から大量の放射性物質を漏らしてしまいました（&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''福島第一原子力発電所事故'''&lt;/span&gt;）。福島第一原子力発電所の近隣住民は全員実家を捨てて避難しました。世界各国は福島第一原子力発電所事故の影響から原子力発電所の安全神話を見直すようになりました。東北地方太平洋沖地震後、菅直人内閣総理大臣でも次の&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''野田佳彦'''&lt;/span&gt;内閣総理大臣でもねじれ国会の後始末ばかりに追われました。２０２６年現在も被災地の復興と福島第一原子力発電所事故の後始末が続いています。民主党・自由民主党・公明党は社会保障費を集めるために消費税増税を認めました（三党合意）。しかし、民主党内から野田佳彦に対して不信任決議案まで出されました。２０１２年１２月、野田佳彦は「近いうちに国民の意見を問う」と伝えて衆議院を解散しました（第４６回衆議院議員総選挙へ）。第４６回衆議院議員総選挙の結果、国民の投票は自民党議員候補者に大半流れました。一方、民主党はこれまでの行いから国民の投票を得られないまま議席まで大きく失いました。この選挙後、自由民主党と公明党が安倍晋三から石破茂内閣まで手を組みました。また、続く内閣総理大臣指名選挙でも自由民主党総裁の安倍晋三が選ばれて再び内閣総理大臣になりました（第２次安倍晋三内閣）。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;鳩山由紀夫・菅直人・野田佳彦&quot;&gt;
ファイル:Hatoyama Yukio.jpg|鳩山由紀夫
ファイル:Naoto Kan 20071221.jpg|菅直人
ファイル:Yoshihiko Noda-3.jpg|野田佳彦
&lt;/gallery&gt;

安倍晋三内閣総理大臣は「戦後レジームからの脱却」を目標にしていました。この目標の実現に向け、国会の閣議で集団的自衛権を使いたいと伝えました。２０１５年、日米の新ガイドラインと安全保障関連法を国会で通しました。これ以降は自衛隊法なども修正して、日本国憲法第９条の見方を大きく変えました。次に経済財政政策は３つの矢［金融緩和・財政出動・成長戦略］を軸に進めました（アベノミクス）。その結果、経済指標［円安進行・株価上昇など］に明らかな改善が見られました。また、安倍晋三は安全保障体制も見直しました。特定秘密保護法を作りつつ、首相官邸主導体制をさらに強化しました。新しく内閣人事局を作って中央省庁の幹部人事権を全て官邸にまとめました。こうして、首相の政策実行力を戦後最大水準まで上げました。少子高齢化対策のために選挙権の年齢を２０歳から１８歳に下げました（公職選挙法の改正）。さらに、女性活躍推進法から待機児童解消のために保育園数・保育所定員を増やすようにしました。安倍晋三内閣総理大臣の外交は日米同盟を一番大切にしました。一方、安倍晋三は周辺諸国の指導者とも積極的に交流しました。日露首脳会談で北方領土問題を解決して平和条約を結びたいと伝えても、ウラジーミル・プーチン大統領はこれを全く受け入れませんでした。[[ファイル:Yoshihide Suga announcing new imperial era Reiwa 2 (cropped).jpg|サムネイル|菅義偉内閣官房長官は新元号『令和』を発表]]
２０１６年、明仁天皇は「天皇の公務をこれ以上続けられない。」と日本国民に伝えました。皇室典範第４条は「天皇が亡くなったら、自動的に退位になります。」のみ記されていました。２０１７年、日本政府は皇室典範第４条の例外として皇室典範特例法を定めました。２０１９年４月３０日、明仁天皇は皇室典範特例法を使って、徳仁へ天皇を譲りました。２０１９年５月１日、新しい元号は令和に変わりました。一方、明仁天皇は上皇として現在もいます。２０２０年から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''新型コロナウイルス感染症（COVID−19）'''&lt;/span&gt;が世界各地に広がりました。日本政府は新型インフルエンザ等対策特別措置法に基づく緊急事態宣言を何度も出して、全ての日本国民に対してマスクを着けたり、手をしっかり洗ったり、外出自粛を行うように呼びかけられました。東京オリンピックと東京パラリンピックは新型コロナウイルスの社会的な混乱から２０２１年に開かれました。２０２０年、安倍晋三は健康上の理由で内閣総理大臣を辞めました。２０２０年９月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''菅義偉'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙で勝ちました。続く内閣総理大臣指名選挙でも菅義偉が選ばれて内閣総理大臣になりました。菅義偉内閣総理大臣は携帯電話の料金を安くしたり、デジタル庁を作ったり、国民生活に身近な政策を進めました。しかし、新型コロナウイルスの後始末ばかりに追われました。緊急事態宣言を何度も出しつつ、東京オリンピックを開催か中止かで菅義偉内閣総理大臣の信頼は大きく下がりました。２０２１年１０月、菅義偉は自由民主党総裁選挙に出ないと伝えて内閣総理大臣を辞めました。
&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;明仁・徳仁・菅義偉&quot;&gt;
ファイル:Emperor Akihito (2016).jpg|明仁
ファイル:Emperor Naruhito 20250611 (54582524056, cropped).jpg|徳仁［現在の天皇］
ファイル:Yoshihide Suga 20200924.jpg|菅義偉
&lt;/gallery&gt;
２０２１年、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''岸田文雄'''&lt;/span&gt;内閣が成立しました。岸田文雄内閣総理大臣は「聞く力」と「新しい資本主義」を掲げました。経済を成長させて利益を国民一人一人に分け、そのお金が使われて次の経済成長に繋がっていく「成長と分配の好循環」を目指しました。また、外国から重要物資が入ってこなくなったり、外国の技術が使えなくなったりしても困らないように、日本でも用意できるようにしました。２０２２年、その取り組みを進めるために経済安全保障推進法が成立しました。

２０２２年２月、ロシア軍が国境を越えてウクライナへ入り、各地で攻撃を始めました。これを受けて日本政府も欧米諸国やＧ７諸国と足並みを揃え、ロシアへの経済制裁を行いました。一方、必要物資と資金はウクライナへ送りました。その後、外国産の石油・天然ガスなどの値段が上がり、日本でも電気・ガソリン・生活必需品などの値段が上がりました。岸田文雄は家計の負担を少しでも減らすための対策を進めつつ、労働者の給料を上げる動きも進めました。２０２２年７月、安倍晋三元首相は選挙の応援演説中に銃で撃たれ、死亡しました（安倍晋三銃撃事件）。事件後、世界平和統一家庭連合（旧統一教会）と政治家との繋がりが次々に明らかになり、社会で大きく取り上げられました。

日本の安全保障政策も大きく変わりました。２０２２年１２月、政府は安全保障関連３文書［国家安全保障戦略・国家防衛戦略・防衛力整備計画］を決めました。もし日本が相手から攻撃を受けたら相手のミサイル発射基地などを攻撃出来るように、自衛隊のミサイル・艦船などを増やしてより強い攻撃にも備えられるようにしました。そのため、防衛費も以前より増やしました。これまでの国家安全保障戦略は残しつつ、防衛計画の大綱に代えて国家防衛戦略を新しくつくり、防衛力整備計画も加えました。以降、日本は安全保障関連３文書に従って日本を守りました。日本周辺国の暴走からこの見直しを行いました。一方、日本が相手から攻撃を受けても相手へ攻撃が憲法にふさわしいのか、防衛費をどこから出すのかを巡って国会で話し合われました。
[[ファイル:Children and Families Agency Logo JA.svg|サムネイル|226x226ピクセル|こども家庭庁のロゴマーク]]
２０２３年４月、少子化対策としてこども家庭庁とこども基本法を作りました。これまで各役所・各部署が保育所・児童手当・いじめ対策・虐待対策・子どもの貧困対策などを受け持っていました。こども家庭庁は各役所・各部署同士を繋ぎながら進めるためにつくられました。こども基本法から政府・地方自治体は子供・若者本人から意見を聞いて、その声を新しい政策に取り入れるようにしました。このほか、岸田文雄内閣は少子化対策に必要なお金をどこから集めるのか、電気や燃料を今後どのように賄っていくかについても話し合われました。
[[ファイル:President Joe Biden toured the 1,400-year-old Itsukushima Shrine in Hiroshima with G7 leaders (02).jpg|サムネイル|先進国首脳会議［広島サミット］]]
２０２３年５月、主要７か国首脳会議（Ｇ７広島サミット）が広島で開かれました。主要７か国の首脳はロシアによるウクライナ侵攻を受けてどのように対応するのか、核兵器をどのように減らすのか、核兵器をこれ以上広げないためにどのように進めるのか、重要な物資・重要な技術を自国でどのように守るのかなどについて話し合いました。主要７か国首脳は今後のウクライナ対応声明・核軍縮に関するＧ７首脳広島ビジョン・今後の経済的強靱性と経済安全保障声明などをまとめました。

その一方、自由民主党派閥議員の政治活動資金の一部が正式な収支報告書に記されていませんでした（政治資金パーティー収入の裏金問題）。この問題を受けて、自由民主党と岸田文雄内閣に対して国民の批判が強まりました。２０２４年、岸田文雄は自由民主党総裁選挙に出ないと発表して内閣総理大臣を辞めました。

その後、自由民主党総裁選挙から&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''石破茂'''&lt;/span&gt;が選ばれました。２０２４年１０月１日、石破茂内閣が成立しました。地方の人口が減り、中小企業で働く人も少なくなっていました。そこで、石破茂内閣総理大臣は地域で仕事を続けられるような対策「地方創生２．０」を掲げました。農林水産業を支え、労働者の給料を上げて、中小企業の経営を支えました。また、自然災害が起きても被害を出来るだけ小さくなるように、災害対策を事前に進めました。

しかし、２０２４年の衆議院議員総選挙結果から衆議院の議席は与党の自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました［少数与党］。２０２４年１１月１１日、第２次石破内閣が成立しました。その結果、石破茂は国会の手続きを通すために野党と何度も話し合いました。野党の賛成から国会の手続きを進めました。さらに２０２５年の参議院議員選挙でも、参議院の議席は自由民主党と公明党を合わせても半分を下回りました。石破茂は各議員選挙の負けを認め、２０２５年９月７日に自由民主党総裁を辞めると発表してから２０２５年１０月２１日にやめました。

&lt;gallery mode=&quot;packed&quot; widths=&quot;200&quot; heights=&quot;200&quot; caption=&quot;岸田文雄・石破茂・高市早苗&quot;&gt;
ファイル:Fumio Kishida 20211005 (cropped).jpg|岸田文雄
ファイル:Ishiba Shigeru 20241001 (cropped).jpg|石破茂
ファイル:Official portrait of Sanae Takaichi, Prime Minister of Japan (HD).jpg|高市早苗
&lt;/gallery&gt;

２０２５年１０月、&lt;span style=&quot;color:#f29100&quot;&gt;'''高市早苗'''&lt;/span&gt;が自由民主党総裁選挙結果で選ばれました。これまでの公明党は自由民主党と一緒に内閣を支えていました。公明党は自由民主党と喧嘩して自由民主党と一緒に協力しなくなりました［自公連立政権の終了］。その後、自由民主党は新たに日本維新の会と一緒に内閣を支えました［自維連立政権の開始］。２０２５年１０月２１日、高市早苗は日本で初めての女性内閣総理大臣になりました。ただし、自由民主党と日本維新の会の議席数は衆議院でも参議院でも半分を超えませんでした。また、２０２６年８月までは日本維新の会から閣僚を出さないまま、自由民主党と一緒に高市早苗内閣総理大臣を支えました。

高市早苗内閣総理大臣は物価上昇時の家計負担を軽くして経済を立て直しつつ、少子化対策と人口減少対策・エネルギー政策も進めました。外国から先に攻撃を受けても日本を守れるように、自衛隊のミサイル・艦船なども増やしました。また、重要な物資・重要な技術が日本周辺国の暴走から入らなくなっても困らないようにしました。さらに、科学技術・国産ＡＩ・半導体などの研究開発にも力を入れました。このうち、高市早苗内閣は岸田文雄内閣の安全保障関連３文書を引き継ぎました。また、少子化対策に必要なお金を集めるため、２０２６年４月分から医療保険料に国民の税金として子ども・子育て支援金&lt;ref&gt;一部の日本国民はこの税金を独身税として批判しました。&lt;/ref&gt;が新しく上乗せされるようになりました（子ども・子育て支援金制度）。

２０２６年２月の衆議院議員総選挙後も自由民主党と日本維新の会は引き続き一緒に高市早苗内閣を支えました。そのまま２０２６年２月１８日に第２次高市早苗内閣が成立しました。高市早苗内閣は国民の物価高負担から税金の負担と社会保険料の負担も見直しました。また、所得連動給付制度の開始まで飲食料品の消費税率を１％に引き下げています。一方、税金を見直すと政府の収入も減るため、その分のお金をどこから用意するのかも話し合われました。

天皇の家族・天皇の親族［皇族］が少なくなると、将来の天皇家［皇室］を支えられなくなります。この対策が国会で話し合われました。その結果、皇室典範改正法が２０２６年に成立しました。改正後、天皇家の女性が一般男性と結婚してもそのまま天皇家に残れるようになりました。また旧宮家の男性を新しく天皇家の家族として迎えられるようになりました。ただし、旧宮家の男性本人は将来天皇になれません。また、一般男性と入籍後の天皇家女性・一般男性本人・子供も将来天皇になれません。さらに、天皇家の女性は皇室典範改正後も天皇になれません。これまでと同じように、天皇家の息子［男系男子］だけが次期天皇になれました。

２０２６年、アメリカ合衆国がイラン・イスラム共和国を攻撃すると中東各地もこの攻撃に巻き込まれました。ホルムズ海峡の周辺でも争われ、貨物船はホルムズ海峡をほとんど通れなくなりました。日本も中東各国から大量の原油を輸入しており、貨物船がホルムズ海峡を通れなくなると原油・石油製品も日本へほとんど届かなくなります。原油がほとんど届かなくなると、ガソリン・灯油・発電燃料も足りなくなり国民生活と日本経済を守れません。そのため、貨物船がホルムズ海峡をいつでも通れるように関係国と日本政府で話し合いました。同時にホルムズ海峡を通らなくても原油・石油製品を日本へ運べるように、アメリカ合衆国・中南米・アジア太平洋・中央アジア・アフリカなどからも原油・石油製品を買い入れ、輸入先を広げました。

２０２６年３月、ホルムズ海峡経由の中東産原油が大きく減りました。そこで政府は石油備蓄法に基づいて、備蓄原油の中から約１か月分の原油を全国のガソリンスタンドなどへ配りました。その後も備蓄石油を全国のガソリンスタンドなどへ配りました。また原油の輸入相手を増やすだけでなく、原子力発電・再生可能エネルギー・次世代技術も取り入れました。必要な電気・必要な燃料を切らさないように、二酸化炭素の量も減らしました。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・首相官邸ホームページ

== ここに注意！！ ==
[[カテゴリ:高等学校日本史探究|あらたなせいきのにほんへ]]
[[カテゴリ:21世紀]]

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== 記法 ==

=== 送り仮名・読み仮名 ===

送り仮名と読み仮名は漢字の直後に書きます。波括弧で囲むこともできます。

{| class=&quot;wikitable&quot;
! 書き方 !! 説明
|-
| &lt;code&gt;帰グ&lt;/code&gt; || 漢字の直後の仮名は自動的に送り仮名になる
|-
| &lt;code&gt;帰{グ}&lt;/code&gt; || 中括弧で明示する。結果は同じ
|-
| &lt;code&gt;于ゆキ&lt;/code&gt; || 平仮名と片仮名を混ぜてもよい。読み仮名と送り仮名をまとめて書く
|}

読み仮名は平仮名、送り仮名は片仮名で書きます。&lt;code&gt;{}&lt;/code&gt; を使わない場合、仮名は漢字の直後に置く必要があります。返り点や注釈を挟むと別の字として扱われます。

=== 返り点 ===

角括弧で囲みます。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
不[下]為ニ[二]児孫ノ[一]買ハ[中]美田ヲ[上]。
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|不[下]為ニ[二]児孫ノ[一]買ハ[中]美田ヲ[上]。}}

なお片仮名の「ニ」を書いた場合は赤字で表示されます。漢数字の「二」に修正してください。

=== ハイフン ===

ハイフンには&lt;code&gt;―&lt;/code&gt;（U+2015）&lt;code&gt;—&lt;/code&gt;（U+2014）&lt;code&gt;㆐&lt;/code&gt;（U+3190）を使います。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
所[二]㆐以走{ル}[一]
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|所[二]㆐以走{ル}[一]}}


=== 再読文字 ===

丸括弧で囲みます。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
且まさニ(す)[レ]伐タント[レ]燕ヲ
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|且まさニ(す)[レ]伐タント[レ]燕ヲ}}

== コマンド ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
! コマンド !! 説明
|-
| &lt;code&gt;\\&lt;/code&gt; || 改行する
|-
| &lt;code&gt;\O&lt;/code&gt; || 空白を1字分あける
|-
| &lt;code&gt;\R{本文}{ルビ}&lt;/code&gt; || グループルビを付ける
|-
| &lt;code&gt;\B{本文}{ラベル}&lt;/code&gt; || 傍線（直線）を引く。ラベルは省略可
|-
| &lt;code&gt;\W{本文}{ラベル}&lt;/code&gt; || 傍線（波線）を引く。ラベルは省略可
|-
| &lt;code&gt;\ref{番号}&lt;/code&gt; || 注釈番号を付ける
|-
| &lt;code&gt;\begin{スタイル}&lt;/code&gt; … &lt;code&gt;\end&lt;/code&gt; || 範囲にCSSを適用する
|}

=== グループルビ ===

&lt;code&gt;\R{}{}&lt;/code&gt; で書きます。第1引数が本文、第2引数が読みです。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
是{レ}百獣{ノ}\R{所[二]㆐以}{ゆゑん}走{ル}[一]也
&lt;/syntaxhighlight&gt;

左右の引用符を使った書き方もできます。引用符で漢字列を囲み、直後に仮名を続けます。
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
是{レ}百獣{ノ}‘所[二]㆐以’ゆゑん走{ル}[一]也
&lt;/syntaxhighlight&gt;


{{#invoke:Kanbun|kanbun|是{レ}百獣{ノ}\R{所[二]㆐以}{ゆゑん}走{ル}[一]也}}

=== 注釈 ===

&lt;code&gt;\ref{番号}&lt;/code&gt; と書くと、字の右肩に &lt;code&gt;（注N）&lt;/code&gt; の形で表示されます。数字以外を書いた場合はそのまま表示されます。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
国\ref{1}破やぶレテ山河在あリ
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|国\ref{1}破やぶレテ山河在あリ}}

=== 傍線・波線 ===

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
朝ニ辞ス白帝\B{彩雲ノ間}{A}\\千里ノ\W{江陵}{ア}一日ニシテ還ル
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|朝ニ辞ス白帝\B{彩雲ノ間}{A}\\千里ノ\W{江陵}{(ア)}一日ニシテ還ル}}

=== スタイル ===

&lt;code&gt;\begin{}&lt;/code&gt; から &lt;code&gt;\end&lt;/code&gt; までの範囲にCSSを適用します。CSSに空白を含めたい場合は &lt;code&gt;~&lt;/code&gt; で書きます。

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;wikitext&quot;&gt;
\begin{color:red;~font-weight:bold}赤キ字\end通常ノ字
&lt;/syntaxhighlight&gt;

{{#invoke:Kanbun|kanbun|1=\begin{color:red;~font-weight:bold}赤キ字\end通常ノ字}}

&lt;code&gt;\end&lt;/code&gt; を書き忘れても、本文の末尾で自動的に閉じられます。

== 全角文字の正規化 ==

次の全角文字は自動的に半角に変換されるので、日本語入力のまま書けます。

&lt;code&gt;｛｝&lt;/code&gt; → &lt;code&gt;{}&lt;/code&gt;　&lt;code&gt;［］&lt;/code&gt; → &lt;code&gt;[]&lt;/code&gt;　&lt;code&gt;（）&lt;/code&gt; → &lt;code&gt;()&lt;/code&gt;

半角の &lt;code&gt;｡&lt;/code&gt;&lt;code&gt;､&lt;/code&gt;&lt;code&gt;｢&lt;/code&gt;&lt;code&gt;｣&lt;/code&gt; も全角に変換されます。</text>
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    <title>解析学基礎/ベクトル解析</title>
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      <text bytes="93720" sha1="0g85m0xvm02u166a6thu7r2clltih6r" xml:space="preserve">{{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}}
{{wikipedia|ベクトル解析}}

ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。

==前提知識==
ここでは、実数のみで考える。
===ベクトル===
[[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;など）と太字斜体による表記（&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;など）を混用する。
===行列===
[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;など）で表記する。
===多変数解析===
[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。
===領域===
&lt;math&gt;D\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;と点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\in D&lt;/math&gt;（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合&lt;math&gt;B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|&lt;\varepsilon \}&lt;/math&gt;を点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球'''という。不等号を&lt;math&gt;\leqq&lt;/math&gt;に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、&lt;math&gt;D&lt;/math&gt;のように&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;の部分集合であって&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球を含むものを点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。

&lt;math&gt;\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon&gt;0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U&lt;/math&gt;を満たす&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''開集合'''と呼び、&lt;math&gt;V=\mathbb{R}^n\setminus U&lt;/math&gt;を'''閉集合'''と呼ぶ。

注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば&lt;math&gt;\mathbb{R}, \varnothing&lt;/math&gt;）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば&lt;math&gt;[0, 1)&lt;/math&gt;）。

&lt;math&gt;M\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を含む最小の閉集合を&lt;math&gt;M&lt;/math&gt;の'''閉包'''と呼び、&lt;math&gt;M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)&lt;/math&gt;などと表す。例えば有理数の稠密性より&lt;math&gt;\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}&lt;/math&gt;である。

閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（&lt;math&gt;M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}&lt;/math&gt;）」がある。


集合&lt;math&gt;S\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;に対して以下を満たす&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;上開集合の組&lt;math&gt;(G_1, G_2)&lt;/math&gt;が'''とれない'''とき、
#&lt;math&gt;G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;S = (G_1 \sqcup G_2) \cup S&lt;/math&gt;
「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結'''である」または「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結集合'''」という（但し、&lt;math&gt;\sqcup&lt;/math&gt;は[[w:非交和|非交和]]）。

空でない開連結集合を'''領域'''という。

実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。


===右手系===
三次元空間の正規直交基底を&lt;math&gt;(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)&lt;/math&gt;と置く。螺子を&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2&lt;/math&gt;の向きに回すと&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_3&lt;/math&gt;の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。

右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。


外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。

系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。


位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。


偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。
:(軸性)×(軸性)=(軸性)
:(軸性)×(極性)=(極性)
:(極性)×(極性)=(軸性)


==基礎事項==
===ベクトル関数===
関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。

ただし、各&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;は各座標軸方向の単位ベクトルであり、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の定義域は各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の定義域の積集合である。

ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;の極限は、
:&lt;math&gt;\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性)
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;
と求まる。

このとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;に於ける'''極限ベクトル'''という。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)&lt;/math&gt;が成立することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で連続であることである。


また、ベクトル関数の導関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は
:&lt;math&gt;\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性）
:&lt;math&gt;= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 &lt;math&gt;\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}&lt;/math&gt;からも導かれる。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で微分可能であるとは極限値&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}&lt;/math&gt;が存在することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で微分可能であることである。

高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;級であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^0(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt;級である（一階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^1(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で二階微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'\in C^1(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^2&lt;/math&gt;級である（二階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^2(I)&lt;/math&gt;と書く。同様にして順々に&lt;math&gt;C^k&lt;/math&gt;級が定義され、&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級（無限階連続微分可能）であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。


高校数学や高校物理で扱った平面（&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。

例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は&lt;math&gt;\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)&lt;/math&gt;と表すことができる。


曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。

例えば、円の媒介変数表示&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}&lt;/math&gt;という2次元ベクトル関数とみることができる。更に&lt;math&gt;\theta=\omega t&lt;/math&gt;とすると、これは等速円運動の式である。


1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。
#定数倍の導関数：&lt;math&gt;\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#和・差の導関数：&lt;math&gt;\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#積の導関数：&lt;math&gt;\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#商の導関数：&lt;math&gt;\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)&lt;/math&gt;
#内積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#外積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#スカラー三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#ベクトル三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#連鎖律（チェイン・ルール）：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)&lt;/math&gt;


ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| =  \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}&lt;/math&gt;
で与えられる。

つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。

ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{&gt;0})&lt;/math&gt;の両辺を2乗して
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2&lt;/math&gt;
:両辺微分すると内積の微分より
:&lt;math&gt;\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;C_1\geq0&lt;/math&gt;は積分定数）
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1&lt;/math&gt;より
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.&lt;/math&gt;
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(直交条件の定理)}}

:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。


また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;）。
:所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;を用いて&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;と表される。
:両辺微分して&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;
:ここで元のベクトル関数との外積をとると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;とすると一次従属なので
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;という微分方程式が成り立つ。
:各成分ごとに微分方程式を解くと、
::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は
::&lt;math&gt;\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;G'(x)=g(x), C_i&lt;/math&gt;を積分定数として&lt;math&gt;\log|f_i(x)|=G(x)+C_i&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;C_i=\pm e^{C_i}&lt;/math&gt;と改めておくと&lt;math&gt;f_i(x)=C_i e^{G(x)}&lt;/math&gt;
:よって
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;と置くと
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}&lt;/math&gt;となり、方向は変数に依らず一定であることが判る//
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(平行条件の定理)}}
&lt;math&gt;\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。

一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。
:&lt;math&gt;|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|&lt;/math&gt;
これはCS不等式の等号成立の場合である。

実際、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}&lt;/math&gt;より等号成立の必要十分条件は
:&lt;math&gt;\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)&lt;/math&gt;
であり、2ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は平行とわかる。&lt;br/&gt;
平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。//


補足として、力学への応用を考える。
:速さの二乗&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|^2&lt;/math&gt;を時間微分すると
:&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))&lt;/math&gt;
:よって等速運動の条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;は直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;に同値である。
:これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。
:平面上で等速円運動を考えると円運動条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)&lt;/math&gt;、等速条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;が出てくる。
:円運動条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2&lt;/math&gt;を一階微分すると
::&lt;math&gt;2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0&lt;/math&gt;
:もう一度微分して
::&lt;math&gt;2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0&lt;/math&gt;
:則ち
::&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0&lt;/math&gt;
:位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;であり、等速条件より&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=v&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\lambda r^2 + v^2 = 0&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}&lt;0&lt;/math&gt;
:則ち&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は逆向きであり、円運動の中心は&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の始点なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。//
なお、3次元以上では「&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の不定積分は、各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の原始関数を並べたベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{F}(x)&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;は各積分定数を並べたベクトル）
と表される。

また、定積分は
:&lt;math&gt;\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)&lt;/math&gt;
と表される。


1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。
#定数倍の原始関数：&lt;math&gt;\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx&lt;/math&gt;
#和・差の原始関数：&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx&lt;/math&gt;
#内積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#外積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#スカラー倍の部分積分：&lt;math&gt;\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx&lt;/math&gt;
#内積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#外積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#置換積分：&lt;math&gt;u=f(x)&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du&lt;/math&gt;


平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。
:1階線型常微分方程式&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)&lt;/math&gt;の解に就て考える。
:第&lt;math&gt;i&lt;/math&gt;成分を考えると&lt;math&gt;f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)&lt;/math&gt;という1階線型常微分方程式を得るので、
:両辺に積分因子&lt;math&gt;\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)&lt;/math&gt;を掛けることで
:&lt;math&gt;f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}&lt;/math&gt;を得る。
:よって一般解は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}&lt;/math&gt;


ベクトル関数は必ずしもここで扱った&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;のみを指さない。

例えば、ベクトル変数 &lt;math&gt;\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;に対して
:&lt;math&gt;\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
と定義されるような関数&lt;math&gt;\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m&lt;/math&gt;もベクトル関数である。


また、始域と終域の次元が異なる&lt;math&gt;\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)&lt;/math&gt;のようなベクトル関数も考えられる。


一般に、始域が&lt;math&gt;\mathbb{R}^n (n\neq1)&lt;/math&gt;であっても終域が&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。

この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。

また、多変数ベクトル関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)&lt;/math&gt;を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。


===ベクトル場・スカラー場===
写像&lt;math&gt;\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''ベクトル場'''（vector field）という。

実際には&lt;math&gt;m=n&lt;/math&gt;の場合を考えることが多い。

写像&lt;math&gt;\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}&lt;/math&gt;を'''スカラー場'''（scalar field）という。

それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。

もう少し具体的に述べると、空間の領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、&lt;math&gt;p\in V&lt;/math&gt;とすると
:スカラー場：&lt;math&gt;\varphi=\varphi(p)&lt;/math&gt;
:ベクトル場：&lt;math&gt;\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)&lt;/math&gt;
のように場は「点を入力とする&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;関数」である。

&lt;small&gt;※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。&lt;/small&gt;

ここで&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。

則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。


ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;で極大であるとは&lt;math&gt;\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\exist \delta&gt;0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} &lt; \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)&lt;/math&gt;
という定義だった。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;は曲面を表すが、これを&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;軸正方向から&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面に射影するとその陰が&lt;math&gt;(x, y)&lt;/math&gt;の動く範囲となるのであった。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;はスカラー場&lt;math&gt;z=\phi(\boldsymbol{x})&lt;/math&gt;と解釈することができ、更に条件法の前件は&lt;math&gt;\boldsymbol{\alpha}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;-開球（二次元なので開円板）である。

なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面の各点に&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の値を割り当てた数分布に於いて、開円板&lt;math&gt;B_\delta(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;内部に於ける&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の最大値が&lt;math&gt;\phi(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;となるような正数&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;が存在する」ということである。


ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。

スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。

例えば、ベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内の平面&lt;math&gt;x=k&lt;/math&gt;上の任意点に、その点を始点とするベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;が存在する状態を表す。


ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)&lt;/math&gt;について
:&lt;math&gt;(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)&lt;/math&gt;である。

これは、ベクトル場の加法の定義が
:&lt;math&gt;\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)&lt;/math&gt;
となっていて且つ&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。


曲線&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等高線'''（等高曲線）、曲面&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。


==三次元ユークリッド空間==
xyz空間上のスカラー場を&lt;math&gt;F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}&lt;/math&gt;、ベクトル場を&lt;math&gt;\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;とする。また、&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;のx, y, z成分をそれぞれ&lt;math&gt;X_x, X_y, X_z&lt;/math&gt;と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。
===偏微分===
三変数関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;

偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。

偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。

つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。


記号「&lt;math&gt;\partial&lt;/math&gt;」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。

着目する変数以外を明示したい場合は、&lt;math&gt;\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}&lt;/math&gt;などの記法が用いられる。

偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。

例えば、&lt;math&gt;\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y&lt;/math&gt;である。


偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた
:&lt;math&gt;df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
を&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;の'''（完）全微分'''（total derivative）という。

全微分は、関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z&lt;/math&gt;だけ変化させたときの関数全体の変化量&lt;math&gt;\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0&lt;/math&gt;とした三重極限に等しい。

つまり、
:&lt;math&gt;f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
が成り立つ。

これを形式的に変形すると、
:&lt;math&gt;\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}&lt;/math&gt;
となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;としたとき、
:&lt;math&gt;\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
を&lt;math&gt;\boldsymbol{f}&lt;/math&gt;の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。

これを用いると、3次元ベクトル関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f} (x, y, z)&lt;/math&gt;の全微分は以下のように求められる。
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0)  d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
ただし、&lt;math&gt;d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。


===線積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;上の点&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;B&lt;/math&gt;まで、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

経路&lt;math&gt;A \to B&lt;/math&gt;を微小線分&lt;math&gt;\text{∆} l&lt;/math&gt;に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l&lt;/math&gt;
このとき、経路&lt;math&gt;A \to B&lt;/math&gt;を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。

なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。


右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。

曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とし、初期条件を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}&lt;/math&gt;とする。

このとき、閉区間&lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt;を長さ&lt;math&gt;\text{∆} t = \frac{b-a}{n}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;個の小区間&lt;math&gt;[t_{n-1}, t_n]&lt;/math&gt;に分割し、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;上に標本点&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(t_i)&lt;/math&gt;をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを&lt;math&gt;\text{∆} s_i&lt;/math&gt;とおけば、&lt;math&gt;F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i&lt;/math&gt;の総和はリーマン和である。

&lt;math&gt;\text{∆} t \to 0&lt;/math&gt;の極限を考えると、
:&lt;math&gt;\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;
よりこのリーマン和の極限は収束し、
:&lt;math&gt;\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i))  \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;//


ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。

&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]&lt;/math&gt;という変数変換を考えると、&lt;br&gt;恒等的に&lt;math&gt;\frac{dt}{du}&gt;0&lt;/math&gt;のとき
:&lt;math&gt;\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;
となり、一致する。

「恒等的に&lt;math&gt;\frac{dt}{du}&gt;0&lt;/math&gt;」は「&lt;math&gt;t, u&lt;/math&gt;それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。

そこで、&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;を更に（形式的に）変形する。
:&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}&lt;/math&gt;

最後の式を&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;で置くと、&lt;math&gt;dl = \| d\boldsymbol{p} \|&lt;/math&gt;が形式的に成り立つ。

この&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;を'''線素'''（line element）と呼ぶ。


線素を用いることで、曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;（の一部）を積分経路とするスカラー場&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;の線積分は以下のように略記される。
:&lt;math&gt;\int_C F dl&lt;/math&gt;

特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい
:&lt;math&gt;\oint_C F dl&lt;/math&gt;
と表す。


線積分&lt;math&gt;\int_C dl&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の長さに等しい。
:&lt;math&gt;\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt&lt;/math&gt;
これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。


&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;上任意点からの符号付き距離&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;（'''弧長パラメータ'''）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ&lt;math&gt;s=\alpha, \beta&lt;/math&gt;の場合とする。

すなわち、&lt;math&gt;\boldsymbol{q}(s)= \begin{pmatrix} x(s) \\ y(s) \\ z(s) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;と表示する。

このとき定義から&lt;math&gt;s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\| ds&lt;/math&gt;なので、両辺を&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;で微分すると微分積分学の基本定理より
:&lt;math&gt;1=\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|&lt;/math&gt;
が恒等的に成り立つ。

これは、接線方向のベクトル（'''接ベクトル'''）が単位ベクトルであることを示す。

よって、
:&lt;math&gt;\int_C F dl = \int_\alpha^\beta F(\boldsymbol{q}(s)) ds&lt;/math&gt;
である。


スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。
:&lt;math&gt;\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt&lt;/math&gt;

ここで&lt;math&gt;d\boldsymbol{l}&lt;/math&gt;は'''線素ベクトル'''であり、
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;
と定義される。

そのため、この線積分は
:&lt;math&gt;\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz&lt;/math&gt;
とも書かれる。

線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。


&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を弧長パラメータ&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;で媒介変数表示すると、
:&lt;math&gt;\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds&lt;/math&gt;

ここで&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;より、内積 &lt;math&gt;\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\boldsymbol{q}(s)&lt;/math&gt;方向に射影したものである。

すなわち、線積分はベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。

なお、スカラー場の線積分に登場した線素&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;は、線素ベクトルの大きさ&lt;math&gt;\| d\boldsymbol{l} \|&lt;/math&gt;に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。


位置ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(x, y, z)&lt;/math&gt;とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})&lt;/math&gt;則ち一次従属なので、&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})&lt;/math&gt;と書ける。

よって線積分の被積分関数は&lt;math&gt;\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2&lt;/math&gt;となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、&lt;math&gt;\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2&lt;/math&gt;とは書かず、&lt;math&gt;\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt&lt;/math&gt;と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。


&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の単位接線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{t}&lt;/math&gt;とおくと、先ほどの議論より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{p}(s)}{ds}&lt;/math&gt;であり、直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=0&lt;/math&gt;、則ち&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}&lt;/math&gt;である。このベクトルを'''主法線ベクトル'''という。主法線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;とおくとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;を'''従法線ベクトル'''という。正規化すると&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b = \boldsymbol{e}_t \times \boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;、則ち&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の正規直交基底である。

主法線ベクトルの大きさ&lt;math&gt;\kappa=\|\boldsymbol{n}\|&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''曲率'''、&lt;math&gt;\tau=\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{dt}&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''{{ruby|捩|れい}}率'''という。

例えば、円&lt;math&gt;x^2+y^2=r^2&lt;/math&gt;の曲率と捩率は以下のように求まる。
:媒介変数表示して&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(t)=r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:接線ベクトルは&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:弧長パラメータ&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(u)}{dt}\right\|du = \int_0^t r dt = rt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore t=\frac{s}{r}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(s)=r\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{\boldsymbol{p}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}=-\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\kappa=\left\|\frac{d^2\boldsymbol{p}(s)}{ds^2}\right\|=\frac{1}{r}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}}{dt}=-r\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r^2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\tau = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot-r\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ 0 \end{pmatrix}}{r^2\cdot\frac{1}{r}}=0&lt;/math&gt;//

曲率・捩率を用いることで、&lt;math&gt;\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}&lt;/math&gt;のs-方向微分を求めることができる。

 '''フレネ=セレーの公式'''
 
 &lt;math&gt;\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &amp; \kappa &amp; 0 \\ -\kappa &amp; 0 &amp; \tau \\ 0 &amp; -\tau &amp; 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;次行列を表現行列とする線形写像である。詳しくは[[関数解析学]]で扱う。

また、曲線は&lt;math&gt;(\kappa, \tau)&lt;/math&gt;の値と初期条件のみで定まるので、&lt;math&gt;(\kappa, \tau)&lt;/math&gt;の定める曲線族を&lt;math&gt;\mathcal{C}[\kappa, \tau]&lt;/math&gt;と書く。

例えば、円を含む螺旋は&lt;math&gt;c_1, c_2=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;として一般に&lt;math&gt;\mathcal{C}[c_1, c_2]&lt;/math&gt;と書ける。

&lt;math&gt;R=\frac{1}{\kappa}&lt;/math&gt;を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で&lt;math&gt;R=\circ\circ \mathrm{m}&lt;/math&gt;は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。

===面積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

領域&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;を微小領域に分割した表面積を&lt;math&gt;\text{∆} S_i&lt;/math&gt;としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i&lt;/math&gt;

右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。

曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の滑らかな媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とする。

ここで、パラメータベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}&lt;/math&gt;が属する領域&lt;math&gt;T (\subset \mathbb{R}^2)&lt;/math&gt;を微小矩形領域&lt;math&gt;\text{∆} T_i&lt;/math&gt;に分割する。このとき、各iについて&lt;math&gt;\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]&lt;/math&gt;であり、各&lt;math&gt;\text{∆} T_i&lt;/math&gt;に対応する曲面上の領域を&lt;math&gt;\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)&lt;/math&gt;とする。

このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。

すなわち、&lt;math&gt;\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0&lt;/math&gt;のとき
:&lt;math&gt;\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i&lt;/math&gt;
である。

このリーマン和の二重極限は収束し、
:&lt;math&gt;\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt&lt;/math&gt;//

すなわち、面積分は二重積分に帰着される。

面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。

証明は恒等条件&lt;math&gt;\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}&gt;0&lt;/math&gt;を用いて線積分と同様に行われる。


そこで、&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;上での面積分を以下のように略記する。
:&lt;math&gt;\iint_S F dS&lt;/math&gt;

1の面積分を考えると、
:&lt;math&gt;\iint_S dS&lt;/math&gt;
は曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の表面積に等しいことが知られている。

そのため、&lt;math&gt;dS&lt;/math&gt;を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;が閉曲面のときは
:&lt;math&gt;\oiint_S F dS&lt;/math&gt;
とも書く。

例えば、関数&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に描く曲面の表面積は、&lt;math&gt;\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy&lt;/math&gt;
と求められる。


スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。
:&lt;math&gt;\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;ベクトル三重積の性質）

ここで&lt;math&gt;d\vec{S}&lt;/math&gt;は面素ベクトルであり、
:&lt;math&gt;d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS&lt;/math&gt;
と定義される。

&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;は有向曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。

&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;は、x, y, z軸それぞれとなす角度を&lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt;とすると通常の余弦関数で表されるベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}&lt;/math&gt;に等しい。これを'''方向余弦'''という。

方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。
:&lt;math&gt;\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}&lt;/math&gt;

これを用いることで、
:&lt;math&gt;d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy =  \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と表せる。

敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。

===体積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に立体領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

立体&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;を微小立体に分割した体積を&lt;math&gt;\text{∆} V_i&lt;/math&gt;としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i&lt;/math&gt;

体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。

そのため、以下のように考える。

微小立体の体積&lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;は、各辺の長さが&lt;math&gt;dx, dy, dz&lt;/math&gt;である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。

よって、&lt;math&gt;dV = dxdydz&lt;/math&gt;。この&lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;を'''体（積）素'''（volume element）という。

つまり、体積分は&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;についての三重積分
:&lt;math&gt;\iiint_V  f(x,y,z) dxdydz&lt;/math&gt;
に等しい。

&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;の媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とすると、スカラー場の&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に関する体積分は
:&lt;math&gt;\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu&lt;/math&gt;
で表される。

積分領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;が閉立体であるときは
:&lt;math&gt;\oiiint_V F dV&lt;/math&gt;
とも書く。

また、ベクトル場
の&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル
:&lt;math&gt;\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
で表される。


===円筒座標系===
平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。

空間座標を3つの実数の組&lt;math&gt;(r, \theta, z)&lt;/math&gt;で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は原点からの（符号付き）距離、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;は基準面に於ける始線からの正の回転角、&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;は基準面からの高さである。

円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。

そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}&lt;/math&gt;
但し、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は基準面の裏側では負とする。


直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。
:r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。
:θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。
:z曲線：z軸に平行な直線。


ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)&lt;/math&gt;とする。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}&lt;/math&gt;全体の微小変化は全微分&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;で表される。

上で求めた関係式より
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
なので、
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz &lt;/math&gt;

再右辺の各項を&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;と書くことにすると、&lt;math&gt;|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|&lt;/math&gt;はそれぞれ&lt;math&gt;dr, rd\theta, dz&lt;/math&gt;とわかる。&lt;math&gt;r, \theta, z&lt;/math&gt;を物理量として捉えたとき&lt;math&gt;d\theta&lt;/math&gt;の単位はラジアン（無次元量）であり、&lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。

纏めると以下のようになる。
{| class=&quot;wikitable&quot;
| ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| ノルム
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{r}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\cos\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\sin\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dr&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{\theta}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;-r\sin\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;r\cos\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{z}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dz&lt;/math&gt;
|} 

ここで&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。

そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

これを一次変換の形式で表すと
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
となる。 

このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。

なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。


逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。

回転行列は直交行列なので
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;
であり、
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;


円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。

例えば、高校物理の公式&lt;math&gt;B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}&lt;/math&gt;は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。


===極座標系===
高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;と経度&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;で定めることができる。

一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;が必要である。

このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。


xyz座標空間の点&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;の極座標表示を考える。

&lt;math&gt;r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}&lt;/math&gt;は容易にわかる。

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、&lt;math&gt;\vec{OP}&lt;/math&gt;のz軸への正射影ベクトルを&lt;math&gt;\vec{OH}=\vec{h}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}&lt;/math&gt;が成り立つ。&lt;math&gt;|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;より、&lt;math&gt;\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}&lt;/math&gt;である。

&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、&lt;math&gt;P&lt;/math&gt;からxy平面に下した垂線の足&lt;math&gt;Q&lt;/math&gt;を考えると&lt;math&gt;\tan\phi=\frac{y}{x}&lt;/math&gt;とわかる。よって、&lt;math&gt;\phi=\arctan\frac{y}{x}&lt;/math&gt;である。


逆に、これを&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;に復元することを考える。

&lt;math&gt;\triangle OHP&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle HOP=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;z=\overline{OH}=r\cos\theta&lt;/math&gt;。

また、&lt;math&gt;\triangle OPQ&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle OPQ=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;\overline{OQ}=r\sin\theta&lt;/math&gt;。

よって&lt;math&gt;x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi&lt;/math&gt;。


以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}&lt;/math&gt;


一般に緯度は&lt;math&gt;-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ&lt;/math&gt;、経度は&lt;math&gt;-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ&lt;/math&gt;の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;、方位角&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]&lt;/math&gt;で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では&lt;math&gt;\theta&lt;0&lt;/math&gt;とする。


直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。
:r曲線：原点を通る半直線。
:θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。
:φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。


各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて
:&lt;math&gt;\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta  \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}&lt;/math&gt;
と求まる。

これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\theta \\ -\sin\phi &amp; \cos\phi &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と変換テンソルが求まる。

これも直交行列であるので、逆変換テンソルは
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\phi \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と求まる。


球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。

例えば、赤道平面における角運動量保存則は&lt;math&gt;mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。

球面座標系は特に機械制御に応用されている。


円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。


===勾配===
スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。

&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;に一変数&lt;math&gt;f(x) ,g(y), h(z)&lt;/math&gt;をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。


勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。

'''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''&lt;!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 --&gt;）&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。

&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、&lt;math&gt;\text{∆}&lt;/math&gt;（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。


空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。
:&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, F = \nabla F&lt;/math&gt; 
&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;はスカラー場なのでスカラー量であり、&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;は便宜的にベクトル量と考えることから、その積&lt;math&gt;\nabla F&lt;/math&gt;はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。


勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。
:電位&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;に対する電場&lt;math&gt;E&lt;/math&gt;は
:&lt;math&gt;E:=-\mathrm{grad} \, \phi&lt;/math&gt;


スカラー場の全微分は
:&lt;math&gt;dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
で定義された。

これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は
:&lt;math&gt;dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

すなわち、スカラー場の全微分は
:&lt;math&gt;dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
と表される。

一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;で表されるとすると、&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。


ベクトル場の全微分は
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
で定義された。

ここでn次行列 &lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;とn項列ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;に対し、&lt;math&gt;(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i&lt;/math&gt;となるような可換二項演算子 &lt;math&gt;\circledast&lt;/math&gt;を定義する。これは本項独自の記法である。但し、&lt;math&gt;(\mathbf{P})_{ij}&lt;/math&gt;は行列 &lt;math&gt;\mathbf{P}&lt;/math&gt;の第ij成分を表す。

この記法を用いると、ヤコビ行列&lt;math&gt;\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\nabla \circledast \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;と表すことができる。

則ち、ベクトル場の全微分は
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
と表される。


ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。

例えば、
:&lt;math&gt;\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

これは&lt;math&gt;\boldsymbol{r}&lt;/math&gt;の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。

===発散===
ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}&lt;/math&gt;

発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。


発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。&lt;math&gt;\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;


発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。
:電荷密度&lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;、電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;、空間の誘電率&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;とすると
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}&lt;/math&gt;

極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0&lt;/math&gt;」を証明することができる。


ベクトル場の存在する3次元領域内に体積&lt;math&gt;\text{∆} v&lt;/math&gt;の閉曲面をとる。

閉曲面の有向微小表面積を&lt;math&gt;d\vec{S}&lt;/math&gt;とするとき、この微小面を通過する指力線の量は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\boldsymbol{X}_n&lt;/math&gt;は法線成分）
である。

この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分
:&lt;math&gt;\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;
で与えられる。

発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;

これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。
:&lt;math&gt;\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;


発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;


===回転===
回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。
*回転軸の方向
*回転の速さ
*回転方向（軸に対して右回転か左回転か）

「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。

従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。


ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}}  \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathrm{curl}&lt;/math&gt;は理学系、&lt;math&gt;\mathrm{rot}&lt;/math&gt;は工学系が好んで使用する。


z軸方向の成分について考える。

z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。

ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を&lt;math&gt;\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}&lt;/math&gt;とすれば満足する。

x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。


ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。

回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。
:&lt;math&gt;(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:但し、&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;を単位法線ベクトルとし点&lt;math&gt;l(\vec{l})&lt;/math&gt;を含む微小有向面、&lt;math&gt;\partial{S}&lt;/math&gt;はその境界となる微小閉曲線、&lt;math&gt;|S|&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の表面積。

定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を積分経路とする。
:&lt;math&gt;(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0}
 \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}&lt;/math&gt;//


回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。

成分に着目すると外積の形式なので、
:&lt;math&gt;\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;
と表されることが判る。

外積の性質から、回転は行列式
:&lt;math&gt;\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x &amp; \boldsymbol{e}_y &amp; \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x &amp; X_y &amp; X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
でも表示される。


回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。
:電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;、磁束密度&lt;math&gt;\boldsymbol{B}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}&lt;/math&gt;

流体の渦の記述にも応用されている。


回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。


回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。
:&lt;math&gt;\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:但し、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は閉曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の境界曲線。


回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。
:&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;は反対称行列であり、&lt;math&gt;\mathrm{axl}&lt;/math&gt;は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。


===ラプラシアン===
以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、&lt;math&gt;\text{∆}&lt;/math&gt;は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。
:&lt;math&gt;\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}&lt;/math&gt;
第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に&lt;math&gt;\nabla^2&lt;/math&gt;と書かれる。


スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}&lt;/math&gt;

ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。
:&lt;math&gt;\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)&lt;/math&gt;

スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。


ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。
:&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

ベクトル場では以下の等式が成り立つ。
:&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;

回転が&lt;math&gt;\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;であり、形式的に&lt;math&gt;(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2&lt;/math&gt;が成り立つ。

ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。


ベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;にスカラー関数&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;
ここで、&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;をスカラー関数&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;の勾配&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, \psi&lt;/math&gt;と見做すと、
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)&lt;/math&gt;
空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、
:&lt;math&gt;\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi&lt;/math&gt;
両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、
:&lt;math&gt;\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV&lt;/math&gt;
Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、
:&lt;math&gt;\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。

グリーンの第一定理に於いて、&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;を入れ替えた式は
:&lt;math&gt;\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV&lt;/math&gt;
元の式との差をとると
:&lt;math&gt;\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の単位法線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;、その方向の軸を&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;とすると、
:&lt;math&gt;(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS&lt;/math&gt;
グリーンの第二定理の左辺を書き換えて
:&lt;math&gt;\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。

===積分定理===
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この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。

*ガウスの発散定理の証明


*ストークスの定理の証明


*グリーンの定理の証明


;補足事項
一般に&lt;math&gt;\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0&lt;/math&gt;が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。


&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}&lt;/math&gt;を満たすベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。

上記の性質から、&lt;math&gt;\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f&lt;/math&gt;となるスカラー場&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;が存在する。この&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;を、&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。

&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0&lt;/math&gt;を満たすスカラー場&lt;math&gt;\boldsymbol{y}&lt;/math&gt;を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。

上記の性質から、&lt;math&gt;\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}&lt;/math&gt;となるベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{g}&lt;/math&gt;が存在する。この&lt;math&gt;\boldsymbol{g}&lt;/math&gt;を、&lt;math&gt;\boldsymbol{y}&lt;/math&gt;の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。


スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;では一般に成り立つ。


;演習問題
#&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、
#&lt;math&gt;\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz&lt;/math&gt;を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。
#&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}&lt;/math&gt;を示せ。
#&lt;math&gt;\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0&lt;/math&gt;を証明せよ。
#&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;を確かめよ。
#線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。
#極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。
#層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。
#&lt;math&gt;\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とする。円筒側面&lt;math&gt;x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2&lt;/math&gt;上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。

==複素ベクトル解析==
[[複素解析学]]も参照。

{{節stub}}

==n次元==
{{節stub}}
{{Advanced|多様体論}}
{{Advanced|微分幾何学}}
{{Advanced|積分幾何学}}
===体積分===
体積分は先程「&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上の閉立体&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。

線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1&lt;/math&gt;は境界こそ&quot;曲線&quot;だが空間そのものは&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;という&quot;平面&quot;であることと同じ）。

1次元の曲がった空間である曲線&lt;math&gt;M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;内、2次元の曲がった空間である曲面&lt;math&gt;M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体&lt;math&gt;M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に&lt;math&gt;M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;が成り立つと予想され、この関係を「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。

線積分を&lt;math&gt;M^1&lt;/math&gt;、面積分を&lt;math&gt;M^2&lt;/math&gt;で定義したように、体積分を&lt;math&gt;M^3&lt;/math&gt;で定義することを考える。

媒介変数空間&lt;math&gt;\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}&lt;/math&gt;上の微小変化を考えると全微分を用いて
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;

よって&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;上の微小立方体&lt;math&gt;dsdtdu&lt;/math&gt;は3ベクトル&lt;math&gt;\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;の張る微小平行六面体へ移される。

体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。

全微分を一次変換表記すると
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

ここでヤコビ行列は&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}&lt;/math&gt;であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。

そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。

'''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。

そのため、&lt;math&gt;\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を体積拡大率とする。

これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。

{{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}}
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列）
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は&lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;による拡大率と一致する。&lt;br/&gt;
則ち、&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を拡大率としてとれる。//
{{NavBottom}}


よって体積分は
:&lt;math&gt;\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu&lt;/math&gt;


ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上での体積分の計算に&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n&lt;/math&gt;の情報は入ってこず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報のみで計算されると予想される。

実際、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に適切な媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は&lt;math&gt;dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k&lt;/math&gt;と書け、これは正しい。


実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;の情報を全く必要とせず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。


ここまで&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;を適切な媒介変数&lt;math&gt;\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;から媒介変数空間&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;への射影&lt;math&gt;\pi:M^n\to U&lt;/math&gt;を考えるということである。

ここで、この&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;が全単射ならば逆向きの射影&lt;math&gt;\pi^{-1}:U\to M^n&lt;/math&gt;が存在してそれが媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})&lt;/math&gt;となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;によって曲がった空間&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上に(局所)座標系を与えることができる'''。

つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。

※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。


ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。

===多様体===
===微分形式===
===勾配・発散===

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[[Category:解析学]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]]</text>
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{{wikipedia|ベクトル解析}}

ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。

==前提知識==
ここでは、実数のみで考える。
===ベクトル===
[[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;など）と太字斜体による表記（&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;など）を混用する。
===行列===
[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;など）で表記する。
===多変数解析===
[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。
===領域===
&lt;math&gt;D\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;と点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\in D&lt;/math&gt;（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合&lt;math&gt;B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|&lt;\varepsilon \}&lt;/math&gt;を点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球'''という。不等号を&lt;math&gt;\leqq&lt;/math&gt;に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、&lt;math&gt;D&lt;/math&gt;のように&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;の部分集合であって&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球を含むものを点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。

&lt;math&gt;\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon&gt;0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U&lt;/math&gt;を満たす&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''開集合'''と呼び、&lt;math&gt;V=\mathbb{R}^n\setminus U&lt;/math&gt;を'''閉集合'''と呼ぶ。

注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば&lt;math&gt;\mathbb{R}, \varnothing&lt;/math&gt;）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば&lt;math&gt;[0, 1)&lt;/math&gt;）。

&lt;math&gt;M\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を含む最小の閉集合を&lt;math&gt;M&lt;/math&gt;の'''閉包'''と呼び、&lt;math&gt;M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)&lt;/math&gt;などと表す。例えば有理数の稠密性より&lt;math&gt;\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}&lt;/math&gt;である。

閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（&lt;math&gt;M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}&lt;/math&gt;）」がある。


集合&lt;math&gt;S\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;に対して以下を満たす&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;上開集合の組&lt;math&gt;(G_1, G_2)&lt;/math&gt;が'''とれない'''とき、
#&lt;math&gt;G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;S = (G_1 \sqcup G_2) \cup S&lt;/math&gt;
「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結'''である」または「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結集合'''」という（但し、&lt;math&gt;\sqcup&lt;/math&gt;は[[w:非交和|非交和]]）。

空でない開連結集合を'''領域'''という。

実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。


===右手系===
三次元空間の正規直交基底を&lt;math&gt;(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)&lt;/math&gt;と置く。螺子を&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2&lt;/math&gt;の向きに回すと&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_3&lt;/math&gt;の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。

右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。


外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。

系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。


位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。


偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。
:(軸性)×(軸性)=(軸性)
:(軸性)×(極性)=(極性)
:(極性)×(極性)=(軸性)


==基礎事項==
===ベクトル関数===
関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。

ただし、各&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;は各座標軸方向の単位ベクトルであり、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の定義域は各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の定義域の積集合である。

ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;の極限は、
:&lt;math&gt;\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性)
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;
と求まる。

このとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;に於ける'''極限ベクトル'''という。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)&lt;/math&gt;が成立することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で連続であることである。


また、ベクトル関数の導関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は
:&lt;math&gt;\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性）
:&lt;math&gt;= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 &lt;math&gt;\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}&lt;/math&gt;からも導かれる。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で微分可能であるとは極限値&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}&lt;/math&gt;が存在することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で微分可能であることである。

高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;級であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^0(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt;級である（一階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^1(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で二階微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'\in C^1(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^2&lt;/math&gt;級である（二階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^2(I)&lt;/math&gt;と書く。同様にして順々に&lt;math&gt;C^k&lt;/math&gt;級が定義され、&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級（無限階連続微分可能）であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。


高校数学や高校物理で扱った平面（&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。

例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は&lt;math&gt;\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)&lt;/math&gt;と表すことができる。


曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。

例えば、円の媒介変数表示&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}&lt;/math&gt;という2次元ベクトル関数とみることができる。更に&lt;math&gt;\theta=\omega t&lt;/math&gt;とすると、これは等速円運動の式である。


1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。
#定数倍の導関数：&lt;math&gt;\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#和・差の導関数：&lt;math&gt;\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#積の導関数：&lt;math&gt;\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#商の導関数：&lt;math&gt;\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)&lt;/math&gt;
#内積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#外積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#スカラー三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#ベクトル三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#連鎖律（チェイン・ルール）：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)&lt;/math&gt;


ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| =  \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}&lt;/math&gt;
で与えられる。

つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。

ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{&gt;0})&lt;/math&gt;の両辺を2乗して
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2&lt;/math&gt;
:両辺微分すると内積の微分より
:&lt;math&gt;\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;C_1\geq0&lt;/math&gt;は積分定数）
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1&lt;/math&gt;より
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.&lt;/math&gt;
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(直交条件の定理)}}

:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。


また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;）。
:所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;を用いて&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;と表される。
:両辺微分して&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;
:ここで元のベクトル関数との外積をとると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;とすると一次従属なので
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;という微分方程式が成り立つ。
:各成分ごとに微分方程式を解くと、
::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は
::&lt;math&gt;\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;G'(x)=g(x), C_i&lt;/math&gt;を積分定数として&lt;math&gt;\log|f_i(x)|=G(x)+C_i&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;C_i=\pm e^{C_i}&lt;/math&gt;と改めておくと&lt;math&gt;f_i(x)=C_i e^{G(x)}&lt;/math&gt;
:よって
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;と置くと
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}&lt;/math&gt;となり、方向は変数に依らず一定であることが判る//
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(平行条件の定理)}}
&lt;math&gt;\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。

一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。
:&lt;math&gt;|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|&lt;/math&gt;
これはCS不等式の等号成立の場合である。

実際、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}&lt;/math&gt;より等号成立の必要十分条件は
:&lt;math&gt;\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)&lt;/math&gt;
であり、2ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は平行とわかる。&lt;br/&gt;
平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。//


補足として、力学への応用を考える。
:速さの二乗&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|^2&lt;/math&gt;を時間微分すると
:&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))&lt;/math&gt;
:よって等速運動の条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;は直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;に同値である。
:これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。
:平面上で等速円運動を考えると円運動条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)&lt;/math&gt;、等速条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;が出てくる。
:円運動条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2&lt;/math&gt;を一階微分すると
::&lt;math&gt;2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0&lt;/math&gt;
:もう一度微分して
::&lt;math&gt;2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0&lt;/math&gt;
:則ち
::&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0&lt;/math&gt;
:位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;であり、等速条件より&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=v&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\lambda r^2 + v^2 = 0&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}&lt;0&lt;/math&gt;
:則ち&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は逆向きであり、円運動の中心は&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の始点なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。//
なお、3次元以上では「&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の不定積分は、各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の原始関数を並べたベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{F}(x)&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;は各積分定数を並べたベクトル）
と表される。

また、定積分は
:&lt;math&gt;\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)&lt;/math&gt;
と表される。


1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。
#定数倍の原始関数：&lt;math&gt;\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx&lt;/math&gt;
#和・差の原始関数：&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx&lt;/math&gt;
#内積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#外積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#スカラー倍の部分積分：&lt;math&gt;\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx&lt;/math&gt;
#内積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#外積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#置換積分：&lt;math&gt;u=f(x)&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du&lt;/math&gt;


平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。
:1階線型常微分方程式&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)&lt;/math&gt;の解に就て考える。
:第&lt;math&gt;i&lt;/math&gt;成分を考えると&lt;math&gt;f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)&lt;/math&gt;という1階線型常微分方程式を得るので、
:両辺に積分因子&lt;math&gt;\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)&lt;/math&gt;を掛けることで
:&lt;math&gt;f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}&lt;/math&gt;を得る。
:よって一般解は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}&lt;/math&gt;


ベクトル関数は必ずしもここで扱った&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;のみを指さない。

例えば、ベクトル変数 &lt;math&gt;\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;に対して
:&lt;math&gt;\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
と定義されるような関数&lt;math&gt;\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m&lt;/math&gt;もベクトル関数である。


また、始域と終域の次元が異なる&lt;math&gt;\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)&lt;/math&gt;のようなベクトル関数も考えられる。


一般に、始域が&lt;math&gt;\mathbb{R}^n (n\neq1)&lt;/math&gt;であっても終域が&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。

この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。

また、多変数ベクトル関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)&lt;/math&gt;を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。


===ベクトル場・スカラー場===
写像&lt;math&gt;\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''ベクトル場'''（vector field）という。

実際には&lt;math&gt;m=n&lt;/math&gt;の場合を考えることが多い。

写像&lt;math&gt;\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}&lt;/math&gt;を'''スカラー場'''（scalar field）という。

それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。

もう少し具体的に述べると、空間の領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、&lt;math&gt;p\in V&lt;/math&gt;とすると
:スカラー場：&lt;math&gt;\varphi=\varphi(p)&lt;/math&gt;
:ベクトル場：&lt;math&gt;\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)&lt;/math&gt;
のように場は「点を入力とする&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;関数」である。

&lt;small&gt;※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。&lt;/small&gt;

ここで&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。

則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。


ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;で極大であるとは&lt;math&gt;\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\exist \delta&gt;0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} &lt; \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)&lt;/math&gt;
という定義だった。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;は曲面を表すが、これを&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;軸正方向から&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面に射影するとその陰が&lt;math&gt;(x, y)&lt;/math&gt;の動く範囲となるのであった。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;はスカラー場&lt;math&gt;z=\phi(\boldsymbol{x})&lt;/math&gt;と解釈することができ、更に条件法の前件は&lt;math&gt;\boldsymbol{\alpha}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;-開球（二次元なので開円板）である。

なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面の各点に&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の値を割り当てた数分布に於いて、開円板&lt;math&gt;B_\delta(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;内部に於ける&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の最大値が&lt;math&gt;\phi(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;となるような正数&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;が存在する」ということである。


ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。

スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。

例えば、ベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内の平面&lt;math&gt;x=k&lt;/math&gt;上の任意点に、その点を始点とするベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;が存在する状態を表す。


ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)&lt;/math&gt;について
:&lt;math&gt;(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)&lt;/math&gt;である。

これは、ベクトル場の加法の定義が
:&lt;math&gt;\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)&lt;/math&gt;
となっていて且つ&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。


曲線&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等高線'''（等高曲線）、曲面&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。


==曲線論・曲面論==
===曲線===
&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面上の曲線は&lt;math&gt;y=f(x) (x\in[a, b])&lt;/math&gt;という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や&lt;math&gt;x=x_0&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;f(x_0)&lt;/math&gt;の値が複数存在する（&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。

例えば円を陽関数表示しようとすると
:&lt;math&gt;x^2+y^2=r^2&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;に就いて解いて
:&lt;math&gt;y=\pm\sqrt{r^2-x^2}&lt;/math&gt;
則ち
:&lt;math&gt;y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} &amp; (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} &amp; (y&lt;0) \end{cases}&lt;/math&gt;
という多価関数が必要になる。

これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。

しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}&lt;/math&gt;（再掲）
こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。

一般に、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I&lt;/math&gt;としてベクトル方程式&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の解集合&lt;math&gt;\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;次元空間内の曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を表す。これを&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''ベクトル表示'''という。

ベクトル表示は成分表示に直せば&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;となる。これは媒介変数表示&lt;math&gt;\begin{cases} x_1&amp;=&amp;r_1(t) \\ x_2&amp;=&amp;r_2(t) \\ &amp;\,\,\vdots&amp; \\ x_n&amp;=&amp;r_n(t)  \end{cases}&lt;/math&gt;をベクトル表記したものに一致する。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}&lt;/math&gt;は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。


パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を&lt;math&gt;-C&lt;/math&gt;と表す。ベクトル表示では&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)&lt;/math&gt;ということである。

パラメータに関する変数変換&lt;math&gt;u=\phi(t)&lt;/math&gt;を考える。但し、&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;は広義単調関数とする&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;。このとき、&lt;math&gt;\frac{du}{dt}&lt;/math&gt;が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。&lt;math&gt;\frac{du}{dt}=0&lt;/math&gt;となる領域では点の運動が停止する。

&lt;small&gt;※&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。&lt;/small&gt;


&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t) \in C^1&lt;/math&gt;且つ&lt;math&gt;\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;であるとき、曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は'''滑らか'''であるという。


滑らかな曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;\boldsymbol{r}'(t)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''速度ベクトル'''という。

&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}&lt;/math&gt;として点&lt;math&gt;\mathrm{P}(t)&lt;/math&gt;に於ける速度ベクトルは&lt;math&gt;\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}&lt;/math&gt;の極限ベクトルであるが、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;を図示することで速度ベクトルが曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(t)&lt;/math&gt;に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。


速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。


なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。


正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。

二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt&lt;/math&gt;

実は、これを一般の&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;次元にそのまま拡張することができる。

{{定理|(弧長公式)}}
曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;までの長さ（&lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;）は
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;
で与えられる。
{{定理終わり}}

*証明
:&lt;math&gt;a=t_0, b=t_m&lt;/math&gt;として閉区間&lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt;を各&lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt;で等分割する。このとき小区間&lt;math&gt;[t_{k-1}, t_k]&lt;/math&gt;の長さは&lt;math&gt;\Delta t=\frac{b-a}{m}&lt;/math&gt;。
:&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;までの長さ&lt;math&gt;L&lt;/math&gt;は折れ線の長さ&lt;math&gt;\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}&lt;/math&gt;の総和で近似される。
:ここで&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;より
::&lt;math&gt;L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)&lt;/math&gt;
:分割を限りなく細かくする極限をとると&lt;math&gt;m\to\infty&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\Delta t\to0&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt&lt;/math&gt;
:区分求積法より最後の無限級数は収束して
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;//

ここで、&lt;math&gt;dl=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;という微小量を'''線素'''と呼ぶ。


1を線素に関して積分したパラメータ&lt;math&gt;s:=\int_0^t dl&lt;/math&gt;を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。

曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。&lt;math&gt;s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;で正則よりノルムは正。則ち&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}&gt;0&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;s=\phi(t)&lt;/math&gt;は狭義単調増加なので、逆関数&lt;math&gt;t=\phi^{-1}(s)&lt;/math&gt;を考えることができる。よって、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に&lt;math&gt;t=\phi^{-1}(s)&lt;/math&gt;を代入した&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))&lt;/math&gt;が弧長パラメータ表示である。これを&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;と成分関数が異なる'''ことに注意。

通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。

また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}&lt;/math&gt;
ここで微分積分学の基本定理より
:&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|&lt;/math&gt;
なので
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}&lt;/math&gt;
であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;である。

よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。

弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると&lt;math&gt;s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl&lt;/math&gt;だが、常に&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;ds=dl&lt;/math&gt;であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。


&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}&lt;/math&gt;と置くと、点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける接線の方程式は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)&lt;/math&gt;
と表される。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;の中心&lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;に於けるテイラー展開は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) &lt;/math&gt;
であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。


領域&lt;math&gt;\boldsymbol{D}&lt;/math&gt;上の滑らかなベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;について、微分方程式&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})&lt;/math&gt;で与えられる曲線&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式&lt;math&gt;\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}&lt;/math&gt;を'''流線方程式'''という。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)&lt;/math&gt;の流線は、
:定義から&lt;math&gt;\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x&lt;/math&gt;
:合成関数の微分公式から&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int y dy=\int xdx&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C&lt;/math&gt;
:よって双曲線&lt;math&gt;y^2-x^2=2C&lt;/math&gt;//
この場合、&lt;math&gt;t&lt;/math&gt;に関する2つの微分方程式を組み合わせることで
:&lt;math&gt;\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y&lt;/math&gt;という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて&lt;math&gt;\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}&lt;/math&gt;であることが容易に判る。&lt;br&gt;なお、流線方程式を用いても&lt;math&gt;\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}&lt;/math&gt;から&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}&lt;/math&gt;が出てくる。


「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。

有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;・磁束密度&lt;math&gt;\boldsymbol{B}&lt;/math&gt;の流線である。


流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))&lt;/math&gt;の左辺に就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|&lt;/math&gt;
元の方程式の両辺でノルムをとると
:&lt;math&gt;\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|&lt;/math&gt;
代入して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}&lt;/math&gt;
ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。

===フレネ標搆===
ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。

&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;上の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s)&lt;/math&gt;に於ける単位接線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{t}&lt;/math&gt;とおく。

先程の議論より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}&lt;/math&gt;であり、&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)&lt;/math&gt;なので直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0&lt;/math&gt;、則ち&lt;math&gt;\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;である。この&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;を'''主法線ベクトル'''という。

主法線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;とおくとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;であって&lt;math&gt;\boldsymbol{b}&lt;/math&gt;の定義より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}&lt;/math&gt;なので、この3ベクトルの組を正規化した&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の正規直交基底である。これを&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b&lt;/math&gt;の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;を入力したベクトル場として捉えることができる。

&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''法平面'''、&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''展直平面'''、&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''接触平面'''という。

即ち、法平面・展直平面・接触平面は&lt;math&gt;tnb&lt;/math&gt;空間の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s)&lt;/math&gt;を原点とした基準面である。

平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで
:法平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0&lt;/math&gt;
:展直平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0&lt;/math&gt;
:接触平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0&lt;/math&gt;
とわかる。


&lt;math&gt;\|\boldsymbol{t}\|=1&lt;/math&gt;は常に成り立つが&lt;math&gt;\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ&lt;math&gt;\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|&lt;/math&gt;を曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、&lt;math&gt;\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa&lt;/math&gt;が成り立つ。


主法線ベクトルの定義に立ち戻ると&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と&lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから&lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。

なお、&lt;math&gt;\kappa(s)=0&lt;/math&gt;の場合は&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}&lt;/math&gt;（定ベクトル）であり、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}&lt;/math&gt;という直線の場合に対応することがわかる。


単位接ベクトルの&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を微分変数とする導関数（&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;-導関数がどのように表されるか見ていく。

ここで、フレネ標搆が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の正規直交基底であることから、&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}&lt;/math&gt;ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。

単位従法線ベクトルに就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;則ち&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\|\boldsymbol{e}_n\|=1&lt;/math&gt;から直交条件の定理より&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
外積が零ベクトルなので&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;であり、一次従属より
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;
となるスカラー関数&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;が存在する。

この&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;を曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。

&lt;math&gt;\tau=0&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b&lt;/math&gt;方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は平面曲線である。


単位主法線ベクトルに就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}&lt;/math&gt;
ここで&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;を代入して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t&lt;/math&gt;


よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。
:&lt;math&gt;\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}&lt;/math&gt;

これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。

{{定理|(フレネ＝セレーの公式)}}

:&lt;math&gt;\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &amp; \kappa &amp; 0 \\ -\kappa &amp; 0 &amp; \tau \\ 0 &amp; -\tau &amp; 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。

捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau&lt;/math&gt;となるので左辺を計算すればよい。


例えば、円&lt;math&gt;\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}&lt;/math&gt;の曲率と捩率は以下のように求まる。
:媒介変数表示して&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:接線ベクトルは&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:弧長パラメータ&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore t=\frac{s}{a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0&lt;/math&gt;//


フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（&lt;math&gt;s=0&lt;/math&gt;に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組&lt;math&gt;(\kappa, \tau)&lt;/math&gt;を定めることで微分方程式の解として一般の&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。

従って、次の定理が成り立つ&lt;!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 --&gt;。

{{定理|(曲線の基本定理)}}
開区間&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;上の実数&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を変数とする2つの滑らかな関数&lt;math&gt;\kappa(s),\tau(s)&lt;/math&gt;を与える。但し、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は正とする。&lt;br/&gt;
このとき、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;を曲率、&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;を捩率、&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;が剛体運動を除いて一意に定まる。
{{定理終わり}}

剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。

&lt;math&gt;\kappa(s), \tau(s)&lt;/math&gt;の定める曲線族を一般に&lt;math&gt;\mathcal{C}[\kappa, \tau]&lt;/math&gt;と書く。

例えば、円を含む螺旋は&lt;math&gt;c_1, c_2=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\mathcal{C}[c_1, c_2]&lt;/math&gt;と書ける。


&lt;math&gt;R=\frac{1}{\kappa}&lt;/math&gt;を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で&lt;math&gt;R=\circ\circ \mathrm{m}&lt;/math&gt;は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;の中心&lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;に於けるテイラー展開は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) &lt;/math&gt;（再掲）
だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 &lt;/math&gt;
フレネ標搆を用いて書き直すと
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 &lt;/math&gt;
二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率&lt;math&gt;\kappa(s_0)&lt;/math&gt;が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。&lt;br/&gt;
接触平面で密着円&lt;math&gt; \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R &lt;/math&gt;を考える。接触平面を&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面と考えると円の方程式は
:&lt;math&gt;x^2+(y-R)^2=R^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y=R-\sqrt{R^2-x^2}&lt;/math&gt;
テイラー展開して
:&lt;math&gt;y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)&lt;/math&gt;
二次の項を比較すると
:&lt;math&gt;\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;R=\frac{1}{\kappa}&lt;/math&gt;
と定義するのは妥当である。

なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。


フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。


===単純閉曲線===
パラメータ区間を&lt;math&gt;I=[a, b]&lt;/math&gt;とする。

このとき、曲線の端点はそれぞれ&lt;math&gt;\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;である。

端点が一致する、つまり&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;である連続曲線を'''閉曲線'''という。

自己交叉しない、つまり&lt;math&gt;\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff  \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)&lt;/math&gt;となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。


幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。

このことは以下の定理によって保証される。

{{定理|(ジョルダンの曲線定理)}}
平面&lt;math&gt;\Pi\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;内の任意の単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対し、有界領域&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;・非有界領域&lt;math&gt;O&lt;/math&gt;の組であって&lt;math&gt;\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O&lt;/math&gt;且つ&lt;math&gt;\partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;であるものが唯一つに定まる。
{{定理終わり}}

この&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「&lt;math&gt;\partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「&lt;math&gt;\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;」が自明でないためである。


正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。

ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)&lt;/math&gt;は平面&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;を内部&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;と外部&lt;math&gt;O&lt;/math&gt;に分割する。平面拘束曲線なので&lt;math&gt;\forall{s}, \tau(s)=0&lt;/math&gt;であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;に一致する。

主法線ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)&lt;/math&gt;が接ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)&lt;/math&gt;に対して左側を向いているとすると、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon&gt;0)&lt;/math&gt;が点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;の進行方向左側にある点である。

ここで、&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球&lt;math&gt;B_\varepsilon(s_0)&lt;/math&gt;を考えると、平面&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;上では&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)&lt;/math&gt;が左側の領域、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)&lt;/math&gt;が右側の領域に入る。

&lt;math&gt;s=s_0&lt;/math&gt;を動かすと各点で進行方向左は&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;のいずれかであり、&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;の正則性と&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;の連結性から「&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。

ここで円の場合を考える。&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;に直交座標&lt;math&gt;u, v&lt;/math&gt;を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。

任意の正則単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。

つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。


集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;をとれるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''弧状連結'''であるという。

弧状連結集合&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;内の任意の閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。

平面&lt;math&gt;\Pi\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;に含まれる単連結集合&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;に対し、&lt;math&gt;\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}&lt;/math&gt;とすると集合&lt;math&gt;\hat{\Pi}\setminus{S}&lt;/math&gt;は連結である。逆も成り立つ。

なお、「&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;が連結集合である」ことは「補集合&lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。

集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に含まれる任意の2点を結んだ線分が&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に包含されるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。

集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;内の1点を固定してそこから&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;内任意点へ引いた線分が&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に包含されるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。

単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;を境界とする内部&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;に関して&lt;math&gt;I\cup\gamma&lt;/math&gt;が凸型集合であるとき、&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。


曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の曲率関数&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;C^3&lt;/math&gt;級であるとき、&lt;math&gt;\kappa'(s_0)=0&lt;/math&gt;を満たす点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''頂点'''という。

例えば、標準楕円&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1&lt;/math&gt;の頂点は4点&lt;math&gt;(\pm{a},0),(0,\pm{b})&lt;/math&gt;である。このことは、&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;上曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)&lt;/math&gt;に対する曲率の公式&lt;math&gt;\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}&gt;0&lt;/math&gt;を用いて確かめられる。


実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。

{{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}}
&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。
{{定理終わり}}

*証明
:滑らかな卵形線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])&lt;/math&gt;に対して曲率関数&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は滑らかであり、&lt;math&gt;\kappa\in C^3&lt;/math&gt;を満たす。
:卵形線は単純閉曲線なので&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}&lt;/math&gt;であり、&lt;math&gt;\kappa(a)=\kappa(b)&lt;/math&gt;。
:曲率関数が定数関数のときは&lt;math&gt;\kappa\in C^\infty&lt;/math&gt;且つ常に&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。
:曲率関数が定数関数でないとする。
:ワイエルシュトラスの極値定理より&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;s\in[a, b]&lt;/math&gt;のどこかで最大値・最小値をとり、その点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす。
:従って少なくとも2つの頂点を持つ。
:ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。
:曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;と置く。
:線分&lt;math&gt;\mathrm{MN}&lt;/math&gt;を含む直線を&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;軸とし、その垂直方向に&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;軸をとる。
:&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;が増加すると曲線上の点が&lt;math&gt;\mathrm{N}\to\mathrm{M}&lt;/math&gt;のように動くとき、
:&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。
:同様に、&lt;math&gt;\mathrm{M}\to\mathrm{N}&lt;/math&gt;の向きでは&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は狭義単調減少である。
:従って、&lt;math&gt;\kappa'(s)y(s)\neq0&lt;/math&gt;の正の側だけ考えれば良い。
:&lt;math&gt;y(a)=y(b)=0&lt;/math&gt;に注意すると部分積分して
:&lt;math&gt;0&lt;\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds&lt;/math&gt;
:主法線ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)&lt;/math&gt;
:よって
:&lt;math&gt;-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0&lt;/math&gt;
:なので矛盾した不等式&lt;math&gt;0&lt;0&lt;/math&gt;を得る。
:則ち、&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;と異なる点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が少なくとも一つ存在する。
:そのような点を&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;と置く。
:&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathrm{N}\to\mathrm{M}&lt;/math&gt;という経路の途中にあるとする。
:このとき、&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;以外に&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が存在すると「&lt;math&gt;\mathrm{M}\to\mathrm{N}&lt;/math&gt;という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので
:&lt;math&gt;\mathrm{M, N, L}&lt;/math&gt;以外では&lt;math&gt;\kappa'(s)y(s)&gt;0&lt;/math&gt;である。
:同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、&lt;math&gt;\mathrm{M, N, L}&lt;/math&gt;と異なる点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。
:この時点で「&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;間の二つの経路のいずれにも&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。
:よって、頂点個数の最小値は&lt;math&gt;4&lt;/math&gt;である。//

最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。

この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。


先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0&lt;/math&gt;も必ず成り立つ。よって、&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0&lt;/math&gt;の両辺を&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;で微分して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa&lt;/math&gt;
ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、&lt;br/&gt;
一般次元に於いても「&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;の接線方向成分は&lt;math&gt;-\kappa(s)&lt;/math&gt;」であることが判る。

ここで&lt;math&gt;C^2&lt;/math&gt;級曲線の位置ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;に対して単位主法線&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。

&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;を二次までテイラー展開すると&lt;math&gt;\Delta s&gt;0&lt;/math&gt;を微小量として
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)&lt;/math&gt;
ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa&lt;/math&gt;より、&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\Delta s&lt;/math&gt;だけ動かしたときの接線方向の速さは&lt;math&gt;|\kappa(s)|\Delta s&lt;/math&gt;である（&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。

閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;を微小量&lt;math&gt;\Delta s&lt;/math&gt;に関して積分した&lt;math&gt;\int_a^b \kappa(s)ds&lt;/math&gt;を考えてみる。

ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;より明らかに&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)&lt;/math&gt;であり、閉曲線が一周する間にベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;はこの単位円を&lt;math&gt;m(\in\mathbb{Z})&lt;/math&gt;周する&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;。

&lt;small&gt;※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない&lt;/small&gt;

弧度法より単位円を&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;周する符号付き道のりは&lt;math&gt;2\pi{m}&lt;/math&gt;であり、ガウス表示より&lt;math&gt;\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}&lt;/math&gt;。

従って、&lt;math&gt;m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds&lt;/math&gt;

この&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。


曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した
:&lt;math&gt;\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds&lt;/math&gt;
という量を考えることにする。

これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。

全曲率に対して以下の定理が成り立つ。

{{定理|(フェンヒェルの定理)}}
滑らかな閉曲線の全曲率は&lt;math&gt;\mu\geq2\pi&lt;/math&gt;を満たす。等号成立の場合は卵形線である。
{{定理終わり}}

証明は省略する。

===曲面===
媒介変数表示・接ベクトル&amp;法線ベクトル・正の向き・曲面積・円錐の方程式・ロドリゲスの回転公式

===種々の曲率===
法曲率・主曲率・平均曲率・全曲率


==三次元ユークリッド空間==
xyz空間上のスカラー場を&lt;math&gt;F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}&lt;/math&gt;、ベクトル場を&lt;math&gt;\boldsymbol{X}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;とする。また、&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;のx, y, z成分をそれぞれ&lt;math&gt;X_x, X_y, X_z&lt;/math&gt;と書くことにする。また、註がない限り凡ての議論は直交座標系のxyz空間で考えるものとする。
===偏微分===
三変数関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;の'''偏導関数'''（partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{\partial{f}}{\partial{z}}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}&lt;/math&gt;

偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。

偏導関数を求める操作を'''偏微分'''（partial differentiation）という。

つまり、偏微分とは'''着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する'''操作である。


記号「&lt;math&gt;\partial&lt;/math&gt;」は「デル（del）」「ラウン（ド）ディー（rounded d）」「パーシャルディー（partial d）」などと読まれる。

着目する変数以外を明示したい場合は、&lt;math&gt;\partial_x f(x, y, z), \; u_x |_{x,y,z}&lt;/math&gt;などの記法が用いられる。

偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。

例えば、&lt;math&gt;\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2+2yx+y^2)=\frac{\partial}{\partial{x}} x^2 + y \frac{\partial}{\partial{x}} x + y^2 \frac{\partial}{\partial{x}} 1 = 2x+y&lt;/math&gt;である。


偏導関数に偏微分変数の微小量を掛けて全ての変数について足し合わせた
:&lt;math&gt;df = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
を&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;の'''（完）全微分'''（total derivative）という。

全微分は、関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z&lt;/math&gt;だけ変化させたときの関数全体の変化量&lt;math&gt;\text{∆} f = f(x+\text{∆} x, y+\text{∆} y, z+\text{∆} z)-f(x,y,z)&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\text{∆} x, \text{∆} y, \text{∆} z \to 0&lt;/math&gt;とした三重極限に等しい。

つまり、
:&lt;math&gt;f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{f}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
が成り立つ。

これを形式的に変形すると、
:&lt;math&gt;\frac{f(x+dx,y+dy,z+dz) - f(x,y,z)}{dxdydz} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}dydz} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}dzdx} + \frac{\partial{f}}{\partial{z}dxdy}&lt;/math&gt;
となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}= \begin{pmatrix} f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;としたとき、
:&lt;math&gt;\mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x,y,z) = \frac{\partial{(f_1,f_2,f_3)}}{\partial{(x,y,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{f_1}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_1}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_1}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_2}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_2}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_2}}{\partial{z}} \\ \frac{\partial{f_3}}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial{f_3}}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial{f_3}}{\partial{z}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
を&lt;math&gt;\boldsymbol{f}&lt;/math&gt;の'''関数行列'''（functional matrix）または'''ヤコビ行列'''（'''ヤコビアン'''、Jacobian matrix）という。

これを用いると、3次元ベクトル関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f} (x, y, z)&lt;/math&gt;の全微分は以下のように求められる。
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{f} = \mathbf{J}_\boldsymbol{f} (x_0,y_0,z_0)  d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
ただし、&lt;math&gt;d\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;である。このベクトルを'''方向ベクトル'''（direction vector）という。


===線積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;上の点&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;B&lt;/math&gt;まで、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

経路&lt;math&gt;A \to B&lt;/math&gt;を微小線分&lt;math&gt;\text{∆} l&lt;/math&gt;に分けたとき、[[高等学校数学III/積分法#区分求積法|区分求積法]]により以下のように'''線積分'''（line integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\int_A^B f(x, y, z) dl = \lim_{\text{∆} l \to 0} \sum_A^B f(x, y, z) \text{∆} l&lt;/math&gt;
このとき、経路&lt;math&gt;A \to B&lt;/math&gt;を'''積分（経）路'''（path）や'''積分領域'''（domain of integral）という。

なお、線積分は[[量子力学]]の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。


右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。

曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とし、初期条件を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(a)=\vec{\mathrm{OA}}, \boldsymbol{p}(b)=\vec{\mathrm{OB}}&lt;/math&gt;とする。

このとき、閉区間&lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt;を長さ&lt;math&gt;\text{∆} t = \frac{b-a}{n}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;個の小区間&lt;math&gt;[t_{n-1}, t_n]&lt;/math&gt;に分割し、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;上に標本点&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(t_i)&lt;/math&gt;をとる。各標本点を結ぶ線分の長さを&lt;math&gt;\text{∆} s_i&lt;/math&gt;とおけば、&lt;math&gt;F(\boldsymbol{p} (t_i)) \text{∆} s_i&lt;/math&gt;の総和はリーマン和である。

&lt;math&gt;\text{∆} t \to 0&lt;/math&gt;の極限を考えると、
:&lt;math&gt;\text{∆} s_i = \|\boldsymbol{p}(t_i + \text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i)\| = \left\| \frac{\boldsymbol{p}(t_i+\text{∆} t) - \boldsymbol{p}(t_i+0)}{\text{∆} t - 0} \right\| (\text{∆} t -0) = \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t_i)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;
よりこのリーマン和の極限は収束し、
:&lt;math&gt;\lim_{\text{∆} t \to 0} \sum_{i=1}^n F(\boldsymbol{p}(t_i))  \text{∆} s_i = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;//


ここで、この線積分の値は（同じ向き付けを与える限り）'''媒介変数のとり方に依らない'''。

&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(u) = \begin{pmatrix} x(t(u)) \\ y(t(u)) \\ z(t(u)) \end{pmatrix}, u \in [c, d]&lt;/math&gt;という変数変換を考えると、&lt;br&gt;恒等的に&lt;math&gt;\frac{dt}{du}&gt;0&lt;/math&gt;のとき
:&lt;math&gt;\int_c^d F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d \boldsymbol{p}(u)}{du} \right\| du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t(u))) \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\| \frac{dt}{du} du = \int_a^b F(\boldsymbol{p}(t)) \left\|\frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt}\right\| dt&lt;/math&gt;
となり、一致する。

「恒等的に&lt;math&gt;\frac{dt}{du}&gt;0&lt;/math&gt;」は「&lt;math&gt;t, u&lt;/math&gt;それぞれを用いた媒介変数表示が同じ向き付けを与える」ことと同値なので、先述の内容が確かめられた。

そこで、&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;を更に（形式的に）変形する。
:&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt = \left\| \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} x(t) \\ \frac{d}{dt} y(t) \\ \frac{d}{dt} z(t) \end{pmatrix} \right\| dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz(t)}{dt}\right)^2} \; dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sqrt{ (dx(t))^2+(dy(t))^2+(dz(t))^2}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}&lt;/math&gt;

最後の式を&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;で置くと、&lt;math&gt;dl = \| d\boldsymbol{p} \|&lt;/math&gt;が形式的に成り立つ。

この&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;を'''線素'''（line element）と呼ぶ。


線素を用いることで、曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;（の一部）を積分経路とするスカラー場&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;の線積分は以下のように略記される。
:&lt;math&gt;\int_C F dl&lt;/math&gt;

特に積分経路が閉曲線である（'''閉経路'''）とき、この線積分を'''周回積分'''（'''閉路積分'''、closed line integral）といい
:&lt;math&gt;\oint_C F dl&lt;/math&gt;
と表す。


線積分&lt;math&gt;\int_C dl&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の長さに等しい。
:&lt;math&gt;\int_C dl = \int_a^b \| d\boldsymbol{p}(t) \| = \int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{p}(t)}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\int_a^b \sqrt{ \left(\frac{dx(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt} \right)^2+\left(\frac{dz(t)}{dt} \right)^2} dt&lt;/math&gt;
これは[[高等学校数学III/積分法#曲線の長さ|平面上の曲線の長さの式]]を三次元に拡張した式であることがわかる。


スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の線積分は以下のように計算されるとわかる。
:&lt;math&gt;\int_C \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_a^b \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(t)) \cdot \boldsymbol{p}' (t) dt&lt;/math&gt;

ここで&lt;math&gt;d\boldsymbol{l}&lt;/math&gt;は'''線素ベクトル'''であり、
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{l} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = dx\boldsymbol{e}_x+dy\boldsymbol{e}_y+dz\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;
と定義される。

そのため、この線積分は
:&lt;math&gt;\int_C X_x dx + X_y dy + X_z dz&lt;/math&gt;
とも書かれる。

線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を'''接線積分'''（integral of tangential component）という場合もある。


&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を弧長パラメータ&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;で媒介変数表示すると、
:&lt;math&gt;\int_C \boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_\alpha^\beta \boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} ds&lt;/math&gt;

ここで&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{q}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;より、内積 &lt;math&gt;\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s)) \cdot \frac{d\boldsymbol{q}}{ds}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\boldsymbol{X}(\boldsymbol{q}(s))&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\boldsymbol{q}(s)&lt;/math&gt;方向に射影したものである。

すなわち、線積分はベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の接線方向成分を積分したものである。これは「仕事」や「流れ」といった物理的な概念に通じ、線積分の本質を形作る。

なお、スカラー場の線積分に登場した線素&lt;math&gt;dl&lt;/math&gt;は、線素ベクトルの大きさ&lt;math&gt;\| d\boldsymbol{l} \|&lt;/math&gt;に等しい。これは、スカラー場の線積分が経路に沿った「長さの重み付け」積分であることを示している。


位置ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(x, y, z)&lt;/math&gt;とする。積分経路を流線上にとると、流線の定義から&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}//\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})&lt;/math&gt;則ち一次従属なので、&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=k\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})&lt;/math&gt;と書ける。

よって線積分の被積分関数は&lt;math&gt;\boldsymbol{X} \cdot d\boldsymbol{r} = k\|\boldsymbol{X}\|^2&lt;/math&gt;となり、積分値が最大化される他、ベクトル場の沿流方向成分を抽出できる。実際に計算する際は、&lt;math&gt;\int_{\mathrm{streamline}} k\|\boldsymbol{X}\|^2&lt;/math&gt;とは書かず、&lt;math&gt;\int_{\mathrm{streamline}} \boldsymbol{X} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt&lt;/math&gt;と書くのが望ましい（積分記号と積分微小要素はセットのため）。


===面積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

領域&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;を微小領域に分割した表面積を&lt;math&gt;\text{∆} S_i&lt;/math&gt;としたとき、区分求積法により以下のように'''（曲）面積分'''（surface integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\iint_S f(x, y, z) dS = \lim_{\text{∆} S \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} S_i&lt;/math&gt;

右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。

曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の滑らかな媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{p}(s, t) = \begin{pmatrix} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とする。

ここで、パラメータベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}&lt;/math&gt;が属する領域&lt;math&gt;T (\subset \mathbb{R}^2)&lt;/math&gt;を微小矩形領域&lt;math&gt;\text{∆} T_i&lt;/math&gt;に分割する。このとき、各iについて&lt;math&gt;\text{∆} T_i = [s_i, s_i+\text{∆} s_i] \times [t_i, t_i+\text{∆} t_i]&lt;/math&gt;であり、各&lt;math&gt;\text{∆} T_i&lt;/math&gt;に対応する曲面上の領域を&lt;math&gt;\text{∆} S_i = \boldsymbol{p}(\text{∆} T_i)&lt;/math&gt;とする。

このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。

すなわち、&lt;math&gt;\text{∆} s_i, \text{∆} t_i \to 0&lt;/math&gt;のとき
:&lt;math&gt;\text{∆} S_i = \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆} s_i \text{∆} t_i&lt;/math&gt;
である。

このリーマン和の二重極限は収束し、
:&lt;math&gt;\lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆}{S_i} = \lim_{\scriptstyle \text{∆} s_i \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} t_i \to 0} \sum_i f(\boldsymbol{p}(s_i, t_i)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{X}(s_i, t_i)}}{\partial{t}} \right\| \text{∆}{s_i} \text{∆}{t_i}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T f(\boldsymbol{p}(s, t)) \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right\| ds dt&lt;/math&gt;//

すなわち、面積分は二重積分に帰着される。

面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。

証明は恒等条件&lt;math&gt;\det \frac{\partial(s_1, t_1)}{\partial(s_2, t_2)}&gt;0&lt;/math&gt;を用いて線積分と同様に行われる。


そこで、&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;上での面積分を以下のように略記する。
:&lt;math&gt;\iint_S F dS&lt;/math&gt;

1の面積分を考えると、
:&lt;math&gt;\iint_S dS&lt;/math&gt;
は曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の表面積に等しいことが知られている。

そのため、&lt;math&gt;dS&lt;/math&gt;を'''面（積要）素'''（surface element）と呼ぶ。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;が閉曲面のときは
:&lt;math&gt;\oiint_S F dS&lt;/math&gt;
とも書く。

例えば、関数&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に描く曲面の表面積は、&lt;math&gt;\boldsymbol{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\iint_T \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{x}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{y}} \right\| dx dy&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T \left\| \begin{pmatrix} -\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \\ -\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \\ 1 \end{pmatrix} \right\| dxdy&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint_T \sqrt{ \left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \right)^2 + \left( \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right)^2 + 1 } \; dxdy&lt;/math&gt;
と求められる。


スカラー場の場合と同様の議論により、ベクトル場の面積分は以下のように計算されるとわかる。
:&lt;math&gt;\iint_S \boldsymbol{X} \cdot d \vec{S} = \iint \boldsymbol{X} (\boldsymbol{p}(s, t)) \cdot \left( \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \right) dsdt&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\iint \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{X}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{s}}, \frac{\partial{\boldsymbol{p}}}{\partial{t}} \end{pmatrix} ds dt&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;ベクトル三重積の性質）

ここで&lt;math&gt;d\vec{S}&lt;/math&gt;は面素ベクトルであり、
:&lt;math&gt;d\vec{S} = \boldsymbol{n} dS&lt;/math&gt;
と定義される。

&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;は有向曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;と右手系（後述）をなすように定められた単位法線ベクトルである。

&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;は、x, y, z軸それぞれとなす角度を&lt;math&gt;\alpha, \beta, \gamma&lt;/math&gt;とすると通常の余弦関数で表されるベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{pmatrix}&lt;/math&gt;に等しい。これを'''方向余弦'''という。

方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。
:&lt;math&gt;\begin{cases} \cos\alpha dS = dydz \\ \cos\beta dS = dzdx \\ \cos\gamma dS = dxdy \end{cases}&lt;/math&gt;

これを用いることで、
:&lt;math&gt;d\vec{S} = \boldsymbol{e}_x dydz + \boldsymbol{e}_y dzdx + \boldsymbol{e}_z dxdy =  \begin{pmatrix} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と表せる。

敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。

===体積分===
関数&lt;math&gt;f(x, y, z)&lt;/math&gt;が三次元ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上に立体領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;を描いているとする。

&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に沿って積分することを考える。

立体&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;を微小立体に分割した体積を&lt;math&gt;\text{∆} V_i&lt;/math&gt;としたとき、区分求積法により以下のように'''体（積）積分'''（volume integral）が定義される。
:&lt;math&gt;\iiint_V f(x, y, z) dV = \lim_{\text{∆} V \to 0} \sum_i f(x_i, y_i, z_i) \text{∆} V_i&lt;/math&gt;

体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。

そのため、以下のように考える。

微小立体の体積&lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;は、各辺の長さが&lt;math&gt;dx, dy, dz&lt;/math&gt;である直方体の体積で近似できる（どのような分割の仕方をしても微小領域では直方体に近似できるため）。

よって、&lt;math&gt;dV = dxdydz&lt;/math&gt;。この&lt;math&gt;dV&lt;/math&gt;を'''体（積）素'''（volume element）という。

つまり、体積分は&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;についての三重積分
:&lt;math&gt;\iiint_V  f(x,y,z) dxdydz&lt;/math&gt;
に等しい。

&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;の媒介変数表示を&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s, t, u) = \begin{pmatrix} x(s, t, u) \\ y(s, t, u) \\ z(s, t, u) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とすると、スカラー場の&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に関する体積分は
:&lt;math&gt;\iiint_V F(\boldsymbol{r}) dV = \iiint_V F (\boldsymbol{r}(s, t, u)) \left\| \det \frac{\partial{(x, y, z)}}{\partial{(s, t, u)}} \right\| dsdtdu&lt;/math&gt;
で表される。

積分領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;が閉立体であるときは
:&lt;math&gt;\oiiint_V F dV&lt;/math&gt;
とも書く。

また、ベクトル場
の&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に関する体積分は、ベクトル場の成分となるスカラー場の体積分を並べたベクトル
:&lt;math&gt;\iiint_V \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r}) dV = \begin{pmatrix} \iiint_V X_x(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_y(\boldsymbol{r}) dV \\ \iiint_V X_z(\boldsymbol{r}) dV \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
で表される。


===円筒座標系===
平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。

空間座標を3つの実数の組&lt;math&gt;(r, \theta, z)&lt;/math&gt;で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は原点からの（符号付き）距離、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;は基準面に於ける始線からの正の回転角、&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;は基準面からの高さである。

円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。

そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}&lt;/math&gt;
但し、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は基準面の裏側では負とする。


直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。
:r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。
:θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。
:z曲線：z軸に平行な直線。


ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)&lt;/math&gt;とする。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}&lt;/math&gt;全体の微小変化は全微分&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;で表される。

上で求めた関係式より
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
なので、
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz &lt;/math&gt;

再右辺の各項を&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;と書くことにすると、&lt;math&gt;|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|&lt;/math&gt;はそれぞれ&lt;math&gt;dr, rd\theta, dz&lt;/math&gt;とわかる。&lt;math&gt;r, \theta, z&lt;/math&gt;を物理量として捉えたとき&lt;math&gt;d\theta&lt;/math&gt;の単位はラジアン（無次元量）であり、&lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。

纏めると以下のようになる。
{| class=&quot;wikitable&quot;
| ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| ノルム
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{r}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\cos\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\sin\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dr&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{\theta}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;-r\sin\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;r\cos\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{z}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dz&lt;/math&gt;
|} 

ここで&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。

そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

これを一次変換の形式で表すと
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
となる。 

このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。

なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。


逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。

回転行列は直交行列なので
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;
であり、
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;


円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。

例えば、高校物理の公式&lt;math&gt;B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}&lt;/math&gt;は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。


===極座標系===
高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;と経度&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;で定めることができる。

一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;が必要である。

このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。


xyz座標空間の点&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;の極座標表示を考える。

&lt;math&gt;r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}&lt;/math&gt;は容易にわかる。

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、&lt;math&gt;\vec{OP}&lt;/math&gt;のz軸への正射影ベクトルを&lt;math&gt;\vec{OH}=\vec{h}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}&lt;/math&gt;が成り立つ。&lt;math&gt;|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;より、&lt;math&gt;\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}&lt;/math&gt;である。

&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、&lt;math&gt;P&lt;/math&gt;からxy平面に下した垂線の足&lt;math&gt;Q&lt;/math&gt;を考えると&lt;math&gt;\tan\phi=\frac{y}{x}&lt;/math&gt;とわかる。よって、&lt;math&gt;\phi=\arctan\frac{y}{x}&lt;/math&gt;である。


逆に、これを&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;に復元することを考える。

&lt;math&gt;\triangle OHP&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle HOP=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;z=\overline{OH}=r\cos\theta&lt;/math&gt;。

また、&lt;math&gt;\triangle OPQ&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle OPQ=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;\overline{OQ}=r\sin\theta&lt;/math&gt;。

よって&lt;math&gt;x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi&lt;/math&gt;。


以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}&lt;/math&gt;


一般に緯度は&lt;math&gt;-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ&lt;/math&gt;、経度は&lt;math&gt;-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ&lt;/math&gt;の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;、方位角&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]&lt;/math&gt;で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では&lt;math&gt;\theta&lt;0&lt;/math&gt;とする。


直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。
:r曲線：原点を通る半直線。
:θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。
:φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。


各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて
:&lt;math&gt;\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta  \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}&lt;/math&gt;
と求まる。

これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\theta \\ -\sin\phi &amp; \cos\phi &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と変換テンソルが求まる。

これも直交行列であるので、逆変換テンソルは
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\phi \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と求まる。


球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。

例えば、赤道平面における角運動量保存則は&lt;math&gt;mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。

球面座標系は特に機械制御に応用されている。


円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。


===勾配===
スカラー場の'''勾配'''（gradient）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, F = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \boldsymbol{e}_x + \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。

&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;に一変数&lt;math&gt;f(x) ,g(y), h(z)&lt;/math&gt;をそれぞれ代入すると、各座標軸方向の傾き（すなわち通常の導関数）を得る。このことからも、勾配がスカラー場の各点に於ける傾きを表すことが判る。


勾配はベクトル量であるため、そのことを明示するため新たな演算子を導入する。

'''空間偏微分演算子'''（'''ハミルトン演算子'''&lt;!-- 壁谷・川上「ベクトル解析入門」での呼称 --&gt;）&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\nabla=\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \frac{\partial}{\partial{z}} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial{x}}\boldsymbol{e}_x + \frac{\partial}{\partial{y}} \boldsymbol{e}_y + \frac{\partial}{\partial{z}} \boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算は[[w:記号の濫用]]（symbol abuse）であることを註しておく。

&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;の正式な読み方は'''ナブラ'''（nabla）であるが、&lt;math&gt;\text{∆}&lt;/math&gt;（delta）を反転した形であることから'''エイトレッド'''（atled）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。


空間偏微分演算子を用いることで、勾配は以下のように略記される。
:&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, F = \nabla F&lt;/math&gt; 
&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;はスカラー場なのでスカラー量であり、&lt;math&gt;\nabla&lt;/math&gt;は便宜的にベクトル量と考えることから、その積&lt;math&gt;\nabla F&lt;/math&gt;はベクトル量のスカラー倍、すなわちベクトル量であることが見て取れる。


勾配を用いて定義される概念として、電場が有名である。
:電位&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;に対する電場&lt;math&gt;E&lt;/math&gt;は
:&lt;math&gt;E:=-\mathrm{grad} \, \phi&lt;/math&gt;


スカラー場の全微分は
:&lt;math&gt;dF= \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz&lt;/math&gt;
で定義された。

これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は
:&lt;math&gt;dF = \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{F}}{\partial{z}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

すなわち、スカラー場の全微分は
:&lt;math&gt;dF = \nabla F \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
と表される。

一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;で表されるとすると、&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;方向の方向微分係数は勾配と方向余弦ベクトルの内積で表される。更に、スカラー場の最大傾斜が勾配ベクトル方向であると判る。


ベクトル場の全微分は
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{X} = \frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}} \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
で定義された。

ここでn次行列 &lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;とn項列ベクトル &lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;に対し、&lt;math&gt;(\mathbf{A} \circledast \boldsymbol{a})_{ij} = (\mathbf{A}_{ij}) a_i&lt;/math&gt;となるような可換二項演算子 &lt;math&gt;\circledast&lt;/math&gt;を定義する。これは本項独自の記法である。但し、&lt;math&gt;(\mathbf{P})_{ij}&lt;/math&gt;は行列 &lt;math&gt;\mathbf{P}&lt;/math&gt;の第ij成分を表す。

この記法を用いると、ヤコビ行列&lt;math&gt;\frac{\partial{(X_x,X_y,X_z)}}{\partial{(x,y,z)}}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\nabla \circledast \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;と表すことができる。

則ち、ベクトル場の全微分は
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{X} = (\nabla \circledast \boldsymbol{X}) \cdot d\boldsymbol{v}&lt;/math&gt;
と表される。


ベクトル変数による微分を考える。ベクトル変数による微分は、変数ベクトルの各成分による偏微分を並べたベクトルで表される。

例えば、
:&lt;math&gt;\frac{df}{d\boldsymbol{r}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{r_x}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_y}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{r_z}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

これは&lt;math&gt;\boldsymbol{r}&lt;/math&gt;の各成分が直交基底をなすとき、勾配であると考えてよい。

===発散===
ベクトル場の'''発散'''（divergence）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \frac{\partial{X_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{X_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{X_z}}{\partial{z}}&lt;/math&gt;

発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。


発散はスカラー量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。&lt;math&gt;\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_x \\ X_y \\ X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;より、発散は空間偏微分演算子を用いると以下のように表せる。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}= \nabla \cdot \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;


発散を用いた概念として、ガウスの法則が有名である。
:電荷密度&lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;、電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;、空間の誘電率&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;とすると
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}&lt;/math&gt;

極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{E}=0&lt;/math&gt;」を証明することができる。


ベクトル場の存在する3次元領域内に体積&lt;math&gt;\text{∆} v&lt;/math&gt;の閉曲面をとる。

閉曲面の有向微小表面積を&lt;math&gt;d\vec{S}&lt;/math&gt;とするとき、この微小面を通過する指力線の量は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{X}_n dS = \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\boldsymbol{X}_n&lt;/math&gt;は法線成分）
である。

この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分
:&lt;math&gt;\oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;
で与えられる。

発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \lim_{\text{∆} V \to 0} \frac{1}{\text{∆} V} \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;

これを積分形に変形すると、以下の'''ガウスの発散定理'''（Gauss' divergence theorem）を得る。
:&lt;math&gt;\iiint_{\text{∆} V} \mathrm{div} \, \boldsymbol{X} dV = \oiint_S \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S}&lt;/math&gt;


発散はまた、ヤコビ行列の跡に等しい。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{tr} (\nabla \circledast \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;


===回転===
回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。
*回転軸の方向
*回転の速さ
*回転方向（軸に対して右回転か左回転か）

「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（'''右手系'''）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。

従って、'''任意の回転運動はベクトルで表示される'''（ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを'''角速度ベクトル'''という。


ベクトル場の'''回転'''（curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \frac{\partial{X_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{X_y}}{\partial{z}}  \\ \frac{\partial{X_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{X_z}}{\partial{x}} \\ \frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathrm{curl}&lt;/math&gt;は理学系、&lt;math&gt;\mathrm{rot}&lt;/math&gt;は工学系が好んで使用する。


z軸方向の成分について考える。

z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。

ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を&lt;math&gt;\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}&lt;/math&gt;とすれば満足する。

x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。


ここまで定性的に見てきたが、今度は定量的に考える。

回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。
:&lt;math&gt;(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}) \cdot \boldsymbol{n} := \lim_{S\to0} \frac{1}{|S|} \oint_{\partial{S}} \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:但し、&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;を単位法線ベクトルとし点&lt;math&gt;l(\vec{l})&lt;/math&gt;を含む微小有向面、&lt;math&gt;\partial{S}&lt;/math&gt;はその境界となる微小閉曲線、&lt;math&gt;|S|&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の表面積。

定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を積分経路とする。
:&lt;math&gt;(\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})_z = \lim_{\text{∆} S\to0} \frac{1}{|\text{∆} S|} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0}
 \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( \int_{\text{∆} x} X_x (x, y, z) dl + \int_{\text{∆} y} X_y (x+\text{∆} x, y, z) dl - \int_{\text{∆} x} X_x (x, y+\text{∆} y, z) dl - \int_{\text{∆} y} X_y (x, y, z) dl \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \frac{1}{\text{∆} x \text{∆} y} \left( X_x(x, y, z) \text{∆} x + X_y(x+\text{∆} x, y, z) \text{∆} y -X_x(x, y+\text{∆} y, z) \text{∆} x - X_y(x, y, z) \text{∆} y \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} + \frac{X_y(x+\text{∆} x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x, y+\text{∆} y, z)}{\text{∆} y} - \frac{X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\lim_{\scriptstyle \text{∆} x \to 0 \atop \scriptstyle \text{∆} y \to 0} \left( \frac{X_y(x, y+\text{∆} y, z)-X_y(x, y, z)}{\text{∆} x} - \frac{X_x(x+\text{∆} x, y, z) - X_x(x, y, z)}{\text{∆} y} \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{\partial{X_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{X_x}}{\partial{y}}&lt;/math&gt;//


回転はベクトル量であるが、それを明示するため空間偏微分演算子による表記を考える。

成分に着目すると外積の形式なので、
:&lt;math&gt;\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X}= \nabla \times \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;
と表されることが判る。

外積の性質から、回転は行列式
:&lt;math&gt;\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x &amp; \boldsymbol{e}_y &amp; \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial{x}} &amp; \frac{\partial}{\partial{y}} &amp; \frac{\partial}{\partial{z}} \\ X_x &amp; X_y &amp; X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
でも表示される。


回転を用いた概念として、ファラデーの電磁誘導の法則が有名である。
:電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;、磁束密度&lt;math&gt;\boldsymbol{B}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E} = -\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}&lt;/math&gt;

流体の渦の記述にも応用されている。


回転は常に角速度ベクトルと一致するとは限らない。そのため、必ずしも回転運動そのものを記述しない。


回転の正式な定義から、以下の'''ストークスの定理'''（Stokes' theorem）が成り立つと判る。
:&lt;math&gt;\int_S \mathrm{curl} \, \boldsymbol{X} \cdot d\vec{S} = \oint_C \boldsymbol{X} \cdot d\vec{l}&lt;/math&gt;
:但し、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は閉曲面&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の境界曲線。


回転は、ヤコビ行列を用いると以下のように表される。
:&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} = 2 \mathrm{axl} \left( \frac{\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})}{2} \right)&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;\nabla \circledast \boldsymbol{X} - {}^t \! (\nabla \circledast \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;は反対称行列であり、&lt;math&gt;\mathrm{axl}&lt;/math&gt;は反対称行列を軸ベクトルに移す写像である。


===ラプラシアン===
以下のように'''ラプラス演算子'''（'''ラプラス作用素'''、Laplacian）を定義する。但し、&lt;math&gt;\text{∆}&lt;/math&gt;は通常のデルタ（Unicode文字名: GREEK CAPITAL LETTER DELTA, U+394）ではなく'''増分記号'''（Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。
:&lt;math&gt;\text{∆} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2}{\partial{z^2}}&lt;/math&gt;
第二式は通常、[[w:記号の濫用]]により単に&lt;math&gt;\nabla^2&lt;/math&gt;と書かれる。


スカラー場の'''ラプラシアン'''を以下のように定義する。
:&lt;math&gt;\text{∆} F = \frac{\partial^2F}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{y^2}} + \frac{\partial^2F}{\partial{z^2}}&lt;/math&gt;

ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。
:&lt;math&gt;\text{∆} F = \nabla^2 F = \nabla \cdot (\nabla F) = \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, F)&lt;/math&gt;

スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。


ベクトル場のラプラシアンは、「各成分のラプラシアンを並べたベクトル」で表される。
:&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} \text{∆} X_x \\ \text{∆} X_y \\ \text{∆} X_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

ベクトル場では以下の等式が成り立つ。
:&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;

回転が&lt;math&gt;\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;であり、形式的に&lt;math&gt;(\nabla \cdot) \nabla = \nabla (\nabla \cdot) = \nabla^2&lt;/math&gt;が成り立つ。

ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。


ベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;にスカラー関数&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;を掛けた関数について、その発散は以下であると容易に証明される。
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, (\phi\boldsymbol{X}) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \boldsymbol{X} + \phi \mathrm{div} \, \boldsymbol{X}&lt;/math&gt;
ここで、&lt;math&gt;\boldsymbol{X}&lt;/math&gt;をスカラー関数&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;の勾配&lt;math&gt;\mathrm{grad} \, \psi&lt;/math&gt;と見做すと、
:&lt;math&gt;\mathrm{div} \, (\phi \mathrm{grad} \, \psi) = \mathrm{grad} \, \phi \cdot \mathrm{grad} \, \psi + \phi \mathrm{div} \, (\mathrm{grad} \, \psi)&lt;/math&gt;
空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、
:&lt;math&gt;\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi&lt;/math&gt;
両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、
:&lt;math&gt;\int_V \nabla (\phi \nabla \psi) dV = \int_V (\nabla \phi \cdot \nabla \psi + \phi \text{∆} \psi) dV&lt;/math&gt;
Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、
:&lt;math&gt;\oint_S (\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの第一定理'''（Green's first theorem）という。

グリーンの第一定理に於いて、&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;を入れ替えた式は
:&lt;math&gt;\oint_S (\psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\psi \text{∆} \phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi) dV&lt;/math&gt;
元の式との差をとると
:&lt;math&gt;\int_S (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) \cdot d\vec{S} = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの第二定理'''（Green's second theorem）という。

&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;の単位法線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;、その方向の軸を&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;とすると、
:&lt;math&gt;(\phi \nabla \psi) \cdot d\vec{S} = (\phi \nabla \psi) \cdot \boldsymbol{n} dS = \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} dS&lt;/math&gt;
グリーンの第二定理の左辺を書き換えて
:&lt;math&gt;\int_S \left( \phi \frac{\partial{\psi}}{\partial{n}} - \psi \frac{\partial{\phi}}{\partial{n}} \right) dS = \int_V (\phi \text{∆} \psi - \psi \text{∆} \phi) dV&lt;/math&gt;
これを'''グリーンの定理'''（Green's theorem）という。

===積分定理===
{{節stub}}


この節では、上述したガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理を厳密な議論により証明する。

*ガウスの発散定理の証明


*ストークスの定理の証明


*グリーンの定理の証明


;補足事項
一般に&lt;math&gt;\mathrm{rot} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})=0&lt;/math&gt;が成り立つ。証明は下記の演習問題で行う。


&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}&lt;/math&gt;を満たすベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;を'''層状ベクトル場'''（lamellar vector field）という。回転を持たないことから'''非回転的ベクトル場'''（irrotational vector field）ともいう。

上記の性質から、&lt;math&gt;\boldsymbol{x} = \mathrm{grad} \, f&lt;/math&gt;となるスカラー場&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;が存在する。この&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;を、&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;の'''スカラーポテンシャル'''（scalar potential）という。

&lt;math&gt;\mathrm{div} \, \boldsymbol{y} = 0&lt;/math&gt;を満たすスカラー場&lt;math&gt;\boldsymbol{y}&lt;/math&gt;を'''管状ベクトル場'''（solenoidal vector field）という。発散を持たないことから'''回転的ベクトル場'''（rotational vector field）ともいう。

上記の性質から、&lt;math&gt;\boldsymbol{y} = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{g}&lt;/math&gt;となるベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{g}&lt;/math&gt;が存在する。この&lt;math&gt;\boldsymbol{g}&lt;/math&gt;を、&lt;math&gt;\boldsymbol{y}&lt;/math&gt;の'''ベクトルポテンシャル'''（vector potential）という。


スカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルの存在は、[[w:ポアンカレの補題]]の特別な場合であり、ユークリッド空間&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;では一般に成り立つ。


;演習問題
#&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y, z)= \begin{pmatrix} yz \\ zx \\ xy \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の曲率・捩率・流線方程式を求めよ。但し、
#&lt;math&gt;\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^\sqrt{1-z^2} \int_{-\sqrt{1-z^2-y^2}}^\sqrt{1-z^2-y^2} dxdydz&lt;/math&gt;を円筒座標または極座標に変数変換し、計算せよ。
#&lt;math&gt;\mathrm{rot} \, (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}) = \mathrm{rot} \, \boldsymbol{X} + \mathrm{rot} \, \boldsymbol{Y}&lt;/math&gt;を示せ。
#&lt;math&gt;\mathrm{curl} \,(\mathrm{grad} \, F)=\mathrm{div} \, (\mathrm{curl} \, \boldsymbol{X})=0&lt;/math&gt;を証明せよ。
#&lt;math&gt;\text{∆} \boldsymbol{X} = \mathrm{grad} \, (\mathrm{div} \, \boldsymbol{X}) - \mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{X})&lt;/math&gt;を確かめよ。
#線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。
#極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。
#層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。
#&lt;math&gt;\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} 3x \\ 5y \\ 7z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とする。円筒側面&lt;math&gt;x^2+y^2=1, -2\leq z \leq 2&lt;/math&gt;上での面積分を求めよ。但し、面積ベクトルは円筒面に対して外向きとする。

==発展事項==
{{節stub}}
{{Advanced|多様体論}}
{{Advanced|微分幾何学}}
{{Advanced|積分幾何学}}
===体積分再考===
体積分は先程「&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上の閉立体&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。

線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1&lt;/math&gt;は境界こそ&quot;曲線&quot;だが空間そのものは&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;という&quot;平面&quot;であることと同じ）。

1次元の曲がった空間である曲線&lt;math&gt;M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;内、2次元の曲がった空間である曲面&lt;math&gt;M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体&lt;math&gt;M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に&lt;math&gt;M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;が成り立つと予想され、この関係を「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。

線積分を&lt;math&gt;M^1&lt;/math&gt;、面積分を&lt;math&gt;M^2&lt;/math&gt;で定義したように、体積分を&lt;math&gt;M^3&lt;/math&gt;で定義することを考える。

媒介変数空間&lt;math&gt;\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}&lt;/math&gt;上の微小変化を考えると全微分を用いて
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;

よって&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;上の微小立方体&lt;math&gt;dsdtdu&lt;/math&gt;は3ベクトル&lt;math&gt;\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;の張る微小平行六面体へ移される。

体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。

全微分を一次変換表記すると
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

ここでヤコビ行列は&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}&lt;/math&gt;であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。

そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。

'''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。

そのため、&lt;math&gt;\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を体積拡大率とする。

これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。

{{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}}
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列）
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は&lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;による拡大率と一致する。&lt;br/&gt;
則ち、&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を拡大率としてとれる。//
{{NavBottom}}


よって体積分は
:&lt;math&gt;\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu&lt;/math&gt;


ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上での体積分の計算に&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n&lt;/math&gt;の情報は入ってこず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報のみで計算されると予想される。

実際、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に適切な媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は&lt;math&gt;dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k&lt;/math&gt;と書け、これは正しい。


実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;の情報を全く必要とせず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。


ここまで&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;を適切な媒介変数&lt;math&gt;\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;から媒介変数空間&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;への射影&lt;math&gt;\pi:M^n\to U&lt;/math&gt;を考えるということである。

ここで、この&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;が全単射ならば逆向きの射影&lt;math&gt;\pi^{-1}:U\to M^n&lt;/math&gt;が存在してそれが媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})&lt;/math&gt;となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;によって曲がった空間&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上に(局所)座標系を与えることができる'''。

つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。

※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。


ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。


===多様体===
===微分形式===
[[線型代数学続論/外積代数]]も参照。
===リーマン計量===
===テンソル解析===
[[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。
===複素ベクトル解析===
[[複素解析学]]も参照。


{{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}}
[[Category:解析学]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]]</text>
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      <comment>/* 三次元ユークリッド空間 */ 空間微分・空間積分は一から書き直したいので白紙化します</comment>
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{{wikipedia|ベクトル解析}}

ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。

==前提知識==
ここでは、実数のみで考える。
===ベクトル===
[[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（&lt;math&gt;\vec{a}&lt;/math&gt;など）と太字斜体による表記（&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;など）を混用する。
===行列===
[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;など）で表記する。
===多変数解析===
[[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。
===領域===
&lt;math&gt;D\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;と点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\in D&lt;/math&gt;（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合&lt;math&gt;B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|&lt;\varepsilon \}&lt;/math&gt;を点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球'''という。不等号を&lt;math&gt;\leqq&lt;/math&gt;に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、&lt;math&gt;D&lt;/math&gt;のように&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;の部分集合であって&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球を含むものを点&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。

&lt;math&gt;\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon&gt;0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U&lt;/math&gt;を満たす&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''開集合'''と呼び、&lt;math&gt;V=\mathbb{R}^n\setminus U&lt;/math&gt;を'''閉集合'''と呼ぶ。

注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば&lt;math&gt;\mathbb{R}, \varnothing&lt;/math&gt;）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば&lt;math&gt;[0, 1)&lt;/math&gt;）。

&lt;math&gt;M\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を含む最小の閉集合を&lt;math&gt;M&lt;/math&gt;の'''閉包'''と呼び、&lt;math&gt;M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)&lt;/math&gt;などと表す。例えば有理数の稠密性より&lt;math&gt;\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}&lt;/math&gt;である。

閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（&lt;math&gt;M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}&lt;/math&gt;）」がある。


集合&lt;math&gt;S\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;に対して以下を満たす&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;上開集合の組&lt;math&gt;(G_1, G_2)&lt;/math&gt;が'''とれない'''とき、
#&lt;math&gt;G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;S = (G_1 \sqcup G_2) \cup S&lt;/math&gt;
「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結'''である」または「&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''連結集合'''」という（但し、&lt;math&gt;\sqcup&lt;/math&gt;は[[w:非交和|非交和]]）。

空でない開連結集合を'''領域'''という。

実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。


===右手系===
三次元空間の正規直交基底を&lt;math&gt;(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)&lt;/math&gt;と置く。螺子を&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2&lt;/math&gt;の向きに回すと&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_3&lt;/math&gt;の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。

右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。


外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。

系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。


位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。


偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。
:(軸性)×(軸性)=(軸性)
:(軸性)×(極性)=(極性)
:(極性)×(極性)=(軸性)


==基礎事項==
===ベクトル関数===
関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。

ただし、各&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;は各座標軸方向の単位ベクトルであり、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の定義域は各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の定義域の積集合である。

ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;の極限は、
:&lt;math&gt;\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性)
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;
と求まる。

このとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;x\to0&lt;/math&gt;に於ける'''極限ベクトル'''という。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)&lt;/math&gt;が成立することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で連続であることである。


また、ベクトル関数の導関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は
:&lt;math&gt;\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because&lt;/math&gt;線型性）
:&lt;math&gt;= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
である。

この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 &lt;math&gt;\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}&lt;/math&gt;からも導かれる。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;x=\alpha&lt;/math&gt;で微分可能であるとは極限値&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}&lt;/math&gt;が存在することであり、区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能であるとは&lt;math&gt;\forall \alpha \in I&lt;/math&gt;で微分可能であることである。

高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が区間&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で連続ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;級であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^0(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt;級である（一階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^1(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で二階微分可能で&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'\in C^1(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;上で&lt;math&gt;C^2&lt;/math&gt;級である（二階連続微分可能）といい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^2(I)&lt;/math&gt;と書く。同様にして順々に&lt;math&gt;C^k&lt;/math&gt;級が定義され、&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;で&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級（無限階連続微分可能）であるといい、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)&lt;/math&gt;と書く。&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。


高校数学や高校物理で扱った平面（&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。

例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は&lt;math&gt;\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)&lt;/math&gt;と表すことができる。


曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。

例えば、円の媒介変数表示&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}&lt;/math&gt;という2次元ベクトル関数とみることができる。更に&lt;math&gt;\theta=\omega t&lt;/math&gt;とすると、これは等速円運動の式である。


1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。
#定数倍の導関数：&lt;math&gt;\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#和・差の導関数：&lt;math&gt;\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#積の導関数：&lt;math&gt;\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)&lt;/math&gt;
#商の導関数：&lt;math&gt;\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)&lt;/math&gt;
#内積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#外積の導関数：&lt;math&gt;\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)&lt;/math&gt;
#スカラー三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#ベクトル三重積の導関数：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}&lt;/math&gt;
#連鎖律（チェイン・ルール）：&lt;math&gt;[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)&lt;/math&gt;


ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| =  \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}&lt;/math&gt;
で与えられる。

つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。

ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{&gt;0})&lt;/math&gt;の両辺を2乗して
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2&lt;/math&gt;
:両辺微分すると内積の微分より
:&lt;math&gt;\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;C_1\geq0&lt;/math&gt;は積分定数）
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1&lt;/math&gt;より
:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.&lt;/math&gt;
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(直交条件の定理)}}

:&lt;math&gt;\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。


また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;）。
:所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;を用いて&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;と表される。
:両辺微分して&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;
:ここで元のベクトル関数との外積をとると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
:逆に、
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;とすると一次従属なので
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;という微分方程式が成り立つ。
:各成分ごとに微分方程式を解くと、
::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は
::&lt;math&gt;\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;G'(x)=g(x), C_i&lt;/math&gt;を積分定数として&lt;math&gt;\log|f_i(x)|=G(x)+C_i&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;C_i=\pm e^{C_i}&lt;/math&gt;と改めておくと&lt;math&gt;f_i(x)=C_i e^{G(x)}&lt;/math&gt;
:よって
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;と置くと
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}&lt;/math&gt;となり、方向は変数に依らず一定であることが判る//
よって、以下が成り立つ。

{{定理|(平行条件の定理)}}
&lt;math&gt;\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。

一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。
:&lt;math&gt;|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|&lt;/math&gt;
これはCS不等式の等号成立の場合である。

実際、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}&lt;/math&gt;より等号成立の必要十分条件は
:&lt;math&gt;\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)&lt;/math&gt;
であり、2ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)&lt;/math&gt;は平行とわかる。&lt;br/&gt;
平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。//


補足として、力学への応用を考える。
:速さの二乗&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|^2&lt;/math&gt;を時間微分すると
:&lt;math&gt;\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))&lt;/math&gt;
:よって等速運動の条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;は直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;に同値である。
:これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。
:平面上で等速円運動を考えると円運動条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)&lt;/math&gt;、等速条件から&lt;math&gt;\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;が出てくる。
:円運動条件&lt;math&gt;\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2&lt;/math&gt;を一階微分すると
::&lt;math&gt;2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0&lt;/math&gt;
:もう一度微分して
::&lt;math&gt;2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0&lt;/math&gt;
:則ち
::&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0&lt;/math&gt;
:位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;であり、等速条件より&lt;math&gt;\|\boldsymbol{v}(t)\|=v&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\lambda r^2 + v^2 = 0&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}&lt;0&lt;/math&gt;
:則ち&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は逆向きであり、円運動の中心は&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の始点なので&lt;math&gt;\boldsymbol{a}(t)&lt;/math&gt;は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。//
なお、3次元以上では「&lt;math&gt;\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}&lt;/math&gt;」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。


&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x)&lt;/math&gt;の不定積分は、各&lt;math&gt;f_i(x)&lt;/math&gt;の原始関数を並べたベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{F}(x)&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\boldsymbol{C}&lt;/math&gt;は各積分定数を並べたベクトル）
と表される。

また、定積分は
:&lt;math&gt;\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)&lt;/math&gt;
と表される。


1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。
#定数倍の原始関数：&lt;math&gt;\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx&lt;/math&gt;
#和・差の原始関数：&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx&lt;/math&gt;
#内積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#外積の原始関数&lt;math&gt;\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)&lt;/math&gt;
#スカラー倍の部分積分：&lt;math&gt;\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx&lt;/math&gt;
#内積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#外積の部分積分：&lt;math&gt;\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx&lt;/math&gt;
#置換積分：&lt;math&gt;u=f(x)&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du&lt;/math&gt;


平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。
:1階線型常微分方程式&lt;math&gt;\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)&lt;/math&gt;の解に就て考える。
:第&lt;math&gt;i&lt;/math&gt;成分を考えると&lt;math&gt;f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)&lt;/math&gt;という1階線型常微分方程式を得るので、
:両辺に積分因子&lt;math&gt;\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)&lt;/math&gt;を掛けることで
:&lt;math&gt;f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}&lt;/math&gt;を得る。
:よって一般解は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}&lt;/math&gt;


ベクトル関数は必ずしもここで扱った&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;のみを指さない。

例えば、ベクトル変数 &lt;math&gt;\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;に対して
:&lt;math&gt;\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;
と定義されるような関数&lt;math&gt;\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m&lt;/math&gt;もベクトル関数である。


また、始域と終域の次元が異なる&lt;math&gt;\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)&lt;/math&gt;のようなベクトル関数も考えられる。


一般に、始域が&lt;math&gt;\mathbb{R}^n (n\neq1)&lt;/math&gt;であっても終域が&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。

この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。

また、多変数ベクトル関数&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)&lt;/math&gt;を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。


===ベクトル場・スカラー場===
写像&lt;math&gt;\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;を'''ベクトル場'''（vector field）という。

実際には&lt;math&gt;m=n&lt;/math&gt;の場合を考えることが多い。

写像&lt;math&gt;\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}&lt;/math&gt;を'''スカラー場'''（scalar field）という。

それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。

もう少し具体的に述べると、空間の領域&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、&lt;math&gt;p\in V&lt;/math&gt;とすると
:スカラー場：&lt;math&gt;\varphi=\varphi(p)&lt;/math&gt;
:ベクトル場：&lt;math&gt;\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)&lt;/math&gt;
のように場は「点を入力とする&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;関数」である。

&lt;small&gt;※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。&lt;/small&gt;

ここで&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。

則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が&lt;math&gt;C^\infty&lt;/math&gt;級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。


ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;で極大であるとは&lt;math&gt;\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として
:&lt;math&gt;\exist \delta&gt;0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} &lt; \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)&lt;/math&gt;
という定義だった。

&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;は曲面を表すが、これを&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;軸正方向から&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面に射影するとその陰が&lt;math&gt;(x, y)&lt;/math&gt;の動く範囲となるのであった。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;z=f(x, y)&lt;/math&gt;はスカラー場&lt;math&gt;z=\phi(\boldsymbol{x})&lt;/math&gt;と解釈することができ、更に条件法の前件は&lt;math&gt;\boldsymbol{\alpha}&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;-開球（二次元なので開円板）である。

なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面の各点に&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の値を割り当てた数分布に於いて、開円板&lt;math&gt;B_\delta(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;内部に於ける&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;の最大値が&lt;math&gt;\phi(\boldsymbol{\alpha})&lt;/math&gt;となるような正数&lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;が存在する」ということである。


ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。

スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。

例えば、ベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)&lt;/math&gt;は、&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内の平面&lt;math&gt;x=k&lt;/math&gt;上の任意点に、その点を始点とするベクトル&lt;math&gt;\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;が存在する状態を表す。


ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)&lt;/math&gt;について
:&lt;math&gt;(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)&lt;/math&gt;である。

これは、ベクトル場の加法の定義が
:&lt;math&gt;\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)&lt;/math&gt;
となっていて且つ&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。


曲線&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等高線'''（等高曲線）、曲面&lt;math&gt;\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}&lt;/math&gt;を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。


==曲線論・曲面論==
===曲線===
&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面上の曲線は&lt;math&gt;y=f(x) (x\in[a, b])&lt;/math&gt;という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や&lt;math&gt;x=x_0&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;f(x_0)&lt;/math&gt;の値が複数存在する（&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。

例えば円を陽関数表示しようとすると
:&lt;math&gt;x^2+y^2=r^2&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;に就いて解いて
:&lt;math&gt;y=\pm\sqrt{r^2-x^2}&lt;/math&gt;
則ち
:&lt;math&gt;y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} &amp; (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} &amp; (y&lt;0) \end{cases}&lt;/math&gt;
という多価関数が必要になる。

これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。

しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}&lt;/math&gt;（再掲）
こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。

一般に、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I&lt;/math&gt;としてベクトル方程式&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の解集合&lt;math&gt;\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;次元空間内の曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;を表す。これを&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''ベクトル表示'''という。

ベクトル表示は成分表示に直せば&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i&lt;/math&gt;となる。これは媒介変数表示&lt;math&gt;\begin{cases} x_1&amp;=&amp;r_1(t) \\ x_2&amp;=&amp;r_2(t) \\ &amp;\,\,\vdots&amp; \\ x_n&amp;=&amp;r_n(t)  \end{cases}&lt;/math&gt;をベクトル表記したものに一致する。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}&lt;/math&gt;は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。


パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を&lt;math&gt;-C&lt;/math&gt;と表す。ベクトル表示では&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)&lt;/math&gt;ということである。

パラメータに関する変数変換&lt;math&gt;u=\phi(t)&lt;/math&gt;を考える。但し、&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;は広義単調関数とする&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;。このとき、&lt;math&gt;\frac{du}{dt}&lt;/math&gt;が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。&lt;math&gt;\frac{du}{dt}=0&lt;/math&gt;となる領域では点の運動が停止する。

&lt;small&gt;※&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。&lt;/small&gt;


&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t) \in C^1&lt;/math&gt;且つ&lt;math&gt;\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;であるとき、曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は'''滑らか'''であるという。


滑らかな曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;\boldsymbol{r}'(t)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''速度ベクトル'''という。

&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}&lt;/math&gt;として点&lt;math&gt;\mathrm{P}(t)&lt;/math&gt;に於ける速度ベクトルは&lt;math&gt;\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}&lt;/math&gt;の極限ベクトルであるが、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;を図示することで速度ベクトルが曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(t)&lt;/math&gt;に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。


速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。


なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。


正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。

二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt&lt;/math&gt;

実は、これを一般の&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;次元にそのまま拡張することができる。

{{定理|(弧長公式)}}
曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;までの長さ（&lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;）は
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;
で与えられる。
{{定理終わり}}

*証明
:&lt;math&gt;a=t_0, b=t_m&lt;/math&gt;として閉区間&lt;math&gt;[a, b]&lt;/math&gt;を各&lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt;で等分割する。このとき小区間&lt;math&gt;[t_{k-1}, t_k]&lt;/math&gt;の長さは&lt;math&gt;\Delta t=\frac{b-a}{m}&lt;/math&gt;。
:&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)&lt;/math&gt;から点&lt;math&gt;\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;までの長さ&lt;math&gt;L&lt;/math&gt;は折れ線の長さ&lt;math&gt;\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}&lt;/math&gt;の総和で近似される。
:ここで&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;より
::&lt;math&gt;L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)&lt;/math&gt;
:分割を限りなく細かくする極限をとると&lt;math&gt;m\to\infty&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\Delta t\to0&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt&lt;/math&gt;
:区分求積法より最後の無限級数は収束して
:&lt;math&gt;L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;//

ここで、&lt;math&gt;dl=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;という微小量を'''線素'''と呼ぶ。


1を線素に関して積分したパラメータ&lt;math&gt;s:=\int_0^t dl&lt;/math&gt;を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。

曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。&lt;math&gt;s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt&lt;/math&gt;で正則よりノルムは正。則ち&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}&gt;0&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;s=\phi(t)&lt;/math&gt;は狭義単調増加なので、逆関数&lt;math&gt;t=\phi^{-1}(s)&lt;/math&gt;を考えることができる。よって、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;に&lt;math&gt;t=\phi^{-1}(s)&lt;/math&gt;を代入した&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))&lt;/math&gt;が弧長パラメータ表示である。これを&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;と成分関数が異なる'''ことに注意。

通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。

また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}&lt;/math&gt;
ここで微分積分学の基本定理より
:&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|&lt;/math&gt;
なので
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}&lt;/math&gt;
であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;である。

よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。

弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると&lt;math&gt;s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl&lt;/math&gt;だが、常に&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;ds=dl&lt;/math&gt;であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。


&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}&lt;/math&gt;と置くと、点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける接線の方程式は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)&lt;/math&gt;
と表される。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;の中心&lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;に於けるテイラー展開は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) &lt;/math&gt;
であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。


領域&lt;math&gt;\boldsymbol{D}&lt;/math&gt;上の滑らかなベクトル場&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;について、微分方程式&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})&lt;/math&gt;で与えられる曲線&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\boldsymbol{a}&lt;/math&gt;の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式&lt;math&gt;\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}&lt;/math&gt;を'''流線方程式'''という。

例えば、&lt;math&gt;\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)&lt;/math&gt;の流線は、
:定義から&lt;math&gt;\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x&lt;/math&gt;
:合成関数の微分公式から&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\int y dy=\int xdx&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C&lt;/math&gt;
:よって双曲線&lt;math&gt;y^2-x^2=2C&lt;/math&gt;//
この場合、&lt;math&gt;t&lt;/math&gt;に関する2つの微分方程式を組み合わせることで
:&lt;math&gt;\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y&lt;/math&gt;という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて&lt;math&gt;\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}&lt;/math&gt;であることが容易に判る。&lt;br&gt;なお、流線方程式を用いても&lt;math&gt;\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}&lt;/math&gt;から&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}&lt;/math&gt;が出てくる。


「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。

有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場&lt;math&gt;\boldsymbol{E}&lt;/math&gt;・磁束密度&lt;math&gt;\boldsymbol{B}&lt;/math&gt;の流線である。


流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))&lt;/math&gt;の左辺に就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|&lt;/math&gt;
元の方程式の両辺でノルムをとると
:&lt;math&gt;\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|&lt;/math&gt;
代入して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}&lt;/math&gt;
ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。

===フレネ標搆===
ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。

&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;上の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s)&lt;/math&gt;に於ける単位接線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{t}&lt;/math&gt;とおく。

先程の議論より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}&lt;/math&gt;であり、&lt;math&gt;\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)&lt;/math&gt;なので直交条件の定理から&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0&lt;/math&gt;、則ち&lt;math&gt;\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;である。この&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;を'''主法線ベクトル'''という。

主法線ベクトルを&lt;math&gt;\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;とおくとき、&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}&lt;/math&gt;であって&lt;math&gt;\boldsymbol{b}&lt;/math&gt;の定義より&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}&lt;/math&gt;なので、この3ベクトルの組を正規化した&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の正規直交基底である。これを&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b&lt;/math&gt;の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;を入力したベクトル場として捉えることができる。

&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''法平面'''、&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''展直平面'''、&lt;math&gt;\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}&lt;/math&gt;の張る平面を'''接触平面'''という。

即ち、法平面・展直平面・接触平面は&lt;math&gt;tnb&lt;/math&gt;空間の点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s)&lt;/math&gt;を原点とした基準面である。

平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで
:法平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0&lt;/math&gt;
:展直平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0&lt;/math&gt;
:接触平面の方程式：&lt;math&gt;(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0&lt;/math&gt;
とわかる。


&lt;math&gt;\|\boldsymbol{t}\|=1&lt;/math&gt;は常に成り立つが&lt;math&gt;\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ&lt;math&gt;\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|&lt;/math&gt;を曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、&lt;math&gt;\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa&lt;/math&gt;が成り立つ。


主法線ベクトルの定義に立ち戻ると&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}&lt;/math&gt;であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と&lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから&lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。

なお、&lt;math&gt;\kappa(s)=0&lt;/math&gt;の場合は&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;なので&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}&lt;/math&gt;（定ベクトル）であり、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}&lt;/math&gt;という直線の場合に対応することがわかる。


単位接ベクトルの&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を微分変数とする導関数（&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;-導関数がどのように表されるか見ていく。

ここで、フレネ標搆が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;の正規直交基底であることから、&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}&lt;/math&gt;ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。

単位従法線ベクトルに就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;則ち&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\|\boldsymbol{e}_n\|=1&lt;/math&gt;から直交条件の定理より&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
外積が零ベクトルなので&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;であり、一次従属より
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;
となるスカラー関数&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;が存在する。

この&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;を曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。

&lt;math&gt;\tau=0&lt;/math&gt;ならば&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b&lt;/math&gt;方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;は平面曲線である。


単位主法線ベクトルに就いて
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}&lt;/math&gt;
ここで&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n&lt;/math&gt;を代入して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t&lt;/math&gt;


よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。
:&lt;math&gt;\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}&lt;/math&gt;

これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。

{{定理|(フレネ＝セレーの公式)}}

:&lt;math&gt;\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &amp; \kappa &amp; 0 \\ -\kappa &amp; 0 &amp; \tau \\ 0 &amp; -\tau &amp; 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
{{定理終わり}}

表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。

捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau&lt;/math&gt;となるので左辺を計算すればよい。


例えば、円&lt;math&gt;\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}&lt;/math&gt;の曲率と捩率は以下のように求まる。
:媒介変数表示して&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:接線ベクトルは&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:弧長パラメータ&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore t=\frac{s}{a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0&lt;/math&gt;//


フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（&lt;math&gt;s=0&lt;/math&gt;に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組&lt;math&gt;(\kappa, \tau)&lt;/math&gt;を定めることで微分方程式の解として一般の&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。

従って、次の定理が成り立つ&lt;!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 --&gt;。

{{定理|(曲線の基本定理)}}
開区間&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;上の実数&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を変数とする2つの滑らかな関数&lt;math&gt;\kappa(s),\tau(s)&lt;/math&gt;を与える。但し、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は正とする。&lt;br/&gt;
このとき、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;を曲率、&lt;math&gt;\tau(s)&lt;/math&gt;を捩率、&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;が剛体運動を除いて一意に定まる。
{{定理終わり}}

剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。

&lt;math&gt;\kappa(s), \tau(s)&lt;/math&gt;の定める曲線族を一般に&lt;math&gt;\mathcal{C}[\kappa, \tau]&lt;/math&gt;と書く。

例えば、円を含む螺旋は&lt;math&gt;c_1, c_2=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\mathcal{C}[c_1, c_2]&lt;/math&gt;と書ける。


&lt;math&gt;R=\frac{1}{\kappa}&lt;/math&gt;を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で&lt;math&gt;R=\circ\circ \mathrm{m}&lt;/math&gt;は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。

ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;の中心&lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;に於けるテイラー展開は
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) &lt;/math&gt;（再掲）
だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 &lt;/math&gt;
フレネ標搆を用いて書き直すと
:&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 &lt;/math&gt;
二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率&lt;math&gt;\kappa(s_0)&lt;/math&gt;が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。&lt;br/&gt;
接触平面で密着円&lt;math&gt; \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R &lt;/math&gt;を考える。接触平面を&lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;平面と考えると円の方程式は
:&lt;math&gt;x^2+(y-R)^2=R^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;y=R-\sqrt{R^2-x^2}&lt;/math&gt;
テイラー展開して
:&lt;math&gt;y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)&lt;/math&gt;
二次の項を比較すると
:&lt;math&gt;\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;R=\frac{1}{\kappa}&lt;/math&gt;
と定義するのは妥当である。

なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。


フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に&lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。


===単純閉曲線===
パラメータ区間を&lt;math&gt;I=[a, b]&lt;/math&gt;とする。

このとき、曲線の端点はそれぞれ&lt;math&gt;\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;である。

端点が一致する、つまり&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;である連続曲線を'''閉曲線'''という。

自己交叉しない、つまり&lt;math&gt;\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff  \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)&lt;/math&gt;となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。


幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。

このことは以下の定理によって保証される。

{{定理|(ジョルダンの曲線定理)}}
平面&lt;math&gt;\Pi\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;内の任意の単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対し、有界領域&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;・非有界領域&lt;math&gt;O&lt;/math&gt;の組であって&lt;math&gt;\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O&lt;/math&gt;且つ&lt;math&gt;\partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;であるものが唯一つに定まる。
{{定理終わり}}

この&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「&lt;math&gt;\partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「&lt;math&gt;\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma&lt;/math&gt;」が自明でないためである。


正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。

ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)&lt;/math&gt;は平面&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;を内部&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;と外部&lt;math&gt;O&lt;/math&gt;に分割する。平面拘束曲線なので&lt;math&gt;\forall{s}, \tau(s)=0&lt;/math&gt;であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;に一致する。

主法線ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)&lt;/math&gt;が接ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{t}(s)&lt;/math&gt;に対して左側を向いているとすると、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon&gt;0)&lt;/math&gt;が点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;の進行方向左側にある点である。

ここで、&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;に於ける&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;-開球&lt;math&gt;B_\varepsilon(s_0)&lt;/math&gt;を考えると、平面&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;上では&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)&lt;/math&gt;が左側の領域、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)&lt;/math&gt;が右側の領域に入る。

&lt;math&gt;s=s_0&lt;/math&gt;を動かすと各点で進行方向左は&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;のいずれかであり、&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;の正則性と&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;の連結性から「&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。

ここで円の場合を考える。&lt;math&gt;\Pi&lt;/math&gt;に直交座標&lt;math&gt;u, v&lt;/math&gt;を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。

任意の正則単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「&lt;math&gt;I, O&lt;/math&gt;」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。

つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。


集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;をとれるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''弧状連結'''であるという。

弧状連結集合&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;内の任意の閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。

平面&lt;math&gt;\Pi\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;に含まれる単連結集合&lt;math&gt;S&lt;/math&gt;に対し、&lt;math&gt;\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}&lt;/math&gt;とすると集合&lt;math&gt;\hat{\Pi}\setminus{S}&lt;/math&gt;は連結である。逆も成り立つ。

なお、「&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;が連結集合である」ことは「補集合&lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。

集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に含まれる任意の2点を結んだ線分が&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に包含されるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。

集合&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;内の1点を固定してそこから&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;内任意点へ引いた線分が&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;に包含されるとき、&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。

単純閉曲線&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;を境界とする内部&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;に関して&lt;math&gt;I\cup\gamma&lt;/math&gt;が凸型集合であるとき、&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。


曲線&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の曲率関数&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;C^3&lt;/math&gt;級であるとき、&lt;math&gt;\kappa'(s_0)=0&lt;/math&gt;を満たす点&lt;math&gt;\mathrm{P}(s_0)&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;の'''頂点'''という。

例えば、標準楕円&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1&lt;/math&gt;の頂点は4点&lt;math&gt;(\pm{a},0),(0,\pm{b})&lt;/math&gt;である。このことは、&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;上曲線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)&lt;/math&gt;に対する曲率の公式&lt;math&gt;\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\frac{ds}{dt}&gt;0&lt;/math&gt;を用いて確かめられる。


実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。

{{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}}
&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。
{{定理終わり}}

*証明
:滑らかな卵形線&lt;math&gt;C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])&lt;/math&gt;に対して曲率関数&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は滑らかであり、&lt;math&gt;\kappa\in C^3&lt;/math&gt;を満たす。
:卵形線は単純閉曲線なので&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}&lt;/math&gt;であり、&lt;math&gt;\kappa(a)=\kappa(b)&lt;/math&gt;。
:曲率関数が定数関数のときは&lt;math&gt;\kappa\in C^\infty&lt;/math&gt;且つ常に&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。
:曲率関数が定数関数でないとする。
:ワイエルシュトラスの極値定理より&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;s\in[a, b]&lt;/math&gt;のどこかで最大値・最小値をとり、その点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす。
:従って少なくとも2つの頂点を持つ。
:ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。
:曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;と置く。
:線分&lt;math&gt;\mathrm{MN}&lt;/math&gt;を含む直線を&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;軸とし、その垂直方向に&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;軸をとる。
:&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;が増加すると曲線上の点が&lt;math&gt;\mathrm{N}\to\mathrm{M}&lt;/math&gt;のように動くとき、
:&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。
:同様に、&lt;math&gt;\mathrm{M}\to\mathrm{N}&lt;/math&gt;の向きでは&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;は狭義単調減少である。
:従って、&lt;math&gt;\kappa'(s)y(s)\neq0&lt;/math&gt;の正の側だけ考えれば良い。
:&lt;math&gt;y(a)=y(b)=0&lt;/math&gt;に注意すると部分積分して
:&lt;math&gt;0&lt;\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds&lt;/math&gt;
:主法線ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}&lt;/math&gt;なので
:&lt;math&gt;\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)&lt;/math&gt;
:よって
:&lt;math&gt;-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0&lt;/math&gt;
:なので矛盾した不等式&lt;math&gt;0&lt;0&lt;/math&gt;を得る。
:則ち、&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;と異なる点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が少なくとも一つ存在する。
:そのような点を&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;と置く。
:&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathrm{N}\to\mathrm{M}&lt;/math&gt;という経路の途中にあるとする。
:このとき、&lt;math&gt;\mathrm{L}&lt;/math&gt;以外に&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が存在すると「&lt;math&gt;\mathrm{M}\to\mathrm{N}&lt;/math&gt;という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので
:&lt;math&gt;\mathrm{M, N, L}&lt;/math&gt;以外では&lt;math&gt;\kappa'(s)y(s)&gt;0&lt;/math&gt;である。
:同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、&lt;math&gt;\mathrm{M, N, L}&lt;/math&gt;と異なる点で&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。
:この時点で「&lt;math&gt;\mathrm{M, N}&lt;/math&gt;間の二つの経路のいずれにも&lt;math&gt;\kappa'(s)=0&lt;/math&gt;を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。
:よって、頂点個数の最小値は&lt;math&gt;4&lt;/math&gt;である。//

最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。

この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。


先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、&lt;math&gt;\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0&lt;/math&gt;も必ず成り立つ。よって、&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0&lt;/math&gt;の両辺を&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;で微分して
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa&lt;/math&gt;
ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、&lt;br/&gt;
一般次元に於いても「&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}&lt;/math&gt;の接線方向成分は&lt;math&gt;-\kappa(s)&lt;/math&gt;」であることが判る。

ここで&lt;math&gt;C^2&lt;/math&gt;級曲線の位置ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;に対して単位主法線&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。

&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;を二次までテイラー展開すると&lt;math&gt;\Delta s&gt;0&lt;/math&gt;を微小量として
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)&lt;/math&gt;
ここで&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa&lt;/math&gt;より、&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;を&lt;math&gt;\Delta s&lt;/math&gt;だけ動かしたときの接線方向の速さは&lt;math&gt;|\kappa(s)|\Delta s&lt;/math&gt;である（&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。

閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、&lt;math&gt;\kappa(s)&lt;/math&gt;を微小量&lt;math&gt;\Delta s&lt;/math&gt;に関して積分した&lt;math&gt;\int_a^b \kappa(s)ds&lt;/math&gt;を考えてみる。

ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では&lt;math&gt;\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)&lt;/math&gt;より明らかに&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)&lt;/math&gt;であり、閉曲線が一周する間にベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_n(s)&lt;/math&gt;はこの単位円を&lt;math&gt;m(\in\mathbb{Z})&lt;/math&gt;周する&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;。

&lt;small&gt;※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない&lt;/small&gt;

弧度法より単位円を&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;周する符号付き道のりは&lt;math&gt;2\pi{m}&lt;/math&gt;であり、ガウス表示より&lt;math&gt;\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}&lt;/math&gt;。

従って、&lt;math&gt;m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds&lt;/math&gt;

この&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。


曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した
:&lt;math&gt;\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds&lt;/math&gt;
という量を考えることにする。

これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。

全曲率に対して以下の定理が成り立つ。

{{定理|(フェンヒェルの定理)}}
滑らかな閉曲線の全曲率は&lt;math&gt;\mu\geq2\pi&lt;/math&gt;を満たす。等号成立の場合は卵形線である。
{{定理終わり}}

証明は省略する。

===曲面===
媒介変数表示・接ベクトル&amp;法線ベクトル・正の向き・曲面積・円錐の方程式・ロドリゲスの回転公式

===種々の曲率===
法曲率・主曲率・平均曲率・全曲率


==直交曲線座標系==
{{節stub}}
===円筒座標系===
平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。

空間座標を3つの実数の組&lt;math&gt;(r, \theta, z)&lt;/math&gt;で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は原点からの（符号付き）距離、&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;は基準面に於ける始線からの正の回転角、&lt;math&gt;z&lt;/math&gt;は基準面からの高さである。

円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。

そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}&lt;/math&gt;
但し、&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;は基準面の裏側では負とする。


直交座標のz軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。
:r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。
:θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。
:z曲線：z軸に平行な直線。


ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)&lt;/math&gt;とする。

&lt;math&gt;\boldsymbol{f}&lt;/math&gt;全体の微小変化は全微分&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}&lt;/math&gt;で表される。

上で求めた関係式より
:&lt;math&gt;\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
なので、
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{\theta}}z &amp; \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -r\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; r\cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz &lt;/math&gt;

再右辺の各項を&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;と書くことにすると、&lt;math&gt;|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|&lt;/math&gt;はそれぞれ&lt;math&gt;dr, rd\theta, dz&lt;/math&gt;とわかる。&lt;math&gt;r, \theta, z&lt;/math&gt;を物理量として捉えたとき&lt;math&gt;d\theta&lt;/math&gt;の単位はラジアン（無次元量）であり、&lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。

纏めると以下のようになる。
{| class=&quot;wikitable&quot;
| ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_x&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;成分 ||style=&quot;text-align:center;&quot;| ノルム
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{r}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\cos\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;\sin\theta dr&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dr&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{\theta}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;-r\sin\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;r\cos\theta d\theta&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;rd\theta&lt;/math&gt;
|-
|style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;d\vec{z}&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; ||style=&quot;text-align:center;&quot;| &lt;math&gt;dz&lt;/math&gt;
|} 

ここで&lt;math&gt;d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}&lt;/math&gt;は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。

そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z&lt;/math&gt;

これを一次変換の形式で表すと
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
となる。 

このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。

なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。


逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。

回転行列は直交行列なので
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; \sin\theta &amp; 0 \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} &lt;/math&gt;
であり、
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta &amp; 0 \\ \sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}&lt;/math&gt;


円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。

例えば、高校物理の公式&lt;math&gt;B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}&lt;/math&gt;は、円筒座標系を知っていれば「電流がz軸に平行であることから磁場はz方向に一葉且つθ方向に回転対称なので、r方向の項のみが寄与する」と理解される。


===極座標系===
高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;と経度&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;で定めることができる。

一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;が必要である。

このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。


xyz座標空間の点&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;の極座標表示を考える。

&lt;math&gt;r=|\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}&lt;/math&gt;は容易にわかる。

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;はz軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、&lt;math&gt;\vec{OP}&lt;/math&gt;のz軸への正射影ベクトルを&lt;math&gt;\vec{OH}=\vec{h}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}&lt;/math&gt;が成り立つ。&lt;math&gt;|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;より、&lt;math&gt;\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}&lt;/math&gt;である。

&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;はx軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、&lt;math&gt;P&lt;/math&gt;からxy平面に下した垂線の足&lt;math&gt;Q&lt;/math&gt;を考えると&lt;math&gt;\tan\phi=\frac{y}{x}&lt;/math&gt;とわかる。よって、&lt;math&gt;\phi=\arctan\frac{y}{x}&lt;/math&gt;である。


逆に、これを&lt;math&gt;P(x, y, z)&lt;/math&gt;に復元することを考える。

&lt;math&gt;\triangle OHP&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle HOP=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;z=\overline{OH}=r\cos\theta&lt;/math&gt;。

また、&lt;math&gt;\triangle OPQ&lt;/math&gt;について&lt;math&gt;\angle OPQ=\theta&lt;/math&gt;なので、&lt;math&gt;\overline{OQ}=r\sin\theta&lt;/math&gt;。

よって&lt;math&gt;x=\overline{OQ}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{OQ}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi&lt;/math&gt;。


以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は
:&lt;math&gt;\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}&lt;/math&gt;


一般に緯度は&lt;math&gt;-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ&lt;/math&gt;、経度は&lt;math&gt;-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ&lt;/math&gt;の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;、方位角&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]&lt;/math&gt;で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では&lt;math&gt;\theta&lt;0&lt;/math&gt;とする。


直交座標のz軸を基に極座標系の座標線を決定する。
:r曲線：原点を通る半直線。
:θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。
:φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。


各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて
:&lt;math&gt;\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta  \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}&lt;/math&gt;
と求まる。

これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\theta \\ -\sin\phi &amp; \cos\phi &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と変換テンソルが求まる。

これも直交行列であるので、逆変換テンソルは
:&lt;math&gt;\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi &amp; \cos\theta\cos\phi &amp; \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi &amp; \cos\theta\sin\phi &amp; -\sin\phi \\ -\sin\theta &amp; \cos\theta &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
と求まる。


球面座標系は、[[力学]]の解析でよく使用される。

例えば、赤道平面における角運動量保存則は&lt;math&gt;mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.&lt;/math&gt;と表示されるが、これはz軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。

球面座標系は特に機械制御に応用されている。


円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。
===円環座標系===
===双極座標系===
===回転放物面座標===
===放物柱座標===
===回転楕円面座標===
===楕円柱座標===
===楕円体座標===


==空間微分==
===勾配===
===発散===
===回転===
===ラプラシアン===

==空間積分==
===線積分===
===面積分===
===体積分===
===ガウスの発散定理===
===ストークスの定理===
===グリーンの定理===

==発展事項==
{{節stub}}
{{Advanced|多様体論}}
{{Advanced|微分幾何学}}
{{Advanced|積分幾何学}}
===体積分再考===
体積分は先程「&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;上の閉立体&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。

線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1&lt;/math&gt;は境界こそ&quot;曲線&quot;だが空間そのものは&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;という&quot;平面&quot;であることと同じ）。

1次元の曲がった空間である曲線&lt;math&gt;M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;内、2次元の曲がった空間である曲面&lt;math&gt;M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体&lt;math&gt;M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に&lt;math&gt;M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;が成り立つと予想され、この関係を「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。

線積分を&lt;math&gt;M^1&lt;/math&gt;、面積分を&lt;math&gt;M^2&lt;/math&gt;で定義したように、体積分を&lt;math&gt;M^3&lt;/math&gt;で定義することを考える。

媒介変数空間&lt;math&gt;\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}&lt;/math&gt;上の微小変化を考えると全微分を用いて
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;

よって&lt;math&gt;V&lt;/math&gt;上の微小立方体&lt;math&gt;dsdtdu&lt;/math&gt;は3ベクトル&lt;math&gt;\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du&lt;/math&gt;の張る微小平行六面体へ移される。

体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、&lt;math&gt;\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4&lt;/math&gt;より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。

全微分を一次変換表記すると
:&lt;math&gt;d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{t}} &amp; \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

ここでヤコビ行列は&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}&lt;/math&gt;であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。

そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。

'''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。

そのため、&lt;math&gt;\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;として&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を体積拡大率とする。

これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。

{{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}}
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}&lt;/math&gt;の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって
:&lt;math&gt;\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})&lt;/math&gt;
よって
:&lt;math&gt;\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}&lt;/math&gt;（&lt;math&gt;\because\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列）
:&lt;math&gt;=\mathbf{R}^*\mathbf{R}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt;は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は&lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;による拡大率と一致する。&lt;br/&gt;
則ち、&lt;math&gt;\sqrt{\det\mathbf{G}}&lt;/math&gt;を拡大率としてとれる。//
{{NavBottom}}


よって体積分は
:&lt;math&gt;\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu&lt;/math&gt;


ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上での体積分の計算に&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n&lt;/math&gt;の情報は入ってこず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報のみで計算されると予想される。

実際、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に適切な媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は&lt;math&gt;dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k&lt;/math&gt;と書け、これは正しい。


実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である&lt;math&gt;\mathbb{R}^{n+1}&lt;/math&gt;の情報を全く必要とせず、&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。


ここまで&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;を適切な媒介変数&lt;math&gt;\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;から媒介変数空間&lt;math&gt;U\subset\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;への射影&lt;math&gt;\pi:M^n\to U&lt;/math&gt;を考えるということである。

ここで、この&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;が全単射ならば逆向きの射影&lt;math&gt;\pi^{-1}:U\to M^n&lt;/math&gt;が存在してそれが媒介変数表示&lt;math&gt;\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})&lt;/math&gt;となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。
:&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換&lt;sup&gt;※&lt;/sup&gt;によって曲がった空間&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上に(局所)座標系を与えることができる'''。

つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。

※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。


ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう&lt;math&gt;M^n&lt;/math&gt;に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。


===多様体===
===微分形式===
[[線型代数学続論/外積代数]]も参照。
===リーマン計量===
===テンソル解析===
[[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。
===複素ベクトル解析===
[[複素解析学]]も参照。


{{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}}
[[Category:解析学]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]]</text>
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    <title>ガリア戦記 第7巻/注解</title>
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&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;『&lt;span style=&quot;background-color:#ffc;&quot;&gt;[[ガリア戦記 第7巻]]&lt;/span&gt;』の単語や構文を詳しく読み解く &lt;span style=&quot;background-color:#fc8;font-size:15pt;&quot;&gt;'''[[ガリア戦記/注解編|注解編]]'''&lt;/span&gt; の目次。&lt;/span&gt;


{| id=&quot;toc&quot; style=&quot;border:0px #ddf; align:left;clear:all;&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;5&quot;
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! style=&quot;background:#ccf; text-align:center;&quot; colspan=&quot;10&quot;| ガリア戦記 第7巻 注解
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[[ガリア戦記 第1巻/注解|'''注解'''&amp;nbsp; 第1巻]] |
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[[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] |&lt;!--
[[ガリア戦記 第8巻/注解|第8巻]]--&gt;
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== 各節注解 ==
[[画像:Gaule_-52.png|thumb|right|150px|ガリア戦記 第7巻の情勢図（BC52年）。&lt;br&gt;黄色の領域がローマ領。桃色が同盟部族領。]]
===カルヌーテース族の蜂起===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/1節]]　{{進捗|25%|2025-11-03}}&lt;/span&gt;　（175語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/2節]]　{{進捗|25%|2025-11-05}}&lt;/span&gt;　（71語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/3節]]　{{進捗|25%|2025-11-17}}&lt;/span&gt;　（93語）　　　短い節


===ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/4節]]　{{進捗|25%|2025-12-05}}&lt;/span&gt;　（202語）　　長い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/5節]]　{{進捗|25%|2025-12-14}}&lt;/span&gt;　（128語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/6節]]　{{進捗|25%|2025-12-15}}&lt;/span&gt;　（67語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/7節]]　{{進捗|25%|2025-12-16}}&lt;/span&gt;　（78語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/8節]]　{{進捗|25%|2026-01-03}}&lt;/span&gt;　（126語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/9節]]　{{進捗|25%|2026-01-15}}&lt;/span&gt;　（143語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/10節]]　{{進捗|25%|2026-01-16}}&lt;/span&gt;　（96語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/11節]]　{{進捗|25%|2026-02-02}}&lt;/span&gt;　（181語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/12節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}&lt;/span&gt;　（118語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/13節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}&lt;/span&gt;　（88語）　　　短い節


===アウァーリクム攻略戦===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/14節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}&lt;/span&gt;　（177語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/15節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}&lt;/span&gt;　（114語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/16節]]　{{進捗|25%|2026-03-26}}&lt;/span&gt;　（64語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/17節]]　{{進捗|25%|2026-03-29}}&lt;/span&gt;　（183語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/18節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}&lt;/span&gt;　（81語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/19節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}&lt;/span&gt;　（145-147語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/20節]]　{{進捗|25%|2026-05-05}}&lt;/span&gt;　（307-310語）　　かなり長い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/21節]]　{{進捗|25%|2026-05-17}}&lt;/span&gt;　（61語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/22節]]　{{進捗|25%|2026-06-08}}&lt;/span&gt;　（115語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/23節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}&lt;/span&gt;　（129語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/24節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}&lt;/span&gt;　（147語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/25節]]　{{進捗|25%|2026-07-08}}&lt;/span&gt;　（121語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/26節]]　{{進捗|25%|2026-07-19}}&lt;/span&gt;　（119語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/27節]]　{{進捗|25%|2026-08-01}}&lt;/span&gt;　（79語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/28節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}&lt;/span&gt;　（162語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/29節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}&lt;/span&gt;　（122語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/30節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;　（90語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/31節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;　（107語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/32節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}&lt;/span&gt;　（150語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/33節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}&lt;/span&gt;

== 関連項目 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記]]&lt;/span&gt;&lt;!--【2006年4月23日起稿】--&gt;
**&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編]]&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-03-27)--&gt;
***&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版]]　{{進捗|00%|2020-04-17}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-04-17)--&gt;
***&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編/表記のゆれ]]　　{{進捗|00%|2026-03-29}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2026-03-29)--&gt;
**&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/用例集]]　　　　　　　　　{{進捗|00%|2020-03-29}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-03-29)--&gt;
**[[ガリア戦記/内容目次]]：巻・章・節の内容を記した目次　{{進捗|75%|2011-04-02}}
**[[ガリア戦記/参照画像一覧]]：本文で参照した画像一覧　 {{進捗|75%|2011-04-16}}
*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;font-size:15px;&quot;&gt;[[古典ラテン語]]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{{進捗|00%|2018-04-18}} &lt;/span&gt;

&lt;br&gt;&lt;div style=&quot;font-size:30pt;&quot;&gt;ĀĒĪŌŪ _āēīōū_āēīōū_ &amp;nbsp; Ă Ĕ Ĭ Ŏ Ŭ ă ĕ ĭ ŏ ŭ &lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;
&lt;math&gt;\overline{\mbox{VIIII}} &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;!-- [[w:Help:数式の表示]] --&gt;

&lt;!--▲三点--&gt;&amp;#8943;　&lt;!--◀左括弧--&gt;&amp;lsquo;　&lt;!--▶右括弧--&gt;&amp;rsquo;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

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&lt;!--
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;† : &lt;/span&gt;校訂者が、テクストが壊れていると判断した部分をこの記号で囲んでいる。
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&lt;ruby&gt;&lt;rb&gt;●漢字●&lt;/rb&gt;&lt;rp&gt;（&lt;/rp&gt;&lt;rt&gt;●ルビ●&lt;/rt&gt;&lt;rp&gt;）&lt;/rp&gt;&lt;/ruby&gt;
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*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[/注解/1節]]　{{進捗|00%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;
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:　&lt;!--　[[wikt:en:|　--&gt;
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**:&lt;span style=&quot;color:#009900;&quot;&gt;（訳注：
**:&lt;span style=&quot;color:#009900;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;（訳注：
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&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;
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== 関連記事 ==
{{Wikisource|la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII|ガリア戦記 第7巻(ラテン語)}}
*ウィキソース
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;[[s:la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII]] (第7巻 ラテン語)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7 Scaife Viewer | De Bello Gallico] (第7巻 ラテン語)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-eng2:7/ Scaife Viewer | Gallic War] (第7巻 英訳)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;[[s:fr:La Guerre des Gaules/Livre VII]] (第7巻 仏訳)&lt;/span&gt;
----
{{Commons|Category:Battles of Caesar's Gallic Wars|Battles of Caesar's Gallic Warsのカテゴリ}}
{{Commons|Category:Murus gallicus|Category:Murus gallicus ガリア壁のカテゴリ}}
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;[[wikt:fr:Catégorie:Mots en latin issus d’un mot en gaulois]]&lt;/span&gt;
----
*[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorīx]]　ウェルキンゲトリークス
*[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族
:　
*[[wikt:en:agri_cultura#Latin|agrī cultūra]]
*[[wikt:en:bellum#Latin|bellum]]
*[[wikt:en:hiberna#Noun|hīberna]]
:　

===地名===
*[[wikt:en:Gallia#Latin|Gallia]]
**Gallia [[wikt:en:cisalpinus#Latin|cisalpīna]]　　ガッリア・キサルピーナ
**[[wikt:en:Gallia_transalpina#Latin|Gallia trānsalpīna]]　ガッリア・トラーンサルピーナ ＜ [[wikt:en:transalpinus#Latin|trānsalpīna]]
**Gallia [[wikt:en:comatus#Latin|comāta]]
*[[wikt:en:Germania#Latin|Germānia]]
:　
*[[wikt:en:Aquitania#Latin|Aquītānia]]　ア
*[[wikt:en:Avaricum#Latin|Avāricum]]　アウ
*[[wikt:en:Gergovia#Latin|Gergovia]]　

*[[wikt:en:Arduenna#Latin|Arduenna]]　
*[[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]　
*[[wikt:en:Hercynia|Hercynia]]　
*[[wikt:en:Narbo#Latin|Narbō]]　ナルボー
*[[wikt:en:Noviodunum#Latin|Noviodūnum]]　ノウィオ
*[[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunodūnum]]　ウェッラ

===部族名===
*[[wikt:en:Galli#Latin|Gallī]]
*[[wikt:en:Aedui#Latin|(H)aeduī]]　➡　[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　
*[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族
*[[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigēs]]　ビトゥリゲース族
*[[wikt:en:Boii#Latin|Boiī]]　ボ
*[[wikt:en:Cadurci#Latin|Cadurcī]]　カドゥルキー族　＞　[[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcus]]
**[[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterius]]　ルクテリウス
*[[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnūtēs]]　カルヌーテース族
*[[wikt:en:Cherusci#Latin|Chēruscī]]
*[[wikt:en:Condrusi#Latin|Condrūsī]]
*
*[[wikt:en:Eburones#Latin|Eburōnēs]]　（エブローネース）
*[[wikt:en:Gabali#Latin|Gabalī]]　ガバリー族
*[[wikt:en:Germani#Latin|Germānī]]
*[[wikt:en:Graecus#Noun|Graecī]]
*[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　ハエドゥイー族
*[[wikt:en:Helvetii#Latin|Helvētiī]]　ヘルウェーティイー族
*[[wikt:en:Helvii#Latin|Helviī]]　ヘルウィイー族
*[[wikt:en:Menapii#Latin|Menapiī]]
*[[wikt:en:Nervii#Latin|Nerviī]]
*[[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobrigēs]]　ニティオブリゲース族
*[[wikt:en:Rauraci#Latin|Rauracī]]
*[[wikt:en:Remi#Latin|Rēmī]]　レーミー族
*[[wikt:en:Romani#Latin|Rōmānī]]
*[[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutēnī]]　ルテーニー族
*[[wikt:en:Segni#Latin|Segnī]]　（セグニー）
*[[wikt:en:Senones#Latin|Senonēs]]　セノネース族
*[[wikt:en:Sequani#Latin|Sēquanī]]　（セークァニー）
*[[wikt:en:Suebi#Latin|Suēbī]]
*[[wikt:en:Sugambri#Latin|Sugambrī]]
*[[wikt:en:Tectosages#Latin|Tectosagēs]]　（テクトサゲース）
*[[wikt:en:Tencteri#Latin|Tenctērī]]
*[[wikt:en:Tolosates#Latin|Tolōsātēs]]　トローサーテース族
*[[wikt:en:Treveri#Latin|Trēverī]]
*[[wikt:en:Ubii#Latin|Ubiī]]
*[[wikt:en:Usipetes#Latin|Usipetēs]]
*[[wikt:en:Volcae#Latin|Volcae]]　ウォルカエ族
**[[wikt:en:Arecomici#Latin|Arecomicī]]　ア
:[[wikt:fr:Nemetes]]　（ネメテース）

===登場人物===
*[[wikt:en:Caesar#Latin|Caesar]]
:　
[[w:fr:Catégorie:Personnalité de la guerre des Gaules]]


:
*[[wikt:en:Commius|Commius]]
**[[w:コンミウス]]
**[[w:la:Commius]]
**[[w:en:Commius]]
**[[w:fr:Commios]]

*[[wikt:en:Cicero#Latin|Cicerō]]
**[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クイーントゥス・トゥッリウス・キケロー]]
**[[w:la:Quintus Tullius Cicero]]
**[[w:en:Quintus Tullius Cicero]]
**[[w:fr:Quintus Tullius Cicero]]

*[[wikt:en:Crassus#Latin|Crassus]]


*[[wikt:en:Labienus#Latin|Labiēnus]]
**[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・ラビエーヌス]]

&lt;!--
*?
**Crassus
***[[w:プブリウス・リキニウス・クラッスス]]
***[[w:la:Publius Licinius Crassus]]
***[[w:en:Publius Licinius Crassus (son of triumvir)]]
***[[w:fr:Publius Crassus]]
**Labienus (副官)

***[[w:la:Titus Labienus]]
***[[w:en:Titus Labienus]]
***[[w:fr:Titus Labienus]]

**Brutus
***[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス]]
***[[w:la:Decimus Iunius Brutus Albinus]]
***[[w:en:Decimus Junius Brutus Albinus]]
***[[w:fr:Decimus Junius Brutus Albinus]]
--&gt;

&lt;br&gt;
===第7巻の関連記事===


&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;


&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 外部リンク ==
*[[ガリア戦記/注解編#外部リンク]]　を参照。
*[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#オンライン注釈書等]]　等を参照。

===オンライン注釈書===

&lt;div style=&quot;background-color:#eeeeee;&quot;&gt;
====Caesar's Gallic war : notes by F. W. Kelsey (1897)====
:C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : 
::Caesar's Gallic war : with an introduction, notes, and vocabulary
::: by [[w:en:Francis Kelsey|Francis Willey Kelsey (1858-1927)]], Fifteenth Edition (1897) 
:::: (HathiTrust Digital Library　[[w:ハーティトラスト|ハーティトラスト・デジタルライブラリ]]で電子化)
:: [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=19 Contents] (#19)

;:─TEXT─
:: '''Book 7''' ： [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=243 Commentarius Septimus] &amp;nbsp; (#243)

;:─NOTES─
:: '''Book 7''' 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=460 BOOK VII., I.-II.] (#460), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=461 III.-V.] (#461), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=462 VI.-IX.] (#462), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=463 X.-XII.] (#463), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=464 XIII.-XV.] (#464), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=465 XVI.-XVIII.] (#465), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=466 XIX.-XXI.] (#466), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=467 XXII.-XXIII.] (#467), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=468 XXIV.- ] (#468), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=469 XXV.-XXVIII.] (#469), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=470 XXIX.-XXXII.] (#470), 


:: '''Book 6'''
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=441 I.] (#441), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=442 II.-III.] (#442), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=443 IV.-VII.] (#443), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=444 VIII.-IX.] (#444), 
&lt;/div&gt;

====English translation by W. A. McDevitte &amp; W. S. Bohn (1869)====
# [http://www.forumromanum.org/literature/caesar/gallic.html (www.forumromanum.org)]
# (www.perseus.tufts.edu)
## [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Caes.+Gal.+7.1 C. Julius Caesar, Gallic War, Book 7, chapter 1]


&lt;!--
====Eastman, Frederick Carlos., D'Ooge, Benjamin L. 1860-1940.(1917)====
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;&quot;&gt;
*[https://catalog.hathitrust.org/Record/001058370 Catalog Record: Caesar in Gaul and selections from the third... | HathiTrust Digital Library] (catalog.hathitrust.org)
:[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=7&amp;skin=2021 #7 - Caesar in Gaul and selections from the third book of the Civil ... - Full View | HathiTrust Digital Library] (babel.hathitrust.org)
:BOOK IV. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=393&amp;skin=2021 #393 ]
:IV.34,-38.  [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=403&amp;skin=2021 #403 ]
&lt;/span&gt;
--&gt;

====Harkness, Albert (1889)====
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:15pt;&quot;&gt;Caesar's Commentaries on the Gallic War, 　&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;with notes, dictionary, and a map of Gaul.&lt;/span&gt;&lt;br&gt;　　&lt;span style=&quot;font-size:15pt;&quot;&gt;
　　edited by &lt;u&gt;[[w:en:Albert Harkness|Albert Harkness (1822-1907)]]&lt;/u&gt; &lt;ref&gt;[http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Harkness%2C%20Albert%2C%201822%2D1907 Harkness, Albert, 1822-1907 | The Online Books Page]&lt;/ref&gt;, New York, [[w:en:D. Appleton &amp; Company|D. Appleton and Company]], 1889 (Rivised Edition)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
::Caesar's commentaries on the Gallic war; with notes, dictionary, ... (Full View | HathiTrust Digital Library)

;　BOOK SEVENTH
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&amp;view=1up&amp;seq=373 #373]
;　DICTIONARY
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&amp;view=1up&amp;seq=387 #387]


===IntraText CT===
* &lt;span style=&quot;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_INDEX.HTM De bello Gallico - Table of Contents - IntraText CT]&lt;/span&gt;
*: （ハイパーテキスト化されたテキストと、単語リストおよびコンコーダンスを組み合わせたもの）
** [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_STAT.HTM De bello Gallico - Statistics - IntraText CT] （頻度ごと単語リストのデータ集）

====Incerti auctoris（編者不詳）====
; [https://books.google.co.jp/books?id=uLA8AAAAIAAJ&amp;lpg=PA98&amp;dq=Caesar+to+Cicero.+Be+of+good+courage.+Expect+aid&amp;pg=PP1&amp;redir_esc=y#v=onepage&amp;q&amp;f=false Caesar Gallic War V with vocabulary]（第5巻）-Google ブックス（プレビュー）


;[https://www.latein.me/ Latein-Wörterbuch - Latein.me]
# [https://www.latein.me/text/3/Caesar/37/De+Bello+Gallico+%28V%29/p/0 De Bello Gallico (V) - Caesar - Latein.me]


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


;nodictionaries.com
&lt;!-- :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-1/1 '''Caesar De Bello Gallico 1''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-2/1 '''Caesar De Bello Gallico 2''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-3/1 '''Caesar De Bello Gallico 3''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] 
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-4/1 '''Caesar De Bello Gallico 4''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] --&gt;
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-5/1 Caesar De Bello Gallico 5 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]

==脚注==
&lt;references /&gt;

[[Category:ガリア戦記 第7巻|*#]]</text>
      <sha1>p7mrthqmyzkjfju7rsz9iyr7p0mqj25</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>303924</id>
      <parentid>303922</parentid>
      <timestamp>2026-09-23T11:50:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* 各節注解 */ ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反</comment>
      <origin>303924</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21505" sha1="0t2iiqnec9gus3qals6e4ex9kkt42op" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;&quot;&gt;C &amp;middot; IVLII &amp;middot; CAESARIS &amp;middot; COMMENTARIORVM &amp;middot; BELLI &amp;middot; GALLICI&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;『&lt;span style=&quot;background-color:#ffc;&quot;&gt;[[ガリア戦記 第7巻]]&lt;/span&gt;』の単語や構文を詳しく読み解く &lt;span style=&quot;background-color:#fc8;font-size:15pt;&quot;&gt;'''[[ガリア戦記/注解編|注解編]]'''&lt;/span&gt; の目次。&lt;/span&gt;


{| id=&quot;toc&quot; style=&quot;border:0px #ddf; align:left;clear:all;&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;5&quot;
|-
! style=&quot;background:#ccf; text-align:center;&quot; colspan=&quot;10&quot;| ガリア戦記 第7巻 注解
|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/1節|1節]]
|[[/2節|2節]]
|[[/3節|3節]]
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|[[/8節|8節]]
|[[/9節|9節]]
|[[/10節|10節]]
|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/11節|11節]]
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|[[/13節|13節]]
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|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/21節|21節]]
|[[/22節|22節]]
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|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/41節|41節]]
|[[/42節|42節]]
|[[/43節|43節]]
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|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/51節|51節]]
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|[[/53節|53節]]
|[[/54節|54節]]
|[[/55節|55節]]
|[[/56節|56節]]
|[[/57節|57節]]
|[[/58節|58節]]
|[[/59節|59節]]
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|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/61節|61節]]
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|[[/64節|64節]]
|[[/65節|65節]]
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|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/71節|71節]]
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|[[/75節|75節]]
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| colspan=&quot;6&quot; |
|- style=&quot;background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;&quot;
|[[/1節|1節]]
|[[/2節|2節]]
|[[/3節|3節]]
|[[/4節|4節]]
|[[/5節|5節]]
|[[/6節|6節]]
|[[/7節|7節]]
|[[/8節|8節]]
|[[/9節|9節]]
|[[/0節|0節]]
--&gt;
|-
| style=&quot;background:#f5fefe; text-align:left; font-size: 0.8em;&quot; colspan=&quot;10&quot;| 
[[ガリア戦記 第1巻/注解|'''注解'''&amp;nbsp; 第1巻]] |
[[ガリア戦記 第2巻/注解|第2巻]] |
[[ガリア戦記 第3巻/注解|第3巻]] |
[[ガリア戦記 第4巻/注解|第4巻]] |
[[ガリア戦記 第5巻/注解|第5巻]] |
[[ガリア戦記 第6巻/注解|第6巻]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] |&lt;!--
[[ガリア戦記 第8巻/注解|第8巻]]--&gt;
|}
&lt;br style=&quot;clear:both;&quot; /&gt;
__notoc__


== 各節注解 ==
[[画像:Gaule_-52.png|thumb|right|150px|ガリア戦記 第7巻の情勢図（BC52年）。&lt;br&gt;黄色の領域がローマ領。桃色が同盟部族領。]]
===カルヌーテース族の蜂起===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/1節]]　{{進捗|25%|2025-11-03}}&lt;/span&gt;　（175語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/2節]]　{{進捗|25%|2025-11-05}}&lt;/span&gt;　（71語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/3節]]　{{進捗|25%|2025-11-17}}&lt;/span&gt;　（93語）　　　短い節


===ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/4節]]　{{進捗|25%|2025-12-05}}&lt;/span&gt;　（202語）　　長い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/5節]]　{{進捗|25%|2025-12-14}}&lt;/span&gt;　（128語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/6節]]　{{進捗|25%|2025-12-15}}&lt;/span&gt;　（67語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/7節]]　{{進捗|25%|2025-12-16}}&lt;/span&gt;　（78語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/8節]]　{{進捗|25%|2026-01-03}}&lt;/span&gt;　（126語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/9節]]　{{進捗|25%|2026-01-15}}&lt;/span&gt;　（143語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/10節]]　{{進捗|25%|2026-01-16}}&lt;/span&gt;　（96語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/11節]]　{{進捗|25%|2026-02-02}}&lt;/span&gt;　（181語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/12節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}&lt;/span&gt;　（118語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/13節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}&lt;/span&gt;　（88語）　　　短い節


===アウァーリクム攻略戦===


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/14節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}&lt;/span&gt;　（177語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/15節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}&lt;/span&gt;　（114語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/16節]]　{{進捗|25%|2026-03-26}}&lt;/span&gt;　（64語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/17節]]　{{進捗|25%|2026-03-29}}&lt;/span&gt;　（183語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/18節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}&lt;/span&gt;　（81語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/19節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}&lt;/span&gt;　（145-147語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/20節]]　{{進捗|25%|2026-05-05}}&lt;/span&gt;　（307-310語）　　かなり長い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/21節]]　{{進捗|25%|2026-05-17}}&lt;/span&gt;　（61語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/22節]]　{{進捗|25%|2026-06-08}}&lt;/span&gt;　（115語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/23節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}&lt;/span&gt;　（129語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/24節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}&lt;/span&gt;　（147語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/25節]]　{{進捗|25%|2026-07-08}}&lt;/span&gt;　（121語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/26節]]　{{進捗|25%|2026-07-19}}&lt;/span&gt;　（119語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/27節]]　{{進捗|25%|2026-08-01}}&lt;/span&gt;　（79語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/28節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}&lt;/span&gt;　（162語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/29節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}&lt;/span&gt;　（122語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/30節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;　（90語）　　　短い節


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/31節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;　（107語）


===ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反===
*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/32節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}&lt;/span&gt;　（150語）


*&lt;span style=&quot;background-color:#fff;&quot;&gt;[[/33節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}&lt;/span&gt;

== 関連項目 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記]]&lt;/span&gt;&lt;!--【2006年4月23日起稿】--&gt;
**&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編]]&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-03-27)--&gt;
***&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版]]　{{進捗|00%|2020-04-17}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-04-17)--&gt;
***&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/注解編/表記のゆれ]]　　{{進捗|00%|2026-03-29}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2026-03-29)--&gt;
**&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[ガリア戦記/用例集]]　　　　　　　　　{{進捗|00%|2020-03-29}}&lt;/span&gt;&lt;!--(2020-03-29)--&gt;
**[[ガリア戦記/内容目次]]：巻・章・節の内容を記した目次　{{進捗|75%|2011-04-02}}
**[[ガリア戦記/参照画像一覧]]：本文で参照した画像一覧　 {{進捗|75%|2011-04-16}}
*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;font-size:15px;&quot;&gt;[[古典ラテン語]]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{{進捗|00%|2018-04-18}} &lt;/span&gt;

&lt;br&gt;&lt;div style=&quot;font-size:30pt;&quot;&gt;ĀĒĪŌŪ _āēīōū_āēīōū_ &amp;nbsp; Ă Ĕ Ĭ Ŏ Ŭ ă ĕ ĭ ŏ ŭ &lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;
&lt;math&gt;\overline{\mbox{VIIII}} &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;!-- [[w:Help:数式の表示]] --&gt;

&lt;!--▲三点--&gt;&amp;#8943;　&lt;!--◀左括弧--&gt;&amp;lsquo;　&lt;!--▶右括弧--&gt;&amp;rsquo;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;!--
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;† : &lt;/span&gt;校訂者が、テクストが壊れていると判断した部分をこの記号で囲んでいる。
--&gt;
&lt;!--
&lt;ruby&gt;&lt;rb&gt;●漢字●&lt;/rb&gt;&lt;rp&gt;（&lt;/rp&gt;&lt;rt&gt;●ルビ●&lt;/rt&gt;&lt;rp&gt;）&lt;/rp&gt;&lt;/ruby&gt;
--&gt;

&lt;!--
*&lt;span style=&quot;background-color:#ffd;&quot;&gt;[[/注解/1節]]　{{進捗|00%|2026-08-29}}&lt;/span&gt;
--&gt;
&lt;!--
:　&lt;!--　[[wikt:en:|　--&gt;
--&gt;
&lt;!--
&lt;span style=&quot;color:#009900;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;small&gt;&lt;/small&gt;
**:&lt;span style=&quot;color:#009900;&quot;&gt;（訳注：
**:&lt;span style=&quot;color:#009900;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;（訳注：
--&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;&lt;!----&gt;
&lt;!--&lt;sup&gt;()&lt;/sup&gt; --&gt;
&lt;!--❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿⓫⓬--&gt;&lt;!----&gt;

== 関連記事 ==
{{Wikisource|la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII|ガリア戦記 第7巻(ラテン語)}}
*ウィキソース
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;[[s:la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII]] (第7巻 ラテン語)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7 Scaife Viewer | De Bello Gallico] (第7巻 ラテン語)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-eng2:7/ Scaife Viewer | Gallic War] (第7巻 英訳)&lt;/span&gt;
**&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot;&gt;[[s:fr:La Guerre des Gaules/Livre VII]] (第7巻 仏訳)&lt;/span&gt;
----
{{Commons|Category:Battles of Caesar's Gallic Wars|Battles of Caesar's Gallic Warsのカテゴリ}}
{{Commons|Category:Murus gallicus|Category:Murus gallicus ガリア壁のカテゴリ}}
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;[[wikt:fr:Catégorie:Mots en latin issus d’un mot en gaulois]]&lt;/span&gt;
----
*[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorīx]]　ウェルキンゲトリークス
*[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族
:　
*[[wikt:en:agri_cultura#Latin|agrī cultūra]]
*[[wikt:en:bellum#Latin|bellum]]
*[[wikt:en:hiberna#Noun|hīberna]]
:　

===地名===
*[[wikt:en:Gallia#Latin|Gallia]]
**Gallia [[wikt:en:cisalpinus#Latin|cisalpīna]]　　ガッリア・キサルピーナ
**[[wikt:en:Gallia_transalpina#Latin|Gallia trānsalpīna]]　ガッリア・トラーンサルピーナ ＜ [[wikt:en:transalpinus#Latin|trānsalpīna]]
**Gallia [[wikt:en:comatus#Latin|comāta]]
*[[wikt:en:Germania#Latin|Germānia]]
:　
*[[wikt:en:Aquitania#Latin|Aquītānia]]　ア
*[[wikt:en:Avaricum#Latin|Avāricum]]　アウ
*[[wikt:en:Gergovia#Latin|Gergovia]]　

*[[wikt:en:Arduenna#Latin|Arduenna]]　
*[[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]　
*[[wikt:en:Hercynia|Hercynia]]　
*[[wikt:en:Narbo#Latin|Narbō]]　ナルボー
*[[wikt:en:Noviodunum#Latin|Noviodūnum]]　ノウィオ
*[[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunodūnum]]　ウェッラ

===部族名===
*[[wikt:en:Galli#Latin|Gallī]]
*[[wikt:en:Aedui#Latin|(H)aeduī]]　➡　[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　
*[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族
*[[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigēs]]　ビトゥリゲース族
*[[wikt:en:Boii#Latin|Boiī]]　ボ
*[[wikt:en:Cadurci#Latin|Cadurcī]]　カドゥルキー族　＞　[[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcus]]
**[[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterius]]　ルクテリウス
*[[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnūtēs]]　カルヌーテース族
*[[wikt:en:Cherusci#Latin|Chēruscī]]
*[[wikt:en:Condrusi#Latin|Condrūsī]]
*
*[[wikt:en:Eburones#Latin|Eburōnēs]]　（エブローネース）
*[[wikt:en:Gabali#Latin|Gabalī]]　ガバリー族
*[[wikt:en:Germani#Latin|Germānī]]
*[[wikt:en:Graecus#Noun|Graecī]]
*[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　ハエドゥイー族
*[[wikt:en:Helvetii#Latin|Helvētiī]]　ヘルウェーティイー族
*[[wikt:en:Helvii#Latin|Helviī]]　ヘルウィイー族
*[[wikt:en:Menapii#Latin|Menapiī]]
*[[wikt:en:Nervii#Latin|Nerviī]]
*[[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobrigēs]]　ニティオブリゲース族
*[[wikt:en:Rauraci#Latin|Rauracī]]
*[[wikt:en:Remi#Latin|Rēmī]]　レーミー族
*[[wikt:en:Romani#Latin|Rōmānī]]
*[[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutēnī]]　ルテーニー族
*[[wikt:en:Segni#Latin|Segnī]]　（セグニー）
*[[wikt:en:Senones#Latin|Senonēs]]　セノネース族
*[[wikt:en:Sequani#Latin|Sēquanī]]　（セークァニー）
*[[wikt:en:Suebi#Latin|Suēbī]]
*[[wikt:en:Sugambri#Latin|Sugambrī]]
*[[wikt:en:Tectosages#Latin|Tectosagēs]]　（テクトサゲース）
*[[wikt:en:Tencteri#Latin|Tenctērī]]
*[[wikt:en:Tolosates#Latin|Tolōsātēs]]　トローサーテース族
*[[wikt:en:Treveri#Latin|Trēverī]]
*[[wikt:en:Ubii#Latin|Ubiī]]
*[[wikt:en:Usipetes#Latin|Usipetēs]]
*[[wikt:en:Volcae#Latin|Volcae]]　ウォルカエ族
**[[wikt:en:Arecomici#Latin|Arecomicī]]　ア
:[[wikt:fr:Nemetes]]　（ネメテース）

===登場人物===
*[[wikt:en:Caesar#Latin|Caesar]]
:　
[[w:fr:Catégorie:Personnalité de la guerre des Gaules]]


:
*[[wikt:en:Commius|Commius]]
**[[w:コンミウス]]
**[[w:la:Commius]]
**[[w:en:Commius]]
**[[w:fr:Commios]]

*[[wikt:en:Cicero#Latin|Cicerō]]
**[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クイーントゥス・トゥッリウス・キケロー]]
**[[w:la:Quintus Tullius Cicero]]
**[[w:en:Quintus Tullius Cicero]]
**[[w:fr:Quintus Tullius Cicero]]

*[[wikt:en:Crassus#Latin|Crassus]]


*[[wikt:en:Labienus#Latin|Labiēnus]]
**[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・ラビエーヌス]]

&lt;!--
*?
**Crassus
***[[w:プブリウス・リキニウス・クラッスス]]
***[[w:la:Publius Licinius Crassus]]
***[[w:en:Publius Licinius Crassus (son of triumvir)]]
***[[w:fr:Publius Crassus]]
**Labienus (副官)

***[[w:la:Titus Labienus]]
***[[w:en:Titus Labienus]]
***[[w:fr:Titus Labienus]]

**Brutus
***[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス]]
***[[w:la:Decimus Iunius Brutus Albinus]]
***[[w:en:Decimus Junius Brutus Albinus]]
***[[w:fr:Decimus Junius Brutus Albinus]]
--&gt;

&lt;br&gt;
===第7巻の関連記事===


&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;


&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:13pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 外部リンク ==
*[[ガリア戦記/注解編#外部リンク]]　を参照。
*[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#オンライン注釈書等]]　等を参照。

===オンライン注釈書===

&lt;div style=&quot;background-color:#eeeeee;&quot;&gt;
====Caesar's Gallic war : notes by F. W. Kelsey (1897)====
:C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : 
::Caesar's Gallic war : with an introduction, notes, and vocabulary
::: by [[w:en:Francis Kelsey|Francis Willey Kelsey (1858-1927)]], Fifteenth Edition (1897) 
:::: (HathiTrust Digital Library　[[w:ハーティトラスト|ハーティトラスト・デジタルライブラリ]]で電子化)
:: [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=19 Contents] (#19)

;:─TEXT─
:: '''Book 7''' ： [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=243 Commentarius Septimus] &amp;nbsp; (#243)

;:─NOTES─
:: '''Book 7''' 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=460 BOOK VII., I.-II.] (#460), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=461 III.-V.] (#461), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=462 VI.-IX.] (#462), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=463 X.-XII.] (#463), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=464 XIII.-XV.] (#464), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=465 XVI.-XVIII.] (#465), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=466 XIX.-XXI.] (#466), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=467 XXII.-XXIII.] (#467), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=468 XXIV.- ] (#468), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=469 XXV.-XXVIII.] (#469), 
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=470 XXIX.-XXXII.] (#470), 


:: '''Book 6'''
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=441 I.] (#441), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=442 II.-III.] (#442), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=443 IV.-VII.] (#443), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=444 VIII.-IX.] (#444), 
&lt;/div&gt;

====English translation by W. A. McDevitte &amp; W. S. Bohn (1869)====
# [http://www.forumromanum.org/literature/caesar/gallic.html (www.forumromanum.org)]
# (www.perseus.tufts.edu)
## [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Caes.+Gal.+7.1 C. Julius Caesar, Gallic War, Book 7, chapter 1]


&lt;!--
====Eastman, Frederick Carlos., D'Ooge, Benjamin L. 1860-1940.(1917)====
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;&quot;&gt;
*[https://catalog.hathitrust.org/Record/001058370 Catalog Record: Caesar in Gaul and selections from the third... | HathiTrust Digital Library] (catalog.hathitrust.org)
:[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=7&amp;skin=2021 #7 - Caesar in Gaul and selections from the third book of the Civil ... - Full View | HathiTrust Digital Library] (babel.hathitrust.org)
:BOOK IV. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=393&amp;skin=2021 #393 ]
:IV.34,-38.  [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&amp;view=1up&amp;seq=403&amp;skin=2021 #403 ]
&lt;/span&gt;
--&gt;

====Harkness, Albert (1889)====
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:15pt;&quot;&gt;Caesar's Commentaries on the Gallic War, 　&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:13pt;&quot;&gt;with notes, dictionary, and a map of Gaul.&lt;/span&gt;&lt;br&gt;　　&lt;span style=&quot;font-size:15pt;&quot;&gt;
　　edited by &lt;u&gt;[[w:en:Albert Harkness|Albert Harkness (1822-1907)]]&lt;/u&gt; &lt;ref&gt;[http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Harkness%2C%20Albert%2C%201822%2D1907 Harkness, Albert, 1822-1907 | The Online Books Page]&lt;/ref&gt;, New York, [[w:en:D. Appleton &amp; Company|D. Appleton and Company]], 1889 (Rivised Edition)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
::Caesar's commentaries on the Gallic war; with notes, dictionary, ... (Full View | HathiTrust Digital Library)

;　BOOK SEVENTH
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&amp;view=1up&amp;seq=373 #373]
;　DICTIONARY
# [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&amp;view=1up&amp;seq=387 #387]


===IntraText CT===
* &lt;span style=&quot;background-color:#ffffcc;&quot;&gt;[https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_INDEX.HTM De bello Gallico - Table of Contents - IntraText CT]&lt;/span&gt;
*: （ハイパーテキスト化されたテキストと、単語リストおよびコンコーダンスを組み合わせたもの）
** [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_STAT.HTM De bello Gallico - Statistics - IntraText CT] （頻度ごと単語リストのデータ集）

====Incerti auctoris（編者不詳）====
; [https://books.google.co.jp/books?id=uLA8AAAAIAAJ&amp;lpg=PA98&amp;dq=Caesar+to+Cicero.+Be+of+good+courage.+Expect+aid&amp;pg=PP1&amp;redir_esc=y#v=onepage&amp;q&amp;f=false Caesar Gallic War V with vocabulary]（第5巻）-Google ブックス（プレビュー）


;[https://www.latein.me/ Latein-Wörterbuch - Latein.me]
# [https://www.latein.me/text/3/Caesar/37/De+Bello+Gallico+%28V%29/p/0 De Bello Gallico (V) - Caesar - Latein.me]


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


;nodictionaries.com
&lt;!-- :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-1/1 '''Caesar De Bello Gallico 1''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-2/1 '''Caesar De Bello Gallico 2''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-3/1 '''Caesar De Bello Gallico 3''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] 
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-4/1 '''Caesar De Bello Gallico 4''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] --&gt;
:[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-5/1 Caesar De Bello Gallico 5 1 in Latin, with adjustable running vocabulary]

==脚注==
&lt;references /&gt;

[[Category:ガリア戦記 第7巻|*#]]</text>
      <sha1>0t2iiqnec9gus3qals6e4ex9kkt42op</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>線型代数学続論/行列値関数</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-09-23T04:42:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-51282-49</username>
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      <comment>/* 行列多項式 */</comment>
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      <text bytes="18762" sha1="o0mflrjxsgbqp4np92zk3007xfc3242" xml:space="preserve">{{改名提案|線形代数学続論/行列値関数|t=ノート:数学|date=2026年8月}}
{{ナビゲーション|本=[[線型代数学続論]]|前ページ=[[線型代数学続論/行列分解|行列分解]]|ページ名=行列値関数|次ページ=[[線形代数学続論/数値線型代数|数値線型代数]]}}

==行列値関数とは==
{{wikipedia|行列値関数}}
'''行列値関数'''（行列函数）とは、行列を独立変数とする関数の総称である。[[解析学基礎/ベクトル解析#ベクトル関数|ベクトルに対してベクトル関数が定義できた]]のと同様とはいかず、「各成分に演算を施した結果」は「行列値関数に演算を施した結果」とは一般に一致しない。

例えば、&lt;math&gt;\mathbf{A}(x)=\begin{pmatrix} 1 &amp; x \\ x &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;\{\mathbf{A}(x)\}^2&lt;/math&gt;を計算してみる。これは二次関数&lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt;に行列&lt;math&gt;\mathbf{A}(x)&lt;/math&gt;を代入（合成）したものと考えられるので行列二次関数である。ベクトル関数と同様に演算結果を「成分ごとの演算結果を並べた行列」とみると&lt;math&gt;\{\mathbf{A}(x)\}^2=\begin{pmatrix} 1 &amp; x^2 \\ x^2 &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;であるが、行列の冪乗の定義から計算すると&lt;math&gt;\{\mathbf{A}(x)\}^2=\begin{pmatrix} 1 &amp; x \\ x &amp; 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &amp; x \\ x &amp; 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+x^2 &amp; x \\ x &amp; x^2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;であり、全く異なっている。

これは、行列の演算そのものが多くは「成分ごとに演算を施した結果を並べた行列」に一致するような構造になっていないためである。

故に、行列値関数の演算結果は定義通りに求めるのが唯一の正攻法足り得る。

なお、「変数となる行列が更に別の変数に依存」「複数の変数に依存」してもよい。

上記の例のように「成分毎の積をとる」演算はアダマール積なので、アダマール積による冪乗も定義されるがここでは扱わない。

ここでは、実行列を主に考える。また、行列の演算が登場するときはその演算が可能な型の行列のみを考えていることを註しておく。行列函数の微積分の扱いはベクトル関数と同様である。

==行列多項式==
行列値関数の自然な定義として、「多項式関数として定義する」ことが挙げられる。

単位正方行列&lt;math&gt;\mathbf{E}&lt;/math&gt;が実数の乗法単位元&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;に対応すること、行列の冪乗が実数と同様に「積を有限回とったもの」として定義されることから、定義及び計算が容易なためである。

多項式関数&lt;math&gt;R(x)&lt;/math&gt;が一般に&lt;math&gt;R(x):=\sum_{i=0}^n c_ix^i&lt;/math&gt;であるように、行列多項式関数を&lt;math&gt;\mathbf{R}(\mathbf{A})=\sum_{i=0}^n C_i \mathbf{A}^i&lt;/math&gt;と定義するのが合理的である。

ここで、行列多項式の重要な性質を紹介する。
:&lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;が&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;の固有値ならば、固有ベクトル&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;\mathbf{R}(\mathbf{A})\boldsymbol{x}=R(\lambda)\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;


先ずは、固有値の定義&lt;math&gt;\mathbf{A}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;を利用して&lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{Z}_{\geq0}, \mathbf{A}^n\boldsymbol{x}=\lambda^n\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;を証明する。
:①&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;のときは&lt;math&gt;\mathbf{A}^0=\mathbf{E}, \lambda^0=1&lt;/math&gt;より&lt;math&gt;\mathbf{E}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}=1\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;なので明らかに成り立つ。
:②&lt;math&gt;n=k&lt;/math&gt;で成り立つとすると&lt;math&gt;\mathbf{A}^{k+1}\boldsymbol{x}=\mathbf{A}^k(\mathbf{A}\boldsymbol{x})=\mathbf{A}^k(\lambda\boldsymbol{x})=\lambda(\mathbf{A}^k\boldsymbol{x})=\lambda(\lambda^k\boldsymbol{x})=\lambda^{k+1}\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;より成立。
:数学的帰納法より全ての非負整数&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;で成立。
行列多項式の定義に注意すると
:&lt;math&gt;\mathbf{R}(\mathbf{A})\boldsymbol{x}=\left(\sum_i C_i \mathbf{A}\right)\boldsymbol{x}=\sum_i C_i \mathbf{A}^i\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;
今証明したことから
:&lt;math&gt;=\sum_i C_i \lambda^i \boldsymbol{x}=\left(\sum_i C_i \lambda^i \right)\boldsymbol{x}=R(\lambda)\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;//

この多項式&lt;math&gt;R(x)&lt;/math&gt;を固有多項式&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\lambda)&lt;/math&gt;に置き換えてみると、ケーリー・ハミルトンの定理&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;の成立を確かめられる。


冪級数&lt;math&gt;f(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i&lt;/math&gt;を行列に拡張するには、行列多項式の収束を適切に定義する必要がある。

行列が有限次の場合は「各成分毎に極限を取った結果が全て収束する」という定義で良いが、無限次の場合はそうもいかない。更に、変数行列が別の変数依存の場合は、行列の無限列の収束も考えなければいけない。

そこで、一様収束の概念を行列に拡張することを考える。

&lt;math&gt;\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;として多変数行列値関数列&lt;math&gt;\{\mathbf{A}_{n}(\boldsymbol{x})\}&lt;/math&gt;が集合&lt;math&gt;D \subset \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;で'''一様ノルム収束'''するとは、
:&lt;math&gt;\forall \varepsilon&gt;0,\, \exist N \in \mathbb{N}, \left(n&gt;N\implies \sup_{\boldsymbol{x}\in D} \| \mathbf{A}_n (\boldsymbol{x})-\mathbf{A}(\boldsymbol{x}) \| &lt; \varepsilon\right)&lt;/math&gt;
をいう。&lt;!-- 行列函数の成分がスカラー関数でもベクトル関数でもこの形でおｋ --&gt;

ここで、行列ノルムとして採用するのは（無限次元を含めるならば）スペクトルノルムが良いが、有限次元の場合はフロベニウスノルムで充分である。なお、行列の成分がベクトル関数ならばそのノルムもとる必要がある。

実数と同様の議論により、一様ノルム収束するならば行列多項式&lt;math&gt;\mathbf{F}(\boldsymbol{x})= \sum_{i=0}^n C_i \mathbf{A}(\mathbf{x})^i&lt;/math&gt;はある行列に収束することが示される。

よって、テイラー展開可能な関数は行列関数に拡張することができる。

以後、テイラー展開可能な関数のみで行列関数を考える。

ここで、対角化を考えてみよう。

相似変換の性質より
:&lt;math&gt;\mathbf{D}=\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{P}^{-1}\iff\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}&lt;/math&gt;（固有値分解）
故に
:&lt;math&gt;\mathbf{A}^i = \mathbf{PD}^{i}\mathbf{P}^{-1}&lt;/math&gt;
然らば
:&lt;math&gt;\mathbf{F}(\mathbf{A})=\mathbf{F}(\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1})=\sum_{i=0}^\infty C_i (\mathbf{PDP}^{-1})^i = \sum_{i=0}^\infty C_i \mathbf{PD}^{i}\mathbf{P}^{-1} = \mathbf{P}(\sum_{i=0}^\infty C_i \mathbf{D}^{i})\mathbf{P}^{-1}=\mathbf{PF(D)P}^{-1}&lt;/math&gt;

ここで&lt;math&gt;\mathbf{F(D)}=\mathrm{diag}(f(\lambda_1), \cdots, f(\lambda_n))&lt;/math&gt;より、任意の行列値関数は（対角化可能ならば）固有値を用いて表せることが判った。

更に、三角化を考えることによって以下が成り立つ。

 '''フロベニウスの三角化定理'''
 
 任意の行列値関数&lt;math&gt;\mathbf{F(A)}&lt;/math&gt;に対してあるユニタリ行列&lt;math&gt;\mathbf{U}&lt;/math&gt;が存在し、
 &lt;math&gt;\mathbf{UF(A)U}^{-1}=\begin{pmatrix} f(\lambda_1) &amp; &amp; &amp; \mathbf{Q} \\ &amp; f(\lambda_2) &amp; &amp; \\ &amp; &amp; \ddots &amp; \\ \mathbf{O} &amp; &amp; &amp; f(\lambda_n) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;（上三角行列）
 若しくは
 &lt;math&gt;\mathbf{UF(A)U}^{-1}=\begin{pmatrix} f(\lambda_1) &amp; &amp; &amp; \mathbf{O} \\ &amp; f(\lambda_2) &amp; &amp; \\ &amp; &amp; \ddots &amp; \\ \mathbf{Q} &amp; &amp; &amp; f(\lambda_n) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;（下三角行列）
 と三角化できる。

この定理から、「どのような行列値関数であっても、その固有値は各固有値に定義関数を施したもの」ということがわかる。

なお、この三角化行列を&lt;math&gt;\mathbf{S}&lt;/math&gt;とすると&lt;math&gt;\mathbf{F(A)}=\mathbf{UF(S)U}^{-1}&lt;/math&gt;が成り立ち、行列函数のシュール分解を行っていることになる。

==行列自然指数関数==
自然指数関数のマクローリン展開は&lt;math&gt;e^x=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}&lt;/math&gt;であった。

先程の議論から行列値関数に拡張すると、'''行列自然指数関数'''を&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\sum_{i=0}^\infty\frac{\mathbf{A}^i}{i!}&lt;/math&gt;と定義できる。

また、対角化を考えると
:&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\mathbf{P}\exp(\mathbf{D})\mathbf{P}^{-1}&lt;/math&gt;
と求めることができる。

更に、対角化できない場合にはフロベニウスの定理よりジョルダン標準形&lt;math&gt;\mathbf{J}&lt;/math&gt;を用いて
:&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\mathbf{P}\exp(\mathbf{J})\mathbf{P}^{-1}&lt;/math&gt;
が分かる。

ジョルダン標準形が容易に求まらない場合は三角化行列&lt;math&gt;\mathbf{T}&lt;/math&gt;を用いて
:&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\mathbf{U}\exp(\mathbf{T})\mathbf{U}^{-1}&lt;/math&gt;
でも求まる。

但し、三角化は実数範囲のみで可能であるとは限らないことに注意。


ここで、行列自然指数関数の値を具体的に求める方法を紹介する。

①定義通り多項式を計算する方法
:この方法では行列の乗法の定義に従って各成分の級数表示を求め、極限を取る必要がある。
②対角化・ジョルダン標準形・三角化を利用する方法
:それぞれの形さえ求まってしまえばあとは積の計算で求まる。
③ハミルトン・ケーリーの定理を利用する方法
:適用を繰り返すことで二元連立漸化式ができるので解いて&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;の係数を求めればよい。
④ラプラス変換を利用する方法
:以下に詳述する。


{{advanced|制御工学}}
ある時刻に於ける系の状態を表す変数を状態変数という。

未来の出力変数&lt;math&gt;\boldsymbol{y}&lt;/math&gt;は現在の状態変数&lt;math&gt;\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;と未来の入力変数&lt;math&gt;\boldsymbol{u}&lt;/math&gt;で決まる。

線型系且つ状態行列&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;・入力行列&lt;math&gt;\mathbf{B}&lt;/math&gt;・出力行列&lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt;・直達行列&lt;math&gt;\mathbf{D}&lt;/math&gt;が全て時変でない（時間に依存しない）定数係数系システム（'''線型時不変系'''）の場合、これをベクトル関数の関数方程式で記述すると以下のようになる。
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\mathbf{A}\boldsymbol{x}(t)+\mathbf{B}\boldsymbol{u}(t)&lt;/math&gt;（状態方程式）
:&lt;math&gt;\boldsymbol{y}(t)=\mathbf{C}\boldsymbol{x}(t)+\mathbf{D}\boldsymbol{u}(t)&lt;/math&gt;（出力方程式）


これをラプラス変換すると
:&lt;math&gt;s\boldsymbol{X}(s)-\boldsymbol{X}(0)=\mathbf{A}\boldsymbol{X}(s)+\mathbf{B}\boldsymbol{U}(s)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{Y}(s)=\mathbf{C}\boldsymbol{X}(s)+\mathbf{D}\boldsymbol{U}(s)&lt;/math&gt;
状態方程式を&lt;math&gt;\boldsymbol{X}(s)&lt;/math&gt;に就て解くと
:&lt;math&gt;(s\mathbf{E}-\mathbf{A})\boldsymbol{X}(s)=\mathbf{B}\boldsymbol{U}(s)+\boldsymbol{X}(0)&lt;/math&gt;
より
:&lt;math&gt;\boldsymbol{X}(s)=(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}(\mathbf{B}\boldsymbol{U}(s)+\boldsymbol{X}(0))&lt;/math&gt;
出力方程式に代入して
:&lt;math&gt;\boldsymbol{Y}(s)=\{\mathbf{C}(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}\}\boldsymbol{U}(s)+\mathbf{C}(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\boldsymbol{X}(0)&lt;/math&gt;
この&lt;math&gt;\mathbf{G}(s):=\mathbf{C}(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}&lt;/math&gt;を伝達関数行列という。&lt;br&gt;
これを用いて表記すると
:&lt;math&gt;\boldsymbol{Y}(s)=\mathbf{G}(s)\boldsymbol{U}(s)+\mathbf{C}(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\boldsymbol{X}(0)&lt;/math&gt;
これを逆ラプラス変換することで
:&lt;math&gt;\boldsymbol{y}(t)=(\mathbf{g}\ast\boldsymbol{u})(t)+\mathbf{C}\mathbf{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\int_0^t \mathbf{g}(t-u)\boldsymbol{u}(u)du + \mathbf{C}\mathbf{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;
この&lt;math&gt;\mathbf{g}(t)=\text{ℒ}^{-1}\left[\mathbf{G}(s)\right](t)=\mathbf{C}\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{B}+\mathbf{D}\delta(t)&lt;/math&gt;をインパルス応答関数行列という。&lt;br&gt;
デルタ関数の畳み込みの性質より
:&lt;math&gt;\boldsymbol{y}(t)=(\mathbf{C}\mathbf{\Phi}\ast\mathbf{B}\boldsymbol{u})(t)+ \mathbf{D}\boldsymbol{u}(t) + \mathbf{C} \mathbf{\Phi}(t) \boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\int_0^t \mathbf{C}\mathbf{\Phi}(t-u)\mathbf{B}\boldsymbol{u}(u) du+ \mathbf{D}\boldsymbol{u}(t) + \mathbf{C} \mathbf{\Phi}(t) \boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;
を得る。

この&lt;math&gt;\mathbf{\Phi}(t):= \text{ℒ}^{-1} \left[ \left(s\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} \right] (t)&lt;/math&gt;を状態遷移行列という。


入力変数が&lt;math&gt;\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;である場合を考えると
:&lt;math&gt;\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=\mathbf{A}\boldsymbol{x}(t)&lt;/math&gt;
という微分方程式ができるが、この解は&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A}t)\boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;である。

ここで、先程の手順に従って状態遷移行列を求めてみよう。
:状態方程式をラプラス変換して&lt;math&gt;s\boldsymbol{X}(s)-\boldsymbol{X}(0)=\mathbf{A}\boldsymbol{X}(s)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;(s\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{X}(s)=\boldsymbol{X}(0)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\boldsymbol{X}(s)=(s\mathbf{E}-\mathbf{A})^{-1}\boldsymbol{X}(0)&lt;/math&gt;
:逆ラプラス変換により&lt;math&gt;\boldsymbol{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0)&lt;/math&gt;
よって、&lt;math&gt;\mathbf{\Phi}(t)=\exp(\mathbf{A}t)&lt;/math&gt;である。

つまり、&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;での行列自然指数関数を求めるには&lt;math&gt;s\mathbf{E}-\mathbf{A}&lt;/math&gt;の逆行列の各成分を逆ラプラス変換すればよい。


{{演習問題|&lt;math&gt;\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;とする。&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})&lt;/math&gt;を上に示した4つの方法で求めよ。|
①
:&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;は上三角行列なので
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^n = \begin{pmatrix} 3^n &amp; b_n \\ 0 &amp; 2^n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:と書ける。
:&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;を掛けて
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{n+1}=\begin{pmatrix} 3 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n &amp; b_n \\ 0 &amp; 2^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^{n+1} &amp; 3b_n+2^{n} \\ 0 &amp; 2^{n+1} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:よって&lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt;の漸化式は
::&lt;math&gt;b_{n+1}=3b_n+2^n, b_1=1&lt;/math&gt;
:両辺を&lt;math&gt;2^{n+1}&lt;/math&gt;で割って
::&lt;math&gt;\frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{b_n}{2^n}+\frac{1}{2}&lt;/math&gt;
:特殊解を求めると
::&lt;math&gt;\alpha=\frac{3}{2}\alpha+\frac{1}{2} \iff \alpha = -1&lt;/math&gt;
:然らば
::&lt;math&gt;\frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}+1 = \frac{3}{2}(\frac{b_n}{2^n}+1)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\frac{b_1}{2}+1=\frac{3}{2}&lt;/math&gt;より
::&lt;math&gt;\frac{b_n}{2^n}=\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;b_n = 3^n-2^n&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\therefore \mathbf{A}^n = \begin{pmatrix} 3^n &amp; 3^n-2^n \\ 0 &amp; 2^n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:故に
::&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\sum_{i=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^i}{i!} = \begin{pmatrix} \sum_{i=0}^\infty \frac{3^i}{i!} &amp; \sum_{i=0}^\infty \frac{3^i}{i!}-\sum_{i=0}^\infty \frac{2^i}{i!} \\ 0 &amp; \sum_{i=0}^\infty \frac{2^i}{i!} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^3 &amp; e^3-e^2 \\ 0 &amp; e^2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
②
:固有値を求める。
::&lt;math&gt;\Phi_{\mathbf{A}}(t)=\begin{vmatrix} \lambda-3 &amp; -1 \\ 0 &amp; \lambda-2 \end{vmatrix}=(\lambda-3)(\lambda-2)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\lambda_1=2, \lambda_2=3&lt;/math&gt;
:固有ベクトルを求める。
::&lt;math&gt;\begin{pmatrix} 2-3 &amp; -1 \\ 0 &amp; 2-2 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\boldsymbol{x}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\begin{pmatrix} 3-3 &amp; -1 \\ 0 &amp; 3-2 \end{pmatrix}\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;\boldsymbol{x}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:モード行列は
::&lt;math&gt;\mathbf{P}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 &amp; \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &amp; 1 \\ -1 &amp; 0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\det\mathbf{P}=1\neq0&lt;/math&gt;よりこの行列で対角化可能。
::&lt;math&gt;\mathbf{P}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &amp; -1 \\ 1 &amp; 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:よって&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 1 &amp; 1 \\ -1 &amp; 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^2 &amp; 0 \\ 0 &amp; e^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &amp; -1 \\ 1 &amp; 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^3 &amp; e^3-e^2 \\ 0 &amp; e^2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
③
:跡と行列式の値は
::&lt;math&gt;\mathrm{tr}\mathbf{A}=3+2=5, \det\mathbf{A}=6&lt;/math&gt;
:ハミルトン・ケーリーの定理より
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^2 = 5\mathbf{A}-6\mathbf{E}&lt;/math&gt;
:繰り返し適用することで
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^n=\alpha_n\mathbf{A}+\beta_n\mathbf{E}&lt;/math&gt;
:を得るが、
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{n+1}=\alpha_n \mathbf{A}^2 + \beta_n \mathbf{A} = (5\alpha_n+\beta_n )\mathbf{A}-6\alpha_n\mathbf{E}&lt;/math&gt;
:より連立漸化式
::&lt;math&gt;\begin{cases} \alpha_{n+1}=5\alpha_n+\beta_n &amp; (\alpha_1=5) \\ \beta_{n+1}=-6\alpha_n &amp; (\beta_1=-6) \end{cases}&lt;/math&gt;
:を得る。
:隣接三項間漸化式に帰着して
::&lt;math&gt;\alpha_{n+1}=5\alpha_{n}-6\alpha_{n-1}\quad (\alpha_1=5, \alpha_2=5\cdot5-6=19)&lt;/math&gt;
:特性方程式は
::&lt;math&gt;x^2-5x+6=0&lt;/math&gt;
:特性解は
::&lt;math&gt;x=2, 3&lt;/math&gt;
:よって
::&lt;math&gt;\begin{cases} a_{n+1}-2a_n = 3(a_n - 2a_{n-1}) \\ a_{n+1}-3a_n = 2(a_n-3a_{n-1}) \end{cases}&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;\{a_{n+1}-2a_n\}, \{a_{n+1}-3a_n\}&lt;/math&gt;はそれぞれ公比&lt;math&gt;3, 2&lt;/math&gt;の等比数列なので、
::&lt;math&gt;a_{n+1}-2a_n=3^{n-2}(a_2-2a_1)=9\cdot3^{n-2}=3^n&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;a_{n+1}-3a_n=2^{n-2}(a_2-3a_1)=4\cdot2^{n-2}=2^n&lt;/math&gt;
:故に
::&lt;math&gt;a_n=3^n-2^n&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;b_{n}=-6(3^{n-1}-2^{n-1})&lt;/math&gt;
:然らば
::&lt;math&gt;\mathbf{A}^n=\alpha_n\mathbf{A}+\beta_n\mathbf{E}=\begin{pmatrix} 3\cdot3^n - 3\cdot2^n &amp; \cdot3^n-\cdot2^n \\ 0 &amp; 2\cdot3^n - 2\cdot2^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\cdot3^n + 3\cdot2^n &amp; 0 \\ 0 &amp; -2\cdot3^n + 3\cdot2^n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\begin{pmatrix} 3^n &amp; 3^n-2^n \\ 0 &amp; 2^n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:あとは①に同じ。
④
:&lt;math&gt;s\mathbf{E}-\mathbf{A}=\begin{pmatrix} s-3 &amp; -1 \\ 0 &amp; s-2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left(s\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1}=\frac{1}{(s-2)(s-3)}\begin{pmatrix} s-2 &amp; 1 \\ 0 &amp; s-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{s-3} &amp; \frac{1}{(s-2)(s-3)} \\ 0 &amp; \frac{1}{s-2} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A}t)=\text{ℒ}^{-1} \left[ \left(s\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} \right] (t)=\begin{pmatrix} e^{3t} &amp; e^{3t}-e^{2t} \\ 0 &amp; e^{2t} \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\exp(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} e^3 &amp; e^3-e^2 \\ 0 &amp; e^2 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
}}

==行列対数関数==

==行列平方根==

==行列特殊関数==

==複素行列函数==

[[Category:線形代数学|きようれつちかんすう]]
[[Category:解析学|きようれつかいせき]]</text>
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    <title>ガリア戦記/注解編/表記のゆれ</title>
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        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* 「表記のゆれ」一覧 */</comment>
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      <text bytes="45117" sha1="1j31f4u1whcp5c4c09bp9fmzte589m4" xml:space="preserve">&lt;!--【2026年03月29日起稿】--&gt;[[Category:ガリア戦記|**]]
[[ガリア戦記]]&amp;nbsp;＞&amp;nbsp;[[ガリア戦記/注解編|注解編]]&amp;nbsp;＞&amp;nbsp;'''表記のゆれ'''
:　
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:18pt;color:darkgreen;text-align:center;background-color:#efe;&quot;&gt;C・IVLII・CAESARIS・COMMENTARII・DE・BELLO・GALLICO&lt;/div&gt;

『[[ガリア戦記]]』の校訂版などにおける単語の「表記のゆれ」のまとめ。

==「表記のゆれ」一覧==
*「表記１」がおもに辞書や近代の完本などで見られる表記。
*「表記２」が中世の主要写本に見られる古い表記など。
*:できるだけ「表記２」を尊重した。
:　

{| class=&quot;wikitable sortable&quot; cellspacing=1
|-
!表記1
!表記2
!備　考
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【acclivis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:acclivis#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;c&lt;/span&gt;clīvis]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adclivis#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;clīvis]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【accommodatae】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:accommodatae|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;c&lt;/span&gt;commodātae]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adcommodatae|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;commodātae]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【allatis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:allatis|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;lātīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adlatis|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;lātīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aduatuca】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aduatuca#Latin|A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;uātucam]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;uātucam
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aduatuci】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aduatuci|A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;uatucī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:de:Atuatuci|A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;uatucī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aduatucis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aduatucis|A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;uatucīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;uatucīs
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aduatucos】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aduatucos|A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;uatucōs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |A&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;uatucōs
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aeduae】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aeduae|Aeduae]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduae
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aedui】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Haedui|&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aeduis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Haeduis|&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduīs]]
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aeduorum】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Haeduorum|&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduōrum]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aeduos】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Haeduos|&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduōs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Aeduus】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;H&lt;/span&gt;aeduus
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【aequinocti】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aequinocti|aequinoct&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aequinoctii|aequinoct&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;iī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【affecti】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:affecti|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;fectī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adfecti|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;fectī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【affecto】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:affecto#Participle|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;fectō]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adfecto#Participle|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;fectō]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【affectus】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:affectus#Participle|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;fectus]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adfectus#Adjective|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;fectus]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【afferat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:afferat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;ferat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adferat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;ferat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【afferebat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:afferebat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;ferēbat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adferebat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;ferēbat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【afferret】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:afferret|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;ferret]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adferret|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;ferret]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【afferretur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:afferretur|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;ferrētur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adferretur|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;ferrētur]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【affirmatione】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:affirmatione#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;firmātiōne]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adfirmatione#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;firmātiōne]]
| style=&quot;font-size:13pt;&quot; |[[wikt:en:affirmatio#Latin|affirmātiō]]の単数･奪格
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【afflictae】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:afflictae|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;flīctae]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adflictae|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;flīctae]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【affligunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:affligunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;f&lt;/span&gt;flīgunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adfligunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;flīgunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【aggregabat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aggregabat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;g&lt;/span&gt;gregābat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adgregabat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;gregābat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【aggregarant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aggregarant|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;g&lt;/span&gt;gregārant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adgregarant|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;gregārant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |次項の [[wikt:en:adgregaverant|adgregā&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ve&lt;/span&gt;rant]] の&lt;br&gt; ve が縮約された形。
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【aggregaverant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aggregaverant|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;g&lt;/span&gt;gregā&lt;u&gt;ve&lt;/u&gt;rant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adgregaverant|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;gregā&lt;u&gt;ve&lt;/u&gt;rant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; | ve が縮約された形が、&lt;br&gt;前項の [[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【allato】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:allato|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;lātō]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adlato|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;lātō]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【alliciebat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:alliciebat#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;liciēbat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adliciebat#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;liciēbat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;!--7巻31節--&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【Alpis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Alpis#Latin|Alp&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:Alpes#Latin|Alp&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appelluntur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appelluntur|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;pelluntur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpelluntur|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;pelluntur]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appetebat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appetebat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;petēbat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpetebat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;petēbat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【apportari】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:apportari|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;portārī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adportari|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;portārī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【applicant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:applicant#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;plicant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adplicant|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;plicant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【approbant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:approbant#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;probant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adprobant#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;probant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquabat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquabat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquābat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquabat|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquābat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquare】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquare#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquāre]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquare|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquāre]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquarent】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquarent|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquārent]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquarent|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquārent]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquassent】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquassent|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquāssent]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquassent|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquāssent]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquarunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquarunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquārunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquarunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquārunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |次項の [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquā&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;vē&lt;/span&gt;runt]] の&lt;br&gt; vē が縮約された形。
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquaverunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquaverunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquāvērunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquaverunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquāvērunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; | vē が縮約された形が、&lt;br&gt;前項の [[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appropinquavit】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appropinquavit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;propinquāvit]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpropinquavit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;propinquāvit]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【appulso】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:appulso#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;p&lt;/span&gt;pulsō]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adpulso|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;pulsō]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【arripere】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:arripere|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ripere]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adripere|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;ripere]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【articlis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:articlis|articlīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:articulis|artic&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;u&lt;/span&gt;līs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【ascendissent】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adscendissent|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;scendissent]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【ascensu】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adscensu#Noun|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;scēnsū]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【assidua】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:assidua#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;s&lt;/span&gt;siduā]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adsidua|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;siduā]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |形容詞 [[wikt:en:assiduus#Latin|assiduus]] の女性･単数･奪格
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【assiduis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:assiduis#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;s&lt;/span&gt;siduīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adsiduis#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;siduīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |形容詞 [[wikt:en:assiduus#Latin|assiduus]] の複数･与格か奪格
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【assuefacti】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:assuefacti|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;s&lt;/span&gt;suēfactī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adsuefacti|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;suēfactī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【assuescere】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:assuescere#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;s&lt;/span&gt;suēscere]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adsuescere#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;suēscere]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【attingit】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:attingit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;tingit]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adtingit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;tingit]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【attingunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:attingunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;tingunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adtingunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;tingunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【attribuerat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:attribuerat#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;tribuerat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adtribuerat#Latin|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;tribuerat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【attribuit】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:attribuit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;tribuit]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adtribuit|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;tribuit]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【attribuunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:attribuunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;tribuunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:adtribuunt|a&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;d&lt;/span&gt;tribuunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【auris】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:auris#Latin|aur&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:aures#Noun|aur&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【auxili】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:auxili#Latin|auxil&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:auxilii|auxil&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;iī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【cedentis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:cedentis|cēdent&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:cedentes#Latin|cēdent&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【civis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:civis#Latin|cīv&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:cives#Latin|cīv&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【clientis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:clientis|client&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:clientes#Latin|client&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【cohortis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:cohortis|cohort&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:cohortes#Latin|cohort&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coicere】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coicere|coicere]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conicere|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;icere]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coicerent】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coicerent|coicerent]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conicerent|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;icerent]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coici】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coici|coicī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conici#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;icī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiciant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiciant|coiciant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniciant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iciant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiciebant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniciebant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iciēbant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiciunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiciunt|coiciunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniciunt|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iciunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiecerant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniecerant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iēcerant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiecerunt】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniecerunt|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iēcērunt]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiecisse】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniecisse|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iēcisse]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiecta】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiecta|coiecta]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniecta|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iecta]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiecti】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiecti|coiectī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniecti|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iectī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【coiectis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coiectis|coiectīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:coniectis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;iectīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collatis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collatis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;lātīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlatis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;lātīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collaudantur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collaudantur|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;laudantur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlaudantur|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;laudantur]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collaudat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collaudat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;laudat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlaudat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;laudat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collaudatis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collaudatis#Participle|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;laudātīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlaudatis#Participle|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;laudātīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collis#Latin|coll&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:colles#Latin|coll&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocabant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocabant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locābant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocabant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locābant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocabat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocabat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locābat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocabat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locābat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocandis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocandis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locandīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocandis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locandīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocant】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocant#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locant]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocant|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locant]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocantur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocantur#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locantur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocantur#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locantur]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocarat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocarat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locārat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocarat|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locārat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocare】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocare#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locāre]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocare|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locāre]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocaret】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocaret|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locāret]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocaret|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locāret]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocari】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocari|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locārī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocari|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locārī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocatas】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocatas|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locātās]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocatas|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locātās]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocati】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocati#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locātī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocati|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locātī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocatis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocatis#Participle|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locātīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocatis#Participle|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locātīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocaverat】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocaverat#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locāverat]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocaverat#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locāverat]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocavit】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocavit|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locāvit]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocavit|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locāvit]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【collocuti】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:collocuti|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;locūtī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conlocuti|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;locūtī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【colloquantur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:colloquantur|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;loquantur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conloquantur|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;loquantur]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【colloquendi】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:colloquendi|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;loquendī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conloquendi|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;loquendī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【colloqui】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:colloqui#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;loquī]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conloqui#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;loquī]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【colloquium】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:colloquium#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;l&lt;/span&gt;loquium]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conloquium#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;loquium]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【communis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:communis#Latin|commūn&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:communes#Latin|commūn&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【compluribus】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:compluribus#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;m&lt;/span&gt;plūribus]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |別形 &lt;span style=&quot;font-size:20pt;&quot;&gt;[[wikt:en:conpluribus#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;plūribus]]&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【compluris】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:compluris#Latin|complūr&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:complures#Latin|complūr&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |別形 &lt;span style=&quot;font-size:20pt;&quot;&gt;[[wikt:en:conplures#Latin|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;plūrēs]]&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【comprehensis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:comprehensis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;m&lt;/span&gt;prehēnsīs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conprehensis|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;prehēnsīs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【comprehensos】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:comprehensos|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;m&lt;/span&gt;prehēnsōs]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conprehensos|co&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;n&lt;/span&gt;prehēnsōs]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【conantis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conantis|cōnant&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:conantes|cōnant&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【consili】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:consili|cōnsil&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:consilii|cōnsil&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;iī&lt;/span&gt;]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【directus】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:directus#Latin|d&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;rēctus]]&lt;!--(正統な古典ラテン語のつづりである dīrēctus)--&gt; 
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:derectus#Latin|d&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;rēctus]]&lt;!--(共和政末期から帝政初期（カエサルやアウグストゥスの時代）の銘文を調査すると、この意味（まっすぐな、直接の）では dērēctus（または dērectus）の綴りが圧倒的に優勢 であり、dīrēctus はほとんど見られません。)--&gt;
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |正統的な綴りは d&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;rēctus だが、&lt;br&gt;共和制末期の銘文では d&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;rēctus&lt;br&gt; が圧倒的に多い
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【dubitantis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitant&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:dubitantes|dubitant&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【effarciuntur】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:effarciuntur#Latin|eff&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;a&lt;/span&gt;rciuntur]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:efferciuntur#Latin|eff&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;e&lt;/span&gt;rciuntur]]&lt;!--([[w:母音弱化|母音弱化]]による共和制末期の語形)--&gt; 
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |eff&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;e&lt;/span&gt;rciuntur は[[w:母音弱化|母音弱化]]&lt;br&gt;による共和制末期の語形
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【egredientis】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredient&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ī&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |[[wikt:en:egredientes|ēgredient&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;ē&lt;/span&gt;s]]
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
| style=&quot;font-size:20pt;&quot; |
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|- style=&quot;font-family:Times New Roman;&quot; &lt;!--【】--&gt;
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| style=&quot;font-size:10pt;&quot; |&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
|}

&lt;!--
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;
▲, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,  (), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 
, [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], 

[[wikt:en:expectent#Latin|expectent]], 
[[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], 
([[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]] 共和制末期の表記),


[[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], 
[[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], 
[[wikt:en:glebas#Latin|glēbās]](写本にあるが後期ラテン語の表記), 
[[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], 

[[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illūstrem]], 

[[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], ([[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]]), 
[[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], 

[[wikt:en:imprudentia#Noun|imprūdentia]],

[[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], 
[[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], 
[[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], 
([[wikt:en:materiem#Latin|materiem]]),
[[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], 

[[wikt:en:opportunitate#Latin|opportūnitāte]], 

[[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], 

subficere (×subficereは使われていない)

[[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], 

[[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], 

[[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], 

[[wikt:en:testis#Latin|testīs]], 

[[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]](共和制末期の表記に近い), [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]]  &lt;/span&gt; などは、
&lt;br&gt;それぞれ 

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;
▼, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,  (), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 
, , , , , , , , [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], 

[[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]], 
[[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], 

([[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]]実際の発音に近い表記),

[[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], 
[[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], 
[[wikt:en:glaebas#Latin|glaebās]](共和制末期の表記), 
[[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], 

[[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlūstrem]], 

[[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], ([[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]]), 
[[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], 

[[wikt:en:inprudentia#Noun|inprūdentia]], 

[[wikt:en:incolumes|incolumēs]], 
[[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], 
[[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], 
([[wikt:en:materiam#Latin|materiam]]共和制末期に近い表記),
[[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], 

([[wikt:en:oportunitate#Latin|oportūnitāte]])

[[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]],  [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], 

[[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], 

[[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], 

[[wikt:en:testes#Latin|testēs]], 

[[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]]  &lt;/span&gt; などとした。
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&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:#b00;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;font-size:10pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==脚注==
&lt;references /&gt;

==関連項目==

==外部リンク==</text>
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    <title>ガリア戦記 第7巻/注解/32節</title>
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      <contributor>
        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* 整形テキスト */</comment>
      <origin>303918</origin>
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      <text bytes="16034" sha1="qla34dkg9zk4l3toxdog0n2ofsoebnv" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;C &amp;middot; IVLII &amp;middot; CAESARIS &amp;middot; COMMENTARIORVM &amp;middot; BELLI &amp;middot; GALLICI&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;br&gt;
{| id=&quot;toc&quot; style=&quot;align:center;clear:all;&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;5&quot;
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! style=&quot;background:#bbf; text-align:center;&quot; |&amp;nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &amp;nbsp;
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&amp;nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/31節|31節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] &amp;nbsp;
|}
__notoc__
== 原文テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。&lt;/ref&gt; 


&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ffc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;sup&gt;&lt;/sup&gt; 
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;テキスト引用についての注記


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 整形テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。&lt;/ref&gt; 


&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;sup&gt;&lt;/sup&gt; 
&lt;!--  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  --&gt;
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;注記
&lt;!--
*原文の &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:alliciebat#Latin|alliciēbat]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]],  [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:communis#Latin|commūnīs]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:directus#Latin|dīrēctus]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:effarciuntur#Latin|effarciuntur]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:expectent#Latin|expectent]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], 

[[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illūstrem]], 

[[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:imprudentia#Noun|imprūdentia]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:testis#Latin|testīs]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]]  &lt;/span&gt; などは、&lt;br&gt;それぞれ &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:communes#Latin|commūnēs]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:derectus#Latin|dērēctus]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:efferciuntur#Latin|efferciuntur]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], 

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--&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:#b00;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;font-size:10pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 注解 ==
=== 1項 ===
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:20pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

;語釈


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;background-color:#ccffcc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;!--
;対訳
《　》　内は、訳者が説明のために補った語。&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;{&lt;/span&gt;　&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;}&lt;/span&gt;　内は関係文。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
--&gt;

== 訳文 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#dff;&quot;&gt;訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#32節]]&lt;/span&gt;

== 脚注 ==
{{Reflist}}
== 解説 ==


&lt;!--

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
|- style=&quot;height:23em;&quot; 
|
|
|}

--&gt;

== 関連項目 ==
*[[ガリア戦記]]
**[[ガリア戦記/注解編]]
***[[ガリア戦記 第7巻/注解]]
**[[ガリア戦記/用例集]]

== 関連記事 ==
== 外部リンク ==


[[Category:ガリア戦記 第7巻|32節]]</text>
      <sha1>qla34dkg9zk4l3toxdog0n2ofsoebnv</sha1>
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      <contributor>
        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <comment>/* 原文テキスト */</comment>
      <origin>303921</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17768" sha1="69zmzbnp9csownekoupbzos0gp12s3g" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;C &amp;middot; IVLII &amp;middot; CAESARIS &amp;middot; COMMENTARIORVM &amp;middot; BELLI &amp;middot; GALLICI&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;br&gt;
{| id=&quot;toc&quot; style=&quot;align:center;clear:all;&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;5&quot;
|-
! style=&quot;background:#bbf; text-align:center;&quot; |&amp;nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &amp;nbsp;
| style=&quot;background:#ccf; text-align:center;&quot; |&amp;nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &amp;nbsp;
| style=&quot;background:#eef; text-align:center;&quot;|
&amp;nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/31節|31節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] &amp;nbsp;
|}
__notoc__
== 原文テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。&lt;/ref&gt; 32, &amp;nbsp;&amp;nbsp; &lt;!--❶--&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;Caesar Avarici compluris&lt;!--complures--&gt; dies commoratus summamque ibi copiam frumenti et reliqui commeatus nactus exercitum ex labore atque inopia &lt;!--(χβ) --&gt;reficit&lt;!--(φ) refecit--&gt;.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❷--&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;Iam prope hieme confecta, cum ipso anni tempore ad gerendum bellum vocaretur et ad hostem proficisci constituisset, sive eum ex paludibus silvisque elicere sive obsidione premere posset, legati ad eum principes Aeduorum &lt;!--Haeduorum--&gt; veniunt oratum&lt;!--,--&gt; ut maxime necessario tempore civitati subveniat&lt;!--;--&gt;:  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❸--&gt;&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;summo esse in periculo rem, quod, cum singuli magistratus antiquitus creari atque regiam potestatem &lt;!--(α) --&gt;annum&lt;!--(β) annuam--&gt; obtinere consuessent, duo magistratum gerant et se uterque eorum legibus creatum esse dicat.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❹--&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;Horum esse alterum Convictolitavem, florentem et inlustrem&lt;!--illustrem--&gt; adulescentem&lt;!--,--&gt;;  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  alterum Cotum, antiquissima familia natum atque ipsum hominem summae potentiae et magnae cognationis, cuius frater Valetiacus proximo anno eundem magistratum gesserit.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❺--&gt;&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;Civitatem esse omnem in armis&lt;!--,--&gt;;  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  divisum senatum, divisum populum, &lt;!--(ω) --&gt;suas&lt;!--(Scal.) in suas--&gt; cuiusque eorum clientelas.  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  Quod si&lt;!--quodsi--&gt; diutius alatur controversia, fore uti pars cum parte civitatis confligat.  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  Id ne accidat, positum in eius diligentia atque auctoritate.  &lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ffc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
----
;テキスト引用についての注記
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlustrem]] : &amp;nbsp; [[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illustrem]]&lt;/span&gt; と表記している校訂版もある。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 整形テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。&lt;/ref&gt; 


&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;sup&gt;&lt;/sup&gt; 
&lt;!--  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  --&gt;
---- 
;注記
&lt;!--
*原文の &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:alliciebat#Latin|alliciēbat]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]],  [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:communis#Latin|commūnīs]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:directus#Latin|dīrēctus]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:effarciuntur#Latin|effarciuntur]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:expectent#Latin|expectent]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], 

[[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illūstrem]], 

[[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:imprudentia#Noun|imprūdentia]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:testis#Latin|testīs]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]]  &lt;/span&gt; などは、&lt;br&gt;それぞれ &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:communes#Latin|commūnēs]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:derectus#Latin|dērēctus]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:efferciuntur#Latin|efferciuntur]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], 

[[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlūstrem]], 

[[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]], [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:inprudentia#Noun|inprūdentia]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], [[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]],  [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], [[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:testes#Latin|testēs]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]]  &lt;/span&gt; などとした。
--&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:#b00;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;font-size:10pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 注解 ==
=== 1項 ===
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:20pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

;語釈


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;background-color:#ccffcc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;!--
;対訳
《　》　内は、訳者が説明のために補った語。&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;{&lt;/span&gt;　&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;}&lt;/span&gt;　内は関係文。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
--&gt;

== 訳文 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#dff;&quot;&gt;訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#32節]]&lt;/span&gt;

== 脚注 ==
{{Reflist}}
== 解説 ==


&lt;!--

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
|- style=&quot;height:23em;&quot; 
|
|
|}

--&gt;

== 関連項目 ==
*[[ガリア戦記]]
**[[ガリア戦記/注解編]]
***[[ガリア戦記 第7巻/注解]]
**[[ガリア戦記/用例集]]

== 関連記事 ==
== 外部リンク ==


[[Category:ガリア戦記 第7巻|32節]]</text>
      <sha1>69zmzbnp9csownekoupbzos0gp12s3g</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* 外部リンク */</comment>
      <origin>303923</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18152" sha1="19adslo5locr980ia7zq46zeljso33p" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;C &amp;middot; IVLII &amp;middot; CAESARIS &amp;middot; COMMENTARIORVM &amp;middot; BELLI &amp;middot; GALLICI&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;br&gt;
{| id=&quot;toc&quot; style=&quot;align:center;clear:all;&quot; align=&quot;center&quot; cellpadding=&quot;5&quot;
|-
! style=&quot;background:#bbf; text-align:center;&quot; |&amp;nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &amp;nbsp;
| style=&quot;background:#ccf; text-align:center;&quot; |&amp;nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &amp;nbsp;
| style=&quot;background:#eef; text-align:center;&quot;|
&amp;nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/31節|31節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] &amp;nbsp;
|}
__notoc__
== 原文テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。&lt;/ref&gt; 32, &amp;nbsp;&amp;nbsp; &lt;!--❶--&gt;&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;Caesar Avarici compluris&lt;!--complures--&gt; dies commoratus summamque ibi copiam frumenti et reliqui commeatus nactus exercitum ex labore atque inopia &lt;!--(χβ) --&gt;reficit&lt;!--(φ) refecit--&gt;.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❷--&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;Iam prope hieme confecta, cum ipso anni tempore ad gerendum bellum vocaretur et ad hostem proficisci constituisset, sive eum ex paludibus silvisque elicere sive obsidione premere posset, legati ad eum principes Aeduorum &lt;!--Haeduorum--&gt; veniunt oratum&lt;!--,--&gt; ut maxime necessario tempore civitati subveniat&lt;!--;--&gt;:  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❸--&gt;&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;summo esse in periculo rem, quod, cum singuli magistratus antiquitus creari atque regiam potestatem &lt;!--(α) --&gt;annum&lt;!--(β) annuam--&gt; obtinere consuessent, duo magistratum gerant et se uterque eorum legibus creatum esse dicat.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❹--&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;Horum esse alterum Convictolitavem, florentem et inlustrem&lt;!--illustrem--&gt; adulescentem&lt;!--,--&gt;;  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  alterum Cotum, antiquissima familia natum atque ipsum hominem summae potentiae et magnae cognationis, cuius frater Valetiacus proximo anno eundem magistratum gesserit.  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  &lt;!--❺--&gt;&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;Civitatem esse omnem in armis&lt;!--,--&gt;;  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  divisum senatum, divisum populum, &lt;!--(ω) --&gt;suas&lt;!--(Scal.) in suas--&gt; cuiusque eorum clientelas.  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  Quod si&lt;!--quodsi--&gt; diutius alatur controversia, fore uti pars cum parte civitatis confligat.  &amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;  Id ne accidat, positum in eius diligentia atque auctoritate.  &lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ffc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
----
;テキスト引用についての注記
*&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlustrem]] : &amp;nbsp; [[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illustrem]]&lt;/span&gt; と表記している校訂版もある。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 整形テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。&lt;/ref&gt; 


&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;sup&gt;&lt;/sup&gt; 
&lt;!--  &amp;nbsp;&lt;!--◆--&gt;&amp;nbsp;  --&gt;
---- 
;注記
&lt;!--
*原文の &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:alliciebat#Latin|alliciēbat]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]],  [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:communis#Latin|commūnīs]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:directus#Latin|dīrēctus]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:effarciuntur#Latin|effarciuntur]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:expectent#Latin|expectent]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], 

[[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illūstrem]], 

[[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:imprudentia#Noun|imprūdentia]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:testis#Latin|testīs]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]]  &lt;/span&gt; などは、&lt;br&gt;それぞれ &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], [[wikt:en:conlocabat|conlocābat]], [[wikt:en:conlocandis|conlocandīs]], [[wikt:en:conlocant|conlocant]], [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]], [[wikt:en:conlocarat|conlocārat]], [[wikt:en:conlocare|conlocāre]], [[wikt:en:conlocaret|conlocāret]], [[wikt:en:conlocari|conlocārī]], [[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:communes#Latin|commūnēs]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:derectus#Latin|dērēctus]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:efferciuntur#Latin|efferciuntur]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], 

[[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlūstrem]], 

[[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]], [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:inprudentia#Noun|inprūdentia]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], [[wikt:en:officii#Latin|officiī]], [[wikt:en:omnes#Latin|omnēs]], [[wikt:en:partes#Latin|partēs]], [[wikt:en:periculum#Latin|perīculum]], [[wikt:en:plures|plūrēs]], [[wikt:en:praesidii|praesidiī]], [[wikt:en:proelii|proeliī]],  [[wikt:en:proficiscentes|proficīscentēs]], [[wikt:en:resistentes#Latin|resistentēs]], [[wikt:en:singulares#Latin|singulārēs]], [[wikt:en:solacii|sōlāciī]], [[wikt:en:spatii#Latin|spatiī]], [[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], [[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:testes#Latin|testēs]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]]  &lt;/span&gt; などとした。
--&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:#b00;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;font-size:10pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 注解 ==
=== 1項 ===
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:20pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

;語釈


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;background-color:#ccffcc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;!--
;対訳
《　》　内は、訳者が説明のために補った語。&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;{&lt;/span&gt;　&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;}&lt;/span&gt;　内は関係文。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
--&gt;

== 訳文 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#dff;&quot;&gt;訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#32節]]&lt;/span&gt;

== 脚注 ==
{{Reflist}}
== 解説 ==


&lt;!--

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
|- style=&quot;height:23em;&quot; 
|
|
|}

--&gt;

== 関連項目 ==
*[[ガリア戦記]]
**[[ガリア戦記/注解編]]
***[[ガリア戦記 第7巻/注解]]
**[[ガリア戦記/用例集]]

== 関連記事 ==
== 外部リンク ==
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&amp;seq=262 #262 - C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : Caesar's Gallic ... - Full View | HathiTrust Digital Library]
* [https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7.32 Scaife Viewer | De Bello Gallico]
* [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_P82.HTM De bello Gallico: text - IntraText CT]

[[Category:ガリア戦記 第7巻|32節]]</text>
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    <title>高等学校日本史探究/新たな世紀の日本へⅣ</title>
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      <comment>新規作成。これから少しずつ執筆する。</comment>
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      <text bytes="2023" sha1="q3h18p0itx150anr8xchioscg9ykw41" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅣ
本節では国民生活文化史などについて叙述する。

== 新しい世界を目指して ==
[[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

== 平成時代・令和時代の文化史・科学史 ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料</text>
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      <text bytes="2056" sha1="f8f7m0thdr904kdoydbzisa0fozjihi" xml:space="preserve"> [[小学校・中学校・高等学校の学習]]&gt;[[高等学校の学習]]&gt;[[高等学校地理歴史]]&gt;[[高等学校日本史探究]]&gt;新たな世紀の日本へⅣ
本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。

== 新しい世界を目指して ==
[[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]]
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

== 平成時代・令和時代の文化史・科学史 ==
※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。

== 資料出所 ==

* 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年
* 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年

* 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年
* 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年
* 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年

* 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年
* 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年
* 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本）
* 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年

* 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年
* 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年

* 各種新聞等資料・各種政府公式白書</text>
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    <title>トーク:高等学校 科学と人間生活</title>
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      <comment>/* このページに記述すべき内容 */ 新しい節</comment>
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      <text bytes="11122" sha1="sg02vfjif1stoodvvwdwshlr6qefcxp" xml:space="preserve">== このページに記述すべき内容 ==
高等学校学習指導要領（平成３０年３月告示）『第１　科学と人間生活』より - 階層はwikiの付番とし、補足事項は【】等を用い記した。
#目標
#:自然の事物・現象に関わり，理科の見方・考え方を働かせ，見通しをもって観察，実験を行うことなどを通して，自然の事物・現象を科学的に探究するために必要な資質・能力を次のとおり育成することを目指す。
##自然と人間生活との関わり及び科学技術と人間生活との関わりについての理解を深め，科学的に探究するために必要な観察，実験などに関する技能を身に付けるようにする。
##観察，実験などを行い，人間生活と関連付けて科学的に探究する力を養う。
##自然の事物・現象に進んで関わり，科学的に探究しようとする態度を養うとともに，科学に対する興味・関心を高める。
#内容
##{{Anchors|科学技術の発展}}科学技術の発展
##:科学技術の発展について，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
###科学技術の発展が今日の人間生活に対してどのように貢献してきたかについて理解すること。
###科学技術の発展と人間生活との関わりについて科学的に考察し表現すること。
##{{Anchors|人間生活の中の科学}}人間生活の中の科学
##:身近な自然の事物・現象及び日常生活や社会の中で利用されている科学技術を取り上げ，それらについての観察，実験などを通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
###光や熱の科学，物質の科学，生命の科学，宇宙や地球の科学と人間生活との関わりについて認識を深めるとともに，それらの観察，実験などに関する技能を身に付けること。
####{{Anchors|光や熱の科学}}光や熱の科学
####:【以下のいずれかを選択】
#####㋐　{{Anchors|光の性質とその利用}}光の性質とその利用
#####:光に関する観察，実験などを行い，光を中心とした電磁波の性質とその利用について，日常生活と関連付けて理解すること。
#####㋑　{{Anchors|熱の性質とその利用}}熱の性質とその利用
#####:熱に関する観察，実験などを行い，熱の性質，エネルギーの変換と保存及び有効利用について，日常生活と関連付けて理解すること。
####{{Anchors|物質の科学}}物質の科学
####:【以下のいずれかを選択】
#####㋐　{{Anchors|材料とその再利用}}材料とその再利用
#####:身近な材料に関する観察，実験などを行い，金属やプラスチックの種類，性質及び用途と資源の再利用について，日常生活と関連付けて理解すること。
#####㋑　{{Anchors|衣料と食品}}衣料と食品
#####:衣料と食品に関する観察，実験などを行い，身近な衣料材料の性質や用途，食品中の主な成分の性質について，日常生活と関連付けて理解すること。
####{{Anchors|生命の科学}}生命の科学
####:【以下のいずれかを選択】
#####㋐　{{Anchors|ヒトの生命現象}}ヒトの生命現象
#####:ヒトの生命現象に関する観察，実験などを行い，ヒトの生命現象を人間生活と関連付けて理解すること。
#####㋑　{{Anchors|微生物とその利用}}微生物とその利用
#####:微生物に関する観察，実験などを行い，微生物の働きを人間生活と関連付けて理解すること。
####{{Anchors|宇宙や地球の科学}}宇宙や地球の科学
####:【以下のいずれかを選択】
#####㋐　{{Anchors|太陽と地球}}太陽と地球
#####:天体に関する観察，実験などを行い，太陽などの身近に見られる天体の運動や太陽の放射エネルギーについて，人間生活と関連付けて理解すること。
#####㋑　{{Anchors|自然景観と自然災害}}自然景観と自然災害
#####:自然景観と自然災害に関する観察，実験などを行い，身近な自然景観の成り立ちと自然災害について，人間生活と関連付けて理解すること。
###光や熱の科学，物質の科学，生命の科学，宇宙や地球の科学について，問題を見いだし見通しをもって観察，実験などを行い，人間生活と関連付けて，科学的に考察し表現すること。
##{{anchor|これからの科学と人間生活}}これからの科学と人間生活
##:自然と人間生活との関わり及び科学技術と人間生活との関わりについての学習を踏まえて，課題を設定し探究することで，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
###これからの科学と人間生活との関わり方について認識を深めること。
###これからの科学と人間生活との関わり方について科学的に考察し表現すること。
#内容の取扱い
##内容の取扱いに当たっては，次の事項に配慮するものとする。
###中学校理科との関連を十分考慮するとともに，科学と人間生活との関わりについて理解させ，観察，実験などを中心に扱い，自然や科学技術に対する興味・関心を高めるようにすること。
###この科目で育成を目指す資質・能力を育むため，観察，実験などを行い，探究の過程を踏まえた学習活動を行うようにすること。その際，学習内容の特質に応じて，課題の把握，課題の追究，課題の解決などの探究の方法を習得させるようにすること。
###[[#科学技術の発展|内容の(1)【科学技術の発展】]]については，この科目の導入として位置付け，身近な事例を基に科学技術に対する興味・関心を高めるよう展開すること。
###[[#人間生活の中の科学|内容の(2)【人間生活の中の科学】のアの(ア)から(エ)まで]]については，生徒の実態等を考慮し，それぞれ㋐又は㋑のいずれかを選択して扱うこと。
###[[#これからの科学と人間生活|内容の(3)【これからの科学と人間生活】]]については，[[#人間生活の中の科学|(2)の学習]]を踏まえ，課題を設定し考察させ，報告書を作成させたり発表を行う機会を設けたりすること。
##内容の範囲や程度については，次の事項に配慮するものとする。
###内容の[[#科学技術の発展|内容の(1)【科学技術の発展】]]については，身近な科学技術の例を取り上げ，その変遷と人間生活の変化との関わりを扱うこと。
###[[#人間生活の中の科学|内容の(2)【人間生活の中の科学】の]]
###*アの[[#光や熱の科学|(ア)【光や熱の科学】]]の
###**[[#光の性質とその利用|㋐【光の性質とその利用】]]については，
###**:光の波としての分類や性質を扱うこと。「電磁波の利用」については，電波やＸ線にも触れること。
###**[[#熱の性質とその利用|㋑【熱の性質とその利用】]]については，
###**:熱量の保存，仕事や電流による熱の発生，エネルギーの変換を扱うこと。「エネルギーの変換と保存」については，熱機関に関する歴史的な事項や熱が仕事に変わる際の不可逆性にも触れること。
###*[[#物質の科学|(イ)【物質の科学】]]の
###**[[#材料とその再利用|㋐【材料とその再利用】]]については，
###**:代表的な金属やプラスチックを扱うこと。「金属」については，製錬や腐食とその防止にも触れること。「プラスチック」については，その成分の違い，化学構造及び燃焼に関わる安全性にも触れること。「資源の再利用」については，ガラスにも触れること。
###**[[#衣料と食品|㋑【衣料と食品】]]については，
###**:衣料材料として用いられる代表的な天然繊維及び合成繊維，食品中の主な成分である炭水化物，タンパク質及び脂質を扱うこと。「身近な衣料材料の性質」や「食品中の主な成分の性質」については，化学構造との関連にも触れること。
###*[[#生命の科学|(ウ)【生命の科学】]]の
###**[[#ヒトの生命現象|㋐【ヒトの生命現象】]]については，
###**:遺伝子の働き，視覚，血糖濃度の調節，免疫についての基本的な仕組みを扱うこと。その際，遺伝子の働きについては，DNAとタンパク質との関係に触れること。視覚については，体内時計との関連についても触れること。血糖濃度の調節については，糖尿病にも触れること。免疫については，アレルギーにも触れること。
###**[[#微生物とその利用|㋑【微生物とその利用】]]については，
###**:生態系での物質循環における微生物の働き，発酵食品や医薬品への微生物の利用を扱うこと。その際，様々な微生物の存在や微生物の発見の経緯にも触れること。
###*[[#宇宙や地球の科学|(エ)【宇宙や地球の科学】]]の
###**[[#宇宙や地球の科学|㋐【宇宙や地球の科学】]]については，
###**:太陽や月が地球の大気や海洋，人間生活に及ぼす影響を扱うこと。「天体の運動」については，太陽と地球，月の運動を潮汐（せき）と定性的に関連付けて扱うこと。「太陽の放射エネルギー」については，太陽放射の受熱量の違いを大気の運動と関連付けて扱うこと。また，その利用についても触れること。
###**[[#自然景観と自然災害|㋑【自然景観と自然災害】]]については，
###**:地域の自然景観とその変化，自然災害を地域の地質や地形，気候などの特性や地球内部のエネルギーによる変動と関連付けて扱うこと。「身近な自然景観の成り立ち」については，身近な地域の自然景観が長い時間の中で変化してできたことを扱うこと。「自然災害」については，流水の作用や土石流などの作用，地震や火山活動によって発生する災害を扱うこと。また，防災にも触れること。
###[[#これからの科学と人間生活|内容の(3)【これからの科学と人間生活】]]については，[[#人間生活の中の科学|(2)で学習した内容]]を踏まえ，生徒の興味・関心等に応じて，自然や科学技術に関連した課題を設定し考察させること。
--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年9月23日 (水) 03:25 (UTC)</text>
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    <title>線型代数学続論/最小多項式</title>
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      <contributor>
        <username>~2026-51282-49</username>
        <id>92621</id>
      </contributor>
      <comment>ページの作成:「{{ナビゲーション|本=[[線型代数学続論]]|前ページ=[[線型代数学続論/数値線型代数|数値線型代数]]|ページ名=行列値関数|次ページ=[[線形代数学続論/フロベニウス標準形|フロベニウス標準形]]}}  ==定義== {{wikipedia|最小多項式}}  多項式の最高次の係数が1であるとき、その多項式は'''モニック'''であるという。  n次行列&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;に対し :&lt;math&gt;\Psi_\mat…」</comment>
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      <text bytes="7807" sha1="arambpey2uw08h1odbjdvrp9j06pl6s" xml:space="preserve">{{ナビゲーション|本=[[線型代数学続論]]|前ページ=[[線型代数学続論/数値線型代数|数値線型代数]]|ページ名=行列値関数|次ページ=[[線形代数学続論/フロベニウス標準形|フロベニウス標準形]]}}

==定義==
{{wikipedia|最小多項式}}

多項式の最高次の係数が1であるとき、その多項式は'''モニック'''であるという。

n次行列&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;に対し
:&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;
を満たす最小次数のモニック多項式&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda)&lt;/math&gt;を'''最小多項式'''という。

なお、[[線型代数学続論/行列値関数#行列多項式|多項式&lt;math&gt;R(x)=\sum_{i=0}^n c_i x^i&lt;/math&gt;に対して行列多項式が&lt;math&gt;R(\mathbf{A})=\sum_{i=0}^n c_i \mathbf{A}^i&lt;/math&gt;と定義された]]ことに注意。多項式&lt;math&gt;R(x)&lt;/math&gt;を行列多項式&lt;math&gt;R(\mathbf{A})&lt;/math&gt;に置き換えることを俗に「&lt;math&gt;R(x)&lt;/math&gt;に&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;を代入する」という。

最小多項式が零次であるときは定義より&lt;math&gt;\mathbf{E}=\mathbf{O}&lt;/math&gt;なので、零ベクトル空間&lt;math&gt;\{\boldsymbol{0}\}&lt;/math&gt;を考えてることになる。則ち、通常は最小多項式を一次以上の多項式として考える。

==性質==
最小多項式には以下のような性質がある。

{{定理|(最小多項式の基本性質)}}
#&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda) \mid \Phi_\mathbf{A}(\lambda)&lt;/math&gt;（最小多項式は固有多項式の因数）
#&lt;math&gt;\forall i, \Psi_\mathbf{A}(\lambda_i)=0&lt;/math&gt;（固有値は最小多項式の根）
#&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\lambda)=\prod_{i}(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\quad(n_i\geq1)&lt;/math&gt;のとき&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda)=\prod_{i}(\lambda-\lambda_i)^{m_i}\quad(n_i\geq m_i \geq1)&lt;/math&gt;（固有多項式の根全体=最小多項式の根全体）
#&lt;math&gt;\mathbf{A}\sim\mathbf{B}\implies \Psi_\mathbf{A}(\lambda)=\Psi_\mathbf{B}(\lambda)&lt;/math&gt;（相似な行列の最小多項式は等しい）
#&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda)=\prod_{i} (\lambda-\lambda_i)\implies \mathbf{A}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{D}\mathbf{P}&lt;/math&gt;（最小方程式が重解を持たない行列は対角化可能）
{{定理終わり}}

*証明
1.
:多項式の除法の定義より
::&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\lambda)=\Psi_\mathbf{A}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;を代入して
::&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\mathbf{A})=\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{A})q(\mathbf{A})+r(\mathbf{A})&lt;/math&gt;
:ケーリー・ハミルトンの定理より&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;であり、最小多項式の定義より&lt;math&gt;\Psi(\mathbf{A})=\mathbf{O}_m&lt;/math&gt;なのでこの等式が成り立つためには
::&lt;math&gt;r(\mathbf{A})=\mathbf{O}&lt;/math&gt;
:このとき、&lt;math&gt;r(\lambda)\neq0&lt;/math&gt;と仮定すると「最小多項式が&lt;math&gt;R(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;を満たすモニック多項式の中で最小次数である」に反するので
::&lt;math&gt;r(\lambda)=0&lt;/math&gt;
:則ち&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda) \mid \Phi_\mathbf{A}&lt;/math&gt;//
2.
:行列多項式の性質より
::&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{A})\boldsymbol{x}=\Psi_\mathbf{A}(\lambda)\boldsymbol{x}&lt;/math&gt;
:最小多項式の定義より&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;なので
::&lt;math&gt;\mathrm{lhs}.=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathrm{rhs}.=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;であるためには
::&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda)=0&lt;/math&gt;
:則ち、全ての固有値は最小多項式の根。//
3.
:1.及び2.より明らか。//
4.
:&lt;math&gt;\mathbf{A}\sim\mathbf{B} \,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\, \exist \mathbf{P}, \mathbf{A}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P}&lt;/math&gt;だったので、
::&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{B})=\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{P}^{-1})&lt;/math&gt;
:行列の積の分配法則を適用すると
::&lt;math&gt;=\mathbf{P}\Psi_\mathbf{A}(\mathbf{A})\mathbf{P}^{-1}=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;
:則ち&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbf{B}&lt;/math&gt;を代入して零行列となるモニック多項式の一つであり、最小多項式の定義より
::&lt;math&gt;\deg\{\Psi_\mathbf{A}\}\geq\deg\{\Psi_\mathbf{B}\}&lt;/math&gt;
:ここで&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{B}(\mathbf{A})&lt;/math&gt;を考えると同様に&lt;math&gt;\deg\{\Psi_\mathbf{A}\}\leq\deg\{\Psi_\mathbf{B}\}&lt;/math&gt;を得るので、
::&lt;math&gt;\deg\{\Psi_\mathbf{A}\}=\deg\{\Psi_\mathbf{B}\}&lt;/math&gt;
:1.と同様の議論により&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A} \mid \Psi_\mathbf{B}&lt;/math&gt;が示され、&lt;math&gt;\deg\{\Psi_\mathbf{A}\}=\deg\{\Psi_\mathbf{B}\}&lt;/math&gt;よりその商は定数である。
:しかし、最小多項式はモニック多項式なので最高次の係数は1に固定されるため、商は1でなければならない。
:則ち、&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}=\Psi_\mathbf{B}&lt;/math&gt;//
5.
:(執筆中)


1.では「固有多項式を割り切る」ことを証明したが、4.で示唆されたようにこれは「&lt;math&gt;R(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n&lt;/math&gt;を満たす行列多項式」に置き換えても成り立つ。

ここで&lt;math&gt;\mathcal{I}_\mathbf{A}=\{ R(x) \in \mathbb{K}[x] \mid R(\mathbf{A})=\mathbf{O}_n \}&lt;/math&gt;と置いてみると、&lt;math&gt;\mathcal{I}_\mathbf{A}&lt;/math&gt;は&lt;math&gt;\mathbb{K}[x]&lt;/math&gt;のイデアルとなる。そして、最小多項式はこのイデアルのモニックな生成元である。則ち、上の性質はイデアルで考えてみると腑に落ちるであろう。


*発展問題
**最小多項式と固有多項式が一致する行列が巡回行列であることを証明せよ。


==計算と応用==
最小多項式の具体表示は、先ほど証明した性質を用いれば容易に求まる。

例えば、&lt;math&gt;\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;の最小多項式を求める。
:&lt;math&gt;\Phi_\mathbf{A}(\lambda)=\det(\lambda\mathbf{E}_3-\mathbf{A})=(\lambda-2)(\lambda-1)^2-(\lambda-2)=\lambda^2(\lambda-2)&lt;/math&gt;
最小多項式は固有多項式の因数なのでその候補は&lt;math&gt;\lambda, \lambda-2, \lambda^2, \lambda(\lambda-2), \lambda^2(\lambda-2)&lt;/math&gt;の5つである。これらを行列多項式に置き換えて零行列になるかどうか調べる。
:&lt;math&gt;\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathbf{A}-2\mathbf{E}_3=\begin{pmatrix} -1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; -1  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathbf{A}^2=\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 2 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 &amp; 0 &amp; 2 \\ 0 &amp; 4 &amp; 0 \\ 2 &amp; 0 &amp; 2 \end{pmatrix}=2\mathbf{A}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathbf{A}(\mathbf{A}-2\mathbf{E}_3)=\mathbf{A}^2-2\mathbf{A}=2\mathbf{A}-2\mathbf{A}=\mathbf{O}_3&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\mathbf{A}^2(\mathbf{A}-2\mathbf{E}_3)=\mathbf{AO}_3=\mathbf{O}_3&lt;/math&gt;
よって零行列となるのは&lt;math&gt;\lambda(\lambda-2)&lt;/math&gt;と&lt;math&gt;\lambda^2(\lambda-2)&lt;/math&gt;であり、最小多項式は次数が最も低いものなので
:&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(\lambda)=\lambda(\lambda-2)&lt;/math&gt;
である。

ここで、固有多項式より固有値は&lt;math&gt;0, 2&lt;/math&gt;であり、何れも最小多項式の根であることが容易にわかる。


ここの計算から、一次式&lt;math&gt;\lambda-a&lt;/math&gt;を最小多項式とする行列が&lt;math&gt;a\mathbf{E}_n&lt;/math&gt;しかないことも判る。


漸化式をケーリー・ハミルトンの定理によって計算する方法は既に扱ったが、次数下げに用いる多項式を固有多項式から最小多項式に変えることによって計算をかなり楽にすることができる。

具体的には、最高次単項式&lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;に対して&lt;math&gt;\Psi_\mathbf{A}(x)&lt;/math&gt;を法とする剰余算を考えることになる。


[[Category:線形代数学]]</text>
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    <title>ガリア戦記 第7巻/注解/33節</title>
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      <id>303920</id>
      <timestamp>2026-09-23T11:33:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Linguae</username>
        <id>449</id>
      </contributor>
      <comment>33節</comment>
      <origin>303920</origin>
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      <text bytes="16026" sha1="tg9ka84cdjj5ntwcnkyvofdzwttwilx" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;C &amp;middot; IVLII &amp;middot; CAESARIS &amp;middot; COMMENTARIORVM &amp;middot; BELLI &amp;middot; GALLICI&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;&quot;&gt;LIBER &amp;middot; SEPTIMVS&lt;/div&gt;
&lt;br&gt;
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| style=&quot;background:#eef; text-align:center;&quot;|
&amp;nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] |
[[ガリア戦記 第7巻/注解/34節|34節]] &amp;nbsp;
|}
__notoc__
== 原文テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。&lt;/ref&gt; 


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;テキスト引用についての注記


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 整形テキスト ==
&lt;div style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;&quot;&gt;&lt;ref&gt;整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。&lt;/ref&gt; 


&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;!--❶--&gt;&lt;!--❷--&gt;&lt;!--❸--&gt;&lt;!--❹--&gt;&lt;!--❺--&gt;&lt;!--❻--&gt;&lt;!--❼--&gt;&lt;!--❽--&gt;&lt;!--❾--&gt;&lt;!--❿--&gt;&lt;!--⓫--&gt;&lt;!--⓬--&gt;&lt;sup&gt;&lt;/sup&gt; 
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;注記
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*原文の &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:alliciebat#Latin|alliciēbat]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], [[wikt:en:clientis|clientīs]], [[wikt:en:cohortis|cohortīs]], [[wikt:en:coicere|coicere]], [[wikt:en:coicerent|coicerent]], [[wikt:en:coici|coicī]], [[wikt:en:coiciant|coiciant]], [[wikt:en:coiciebant|coiciēbant]], [[wikt:en:coiciunt|coiciunt]], [[wikt:en:coiecerant|coiēcerant]], [[wikt:en:coiecerunt|coiēcērunt]], [[wikt:en:coiecisse|coiēcisse]], [[wikt:en:coiecta|coiecta]], [[wikt:en:coiecti|coiectī]], [[wikt:en:coiectis|coiectīs]], [[wikt:en:collatis|collātīs]], [[wikt:en:collaudantur|collaudantur]], [[wikt:en:collaudat|collaudat]],  [[wikt:en:collaudatis#Participle|collaudātīs]], [[wikt:en:collis#Latin|collīs]], [[wikt:en:collocabant|collocābant]], [[wikt:en:collocabat|collocābat]], [[wikt:en:collocandis|collocandīs]], [[wikt:en:collocant#Latin|collocant]], [[wikt:en:collocantur#Latin|collocantur]], [[wikt:en:collocarat|collocārat]], [[wikt:en:collocare#Latin|collocāre]], [[wikt:en:collocaret|collocāret]], [[wikt:en:collocari|collocārī]], [[wikt:en:collocatas|collocātās]], [[wikt:en:collocati#Latin|collocātī]], [[wikt:en:collocatis#Participle|collocātīs]], [[wikt:en:collocaverat#Latin|collocāverat]], [[wikt:en:collocavit|collocāvit]], [[wikt:en:collocuti|collocūtī]], [[wikt:en:colloquantur|colloquantur]], [[wikt:en:colloquendi|colloquendī]], [[wikt:en:colloqui#Latin|colloquī]], [[wikt:en:colloquium#Latin|colloquium]], [[wikt:en:communis#Latin|commūnīs]], [[wikt:en:compluribus|complūribus]], [[wikt:en:compluris|complūrīs]], [[wikt:en:comprehensis|comprehēnsīs]], [[wikt:en:comprehensos|comprehēnsōs]], [[wikt:en:conantis|cōnantīs]], [[wikt:en:consili|cōnsilī]], [[wikt:en:directus#Latin|dīrēctus]], [[wikt:en:dubitantis#Participle_2|dubitantīs]], [[wikt:en:effarciuntur#Latin|effarciuntur]], [[wikt:en:egredientis#Etymology_2|ēgredientīs]], [[wikt:en:ei#Latin|eī]], [[wikt:en:eis#Latin|eīs]], [[wikt:en:existit#Latin|existit]], [[wikt:en:expectent#Latin|expectent]], [[wikt:en:exposcentis#Participle_2|exposcentīs]], [[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]], [[wikt:en:ferventis#Latin|ferventīs]], [[wikt:en:finis#Latin|fīnīs]], [[wikt:en:glandis#Latin|glandīs]], [[wikt:en:haesitantis#Participle_2|haesitantīs]], [[wikt:en:hostis#Latin|hostīs]], [[wikt:en:ignis#Latin|ignīs]], [[wikt:en:illatas|illātās]], [[wikt:en:illustrem#Latin:_adjective|illūstrem]], [[wikt:en:immittit|immittit]], [[wikt:en:immittunt|immittunt]], [[wikt:en:imparatum|imparātum]], [[wikt:en:impedita#Latin|impedīta]], [[wikt:en:imperi#Latin|imperī]], [[wikt:en:imprudentia#Noun|imprūdentia]], [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumīs]], [[wikt:en:indignantis#Participle_2|indignantīs]], [[wikt:en:inopinantis#Adjective_2|inopīnantīs]], [[wikt:en:irridere#Latin|irrīdēre]], [[wikt:en:irrumpere|irrumpere]], [[wikt:en:irrumpit|irrumpit]], [[wikt:en:irruperunt|irrūpērunt]], [[wikt:en:laborantis#Etymology_2|labōrantīs]], [[wikt:en:montis|montīs]], [[wikt:en:natalis#Latin|nātālīs]], [[wikt:en:navis#Latin|nāvīs]], [[wikt:en:negoti|negōtī]], nōn nūllae, nōn nūllōs, [[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:testis#Latin|testīs]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]]  &lt;/span&gt; などは、&lt;br&gt;それぞれ &lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], [[wikt:en:clientes#Latin|clientēs]], [[wikt:en:cohortes#Latin|cohortēs]], [[wikt:en:conicere|conicere]], [[wikt:en:conicerent|conicerent]], [[wikt:en:conici#Latin|conicī]], [[wikt:en:coniciant|coniciant]], [[wikt:en:coniciebant|coniciēbant]], [[wikt:en:coniciunt|coniciunt]], [[wikt:en:coniecerant|coniēcerant]], [[wikt:en:coniecerunt|coniēcērunt]], [[wikt:en:coniecisse|coniēcisse]], [[wikt:en:coniecta|coniecta]], [[wikt:en:coniecti|coniectī]], [[wikt:en:coniectis|coniectīs]], [[wikt:en:conlatis|conlātīs]], [[wikt:en:conlaudantur|conlaudantur]], [[wikt:en:conlaudat|conlaudat]], [[wikt:en:conlaudatis#Participle|conlaudātīs]], [[wikt:en:colles#Latin|collēs]], [[wikt:en:conlocabant|conlocābant]], 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[[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:testes#Latin|testēs]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]]  &lt;/span&gt; などとした。
--&gt;


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:#b00;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;color:#800;&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;span style=&quot;font-size:10pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;background-color:#ff0;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== 注解 ==
=== 1項 ===
&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:20pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

;語釈


&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;


&lt;span style=&quot;background-color:#ccffcc;&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;!--
;対訳
《　》　内は、訳者が説明のために補った語。&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;{&lt;/span&gt;　&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:30pt;&quot;&gt;}&lt;/span&gt;　内は関係文。

&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:15pt;&quot;&gt;&lt;/span&gt;
--&gt;

== 訳文 ==
*&lt;span style=&quot;background-color:#dff;&quot;&gt;訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#33節]]&lt;/span&gt;

== 脚注 ==
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== 解説 ==


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{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
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== 関連項目 ==
*[[ガリア戦記]]
**[[ガリア戦記/注解編]]
***[[ガリア戦記 第7巻/注解]]
**[[ガリア戦記/用例集]]

== 関連記事 ==
== 外部リンク ==


[[Category:ガリア戦記 第7巻|33節]]</text>
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