Wikibooks jawikibooks https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8 MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter メディア 特別 トーク 利用者 利用者・トーク Wikibooks Wikibooks・トーク ファイル ファイル・トーク MediaWiki MediaWiki・トーク テンプレート テンプレート・トーク ヘルプ ヘルプ・トーク カテゴリ カテゴリ・トーク Transwiki Transwiki‐ノート TimedText TimedText talk モジュール モジュール・トーク Event Event talk 1 1948 304252 304207 2026-10-04T05:25:21Z Nermer314 62933 /* 統合提案 */ 返信 304252 wikitext text/x-wiki 物理の一般教科書としては何が必要でしょうか? (この質問をするまでに随分苦労があったなあ...。 まず数学を書く必要があったし...。) とりあえず *力学 *電磁気学 *量子力学 *量子論 *超ひも理論 *時間論 *解析力学 *特殊相対論 などが挙げられそうです。しかし、教養の範囲で 扱う物理(つまり、理学部以外の人も習うことになる物理) については別扱いをした方が良いと思います。 実際問題としてそれ以上の物理を学びたいと思う人が そうたくさんいるとは思わないですし...。:-) そういう意味では、特に *力学 *電磁気学 は別格になりそうです。 --[[利用者:T.Uesugi|T.Uesugi]] 2005年5月8日 (日) 09:06 (UTC) == 要望、感想を書く欄== 何か、要望、感想、内容に関する提案がありましたらこちらまでどうぞ。 ===Tranwiki:物理学より=== [[Tranwiki:物理学]]から転記します。[[利用者:Electric goat|e-Goat]] 2007年6月10日 (日) 13:33 (UTC) 目次 #[[物理学入門]] #[[物理数学]] #[[古典力学]]（[[ニュートン力学]]・[[解析力学]]） #[[連続体の力学]] #[[振動と波動]] #[[光学]] #[[電磁気学]] #[[熱力学]] #[[統計力学]] #[[解析力学]] #[[相対性理論]]（[[特殊相対性理論]]・[[一般相対性理論:入門編]]・[[一般相対性理論:上級編]]） #[[量子力学]] #[[場の量子論]] #[[物性物理学]] #[[原子核物理学]] #[[素粒子物理学]] #[[宇宙物理学]]・[[宇宙論]] #[[カオス]] など ==単位？== この単位って概念はなんですか？どうやら日本語版の物理学だけにあるような気がするんですが。。。 --[[利用者:H335|H335]] 2008年9月22日 (月) 16:59 (UTC) == 一般教養課目と専門科目の区分を教えて下さい。 == ①物理学の一般教養課目と専門科目の違いです。 ②[[初等物理学公式集]]の公式も、一般教養課目と専門科目に分けられますか。 (ついでに) ③ページにリンクアイコン?テンプレート?の追加。よろしくお願いします。 「ウィキペディアに一般相対性理論の記事があります。」を、ページの最後でも。 (例)[[トランプ#関連項目]] w:トランプ ＞...「従来のフォーマットの制約で伝わらせることが困難であれば、その旨をプロジェクトとして議論し統一的な書式への改善により対応したいと考えます。」....(利用者・トーク:Tomzoより) 配置のガイドラインがないと思います。 ページの最初にアイコン?があると、スクロールが多くなる事に気づきました。(例) [[量子力学]] ④<nowiki>{{stub}}</nowiki>　もページ最後だと、スクロール小?楽?かも。(例)[[量子力学]] ⑤(wikipediaの守備範囲かもしれませんが) 年表。おすすめの外部リンクでも。English版でも 1950年代　 　abcさん　○○発表 1960年代　 　efg博士　△△発見 ⑥「光より速いもの 存在しない」は特殊相対論ですか。 ＞...編集者にとっては、チェック等の労を要しかなり迷惑です。...(トーク:量子力学より) 私は、「小学生にでも量子力学がわかるように記述しろ」(〃) と思っていませんので、 以上、ご迷惑にならない程度でよろしくお願いします。 (参考) [[物理学]] ・一般教養課目 ... 特殊相対論 ... ・専門科目 ,... 一般相対性理論　?一般相対論とも呼ばれる。 (参考) 乃木坂46の37作目のシングルB面 [[w:歩道橋 (曲)#相対性理論に異議を唱える]]センター岡本姫奈 [[w:群馬県立ぐんま天文台#ミュージックビデオ]] 「...光より速いもの　存在しないなんて...相対性理論を信じない...」--[[利用者:Tkkn46tkkn46|Tkkn46tkkn46]] ([[利用者・トーク:Tkkn46tkkn46|トーク]]) 2026年4月5日 (日) 09:56 (UTC) == 統合提案 == [[量子力学II]]を本ページに統合。分岐ページではあるものの分岐先ページが2個しかなく、階層化までは不要と考えるため。議論は[[ノート:物理学]]にて。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年9月29日 (火) 22:26 (UTC) : [[量子力学II]]作成の経緯から言っても統合先は[[量子力学]]ではないでしょうか。現状まで水先案内のページであり、また実質的内容は[[量子力学II]]にこれまで書かれてこなかったため、統合と言っても[[量子力学II]]を[[量子力学]]へのリダイレクトとし、2つのサブページの内容を[[量子力学]]でインクルードすることになるのかもしれませんが。 --[[利用者:Kyube|kyube]] ([[利用者・トーク:Kyube|トーク]]) 2026年9月30日 (水) 01:35 (UTC) ::ご指摘はごもっともで、見返したところ、分岐先ページが、ともに[[量子力学]]からの分岐となっていたため、提案を修正しようかと考えていたところ、[[物理学]]のページでは、[[量子力学]]は[[物理学#一般教養課目]]のカテゴリに、[[量子力学II]]は[[物理学#専門科目]]のカテゴリとなっているため、そのまま、量子力学に統合するのが良いかは判断できません（既にリンク元はあるので個々の記事の統合作業は発生せず）。最初に書かれた経緯（[[トーク:量子力学II]]）でも言及されていますが、[https://ja.wikibooks.org/w/index.php?title=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6II&oldid=7196 この時点（2005-06-19T13:21:08時点）]以来成長が見られないことから、一旦独立ページとするのをやめてもいいかなとも思います（教科書のレベル感は「書庫」機能の[[物理学]]で示す）。有識者が、先せいすべきページのリンクを追加するのが望ましいところですが。--[[利用者:Tomzo|Tomzo]] ([[利用者・トーク:Tomzo|トーク]]) 2026年9月30日 (水) 23:18 (UTC) :::[[量子力学II]]は[[量子力学]]に統合するのが妥当だと思います。一般にI,IIと分かれているページも統合することを提案します。おそらくI,IIがそれぞれ大学の半期の授業に相当するものとして書かれたものですが、当然大学や教授によって扱う範囲は異なるためページごとの内容の範囲が分からず不便です。また一般教養がI,専門科目がIIと分類されていますが、一般教養と専門科目という分類も自明ではないのでこの分類を廃止してまとめるのがよいと思います。--[[利用者:Nermer314|Nermer314]] ([[利用者・トーク:Nermer314|トーク]]) 2026年10月4日 (日) 05:25 (UTC) g2e98qja13qp4aev51njetjpoibe0r4 0 12163 304264 304057 2026-10-04T10:55:25Z Linguae 449 /* 33節 */ 修整 304264 wikitext text/x-wiki [[Category:ガリア戦記|7]] [[Category:ガリア戦記 第7巻|*]] [[ガリア戦記]]＞&nbsp;'''第7巻'''&nbsp;＞[[ガリア戦記 第7巻/注解|注解]] <div style="text-align:center"> <span style="font-size:20px; font-weight:bold; font-variant-caps: petite-caps; color:white; background: rgb(47,94,255);background: linear-gradient(180deg, rgba(47,94,255,1) 0%, rgba(24,56,255,1) 50%, rgba(0,8,255,1) 100%);">&nbsp;C&nbsp;IVLII&nbsp;CAESARIS&nbsp;COMMENTARIORVM&nbsp;BELLI&nbsp;GALLICI&nbsp;</span> <span style="font-size:40px; font-weight:bold; color:white; background: rgb(47,94,255);background: linear-gradient(180deg, rgba(47,94,255,1) 0%, rgba(24,56,255,1) 50%, rgba(0,8,255,1) 100%);">&nbsp;LIBER SEPTIMVS&nbsp;</span> </div> [[画像:Gaule -52.png|thumb|right|150px|ガリア戦記 第7巻の情勢図（BC52年）。<br>黄色の領域がローマ領。桃色が同盟部族領。]] {| id="toc" style="align:left;clear:all;" align="left" cellpadding="5" ! style="background:#ccccff; text-align:left;" colspan="2" | ガリア戦記 第7巻 目次 |- | style="text-align:right; font-size: 0.86em;"| '''[[#カルヌーテース族の蜂起|カルヌーテース族の蜂起]]''':<br /> '''[[#ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起|ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起]]''':<br /> <br /> '''[[#アウァーリクム攻略戦|アウァーリクム攻略戦]]''':<br /> <br /> <br /> '''[[#ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反|ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反]]''':<br /> <br /> <br /> '''[[#ラビエーヌスのルテティア遠征|ラビエーヌスのルテティア遠征]]''':<br /> '''[[#ガッリア戦乱の拡大|ガッリア戦乱の拡大]]''':<br /> '''[[#アレスィア攻囲戦|アレスィア攻囲戦]]''':<br /> <br /> <br /> '''[[#ガッリア同盟軍主力の降伏|ガッリア同盟軍主力の降伏]]''':<br /> <br /> <br /> | style="text-align:left; font-size: 0.86em;"| [[#1節|01節]] | [[#2節|02節]] | [[#3節|03節]] <br /> [[#4節|04節]] | [[#5節|05節]] | [[#6節|06節]] | [[#7節|07節]] | [[#8節|08節]] | [[#9節|09節]] | [[#10節|10節]] <br /> [[#11節|11節]] | [[#12節|12節]] | [[#13節|13節]] <br /> [[#14節|14節]] | [[#15節|15節]] | [[#16節|16節]] | [[#17節|17節]] | [[#18節|18節]] | [[#19節|19節]] | [[#20節|20節]] <br /> [[#21節|21節]] | [[#22節|22節]] | [[#23節|23節]] | [[#24節|24節]] | [[#25節|25節]] | [[#26節|26節]] | [[#27節|27節]] | [[#28節|28節]] | [[#29節|29節]] | [[#30節|30節]] <br /> [[#31節|31節]] <br /> [[#32節|32節]] | [[#33節|33節]] | [[#34節|34節]] | [[#35節|35節]] | [[#36節|36節]] | [[#37節|37節]] | [[#38節|38節]] | [[#39節|39節]] | [[#40節|40節]] <br /> [[#41節|41節]] | [[#42節|42節]] | [[#43節|43節]] | [[#44節|44節]] | [[#45節|45節]] | [[#46節|46節]] | [[#47節|47節]] | [[#48節|48節]] | [[#49節|49節]] | [[#50節|50節]] <br /> [[#51節|51節]] | [[#52節|52節]] | [[#53節|53節]] | [[#54節|54節]] | [[#55節|55節]] | [[#56節|56節]] <br /> [[#57節|57節]] | [[#58節|58節]] | [[#59節|59節]] | [[#60節|60節]] | [[#61節|61節]] | [[#62節|62節]] <br /> [[#63節|63節]] | [[#64節|64節]] | [[#65節|65節]] | [[#66節|66節]] | [[#67節|67節]] <br /> [[#68節|68節]] | [[#69節|69節]] | [[#70節|70節]] <br /> [[#71節|71節]] | [[#72節|72節]] | [[#73節|73節]] | [[#74節|74節]] | [[#75節|75節]] | [[#76節|76節]] | [[#77節|77節]] | [[#78節|78節]] | [[#79節|79節]] | [[#80節|80節]] <br /> [[#81節|81節]] | [[#82節|82節]] | [[#83節|83節]] | [[#84節|84節]] | [[#85節|85節]] | [[#86節|86節]] | [[#87節|87節]] | [[#88節|88節]] <br /> [[#89節|89節]] | [[#90節|90節]] <br /> [[#脚注|脚注]]<br /> [[#参考リンク|参考リンク]]<br /> |} <br style="clear:both;" /> __notoc__ ==カルヌーテース族の蜂起== ===1節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/1節]]　{{進捗|00%|2025-10-26}}</span> [[画像:Maccari-Cicero.jpg|thumb|right|250px|[[w:カティリナ弾劾演説|カティリーナ弾劾演説]]をする[[w:マルクス・トゥッリウス・キケロ|キケロー]](左中央)（チェザレ・マッカリによる19世紀のフレスコ画）。[[w:プブリウス・クロディウス・プルケル|クローディウス]]はこれを越権行為であるとして、カエサルの政敵となっていたキケローを一時的に亡命へ追い込み、ついにはキケローの友人ミローの配下によって殺害された。]] [[画像:Pompei_Magnus_Antiquarium.jpg|thumb|right|250px|[[w:グナエウス・ポンペイウス|グナエウス・ポンペイウス]]の胸像。クローディウス殺害に伴う騒乱を収拾するべく、[[w:元老院|元老院]]によりポンペイウスが単独の[[w:執政官|執政官]]に選出され、首都ローマと本土イタリアを制圧した。一方、カエサルも属州で新たに徴兵して兵力を増した。元老院派はカエサルの勢力が強大になることを恐れて、カエサル自身から将兵を取り上げて召還すべきと主張したが、ポンペイウスは不和を避けて宥和を図った。]] :　 ;首都ローマの政情不安、ガッリア人領袖たちの謀計 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:quietus#Latin|Quieta]] [[wikt:en:Gallia#Latin|Gallia]], **[[w:ガリア|ガッリア]]が鎮定されると、 *Caesar, ut [[wikt:en:constituerat|constituerat]], **カエサルは、定めていたように、 *in [[wikt:en:Italia#Latin|Italiam]] ad [[wikt:en:conventus#Noun|conventus]] [[wikt:en:agendus#Latin|agendos]] [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]. **イタリアに、巡回裁判を行なうために出発する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ここでいうイタリアとは、カエサルの属州であった<br>　　　　[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]を指す。<br>　　　　カエサルは、巡回裁判を除けば、おもに[[w:ラヴェンナ|ラウェンナ]]に<br>　　　　滞在していたと考えられる。[[内乱記_第1巻#5節|『内乱記』第1巻5節]]を参照。）</span> :　 *[[wikt:en:ibi#Latin|Ibi]] [[wikt:en:cognoscit|cognoscit]] de &lt;P.&gt; [[wikt:en:Clodius#Latin|Clodii]] [[wikt:en:caedes#Latin|caede]], **そこで[[w:プブリウス・クロディウス・プルケル|プーブリウス・クローディウス]]の殺害について知って、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：クローディウスは護民官を務めた<ruby><rb>[[w:ポプラレス|民衆派]]</rb><rp>（</rp><rt>ポプラレス</rt><rp>）</rp></ruby> の政治家で、<br>　　　　カエサルから恩義を受けていた。<br>　　　　　かの弁論家[[w:マルクス・トゥッリウス・キケロ|キケロー]]やその友人ティトゥス・ミロー [[w:la:Titus_Annius_Milo|Milo]] ら<br>　　　　<ruby><rb>[[w:オプティマテス|元老院派]]</rb><rp>（</rp><rt>オプティマテス</rt><rp>）</rp></ruby> と激しく対立し、ミローの配下によって殺害された。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：&lt;P.&gt; ([[wikt:en:Publius#Latin|Publii]]) 「プーブリウスの」は &rho;系写本にのみ記されている。）</span> *&lt;de&gt; <u>senatus</u>que <u>consulto</u> [[wikt:en:certior#Latin|certior]] [[wikt:en:factus#Participle|factus]], ut omnes [[wikt:en:iunior#Latin|iuniores]] Italiae [[wikt:en:coniurarent|coniurarent]], **イタリアの全青年に<small>（新兵として）</small>宣誓するようにとの元老院決議について知らされて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：この事態を収拾すべく元老院派の[[w:グナエウス・ポンペイウス|ポンペイウス]]が単独の執政官<br>　　　　（''[[w:de:Consul sine collega|consul sine collega]]''）に選任されて本土イタリアを掌握した。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：&lt;de&gt; は現存する写本にはなく、近世以降に挿入提案されたもの。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：&nbsp;　[[wikt:en:senatus_consultum#Latin|senātūs cōnsultum]] ([[wikt:en:ultimus#Latin|ultimum]]) 「[[w:セナトゥス・コンスルトゥム・ウルティムム|元老院(の最終)決議]]」<br>　　　； dē [[wikt:en:senatus_consulto#Latin|senātūs cōnsultō]] 「元老院決議について」）</span> *<u>dilectum</u> [[wikt:en:totus#Latin|tota]] [[wikt:en:provincia#Latin|provincia]] habere [[wikt:en:instituo#Latin|instituit]]. **<small>（カエサルは）</small>属州<small>〔ガッリア・キサルピーナ〕</small>全体での徴集をすることを決定する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:dilectus#Noun|dilectum]] は、[[wikt:en:delectus#Noun_2|delectum]] と表記している校訂版もある。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Eae res in Galliam [[wikt:en:transalpinus#Latin|Transalpinam]] celeriter [[wikt:en:perferuntur|perferuntur]]. **その状況は、[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・トラーンサルピーナ]]<small>〔アルプスの向こう側のガッリア〕</small>に速やかに報知された。 :　 *[[wikt:en:addunt|Addunt]] ipsi et [[wikt:en:adfingunt|adfingunt]] [[wikt:en:rumor#Latin|rumoribus]] [[wikt:en:Galli#Latin|Galli]], **[[w:ガリア人|ガッリア人]]たち自身が風評に想像して付け加えたのは、 *quod res [[wikt:en:poscere|poscere]] [[wikt:en:videbatur|videbatur]]: **事態が要求すると思われていたことで、 *[[wikt:en:retineri|retineri]] <u>urbano</u> [[wikt:en:motus#Noun_2|motu]] Caesarem **カエサルは、都<small>〔[[w:ローマ|ローマ市]]〕</small>の騒乱に束縛されて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:urbanus#Adjective|urbānus]] は「都市の」「都会の」と訳されるが、<br>　　　　とりわけ「首都[[w:ローマ|ローマ市]]の」を意味する。）</span> *neque in [[wikt:en:tantus#Latin|tantis]] [[wikt:en:dissensio#Latin|dissensionibus]] ad [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] venire posse. **これほどの対立においては、軍隊のもとへ来ることができない、<br>ということである。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Hac [[wikt:en:impulsus#Participle|impulsi]] [[wikt:en:occasio#Latin|occasione]], **このような好機に刺激されて、 *qui iam ante se [[wikt:en:populus#Noun|populi]] Romani [[wikt:en:imperium#Latin|imperio]] [[wikt:en:subiectus#Latin|subiectos]] [[wikt:en:dolerent|dolerent]], **すでに以前から自分たちがローマ国民の支配に服属させられているのを悲嘆している者たちは、 *[[wikt:en:libere#Adverb_2|liberius]] atque [[wikt:en:audacter#Latin|audacius]] de bello [[wikt:en:consilium#Latin|consilia]] [[wikt:en:inire|inire]] [[wikt:en:incipiunt|incipiunt]]. **より自由に、かつ、より向こう見ずに、戦争について謀議に取りかかり始める。 :　 [[画像:Brennus_mg_9724.jpg|thumb|right|250px|[[w:ブレンヌス|ブレンヌス]]の胸像。BC4世紀（[[w:紀元前387年|387年]]）に、ローマ軍を破って、ローマ市を占領した。アッコーと同じセノネース族の族長だったとされている。]] *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:indictus#Latin|Indictis]] inter se principes Galliae [[wikt:en:concilium#Latin|conciliis]] [[wikt:en:silvestris#Latin|silvestribus]] ac [[wikt:en:remotus#Latin|remotis]] locis **ガッリアの領袖たちは、森林や人里離れた場所での会合を互いに申し合わせて、 *[[wikt:en:queruntur|queruntur]] de [[wikt:en:Acco#Latin|Acconis]] [[wikt:en:mors#Latin|morte]]; **アッコーの死について嘆く。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[ガリア戦記 第6巻#44節|第6巻44節]]を参照。）</span> *<u>posse</u> hunc [[wikt:en:casus#Latin|casum]] ad ipsos [[wikt:en:recidere#Verb_4|recidere]] [[wikt:en:demonstrant#Latin|demonstrant]]; **彼<small>〔アッコー〕</small>の結末が彼ら自身へ降りかかりうることを説く。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:posse#Verb|posse]] の位置は、<br>　　　　&alpha;系写本では hunc の前だが、<br>　　　　&beta;系写本では hunc casum ad ipsos recidere <u>posse</u> demonstrant <br>　　　　となっている。）</span> :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:miserantur|miserantur]] [[wikt:en:communis#Latin|communem]] Galliae [[wikt:en:fortuna#Latin|fortunam]]; **ガッリア共通の境遇をあわれむ。 *omnibus [[wikt:en:pollicitatio#Latin|pollicitationibus]] ac [[wikt:en:praemium#Latin|praemiis]] [[wikt:en:deposcunt|deposcunt]] **<small>（以下の者たちを）</small>あらゆる約束と恩賞によって求める。 *qui [[wikt:en:bellum#Latin|belli]] <u>initia</u> [[wikt:en:faciant|faciant]] et sui [[wikt:en:caput#Latin|capitis]] [[wikt:en:periculum#Latin|periculo]] Galliam in [[wikt:en:libertas#Latin|libertatem]] [[wikt:en:vindicent|vindicent]]. **戦端を開いて、自らを危険にさらしても、ガッリアを解放する者たちを。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：～ in libertatem vindicare；～を解放する）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:initia#Latin|initia]] (複数形) だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:initium#Latin|initium]] (単数形) となっている。）</span> :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ In primis [[wikt:en:ratio#Latin|rationem]] esse [[wikt:en:habendus#Latin|habendam]] [[wikt:en:dicunt|dicunt]], **とりわけ、<small>（以下のような）</small>方策を採るべきであると述べる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:in_primis#Latin|in primis]] は、[[wikt:en:inprimis#Adverb| inprimis]] と表記している校訂版もある。）</span> *[[wikt:en:priusquam#Latin|prius quam]] eorum [[wikt:en:clandestinus#Latin|clandestina]] consilia [[wikt:en:efferantur|efferantur]], **彼らの秘密の計画が漏らされるより前に、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：反ローマの挙兵のはかりごとが漏れる前に）</span> *ut Caesar ab [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitu]] [[wikt:en:intercludatur|intercludatur]]. **カエサルが軍隊から切り離されるように、と。 :　 *<!--❼-->⁽⁷⁾ Id esse [[wikt:en:facilis#Latin|facile]], **それは容易なことである。 *quod neque legiones [[wikt:en:audeant|audeant]] [[wikt:en:absens#Latin|absente]] [[wikt:en:imperator#Latin|imperatore]] ex [[wikt:en:hiberna#Noun|hibernis]] [[wikt:en:egredi|egredi]], **というのは、[[w:ローマ軍団|諸軍団]]は将軍<small>〔カエサル〕</small>が不在のときにあえて冬営から出て行こうとはしないし、 *neque [[wikt:en:imperator#Latin|imperator]] sine [[wikt:en:praesidium#Latin|praesidio]] ad legiones [[wikt:en:pervenire#Latin|pervenire]] [[wikt:en:possit|possit]]. **将軍は護衛なしに諸軍団のところへ到着することはできないのだから。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❽-->⁽⁸⁾ [[wikt:en:postremo#Adverb|Postremo]] in [[wikt:en:acies#Latin|acie]] <u>praestare</u> [[wikt:en:interfici|interfici]], **結局のところ、戦列において討ち死にする方がましである。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[wikt:en:praestare|praestare]] ～ [[wikt:en:quam#Adverb|quam]] …「…よりも～がより優る」）</span> *<u>quam</u> non [[wikt:en:vetus#Latin|veterem]] belli [[wikt:en:gloria#Latin|gloriam]] [[wikt:en:libertas#Latin|libertatem]]<nowiki>que</nowiki> quam a [[wikt:en:maior#Noun|maioribus]] [[wikt:en:acceperint|acceperint]], [[wikt:en:recuperare#Latin|recuperare]]. **先祖から受け継いだかつての戦争の栄誉および自由を取り戻さないことよりは。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===2節=== [[画像:Chartres_1.jpg|thumb|right|320px|カルヌーテース族（[[w:la:Carnutes|Carnutes]]）の名を残す現在の[[w:シャルトル|シャルトル]]（[[w:en:Chartres|Chartres]]）の象徴である[[w:シャルトル大聖堂|シャルトル大聖堂]]（[[w:世界遺産|世界遺産]]）。[[ガリア戦記 第6巻#13節|第6巻13節]]⑩項で既述のように、カルヌーテース族の土地はガッリアの中心・聖地と見なされていた。ガッリアがキリスト教化されると、[[w:司教|司教座]]が置かれて、宗教的中心地となった。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/2節]]　{{進捗|00%|2025-11-05}}</span> ;ガッリア諸部族の会合で、カルヌーテース族が開戦動議 :　　 *<!--❶-->⁽¹⁾ His rebus [[wikt:en:agitatus#Latin|agitatis]], **これらの事柄が論議されて、 *[[wikt:en:profiteor#Latin|profitentur]] [[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnutes]], **カルヌーテース族の者が公言したことには、 *se [[wikt:en:nullus#Determiner|nullum]] [[wikt:en:periculum#Latin|periculum]] [[wikt:en:communis#Latin|communis]] [[wikt:en:salus#Latin|salutis]] causa [[wikt:en:recusare#Latin|recusare]], **<small>（ガッリア）</small>共通の安全のためにはいかなる危険をも辞さない、 *[[wikt:en:princeps#Latin|principes]]<nowiki>que</nowiki> ex omnibus bellum [[wikt:en:facturus#Latin|facturos]] [[wikt:en:pollicentur|pollicentur]]; **かつ<small>（ガッリア方）</small>総勢の先鋒として戦争を遂行するであろうと約束する。 :　　 *<!--❷-->⁽²⁾ et, [[wikt:en:quoniam#Latin|quoniam]] in [[wikt:en:praesentia#Noun|praesentia]] [[wikt:en:obses#Latin|obsidibus]] [[wikt:en:cavere#Verb_2|cavere]] inter se non [[wikt:en:possint|possint]], **目下のところ、人質により互いに保証し合うことはできなかったので、 *ne res [[wikt:en:efferatur|efferatur]], **事が漏らされないように、 *<u>ut</u> [[wikt:en:ius_iurandum#Latin|iure iurando]] ac [[wikt:en:fides#Latin|fide]] [[wikt:en:sanciatur|sanciatur]], [[wikt:en:petunt|petunt]], **誓約と信義でもって批准するように求める。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、写本ST^c では ut だが、<br>　　　　　　　　　写本 T¹･&rho;系では at 、<br>　　　　　　　　　写本BMLNV･&chi;系では aut となっている。）</span> *[[wikt:en:conlatus#Latin|conlatis]] [[wikt:en:militaris#Adjective|militaribus]] [[wikt:en:signum#Latin|signis]], **軍旗が運び集められて、 *[[wikt:en:quo#Etymology_2_2|quo]] [[wikt:en:mos#Latin|more]] eorum [[wikt:en:gravissimus#Latin|gravissima]] [[wikt:en:caerimonia#Latin|caerimonia]] [[wikt:en:continetur|continetur]], **それは彼らの慣習で最も荘重な<ruby><rb>神聖儀式</rb><rp>（</rp><rt>カエリモーニア</rt><rp>）</rp></ruby>として保たれているのだが、 *ne [[wikt:en:factus#Latin|facto]] [[wikt:en:initium#Latin|initio]] belli ab reliquis [[wikt:en:deserantur|deserantur]]. **開戦したら、ほかの<small>（部族の）</small>者たちから見放されないように、ということである。 :　<!--　[[wikt:en:|　-->　 *<!--❸-->⁽³⁾ Tum [[wikt:en:conlaudatus#Latin|conlaudatis]] [[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnutibus]], **それから、カルヌーテース族が賞賛されて、 *[[wikt:en:datus#Participle|dato]] [[wikt:en:ius_iurandum#Latin|iure iurando]] ab omnibus, qui [[wikt:en:aderant|aderant]], **訪れていたすべての者たちによって誓約が交わされて、 *[[wikt:en:tempus#Latin|tempore]] eius rei [[wikt:en:constitutus#Participle|constituto]] **その事の時期を決定すると、 *ab [[wikt:en:concilium#Latin|concilio]] [[wikt:en:disceditur|disceditur]]. **<small>（ガッリアの領袖たちは）</small>会合から立ち去る。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===3節=== [[画像:Cathédrale_Sainte-Croix_d'Orléans_2008_PD_16.JPG|thumb|right|280px|ケナブム（Cenabum）すなわち現在の[[w:オルレアン|オルレアン]]の聖十字架大聖堂。ここもカルヌーテース族の[[w:オッピドゥム|城塞都市]]で、ガッリアの[[w:ドルイド|ドルイド]]たちが集まる聖地だったという。ローマの[[w:ルキウス・ドミティウス・アウレリアヌス|アウレリアヌス帝]]（Aurelianus）によって再建されたのでアウレリアヌスの都市（アウレリアヌム [[w:la:Aurelianum|Aurelianum]]）と改称され、オルレアン（Orléans）と転訛した。キリスト教化によってここにも[[w:司教|司教座]]が置かれて、布教の中心地になった。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/3節]]　{{進捗|00%|2025-11-17}}</span> ;カルヌーテース族がケナブム進駐 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:ubi#Latin|Ubi]] ea dies venit, **その日が来ると、 *[[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnutes]], **カルヌーテース族は、 *Cotuato et Conconnetodumno [[wikt:en:dux#Latin|ducibus]], [[wikt:en:desperatus#Latin|desperatis]] hominibus, **捨て身覚悟の連中であるコトゥアトゥスとコンコンネトドゥムヌスを指導者として、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ガリア語では、<br>　　　　　コトゥアトス ''[[w:fr:Cotuatos|Cotuatos]]''、<br>　　　　　コンコンネトドゥムノス ''[[w:fr:Conconnetodumnos|Conconnetodumnos]]''。）</span> *<u>Cenabum</u> [[wikt:en:signum#Latin|signo]] [[wikt:en:datus#Participle|dato]] [[wikt:en:concurrunt|concurrunt]] **号令が発せられるとともに<u>ケナブム</u>に襲来する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ケナブムは、現在の[[w:オルレアン|オルレアン]]。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:fr:Cenabum|Cenabum]] はケルト語風の読みで、''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Vossius|Vossius]]'' による修正提案。<br>　　　　　写本では genabim, genebim, genebin などとなっている。<br>　　　　　⇒ [[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]）</span> *[[wikt:en:civis#Latin|cives]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:Romanus#Adjective|Romanos]], qui [[wikt:en:negotiandi|negotiandi]] causa [[wikt:en:ibi#Latin|ibi]] [[wikt:en:constiterant|constiterant]], **そこには、商いを営むためにローマ市民たちが滞在していて、 *in his [[wikt:en:Gaius#Latin|Gaium]] [[wikt:en:Fufius#Latin|Fufium]] Citam, [[wikt:en:honestus#Latin|honestum]] [[wikt:en:eques#Latin|equitem]] [[wikt:en:Romanus#Adjective|Romanum]], **彼らの中には、気高いローマ人[[w:エクィテス|騎士]]ガーイウス・フーフィウス・キタがいて *qui rei [[wikt:en:frumentarius#Latin|frumentariae]] [[wikt:en:iussus#Noun|iussu]] Caesaris [[wikt:en:praeerat|praeerat]], **カエサルの指図により糧秣調達を統率していたが、 *[[wikt:en:interficiunt|interficiunt]] [[wikt:en:bonum#Noun_2|bona]]<nowiki>que</nowiki> eorum [[wikt:en:diripiunt|diripiunt]]. **<small>（カルヌーテース勢は彼らローマ市民たちを）</small>殺害して、彼らの財産を略奪する。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Celeriter ad omnes Galliae [[wikt:en:civitas#Latin|civitates]] [[wikt:en:fama#Latin|fama]] [[wikt:en:perfertur|perfertur]]. **速やかに全ガッリア部族のもとへ、評判が報知される。 *Nam, <u>ubique</u> [[wikt:en:maior#Latin|maior]] atque [[wikt:en:inlustrior|inlustrior]] [[wikt:en:incidit#Etymology_1|incidit]] res, **なぜなら、より重大でより目立った事態が起こればどこであろうが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、主要写本&omega; の大半では [[wikt:en:ubique#Latin|ubique]] だが、写本STでは [[wikt:en:ubi#Latin|ubi]] 、<br>　　　　　　　　　さらに [[wikt:en:ubicumque#Latin|ubicumque]] という異読もあり、<br>　　　　　　　　　&nbsp;''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Schneider,K.E.Chr.|Chr. Schneider]]'' は ubi quae と修正提案している。）</span> *[[wikt:en:clamor#Latin|clamore]] per [[wikt:en:ager#Latin|agros]] [[wikt:en:regio#Latin|regiones]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:significant#Latin|significant]]; **耕地や<small>（集落の）</small>区域を介して、大声で呼びかける。 *<u>hinc</u> [[wikt:en:alius#Latin|alii]] [[wikt:en:deinceps#Latin|deinceps]] [[wikt:en:excipiunt|excipiunt]] **ここから、別の者たちが続けて引き受けて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本の大半では [[wikt:en:hanc#Latin|hanc]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:hinc#Latin|hinc]] 「ここから」、<br>　　　　　　　　　写本Sでは [[wikt:en:hunc|hunc]] となっている。）</span> *et [[wikt:en:proximus#Noun|proximis]] [[wikt:en:tradunt|tradunt]]; **近隣の者たちへ伝える。 *ut tum [[wikt:en:accidit#Etymology_1|accidit]]. **そのときにも<small>（同様のことが）</small>起こったのである。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❸-->⁽³⁾ Nam, quae <u>Cenabi</u> [[wikt:en:oriens#Latin|oriente]] [[wikt:en:sol#Latin|sole]] gesta essent, **ケナブムで日が昇るときになされていたこと<small>〔襲撃〕</small>が、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：Cenabi はケルト語風の読みで、''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Vossius|Vossius]]'' による修正提案。<br>　　　　　主要写本&omega; では genabi となっている。　⇒ [[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:gestus#Latin|gesta]] [[wikt:en:essent#Etymology_1|essent]] は [[wikt:en:gero#Latin|gerō]] の3人称･複数･過去完了･受動･接続法。）</span> *ante [[wikt:en:primus#Latin|primam]] [[wikt:en:confectus#Latin|confectam]] [[wikt:en:vigilia#Latin|vigiliam]] **第一夜警時の終わる前頃には **:<span style="color:#009900;">（訳注：第一夜警時は、日の入から真夜中までの時間帯の前半「宵の口」。<br>　　　　　[[古代ローマの不定時法#夜警時|#夜警時]] を参照。）</span> *in finibus [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernorum]] audita sunt, **アルウェルニー族の領土において聞かれた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:auditus#Latin|audita]] [[wikt:en:sunt#Latin|sunt]] は [[wikt:en:audio#Latin|audiō]] の3人称･複数･完了･受動･直説法）</span> *[[wikt:en:qui#Latin|quod]] [[wikt:en:spatium#Latin|spatium]] est [[wikt:en:mille#Latin|milium]] [[wikt:en:passus#Etymology_2|passuum]] circiter [[wikt:en:centum#Latin|centum]] [[wikt:en:sexaginta#Latin|sexaginta]](CLX). **約160ローママイルもの隔たりがあったのに。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ミーッレ・パッスーム、ミーリア（ローママイル）|ローママイル]]は約1.48 kmで、160マイルは約240 km）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ==ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起== ===4節=== [[画像:Vercingetorix stater CdM.jpg|thumb|right|200px|“<span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;">(VERCIN)GETORIXS</span>”の名と横顔が刻まれた金貨。]] [[画像:Vercingétorix_par_Millet.jpg|thumb|right|250px|[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の立像（フランスのアリーズ＝サント＝レーヌ <small>[[w:fr:Alise-Sainte-Reine|Alise-Sainte-Reine]]</small>）。<br>近代[[w:ナショナリズム|ナショナリズム]]の高揚とともに[[w:フランス|フランス]]国民が自らを古代[[w:ガリア人|ガッリア人]]の末裔と見なすようになると（[[w:ガリア起源説|ガッリア起源説]]）、ガッリア諸部族を率いて[[w:古代ローマ|古代ローマ]]と戦った彼は「'''フランス最初の英雄'''」として祀り上げられた。[[w:フランス第二帝政|第二帝政]]期に皇帝[[w:ナポレオン3世|ナポレオン3世]]の命により[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]の発掘調査が実施され、[[w:1865年|1865年]]にはその地に彫刻家エメ・ミレ（[[w:fr:Aimé Millet|Aimé Millet]]）による高さ7メートルの銅像が建立された。<br>（[[w:fr:Vercingétorix_(statue_d'Aimé_Millet)|fr:La statue de Vercingétorix]]）]] [[画像:Statue-vercingetorix-jaude-clermont.jpg|thumb|right|250px|[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の騎馬像([[w:fr:Statue équestre de Vercingétorix (Frédéric Auguste Bartholdi)|fr]])。彼の出身地ゲルゴウィアの近く、[[w:クレルモン＝フェラン|クレルモン＝フェラン市]]中央広場に建つ。[[w:1903年|1903年]]に、[[w:自由の女神像 (ニューヨーク)|自由の女神像]]の作者として著名な彫刻家[[w:フレデリク・バルトルディ|フレデリク・オーギュスト・バルトルディ]]によって建立された。[[w:フランス語|フランス語]]で「我は皆の自由のために武器を取った」« J’ai pris les armes pour la liberté de tous » と刻まれている。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/4節]]　{{進捗|00%|2025-11-24}}</span> ;アルウェルニー族のウェルキンゲトリークスが挙兵、ガッリア諸部族同盟軍を指揮する :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:similis#Latin|Simili]] [[wikt:en:ratio#Latin|ratione]] ibi **そこ<small>〔アルウェルニー族領〕</small>でも同様のやり方によって、 *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]という、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ガリア語 [[wikt:en:Reconstruction:Gaulish/Werkingetorix|*Werkingetorīx]] は「戦士たちの最高の王」という意味で、<br>　　　　　ガッリア同盟軍の最高司令官にふさわしい呼び名である。<br>　　　　　《[[ガリア戦記/ガリア語の名前#Vercingetorix|'''ガリア語の名前'''#Vercingetorix]]》 を参照せよ。）</span> *[[wikt:fr:Celtillus|Celtilli]] filius, [[wikt:en:Arvernus#Latin|Arvernus]], **ケルティッルスの息子で[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の者で、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：''[[w:en:Celtillus|Celtillus]]'' はガリア語で「小さなケルト人」という意味だと解される。）</span> *[[wikt:en:summus#Adjective|summae]] [[wikt:en:potentia#Latin|potentiae]] [[wikt:en:adulescens#Noun|adulescens]], **最高の影響力のある青年が、 *cuius [[wikt:en:pater#Latin|pater]] [[wikt:en:principatus#Latin|principatum]] Galliae [[wikt:en:totus#Etymology_1|totius]] [[wikt:en:obtinuerat|obtinuerat]] **──その父<small>〔ケルティッルス〕</small>はガッリア全体の主導権を占めていたが、 *et ob eam causam, quod [[wikt:en:regnum#Latin|regnum]] [[wikt:en:adpetebat|adpetebat]], ab [[wikt:en:civitas#Latin|civitate]] erat [[wikt:en:interfectus#Latin|interfectus]], **王位を求めたという理由により、部族の者によって誅殺されていたのであるが、── *[[wikt:en:convocatus#Latin|convocatis]] suis [[wikt:en:cliens#Latin|clientibus]] **自らの庇護者たちを招集して、 *facile [[wikt:en:incendit|incendit]]. **容易に焚き付けた。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:cognitus#Participle|Cognito]] eius [[wikt:en:consilium#Latin|consilio]] **彼の計画を知ると、 *ad [[wikt:en:arma#Latin|arma]] [[wikt:en:concurritur|concurritur]]. **<small>（人々は）</small>武器のもとへ群がり集まった。 *[[wikt:en:prohibetur|Prohibetur]] ab [[wikt:fr:Gobannitio|Gobannitione]], [[wikt:en:patruus#Latin|patruo]] suo, [[wikt:en:reliquus#Latin|reliquis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:princeps#Noun_3|principibus]], **彼の<small>（父方の）</small>おじゴバンニティオやほかの領袖たちにより妨げられた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：''[[w:fr:Gobannitio|Gobannitio]]'' は「鍛冶屋」か「鍛冶の神」に由来する名前と解される。）</span> *qui hanc [[wikt:en:temptandus#Latin|temptandam]] [[wikt:en:fortuna#Latin|fortunam]] non [[wikt:en:existimabant|existimabant]]; **その者たちは、このような運命を試すべきとは考えていなかったのだ。 *[[wikt:en:expellitur|expellitur]] ex [[wikt:en:oppidum#Latin|oppido]] [[wikt:en:Gergovia#Latin|Gergovia]]; **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>城塞都市ゲルゴウィアから追放される。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ non [[wikt:en:destitit|destitit]] tamen **しかしながら<small>（彼は計画を）</small>取り止めず、 *atque in agris habet [[wikt:en:dilectus#Noun|dilectum]] [[wikt:en:egens#Latin|egentium]] ac [[wikt:en:perditor#Noun|perditorum]]. **野に貧窮者たちやならず者たちを徴集する。 :　 *Hac [[wikt:en:coactus#Latin|coacta]] [[wikt:en:manus#Latin|manu]], **こうした手勢が集められ、 *[[wikt:en:quoscumque|quoscumque]] [[wikt:en:adit#Latin|adit]] ex civitate, **部族のうちで<small>（彼が）</small>会った者は誰であれ、 *ad suam [[wikt:en:sententia#Latin|sententiam]] [[wikt:en:perducit|perducit]]; **自らの意図に引き込んだ。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:hortatur|hortatur]] ut [[wikt:en:communis#Latin|communis]] [[wikt:en:libertas#Latin|libertatis]] causa [[wikt:en:arma#Latin|arma]] [[wikt:en:capiant|capiant]], **<small>（ガッリア）</small>共通の自由のために武器を取るように鼓舞した。 *[[wikt:en:magnus#Latin|magnis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:coactus#Latin|coactis]] [[wikt:en:copia#Latin|copiis]] **大軍勢が集められて、 *[[wikt:en:adversarius#Latin|adversarios]] suos, a quibus paulo ante erat [[wikt:en:eiectus#Latin|eiectus]], **少し前に<small>（彼をゲルゴウィアから）</small>放逐したところの敵対者たちを、 *[[wikt:en:expellit|expellit]] ex civitate. **部族から追放する。 *[[wikt:en:rex#Latin|Rex]] ab suis [[wikt:en:appellatur|appellatur]]. **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>配下の者たちから王と呼ばれている。 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:dimittit|Dimittit]] [[wikt:en:quoque#Latin|quoque]] [[wikt:en:versus#Adverb|versus]] [[wikt:en:legatio#Latin|legationes]]; **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>あらゆる方向へ使節団を派遣して、 *[[wikt:en:obtestatur|obtestatur]] ut in [[wikt:en:fides#Latin|fide]] [[wikt:en:maneant|maneant]]. **誓約に留まるようにと、懇願する。 :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ Celeriter sibi **速やかに、自分たち<small>〔アルウェルニー族〕</small>に対して *[[wikt:en:Senones#Latin|Senones]], [[wikt:en:Parisii#Latin|Parisios]], [[wikt:en:Pictones#Latin|Pictones]], [[wikt:en:Cadurci#Latin|Cadurcos]], <u>Turonos</u>, [[wikt:en:Aulerci#Latin|Aulercos]], [[wikt:en:Lemovices#Latin|Lemovices]], <u>Andes</u> **セノネース族、パリースィイー族、ピクトネース族、カドゥルキー族、<br><u>トゥロニイー族</u>、アウレルキー族、レモウィーケース族、アンデース族、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部のトゥロニイー族 ''[[w:Turoni|Turoni]]'' は、トゥロネース族 ''[[wikt:en:Turones#Latin|Turonēs]]'' ともいう。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：二つ目の下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:Andi#Latin|Andos]]「アンディー族」だが、<br>　　　　　　　　　　　　　''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Glareanus|Glareanus]]'' は、[[wikt:en:Andes#Latin|Andēs]]「アンデース族」と修正提案し、<br>　　　　　　　　　　　　　これは別名「アンデカーウィー族」''[[wikt:en:Andecavi#Latin|Andecāvī]]'' ともいう。）</span> *reliquosque omnes, qui [[wikt:en:Oceanus#Latin|Oceanum]] [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adiungit|adiungit]]; **および<ruby><rb>大洋<span style="color:#009900;">〔[[w:大西洋|大西洋]]〕</span></rb><rp>（</rp><rt>オーケアヌス</rt><rp>）</rp></ruby>に接するほかの全部族を、加盟させる。 *omnium [[wikt:en:consensus#Latin|consensu]] **すべての者たちの同意により、 *ad eum [[wikt:en:defertur|defertur]] [[wikt:en:imperium#Latin|imperium]]. **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>に<small>（諸部族の）</small>軍勢指揮権が譲り渡される。 :　 *<!--❼-->⁽⁷⁾ Qua [[wikt:en:oblatus#Latin|oblata]] [[wikt:en:potestas#Latin|potestate]] **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>その権限が任されると、 *omnibus his civitatibus [[wikt:en:obses#Latin|obsides]] [[wikt:en:imperat|imperat]], **これらすべての部族に人質<small>（の供出）</small>を命令して、 *[[wikt:en:certus#Latin|certum]] numerum [[wikt:en:miles#Latin|militum]] ad se celeriter [[wikt:en:adduci#Latin|adduci]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]], **兵の一定の数が自分のもとへ速やかに動員されることを命じる。 :　 *<!--❽-->⁽⁸⁾ [[wikt:en:arma#Latin|armorum]] [[wikt:en:quantum#Latin|quantum]] [[wikt:en:quisque#Latin|quaeque]] civitas [[wikt:en:domi#Latin|domi]] [[wikt:en:quisque#Latin|quodque]] ante tempus [[wikt:en:efficiat|efficiat]], [[wikt:en:constituit#Latin|constituit]]; **おのおのの部族が本国で、武器のどれほどをその時期の前に生産するかを、決定した。 *in primis [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatui]] [[wikt:en:studet|studet]]. **とりわけ、[[w:騎兵|騎兵隊]]を熱心に求めた。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❾-->⁽⁹⁾ Summae diligentiae summam [[wikt:en:imperium#Latin|imperii]] [[wikt:en:severitas#Latin|severitatem]] addit; **<small></small>（ウェルキンゲトリークスは）最高の入念さに、命令の最高の厳格さを付け加える。 *magnitudine [[wikt:en:supplicium#Latin|supplicii]] [[wikt:en:dubitans#Latin|dubitantes]] cogit. **重大な刑罰をふんぎりが付かぬ者たちへ強いる。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❿-->⁽¹⁰⁾ Nam maiore commisso delicto <u>igni</u> atque omnibus tormentis necat, **すなわち、より重大な違反を犯したら、火とあらゆる拷問によって誅殺した。 *leviore de causa auribus desectis aut singulis effossis oculis domum remittit, **より軽微な場合については、両耳を切り取り、あるいは眼を一つずつ繰り抜いて、郷里へ送還する。 *ut sint reliquis documento et magnitudine poenae perterreant alios. **ほかの者たちへの警告となり、懲罰の重大さが別の者たちを畏怖させるようにである。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===5節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/5節]]　{{進捗|00%|2025-12-14}}</span> ;ビトゥリゲース族が、ガッリア同盟軍に寝返る :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ His [[wikt:en:supplicium#Latin|suppliciis]] celeriter [[wikt:en:coactus#Latin|coacto]] [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitu]], **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>これらの刑罰により速やかに軍隊を徴集して、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：「軍隊」と訳される [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitus]] には「鍛えられて規律がある」という意味合いがあり、<br>　　　　これまでカエサルがガッリア人の軍勢をこのように表現したことはまれであった。）</span> *[[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterium]] [[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcum]], [[wikt:en:summus#Latin|summae]] hominem [[wikt:en:audacia#Latin|audaciae]], **この上なく豪胆な人物であるカドゥルキー族のルクテリウスを *cum parte [[wikt:en:copiarum#Noun_2|copiarum]] in [[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutenos]] [[wikt:en:mittit|mittit]]; **軍勢の一部とともにルテーニー族のところに遣わす。 *ipse in [[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]] [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]. **<small>（ウェルキンゲトリークス）</small>自身はビトゥリゲース族のところに出発する。 :　 ;　　　ビトゥリゲース族が、ハエドゥイー族に、対ウェルキンゲトリークスのための援兵を依頼 *<!--❷-->⁽²⁾ Eius [[wikt:en:adventus#Latin|adventu]] **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>の到来により、 *[[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]] ad [[wikt:en:Aeduos|Haeduos]], quorum erant in [[wikt:en:fides#Latin|fide]], **ビトゥリゲース族は、彼らが庇護下にあった[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]のもとへ、 *[[wikt:en:legatus#Latin|legatos]] [[wikt:en:mittunt|mittunt]] [[wikt:en:subsidium#Latin|subsidium]] [[wikt:en:rogatum#Verb|rogatum]], **使節たちを、<small>（ハエドゥイー族からの）</small>援兵を依頼するために派遣する。 *[[wikt:en:quo#Adverb|quo]] [[wikt:en:facile#Latin|facilius]] hostium copias [[wikt:en:sustinere|sustinere]] [[wikt:en:possint|possint]]. **それにより、敵の軍勢をより容易に持ちこたえることができるようにということであった。 :　 ;　　　ハエドゥイー族が、ビトゥリゲース族に対して援兵を派兵 *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:Aedui#Latin|Haedui]] de [[wikt:en:consilium#Latin|consilio]] [[wikt:en:legatus#Latin|legatorum]], quos Caesar ad [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:reliquerat|reliquerat]], **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]は、カエサルが軍隊のもとへ残していた<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レーガートゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちの助言により、 *copias [[wikt:en:equitatus#Noun|equitatus]] [[wikt:en:peditatus#Latin|peditatus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:subsidium#Latin|subsidio]] [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigibus]] [[wikt:en:mittunt|mittunt]]. **[[w:騎兵|騎兵隊]]と[[w:歩兵|歩兵隊]]の軍勢をビトゥリゲース族に対する援兵として派遣する。 :　 ;　　　ハエドゥイー族の援兵が、ビトゥリゲース族の寝返りを怖れて、途中で逃げ帰ってしまう *<!--❹-->⁽⁴⁾ Qui cum ad flumen [[wikt:en:Liger#Latin|Ligerim]] [[wikt:en:venissent|venissent]], quod [[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]] ab [[wikt:en:Aeduis|Haeduis]] [[wikt:en:dividit#Latin|dividit]], **その者たち<small>〔援兵〕</small>は、ビトゥリゲース族を[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]から分け隔てるリゲル川のたもとへやって来たときに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：リゲル川 [[w:la:Liger|Liger]] は、現在の[[w:ロワール川|ロワール川]]。<br>　　　　本書に登場するビトゥリゲース・クビ族 ''[[w:en:Bituriges Cubi|Bituriges Cubi]]'' は、<br>　　　　　ロワール川西岸の[[w:シェール県|シェール県]]の辺りに居住していた。<br>　　　　対して、[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]は、<br>　　　　　ロワール川東岸の[[w:ニエーヴル県|ニエーヴル県]]の辺りに居住していた。）</span> [[画像:Map of Eduens people-fr.svg|thumb|right|250px|[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]を軸とするガッリアの合従連衡（<small>フランス語表記</small>）。赤い部分がハエドゥイー族（Eduens）、桃色・茶色の部分が同盟部族、灰色の部分が敵対する[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]（Arvernes）とセクアニ族（Sequanes）の領域である。茶色のビトゥリゲース族（Bituriges）と赤いハエドゥイー族（Eduens）の境界に沿ってリゲル川（[[w:ロワール川|ロワール川]]）が流れていることが見て取れる。川の西岸はビトゥリゲース族とアルウェルニー族の勢力圏になっている。]] *paucos dies ibi [[wikt:en:moratus#Participle|morati]] **わずかな日々をそこでぐずぐずして、 *neque flumen [[wikt:en:transire#Latin|transire]] [[wikt:en:ausus#Participle|ausi]] [[wikt:en:domus#Latin|domum]] [[wikt:en:revertuntur|revertuntur]] **川をあえて渡らずに、故国に引き返す。 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:legatus#Latin|legatis]]<nowiki>que</nowiki> nostris [[wikt:en:renuntiant|renuntiant]] **<small>（ハエドゥイー族の援兵たちが）</small>我が方<small>〔ローマ方〕</small>の<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レーガートゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちに報告したことには、 *se [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] [[wikt:en:perfidia#Latin|perfidiam]] [[wikt:en:veritus#Latin|veritos]] [[wikt:en:revertisse|revertisse]], **自分たち<small>〔援兵〕</small>は、ビトゥリゲース族の寝返りを恐れて引き返した。 *quibus id [[wikt:en:consilium#Latin|consilii]] fuisse [[wikt:en:cognoverint|cognoverint]], **彼らには、以下のような謀計があったことを探知したのだ。 *ut, si flumen [[wikt:en:transissent#Latin|transissent]], una ex parte ipsi, altera [[wikt:en:Arverni#Latin|Arverni]] se [[wikt:en:circumsisterent|circumsisterent]]. **もし川を渡ったら、一方から<small>（ビトゥリゲース族）</small>自身が、他方から[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]が自分たちを包囲するというものだ、と。 :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ Id ea<span style="background-color:#ffa;">[[wikt:la:-ne|ne]]</span> de causa, quam [[wikt:en:legatus#Latin|legatis]] <u>pronuntiarunt</u>, **そのことは<small>（援兵たちが）</small><ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レーガートゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちに報告した理由によって<small>（なしたのか？）</small> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:-ne#Latin|-ne]] ～ [[wikt:en:an#Latin|an]] …；～であるか、あるいは…であるか。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:pronuntiarunt|pronuntiarunt]]_{&nbsp;(直接法･完了形)} は古い印刷本 ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#クリティカル・アパラトゥスとその略号|edd.vett.]]'' の記述で、<br>　　　　　　　　&alpha;系写本では [[wikt:en:pronuntiarint|pronuntiarint]]_{&nbsp;(接続法･完了形)} だが、<br>　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:pronuntiaverint|pronuntia<u>ve</u>rint]]_{&nbsp;(接続法･完了形)} となっている。）</span> *<span style="background-color:#ffa;">[[wikt:la:an|an]]</span> [[wikt:en:perfidia#Latin|perfidia]] [[wikt:en:adductus#Latin|adducti]] [[wikt:en:fecerint|fecerint]], **あるいは<small>（ビドゥリゲース族の）</small>寝返りに動かされて、なしたのか？ *[[wikt:en:quod#Conjunction|quod]] [[wikt:en:nihil#Latin|nihil]] nobis [[wikt:en:constat#Latin|constat]], **我々<small>〔ローマ人〕</small>には何ら定かではないので、 *non [[wikt:en:videtur|videtur]] pro [[wikt:en:certus#Latin|certo]] esse <u>proponendum</u>. **確言するべきであるとは思われない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：～ pro certo ponere；～を確かであると主張する）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:proponendum|<u>pro</u>ponendum]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:ponendum|ponendum]] となっている。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　ビトゥリゲース族が、ローマ人やハエドゥイー族から離反して、アルウェルニー族と同盟してしまう *<!--❼-->⁽⁷⁾ [[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]] eorum [[wikt:en:discessus#Noun|discessu]] **ビトゥリゲース族は、彼ら<small>〔援兵〕</small>の撤収により、 *[[wikt:en:statim#Latin|statim]] <u>se</u> cum [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernis]] <u>coniunguntur</u>. **ただちに[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]と<small>（同盟を）</small>結んだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:iunguntur|iunguntur]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では se ～ [[wikt:en:coniungunt|coniungunt]] となっている。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===6節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/6節]]　{{進捗|00%|2025-12-15}}</span> [[画像:Warsaw Royal Castle GM (12).JPG|thumb|right|200px|[[w:グナエウス・ポンペイウス|グナエウス・ポンペイウス]]の立像（[[w:ワルシャワ歴史地区|ワルシャワ王宮]]）。彼は首都の騒乱を鎮めるために単独の[[w:執政官|執政官]]として大権を与えられ、イタリアの徴兵権を得た。[[w:三頭政治|三頭政治]]後のこの混乱期に、彼はカエサルの政敵たちからこぞって支持されたが、危機に瀕していたカエサルを打倒する絶好の機会を見送った。これは重大な逸機であり、数年後にポンペイウスにとって致命的な結果をもたらすことになる。]] ;諸軍団と分断されて苦慮するカエサル :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ His rebus in Italiam Caesari [[wikt:en:nuntiatus#Latin|nuntiatis]], **これらの事情がイタリアにいるカエサルへ知らされると、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ここでいうイタリアとは、<br>　　　　カエサルの属州[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]のことである。）</span> *cum iam ille [[wikt:en:urbanus#Latin|urbanas]] res [[wikt:en:virtus#Latin|virtute]] [[wikt:en:Gnaei#Latin|Gnaei]]_{&nbsp;([[wikt:en:Cn.#Latin|Cn.]])} [[wikt:en:Pompeius#Proper_noun|Pompei]] [[wikt:en:commodior#Latin|commodiorem]] in [[wikt:en:status#Noun_11|statum]] [[wikt:en:pervenisse#Latin|pervenisse]] [[wikt:en:intellegeret|intellegeret]], **彼は、もはや都<small>〔[[w:ローマ|ローマ市]]〕</small>の事態は[[w:グナエウス・ポンペイウス|グナエウス・ポンペイウス]]の果断さによってより相応な状態に至ったと認識したので、 *in [[wikt:en:Gallia_transalpina#Latin|Transalpinam Galliam]] [[wikt:en:profectus#Latin|profectus]] est. **ガッリア・トラーンサルピーナ<small>〔アルプスの向こう側のガッリア〕</small>に出発した。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[#1節|1節]]②項で言及された Galliam Transalpinam は<br>　　　　アルプスの西側「長髪のガッリア」全般を指すと思われるが、<br>　　　　ここではどちらかといえば<br>　　　　ガッリア南部のローマ属州ガッリア・トラーンサルピーナ<br>　　　　すなわち後の[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・ナルボーネーンスィス]]を指す。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:eo#Adverb|Eo]] cum [[wikt:en:venisset|venisset]], **<small>（カエサルが）</small>そこに来たときに、 *magna [[wikt:en:difficultas#Latin|difficultate]] [[wikt:en:adficiebatur|adficiebatur]], qua [[wikt:en:ratio#Latin|ratione]] ad [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:pervenire#Latin|pervenire]] [[wikt:en:posset#Latin|posset]]. **どのような方策で軍隊のもとへ到達することができるか、という大きな困難に苦悩させられていた。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Nam, si [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] in [[wikt:en:provincia#Latin|provinciam]] [[wikt:en:arcesseret|arcesseret]], **なぜなら、もし、諸[[w:ローマ軍団|軍団]]を属州<small>〔ガッリア・トラーンサルピーナ〕</small>に呼び寄せるのならば、 *se [[wikt:en:absens#Latin|absente]] in [[wikt:en:iter#Latin|itinere]] [[wikt:en:proelium#Latin|proelio]] [[wikt:en:dimicaturus#Latin|dimicaturas]] [[wikt:en:intellegebat|intellegebat]]; **自分<small>〔カエサル〕</small>が不在のままで、行軍中に戦闘を闘うことになるであろうと理解していた。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❹-->⁽⁴⁾ si ipse ad exercitum [[wikt:en:contenderet|contenderet]], **もし<small>（カエサル）</small>自身が<small>（大部隊の護衛なしで）</small>軍隊のもとへ急いで行くのならば、 *<u>ne</u> iis <u>quidem</u> eo tempore qui quieti [[wikt:en:viderentur|viderentur]], **そのときには、中立を保っていると見られる者たちでさえも、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:iis#Latin|iis]] は&beta;系写本の記述で、&alpha;系写本では [[wikt:en:his#Latin|his]] となっている。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:quietus#Latin|quietus, quieti]]「平和的な、中立的な」）</span> *suam [[wikt:en:salus#Latin|salutem]] [[wikt:en:recte#Latin|recte]] [[wikt:en:committi|committi]] [[wikt:en:videbat|videbat]]. **自分の身の安全を良く託されるとは思えなかったのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：前年まで、すなわち第6巻までの戦争は主としてガッリア北部・中部などで闘われていたので、<br>　　　　[[ガリア戦記 第6巻#44節|第6巻44節]]で既述のように、ローマ諸軍団はガッリア北部・中部周辺に冬営させられていた。<br>　　　　今回は軍団が駐留していないガッリア中南部を中心に反乱が起こったので、<br>　　　　カエサルと諸軍団は分断された。<br>　　　　そのため、カエサルが大部隊の護衛なしで北上すれば、<br>　　　　同盟部族にさえ寝首を掻かれる怖れがあったのである。） <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===7節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/7節]]　{{進捗|00%|2025-12-19}}</span> ;ルクテリウスとカエサルのナルボーをめぐる駆け引き [[画像:Narbonne_panorama.jpg|thumb|right|300px|'''ナルボー'''（Narbo）すなわち現在の[[w:ナルボンヌ|ナルボンヌ市]]（Narbonne）の街並み。ローマ人が[[w:ドミティア街道|ドミティア街道]]の拠点として植民市'''コロニア・ナルボー・マルティウス'''（Colonia Narbo Martius）を建設し、後には[[w:ローマ内戦 (紀元前49年-紀元前45年)|ローマ内乱]]のときにもカエサル派の根拠地となった。その重要性から帝政期には州都に昇格し、[[w:属州|属州]]名も[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・ナルボネンスィス]]に改められたほどである。]] [[画像:Via_domitia_map600x600_(1).png|thumb|right|200px|[[w:ドミティア街道|ドミティア街道]]（Via Domitia）の経路。ローマ人によってイタリアと[[w:ヒスパニア|ヒスパーニア]]を結ぶ重要な街道として整備された。本節でカエサル側の軍勢が往復したのもこの街道である。]] :　 ;　　　カドゥルキー族のルクテリウスが、ルテーニー族を同盟に引き入れる *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:interim#Latin|Interim]] [[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterius]] [[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcus]] **その間に、カドゥルキー族のルクテリウスが *in [[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutenos]] [[wikt:en:missus#Participle|missus]] **ルテーニー族のところに遣わされて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[#5節|5節]]の冒頭で述べられた。<br>　　　　ルテーニー族 ''[[w:en:Ruteni|Ruteni]]'' は現在の[[w:アヴェロン県|アヴェロン県]]の<br>　　　　[[w:ロデーズ|ロデーズ]]辺りにいたとされる。）</span> *eam [[wikt:en:civitas#Latin|civitatem]] [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernis]] [[wikt:en:conciliat|conciliat]]. **その部族に[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]との仲を取り持つ。 :　 ;　　　ルクテリウスが、ローマ属州内の拠点都市ナルボーを目指す *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:progressus#Participle|Progressus]] in [[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobriges]] et [[wikt:en:Gabali#Latin|Gabalos]] **<small>（彼は）</small>ニティオブリゲース族とガバリー族のところに進んで行き、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ニティオブリゲース族<br>　　　　　またはニティオブロゲース族 ''[[w:en:Nitiobroges|Nitiobroges]]'' は<br>　　　　　現在の[[w:ロット＝エ＝ガロンヌ県|ロット＝エ＝ガロンヌ県]][[w:アジャン|アジャン]]辺り、<br>　　　　ガバリー族 ''[[w:en:Gabali|Gabali]]'' は現在の[[w:ロゼール県|ロゼール県]]辺りにいたらしい。）</span> *ab [[wikt:en:uterque#Latin|utrisque]] [[wikt:en:obses#Latin|obsides]] [[wikt:en:accipit|accipit]] **双方から人質たちを受け取って、 *et, magna [[wikt:en:coactus#Latin|coacta]] [[wikt:en:manus#Latin|manu]], **多くの手勢を徴集すると、 *in [[wikt:en:provincia#Latin|provinciam]] [[wikt:en:Narbo#Latin|Narbonem]] [[wikt:en:versus#Latin|versus]] [[wikt:en:eruptio#Latin|eruptionem]] facere [[wikt:en:contendit|contendit]]. **<small>（ローマ人の）</small>[[w:属州|属州]]内のナルボーに向かって出撃することを急ぐ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ナルボー [[w:la:Narbo|Narbo]] は、ローマ人が建設した地中海岸の植民市で、<br>　　　　ヒスパーニアとイタリアを結ぶ拠点であった。<br>　　　　現在の[[w:ナルボンヌ|ナルボンヌ]]。）</span> :　 ;　　　カエサルもナルボーを目指す *<!--❸-->⁽³⁾ Qua re [[wikt:en:untiatus#Latin|nuntiata]] **その事を報告されると、 *Caesar omnibus [[wikt:en:consilium#Latin|consiliis]] [[wikt:en:antevertendus#Latin|antevertendum]] <span style="color:#009900;font-size:8pt;">(esse)</span> [[wikt:en:existimavit|existimavit]], ut [[wikt:en:Narbo#Latin|Narbonem]] [[wikt:en:proficisceretur|proficisceretur]]. **カエサルは、ナルボーに出発することを、あらゆる計画に先立ってするべきであると考えた。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:eo#Adverb|Eo]] cum [[wikt:en:venisset|venisset]], **<small>（カエサルは）</small>そこへやって来ると、 *[[wikt:en:timens#Latin|timentes]] [[wikt:en:confirmat#Latin|confirmat]], **<ruby><rb>怖気</rb><rp>（</rp><rt>おじけ</rt><rp>）</rp></ruby>ている者たちを元気付けて、 *[[wikt:en:praesidium#Latin|praesidia]] **守備隊を *in [[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutenis]] [[wikt:en:provincialis#Latin|provincialibus]], [[wikt:en:Volcae#Latin|Volcis]] [[wikt:en:Arecomici#Latin|Arecomicis]], [[wikt:en:Tolosates#Latin|Tolosatibus]] **属州側のルテーニー族、[[w:ウォルカエ族|ウォルカエ]]・アレコミキー族、トローサーテース族<small>（らの領内）</small>に、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：上述のように、属州外の<u>ルテーニー族</u>は[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]と結んでいる。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[w:ウォルカエ族|ウォルカエ族]]は、西側に住むテクトサゲース族 ''[[w:en:Tectosages|Tectosages]]'' と<br>　　　　　　　　　　　　東側に住むアレコミキー族 ''[[w:en:Arecomici|Arecomici]]'' の2支族に分かれていた。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：トローサーテース族 ''[[w:fr:Tolosates|Tolosates]]'' は、ウォルカエ・テクトサゲース族の分派とされ、<br>　　　　　現在の[[w:トゥールーズ|トゥールーズ]]の近くにいたと考えられている。）</span> *[[wikt:en:circum#Preposition|circum]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:Narbo#Latin|Narbonem]], quae [[wikt:en:locum#Latin|loca]] hostibus erant [[wikt:en:finitimus#Latin|finitima]], **および敵方に隣接した地である[[w:ナルボンヌ|ナルボー]]周辺に *[[wikt:en:constituit#Latin|constituit]]; **駐留させる。 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ partem [[wikt:en:copiae#Noun_2|copiarum]] ex [[wikt:en:provincia#Latin|provincia]] **属州<small>〔ガッリア・トラーンサルピーナ〕</small>からの軍勢の一部、 *[[wikt:en:supplementum#Latin|supplementum]]<nowiki>que</nowiki>, quod ex Italia [[wikt:en:adduxerat|adduxerat]], **およびイタリアから率いて来た補充兵を **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：後者の補充兵 supplementum は、[[#1節|1節]]で既述のように、<br>　　　　[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]で徴募された軍団兵であろう。）</span> *in [[wikt:en:Helvii#Latin|Helvios]], qui fines [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernorum]] [[wikt:en:contingunt|contingunt]], **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の領土に接しているヘルウィイー族のところに *[[wikt:en:convenire#Latin|convenire]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]]. **集結することを命じる。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===8節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/8節]]　{{進捗|00%|2026-01-03}}</span> [[画像:Carte-cevennes-france.png|thumb|right|200px|フランスにおける[[w:中央高地 (フランス)|中央高地]]（Massif Central）とセヴェンヌ山地（Cévennes）の位置]] [[画像:Col_de_legal.jpeg|thumb|right|200px|[[w:雪|雪]]に覆われた[[w:オーヴェルニュ地域圏|オーヴェルニュ高地]]。オーヴェルニュ（Auvergne）の名は[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]（Arverni）に由来する。]] [[画像:Causse_Mejean_Evening.jpg|thumb|right|200px|城壁のように続くケウェンナ（セヴェンヌ）山地の断崖]] [[画像:France_Massif_central.jpg|thumb|right|200px|[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の勢力圏であった[[w:中央高地 (フランス)|中央高地]]（Massif Central）の領域（着色部分）。平野の多いフランスにおいて山塊としてそびえ立つ。]] :　 ;カエサルがケウェンナ山地を越えてアルウェルニー族の領内へ突入 *<!--❶-->⁽¹⁾ His rebus [[wikt:en:comparatus#Latin|comparatis]], **これらの事が整えられて、 *[[wikt:en:repressus#Latin|represso]] iam [[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterio]] et [[wikt:en:remotus#Latin|remoto]], **<small>（カドゥルキー族の）</small>ルクテリウスはすでに押し留められ、遠ざけられた。 *quod [[wikt:en:intrare#Latin|intrare]] intra [[wikt:en:praesidium#Latin|praesidia]] [[wikt:en:periculosus#Latin|periculosum]] [[wikt:en:putabat|putabat]], **──というのは<small>（ローマ人の）</small>守備の範囲内に踏み込むことは危険なことであると<small>（ルクテリウスが）</small>見なしていたからであるが、── *in [[wikt:en:Helvii#Latin|Helvios]] [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]. **<small>（そこで、カエサルは）</small>ヘルウィイー族のところに出発する。 :　 ;　　　カエサルが、アルウェルニー族の要害ケウェンナ山を越える *<!--❷-->⁽²⁾ <u>Etsi</u> mons <u>Cevenna</u>, qui [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernos]] ab [[wikt:en:Helvii#Latin|Helviis]] [[wikt:en:discludit|discludit]], **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]をヘルウィイー族から隔てている<u>ケウェンナ山</u>は、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：山の名は写本によって Cebenna または Cevenna となっており、<br>　　　　　[[w:ガイウス・プリニウス・セクンドゥス|大プリーニウス]]が記した [[wikt:en:Cebenna#Latin|Cebenna]] がガリア語に近いようである。<br>　　　　現在名はセヴェンヌ山地 Cévennes と呼ばれ、<br>　　　　　[[w:中央高地 (フランス)|フランス中央高地]]（Massif Central）の南東部にそそり立っている。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:etsi#Latin|etsi]] ～ [[wikt:en:tamen#Latin|tamen]] …「～としても、にもかかわらず…」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:mons#Latin|mons]] は &beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *[[wikt:en:durissimus#Latin|durissimo]] tempore anni **最も厳しい時季に *[[wikt:en:altissimus#Latin|altissima]] [[wikt:en:nix#Latin|nive]] iter [[wikt:en:impediebat|impediebat]], **豪[[w:雪|雪]]によって道を閉ざしていたのであるが、 *<u>tamen</u> [[wikt:en:discussus#Latin|discussa]] [[wikt:en:nix#Latin|nive]] sex in [[wikt:en:altitudo#Latin|altitudinem]] [[wikt:en:pes#Latin|pedum]] **にもかかわらず<small>（カエサル勢は）</small>深さ6<u>ペース</u>の雪を粉砕して、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ペース|ペース]]は約29.6cmで、6ペースは約1.8メートル弱。）</span> *atque ita [[wikt:en:via#Latin|viis]] [[wikt:en:patefactus#Latin|patefactis]] [[wikt:en:summus#Latin|summo]] [[wikt:en:miles#Latin|militum]] <u>sudore</u> **このように兵士たちの最大の努力によって道が開かれて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:sudor#Latin|sudore]]「汗」だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:labor#Latin|labore]]「労苦」 となっている。）</span> *ad fines [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernorum]] [[wikt:en:pervenit#Latin|pervenit]]. **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の領土へ到達した。 :　 ;　　　アルウェルニー族が、カエサルの奇襲に周章狼狽する *<!--❸-->⁽³⁾ Quibus [[wikt:en:oppressus#Latin|oppressis]] [[wikt:en:inopinans#Latin|inopinantibus]], **<small>（アルウェルニー族は）</small>彼らに対する<small>（カエサルの）</small>攻撃を予期していなかったが、 *quod se <u>Cevenna</u> ut [[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:munitus#Latin|munitos]] [[wikt:en:existimabant|existimabant]], **──というのは、自分たちは<u>ケウェンナ</u>を壁として防御されていると考えていたからであり、 *ac <u>ne</u> [[wikt:en:singularis#Latin|singulari]] <u>quidem</u> [[wikt:en:umquam#Latin|umquam]] homini eo tempore anni [[wikt:en:semita#Latin|semitae]] [[wikt:en:patuerant|patuerant]], **かつ、その時季には、個人にとってさえも、小道はかつて開かれていなかったからであるが、── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> *[[wikt:en:eques#Latin|equitibus]] [[wikt:en:imperat|imperat]], **<small>（カエサルは）</small>騎兵たちに命令する。 *ut, [[wikt:en:quam#Adverb|quam]] [[wikt:en:late#Latin|latissime]] [[wikt:en:possint|possint]], [[wikt:en:vagentur|vagentur]] **できるだけ広く動き回り、 *et [[wikt:en:quam#Adverb|quam]] maximum hostibus [[wikt:en:terror#Latin|terrorem]] [[wikt:en:inferant|inferant]]. **敵たちに最大限の恐怖を引き起こすように、と。 :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスが、ビトゥリゲース族のもとから軍勢を取って返す *<!--❹-->⁽⁴⁾ Celeriter haec [[wikt:en:fama#Latin|fama]] ac <u>nuntiis</u> **これらのことは速やかに風評や伝令たちによって、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、主要写本&omega; では [[wikt:en:nuntii#Latin|nuntii]] だが、<br>　　　　　　　　　''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Manutius|Manutius]]'' が [[wikt:en:nuntiis#Etymology_1|nuntiis]] と修正提案している。）</span> *ad [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigem]] [[wikt:en:perferuntur|perferuntur]]; **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]のもとへ報知される。 *quem [[wikt:en:perterritus#Latin|perterriti]] omnes [[wikt:en:Arverni#Latin|Arverni]] [[wikt:en:circumsistunt|circumsistunt]] atque [[wikt:en:obsecrant|obsecrant]], **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>を、脅かされている[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の皆が取り巻いて、嘆願する。 *ut suis [[wikt:en:fortuna#Latin|fortunis]] [[wikt:en:consulat#Latin|consulat]], **自分たち<small>〔アルウェルニー族〕</small>の境遇に配慮してくれるように、 *<u>neve</u> ab hostibus <u>diripiantur</u>, **自分たち<small>〔アルウェルニー族〕</small>が敵<small>〔ローマ人〕</small>によって略奪されることを許容しないように、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：この行は、&alpha;系写本では [[wikt:en:neve#Latin|neve]] ab hostibus [[wikt:en:diripiantur|diripiantur]] <br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:neu#Latin|neu]] se ab hostibus [[wikt:en:diripi|diripi]] [[wikt:en:patiatur|patiatur]] となっている。）</span> *[[wikt:en:praesertim#Latin|praesertim]] cum [[wikt:en:videat|videat]] [[wikt:en:omnis#Latin|omne]] ad se bellum [[wikt:en:translatus#Participle|translatum]]. **とりわけ、すべての戦争が自分たちへ向けられると<small>（彼が）</small>見なしているのであるから **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：praesertim cum ～；とりわけ～であるから）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❺-->⁽⁵⁾ Quorum ille [[wikt:en:prex#Latin|precibus]] [[wikt:en:permotus#Latin|permotus]] **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>は、その者たちの懇願に揺り動かされて、 *[[wikt:en:castra#Latin|castra]] ex [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigibus]] [[wikt:en:movet|movet]] in [[wikt:en:Arverni#Latin|Arveruos]] [[wikt:en:versus#Latin|versus]]. **陣営をビトゥリゲース族のところから[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]のところに向けて行軍する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：castra movet 「陣営を動かす」＝「行軍する」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：現在の[[w:ブールジュ|ブールジュ]]辺りから[[w:クレルモン＝フェラン|クレルモン＝フェラン]]辺りに南下したようである。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===9節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/9節]]　{{進捗|00%|2026-01-12}}</span> ;カエサルが北上して諸軍団と合流するが、同盟軍はゴルゴビナ攻略をめざす :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ At Caesar, [[wikt:en:biduum#Latin|biduum]] in his locis [[wikt:en:moratus#Participle|moratus]], **それに対して、カエサルは2日間、この地に留まった。 *quod haec de [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorige]] usu ventura [[wikt:en:opinio#Latin|opinione]] [[wikt:en:praeceperat|praeceperat]], **──というのは、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]についてこれ<small>〔陣営の移動〕</small>が起こると予想をしていたからだが、── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：usu venire 「起こる」→&nbsp; usu [[wikt:en:venturus#Latin|ventūra]] (esse) 「起こるであろう」）</span> *per causam [[wikt:en:supplementum#Latin|supplementi]] [[wikt:en:equitatus#Noun|equitatus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:cogendus#Latin|cogendi]] **補充兵と騎兵隊を徴集するためという口実のもとに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：per causam 「口実のもとに」）</span> *ab [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitu]] [[wikt:en:discedit|discedit]]; **軍隊から離れる。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:Brutus#Latin|Brutum]] [[wikt:en:adulescens#Noun|adulescentem]] his copiis [[wikt:en:praeficit|praeficit]]; **<small>（カエサルは）</small><u>青年ブルートゥス</u>にこの軍勢を指揮させる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：青年ブルートゥスとは、<br>　　　　[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス|デキムス・ブルートゥス]]（<small>[[w:la:Decimus_Iunius_Brutus_Albinus|Decimus Iunius Brutus Albinus]]</small>）のことで、<br>　　　　[[ガリア戦記 第3巻#14節|第3巻14節]]でカエサルの艦隊を指揮した。）</span> *hunc [[wikt:en:monet#Latin|monet]], ut in omnes partes [[wikt:en:eques#Latin|equites]] quam [[wikt:en:late#Latin|latissime]] [[wikt:en:pervagentur|pervagentur]]: **彼には、[[w:騎兵|騎兵]]たちがあらゆる方面にできるだけ広く駆け回るようにと、忠告する。 *<u>daturum</u> se <u>operam</u>, ne longius [[wikt:en:triduum#Latin|triduo]] ab [[wikt:en:castra#Latin|castris]] [[wikt:en:absit#Latin|absit]]. **自分<small>〔カエサル〕</small>は、3日間より長く陣営から離れないように、努力をするであろう、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:opera#Latin|operam]] dare 「努力をする」→&nbsp; operam [[wikt:en:daturus#Latin|datūrum]] (esse) 「努力をするであろう」）</span> [[画像:Image-Vienne-Cropped.jpg|thumb|right|300px|'''ウィエンナ'''（Vienna）すなわち現在のヴィエンヌ（Vienne）。ロダヌス川（現[[w:ローヌ川|ローヌ川]]）のほとりにある当地は、南仏[[w:プロヴァンス|プロヴァンス地方]]と北仏[[w:ブルゴーニュ地域圏|ブルゴーニュ地方]]を結ぶ交通の要衝として、古代ローマ時代から栄え、今もローマ時代の遺跡が多く残る。]] :　 ;　　　カエサルが、急いでウィエンナへ北進する *<!--❸-->⁽³⁾ His [[wikt:en:constitutus#Participle|constitutis]] rebus, **これらの事を決定すると、 *<u>omnibus</u> suis [[wikt:en:inopinans#Latin|inopinantibus]], **配下の皆が予期しないほど、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：omnibus は &beta;系写本の記述で、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本にはない。）</span> *quam [[wikt:en:maximus#Latin|maximis]] potest [[wikt:en:iter#Latin|itineribus]], **できるかぎりの強行軍で、 *[[wikt:en:Vienna#Etymology_1|Viennam]] [[wikt:en:pervenit#Latin|pervenit]]. **<u>ウィエンナ</u>に到着する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ウィエンナ [[w:la:Vienna|Vienna]] は、<br>　　　　　現在の[[w:ヴィエンヌ (イゼール県)|ヴィエンヌ]] ''[[w:en:Vienne, Isère|Vienne]]''）</span> :　 ;　　　カエサルが、ハエドゥイー族領を抜けて、2個軍団が冬営するリンゴネース族領へ向けて北上する *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:ibi#Latin|Ibi]] [[wikt:en:nactus#Latin|nactus]] [[wikt:en:recens#Latin|recentem]] [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatum]], quem [[wikt:en:multus#Latin|multis]] ante diebus eo [[wikt:en:praemiserat|praemiserat]], **そこで、何日も前にそこに先遣していたまだ新兵の騎兵隊を得て、 [[画像:Langres_FR_(march_2008).jpg|thumb|right|300px|リンゴネース族（Lingones）の名を残す[[w:ラングル|ラングル]]（Langres）の街の雪景色]] *neque [[wikt:en:diurnus#Latin|diurno]] neque [[wikt:en:nocturnus#Latin|nocturno]] itinere [[wikt:en:intermissus#Latin|intermisso]] **昼間も夜間も行軍を中断せずに、 *per fines [[wikt:en:Aedui#Latin|Haeduorum]] **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の領土を通って、 *in [[wikt:en:Lingones#Latin|Lingones]] [[wikt:en:contendit|contendit]], **<u>リンゴネース族のところ</u>に急いだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：リンゴネース族 [[w:la:Lingones|Lingones]] の首邑は<br>　　　　　現在の[[w:ラングル|ラングル]] ''[[w:en:Langres|Langres]]'' で、<br>　　　　　ローマ時代には [[w:la:Andematunnum|Andematunnum]] と呼ばれたが、<br>　　　　''[[wikt:fr:Lingones|Lingones]]'' の転訛が ''[[wikt:fr:Langres|Langres]]'' である。）</span> *[[wikt:en:ubi#Latin|ubi]] [[wikt:en:duo#Latin|duae]] [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] [[wikt:en:hiemabant|hiemabant]], **そこには、2個[[w:ローマ軍団|軍団]]が冬営していた。 *ut, si [[wikt:en:aliquis#Latin|quid]] etiam de sua [[wikt:en:salus#Latin|salute]] ab [[wikt:en:Aedui#Latin|Haeduis]] [[wikt:en:iniretur|iniretur]] [[wikt:en:consilium#Latin|consilii]], [[wikt:en:celeritas#Latin|celeritate]] [[wikt:en:praecurreret|praecurreret]]. **もし<small>（カエサル）</small>自らの安全についてさえ、ハエドゥイー族により何らかの謀計が始められても、速やかに凌駕するように。 :　 ;　　　カエサルが、リンゴネース族領の軍団冬営地へ到着して、諸軍団へ集結を指令する *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:eo#Adverb|Eo]] cum [[wikt:en:pervenisset|pervenisset]], **<small>（カエサルは）</small>そこへ到着したときに、 *ad reliquas [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] [[wikt:en:mittit|mittit]] **残りの軍団のもとへ<small>（伝令を）</small>遣わす。 *<u>prius</u>que omnes in unum locum [[wikt:en:cogit|cogit]], <u>quam</u> de eius [[wikt:en:adventus#Latin|adventu]] [[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernis]] [[wikt:en:nuntiari|nuntiari]] [[wikt:en:posset#Latin|posset]]. **彼の到着について[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]に知らされ得るより早く、総勢が一か所に集結するように、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:priusquam#Latin|prius ～ quam]] …；…より早く～）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　ウェルキンゲトリークスが、ボイイー族がいるゴルゴビナの攻略を企図する *<!--❻-->⁽⁶⁾ Hac re [[wikt:en:cognitus#Participle|cognita]], **この事を知ると、 *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]] rursus in [[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]] [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:reducit|reducit]] **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は再びビトゥリゲース族のところに軍隊を連れ戻して、 *atque [[wikt:en:inde#Latin|inde]] [[wikt:en:profectus#Participle_2|profectus]] Gorgobinam, [[wikt:en:Boii#Latin|Boiorum]] [[wikt:en:oppidum#Latin|oppidum]], **そこから、[[w:ボイイ族|ボイイー族]]の城塞都市であるゴルゴビナへ出発した。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ゴルゴビナ ''[[w:en:Gorgobina|Gorgobina]]'' は、現在の候補地としては、<br>　　　　　[[w:ニエーヴル県|ニエーヴル県]]のサン＝パリズ＝ル＝シャテル<small>（[[w:en:Saint-Parize-le-Châtel|Saint-Parize-le-Châtel]]）</small><br>　　　　　[[w:アンドル＝エ＝ロワール県|アンドル＝エ＝ロワール県]]のラ・ゲルシュ（[[w:en:La Guerche|La Guerche]]）<br>　　　　あるいは、[[w:シェール県|シェール県]]のサン＝サテュル（[[w:fr:Saint-Satur|Saint-Satur]]）などが挙げられている。）</span> *quos ibi [[wikt:en:helvetico|Helvetico]] [[wikt:en:proelium#Latin|proelio]] [[wikt:en:victus#Participle|victos]] **──[[w:ヘルウェティイ族|ヘルウェーティイー族]]の戦闘で打ち負かされた彼らをそこに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ボイイー族はヘルウェーティイー族とともにガッリアに移動して、カエサルに敗れていた。第1巻28節～29節を参照。）</span> *Caesar [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocaverat]] [[wikt:en:Aedui#Latin|Haeduis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], **カエサルは宿営させ、ハエドゥイー族<small>（の庇護）</small>に委ねていたのだが、── *[[wikt:en:oppugnare#Latin|oppugnare]] [[wikt:en:instituit#Latin|instituit]]. **<small>（ウェルキンゲトリークスはゴルゴビナの）</small>攻略を決意した。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===10節=== [[画像:Caesar's_campaign_to_Agedincum_in_52BC.png|thumb|right|250px|前節までのカエサルの[[w:ナルボンヌ|ナルボー]]からアゲディンクムへの進路（青線）および[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の進路（赤線）。青字名は親ローマ部族、赤字名は反ローマ部族。カエサルは[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の本拠ゲルゴウィアを突くと見せかけてウェルキンゲトリークスを引き寄せ、その間に[[w:ブルゴーニュ地域圏|ブルゴーニュ]]に冬営していた諸軍団と合流できた。これに対して、ウェルキンゲトリークスはボイイー族を攻めようとする。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/10節]]　{{進捗|00%|2026-01-16}}</span> ;カエサルがアゲディンクムを発って、ボイイー族支援に向かう :　 ;　　　カエサルが抱えることになった「大きな困難」とは？ *<!--❶-->⁽¹⁾ Magnam haec res Caesari [[wikt:en:difficultas#Latin|difficultatem]] ad [[wikt:en:consilium#Latin|consilium]] [[wikt:en:capiendus#Latin|capiendum]] [[wikt:en:adferebat|adferebat]]<!--:-->, **この事態は、カエサルが作戦を立てるためには、大きな困難を引き起こしていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：haec res 「この事態」とは、<br>　　　　　ウェルキンゲトリークスが<br>　　　　　ハエドゥイー族の庇護下にあったボイイー族を攻めること。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：magnam ～ difficultatem 「大きな困難を」）</span> *si reliquam partem [[wikt:en:hiems#Latin|hiemis]] uno loco [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] [[wikt:en:contineret|contineret]], **もし、冬の残りの期間に、諸[[w:ローマ軍団|軍団]]を1か所に留めておくならば、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：前節で述べられたように、<br>　　　　　カエサルはリンゴネース族の軍団冬営地に着いたときに、<br>　　　　　諸軍団に1か所に集結するべく伝令を遣わしていた。）</span> *ne, [[wikt:en:stipendiarius#Latin|stipendiariis]] [[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduorum]] [[wikt:en:expugnatus#Latin|expugnatis]], [[wikt:en:cunctus#Latin|cuncta]] Gallia [[wikt:en:deficeret|deficeret]], **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の朝貢国が攻略されて、ガッリア全体が背くのではないか？ **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：「ハエドゥイー族の朝貢国」とは、ボイイー族のこと。）</span> *quod [[wikt:en:nullus#Determiner|nullum]] amicis in eo [[wikt:en:praesidium#Latin|praesidium]] <u>videret positum esse</u>; **──というのは、彼<small>〔カエサル〕</small>においては、友邦に対するいかなる守備隊も置かれていないと<small>（ガッリアが）</small>見るからである──。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　　[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#写本の系図|&alpha;系写本]]のうち、&chi;系･M･B･S写本などでは [[wikt:en:videret|videret]] [[wikt:en:positus#Latin|positum]] esse 、<br>　　　　　&alpha;系写本のうち、写本M･L･Nなどでは [[wikt:en:videretur|videretur]] positum esse 、<br>　　　　　&beta;系写本では、positum videret となっている。）</span> *si [[wikt:en:mature#Adverb|maturius]] ex [[wikt:en:hiberna#Noun|hibernis]] [[wikt:en:educeret|educeret]], **もし、尚早に冬営地から<small>（諸軍団を）</small>進発させれば、 *ne ab re [[wikt:en:frumentarius#Latin|frumentaria]] [[wikt:en:durus#Latin|duris]] [[wikt:en:subvectio#Latin|subvectionibus]] [[wikt:en:laboraret|laboraret]]. **<small>（降雪時期の）</small>糧秣供給の厄介な輸送によって苦労するのではないか？ :　 *<!--❷-->⁽²⁾ <u>Praestare</u> [[wikt:en:visus#Participle|visum]] est tamen omnes [[wikt:en:difficultas#Latin|difficultates]] [[wikt:en:perpeti#Verb|perpeti]], **しかしながら、あらゆる困難に耐えることの方が<u>優っている</u>ように見える。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:praestare|praestare]] ～ [[wikt:en:quam#Adverb|quam]] …「…よりも～が優る」）</span> *<u>quam</u> [[wikt:en:tantus#Latin|tanta]] [[wikt:en:contumelia#Latin|contumelia]] [[wikt:en:acceptus#Latin|accepta]] omnium suorum [[wikt:en:voluntas#Latin|voluntates]] [[wikt:en:alienare#Latin|alienare]]. **これほどの恥辱を受けて、配下の皆の意欲を遠ざけてしまう<u>よりは</u>。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Itaque [[wikt:en:cohortatus#Latin|cohortatus]] [[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduos]] de [[wikt:en:supportandus#Latin|supportando]] [[wikt:en:commeatus#Noun|commeatu]], **こうして、<small>（カエサルは）</small>ハエドゥイー族に軍需物資の輸送について、激励して、 *[[wikt:en:praemittit|praemittit]] ad [[wikt:en:Boii#Latin|Boios]], qui de suo [[wikt:en:adventus#Latin|adventu]] [[wikt:en:doceant|doceant]] **[[w:ボイイ族|ボイイー族]]のもとへ、<small>（カエサル）</small>自らの到着について知らせるための者たちを先遣して、 *[[wikt:en:hortentur|hortentur]]<nowiki>que</nowiki> ut in [[wikt:en:fides#Latin|fide]] [[wikt:en:maneant|maneant]] atque hostium [[wikt:en:impetus#Latin|impetum]] magno animo [[wikt:en:sustineant|sustineant]]. **<small>（カエサルへの）</small>信義に留まって、敵たちの襲撃に大いなる決意をもって持ちこたえるように、と激励させた。 [[画像:Aqueduc2.jpg|thumb|right|250px|アゲディンクム、すなわちセノネース族（Senones）の名を残す現在の[[w:サンス|サーンス]]（Sens）に建てられたローマ時代の[[w:水道橋|水道橋]]遺跡。]] :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❹-->⁽⁴⁾ Duabus [[wikt:en:Agedincum#Latin|Agedinci]] legionibus atque [[wikt:en:impedimentum#Latin|impedimentis]] [[wikt:en:totus#Latin|totius]] [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitus]] [[wikt:en:relictus#Latin|relictis]], **アゲディンクムに、2個軍団および軍隊全体の輜重を残すと、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：アゲディンクムは敵対するセノネース族の首邑だが、<br>　　　　　[[ガリア戦記 第6巻#44節|第6巻44節]]で6個軍団を冬営させていた。<br>　　　　　現在の[[w:サンス|サーンス]]。）</span> *ad [[wikt:en:Boii#Latin|Boios]] [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]. **[[w:ボイイ族|ボイイー族]]のもとへ出発した。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===11節=== [[画像:France_-_Loiret_-_Montargis_-_Passerelle_vers_l'écluse.JPG|thumb|right|250px|ウェッラウノドゥーヌムの候補地の一つであるモンタルジ（Montargis）の運河沿いの景観。セノネース族の城塞都市ウェッラウノドゥーヌム（Vellaunodunum）が現在のどの地点に当たるのか定説はない。アゲディンクム（現在の[[w:サンス|サーンス]]）とケナブム（現在の[[w:オルレアン|オルレアン]]）の中間地点であると考えられることから、モンタルジ（[[w:en:Montargis|Montargis]]）、ボーヌ＝ラ＝ロランド（[[w:en:Beaune-la-Rolande|Beaune-la-Rolande]]）やシャトー＝ランドン（[[w:en:Château-Landon|Château-Landon]]）などが候補地に挙げられている。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/11節]]　{{進捗|00%|2026-02-02}}</span> ;セノネース族のウェッラウノドゥーヌムを降し、カルヌーテース族のケナブムを攻略 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:alter#Latin|Altero]] die **<small>（カエサルは出発して）</small>翌日に、 *cum ad [[wikt:en:oppidum#Latin|oppidum]] [[wikt:en:Senones#Latin|Senonum]] [[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunodunum]] [[wikt:en:venisset|venisset]], **セノネース族の城塞都市ウェッラウノドゥーヌムへやって来たときに、 *ne [[wikt:en:aliquem|quem]] post se hostem [[wikt:en:relinqueret|relinqueret]], **自らの後方に何らかの敵を残しておかないように、 *[[wikt:en:quo#Latin|quo]] [[wikt:en:expeditior#Latin|expeditiore]] re [[wikt:en:frumentarius#Adjective|frumentaria]] [[wikt:en:uteretur|uteretur]], **そのことにより、妨げなく糧秣供給を享受するように、 *[[wikt:en:oppugnare#Latin|oppugnare]] [[wikt:en:instituit#Latin|instituit]] **<small>（同市の）</small>攻囲を決めて、 *<u>idque</u> [[wikt:en:biduum#Latin|biduo]] [[wikt:en:circumvallavit|circumvallavit]]; **それ<small>〔城塞都市〕</small>を2日間で<small>（塁壁で）</small>囲んだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:id#Latin|id]]<nowiki>que</nowiki> だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:eo#Etymology_4|eo]]<nowiki>que</nowiki> となっている。）</span> :　 ;　　　セノネース族の城塞都市ウェッラウノドゥーヌムが降伏する *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:tertius#Latin|tertio]] die **3日目に、 *[[wikt:en:missus#Participle|missis]] ex [[wikt:en:oppidum#Latin|oppido]] [[wikt:en:legatus#Noun|legatis]] de [[wikt:en:deditio#Latin|deditione]], **城塞都市から降伏についての使節たちが遣わされて来て、 *[[wikt:en:arma#Latin|arma]] [[wikt:en:conferri|conferri]], **武器が運び集められること、 *[[wikt:en:iumentum#Latin|iumenta]] [[wikt:en:produci#Latin|produci]], **役畜が引き渡されること、 *[[wikt:en:sescenti#Latin|sescentos]] [[wikt:en:obses#Latin|obsides]] [[wikt:en:dari#Latin|dari]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]]. **600名の人質が供出されることを<small>（カエサルが）</small>命じる。 :　 ;　　　ウェッラウノドゥーヌムに副官トレボーニスと守備隊を残し、カエサル自身はケナブムへ向かう *<!--❸-->⁽³⁾ Ea qui [[wikt:en:conficeret|conficeret]], **それらのことを成就するための者として、 *[[wikt:en:Gaius#Latin|Gaium]] [[wikt:en:Trebonius#Latin|Trebonium]] [[wikt:en:legatus#Latin|legatum]] [[wikt:en:relinquit|relinquit]]. **<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レーガートゥス</rt><rp>）</rp></ruby> [[w:ガイウス・トレボニウス|ガーイウス・トレボーニウス]]を<small>（ウェッラウノドゥーヌムに）</small>残留させる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[w:la:Gaius Trebonius|Gaius Trebonius]] は、カエサルの副官の一人。）</span> *Ipse, ut quam primum iter <u>faceret</u><ref>faceret はα系写本の表記で、β系写本では conficeret となっている。</ref>, **<small>（カエサル）</small>自身は、できるだけ素早く<small>（ゴルゴビナへの）</small>行軍を成就するように、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:quam#Adverb|quam]] [[wikt:en:primum#Latin|primum]] 〜「できるだけ素早く〜」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:faceret|faceret]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:conficeret|conficeret]] となっている。）</span> *[[wikt:en:Genabum#Latin|Cenabum]] [[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnutum]] [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]; **カルヌーテース族のケナブムに出発する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ケナブム Cenabum はケルト語風の読みで、現在の[[w:オルレアン|オルレアン]]。）</span> :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ qui tum primum [[wikt:en:adlatus#Latin|adlato]] [[wikt:en:nuntium#Latin|nuntio]] de [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnatione]] [[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunoduni]], **そのとき彼ら<small>〔カルヌーテース族〕</small>は、当初はウェッラウノドゥーヌムの攻囲についての報告をもたらされて、 *cum [[wikt:en:longe#Latin|longius]] eam rem <u>ductum</u> [[wikt:en:iri#Latin|iri]] [[wikt:en:existimarent|existimarent]], **その事･軍事作戦はより長く引き延ばされて行われると考えていたので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ductus#Noun_2|ductus]] は、軍事的な指揮・作戦などを表す。[[#62節]]も同様。）</span> *[[wikt:en:praesidium#Latin|praesidium]] [[wikt:en:Genabum#Latin|Cenabi]] [[wikt:en:tuendus#Latin|tuendi]] causa, quod eo [[wikt:en:mitterent|mitterent]], [[wikt:en:comparabant|comparabant]]. **ケナブムを固守するために、守備隊をそこへ派遣することを準備していた。 :　 ;　　　カエサルが、カルヌーテース族の城塞都市ケナブムの攻囲を翌日に延期する *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:huc#Latin|Huc]] [[wikt:en:biduum#Latin|biduo]] [[wikt:en:pervenit#Etymology_1|pervenit]]. **<small>（カエサルは）</small>ここ<small>〔ケナブム〕</small>へ2日間で到着する。 *[[wikt:en:castra#Latin|Castris]] ante oppidum [[wikt:en:positus#Participle|positis]], **城塞都市の前に陣営を設置したが、 *[[wikt:en:dies#Latin|diei]] [[wikt:en:tempus#Latin|tempore]] [[wikt:en:exclusus#Latin|exclusus]] **日の時刻<small>〔夕刻〕</small>によって妨げられたので、 *in posterum [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnationem]] [[wikt:en:differt|differt]], **翌日に攻囲を延期する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：in posterum ＝ in [[wikt:en:posterus#Latin|posterum]] [[wikt:en:diem#Latin|diem]]「翌日に」）</span> *[[wikt:en:quisque#Latin|quaeque]] ad eam rem [[wikt:en:usus#Latin|usui]] [[wikt:en:sint#Latin|sint]], **その事<small>〔攻囲〕</small>に有益になることは何であれ、 *[[wikt:en:miles#Latin|militibus]] [[wikt:en:imperat|imperat]]; **兵士たちに命令する。 [[画像:Orleans.jpg|thumb|right|400px|ケナブム（Cenabum）すなわち現在の[[w:オルレアン|オルレアン]]（Orléans）を流れるリゲル川（現在の[[w:ロワール川|ロワール川]]）の景観。左が北岸のオルレアン聖十字架大聖堂、右がジョージ5世橋と思われる。]] :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ et, quod oppidum [[wikt:en:Genabum#Latin|Cenabum]] [[wikt:en:pons#Latin|pons]] [[wikt:en:flumen#Latin|fluminis]] [[wikt:en:Liger#Latin|Ligeris]] [[wikt:en:contingebat|contingebat]], **城塞都市ケナブムには、リゲル川の橋が接していたので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：リゲル川は、現在の[[w:ロワール川|ロワール川]]。）</span> *[[wikt:en:veritus#Latin|veritus]] ne [[wikt:en:noctu#Adverb|noctu]] ex oppido [[wikt:en:profugerent|profugerent]], **夜間に城塞都市から<small>（敵勢が）</small>逃亡するのではないかと恐れて、 *[[wikt:en:duo#Latin|duas]] legiones in [[wikt:en:arma#Latin|armis]] [[wikt:en:excubare|excubare]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]]. **<small>（カエサルは）</small>2個[[w:ローマ軍団|軍団]]に武装して寝ずの番をすることを命じる。 :　 ;　　　ケナブムの住民たちが退避し始める *<!--❼-->⁽⁷⁾ [[wikt:en:Genabensis#Noun|Cenabenses]] paulo ante mediam noctem **ケナブムの人々は、真夜中の少し前に *[[wikt:en:silentium#Latin|silentio]] ex oppido [[wikt:en:egressus#Participle|egressi]] **沈黙のうちに城塞都市から出て、 *flumen [[wikt:en:transire#Latin|transire]] [[wikt:en:coeperunt|coeperunt]]. **川を渡り始めた。 :　 ;　　　カエサルの諸軍団がケナブムを制圧する *<!--❽-->⁽⁸⁾ Qua re per [[wikt:en:explorator#Latin|exploratores]] [[wikt:en:nuntiatus#Latin|nuntiata]] **その事が偵察者たちによって報告されると、 *Caesar legiones, quas [[wikt:en:expeditus#Latin|expeditas]] esse [[wikt:en:iusserat|iusserat]] **カエサルは、戦備を整えることを命じていた諸軍団を、 *[[wikt:en:porta#Latin|portis]] [[wikt:en:incensus#Participle|incensis]] **<small>（ケナブムの）</small>城門を焼き打ちさせた後で、 *[[wikt:en:intromittit|intromittit]] atque oppido [[wikt:en:potitur|potitur]], **<small>（軍団を）</small>送り込み、城塞都市を占領させて、 *[[wikt:en:perpaucus#Latin|perpaucis]] ex hostium numero [[wikt:en:desideratus#Latin|desideratis]] [[wikt:en:quin#Latin|quin]] [[wikt:en:cunctus#Latin|cuncti]] [[wikt:en:caperentur#Etymology_1|caperentur]], **敵のうちからわずかな数を取り逃がしたが、むしろ皆がことごとく捕らえられた。 *quod [[wikt:en:pons#Latin|pontis]] atque [[wikt:en:iter#Latin|itinerum]] [[wikt:en:angustia#Latin|angustiae]] <u>multitudinis</u> fugam [[wikt:en:intercluserant|intercluserant]]. **──というのは、橋や道の狭さが、大勢の逃亡をさえぎったからである。── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:multitudinis|multitudinis]]_{&nbsp;(単数･属格)} だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:multitudini|multitudini]]_{&nbsp;(単数･与格)} となっている。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　カエサル勢がケナブムを略奪・焼き討ち。リゲル川を渡ってビトゥリゲース族領へ達する *<!--❾-->⁽⁹⁾ Oppidum [[wikt:en:diripit|diripit]] atque [[wikt:en:incendit|incendit]], **<small>（カエサルは）</small>城塞都市を略奪し、焼き討ちして、 *[[wikt:en:praeda#Latin|praedam]] militibus [[wikt:en:donat#Latin|donat]], **略奪品を兵士たちに与える。 *[[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] <u>Ligerem</u> [[wikt:en:traducit|traducit]] ***軍隊にリゲル川を渡らせて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:Ligerem|Ligerem]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では Ligerim となっている。）</span> *atque in [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] fines [[wikt:en:pervenit#Etymology_1|pervenit]]. *ビトゥリゲース族の領土に到達する。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===12節=== [[画像:Sancerre.jpg|thumb|right|250px|ビトゥリゲース族の城塞都市があったと考えられる[[w:サンセール|サンセール]]（[[w:en:Sancerre|Sancerre]]）の街並み。カエサルがケナブム（現[[w:オルレアン|オルレアン]]）からリゲル川（現[[w:ロワール川|ロワール川]]）沿いに当初の目的地であったゴルゴビナへ向かい、後にアウァーリクム（現[[w:ブールジュ|ブールジュ]]）へ右折したと見なせば、この地がノウィオドゥーヌムであったとも考えられる。街の名 Sancerre の意味が「カエサルに捧げられた」であるという説もある。現在は[[w:ロワールワイン|ロワールワイン]]の産地として有名で、辛口の白ワインなどの銘柄「Sancerre」にもなっている。]] [[画像:Neung-sur-Beuvron_église_Saint-Denis_1.jpg|thumb|right|250px|城塞都市ノウィオドゥーヌム（Noviodunum）の所在地として現在有力視されている[[w:ロワール＝エ＝シェール県|ロワール＝エ＝シェール県]]のヌン＝スュル＝ブーヴロン（[[w:en:Neung-sur-Beuvron|Neung-sur-Beuvron]]）のサン＝ドニ教会。カエサルは当初の目的地であったボイイー族のゴルゴビナへは真っ直ぐ向かわずに大きく迂回しており、ケナブム（現[[w:オルレアン|オルレアン]]）の南方約45kmにあるこの地点（Beuvron川沿いのNeung）がノウィオドゥーヌムであると推定されている。上空からは、ガッリア時代の城塞都市跡の輪郭が見て取れるという。しかしながら、ボイイ族からは遠い位置にある。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/12節]]　{{進捗|00%|2026-02-02}}</span> ;ビトゥリゲース族のノウィオドゥーヌムを降すが、敵の騎兵が来援 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]], ubi de Caesaris [[wikt:en:adventus#Latin|adventu]] [[wikt:en:cognovit#Latin|cognovit]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、カエサルの到来について知るや否や、 *[[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnatione]] <u>destitit</u> **<small>（ボイイー族の城塞都市ゴルゴビナの）</small>攻略を取り止めて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　　&alpha;系写本では [[wikt:en:destitit|destitit]]_{&nbsp;(完了形)} だが、<br>　　　　　&beta;系写本や印刷本では [[wikt:en:desistit#Latin|desistit]]_{&nbsp;(現在形)} となっている。）</span> *atque [[wikt:en:obviam#Adverb|obviam]] Caesari [[wikt:en:proficiscitur|proficiscitur]]. **カエサルの方に向かって進発する。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Ille oppidum [[wikt:en:Biturigēs|Biturigum]] [[wikt:en:positus#Latin|positum]] in via [[wikt:en:Noviodunum#Latin|Noviodunum]] [[wikt:en:oppugnare#Latin|oppugnare]] [[wikt:en:instituerat|instituerat]]. **彼<small>〔カエサル〕</small>は、途中に位置しているビトゥリゲース族の[[w:オッピドゥム|城塞都市]]ノウィオドゥーヌムの攻略を決めていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：どこへの途中なのか明記されていないため、その解釈により場所についての解釈が変わるようである。）</span> :　 ;　　　カエサルの城塞都市ノウィオドゥーヌムへの降伏条件 *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:qui#Determiner|Quo]] ex oppido **その城塞都市から *cum legati ad eum [[wikt:en:venissent|venissent]] [[wikt:en:oratum#Verb|oratum]] ut sibi [[wikt:en:ignosceret|ignosceret]] suaeque vitae [[wikt:en:consuleret|consuleret]], **使節たちが彼<small>〔カエサル〕</small>のもとへ、自分たちを容赦して生命を助けるように嘆願するために、やって来たときに、 *ut celeritate reliquas res [[wikt:en:conficeret|conficeret]], [[wikt:en:qui#Determiner|qua]] [[wikt:en:pleraque#Latin|pleraque]] erat [[wikt:en:consecutus#Latin|consecutus]], **<small>（カエサルは）</small>多くのことを実行してきた迅速さによって、ほかの事を成し遂げるために、 *arma [[wikt:en:conferri|conferri]], **武具が運び集められること、 *[[wikt:en:quus#Latin|equos]] [[wikt:en:produci#Verb_2|produci]], **馬匹が引き渡されること、 *obsides [[wikt:en:dari#Latin|dari]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]]. **人質が供出されること、を命じる。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Parte iam obsidum [[wikt:en:traditus#Participle|tradita]], **すでに人質の一部が移送されて、 *cum [[wikt:en:reliqua#Latin|reliqua]] [[wikt:en:administrarentur|administrarentur]], **残り<small>（の人質たち）</small>が処置されていたときに、 *[[wikt:en:centurio#Latin|centurionibus]] et paucis [[wikt:en:miles#Latin|militibus]] [[wikt:en:intromissus#Latin|intromissis]], qui arma [[wikt:en:iumentum#Latin|iumenta]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:conquirerent|conquirerent]], **<ruby><rb>[[w:ケントゥリオ|百人隊長]]</rb><rp>（</rp><rt>ケントゥリオ</rt><rp>）</rp></ruby>たちや若干の兵士たちが、武器や[[w:使役動物|役畜]]を探し集めるべく<small>（城塞都市の中に）</small>送り込まれていたのだが、 *[[wikt:en:equitatus#Noun|equitatus]] hostium procul [[wikt:en:visus#Latin|visus]] est, qui [[wikt:en:agmen#Latin|agmen]] [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigis]] [[wikt:en:antecesserat|antecesserat]]. **ウェルキンゲトリークスの隊列に先行していた敵の[[w:騎兵|騎兵隊]]が遠くに望見された。 :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスの来援に気づいた城塞の者たちが、籠城に転じる *<!--❺-->⁽⁵⁾ Quem [[wikt:en:simulatque|simulatque]] [[wikt:en:oppidanus#Noun|oppidani]] [[wikt:en:conspexerunt|conspexerunt]] atque in [[wikt:en:spes#Latin|spem]] [[wikt:en:auxilium#Latin|auxilii]] [[wikt:en:venerunt|venerunt]], **それ<small></small>を城塞都市の者たちが視認して、救援の希望を抱くや否や、 *[[wikt:en:clamor#Latin|clamore]] [[wikt:en:sublatus#Etymology_1|sublato]] **雄叫びを上げて、 *arma capere, **武具を取ること、 *portas [[wikt:en:claudere#Etymology_1|claudere]], **城門を閉じること、 *[[wikt:en:murus#Latin|murum]] [[wikt:en:complere|complere]] [[wikt:en:coeperunt|coeperunt]]. **城壁を<small>（兵で）</small>満たすこと、を始めた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：sublato は　[[wikt:en:tollo|tollo]] の分詞）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　城塞民たちの心変わりに感づいたローマ人の将兵たちが城外に撤収する *<!--❻-->⁽⁶⁾ [[wikt:en:centurio#Latin|Centuriones]] in oppido, **城塞都市の中の<small>（カエサルの配下の）</small>百人隊長たちは、 *cum ex [[wikt:en:significatio#Latin|significatione]] Gallorum [[wikt:en:novus#Latin|novi]] [[wikt:en:aliquis#Latin|aliquid]] ab iis [[wikt:en:iniri#Latin|iniri]] consilii [[wikt:en:intellexissent|intellexissent]], **ガッリア人たちの兆候から、彼らによる何らかの新たな謀りごとが始められていると察知していたので、 *[[wikt:en:gladius#Latin|gladiis]] [[wikt:en:destrictus#Latin|destrictis]] **<ruby><rb>[[w:グラディウス (武器)|長剣]]</rb><rp>（</rp><rt>グラディウス</rt><rp>）</rp></ruby> を抜いて、 *portas [[wikt:en:occupaverunt|occupaverunt]] **城門を占拠して、 *suosque omnes [[wikt:en:incolumis#Latin|incolumes]] [[wikt:en:receperunt|receperunt]]. **配下たち皆を無傷なままで退却させた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===13節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/13節]]　{{進捗|00%|2026-02-15}}</span> [[画像:Caesar's_campaign_to_Noviodunum_in_52BC.png|thumb|right|250px|ノウィオドゥーヌムに至るカエサルの進路（青線）および[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の進路（赤線）。青字名は親ローマ部族、赤字名は反ローマ部族。カエサルはアゲディンクムを発してからウェッラウノドゥーヌム、ケナブム、ノウィオドゥーヌムを続けて降し、ボイイー族のゴルゴビナ攻略を諦めたウェルキンゲトリークスもノウィオドゥーヌム来援に駆けつけて来た。ここに、初めて両軍が騎兵戦で激突することになった。]] ;同盟軍の騎兵を撃退、城塞都市を再び降して、アウァーリクム攻めに向かう :　 ;　　　カエサルが、騎兵戦の切り札としてゲルマーニア騎兵を繰り出す *<!--❶-->⁽¹⁾ Caesar ex castris [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatum]] [[wikt:en:educi#Latin|educi]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]], **カエサルは、陣営から[[w:騎兵|騎兵隊]]を進発させることを命じて、 *<u>[[wikt:en:proelium#Latin|proelium]]</u> [[wikt:en:equester#Latin|equestre]] [[wikt:en:committit|committit]]; **<small>（ウェルキンゲトリークス勢と）</small>騎兵戦を交える。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　　&alpha;系写本では proelium だが、<br>　　　　　&beta;系写本では proelium<u>que</u> となっている。）</span> *[[wikt:en:laborans#Latin|laborantibus]] iam suis **配下の者たちがすでに苦戦していたときに、 *[[wikt:en:Germanus#Adjective|Germanos]] [[wikt:en:eques#Latin|equites]] circiter CCCC([[wikt:en:quadringentos|quadringentos]]) [[wikt:en:submittit|submittit]], **<small>（カエサルは）</small>[[w:ゲルマニア|ゲルマーニア]]人の騎兵たち約400騎を救援に派遣する。 *quos ab [[wikt:en:initium#Latin|initio]] <u>habere [[wikt:en:secum#Latin|secum]]</u> [[wikt:en:instituerat|instituerat]]. **その者らは<small>（戦いの）</small>当初から自分のそばに保持すると決めていたものであった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　　&chi;系･B･M･S写本では habere secum だが、<br>　　　　　&beta;系･L･N写本では secum habere となっている。）</span> :　 ;　　　ゲルマーニア騎兵が、ウェルキンゲトリークス配下の騎兵を一蹴する *<!--❷-->⁽²⁾ Eorum [[wikt:en:impetus#Latin|impetum]] [[wikt:en:Galli#Latin|Galli]] [[wikt:en:sustineo#Latin|sustinere]] non [[wikt:en:potuerunt|potuerunt]] **彼ら<small>〔ゲルマーニア人騎兵〕</small>の突撃に<small>（敵側の）</small>ガッリア人たちは持ちこたえることができず、 *atque in fugam [[wikt:en:coniectus#Participle|coniecti]] **敗走に追いやられて、 *multis [[wikt:en:amissus#Latin|amissis]] **大勢の者を失い、 *se ad [[wikt:en:agmen#Latin|agmen]] [[wikt:en:receperunt|receperunt]]. **<small>（後方にいたウェルキンゲトリークスの）</small>隊列に退却した。 :　 ;　　　城塞都市ノウィオドゥーヌムがカエサルの軍門に降る *Quibus [[wikt:en:profligatus#Latin|profligatis]], **彼ら<small>〔ウェルキンゲトリークスの騎兵隊〕</small>が制圧されると、 *rursus [[wikt:en:oppidanus#Noun|oppidani]] [[wikt:en:perterritus#Latin|perterriti]] **[[w:オッピドゥム|城塞都市]]<small>〔ノウィオドゥーヌム〕</small>の者たちは再び怖れをなして、 *[[wikt:en:comprehensus#Latin|comprehensos]] eos, quorum [[wikt:en:opera#Latin|opera]] [[wikt:en:plebs#Latin|plebem]] [[wikt:en:concitatus#Latin|concitatam]] [[wikt:en:existimabant|existimabant]], **その働きかけによって民衆を扇動したと<small>（城塞の民が）</small>考えていたところの者たちを拘束して、 *ad Caesarem [[wikt:en:perduxerunt|perduxerunt]] **カエサルのもとへ連行して、 *seseque ei [[wikt:en:dediderunt|dediderunt]]. **自分たちも彼<small>〔カエサル〕</small>に降伏した。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　カエサルが、ビトゥリゲース族の城塞都市アウァーリクムを目指す *<!--❸-->⁽³⁾ Quibus rebus [[wikt:en:confectus#Latin|confectis]], **それらの事が成し遂げられると、 *Caesar ad oppidum [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avaricum]], **カエサルは、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]アウァーリクムへ、 *quod erat [[wikt:en:maximus#Latin|maximum]] [[wikt:en:munitissimus#Latin|munitissimum]]<nowiki>que</nowiki> in finibus [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] atque [[wikt:en:ager#Latin|agri]] [[wikt:en:fertilissimus#Latin|fertilissima]] [[wikt:en:regio#Latin|regione]], **──それはビトゥリゲース族の領土で耕地の最も肥沃な地方にあり、最大かつ最も要塞化されていたが、── *[[wikt:en:profectus#Etymology_3|profectus]] est, **<small>（そこへ）</small>出発した。 *quod eo oppido [[wikt:en:receptus#Latin|recepto]] **──というのは、その城塞都市を獲得することで、 *[[wikt:en:civitas#Latin|civitatem]] [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] se in [[wikt:en:potestas#Latin|potestatem]] [[wikt:en:redacturus#Latin|redacturum]] [[wikt:en:confidebat|confidebat]]. **ビトゥリゲースの部族国家を<small>（カエサルの）</small>隷下に引き戻すであろうと、確信していたからである──。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ==アウァーリクム攻略戦== ===14節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/14節]]　{{進捗|00%|2026-03-08}}</span> ;ウェルキンゲトリークスが兵站妨害と焦土戦術を決断 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]] tot [[wikt:en:continuus#Latin|continuis]] [[wikt:en:incommodum#Latin|incommodis]] [[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunoduni]], [[wikt:en:Genabum#Latin|Cenabi]], [[wikt:en:Noviodunum#Latin|Novioduni]] [[wikt:en:acceptus#Latin|acceptis]] **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、ウェッラウノドゥーヌム、ケナブム、ノウィオドゥーヌムと、このような多くの引き続く敗北をこうむると、 *suos ad [[wikt:en:concilium#Latin|concilium]] [[wikt:en:convocat#Latin|convocat]]. **麾下の者たちを会合へ召集する。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　ウェルキンゲトリークスが、ローマ勢の糧道を断つことを提言 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:docet|Docet]] longe alia ratione esse bellum [[wikt:en:gerendus#Latin|gerendum]] atque antea [[wikt:en:gestus#Participle|gestum]] sit. **以前に遂行されていたのとはまったく別の作戦で戦争が遂行されるべきである、と説く。 *Omnibus [[wikt:en:modus#Latin|modis]] huic rei studendum, ut [[wikt:en:pabulatio#Latin|pabulatione]] et [[wikt:en:commeatus#Noun|commeatu]] Romani [[wikt:en:prohibeantur|prohibeantur]]. **ローマ人たちが[[w:糧秣|糧秣]]徴発と物資輸送を妨げられるべく、この事をあらゆる方法で追求するべきだ。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Id esse facile, **そのことは、容易である。 *quod [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatu]] ipsi [[wikt:en:abundent#Latin|abundent]] **というのは<small>（我々ガッリア勢）</small>自身は[[w:騎兵|騎兵隊]]がたくさんおり、 *et quod anni tempore [[wikt:en:subleventur|subleventur]]. **<small>（冬という）</small>時季に支えられているのだから。 :　 ;　　　ローマ人が穀物倉に群がるところを騎兵で襲撃するべし *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:pabulum#Latin|Pabulum]] [[wikt:en:secari|secari]] non posse; **<small>（この時季には）</small><ruby><rb>[[w:秣|秣]]</rb><rp>（</rp><rt>まぐさ</rt><rp>）</rp></ruby> は刈り取られることができない。 *[[wikt:en:necessario#Adverb|necessario]] [[wikt:en:dispersus#Latin|dispersos]] hostes ex [[wikt:en:aedificium#Latin|aedificiis]] [[wikt:en:petere|petere]]; **敵たち<small>〔ローマ勢〕</small>はやむなく分散して、家屋から<small>（糧秣を）</small>求める。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ほとんどの会話が間接話法を採る本書で、<br>　　　　ローマ勢が「敵」hostes と表現されることは極めてまれである。）</span> *hos omnes [[wikt:en:cotidie#Latin|cotidie]] ab [[wikt:en:eques#Latin|equitibus]] <u>deleri</u> posse. **これら皆を日々に<small>（ガッリア側の）</small>騎兵隊によって壊滅させることができる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&beta;系写本では [[wikt:en:deleri|deleri]]「滅ぼされる」だが、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本では [[wikt:en:diligi#Latin|diligi]]「分断される」となっている。）</span> :　 ;　　　焦土戦術をもって、ローマ人と軍馬を飢えさせるべし *<!--❺-->⁽⁵⁾ Praeterea [[wikt:en:salus#Latin|salutis]] causa rei [[wikt:en:familiaris#Adjective|familiaris]] [[wikt:en:commodum#Latin|commoda]] [[wikt:en:neglegendus#Latin|neglegenda]]; **さらに<small>（同盟諸部族に共通の）</small>安全のために、私有資産の利益はなおざりにされるべきだ。 *[[wikt:en:vicus#Latin|vicos]] atque [[wikt:en:aedificium#Latin|aedificia]] [[wikt:en:incendi#Verb_2|incendi]] [[wikt:en:oportet#Latin|oportere]] **<small>（以下のような領域の）</small>村々や建物は焼かれるべきだ。 *hoc spatio ab Boia quoque versus, quo [[wikt:en:pabulandi#Verb|pabulandi]] causa [[wikt:en:adire#Latin|adire]] posse [[wikt:en:videantur|videantur]]. **[[w:ボイイ族|ボイイー族]]のところから四方八方へ糧秣徴発するために赴くことができると思われる領域では。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：主要写本&omega; にある ab Boia「ボイイー族のところから」は、<br>　　　　現代では「街道から」ab via と修正読みされることが多い。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:quoque#Latin|quōque]] [[wikt:en:versus#Adverb|versus]] ＝ [[wikt:en:quisque#Latin|quōquō]] versus「あらゆる方向へ」）</span> [[画像:Eglise_saint_parize_le_chatel.jpg|thumb|right|250px|ボイイ族（Boii）の領内であったと思われる現在のサン＝パリーズ＝ル＝シャテルの教会。ボイイー族の首邑ゴルゴビナは、[[w:ニエーヴル県|ニエーヴル県]]のサン＝パリーズ＝ル＝シャテル（[[w:en:Saint-Parize-le-Châtel|Saint-Parize-le-Châtel]]）あるいは[[w:シェール県|シェール県]]のラ・ゲルシュ＝スュル＝ローボワ（[[w:en:La Guerche-sur-l'Aubois|La Guerche-sur-l'Aubois]]）の近辺にあったと推定されている。]] :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ Harum ipsis rerum copiam [[wikt:en:suppeto#Latin|suppetere]], **<small>（ガッリア勢）</small>自身には、これらの物は、豊富に貯えてある。 *quod quorum in finibus bellum [[wikt:en:geratur|geratur]], eorum [[wikt:en:ops#Noun_4|opibus]] [[wikt:en:subleventur|subleventur]]; **──というのは、戦争が遂行される領土内の者たちの、彼らの助力に支えられているからだ。── :　 *<!--❼-->⁽⁷⁾ Romanos <u>aut</u> [[wikt:en:inopia#Latin|inopiam]] non [[wikt:en:laturus#Latin|laturos]] <span style="color:#009900;">(esse)</span> **ローマ人たちは、あるいは<small>（糧食の）</small>欠乏に耐えられないであろうし、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:aut#Latin|aut]] ～ aut …「あるいは～あるいは…」）</span> *<u>aut</u> magno <u>cum</u> periculo longius <u>ab</u> castris [[wikt:en:processurus#Latin|processuros]] <span style="color:#009900;">(esse)</span>; **あるいは大きな危険とともに陣営からより遠くに進み出るであろう。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：cum は、&rho;系写本・写本Tの記述で、<br>　　　　　　　　&alpha;系写本・写本Vにはない。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ab は、&alpha;系・&rho;系写本・写本Vの記述で、写本Tでは a となっている。）</span> :　 *<!--❽-->⁽⁸⁾ neque [[wikt:en:interesse#Latin|interesse]], ipsos<u>ne</u> [[wikt:en:interficiant|interficiant]], [[wikt:en:impedimentum#Latin|impedimentis]]<u><nowiki>ne</nowiki></u> [[wikt:en:exuant|exuant]], **<small>（ローマ人の）</small>当人たちを殺戮するか、輜重を奪い取るか、<small>（どちらであろうが）</small>違いはない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:-ne#Latin|-ne]] は疑問小辞。～ -ne, … -ne 「～か、…か」）</span> *quibus [[wikt:en:amissus#Latin|amissis]] bellum [[wikt:en:geri#Latin|geri]] non [[wikt:en:possit|possit]]. **それら<small>〔輜重〕</small>を失えば、戦争を遂行することができないのだから。 :　 *<!--❾-->⁽⁹⁾ Praeterea oppida [[wikt:en:incendi#Verb_2|incendi]] [[wikt:en:oportet#Latin|oportere]], **さらに、<small>（以下のような）</small>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]は焼かれなければならない。 *quae non [[wikt:en:munitio#Latin|munitione]] et loci natura <u>ab omni</u> sint <u>periculo</u> [[wikt:en:tutus#Latin|tuta]], **防塁や地勢によってあらゆる危険から守られていない<small>（城塞都市は）</small>。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ab [[wikt:en:omni#Latin|omni]] [[wikt:en:periculum#Latin|periculo]] 「あらゆる危険から」）</span> *<u>neu</u> suis sint ad <u>detrectandam</u> [[wikt:en:militia#Latin|militiam]] [[wikt:en:receptaculum#Latin|receptacula]] **麾下の者たちにとっては<small>（城塞都市が）</small>[[w:兵役逃れ|兵役を忌避すること]]のための隠れ場所になることがないように、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:neu#Latin|neu]] は &alpha;系写本の記述で、&beta;系写本では [[wikt:en:ne#Latin|ne]] となっている。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:detrectandam|detrectandam]] は &alpha;系・&rho;系写本の表記で、&pi;系写本では [[wikt:en:detractandam|detractandam]] となっている。）</span> *neu [[wikt:en:Romani#Latin|Romanis]] [[wikt:en:propositus#Latin|proposita]] ad [[wikt:en:copia#Latin|copiam]] [[wikt:en:commeatus#Noun|commeatus]] [[wikt:en:praeda#Latin|praedam]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:tollendus#Latin|tollendam]], **ローマ人たちにとって<small>（城塞都市が）</small>豊富な物資や戦利品を奪うための置き場所ともならないように。 :　 *<!--❿-->⁽¹⁰⁾ Haec si [[wikt:en:gravis#Latin|gravia]] aut [[wikt:en:acerbus#Latin|acerba]] [[wikt:en:videantur|videantur]], **もし、これら<small>（の作戦）</small>が厳しい、または苦しいと見えるとしても、 *multo illa [[wikt:en:graviter#Latin|gravius]] <u>aestimare</u>, [[wikt:en:liber#Noun_6|liberos]], [[wikt:en:coniunx#Latin|coniuges]] in [[wikt:en:servitus#Latin|servitutem]] [[wikt:en:abstrahi|abstrahi]], ipsos [[wikt:en:interfici|interfici]]; **それより、子供や配偶者たちが奴隷状態で連れ去られ、自身が殺されることの方が、はるかに厳しいと判断されるべきだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:aestimare|aestimare]] だが、 <br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:aestimari|aestimari]] [[wikt:en:debere|debere]] となっている。）</span> *quae sit [[wikt:en:necesse#Latin|necesse]] [[wikt:en:accido#Etymology_1|accidere]] [[wikt:en:victus#Participle|victis]]. **それらのことは、打ち負かされた者たちには、起こることが必然なのである。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===15節=== [[画像:Bourges_-_002_-_Low_Res.jpg|thumb|right|300px|'''アウァーリクム'''（Avaricum）すなわちビトゥリゲース族（Bituriges）の名を残すともいわれる現在の[[w:ブールジュ|ブールジュ]]（Bourges）の[[w:サン＝テチエンヌ大聖堂 (ブールジュ)|サン＝テティエンヌ大聖堂]]（[[w:世界遺産|世界遺産]]）。この街はガッリア時代からこの地方の中心的な城塞都市であり、現代ではそれほど大都会ではないが、世界遺産の大聖堂や音楽祭などで広く知られている。]] [[画像:Bourges.JPG|thumb|right|300px|アウァーリクムすなわち[[w:ブールジュ|ブールジュ]]の大聖堂から眺めた街並み。'''ビトゥリゲース族'''はかつてはイタリア北部に移住したこともある強大な部族で、この当時はブルディガラ（Burdigala：現在の[[w:ボルドー|ボルドー]]）周辺にいたビトゥリゲース・ウィウィスキ族（Bituriges Vivisci）およびアウァーリクム周辺にいた'''ビトゥリゲース・クビ族'''（Bituriges Cubi）の二派に分かれていた。『ガリア戦記』に登場するのはビトゥリゲース・クビ族の方である。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/15節]]　{{進捗|00%|2026-03-08}}</span> ;焦土戦術開始、しかしアウァーリクムの防衛を決定 :　 ;　　　焦土戦術として、ビトゥリゲース族の街々が焼かれる *<!--❶-->⁽¹⁾ Omnium [[wikt:en:consensus#Latin|consensu]] **<small>（会合の参加者）</small>全員の合意により *hac [[wikt:en:sententia#Latin|sententia]] [[wikt:en:probatus#Latin|probata]], **<small>（ウェルキンゲトリークスの）</small>この意向が承認されると、 *uno die [[wikt:en:amplius|amplius]] [[wikt:en:viginti|viginti]]_(XX) [[wikt:en:urbs#Latin|urbes]] [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] [[wikt:en:incenduntur|incenduntur]]. **一日で、20より多いビトゥリゲース族の街々が焼かれる。 :　 ;　　　ほかの諸部族の街々も焼かれる *<!--❷-->⁽²⁾ Hoc idem fit in reliquis [[wikt:en:civitas#Latin|civitatibus]]: **これと同じことが、ほかの諸部族でも行なわれて、 *in omnibus partibus **あらゆる方面において、 *[[wikt:en:incendium#Latin|incendia]] [[wikt:en:conspiciuntur|conspiciuntur]]; **炎上が望見される。 *quae <u>etsi</u> magno cum [[wikt:en:dolor#Latin|dolore]] omnes [[wikt:en:ferebant|ferebant]], **それらの皆が大きな悲嘆とともに耐えていたとしても、 *<u>tamen</u> hoc sibi [[wikt:en:solacium#Latin|solacii]] [[wikt:en:proponebant|proponebant]], **しかし、自分らにとっての<small>（以下の）</small>慰めを抱いていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:etsi#Latin|etsi]] ～ [[wikt:en:tamen#Latin|tamen]] …<br>　　　　「～としても、にもかかわらず…」）</span> *quod se prope [[wikt:en:exploratus#Latin|explorata]] [[wikt:en:victoria#Latin|victoria]] **勝利はほぼ確実なものとされて、 *celeriter [[wikt:en:amissus#Latin|amissa]] [[wikt:en:reciperaturus#Latin|reciperaturos]] <span style="color:#009900;">(esse)</span> **失ったものを速やかに回復するであろう、 *[[wikt:en:confidebant|confidebant]]. **と確信していたことである。 :　 ;　　　アウァーリクムは、焦土戦術か、それとも防衛すべきか？ *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:deliberatur|Deliberatur]] de [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avarico]] in [[wikt:en:communis#Latin|communi]] [[wikt:en:concilium#Latin|concilio]], [[wikt:en:incendi#Latin|incendi]] <u>placeret</u> an [[wikt:en:defendi#Latin|defendi]]. **合同の会合において、アウァーリクムについて (も) 焼き討ちが良いか、あるいは防衛か、が吟味される。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:placeret|placeret]]_{(接続法･未完了過去)} だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:placeat|placeat]]_{(接続法･現在)} となっている。）</span> :　 ;　　　ビトゥリゲース族が、要害であるアウァーリクムの防衛を懇願する *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:procumbunt|Procumbunt]] omnibus Gallis ad pedes [[wikt:en:Bituriges#Latin|Bituriges]], **<small>（会合に参加していた）</small>すべてのガッリア人の足元へ、ビトゥリゲース族の者たちはひれ伏す。 *ne [[wikt:en:pulcherrimus#Latin|pulcherrimam]] prope <u>[[wikt:en:totus#Latin|totius]] Galliae</u> [[wikt:en:urbs#Latin|urbem]], quae <u>et</u> [[wikt:en:praesidium#Latin|praesidio]] et [[wikt:en:ornamentum#Latin|ornamento]] sit [[wikt:en:civitas#Latin|civitati]], **ほぼ全ガッリアの街々で最も美しいもの、部族にとっては要害でも誉れでもあるものを、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：totius Galliae は &alpha;系写本の語順で、&beta;系写本では Galliae totius となっている。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：et は &beta;系写本にはあるが、&alpha;系写本にはない。）</span> *suis manibus [[wikt:en:succendo#Latin|succendere]] [[wikt:en:cogerentur|cogerentur]]; **自分たちの手で燃やすことを強いられないように、と（懇願した）。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ne ～ cogerentur；～を強いられないように）</span> :　 ;　　　アウァーリクムの地の利 *<!--❺-->⁽⁵⁾ facile se loci natura [[wikt:en:defensurus#Latin|defensuros]] [[wikt:en:dicunt|dicunt]], **自分たちは<small>（アウァーリクムを）</small>地勢によって容易に防衛するだろう、と述べる。 *quod prope ex omnibus partibus [[wikt:en:flumen#Latin|flumine]] et [[wikt:en:palus#Latin|palude]] [[wikt:en:circumdatus#Latin|circumdata]] **というのは<small>（アウァーリクムは）</small>ほぼあらゆる方向から川や沼地で囲まれており、 *unum habeat et [[wikt:en:perangustus#Latin|perangustum]] [[wikt:en:aditus#Latin|aditum]]. **一つだけ、非常に狭い進入路を持っているからだ。 [[画像:Bourges_2.JPG|thumb|right|300px|アウァーリクムすなわち[[w:ブールジュ|ブールジュ]]の大聖堂から眺めた沼地。イェーヴル川（[[w:fr:Yèvre (Cher)|fr:Yèvre]]）と沼地は、カエサルが書いたようにガッリア時代からこの街を囲んでいる。]] :　 ;　　　アウァーリクムの防衛が認められる *<!--❻-->⁽⁶⁾ [[wikt:en:datur#Latin|Datur]] [[wikt:en:petens#Latin|petentibus]] [[wikt:en:venia#Latin|venia]] **<small>（アウァーリクムの防衛を）</small>求める者たちに許可が与えられる。 *[[wikt:en:dissuadens#Latin|dissuadente]] primo [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorige]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は当初は思い止まらせていたが、 *post [[wikt:en:concedens#Latin|concedente]] et [[wikt:en:prex#Latin|precibus]] ipsorum et [[wikt:en:misericordia#Latin|misericordia]] [[wikt:en:vulgus#Latin|vulgi]]. **後には、彼ら当人の懇願にも、民衆への哀れみにも、譲歩した。 *[[wikt:en:defensor#Latin|Defensores]] [[wikt:en:oppidum#Latin|oppido]] [[wikt:en:idoneus#Latin|idonei]] [[wikt:en:deliguntur|deliguntur]]. **城塞都市の適切な防衛者たちが選ばれる。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===16節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/16節]]　{{進捗|00%|2026-03-22}}</span> ;アウァーリクムをめぐる両軍の駆け引き :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスが、アウァーリクムから16マイル離れたところに宿営する *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]] [[wikt:en:minor#Latin|minoribus]] Caesarem [[wikt:en:iter#Latin|itineribus]] [[wikt:en:subsequitur|subsequitur]] **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、カエサルを緩やかな行軍で追尾して、 *et locum [[wikt:en:castra#Latin|castris]] [[wikt:en:eligit#Latin|deligit]] [[wikt:en:palus#Latin|paludibus]] [[wikt:en:silva#Latin|silvis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:munitus#Latin|munitum]] **沼地や森林で防御された地点を陣営のために選んだ。 *ab [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avarico]] longe milia passuum [[wikt:en:sedecim#Latin|sedecim]]_(XVI). **アウァーリクムから16<u>ローママイル</u>隔たっていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ミーッレ・パッスーム、ミーリア（ローママイル）|ローママイル]]は約1.48 kmで、16マイルは約24 km）</span> :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスが、斥候を放ってアウァーリクムを探り、部下たちに指図する *<!--❷-->⁽²⁾ Ibi per [[wikt:en:certus#Latin|certos]] [[wikt:en:explorator#Latin|exploratores]] **そこで、一定の斥候たちを通して、 *in [[wikt:en:singulus#Latin|singula]] diei tempora, quae ad [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avaricum]] <u>agerentur</u>, [[wikt:en:cognoscebat|cognoscebat]] **日中の毎時、アウァーリクム近傍で行なわれていることを探知して、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:agerentur|agerentur]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:gererentur|gererentur]] となっている。）</span> *et, [[wikt:en:quis#Latin|quid]] [[wikt:en:fieri#Latin|fieri]] [[wikt:en:vellet#Latin|vellet]], [[wikt:en:imperabat|imperabat]]. **<small>（彼自身が）</small>なされることを欲していることを<small>（麾下の者たちに）</small>命令していた。 :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスとローマ勢の糧秣調達をめぐる攻防 *<!--❸-->⁽³⁾ Omnes nostras [[wikt:en:pabulatio#Latin|pabulationes]] [[wikt:en:frumentatio#Latin|frumentationes]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:observabat|observabat]] **我が方<small>〔ローマ勢〕</small>の[[w:糧秣|秣や糧食]]の徴発の一部始終を注視していて、 *[[wikt:en:dispersus#Latin|dispersos]]<nowiki>que</nowiki>, cum longius necessario [[wikt:en:procederent|procederent]], [[wikt:en:adoriebatur|adoriebatur]] **<small>（ローマ勢が）</small>分散して、やむを得ずにはるか遠くに進み出たときに、<small>（ガッリア勢が）</small>襲いかかって、 *[[wikt:en:magnus#Latin|magno]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:incommodum#Latin|incommodo]] [[wikt:en:adficiebat|adficiebat]], **<small>（ローマ勢に）</small>大きな損害を与えていた。 *[[wikt:en:etsi#Latin|etsi]], quantum [[wikt:en:ratio#Latin|ratione]] [[wikt:en:provideri|provideri]] [[wikt:en:poterat|poterat]], ab nostris [[wikt:en:occurrebatur|occurrebatur]], **とはいえ、できるかぎり用心する判断により<small>（敵の襲撃を）</small>我が方<small>〔ローマ勢〕</small>によって阻止していた。 *ut [[wikt:en:incertus#Latin|incertis]] temporibus [[wikt:en:diversus#Latin|diversis]]<nowiki>que</nowiki> itineribus [[wikt:en:iretur|iretur]]. **不確定な時間帯にまったく別々の道を行き来するというように。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===17節=== [[画像:Carte_du_Cher.svg|thumb|right|250px|アウァーリクム、すなわち現在の[[w:ブールジュ|ブールジュ市]]（Bourges）のあるフランス・[[w:シェール県|シェール県]]の地図。中心にブールジュがあり、右下（南東）のラ・ゲルシュ＝スュル＝ローボワ（[[w:en:La Guerche-sur-l'Aubois|La Guerche-sur-l'Aubois]]）の近辺にボイイー族の首邑ゴルゴビナ（Gorgobina）があったと推定されている。右（東）隣の[[w:ニエーヴル県|ニエーヴル県]]（Nièvre）が[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の版図であった。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/17節]]　{{進捗|00%|2026-03-28}}</span> ;アウァーリクム攻囲に取りかかるローマ軍の糧秣欠乏 :　 ;　　　カエサルが、アウァーリクム攻囲のための堡塁工事に着手 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:castra#Latin|Castris]] ad eam partem [[wikt:en:oppidum#Latin|oppidi]] [[wikt:en:positus#Participle|positis]] Caesar, **カエサルは、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]の<small>（以下に述べるような）</small>方面に陣営を設置して、 *quae [[wikt:en:intermissus#Latin|intermissa]] a flumine et a <u>paludibus</u> **──<small>（その方面は）</small>川や沼地により<small>（外部から）</small>遮断されて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:paludibus|paludibus]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:palude#Latin|palude]] となっている。）</span> *[[wikt:en:aditus#Noun_3|aditum]], ut supra [[wikt:en:diximus#Latin|diximus]], [[wikt:en:angustus#Latin|angustum]] [[wikt:en:habebat|habebat]], **<u>前に述べたように</u>、狭い進入路を持っているというものであるが、── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[#15節|15節]]⑤項では、<br>　　　　ほぼあらゆる方向から川や沼地で囲まれており、<br>　　　　一つだけ、非常に狭い進入路を持っている、<br>　　　　と言及された。）</span> *[[wikt:en:agger#Latin|aggerem]] [[wikt:en:apparare#Latin|apparare]], **<small>（さらに）</small><ruby><rb>[[w:土塁|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby> を装備すること、 *[[wikt:en:vinea#Latin|vineas]] [[wikt:en:ago#Latin|agere]], **<ruby><rb>[[w:ウィネア|工作小屋]]</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby> を駆動すること、 *[[wikt:en:turris#Latin|turres]] duas [[wikt:en:constituo#Latin|constituere]] [[wikt:en:coepit|coepit]]; **2つの<ruby><rb>[[w:攻城塔|攻城櫓]]</rb><rp>（</rp><rt>トゥッリス</rt><rp>）</rp></ruby> を建てること、を始めた。 *nam [[wikt:en:circumvallo#Latin|circumvallare]] loci natura [[wikt:en:prohibebat|prohibebat]]. **なぜなら<small>（城塞都市を）</small>堡塁で囲むことを地勢が妨げていたからだ。 <div style="text-align:center;"> {| |- |[[画像:Caesar's Gallic war; (Allen and Greenough's ed.) (1898) (14781415375).jpg|thumb|right|350px|城壁(図中の左端)を攻略するために築かれた<ruby><rb>土塁</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby> の復元画（[[ガリア戦記_第2巻#12節|第2巻12節]]で既出）。左上には、両軍の<ruby><rb>[[w:攻城塔|攻城櫓]]</rb><rp>（</rp><rt>トゥッリス</rt><rp>）</rp></ruby>が描かれている。]] |[[画像:Bender - Vinea.JPG|thumb|right|350px|<ruby><rb>工作小屋</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby> [[wikt:en:vinea|vinea]] の復元画（[[ガリア戦記_第2巻#12節|第2巻12節]]で既出）。敵の矢玉などから身を守りながら城壁に近づくために用いられたと考えられている。]] |} </div> :　 ;　　　カエサルが、同盟者であるボイイー族やハエドゥイー族に、糧秣徴発を促す *<!--❷-->⁽²⁾ De re [[wikt:en:frumentarius#Adjective|frumentaria]] **<small>（カエサルは）</small>[[w:糧秣|糧秣]]調達について、 *[[wikt:en:Boii#Latin|Boios]] atque [[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduos]] [[wikt:en:adhortari|adhortari]] non [[wikt:en:destitit|destitit]]; **[[w:ボイイ族|ボイイー族]]や[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]を鼓舞することを止めなかった。 *quorum [[wikt:en:alter#Latin|alteri]], quod [[wikt:en:nullus#Determiner|nullo]] [[wikt:en:studium#Latin|studio]] [[wikt:en:agebant|agebant]], non multum [[wikt:en:adiuvabant|adiuvabant]], **彼らのうち一方<small>〔ハエドゥイー族〕</small>は、何らの努力を行なわなかったので、あまり助けにならなかった。 *[[wikt:en:alter#Latin|alteri]] non magnis [[wikt:en:facultas#Latin|facultatibus]], quod [[wikt:en:civitas#Latin|civitas]] erat [[wikt:en:exiguus#Latin|exigua]] et [[wikt:en:infirmus#Latin|infirma]], **他方<small>〔ボイイー族〕</small>は、貧弱かつ無力な部族であったので、大した貯えもなく、 *celeriter quod [[wikt:en:habuerunt|habuerunt]] [[wikt:en:consumpserunt|consumpserunt]]. **早々と持っていたものを消費し切ってしまった。 :　 ;　　　糧秣の欠乏が続くが、ローマの将兵たちが耐え抜く *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:summus#Latin|Summa]] [[wikt:en:difficultas#Latin|difficultate]] rei [[wikt:en:frumentarius#Adjective|frumentariae]] [[wikt:en:adfectus#Latin|adfecto]] [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitu]] **<small>（ローマ人の）</small>軍隊は糧秣調達の大いなる困難さに苦悩させられながらも、 *[[wikt:en:tenuitas#Latin|tenuitate]] [[wikt:en:Boii#Latin|Boiorum]], **──<small>（その困難は）</small>ボイイー族の微力さ、 *[[wikt:en:indiligentia#Latin|indiligentia]] [[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduorum]], **ハエドゥイー族の怠慢、 *[[wikt:en:incendium#Latin|incendiis]] [[wikt:en:aedificium#Latin|aedificiorum]], **<small>（敵勢による）</small>家屋の焼き打ちによるものであったが、── *usque eo ut [[wikt:en:complures#Determiner|complures]] dies [[wikt:en:frumentum#Latin|frumento]] [[wikt:en:miles#Latin|milites]] [[wikt:en:caruerint|caruerint]] **かなりの日々にわたって兵士たちは糧食を欠くまでになり、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:usque#Latin|usque]] eo ut ～「～まで」）</span> *et [[wikt:en:pecus#Latin|pecore]] ex [[wikt:en:longinquior#Latin|longinquioribus]] [[wikt:en:vicus#Latin|vicis]] [[wikt:en:adactus#Latin|adacto]] **かなり遠方の村々から家畜を駆り立てたので *[[wikt:en:extremus#Latin|extremam]] [[wikt:en:fames#Latin|famem]] [[wikt:en:sustentarent|sustentarent]], **極限の飢えに耐え通すまでになったのであるが、 *[[wikt:en:nullus#Determiner|nulla]] tamen <u>vox est ab iis</u> [[wikt:en:auditus#Latin|audita]] populi Romani [[wikt:en:maiestas#Latin|maiestate]] et [[wikt:en:superior#Latin|superioribus]] [[wikt:en:victoria#Latin|victoriis]] [[wikt:en:indignus#Latin|indigna]]. **しかしながら、ローマ人民の威厳やかつての勝利にふさわしからぬ声は、彼らから何ら聞かれなかった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:vox#Latin|vox]] est <u>ab</u> iis だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では <u>ex</u> iis vox est となっている。）</span> :　 ;　　　ローマ人将兵たちがカエサルに攻囲の継続を訴える *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:quin#Latin|Quin]] etiam Caesar cum in [[wikt:en:opus#Latin|opere]] [[wikt:en:singulus#Latin|singulas]] [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] [[wikt:en:appellaret|appellaret]], **いやそればかりか、カエサルが作業中のそれぞれの[[w:ローマ軍団|軍団]]に呼びかけたとき、 *et, si [[wikt:en:acerbe#Latin|acerbius]] [[wikt:en:inopia#Latin|inopiam]] [[wikt:en:ferrent#Latin|ferrent]], se [[wikt:en:dimissurus#Latin|dimissurum]] <span style="color:#009900;">_(esse)</span> [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnationem]] [[wikt:en:diceret|diceret]], **もし、とても過酷に欠乏に耐えているのならば、自分は攻囲を放棄するであろう、とカエサルが言っていたときに、 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:universi#Latin|universi]] ab eo, ne id [[wikt:en:faceret|faceret]], [[wikt:en:petebant|petebant]] : **<small>（各軍団の）</small>一同は、彼<small>〔カエサル〕</small>に、それ<small>〔攻囲の放棄〕</small>をしないように求めていた。 *sic se complures annos illo [[wikt:en:imperans#Latin|imperante]] [[wikt:en:meruisse|meruisse]], **自分たちは<small>（以下のように）</small>幾年にもわたって彼<small>〔カエサル〕</small>の麾下で努めてきた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：sic ～ ut …「…のように～である」）</span> *ut [[wikt:en:nullus#Determiner|nullam]] [[wikt:en:ignominia#Latin|ignominiam]] [[wikt:en:acciperent|acciperent]], <u>nusquam incepta</u> re [[wikt:en:discederent|discederent]]: **何ら不名誉を蒙ってないし、事<small>〔戦役〕</small>が完遂されないまま<small>（戦列を）</small>離脱することは決してなかったのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:nusquam#Latin|nusquam]] [[wikt:en:inceptus#Latin|incepta]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:numquam#Latin|numquam]] [[wikt:en:infectus#Adjective|infecta]] となっている。）</span> :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ hoc se [[wikt:en:ignominia#Latin|ignominiae]] <u>loco [[wikt:en:laturus#Latin|laturos]]</u> <span style="color:#009900;">_(esse)</span>, si [[wikt:en:inceptus#Latin|inceptam]] [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnationem]] [[wikt:en:reliquissent|reliquissent]]; **もし<small>（自分たちが）</small>着手した攻囲を放棄してしまったならば、自分たちはこの状態を不名誉と見なすであろう。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&beta;系写本では loco laturos の語順だが、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本では laturos loco の語順となっている。）</span> :　 *<!--❼-->⁽⁷⁾ <u>praestare</u> omnes [[wikt:en:perferre|perferre]] [[wikt:en:acerbitas#Latin|acerbitates]], **あらゆる厳しさに持ちこたえることは<small>（以下のこと）</small>よりましである。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[wikt:en:praestare|praestare]] ～ [[wikt:en:quam#Adverb|quam]] …「…よりも～がより優る」）</span> *<u>quam</u> non [[wikt:en:civis#Latin|civibus]] Romanis, qui [[wikt:en:Genabum#Latin|Cenabi]] [[wikt:en:perfidia#Latin|perfidia]] Gallorum [[wikt:en:interissent|interissent]], [[wikt:en:parentarent|parentarent]]. **ケナブムでガッリア人たちの不義により滅びたローマ市民たちの仇討ちをしないよりも。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[#3節|3節]]①項を参照。仇討ちをしないのなら、苦しむ方がましである、の意）</span> :　 *<!--❽-->⁽⁸⁾ Haec [[wikt:en:idem#Latin|eadem]] [[wikt:en:centurio#Latin|centurionibus]] [[wikt:en:tribunus#Latin|tribunis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:miles#Latin|militum]] **これらと同じことを、<ruby><rb>[[w:ケントゥリオ|百人隊長]]</rb><rp>（</rp><rt>ケントゥリオ</rt><rp>）</rp></ruby>たちや<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>たちに、 *[[wikt:en:mandabant|mandabant]], ut per eos ad Caesarem [[wikt:en:deferrentur|deferrentur]]. **彼らを通じてカエサルに申し立てるように、依頼していた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===18節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/18節]]　{{進捗|00%|2026-04-13}}</span> ;カエサルがウェルキンゲトリークス不在の敵陣へ迫る :　 ;　　　カエサルは、ウェルキンゲトリークスが糧秣の欠乏によりローマ勢の糧秣徴発隊を襲撃に向かったと知る *<!--❶-->⁽¹⁾ Cum iam [[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:turris#Latin|turres]] [[wikt:en:adpropinquassent#Latin|adpropinquassent]], **すでに<small>（アウァーリクムの）</small>城壁に<small>（ローマ勢の）</small>[[w:攻城塔|攻城櫓]]が近づいていた際に、 *ex [[wikt:en:captivus#Noun|captivis]] Caesar [[wikt:en:cognovit#Latin|cognovit]], **カエサルは、捕虜たちから<small>（以下のことを）</small>知った。 *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigem]], [[wikt:en:consumptus#Latin|consumpto]] [[wikt:en:pabulum#Latin|pabulo]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は[[w:糧秣|糧秣]]を消費し切ると、 *castra [[wikt:en:movisse#Latin|movisse]] propius [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avaricum]], **陣営をアウァーリクムのより近くに移動させて、 *atque ipsum cum [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatu]] [[wikt:en:expeditus#Noun|expeditis]]<nowiki>que</nowiki>, qui inter [[wikt:en:eques#Latin|equites]] [[wikt:en:proeliari#Verb|proeliari]] [[wikt:en:consuessent#Latin|consuessent]], **彼自身は、[[w:騎兵|騎兵]]隊、および騎兵たちの間で争闘することに習熟していた[[w:軽装歩兵|軽装歩兵]]たちとともに、 *<u>insidiarum</u> causa eo [[wikt:en:profectus#Etymology_3|profectum]], quo nostros postero die [[wikt:en:pabulatum#Verb|pabulatum]] [[wikt:en:venturus#Latin|venturos]] [[wikt:en:arbitraretur#Latin|arbitraretur]]. **我が方<small>〔ローマ勢〕</small>が翌日に糧秣徴発にやって来るであろうと思われるところで待ち伏せするために、出発した、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:insidiarum|insidiarum]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:insidiandi#Latin|insidiandi]] となっている。）</span> [[画像:AVARICUM Battaglia 52 aC.png|thumb|right|300px|アウァーリクム攻略戦の布陣図（<small>イタリア語</small>）。中央がアウァーリクム（AVARICUM）、右下の赤枠内がカエサルと8個軍団の陣営、赤い矢印の先端がローマ軍の土塁。左上の楕円形がウェルキンゲトリークスが移動させた陣営。]] [[画像:Funerary chariot in the archeological museum of Strasbourg.jpg|thumb|right|300px|[[w:ハルシュタット文化|ハルシュタット文化]]の墳墓の副葬品として発掘された '''四輪荷馬車''' のレプリカ（仏ストラスブール考古学博物館）。]] :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Quibus rebus [[wikt:en:cognitus#Participle|cognitis]] **<small>（カエサルは）</small>それらの事情を知るや、 *media nocte [[wikt:en:silentium#Latin|silentio]] [[wikt:en:profectus#Etymology_3|profectus]] **真夜中の静けさのうちに出発して、 *ad hostium castra [[wikt:en:mane#Adverb_2|mane]] [[wikt:en:pervenit#Etymology_2|pervenit]]. **敵の陣営の辺りへ朝方に到着した。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Illi, celeriter per [[wikt:en:explorator#Latin|exploratores]] [[wikt:en:adventus#Latin|adventu]] Caesaris [[wikt:en:cognitus#Participle|cognito]] **あの者たちは、速やかに斥候たちを通じてカエサルの到来を知るや、 *<u>carros</u> [[wikt:en:impedimentum#Latin|impedimenta]]<nowiki>que</nowiki> sua in [[wikt:en:artior#Latin|artiores]] [[wikt:en:silva#Latin|silvas]] [[wikt:en:abdiderunt#Latin|abdiderunt]], **自分たちの<u>四輪荷馬車</u>と[[w:輜重|輜重]]をとても深い森の中に隠して、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：四輪荷馬車 [[wikt:en:carrus#Latin|carrus]] は、例えば右の画像のものを参照。）</span> *copias omnes in loco [[wikt:en:editus#Latin|edito]] atque [[wikt:en:apertus#Latin|aperto]] [[wikt:en:instruxerunt#Latin|instruxerunt]]. **全軍勢を高くそびえて開けている場所に配置した。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Qua re [[wikt:en:nuntiatus#Latin|nuntiata]] **その事を報告されて、 *Caesar celeriter [[wikt:en:sarcina#Latin|sarcinas]] [[wikt:en:conferri#Latin|conferri]], **カエサルは速やかに<small>（兵士たちの）</small>[[w:背嚢|背嚢]]が運び集められること、 *[[wikt:en:arma#Latin|arma]] [[wikt:en:expediri#Latin|expediri]] [[wikt:en:iussit#Verb|iussit]]. **武具が<small>（すぐ使えるように）</small>整えられることを命じた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===19節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/19節]]　{{進捗|00%|2026-04-20}}</span> ;丘の上のガッリア勢と沼沢を挟んで対峙する :　 ;　　　ガッリア勢の陣営の地勢 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:collis#Latin|Collis]] erat <u>leniter</u> ab [[wikt:en:infimus#Latin|infimo]] [[wikt:en:adclivis#Latin|adclivis]]. **<small>（ガッリア勢がいる）</small>丘陵はふもとから緩やかに、登り坂になっていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&beta;系･&chi;系･B･M･S･N^c 写本では [[wikt:en:leviter#Latin|leviter]] 、<br>　　　　　　　　　L･N写本では [[wikt:en:breviter#Latin|breviter]] だが、<br>　　　　　　　　　より劣った写本 ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#クリティカル・アパラトゥスとその略号|codd.deter.]]'' では [[wikt:en:leniter#Latin|leniter]] となっている。 *Hunc ex omnibus fere partibus [[wikt:en:palus#Latin|palus]] [[wikt:en:difficilis#Latin|difficilis]] atque [[wikt:en:impeditus#Latin|impedita]] [[wikt:en:cingebat#Latin|cingebat]] **これ<small>〔丘陵〕</small>を、ほぼすべての方角から、不便で通りにくい沼地が取り巻いていて、 *non [[wikt:en:latior#Latin|latior]] [[wikt:en:pes#Latin|pedibus]] [[wikt:en:quinquaginta#Latin|quinquaginta]]. **<small>（その沼地は）</small>50<u>[[w:ペース (長さ)|ペース]]</u>より幅広くなかった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ペース|ペース]]は約29.6cmで、50ペースは約15メートル弱。）</span> :　 ;　　　丘の周囲を部族ごとに分かれて守備している *<!--❷-->⁽²⁾ Hoc se [[wikt:en:collis#Latin|colle]] [[wikt:en:interruptus#Latin|interruptis]] [[wikt:en:pons#Latin|pontibus]] **この丘陵において、橋梁を破却すると、 *Galli [[wikt:en:fiducia#Latin|fiducia]] loci [[wikt:en:continebant#Latin|continebant]] **ガッリア人たちは、地勢を頼りに留まっていて、 *[[wikt:en:generatim#Latin|generatim]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:distributus#Latin|distributi]] in civitates **<small>（軍勢を）</small>諸部族の種族ごとに分けて配置させて、 *omnia [[wikt:en:vadum#Latin|vada]] ac [[wikt:en:saltus#Etymology_2|saltus]] eius [[wikt:en:palus#Latin|paludis]] <u>certis custodiis</u> [[wikt:en:obtinebant#Latin|obtinebant]], **その沼地の、すべての浅瀬や隘路を <u>一定の護衛兵たちによって</u> 占領していた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:certus#Latin|certis]] [[wikt:en:custodia#Latin|custodiis]] は &beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *<u>sic</u> animo [[wikt:en:paratus#Latin|parati]] <u>ut</u>, si eam [[wikt:en:palus#Latin|paludem]] Romani [[wikt:en:perrumpo#Latin|perrumpere]] [[wikt:en:conarentur#Latin|conarentur]], [[wikt:en:haesitans#Latin|haesitantes]] [[wikt:en:premerent#Latin|premerent]] ex loco [[wikt:en:superior#Latin|superiore]]; **もしローマ勢がその沼地を強行突破せんと試みたならば、ぐずぐずしている者らを高地から圧倒する心積もりであった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:sic#Latin|sīc]] ～, [[wikt:en:ut#Latin|ut]] ･･･「…であるように～である」）</span> :　 ;　　　両軍は互角か？ *<!--❸-->⁽³⁾ ut, qui [[wikt:en:propinquitas#Latin|propinquitatem]] loci [[wikt:en:videret#Latin|videret]], **<small>（両軍の）</small>陣地が近接していることを見た者は、 *[[wikt:en:paratus#Latin|paratos]] prope [[wikt:en:aequus#Latin|aequo]] <u>Marte</u> ad [[wikt:en:dimicandum#Latin|dimicandum]] [[wikt:en:existimaret#Latin|existimaret]], **<small>（ガッリア勢がローマ勢に対して）</small>ほぼ互角の戦い<small>（の条件）</small>で闘うつもりでいると考えただろう。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、[[wikt:en:Mars#Proper_noun_22|Mars]]「戦争の神マールス」ではなく、<br>　　　　　　　　　[[wikt:en:Mars#Noun_4|Mars]]「戦争、闘い」そのものを指す。）</span> ;　　　ガッリア勢は不利なのに虚勢を張っているのか？ *qui [[wikt:en:iniquitas#Latin|iniquitatem]] [[wikt:en:condicio#Latin|condicionis]] [[wikt:en:perspiceret#Latin|perspiceret]], **<small>（ガッリア勢の）</small>条件の不利なことを見通した者は、 *[[wikt:en:inanis#Latin|inani]] [[wikt:en:simulatio#Latin|simulatione]] sese [[wikt:en:ostentare#Latin|ostentare]] [[wikt:en:cognosceret#Latin|cognosceret]]. **<small>（ガッリア勢が）</small>虚栄の見せかけで己を誇示していることを、理解しただろう。 :　 ;　　　カエサルが、至近距離の敵への攻撃にいきり立つ将兵らを教え諭す *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:indignans#Latin|Indignantes]] [[wikt:en:miles#Latin|milites]] Gaesar, **カエサルは<small>（ガッリア勢の誇示に）</small>憤慨している兵士たちに、 *quod [[wikt:en:conspectus#Noun_2|conspectum]] suum hostes <u>perferre</u> [[wikt:en:possent#Latin|possent]] [[wikt:en:tantulus#Latin|tantulo]] [[wikt:en:spatium#Latin|spatio]] [[wikt:en:interiectus#Latin|interiecto]], **──というのも、これほどのわずかな距離しか介在してないのに、敵勢が自分らを<small>（平然と）</small>見据えていられるためだが── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:perferre#Latin|perferre]] だが、&beta;系写本では [[wikt:en:ferre#Latin|ferre]] となっている。）</span> *et signum proelii [[wikt:en:exposcens#Latin|exposcentes]] [[wikt:en:edocet#Latin|edocet]], **および戦闘の合図を熱心に求めている者たちに対して<small>（以下のように）</small>説く。 *[[wikt:en:quantus#Latin|quanto]] [[wikt:en:detrimentum#Latin|detrimento]] et [[wikt:en:quot#Latin|quot]] [[wikt:en:vir#Latin|virorum]] [[wikt:en:fortis#Latin|fortium]] [[wikt:en:mors#Latin|morte]] [[wikt:en:necesse#Adverb|necesse]] sit [[wikt:en:constare#Latin|constare]] [[wikt:en:victoria#Latin|victoriam]]; **勝利を確実にすることが、どれほどの損害と、どれほど多くの勇敢な<ruby><rb>兵士</rb><rp>（</rp><rt>ウィル</rt><rp>）</rp></ruby>たちの死を必要とするか、を。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> ;　　　多くのローマ兵が死に瀕すれば、カエサル自身が戦争犯罪で弾劾されるだろう *<!--❺-->⁽⁵⁾ quos cum <u>sic</u> [[wikt:en:animus#Latin|animo]] [[wikt:en:paratus#Latin|paratos]] [[wikt:en:videat#Latin|videat]], <u>ut</u> [[wikt:en:nullus#Determiner|nullum]] pro sua [[wikt:en:laus#Latin|laude]] [[wikt:en:periculum#Latin|periculum]] [[wikt:en:recusent#Latin|recusent]], **彼ら<small>〔兵士たち〕</small>が己の賞賛のためにいかなる危険をも辞さない心積もりであると<small>（カエサルは）</small>見て取ったので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:sic#Latin|sīc]] ～, [[wikt:en:ut#Latin|ut]] ･･･「…であるように～である」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：pro sua laude 「自らの賞賛のために」は、「カエサルの賞賛のために」と解することもできる。<br>　　　　しかし、共和制国家に忠誠を誓っているはずの兵士らが、カエサル個人のために命を投げ出そうとする記述は、<br>　　　　野心家カエサルが軍隊を私兵化しようとしている野望をさらけ出すことになり、政敵たちを利することになる。）</span> *[[wikt:en:summus#Latin|summae]] se [[wikt:en:iniquitas#Latin|iniquitatis]] [[wikt:en:condemnari#Latin|condemnari]] [[wikt:en:debere#Latin|debere]], [[wikt:en:nisi#Conjunction|nisi]] eorum [[wikt:en:vita#Latin|vitam]] sua [[wikt:en:salus#Latin|salute]] [[wikt:en:habeat#Latin|habeat]] [[wikt:en:carior#Latin|cariorem]]. **<small></small>彼ら<small>〔兵士〕</small>の生命を己<small>〔カエサル〕</small>の安全より貴重と思わない限り、自分<small>〔カエサル〕</small>は極度の不正のために告発されるに違いない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：すでにサビーヌスら多くのローマ市民が戦死しており、ここでさらに多くのローマ市民を死なせることは、<br>　　　　カエサルから軍隊を取り上げることを主張していた政敵たちから厳しく糾弾されることになったであろう。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❻-->⁽⁶⁾ Sic [[wikt:en:miles#Latin|milites]] [[wikt:en:consolatus#Latin|consolatus]] **<small>（カエサルは）</small>このように兵士たちを<ruby><rb>宥</rb><rp>（</rp><rt>なだ</rt><rp>）</rp></ruby>めて、 *eodem die [[wikt:en:reducit#Latin|reducit]] in castra **同日に陣営の中に連れ戻して、 *[[wikt:en:reliquus#Latin|reliqua]]<nowiki>que</nowiki> quae ad [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnationem]] <u>[[wikt:en:pertinebant#Latin|pertinebant]] [[wikt:en:oppidum#Latin|oppidi]]</u> [[wikt:en:administrare#Latin|administrare]] [[wikt:en:instituit#Latin|instituit]]. **城塞都市<small>〔アウァーリクム〕</small>の攻略に関わっているほかのことに従事することを決めた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&chi;系･B･M･S写本では pertinebant oppidi の語順だが、<br>　　　　　　　　　L･N･β系写本では oppidi pertinebant の語順となっている。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===20節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/20節]]　{{進捗|00%|2026-05-04}}</span> ;ウェルキンゲトリークスが味方に弁明し、捕虜に問い質す :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]], cum ad suos [[wikt:en:redisset#Latin|redisset]], [[wikt:en:proditio#Latin|proditionis]] [[wikt:en:insimulatus#Latin|insimulatus]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、味方のもとに戻った際に、<small>（以下のことで）</small>裏切りだと非難されていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：以下、[[wikt:en:quod#Conjunction|quod]] ～ で箇条書き。）</span> *quod [[wikt:en:castra#Latin|castra]] [[wikt:en:propius#Latin|propius]] [[wikt:en:Romani#Latin|Romanos]] [[wikt:en:movisset#Latin|movisset]], **陣営をローマ人たちのより近くに移動させていたこと、 *quod cum omni [[wikt:en:equitatus#Noun|equitatu]] [[wikt:en:discessisset#Latin|discessisset]], **全[[w:騎兵|騎兵隊]]とともに<small>（陣営を）</small>離れていたこと、 *quod sine [[wikt:en:imperium#Latin|imperio]] [[wikt:en:tantus#Latin|tantas]] [[wikt:en:copiae#Latin|copias]] [[wikt:en:reliquisset#Latin|reliquisset]], **司令権<small>（を持つ者）</small>なしに、これほど多くの軍勢を置き去りにしていたこと、 *quod eius [[wikt:en:discessus#Noun|discessu]] [[wikt:en:Romani#Latin|Romani]] [[wikt:en:tantus#Latin|tanta]] [[wikt:en:opportunitas#Latin|opportunitate]] et [[wikt:en:celeritas#Latin|celeritate]] [[wikt:en:venissent#Latin|venissent]]; **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>の退去によりローマ人がこれほどの好機とこれほどの迅速さでやって来ていたこと、である。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ non haec omnia [[wikt:en:fortuito#Latin|fortuito]] aut sine [[wikt:en:consilium#Latin|consilio]] [[wikt:en:accido#Etymology_1|accidere]] [[wikt:en:potuisse#Latin|potuisse]]; **──これらすべてが偶然に、あるいは謀りごとなしに起こることはあり得なかったのだ。 *[[wikt:en:regnum#Latin|regnum]] illum Galliae <u>malle</u> Caesaris [[wikt:en:concessus#Noun|concessu]] <u>quam</u> ipsorum habere [[wikt:en:beneficium#Latin|beneficio]] **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>は<small>（ガッリア人）</small>自身の厚遇を得ることよりもむしろカエサルの許しにより[[w:ガリア|ガッリア]]の王権<small>（を持つこと）</small>を好んでいるのだ。── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:malle#Latin|malle]] ～ quam …「…よりも、むしろ～を好む（選ぶ）」）</span> **:<span style="color:#009900;">（訳注：ウェルキンゲトリークスが王権を望むあまり、同盟部族の生命をカエサルに売り渡したということである。）</span> [[画像:Vercingetorix_stater_n2_CdM_alternate.jpg|thumb|right|250px|[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の横顔が刻まれたガッリアの金貨（パリの[[w:ビブリオテーク・ナショナル|仏国立図書館]]貨幣部蔵）]] :　 ;　　　━━ウェルキンゲトリークスの弁明が始まる━━ *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:talis#Latin|tali]] [[wikt:en:modus#Latin|modo]] [[wikt:en:accusatus#Latin|accusatus]] **こんな風に非難されて、 *ad haec [[wikt:en:respondit#Latin|respondit]]: **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>これらのことへ答えた。 *Quod [[wikt:en:castra#Latin|castra]] [[wikt:en:movisset#Latin|movisset]], **陣営を移動させていたことは、 *[[wikt:en:factus#Latin|factum]] [[wikt:en:inopia#Latin|inopia]] [[wikt:en:pabulum#Latin|pabuli]], **[[w:糧秣|糧秣]]の欠乏によりなされたのであり、 *etiam ipsis [[wikt:en:hortans#Latin|hortantibus]]; **<small>（ガッリア人たち）</small>自身が熱心に勧めることさえしているのだ。 *quod [[wikt:en:propius#Latin|propius]] [[wikt:en:Romani#Latin|Romanos]] [[wikt:en:accessisset#Latin|accessisset]], **ローマ人たちのより近くに近寄っていたことは、 *[[wikt:en:persuasus#Latin|persuasum]] loci [[wikt:en:opportunitas#Latin|opportunitate]], qui se <u>ipsum</u> [[wikt:en:munitio#Latin|munitione]] [[wikt:en:defenderet#Latin|defenderet]]; **<small>（移動先の丘陵が）</small>それ自体を<small>（沼地という天然の）</small>要害により守っているという地の利に納得させられたのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：上記の se <u>ipsum</u> munitione defenderet 「そのものを防御物によって守る」は主要写本 &omega; の記述で、<br>''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Bentley,_Thomas|Th. Bentley]]'' は se <u>ipse sine</u> munitione defenderet 「そのものが防御物なしで守る」と修正提案している。）</span> :　 ;　　　騎兵は、湿地帯での任務に適していない *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:eques#Latin|equitum]] vero [[wikt:en:opera#Latin|operam]] **騎兵たちの働きはまさに、 *neque in loco [[wikt:en:paluster#Latin|palustri]] [[wikt:en:desiderari#Latin|desiderari]] [[wikt:en:debuisse#Latin|debuisse]] **沼沢地において望まれるべきものではなかったし、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：湿地・沼地では、ぬかるみに馬の足が取られるため、<br>　　　　騎兵の長所である機動力が著しく低下し、<br>　　　　速さを活かした偵察・突撃・迂回・追撃などがし難くなる。）</span> *et [[wikt:en:illic#Adverb|illic]] fuisse [[wikt:en:utilis#Latin|utilem]], quo sint [[wikt:en:profectus#Participle_2|profecti]]. **<small>（騎兵たちが）</small>発って行ったところにおいては有効だったのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[#16節|16節]]冒頭の説明によれば、<br>　　　　ウェルキンゲトリークスが最初に宿営した場所は、<br>　　　　アウァーリクムから16マイル離れ、沼地や森林に守られていた。<br>　　　　[[#19節|19節]]では、より近い、沼地に囲まれたゆるやかな丘陵に移動したという。<br>　　　　この移動前後の地勢の優劣を、カエサルは必ずしも明瞭に説明していない。）</span> :　 ;　　　兵は拙速を尊ぶ *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:summa#Latin|Summam]] [[wikt:en:imperium#Latin|imperii]] **<small>（軍勢の）</small>最高司令権は、 *se [[wikt:en:consulto#Adverb|consulto]] [[wikt:en:nullus#Latin|nulli]] [[wikt:en:discedens#Latin|discedentem]] [[wikt:en:tradidisse#Latin|tradidisse]], **<small>（ウェルキンゲトリークス）</small>自らが意図的に、立ち去るに当たって、誰にも委託しなかった。 *[[wikt:en:ne#Latin|ne]] is [[wikt:en:multitudo#Latin|multitudinis]] [[wikt:en:studium#Latin|studio]] ad [[wikt:en:dimicandus#Latin|dimicandum]] [[wikt:en:impelleretur#Latin|impelleretur]]; **その者が大勢の熱意によって<small>（ローマ人と）</small>闘うことに駆り立てられないように、である。 *cui rei <u>propter animi [[wikt:en:mollities#Latin|mollitiem]]</u> [[wikt:en:studere#Latin|studere]] omnes [[wikt:en:videret#Latin|videret]], **その事<small>〔闘って決着を付けること〕</small>を、<u>心の柔弱さのゆえに</u>、皆が求めたがっている。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：「心の柔弱さのゆえに、闘いがしたくなる」というのは、<br>　　　　一見すると奇妙に感じられるが、ここでの柔弱さ（[[wikt:en:mollities#Latin|mollities]]）とは、<br>　　　　長期の攻囲戦の労苦や疲弊に持ちこたえる忍耐力のなさを指し、<br>　　　　長い苦難から逃避するために早期決戦を志向する心理を意味すると考えられる。）</span> *quod [[wikt:en:diutius#Latin|diutius]] [[wikt:en:labor#Latin|laborem]] ferre non [[wikt:en:possent#Latin|possent]]. **──というのは、<small>（兵は）</small>より長く<small>（攻囲戦の）</small>労苦に耐えることができないからだ──。 **:<span style="color:#009900;">　（訳注：[[w:孫子 (書物)|孫子]]に曰く「兵は拙速を聞くも、未だ巧の久しきを<ruby><rb>睹</rb><rp>（</rp><rt>み</rt><rp>）</rp></ruby>ざるなり」<ref>[[wikt:en:故に兵は拙速を聞くも、未だ巧の久しきを睹ざるなり|故に兵は拙速を聞くも、未だ巧の久しきを睹ざるなり]] 「戦争というものは、拙劣に短期決戦を挑んだ事例は聞くが、巧妙に長期戦を続けた事例は聞かない」の意。長い戦争は人々を消耗させ、疲弊させてしまう。</ref>）</span> :　 ;　　　ローマ人は、闘わずに退却したではないか *<!--❻-->⁽⁶⁾ Romani si [[wikt:en:casu#Latin|casu]] [[wikt:en:intervenerint#Latin|intervenerint]], [[wikt:en:fortuna#Latin|fortunae]], **もしローマ人たちが偶然に現われたのならば、命運に<small>（感謝するべきであり）</small>、 *si [[wikt:en:alicuius#Latin|alicuius]] [[wikt:en:indicium#Latin|indicio]] [[wikt:en:vocatus#Latin|vocati]], huic [[wikt:en:habendus#Latin|habendam]] [[wikt:en:gratia#Latin|gratiam]], **もし<small>（ローマ人たちが）</small>何者かの申し立てに呼ばれて来たのならば、その者に感謝するべきだ。 *quod <u>et</u> [[wikt:en:paucitas#Latin|paucitatem]] eorum ex loco [[wikt:en:superior#Latin|superiore]] [[wikt:en:cognosco#Latin|cognoscere]] **──というのは、より高い位置から彼ら<small>〔ローマ人〕</small>の少なさを知ることも、 *<u>et</u> [[wikt:en:virtus#Latin|virtutem]] [[wikt:en:despicio#Latin|despicere]] [[wikt:en:potuerint#Latin|potuerint]], **<small>（ローマ人の）</small>武勇とやらを見下すこともできたのだから。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：et ～ et …「～も…も」）</span> *qui [[wikt:en:dimico#Latin|dimicare]] non [[wikt:en:ausus#Participle|ausi]] **彼ら<small>〔ローマ人〕</small>は闘うことをあえてせずに、 *[[wikt:en:turpiter#Latin|turpiter]] se in castra [[wikt:en:receperint#Latin|receperint]]. **見苦しくも陣営に退却したのだ──。 :　 ;　　　ガッリア人が勝つのだから、カエサルに寝返るはずがない *<!--❼-->⁽⁷⁾ [[wikt:en:imperium#Latin|Imperium]] se <u>ab</u> Caesare per [[wikt:en:proditio#Latin|proditionem]] [[wikt:en:nullus#Latin|nullum]] [[wikt:en:desidero#Latin|desiderare]], **自分<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>は、カエサルから裏切りを通じて、どのような司令権も望んではいない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：上の (2) 項では、味方のガッリア人たちは、ウェルキンゲトリークスが<br>　　　　カエサルにより [[wikt:en:regnum#Latin|regnum]]（王権、支配権）を得ようとしていると非難したのに対し、<br>　　　　彼は [[wikt:en:imperium#Latin|imperium]]（軍隊司令権、または支配権）という言葉を巧妙に引きずって答えている。<br>　　　　もちろん、言葉を変えたのは、筆者カエサル自身であろう。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ab は&alpha;系写本の記述で、&beta;系写本では a となっている。）</span> *quod habere [[wikt:en:victoria#Latin|victoria]] [[wikt:en:posset#Latin|posset]], **<small>（支配権は、ローマ人に対する）</small>勝利によって得られるものであり、 *quae iam esset sibi atque omnibus [[wikt:en:Galli#Latin|Gallis]] [[wikt:en:exploratus#Latin|explorata]]; **<small>（勝利は）</small>もはや自分とすべてのガッリア人にとって確実なものとされているのだ。 *quin etiam ipsis <u>remittere</u>, **いやそればかりか<small>（以下の様であれば、ガッリア人たち）</small>自身に<small>（司令官職を）</small>返還しているだろう。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:remitto#Latin|remittere]] は、写本Sの記述および&nbsp;''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Stephanus_(Estienne)|Stephanus]]'' や ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Vascosanus|Vascosanus]]'' による修正提案で、<br>　　　　　　　　　&beta;系・&chi;系写本･写本B･M･L･N では [[wikt:en:remitteret#Latin|remitteret]] となっている。）</span> *si sibi <u>magis</u> [[wikt:en:honor#Latin|honorem]] [[wikt:en:tribuo#Latin|tribuere]], <u>quam</u> ab se [[wikt:en:salus#Latin|salutem]] [[wikt:en:accipio#Latin|accipere]] [[wikt:en:videantur#Latin|videantur]]. **もし<small>（ガッリア人が）</small>自分から安全を受け取っているよりも、むしろ顕職を自分に授けていると思っているのならば、だが。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:magis#Latin|magis]] ～, quam …「…というよりは、むしろ～」）</span> :　 ;　　　捕虜のローマ人たちに訊いてみなさい *<!--❽-->⁽⁸⁾ <!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>&nbsp;Haec ut [[wikt:en:intellegatis#Latin|intellegatis]], <span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> [[wikt:en:inquit#Latin|inquit]], <!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>&nbsp;a me [[wikt:en:sincere#Latin|sincere]] [[wikt:en:pronuntiari#Latin|pronuntiari]], [[wikt:en:audite#Latin|audite]] [[wikt:en:Romanus#Adjective|Romanos]] [[wikt:en:miles#Latin|milites]]. <span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> **「これらは諸君が理解しているように、私により率直に示された。ローマ兵たちに聞いてみよ」と言った。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：<!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>　～　<span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> の箇所は、直接話法で記されている。）</span> :　 *<!--❾-->⁽⁹⁾ [[wikt:en:producit#Latin|Producit]] [[wikt:en:servus#Latin|servos]], quos in [[wikt:en:pabulatio#Latin|pabulatione]] paucis ante diebus [[wikt:en:exceperat#Latin|exceperat]] et [[wikt:en:fames#Latin|fame]] [[wikt:en:vinculum#Latin|vinculis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:excruciaverat#Latin|excruciaverat]]. **数日前に糧秣徴発しているのを<small>（彼が）</small>ひっ捕らえて、飢えと鎖で拷問していたところの奴隷たちを引き出す。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[wikt:en:calo#Noun_5|cālō]] カーロー（軍属奴隷）と呼ばれる輜重や陣営を管理する奴隷たちのことであろう。）</span> :　 *<!--❿-->⁽¹⁰⁾ Hi iam ante [[wikt:en:edoctus#Latin|edocti]], quae [[wikt:en:interrogatus#Latin|interrogati]] [[wikt:en:pronuntiarent#Latin|pronuntiarent]], **彼ら<small>〔奴隷〕</small>は、すでに前もって<small>（ガッリア勢から）</small>訊問された際に語ることを<small>（ローマ人から）</small>教え込まれており、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：カエサルは奴隷たちが誰に教え込まれたのか明記していないため、<br>　　　　ウェルキンゲトリークスに教え込まれたと訳している場合もある。）</span> *[[wikt:en:miles#Latin|milites]] se esse [[wikt:en:legionarius#Latin|legionarios]] [[wikt:en:dicunt#Latin|dicunt]]; **自分たちは[[w:軍団兵|軍団兵]]であると言った。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：糧秣徴発に出かけていた者は、たとえ軍団兵でも軽装であったであろうが、<br>　　　　奴隷たちは、もともと戦争で捕虜になったガッリア人たち等であったと考えられるので、<br>　　　　地中海人種のローマ人とは容易に見分けが付きそうなものではある。）</span> *[[wikt:en:fames#Latin|fame]] <u>et</u> [[wikt:en:inopia#Noun_2|inopia]] [[wikt:en:adductus#Latin|adductos]] [[wikt:en:clam#Latin|clam]] ex castris [[wikt:en:exisse#Latin|exisse]], si [[wikt:en:aliquis#Latin|quid]] [[wikt:en:frumentum#Latin|frumenti]] aut [[wikt:en:pecus#Latin|pecoris]] in agris [[wikt:en:reperio#Latin|reperire]] [[wikt:en:possent#Latin|possent]]; **<small>（奴隷たち曰く）</small>飢えと欠乏に動かされて、何か穀物または家畜が野に見出せないかと、ひそかに陣営から抜け出した。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：et は&alpha;系写本の記述で、&beta;系写本では atque となっている。）</span> :　 *<!--⓫-->⁽¹¹⁾ [[wikt:en:similis#Latin|simili]] omnem [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:inopia#Noun_2|inopia]] [[wikt:en:premi#Latin|premi]], **<small>（ローマ人の）</small>全軍隊が同様の欠乏に悩まされて、 *<u>nec</u> iam [[wikt:en:vis#Latin|vires]] [[wikt:en:sufficio#Latin|sufficere]] [[wikt:en:quisquam#Latin|cuiusquam]] <u>nec</u> ferre [[wikt:en:opus#Latin|operis]] [[wikt:en:labor#Latin|laborem]] posse; **もはや<small>（兵士の）</small>誰もが十分な能力がなく、<small>（城攻めの）</small>作業の労苦に耐えることができない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：nec ～ nec …「～でもなく、…でもない」）</span> *itaque [[wikt:en:statuisse#Latin|statuisse]] [[wikt:en:imperator#Latin|imperatorem]], si [[wikt:en:nihil#Latin|nihil]] in [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnatione]] oppidi <u>profecissent</u>, [[wikt:en:triduum#Latin|triduo]] [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:deduco#Latin|deducere]]. **こうして将軍<small>〔カエサル〕</small>は、もし城塞都市の攻略において何ら得られないならば、3日間で軍隊を連れ帰ると決めた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、写本S･L･Nでは [[wikt:en:profecissent#Latin|profecissent]]_{&nbsp;(3人称･<u>複数</u>･過去完了･接続法)} だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:profecisset#Latin|profecisset]]_{&nbsp;(3人称･<u>単数</u>･過去完了･接続法)} となっており、<br>　　　　　　　　　&chi;系および写本B･Mでは proficissent という綴りになっている。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--⓬-->⁽¹²⁾ <!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>&nbsp;Haec, <span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> [[wikt:en:inquit#Latin|inquit]], <!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>&nbsp;a me, <span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]], **「これぞ」「私によって」とウェルキンゲトリークスは言った。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：以下、<!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>　～　<span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> の箇所は、直接話法で記されている。）</span> *<!--▲直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp;<span style="color:#009900;">«</span>&nbsp;[[wikt:en:beneficium#Latin|beneficia]] [[wikt:en:habetis#Latin|habetis]], quem [[wikt:en:proditio#Latin|proditionis]] [[wikt:en:insimulatis#Verb|insimulatis]]; &nbsp; **「裏切りだと諸君が糾弾している<small>（私という）</small>者のおかげで得ているのだ。 *<!--➡直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp; cuius [[wikt:en:opera#Latin|opera]] sine [[wikt:en:vester#Latin|vestro]] [[wikt:en:sanguis#Latin|sanguine]] &nbsp; **その<small>（私という）</small>者の尽力により、諸君らの流血なしに、 *<!--➡直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp; tantum [[wikt:en:exercitus#Noun|exercitum]] [[wikt:en:victor#Latin|victorem]] [[wikt:en:fames#Latin|fame]] <u>paene</u> [[wikt:en:consumptus#Latin|consumptum]] [[wikt:en:videtis#Latin|videtis]]; &nbsp; **これほどの軍隊の勝利者<small>〔ローマ人〕</small>を飢えにより、ほとんど滅ぼしたのを諸君は見ているのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：paene は &beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *<!--➡直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp; quem [[wikt:en:turpiter#Latin|turpiter]] se ex <u>hac</u> fuga [[wikt:en:recipiens#Latin|recipientem]] &nbsp; **彼ら<small>〔ローマ人〕</small>が見苦しくもこのような逃亡から退却したところを、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：hac は &beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *<!--➡直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp; ne [[wikt:en:aliqua#Pronoun|qua]] [[wikt:en:civitas#Latin|civitas]] suis finibus [[wikt:en:recipiat#Latin|recipiat]], &nbsp; **<small>（それらの退却したローマ人を）</small>どの部族も自らの領土に受け入れないように、 *<!--➡直接話法--><span style="background-color:#e8e8ff;">&nbsp; a me [[wikt:en:provisus#Latin|provisum]] est. <span style="color:#009900;">»</span>&nbsp;</span> **私<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>により、手配された。」 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===21節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/21節]]　{{進捗|00%|2026-05-10}}</span> ;ウェルキンゲトリークスの誠心とアウァーリクムの重要性を確認 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:conclamat#Latin|Conclamat]] omnis [[wikt:en:multitudo#Latin|multitudo]] **群集すべてが雄叫びを上げて、 *et suo [[wikt:en:mos#Latin|more]] [[wikt:en:arma#Latin|armis]] [[wikt:en:concrepat#Latin|concrepat]], **自分たちの慣習で武具を打ち鳴らす。 *quod facere in eo [[wikt:en:consuerunt#Verb_2|consuerunt]], cuius [[wikt:en:oratio#Latin|orationem]] [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]]; **<small>（演説した）</small>その者の雄弁に賛同したら、その者に対してそれをすることが常であったのだ。 *summum esse [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigem]] [[wikt:en:dux#Latin|ducem]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は最高の将帥であり、 *<u>nec</u> de eius [[wikt:en:fides#Latin|fide]] [[wikt:en:dubitandus#Latin|dubitandum]], **彼の信義については疑念を抱くべきではなく、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:nec#Latin|nec]] ～, nec …「～でもないし、…でもない」）</span> *<u>nec</u> [[wikt:en:maior#Latin|maiore]] [[wikt:en:ratio#Latin|ratione]] bellum [[wikt:en:administrari#Latin|administrari]] posse. **これ以上の作戦で戦争を指導することはできない<small>（と、叫んで武具を打ち鳴らす）</small>。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:statuunt#Latin|Statuunt]], ut decem_&nbsp;(X) milia hominum [[wikt:en:delectus#Latin|delecta]] ex omnibus [[wikt:en:copiae#Latin|copiis]] in oppidum <u>mittantur</u>, **<small>（彼らは）</small>すべての軍勢から選り抜かれた兵員1万を<small>（アウァーリクムの）</small>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]の中に派遣すると決定する。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:mittantur#Latin|mittantur]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]] となっている。）</span> :　 *<!--❸-->⁽³⁾ nec [[wikt:en:solus#Latin|solis]] [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigibus]] [[wikt:en:communis#Latin|communem]] [[wikt:en:salus#Latin|salutem]] [[wikt:en:committendus#Latin|committendam]] [[wikt:en:censent#Latin|censent]], **<small>（ガッリア）</small>共通の安全をビトゥリゲース族だけに託すべきではないと考える。 *quod <u>penes eos</u>, si id oppidum [[wikt:en:retinuissent#Latin|retinuissent]], **というのは、<u>彼らのもとで</u>、その城塞都市を維持したか否かが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　主要写本&omega; では [[wikt:en:penes#Latin|penes]] eos 「彼らのもとで」だが、<br>　　　　オックスフォード写本 ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Codex_Oxoniensis_Andino|codd. Andino. Oxon.]]'' や ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Aldus|Aldus]]'' は paene in eo 「ほぼそのことにおいて」としている。）</span> *[[wikt:en:summa#Latin|summam]] victoriae [[wikt:en:consto#Latin|constare]] [[wikt:en:intellegebant#Latin|intellegebant]]. **勝利の天王山を確かなものにすること、を理解していたからである。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===22節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/22節]]　{{進捗|00%|2026-06-01}}</span> ;アウァーリクムの籠城ガッリア勢が坑道戦で攻防に努める :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:singularis#Latin|Singulari]] [[wikt:en:miles#Latin|militum]] nostrorum [[wikt:en:virtus#Latin|virtuti]] **我が方<small>〔ローマ勢〕</small>の兵士の卓越した武勇に、 *[[wikt:en:consilium#Latin|consilia]] [[wikt:en:quisque#Latin|cuiusque]] [[wikt:en:modus#Latin|modi]] [[wikt:en:Galli#Latin|Gallorum]] [[wikt:en:occurrebant#Latin|occurrebant]], **<small>（敵勢は）</small>ガッリア人のあらゆる流儀の方策で抗戦していた。 *ut est summae [[wikt:en:genus#Latin|genus]] [[wikt:en:sollertia#Latin|sollertiae]] **確かに<small>（ガッリア人は）</small>このうえなく器用な種族であり、 *atque ad [[wikt:en:omnia#Noun|omnia]] [[wikt:en:imitandus#Latin|imitanda]] et [[wikt:en:efficiendus#Latin|efficienda]], quae ab [[wikt:en:quisque#Latin|quoque]] [[wikt:en:traduntur#Latin|traduntur]], [[wikt:en:aptissimus#Latin|aptissimum]]. **誰かによって教えられることすべてを模倣すること、造り出すことにとても適しているのだ。 :　 ;　　　鉄鉱山の土地柄で、坑道戦を展開する *<!--❷-->⁽²⁾ Nam <u>et</u> [[wikt:en:laqueus#Latin|laqueis]] [[wikt:en:falx#Latin|falces]] [[wikt:en:avertebant#Latin|avertebant]], **すなわち、輪縄で<small>（ローマ勢の）</small>破城鎌をそらし、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：et ～, et …「～でもあり、…でもある」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：破城鎌（[[w:en:Falx|falx]]）については、右図や[[ガリア戦記 第5巻#42節|第5巻42節]]を参照）</span> [[画像:Falx_bgiu.png|thumb|right|250px|破城鎌（[[w:en:Falx|falx]]）の想像画（再掲）]] [[画像:Doura_Europos_tunnel.jpg|thumb|right|250px|ローマ支配下の城砦跡に残る[[w:坑道|坑道]]の例（シリアの[[w:ドゥラ・エウロポス|ドゥラ・エウロポス]]遺跡）。[[w:サーサーン朝|サーサーン朝]]軍が[[w:坑道戦|坑道戦]]のために掘削したと考えられている。]] *quas, cum [[wikt:en:destinaverant#Latin|destinaverant]], **それを縛り付けておいてから、 *[[wikt:en:tormentum#Latin|tormentis]] [[wikt:en:introrsus#Latin|introrsus]] [[wikt:en:reducebant#Latin|reducebant]], **巻揚げ機で<small>（城塞都市の）</small>内部に引き込んでいたし、 *<u>et</u> [[wikt:en:agger#Latin|aggerem]] [[wikt:en:cuniculus#Latin|cuniculis]] [[wikt:en:subtrahebant#Latin|subtrahebant]], **<small>（ローマ勢の）</small><ruby><rb>[[w:アッゲル|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby> を[[w:坑道|坑道]]によって陥没させたりもした。 *<u>eo</u> [[wikt:en:scienter#Latin|scientius]] **<small>（以下の理由により、彼らはそのことに）</small>より習熟しているのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:eo#Pronoun_5|eō]] ～ [[wikt:en:quod#Conjunction|quod]] …「…という理由で～」）</span> *<u>quod</u> apud eos magnae sunt [[wikt:en:ferraria#Latin|ferrariae]] **──というのも、彼らのもとには多くの[[w:鉄鉱石|鉄鉱]]山があり、 *atque [[wikt:en:omnis#Latin|omne]] [[wikt:en:genus#Latin|genus]] [[wikt:en:cuniculus#Latin|cuniculorum]] [[wikt:en:notus#Latin|notum]] **坑道のあらゆる類いが知られていて *atque [[wikt:en:usitatus#Latin|usitatum]] est. **慣れていただけに<small>（習熟しているのだ）</small>。── :　 ;　　　アウァーリクムの全周に防御のための櫓を建てる *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:totus#Latin|Totum]] autem [[wikt:en:murus#Latin|murum]] ex omni parte **他方で、城壁の全体をあらゆる方向から、 *[[wikt:en:turris#Latin|turribus]] [[wikt:en:contabulaverant#Latin|contabulaverant]] **<ruby><rb>[[w:攻城塔|攻城櫓]]</rb><rp>（</rp><rt>トゥッリス</rt><rp>）</rp></ruby>を<small>（何層にも）</small>構築しておいて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：動詞 [[wikt:en:contabulo#Latin|contabulare]] は「板張りする」。[[内乱記_第2巻#9節|『内乱記』第2巻9節]]には [[wikt:en:contabulatio#Latin|contabulatio]]「床板張り」という単語が出て来る。）</span> *atque has [[wikt:en:corium#Latin|coriis]] [[wikt:en:intexerant#Latin|intexerant]]. **これらを皮革で覆っていた。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Tum [[wikt:en:creber#Latin|crebris]] [[wikt:en:diurnus#Latin|diurnis]] [[wikt:en:nocturnus#Latin|nocturnis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:eruptio#Latin|eruptionibus]] **それから、たびたび昼間も夜間も出撃して、 *aut [[wikt:en:agger#Latin|aggeri]] [[wikt:en:ignis#Latin|ignem]] [[wikt:en:inferebant#Latin|inferebant]] **あるいは土塁に火災を引き起こしたり、 *aut [[wikt:en:miles#Latin|milites]] [[wikt:en:occupatus#Latin|occupatos]] in [[wikt:en:opus#Latin|opere]] [[wikt:en:adoriebantur#Latin|adoriebantur]], **あるいは工事に従事している<small>（ローマ人）</small>兵士たちを襲撃したりした。 [[画像:University_of_Queensland_Pitch_drop_experiment-white_bg.jpg|thumb|right|200px|<ruby><rb>[[w:ピッチ (樹脂)|樹脂]]</rb><rp>（</rp><rt>ピッチ</rt><rp>）</rp></ruby>の滴下実験の様子（豪州[[w:クイーンズランド大学|クイーンズランド大学]]）。[[w:木材|木材]]を密閉加熱すると[[w:木炭|木炭]]が得られるが、その残り物から[[w:乾留液#木タール|木タール]]を[[w:蒸留|蒸留]]させた残り<ruby><rb>滓</rb><rp>（</rp><rt>かす</rt><rp>）</rp></ruby>がピッチである。樹木から得られるピッチは、黒色で[[w:粘度|粘っこく]]、高温で燃焼する。中世ヨーロッパでは城砦の防衛に使用され、城壁に近づく敵の上から熱したピッチを注いで焼死させたりしたという（[[w:fr:Poix (matière)|fr:poix]]）。]] *et nostrarum [[wikt:en:turris#Latin|turrium]] [[wikt:en:altitudo#Latin|altitudinem]], **我が方<small>〔ローマ勢〕</small>の[[w:攻城塔|攻城櫓]]の高さを、 *[[wikt:en:quantum#Latin|quantum]] has [[wikt:en:cotidianus#Latin|cotidianus]] agger [[wikt:en:expresserat#Latin|expresserat]], **毎日のようにこれらを<small>（ローマ側の）</small>土塁が押し出した分だけ、 *[[wikt:en:commissus#Latin|commissis]] suarum [[wikt:en:turris#Latin|turrium]] [[wikt:en:malus#Noun_5|malis]] [[wikt:en:adaequabant#Latin|adaequabant]], **自分たち<small>〔ガッリア勢〕</small>の櫓を、柱を組み立てることにより、<small>（ローマ側の櫓の高さと）</small>等しくしようとした。 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ et [[wikt:en:apertus#Latin|apertos]] [[wikt:en:cuniculus#Latin|cuniculos]] **<small>（ローマ勢が掘削した）</small>坑道の露出したところを *[[wikt:en:praeustus#Latin|praeusta]] et [[wikt:en:praeacutus#Latin|praeacuta]] [[wikt:en:materia#Latin|materia]] **先端を焼いて尖らせた木材や、 *et [[wikt:en:pix#Latin|pice]] [[wikt:en:fervefactus#Latin|fervefacta]] **熱した<ruby><rb>[[w:ピッチ (樹脂)|樹脂]]</rb><rp>（</rp><rt>ピッチ</rt><rp>）</rp></ruby>や、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：pix は<ruby><rb>[[w:歴青|瀝青]]</rb><rp>（</rp><rt>れきせい</rt><rp>）</rp></ruby>と訳されることもあるが、とくに[[w:ピッチ (樹脂)|ピッチ]]を指す<ref>[https://kotobank.jp/word/%E6%9C%A8%E3%81%9F%E3%83%BC%E3%82%8B-3173189 木タール] などを蒸留したあとに残る黒色の物質。</ref>。<br>　　　　[[w:歴青|瀝青]]は「ビチューメン」ともいい、ラテン語の [[wikt:en:bitumen#Latin|bitūmen]] に由来する。<br>　　　　[[w:ピッチ (樹脂)|ピッチ]]（[[w:en:Pitch (resin)|Pitch]]）は、ラテン語の [[wikt:en:pix#Latin|pix]] に由来する。）</span> *et [[wikt:en:maximus#Latin|maximi]] [[wikt:en:pondus#Latin|ponderis]] [[wikt:en:saxum#Latin|saxis]] [[wikt:en:morabantur#Etymology_1|morabantur]] **たいへんな重さの岩石で、<small>（ローマ勢の掘削を）</small>滞らせたり、 *[[wikt:en:moenia#Latin|moenibus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:adpropinquo#Latin|adpropinquare]] [[wikt:en:prohibebant#Latin|prohibebant]]. **<small>（ローマ勢が）</small>城壁に接近することを<small>（ガッリア勢が）</small>妨げたりしていた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===23節=== {{Commons|Category:Murus gallicus|Murus gallicus}} *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/23節]]　{{進捗|00%|2026-06-14}}</span> ;ガッリア式城壁の構造 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:murus#Latin|Muri]] autem omnes [[wikt:en:Gallicus#Latin|Gallici]] hac fere [[wikt:en:forma#Latin|forma]] sunt. **ところで、ガッリアの<ruby><rb>城壁</rb><rp>（</rp><rt>ムルス</rt><rp>）</rp></ruby>のすべては、ほぼ以下のような形態である。 :　 ;　　　木材を2ペースずつ等間隔で離して、ずっと並べていく *<u>Trabes</u> [[wikt:en:derectus#Latin|derectae]] [[wikt:en:perpetuus#Latin|perpetuae]] <u>in longitudinem</u> **<u><ruby><rb>木材</rb><rp>（</rp><rt>トラプス</rt><rp>）</rp></ruby></u>が<small>（城壁の）</small><u><ruby><rb>長手方向</rb><rp>（</rp><rt>ロンギトゥードー</rt><rp>）</rp></ruby></u>に、<small>（垂直に）</small>真っ直ぐに、ずっと続いて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:trabs#Latin|trabes]] は、とくに梁のような水平材を指していると思われる。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：in [[wikt:en:longitudo#Latin|longitudinem]] は、ここでは、城壁に沿った長手方向を指す。）</span> [[画像:Murus gallicus de Lyon Fourvière - Maquette de Nicolas Hirsch - Service Archéologique de la Ville de Lyon - Détail structure.jpg|thumb|right|300px|ガッリア式城壁の[[w:ジオラマ|ジオラマ]]（仏[[w:リヨン|リヨン市]]考古学局）。木材を約60cmの間隔で並べる。]] *[[wikt:en:par#Latin|paribus]] [[wikt:en:intervallum#Latin|intervallis]], [[wikt:en:distans#Latin|distantes]] inter se [[wikt:en:binus#Latin|binos]] [[wikt:en:pes#Latin|pedes]], **等間隔で、互いに2<u>ペース</u>ずつ離れて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ペース|ペース]]は約29.6cmで、2ペースは約60 cm弱。）</span> *in [[wikt:en:solum#Latin|solo]] [[wikt:en:conlocantur#Latin|conlocantur]]. **<ruby><rb>地面</rb><rp>（</rp><rt>ソルム</rt><rp>）</rp></ruby>に配置される。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：右の画像を参照。）</span> :　 ;　　　木材をつなぎ合わせ、土砂を埋めて、石材をかぶせる [[画像:2018 Rheinisches Landesmuseum Trier, Keltischer Wehrmauer.jpg|thumb|right|300px|同じく城壁のジオラマ（独[[w:トリーア|トリーア市]]）。]] *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:hae#Latin|Hae]] [[wikt:en:revinciuntur#Latin|revinciuntur]] [[wikt:en:introrsus#Latin|introrsus]] **これら<small>〔木材〕</small>は、内側で緊結されて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：明瞭な説明ではなく、肝心な記述が欠落している。<br>　　　　上記の2ペースずつ等間隔で並べられた平行な木材は、<br>　　　　節末で述べられるような40ペースの長い木材によって<br>　　　　井桁状に組み合わされて、鉄の釘で固定されたようである。<br>　　　　右上と右のジオラマの画像を参照。）</span> *et [[wikt:en:multus#Latin|multo]] [[wikt:en:agger#Latin|aggere]] [[wikt:en:vestiuntur#Latin|vestiuntur]]; **多くの<ruby><rb>土砂</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>で覆われる。 *ea autem, quae [[wikt:en:diximus#Verb|diximus]], [[wikt:en:intervallum#Latin|intervalla]] **さらに、前述した<small>（2ペースの）</small>間隔には、 *[[wikt:en:grandis#Latin|grandibus]] in [[wikt:en:frons#Latin:_forehead|fronte]] [[wikt:en:saxum#Latin|saxis]] <u>efferciuntur</u>. **前面に大きな<ruby><rb>石塊</rb><rp>（</rp><rt>サクスム</rt><rp>）</rp></ruby>が詰め込まれる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&rho;系写本･写本V では [[wikt:en:efferciuntur#Latin|efferciuntur]] と表記され、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本･写本T では [[wikt:en:effarciuntur#Latin|effarciuntur]] と表記されるが、<br>　　　　　　　　　[[w:母音弱化|母音弱化]]の語形である前者の方が、共和制末期のカエサルが用いたと考えられる。）</span> [[画像:Keltenmauer.gif|thumb|right|280px|ガッリア式城壁の構成図（上が側面、中が上面、下が前面）。木材を水平な井桁状に並べて[[w:釘|釘]]で緊結し、土砂で覆って何層にも重ね、前面には石をはめ込む。井桁状の骨組によって[[w:破城槌|破城槌]]など横からの力（水平荷重）に耐えられるように工夫されている。]] :　 *<!--❸-->⁽³⁾ His [[wikt:en:conlocatus#Latin|conlocatis]] et [[wikt:en:coagmentatus#Latin|coagmentatis]] **<u>これら</u>が配置されて結び合わされると、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：<u>これら</u> とは、上述の木材や石材のこと。）</span> *alius [[wikt:en:insuper#Latin|insuper]] [[wikt:en:ordo#Latin|ordo]] [[wikt:en:additur#Latin|additur]], **上に別の<ruby><rb>階層</rb><rp>（</rp><rt>オルドー</rt><rp>）</rp></ruby>が付け加えられる。 *ut idem illud [[wikt:en:intervallum#Latin|intervallum]] [[wikt:en:servetur#Latin|servetur]], **その同じ<small>（2ペースの）</small>間隔が保たれて、 *neque inter se [[wikt:en:contingant#Latin|contingant]] [[wikt:en:trabs#Latin|trabes]], **かつ<ruby><rb>木材</rb><rp>（</rp><rt>トラプス</rt><rp>）</rp></ruby>が互いに接触しないように、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：上下の層の水平材どうしが接触しないように、<br>　　　　互い違いに並べているようである。）</span> *sed [[wikt:en:par#Latin|paribus]] [[wikt:en:intermissus#Latin|intermissae]] [[wikt:en:spatium#Latin|spatiis]] [[wikt:en:singulus#Latin|singulae]] **けれども、等間隔で間をあけられたそれぞれ<small>（の木材）</small>は、 *[[wikt:en:singulus#Latin|singulis]] [[wikt:en:saxum#Latin|saxis]] [[wikt:en:interiectus#Latin|interiectis]] **それぞれの<ruby><rb>石塊</rb><rp>（</rp><rt>サクスム</rt><rp>）</rp></ruby>が間に挟まれることによって、 *[[wikt:en:arte#Adverb|arte]] [[wikt:en:contineantur#Latin|contineantur]]. **緊密に連結される。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Sic [[wikt:en:deinceps#Latin|deinceps]] omne [[wikt:en:opus#Latin|opus]] [[wikt:en:contexitur#Latin|contexitur]], [[wikt:en:dum#Latin|dum]] [[wikt:en:iustus#Latin|iusta]] [[wikt:en:murus#Latin|muri]] [[wikt:en:altitudo#Latin|altitudo]] [[wikt:en:expleatur#Latin|expleatur]]. **このように、<ruby><rb>城壁</rb><rp>（</rp><rt>ムルス</rt><rp>）</rp></ruby>の十分な高さが満たされるまで、すべての<ruby><rb>工作物</rb><rp>（</rp><rt>オプス</rt><rp>）</rp></ruby>が続けて組み立てられる。 [[画像:Bibracte_murus_gallicus1.jpg|thumb|right|300px|ガッリア式城壁の[[w:ジオラマ|ジオラマ]]（仏[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]遺跡のケルト文明博物館）。この構造形式はカエサルの記述から「[[w:ムルス・ガリクス|ムルス・ガリクス]]（ガッリア壁）」と呼ばれるが、ガッリアに限らず、[[w:鉄器時代|鉄器時代]]末期すなわちBC1世紀頃の後期[[w:ラ・テーヌ文化|ラ・テーヌ文化]]が及んだ各地に遺構として残る。木材どうしを緊結するために数百トンもの[[w:鉄|鉄]]の[[w:釘|釘]]を用いているのが大きな特徴で、[[w:鉄#製錬|製鉄]]・[[w:鋳造|鋳造]]技術の発達を示す。]] :　 ;　　　ガッリア式城壁は、外観が見事で、城塞都市の防御にも有益 :<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：以下、cum ～ tum … の構文「～だけでなく、また…でもある」。）</span> *<!--❺-->⁽⁵⁾ Hoc <u>cum</u> in [[wikt:en:species#Latin|speciem]] [[wikt:en:varietas#Latin|varietatem]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:opus#Latin|opus]] [[wikt:en:deformis#Latin|deforme]] non est [[wikt:en:alternus#Latin|alternis]] [[wikt:en:trabs#Latin|trabibus]] ac [[wikt:en:saxum#Latin|saxis]], **<ruby><rb>この</rb><rp>（</rp><rt>ホク</rt><rp>）</rp></ruby><ruby><rb>工作物</rb><rp>（</rp><rt>オプス</rt><rp>）</rp></ruby>は、互い違いの<ruby><rb>木材</rb><rp>（</rp><rt>トラプス</rt><rp>）</rp></ruby>と<ruby><rb>石塊</rb><rp>（</rp><rt>サクスム</rt><rp>）</rp></ruby>により、変化に富む外観において不格好でなく、 *quae [[wikt:en:rectus#Latin|rectis]] [[wikt:en:linea#Latin|lineis]] suos [[wikt:en:ordo#Latin|ordines]] [[wikt:en:servant#Latin|servant]], **──それら<small>〔木材と石〕</small>は真っ直ぐな線により、その<ruby><rb>階層</rb><rp>（</rp><rt>オルドー</rt><rp>）</rp></ruby>を保っているのだが── *<u>tum</u> ad [[wikt:en:utilitas#Latin|utilitatem]] et [[wikt:en:defensio#Latin|defensionem]] [[wikt:en:urbs#Latin|urbium]] **同様に、都市の防御の有益性のためにも、 *summam [[wikt:en:habet#Latin|habet]] [[wikt:en:opportunitas#Latin|opportunitatem]], **きわめて好都合となっている。 *quod et ab [[wikt:en:incendio#Latin|incendio]] [[wikt:en:lapis#Latin|lapis]] et ab [[wikt:en:aries#Latin|ariete]] [[wikt:en:materia#Latin|materia]] [[wikt:en:defendit#Latin|defendit]], **──というのは、<ruby><rb>石材</rb><rp>（</rp><rt>ラピス</rt><rp>）</rp></ruby>が火災からも、<ruby><rb>材木</rb><rp>（</rp><rt>マーテリア</rt><rp>）</rp></ruby>が<ruby><rb>[[w:破城槌|破城槌]]</rb><rp>（</rp><rt>はじょうつい</rt><rp>）</rp></ruby>からも、防護しており、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：et ～ et …「～でもあり、…でもある」）</span> *quae [[wikt:en:perpetuus#Latin|perpetuis]] [[wikt:en:trabs#Latin|trabibus]] [[wikt:en:pes#Latin|pedes]] [[wikt:en:quadragenus#Latin|quadragenos]] [[wikt:en:plerumque#Adverb|plerumque]] [[wikt:en:introrsus#Latin|introrsus]] [[wikt:en:revinctus#Latin|revincta]] **それ<small>〔短手方向の材木〕</small>は、たいてい40<u>ペース</u>にわたって<small>（長手方向に）</small>続く<ruby><rb>木材</rb><rp>（</rp><rt>トラプス</rt><rp>）</rp></ruby>により内部で緊結されており、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ペース|ペース]]は約29.6cmで、40ペースは約12メートル。）</span> *neque [[wikt:en:perrumpi#Latin|perrumpi]] neque [[wikt:en:distrahi#Latin|distrahi]] potest. **突破されることも、引きはがされることもできないからである。── <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===24節=== [[画像:Avaricum_westpoint_july_2006.jpg|thumb|right|350px|[[w:アウァリクム包囲戦|アウァーリクム攻略戦]]の[[w:ジオラマ|ジオラマ]]<small>（[[w:陸軍士官学校 (アメリカ合衆国)|米国陸軍士官学校]]博物館）</small>。ローマ軍の<ruby><rb>[[w:アッゲル|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>は、城壁（奥）の手前に材木と土砂を積み重ねた構築物が築き上げられ、左右の土手道をそれぞれ4層の[[w:攻城塔|攻城櫓]]が城壁に迫る。土塁の周辺には<ruby><rb>[[w:ウィネア|工作小屋]]</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby>（vinea）を多数つないだ通路（坑道）が延びている。手前には2台の<ruby><rb>投射機</rb><rp>（</rp><rt>スコルピオ</rt><rp>）</rp></ruby>が見える。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/24節]]　{{進捗|00%|2026-06-15}}</span> ;ローマ勢が徹夜の土塁工事、籠城ガッリア勢の攻勢 :　 ;　　　ローマ勢が、25日間で大がかりな攻城設備を構築する *<!--❶-->⁽¹⁾ His [[wikt:en:tot#Latin|tot]] rebus [[wikt:en:impeditus#Latin|impedita]] [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnatione]] **これら多くの事情により攻囲が妨げられて、 *[[wikt:en:miles#Latin|milites]], **兵士たちは、 *cum [[wikt:en:totus#Etymology_1|toto]] tempore <u>luto</u> [[wikt:en:frigus#Latin|frigore]] et [[wikt:en:adsiduus#Latin|adsiduis]] [[wikt:en:imber#Latin|imbribus]] <u>tardarentur</u>, **常時、<ruby><rb><u>泥土</u></rb><rp>（</rp><rt>ルトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>、寒さと絶え間ない<ruby><rb>雨嵐</rb><rp>（</rp><rt>イムベル</rt><rp>）</rp></ruby>によって遅らせられていたが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:lutum#Latin|luto]] は、&beta;系写本の記述で、<br>　　　　　　　　　　　　&alpha;系写本にはない。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の二つ目は、<br>　　　　　　　　&chi;系･&beta;系写本では [[wikt:en:tardarentur#Latin|tardarentur]] だが、<br>　　　　　　　　写本B･M･Sでは traderentur、<br>　　　　　　　　写本L･Nでは terrerentur などとなっている。）</span> *tamen [[wikt:en:continens#Adjective|continenti]] [[wikt:en:labor#Latin|labore]] omnia haec [[wikt:en:superaverunt#Latin|superaverunt]] **しかしながら、絶え間ない労働によってこれらすべてに打ち克って、 *et diebus XXV<small> ([[wikt:en:quinque#Latin|quinque]] et [[wikt:en:viginti#Latin|viginti]])</small> **25日間で、 *[[wikt:en:agger#Latin|aggerem]] [[wikt:en:latus#Latin:_wide|latum]] [[wikt:en:pes#Latin|pedes]] CCCXXX<small> ([[wikt:en:trecenti#Latin|trecenti]] [[wikt:en:triginta#Latin|triginta]])</small>, [[wikt:en:altus#Latin|altum]] pedes LXXX<small> ([[wikt:en:octoginta#Latin|octoginta]])</small> [[wikt:en:exstruxerunt#Latin|exstruxerunt]]. **幅330<u>ペース</u>、高さ80<u>ペース</u>の<ruby><rb>[[w:アッゲル|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>を築き上げた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：1[[ガイウス・ユリウス・カエサルの著作/通貨・計量単位#ペース|ペース]]は約29.6cmで、幅330ペースは約98メートル。高さ80ペースは約24メートル。）</span> :　 ;　　　アウァーリクムに籠城するガッリア勢が、攻囲するローマ勢の土塁に夜襲をしかける *<!--❷-->⁽²⁾ Cum is [[wikt:en:murus#Latin|murum]] hostium paene [[wikt:en:contingeret#Latin|contingeret]], **それ<small>〔ローマ側の土塁〕</small>が敵の城壁にほとんど接しようとしていたとき、 *et Caesar ad [[wikt:en:opus#Latin|opus]] [[wikt:en:consuetudo#Latin|consuetudine]] [[wikt:en:excubaret#Latin|excubaret]] **かつ、カエサルが習慣により作業のそばで寝ずの番をしていて、 *[[wikt:en:miles#Latin|milites]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:hortaretur#Latin|hortaretur]], ne [[wikt:en:aliquod#Latin|quod]] [[wikt:en:omnino#Latin|omnino]] [[wikt:en:tempus#Latin|tempus]] ab [[wikt:en:opus#Latin|opere]] [[wikt:en:intermitteretur#Latin|intermitteretur]], **いかなる時も作業がまったく中断されないように、と兵士たちを励ましていたときに、 *paulo ante tertiam [[wikt:en:vigilia#Latin|vigiliam]] **第三夜警時の少し前に、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：第三夜警時は、真夜中から日の出までの時間帯の前半。「未明」<br>　　　　[[古代ローマの不定時法#夜警時|#夜警時]] を参照。）</span> *est [[wikt:en:animadversus#Participle|animadversum]] [[wikt:en:fumo#Latin|fumare]] [[wikt:en:agger#Latin|aggerem]], **土塁に煙が上がっていることが気付かれた。 *quem [[wikt:en:cuniculus#Latin|cuniculo]] hostes [[wikt:en:succenderant#Latin|succenderant]]; **<small>（その土塁を）</small>[[w:坑道|坑道]]によって敵たちが焼き討ちしていたものである。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:idem#Latin|eodem]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:tempus#Latin|tempore]] **そして同時に、 *[[wikt:en:totus#Latin|toto]] [[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:clamor#Latin|clamore]] [[wikt:en:sublatus#Latin:_raised|sublato]], **<small>（アウァーリクムの）</small>城壁全体で雄叫びが上がって、 *duabus portis ab [[wikt:en:uterque#Latin|utroque]] [[wikt:en:latus#Latin:_side|latere]] [[wikt:en:turris#Latin|turrium]] **二つの城門より、<small>（ローマ勢の）</small>[[w:攻城塔|攻城櫓]]の両方の側面から *[[wikt:en:eruptio#Latin|eruptio]] [[wikt:en:fiebat#Latin|fiebat]]. **<small>（ガッリア勢による）</small>突撃がなされていた。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Alii [[wikt:en:fax#Latin|faces]] atque [[wikt:en:aridus#Latin|aridam]] <u>materiam</u> de [[wikt:en:murus#Latin|muro]] in [[wikt:en:agger#Latin|aggerem]] [[wikt:en:eminus#Latin|eminus]] [[wikt:en:iaciebant#Latin|iaciebant]], **<small>（ガッリア勢の）</small>他の者たちは、<ruby><rb>[[w:たいまつ|松明]]</rb><rp>（</rp><rt>たいまつ</rt><rp>）</rp></ruby>および乾いた材木を、城壁から<small>（ローマ側の）</small>土塁に、遠くから投げ込んで、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&beta;系写本では [[wikt:en:materiam#Latin|materiam]] だが、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本では [[wikt:en:materiem#Latin|materiem]] となっている。<br>　　　　　　　　　文法学者[[w:カエサレアのプリスキアヌス|プリスキアーヌス]]は、カエサルの文法書 "De Analogia" について materiam と引用している。）</span> *[[wikt:en:pix#Latin|picem]] [[wikt:en:reliquus#Latin|reliquas]]<nowiki>que</nowiki> res, quibus [[wikt:en:ignis#Latin|ignis]] [[wikt:en:excitari#Latin|excitari]] potest, [[wikt:en:fundebant#Latin|fundebant]], **<ruby><rb>[[w:ピッチ (樹脂)|樹脂]]</rb><rp>（</rp><rt>ピッチ</rt><rp>）</rp></ruby>や、火を燃え立たせられるほかのもの<small>〔可燃物〕</small>を注ぎ込んだ。 *ut, [[wikt:en:quo#Latin:_where|quo]] primum <u>curreretur</u> aut cui rei [[wikt:en:ferretur#Latin|ferretur]] [[wikt:en:auxilium#Latin|auxilium]], **それで、まずどこに駆け付けるのか、あるいはどの事態に支援がなされるのか、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:curreretur#Latin|curreretur]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:occurreretur#Latin|occurreretur]] となっている。）</span> *vix [[wikt:en:ratio#Latin|ratio]] [[wikt:en:iniri#Latin|iniri]] posset. **<small>（ローマ兵には）</small>ほとんど分別され得なかった。 :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ Tamen, quod [[wikt:en:institutum#Latin|instituto]] Caesaris <u>semper duae</u> [[wikt:en:legio#Latin|legiones]] pro [[wikt:en:castra#Latin|castris]] [[wikt:en:excubabant#Latin|excubabant]] **しかしながら、カエサルの定めにより常に2個[[w:ローマ軍団|軍団]]が陣営の前に寝ずの番をしていたので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本の語順では semper duae だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本の語順では duae semper となっている。）</span> *[[wikt:en:plus#Latin|plures]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:partitus#Latin|partitis]] [[wikt:en:tempus#Latin|temporibus]] erant in [[wikt:en:opus#Latin|opere]], **かつ、より多くの者たちが時間を割り当てられて作業していたので、 *celeriter [[wikt:en:factus#Latin|factum]] est, **<small>（防戦は）</small>速やかになされた。 *ut <u>alii</u> [[wikt:en:eruptio#Latin|eruptionibus]] [[wikt:en:resisterent#Latin|resisterent]], **ある者たちは<small>（ガッリア勢の）</small>突撃に抵抗しており、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：alii ～ alii …「～する者もいれば、…する者もいる。」）</span> *<u>alii</u> [[wikt:en:turris#Latin|turres]] [[wikt:en:reducerent#Latin|reducerent]] **別のある者たちは[[w:攻城塔|攻城櫓]]を引き戻して、 *[[wikt:en:agger#Latin|aggerem]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:interscinderent#Latin|interscinderent]], **土塁を<small>（城壁側から）</small>切り離していた。 *omnis vero ex [[wikt:en:castra#Latin|castris]] [[wikt:en:multitudo#Latin|multitudo]] ad [[wikt:en:restinguendum#Verb|restinguendum]] [[wikt:en:concurreret#Latin|concurreret]]. **さらに陣営から大勢の皆が、消火するために急ぎ集まっていた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===25節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/25節]]　{{進捗|00%|2026-06-29}}</span> ;籠城ガッリア勢が必死の防戦 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Cum in omnibus locis, <u>[[wikt:en:consumptus#Latin|consumpta]] iam reliqua parte noctis</u>, [[wikt:en:pugnaretur#Latin|pugnaretur]], **<u>すでに夜も明けて</u>、至る所で戦われていたときに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の直訳は「すでに夜の残りの部分も費やされて」。）</span> *[[wikt:en:semper#Latin|semper]]<nowiki>que</nowiki> hostibus [[wikt:en:spes#Latin|spes]] [[wikt:en:victoria#Latin|victoriae]] [[wikt:en:redintegraretur#Latin|redintegraretur]], **かつ、常に敵たちにとって勝利の希望が蘇っており、 *<u>eo magis, quod</u> [[wikt:en:deustus#Latin|deustos]] [[wikt:en:pluteus#Latin|pluteos]] [[wikt:en:turris#Latin|turrium]] [[wikt:en:videbant#Latin|videbant]] nec facile [[wikt:en:adire#Latin|adire]] [[wikt:en:apertus#Latin|apertos]] ad [[wikt:en:auxiliandum#Verb|auxiliandum]] [[wikt:en:animadvertebant#Latin|animadvertebant]], **<span style="font-family:Times New Roman;font-size:11pt;">[[w:攻城塔|攻城櫓]]の<ruby><rb>障壁</rb><rp>（</rp><rt>プルテウス</rt><rp>）</rp></ruby>が<ruby><rb>焼き落された</rb><rp>（</rp><rt>デウストゥス</rt><rp>）</rp></ruby>のを見ていて、<ruby><rb>身を曝した者</rb><rp>（</rp><rt>アペルトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちが救援のために容易に近づけないのに気付いていた<u>のでなおさらだったが</u>、</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:eo magis quod|eo magis quod]] ～ 「～なので、その分だけ、より一層」。[[ガリア戦記 第3巻#14節|第3巻14節]]も参照。）</span> *[[wikt:en:semper#Latin|semper]]<nowiki>que</nowiki> ipsi [[wikt:en:recens#Adjective|recentes]] [[wikt:en:defessus#Latin|defessis]] [[wikt:en:succederent#Latin|succederent]] **常に彼ら自身<small>〔籠城ガッリア勢〕</small>は新たな者たちが疲れ果てた者たちに交代しており、 *[[wikt:en:omnis#Latin|omnem]]<nowiki>que</nowiki> Galliae [[wikt:en:salus#Latin|salutem]] <u>in illo [[wikt:en:vestigium#Latin|vestigio]] temporis [[wikt:en:positus#Participle|positam]] <span style="color:#009900;"><small>(esse)</small></span></u> [[wikt:en:arbitrarentur#Latin|arbitrarentur]], **ガッリアのすべての安全が、<u>その瞬間にかかっている</u>と思われていたので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の直訳は「その時の足跡（瞬間）に置かれている」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：以上の cum ～ arbitrarentur, が状況や理由を説明する副文で、以下が主文となっている。）</span> *[[wikt:en:accidit#Etymology_1|accidit]] [[wikt:en:inspectans#Latin|inspectantibus]] nobis, **我が方<small>〔ローマ勢〕</small>が見ているなかで起こったのは、 *[[wikt:en:quod#Pronoun|quod]] [[wikt:en:dignus#Latin|dignum]] [[wikt:en:memoria#Latin|memoria]] [[wikt:en:visus#Participle|visum]] [[wikt:en:praetereundus#Latin|praetereundum]] non [[wikt:en:existimavimus#Latin|existimavimus]]. **記憶に値すると思われたことを<small>（我がローマ勢が）</small>見過ごすべきではないと考えていたことである。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：この主文の主語を省略せずに記せば、以下のようになる。<br>　　　　[id], quod dignum memoria visum [esse] praetereundum [esse] non existimavimus.）</span> [[画像:048_Conrad_Cichorius,_Die_Reliefs_der_Traianssäule,_Tafel_XLVIII_(Ausschnitt 01).jpg|thumb|right|250px|<ruby><rb>[[w:スコルピオ|投射機]]</rb><rp>（</rp><rt>スコルピオー</rt><rp>）</rp></ruby>を操作する[[w:ダキア人|ダキア人]]の彫刻（[[w:トラヤヌスの記念柱|トラヤヌス帝の記念柱]]に刻まれた[[w:レリーフ|レリーフ]]）。]] [[画像:Balliste_fireing.jpg|thumb|right|250px|<ruby><rb>[[w:スコルピオ|投射機]]</rb><rp>（</rp><rt>スコルピオー</rt><rp>）</rp></ruby>（[[w:en:Scorpio (dart-thrower)|Scorpio]]）の現代における復元。]] :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:quidam#Determiner|Quidam]] ante portam oppidi [[wikt:en:Gallus#Noun|Gallus]], <u>qui</u> **城塞都市の城門の前にいた、ある<small>（1人の）</small>ガッリア人が、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の qui は、&beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *per [[wikt:en:manus#Latin:_hand|manus]] [[wikt:en:sebum#Latin|sebi]] ac [[wikt:en:pix#Latin|picis]] [[wikt:en:traditus#Participle|traditas]] [[wikt:en:glaeba#Latin|glaebas]] **手から手へと渡された<ruby><rb>獣脂</rb><rp>（</rp><rt>セーブム</rt><rp>）</rp></ruby>や<ruby><rb>[[w:ピッチ (樹脂)|樹脂]]</rb><rp>（</rp><rt>ピッチ</rt><rp>）</rp></ruby>の塊を、 *in [[wikt:en:ignis#Latin|ignem]] <u>e regione</u> turris [[wikt:en:proiciebat#Latin|proiciebat]]: **攻城櫓の正面にある火炎の中に投げ込んでいたが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:e_regione#Latin|ē regiōne]]「まっすぐに」「～の真向かいに」。）</span> *[[wikt:en:scorpio#Latin|scorpione]] ab [[wikt:en:latus#Latin:_side|latere]] [[wikt:en:dexter#Latin|dextro]] [[wikt:en:traiectus#Participle|traiectus]] **<ruby><rb>[[w:スコルピオ|投射機]]</rb><rp>（</rp><rt>スコルピオー</rt><rp>）</rp></ruby>で右の横腹を射られて、 *[[wikt:en:exanimatus#Latin|exanimatus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:concidit#Verb|concidit]]. **息絶えて倒れた。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Hunc ex [[wikt:en:proximus#Noun|proximis]] unus [[wikt:en:iacens#Latin|iacentem]] [[wikt:en:transgressus#Latin|transgressus]] **彼が倒れているのを、すぐ近くの者たちのうちの1人が乗り越えて、 *[[wikt:en:idem#Latin|eodem]] illo [[wikt:en:munus#Latin|munere]] [[wikt:en:fungebatur#Latin|fungebatur]]; **その同じ<ruby><rb>任務</rb><rp>（</rp><rt>ムーヌス</rt><rp>）</rp></ruby>を果たしていた。 *[[wikt:en:idem#Latin|Eadem]] [[wikt:en:ratio#Latin|ratione]] [[wikt:en:ictus#Noun_4|ictu]] [[wikt:en:scorpio#Latin|scorpionis]] [[wikt:en:exanimatus#Latin|exanimato]] **<small>（その第2の者が）</small>同様に<ruby><rb>[[w:スコルピオ|投射機]]</rb><rp>（</rp><rt>スコルピオー</rt><rp>）</rp></ruby>の射撃で息絶えさせられると *alteri [[wikt:en:successit#Latin|successit]] tertius **<small>（息絶えた）</small>第2の者に第3の者が代わって、 *et tertio quartus, **<small>（さらに）</small>第3の者に第4の者が<small>（代わった）</small>。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❹-->⁽⁴⁾ <u>nec prius</u> ille est a [[wikt:en:propugnator#Latin|propugnatoribus]] [[wikt:en:vacuus#Latin|vacuus]] [[wikt:en:relictus#Participle|relictus]] locus **防戦者たちは、持ち場を放棄することがなかった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：直訳は「その場（ille locus）は、防戦者たちによって空<small>〔無人〕</small>にして置かれることがなかった。」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：nec [[wikt:en:prius#Adverb|prius]] ～ [[wikt:en:quam#Conjunction|quam]] …「…するまでは～しなかった」）</span> *<u>quam</u> [[wikt:en:restinctus#Latin|restincto]] [[wikt:en:agger#Latin|aggere]] atque <u>omni ex parte</u> [[wikt:en:submotus#Latin|submotis]] hostibus [[wikt:en:finis#Latin:_end|finis]] est [[wikt:en:pugnandi#Verb|pugnandi]] [[wikt:en:factus#Latin:_done|factus]]. **<ruby><rb>[[w:アッゲル|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>が鎮火されて、そのすべての方面から敵たちが追い払われて、戦いに終止符が打たれる<u>までは</u>。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、omni <u>ex</u> parte は ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Ciacconius|Ciacconius]]'' による修正で、<br>　　　　&alpha;系写本では omni <u>ea</u> parte <br>　　　　&beta;系写本では omni parte となっている。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===26節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/26節]]　{{進捗|00%|2026-07-13}}</span> ;アウァーリクム脱出の企て、女たちの絶叫 :　 ;　　　万策尽きたガッリア勢が、アウァーリクム脱出を企てる *<!--❶-->⁽¹⁾ [[wikt:en:omnia#Noun|Omnia]] [[wikt:en:expertus#Participle|experti]] [[wikt:en:Galli#Latin|Galli]], **ガッリア人たちはあらゆることを試みたが、 *quod res [[wikt:en:nullus#Determiner|nulla]] [[wikt:en:successerat#Latin|successerat]], **何ら事が成功しなかったので、 *[[wikt:en:posterus#Latin|postero]] die [[wikt:en:consilium#Latin|consilium]] [[wikt:en:ceperunt#Latin|ceperunt]] ex [[wikt:en:oppidum#Latin|oppido]] [[wikt:en:profugio#Latin|profugere]], **<small>（戦いの夜が明けて）</small>翌日には、<small>（アウァーリクムの）</small><ruby><rb>城塞都市</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>から退避する計画を立てた。 *[[wikt:en:hortans#Latin|hortante]] et [[wikt:en:iubens#Latin|iubente]] [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorige]]. **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]によって促され、命じられたものであった。 :　 ;　　　脱出をはかるガッリア勢の期待とその理由 *<!--❷-->⁽²⁾ Id [[wikt:en:silentium#Latin|silentio]] noctis [[wikt:en:conatus#Participle|conati]] **そのこと<small>〔アウァーリクムからの退避〕</small>を夜の静けさのうちに試みても、 *non magna <u>iactura</u> suorum **味方の大きな<ruby><rb>犠牲</rb><rp>（</rp><rt>ヤクトゥーラ</rt><rp>）</rp></ruby>もなしに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:iactura#Noun|iactura]] は「投げ捨てること」、比喩的に「損害、犠牲」。）</span> *sese [[wikt:en:effecturus#Latin|effecturos]] <span style="color:#009900;"><small>(esse)</small></span> [[wikt:en:sperabant#Latin|sperabant]], **自分たちは成し遂げるだろうと期待していた。 *<u>propterea quod</u> <u>neque</u> longe ab oppido [[wikt:en:castra#Latin|castra]] [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigis]] [[wikt:en:aberant#Latin|aberant]], **──というのも、ウェルキンゲトリークスの陣営は<small>（アウァーリクムの）</small></small><ruby><rb>城塞都市</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>からあまり離れていなかったし、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:propterea_quod#Latin|propterea quod]] ～「なぜなら～からである」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：neque ～ et …「～ではなく、…である」）</span> *<u>et</u> [[wikt:en:palus#Latin|palus]], <u>quae [[wikt:en:perpetuus#Latin|perpetua]]</u> [[wikt:en:intercedebat#Latin|intercedebat]], [[wikt:en:Romani#Latin|Romanos]] ad [[wikt:en:insequendum#Verb|insequendum]] [[wikt:en:tardabat#Latin|tardabat]]. **沼地も絶え間なく介在していて、ローマ人たちの追跡を遅らせていたからだ。── **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：二つ目の下線部は、&alpha;系写本の語順は quae perpetua だが、<br>　　　　　　　　　　　　　&beta;系写本の語順は perpetua quae となっている。）</span> :　 ;　　　母親たちが男たちに、女子供を置き去りにして敵のいけにえにするな、と哀願する *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:iam#Latin|Iam]]<nowiki>que</nowiki> <u>hoc</u> facere [[wikt:en:noctu#Latin|noctu]] [[wikt:en:apparabant#Latin|apparabant]], **すでに、<u>このことを</u>実行することを夜間に準備していた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、主要写本&omega; では [[wikt:en:haec#Latin|haec]]_{&nbsp;(中性･複数･対格)} だが、<br>　　　　　　　　　最初の印刷本 [[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Editio_princeps|ed.pr]] では [[wikt:en:hoc#Latin:_this|hoc]]_{&nbsp;(中性･単数･対格)} としている。）</span> *<u>cum</u> [[wikt:en:mater#Latin|matres]] [[wikt:en:familia#Latin|familiae]] [[wikt:en:repente#Adverb_2|repente]] in [[wikt:en:publicum#Noun|publicum]] [[wikt:en:procurrerunt#Latin|procurrerunt]], **そのときに家族の母親たちが不意に公の場に走り出て来て、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の cum は、「倒逆のcum」（[[wikt:en:cum inversum|cum inversum]]）と呼ばれ、<br>　　　　cum 以下 ～ impediret までの副文が、上記の主文よりも重要な構文の中心になる。）</span> *[[wikt:en:flens#Latin|flentes]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:proiectus#Latin|proiectae]] ad [[wikt:en:pes#Latin|pedes]] suorum **泣きながら、味方<small>（の男たち）</small>の足元に<small>（身を）</small>投げ出して、 *omnibus [[wikt:en:prex#Latin|precibus]] [[wikt:en:petierunt#Latin|petierunt]], **あらゆる懇願でもって頼んだ。 *ne se et [[wikt:en:communis#Latin|communes]] [[wikt:en:liberi#Noun_2|liberos]] hostibus ad [[wikt:en:supplicium#Latin|supplicium]] [[wikt:en:dederent#Latin|dederent]], **自分たち<small>〔女たち〕</small>と<small>（男たちとの）</small>共通の子供たちを、処刑されることのために敵方に引き渡さないで、 *<u>quos</u> ad [[wikt:en:capiendus#Latin|capiendam]] [[wikt:en:fuga#Latin|fugam]] [[wikt:en:natura#Latin|naturae]] et [[wikt:en:vis#Latin|virium]] [[wikt:en:infirmitas#Latin|infirmitas]] [[wikt:en:impediret#Latin|impediret]]. **それらの者<small>〔女子供たち〕</small>が逃亡をとるためには、性質や体力の弱さが、妨げるのだ、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:quos#Latin|quos]]_{&nbsp;(男性･複数･対格)} だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:quas#Latin|quas]]_{&nbsp;(女性･複数･対格)} となっている。）</span> :　 ;　　　窮した母親たちが、男たちの脱出の兆候をローマ人に伝えようとする *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:ubi#Latin|Ubi]] eos in [[wikt:en:sententia#Latin|sententia]] [[wikt:en:perstare#Latin|perstare]] [[wikt:en:viderunt#Latin|viderunt]], **彼ら<small>〔男たち〕</small>が<small>（女･子供を置き去りで脱出するという）</small>意思を固持していると<small>〔女たちが〕</small>見て取るや、 *[[wikt:en:quod#Conjunction|quod]] [[wikt:en:plerumque#Adverb|plerumque]] in [[wikt:en:summus#Latin|summo]] [[wikt:en:periculum#Latin|periculo]] [[wikt:en:timor#Latin|timor]] [[wikt:en:misericordia#Latin|misericordiam]] non [[wikt:en:recipit#Latin|recipit]], **──というのは、たいてい最大級の危険においては、恐怖が<ruby><rb>憐憫</rb><rp>（</rp><rt>れんびん</rt><rp>）</rp></ruby>の<ruby><rb>情</rb><rp>（</rp><rt>じょう</rt><rp>）</rp></ruby>を受け入れないものであるからだが、── *[[wikt:en:conclamo#Latin|conclamare]] et [[wikt:en:significo#Latin|significare]] de [[wikt:en:fuga#Latin|fuga]] [[wikt:en:Romani#Latin|Romanis]] [[wikt:en:coeperunt#Latin|coeperunt]]. **<small>（女たちは）</small>叫び声を上げて、ローマ人たちに<small>（男たちの）</small>逃亡について知らしめ始めた。 :　 ;　　　ガッリア勢の男たちが、ローマ側の騎兵隊を恐れて、アウァーリクム脱出を断念する *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:qui#Determiner|Quo]] [[wikt:en:timor#Latin|timore]] [[wikt:en:perterritus#Latin|perterriti]] [[wikt:en:Galli#Latin|Galli]], **<small>（女たちがローマ側へ男たちの脱出について報知したことで）</small>その恐怖によって脅かされたガッリア人<small>（の男）</small>たちは、 *[[wikt:en:ne#Latin:_no|ne]] ab [[wikt:en:equitatus#Latin|equitatu]] Romanorum [[wikt:en:via#Latin|viae]] [[wikt:en:praeoccuparentur#Latin|praeoccuparentur]], **ローマ方の[[w:騎兵|騎兵隊]]によって道があらかじめ占拠されないように、 *[[wikt:en:consilium#Latin|consilio]] [[wikt:en:destiterunt#Latin|destiterunt]]. **<small>（アウァーリクムからの脱出の）</small>計画を取り止めた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===27節=== [[画像:Avaricum_westpoint_july_2006.jpg|thumb|right|300px|[[w:アウァリクム包囲戦|アウァーリクム攻略戦]]の[[w:ジオラマ|ジオラマ]]（再掲；[[w:陸軍士官学校 (アメリカ合衆国)|米国陸軍士官学校]]博物館）。ローマ軍の<ruby><rb>[[w:アッゲル|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>の周辺には、<ruby><rb>[[w:ウィネア|工作小屋]]</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby>（vinea）の両端を開いて多数つないだ廊下状の通路（坑道）が延びている。]] *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/27節]]　{{進捗|00%|2026-08-01}}</span> ;ローマ軍が大雨の中でアウァーリクムの城壁を占拠 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Postero die Caesar, **翌日にカエサルは、 *[[wikt:en:promotus#Latin|promota]] [[wikt:en:turris#Latin|turri]] **<small>（後退していた）</small>[[w:攻城塔|攻城櫓]]<small>（の1基）</small>が前進させられて、 *<u>perfectis</u><nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:opus#Latin|operibus]], quae facere [[wikt:en:instituerat#Latin|instituerat]], **実施を定めていた作業が<u>成し遂げられると</u>、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、<br>　　　　　&pi;系写本では [[wikt:en:perfectis#Latin|perfectīs]] 「完成されると」だが、<br>　　　　　&alpha;系･&rho;系写本では [[wikt:en:derectis#Latin|dērēctīs]] 「整えられると」<br>　　　　となっている。）</span> *magno [[wikt:en:coortus#Latin|coorto]] <u>imbre</u> **激しい嵐が起こったが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:imbre#Latin|imbre]] だが、&beta;系写本では [[wikt:en:imbri#Latin|imbri]] となっている。）</span> *non [[wikt:en:inutilis#Latin|inutilem]] hanc ad [[wikt:en:capiendus#Latin|capiendum]] [[wikt:en:consilium#Latin|consilium]] [[wikt:en:tempestas#Latin|tempestatem]] <u>arbitratus est</u>, **作戦計画を立てるために、この天候は不利ではないと思われた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:arbitratus#Participle|arbitratus]] est だが、&beta;系写本では単に arbitratus となっている。）</span> *[[wikt:en:quod#Conjunction|quod]] paulo [[wikt:en:incautius#Adverb|incautius]] [[wikt:en:custodia#Latin|custodias]] in [[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:dispositus#Latin|dispositas]] [[wikt:en:videbat#Latin|videbat]], **──というのは、城壁に配置された番兵たちが少しより油断していると見ていたからだが、── *<u>suosque</u> [[wikt:en:languide#Adverb|languidius]] in [[wikt:en:opus#Latin|opere]] [[wikt:en:versor#Latin|versari]] [[wikt:en:iussit#Verb|iussit]] **配下の者たちには<small>（わざと）</small>より緩慢に作業に従事することを命じて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:suos#Latin|suōs]]<nowiki>que</nowiki> だが、&beta;系写本では [[wikt:en:suos#Latin|suōs]] [[wikt:en:quoque#Adverb|quoque]] となっている。）</span> *et, [[wikt:en:quid#Pronoun_2|quid]] [[wikt:en:fieri#Latin|fieri]] [[wikt:en:vellet#Latin|vellet]], [[wikt:en:ostendit#Latin|ostendit]]. **何がなされることを<small>（カエサルが）</small>欲しているか、を示した。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:legio#Latin|Legionibus]]<nowiki>que</nowiki> <u>extra castra intra [[wikt:en:vinea#Latin|vineas]]</u> in occulto [[wikt:en:expeditus#Participle|expeditis]], **[[w:ローマ軍団|諸軍団]]が<u>陣営の外の<ruby><rb>[[w:ウィネア|工作小屋]]</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby>の内側で</u>ひそかに準備を整えており、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、写本や校訂版によって異同がある。[[ガリア戦記_第7巻/注解/27節#注記|注記]]を参照。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:in_occulto#Latin|in occulto]]「ひそかに」「隠れた所で」）</span> *[[wikt:en:cohortatus#Latin|cohortatus]], ut [[wikt:en:aliquando#Latin|aliquando]] pro [[wikt:en:tantus#Latin|tantis]] [[wikt:en:labor#Latin|laboribus]] [[wikt:en:fructus#Latin:_noun|fructum]] victoriae [[wikt:en:perciperent#Latin|perciperent]], **<small>（カエサルは）</small>やっと、これほどの労苦の見合う勝利の報酬を我がものとするように激励し、 *iis, qui [[wikt:en:primus#Latin|primi]] [[wikt:en:murus#Latin|murum]] [[wikt:en:adscendissent#Latin|adscendissent]], [[wikt:en:praemium#Latin|praemia]] [[wikt:en:proposuit#Latin|proposuit]] **一番乗りとして城壁に登った者たちには、恩賞を約束して、 *[[wikt:en:miles#Latin|militibus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:signum#Latin|signum]] [[wikt:en:dedit#Latin|dedit]]. **兵士たちに号令を発した。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ Illi [[wikt:en:subito#Adverb_8|subito]] ex omnibus partibus [[wikt:en:evolaverunt#Latin|evolaverunt]] **彼ら<small>〔ローマ軍団兵〕</small>は不意にあらゆる方角から飛び出して、 *[[wikt:en:murus#Latin|murum]]<nowiki>que</nowiki> celeriter [[wikt:en:compleverunt#Latin|compleverunt]]. **速やかに<small>（アウァーリクムの）</small>城壁を埋め尽くしたのだ。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===28節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/28節]]　{{進捗|00%|2026-08-11}}</span> ;ローマ軍がアウァーリクムの市民4万人を大虐殺 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Hostes re nova [[wikt:en:perterritus#Latin|perterriti]], **敵たち<small>〔籠城するガッリア勢〕</small>は新たな事態に脅かされて、 *[[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:turris#Latin|turribus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:deiectus#Participle|deiecti]] **<small>（ローマ兵によって）</small>城壁や櫓から追い落とされて、 *in [[wikt:en:forum#Latin|foro]] ac locis [[wikt:en:patentior#Latin|patentioribus]] [[wikt:en:cuneatim#Latin|cuneatim]] [[wikt:en:constiterunt#Etymology_1|constiterunt]], **<ruby><rb>広場</rb><rp>（</rp><rt>フォルム</rt><rp>）</rp></ruby>や開けた場所に楔状に立ちふさがった。 *hoc animo, ut, si [[wikt:en:aliqui#Latin|qua]] ex parte [[wikt:en:obviam#Adverb|obviam]] <span style="color:#009900;">[</span>contra<span style="color:#009900;">]</span> [[wikt:en:veniretur#Latin|veniretur]], [[wikt:en:acies#Latin|acie]] [[wikt:en:instructus#Latin|instructa]] [[wikt:en:depugnarent#Latin|depugnarent]]. **もし、どの方向から相対して対抗して来られても、戦列を整えて決戦しようという心積もりでいたのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:contra#Latin|contra]] は &alpha;系･&pi;系写本･写本Rにある記述だが、<br>　　　　　　　　写本U にはなく、削除提案されている。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Ubi [[wikt:en:nemo#Latin|neminem]] in aequum locum sese [[wikt:en:demitto#Latin|demittere]], sed [[wikt:en:totus#Latin:_whole|toto]] [[wikt:en:undique#Latin|undique]] [[wikt:en:murus#Latin|muro]] [[wikt:en:circumfundi#Latin|circumfundi]] [[wikt:en:viderunt#Latin|viderunt]], **<small>（ローマ兵が）</small>誰も平らな所に降りて来ず、しかし城壁全体の至る所で取り囲まれたことを見たときに、 *[[wikt:en:veritus#Latin|veriti]], ne [[wikt:en:omnino#Latin|omnino]] spes fugae [[wikt:en:tolleretur#Latin|tolleretur]], **<small>（籠城ガッリア勢は）</small>逃亡のあらゆる希望を奪われないかと怖れて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：veriti, [[wikt:en:ne#Latin:_no|ne]] ～ 「～ではないかと恐れて」恐れの表現。）</span> *[[wikt:en:abiectus#Latin|abiectis]] [[wikt:en:arma#Latin|armis]] **武器を投げ捨てて、 *[[wikt:en:ultimus#Latin|ultimas]] oppidi partes **城塞都市の<small>（ローマ勢から）</small>最も遠くの方面を *[[wikt:en:continens#Latin|continenti]] [[wikt:en:impetus#Latin|impetu]] [[wikt:en:petiverunt#Latin|petiverunt]], **絶え間ない殺到によって求めた。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ <u>pars</u><nowiki>que</nowiki> ibi, cum [[wikt:en:angustus#Latin|angusto]] [[wikt:en:exitus#Latin|exitu]] portarum se ipsi [[wikt:en:premerent#Latin|premerent]], a militibus, **ある者たちは、城門の狭い出口で自分らで互いに押し合っていたので、そこで<small>（ローマ人）</small>兵士たちによって<small>（殺され）</small>、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:pars#Latin|pars]] ～, pars …「ある者たちは～、別の者たちは…」。）</span> *<u>pars</u> iam [[wikt:en:egressus#Latin|egressa]] portis ab [[wikt:en:eques#Latin|equitibus]] est [[wikt:en:interfectus#Latin|interfecta]]. **別の者たちはすでに城門を出ていたが、<small>（ローマ側の）</small>[[w:騎兵|騎兵]]たちによって虐殺された。 :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:nec#Latin|Nec]] fuit [[wikt:en:quisquam#Pronoun|quisquam]], qui [[wikt:en:praeda#Latin|praedae]] [[wikt:en:studeret#Latin|studeret]]. **<small>（ローマ勢には）</small>戦利品を熱心に求める何者もいなかった。 *[[wikt:en:sic#Latin|Sic]] et <u>Cenabi</u> [[wikt:en:caedes#Latin|caede]] et [[wikt:en:labor#Latin|labore]] [[wikt:en:opus#Latin|operis]] [[wikt:en:incitatus#Latin|incitati]] **このように、ケナブムの<small>（ローマ市民の）</small>殺害にも、（攻城）作業の労苦にも煽られて **:<span style="color:#009900;">（訳注：カルヌーテース族によるローマ市民の殺害については[[#3節|3節]]を参照。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の cenabi は、&alpha;系写本では [[wikt:en:Genabi#Latin|genabi]] <br>　　　　　　　　　　　　　&rho;系写本や写本Tでは [[wikt:en:Genabensi#Adjective|genabensi]]<br>　　　　　　　　　　　　　写本Uおよび写本Tの一部では cenabensi となっている。<br>　　　　　　　　　　　　　なお、cenabi, cenabensi はケルト語風の表記である。）</span> *non [[wikt:en:aetas#Latin|aetate]] [[wikt:en:confectus#Latin|confectis]], **<small>（ローマ勢は）</small>年老いた者たちも、 *non [[wikt:en:mulier#Latin|mulieribus]], **妻女たちも、 *non [[wikt:en:infans#Noun|infantibus]] [[wikt:en:pepercerunt#Latin|pepercerunt]]. **乳幼児たちも<small>（虐殺することを）</small>思いとどまらなかった。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ビトゥリゲース族はローマ市民の殺害には関与しておらず、報復される対象とするのは的外れである。</span> **:<span style="color:#009900;">ましてや非戦闘員である老人・女性・子供たちまで殺戮するのは、戦争の狂気というしかない。）</span> :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:denique#Latin|Denique]] ex omni <u><span style="color:#009900;">eo</span></u> numero, qui fuit circiter milium XL<small>&nbsp;([[wikt:en:quadraginta#Latin|quadraginta]])</small>, **ついには、約40000名もいたすべての人員のうち、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:eo#Latin:_there|eo]] は &beta;系写本の記述で、&alpha;系写本にはない。）</span> *vix DCCC<small>&nbsp;([[wikt:en:octingenti#Latin|octingenti]])</small>, qui primo [[wikt:en:clamor#Latin|clamore]] [[wikt:en:auditus#Latin|audito]] se ex oppido <u>eiecerunt</u>, **やっと800名が、はじめにどよめきを聞いて、城塞都市から急ぎ出て、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:eiecerunt#Latin|eiecerunt]]<small>&nbsp;(直接法･完了)</small> だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:eiecerant#Latin|eiecerant]]<small>&nbsp;(直接法･過去完了)</small> となっている。）</span> *[[wikt:en:incolumis#Latin|incolumes]] ad [[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorigem]] [[wikt:en:pervenerunt#Latin|pervenerunt]]. **無傷のままで[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]のもとへ到着した。 :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ Quos ille multa iam nocte <u>silentio</u> ex fuga [[wikt:en:excepit#Latin|excepit]], **彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>は、逃亡して来たその者たちを、すでに夜も更けた<u>静寂のうちに</u>迎え入れた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:silentio#Latin|silentio]] だが、&beta;系写本にはない。<br>　　　　　　他方、&beta;系写本では [[wikt:en:sic#Latin|sic]] とあるが、&alpha;系写本にはない。）</span> *[[wikt:en:veritus#Latin|veritus]], ne qua in castris ex eorum [[wikt:en:concursus#Latin:_convergence|concursu]] et [[wikt:en:misericordia#Latin|misericordia]] [[wikt:en:vulgus#Latin|vulgi]] seditio <u>oreretur</u>, **彼らの密集や一般兵士たちの同情から、陣営の中で何らかの暴動が生じないように怖れて、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ne [[wikt:en:aliqui#Latin|qua (aliqua)]] ～ [[wikt:en:seditio#Latin|seditio]]「何らかの暴動が～ないように」 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、一部の写本は [[wikt:en:oreretur#Latin|oreretur]] だが、<br>　　　　　　　　　他の写本では [[wikt:en:oriretur#Latin|oriretur]] となっているが、語形の相違。）</span> *ut procul in via [[wikt:en:dispositus#Latin|dispositis]] [[wikt:en:familiaris#Noun|familiaribus]] suis [[wikt:en:princeps#Latin|principibus]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:civitas#Latin|civitatum]], **自らの郎党たちや部族の領袖たちを<small></small>（陣営の）遠くから道沿いに配置して、 *[[wikt:en:disparandus#Latin|disparandos]] [[wikt:en:deducendus#Latin|deducendos]]<nowiki>que</nowiki> ad suos [[wikt:en:curaret#Latin|curaret]], **<small>（敗走者たちを）</small>味方のもとへ、引き離して連れて行くように手配した。 *quae [[wikt:en:cuique#Latin|cuique]] civitati pars castrorum ab [[wikt:en:initium#Latin|initio]] [[wikt:en:obvenerat#Latin|obvenerat]]. **陣営の各部分は、おのおのの部族にはじめから与えられていたのだ。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===29節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/29節]]　{{進捗|00%|2026-08-11}}</span> [[画像:Vercingetorix stater CdM.jpg|thumb|right|250px|[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の横顔が刻まれたガリアの金貨（パリの[[w:ビブリオテーク・ナショナル|仏国立図書館]]貨幣部蔵）]] ;ウェルキンゲトリークスが演説で味方を鼓舞する :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Postero die [[wikt:en:concilium#Latin|concilio]] [[wikt:en:convocatus#Latin|convocato]], **翌日に、会合が召集されると、 *[[wikt:en:consolatus#Latin|consolatus]] [[wikt:en:cohortatus#Latin|cohortatus]]<nowiki>que</nowiki> est, **<small>（ウェルキンゲトリークスは、味方の者たちを）</small>慰めて、励ました： *<u>ne</u> se [[wikt:en:admodum#Latin|admodum]] animo [[wikt:en:demitterent#Latin|demitterent]], **あまり気を落とさないように、 *<u>ne</u> [[wikt:en:perturbarentur#Latin|perturbarentur]] [[wikt:en:incommodum#Latin|incommodo]]. **敗北により取り乱さないように、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：上の下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:ne#Latin:_no|ne]] ～ ne だが、<br>　　　　　　　　　　　&beta;系写本では ne ～ [[wikt:en:neve#Latin|neve]] となっている。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Non [[wikt:en:virtus#Latin|virtute]] neque in [[wikt:en:acies#Latin|acie]] [[wikt:en:vicisse#Latin|vicisse]] [[wikt:en:Romani#Latin|Romanos]], **ローマ人たちが勝ったのは、武勇においてでも、戦列<small>〔野外の合戦〕</small>においてでもなく、 *sed [[wikt:en:artificium#Noun|artificio]] [[wikt:en:quidam#Determiner|quodam]] et [[wikt:en:scientia#Latin:_knowledge|scientia]] [[wikt:en:oppugnatio#Latin|oppugnationis]], **ある種の技巧および攻城戦の知識によるものであって、 *cuius rei [[wikt:en:fuerint#Latin|fuerint]] ipsi [[wikt:en:imperitus#Latin|imperiti]]. **その事柄に<small>（ガッリア人）</small>自身が通じていなかったのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[ガリア戦記 第5巻#42節|第5巻42節]]では、ネルウィイー族らガッリア北部のベルガエ勢はローマ人の攻城術をまねていた。）</span> :　 *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:erro#Latin:_wander|Errare]], si [[wikt:en:aliqui#Latin|qui]] in [[wikt:en:bellum#Latin|bello]] omnes [[wikt:en:secundus#Adjective|secundos]] rerum [[wikt:en:proventus#Latin|proventus]] [[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]]. **誰であれ、戦争において、万事が順調な成功になることを期待するのならば、<small>（その者らは）</small>誤っている。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：語順が判りにくいが、<br>　　　　物事のすべて（omnes rerum）が幸運な結果（secundos proventus）であることを期待するのならば～。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：errare の意味上の主語（[[wikt:en:eos#Latin|eos]]）が省略されている。）</span> :　 *<!--❹-->⁽⁴⁾ Sibi [[wikt:en:numquam#Latin|numquam]] [[wikt:en:placuisse#Latin|placuisse]] [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avaricum]] [[wikt:en:defendi#Latin|defendi]], **自分<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>にとって、アウァーリクムが防衛されることは決して好ましいものではなかった。 *cuius rei [[wikt:en:testis#Latin:_witness|testes]] ipsos [[wikt:en:haberet#Latin|haberet]]; **その事の証人は<small>（諸君ら）</small>自身である。 *sed <u>factum</u> [[wikt:en:inprudentia#Latin|inprudentia]] [[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigum]] et [[wikt:en:nimius#Latin|nimia]] [[wikt:en:obsequentia#Latin|obsequentia]] reliquorum, <u>uti</u> hoc [[wikt:en:incommodum#Latin|incommodum]] [[wikt:en:acciperetur#Latin|acciperetur]]. **だが、ビトゥリゲース族の軽率さと、ほかの者たちの過度な同調により、この敗北を蒙るようになったのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:factus#Latin:_done|factum]] (esse) ～ [[wikt:en:uti#Latin:_how|uti]] …「…ようになった」）</span> :　 *<!--❺-->⁽⁵⁾ Id tamen se celeriter [[wikt:en:maior#Adjective_2|maioribus]] [[wikt:en:commodum#Latin:noun|commodis]] [[wikt:en:sanaturus#Latin|sanaturum]] <span style="color:#009900;">(esse)</span>. **しかしながら、自分がそれ<small>〔敗北〕</small>を速やかに大いなる勝利によって埋め合わせるであろう。 :　 *<!--❻-->⁽⁶⁾ Nam quae ab reliquis [[wikt:en:Galli#Latin:_Gauls|Gallis]] civitates [[wikt:en:dissentirent#Latin|dissentirent]], **一方、<small>（ウェルキンゲトリークスら）</small>ほかのガッリア人たちとは意見を相異する諸部族、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：先行詞 [[wikt:en:civitas#Latin|civitates]] が quae 以下の関係文中に入り込む倒置の語順。）</span> *has sua [[wikt:en:diligentia#Noun|diligentia]] [[wikt:en:adiuncturus#Latin|adiuncturum]] <span style="color:#009900;">(esse)</span> **彼ら<small>〔諸部族〕</small>を自分<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>の入念さにより合流させるであろうし、 *atque unum [[wikt:en:consilium#Latin|consilium]] [[wikt:en:totus#Latin:_whole|totius]] [[wikt:en:Gallia#Latin|Galliae]] [[wikt:en:effecturus#Latin|effecturum]] <span style="color:#009900;">(esse)</span>, **全ガッリアの考えを一つにするであろう。 *cuius [[wikt:en:consensus#Latin|consensui]] ne orbis quidem terrarum [[wikt:en:possit#Latin|possit]] [[wikt:en:obsistere#Latin|obsistere]]; **その団結には、全世界でさえ邪魔することはできない。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:orbis#Latin|orbis]] [[wikt:en:/terrarum#Latin|terrarum]]「全世界」）</span> *[[wikt:en:id#Latin|id]]<nowiki>que</nowiki> se [[wikt:en:prope#Adverb|prope]] iam [[wikt:en:effectus#Latin:_participle|effectum]] habere. **それを自分<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>は、ほとんどすでに成し遂げたと思う。 :　 *<!--❼-->⁽⁷⁾ [[wikt:en:interea#Latin|Interea]] [[wikt:en:aequus#Latin|aequum]] esse ab iis [[wikt:en:communis#Latin|communis]] [[wikt:en:salus#Latin|salutis]] causa [[wikt:en:impetrari#Latin|impetrari]], **その間に<small>（ガッリアの）</small>共通の安全のために、彼ら<small>〔ガッリア人〕</small>によって<small>（以下のように）</small>達成されることが好都合である。 *ut castra [[wikt:en:munio#Latin|munire]] [[wikt:en:instituerent#Latin|instituerent]], **陣営を防御することを実施するように、 *[[wikt:en:quo#Latin:_where|quo]] [[wikt:en:facilius#Latin|facilius]] [[wikt:en:repentinus#Latin|repentinos]] hostium [[wikt:en:impetus#Latin|impetus]] <u>sustinerent</u>. **それにより、敵たち<small>〔ローマ人〕</small>の予期せぬ襲撃に対して、より容易に持ちこたえられるように。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:sustinerent#Latin|sustinerent]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:sustinere#Latin|sustinere]] [[wikt:en:possent#Latin|possent]] となっている。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===30節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/30節]]　{{進捗|00%|2026-08-29}}</span> ;ガッリア勢がウェルキンゲトリークスに心服し、希望を抱く :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Fuit haec [[wikt:en:oratio#Latin|oratio]] non [[wikt:en:ingratus#Latin|ingrata]] [[wikt:en:Galli#Latin:_Gauls|Gallis]], **この演説は、ガッリア人たちにとっては不快なものではなかった。 *et maxime, quod ipse animo non [[wikt:en:defecerat#Latin|defecerat]], [[wikt:en:tantus#Latin|tanto]] [[wikt:en:acceptus#Latin|accepto]] [[wikt:en:incommodum#Latin|incommodo]], **──というのは、とりわけ<small>（ウェルキンゲトリークス）</small>自身がこれほどの敗北を蒙っても意気消沈することなく、 *neque <u>se</u> [[wikt:en:in_occultum#Latin|in occultum]] [[wikt:en:abdiderat#Latin|abdiderat]] **秘密の場所に身を隠したり、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の再帰代名詞 se は 最初の印刷本 [[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Editio_princeps|''ed. pr.'']] で挿入されたもので、主要写本 &omega; にはない。）</span> *et [[wikt:en:conspectus#Latin:_noun|conspectum]] [[wikt:en:multitudo#Latin|multitudinis]] [[wikt:en:fugerat#Latin|fugerat]]<!--,-->; **大勢の見ているところを避けたりしなかったからである──。 :　 *<!--❷-->⁽²⁾ [[wikt:en:plus#Latin:_adverb|plus]]<nowiki>que</nowiki> animo [[wikt:en:provideo#Latin|providere]] et [[wikt:en:praesentio#Latin|praesentire]] [[wikt:en:existimabatur#Latin|existimabatur]], **<small>（ウェルキンゲトリークスは他の者よりも）</small>より先見の明があり、予感していると考えられていた。 *quod re [[wikt:en:integer#Latin|integra]] **──というのは、事態が手つかずのままで、 *[[wikt:en:primo#Latin:_adverb|primo]] [[wikt:en:incendendus#Latin|incendendum]] <span style="color:#009900;">(esse)</span> [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avaricum]], **当初はアウァーリクムが焼き払われるべきだと<small>（主張し）</small>、 *post [[wikt:en:deserendus#Latin|deserendum]] <span style="color:#009900;">(esse)</span>, [[wikt:en:censuerat#Latin|censuerat]]. **後には<small>（アウァーリクムは）</small>放棄されるべきだ、と主張していたからだ──。 :　 *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:itaque#Latin|Itaque]] <u>ut</u> [[wikt:en:reliquus#Latin|reliquorum]] [[wikt:en:imperator#Latin|imperatorum]] res adversae [[wikt:en:auctoritas#Latin|auctoritatem]] [[wikt:en:minuunt#Latin|minuunt]], **それゆえに、逆境がほかの将軍たちの影響力を減ずる一方で、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ut#Conjunction|ut]] ～, [[wikt:en:sic#Latin|sic]] …「～であるように、同様に…」あるいは「～である一方で、…」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:res#Latin|res]] [[wikt:en:adversus#Participle|adversae]]「逆境、（戦争における）敗北」。）</span> *<u>sic</u> huius <u>ex contrario</u> [[wikt:en:dignitas#Latin|dignitas]] <u>incommodo</u> [[wikt:en:acceptus#Latin|accepto]] <u>in dies</u> [[wikt:en:augebatur#Latin|augebatur]]. **それどころか、彼の威厳は、災難を蒙っても、日ごとに高まっていたのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ex_contrario#Latin|ex contrario]]「それどころか」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:incommodum#Latin|incommodum]]「不運、災難、（戦争における）敗北」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:in_dies#Latin|in dies]]「日に日に」「日ごとに」。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:simul#Latin|Simul]] <u>in spem [[wikt:en:veniebant#Latin|veniebant]]</u> eius [[wikt:en:adfirmatio#Latin|adfirmatione]] de reliquis [[wikt:en:adiungendus#Latin|adiungendis]] [[wikt:en:civitas#Latin|civitatibus]]; **同時に、彼の断言によって<small>（ガッリア人たちは）</small>ほかの諸部族を合流させることについて希望を抱いていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：in [[wikt:en:spes#Latin|spem]] [[wikt:en:venio#Latin|venire]]「希望を抱くようになる」。）</span> *[[wikt:en:primum#Adverb|primum]]<nowiki>que</nowiki> eo tempore [[wikt:en:Galli#Latin:_Gauls|Galli]] [[wikt:en:castra#Latin|castra]] [[wikt:en:munio#Latin|munire]] [[wikt:en:instituerunt#Latin|instituerunt]], **そのときに初めて、ガッリア人たちは陣営の防備を固めることに着手した。 *et <u>sic</u> <u>sunt</u> animo <u>consternati</u>, homines [[wikt:en:insuetus#Latin|insueti]] [[wikt:en:labor#Latin|laboris]], **<small>（陣営の防備という）</small>労苦に慣れていない人々が、<u>気持ちが狼狽していたので、</u> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:sic#Latin|sic]] ～, [[wikt:en:ut#Conjunction|ut]] …「～であるので、その結果…ほどだった」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の sunt は主要写本 &omega; の記述だが、erant とする修正提案もある。<br>　　　　sunt なら未完了過去 (sunt consternati)、erant なら過去完了 (erant consternati) になる。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の [[wikt:en:consternati#Latin|consternati]] は主要写本 &omega; の記述だが、<br>　　　　　　　　 ''[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#Nipperdey|Nipperdey]]'' は [[wikt:en:confirmati#Latin|confirmati]] と修正提案している。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：写本の読みは sunt [[wikt:en:consternati#Latin|consternati]] 「（彼らは）恐怖に陥っていた、混乱していた。」だが、<br>　　　　修正読みでは sunt [[wikt:en:confirmati#Latin|confirmati]] 「（彼らは）励まされた」。）</span> *<u>ut</u> omnia, quae [[wikt:en:imperarentur#Latin|imperarentur]], sibi [[wikt:en:patiendus#Latin|patienda]] <span style="color:#009900;">(esse)</span> <u>et perferenda <span style="color:#009900;">(esse)</span></u> [[wikt:en:existimarent#Latin|existimarent]]. **自分たちにとって、命令されたことすべてを耐えるべきであり、<u>成就するべきである</u>と考えるに至ったほどであった。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の et [[wikt:en:perferenda#Latin|perferenda]] (esseは省略されている) は&beta;系写本の記述で、<br>　　　　　　　　&alpha;系写本にはない。）</span> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===31節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/31節]]　{{進捗|00%|2026-08-29}}</span> ;ウェルキンゲトリークスがほかの諸部族を勧誘し、兵力を補充する :　 ;　　　ウェルキンゲトリークスが、さらに多くの部族に同盟を誘いかける *<!--❶-->⁽¹⁾ Nec minus, quam est [[wikt:en:pollicitus#Latin|pollicitus]], **約束したことに劣らず、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:nec#Latin|nec]] [[wikt:en:minus#Adverb_4|minus]] [[wikt:en:quam#Latin|quam]] ～「～に劣らず」。）</span> *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorix]] animo [[wikt:en:laborabat#Latin|laborabat]], ut reliquas [[wikt:en:civitas#Latin|civitates]] [[wikt:en:adiungeret#Latin|adiungeret]], **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、ほかの諸部族を加盟させるように、心から努力した。 *atque <u>earum principes donis pollicitationibusque</u> [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciebat]]. **それらの領袖たちに贈物を約束することによって、誘い込もうとしていた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&beta;系写本では earum [[wikt:en:princeps#Noun_3|principes]] [[wikt:en:donum#Latin|donis]] [[wikt:en:pollicitatio#Latin|pollicitationibus]]<nowiki>que</nowiki> だが、<br>　　　　　　　　　&alpha;系写本では eas donis pollicitationibus となっている。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Huic rei [[wikt:en:idoneus#Latin|idoneos]] homines [[wikt:en:deligebat#Latin|deligebat]], **この事<small>〔同盟に誘うこと〕</small>に適切な人物たちを<small>（ウェルキンゲトリークスが）</small>選び出して、 *quorum [[wikt:en:quisque#Latin|quisque]] aut [[wikt:en:oratio#Latin|oratione]] [[wikt:en:subdolus#Latin|subdola]] aut [[wikt:en:amicitia#Latin|amicitia]] **その者たちのおのおのは、巧妙な演説により、あるいは友情により、 *[[wikt:en:facillime#Latin|facillime]] <u>capere</u> posset. **かなり容易に<small>（同盟者を）</small>得ることができた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&chi;系写本･写本Lでは [[wikt:en:capere#Latin|capere]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:capi#Latin|capi]] となっている。）</span> :　 ;　　　アウァーリクムからの逃亡者たちに、武具と衣服を支給する *<!--❸-->⁽³⁾ <span style="color:#009900;">[eos]</span> qui [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avarico]] [[wikt:en:expugnatus#Latin|expugnato]] [[wikt:en:refugerant#Latin|refugerant]], **<small>（ウェルキンゲトリークスは）</small>アウァーリクムが攻略されたので逃げて来ていた者たちに、 *[[wikt:en:armandus#Latin|armandos]] [[wikt:en:vestiendus#Latin|vestiendos]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:curat#Latin|curat]]; **武装させられ、服を着せられるように、手配する。 :　 ;　　　同盟部族に徴集する兵員の数と集まる期日を指示する *<!--❹-->⁽⁴⁾ [[wikt:en:simul#Latin|simul]], ut [[wikt:en:deminutus#Latin|deminutae]] [[wikt:en:copiae#Latin|copiae]] [[wikt:en:redintegrarentur#Latin|redintegrarentur]], **同時に、減り衰えた軍勢が補充されるように、 *[[wikt:en:imperat#Latin|imperat]] [[wikt:en:certus#Latin|certum]] <u>numerum</u> militum civitatibus, <u>quem</u> et <u>quam ante diem</u> in castra [[wikt:en:adduci#Latin|adduci]] [[wikt:en:velit#Latin|velit]], **諸部族に、兵の一定の<u>数</u>を<u>どれほど</u>、かつ、<u>いつの日の前までに</u>陣営に連れて来ることを欲しているかを指図し、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:qui#Determiner|quem]] [[wikt:en:numerus#Latin|numerum]] 「どれほどの数を」。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:qui#Determiner|quam]] ante [[wikt:en:dies#Latin|diem]] 「いつの日の前までに」。）</span> *[[wikt:en:sagittarius#Noun|sagittarios]]<u>que</u> omnes, quorum erat [[wikt:en:permagnus#Latin|permagnus]] <u>numerus in Gallia</u>, [[wikt:en:conquiri#Latin|conquiri]] et ad se [[wikt:en:mitti#Latin|mitti]] [[wikt:en:iubet#Latin|iubet]]. **ガッリアにかなり大勢がいた弓兵のすべてを、徴募して自分<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>のもとへ派遣することを命じる。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本の語順は numerus in Gallia で、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本の語順は in Gallia numerus となっている。）</span> *His rebus celeriter id, quod [[wikt:en:Avaricum#Latin|Avarici]] [[wikt:en:deperierat#Latin|deperierat]], [[wikt:en:expletur#Latin|expletur]]. **これらの事により、速やかに、アウァーリクムで壊滅していたそれら<small>（の軍勢）</small>が補充される。 :　 ;　　　ニティオブロゲース族の王テウトマトゥスが、騎兵隊らとともにウェルキンゲトリークスに合流する *<!--❺-->⁽⁵⁾ [[wikt:en:interim#Latin|Interim]] [[wikt:en:Teutomatus#Latin|Teutomatus]], [[wikt:en:Ollovico#Latin|Olloviconis]] filius, rex <u>Nitiobrogum</u>, **その間に、オッロウィコーの息子で、ニティオブロゲース族の王であるテウトマトゥスが、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、主要写本&omega; では Nitiobrogum だが、<br>　　　　　　　　　写本Uの一部では [[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobrigum]] となっている。）</span> *cuius pater ab [[wikt:en:senatus#Latin|senatu]] nostro amicus erat [[wikt:en:appellatus#Latin|appellatus]], **その父<small>〔オッロウィコー〕</small>は、我が方<small>〔ローマ人〕</small>の[[w:元老院 (ローマ)|元老院]]から友人と呼ばれていたのだが、 *cum magno [[wikt:en:eques#Latin|equitum]] suorum numero et quos ex [[wikt:en:Aquitania#Latin|Aquitania]] [[wikt:en:conduxerat#Latin|conduxerat]] ad eum [[wikt:en:pervenit#Etymology_2|pervenit]]. **自らの騎兵の多数およびアクィーターニアから募っていた者たちとともに、彼<small>〔ウェルキンゲトリークス〕</small>のもとへ到着した。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ==ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反== ===32節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/32節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}</span> ;ハエドゥイー族内紛の危機 :　 *<!--❶-->⁽¹⁾ Caesar [[wikt:en:Avarici#Latin|Avarici]] complures dies [[wikt:en:commoratus#Latin|commoratus]] **カエサルは、アウァーリクムに幾日も留まって、 *[[wikt:en:summus#Latin|summam]]<nowiki>que</nowiki> ibi [[wikt:en:copia#Latin|copiam]] [[wikt:en:frumentum#Latin|frumenti]] et reliqui [[wikt:en:commeatus#Latin:_noun|commeatus]] [[wikt:en:nactus#Latin|nactus]] **そこでかなり多量の糧食やほかの必需品を手に入れて、 *[[wikt:en:exercitus#Latin:_noun|exercitum]] ex [[wikt:en:labor#Latin:_work|labore]] atque [[wikt:en:inopia#Latin:_noun|inopia]] <u>reficit</u>. **軍隊を労苦や欠乏から回復させた。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&chi;系･&beta;系写本では [[wikt:en:reficit#Latin|reficit]]_{&nbsp;(現在形)} だが、<br>　　　　　　　　　&phi;系写本では [[wikt:en:refecit#Latin|refecit]]_{&nbsp;(完了形)} となっている。）</span> :　 *<!--❷-->⁽²⁾ Iam [[wikt:en:prope#Adverb|prope]] [[wikt:en:hiems#Latin|hieme]] [[wikt:en:confectus#Latin|confecta]], **すでに、ほぼ冬は過ぎ去り、 *cum ipso anni tempore ad [[wikt:en:gerendus#Latin|gerendum]] bellum [[wikt:en:vocaretur#Latin|vocaretur]] et ad hostem [[wikt:en:proficisci#Latin|proficisci]] [[wikt:en:constituisset#Latin|constituisset]], **<small>（カエサルが）</small>まさにその時季に戦争を遂行するために呼び寄せられて、敵の方へ発つことを決意していたときに、 *<u>sive</u> eum ex [[wikt:en:palus#Latin|paludibus]] [[wikt:en:silva#Latin|silvis]]<nowiki>que</nowiki> [[wikt:en:elicio#Latin|elicere]] <u>sive</u> [[wikt:en:obsidio#Latin|obsidione]] [[wikt:en:premo#Latin|premere]] [[wikt:en:posset#Latin|posset]], **<u>あるいは</u><small>（敵を）</small>沼地や森林から誘い出せるか、<u>あるいは</u>包囲により圧倒することができるか、というときに、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：sive ～ sive …「あるいは～、あるいは…」）</span> *[[wikt:en:legatus#Latin:_noun|legati]] ad eum [[wikt:en:princeps#Latin:_noun|principes]] [[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduorum]] [[wikt:en:veniunt#Latin|veniunt]] **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の領袖たちが使節として彼<small>〔カエサル〕</small>のもとへやって来る。 *[[wikt:en:oratum#Latin:_supine|oratum]], ut maxime [[wikt:en:necessarius#Latin:_unavoidable|necessario]] tempore [[wikt:en:civitas#Latin|civitati]] [[wikt:en:subveniat#Latin|subveniat]]<!--;-->: **きわめて緊急の時に、部族を助けてくれるように、と頼むために。 :　 ;　　　ハエドゥイー族の救援要請（以下、間接話法） *<!--❸-->⁽³⁾ [[wikt:en:summus#Latin|summo]] esse in [[wikt:en:periculum#Latin|periculo]] rem, **事態は最大の危機にある。 *quod, cum [[wikt:en:singulus#Latin|singuli]] [[wikt:en:magistratus#Latin|magistratus]] [[wikt:en:antiquitus#Latin|antiquitus]] [[wikt:en:creari#Latin|creari]] atque [[wikt:en:regius#Latin|regiam]] [[wikt:en:potestas#Latin|potestatem]] <u>annum</u> [[wikt:en:obtineo#Latin|obtinere]] [[wikt:en:consuessent#Latin|consuessent]], **──というのは、昔から一人ずつの統領が選出されて、一年ごとに支配権力に就くことが常であったのに、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[ガリア戦記 第1巻#16節|第1巻16節]]によれば、ウェルゴブレトゥス [[w:la:Vergobretus|Vergobretus]]という最高官職が毎年選ばれて大権を司る。）</span> **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:annum#Latin|annum]] だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では [[wikt:en:annuam#Adjective|annuam]] となっている。）</span> *duo [[wikt:en:magistratus#Latin|magistratum]] [[wikt:en:gerant#Latin|gerant]] **2名が統領を司り、 *et se [[wikt:en:uterque#Latin|uterque]] eorum legibus <u>creatum esse</u> [[wikt:en:dicat#Latin:_speak|dicat]]. **彼らの双方ともに自分は法により<small>〔合法的に〕</small>選出されたのであると言っているのだから──。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&alpha;系写本では [[wikt:en:creatus#Latin|creatum]] esse だが、<br>　　　　　　　　　&beta;系写本では esse は省かれている。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> {{wikipedia|en:Convictolitavis}} *<!--❹-->⁽⁴⁾ Horum esse alterum Convictolitavem, [[wikt:en:florens#Latin|florentem]] et [[wikt:en:inlustris#Latin|inlustrem]] [[wikt:en:adulescens#Noun|adulescentem]]<!--,-->; **彼らの一方は、コンウィクトリタウィスで、声望があり、秀でた青年である。 *alterum Cotum, [[wikt:en:antiquissimus#Latin|antiquissima]] familia [[wikt:en:natus#Latin:_born|natum]] **他方は、コトゥスで、とても古くからの家系に生まれて、 *atque ipsum hominem summae [[wikt:en:potentia#Latin|potentiae]] et magnae [[wikt:en:cognatio#Latin|cognationis]], **自身も最大勢力と多くの縁戚関係をもつ人物であり、 *cuius frater Valetiacus proximo anno eundem [[wikt:en:magistratus#Latin|magistratum]] [[wikt:en:gesserit#Latin|gesserit]]. **その兄弟ウァレティアクスは前年に同じ統領を司っていたのである。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❺-->⁽⁵⁾ Civitatem esse omnem in [[wikt:en:arma#Latin|armis]]; **部族は皆が武装している。 *[[wikt:en:divisus#Latin|divisum]] [[wikt:en:senatus#Latin|senatum]], divisum [[wikt:en:populus#Latin:_people|populum]], <u>suas</u> cuiusque eorum clientelas. **評議会も分裂し、民衆も分裂し、彼ら<small>〔2名〕</small>の<small>（それぞれの）</small>庇護民となっている。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部の suas は主要写本&omega;の記述だが、より劣った写本では in suas となっている。）</span> *Quodsi diutius alatur controversia, fore uti pars cum parte civitatis confligat. **もしこれ以上、紛争が進められれば、部族の派閥と派閥が激突することになるであろう。 *Id ne accidat, positum in eius diligentia atque auctoritate. **それが起こらないかは、彼（カエサル）の入念さと影響力にかかっている。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===33節=== *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/33節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span> ;カエサルがハエドゥイー族の権力をコンウィクトリタウィスに与える :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❶-->⁽¹⁾ Caesar, etsi a bello atque hoste discedere detrimentosum esse existimabat, **カエサルは、戦争および敵から離れることが非常に不利であると考えていたのではあるが、 *tamen non ignorans, quanta ex dissensionibus incommoda oriri consuessent, **しかしながら、不和からどれほどの災厄が生じることが常であるか、知らないではなかったし、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：etsi ～, tamen …「～ではあるが、しかしながら…」）</span> *ne tanta et tam coniuncta populo Romano civitas, **これほど大きく、これほどローマ人民と協同している<small>（ハエドゥイーの）</small>部族国家が、 *quam ipse semper aluisset omnibusque rebus ornasset, **彼らのことを<small>（カエサル）</small>自身は常に助成して、かつあらゆる事柄で敬意を表していたのだが、 *ad vim atque arma descenderet, **<small>（彼らが内紛という）</small>暴力や戦乱に沈み込まないように、 *atque ea pars, quae minus sibi confideret, auxilia a Vercingetorige arcesseret, **かつ、自分たちが劣勢だと確信している<small>（ハエドゥイーの）</small>一派が[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の支援を招かないように、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：ne ～ civitas, ～ descenderet, ～ arcesseret「～部族が、～沈まないように、～招かないように」）</span> [[画像:FR-58-Decize29.JPG|thumb|right|250px|デケティア（[[w:la:Decetia|Decetia]]）すなわち現在のドスィーズ（[[w:fr:Decize|Decize]]）の景観。[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の版図であった[[w:ニエーヴル県|ニエーヴル県]]の南部にあり、リゲル川（現[[w:ロワール川|ロワール川]]）のほとりに位置している。]] *huic rei praevertendum existimavit, **この事態を<small>（戦争遂行よりも）</small>優先されるべきと考えた。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❷-->⁽²⁾ et, quod legibus Haeduorum iis, qui summum magistratum obtinerent, excedere ex finibus non liceret, **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の法により、最高の官職に就いている者は領土から出て行くことを許されないので、 *ne quid de iure aut de legibus eorum deminuisse videretur, **<small>（カエサルが）</small>彼らの法令あるいは法制について何ら軽視したとは思われないように、 *ipse in Haeduos proficisci statuit **<small>（カエサル）</small>自身がハエドゥイー族のもとに出発することを決心した。 *senatum<nowiki>que</nowiki> omnem et quos inter controversia esset ad se Decetiam evocavit. **かつ、評議会の全員、および紛争が介在しているところの者たちをデケティアの自分のもとへ呼び出した。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：デケティア [[w:la:Decetia|Decetia]] は、現在の[[w:en:Decize|Decize]] ドシーズ（ドゥスィズ<ref>Decize の発音は [[wikt:fr:Decize|Decize]] を参照せよ。</ref>）であると考えられている。）</span> :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❸-->⁽³⁾ Cum prope omnis civitas eo convenisset, doceretur<nowiki>que</nowiki> **部族のほぼすべての<small>（主だった）</small>者たちがそこに集まったときに、<small>（以下のことが）</small>報知された。 *paucis clam convocatis alio loco, alio tempore atque oportuerit, fratrem a fratre renuntiatum, **わずかな者が密かに、あるべきはずとは別の場所、別の時に呼び集められて、兄により弟<small>（の就位）</small>が告げられたというのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：前年に統領であった兄ウァレティアクスによって弟コトゥスの統領への就位が告げられたということであろう。）</span> *cum leges <u>duo</u> ex una familia vivo utroque non solum magistratus creari vetarent, sed etiam in senatu esse prohiberent, **法は、一つの家族から2名が双方とも存命中に、統領に選出されるのを禁じるだけでなく、評議会にいることも禁止しているのに。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：下線部は、&chi;･&beta;系写本や写本B･M･Sでは duo だが、<br>　　　　　　　　　写本L･Nでは duos となっている。）</span> *Cotum imperium deponere coegit<!--,-->; **（カエサルは）コトゥスに支配権を放棄することを強要した。 :　<!--　[[wikt:en:|　--> *<!--❹-->⁽⁴⁾ Convictolitavem, qui per sacerdotes more civitatis intermissis magistratibus esset creatus, **コンウィクトリタウィスは、統領が空位になったときに、部族の規則により、<u>祭司</u>を通じて選出されたので、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ここでいう祭司 sacerdos が[[ガリア戦記 第6巻#13節|第6巻13節]]以下で説明された[[w:ドルイド|ドルイド]]と同じか否かは不詳である。）</span> *potestatem obtinere iussit. **<small>（カエサルは彼に）</small>権力の座に就くことを命じた。 <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> ===34節=== '''ハエドゥイー族を動員し、ローマ軍をカエサルとラビエーヌスの二隊に分散''' *①　Hoc decreto interposito cohortatus Haeduos, ut **この決定により仲裁して、（カエサルは）[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]に以下のように励ました。 *controversiarum ac dissensionis obliviscerentur **（部族内部の）紛争や不和を忘れるように、 *atque omnibus omissis his rebus huic bello servirent **かつ、これらすべての事情を度外視して、この（ウェルキンゲトリークスとの）戦争に尽くすように、 *eaque, quae meruissent, praemia ab se devicta Gallia exspectarent **ガッリアが征服されたときには（彼らが）受けるに値する自分（カエサル）からの恩賞を期待するように、 *equitatumque omnem et peditum milia X(decem) sibi celeriter mitterent, **（ハエドゥイー族の）騎兵隊のすべてと歩兵1万名を自分（カエサル）に速やかに派遣するように、 *quae in praesidiis rei frumentariae causa disponeret, **それらは糧食供給のために守備隊として分けて置くものである、と。 [[画像:Brioude pont.JPEG|thumb|right|250px|エラウェル川（[[w:la:Elaver|Elaver]]）こと現在の[[w:アリエ川|アリエ川]]（Allier）。ハエドゥイー族領の境辺りでリゲル川（[[w:la:Liger|Liger]]）こと現[[w:ロワール川|ロワール川]]（[[w:fr:Loire (fleuve)|Loire]]）に合流する。]] *②　exercitum in duas partes divisit: **（カエサルは）軍隊を二つの方面軍に分けた。 *quattuor legiones in Senones Parisiosque [[w:la:Titus Labienus|Labieno]] ducendas dedit, **4個[[w:ローマ軍団|軍団]]をセノネース族やパリスィイ族のところに率いて行くべく[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]に委ねた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ラビエーヌスのこの遠征については[[#57節|57節]]～62節で述べられる。）</span> *sex ipse in Arvernos ad oppidum [[w:la:Gergovia|Gergoviam]] secundum flumen [[w:la:Elaver|Elaver]] duxit; **6個を（カエサル）自身がアルウェルニー族のところの城塞都市ゲルゴウィアへエラウェル川に沿って率いて行った。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：エラウェル川 Elaver は現在の[[w:アリエ川|アリエ川]] Allier である。）</span> *equitatus partem illi attribuit, partem sibi reliquit. **騎兵隊の一部は彼（ラビエーヌス）に割り当てて、（残りの）部分は自分のもとに残した。 *③　Qua re cognita [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] omnibus interruptis eius fluminis pontibus **その事を知って、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]はその川のすべての橋を破却しながら、 *ab altera fluminis parte iter facere coepit. **川の別の側を行軍し始めた。 ===35節=== '''カエサルが陽動によってエラウェル川に架橋、渡河する''' *①　Cum uterque utrimque exisset exercitus<ref>utrimque exisset exercitus はα系写本の記述で、β系写本では utrique esset exercitui となっている。</ref>, in conspectu, fereque e regione castris castra ponebant<ref>ponebant はα系写本の記述で、β系写本では poneret となっている。</ref>, **（ガッリア勢とローマ勢の）軍隊の双方が互いに視界にあって、ほぼ真向かいに互いの陣営を設置したときに、 *dispositis exploratoribus, necubi effecto ponte Romani copias traducerent, **（ウェルキンゲトリークスは）ローマ人の軍勢がどこにも橋を造って渡河しないように、偵察者たちを分けて置き、 *erat in magnis Caesaris<ref>Caesaris はα系写本などの記述で、π系写本などでは Caesari となっている。</ref> difficultatibus res, **カエサルにとって事態は大きな困難になっていた。 *ne maiorem aestatis partem flumine impediretur, **夏の大部分（の対岸の敵との交戦）が川により妨げられるのではないか、 *quod non fere ante autumnum [[w:la:Elaver|Elaver]] vado transiri solet. **というのは、[[w:アリエ川|エラウェル川]]は秋の前はほとんど浅瀬を渡らない習わしであったからだ。 *②　Itaque, ne id accideret, silvestri loco castris positis **こうして、それが生じないように、森林地帯に陣営を設置した。 *e regione unius eorum pontium, quos [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] rescindendos curaverat, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]が切り裂かれるように手配していたところの橋の一つの真向かいに。 *postero die cum duabus legionibus in occulto restitit; **翌日に、2個[[w:ローマ軍団|軍団]]とともに密かなところに留まった。 *③　reliquas copias cum omnibus impedimentis, ut consueverat, misit, **残りの軍勢（＝4個軍団）をすべての輜重とともに、通常のように、出発させた。 *captis<ref>写本(ω)では captis となっているが、Herald Fuchs の校訂版（1932年）では sic collocatis という記述が提案されている。etc.</ref> quibusdam cohortibus, uti numerus legionum constare videretur. **軍団の数を保っていると（敵から）見られるように、いくつかの<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>を含ませていた。 *④　His quam longissime possent egredi<ref>egredi はα系写本の記述で、β系写本では progredi となっている。</ref> iussis, **彼ら（4個軍団）には、できる限り遠くまで前進することを命じた。 *cum iam ex diei tempore coniecturam ceperat<ref>ceperat はα系写本の記述で、β系写本では caperet となっている。</ref> in castra perventum, **すでに、日の時刻から（彼らが）宿営地に到達したと（カエサルが）推測をしたときに、 *isdem sublicis, quarum pars inferior integra remanebat, pontem reficere coepit. **（前述の）同じ橋杭は、そのより下方の部分が損なわれないで残っていたので、橋を修復し始めた。 *⑤　Celeriter effecto opere **速やかに工事が成し遂げられて、 *legionibusque traductis et loco castris idoneo delecto **（2個）軍団が渡河させられて、陣営に適切な地点を選んで、 *reliquas copias revocavit. **残りの軍勢（＝4個軍団）を呼び戻した。 *⑥　Vercingetorix re cognita, **ウェルキンゲトリークスは事態を知って、 *ne contra suam voluntatem dimicare cogeretur, **自らの意向に反して（ローマ勢と）争闘することを強いられないように、 *magnis itineribus antecessit. **強行軍で（ゲルゴウィアに向けて）先行した。 ===36節=== [[画像:FR-63-Gergovie.JPG|thumb|right|300px|[[w:ゲルゴウィア|ゲルゴウィア]]（[[w:la:Gergovia|Gergovia]]）すなわち現在のジェルゴヴィ高地（[[w:fr:Plateau de Gergovie|Plateau de Gergovie]]）の[[w:ピュイ＝ド＝ドーム県|ピュイ＝ド＝ドーム県]]県道978号（D978）からの眺望。19世紀の[[w:ウジェーヌ・ストッフェル|ウジェーヌ・ストッフェル]]大佐（colonel Eugène Stoffel）の発掘調査によって、城砦やローマ軍の溝の遺構などが発見され、当地がゲルゴウィアの古戦場だと確認された。]] [[画像:Siège_GergovieI_-52.png|thumb|right|300px|ゲルゴウィアにおける両軍の布陣図。山の頂にある城塞都市に隣接してガッリア諸部族の陣営（黄色部分）、右方にローマ軍の大きな陣営（赤色部分）と左下にローマ軍の小さな陣営（赤色部分）が見える。推定される位置関係は19世紀の[[w:ウジェーヌ・ストッフェル|ストッフェル]]大佐の発掘調査に依拠しており、小陣営があった地点は現在のラ・ロシュ＝ブランシュ（[[w:fr:La Roche-Blanche (Puy-de-Dôme)|La Roche-Blanche]]）だと考えられている。]] '''両軍がゲルゴウィアの要衝に陣営を築く''' *①　Caesar ex eo loco quintis castris [[w:la:Gergovia|Gergoviam]] pervenit **カエサルは（渡河した）その地点から5回目の宿営で[[w:ゲルゴウィア|ゲルゴウィア]]に到着した。 *equestrique eo die proelio levi facto, **（到着した）その日に（ガッリア勢と）軽微な[[w:騎兵|騎兵]]戦を闘って、 *perspecto urbis situ, quae posita in altissimo monte omnes aditus difficiles habebat, **山の非常に高いところに位置し、すべての接近路を困難なものとしている（ゲルゴウィアの）町の地勢を認識して、 *de expugnatione<ref>expugnatione はα系写本の記述で、β系写本では oppugnatione となっている。</ref> desperavit, **（拙速に突撃するような）攻略については断念して、 *de obsessione non prius agendum constituit, quam rem frumentariam expedisset. **糧食調達の整備をするより前には、攻囲について行なうべきでないと決心した。 *②　At [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]], castris prope oppidum in monte<ref>in monte はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> positis, **それに対して、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、山中の城塞都市の近くに陣営を設置して、 *mediocribus circum se intervallis separatim singularum civitatium<ref>civitatium はB･M･L･N写本の記述で、χ･S･β系写本では civitatum となっている。</ref> copias conlocaverat **自陣の周りに、適切な間隔で個々の部族の軍勢を別々に駐屯させて、 *atque omnibus eius iugi collibus occupatis, qua despici poterat, **その尾根のうち（山麓を）見下ろすことができたすべての丘陵を占有して、 *horribilem speciem praebebat; **恐ろしげな姿を現わした。 *③　principesque earum civitatium<ref>civitatium はA･Q･B･M･L･N写本の記述で、Q･S･β系写本では civitatum となっている。</ref>, quos sibi ad consilium capiendum delegerat, **（ウェルキンゲトリークス）自らが作戦を立てるために選び出していた諸部族の領袖たちに *prima luce cotidie ad se convenire iubebat, **毎日、夜明けに自分のところへ集まることを命じた。 *seu quid communicandum, seu quid administrandum videretur, **何らかのことを伝達･協議するのか、あるいは何らかのことを指導するのだと思われる。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：seu ～ seu …「あるいは～、あるいは…」）</span> *④　neque ullum fere diem intermittebat, quin equestri proelio interiectis sagittariis, **騎兵戦に弓兵を介在させることを、ほとんどどの日も中断せずに、 *quid in quoque esset animi ac virtutis suorum, perspiceretur<ref>perspiceretur はα系写本の記述で、T写本では perspiceret、β系写本では periclitaretur となっている。</ref>. **どのような心構えや武勇が、配下の者たちのおのおのにあるかを、吟味した。 *⑤　Erat e regione oppidi collis sub ipsis radicibus montis **山のその麓の下方に、城塞都市の真向かいに、丘陵があって、 *egregie munitus atque ex omni parte circumcisus; **あらゆる方面から周囲が険しくて、（その地形により）すばらしく護られていた。 *quem si tenerent nostri, et aquae magna parte et pabulatione libera prohibituri hostes videbantur. **もし、それを我が方（ローマ勢）が占めれば、水源の大半と自由な糧秣徴発から敵たちを妨げるであろうと思われた。 *⑥　Sed is locus praesidio ab his, non nimis firmo, tenebatur. **だが、その地点は、彼ら（ガッリア勢）により、大して強力ではない守備隊で占められていた。 *⑦　Tamen silentio noctis Caesar ex castris egressus, **にもかかわらず（昼間ではなく）夜の静けさのうちに、カエサルは陣営から出撃して、 *priusquam subsidio ex oppido veniri posset, **城塞都市（のそばの陣営）から援兵に来られるより前に、 *deiecto praesidio potitus loco duas ibi legiones conlocavit **守備隊を追い出して、地点を占拠して、そこに2個[[w:ローマ軍団|軍団]]を駐屯させた。 *fossamque duplicem duodenum pedum a maioribus castris ad minora perduxit, **12[[w:ペース (長さ)|ペース]]（＝約3.6mの幅）の二重の堀を、より大きな陣営から（この丘陵の）より小さな陣営へ至らしめた。 *ut tuto ab repentino hostium incursu singuli commeare possent. **敵たちの不意の襲撃から安全に、1人1人が往来することができるように。 ===37節=== '''ハエドゥイー族のコンウィクトリタウィスがガッリア同盟軍に内応する''' *①　Dum haec ad [[w:la:Gergovia|Gergoviam]] geruntur, **これらがゲルゴウィアのところでなされている間に、 *Convictolitavis [[w:la:Haedui|Haeduus]], **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]のコンウィクトリタウィスは、 *cui magistratum adiudicatum a Caesare demonstravimus, **その者はカエサルによって統領として承認されたと（[[#33節|33節]]で）既述したが、 *sollicitatus ab Arvernis pecunia cum quibusdam adulescentibus conloquitur, **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]により金銭でそそのかされて、ある若者たちと談判した。 *quorum erat princeps Litaviccus atque eius fratres, **その者たちの領袖は[[w:リタウィックス|リタウィックス]]とその兄弟たちであり、 *amplissima familia nati adulescentes. **とても強大な一族に生まれた若者たちだった。 *②　Cum his praemium communicat **彼らとともに（アルウェルニー族からの）報酬を共有して、 *hortaturque, ut se liberos et imperio natos meminerint. **自分たちが自由民で支配層の生まれであるのを思い起こせ、と鼓舞した。 *③　Unam esse Haeduorum civitatem, quae certissimam Galliae victoriam distineat<ref>distineat はM･N･π･R写本などの記述で、Q･U写本などでは destineat 、A･B･S写本などでは dedistineat などとなっている。</ref>; **ハエドゥイーの部族国家は、ガッリアの至極確実な勝利を阻んでいる唯一のものであり、 *eius auctoritate reliquas contineri; **その声望により、ほかの（同盟部族の）ものたちが（ローマ側に）保持されているが、 *qua traducta locum consistendi Romanis in Gallia non fore. **それが（ガッリア勢に）引き入れられることによって、ガッリアにおいてローマ人が留まり続ける場はないであろう。 *④　Esse nonnullo se Caesaris beneficio adfectum, **自分はカエサルの少なからぬ恩義をかけられているが、 *sic tamen, ut iustissimam apud eum causam obtinuerit; **しかし、彼（カエサル）のもとで至極合法的な理由を手に入れたまでであり、 *sed plus communi libertati tribuere. **しかし、（ガッリアの）共通の自由に従うことの方がより大きい。 *⑤　Cur enim potius Haedui de suo iure et de legibus ad Caesarem disceptatorem quam Romani ad Haeduos veniant? **なぜ実際、ハエドゥイー族は自らの法令や法制について、ローマ人がハエドゥイー族へ来るよりむしろ、カエサルを仲裁者とするのか？ *⑥　Celeriter adulescentibus et oratione magistratus et praemio deductis, **若者たちは速やかに、統領の演説と報酬によって導き入れられた。 *cum se vel principes eius consilii fore profiterentur, **自分たちがその謀計の首謀者にすらなろうと申し出たときに、 *ratio perficiendi quaerebatur, **（謀計を）成し遂げる方法が求められた。 *quod civitatem temere ad suscipiendum bellum adduci posse non confidebant. **というのは、部族がむやみに（ローマ人との）戦争実行へ動かされることができるとは確信していなかったからだ。 *⑦　Placuit, ut Litaviccus decem illis milibus, quae Caesari ad bellum mitterentur, praeficeretur atque ea ducenda curaret, **リタウィックスに、カエサルに戦争のために派遣されるあの（歩兵）1万名を指揮させ率いさせるのが良いとされた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：歩兵1万名については[[#34節|34節]]を参照。）</span> *fratresque eius ad Caesarem praecurrerent. **彼の兄弟たちは、カエサルのところへ先立って行った。 *Reliqua qua ratione agi placeat constituunt. **残りのことが、どのようなやり方で行なわれるのが良いかが決められた。 ===38節=== '''リタウィックスの鼓舞でハエドゥイー族の歩兵1万が挙兵する''' *①　Litaviccus accepto exercitu **リタウィックスは（1万名の）歩兵隊を受け取って、 *cum milia passuum circiter XXX(triginta)<ref>XXX(triginta) はα系写本の記述で、β系写本では XL(quadraginta) となっている。</ref> ab<ref>ab は写本(ω)の記述であるが、モイゼル（Henricus Meusel）は a を提案している。</ref> [[w:la:Gergovia|Gergovia]] abesset, **[[w:ゲルゴウィア|ゲルゴウィア]]から約30[[w:ローママイル|ローママイル]]（＝45km弱）離れたところに来たときに、 *convocatis subito militibus lacrimans, **兵士たちを突然に呼び集めて、泣きながら、 *②　"Quo proficiscimur," inquit, "milites? **「兵士らよ、どこへ我々は進むのか？」と言った。 *Omnis noster equitatus, omnis nobilitas interiit; **「我が方（ハエドゥイー族）のすべての[[w:騎兵|騎兵隊]]とすべての高貴な者たちは滅んだ。 *principes civitatis, [[w:la:Eporedorix|Eporedorix]] et Viridomarus, **部族の領袖たち、エポレドリクスとウィリドマルスは、 *insimulati proditionis ab Romanis indicta causa interfecti sunt. **裏切りの罪を着せられて、ローマ人たちによって、弁解の余地なく殺されてしまったのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：indicta causa「弁解の余地なく」）</span> *③　Haec ab ipsis<ref>ipsis はα系写本の記述で、β系写本では his となっている。</ref> cognoscite, qui ex ipsa caede fugerunt; **これは、その虐殺から逃げて来た当人たちから聞き知ってくれ。 *nam ego fratribus atque omnibus meis propinquis interfectis **なぜなら、私は、兄弟たちやすべての我が親族たちが殺されて *dolore prohibeor, quae gesta sunt, pronuntiare." **悲嘆により、なされたことを物語ることを妨げられているからだ。」 *④　Producuntur hi<ref>hi はφ･β系写本の記述で、A写本では ii 、Q写本では hii となっている。</ref>, quos ille edocuerat quae dici vellet, **彼（リタウィックス）が言って欲しいことを教え込んでいた者たちが連れ出されて来て、 *atque eadem, quae Litaviccus pronuntiaverat, multitudini exponunt: **リタウィックスが物語ったのと同じことを群衆に説明した。 *⑤　multos<ref>multos はα系写本の記述で、β系写本では omnes となっている。</ref> equites [[w:la:Haedui|Haeduorum]] interfectos, quod conlocuti cum Arvernis dicerentur; **ハエドゥイー族の多くの騎兵たちは、アルウェルニー族と談判したと言われたので、殺された、と。 *ipsos se inter multitudinem militum occultasse atque ex media caede fugisse. **（彼ら）自身は、兵士ら多数の間に身を隠して、虐殺の最中から逃げて来たのだ、と。 *⑥　Conclamant Haedui et Litaviccum obsecrant, ut sibi consulat. **ハエドゥイー族の者たちは叫び声を上げて、リタウィックスに、自分たちに（どうするべきか）助言するように懇願した。 *"Quasi vero" inquit ille "consilii sit res, ac non necesse sit **彼は言った「実にあたかも、事態が協議するべきというかのようだ。（協議する）必要はないのだ。 *nobis Gergoviam contendere et cum Arvernis nosmet coniungere. **我々にとって、ゲルゴウィアに急行して、アルウェルニー族と我々が合流することは。 *⑦　An dubitamus, quin nefario facinore admisso Romani iam ad nos interficiendos concurrant? **非道の悪行を犯したローマ人がもはや我々を殺戮するために襲いかかって来ることを疑うのかね？ *⑧　Proinde, si quid in nobis animi est, **それゆえに、もし我々に何らかの心構えがあるならば、 *persequamur eorum mortem, qui indignissime interierunt, **とても不面目に滅びた者たちの死に仇討ちしようではないか。 *atque hos latrones interficiamus." **かの略奪者たち（ローマ人）を誅殺しようではないか。」 *Ostendit cives Romanos, qui eius praesidii fiducia una erant<ref>erant は写本(ω)の記述であるが、モムゼン（Mommsen）らは ierant を提案している。</ref>: **（リタウィックスは）彼の護衛を信頼して一緒にいたローマ市民たちを示した。 *⑨　Continuo<ref>Continuo はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> magnum numerum frumenti commeatusque diripit, **ただちに、（ローマ市民たちの）糧食や必需品の多数を略奪して、 *ipsos crudeliter excruciatos interficit. **当人たちを残酷に拷問して殺した。 *⑩　Nuntios tota civitate Haeduorum dimittit, **ハエドゥイー族の伝令たちを、部族全体にわたって遣わして、 *in<ref>in はβ系写本の記述だが、α系写本にはない。</ref> eodem mendacio de caede equitum et principum permovet<ref>permovet はL･N写本の記述だが、B写本では permanet 、χ･M･S･β系写本などでは permonet となっている。</ref>; **騎兵や領袖たちの虐殺について、同じ嘘によって扇動した。 *hortatur ut simili ratione atque ipse fecerit suas iniurias persequantur. **（リタウィックス）自身がしたのと同様のやり方で、自分たちの（受けた）無法に仇討ちするようにと鼓舞した。 ===39節=== '''エポレドリクスがハエドゥイー勢1万の寝返りをカエサルに知らせる''' *①　[[w:la:Eporedorix|Eporedorix]] [[w:la:Haedui|Haeduus]], summo loco natus adulescens et summae domi potentiae, **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の[[w:エポレドリクス|エポレドリクス]]は、最高の身分に生まれた青年で、本国で最高の権勢にあった。 *et una Viridomarus, pari aetate et gratia, sed genere dispari, **とともに、[[w:ウィリドマルス|ウィリドマルス]]も、同じ年輩で、同様に敬意を受けていたが、異なる階級であった。 *quem Caesar ab Diviciaco sibi traditum ex humili loco ad summam dignitatem perduxerat, **カエサルは彼を[[w:ディウィキアクス|ディウィキアクス]]により託されて、低い身分から最高の地位へと引き立てていた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ディウィキアクスはかつてローマに援助を求めた有力者で、カエサルに殺されたドゥムノリクスの兄弟。）</span> *in equitum numero convenerant nominatim ab eo evocati. **（その2人は）彼（カエサル）から名指しで呼び出されて、[[w:騎兵|騎兵]]として（ローマの陣中に）一緒に来ていた。 *②　His erat inter se de principatu contentio **彼ら（2人）には、互いに指揮官の座についての競争があって、 *et in illa magistratuum controversia **あの統領をめぐる紛争においても **:<span style="color:#009900;">（[[#32節|32節]]～33節を参照。）</span> *alter pro Convictolitavi, alter pro Coto summis opibus pugnaverant<ref>pugnaverant はα系写本の記述で、β系写本では pugnaverat となっている。</ref>. **一方は[[w:コンウィクトリタウィス|コンウィクトリタウィス]]のために、他方は[[w:コトゥス|コトゥス]]のために、最大限の助力で奮闘していた。 *③　Ex his Eporedorix cognito Litavicci consilio **彼らのうちエポレドリクスが[[w:リタウィックス|リタウィックス]]の謀計を知って、 *media fere nocte rem ad Caesarem defert; **ほぼ真夜中に、事情をカエサルのところへ報知した。 *orat ne patiatur civitatem pravis adulescentium consiliis ab amicitia populi Romani deficere; **（ハエドゥイーの）部族が青年たちのゆがんだ謀計によってローマ人民の友好から背くことを容認しないように懇願した。 *quod futurum provideat, si se tot hominum milia cum hostibus coniunxerint, **もし、このように多くの幾千もの同胞が敵たちと協同するならば、（上記の）ことが生じると用心するように、と。 *quorum salutem neque propinqui neglegere, **（寝返った1万の歩兵たちの）縁者たちは彼らの身の安全をなおざりにすることはないし、 *neque civitas levi momento aestimare posset. **部族が（寝返った歩兵たちの）影響力を軽く評価できない、と。 ===40節=== '''カエサルが4個軍団を率いてハエドゥイー勢1万を制止し、リタウィックスは逃亡''' *①　Magna adfectus sollicitudine hoc nuntio Caesar, **この知らせにより、大きな不安を感じたカエサルは、 *quod semper [[w:la:Haedui|Haeduorum]] civitati praecipue indulserat, **常に[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイーの部族]]にとくに気遣っていたので、 *nulla interposita dubitatione legiones expeditas quattuor equitatumque omnem ex castris educit; **何らためらいを差しはさまずに、戦備を整えた4個[[w:ローマ軍団|軍団]]と[[w:騎兵|騎兵隊]]すべてを陣営から進発させた。 *②　nec fuit spatium tali tempore ad contrahenda castra, **このような情勢で、陣営を縮小するための余地はなかった。 **:<span style="color:#009900;">　（訳注：[[#36節|36節]]で、カエサルはゲルゴウィアの大きな陣営および敵に近い小さな陣営を6個軍団で守っていた。）</span> *quod res posita in celeritate videbatur; **というのは、事態は迅速さにかかっていると思われたからだ。 *C.(Gaium) Fabium legatum cum legionibus duabus castris praesidio relinquit. **総督副官[[w:ガイウス・ファビウス|ガイウス・ファビウス]]を2個軍団とともに陣営の守備に残しておいた。 *③　Fratres Litavicci cum comprehendi iussisset, **（カエサルは）リタウィックスの兄弟たちを拘束することを命じていたのだが、 *paulo ante reperit ad hostes fugisse. **少し前に（ゲルゴウィアの）敵たちのところへ去ったことを探り出した。 *④　Adhortatus milites ne necessario tempore itineris labore permoveantur, **（カエサルは）緊急の時に、行軍の労苦により乱されないように、兵士たちを激励して、 *cupidissimis omnibus progressus milia passuum [[w:la:Viginti quinque|XXV]] agmen Haeduorum conspicatus<ref>conspicatus はα系写本の記述で、β系写本では conspicatur となっている。</ref> **皆がとても熱中していたので、25[[w:|ローママイル]]（約37km）進んで、ハエドゥイー族の隊列を視認した。 *immisso equitatu iter eorum moratur atque impedit **騎兵隊を突進させて、彼ら（ハエドゥイー勢）の行軍を妨げて、停止させた。 *interdicitque omnibus ne quemquam interficiant. **（ハエドゥイー勢を）誰一人殺さないように（ローマ勢の）皆に禁じた。 *⑤　[[w:la:Eporedorix|Eporedorigem]] et Viridomarum, quos illi interfectos existimabant, **彼ら（ハエドゥイー勢）が、殺されたものと考えていた者たち、[[w:エポレドリクス|エポレドリクス]]と[[w:ウィリドマルス|ウィリドマルス]]に、 *inter equites versari suosque appellare iubet. **（ハエドゥイー勢の）騎兵たちの間を歩き回って、味方に呼びかけることを命じた。 *⑥　His cognitis et Litavicci fraude perspecta Haedui manus tendere, **彼ら（2人）に気付いて、リタウィックスのごまかしを見通して、ハエドゥイー族の者たちは手を差し出して、 *deditionem significare et proiectis armis mortem deprecari incipiunt. **降伏の意を表して、武器を投げ出して、死を赦免されることを求め始めた。 *⑦　Litaviccus cum suis clientibus, **[[w:リタウィックス|リタウィックス]]は、配下の子分たちとともに、 *quibus more Gallorum nefas est etiam in extrema fortuna deserere patronos, **ガッリア人の風習では、最悪の境遇にあってさえも（子分が自分の）親分を見捨てることは非道であったので、 *[[w:la:Gergovia|Gergoviam]] profugit. **（親分・子分ともども）[[w:ゲルゴウィア|ゲルゴウィア]]に逃れた。 ===41節=== '''副官ファビウスの報告：ゲルゴウィアの敵勢がローマ陣営に襲来''' *①　Caesar nuntiis ad civitatem [[w:la:Haedui|Haeduorum]] missis, **カエサルは伝令たちを[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー]]の部族（当局）に遣わして、 *qui suo beneficio conservatos docerent quos iure belli interficere potuisset, **彼ら（伝令）に、戦時の権限により殺せた者たち（歩兵1万）は（カエサル）自らの恩恵により許されたのだ、と説かせた。 *tribusque horis noctis exercitui ad quietem datis castra ad [[w:la:Gergovia|Gergoviam]] movit. **（カエサルは）夜の3時間を軍隊に休息のために与えて、陣営を引き払ってゲルゴウィアの方へ向かった。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：古代ローマの不定時法では、夏季の夜の3時間は、現在の定時法の3時間よりかなり短い。）</span> *②　Medio fere itinere equites a Fabio missi, **（ゲルゴウィアへの）道程のほぼ中間のところで、ファビウスから[[w:騎兵|騎兵]]たちが遣わされて来て、 *quanto res in periculo fuerit, exponunt. **事態がどれほどの危機にあるか、を打ち明けた。 *Summis copiis castra oppugnata demonstrant, **（ガッリア勢の）最大級の軍勢により（ローマ勢の）陣営が攻撃された、と説明した。 *cum crebro integri defessis succederent **そのときに（ガッリア勢は）たびたび新たな者たちが疲労した者たちに交代していたが、 *nostrosque adsiduo labore defatigarent, **我が方（ローマ勢）は絶え間ない労苦により疲れ果てていた。 *quibus propter magnitudinem castrorum perpetuo esset isdem in vallo permanendum. **彼ら（ローマ勢）にとり、陣営の大きさのために、同じ者たちが防柵の中に留まらざるを得なかった。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：カエサルは[[#40節|40節]]②項で「陣営を縮小するための余地はなかった」とあらかじめ弁解している。）</span> *③　Multitudine sagittarum atque omnis generis<ref>omnis generis はα系写本の記述で、β系写本では omni genere となっている。</ref> telorum multos vulneratos; **（ガッリア勢からの）矢の多数と飛び道具のあらゆる類いによって（ローマ勢の）多くのものが傷つけられた。 *ad haec sustinenda magno usui fuisse tormenta. **これに持ちこたえるために、投石器が大いに役立った。 *④　Fabium discessu eorum duabus relictis portis obstruere ceteras **ファビウスは、彼ら（ガッリア勢）が退却すると、2つの門を残して、ほか（の門）を閉鎖した。 *pluteosque vallo addere et se in posterum diem similemque casum apparare<ref>similemque casum apparare はα系写本の記述で、β系写本では similem ad casum parare となっている。</ref>. **胸壁を防柵を付け加えて、翌日における似たような状況に備えた。 *⑤　His rebus cognitis Caesar **これらの事態を知って、カエサルは、 *summo studio militum ante ortum solis in castra pervenit. **兵士たちの最大級の努力によって、日の出の前に（ゲルゴウィアの）陣営に到着した。 ===42節=== '''ハエドゥイー族の者たちが反ローマ暴動を引き起こす''' *①　Dum haec ad [[w:la:Gergovia|Gergoviam]] geruntur, **これらがゲルゴウィアの辺りでなされている間に、 *[[w:la:Haedui|Haedui]] primis nuntiis ab Litavicco acceptis **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の者たちは、[[w:リタウィックス|リタウィックス]]からの最初の知らせを受け取ったが、 *nullum sibi ad cognoscendum spatium relinquunt. **自分たちには（この知らせを）調べるための余地を何ら残さなかった。 *②　Impellit alios avaritia, alios iracundia et temeritas **ある者たちを貪欲さが、ある者たちを激しやすさや無分別が駆り立てた。 *─ quae maxime illi hominum generi est innata ─ ut levem auditionem habeant pro re comperta. **あの種族の人々はとりわけ、軽率な風聞を確認された事として見なすように、生まれついているのだ。 *③　Bona civium Romanorum diripiunt, caedes faciunt, in servitutem abstrahunt. **（ハエドゥイー族の者たちは）ローマ市民たちの財産を略奪し、殺戮を行なって、隷属状態に引きずり込んだ。 *④　Adiuvat rem proclinatam Convictolitavis **（さらに）傾いた事態を[[w:コンウィクトリタウィス|コンウィクトリタウィス]]が助長して、 *plebemque ad furorem impellit, ut facinore admisso ad sanitatem reverti pudeat. **民衆を狂暴さへと、悪行を犯して冷静さへ引き返すことを恥と思うように、駆り立てた。 *⑤　M.(Marcum) Aristium tribunum militum iter ad legionem facientem **<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>であるマルクス・アリスティウスが[[w:ローマ軍団|軍団]]のところへ旅しているところを *fide data ex oppido [[w:la:Cabillonum|Cavillono]] educunt; **（安全の）保証を与えて、城塞都市カウィッロヌムから連れ出した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：カウィッロヌム Cavillonum はカビッロヌム Cabillonum とも綴り、現在の[[w:シャロン＝スュル＝ソーヌ|シャロン＝スュル＝ソーヌ]]）</span> *idem facere cogunt eos, qui negotiandi causa ibi constiterant. **そこに商売をするために定住していた（ローマ人の）者たちにも同じことをするように強要した。 *⑥　Hos continuo <in><ref>in は写本にないが、近世の活字本から挿入されている。</ref> itinere adorti omnibus impedimentis exuunt; **直ちに彼らを途中で襲撃して、すべての手荷物を奪い取った。 *repugnantes diem noctemque obsident; **抵抗する者たちを昼夜にわたって包囲した。 *multis utrimque interfectis **（ハエドゥイー族とローマ人の）双方とも多くの者たちが殺されて、 *maiorem multitudinem armatorum<ref>armatorum はα系写本の記述で、β系写本では ad arma となっている。</ref> concitant. **（ハエドゥイー族の）より多くの群衆を武装へと扇動した。 ===43節=== '''ハエドゥイー族当局がカエサルに屈服。ガッリア大動乱の予感''' *①　Interim nuntio adlato omnes eorum milites in potestate Caesaris teneri, **その間に、彼ら（ハエドゥイー族）の兵士すべてがカエサルの権力下で支配されているという知らせがもたらされて、 *concurrunt ad Aristium, **（ハエドゥイー族当局の者たちは）アリスティウスのところへ急ぎ集まって、 *nihil publico factum consilio demonstrant; **（ローマ市民に対する襲撃は）何ら公けに企てがなされたものではないと説明した。 *②　quaestionem de bonis direptis decernunt, **（部族当局は、ローマ市民から）略奪された財産についての究明を決定して、 *Litavicci fratrumque bona publicant, **リタウィックスと兄弟たちの財産を没収し、 *legatos ad Caesarem sui purgandi gratia mittunt. **カエサルのところへ使節たちを、自分たちを赦免することのために遣わした。 *③　Haec faciunt reciperandorum<ref>reciperandorum はα系写本の記述で、β系写本では recuperandorum となっている。</ref> suorum causa; **これらを、配下の者たち（＝歩兵1万名）を取り戻すために行なったのだ。 *sed contaminati facinore et capti compendio ex direptis bonis, **しかし（彼らは）悪行に汚染されていて、略奪した財産の利得にとらわれており、 *quod ea res ad multos pertinebat, timore<ref>timore はα系写本の記述で、β系写本では et timore となっている。</ref> poenae exterriti **その事に多くの者たちが関与していたので、懲罰の恐れに脅かされて、 *consilia clam de bello inire incipiunt **ひそかに戦争の謀計に取りかかり始めて、 *civitatesque reliquas legationibus sollicitant. **ほかの諸部族を使節派遣によって、そそのかした。 *④　Quae tametsi Caesar intellegebat, tamen quam mitissime potest legatos appellat; **カエサルはそのようなことを認識していたけれども、（ハエドゥイー族の）使節たちにできるだけ平静に話しかけた。 *nihil se propter inscientiam levitatemque vulgi gravius de civitate iudicare **自分は（ハエドゥイー族の）民衆の無知や軽率さのために、部族を何ら厳重に裁断することはない、と。 *neque de sua in [[w:la:Haedui|Haeduos]] benevolentia deminuere. **自分のハエドゥイー族に対する好意を減ずることはない、と。 *⑤　Ipse maiorem Galliae motum exspectans, **（カエサル）自身は、ガッリアのより大きな動乱を予期しており、 *ne ab omnibus civitatibus circumsisteretur, **すべての部族によって包囲されることがないように、 *consilia inibat, quemadmodum ab<ref>ab はχ系写本の記述で、φ系写本では a となっており、β系写本にはない。</ref> [[w:la:Gergovia|Gergovia]] discederet ac rursus omnem exercitum contraheret, **どのようにゲルゴウィアから撤退して再び軍隊全体を集結するか、策定に取りかかった。 *ne profectio nata ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> timore defectionis similis<ref>similis はα系写本の記述で、β系写本では similisque となっている。</ref> fugae videretur. **（諸部族の）背反の恐れから生じた出発が、逃亡同然と見られないように。 ===44節=== '''ゲルゴウィアの急所の尾根''' [[画像:Plateau_of_Gergovia.jpg|thumb|center|900px|ゲルゴウィア（[[w:la:Gergovia|Gergovia]]）すなわち現在のジェルゴヴィ高地（[[w:fr:Plateau de Gergovie|Plateau de Gergovie]]）の全景（南方のル・クレスト [[w:fr:Le Crest|Le Crest]] から撮影）。<br>画像中央の右下に、ローマ勢が占領して小さい方の陣営を築いていたと推定されているラ・ロシュ＝ブランシュ（[[w:fr:La Roche-Blanche (Puy-de-Dôme)|La Roche-Blanche]]）の丘陵が見える。<br>本節①項で言及されているのは画像の左端に写る丘陵と思われ、尾根伝いにほぼ平坦なゲルゴウィアの山頂（画像中央）に続いている。<br>これらの位置関係の推定は、19世紀の[[w:ウジェーヌ・ストッフェル|ウジェーヌ・ストッフェル]]大佐（colonel Eugène Stoffel）の発掘調査に依拠したものである。]] [[画像:La_Roche_Blanche.JPG|thumb|right|300px|ローマ勢が占領して小さい方の陣営を築いていたと推定されているラ・ロシュ＝ブランシュ（[[w:fr:La Roche-Blanche (Puy-de-Dôme)|La Roche-Blanche]]）の丘陵]] *①　Haec cogitanti accidere visa est facultas bene rei gerendae<ref>rei gerendae はα系写本の記述で、β系写本では gerendae rei となっている。</ref>. **（カエサルが）これらを考慮しているときに、事をうまく行なえる可能性が生じたと思われた。 *Nam cum in minora castra operis perspiciendi causa venisset, **すなわち、（ローマ勢の）小さい方の陣営に、作業を視察するためにやって来たときに、 *animadvertit collem qui ab hostibus tenebatur nudatum hominibus, **敵たちによって占められていた丘陵が、無人にされているのに気付いた。 *qui superioribus diebus vix prae multitudine cerni poterat. **それは、前日には、（ガッリア勢の）大勢の者たちのためにほとんど見分けが付けられないものだった。 *②　Admiratus quaerit ex perfugis causam, **（カエサルは）驚いて、（ゲルゴウィアからの）[[w:脱走兵|脱走兵]]たちに理由を尋ねた。 *quorum magnus ad eum cotidie numerus confluebat. **その者たちの多数は、毎日、彼（カエサル）のところへ群がり集まっていたのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#14節|14節]]⑨項で既述のように、ガッリア勢は[[w:兵役逃れ|兵役忌避]]の多さに悩まされていた。）</span> *③　Constabat inter omnes **（脱走兵たち）皆の間では同じ意見であった。 *─ quod iam ipse Caesar per exploratores cognoverat ─ **─ すでにカエサル自身が偵察者たちを通して知っていたことであったが ─ *dorsum esse eius iugi prope aequum, sed silvestre<ref>silvestre はβ系写本の記述で、α系写本では hunc silvestrem となっている。</ref> et angustum, **その尾根の背面はほぼ平地で、しかし森林におおわれて狭く、 *qua esset aditus ad alteram partem oppidi<ref>partem oppidi はα系写本の記述で、β系写本では oppidi partem となっている。</ref>; **それによって城塞都市の別の方面への出入口となっている、と。 *④　vehementer huic illos loco<ref>vehementer huic illos loco はα系写本の記述で、β系写本では huic loco vehementer illos となっている。</ref> timere nec iam aliter sentire, **この地帯を彼ら（ガッリア勢）が極度に恐れ、すでに感じていたことには、 *uno colle ab Romanis occupato, si alterum amisissent, **ローマ人によって一つの丘陵が占領されているので、もしもう一方をも失ったならば、 *quin paene circumvallati atque omni exitu et pabulatione interclusi viderentur; **（ゲルゴウィアが）ほとんど包囲されて、あらゆる出口と糧秣徴発を阻まれると思われたのである。 *ad hunc muniendum locum<ref>locum はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> omnes a [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorige]] evocatos. **この地帯の辺りを防御するために、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]により総勢が召集されていたのだ、と。 ===45節=== '''ローマ勢の陽動部隊が敵を引き付け、本隊が敵の本陣を目指す''' *①　Hac re cognita Caesar mittit complures equitum turmas eodem<ref>eodem はβ系写本の記述で、α系写本では eisdem などとなっており、またモイゼル（Meusel）は eo de と解釈している。</ref> media nocte; **この事を知って、カエサルは多数の[[w:騎兵|騎兵]]<ruby><rb>小隊</rb><rp>（</rp><rt>トゥルマ</rt><rp>）</rp></ruby>を同じところに真夜中に派遣した。 **:<span style="color:#009900;">　（訳注：騎兵小隊 turma は、ローマの同盟部族などからなる騎兵の単位で、30騎ほどからなるとされている。）</span> *imperat his<ref>his はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> ut paulo tumultuosius omnibus locis vagarentur<ref>vagarentur はα系写本の記述で、β系写本では pervagentur となっている。</ref>. **彼らには、いくらか騒々しく、あらゆる場所を動き回るように命令した。 *②　Prima luce magnum numerum impedimentorum ex castris mulorumque produci deque his stramenta detrahi **夜明けに、陣営から多数の荷馬や[[w:ラバ|ラバ]]を連れ出して、これらから[[w:鞍|荷鞍]]を取り去って、 *mulionesque cum cassidibus equitum specie ac simulatione collibus circumvehi iubet. **ラバ引きの者たちを鉄兜とともに、騎兵の外見と真似をさせて、丘々を乗り回すことを命じた。 *③　His paucos addit equites, qui latius ostentationis causa vagarentur<ref>vagarentur はα系写本の記述で、β系写本では vagentur となっている。</ref>. **彼らに少数の騎兵を付き添わせて、より広く見せびらかすために動き回らせた。 *Longo circuitu easdem omnes iubet petere regiones. **（ラバ引きと騎兵の）皆には、長く迂回して、同じ一帯を目指すことを命じた。 *④　Haec procul ex oppido videbantur, ut erat a Gergovia despectus in castra, **これらは<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>から遠くに望見され、ゲルゴウィアから（ローマ勢の）陣営が眺められたほどであったが、 *neque tanto spatio certi quid esset explorari poterat. **これほどの距離のために（ガッリア勢からは）何ごとか確かなことは探り出されなかった。 *⑤　Legionem unam eodem iugo mittit **（カエサルは）1個[[w:ローマ軍団|軍団]]を同じ尾根に派遣して、 *et paulum progressam inferiore constituit loco silvisque occultat. **いくらか前進させて低い場所に駐留させ、森林に隠した。 *⑥　Augetur Gallis suspicio **（これらを見た）ガッリア人には疑念が増されて、 *atque omnes illo ad munitionem copiae traducuntur. **軍勢のすべてがあそこ（＝無人にしていた急所の丘陵）へ防御のために移動した。 *⑦　Vacua castra hostium Caesar conspicatus **カエサルは敵たちの（ゲルゴウィア山頂の）陣営が空であると気付いて、 *tectis insignibus suorum occultatisque signis militaribus **配下の者たちの標章を覆い隠し、軍旗を隠して、 *raros milites, ne ex oppido animadverterentur, ex maioribus castris in minora traducit **兵士たちをまばらに、城塞都市から気付かれないように、大きい方の陣営から小さい方に移動させた。 *legatisque, quos singulis legionibus praefecerat, quid fieri velit, ostendit; **個々の軍団を指揮させていた<ruby><rb>[[w:レガトゥス|副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちに、何がなされることを欲しているかを示した。 *⑧　in primis monet ut contineant milites, **第一に、兵士たちを抑え留めるように戒めた。 *ne studio pugnandi aut spe praedae longius progrediantur; **（兵士たちが）戦うことの熱意、あるいは略奪の希望により、より遠くまで進み出ないように、と。 *⑨　quid iniquitas loci habeat incommodi proponit; **地勢の不利がどれほど敗北を生じるかを示した。 *hoc una celeritate posse vitari<ref>vitari はβ系写本の記述で、α系写本では mutari となっている。</ref>; **迅速さのみがこれを避けることができる。 *occasionis esse rem, non proelii. **事の成否は、戦闘にではなく、好機にかかっている。 *⑩　His rebus expositis signum dat **これらの事柄を説明して、（副官たちに進軍の）号令を出した。 *et ab dextra parte alio ascensu eodem tempore Haeduos mittit. **右の方面からは、別の登り道を（ローマ軍本隊と）同時に[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]（の騎兵）を派遣した。 ===46節=== '''ローマ軍の本隊が防壁を越えて、敵陣の一部を占拠''' *①　Oppidi murus ab<ref>ab はB･M･L･N写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> planitie atque initio ascensus recta regione, **（ゲルゴウィアの）<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>の城壁は、平地や登り道の始まりから真っ直ぐに（＝直線距離で）、 *si nullus amfractus<ref>amfractus はα系写本の記述で、β系写本では anfractus となっている。</ref> intercederet, mille CC(mille ducenti)<ref>mille CC(=1200) はα系写本の記述で、β系写本では CC（=200）となっている。</ref> passus aberat; **もし何らの湾曲が間になければ、1200[[w:パッスス|パッスス]]（＝約1.8km）離れていた。 *②　quicquid huc circuitus ad molliendum clivum accesserat<ref>accesserat は写本(ω)の記述だが、オットー・ゼール [[w:de:Otto Seel|Otto Seel]] の校訂では accesserit としている。</ref>, **ここに（山の斜面の）傾斜を緩和するために、何らかの回り道が付け加わっていて、 *id spatium itineris augebat. **その道のりの距離を増していた。 *③　A medio fere colle in longitudinem, ut natura montis ferebat, **丘陵のほぼ真ん中から、山の地形が作り出したかのように、長きにわたって、 *ex grandibus saxis sex pedum murum qui nostrum<ref>nostrum は中世の写本(ω)の記述だが、近世の版では nostrorum となっている。</ref> impetum tardaret, **大きな石垣からなる6[[w:ペース (長さ)|ペース]]（＝約1.8m）もの、我が方（ローマ勢）の突進を遅らせる防壁を、 *praeduxerant Galli, **ガッリア人は引いて来ており、 *atque inferiore omni spatio vacuo relicto **（その石垣の防壁）より下方のすべての空間は人気なく残されていて、 *superiorem partem collis usque ad murum oppidi densissimis castris compleverant. **丘陵のより上方の部分を、城塞都市の城壁の方へ続けざまに、とても密集した（各部族ごとの）陣営で満たしていた。 *④　Milites dato signo celeriter ad munitionem perveniunt **（ローマ人の）兵士たちは号令を与えられて、速やかに（石垣の）防壁のところへ到達して、 *eamque transgressi trinis castris potiuntur; **それを越えて行って、3つの（部族ごとの）陣営を占拠した。 *⑤　ac tanta fuit in castris capiendis<ref>castris capiendis はα系写本の記述で、β系写本では capiendis castris となっている。</ref> celeritas, **（3つの）陣営を奪取することにおいて、これほどにも迅速さがあったので、 *ut Teutomatus, rex Nitiobrogum, subito in tabernaculo oppressus, **その結果、[[w:ニティオブロゲス族|ニティオブロゲス族]]の王[[w:テウトマトゥス|テウトマトゥス]]は、[[w:テント|天幕]]において突然に襲われて、 *ut meridie conquieverat, superiore corporis parte nudata<ref>nudata はα系写本の記述で、β系写本では nuda となっている。</ref> **昼寝をしていたが、上半身は裸のままで、 *vulnerato equo vix se ex manibus praedantium militum eriperet. **傷付けられた馬によって、略奪している（ローマ人）兵士の手から、やっと自らを救い出した。 ===47節=== '''血気にはやるローマ兵たちの猪突猛進、ガッリア女たちの命乞い''' *①　Consecutus id quod animo proposuerat **心に決めていたことを達成したので、 *Caesar receptui cani iussit **カエサルは退却ラッパを吹くことを命じた。 *legionique decimae, quacum erat, contionatus signa constituit. **彼とともにいた[[w:第10軍団エクェストリス|第10軍団]]に呼びかけて、軍旗を停止した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：第10軍団はガッリア戦争初期からの最古参の軍団。軍旗を停止するとは、進軍を止めること。）</span> *②　Ac<ref>ac はα系写本の記述で、β系写本では at となっている。</ref> reliquarum legionum milites non exaudito<ref>exaudito はα系写本の記述で、β系写本では audito となっている。</ref> sono tubae, **ほかの[[w:ローマ軍団|軍団]]の兵士たちは、ラッパの響きを聞き取れなかった。 *quod satis magna valles intercedebat, **というのは、十分に大きな峡谷が間にあったからである。 *tamen ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> tribunis militum legatisque, ut erat a Caesare praeceptum, retinebantur; **しかしながら、<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>たちや<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>たちにより、カエサルから指図されていたように、制止されていた。 *③　Sed elati spe celeris victoriae et hostium fuga et superiorum temporum secundis proeliis **だが（兵士たちは）迅速な勝利の希望や、敵たちの逃亡や、それ以前のときの順調な戦闘により、高慢になっていて、 *nihil adeo arduum sibi esse existimaverunt<ref>esse existimaverunt はα系写本の記述で、β系写本では existimabant となっている。</ref>, quod non virtute consequi possent, **自分たちにとって、武勇で達することができないほどの困難なものはまったく何もない、と考えており、 *neque finem prius sequendi fecerunt quam muro oppidi portisque adpropinquarunt. **（ゲルゴウィアの）城塞都市の城壁や城門に近付くまでは、追及を終結させなかった。 *④　Tum vero ex omnibus urbis partibus orto clamore, **すると、まさに（ゲルゴウィアの）町のあらゆる方面から叫び声が発せられて、 *qui longius aberant, repentino tumultu perterriti, **（城内の）遠い方に離れていた者たちは、予期せぬ騒ぎに脅えており、 *cum hostem intra portas esse existimarent, **敵（＝ローマ人）が城門の内側にいると考えたので、 *sese ex oppido eiecerunt. **城塞都市から急ぎ出た。 *⑤　Matres familiae de muro vestem argentumque iactabant **家庭の母親たちは、城壁から衣類や貨幣をたびたび投げやった。 *et pectore nudo prominentes passis manibus obtestabantur Romanos, **そして胸を裸にして（城壁の上に）進み出て、手を伸ばしてローマ人たちに哀願した。 *ut sibi parcerent **自分たちを容赦するように、 *neu, sicut Avarici fecissent, ne a mulieribus quidem atque infantibus abstinerent; **（ローマ人が）アウァーリクムでしたように女たちや子供たちでさえも赦免しないことのないように、と。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> **:<span style="color:#009900;">（訳注：ローマ人がアウァーリクムでした行為については、[[#28節|28節]]④項を参照。）</span> *⑥　nonnullae de muris<ref>muris はα系写本の記述で、β系写本では mure となっている。</ref> per manus demissae sese militibus tradebant. **少なからぬ者たちは、城壁から手で降ろされて、（ローマ人）兵士たちに身を任せた。 [[画像:Gergovie_mur_pano2.jpg|thumb|center|700px|ゲルゴウィア（[[w:la:Gergovia|Gergovia]]）すなわち現在のジェルゴヴィ高地（[[w:fr:Plateau de Gergovie|Plateau de Gergovie]]）で発掘された城壁の遺構。]] *⑦　L.(Lucius) Fabius centurio legionis VIII(octavae), **[[w:第8軍団アウグスタ|第8軍団]]の<ruby><rb>[[w:ケントゥリオ|百人隊長]]</rb><rp>（</rp><rt>ケントゥリオ</rt><rp>）</rp></ruby>であるルキウス・ファビウスは、 *quem inter suos eo die dixisse constabat **配下の者たちの間で、その日、（以下のように）言ったことが知られていた。 *excitari se Avaricensibus praemiis neque commissurum, ut prius quisquam murum ascenderet, **自分はアウァーリクムの恩賞に奮い立たせられて、何者かが（自分）より早く城壁を登るようなことは生じさせない、と。 *tres suos nactus manipulares **（ファビウスは）同じ隊の兵士である3人の配下と遭遇して、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：manipulares は「[[w:マニプルス|歩兵中隊]]の」とも解されるが、ここでは「同じ隊の兵士」という意味であろう。）</span> *atque ab his sublevatus murum ascendit, **彼らによって持ち上げられて城壁を登った。 *hos<ref>hos はα系写本の記述で、π系写本では eos 、ρ系写本では eo となっている。</ref> ipse rursus singulos exceptans in murum extulit. **彼らは（ファビウス）自身が再び1人ずつ引き出して、城壁に導き上げた。 ===48節=== '''ガッリア勢が城塞都市に引き返して、防戦に努める''' *①　Interim hi<ref>hi はα系･π系･R写本の記述で、U写本では ii となっている。</ref> qui ad alteram partem oppidi, ut supra demonstravimus, munitionis causa convenerant, **その間に、前に述べたように、<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>の別の方面へ、防御のために集結していた（ガッリア勢の）者たちは、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#45節|45節]]⑥項で述べられている。）</span> *primo exaudito clamore, **初めに叫び声を聞き取り、 *inde etiam crebris nuntiis incitati oppidum ab Romanis teneri, **さらに、城塞都市がローマ人たちによって占領されたという頻繁な知らせにさえも駆り立てられて、 *praemissis equitibus magno concursu<ref>concursu はα系写本の記述で、β系写本では cursu となっている。</ref> eo contenderunt. **[[w:騎兵|騎兵]]たちを先遣して、（歩兵たちも）駆けに駆けて、そこ（＝城塞都市）へ急いだ。 [[画像:Auvergne_Gaul_coin_CdM.jpg|thumb|right|300px|[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]の兵士が刻まれた貨幣（[[w:ビブリオテーク・ナショナル|仏国立図書館]]貨幣部所蔵）]] *②　Eorum ut quisque primus venerat, **彼らの（城塞都市に）到着した者から順々に **:<span style="color:#009900;">（訳注：quisque primus「最初の者ごとに；順々に」）</span> *sub muro consistebat suorumque pugnantium numerum augebat. **城壁の下に陣取って、味方の戦う者たちの数を増した。 *③　Quorum cum magna multitudo convenisset, **その者たちの大群集が集結したときに、 *matres familiae quae paulo ante Romanis de muro manus tendebant, **少し前にはローマ人たちに城壁から手を差し出していた家庭の母親たちが *suos obtestari **味方に哀願して、 *et more Gallico passum capillum ostentare liberosque in conspectum proferre coeperunt. **ガッリアの風習により、髪を広げて示し、子供たちを（男たちの）眼前に運び始めた。 *④　Erat Romanis nec loco nec numero aequa contentio; **ローマ人たちにとっては、地の利でも（兵の）数でも、対等な闘いはなかった。 *simul et cursu et spatio pugnae defatigati **と同時に、戦いの疾走や時間（の長さ）に疲弊させられていて、 *non facile recentes atque integros sustinebant. **（ガッリア勢の）新来かつ無傷の者たちに、容易に持ちこたえられなかった。 ===49節=== '''カエサルが劣勢の自軍に副官セクスティウスを増援する''' *①　Caesar cum iniquo loco pugnari hostiumque augeri copias videret, **カエサルは（戦闘が自軍に）不利な場所で戦われていること、かつ敵方の軍勢が増やされていることを見たので、 *praemetuens suis **配下の者たちを気遣って、 *ad T.(Titum) Sextium legatum, quem minoribus castris praesidio reliquerat, misit, **小さい方の陣営に守備として残しておいた<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>ティトゥス・セクスティウスのところへ（伝令を）遣わして、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：セクスティウスについては、すでに副官として[[ガリア戦記 第6巻#1節|第6巻1節]]で言及されている。）</span> *ut cohortes ex castris celeriter educeret **陣営から（いくつかの）<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>を速やかに進発させるように、 *et sub infimo colle ab dextro latere hostium constitueret, **かつ丘陵のふもとの下方で、敵方の右の側面に布陣するように、と。 *②　ut, si nostros loco depulsos vidisset, quominus libere hostes insequerentur terreret. **もし我が方が（戦闘の）場所から追いやられたのを見たら、敵方が自由に追撃することにならぬよう脅かすためである。 *③　Ipse paulum ex eo loco cum legione progressus, ubi constiterat, **（カエサル）自身は、停止していた場所から、軍団とともに少し前進して、 **:<span style="color:#009900;">（[[#47節|47節]]①項で既述のように、カエサルとともに停止していたのは[[w:第10軍団エクェストリス|第10軍団]]である。）</span> *eventum pugnae exspectabat. **戦いの決着を待っていた。 ===50節=== '''激戦の末、敗勢に陥るローマ軍''' *①　Cum acerrime comminus pugnaretur, hostes loco et numero, nostri virtute confiderent, **（両軍により）激烈に格闘して戦われていて、敵方は地の利と（兵の）数を、我が方（ローマ軍）が武勇を頼りとしていたときに、 *subito sunt Haedui visi ab latere nostris aperto, **突如として、我が方にとって開けた側面（＝右側）から、[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の者たち（の姿）が見られた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：「開けた側面から」ab latere aperto とは、兵士の[[w:スクトゥム|長盾]]で覆われていない右側を指す。）</span> *quos Caesar ab dextra parte alio ascensu manus distinendae causa miserat. **カエサルがその者たちを右の方面から別の登り道により（敵の）部隊を分散しておくために派遣していたのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：この事は、[[#45節|45節]]⑩項で述べられている。）</span> *②　Hi similitudine armorum vehementer nostros perterruerunt, **彼らの武具が（ガッリア勢のものと）似ていることが、我が方（の兵士たち）を極度に怖れさせた。 *ac tametsi dextris humeris<ref>humeris が写本(ω)の記述であるが、umeris とするのも一般的となっている。</ref> exsertis animadvertebantur, quod insigne pactum<ref>pactum はHellerによる修正提案で、写本(ω)では pacatum となっており、研究者たちにより他の修正も提案されている。</ref> esse consuerat, **（ハエドゥイー勢は）右の肩を脱いでいるのが視認され、その印は（味方として）定められているのが常であったが、 *tamen id ipsum sui fallendi causa milites ab hostibus factum existimabant. **けれども（ローマ人の）兵士たちは、それ自体が自分たちを欺くために、敵方によりなされたと考えたのだ。 [[画像:Dorf_La_Roche_Blanche.JPG|thumb|right|300px|ゲルゴウィア（[[w:la:Gergovia|Gergovia]]）すなわち現在のジェルゴヴィ高地（[[w:fr:Plateau_de_Gergovie|Plateau de Gergovie]]）の遠景（南方のル・クレスト [[w:fr:Le_Crest|Le Crest]] から撮影）。画像中央がローマ軍が小さい方の陣営を設置していたと推定されているラ・ロシュ＝ブランシュ（[[w:fr:La_Roche-Blanche_(Puy-de-Dôme)|La Roche Blanche]]）の丘陵で、山頂からこの丘陵の辺りが激戦地だったと思われる。現在は山麓にかけて住宅地が広がっている。]] *③　Eodem tempore L.(Lucius) Fabius centurio quique una murum ascenderant, **同じ時に、<ruby><rb>[[w:ケントゥリオ|百人隊長]]</rb><rp>（</rp><rt>ケントゥリオ</rt><rp>）</rp></ruby>ルキウス・ファビウスおよび一緒に城壁を登っていた者たちは、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ファビウスらについては、[[#47節|47節]]⑦項で述べられている。）</span> *circumventi atque interfecti de<ref>de はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> muro praecipitabantur. **（ガッリア勢に）取り囲まれ、殺害されて、城壁から突き落とされた。 *④　M.(Marcus) Petronius, eiusdem legionis centurio, **同じ[[w:ローマ軍団|軍団]]の百人隊長マルクス・ペトロニウスは、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ファビウスと同じ軍団とは、[[#47節|47節]]⑦項で述べられているように[[w:第8軍団アウグスタ|第8軍団]]である。）</span> *cum portas<ref>portas は写本(ω)の記述だが、portam と単数形にする修正も提案されている。</ref> excidere conatus esset, **城門を突き破って出ることを試みていたときに、 *a multitudine oppressus ac sibi desperans multis iam vulneribus acceptis, **（敵の）大勢によって圧倒されて、すでに多くの傷を受けて自分に絶望しており、 *manipularibus suis, qui illum secuti erant<ref>secuti erant はα系写本の記述で、β系写本では erant secuti となっている。</ref>, **彼に付き従っていた同じ隊の配下の者たちに、 *"quoniam" inquit "me una vobiscum servare non possum, **曰く「私と諸君を一緒に救うことはできないのだから、 *vestrae quidem certe vitae prospiciam, quos cupiditate gloriae adductus in periculum deduxi. **せめて、栄誉の欲に引き寄せられて危険に引きずり込んでしまった諸君の生命にはきっと見通しを与えるであろう。 *⑤　Vos data facultate vobis consulite." **諸君は（生き延びる）可能性が与えられているから、諸君（自身）を助けたまえ。」 *Simul in medios hostes inrupit duobusque interfectis reliquos a porta paulum submovit. **と同時に、敵方の真ん中に押し入って、2名を殺害して、ほかの者たちを城門からいくらか退けた。 *⑥　Conantibus auxiliari suis **（ペトロニウスは自分の）支援を試みる配下の者たちに、 *"frustra" inquit "meae vitae subvenire conamini, quem iam sanguis viresque deficiunt. **曰く「もはや血も活力も尽き果てた私の生命を助けることを試みているのは無益だ。 *Proinde abite, dum est facultas, vosque ad legionem recipite." **ゆえに（生き延びる）可能性がある間に立ち去れ。諸君は軍団のところへ退却せよ。」 *Ita pugnans post paulum<ref>paulum はα系･ρ系写本の記述で、π系写本では paululum となっており、paulo という修正提案もされている。</ref> concidit ac suis saluti fuit. **こうして（ペトロニウスは）戦って少し後で斃れ、配下の者たちにとっては救いとなった。 ===51節=== [[画像:Monument_gergovie_fr.jpg|thumb|right|290px|[[w:ゲルゴウィアの戦い|ゲルゴウィア戦勝]]記念碑。[[w:1903年|1903年]]に[[w:クレルモン＝フェラン|クレルモン＝フェラン市]]出身の建築家ジャン・テラール（[[w:fr:Jean Teillard|Jean Teillard]]）が、侵略者カエサルを撃退した郷土の英雄[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]に捧げるためにジェルゴヴィ高地（[[w:fr:Plateau_de_Gergovie|Plateau de Gergovie]]）に建立したものである。]] [[画像:Plaque_Napoléon_III_Gergovie.jpg|thumb|right|300px|[[w:ゲルゴウィアの戦い|ゲルゴウィア]]の地に残る銘板。フランス語で「[[w:ナポレオン3世|ナポレオン3世]]は、1862年のゲルゴウィアの[[w:オッピドゥム|城塞都市]]（跡）訪問の結果、メルドーニュ（Merdogne）の住民たちの要求に対して、1865年1月11日の政令によって、彼らの村にジェルゴヴィ（[[w:fr:Gergovie|Gergovie]]）の名を与えることを決定した。」<!-- «A la suite de sa visite sur l'oppidum de Gergovia en 1862, Napoléon III, à la demande des habitants de Merdogne, décida d'attribuer à leur village le nom de Gergovie, par décret du 11 janvier 1865.»-->]] '''カエサルが一敗地に塗れる''' *①　Nostri cum undique premerentur, **我が方（ローマ軍）は、至る所で圧倒されたので、 *XLVI(sex et quadraginta)<ref>XLVI はα系写本の記述で、β系写本では sex et XL となっている（どちらも46）。</ref> centurionibus amissis deiecti sunt loco. **46名の<ruby><rb>[[w:ケントゥリオ|百人隊長]]</rb><rp>（</rp><rt>ケントゥリオ</rt><rp>）</rp></ruby> を失い、（激戦の）場所から追いやられた。 *Sed intolerantius Gallos insequentes **けれども、容赦なく追撃して来るガッリア人たちを *legio decima tardavit, quae pro subsidio paulo aequiore loco constiterat. **予備部隊（もしくは要撃部隊）として、いくらか平らな所に陣取っていた[[w:第10軍団エクェストリス|第10軍団]]が妨げた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#47節|47節]]①項で既述のように、第10軍団はカエサルとともに待機していた。）</span> *②　Hanc rursus XIII(tertiae decimae) legionis cohortes exceperunt, **これ（＝第10軍団）をさらに、第13軍団の諸<ruby><rb>[[w:コホルス|大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>が支えた。 *quae ex castris minoribus eductae cum T.(Tito) Sextio legato ceperant locum<ref>ceperant locum はα系写本の記述で、β系写本では locum ceperant となっている。</ref> superiorem. **それらは<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>ティトゥス・セクスティウスとともに小さい方の陣営から進発してより高い所を占めていたのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#49節|49節]]を参照。）</span> *③　Legiones ubi primum planitiem attigerunt, **諸[[w:ローマ軍団|軍団]]は、平野に達するや否や、 *infestis contra hostes signis constiterunt. **敵方に抗して戦備を整えて陣取った。 *④　[[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] ab radicibus collis suos intra munitiones reduxit. **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、配下の者たちを丘陵の麓から（ゲルゴウィアの）防備の内側に連れ戻した。 *Eo die milites sunt paulo minus [[wikt:la:Septingenti|septingenti]] desiderati. **その日、（ローマ軍は）700名よりいくらか少ない兵士を失った。 <br> :<span style="color:#009900;">（訳注：カエサルとウェルキンゲトリークスは、たびたび交えた騎兵戦ではカエサルが勝っているが、</span> :<span style="color:#009900;">両軍の主力部隊である歩兵どうしが激突したこの戦闘は、地の利もあって、ウェルキンゲトリークスが完勝した。</span> :<span style="color:#009900;">カエサルは第8軍団など古参の部隊を投入しながら、歴戦の百人隊長と兵士たちを多く失った。）</span> ===52節=== '''敗軍の将カエサルが兵士たちを責める''' *①　Postero die Caesar contione advocata **翌日にカエサルは（兵士たちの）集会を召集して、 *temeritatem cupiditatemque militum<ref>cupiditatemque militum はα系写本の記述で、β系写本では militum cupiditatemque となっている。</ref> reprehendit, **兵士たちの無思慮や功名心をとがめた。 *quod sibi ipsi iudicavissent, quo procedendum aut quid agendum videretur, **というのは、どこへ進み出るべきか、あるいは何がなされるべきと思われるのか、自分たちに対し自分たちで判断してしまったからだ。 *neque signo recipiendi dato constitissent **退却することの合図を与えられても留まりもせず、 *neque ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> tribunis militum legatisque retineri potuissent. **<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>や<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]たち</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>により制止されることもできなかったからだ。 *②　Exposuit quid iniquitas loci posset, quod<ref>quod は写本(ω)では quid となっているが、近世以降の校訂者たちは quod と修正提案している。</ref> ipse ad [[w:la:Avaricum Biturigum|Avaricum]] sensisset, **地の利のなさがどれほど影響するのか、（カエサル）自身がアウァーリクムで判断したことを説明した。 *cum sine duce et sine equitatu deprehensis hostibus **将帥もなく騎兵隊もない敵たちを探し当てたときに、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#18節|18節]]～[[#19節|19節]]を参照。そのときガッリア勢は、ウェルキンゲトリークスが騎兵隊を連れて出て不在であった。）</span> *exploratam victoriam dimisisset, **確実であった勝利を諦めたのだ。 *ne parvum modo detrimentum in contentione propter iniquitatem loci accideret. **地の利のなさのために、闘いにおいてほんのわずかな損害も生じないように（勝利を諦めたのだ）。 *③　Quanto opere<ref>Quanto opere はα系写本の記述で、β系写本では Quantopere となっている。</ref> eorum animi magnitudinem admiraretur, **彼ら（兵士たち）の大胆さに（カエサルが）驚嘆すればするほど、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：quanto opere ～ tanto opere …／quantopere ～ tantopere …「～すればするほど、ますます…」）</span> *quos non castrorum munitiones, non altitudo montis, non murus oppidi tardare potuisset, **彼らのことを（ガッリア勢の）陣営の防備も、山の高さも、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]の城壁も妨げることができなかったのではあるが、 *tanto opere<ref>tanto opere はα系･T･ρ系写本の記述で、V写本では tantopere となっている。</ref> licentiam arrogantiamque reprehendere, **それだけにますます（兵士たちの）勝手気ままさや高慢さを（カエサルは）非難する（と言った）。 *quod plus se quam imperatorem de victoria atque exitu rerum sentire existimarent; **というのは、自分たちが将軍（カエサル）よりも勝利と事の結末についてよく判断していると考えていたからだ。 *④　nec<ref>nec はα系写本の記述で、β系写本では non となっている。</ref> minus se ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では in となっている。</ref> milite modestiam et continentiam quam virtutem atque animi magnitudinem desiderare. **自分（カエサル）は兵士たちに、武勇や大胆さよりも、慎重さや自制心を望んでいるのだ。 *:<span style="color:#009900;">（訳注：カエサルは兵士たちを上のように責めたが、兵士たちを統制できなかった責任は最高司令官にある。）</span> ===53節=== '''カエサルとローマ軍がゲルゴウィアから撤退''' *①　Hac habita contione et ad extremam orationem confirmatis militibus, **（カエサルは）このような熱弁を振るって、演説の最後に、兵士たちを元気付けた。 *ne ob hanc causam animo permoverentur **このような理由のために心をかき乱されないように、 *neu, quod iniquitas loci attulisset, id virtuti hostium tribuerent, **かつ、地の利のなさが引き起こしたことを、敵方の武勇に転嫁しないように、と。 *eadem de profectione cogitans, quae ante senserat, **（ゲルゴウィアからの）出発については、以前から判断していたのと同じことを考えていて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#43節|43節]]⑤項を参照。ゲルゴウィアからの撤退が敗走同然に見られないようにと、考えていたのであろう。）</span> *legiones ex castris eduxit aciemque idoneo loco constituit. **諸[[w:ローマ軍団|軍団]]を陣営から進発させて、適切な場所に戦列を整えた。 *②　Cum [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] nihilo minus &lt; intra munitiones remaneret neque &gt; in aequum locum descenderet, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]が、防備の内側に留まったばかりか、平らな場所に降りてこなかったので、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：&lt; intra munitiones remaneret neque &gt; は、写本になく、近代に挿入提案された修正案の一つ。）</span> *levi facto equestri proelio, atque secundo, in castra exercitum reduxit. **軽微な騎兵戦を行なって、順調のうちに軍隊を陣営に連れ戻した。 *③　Cum hoc idem postero die fecisset, **翌日もこれと同じことを行なって、 *satis ad Gallicam ostentationem minuendam militumque animos confirmandos factum existimans **ガッリア人の誇示を弱めること、および（ローマ人）兵士の心を強固にすることが十分になされたと考えたので、 *in [[w:la:Haedui|Haeduos]] movit castra. **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]のところに陣営を移（すために出発）した。 *④　Ne tum quidem insecutis hostibus **そのとき、敵方は決して追撃して来なかったので、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> *tertio die ad flumen [[w:la:Elaver|Elaver]] pontes<ref>pontes はα系写本の記述で、β系写本では pontem となっている。</ref> reficit<ref>reficit はχ系･B･M･L･N写本の記述で、S写本では refecit となっている。</ref> eoque exercitum<ref>eoque exercitum はα系写本の記述で、β系写本では exercitumque となっている。</ref> traducit<ref>traducit はα系写本の記述で、β系写本では traduxit となっている。</ref>. **3日目にはエラウェル川（＝現在の[[w:アリエ川|アリエ川]]）のところで橋を再建して、そこで軍隊を渡らせた。 ===54節=== '''ハエドゥイー族のエポレドリクスとウィリドマルスらがカエサルのもとから立ち去る''' *①　Ibi a Viridomaro atque [[w:la:Eporedorix|Eporedorige]] [[w:la:Haedui|Haeduis]] appellatus discit **そこで（カエサルが）[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の[[w:ウィリドマルス|ウィリドマルス]]と[[w:エポレドリクス|エポレドリクス]]から話しかけられて知ったことには、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#39節|39節]]～[[#40節|40節]]を参照。ウィリドマルスとエポレドリクスはカエサルの軍勢に従軍していたと思われる。）</span> *cum omni equitatu Litaviccum ad sollicitandos Haeduos profectum; **[[w:リタウィックス|リタウィックス]]がすべての騎兵隊とともに、ハエドゥイー族の者たちをそそのかすために出発したという。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#40節|40節]]を参照。リタウィックスは謀計が破れたので、ゲルゴウィアに逃れていた。）</span> *opus esse ipsos antecedere ad confirmandam civitatem. **部族の支持を固めるために、（彼ら）自身が（リタウィックスより）先行することが必須であるというのだ。 *②　Etsi multis iam rebus perfidiam Haeduorum<ref>perfidiam Haeduorum はα系写本の記述で、β系写本では Haeduorum perfidiam となっている。</ref> Caesar<ref>Caesar はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> perspectam habebat **カエサルは、すでに多くの事により、ハエドゥイー族の背信行為を目にして来ており、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：Etsi ～, tamen …「～としても、しかしながら…」）</span> *atque horum discessu admaturari defectionem civitatis existimabat, **この者たちが（カエサルのもとから）立ち去ることで、（ハエドゥイー）部族の背反が一層促進されると考えていたのだが、 *tamen eos retinendos non censuit<ref>censuit はπ系写本の記述で、α系･ρ系写本では constituit となっている。</ref>, **しかしながら、彼ら（2人）を束縛するべきではないと考慮した。 *ne aut inferre iniuriam videretur aut dare<ref>dare はα系写本の記述で、β系写本では daret となっている。</ref> timoris aliquam<ref>timoris aliquam はα系写本の記述で、β系写本では aliquam timoris となっている。</ref> suspicionem. **（カエサルが）無法行為を起こすと思われないように、あるいは（彼らを）怖れているという何らかの疑念を与えないように。 *③　Discedentibus his breviter sua in Haeduos merita exposuit, **（カエサルは）立ち去る彼らに、ハエドゥイー族における自分の功績を手短に説明した。 *quos et quam humiles accepisset, compulsos in oppida, multatos agris, **彼らが、どれほど無力であったのを引き受けたことか、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]に押し込められ、耕地を台無しにされて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：et ～, et …「～でもあり、…でもある。」）</span> *omnibus ereptis sociis<ref>sociis「同盟者たち」 はβ系写本の記述で、α系写本では copiis「軍勢」となっている。</ref>, imposito stipendio, obsidibus summa cum contumelia extortis, **すべての同盟者たちを奪い取られ、貢物を課せられて、たいへんな侮辱とともに人質をもぎ取られていたことか。 *④　et quam in fortunam quamque in amplitudinem deduxisset, **かつ、どれほどの境遇に、どれほどの高位に（カエサルが）引き上げもしたことか。 *ut non solum in pristinum statum redissent, **その結果（ハエドゥイー族は）かつての地位に戻っただけでなく、 *sed omnium temporum dignitatem et gratiam antecessisse viderentur. **（以前の）あらゆる時期の品格や信望をも越えていると思われる。 *His datis mandatis eos ab se dimisit. **このような訓示を与えて、彼ら（2人）を自分のもとから送り出した。 ===55節=== '''エポレドリクスとウィリドマルスらがローマの拠点ノウィオドゥーヌムで寝返る''' [[画像:Nevers_-_Vue_depuis_la_rive_sud_de_la_Loire.jpg|thumb|center|700px|ノウィオドゥーヌム（[[w:la:Nivernum|Noviodunum]]）＝現･[[w:ヌヴェール|ヌヴェール]]（[[w:fr:Nevers|Nevers]]）における、リゲル川（[[w:la:Liger|Liger]]）＝現･[[w:ロワール川|ロワール川]]（[[w:fr:Loire (fleuve)|Loire]]）の岸辺の景観]] *①　[[w:la:Nivernum|Noviodunum]] erat oppidum [[w:la:Haedui|Haeduorum]] ad ripas [[w:la:Liger|Ligeris]] opportuno loco positum. **ノウィオドゥーヌムは、[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の[[w:オッピドゥム|城塞都市]]で、リゲル川（現[[w:ロワール川|ロワール川]]）岸の好都合な所に位置していた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：『ガリア戦記』には同名の都市が計3か所載っているが、こちらは現在の[[w:ヌヴェール|ヌヴェール]] Nevers である。<br>　　　　「[[ガリア戦記/ガリア語の名前#Nouio-dūnon|ガリア語の名前 #Nouio-dūnon]]」を参照せよ。）</span> *②　Huc Caesar omnes obsides Galliae, frumentum, pecuniam publicam, **ここに、カエサルは、ガッリアのすべての人質たちや、糧食、公金、 *suorum atque exercitus impedimentorum magnam partem contulerat; **および自分と軍隊の[[w:輜重|輜重]]の大部分を運び集めていた。 *③　huc magnum numerum equorum huius belli causa in [[w:la:Italia|Italia]] atque [[w:la:Hispania|Hispania]] coemptum miserat. **ここに、この戦争のためにイタリアと[[w:ヒスパニア|ヒスパニア]]から買い集めた馬匹の多数を送っておいた。 *④　Eo cum [[w:la:Eporedorix|Eporedorix]] Viridomarusque venissent et de statu civitatis cognovissent, **そこに、[[w:エポレドリクス|エポレドリクス]]と[[w:ウィリドマルス|ウィリドマルス]]がやって来て、（以下のような）部族の情勢について察知したときに、 [[画像:Bibracte333_crop.JPG|thumb|right|400px|[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]の[[w:オッピドゥム|城塞都市]]跡に整備された城壁の遺構]] *Litaviccum [[w:la:Bibracte|Bibracti]] ab Haeduis receptum, **（すなわち）リタウィックスが、ハエドゥイー族の者たちによって[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]に迎え入れられ、 *─ quod est oppidum apud eos maximae auctoritatis ─, **それ（ビブラクテ）は彼ら（ハエドゥイー族）のもとで最大の影響力を持つ城塞都市であるが、 *Convictolitavem<ref>Convictolitavem はβ系･N写本の記述で、χ系･B･M･S･L写本では Convictolitabim となっている。</ref> magistratum magnamque partem senatus ad eum convenisse, **統領コンウィクトリタウィスと評議会の大半の者たちが彼（リタウィックス）のもとへ参集し、 *legatos ad [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorigem]] de pace et<ref>et は α系･U写本の記述で、π系･R写本では et de となっている。</ref> amicitia concilianda publice missos, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]のところへ和平と友好を仲介するべく公けに使節たちが遣わされた（ことを知った）ので、 *non praetermittendum instans<ref>instans はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> tantum commodum existimaverunt. **（エポレドリクスとウィリドマルスは）眼前にあるこれほどの好機を放置するべきではないと考えたのだ。 *⑤　Itaque interfectis Novioduni custodibus quique eo negotiandi aut itineris<ref>aut itineris はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> causa convenerant, **こうして（2人は）ノウィオドゥーヌムの（ローマ側の）番兵たちや商用や旅行のために来訪していた者たちを殺害し、 *pecuniam atque equos inter se partiti sunt; **金銭および馬匹を互いに分け合った。 *⑥　obsides civitatum Bibracte ad magistratum deducendos curaverunt; **（ガッリアの）部族の人質たちをビブラクテの統領のところへ連れて行くように手配した。 *⑦　oppidum, quod a<ref>a はα系写本の記述で、β系写本では ab となっている。</ref> se teneri non posse iudicabant, **（ノウィオドゥーヌムの）城塞都市は、自分たちによって固守することはできないと判断したので、 *ne cui esset usui Romanis, incenderunt; **ローマ人たちの有益になることがないように、焼き打ちした。 *⑧　frumenti quod subito potuerunt navibus avexerunt, **糧食のうち、急いで（運ぶことが）できるものを船団で運び去って、 *reliquum flumine atque incendio corruperunt. **残りのものを川（に流すこと）により、および焼き打ちにより、役立たないようにした。 *⑨　Ipsi ex finitimis regionibus copias cogere, **（彼ら）自身は、近隣の地方から軍勢を徴集して、 *praesidia custodiasque ad ripas Ligeris disponere **リゲルの川岸のたもとへ守備隊や番兵を分配して、 *equitatumque omnibus locis iniciendi timoris causa ostentare coeperunt, **（ローマ人に）恐怖（の感情）を起こさせるために、[[w:騎兵|騎兵隊]]に誇示をさせ始めた。 *si ab re frumentaria Romanos excludere **もし、ローマ人たちが糧食調達することを阻止するなら、 *† aut adductos inopia in provincia<ref>in provincia は、α系写本では ex provincia「属州から」、β系写本では provincia となっているが、コンスタン Constans やクロッツ A.Klotz らにより in provincia「属州に」と修正提案されている。</ref> expellere<ref>expellere「駆逐する」 はα系写本の記述で、β系写本では excludere「阻止する、妨げる」 となっている。</ref> † possent. **あるいは（糧食などの）欠乏により、属州に駆逐することができるなら、と。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：† ～ † は、写本の文章が崩れて校訂者を迷わせていることを表す記号。修正提案されている。）</span> *⑩　Quam ad spem multum eos adiuvabat, **そのような希望へ、彼らを大いに励まし助けたのは、 *quod Liger ex nivibus creverat, **リゲル川（の水位）が雪水により増したことで、 *ut omnino vado non posse transiri videretur. **すべての浅瀬が渡らせられることができないと思われたのである。 ===56節=== '''カエサルが属州へは戻らず、増水したリゲル川の渡河を敢行''' *①　Quibus rebus cognitis Caesar maturandum sibi censuit, **それらの事態を知ると、カエサルは自らにとって（以下のことを）急ぐべきだと考慮した。 *si esset in perficiendis pontibus periclitandum, **もし、橋を造り上げる最中に（敵勢と闘うという）危険を冒すのであれば、 *ut prius, quam essent maiores eo coactae copiae, dimicaret. **そこに（敵方の）より多くの軍勢が集結するよりも早く闘うように（急ぐべきだと）。 *②　Nam ut commutato consilio iter in provinciam converteret, **なぜなら、作戦を変更して、属州（[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・トラーンサルピーナ]]）に進路を方向転換するようにと、 *ne metu quidem<ref>ne metu quidem はα系写本の記述で、β系写本では nemo tunc quidem 、そのほか近代の校訂者によって修正提案が行なわれている。</ref> necessario faciendum<ref>faciendum はβ系写本の記述で、α系写本では faciundum となっている。</ref> existimabat; **（ガッリア勢への）怖れによって行なうことは決して必要ではない、と考えたのだ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> *cum infamia atque indignitas rei **（属州に撤退するという）事の不名誉や恥辱が、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：cum ～ tum …「～であるのと同様に特に…である」）</span> *et oppositus mons Cevenna<ref>Cevenna はχ系･U写本の記述で、π系･R写本の記述では Cebenna、φ系写本では Cevennae となっている。</ref> viarumque difficultas impediebat, **およびケウェンナ山地が相対して道の（通行の）困難なことが、（属州への撤退を）妨げていたし、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ケウェンナ山地 mons Cevenna は現在のセヴェンヌ山地。[[#8節|8節]]を参照。）</span> *tum maxime quod abiuncto [[w:la:Titus_Labienus|Labieno]] atque iis legionibus, quas una miserat, vehementer timebat. **同様に、とりわけ[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]と一緒に派遣していた諸[[w:ローマ軍団|軍団]]から遠ざけられて、非常に心配してもいたのだ。 *③　Itaque admodum magnis diurnis nocturnisque itineribus confectis **こうして、昼間も夜間も非常な強行軍を成し遂げて、 *contra omnium opinionem ad [[w:la:Liger|Ligerem]]<ref>Ligerem はα系写本の記述で、β系写本では Ligerim となっている。</ref> venit **皆の予想に反して、リゲル川（＝現[[w:ロワール川|ロワール川]]）の辺りにやって来た。 *④　vadoque per equites invento pro rei necessitate opportuno, **事態の緊急性に見合う好都合な浅瀬を、[[w:騎兵|騎兵]]たちを通じて見出して、 *ut brachia modo atque humeri<ref>humeri はA･φ系･ρ系写本の記述で、Q写本では umeri となっている。</ref> ad sustinenda arma liberi ab aqua esse possent, **やっと腕と肩を、武器を差し上げるために、水から自由になることができた。 *disposito equitatu, qui vim fluminis refringeret, **川の流れの圧力を妨げるべく、騎兵隊を分けて置いて、 *atque hostibus primo aspectu perturbatis, **敵方は（ローマ勢を）初めに一見するや狼狽していたので、 *⑤　incolumem exercitum traduxit **（カエサルは）軍隊を無傷のまま渡河させた。 *frumentumque in agris et pecoris copiam nactus **耕地の穀物、および大量の家畜を獲得して、 *repleto his rebus exercitu **これらの物を軍隊に補充して、 *iter in Senones facere instituit. **セノネース族のところに行軍することを決めた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：セノネース族の方面には、副官ラビエーヌスと4個軍団を派遣していた。）</span> ==ラビエーヌスのルテティア遠征== ===57節=== '''副官ラビエーヌスがルテティア制圧に向かう''' *①　Dum haec apud Caesarem geruntur, **これらがカエサルのもとで遂行されている間に、 *[[w:la:Titus Labienus|Labienus]] eo supplemento, quod nuper ex Italia venerat, **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]は、最近イタリアから来ていた補充兵（予備兵）を **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#34節|34節]]で既述のようにラビエーヌスはカエサルから4個軍団とともにガッリア北部の制圧を委ねられていた。</span> **:<span style="color:#009900;">また、[[#1節|1節]]で既述のようにカエサルはイタリア（属州[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]）で部隊を徴兵していた。）</span> *relicto [[w:la:Agedincum|Agedinci]], ut esset impedimentis praesidio, **アゲディンクムに、[[w:輜重|輜重]]にとっての守備隊となるように、残留させて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#10節|10節]]で既述のように、カエサルはアゲディンクム（現在の[[w:サンス|サンス]]）に全軍の輜重を残していた。）</span> *cum quattuor legionibus Luteciam<ref>Luteciam はα系写本の記述で、π系写本では Luceciam 、ρ系写本では Lucetiam となっている。[[ガリア戦記 第6巻#3節|第6巻3節]]では Lutetia(m) とも綴られている。</ref> proficiscitur. **4個軍団とともに[[w:ルテティア|ルテティア]]に出発した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ルテティア Lutetia は写本ではルテキア Lutetia とも綴られる。[[ガリア戦記 第6巻#3節|第6巻3節]]を参照。）</span> *Id est oppidum Parisiorum, quod positum est<ref>quod positum est はα系写本の記述で、β系写本では単に positum となっている。</ref> in insula fluminis [[w:la:Sequana|Sequanae]]. **それ（ルテティア）は[[w:パリシイ族|パリスィイ族]]の<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>で、セクアナ川（＝現[[w:セーヌ川|セーヌ川]]）の中洲に位置している。 *②　Cuius adventu ab hostibus cognito **彼（ラビエーヌス）の到来が敵方により知られると、 *magnae ex finitimis civitatibus copiae convenerunt. **近隣の諸部族から大軍勢が集結していた。 *③　Summa imperii traditur Camulogeno Aulerco, **（北部ガッリア勢の）最高司令権は、[[w:アウレルキ族|アウレルキ族]]の[[w:カムロゲヌス|カムロゲヌス]]に託された。 *qui prope confectus aetate **その者はかなり年老いていたが、 *tamen propter singularem scientiam rei militaris ad eum est honorem evocatus. **けれども、彼の卓越した軍事の知識のために、顕職に召集されたのだ。 *④　Is cum animadvertisset perpetuam esse paludem, **彼（カムロゲヌス）は、沼地が絶え間なくあることに気付いていたので、 *quae influeret in Sequanam atque illum omnem locum magnopere impediret, **それはセクアナ（川）に流れ込み、かの一帯すべてを大いに近付きにくくしていたので、 *hic consedit nostrosque transitu prohibere instituit. **ここに陣取って、我が方（ローマ勢）が渡河するのを妨げることに決めた。 ===58節=== '''ラビエーヌスがメトロセドゥムを陥落させ、ルテティアのガッリア勢と対峙''' *①　[[w:la:Titus Labienus|Labienus]] primo vineas agere, cratibus atque aggere paludem explere **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]は初めに、<ruby><rb>[[w:ウィネア|工作小屋]]</rb><rp>（</rp><rt>ウィネア</rt><rp>）</rp></ruby>を駆ること、柴や土砂で沼地を埋め立てること、 *atque iter munire conabatur. **および道を築くこと、を試みた。 *②　Postquam id difficilius confieri<ref>confieri はχ系･β系写本の記述で、Q写本では confici となっている。</ref> animadvertit, **それが成し遂げられることが困難だと気付いた後で、 *silentio e castris tertia vigilia egressus **（敵に知られないように）静けさのうちに第三夜警時に陣営から進発して、 *eodem, quo venerat, itinere Metlosedum<ref>Metlosedum はコンスタン L.-A. Constans による修正で、π系･U写本では Metiosedum 、α系･ρ系写本では Mellodunum などとなっており、写本により表記がさまざまである。</ref> pervenit. **やって来たのと同じ道程により、メトロセドゥムに到達した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：メトロセドゥム Metlosedum は、写本によりメティオセドゥム Metiosedum とも綴られ、</span> **:<span style="color:#009900;">後にはメロドゥーヌム [[w:la:Melodunum|Melodunum]] として知られる。現在の[[w:ムラン|ムラン]] [[w:fr:Melun|Melun]] である。）</span> *③　Id est oppidum [[w:la:Senones|Senonum]] in insula [[w:la:Sequana|Sequanae]] positum, ut paulo ante de [[w:la:Lutetia|Lutecia]] diximus. **それはセノネース族の城塞都市で、少し前に[[w:ルテティア|ルテティア]]について述べたように、セクアナ川の[[w:中州|中州]]に位置している。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ルテティアすなわち現在の[[w:パリ|パリ]]の中心部に[[w:シテ島|シテ島]]や[[w:サン＝ルイ島|サン＝ルイ島]]という[[w:セーヌ川|セーヌ川]]の中州があるように、</span> **:<span style="color:#009900;">現在のムランの中心部にもサン＝テティエンヌ島 [[w:fr:Île Saint-Étienne|Île Saint-Étienne]] というセーヌ川の中州がある。）</span> *④　Deprensis<ref>deprensis という語形はα系写本の記述で、β系写本では deprehensis となっている。</ref> navibus circiter quinquaginta celeriterque coniunctis **約50隻の船を探し出して、速やかに結び合わせて（舟橋として）、 *atque eo militibus iniectis **そこに兵士たちを投入して、 *et rei novitate perterritis oppidanis, **事の新奇さに<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>の者たちは脅えて、 *quorum magna pars erat ad bellum evocata, **彼ら（住民）の大部分は戦争へ徴集されていた（ため不在であった）ので、 *sine contentione oppido potitur. **（ラビエーヌスは）闘うことなしに（中州にあるメトロセドゥムの）城塞都市を掌握した。 *⑤　Refecto ponte, quem superioribus diebus hostes resciderant, exercitum traducit **それ以前の日々に敵方が破却していた橋を再建して、軍隊を（中州から対岸へ）渡らせて、 *et secundo flumine ad Luteciam iter facere coepit. **川に沿ってルテティアの方へ行軍を始めた。 *⑥　Hostes re cognita ab iis, qui Metlosedo<ref>Metlosedo はコンスタン L.-A. Constans による修正で、β系･S写本では Metiosedo 、χ系写本では Melloduno 、B･M･L･N写本では Ametlodone（あるいは Ametclodone）などとなっている。</ref> fugerant, **敵方は、メトロセドゥムから逃げて来た者たちから事態を知って、 *Luteciam incendi pontesque eius oppidi rescindi iubent; **ルテティアを焼打ちすること、その城塞都市の橋を破却すること、を命じた。 *ipsi profecti a palude ad ripas<ref>ad ripas はχ系･B･M･L･N写本の記述で、S･Vおよびρ系写本では in ripas 、T写本では in ripa となっている。</ref> Sequanae **彼ら自身は、沼地からセクアナの川岸へ出発して、 *e regione Luteciae contra Labieni castra considunt. **ルテティア（の対岸）に向かってラビエーヌスの陣営に対抗して陣取った。 ===59節=== '''ガッリア諸部族が迫り、ラビエーヌスが作戦変更を決断''' *①　Iam Caesar a [[w:la:Gergovia|Gergovia]] discessisse audiebatur, **すでに、カエサルが[[w:ゲルゴウィア|ゲルゴウィア]]から撤退したことが聞かれていたし、 *iam de [[w:la:Haedui|Haeduorum]] defectione et secundo Galliae motu rumores adferebantur, **もはや、[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の背反や、ガッリアの動乱の順調さについての噂がもたらされていた。 *Gallique in conloquiis **（当地の）ガッリア人たちは会話の中で、 *interclusum itinere et [[w:la:Liger|Ligeri]] Caesarem inopia frumenti coactum in provinciam contendisse confirmabant. **カエサルが行軍やリゲル（渡河）を遮られて、糧食の欠乏により属州（[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・トラーンサルピーナ]]）に急ぐことを強いられた、と確言した。 *②　Bellovaci autem defectione Haeduorum cognita, **一方で、ベッロウァキ族もハエドゥイー族の背反を知って、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ベッロウァキ族は、ハエドゥイー族の仲介によりカエサルに降伏していた。[[ガリア戦記 第2巻#14節|第2巻14節]]～15節を参照。）</span> *qui iam<ref>qui iam は古典学者 ニコラエス・ハインシウス1世 [[w:en:Nikolaes_Heinsius_the_Elder|Nikolaes Heinsius the Elder]] による修正提案で、χ系･S･β系写本では qui 、B･M･L･N写本では quia となっている。</ref> ante erant per se infideles, **彼ら自身もすでに以前から（カエサルやローマ人に）忠誠的でなかったが、 *manus cogere atque aperte bellum parare coeperunt. **手勢を徴集して、公けに戦争を準備することを始めた。 *③　Tum [[w:la:Titus Labienus|Labienus]] tanta rerum commutatione **そこで、[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]はこれほどの事態の変動により、 *longe aliud sibi capiendum consilium, atque antea senserat, intellegebat, **自分にとって、以前に判断していたのとはまったく別の作戦が立てられるべきだ、と考えた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：aliud ～ atque …「…とは別の～」）</span> *④　neque iam, ut aliquid adquireret proelioque hostes lacesseret, **もはや、何らかのものを獲得したり、敵方に戦闘を挑むようにではなく、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：neque ut ～, sed ut …「～ようにではなく、…ように」）</span> *sed ut incolumem exercitum Agedincum reduceret, cogitabat. **軍隊を無傷のままでアゲディンクム（＝現[[w:サンス|サンス]]）に連れ戻すように、と考えた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：アゲディンクムには輜重と守備隊が残されていた。[[#10節|10節]]・[[#57節|57節]]を参照。）</span> *⑤　Namque altera ex parte Bellovaci, **実際、一方の側からはベッロウァキ族が、 *quae civitas in Gallia maximam habet opinionem virtutis, instabant, **ガッリアにおいて武勇に最大の評判を持つその部族が、迫りつつあった。 *alteram Camulogenus parato atque instructo exercitu tenebat: **他方からは、カムロゲヌスが軍隊を準備し、整列させて、進んでいた。 *tum legiones a praesidio atque impedimentis interclusas **そのとき、（ラビエーヌス麾下の）諸軍団は（アゲディンクムにいる）守備隊や輜重から遮られて、 *maximum flumen distinebat. **とても大きな（セクアナ）川が阻んでいた。 *⑥　Tantis subito difficultatibus obiectis **突然に、これほどの困難が投げ出されたので、 *ab animi virtute auxilium petendum videbat. **武勇の心構えに救いを求めるべきだと（ラビエーヌスは）思った。 ===60節=== '''ラビエーヌスが陽動戦術に努める''' *①　Itaque<ref>Itaque はS･β系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> sub vesperum consilio convocato **こうして（[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]は）夕方に会議を召集して、 *cohortatus, ut ea, quae imperasset, diligenter industrieque administrarent, **（彼が）命令したことを入念かつ勤勉に従事するように鼓舞した。 *naves, quas [[w:la:Melodunum|Metlosedo]]<ref>Metlosedo はコンスタン L.-A. Constans による修正で、χ系･S･β系写本では Metiosedo 、B･M写本では ameclodone 、L･N写本では a mellodone 、<i>etc</i>. となっている。</ref> deduxerat, singulas equitibus Romanis attribuit, **[[w:ムラン|メトロセドゥム]]から引いて来ていた船団を、ローマ人騎士たち1人ずつに配分して、 *et prima confecta vigilia IIII(quattuor) milia passuum secundo flumine silentio progredi **第一夜警時が終わる頃に、4ローママイル（6km弱）下流に静けさのうちに進発すること、 *ibique se exspectari<ref>exspectari はα系･T･ρ系写本の記述で、S･V写本では exspectare などとなっている。</ref> iubet. **かつ、そこで自分（ラビエーヌス）を待つことを命じた。 *②　Quinque cohortes, quas minime firmas ad dimicandum esse existimabat, **（白兵戦を）闘うためにはあまり強くないと（ラビエーヌスが）考えていた5個<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby> *castris praesidio relinquit; **陣営にとっての守備隊として残留させた。 *quinque eiusdem legionis reliquas **同じ軍団の残りの5個（歩兵大隊）を *de media nocte cum omnibus impedimentis adverso flumine magno tumultu proficisci imperat. **真夜中から、すべての[[w:輜重|輜重]]とともに、上流の方に大きな喧騒でもって出発することを命令した。 *④　Conquirit etiam lintres; **小舟さえも探し集めて、 *has magno sonitu remorum incitatas in eandem partem mittit. **これらを大きな音とともに[[w:櫂|櫂]]を駆って、同じ方面に派遣した。 *Ipse post paulo silentio egressus cum tribus legionibus **（ラビエーヌス）自身は、少し後で静けさのうちに3個[[w:ローマ軍団|軍団]]とともに進発して、 *eum locum petit, quo naves appelli iusserat. **船団が停められることを命じていた地点へ行った。 ===61節=== '''ラビエーヌスの陽動により、敵将カムロゲヌスが兵力を分散''' *①　Eo cum esset ventum, **（ラビエーヌスの軍勢が）そこにやって来たときに、 *exploratores hostium, ut omni fluminis parte erant dispositi, **敵方の偵察者たちが（セクアナ）川の至る所に分けて置かれていたが、 *inopinantes, quod magna subito erat coorta tempestas, **突然に大きな嵐が生じたので（ローマ勢の襲撃を）予期していなかった者たちは、 *ab<ref>ab はχ系･B･M･L･N写本の記述で、S･β系写本では a となっている。</ref> nostris opprimuntur; **我が方（ローマ勢）によって不意を襲われたのだ。 *②　exercitus equitatusque equitibus Romanis administrantibus, quos ei negotio praefecerat, **歩兵隊と騎兵隊が、（ラビエーヌスが）任務を指揮させていたローマ人騎士たちの指導により、 *celeriter transmittitur. **速やかに（セクアナ川を）渡らせられた。 *③　Uno fere tempore sub lucem hostibus nuntiatur **夜明け前のほぼ一時に（以下のことが）敵方に報知された。 *in castris Romanorum praeter consuetudinem tumultuari **ローマ人の陣営において、通例に反して、騒がれていること、 *et magnum ire agmen adverso flumine **大きな隊列が上流の方へ行軍していること、 *sonitumque remorum in eadem parte exaudiri **（船を漕ぐ）櫂の音が同じ方面で聞き取られたこと、 *et paulo infra milites navibus transportari. **少し下流で兵士たちが船で（セクアナ川を）渡されたこと、である。 *④　Quibus rebus auditis, **それらの事態が聞かれて、 *quod existimabant tribus locis transire legiones atque omnes perturbatos defectione [[w:la:Haedui|Haeduorum]] fugam parare, **（ローマ勢の）諸軍団が3か所で渡河したこと、[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の背反により総勢が取り乱して逃亡を準備していること、を考えたので、 *suas quoque copias in tres partes distribuerunt. **自分たちの軍勢をも3方面に分配した。 *⑤　Nam praesidio e regione castrorum relicto **すなわち（一隊がローマ勢の）陣営の真向かいに守備隊として残され、 *et parva manu Metlosedum<ref>Metlosedum はQ写本の記述で、χ系･β系写本では Metiosedum 、などとなっている。</ref> versus missa, **（別の）わずかな手勢が[[w:ムラン|メトロセドゥム]]の方面へ派遣され、 *quae tantum progrediatur<ref>progrediatur はα系写本の記述で、Q･S･β系写本では progrederetur となっている。</ref>, quantum naves processissent, **（ローマ勢の）船団が進み出るだけ、（ガッリア兵も）前進するようにした。 *reliquas copias contra Labienum duxerunt. **残りを軍勢をラビエーヌスに対して（カムロゲヌス自身が）率いて行った。 ===62節=== '''ラビエーヌスがカムロゲヌス麾下のガッリア勢を各個撃破して、カエサルと合流''' *①　Prima luce et nostri omnes erant transportati **夜明けに、我が方（ローマ勢）は総勢が（セクアナ川の左岸に）渡されていたし、 *et hostium acies cernebatur. **敵方の戦列も見分けられた。 *②　[[w:la:Titus Labienus|Labienus]] milites cohortatus, **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]は兵士たちを（以下のように）鼓舞した。 *ut suae pristinae virtutis et tot<ref>tot はS･β系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> secundissimorum proeliorum retinerent memoriam<ref>retinerent memoriam はχ系･B･M･L･N写本の記述で、S･β系写本では memoriam retinerent となっている。</ref> **自分たちのかつての武勇とこのようにとてもうまくいっている諸戦闘を記憶に留めるように、 *atque ipsum Caesarem, cuius ductu saepe numero hostes superassent, praesentem adesse existimarent, **かつ、その指揮によって何度もしばしば敵方を打ち破って来たカエサル当人が目下居合わせていると考えるように、と。 *dat signum proelii. **（それから）戦闘の号令を発した。 *③　Primo concursu ab dextro cornu, ubi septima legio constiterat, **最初の激突は、[[w:第7軍団クラウディア・ピア・フィデリス|第7軍団]]が布陣していた（ローマ軍の）右翼からで、 *hostes pelluntur atque in fugam coniciuntur; **敵方は撃退されて、逃亡に追いやられた。 *④　ab sinistro, quem locum duodecima legio tenebat, **第12軍団が場所を占めていた左翼からは、 *cum primi ordines hostium transfixi pilis<ref>pilis はβ系写本の記述で、α系写本では telis となっている。</ref> concidissent, **敵方の最前列（の兵たち）が投げ槍で突き通されて斃れたのだが、 *tamen acerrime reliqui resistebant **けれども残りの者たちがとても激烈に抵抗していて、 *nec dabat suspicionem fugae quisquam. **誰も逃亡の予兆を示さなかった。 *⑤　Ipse dux hostium Camulogenus suis aderat atque eos cohortabatur. **敵方の将帥カムロゲヌス自身は、麾下の者たちに居合わせて、彼らを激励していた。 *⑥　At<ref>cohortabatur. At はχ系写本などの記述で、別の写本では記述が異なる。</ref> incerto nunc etiam<ref>nunc etiam はB･M･L･N写本の記述で、χ系･S･β系写本では etiamnunc となっている。</ref> exitu victoriae, **勝敗の帰趨は今もなお不確実だったが、 *cum septimae legionis tribunis esset nuntiatum, quae in sinistro cornu gererentur, **第7軍団の<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>たちに、左翼で<ruby><rb>出来</rb><rp>（</rp><rt>しゅったい</rt><rp>）</rp></ruby>したことが報告されたときに、 *post tergum hostium legionem ostenderunt signaque intulerunt. **敵方の背後に（第7）軍団を差し向けて、軍旗を進めた（＝進撃した）。 *⑦　Ne eo quidem tempore quisquam loco cessit, **その時でさえ、（ガッリア勢の）誰も（戦闘の）場から退却しなかった **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> *sed circumventi omnes interfectique sunt. **けれども、総勢が包囲されて（ローマ軍により）殺戮された。 *Eandem fortunam tulit Camulogenus. **同じ不幸をカムロゲヌスも蒙った。 *⑧　At ii<ref>ii はχ系写本の記述で、他の写本では記述が異なる。</ref>, qui praesidio contra castra Labieni erant relicti, **これに対して、ラビエーヌスの陣営に対して守備隊として残されていた（ガッリア勢の）者たちは、 *cum proelium commissum audissent, subsidio suis ierunt collemque ceperunt, **（両軍が）戦闘を交えているのを聞き付けたので、味方の援兵として出て行って、丘陵を占めていたが、 *neque nostrorum militum victorum impetum sustinere potuerunt. **勝勢の我が方（ローマ軍）の兵士たちの突撃を持ちこたえることができなかった。 *⑨　Sic cum suis fugientibus permixti, **このようにして、敗走している味方と混じり合ったときに、 *quos non silvae montesque texerunt, ab equitatu sunt interfecti. **森林や山岳が覆い隠すことのなかったその者たちは、（ローマ側の）騎兵隊によって殺戮された。 *⑩　Hoc negotio confecto Labienus revertitur Agedincum, **この戦役が成し遂げられると、ラビエーヌスは[[w:サンス|アゲディンクム]]に引き返した。 *ubi impedimenta totius exercitus relicta erant; **そこには軍隊全体の[[w:輜重|輜重]]が残されていたのだ。 *inde die Ⅲ.<ref>inde die Ⅲ. は近代の校訂者による修正提案で、Q･M･S･N･β系写本では単に inde 、他の写本では別の記述になっている。</ref> cum omnibus copiis ad Caesarem pervenit. **そこから3日目（＝2日後）にすべての軍勢とともにカエサルのところへ到着した。 ==ガッリア戦乱の拡大== ===63節=== '''ハエドゥイー族がウェルキンゲトリークスに主導権争いを挑む''' *①　Defectione [[w:la:Haedui|Haeduorum]] cognita bellum augetur. **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の背反が知られて、戦乱は拡大された。 *②　Legationes in omnes partes circummittuntur; **（ハエドゥイー族らにより）使節たちがあらゆる方面に遣わされまくり、 *quantum gratia, auctoritate, pecunia valent, ad sollicitandas civitates nituntur; **信望、勢力や金銭によってできる限り、諸部族をそそのかすことに努めた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：quantum ～ valere「～によってできる限り」）</span> *③　nacti obsides, quos Caesar apud eos deposuerat, **カエサルが彼ら（ハエドゥイー族）のもとに預けて置いた人質たちを手に入れて、 *horum supplicio dubitantes territant. **彼ら（人質たち）の処刑（を示唆すること）によって、決心がつかぬ者たちを恐れさせた。 *④　Petunt a [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorige]] Haedui, ut ad se veniat rationesque belli gerendi communicet; **ハエドゥイー族は、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]に、自分たちのところへ来て戦争遂行の戦略を協議するように要求した。 *re impetrata contendunt, ut ipsis summa imperii tradatur. **その事が成し遂げられると、（ハエドゥイー族）自身に最高司令権が委ねられるように頑張った。 *Et re<ref>et re は近代の校訂者による修正提案で、β系写本では re 、α系写本では et rem となっている。</ref> in controversiam deducta totius Galliae concilium [[w:la:Bibracte|Bibracte]] indicitur. **その事が論争の状態に置かれて、[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]でのガッリア全体の会合が公示された。 *Eodem conveniunt<ref>Eodem conveniunt はα系写本の記述で、β系写本では単に conveniunt 、etc.となっている。</ref> undique frequentes. **同じところに至る所からたくさんの者たちが集まって来た。 *⑥　Multitudinis suffragiis res permittitur; **（最高司令権の）事は衆人の票決に任せられて、 *ad unum omnes Vercingetorigem probant imperatorem. **衆議一決により、ウェルキンゲトリークスを将軍（最高司令官）として承認した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ad unum omnes「最後の一人に至るまですべて」）</span> *⑦　Ab hoc concilio Remi, Lingones, Treveri afuerunt, **この会合へは、[[w:レミ族|レーミー族]]、リンゴネス族、トレウェリ族が不在であった。 *illi quod amicitiam Romanorum sequebantur, **前者（レーミー族とリンゴネス族）は、ローマ人との友好を遵守したので（不在であった）。 *Treveri quod aberant longius et ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> [[w:la:Germani|Germanis]] premebantur, **トレウェリ族は、はるか遠くに離れており、[[w:ゲルマニア|ゲルマニア]]人により圧迫されていた。 *quae fuit causa quare toto abessent bello **それが、何ゆえに（ウェルキンゲトリークスによる）戦争全体に関与しなかったかの理由であり、 *et neutris auxilia mitterent. **（ウェルキンゲトリークスとカエサルの）どちら側にも援軍を派遣しなかった。 *⑧　Magno dolore Haedui ferunt se deiectos principatu, **ハエドゥイー族は、自分たちが盟主の座から遠ざけられて、とても憤懣やるかたなかったし、 *queruntur fortunae commutationem **境遇の変わりようを嘆いて、 *et Caesaris indulgentiam in se<ref>indulgentiam in se はα系写本の記述で、β系写本では in se indulgentiam となっている。</ref> requirunt **カエサルの自分たちへの寛大さを惜しんだ。 *neque tamen suscepto bello suum consilium ab reliquis separare audent. **けれども戦争を引き受けてしまったので、あえて自分たちの作戦計画をほか（の諸部族）と異にしなかった。 *⑨　Inviti summae spei adulescentes Eporedorix et Viridomarus Vercingetorigi parent. **たいへんな野心を持つ青年たち[[w:エポレドリクス|エポレドリクス]]と[[w:ウィリドマルス|ウィリドマルス]]は、意に反してウェルキンゲトリークスに服従した。 ===64節=== '''ウェルキンゲトリークスがガッリア諸部族の誘降・服従を謀る''' *①　Ipse<ref>ipse はα系写本の記述で、β系写本では ille となっている。</ref> imperat reliquis civitatibus obsides denique ei rei constituit diem; **（ウェルキンゲトリークス）自身は、ほかの諸部族に人質（の供出）を命令して、のみならずその事の期日を決めた。 *huc omnes equites, [[wikt:la:quindecim|XV(quindecim)]] milia numero, celeriter convenire iubet. **そこに、1万5000名の数のすべての[[w:騎兵|騎兵]]に、速やかに集結することを命じた。 *②　Peditatu quem antea habuerit se fore contentum dicit **（歩兵については）自分は、以前から持っていた[[w:歩兵|歩兵隊]]で満足するであろうと言った。 *neque fortunam temptaturum aut in acie<ref>in acie はα系写本の記述で、β系写本では単に acie となっている。</ref> dimicaturum, **（歩兵で）武運を試すことはしないであろうし、あるいは野戦で（白兵戦を）闘うこともないであろう、と。 *sed quoniam abundet equitatu, **しかし、騎兵隊は豊富であるから、 *perfacile esse factu frumentationibus pabulationibusque Romanos prohibere; **ローマ人たちの糧食・糧秣徴発を妨げることは、とても容易である、と。 *③　aequo modo animo sua ipsi frumenta corrumpant aedificiaque incendant, **ただ平静な心で、自分たちの穀物を自身で傷めて、（穀物の）建屋を焼打ちするように。 *qua rei familiaris iactura perpetuum imperium libertatemque se consequi videant. **資産の犠牲により、永久の領有権と自由を自分たちが獲得することを思え、と。 *④　His constitutis rebus **これらの事が決定されると、 *[[w:la:Haedui|Haeduis]] Segusiavisque, qui sunt finitimi provinciae, decem milia peditum imperat; **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]および（ローマ人の）属州に隣接するセグスィアウィ族には1万の歩兵（の供出）を命令していたが、 *huc addit equites [[wikt:la:octingenti|octingentos]]. **この中に、800騎の騎兵たち（の供出）を付け加えた。 *⑤　His praeficit fratrem Eporedorigis bellumque inferri<ref>inferri はα系写本の記述で、β系写本では inferre となっている。</ref> Allobrogibus iubet. **彼らをエポレドリクスの兄弟に指揮させて、アッロブロゲス族に戦争をしかけることを命じた。 *⑥　Altera ex parte Gabalos proximosque <u>[[wikt:en:pagus#Latin|pagos]]</u> Arvernorum in Helvios, **別の方面から、ガバリ族および近隣のアルウェルニー族の諸<u>郷</u>に、ヘルウィイ族のところに（攻め入るように）、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：''pagus'' (郷) はここでは、部族の領土の農村区画を指す行政用語<ref name="pagus">''[[w:en:Pagus]]'' 等を参照。</ref>。）</span> *item Rutenos Cadurcosque ad fines Volcarum Arecomicorum depopulandos mittit. **同様に、ルテーニー族およびカドゥルキー族に、ウォルカエ・アレコミキ族の領土を荒らしまわるべく派遣した。 *⑦　Nihilo minus clandestinis nuntiis legationibusque Allobrogas<ref>Allobrogas はα系写本の記述で、β系写本では Allobroges となっている。</ref> sollicitat, **それにもかかわらず、隠密に伝令たちや使節たちにより、アッロブロゲス族を（蜂起を）そそのかした。 *quorum mentes nondum ab<ref>ab はβ系写本の記述で、α系写本では ab となっている。</ref> superiore bello resedisse sperabat. **彼ら（アッロブロゲス族）の心がかつての戦争からまだ静まっていないことを期待したのだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：アッロブロゲス族は、BC61年にローマに反旗を翻し、翌BC60年に鎮圧されていた。[[ガリア戦記 第1巻#6節|第1巻6節]]を参照。）</span> *⑧　Horum principibus pecunias, **彼らの領袖たちに金銭を（約束し）、 *civitati autem imperium totius provinciae pollicetur. **さらに部族には（カエサル統治下の）属州全体の支配権をも約束したのだ。 ===65節=== '''カエサルと同盟諸部族の防戦。ゲルマニア騎兵を呼び寄せる''' *①　Ad hos omnes casus provisa erant praesidia cohortium duarum et viginti, **これらすべての出来事に対して、（カエサルは）22個<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>からなる守備隊を用意していた。 *quae ex ipsa coacta<ref>coacta はχ系･β系写本の記述で、φ系写本にはない。</ref> provincia ab L.(Lucio) Caesare legato **それらは、<ruby><rb>[[w:レガトゥス|総督副官]]</rb><rp>（</rp><rt>レガトゥス</rt><rp>）</rp></ruby>ルキウス・カエサルによって属州全体から徴集されたもので、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ここでいう属州とは、[[w:ガリア・ナルボネンシス|ガッリア・トラーンサルピーナ]]を指すと思われる。</span> **:<span style="color:#009900;">ルキウス・ユリウス・カエサル4世 [[w:en:Lucius Julius Caesar IV|Lucius Julius Caesar IV]] は本書の著者カエサルと4代前の高祖父を共有する元執政官。[[w:en:Julii Caesares|Julii Caesares]] を参照。）</span> *ad omnes partes opponebantur. **あらゆる方面に対して配置された。 *②　Helvii sua sponte cum finitimis proelio congressi pelluntur **[[w:ヘルウィイ族|ヘルウィイ族]]は、自分たちの意思により、近隣（の諸部族）と戦闘で争って撃退され、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：この部族については[[#7節|7節]]～8節を参照。）</span> *et C.(Gaio) Valerio Domnotauro<ref>Domnotauro はS･L･N写本の記述で、A･B･N写本では Donnotauro 、χ系･π系写本では Donotauro となっており、ρ系写本には記述がない。</ref>, Caburi filio, principe civitatis, **カブルスの息子で、部族の領袖であるガイウス・ウァレリウス・ドムノタウルス **:<span style="color:#009900;">（訳注：彼は、ローマとの友好により、ローマ人風の名前を与えられていたのであろう。）</span> *compluribusque aliis interfectis intra oppida ac muros<ref>ac muros はα系写本の記述で、β系写本では murosque となっている。</ref> compelluntur. **および他のかなりの者たちが殺戮されて、<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>と城壁の内側に追い込まれた。 *③　Allobroges crebris ad [[w:la:Rhodanus|Rhodanum]] dispositis praesidiis **[[w:アッロブロゲス族|アッロブロゲス族]]は、ロダヌス（＝現[[w:ローヌ川|ローヌ川]]）のところへ密に守備隊を分け置いて、 *magna cum cura et diligentia suos fines tuentur. **たいへんな注意と入念さにより、自分たちの領土を守った。 *④　Caesar quod hostes equitatu superiores esse intellegebat **カエサルは、敵方が[[w:騎兵|騎兵隊]]で（自軍より）優っていると認識していたので、 *et interclusis omnibus itineribus nulla re ex provincia atque Italia sublevari poterat, **かつ、すべての道が遮られて、属州やイタリアから何ら支援されることができなかったので、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：属州 provincia とはガッリア・トラーンサルピーナ、イタリア Italia とは[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]のことであろう。）</span> *trans [[w:la:Rhenus|Rhenum]] in [[wikt:la:Germania|Germaniam]] mittit ad eas civitates, quas superioribus annis pacaverat, **レヌス（＝現[[w:ライン川|ライン川]]）の向こう側の[[w:ゲルマニア|ゲルマニア]]に、先年に平定していた諸部族のところへ（使節を）遣わした。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ゲルマニア遠征や平定については、[[ガリア戦記 第4巻#16節|第4巻16節]]～19節、[[ガリア戦記 第6巻#9節|第6巻9節]]～10節を参照。）</span> *equitesque ab his arcessit et levis armaturae pedites, **彼らから、騎兵たち、および[[w:ウェリテス|軽い武装の歩兵]]たちを呼び寄せた。 *qui inter eos proeliari consuerant. **その者ら（軽装歩兵）は、彼ら（騎兵）の間で戦闘することが常であったのだ。 *⑤　Eorum adventu, quod minus idoneis equis utebantur, **彼ら（ゲルマニア騎兵）が到着すると、（戦闘に）あまり適していない馬を使役していたので、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ゲルマニア人の馬の使用については、[[ガリア戦記 第4巻#2節|第4巻2節]]を参照。）</span> *a tribunis militum reliquisque equitibus Romanis atque evocatis equos sumit **<ruby><rb>[[w:トリブヌス・ミリトゥム|兵士長官]]</rb><rp>（</rp><rt>トリブヌス・ミリトゥム</rt><rp>）</rp></ruby>たちやほかのローマ人騎士たちや<ruby><rb>再徴集兵</rb><rp>（</rp><rt>エウォカティ</rt><rp>）</rp></ruby>たちから、馬匹を取り上げて、 *[[w:la:Germani|Germanis]]que distribuit. **ゲルマニア人たちに分配した。 ===66節=== '''属州へと南下するカエサル、迎え撃とうとするウェルキンゲトリークス''' *①　Interea dum haec geruntur, **その間に、これらが出来している間に、 *hostium copiae ex Arvernis **敵方の（歩兵の）軍勢が（滞陣していたゲルゴウィアの）[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]のところから、 *equitesque qui toti Galliae erant imperati conveniunt. **および全ガッリアの命令されていた[[w:騎兵|騎兵]]たちが、（ウェルキンゲトリークスのところに）集結して来た。 *②　Magno horum coacto numero, **これらの（ガッリア兵の）多数が徴集されて、 *cum Caesar in Sequanos per extremos Lingonum fines iter faceret, **カエサルが、[[w:セクアニ族|セクアニ族]]のところに（向かって）[[w:リンゴネス族|リンゴネス族]]の領土の外縁を通って行軍していたときに、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：属州へは、リンゴネス族と後述のマンドゥビイ族の間を通ってセクアニ族領を通らねばならなかった。）</span> *quo facilius subsidium provinciae ferri<ref>ferri はα系写本の記述で、β系写本では ferre となっている。</ref> posset, **（それは）属州（ガッリア・トラーンサルピーナ）に援兵をより容易にもたらせるようにするためであったが、 *circiter milia passuum X(decem) ab Romanis trinis castris [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] consedit **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、ローマ人たちから約10ローママイル（15km）のところに、3つの陣営にて陣取った。 *③　convocatisque ad concilium praefectis equitum **（ウェルキンゲトリークスは）騎兵の指揮官たちを会合へ召集して、 *venisse tempus victoriae demonstrat; **勝利の時が来たと、明言した。 *fugere in provinciam Romanos Galliaque excedere. **ローマ人たちは属州に逃亡して、ガッリアから立ち退きつつある、と。 *④　Id sibi ad praesentem obtinendam libertatem satis esse; **それは、自分たちにとって目下のところ、自由を維持するためには十分であるが、 *ad reliqui temporis pacem atque otium parum profici; **将来の平和と平穏は不充分にしか得られない。 *maioribus enim coactis copiis reversuros **なぜなら（ローマ人たちは）より大きな軍勢を徴集して（ガッリアに）戻って来るであろうし、 *neque finem bellandi facturos. **戦争することに結末をつけることはないであろう。 *Proinde agmine impeditos adorirentur<ref>adorirentur はA･β系写本の記述で、M･L･N写本では adoriantur 、S写本では adorantur 、Q･B･M写本ではadorientur となっている。</ref>. **それゆえに、（ローマ勢の）行軍によって重荷となっている（輜重隊の）者たちを襲撃するのだ。 *⑤　Si pedites suis auxilium ferant atque in eo morentur, iter facere<ref>facere はα系写本の記述で、β系写本では confici となっている。</ref> non posse; **もし（ローマ勢の）歩兵たちが味方を支援し、そのことで滞留するならば、（属州へ）行軍することはできない。 *si ─id quod magis futurum confidat─ **もし、─（我は）むしろそうなるであろうと期待することであるが─ *relictis impedimentis suae saluti consulant, **（ローマ歩兵たちが）[[w:輜重|輜重]]を残して、自分たちの身の安全に意を用いるならば、 *et usu rerum necessariarum et dignitate spoliatum iri. **必需品の使用や（ローマ人としての）品格をはぎ取られることになる。 *⑥　Nam de equitibus hostium, **なぜなら、敵方の騎兵については **<span style="color:#009900;">:（訳注：著者カエサルはここでは、間接話法でありながら、ローマ勢について hostium「敵方の」と表現している。）</span> *quin nemo eorum progredi modo extra agmen audeat, **彼ら（ローマ騎兵）のうち誰も、<ruby><rb>行軍縦隊</rb><rp>（</rp><rt>アグメン</rt><rp>）</rp></ruby>の外にすら、あえて進み出ようとしないこと、 *et ipsos quidem non<ref>et ipsos quidem non はα系写本の記述で、β系写本では ne ipsos quidem となっている。</ref> debere dubitare. **（そのことを、諸君ら）自身は決して疑念を持つことなかれ。 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> *Id quo maiore faciant animo, **それ（＝輜重隊への襲撃）を、より大胆な心構えで実行してもらうために、 *copias se omnes pro castris habiturum et terrori hostibus futurum. **自分（ウェルキンゲトリークス）が軍勢すべてを陣営の前に保持しておくであろうし、敵方の心胆を寒からしめるであろう。 *⑦　Conclamant equites **（ガッリア勢の）騎兵たちは（以下のように）叫んだ。 *sanctissimo iure iurando confirmari oportere, **最も神聖な誓約によって確証されなければならぬ。 *ne tecto recipiatur, ne ad liberos, ne ad parentes, ad<ref>ne ad …, ne ad …, ad が写本(ω)の記述であるが、モイゼル Meusel は ne ad …, ad …, ad と修正提案をしている。</ref> uxorem aditum habeat, **（以下の者は）家に迎え入れられたり、子供たちや親たちや妻女たちのところへ近づくことがないように。 *qui non bis per agmen hostium perequitasset<ref>perequitasset はα系写本の記述で、β系写本では perequitarit となっている。</ref>. **敵方（ローマ勢）の隊列を越えて（往復の）2度、騎馬で駆け抜けることがなかった者は。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：敵中突破と生還を成し遂げなかった騎兵は、復員してはならない、と誓約したのである。）</span> ===67節=== '''カエサル麾下のゲルマニア騎兵がウェルキンゲトリークスを一蹴''' *①　Probata re atque omnibus iure iurando adactis **これが賛同されて、（ガッリア騎兵の）皆が誓約させられて、 *postero die in tres partes distributo equitatu **翌日に、[[w:騎兵|騎兵隊]]を3つの分隊に分配した。 *duae se acies ab duobus lateribus ostendunt, **2隊は（ローマ勢の左右）2つの側面から<ruby><rb>戦闘隊形</rb><rp>（</rp><rt>アキエス</rt><rp>）</rp></ruby>として現われた。 *una a<ref>a はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> primo agmine iter impedire coepit. **1隊は（ローマ勢の）前衛から行軍を妨げ始めた。 *②　Qua re nuntiata **その事が報告されて、 *Caesar suum quoque equitatum tripertito divisum contra hostem ire iubet. **カエサルは麾下の騎兵隊おのおのを3つに配分して、敵に対して向かって行くことを命じた。 *Pugnatur una omnibus in partibus. **（騎兵戦が）同時にすべての方面で戦われた。 *③　Consistit agmen; **（ローマ勢の）<ruby><rb>行軍縦隊</rb><rp>（</rp><rt>アグメン</rt><rp>）</rp></ruby>は一歩も引かなかった。 *impedimenta intra legiones recipiuntur. **[[w:輜重|輜重]]は諸[[w:ローマ軍団|軍団]]の内側に後退した。 *④　Si qua in parte nostri laborare aut gravius premi videbantur, **もし、我が方（ローマ勢）のある部隊が苦戦したり、またはひどく押されぎみだと思われたならば、 *eo signa inferri Caesar aciemque constitui<ref>constitui はα系写本の記述で、β系写本では converti 、T写本では conferri となっている。</ref> iubebat; **カエサルはそこに進撃して戦列を組織することを命じた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：signa inferre「軍旗を進める、進撃する」）</span> *quae res et hostes ad insequendum tardabat et nostros spe auxilii confirmabat. **その事が、敵方が追撃して来るのを遅らせもしたし、我が方が支援の希望により元気付けられもした。 *⑤　Tandem Germani ab dextro latere summum iugum nacti hostes loco depellunt, **ついに、ゲルマニア人（騎兵）たちが右の側面から尾根の頂きを掌握して、敵方をその場から追いやった。 *fugientes usque ad flumen, **逃亡する（ガッリア騎兵の）者たちを川の辺りまで（追って）、 *ubi [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] cum pedestribus copiis consederat, **そこには[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]が[[w:歩兵|歩兵]]の軍勢とともに陣取っていたのだが、 *persecuntur<ref>persecuntur はα系写本の記述で、β系写本では persequuntur となっている。</ref> compluresque interficiunt. **（ゲルマニア騎兵が敵を川辺まで）追撃して、かなりの者たちを殺戮した。 *⑥　Qua re animadversa **その事が（敵方に）気付かれて、 *reliqui ne circumirentur<ref>circumirentur はA･φ系写本の記述で、Q･β系写本では circumvenirentur となっている。</ref> veriti se fugae mandant. **（ガッリア勢の）残りの者たちは、包囲されないようにと怖れて、逃亡に身を任せた。 *Omnibus locis fit caedes. **（こうしてローマ方により）あらゆる場所で虐殺が行なわれた。 *⑦　Tres nobilissimi [[w:la:Haedui|Haedui]] capti ad Caesarem perducuntur: **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の3人の高位の貴族が捕らえられて、カエサルのところへ連行されて来た。 *Cotus, praefectus equitum, qui controversiam cum Convictolitavi proximis comitiis habuerat, **コトゥスは騎兵指揮官で、最近の会議でコンウィクトリタウィスと（統領の座をめぐって）係争した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#32節|32節]]～33節を参照。）</span> *et Cavarillus, qui post defectionem Litavicci pedestribus copiis praefuerat, **カウァリッルスは、リタウィックスの背反の後に、歩兵の軍勢を指揮していた。 *et Eporedorix, quo duce ante adventum Caesaris Haedui cum Sequanis bello contenderant. **エポレドリクスは、カエサルの到来以前にハエドゥイー族の将帥としてセクアニ族と戦争を闘っていた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：この人物は、ウィリドマルスとともにカエサルを裏切ったエポレドリクスとは同名異人である。）</span> ==アレスィア攻囲戦== ===68節=== [[画像:Alésia.jpg|thumb|right|300px|[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]であるとほぼ確実視されている仏アリーズ＝サント＝レーヌ村（[[w:fr:Alise-Sainte-Reine|Alise-Sainte-Reine]]）近郊のオソワ山（Mont Auxois）という丘陵の西端にある[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]像（<small>[[w:fr:Vercingétorix_(statue d'Aimé Millet)|Statue de Vercingétorix]]</small>）。<small>[http://maps.google.co.jp/?ie=UTF8&ll=47.538579,4.490544&spn=0.001172,0.002401&t=h&z=19&brcurrent=3,0x0:0x0,1 Googleマップ]</small>の航空写真にもこの巨像が写っている。<br>当地はフランス東部[[w:ブルゴーニュ地域圏|ブルゴーニュ地方]][[w:コート＝ドール県|コート＝ドール県]]（<small>[[w:fr:Côte-d'Or|Côte-d'Or]]</small>）のオソワ地域（<small>[[w:fr:Auxois (région)|L'Auxois]]</small>）にあり、県都[[w:ディジョン|ディジョン]]市街から西北西へ約4.5kmの地点に位置する。ディジョン方面から県道905号（D905）を北西に進んで行くと、ヴナレ＝レ＝ローム（<small>[[w:fr:Venarey-les-Laumes|Venarey-les-Laumes]]</small>）から東の郊外にかけて古戦場跡が広がる。<br>オソワ（Auxois）という地域名・山名は、ラテン語の Alesiensis pagus「アレスィア郷」が転訛し、アリーズ（Alise）の名もアレスィア（Alesia）に由来すると考えられている。サント＝レーヌ（[[w:fr:Sainte Reine|Sainte Reine]] 聖レグニア）とはこの地でAD252年に殉教したキリスト教徒ガッリア人女性で、カトリック教会から聖人に列せられている。]] '''ウェルキンゲトリークスがアレスィア入城、カエサルは攻囲を決断''' *①　Fugato omni equitatu **すべての[[w:騎兵|騎兵隊]]が逃げてしまったので、 *[[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] copias suas<ref>suas はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref>, ut pro castris conlocaverat, reduxit **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、陣営の前に配置するようにしていた麾下の（歩兵の）軍勢を呼び戻して、 *protinusque [[w:la:Alesia|Alesiam]], quod est oppidum Mandubiorum, iter facere coepit **すぐに、マンドゥビイ族の<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>である[[w:アレシア|アレスィア]]へ行軍し始めた。 *celeriterque impedimenta ex castris educi et se subsequi iussit. **かつ、速やかに陣営から[[w:輜重|輜重]]を進発させること、および自分に追随すること、を命じた。 *②　Caesar impedimentis in proximum collem deductis, **カエサルは、輜重を近隣の丘陵に移させて、 *duabus legionibus praesidio relictis, **2個[[w:ローマ軍団|軍団]]を（輜重の）守備隊として（その丘陵に）残留させた。 *secutus quantum diei tempus est passum, **日中の時間が許される限り（ガッリア勢を）追跡して、 *circiter tribus milibus hostium ex novissimo agmine interfectis **敵方の後衛のうちから約3000人を殺戮して、 *altero die ad Alesiam castra fecit. **翌日には、アレスィアの辺りに陣営を張った。 *③　Perspecto urbis situ **（アレスィアの）都市の地勢を吟味して、 *perterritisque hostibus, quod equitatu, qua maxime parte exercitus confidebant, erant pulsi, **敵方は、部隊の大部分において頼りにしていた騎兵隊が撃退されていたので、怖れおののいていたから、 *adhortatus ad laborem milites circumvallare instituit. **（カエサルは）兵士たちを労役に駆り立てて、（敵陣を）[[w:堡塁|堡塁]]で囲むことを決断した。 ===69節=== [[画像:Alise2.jpg|thumb|right|300px|[[w:アレシア|アレスィア]]にあったローマ時代の[[w:フォルム|フォルム]]（広場）や[[w:バシリカ|バシリカ]]（教会堂）などと思われる遺跡（[http://maps.google.co.jp/?ie=UTF8&t=h&brcurrent=3,0x0:0x0,1&ll=47.539477,4.5008&spn=0.002343,0.004801&z=18 Googleマップ]の航空写真を参照）。現在、オソワ山（Mont Auxois）と呼ばれているこの丘陵は、頂きが平坦な台地状になっており、その中央のさらに高い所に[[w:オッピドゥム|オッピドゥム]]（城塞都市）があったと思われる。<br>上の画像からは、同等の高さの丘陵が周囲を取り巻いていることが見て取れる。<br>『ガリア戦記』に書かれたアレスィアの所在地については諸説があって永らく不明であったが、ゲルゴウィアと同様に19世紀のウジェーヌ・ストッフェル大佐（colonel Eugène Stoffel）の発掘調査によってローマ軍の遺構などが発見され、地勢もカエサルの記述にかなり合っていると見なされて、オソワ山とその中腹にあるアリーズ＝サント＝レーヌが有力視されることになった。]] '''アレスィアの地勢、ローマ軍の攻囲線''' *①　Ipsum erat oppidum [[w:la:Alesia|Alesia]] in colle summo admodum edito loco, **[[w:アレシア|アレスィア]]の<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>そのものは、丘陵の頂きにおいて、ひときわ高い地点にあって、 *ut nisi obsidione expugnari non posse videretur. **攻囲（包囲）以外には攻略されることができないと思われた。 *②　Cuius collis radices duo duabus ex partibus flumina subluebant. **その丘陵のふもとを2つの方面から、2つの川が流れていた。 *③　Ante id<ref>id はα系写本の記述で、β系写本にはない。</ref> oppidum planities circiter milia passuum Ⅲ(tria) in longitudinem patebat; **その城塞都市の前に、約3ローママイル（4.5km）の間隔で、平地が広がっていた。 *④　reliquis ex omnibus partibus colles mediocri interiecto spatio **ほかのすべての方面からは（いくつかの）丘陵が適度な空間を置いており、 *pari altitudinis fastigio oppidum cingebant. **同等の高さの頂上で（アレスィアの）城塞都市を取り巻いていた。 *⑤　Sub muro, quae pars collis ad orientem solem spectabat, **（アレスィアの）丘陵の日が昇る方（＝東方）へ面していた部分の城壁の下には、 *hunc omnem locum copiae Gallorum compleverant **このすべての場所を、ガッリア人たちの軍勢が満たしていて、 *fossamque et maceriam sex in altitudinem pedum praeduxerant. **堀、および高さ6[[w:ペース (長さ)|ペース]]（約1.8m）の防壁を前に引いていた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[wikt:en:maceria|maceria]] は、軍事用語としては、立てこもるための城壁<ref><i>muraille (pour se retrancher)</i>（ラルース社の羅仏辞典 <small>“Dictionnaire MaxiPoche Plus latin-français et français-latin”</small> を参照）</ref>を指す。）</span> *⑥　Eius munitionis quae ab Romanis instituebatur circuitus XI<ref>XI はα系写本の記述で、β系写本では X となっている。</ref> milia passuum tenebat. **ローマ人たちによって建てられようとしていた塁壁の周囲は、11ローママイル（約16km）を占めていた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：α系写本では 11マイル＝約16km、β系写本では 10マイル＝約15km となっている。）</span> *⑦　Castra opportunis locis erant posita **（ローマ勢の）陣営は（戦略上）都合良い地点に設置されていて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：歩兵・騎兵の陣営が計8か所に置かれていたようである。）</span> *ibique<ref>ibique はα系写本の記述で、β系写本では itemque となっている。</ref> castella XXIII(viginti tria) facta, **同じく23基の砦が造られた。 *quibus in castellis interdiu stationes ponebantur, **それらの砦には、昼間は、歩哨たちが置かれて、 *ne qua subito eruptio fieret; **不意に何らかの突撃がなされないようにした。 *haec eadem noctu excubitoribus ac firmis praesidiis tenebantur. **この同じところが、夜間は、寝ずの番兵および強力な守備隊により固守された。 ===70節=== '''カエサル麾下のゲルマニア騎兵が、再びガッリア騎兵を虐殺''' *①　Opere instituto **（ローマ人により）[[w:堡塁|堡塁]]が建てられだして、 *fit equestre proelium in ea planitie, **かの平地において[[w:騎兵|騎兵]]戦がなされた。 *quam intermissam collibus tria milia passuum in longitudinem patere supra demonstravimus. **それ（平地）は（周囲の）丘陵から3ローママイル（約4.5km）の間隔を空けて広がっていることを、[[#69節|前]]に述べた。 *Summa vi ab utrisque contenditur. **（騎兵戦は）双方の主力によって闘われた。 *②　Laborantibus nostris Caesar Germanos submittit **苦戦している我が方（ローマ騎兵）に対して、カエサルは[[w:ゲルマニア|ゲルマニア]]人（騎兵）を援けに派遣した。 *legionesque pro castris constituit, ne qua subito inruptio ab hostium peditatu fiat. **諸[[w:ローマ軍団|軍団]]を陣営の前に駐留させて、不意に何らかの突入が敵方の[[w:歩兵|歩兵隊]]によってなされないようにした。 *③　Praesidio legionum addito nostris animus augetur; **軍団の守備が加わって、我が方（ローマ勢の）勇気が増された。 *hostes in fugam coniecti se ipsi multitudine impediunt **敵方（の騎兵）は敗走に追いやられて、彼ら自身が自分たち（の敗走）を大勢であることにより妨げた。 *atque angustioribus portis relictis coacervantur<ref>coacervantur は近世の写本(ς)の記述で、α系写本では coacervati tum 、β系写本では coartantur となっている。</ref>. **さらに（ガッリア陣地の）諸門がとても狭いままにしておかれたので（騎兵たちが）積み重ねられた。 *④　Germani acrius usque ad munitiones sequuntur. **ゲルマニア人（騎兵）たちは（ガッリア騎兵たちを）苛烈に、防塁のところまで追撃した。 *⑤　Fit magna caedes. **（こうして）大虐殺が起こった。 *Nonnulli relictis equis fossam transire et maceriam transcendere conantur. **（ガッリア騎兵の）幾人かは、馬を置き去りにして、堀を越えること、および防壁を登り越えることを試みた。 *Paulum legiones Caesar quas pro vallo constituerat promoveri iubet. **カエサルは、防柵の前に駐留させていた諸軍団に、いくらか前進することを命じた。 *⑥　Non minus qui intra munitiones erant perturbantur Galli: **防塁の内側にいたガッリア人たちも（騎兵たちに）劣らず狼狽した。 *veniri ad se confestim existimantes ad arma conclamant; **（ローマ勢により）自分たちのところへ直ちにやって来られると考えた者たちは、防具を取れと叫んだ。 *nonnulli perterriti in oppidum inrumpunt. **（ガッリア勢の）幾人かは、怖れおののいて（丘陵の頂きにある）城塞都市の中に押し入った。 *⑦　[[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] iubet portas claudi, ne castra nudentur. **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、陣営が無防備にされないように、（防塁の）諸門が閉じられることを命じた。 *Multis interfectis, compluribus equis captis Germani sese recipiunt. **（ガッリア騎兵の）多くが殺戮され、おびただしい馬が捕獲されて、ゲルマニア人（騎兵）たちは退却した。 ===71節=== [[画像:Statue_Vercingetorix_st_germain_en_laye.JPG|thumb|right|250px|[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の立像（<small>パリ郊外の[[w:サン＝ジェルマン＝アン＝レー|サン＝ジェルマン＝アン＝レー]] [[w:fr:Saint-Germain-en-Laye|Saint-Germain-en-Laye]]</small>）。[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]（<small>現在のアリーズ＝サント＝レーヌ</small>）にある巨大な銅像と同様に彫刻家エメ・ミレ（[[w:fr:Aimé Millet|Aimé Millet]]）によって建立された。]] [[画像:Napoleon3.PNG|thumb|right|250px|ウジェーヌ・ストッフェル大佐（colonel Eugène Stoffel）をして[[w:アレシア|アレスィア]]およびゲルゴウィアの発掘調査をさせた立役者･皇帝[[w:ナポレオン3世|ナポレオン3世]]の肖像。[[w:ガリア起源説|ガッリア起源説]]により、王政に反感を持つフランスの共和派や庶民は、旧[[w:ブルボン家|ブルボン王朝]]を[[w:クロヴィス1世|クロヴィス]]や[[w:ユーグ・カペー|カペー]]にさかのぼるゲルマン系の[[w:フランク人|フランク人]]と見なし、自分たちのルーツを[[w:ケルト人|ケルト系]]の古代[[w:ガリア人|ガッリア人]]に求めた。ナポレオン3世はこのような国民の意識を利用して、[[w:ナショナリズム|ナショナリズム]]の高揚および帝政の基盤強化を図ったのである。]] '''ウェルキンゲトリークスが援兵召集のため騎兵を放ち、籠城策を定める''' *①　[[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]], priusquam munitiones ab Romanis perficiantur, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、ローマ人たちによって塁壁が完成されるより前に、 *consilium capit omnem ab se equitatum noctu dimittere. **自分のところから[[w:騎兵|騎兵隊]]のすべてを夜間に送り出すことを計画した。 *②　Discedentibus mandat **（アレスィアから）退去する（騎兵の）者たちに（以下のように）指図した。 *ut suam quisque eorum civitatem adeat **彼ら（騎兵）のおのおのが自らの部族に行くように、 *omnesque qui per aetatem arma ferre possint ad bellum cogant. **かつ、年齢により武器を手に取ることができる者たちの皆を戦争へ徴集するように、と。 *③　Sua in illos merita proponit obtestaturque **（ウェルキンゲトリークスは）彼ら（ガッリア人たち）における自分の功績に言及して（以下のように）懇願した。 *ut suae salutis rationem habeant **自分の身の安全を顧慮してくれるように、 *neu se optime de communi libertate meritum in cruciatum hostibus<ref>in cruciatum hostibus はβ系写本の記述で、α系写本では hostibus in cruciatum となっている。</ref> dedant. **かつ（ガッリア）共通の自由について功績が最上である自分を、敵方の責め苦に渡すことがないように、と。 *Quod si indiligentiores fuerint, **ところが、もし（騎兵たちがウェルキンゲトリークスたちの安全に）無関心であったならば、 *milia hominum delecta octoginta una secum interitura demonstrat. **選りすぐりの兵員8万名が自分と一緒に滅びるであろう、と明言した。 *④　Ratione inita frumentum se exigue dierum XXX(triginta) habere<ref>frumentum ～ habere はβ系写本の記述で、χ系･φ系あるいはモイゼル H. Meusel の修正提案など、写本や校訂者により語順が異なっていたり、単語が欠けていたりする。</ref>, **見積もったところ、自分たちはわずかに30日分の穀物を保有しているが、 *sed paulo etiam longius tolerari posse parcendo. **しかし節約することにより、なおいくらか長く耐え忍ぶことができる、と。 *⑤　His datis mandatis, **これらの指図を与えてから、 *qua erat nostrum opus<ref>erat nostrum opus はβ系写本の記述で、α系写本では単に opus erat となっている。</ref> intermissum, secunda vigilia silentio equitatum mittit<ref>mittit はχ系･B･M･S写本の記述で、β系写本では dimittit となっている。</ref>. **我が方（ローマ勢）の構築物が中断しているところから、第二夜警時に静けさのうちに、騎兵隊を送り出した。 *⑥　Frumentum omne ad se referri iubet, **穀物をすべて自分のところへ運んで来ることを命じて、 *capitis poenam iis qui non paruerint constituit; **服従しなかった者たちを極刑に処すと決めた。 *⑦　pecus, cuius magna erat copia a Mandubiis<ref>a Mandubiis はβ系写本の記述で、α系写本では ab Manduviis となっている。</ref> compulsa, viritim distribuit; **家畜は、マンドゥビイ族によって大量に集められていたが、個々に分配した。 *frumentum parce et paulatim metiri instituit; **穀物を節約して少しずつ量り分けることを定めた。 *⑧　copias omnes quas pro oppido collocaverat in oppidum recepit. **<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>の前に駐留させていた（歩兵の）軍勢すべてを城塞都市の中に退却させた。 *⑨　His rationibus auxilia Galliae exspectare et bellum parat administrare<ref>parat administrare はα系写本の記述で、β系写本では administrare parat となっている。</ref>. **これらの手段により、ガッリア（諸部族）の援軍を待つこと、および戦争を指導しようとしたのである。 ===72節=== '''カエサルが、より大掛かりな攻囲陣地を構築する''' *①　Quibus rebus cognitis<ref>cognitis がこの位置にあるのはα系写本の記述で、β系写本では captivis の後となっている。</ref> ex perfugis et captivis **それらの事情を脱走兵たちや捕虜たちから知って、 *Caesar haec genera munitionis instituit. **カエサルは以下の類いの塁壁工事に取りかかった。 <br> *'''前線の切り立った空堀''' *Fossam pedum XX(viginti) derectis lateribus duxit, **20[[w:ペース (長さ)|ペース]]（約6m）の（幅の）垂直な側面の堀を引いた。 *ut eius fossae<ref>fossae がこの位置にあるのはβ系写本の記述で、α系写本では summa(e) の後になっている。</ref> solum tantundem pateret, quantum summa<ref>summa はβ系写本の記述で、α系写本では summae となっている。</ref> labra distarent<ref>distarent はα系写本の記述で、β系写本では distabant となっている。</ref>. **その堀（の底）は、頂きの縁が離れているのとちょうど同じ分だけ広がるようにした。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：上辺と底の幅が等間隔になるような切り立った空堀にした。）</span> *②　Reliquas omnes munitiones ab ea fossa pedes<ref>pedes はα系写本の記述で、β系写本では pedibus となっている。</ref> CCCC(quadringentos) reduxit. **ほかのすべての塁壁は、その堀から400ペース（約120m）後ろに引いた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：写本にあるこの数字は、19世紀のウジェーヌ・ストッフェル大佐（colonel Eugène Stoffel）の</span> **:<span style="color:#009900;">発掘調査によって400[[w:パッスス|パッスス]]（約600m）と修正された。この堀は、アレスィアの西方に引かれたと思われる。）</span> *Id hoc consilio, **それは、以下の考えによる。 *quoniam tantum spatium necessario esset<ref>spatium necessario esset はβ系写本の記述で、α系写本では esset necessario spatio となっている。</ref> complexus **これほどの空間が包囲されなければならないのであるから、 *nec facile totum corpus<ref>corpus はα系写本の記述で、β系写本では opus となっており、ρ系写本にはない。</ref> corona militum cingeretur, **すべての包囲作業が兵士たちの<ruby><rb>哨兵線</rb><rp>（</rp><rt>コロナ</rt><rp>）</rp></ruby>で取り囲まれるのは容易ではない。 *ne de improviso aut noctu ad munitiones hostium multitudo<ref>hostium multitudo はα系写本の記述で、β系写本では multitudo hostium となっている。</ref> advolaret **不意に、あるいは夜間に、敵方の大勢が（ローマ側の）塁壁へ突進することがないように、 *aut interdiu tela in nostros operi destinatos conicere possent<ref>possent はα系写本の記述で、β系写本では posset となっている。</ref>. **あるいは日中に、工事中の我が方（ローマ勢）に飛道具が投げ付けられることができないように。 <br> [[画像:Fosse.Saint.Pierre.en.Chastres.png|thumb|right|300px|二重の堀およびその背後の堡塁（土塁と障壁・櫓）の模式図（[[w:ウジェーヌ・エマニュエル・ヴィオレ・ル・デュク|ヴィオレ＝ル＝デュク]]著『中世フランス建築体系辞典』[[s:fr:Dictionnaire raisonné de l’architecture française du XIe au XVIe siècle - Tome 5, Fossé|(s)]]より）。]] [[画像:AlesiaFortifications.JPG|thumb|right|300px|[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]跡に再現された、二重の堀およびその背後の堡塁（土塁と鹿柴、胸壁・鋸壁、櫓）。]] *'''二重の堀''' *③　Hoc intermisso spatio **この空間をあけて、 *duas fossas XV(quindecim) pedes latas eadem altitudine perduxit; **15ペース（約4.5m）の幅の2つの堀を、同じ深さ（15ペース）で張り巡らせた。 *quarum interiorem campestribus ac demissis locis **それらの内側（の堀）の平地で低く下がった所には、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：内側の堀とは、アレスィアに近い東側の堀と考えられている。）</span> *aqua ex flumine derivata complevit. **川から導かれた水で満たした。 <br> *'''土塁と防柵、胸壁と鋸壁、鹿柴、櫓''' *④　Post eas aggerem ac vallum XII(duodecim) pedum exstruxit. **それらの後ろには、12ペース（約3.6mの高さ）の<ruby><rb>[[w:土塁|土塁]]</rb><rp>（</rp><rt>アッゲル</rt><rp>）</rp></ruby>と<ruby><rb>防柵</rb><rp>（</rp><rt>ウァッルム</rt><rp>）</rp></ruby>を築き上げた。 *Huic loricam pinnasque adiecit **これに<ruby><rb>胸壁</rb><rp>（</rp><rt>ロリカ</rt><rp>）</rp></ruby>と<ruby><rb>鋸壁</rb><rp>（</rp><rt>ピンナ</rt><rp>）</rp></ruby>を付け加えて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：胸壁と鋸壁とは、[[ガリア戦記 第5巻#40節|第5巻40節]]で既出のように、凹凸形に編み込まれた柴の壁）</span> *grandibus cervis eminentibus ad commissuras pluteorum atque aggeris, **障壁と土塁の接合部の辺りに大きな<ruby><rb>鹿柴</rb><rp>（</rp><rt>ケルウス</rt><rp>）</rp></ruby>を突き出させて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：<ruby><rb>鹿柴</rb><rp>（</rp><rt>ろくさい</rt><rp>）</rp></ruby>（鹿砦または<ruby><rb>逆茂木</rb><rp>（</rp><rt>さかもぎ</rt><rp>）</rp></ruby>）とは、鹿の角のように枝分かれした杭や枝を逆立てた杭囲い。</span> **:<span style="color:#009900;">障壁とは、防柵の前に取り付けられた胸壁と鋸壁の総称であろう。）</span> *qui ascensum hostium tardarent, **敵方が登って来るのを妨げようとした。 *et turres toto opere circumdedit, quae pedes LXXX(octoginta) inter se distarent. **構築物の全体を、互いに80ペース（約24m）離れて立つ櫓で取り巻いた。 ===73節=== '''カエサルは、攻囲陣地をさらに障害物で補強する''' *①　Erat eodem tempore et materiari et frumentari et tantas munitiones fieri necesse **材木収集と糧食徴発、およびこれほどの塁壁工事がなされることが、同時に必要であった。 *deminutis nostris copiis, quae longius ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> castris progrediebantur. **我が方の軍勢（ローマ勢）は減じており、陣営からはるか遠くに進み出ていた。 *Ac nonnumquam opera nostra Galli temptare **いくたびか、我が方の構築物に、ガッリア人が攻撃すること（を試み）、 *atque eruptionem ex oppido pluribus portis summa vi facere conabantur. **かつ、<ruby><rb>[[w:オッピドゥム|城塞都市]]</rb><rp>（</rp><rt>オッピドゥム</rt><rp>）</rp></ruby>の多くの門から、主力でもって出撃することを試みた。 *②　Quare ad haec rursus opera addendum Caesar putavit, **そのゆえに、この構築物へさらに（以下の障害物が）付け加えられるべきだとカエサルは考えた。 *quo minore numero militum munitiones defendi possent. **それによって、より少ない数の兵士で塁壁が防衛されることができるように、と。 [[画像:Archeodrome_Beaune_8.jpg|thumb|right|300px|[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]跡に再現された攻囲陣地（上の画像と同じ物）。堡塁（土塁と障壁と櫓）の前の平地に、樹枝が突き出た「尖り杭」（奥）と落とし穴を枝で覆った「百合」（手前）が見える。]] [[画像:Trous.de.loup.png|thumb|right|300px|サイコロの五つ目状に並べられた落とし穴「百合」（lilium）の模式図（[[w:ウジェーヌ・エマニュエル・ヴィオレ・ル・デュク|ヴィオレ＝ル＝デュク]]著『中世フランス建築体系辞典』[[s:fr:Dictionnaire raisonné de l’architecture française du XIe au XVIe siècle - Tome 5, Fossé|(s)]]より）。図の上部が五つ目状の配列を、図の下部が落とし穴の断面図を示す。この断面図では、尖らされた樹幹の先端が、傾斜した穴の突き固められた底から4本指ほど突き出ていると解釈しているようである。カエサルの記述からは、地表から突き出ているとも解釈できる。]] [[画像:Aiguillon.png|thumb|right|200px|鉄の鉤が固定された杭「刺」の模式図（[[w:ウジェーヌ・エマニュエル・ヴィオレ・ル・デュク|ヴィオレ＝ル＝デュク]]著『中世フランス建築体系辞典』[[s:fr:Dictionnaire raisonné de l’architecture française du XIe au XVIe siècle - Tome 5, Fossé|(s)]]より）。]] [[画像:Archeodrome_Beaune_2.jpg|thumb|right|300px|[[w:アレシアの戦い|アレスィア古戦場]]跡に再現された攻囲陣地（上の画像と同じ物）。いちばん手前に「刺」が再現されている。]] :　 '''尖り杭''' *Itaque truncis arborum aut admodum firmis ramis abscisis **こうして、樹木の幹、あるいは非常に強固な枝が切り取られて、 *atque horum delibratis ac praeacutis cacuminibus **これらの皮がむかれて、<ruby><rb>梢</rb><rp>（</rp><rt>こずえ</rt><rp>）</rp></ruby>が<ruby><rb>尖</rb><rp>（</rp><rt>とが</rt><rp>）</rp></ruby>らされて、 *perpetuae fossae quinos pedes altae ducebantur. **5[[w:ペース (長さ)|ペース]]（約1.5m）ずつの連続した堀が引かれた。 *③　Huc illi stipites demissi **ここに、あの樹幹が沈められて、 *et ab infimo revincti, ne revelli possent, ab ramis eminebant. **底から固くしばられて、はぎ取ることができないようにして、枝から（地上に）突き出るようにしていた。 *④　Quini erant ordines coniuncti inter se atque implicati; **5列ずつが、互いにつなげられて、結び合わされた。 *quo qui intraverant se ipsi acutissimis vallis induebant. **そこに踏み込んだ者は、自身が自らをきわめて鋭い杭に陥れた。 *Hos cippos appellabant. **（将兵たちは）これらを<ruby><rb>尖り杭</rb><rp>（</rp><rt>キップス</rt><rp>）</rp></ruby>と呼んだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[wikt:en:cippus|cippus]]「尖り杭」は「墓標」とも訳されるが、後者は古典期以降のラテン語で長方形の墓碑を指す<ref><small>POSTCLASSIQUE</small> <i>[[w:fr:Cippe|cippe]] (colonne funéraire rectangulaire)</i>（ラルース社の羅仏辞典 <small>“Dictionnaire MaxiPoche Plus latin-français et français-latin”</small> を参照）</ref>。）</span> :　 '''百合''' *⑤　Ante<ref>ante はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> quos<ref>quos はα系写本の記述で、β系写本では hos となっている。</ref> obliquis ordinibus in quincuncem dispositis **それらの前に、（サイコロの）<ruby><rb>五つ目状</rb><rp>（</rp><rt>クィンクンクス</rt><rp>）</rp></ruby>に斜めの列に配置されて、 *scrobes tres in altitudinem pedes fodiebantur **深さ3ペース（約90cm）の穴が掘られた。 *paulatim angustiore ad infimum fastigio. **しだいに、より狭く、底の方へ傾斜を付けて。 *⑥　Huc teretes stipites [[w:la:Femur|feminis]] crassitudine **ここに、太ももの厚さの丸みを帯びた樹幹が *ab summo praeacuti et praeusti demittebantur, **先端から尖らせられ、焦がされて（穴の底に）突き刺された。 *ita ut non amplius digitis quattuor ex terra<ref>ex terra はα系写本の記述で、V･ρ系写本では e terra 、T写本では contra となっている。</ref> eminerent; **4本の指より長くないほど地中から突き出るように。 *⑦　simul confirmandi et stabiliendi causa **同時に、強固にして固定するために、 *singuli ab infimo solo pedes terra exculcabantur; **それぞれ底から1ペース（約30cm）だけ土で突き固められた。 *reliqua pars scrobis ad occultandas insidias viminibus ac virgultis integebatur. **穴の残りの部分は、わなを隠すために、柳の細枝や若枝で覆われた。 *⑧　Huius generis octoni ordines ducti ternos inter se pedes distabant. **この類いを、8列ずつ、3ペース（約90cm）ずつ互いに離して、作った。 *Id ex similitudine floris lilium appellabant. **（将兵たちは）それを花との類似から、<ruby><rb>[[w:ユリ|百合]]</rb><rp>（</rp><rt>リリウム</rt><rp>）</rp></ruby>と呼んだ。 :　 '''刺''' *⑨　Ante haec taleae pedem longae ferreis hamis infixis totae in terram infodiebantur **これらの前に、鉄製の鉤が打ち込まれた長さ1ペース（約30cm）の棒の全体が地中に埋め込まれた。 *mediocribusque intermissis spatiis omnibus locis disserebantur, **適度な空間を間にあけて、至る所に配置された。 *quos stimulos nominabant. **（将兵たちは）それらを刺と呼んだ。 {| class="wikitable" |- ! colspan="2" | [[w:la:Obsidio Alesiae|Obsidio Alesiae]] |- | style="vertical-align:top; text-align:left; width:35em;" |[[画像:Fortificazioni alesia png.png|thumb|left|500px|[[w:アレシアの戦い|アレシアの戦い]]における攻囲陣地の構成（図の説明はイタリア語）。]] |} ===74節=== '''ガッリア人の来援に備えて、外周にも同様の塁壁を張り巡らす''' *①　His rebus perfectis **これらの物が造り上げられると、 *regiones secutus quam potuit aequissimas pro loci natura **地勢に応じて、できるかぎり好都合な地帯を探し求めて、 *XIIII(quattuordecim) milia passuum complexus **14ローママイル（約21km）を取り巻いて、 *pares eiusdem generis munitiones, **（内周の塁壁と規模が）匹敵する同じ類いの塁壁を *diversas ab his, contra exteriorem hostem perfecit, **これら（内周）に対置させて、外側の敵に対抗して造り上げた。 *ut ne magna quidem multitudine, si ita accidat equitatus<ref>equitatus はシェーラー（Schoeller）による修正提案で、写本(ω)では eius であるが、近代の校訂者たちにより修正提案がなされている。</ref> discessu, **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[wikt:en:ne quidem|ne ～ quidem]]「～でさえ…ない」）</span> **もし[[w:騎兵|騎兵隊]]の退去によりこのようなこと（外敵との遭遇）が生じても、決して大軍により *munitionum praesidia circumfundi possent; **塁壁の守備隊が包囲されることができないように。 *②　<ne> autem<ref>ne autem は近代の校訂者による修正提案で、α系･π系写本では aut、ρ系写本では ut となっている。</ref> cum periculo ex castris egredi cogatur, **（ローマ勢が）危険を伴って陣営から進発することを強いられることもないように、 *dierum XXX(triginta) pabulum frumentumque habere omnes convectum iubet. **30日分の[[w:糧秣|秣(まぐさ)や穀物]]を運び集めて保持することを皆に命じた。 ===75節=== '''ガッリア同盟が各部族に動員を要請する''' *①　Dum haec apud<ref>apud はα系写本の記述で、β系写本では ad となっている。</ref> [[w:la:Alesia|Alesiam]] geruntur, **これらが[[w:アレシア|アレスィア]]のもとで遂行されている間に、 *Galli concilio principum indicto **ガッリア人たちは、領袖たちの会合を課して、 *non omnes hos<ref>omnes hos はα系写本の記述で、β系写本では単に omnes となっている。</ref> qui arma ferre possent, ut censuit [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]], convocandos statuunt, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]が見積もったように武器を扱える者たち皆を召集するべき、ではないと判断した。 *sed certum numerum cuique ex civitate<ref>ex civitate はα系写本の記述で、β系写本では civitati となっている。</ref> imperandum, **けれども、おのおのの部族から一定の兵数（の供出）を命令すること（を決めた）。 *ne tanta multitudine confusa nec moderari nec discernere suos nec frumentandi rationem<ref>frumentandi rationem はT･U･R写本などの記述で、V･U写本などでは frumenti rationem となっている。</ref> habere possent. **これほどの大軍で混乱したり、味方を指揮できなかったり判別できなかったり、ということがないように。 *②　Imperant [[w:la:Haedui|Haeduis]] atque eorum clientibus, Segusiavis, Ambivaretis, Aulercis Brannovicibus, Blannoviis, milia XXXV(triginta quinque); **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]とその庇護民であるセグスィアウィ族、アンビウァレティ族、アウレルキ・ブランノウィケス族、ブランノウィイ族に3万5千名を命令した。 *parem numerum Arvernis adiunctis Eleutetis, Cadurcis, Gabalis, Vellaviis, **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]に隣接しているエレウテティ族、カドゥルキー族、ガバリ族、ウェッラウィイ族に同等の兵数。 *qui sub imperio Arvernorum esse consuerunt; **彼らはアルウェルニー族の支配下にいるのが常であった。 *③　Sequanis, Senonibus, Biturigibus, Santonis, Rutenis, Carnutibus duodena milia; **セクアニ族、セノネース族、ビトゥリゲース族、サントネス族、ルテーニー族、カルヌーテース族には1万2千ずつ。 *Bellovacis X(decem); totidem Lemovicibus; **ベッロウァキ族に1万。レモウィケス族に同じだけ多く（1万）。 *octona Pictonibus et Turonis et Parisiis et Helvetiis; **ピクトネス族とトゥロニ族とパリスィイ族と[[w:ヘルウェティイ族|ヘルウェティイ族]]に8(千)ずつ。 *Senonibus<ref>Senonibus は写本(ω)にある記述だが、sen<a Suessi>onibus「6(千)ずつをスエッスィオニス族…に」などさまざまな修正提案がなされている。</ref>, Ambianis, Mediomatricis, Petrocoriis, Nerviis, Morinis, Nitiobrogibus quina milia; **セノネース族、アンビアニ族、メディオマトリキ族、ペトロコリイ族、ネルウィイ族、モリニ族、ニティオブロゲス族に5千ずつ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：Senonibus「セノネース族」は既出のためスエッスィオネス族などに書き替える修正提案がなされ、以下は校訂版によっては兵数がずれる。</span> **:<span style="color:#009900;">しかし、スエッスィオネス族 Suessiones は[[ガリア戦記 第2巻#12節|第2巻12節]]でレーミー族を通じてカエサルに降伏しており、</span> **:<span style="color:#009900;">第8巻6節でも「レーミー族に委ねられていた」「同盟者」と記されているので、アレスィアには出兵していないであろう。）</span> *Aulercis Cenomanis totidem; Atrebatibus IIII; **アウレルキ・ケノマニ族に同じだけ多く（5千）。アトレバテス族に4(千)。 *Veliocassis, Lexoviis et Aulercis Eburovicibus terna; **ウェリオカッセス族、レクソウィイ族とアウレルキ・エブロウィケス族に3(千)ずつ。 *Rauracis et Boiis<ref>Boiis はα系写本の記述で、β系写本では Bois となっている。</ref> bina; **ラウラキ族とボイイ族に2(千)ずつ。 *XXX<ref>XXX はα系写本の記述で、さまざまな修正提案がなされている。</ref> milia universis civitatibus, quae Oceanum attingunt **<ruby><rb>大洋<span style="color:#009900;">〔[[w:大西洋|大西洋]]〕</span></rb><rp>（</rp><rt>オーケアヌス</rt><rp>）</rp></ruby>に接する諸部族全体に3万。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：この数は写本により異なっており、混乱している。）</span> *quaeque eorum consuetudine Aremoricae appellantur, **それらは、彼ら（ガッリア人）の慣習でアレモリカエと呼ばれており、 *quo sunt in numero Coriosolites, Redones, Ambibarii, Caletes, Osismi, Veneti, Lemovices, Unelli. **コリオソリテス族、レドネス族、アンビバリイ族、カレテス族、オスィスミ族、ウェネティ族、レモウィケス族、ウネッリ族がそれらに数えられる。 *⑤　Ex his Bellovaci suum numerum non compleverunt<ref>compleverunt はα系写本の記述で、β系写本では contulerunt となっている。</ref>, **これらのうちで、ベッロウァキ族は、自分たちの（割り当てられた）数を満たさなかった。 *quod se suo nomine atque arbitrio cum Romanis bellum gesturos dicebant **というのは、彼らは自らの名と裁量でもってローマ人と交戦するであろうと言ったのだ。 *neque cuiusquam imperio obtemperaturos; **（自分たちは）何者の命令にも服従しないであろう、と。 *rogati tamen ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> Commio pro eius hospitio duo milia una miserunt. **けれども、[[w:コンミウス|コンミウス]]の懇願により、彼を賓客としているために、2千名を一緒に送り出した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：ベッロウァキ族は要求された兵数の5分の1しか出さなかったが、第8巻22節ではこの出兵をも含めてカエサルから責められる。）</span> ===76節=== '''コンミウスもガッリア同盟軍に内応、約25万の大軍が集結''' *①　Huius opera Commii, ut antea demonstravimus, fideli atque utili **前に述べたように、この[[w:コンミウス|コンミウス]]の信頼すべき有益な働きを **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[ガリア戦記 第4巻#21節|第4巻21節]]･[[ガリア戦記 第4巻#27節|27節]]･[[ガリア戦記 第4巻#35節|35節]]、[[ガリア戦記 第5巻#22節|第5巻22節]]、[[ガリア戦記 第6巻#6節|第6巻6節]]を参照。）</span> *superioribus annis erat usus in [[w:la:Britannia Maior|Britannia]] Caesar; **カエサルは先年（BC55～54年）に[[w:ブリタンニア|ブリタンニア]]において役立てていた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：コンミウスは、[[w:ローマによるブリタンニア侵攻 (紀元前55年-紀元前54年)|カエサルのブリタンニア侵攻]]の先導役を務めていた。後にブリタンニアで王となる。）</span> *quibus ille pro meritis civitatem eius immunem esse iusserat, **彼（カエサル）はそれらの功績の見返りに、彼（コンミウス）の部族が免税となることを命じており、 *iura legesque reddiderat atque ipsi Morinos attribuerat. **権能や法度を元に戻してやり、（コンミウス）自身にモリニ族（の統治）をも委ねていた。 *②　Tamen tanta<ref>tamen tanta はα系写本の記述で、β系写本では tanta tamen となっている。</ref> universae Galliae consensio fuit libertatis vindicandae et pristinae belli laudis recuperandae, **けれども、自主独立が求められるべきで、かつての戦争の誉れが取り戻されるべきだという、ガッリア全体の合意があった。 *ut neque beneficiis neque amicitiae memoria moverentur **その結果、（カエサルからの）厚遇にも友情の記憶にも揺り動かされず、 *omnesque et animo et opibus in id bellum incumberent. **（ガッリアの）皆が闘志によっても兵力によっても、その戦争に没頭していたのだ。 *③　Coactis equitum milibus VIII(octo) et peditum circiter CCL(ducenti quinquaginta)<ref>CCL はβ系写本の記述で、α系写本では CCXL または CCXXXX となっている。</ref> **[[w:騎兵|騎兵]]8千騎と[[w:歩兵|歩兵]]およそ250(千)名が徴集されて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：歩兵の数は、β系写本では25万、α系写本では24万と異なっている。）</span> *haec in Haeduorum finibus recensebantur, numerusque inibatur, praefecti constituebantur. **これら（の軍勢）が[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の領土で閲兵されて、数が見積もられて、指揮官たちが決められた。 *④　Commio Atrebati, Viridomaro et [[w:la:Eporedorix|Eporedorigi]] [[w:la:Haedui|Haeduis]], **アトレバテス族の[[w:コンミウス|コンミウス]]、ハエドゥイー族のウィリドマルスとエポレドリクス、 *[[w:la:Vercassivellaunus|Vercassivellauno]] Arverno, consobrino Vercingetorigis, summa imperii traditur. **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の従兄弟である[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]のウェルカッスィウェッラウヌスに、最高司令権が託された。 *His delecti ex civitatibus attribuuntur, quorum consilio bellum administraretur. **彼らに、諸部族から選ばれた者たちが付与されて、その者たちの協議により戦争が指導された。 *⑤　Omnes alacres et fiduciae pleni ad [[w:la:Alesia|Alesiam]] proficiscuntur, **皆が、活気があって自身に満ち、[[w:アレシア|アレスィア]]へ向けて出発した。 *⑥　neque erat omnium quisquam qui adspectum modo tantae multitudinis sustineri posse arbitraretur, **これほどの大軍を一見しただけで持ちこたえられる者は、誰一人いないと思われた。 *praesertim ancipiti proelio, **とりわけ（内周と外周の）両面の戦闘で、 *cum ex oppido eruptione pugnaretur, foris tantae copiae equitatus peditatusque cernerentur. **城塞都市からは出撃により戦われ、外からは騎兵と歩兵のこれほどの軍勢が視認されるのであるから。 ===77節=== '''飢餓状態のアレスィアで、クリトグナトゥスが極論を唱える''' *①　At ii qui [[w:la:Alesia|Alesiae]] obsidebantur **ところが、[[w:アレシア|アレスィア]]に包囲されていた者たちは、 *praeterita die qua auxilia suorum exspectaverant, **味方の援軍を待ち望んでいた日も経過して、 *consumpto omni frumento, **すべての糧食を消費し尽くして、 *inscii quid in [[w:la:Haedui|Haeduis]] gereretur, **[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]のところにおいて何がなされているのかを知らず、 *concilio coacto de exitu suarum fortunarum consultabant. **会合を召集して、自分たちの命運の結末について協議した。 *②　Ac variis dictis sententiis **そして、さまざまな意見が述べられた。 *quarum pars deditionem, **それらの一部は降伏を、 *pars dum vires suppeterent eruptionem censebat, **別の一部は、活動力が十分にある間に突撃することを考慮していた。 *non praetereunda oratio [[w:la:Critognatus|Critognati]] videtur propter eius singularem et nefariam crudelitatem. **クリトグナトゥスの演説は、彼の特異で非道な残酷さのために、看過されるべきではないと思われる。 <br> '''クリトグナトゥスの演説が始まる''' *③　Hic summo in Arvernis ortus loco et magnae habitus auctoritatis, **彼は、[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]において最高の身分に生まれ、大きな影響力を持つとみなされていた。 <br> '''降伏論者は最低の輩だ''' *"Nihil" inquit "de eorum sententia dicturus sum, qui turpissimam servitutem deditionis nomine appellant, **「最も恥ずべき隷属を降伏という名で呼んでいる者たちの意見については、（私は）何も述べないであろう」と言った。 *neque hos habendos civium loco neque ad concilium adhibendos censeo. **「この者たちは市民の身分を持つべきではないし、会合へ招き入れられるべきでもない、と（私は）考える。 <br> '''突撃論者には辛抱が欠けている''' *④　Cum his mihi res sit, qui eruptionem probant; **突撃に賛同した者たちとともに、私の関わりはあるべきだ。 *quorum in consilio omnium vestrum consensu **その者たちの考えには、君たち皆の同意があるだろうし、 *pristinae residere virtutis memoria videtur. **かつての武勇の記憶が残っていることと思われる。 *⑤　Animi est ista mollitia, non virtus, paulisper inopiam ferre non posse. **しばらくの間も（糧食の）欠乏に耐えることができない（君らの）ことは、気の弱さであって、武勇ではない。 *Qui se ultro morti offerant facilius reperiuntur quam qui dolorem patienter ferant. **自発的に玉砕して逝った者たちは、苦痛に辛抱強く耐えた者たちよりも、より容易に見出されるのだ。 *⑥　Atque ego hanc sententiam probarem ─tantum apud me dignitas potest─, **しかし私は（突撃という）この意見に賛同したであろう。それほど、私にとっても価値がある。 *si nullam praeterquam vitae nostrae iacturam fieri viderem; **（ただし）もし、我々（ガッリア勢）の生命が投げ出されること以外に（方策が）何もないと思ったならばだ。 *⑦　sed in consilio capiendo omnem Galliam respiciamus, quam ad nostrum auxilium concitavimus. **けれども、作戦を立てるに当たっては、我々のために援軍を（我々が）呼び寄せた全ガッリアを顧慮しよう。 *⑧　Quid hominum milibus LXXX(octoginta) uno loco interfectis **（我々ガッリア勢）8万の人間が（アレスィア）1か所で殺戮されたら、 *propinquis consanguineisque nostris animi fore existimatis, **我々の親類縁者たちの士気はどうなると（君らは）判断しているのか。 *si paene in ipsis cadaveribus proelio decertare cogentur? **もし、ほとんど（我々）自身の亡骸の中で（味方が）決戦することを強いられたら？ *⑨　Nolite hos vestro auxilio exspoliare qui vestrae salutis causa suum periculum neglexerunt, **君らの身の安全のために、己の危険を顧みなかった者たちのことを、君らが援助すること（の機会）を奪わないでくれ。 *nec stultitia ac temeritate vestra aut animi imbecillitate omnem Galliam prosternere et perpetuae servituti subicere. **君らの愚かさや無思慮、または心の弱さによって、全ガッリアを滅ぼすことや永久の隷属に委ねることがないように。 <br> '''ローマ人たちが恐れているのを見よ''' *⑩　An quod ad diem non venerunt, de eorum fide constantiaque dubitatis? **それとも（援軍が）期日までにやって来なかったので、彼らの誠実さや剛直さについて（君らは）疑っているのか？ *Quid ergo? **それでは（あれは）何だ？ *Romanos in illis ulterioribus munitionibus animine causa cotidie exerceri putatis? **ローマ人たちがあの向こう側の塁壁のところで、趣味のために毎日たえず働かされていると（君らは）思うのか？ *⑪　Si illorum nuntiis confirmari non potestis omni aditu praesaepto, **もし、すべての出入口を（防柵で）遮られて、（援軍の到来を）彼らの伝令により（君らが）確証できないのならば、 *his utimini testibus adpropinquare eorum adventum, **こちらの者たち（ローマ人）を、彼ら（援軍）の到来が近づいている証人として示せ。 *cuius rei timore exterriti diem noctemque in opere versantur. **（援軍の到来という）その事態の恐れに戦慄して（ローマ人たちは）昼も夜も工事に従事しているのだ。 <br> '''クリトグナトゥスの意見は？''' *⑫　Quid ergo mei consilii est? **それでは、私の考えは何であるか？ *Facere quod nostri maiores nequaquam pari bello Cimbrorum Teutonumque fecerunt: **我々の先祖たちが（今回とは）決して比べものにならない[[w:キンブリ・テウトニ戦争|キンブリ族・テウトニ族との戦争]]でしたことをするのだ。 *qui in oppida compulsi ac simili inopia subacti **彼ら（先祖たち）は、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]に押し込められて、（今回と）似たような欠乏により衰弱させられて、 *eorum corporibus, qui aetate ad bellum inutiles videbantur, vitam toleraverunt **加齢により戦争に役立たないと思われた者たちの肉体（を食べること）によって、生命を持ちこたえて、 *neque se hostibus tradiderunt. **敵方に降伏しなかったのだ。 *⑬　Cuius rei si exemplum non haberemus, **もし、そういう事態の先例を我々が持たなかったとしても、 *tamen libertatis causa institui et posteris prodi pulcherrimum iudicarem. **けれども、自由のために、最も栄誉なことが決断され、子孫たちに伝えられることと、私は思いたい。 *⑭　Nam quid illi simile bello fuit? **実際、あの戦争に（今回と）似ている何があっただろうか？ *Depopulata Gallia Cimbri magnaque inlata calamitate **キンブリ族はガッリアを荒らしまわって、大きな災禍をもたらしたが、 *finibus quidem nostris aliquando excesserunt atque alias terras petierunt; **あるとき我々の領土から立ち去って、他の土地を求めて行った。 *iura, leges, agros, libertatem nobis reliquerunt. **権限、法度、耕地、自由を我々（ガッリア人）に残して行ったのだ。 *⑮　Romani vero quid petunt aliud aut quid volunt **しかし、ローマ人たちは（以下に挙げることの）他に何を求め、何を欲しているのだろうか。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：「しかし、ローマ人が求め、欲しているのは、以下のことである」の意。）</span> *nisi invidia adducti quos fama nobiles potentesque bello cognoverunt, **高貴で戦争に力強い（ガッリアの）者たちを名声で知って羨望に駆られた以外には、 *horum in agris civitatibusque considere atque his aeternam iniungere servitutem? **彼らの土地や部族共同体に居座って、彼らを永遠の隷属を課すること以外には。 *Neque enim ulla alia condicione bella gesserunt. **実際、（ローマ人は）他のいかなる条件でも決して戦争を遂行したことがなかった。 *⑯　Quodsi ea quae in longinquis nationibus geruntur ignoratis, **もし、遠方の種族のところでなされていることを（君らが）知らないのであれば、 *respicite finitimam Galliam, **ガッリアの隣人たちを見渡しなさい。 *quae in provinciam redacta, **（彼らはローマの）[[w:属州|属州]]になることを余儀なくされ、 *iure et legibus commutatis, **権限や法度を変えられて、 *securibus subiecta perpetua premitur servitute." **（ローマの）権力に服属させられて、永久の隷属に苦しめられているのだ。 ===78節=== '''マンドゥビイ族の投降をカエサルが拒む''' *①　Sententiis dictis **（いくつかの）意見が述べられて、 *constituunt ut ii, qui valetudine aut aetate inutiles sunt<ref>sunt はα系写本の記述で、β系写本では sint となっている。</ref> bello, oppido excedant **（ガッリア人たちは）健康または年齢により戦争に役立たない者たちは[[w:オッピドゥム|城塞都市]]を退去するように決めた。 *atque omnia prius experiantur quam ad Critognati sententiam descendant; **さらに、クリトグナトゥスの意見に同意するよりも、まずあらゆることを試みるように（決めた）。 *②　illo tamen potius utendum consilio, **けれども（以下の場合には）むしろ彼（クリトグナトゥス）の意見を実行するべきだ。 *si res cogat atque auxilia morentur, **もし、事態が強いて、援軍が遅滞させられるのならば、 *quam aut deditionis aut pacis subeundam condicionem. **降伏あるいは講和条件を受諾することよりも（クリトグナトゥスの意見を実行するべきだ）、と。 *③　Mandubii qui eos oppido receperant, **彼ら（ガッリア勢）を城塞都市に受け入れていたマンドゥビイ族は、 *cum liberis atque uxoribus exire coguntur. **子供たちや妻女たちとともに（城塞都市から）出て行くことを強いられた。 *④　Hi cum ad munitiones Romanorum accessissent, **彼らは、ローマ人たちの塁壁のところへ近づいたときに、 *flentes omnibus precibus orabant, ut se in servitutem receptos cibo iuvarent. **自分たちを奴隷として受け入れて食糧で助けてくれるように、泣きながらあらゆる懇願で頼んだ。 *⑤　At Caesar dispositis in vallo custodibus<ref>custodibus はα系写本の記述で、β系写本では custodiis となっている。</ref> recipi prohibebat. **だが、カエサルは、防柵の中に番兵を分けて置き、（マンドゥビイ族を）受け入れることを禁じた。 ===79節=== '''ガッリア同盟軍の来援、アレスィアの歓呼''' *①　Interea Commius reliquique duces, quibus summa imperii permissa erat, **その間に、最高司令権を任されていた[[w:コンミウス|コンミウス]]とほかの将帥たちが、 *cum omnibus copiis ad Alesiam perveniunt **すべての軍勢とともに[[w:アレシア|アレスィア]]の辺りへ到着して、 *et colle exteriore occupato **より外側の丘陵を占拠して、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：現在のミュスィ＝ラ＝フォス村 [[w:fr:Mussy-la-Fosse|Mussy-la-Fosse]]<ref>[http://maps.google.com/maps?q=47.521944,4.438611&hl=fr&ie=UTF8&ll=47.522012,4.438648&spn=0.01849,0.027423&t=h&z=15 Google map]を参照。</ref> のある丘陵であると思われる。）</span> *non longius mille passibus ab nostris munitionibus considunt. **我が方（ローマ勢）の塁壁から1ローママイル（約1.5km）ほども遠くないところに陣取った。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：現在のヴナレ＝レ＝ローム [[w:fr:Venarey-les-Laumes|Venarey-les-Laumes]] 市街<ref>[http://maps.google.com/maps?q=47.542778,4.445833&hl=fr&ie=UTF8&ll=47.543106,4.458475&spn=0.036965,0.054846&t=h&z=14 Google map]を参照。</ref>の周辺であると思われる。）</span> *②　Postero die equitatu ex castris educto **翌日に、[[w:騎兵|騎兵隊]]が陣営から進発させられて、 *omnem eam planitiem quam in longitudinem milia passuum III(tria)<ref>milia passuum III はβ系写本の記述で、α系写本では quattuor milia passuum などとなっている。</ref> patere demonstravimus, complent **3ローママイル（約4.5km）の長さにわたり広がっていることを既述した平地のすべてを、満たした。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[#69節|69節]]を参照。現在のローム平原に当たると思われる。）</span> *pedestresque copias paulum ab eo loco abditas in locis superioribus constituunt. **[[w:歩兵|歩兵]]の軍勢を、その地からいくらか遠ざけて、より高いところに駐留させた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：上記の丘陵のより高い所であると思われる。）</span> *③　Erat ex oppido Alesia despectus in campum. **アレスィアの[[w:オッピドゥム|城塞都市]]からは（その）平地に眺望があった。 *Concurrunt<ref>concurrunt はα系写本の記述で、β系写本では concurritur となっている。</ref> his auxiliis visis; **これらの援軍が現われると（アレスィアのガッリア人たちは）群がり集まった。 *fit gratulatio inter eos **彼らの間で祝賀がなされて、 *atque omnium animi ad laetitiam excitantur. **皆の心が喜びへと鼓舞された。 *④　Itaque productis copiis ante oppidum considunt **こうして（アレスィアの）軍勢が出撃させられて、城塞都市の前に陣取って、 *et proximam fossam cratibus integunt atque aggere explent **最も近い堀を、柴で蔽って、土砂を充満させて、 *seque ad eruptionem atque omnes casus comparant. **突撃やあらゆる有事に戦備を整えた。 ===80節=== '''ゲルマニア騎兵らローマ勢が来援ガッリア騎兵をも打ち破る''' *①　Caesar omni exercitu ad utramque partem munitionum<ref>munitionum はα系写本の記述で、β系写本では munitionis となっている。</ref> disposito, **カエサルは、すべての[[w:歩兵|歩兵隊]]を、塁壁の（内周と外周）両側に分けて置き、 *ut, si usus veniat, suum quisque locum teneat et noverit, **もし、必要が生じたら、おのおのが自らの部署を知って固守するようにした。 *equitatum ex castris educi et proelium committi iubet. **[[w:騎兵|騎兵隊]]を陣営から進発させて、交戦することを命じた。 *②　Erat ex omnibus castris, quae summum undique iugum tenebant, despectus **至る所で尾根の頂きを占めていた（ローマ勢の）すべての陣営から（騎兵戦の）眺望があった。 *atque omnes milites intenti<ref>intenti はα系写本の記述で、β系写本では intenti animi、Fuchs は intentis animis と修正提案している。</ref> pugnae proventum<ref>pugnae proventum はα系写本の記述で、β系写本では proventum pugnae となっている。</ref> exspectabant. **すべての兵士たちは（観戦に）没頭して、戦いの結果を待っていた。 *③　Galli inter equites raros sagittarios expeditosque levis armaturae interiecerant, **ガッリア人たちは、弓兵たちと軽装歩兵たちをまばらに、騎兵たちの間に置いていて、 *qui suis cedentibus auxilio succurrerent **その者たち（弓兵と軽装歩兵）は、味方が後退するのを支援するために馳せ寄って、 *et nostrorum equitum impetus sustinerent. **我が方（ローマ勢）の騎兵の突撃に持ちこたえていた。 *Ab his complures de improviso vulnerati proelio excedebant. **彼らによって（ローマ側騎兵の）かなりの者たちが、思いがけず負傷させられて、戦闘から退いた。 *④　Cum suos pugna superiores esse Galli confiderent **ガッリア人たちが、味方が戦いで優勢であることを確信したとき、 *et nostros multitudine premi viderent, **かつ、我が方（ローマ勢）が多勢（のガッリア騎兵）により圧倒されているのを見て取ったときに、 *ex omnibus partibus et ii qui munitionibus continebantur **あらゆる方面から（ローマ勢の）塁壁によって囲まれていた者たちも、 *et hi<ref>hi はφ系･β系写本の記述で、χ系写本では ii となっている。</ref> qui ad auxilium convenerant **（アレスィア）救援のために集結して来ていた者たちも、 *clamore et ululatu suorum animos confirmabant. **大声やわめき声によって味方の闘志を強めた。 *⑤　Quod in conspectu omnium res gerebatur **（両軍の）皆の環視の中で合戦が遂行されたので、 *neque recte ac<ref>ac はα系･π系写本の記述で、ρ系写本では aut となっている。</ref> turpiter factum celari poterat, **立派な行為または見苦しい行為も隠されることができなかったので、 *utrosque et laudis cupiditas et timor ignominiae ad virtutem excitabant<ref>excitabant はB･M･L･N･R写本などの記述で、χ系･B･S･π系･U写本などでは excitabat となっている。</ref>. **賞賛への功名心も、不名誉への恐れも、双方を武勇へと駆り立てた。 *⑥　Cum a meridie prope ad solis occasum dubia victoria pugnaretur, **正午から、ほぼ日没の頃まで、勝利が不確実なまま戦われていたときに、 *Germani una in parte confertis turmis **ゲルマニア人たちが、騎兵部隊を一か所に密集させて、 *in hostes impetum fecerunt eosque propulerunt; **敵方に突撃を行ない、彼ら（ガッリア騎兵）を駆逐した。 *⑦　quibus in fugam coniectis **その者たち（ガッリア騎兵）は逃亡に追いやられて、 *sagittarii circumventi interfectique sunt. **弓兵たちは包囲されて殺戮された。 *⑧　Item ex reliquis partibus nostri cedentes usque ad castra insecuti **我が方（ローマ勢）の残りの部隊も、撤退する（ガッリア騎兵の）者たちを陣営のところまで追撃して、 *sui colligendi facultatem non dederunt. **立ち直る機会を与えなかった。 *⑨　At ii qui ab [[w:la:Alesia|Alesia]] processerant, **そして、[[w:アレシア|アレスィア]]から進み出ていた者たちは、 *maesti prope victoria desperata se in oppidum receperunt. **ほとんど絶望的な勝利に悲嘆して、城塞都市に退却した。 ===81節=== '''ガッリア来援軍と籠城軍がローマ陣地に夜襲をしかける''' *①　Uno die intermisso Galli **ガッリア人たちは一日を間に置いて、 *atque hoc spatio magno cratium, scalarum, harpagonum numero effecto **この間に、多数の柴、[[w:梯子|梯子]]、鉤竿を調達して、 *media nocte silentio ex castris egressi **真夜中に静けさのうちに陣営から進発して、 *ad campestres munitiones accedunt. **平地の（ローマ勢の）塁壁の辺りへ近づいた。 *②　Subito clamore sublato, qua significatione **突然に雄叫びを上げて、それを合図として、 *qui in oppido obsidebantur de suo adventu cognoscere possent, **[[w:オッピドゥム|城塞都市]]の中に包囲されている者たちが、自分たちの到来について認識できるようにした。 *crates proicere, fundis, sagittis, lapidibus nostros de vallo proturbare **柴を投げ込み、投石器で、矢で、石でもって我が方（ローマ勢）を防柵から追い出すこと、 *reliquaque quae ad oppugnationem pertinent parant administrare. **（塁壁の）攻略のために役立つほかのことに従事すること、を目論んだ。 *③　Eodem tempore clamore exaudito **同時に（来援軍の）雄叫びを聞き取って、 *dat tuba signum suis [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] atque ex oppido educit. **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、麾下の者たちにラッパで指図を与えて、城塞都市から進発させた。 *④　Nostri, ut superioribus diebus, suus cuique<ref>suus cuique はβ系写本の記述で、χ系･B･M･S写本では ut cuique となっている。</ref> erat locus attributus, ad munitiones accedunt; **我が方（ローマ勢）は、以前の日々に、おのおのの部署が割り当てられており、塁壁のところへ近寄った。 *fundis librilibus sudibusque, quas in opere disposuerant, ac glandibus Gallos proterrent. **堡塁に分配されていたポンド投石器や杭、並びに玉によって、ガッリア人たちを追い払った。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：librilis funda「ポンド投石器」；古代ローマの1ポンド [[w:la:Libra pondus|libra]] は約327グラム<ref>[[w:en:Ancient Roman units of measurement#Weight]]を参照。</ref>。）</span> *⑤　Prospectu tenebris adempto multa utrimque vulnera accipiuntur. **眺望が暗闇により奪われて、双方が多くの傷を蒙った。 *Complura tormentis tela coniciuntur. **かなり多くの飛び道具が（巻上式）投石機によって投じられた。 *⑥　At [[w:la:Marcus Antonius|M.(Marcus) Antonius]] et [[w:la:Gaius Trebonius|C.(Gaius) Trebonius]] legati, **[[w:マルクス・アントニウス|マルクス・アントニウス]]と[[w:ガイウス・トレボニウス|ガイウス・トレボニウス]] [[w:レガトゥス|両副官]]は、 *quibus hae partes ad defendendum obvenerant, **この方面を防衛するために割り当てられていたが、 *qua ex parte nostros premi intellexerant, **我が方（ローマ勢）が押されぎみであると見なした一帯のために、 *his auxilio ex ulterioribus castellis deductos submittebant. **この者たちを支援するために、向こう側の砦から引き出した者たちを（援兵として）派遣した。 ===82節=== '''アレスィア内外のガッリア勢が障害物に阻まれて退く''' *①　Dum longius ab munitione aberant Galli, **ガッリア人たちは（ローマ勢の）塁壁から遠くに離れていた間は、 *plus multitudine telorum proficiebant; **飛び道具の多さによって、前進していた。 *posteaquam propius successerunt, **（塁壁の方へ）さらに近くに進入して来た後では、 *aut se ipsi<ref>ipsi はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> stimulis inopinantes induebant **あるいは、思いがけず自ら「刺」に陥り、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：stimulus「刺」については、[[#73節|73節]]⑨項を参照。）</span> *aut in scrobes delati transfodiebantur **あるいは、穴に陥落して（「百合」で）突き刺されたり、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：「穴」と「百合」については、[[#73節|73節]]⑤～⑧項を参照。）</span> *aut ex vallo ac turribus traiecti pilis muralibus interibant. **あるいは、防柵や櫓から[[w:ピルム・ムーリアリス|防壁槍]]で射抜かれて逝った。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：防壁槍については、[[ガリア戦記 第5巻#40節|第5巻40節]]を参照。）</span> *②　Multis undique vulneribus acceptis **（ガッリア勢は）至る所で多くの傷を負ったが、 *nulla munitione perrupta, **どの（ローマ側の）塁壁も突破されなかった。 *cum lux appeteret, **<ruby><rb>暁光</rb><rp>（</rp><rt>ぎょうこう</rt><rp>）</rp></ruby>が（空を）染めたとき、 *veriti ne ab latere aperto ex superioribus castris eruptione circumvenirentur, **開けた側面から、（ローマ勢の）高所の陣営からの突撃によって包囲されないようにと怖れて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：開けた側面とは、盾で守られていない右側のこと。）</span> *se ad suos receperunt. **味方のところへ退却した。 *③　At interiores **それに対して、（アレスィア攻囲の）内側の者たちは、 *dum ea quae a [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorige]] ad eruptionem praeparata erant<ref>praeparata erant は、写本(ω)ではpraeparaverant だが、このように修正提案されている。あるいは、a Vercingetorige が削除提案されている。</ref> proferunt, **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]により、突撃のために準備していたものを運び出して *priores fossas explent, **一番前の堀を埋めている間に、 *diutius in his rebus administrandis morati **これらの事に従事することに、より長く妨げられて、 *prius suos discessisse cognoverunt quam munitionibus adpropinquarent. **塁壁に近づくよりも前に味方（＝来援軍）が退去したことを知ったのだ。 *Ita re infecta in oppidum reverterunt. **こうして、事は達成されていないものの、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]に引き返した。 ===83節=== '''ウェルカッスィウェッラウヌスが兵6万を率いて急所の丘へ向かう''' *①　Bis magno cum detrimento repulsi Galli **大きな損害とともに二度も撃退されたガッリア人たちは、 *quid agant consulunt; **何をなすべきかを協議した。 *locorum peritos adhibent; **（その）土地に熟知した者たちを招いた。 *ex his superiorum castrorum situs munitionesque cognoscunt. **この者たちから、（ローマ勢の）高いところの陣営の位置や塁壁を調べ上げた。 *②　Erat a septentrionibus collis, **（アレスィアの）北方に丘陵があって、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：これは現在のレア山 le Mont R&eacute;a であると思われ、山頂にはメネルー＝ル＝ピトワ村<ref>[[w:fr:Ménétreux-le-Pitois]]や[http://maps.google.fr/maps?f=q&hl=fr&geocode=&q=m%C3%A9n%C3%A9treux+le+pitois&sll=42.423457,8.789063&sspn=23.611541,40.957031&ie=UTF8&t=h&hq=&hnear=M%C3%A9n%C3%A9treux-le-Pitois,+C%C3%B4te-d'Or,+Bourgogne&ll=47.55475,4.460106&spn=0.018507,0.010042&z=15 Google map]などを参照。</ref>がある。）</span> *quem propter magnitudinem circuitus **その周囲の大きさのために、 *opere circumplecti non potuerant nostri, **我が方（ローマ勢）は、堡塁により囲い込むことができずにいた。 *necessarioque<ref>-que はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> paene iniquo loco et leniter<ref>leniter はπ系写本の記述で、α系･ρ系写本では leviter となっている。</ref> declivi castra fecerunt<ref>fecerunt はα系写本の記述で、β系写本では fecerant となっている。</ref>. **やむをえず、ほとんど不利でゆるやかに傾斜した地点に陣営を造った。 *③　Haec C.(Gaius) Antistius Reginus et C.(Gaius) Caninius Rebilus legati **これを、ガーイウス・アンティスティウス・レーギーヌスとガイウス・カニニウス・レビルス [[w:レガトゥス|両副官]]が **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：''[[w:fr:Caius Antistius Reginus|Gaius Antistius Reginus]]'' は[[ガリア戦記_第6巻#1節|第6巻1節]]で既出。[[#90節|90節]]で後出。）</span> *cum duabus legionibus obtinebant. **2個軍団とともに占めていた。 *④　Cognitis per exploratores regionibus duces hostium **敵方の将帥たちは、偵察者たちを通じて一帯を調べ上げて、 *LX(sexaginta) milia ex omni numero deligunt **総員のうちから6万名を選抜した。 *earum civitatum quae maximam virtutis opinionem habebant; **武勇において大きな評判を得ている部族のうち（から選抜した）。 *⑤　quid quoque pacto agi placeat, occulte inter se constituunt; **何が、どんな方法で行なわれるのがよいか、互いに密かに取り決めた。 *adeundi tempus definiunt, cum meridie<ref>meridie は中世の写本(ω)の記述であるが、近世の写本(ς)では meridies となっている。</ref> esse videatur. **正午であると思われる頃を突撃する時と定めた。 *⑥　His copiis Vercassivellaunum Arvernum, **この軍勢を、[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]のウェルカッスィウェッラウヌス、 *unum ex quattuor ducibus, propinquum [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorigis]], praeficiunt. **（すなわち）4人の将帥たちの1人で、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]の親族である者に、指揮させた。 *⑦　Ille ex castris prima vigilia egressus **彼（ウェルカッスィウェッラウヌス）は、陣営から第一夜警時に進発して、 *prope confecto sub lucem itinere **夜明け前にほぼ行軍が成し遂げられて、 *post montem se occultavit **山の後ろに身を隠して、 *militesque ex nocturno labore sese reficere iussit. **兵士たちに夜間の疲労を回復しておくことを命じた。 *⑧　Cum iam meridies adpropinquare videretur, **すでに正午に近付いていると思われたときに、 *ad ea castra, quae supra demonstravimus, contendit; **前に述べた陣営のところへ急いだ。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：本節②項を参照。）</span> *eodemque tempore equitatus ad campestres munitiones accedere **同時に（ガッリア来援軍の）[[w:騎兵隊|騎兵隊]]が平地の（ローマ勢の）塁壁のところへ近付き、 *et reliquae copiae pro castris sese ostendere coeperunt. **残りの軍勢が陣営の前に姿を現わし始めた。 ===84節=== '''ウェルキンゲトリークスらアレスィア籠城軍も善戦する''' *①　[[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] ex arce [[w:la:Alesia|Alesiae]] suos conspicatus ex oppido egreditur; **[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は、[[w:アレシア|アレスィア]]の高台から味方を望見して、[[w:オッピドゥム|城塞都市]]から進発した。 *a castris<ref>a castris はβ系写本の記述で、α系写本では単に castris となっている。</ref>, longurios, musculos, falces **陣営から、長い竿、小屋、破城鎌や、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：falx「破城鎌」については、[[ガリア戦記 第5巻#42節|第5巻42節]]を参照。）</span> *reliquaque quae eruptionis causa paraverat profert. **（塁壁を）突破するために準備していたほかのものを運び出した。 *②　Pugnatur uno tempore omnibus locis atque omnia temptantur; **一時にあらゆる場所で戦われて、あらゆることが試みられた。 *quae minime visa pars firma est, huc concurritur. **あまり堅固ではないと思われる部分、ここへ襲いかかった。 *③　Romanorum manus tantis munitionibus distinetur **ローマ人の手勢は、これほどの（長大な）塁壁により離して置かれていて、 *nec facile pluribus locis occurrit. **より多くの場所には容易に駆け付けられなかった。 *④　Multum ad terrendos nostros valet clamor qui post tergum pugnantibus exstitit, **戦っている者たちの背後で生じた雄叫びは、我が方（ローマ勢）を怖れさせるために大いに力があった。 *quod suum periculum in aliena vident virtute<ref>virtute「武勇」 はβ系写本の記述で、α系写本では salute「安全」 となっている。</ref> constare; **というのは、自分たち（ローマ勢）の危険が他人（ガッリア勢）の武勇に依拠していると思ったから。 *omnia enim plerumque, quae absunt, vehementius hominum mentes perturbant. **なぜなら（そこに）不在であるものすべてはたいてい、人間の心を激しく混乱させるものであったからである。 ===85節=== '''ウェルカッスィウェッラウヌスが急所の丘を攻める''' *①　Caesar idoneum locum nactus **カエサルは適当な場所を得て， *quid quaque in<ref>quaque in はβ系写本の記述で、α系写本では qua ex となっている。</ref> parte geratur cognoscit; *何が各方面でなされているのかを認識した。 *laborantibus submittit. **苦戦している者たちに（援兵を）派遣した。 *②　Utrisque ad animum occurrit unum esse illud tempus, quo maxime contendi conveniat: **双方にとって、最も雌雄を決するべきはこの時のみであるということが、心に生じた。 *③　Galli, nisi perfregerint munitiones, de omni salute desperant; **ガッリア人たちは、（ローマ人の）塁壁を突破しない限り、あらゆる身の安全に絶望することになる。 *Romani, si rem obtinuerint, finem laborum omnium exspectant. **ローマ人は、もし事を成就したら、すべての労苦の終わるということを期待した。 *④　Maxime ad superiores munitiones laboratur, quo [[w:la:Vercassivellaunus|Vercassivellaunum]] missum demonstravimus. **ウェルカッスィウェッラウヌスが派遣されたと既述した、より高い塁壁の辺りで（ローマ勢は）とりわけ苦戦した。 *Iniquum loci ad declivitatem fastigium magnum habet momentum. **けわしい地形の不利な傾斜が（ローマ勢にとって）大きな影響力を持った。 *⑤　Alii tela coniciunt, alii testudine facta subeunt; **（ガッリア勢の）ある者は飛び道具を投げやって、ある者は[[w:テストゥド|亀甲陣形]]を形成して突き進んだ。 *defatigatis invicem integri succedunt. **疲労させられた者たちに対しては、新手の者たちが交代した。 *⑥　Agger ab universis in munitionem coniectus **土が総勢により（ローマ人の）塁壁に投じられて、 *et ascensum dat Gallis **ガッリア人たちに登り道を与えもしたし、 *et ea, quae in terra occultaverant Romani, contegit; **ローマ人たちが地中に隠しておいたもの（障害物）を埋め込んでしまった。 *nec iam arma nostris nec vires suppetunt. **我が方（ローマ勢）には、もはや武器も活力も十分になかった。 ===86節=== '''危急存亡の秋、両軍の苦闘''' *①　His rebus cognitis **これらの事態を知って、 *Caesar [[w:la:Titus Labienus|Labienum]] cum cohortibus sex subsidio laborantibus mittit; **カエサルは、[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ラビエーヌス]]を6個<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>とともに援兵として苦戦している者たちへ派遣した。 *②　imperat, si sustinere non possit<ref>possit はχ系･B･M･S･β系写本の記述で、L･N写本では posset となっている。</ref>, deductis cohortibus eruptione pugnaret<ref>pugnaret はα系写本の記述で、β系写本では pugnet となっている。</ref>; **もし（塁壁の防衛が）持ちこたえられなかったならば、諸大隊を引率して突撃によって戦うように、と命令していた。 *id nisi necessario ne faciat. **それは、やむをえないのでなければ行なわないように（と命じていた）。 *③　Ipse adit reliquos, cohortatur ne labori succumbant; **（カエサル）自身は、ほかの者たちを訪れて、労苦に屈服しないようにと鼓舞した。 *omnium superiorum dimicationum fructum in eo die atque hora docet consistere. **これまでのあらゆる奮闘の結実がこの日、この時にかかっていることを説いた。 *④　Interiores desperatis campestribus locis propter magnitudinem munitionum **（アレスィアに包囲されている）内側の者たちは、塁壁の大規模さのために、平坦な地点（での突破）を断念して、 *loca praerupta ex ascensu temptant; **けわしい場所を登り坂から攻撃してみた。 *huc ea quae paraverant conferunt. **ここに、準備していたものを運び集めた。 *⑤　Multitudine telorum ex turribus propugnantes deturbant, **たくさんの飛び道具によって、防戦している者たちを櫓から駆逐した。 *aggere et cratibus fossas explent, **土砂や柴で堀を埋めて、 *falcibus vallum ac loricam rescindunt. **破城鎌によって防柵や胸壁を切り裂いた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：falx「破城鎌」については、[[ガリア戦記 第5巻#42節|第5巻42節]]を参照。）</span> ===87節=== '''カエサルの救援、ラビエーヌスの作戦''' *①　Mittit primo<ref>primo はφ系･ρ系写本の記述で、χ系･π系写本では primum となっている。</ref> [[w:la:Decimus Iunius Brutus Albinus|Brutum adulescentem]] cum cohortibus Caesar, **カエサルは、初めに[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス|青年ブルトゥス]]を諸<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>とともに派遣して、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：デキムス・ブルトゥスには[[ガリア戦記 第3巻#14節|第3巻14節]]で艦隊を、本巻[[#9節|9節]]②項では騎兵隊を指揮させている。）</span> *post cum aliis C.(Gaium) Fabium legatum; **後に副官のガイウス・ファビウスをほかの隊とともに（派遣した）。 *postremo ipse, cum vehementius pugnaretur, **最後には（カエサル）自身が、激しく戦われていたので、 *integros subsidio adducit. **新手の者たちを援兵として率いて行った。 *②　Restituto proelio ac repulsis hostibus **戦況が回復され、敵方が撃退されると、 *eo quo Labienum miserat contendit; **ラビエーヌスを派遣していたところに急いだ。 *cohortes IIII(quattuor) ex proximo castello deducit, **近隣の砦から4個歩兵大隊を引き出して、 *equitum partem se<ref>se はβ系写本の記述で、α系写本にはない。</ref> sequi, **[[w:騎兵|騎兵]]のある一部には、自らに随行することを、 *partem circumire exteriores munitiones et ab<ref>ab はα系写本の記述で、β系写本では a となっている。</ref> tergo hostes adoriri iubet. **別の一部には、外側の塁壁を取り囲んで、敵方を背後から襲撃することを命じた。 *③　Labienus, postquam neque aggeres neque fossae vim hostium sustinere poterant, **ラビエーヌスは、土塁も堀も敵方の武力に持ちこたえることができなかった後で、 *coactis una XL(quadraginta) cohortibus, quas ex proximis praesidiis deductas fors obtulit, **近隣の宿営地から、はからずも引き出しておいた40個歩兵大隊を集結させて、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：この数は、写本によって異なり、モイゼルらは undecim「11個」と提案している。）</span> *Caesarem per nuntios facit certiorem, quid faciendum existimet. **何がなされるべきと考えたのかを、カエサルに伝令を通じて報告した。 *Accelerat Caesar, ut proelio intersit. **カエサルは、戦闘（の場）に居合わせるように急いで行った。 ===88節=== '''雌雄決し、ガッリア来援軍が敗走''' *①　Eius adventu ex colore vestitus cognito, quo insigni in proeliis uti consuerat, **彼（カエサル）の到来が、（彼が）戦闘において目印として用いるのが常であった衣服の色から認識され、 **:<span style="color:#009900;">（訳注：カエサルは、真紅の外套を着用していたようである。）</span> *turmisque equitum et cohortibus visis quas se sequi iusserat, **（カエサルが）自らに随行することを命じていた諸<ruby><rb>[[w:騎兵|騎兵]]小隊</rb><rp>（</rp><rt>トゥルマ</rt><rp>）</rp></ruby>や諸<ruby><rb>[[w:コホルス|歩兵大隊]]</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>が望見されて、 *ut de locis superioribus haec declivia et devexa cernebantur, **（ウェルカッスィウェッラウヌスらが派遣された）高地から、これらの斜面や急坂が見分けられたので、 *hostes proelium committunt. **敵方（ガッリア勢）は戦端を開いた。 *②　Utrimque clamore sublato **（ガッリア来援軍とアレスィア籠城軍の）双方から雄叫びが上げられて、 *excipit rursus ex vallo atque omnibus munitionibus clamor. **さらに、防柵やすべての塁壁から（ローマ勢の）雄叫びが続いた。 *Nostri omissis pilis gladiis rem gerunt. **我が方（ローマ勢）は<ruby><rb>[[w:ピルム|投槍]]</rb><rp>（</rp><rt>ピルム</rt><rp>）</rp></ruby>を放棄して、<ruby><rb>[[w:グラディウス (武器)|長剣]]</rb><rp>（</rp><rt>グラディウス</rt><rp>）</rp></ruby>で合戦した。 *③　Repente post tergum equitatus cernitur; **不意に（ガッリア勢の）背後に（ローマ勢の）騎兵隊が見分けられた。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：87節②項で、カエサルは騎兵隊に外壁を迂回して敵を背後から襲撃するように命じていた。）</span> *cohortes aliae adpropinquant. **別の諸<ruby><rb>歩兵大隊</rb><rp>（</rp><rt>コホルス</rt><rp>）</rp></ruby>も接近して来た。 *Hostes terga vertunt; **敵方（ガッリア勢）は、（ローマ勢に）背を向けた。 *fugientibus equites occurrunt. **逃げる者たち（ガッリア勢）を（ローマ勢の）騎兵たちが追撃した。 *Fit magna caedes. **大虐殺が起こった。 *④　Sedullus, dux et princeps Lemovicum, occiditur; **レモウィケス族の将帥で領袖であるセドゥッルスが斃された。 *[[w:la:Vercassivellaunus|Vercassivellaunus]] Arvernus vivus in fuga comprehenditur; **[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]のウェルカッスィウェッラウヌスは逃亡中に生きたまま捕らえられた。 *signa militaria LXXIIII(septuaginta quattuor) ad Caesarem referuntur; **（ガッリア勢の）74本の軍旗がカエサルのところへ運んで来られた。 *pauci ex tanto numero se incolumes<ref>se incolumes はα系写本の記述で、β系写本では incolumes se となっている。</ref> in castra recipiunt. **これほどの兵数のうち、わずかな者たち（だけ）が無傷のまま陣営に退却した。 *⑤　Conspicati ex oppido caedem et fugam suorum **（アレスィアの）[[w:オッピドゥム|城塞都市]]から味方の虐殺や逃亡を視認した者たちは、 *desperata salute copias a munitionibus reducunt. **身の安全に絶望して、軍勢を塁壁から（城塞都市に）呼び戻した。 *⑥　Fit protinus hac re audita ex castris Gallorum fuga. **この事態が聞かれるとただちに、（来援に来ていた）ガッリア人たちの陣営から逃亡が生じた。 *Quodnisi crebris subsidiis ac totius diei labore milites essent defessi, **もし、たびたびの（味方への）支援や一日中の働きにより兵士たちが疲れ果てていなかったならば、 *omnes hostium copiae deleri potuissent. **敵方（ガッリア来援軍）の全軍勢が壊滅させられることが可能であっただろう。 *⑦　De media nocte missus equitatus novissimum agmen consequitur; **真夜中の頃に、派遣されていた（ローマ勢の）騎兵隊が（ガッリア勢の）後衛に追いついて、 *magnus numerus capitur atque interficitur; **（ガッリア勢の）大多数が捕らえられ、かつ殺戮された。 *reliqui ex fuga in civitates discedunt. **（ガッリア来援軍の）残りの者たちは、逃亡して諸部族のところに逃げのびた。 ==ガッリア同盟軍主力の降伏== ===89節=== [[画像:Vercingétorix se rend à César 1886 HPMotte.jpg|thumb|right|330px|「カエサルの陣営に投降するウェルキンゲトリークス」<br>“Vercingétorix se rendant au camp de César”、<br>アンリ＝ポール・モット（[[w:fr:Henri-Paul_Motte|Henri-Paul Motte]]）画、1886年。<br>[[w:ル・ピュイ＝アン＝ヴレ|ル・ピュイ=アン=ヴレ]]のクロザティエ美術館（[[w:fr:Musée Crozatier au Puy-en-Velay|Musée Crozatier]] au [[w:fr:Le Puy-en-Velay|Puy-en-Velay]]）蔵。]] [[画像:Lionel Royer - Vercingetorix Throwing down His Weapons at the feet of Julius Caesar.jpg|thumb|right|330px|「ウェルキンゲトリークスが彼の武器をユリウス・カエサルの足元に投げ捨てる」“Vercingétorix jette ses armes aux pieds de Jules César”、リオネル＝ノエル・ロワイエ（[[w:fr:Lionel Royer|Lionel-Noël Royer]]） 画、1899年。[[w:ル・ピュイ＝アン＝ヴレ|ル・ピュイ=アン=ヴレ]]のクロザティエ美術館（[[w:fr:Musée Crozatier au Puy-en-Velay|Musée Crozatier]] au [[w:fr:Le Puy-en-Velay|Puy-en-Velay]]）蔵。]] [[画像:Coin_Vercingetorix.jpg|thumb|right|300px|ローマがBC48年に発行した[[w:デナリウス|デナリウス銀貨]]。ウェルキンゲトリークスの横顔が刻まれているとも言われ、[[w:マメルティヌスの牢獄|トゥッリアヌム牢獄]]に虜囚となっているかつてのガッリアの盟主を見せしめにしたものとも考えられる。彼はBC46年に処刑されたが、カエサルもBC44年に暗殺された。]] '''ウェルキンゲトリークスとアレスィア籠城軍の降伏''' *①　Postero die [[w:la:Vercingetorix|Vercingetorix]] concilio convocato **（来援軍が敗走した）翌日に、[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]は会合を召集して、 *id bellum se suscepisse<ref>se suscepisse はα系写本の記述で、β系写本では suscepisse se となっている。</ref> **この戦争を引き受けたことは *non suarum necessitatum<ref>necessitatum はχ系･S･L･N･β系写本の記述で、B･M写本では necessitatium となっている。</ref>, sed communis libertatis causa demonstrat, **自らの（野心の）必要性からではなく、（ガッリア）共通の自由のためだ、と明言した。 *②　et quoniam sit fortunae cedendum, **運命には従うべきものなのであるから、 *ad utramque rem se illis offerre, **（敗軍の将として、以下の）どちらの事にも、自ら（の処遇）を彼ら（ガッリア人たち）に委ねよう。 *seu morte sua Romanis satisfacere **あるいは（ウェルキンゲトリークス）自らの死によってローマ人たちに償うこと（を欲する）にせよ、 *seu vivum tradere velint. **あるいは生きたまま（ローマ人たちに）引き渡すことを欲するにせよ、と。 *③　Mittuntur de his rebus ad Caesarem legati. **これらの事柄について、カエサルのところへ使節たちが遣わされた。 *Iubet arma tradi, principes produci. **（カエサルは）武器が引き渡されること、領袖たちが連行されて来ることを命じた。 *④　Ipse in munitione pro castris consedit; **（カエサル）自身は、陣営の前の塁壁のところに腰掛けた。 *eo duces producuntur. **そこに（アレスィアに籠城していた）将帥たちが連行されて来た。 *Vercingetorix deditur, arma proiciuntur. **ウェルキンゲトリークスが引き渡されて、武器が投げ捨てられた。 *⑤　Reservatis [[w:la:Haedui|Haeduis]] atque Arvernis, **（カエサルは）[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]と[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]（の将兵たち）を保持しておいた。 *si per eos civitates reciperare<ref>reciperare はχ系･B¹･S･U写本の記述で、B^c･M･L･N･π系･R写本では recuperare となっている。</ref> posset, **彼らによって両部族国家を（同盟国として）回復できないだろうかと（考えたのだ）。 *ex reliquis captivis toto exercitui capita singula praedae nomine distribuit. **残りの（諸部族の）捕虜たちから、全軍（のローマ人）に一名ずつを戦利品という名目で分配した。 ===90節=== [[画像:Autun_porte_Saint-André.JPG|thumb|right|300px|[[w:オータン|オータン市]]に遺されたローマ時代からの聖アンドレ門。[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]を首邑としていた[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]は、ローマ帝政初期に東方の平地に移り、「[[w:アウグストゥス|アウグストゥス]]の砦」を意味するアウグストドゥーヌム（[[w:la:Augustodunum|Augustodunum]]）を建設して首邑とした。これが現在のオータン（Autun）となっている。]] [[画像:Clermont_vu_de_Montjuzet.JPG|thumb|right|300px|[[w:クレルモン＝フェラン|クレルモン＝フェラン市]]の街並み。ローマに降伏した[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]は、後に首邑のゲルゴウィアを廃城とされ、北方の平野にあるネメトゥム（Nemetum）に移住させられた。帝政初期に[[w:アウグストゥス|アウグストゥス]]に由来するアウグストネメトゥム（[[w:la:Augustonemetum|Augustonemetum]]）に改称して、[[w:クレルモン教会会議|クレルモン教会会議]]が開かれるなど宗教的中心地として栄え、現在のクレルモン＝フェランに至る。]] '''ハエドゥイー族とアルウェルニー族の降伏、諸軍団の冬営''' *①　His rebus confectis in [[w:la:Haedui|Haeduos]] proficiscitur; **これらの事が成し遂げられて、（カエサルは）[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]のところに出発した。 *civitatem recipit. **同部族を（同盟国として）回復した。 *②　Eo legati ab Arvernis missi: **そこに、[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]から使節たちが遣わされて来て、 *quae imperaret, se facturos pollicentur. **自分たちは（カエサルが）命令したことを行なうであろう、と約束した。 *Imperat magnum numerum obsidum. **（カエサルは）多数の人質（の供出）を命令した。 *③　Legiones in hiberna mittit. **（カエサルは）諸[[w:ローマ軍団|軍団]]を冬営地に派遣した。 *Captivorum circiter XX(viginti) milia Haeduis Arvernisque reddit. **捕虜たち約2万人をハエドゥイー族とアルウェルニー族に返還した。 *④　[[w:la:Titus Labienus|T.<small>(Titum)</small> Labienum]] duabus cum<ref>duabus cum はχ系･B･M･S写本の記述で、L･N･β系写本では cum duabus となっている。</ref> legionibus et equitatu in Sequanos proficisci iubet; **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・ラビエーヌス]]を2個軍団および[[w:騎兵|騎兵隊]]とともにセクアニ族のところに出発することを命じた。 *huic M.<small>(Marcum)</small> Sempronium Rutilum attribuit. **彼には、マルクス・[[w:センプロニウス氏族|センプロニウス]]・ルティルスを付属させた。 *⑤　C.<small>(Gaium)</small> Fabium legatum et L.<small>(Lucium)</small> Minucium Basilum cum legionibus duabus in Remis conlocat, **副官 ガーイウス・ファビウスとルキウス・ミヌキウス・バスィルスを2個軍団とともにレーミー族のところに配置した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：バスィルスは[[ガリア戦記 第6巻#29節|第6巻29節]]で騎兵隊を指揮した。）</span> *ne quam ab<ref>ab はφ系写本の記述で、χ系･β系写本では a となっている。</ref> finitimis Bellovacis calamitatem accipiant. **（レーミー族が）近隣のベッロウァキ族から何らかの災禍を蒙らないようにしたのである。 *⑥　C.<small>(Gaium)</small> Antistium Reginum in Ambivaretos, **ガーイウス・アンティスティウス・レーギーヌスをアンビウァレティ族のところに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：''[[w:fr:Caius Antistius Reginus|Gaius Antistius Reginus]]'' は[[ガリア戦記_第6巻#1節|第6巻1節]]、[[#83節|本巻83節]]で既出。）</span> *T.<small>(Titum)</small> Sextium in Bituriges, **ティトゥス・セクスティウスをビトゥリゲース族のところに、 **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：[[w:en:Titus Sextius|Titus Sextius]] も[[ガリア戦記_第6巻#1節|第6巻1節]]で既出。第6巻の年からカエサルの副官、<br>　　　　　[[w:三頭政治#第二回三頭政治|第二回三頭政治]]では[[w:アフリカ属州|アフリカ属州]]の総督を務め、[[w:マルクス・アエミリウス・レピドゥス|レピドゥス]]に引き継ぐ。） *C.<small>(Gaium)</small> Caninium Rebilum in Rutenos cum singulis legionibus mittit. **ガーイウス・カニニウス・レビルスをルテーニー族のところに、それぞれ1個軍団とともに派遣した。 *⑦　[[w:la:Quintus Tullius Cicero|Q.<small>(Quintum)</small> Tullium Ciceronem]] et P.<small>(Publium)</small> Sulpicium **[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クィーントゥス・トゥッリウス・キケロー]]とプーブリウス・スルピキウス（・ルーフス）を **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注：カエサルの副官 ''[[w:en:Sulpicia_gens#Sulpicii_Rufi|Publius Sulpicius Rufus]] は、<br>　　　　[[ガリア戦記_第4巻#22節|第4巻22節]]で既述。[[内乱記_第1巻#74節|『内乱記』第1巻74節]]でも言及される。<br>　　　　[[w:紀元前48年|BC48年]]に[[w:プラエトル|法務官]]、[[w:紀元前42年|BC42年]]に[[w:ケンソル|監察官]]に任官する。）</span> *[[w:la:Cabillonum|Cavilloni]]<ref>Cavilloni はβ系写本の記述で、α系写本などでは Cabilloni となっている。</ref> et [[w:la:Matisco|Matiscone]] in Haeduis ad Ararim rei frumentariae causa conlocat. **ハエドゥイー族のところのアラル川沿いのカウィッロヌムとマティスコに、糧秣調達のために配置した。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：カウィッロヌムは現在の[[w:シャロン＝スュル＝ソーヌ|シャロン＝スュル＝ソーヌ]]、マティスコは現在の[[w:マコン|マコン]]。）</span> *Ipse [[w:la:Bibracte|Bibracte]] hiemare constituit. **（カエサル）自身は、[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]で冬営することを決めた。 *⑧　His litteris<ref>his litteris「これらが書簡により（知られると）」はα系写本の記述で、β系写本では huius anni rebus「この年の事績が（知られると）」と異なっており、huius anni rebus <ex Caesaris> litteris「この年の事績が＜カエサルの＞書簡により（知られると）」 などと修正提案されている。」</ref> cognitis Romae dierum viginti supplicatio redditur. **これらが（カエサルの）書簡により知られると、ローマで20日間の感謝祭が許された。 **:<span style="color:#009900;">（訳注：[[ガリア戦記 第2巻#35節|第2巻35節]]では、かつてない15日間の感謝祭が決議されたが、今回はそれを超えるものであった。）</span> ---- *<span style="background-color:#99ff99;">「ガリア戦記 第7巻」了。「[[ガリア戦記 第8巻]]」へ続く。</span> ==脚注== <references /> ==参考リンク== '''ウィキペディア英語版など''' *'''[[w:en:Category:Tribes of ancient Gaul|Category:Tribes of ancient Gaul]]'''（'''[[w:Category:ガリアの部族|Category:ガリアの部族]]'''）- [[w:fr:Catégorie:Personnalité gauloise|fr:Catégorie:Personnalité gauloise]] **[[w:en:Allobroges|Allobroges]]（アッロブロゲス族） **'''[[w:en:Arverni|Arverni]]'''（'''[[w:アルウェルニ族|アルウェルニー族]]'''） **:'''[[w:en:Vercingetorix|Vercingetorix]]'''（'''[[w:ウェルキンゲトリクス|ウェルキンゲトリークス]]'''）- '''<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Vercingetorix|la:Vercingetorix]]</span>''' **:[[w:fr:Celtillos|fr:Celtillos]]（ケルティッルス）；ウェルキンゲトリークスの父 **:[[w:fr:Gobannitio|fr:Gobannitio]]（ゴバンニティオ）；ウェルキンゲトリークスのおじ **:[[w:en:Vercassivellaunos|Vercassivellaunos]]（ウェルカッスィウェッラウヌス） - <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Vercassivellaunus|la:Vercassivellaunus]]</span> **:Critognatus（クリトグナトゥス）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Critognatus|la:Critognatus]]</span> **[[w:en:Atrebates|Atrebates]]（アトレバテス族） **:[[w:en:Commius|Commius]]（[[w:コンミウス|コンミウス]]）：ガッリアとブリタンニアにおけるアトレバテス族の王 **[[w:en:Aedui|Aedui]]（[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]）- '''<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Haedui|la:Haedui]]</span>'''；ガッリア中部の有力部族 - [[w:fr:Éduens|fr:Éduens]] ＜[[w:fr:Catégorie:Éduens|fr:Catégorie:Éduens]] **:[[w:en:Convictolitavis|Convictolitavis]]（コンウィクトリタウィス）- [[w:fr:Convictolitavis|fr:Convictolitavis]] **:[[w:fr:Cotos|fr:Cotos]]（コトゥス） **:[[w:fr:Litaviccos|fr:Litaviccos]]（リタウィックス） **:エポレドリクス - <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Eporedorix|la:Eporedorix]]</span> **:ウィリドマルス **[[w:en:Andes (Andecavi)|Andes (Andecavi)]]（アンデス族）；現在の[[w:アンジェ|アンジェ]]（Angers）周辺の部族 **[[w:en:Aulerci|Aulerci]]（アウレルキ族）；現在のフランス北西部に居住していた部族連合 **[[w:en:Bellovaci|Bellovaci]]（ベッロウァキ族） **[[w:en:Bituriges|Bituriges]]（ビトゥリゲース族）；現在の[[w:ブールジュ|ブールジュ]]（Bourges）周辺の部族。[[#5節|5節]]でガッリア同盟軍に寝返る。 **[[w:en:Boii|Boii]]（ボイイ族）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Boii|la:Boii]]</span>；[[w:ボヘミア|ボヘミア]]（[[w:la:Bohemia|la:Bohemia]]）から移住してきた部族 **Cadurci（カドゥルキー族）；現在の[[w:カオール|カオール]]（Cahors）周辺の部族 - [[w:fr:Cadurques|fr:Cadurques]] **:[[w:en:Lucterius|Lucterius]]（ルクテリウス）；カドゥルキー族の指導者、[[#5節|5節]]を参照。 **[[w:en:Carnutes|Carnutes]]（カルヌーテース族）；現在の[[w:シャルトル|シャルトル]]（Chartres）周辺の部族 **[[w:en:Gabali|Gabali]]（ガバリ族） **Haedui ⇒ Aedui **[[w:en:Helvii|Helvii]]（ヘルウィイ族）；ガッリア南部にいたローマの同盟部族 **[[w:en:Lemovices|Lemovices]]（レモウィケス族）；現在の[[w:リモージュ|リモージュ]]（Limoges）周辺の部族 **:[[w:en:Sedullos|Sedullos]]（セドゥッルス　Sedullus）；レモウィケス族の将帥・領袖 **[[w:en:Lingones|Lingones]]（リンゴネス族）- [[w:fr:Lingons|fr:Lingons]]；現在のラングル（[[w:en:Langres|Langres]]）周辺の部族 **[[w:en:Mandubii|Mandubii]]（マンドゥビイ族）；[[w:アレシア|アレスィア]]周辺にいた部族 **Nitiobroges（ニティオブロゲス族）- [[w:fr:Nitiobroges|fr:Nitiobroges]] **:[[w:fr:Ollovico|fr:Ollovico]]（オッロウィコ）；ローマ元老院から友人と呼ばれた王 **:[[w:fr:Teutomatos|fr:Teutomatos]]（テウトマトゥス）；王で、オッロウィコの子 **[[w:en:Parisii (Gaul)|Parisii (Gaul)]]（[[w:パリシイ族|パリスィイ族]]）；現在の[[w:パリ|パリ]]周辺の部族 **[[w:en:Pictones|Pictones]]（ピクトネス族）；現在の[[w:ポワチエ|ポワティエ]]（Poitiers）周辺の部族 **[[w:en:Remi|Remi]]（レーミー族） **[[w:en:Ruteni|Ruteni]]（ルテーニー族） **[[w:en:Segusiavi|Segusiavi]]（セグスィアウィ族） **[[w:en:Senones|Senones]]（セノネース族）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Senones|la:Senones]]</span>；現在の[[w:サン (ヨンヌ県)|サン]]（Sens）周辺の部族 ***[[w:en:Acco|Acco]]（アッコー） **[[w:en:Sequani|Sequani]]（セクアニ族） **[[w:en:Treveri|Treveri]]（トレウェリ族） **[[w:en:Turones|Turones]]（トゥロニ族／トゥロネス族）；現在の[[w:トゥール (アンドル＝エ＝ロワール県)|トゥール]]（Tours）周辺の部族 **[[w:en:Volcae|Volcae]]（ウォルカエ族） *<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Germani|la:Germani]]</span>（ゲルマニア人） *'''ガッリアの地名''' - '''[[w:la:Categoria:Urbes Franciae|la:Categoria:Urbes Franciae]]'''（フランスの都市） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Agedincum|la:Agedincum]]</span>（アゲディンクム）；現在の[[w:サンス|サンス]]（[[w:en:Sens|Sens]]） **[[w:en:Alesia_(city)|Alesia (city)]]（[[w:アレシア|アレスィア]]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Alesia|la:Alesia]]</span>：現在のアリーズ＝サント＝レーヌ（[[w:fr:Alise-Sainte-Reine|fr:Alise-Sainte-Reine]]） **:'''[[w:en:Battle_of_Alesia|Battle of Alesia]]'''（'''[[w:アレシアの戦い|アレスィアの戦い]]'''）- '''<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Alesiae_pugna|la:Alesiae pugna]]</span>''' **[[w:en:Avaricum|Avaricum]] ⇒ [[w:en:Bourges|Bourges]]（アウァーリクム - 現在の[[w:ブールジュ|ブールジュ]]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Avaricum_Biturigum|la:Avaricum Biturigum]]</span> **[[w:en:Bibracte|Bibracte]]（[[w:ビブラクテ|ビブラクテ]]） - <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Bibracte|la:Bibracte]]</span>：[[w:ハエドゥイ族|ハエドゥイー族]]の首邑。現在のボーヴレ山（[[w:fr:Mont_Beuvray|fr:Mont Beuvray]]）の山頂に位置していた。 **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Cabillonum|la:Cabillonum]]</span>（カビッロヌム／カウィッロヌム）- 現在の[[w:シャロン＝スュル＝ソーヌ|シャロン＝スュル＝ソーヌ]]（[[w:fr:Chalon-sur-Saône|fr:Chalon-sur-Saône]]） **[[w:en:Cenabum|Cenabum]]（ケナブム）- 現在の[[w:オルレアン|オルレアン]] - [[w:fr:Cenabum|fr:Cenabum]] **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Decetia|la:Decetia]]</span>（デケティア）- [[w:en:Decize|en:Decize]] - 現在のドスィーズ（ドシーズ）（[[w:fr:Decize|fr:Decize]]） **[[w:en:Gergovie|Gergovie]]（ゲルゴウィア）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Gergovia|la:Gergovia]]</span> **:'''[[w:en:Battle of Gergovia|Battle of Gergovia]]'''（'''[[w:ゲルゴウィアの戦い|ゲルゴウィアの戦い]]'''）- '''<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Obsidio Gergoviensis|la:Obsidio Gergoviensis]]</span>''' **[[w:en:Gorgobina|Gorgobina]]（ゴルゴビナ）；ボイイ族が定住した城塞都市。現在のサン＝パリズ＝ル＝シャテル（[[w:en:Saint-Parize-le-Châtel|Saint-Parize-le-Châtel]]）またはラ・ゲルシュ（[[w:en:La Guerche|La Guerche]]） **'''[[w:en:Lutetia|Lutetia]]'''（'''[[w:ルテティア|ルテティア]]'''／ルテキア）；[[w:パリシイ族|パリスィイ族]]の首邑、現在の[[w:パリ|パリ市]] - <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Lutetia|la:Lutetia]]</span> **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Matisco|la:Matisco]]</span>（マティスコ）；現在の[[w:マコン|マコン]]（Mâcon） **Metlosenum（メトロセドゥム／メティオセドゥム／メロドゥーヌム）；現在の[[w:ムラン|ムラン]] - <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Melodunum|la:Melodunum]]</span> **[[w:en:Narbonne|Narbonne]]（[[w:ナルボンヌ|ナルボンヌ]]；ラテン名ナルボ）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Narbo|la:Narbo]]</span>；ガッリア南部・地中海岸のローマの拠点 **[[w:en:Noviodunum|Noviodunum]]（ノウィオドゥーヌム）- 現在のヌン＝スュル＝ブーヴロン（[[w:en:Neung-sur-Beuvron|Neung-sur-Beuvron]]）と推定されている。従来はローヌ川沿いの[[w:サンセール|サンセール]]（[[w:en:Sancerre|Sancerre]]）が有力だった **[[w:en:Vellaunodunum|Vellaunodunum]]（ウェッラウノドゥーヌム）- [[w:fr:Vellaunodunum|fr:Vellaunodunum]]；現在のモンタルジ（[[w:en:Montargis|Montargis]]）やボーヌ＝ラ＝ロランド（[[w:en:Beaune-la-Rolande|Beaune-la-Rolande]]）、シャトー＝ランドン（[[w:en:Château-Landon|Château-Landon]]）などと推定されている **[[w:en:Vienne, Isère|Vienne, Isère]]（ヴィエンヌ；ラテン名ウィエンナ）- [[w:la:Vienna|la:Vienna]] *'''ガッリアの地形''' **Cevenna（ケウェンナ山地）：現在のセヴェンヌ山地（[[w:fr:Cévennes|fr:Cévennes]]・[[w:en:Cévennes|Cévennes]]） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Elaver|la:Elaver]]</span>（エラウェル川）：現在の[[w:アリエ川|アリエ川]]（[[w:fr:Allier (rivière)|fr:Allier (rivière)]]） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Liger|la:Liger]]</span>（リゲル川）：現在の[[w:ロワール川|ロワール川]]（[[w:fr:Loire (fleuve)|fr:Loire (fleuve)]]） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Rhenus|la:Rhenus]]</span>（レヌス川）：現在の[[w:ライン川|ライン川]]（[[w:fr:Rhin|fr:Rhin]]） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Rhodanus|la:Rhodanus]]</span>（ロダヌス川）：現在の[[w:ローヌ川|ローヌ川]]（[[w:fr:Rhône|fr:Rhône]]） **<span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Sequana|la:Sequana]]</span>（セクアナ川）：現在の[[w:セーヌ川|セーヌ川]]（[[w:fr:Seine|fr:Seine]]） *ローマ勢 **[[w:en:Mark_Antony|Mark Antony]]（[[w:マルクス・アントニウス|マルクス・'''アントニウス''']]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Marcus_Antonius|la:Marcus Antonius]]</span> **[[w:en:Decimus_Junius_Brutus_Albinus|Decimus Junius '''Brutus''' Albinus]]（[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス|デキムス・ユニウス・'''ブルトゥス'''・アルビヌス]]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Decimus_Iunius_Brutus_Albinus|Decimus Iunius Brutus Albinus]]</span>（[[#9節|9節]]） **[[w:en:Quintus Tullius Cicero|Quintus Tullius '''Cicero''']]（[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クィントゥス・トゥッリウス・'''キケロ''']]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Quintus Tullius Cicero|la:Quintus Tullius Cicero]]</span>：カエサルの副官 **Gaius '''Fabius'''（ガイウス・'''ファビウス'''）：カエサルの副官 **[[w:en:Titus Labienus|Titus '''Labienus''']]（[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・'''ラビエーヌス''']]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Titus Labienus|la:Titus Labienus]]</span>：カエサルの副官 **[[w:en:Trebonius|'''Trebonius''']]（[[w:ガイウス・トレボニウス|ガイウス・'''トレボニウス''']]）- <span style="background-color:#ffff00;">[[w:la:Gaius_Trebonius|la:Gaius Trebonius]]</span>：カエサルの副官 **[[w:en:Lucius Julius Caesar IV|Lucius Julius '''Caesar''' IV]]（ルキウス・ユリウス・'''カエサル'''4世）：総督カエサルの副官で、4代前の高祖父を共有する。BC64年に執政官を務めた。 *イタリア方面 **[[w:en:Cisalpine_Gaul|Cisalpine Gaul]]（[[w:ガリア・キサルピナ|ガッリア・キサルピーナ]]） - [[w:la:Gallia Cisalpina|la:Gallia Cisalpina]] **[[w:en:Populares|Populares]]（[[w:ポプラレス|ポプラレス]]；民衆派）- [[w:la:Populares|la:Populares]] **:[[w:en:Publius_Clodius_Pulcher|Publius Clodius Pulcher]]（[[w:プブリウス・クロディウス・プルケル|プブリウス・クロディウス・プルケル]]） - [[w:la:Publius_Clodius_Pulcher|la:Publius Clodius Pulcher]] **[[w:en:Optimates|Optimates]]（[[w:オプティマテス|オプティマテス]]；元老院派） **:[[w:en:Cicero|Cicero]]（[[w:マルクス・トゥッリウス・キケロ|マルクス・トゥッリウス・キケロ]]）- [[w:la:Marcus_Tullius_Cicero|la:Marcus Tullius Cicero]] **:[[w:en:Titus_Annius_Milo|Titus Annius Milo]]（ティトゥス・アンニウス・ミロ）- [[w:la:Titus_Annius_Milo|la:Titus Annius Milo]] **:[[w:en:Pompey|Pompey]]（[[w:グナエウス・ポンペイウス|グナエウス・ポンペイウス]]）- [[w:la:Gnaeus_Pompeius_Magnus|la:Gnaeus Pompeius Magnus]] 47tomwyoo0nq70b8iztd2ujijirlugp 0 34756 304265 293484 2026-10-04T11:11:57Z Iba.blue 90176 /* part２ 生命現象と物質 */ 304265 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校理科]]>[[高等学校生物]]>高等学校 生物 新課程の生物・旧課程生物共通です。 目次のタイトル・項目は、啓林館『高等学校　生物』【生物703】の教科書に合わせました。 {{進捗状況}} == part１ 生物の進化 == === Chapter１　生物の進化 === #[[高等学校　生物/生命の起源|生命の起源]]{{進捗|25%|2022-07-06}} #生物界の変遷と地球環境の変化 === Chapter２　有性生殖と遺伝的多様性 === # 有性生殖 # 遺伝子の多様な組み合わせ === Chapter３　進化の仕組み === #[[高等学校 生物/進化の証拠|進化の証拠]]{{進捗|100%|2022-11-15}} #[[高等学校 生物/突然変異と進化|突然変異と進化]] #[[高等学校 生物/進化の要因|進化の要因]]{{進捗|25%|2022-11-18}} === Chapter４　生物の系統 === # 生物の分類と系統 # ３ドメイン説 # 細菌（バクテリア）ドメイン # アーキア（古細菌）ドメイン # 真核生物ドメイン # 人類の起源と進化 == part２ 生命現象と物質 == === Chapter５　生命と物質 === # [[物質と細胞]] # 生命現象と蛋白質 === Chapter６　代謝 === # 代謝とエネルギー # 呼吸 # 光合成 == part３　遺伝情報の発現と発生 == === Chapter７　遺伝現象と物質 === # 遺伝情報の複製 # 遺伝子の発現 # 遺伝子の発現調節 === Chapter８　発生と遺伝子の発現 === # 動物'''の'''配偶子形成と受精 # 初期発生の過程 # 発生と遺伝子の発現 === Chapter９　バイオテクノロジー === # [[高等学校 生物/遺伝子を扱った技術|遺伝子を扱った技術]]{{進捗|25%|2022-11-26}} == part４ 生物の環境応答 == === Chapter１０　刺激の受容と反応 === # [[高等学校 生物/刺激の受容|刺激の受容]]{{進捗|75%|2022-9-26}} # [[高等学校 生物/神経|神経]]{{進捗|00%|2022-9-28}} # [[高等学校 生物/神経系|神経系]]{{進捗|100%|2022-11-20}} # [[高等学校 生物/効果器|効果器]]{{進捗|100%|2022-11-13}} === Chapter１１　動物の行動 === # [[高等学校 生物/生得的行動|生得的行動]]{{進捗|100%|2022-11-18}} # [[高等学校 生物/学習|学習]]{{進捗|100%|2022-11-14}} === Chapter１２　植物の環境応答 === # [[高等学校 生物/植物の生殖と発生|植物の生殖と発生]]{{進捗|25%|2022-11-16}} # [[高等学校 生物/発芽と成長|発芽と成長]]{{進捗|25%|2022-11-17}} == part５ 生態と環境 == === Chapter１３　'''個体群と生物群集''' === # [[高等学校 生物/個体群とその変動|個体群とその変動]]{{進捗|00%|2025-02-00}} # 種内関係 # 種間関係 === '''Chapter１４　生態系''' === # 生態系と物質生産 # 生態系と人間生活 ===== 【移動予定】 ===== *[[高等学校　生物/生態系|生態系]]{{進捗|75%|2022-7-09}} == 参考 == # [[高等学校　生物/いろいろな遺伝|いろいろな遺伝]]{{進捗|75%|2022-07-06}} [[カテゴリ:高等学校教育|生]] 71ppmgzcqwf303uw5wrne55vm7jzzs8 0 35109 304268 273257 2026-10-04T11:52:26Z Iba.blue 90176 /* 細胞膜 */ 304268 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]] > [[高等学校の学習]] >[[高等学校 生物基礎|生物基礎]] >[[高等学校 生物基礎/生物共通の単位（細胞）|生物共通の単位（細胞）]]</small> 本節では、細胞に関する学説と細胞に関する基本構造について学びます。 == 細胞 == === 細胞の研究の歴史（学説） === ※細胞に関する学説の人物は正式名称で押さえておきましょう。 [[ファイル:Hooke-microscope.png|thumb|right|250px|ロバート・フックの顕微鏡]] [[ファイル:RobertHookeMicrographia1665.jpg|thumb|right|250px|ロバート・フックによるコルクのスケッチ。]] 細胞は、１６６５年、イギリスの[[w:ロバート・フック|ロバート・フック]]によって発見されました。 彼は、自作の顕微鏡を用いて、軽くて弾力のあるコルクの薄片を観察したところ、 多数の中空の構造があることを知りました。それを修道院の小部屋(cell、セル)にみたて、'''細胞'''(cell)と呼びました。 彼が観察したのは、死んだ植物細胞の細胞壁（さいぼうへき、cell wall）でしたが、 その後、１６７４年、オランダの[[w:アントニ・ファン・レーウェンフック|アントニ・ファン・レーウェンフック]]により初めて生きた細菌の細胞が観察されました。 １９世紀に入ると、細胞と生命活動の関連性が気付かれ始めました。 まず１８３８年、ドイツの[[w:マティアス・ヤコブ・シュライデン|マティアス・ヤコブ・シュライデン]]が植物について、 翌１８３９年、ドイツの[[w:テオドール・シュワン|テオドール・シュワン]]が動物について、 「全ての生物は細胞から成り立つ」という'''細胞説'''(cell theory)を提唱しました。 さらに後、ドイツの[[w: ルードルフ・ルートヴィヒ・カール・フィルヒョウ|ルードルフ・ルートヴィヒ・カール・フィルヒョウ]]の「全ての細胞は他の細胞に由来する」という考えにより、細胞説は浸透していきました。 === 多様な細胞の大きさ === 細胞の大きさはそのほとんどがあまり肉眼では見えません。顕微鏡の発達によって観察出来る分解能が高まり、細胞の内部構造が徐々に明らかになっていきました。 細胞は生物の種類や体の部位によって様々な大きさで存在しています。 以下に顕微鏡の分解能と細胞などの大きさを挙げます。 #分解能（接近した２点を見分けることの出来る最小距離） <!--※例が多すぎても煩雑なだけなので、代表なものにとどめます。--> * 肉眼で観察できるもの (分解能: 約0.2mm ※1mm=10^-3m) ** 数m:ヒトの座骨神経 (長さ1m以上) ** 数cm:鶏の卵黄(約2.2cm) ** 数mm:蛙の卵 (約3mm)、ゾウリムシ(約0.2mm) *光学顕微鏡で観察できるもの (分解能: 約0.2μm ※1μm=10^-6m) ** 数μm:ヒトの卵 (約140μm)、ヒトの精子（約60μm）、ヒトの赤血球 (約7.5μm)、大腸菌 (約3μm) * 電子顕微鏡で観察できるもの (分解能: 約0.2nm ※1nm=10^-9m) ** 数nm:ＳＡＲＳコロナウイルスⅡ (直径80～220nm※ウイルスで細胞ではありません。)<ref>https://gigazine.net/news/20210711-weight-sars-cov-2-coronavirus/</ref> <pre> μ（マイクロ）1μｍ＝1,000分の1ｍｍ ｎ（ナノ）　　1ｎｍ＝1,000分の1μｍ </pre> <pre> 観察してみましょう！ ほほの内側の細胞は比較的簡単に観察出来ます。 ほほの内側を綿棒で軽くこすって、はがれた細胞を光学顕微鏡で観察してみましょう。 </pre> == 細胞の基本構造== <ref>以降、具体的な構造の仕組みは専門科目の[[高等学校 生物|生物]]で詳しく学習しますので、ここでは簡単に触れるだけにします。</ref> [[ファイル:Biological cell.svg|thumb|right|450px|'''典型的な動物細胞の模式図'''<br/>1.核小体、2.核、3.リボソーム、4.小胞体、5.粗面小胞体、6.ゴルジ体、7.細胞骨格、8.滑面小胞体、9.ミトコンドリア、10.液胞、11.細胞質基質、12.リソソーム、13.中心体]] [[ファイル:Plant_cell_structure_svg_labels.svg|thumb|right|450px|'''典型的な植物細胞の模式図'''<br/>a.原形質連絡、b.細胞膜、c.細胞壁、1.葉緑体（d.チラコイド膜、e.デンプン粒）、2.液胞、（f.液胞、g.液胞膜）、h.ミトコンドリア、i.ペルオキシソーム、j.細胞質、k.小さな膜小胞、l.粗面小胞体 、3.核（m.核膜孔、n.核膜、o.核小体）、p.リボソーム、q.滑面小胞体、r.ゴルジ小胞、s.ゴルジ体、t.繊維状の細胞骨格]] 生物の細胞には、核をもたない'''原核細胞'''と、核をもつ'''真核細胞'''とがあります。 細胞の見た目や働きは様々ですが、基本的な機能や構造は同じです。 細胞は'''核'''(かく、nucleus)と'''細胞質'''(さいぼうしつ、cytoplasm)、それらを囲む'''細胞膜'''(さいぼうまく、cell membrane)からなります。細胞膜に包まれた内部の物質のうちから核を除いた部分のことを細胞質といいます。 また、核と細胞質を合わせて'''原形質'''(げんけいしつ、protoplasm)とも呼びます。つまり、細胞膜に包まれた内部の物質のことを原形質といいます。よって原形質には核も含まれます。 細胞質には、核を始めとして、ミトコンドリアなど、様々な機能と構造をもつ小さな器官があり、これらを'''細胞小器官'''(さいぼうしょうきかん、organelle)と呼びます。 細胞小器官同士の間は、水・タンパク質などで満たされており、これを'''細胞質基質'''(さいぼうしつ きしつ、cytoplasmic matrix)と呼びます。この細胞質基質には、酵素などのタンパク質やアミノ酸、グルコースなどが含まれています。 === 細胞膜 === 細胞膜は'''動物と植物の両方にあります'''。細胞内外の物質の出入りのためにあります。 === 細胞壁 === 細胞壁は'''植物にしかありません。'''植物細胞内部を守るためにあります。 == 真核細胞 == === 核 === '''核'''は、1つの細胞が普通1つもっており、核の表面には'''核膜'''(かくまく、nuclear membrane)、核の内部に'''染色体(chromosome)'''があります。 「染色体」という名前の由来は酢酸カーミンや酢酸オルセイン液などで染色出来る現象からです。 「染色体」の間を'''核液'''(nuclear sap)が満たしています。 染色体は、'''DNA'''とタンパク質からなります。 {{コラム|核の働きを調べる実験| アメーバを核を含む部分と核を含まない部分とに切り分けると、核を含む部分は生き続けて増殖しますが、アメーバは切り分けたその部分に核がなかったらやがて死んでしまいます。 このように核は細胞の生存と増殖に必要です。核の性質を確かめる実験として、カサノリの接木実験が行われることがあります<ref>鈴木恵子 (2005)　 「図解入門 よくわかる高校生物の基本と仕組み」（[[秀和システム]]）p.12</ref>。 カサノリは、単細胞生物ですが、複雑な形態をもっています。そのため、[[細胞生物学]]や形態形成の研究において、モデル生物として利用されます。<ref>{{cite journal |last=Mandoli |first=DF |year=1998 |title=Elaboration of Body Plan and Phase Change during Development of Acetabularia: How Is the Complex Architecture of a Giant Unicell Built? |journal=Annual Review of Plant Physiology and Plant Molecular Biology |volume=49 |pages=173&ndash;198 |pmid=15012232 |doi=10.1146/annurev.arplant.49.1.173 }}</ref>。 カサノリは核が仮根にあり、傘や柄を切除しても仮根から再び植物体を再生させることが出来るため、形態形成の実験に用いるにも都合がいいとされています<ref name="good100">グッドウィン（1998）p.100</ref>。 カサノリの接木実験から、カサノリの核にはかさの形を決めるはたらきがあることがわかります。 }} === ミトコンドリア === '''ミトコンドリア'''(mitochondria)は動物と植物の細胞に存在し、長さ1μm～数μm、幅0.5μm程度の粒状の細胞小器官で、化学反応によって酸素を消費して有機物を分解しエネルギーを得る呼吸(respiration)を行います。 === 葉緑体 === '''葉緑体'''(chloroplast)は植物の細胞に存在し、直径5～10μm、厚さ2～3μmの凸レンズ形の器官で、光エネルギーを使って水と二酸化炭素から炭水化物を合成する'''光合成'''(photosynthesis)を行います。 また、葉緑体は'''クロロフィル'''（chlorophyll）という緑色の色素を含んでいます。葉緑体は、ミトコンドリアと同じように独自のＤＮＡを持っています。 === 液胞 === '''液胞'''(えきほう、vacuole)は主に植物細胞にみられ、物質を貯蔵したり浸透圧を調節したりします。 一重の液胞膜で包まれ、内部を'''細胞液'''(cell sap)が満たしています。 一部の植物細胞は'''アントシアン'''(anthocyan)と呼ばれる色素を含みます。 == 原核細胞 == 大腸菌などの[[w:細菌類|細菌類]]や、ユレモなどのシアノバクテリア([[w:ラン藻|ラン藻類]])の細胞は、核を持ちません。 これらの生物の細胞も染色体とそれに含まれるＤＮＡはもっていますが、それを包む核膜をもっていないので、核がありません。 このような、核のない細胞のことを'''原核細胞'''(prokaryotic cell)と呼びます。原核細胞は、真核細胞よりも小さいです。 また、原核細胞で出来た生物を'''原核生物'''(prokaryote)と呼びます。 シアノバクテリアは、ミトコンドリアと葉緑体を持たない原核生物ですが、光合成を行います。 == 脚注 == <references/> [[カテゴリ:生物学]] m0y0kawtdugc64fq1x2fqm11ywwrqu5 0 45683 304255 304232 2026-10-04T05:39:58Z ~2026-53216-21 92705 /* 種々の曲率 */ 304255 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t dl</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=dl</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を境界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>dl=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>dl=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。 ここで<math>I=dl^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の<math>(i, j)</math>成分と<math>(j, i)</math>成分を掛けて並べた行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ===勾配=== ===発散=== ===回転=== ===ラプラシアン=== ==空間積分== ===線積分=== ===面積分=== ===体積分=== ===ガウスの発散定理=== ===ストークスの定理=== ===グリーンの定理=== ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>M^1</math>、面積分を<math>M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] qvbcvygv5ir3a8ipv7gk1ppqkhv0qdg 304256 304255 2026-10-04T05:40:45Z ~2026-53216-21 92705 /* 曲面 */ 304256 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t dl</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=dl</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を境界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>dl=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>dl=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=dl^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の<math>(i, j)</math>成分と<math>(j, i)</math>成分を掛けて並べた行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ===勾配=== ===発散=== ===回転=== ===ラプラシアン=== ==空間積分== ===線積分=== ===面積分=== ===体積分=== ===ガウスの発散定理=== ===ストークスの定理=== ===グリーンの定理=== ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>M^1</math>、面積分を<math>M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] mbtacuyjm4xaqzaxt5l53592lyullm6 304257 304256 2026-10-04T08:51:51Z ~2026-53216-21 92705 /* 発展事項 */ 304257 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|数学|解析学|解析学基礎|frame=1}} {{wikipedia|ベクトル解析}} ここでは、ベクトル解析について解説する。[[物理数学I ベクトル解析]]も参照。 ==前提知識== ここでは、実数のみで考える。 ===ベクトル=== [[高等学校数学C/ベクトル]]、[[線型代数学/ベクトル]]、[[解析学基礎/ベクトル]]などを参照。本項では、矢印を付した表記（<math>\vec{a}</math>など）と太字斜体による表記（<math>\boldsymbol{x}</math>など）を混用する。 ===行列=== [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫]]及び[[線形代数学]]・[[線型代数学続論]]の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（<math>\mathbf{A}</math>など）で表記する。 ===多変数解析=== [[解析学基礎/多変数関数の微積分]]を参照。 ===領域=== <math>D\subset\mathbb{R}^n</math>と点<math>\boldsymbol{a}\in D</math>（位置ベクトル表記なので太文字斜体）に対し、集合<math>B_\varepsilon(\boldsymbol{a}) := \{ \boldsymbol{x} \in D \mid \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \|<\varepsilon \}</math>を点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開球'''という。不等号を<math>\leqq</math>に変えたときは開区間↔閉区間と同様に'''閉球'''と呼ぶ。このとき、<math>D</math>のように<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合であって<math>\varepsilon</math>-開球を含むものを点<math>\boldsymbol{a}</math>の'''<math>\varepsilon</math>-開近傍'''と呼ぶ。閉球を含むときは同様に'''閉近傍'''と呼ぶ。 <math>\forall \boldsymbol{a} \in U, \exist \varepsilon>0, B_\varepsilon(\boldsymbol{a})\subset U</math>を満たす<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>を'''開集合'''と呼び、<math>V=\mathbb{R}^n\setminus U</math>を'''閉集合'''と呼ぶ。 注意点として、開集合と閉集合は排反ではない。則ち「開集合且つ閉集合」である集合が存在し（例えば<math>\mathbb{R}, \varnothing</math>）、「開集合でも閉集合でもない」集合も存在する（例えば<math>[0, 1)</math>）。 <math>M\subset\mathbb{R}^n</math>を含む最小の閉集合を<math>M</math>の'''閉包'''と呼び、<math>M^-, \bar{M}, \mathrm{Cl}(M)</math>などと表す。例えば有理数の稠密性より<math>\mathbb{Q}^-=\mathbb{R}</math>である。 閉包の性質として「閉包=集合の内部と境界の和集合（<math>M^- = \mathrm{Int}(M) \cup \partial{M}</math>）」がある。 集合<math>S\subset\mathbb{R}^n</math>に対して以下を満たす<math>\mathbb{R}^n</math>上開集合の組<math>(G_1, G_2)</math>が'''とれない'''とき、 #<math>G_1 \cap S = \varnothing \land G_2 \cap S = \varnothing</math> #<math>S = (G_1 \cap S) \sqcup (G_2 \cap S)</math> 「<math>S</math>は'''連結'''である」または「<math>S</math>は'''連結集合'''」という（但し、<math>\sqcup</math>は[[w:非交和|非交和]]）。 空でない開連結集合を'''領域'''という。 実は、高校数学や1年次の解析学で扱ってきた「領域」はこの定義を満たしていないことが多かった。これは、「領域」の歴史的な用法では「条件の解集合」という意味であって開性や連結性を要求しなかったためである。しかし、本項を含めた以降に登場する数学ではこの定義を満たしていることが前提条件となる。なお、ややこしいことに「積分領域」は従来通り「その上で積分を行う集合」という緩い意味で使われることが多いので、区別が必要である。 ===右手系=== 三次元空間の正規直交基底を<math>(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)</math>と置く。螺子を<math>\boldsymbol{e}_1\to\boldsymbol{e}_2</math>の向きに回すと<math>\boldsymbol{e}_3</math>の正方向に進むように3つの軸をとった系を'''右手系'''という。負方向に進むようにとったものを'''左手系'''という。数学・物理に限らず理数系の約束事として、'''三次元空間は必ず右手系で考える'''という暗黙の了解が存在するので覚えておこう。 右手系・左手系は基底の一部または全ての符号を反転することで変換することができる。一つだけを反転する場合は'''鏡像変換'''、二つだけを反転する場合は'''半回転'''、全てを反転する場合は'''空間反転'''と呼ぶ。 外積の結果として得るベクトルは右手系・左手系のどちらを考えるかで向きが変わる。このように、右手系↔左手系の変換で向きが変わるベクトルを'''軸性ベクトル'''という。 系の取り方で向きが変わるということは基底の係数である'''成分は不変量'''である。つまり、観測者の動きにベクトルが追従し、このベクトルは「物理的な実体を有しているのではなく計算の都合上向きが定められた便宜的な(=観測者が勝手に決めた)ベクトル」ということである。そのため、軸性ベクトルは'''擬ベクトル'''（シュードベクトル）とも呼ばれる。 位置や速度、加速度のような右手系・左手系のどちらを考えても同じ向きを向くベクトルを'''極性ベクトル'''という。座標系を取り換えても向きが維持されるため'''成分は座標変換に応じて変化する'''。これは、「観測の仕方によって起こる現象は変わらない」ということである。つまり擬ベクトルに対し、極性ベクトルは'''物理的実体を有するベクトル'''である。 偶奇と同じように軸性・極性にも外積を通じた相互関係が存在する。 :(軸性)×(軸性)=(軸性) :(軸性)×(極性)=(極性) :(極性)×(極性)=(軸性) ==基礎事項== ===ベクトル関数=== 関数<math>\boldsymbol{f} (x) = \sum_{i} f_i(x) \boldsymbol{e}_i</math>を'''ベクトル（値）関数'''（vector-valued function, vector function）という。 ただし、各<math>\boldsymbol{e}_i</math>は各座標軸方向の単位ベクトルであり、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の定義域は各<math>f_i(x)</math>の定義域の積集合である。 ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>の極限は、 :<math>\lim_{x\to0} \boldsymbol{f}(x) = \begin{pmatrix} \lim_{x\to0} \cos x \\ \lim_{x\to0} \sin x \end{pmatrix}</math> (<math>\because</math>線型性) :<math>=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>=\boldsymbol{e}_x</math> と求まる。 このとき、<math>\boldsymbol{e}_x</math>を<math>\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}</math>の<math>x\to0</math>に於ける'''極限ベクトル'''という。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で連続であるとは<math>\lim_{x\to\alpha}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{f}(\alpha)</math>が成立することであり、区間<math>I</math>で連続であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で連続であることである。 また、ベクトル関数の導関数<math>\boldsymbol{f}'(x)</math>は :<math>\frac{d}{dx} \boldsymbol{f} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i \right)</math> :<math>= \sum_i \left( \frac{d}{dx} f_i (x) \boldsymbol{e}_i \right)</math>（<math>\because</math>線型性） :<math>= \begin{pmatrix} f'_1(x) \\ f'_2(x) \\ \vdots \\ f'_i(x) \\ \vdots \end{pmatrix}</math> である。 この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義 <math>\lim_{h\to0} \frac{\boldsymbol{f}(x+h) - \boldsymbol{f}(x)}{h}</math>からも導かれる。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>x=\alpha</math>で微分可能であるとは極限値<math>\boldsymbol{f}'(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}\frac{\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(\alpha)}{x-\alpha}</math>が存在することであり、区間<math>I</math>で微分可能であるとは<math>\forall \alpha \in I</math>で微分可能であることである。 高階導関数・高階微分可能も同様にして定義される。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>が区間<math>I</math>で連続ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^0</math>級であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^0(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で微分可能で<math>\boldsymbol{f}'(x)\in C^0(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^1</math>級である（一階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^1(I)</math>と書く。<math>\boldsymbol{f}(x)</math>が<math>I</math>で二階微分可能で<math>\boldsymbol{f}'\in C^1(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>上で<math>C^2</math>級である（二階連続微分可能）といい、<math>\boldsymbol{f}\in C^2(I)</math>と書く。同様にして順々に<math>C^k</math>級が定義され、<math>\forall k \in \mathbb{N}, \boldsymbol{f}\in C^k(I)</math>ならば<math>\boldsymbol{f}(x)</math>は<math>I</math>で<math>C^\infty</math>級（無限階連続微分可能）であるといい、<math>\boldsymbol{f}\in C^\infty(I)</math>と書く。<math>C^\infty</math>級である関数を'''滑らかな'''関数ともいう。 高校数学や高校物理で扱った平面（<math>\mathbb{R}^2</math>）上の運動は、実は2項ベクトル関数の理論に他ならない。 例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は<math>\boldsymbol{x}(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ g(t) \end{pmatrix}</math>として<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt}\boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{x}(t)</math>と表すことができる。 曲線の媒介変数表示は、パラメータを変数とするベクトル関数とみることができる。 例えば、円の媒介変数表示<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}</math>は、<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>という2次元ベクトル関数とみることができる。更に<math>\theta=\omega t</math>とすると、これは等速円運動の式である。 1変数ベクトル関数の微分に関して、以下の公式が成り立つ。 #定数倍の導関数：<math>\{k\boldsymbol{a}(x)\}'=k\boldsymbol{a}'(x)</math> #和・差の導関数：<math>\{ \boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x) \}' = \boldsymbol{a}'(x)\pm\boldsymbol{b}'(x)</math> #積の導関数：<math>\{ f(x)\boldsymbol{a}(x) \}' = f'(x)\boldsymbol{a}(x)+f(x)\boldsymbol{a}'(x)</math> #商の導関数：<math>\left\{ \frac{\boldsymbol{a}(x)}{f(x)} \right\}' = \frac{f(x)\boldsymbol{a}'(x)-f'(x)\boldsymbol{a}(x)}{\{f(x)\}^2} \quad (f(x)\neq0)</math> #内積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x)</math> #外積の導関数：<math>\{\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}' = \boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)+\boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x)</math> #スカラー三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\cdot\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #ベクトル三重積の導関数：<math>[\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}]' = \boldsymbol{a}'(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}'(x)\times\boldsymbol{c}(x)\}+\boldsymbol{a}(x)\times\{\boldsymbol{b}(x)\times\boldsymbol{c}'(x)\}</math> #連鎖律（チェイン・ルール）：<math>[\boldsymbol{a}\{f(x)\}]'=\boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x)</math> ベクトル関数の'''ノルム'''（大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)} = \sqrt{\sum_{i} \{f_i (x)\}^2}</math> で与えられる。 つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。 ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。 :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= c \quad (c\in\mathbb{R}_{>0})</math>の両辺を2乗して :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2 = \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x) = c^2</math> :両辺微分すると内積の微分より :<math>\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=0 \iff 2\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{f}'(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'=0</math> :<math>\int \{\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)\}'dx= \int 0 dx</math> :<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}(x)=C_1</math>（<math>C_1\geq0</math>は積分定数） :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|^2=C_1</math>より :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \| = \sqrt{C_1} = \mathrm{const}.</math> よって、以下が成り立つ。 {{定理|(直交条件の定理)}} :<math>\| \boldsymbol{f}(x) \|= \mathrm{const}. \iff \boldsymbol{f}(x) \cdot \boldsymbol{f}'(x) = 0</math> {{定理終わり}} これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。則ち、<math>\boldsymbol{f}(x)</math>の終点が始点を中心とする円運動(球面運動)をするということである。 また、ベクトル関数が変数に依らず常に同一方向を向く条件も見てみよう（但し<math>\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>）。 :所与の条件は零ベクトルでない定ベクトル<math>\boldsymbol{c}</math>を用いて<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x)\boldsymbol{c}</math>と表される。 :両辺微分して<math>\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}=f'(x)\boldsymbol{c}</math> :ここで元のベクトル関数との外積をとると :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\{f(x)\boldsymbol{c}\}\times\{f'(x)\boldsymbol{c}\}=f(x)f'(x) (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c})=f(x)f'(x)\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}</math> :逆に、 :<math>\boldsymbol{f}(x)\times\boldsymbol{f}'(x)=\boldsymbol{0}</math>とすると一次従属なので :<math>\boldsymbol{f}'(x)=g(x)\boldsymbol{f}(x)</math>という微分方程式が成り立つ。 :各成分ごとに微分方程式を解くと、 ::これは変数分離型微分方程式なので第i成分は ::<math>\frac{df_i}{dx}=g(x)f_i(x)</math> ::<math>\int \frac{df_i}{f_i(x)}=\int g(x)dx</math> ::<math>G'(x)=g(x), C_i</math>を積分定数として<math>\log|f_i(x)|=G(x)+C_i</math> ::<math>C_i=\pm e^{C_i}</math>と改めておくと<math>f_i(x)=C_i e^{G(x)}</math> :よって :<math>\boldsymbol{f}(x)=\sum_i f_i(x) \boldsymbol{e}_i = \sum_i C_i e^{G(x)} \boldsymbol{e}_i = e^{G(x)} \sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math> :ここで<math>f(x)=e^{G(x)}, \boldsymbol{c}=\sum_i C_i \boldsymbol{e}_i</math>と置くと :<math>\boldsymbol{f}(x) = f(x) \boldsymbol{c}</math>となり、方向は変数に依らず一定であることが判る// よって、以下が成り立つ。 {{定理|(平行条件の定理)}} <math>\boldsymbol{c},\boldsymbol{f}(x)\neq\boldsymbol{0}</math>として :<math>\boldsymbol{f}(x)=f(x)\boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{f}(x) \times \boldsymbol{f}'(x) = \boldsymbol{0}</math> {{定理終わり}} ベクトル解析では三次元空間の場合を考えることが多いため上では外積を用いて証明したが、外積は3項ベクトル（または7項ベクトル）にしか定義されないのであった。 一般次元では外積に代わって次の関係式を用いる。 :<math>|\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)|=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|</math> これはCS不等式の等号成立の場合である。 実際、<math>\boldsymbol{f}(x)\cdot\boldsymbol{f}'(x)=\|\boldsymbol{f}(x)\|\|\boldsymbol{f}'(x)\|\cos\{\theta(x)\}</math>より等号成立の必要十分条件は :<math>\cos\{\theta(x)\}=\pm1\iff\theta(x) \equiv 0 \,(\mathrm{mod}\pi)</math> であり、2ベクトル<math>\boldsymbol{f}(x), \boldsymbol{f}'(x)</math>は平行とわかる。<br/> 平行ということは一次従属ということなので先程のように変数分離形微分方程式を解くことで3次元と同じ結果を得る。// 補足として、力学への応用を考える。 :速さの二乗<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|^2</math>を時間微分すると :<math>\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2=\frac{d}{dt}(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t))=\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=2(\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t))</math> :よって等速運動の条件<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=\mathrm{const}.</math>は直交条件の定理から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>に同値である。 :これを力学的に解釈すると、「加速度ベクトルは速度ベクトル方向に仕事をしないから速度ベクトルの大きさを変えずに向きだけを変える」となる。 :平面上で等速円運動を考えると円運動条件から<math>\boldsymbol{r}(t)\perp\boldsymbol{v}(t)</math>、等速条件から<math>\boldsymbol{v}(t)\perp\boldsymbol{a}(t)</math>なので<math>\boldsymbol{r}(t) /\!/ \boldsymbol{a}(t)</math>が出てくる。 :円運動条件<math>\|\boldsymbol{r}(t)\|^2=r^2</math>を一階微分すると ::<math>2\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t)=0</math> :もう一度微分して ::<math>2(\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{r}''(t)+\boldsymbol{r}'(t)\cdot\boldsymbol{r}'(t))=0</math> :則ち ::<math>\boldsymbol{r}(t)\cdot\boldsymbol{a}(t)+\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)=0</math> :位置ベクトルと加速度ベクトルが一次従属なので<math>\boldsymbol{a}(t)=\lambda\boldsymbol{r}(t)</math>であり、等速条件より<math>\|\boldsymbol{v}(t)\|=v</math>なので ::<math>\lambda r^2 + v^2 = 0</math> ::<math>\therefore \lambda = -\frac{v^2}{r^2}<0</math> :則ち<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は逆向きであり、円運動の中心は<math>\boldsymbol{r}(t)</math>の始点なので<math>\boldsymbol{a}(t)</math>は常に円運動の中心を向く'''向心加速度'''であることが証明された。// なお、3次元以上では「<math>\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\land\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\implies\boldsymbol{a}/\!/\boldsymbol{c}</math>」が一般には成り立たないのでこの議論を成立させるには追加の条件が必要である。 <math>\boldsymbol{f}(x)</math>の不定積分は、各<math>f_i(x)</math>の原始関数を並べたベクトルを<math>\boldsymbol{F}(x)</math>として :<math>\int \boldsymbol{f}(x) dx = \boldsymbol{F}(x)+\boldsymbol{C}</math>（<math>\boldsymbol{C}</math>は各積分定数を並べたベクトル） と表される。 また、定積分は :<math>\int^b_a \boldsymbol{f}(x) dx=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)</math> と表される。 1変数ベクトル関数の積分について、以下が成り立つ（不定積分表記だが定積分に就ても同様）。 #定数倍の原始関数：<math>\int \{k\boldsymbol{a}(x)\} dx = k\int\boldsymbol{a}(x)dx</math> #和・差の原始関数：<math>\int \{\boldsymbol{a}(x)\pm\boldsymbol{b}(x)\}dx=\int\boldsymbol{a}(x)dx\pm\int\boldsymbol{b}(x)dx</math> #内積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \cdot \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #外積の原始関数<math>\int \{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{a}(x)\}dx=\boldsymbol{k} \times \left( \int \boldsymbol{a}(x) dx \right)</math> #スカラー倍の部分積分：<math>\int f(x)\boldsymbol{a}'(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f'(x)\boldsymbol{a}(x) dx \iff \int f'(x)\boldsymbol{a}(x)dx= f(x)\boldsymbol{a}(x)-\int f(x)\boldsymbol{a}'(x) dx</math> #内積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\cdot\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\cdot\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #外積の部分積分：<math>\int \{ \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}'(x) \}dx = \boldsymbol{a}(x)\times\boldsymbol{b}(x) - \int \{\boldsymbol{a}'(x)\times\boldsymbol{b}(x)\}dx</math> #置換積分：<math>u=f(x)</math>として<math>\int \boldsymbol{a}'\{f(x)\}f'(x) dx = \int \boldsymbol{a}(u)du</math> 平行条件の定理の証明でベクトル関数の微分方程式を解いたように、成分毎に考えることで解空間ベクトルを求められる。 :1階線型常微分方程式<math>\boldsymbol{f}'(x)+a(x)\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}(x)</math>の解に就て考える。 :第<math>i</math>成分を考えると<math>f'_i(x)+a(x)f_i(x)=b_i(x)</math>という1階線型常微分方程式を得るので、 :両辺に積分因子<math>\mu(x)=\exp\left(\int a(x) dx\right)</math>を掛けることで :<math>f_i(x)=\frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\}</math>を得る。 :よって一般解は :<math>\boldsymbol{f}(x) = \sum_i \frac{1}{\mu(x)} \left\{ \int \mu(x) b_i(x) dx + C_i \right\} \boldsymbol{e}_i=\frac{1}{\mu(x)}\left\{ \int \mu(x) \boldsymbol{b}(x) dx + \boldsymbol{C} \right\}</math> ベクトル関数は必ずしもここで扱った<math>\boldsymbol{f}: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n</math>のみを指さない。 例えば、ベクトル変数 <math>\boldsymbol{x}= \sum_i g_i (x) \boldsymbol{e}_i</math>に対して :<math>\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\sum_i (h_i \circ g_i) (x) \boldsymbol{e}_i</math> と定義されるような関数<math>\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>もベクトル関数である。 また、始域と終域の次元が異なる<math>\boldsymbol{i}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \, (m, n\neq1)</math>のようなベクトル関数も考えられる。 一般に、始域が<math>\mathbb{R}^n (n\neq1)</math>であっても終域が<math>\mathbb{R}</math>である関数はベクトル関数に対して'''スカラー関数'''（scalar function）と呼ばれる。スカラー関数は入力ベクトルを「変数の組」と見れば通常の多変数関数に一致する。 この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。 また、多変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{f}(x_1, x_2,\cdots,x_n)</math>を考えたとき、多変数微積分の理論は一変数微積分と同様にしてベクトル関数にもそのまま拡張される。 ===ベクトル場・スカラー場=== 写像<math>\boldsymbol{a}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>を'''ベクトル場'''（vector field）という。 実際には<math>m=n</math>の場合を考えることが多い。 写像<math>\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>を'''スカラー場'''（scalar field）という。 それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。 もう少し具体的に述べると、空間の領域<math>V</math>が与えられたときその各点にスカラーまたはベクトルを割り当てたものが場である。要するに、<math>p\in V</math>とすると :スカラー場：<math>\varphi=\varphi(p)</math> :ベクトル場：<math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(p)</math> のように場は「点を入力とする^※関数」である。 <small>※なお、ベクトル場を図示するときは「出力されたベクトルの'''始点は原点でなく入力された点'''」であることに注意が必要である。出力ベクトルの成分表示は「入力点を基準に据えたときの位置ベクトル」なので原点から目盛を数えることに意味はない。</small> ここで<math>V</math>に何かしらの座標が設定されていれば、その座標系の変数の組をベクトルと見做すことで場を「通常のスカラー関数・ベクトル関数」として扱えるのである。 則ち、「滑らかな場」という概念は「滑らかな関数」として定義することができる。より具体的に言うと、スカラー場・ベクトル場が'''滑らか'''であるとは対応するスカラー関数・ベクトル関数が<math>C^\infty</math>級であることである。但し、滑らかさは任意の座標変換で保たれるわけではないことに注意が必要である（後述の座標変換テンソル及びその逆行列の全ての成分関数が滑らかである必要がある）。 ここで、二変数関数の極値を思い返してみる。 <math>z=f(x, y)</math>が<math>(a, b)</math>で極大であるとは<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>として :<math>\exist \delta>0, \forall {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right)} \in \mathbb{R}^2, {\scriptstyle\left\| \left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] y \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} a \\[-6pt] b \end{array}\right) \right\|} < \delta \implies f(x, y) \leq f(a, b)</math> という定義だった。 <math>z=f(x, y)</math>は曲面を表すが、これを<math>z</math>軸正方向から<math>xy</math>平面に射影するとその陰が<math>(x, y)</math>の動く範囲となるのであった。 ここで<math>\boldsymbol{x}:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{\alpha}:=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>とすると<math>z=f(x, y)</math>はスカラー場<math>z=\phi(\boldsymbol{x})</math>と解釈することができ、更に条件法の前件は<math>\boldsymbol{\alpha}</math>の<math>\delta</math>-開球（二次元なので開円板）である。 なので、極大値の定義式をベクトル解析的に解釈すると「<math>xy</math>平面の各点に<math>z</math>の値を割り当てた数分布に於いて、開円板<math>B_\delta(\boldsymbol{\alpha})</math>内部に於ける<math>z</math>の最大値が<math>\phi(\boldsymbol{\alpha})</math>となるような正数<math>\delta</math>が存在する」ということである。 ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。 スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。 例えば、ベクトル場<math>\boldsymbol{f}=(x, 0, 0)</math>は、<math>\mathbb{R}^3</math>内の平面<math>x=k</math>上の任意点に、その点を始点とするベクトル<math>\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>が存在する状態を表す。 ベクトル場の和は、出力ベクトルの型が同じならばベクトル場の成分の和をとったものに等しい。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y, z)=(y, z, x), \boldsymbol{g}(x, y, z)=(z, x, y)</math>について :<math>(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(x, y, z)=(y, z, x)+(z, x, y)=(y+z, z+x, x+y)</math>である。 これは、ベクトル場の加法の定義が :<math>\forall p \in V, (\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g})(p):=\boldsymbol{f}(p)+\boldsymbol{g}(p)</math> となっていて且つ<math>V</math>に座標を入れればベクトル関数の加法則をそのまま適用できるためである（入力点が異なるとき、場同士は足すことができない）。 曲線<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等高線'''（等高曲線）、曲面<math>\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \varphi(\boldsymbol{x})=\mathrm{const}.\}</math>を'''等位面'''（等位曲面）という。これらの詳細は後述する。 ==曲線論・曲面論== ===曲線=== <math>xy</math>平面上の曲線は<math>y=f(x) (x\in[a, b])</math>という陽関数表示で扱うことが多かった。しかし、これだと自分自身と交わる（'''自己交叉'''する）曲線や<math>x=x_0</math>に対して<math>f(x_0)</math>の値が複数存在する（<math>f</math>が'''多価関数'''）場合に不都合が生じる。 例えば円を陽関数表示しようとすると :<math>x^2+y^2=r^2</math>を<math>y</math>に就いて解いて :<math>y=\pm\sqrt{r^2-x^2}</math> 則ち :<math>y=\begin{cases} \sqrt{r^2-x^2} & (y\geq0) \\ -\sqrt{r^2-x^2} & (y<0) \end{cases}</math> という多価関数が必要になる。 これだと端点の振舞を一々調べる必要があって曲線の連続性や接線の議論が煩雑になってしまう。 しかし、先程も述べたように曲線の媒介変数表示はベクトル関数として見れるのであった。 :<math>\boldsymbol{r}(\theta) = r\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}</math>（再掲） こうすると一変数連続ベクトル関数によって曲線を表すことが可能である。物理的に捉えると「質点の運動の軌跡を原点からの位置ベクトルの時間変化で表す」ということである。 一般に、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^n, t \in I</math>としてベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の解集合<math>\{\boldsymbol{r}(t) \mid t \in I \}</math>は<math>n</math>次元空間内の曲線<math>C</math>を表す。これを<math>C</math>の'''ベクトル表示'''という。 ベクトル表示は成分表示に直せば<math>\boldsymbol{r}(t)=\sum_i r_i(t)\boldsymbol{e}_i</math>となる。これは媒介変数表示<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t) \\ x_2&=&r_2(t) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t) \end{cases}</math>をベクトル表記したものに一致する。 例えば、<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ bt \end{pmatrix}</math>は'''常螺旋'''（弦巻線）のベクトル表示である。 パラメータが増加するときの点の移動方向を曲線の'''正の向き'''と定める。曲線の'''負の向き'''はパラメータが減少するときの点の移動方向である。このとき、パラメータで'''向き付け'''された曲線という表現もなされる。曲線<math>C</math>に対し、同じパラメータを用いた逆向きの曲線を<math>-C</math>と表す。ベクトル表示では<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>-C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(-t)</math>ということである。 パラメータに関する変数変換<math>u=\phi(t)</math>を考える。但し、<math>\phi</math>は広義単調関数とする^※。このとき、<math>\frac{du}{dt}</math>が非負ならば曲線の向き付けが保たれ、非正ならば向き付けが反転する。<math>\frac{du}{dt}=0</math>となる領域では点の運動が停止する。 <small>※<math>\phi</math>が非単調関数のときは曲線上の点が行ったり来たりすることになるため曲線のパラメータ表示としては扱いづらい。</small> <math>\boldsymbol{r}(t) \in C^1</math>且つ<math>\boldsymbol{r}'(t)\neq\boldsymbol{0}</math>であるとき、曲線<math>C</math>は'''滑らか'''であるという。 滑らかな曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に対して<math>\boldsymbol{r}'(t)</math>を<math>C</math>の'''速度ベクトル'''という。 <math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}</math>として点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける速度ベクトルは<math>\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}</math>の極限ベクトルであるが、<math>\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)</math>を図示することで速度ベクトルが曲線<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(t)</math>に於ける接線の方向ベクトルになっていることがわかる。よって、速度ベクトルを'''接線ベクトル'''（接ベクトル）ともいう。 速度ベクトルが非零である曲線を'''正則'''な曲線と呼ぶ。滑らかな曲線は正則曲線である。 なお、一般には陽関数表示が区分的であることとベクトル表示の成分関数が区分的であることに対応はないほか、パラメータの取り方で速度ベクトルが変わるので「曲線の幾何学的滑らかさ」と「ベクトル表示した関数の解析学的滑らかさ」は一致するとは限らない。 正則な曲線に対して曲線長（'''弧長'''）を考える。 二次元曲線の場合は数学Ⅲで既に扱った。 :<math>L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt</math> 実は、これを一般の<math>n</math>次元にそのまま拡張することができる。 {{定理|(弧長公式)}} 曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ（<math>a<b</math>）は :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math> で与えられる。 {{定理終わり}} *証明 :<math>a=t_0, b=t_m</math>として閉区間<math>[a, b]</math>を各<math>t_i</math>で等分割する。このとき小区間<math>[t_{k-1}, t_k]</math>の長さは<math>\Delta t=\frac{b-a}{m}</math>。 :<math>C</math>の点<math>\mathrm{P}(a)</math>から点<math>\mathrm{P}(b)</math>までの長さ<math>L</math>は折れ線の長さ<math>\overline{\mathrm{P}(t_{k-1})\mathrm{P}(t_k)}</math>の総和で近似される。 :ここで<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boldsymbol{r}(t)</math>より ::<math>L_m=\sum_{k=1}^m \| \boldsymbol{r}(t_k)-\boldsymbol{r}(t_{k-1}) \| = \sum_{k=1}^m \left\| \frac{\boldsymbol{r}(t_{k-1}+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t_{k-1})}{\Delta t-0} \right\|(\Delta t-0)</math> :分割を限りなく細かくする極限をとると<math>m\to\infty</math>より<math>\Delta t\to0</math>なので ::<math>\lim_{m\to\infty} L_m = \sum_{k=1}^\infty \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t_{k-1}) \right\|dt</math> :区分求積法より最後の無限級数は収束して :<math>L=\int_a^b \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>// ここで、<math>dl:=\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>という微小量を'''線素'''と呼ぶ。 1を線素に関して積分したパラメータ<math>s:=\int_0^t dl</math>を'''弧長パラメータ'''（標準パラメータ）という。弧長パラメータは曲線上で「基準点からの符号付き距離」を表す。 曲線の弧長パラメータによるベクトル表示（'''弧長パラメータ表示'''）を考える。<math>s=\int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt</math>で正則よりノルムは正。則ち<math>\frac{ds}{dt}>0</math>より<math>s=\phi(t)</math>は狭義単調増加なので、逆関数<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を考えることができる。よって、<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>に<math>t=\phi^{-1}(s)</math>を代入した<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s))</math>が弧長パラメータ表示である。これを<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>と略記してしまうことも多いが、'''一般には元の<math>\boldsymbol{r}(t)</math>と成分関数が異なる'''ことに注意。 通常の媒介変数によるベクトル表示は「座標系が予め与えられた状況」での表示であるが、弧長パラメータは座標系を取り替えたとしても表す曲線そのものが変わらなければ不変である。よって、「座標系に依存しない表記」として弧長パラメータ表示は多く利用されている。 また、弧長パラメータ表示で連鎖律を適用すると :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\cdot\frac{1}{\frac{ds}{dt}}</math> ここで微分積分学の基本定理より :<math>\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt} \int_0^t \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|dt = \left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\frac{\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}}{\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \right\|}</math> であり、自身のノルムで割ってるので恒等的に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>である。 よって、弧長パラメータ表示された曲線の接ベクトルは常に単位ベクトルである。 弧長パラメータ表示された曲線で線素を考えると<math>s=\int_0^s \left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\| ds = \int_0^s dl</math>だが、常に<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\|=1</math>なので<math>ds=dl</math>であり、弧長パラメータの微小量は線素に等しい（弧長パラメータそのものが1の線素に関する積分なので当たり前ではある）。 <math>\boldsymbol{e}_\dagger(s)=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>と置くと、点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける接線の方程式は :<math>\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s_0)=\boldsymbol{e}_\dagger(s_0) (s-s_0)</math> と表される。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math> であり、「接線が一次近似に対応する」という構造はベクトル関数でも維持されることが判った。 領域<math>\boldsymbol{D}</math>上の滑らかなベクトル場<math>\boldsymbol{a}</math>について、微分方程式<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t)) (\boldsymbol{r} \in \boldsymbol{D})</math>で与えられる曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の'''流線'''（streamline）という（入力点を位置ベクトルと同一視していることに注意）。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、ベクトルの相等から得る方程式<math>\frac{dx_1}{a_1}=\frac{dx_2}{a_2}=\cdots=\frac{dx_n}{a_n}</math>を'''流線方程式'''という。 例えば、<math>\boldsymbol{f}(x, y)=(y, x)</math>の流線は、 :定義から<math>\frac{dx}{dt}=y, \frac{dy}{dt}=x</math> :合成関数の微分公式から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{x}{y}</math> :<math>\int y dy=\int xdx</math> :<math>\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C</math> :よって双曲線<math>y^2-x^2=2C</math>// この場合、<math>t</math>に関する2つの微分方程式を組み合わせることで :<math>\frac{d^2x}{dt^2}=x, \frac{d^2y}{dt^2}=y</math>という二階線型常微分方程式となり、一般解が双曲線関数を用いて<math>\begin{cases} x=C_1\cosh t+C_2\sinh t \\ y=C_1\sinh t+C_2\cosh t \end{cases}</math>であることが容易に判る。<br>なお、流線方程式を用いても<math>\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}</math>から<math>\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}</math>が出てくる。 「流線の接線ベクトルが元のベクトル場になる」とはつまり、「接線が常にベクトル場と平行になるような曲線」を考えているということである。滑らかなベクトル場を考えているためそのような曲線は常に存在する。流線は「ベクトル場の流れを繋げていった曲線」と考えることができるので、「流れを簡潔に図示」するのにちょうどよい。 有名な例として、電気力線・磁力線はそれぞれ電場<math>\boldsymbol{E}</math>・磁束密度<math>\boldsymbol{B}</math>の流線である。 流線の微分方程式を弧長パラメータ表示を用いて変形する。 :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))</math>の左辺に就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot \|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|</math> 元の方程式の両辺でノルムをとると :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> 代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{r}'(\phi^{-1}(s))\|=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\cdot\|\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(t))\|</math> :<math>\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} = \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(\phi^{-1}(s)))}</math> ここから、流線の形状はノルムには関係なく方向場のみで決まることがわかる。 ===フレネ標搆=== ここでは、三次元空間に於ける正則曲線について考える。 <math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>上の点<math>\mathrm{P}(s)</math>に於ける単位接線ベクトルを<math>\boldsymbol{t}</math>とおく。 先程の議論より<math>\boldsymbol{t}(s)=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}</math>であり、<math>\left\| \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds} \right\|=1 (=\mathrm{const}.)</math>なので直交条件の定理から<math>\boldsymbol{t}\cdot\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=0</math>、則ち<math>\boldsymbol{t} \perp \frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>である。この<math>\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>を'''主法線ベクトル'''という。 主法線ベクトルを<math>\boldsymbol{n}</math>とおくとき、<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>を'''従法線ベクトル'''（陪法線ベクトル）という。ここで先程の結果より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{n}</math>であって<math>\boldsymbol{b}</math>の定義より<math>\boldsymbol{t}\perp\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}</math>なので、この3ベクトルの組を正規化した<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>は<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底である。これを<math>\mathbb{R}^3</math>の'''フレネ標搆'''という。外積の結果よりフレネ標搆は<math>\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b</math>の順に右手系をなす。なお、接線ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルは全て曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>を入力したベクトル場として捉えることができる。 <math>\{\boldsymbol{e}_n, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''法平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_b \}</math>の張る平面を'''展直平面'''、<math>\{\boldsymbol{e}_t, \boldsymbol{e}_n \}</math>の張る平面を'''接触平面'''という。 即ち、法平面・展直平面・接触平面は<math>tnb</math>空間の点<math>\mathrm{P}(s)</math>を原点とした基準面である。 平面の方程式の法線ベクトルに接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトルをそれぞれ代入することで :法平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{t}(s)=0</math> :展直平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{n}(s)=0</math> :接触平面の方程式：<math>(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{r}(s))\cdot\boldsymbol{b}(s)=0</math> とわかる。 <math>\|\boldsymbol{t}\|=1</math>は常に成り立つが<math>\|\boldsymbol{n}\|, \|\boldsymbol{b}\|</math>は<math>1</math>とは限らない。そこで、主法線ベクトルの大きさ<math>\kappa(s)=\|\boldsymbol{n}(s)\|</math>を曲線<math>C</math>の'''曲率'''と呼ぶことにする。なお、<math>\|\boldsymbol{b}\|=\| \boldsymbol{t} \| \|\boldsymbol{n}\|\sin\frac{\pi}{2}</math>より<math>\|\boldsymbol{b}\|=\|\boldsymbol{n}\|=\kappa</math>が成り立つ。 主法線ベクトルの定義に立ち戻ると<math>\boldsymbol{n}(s)=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}</math>であった。つまり、主法線ベクトルは接ベクトルの速度ベクトルなので「弧長パラメータを変化させたときに接ベクトルがどのくらい変化するか」という指標である。接ベクトルの変化の大小と<math>\kappa</math>の大小は対応し、接ベクトルの大小はカーブの緩急に対応することから<math>\kappa</math>の大小とカーブの緩急も対応する。これが「曲率」という名前の由来である。 なお、<math>\kappa(s)=0</math>の場合は<math>\boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{0}</math>なので<math>\boldsymbol{t}(s)=\boldsymbol{k}</math>（定ベクトル）であり、<math>\boldsymbol{r}(s)=s\boldsymbol{k}</math>という直線の場合に対応することがわかる。 単位接ベクトルの<math>s</math>を微分変数とする導関数（<math>s</math>-導関数）は主法線ベクトルだったが、単位主法線ベクトル・単位従法線ベクトルの<math>s</math>-導関数がどのように表されるか見ていく。 ここで、フレネ標搆が<math>\mathbb{R}^3</math>の正規直交基底であることから、<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}</math>ともにフレネ標搆の一次結合で表現できると予想される。 単位従法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_t\times\boldsymbol{e}_n)=\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\boldsymbol{t}=\boldsymbol{e}_t</math>より<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\boldsymbol{n}=\kappa\boldsymbol{e}_n</math>則ち<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\times\boldsymbol{e}_n=\kappa\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}</math>なので :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math> <math>\|\boldsymbol{e}_n\|=1</math>から直交条件の定理より<math>\boldsymbol{e}_n\perp\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>なので :<math>\boldsymbol{e}_n\times\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=\boldsymbol{e}_n\times(\boldsymbol{e}_t\times\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds})=\left(\boldsymbol{e}_n\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}\right)-(\boldsymbol{e}_n\cdot\boldsymbol{e}_t)\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\boldsymbol{0}</math> 外積が零ベクトルなので<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds} /\!\!/ \boldsymbol{e}_n</math>であり、一次従属より :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math> となるスカラー関数<math>\tau(s)</math>が存在する。 この<math>\tau(s)</math>を曲線<math>C</math>の'''捩率'''と呼ぶ。捩率は接触平面の回転（捩れ）の率を表す。 <math>\tau=0</math>ならば<math>\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=0</math>より<math>\boldsymbol{e}_b</math>方向は変化しないので曲線は接触平面と平行な平面上に拘束される。即ち、<math>C</math>は平面曲線である。 単位主法線ベクトルに就いて :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{d}{ds}(\boldsymbol{e}_b\times\boldsymbol{e}_t)=\frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}</math> ここで<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n, \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n</math>を代入して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n\times\boldsymbol{e}_t+\boldsymbol{e}_b\times\kappa\boldsymbol{e}_n=\tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t</math> よって、フレネ標搆の弧長パラメータを微分変数とする導関数を以下のようにフレネ標搆の一次結合で表すことができた。 :<math>\begin{cases} \frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}=\kappa\boldsymbol{e}_n \\ \frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds} = \tau\boldsymbol{e}_b-\kappa\boldsymbol{e}_t \\ \frac{d\boldsymbol{e}_b}{ds}=-\tau\boldsymbol{e}_n \end{cases}</math> これを一次変換で表記すると以下のようになる。但し、厳密にはベクトルを成分としている部分は列ではなく行に配置するのが正しいことに注意。 {{定理|(フレネ＝セレーの公式)}} :<math>\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_t \\ \boldsymbol{e}_n \\ \boldsymbol{e}_b \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} 表現行列が反対称行列（歪対称行列）になっているが、これは「直交変換を一次近似すると反対称変換になる」という無限小回転の理論に対応する。 捩率を求めるときは「基底分解の係数は対応する基底ベクトルとの内積に等しい」という性質を利用すれば<math>\boldsymbol{e}_b\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\tau</math>となるので左辺を計算すればよい。 例えば、円<math>\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ z=b \end{cases}</math>の曲率と捩率は以下のように求まる。 :媒介変数表示して<math>\boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ a\sin t \\ b \end{pmatrix}</math> :接線ベクトルは<math>\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -a\sin t \\ a\cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math> :弧長パラメータ<math>s</math>は<math>s=\int^t_0 \left\|\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right\|dt = \int_0^t a dt = at</math> :<math>\therefore t=\frac{s}{a}</math> :<math>\boldsymbol{r}(s)=\begin{pmatrix} a\cos\frac{s}{a} \\ a\sin\frac{s}{a} \\ b \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}=\begin{pmatrix} -\sin\frac{s}{a} \\ \cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{n}=\frac{d\boldsymbol{t}(s)}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\kappa=\|\boldsymbol{n}\|=\frac{1}{a}</math> :<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{a} \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix} -\cos\frac{s}{a} \\ -\sin\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\tau = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a}\begin{pmatrix} \sin\frac{s}{a} \\ -\cos\frac{s}{a} \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>// フレネ・セレーの公式は[[線型代数学続論/行列値関数|行列関数]]に関する一階常微分方程式である。そのため、微分方程式の基本定理（ピカール=リンデレーエフの定理）により初期条件（<math>s=0</math>に於けるフレネ標搆）を与えれば、滑らかな曲率関数・捩率関数の組<math>(\kappa, \tau)</math>を定めることで微分方程式の解として一般の<math>s</math>に対するフレネ標搆を一意に得る。このとき、曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>は接ベクトルを出発点を選んで積分することで決定される。 従って、次の定理が成り立つ<!-- 厳密証明はhttps://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvetheorem.htmlを参照 -->。 {{定理|(曲線の基本定理)}} 開区間<math>(a,b)</math>上の実数<math>s</math>を変数とする2つの滑らかな関数<math>\kappa(s),\tau(s)</math>を与える。但し、<math>\kappa(s)</math>は正とする。<br/> このとき、<math>\kappa(s)</math>を曲率、<math>\tau(s)</math>を捩率、<math>s</math>を弧長パラメータとする三次元空間上の曲線<math>C</math>が剛体運動を除いて一意に定まる。 {{定理終わり}} 剛体運動とは「曲線の形を変えない」運動のことである（平行移動・回転など）。 <math>\kappa(s), \tau(s)</math>の定める曲線族を一般に<math>\mathcal{C}[\kappa, \tau]</math>と書く。 例えば、円を含む螺旋は<math>c_1, c_2=\mathrm{const}.</math>として<math>\mathcal{C}[c_1, c_2]</math>と書ける。 <math>R=\frac{1}{\kappa}</math>を'''曲率半径'''という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（'''密着円'''）の半径でもある。高速道路の標識で<math>R=\circ\circ \mathrm{m}</math>は、そのカーブの曲率半径を示している。道路設計では、快適なドライブの為曲率半径がなるべく大きくなるように工夫を凝らしている。 ここで<math>\boldsymbol{r}(s)</math>の中心<math>s_0</math>に於けるテイラー展開は :<math>\boldsymbol{r}(s)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(s-s_0)^i}{i!} \frac{d^i}{ds^i}\boldsymbol{r}(s_0) </math>（再掲） だったが、二次近似式（三次以降を切り捨てた式）を考えると :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\frac{d\boldsymbol{r}(s_0)}{ds}(s-s_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2\boldsymbol{r}(s_0)}{ds^2}(s-s_0)^2 </math> フレネ標搆を用いて書き直すと :<math>\boldsymbol{r}(s) \fallingdotseq \boldsymbol{r}(s_0)+\boldsymbol{e}_t(s-s_0) + \frac{1}{2}\kappa(s_0)\boldsymbol{e}_n(s-s_0)^2 </math> 二次近似とは「曲線を円弧で近似する」ことだったので曲率<math>\kappa(s_0)</math>が近似に用いる円弧と関係ある量であることが予想される。<br/> 接触平面で密着円<math> \| \boldsymbol{r} - (\boldsymbol{r}(s_0)+R\boldsymbol{e}_n) \| = R </math>を考える。接触平面を<math>xy</math>平面と考えると円の方程式は :<math>x^2+(y-R)^2=R^2</math> :<math>y=R-\sqrt{R^2-x^2}</math> テイラー展開して :<math>y=\frac{x^2}{2R}+O(x^4)</math> 二次の項を比較すると :<math>\frac{x^2}{2R}=\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa</math> よって :<math>R=\frac{1}{\kappa}</math> と定義するのは妥当である。 なお、先ほど求めた円の曲率から、真円に関して「曲率半径=半径」であることが判る。 フレネ・セレーの公式で最初の二行二列のみを考えると<math>\mathbb{R}^2</math>内の曲線に対するフレネ・セレーの公式を得る。一般に<math>\mathbb{R}^n</math>上の曲線に対し、今回の議論と同様にして接ベクトル・主法線ベクトル・曲率を定義することができる。但し、三次元空間と異なって同じ曲率に対して異なる曲線を与えることができる（主法線ベクトルが接触平面内で接ベクトルに対して左右どちらを向くかがそのままでは定まらないため）。なお、4次元以上であっても平面拘束曲線ならば捩率は0であって従法線ベクトルは零ベクトルに定まる。 ===単純閉曲線=== パラメータ区間を<math>I=[a, b]</math>とする。 このとき、曲線の端点はそれぞれ<math>\mathrm{P}(a), \mathrm{P}(b)</math>である。 端点が一致する、つまり<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>である連続曲線を'''閉曲線'''という。 自己交叉しない、つまり<math>\forall t_1, t_2 \in (a, b), t_1 \neq t_2 \iff \mathrm{P}(t_1)\neq\mathrm{P}(t_2)</math>となる閉曲線を'''単純閉曲線'''（ジョルダン曲線）という。閉曲線でない曲線に就いて「自己交叉しない」という条件は「曲線を表すベクトル関数が単射」と同値であるので、端点のみ単射性を外してやれば単純閉曲線の定義を得る。 幾何学的直観から、平面に拘束された単純閉曲線はその平面を単純閉曲線で囲まれた'''内部'''とそうでない'''外部'''の二つの領域に分割することが予想できる。 このことは以下の定理によって保証される。 {{定理|(ジョルダンの曲線定理)}} 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>内の任意の単純閉曲線<math>\gamma</math>に対し、有界領域<math>I</math>・非有界領域<math>O</math>の組であって<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O</math>且つ<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>であるものが唯一つに定まる。 {{定理終わり}} この<math>I, O</math>をそれぞれ内部・外部と定義する。証明は[[位相幾何学]]で行う。なお、「<math>\partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」を態々明示しているのは、滑らかでない単純閉曲線に対しては「<math>\Pi\setminus\gamma=I \sqcup O \implies \partial{I}=\partial{O}=\gamma</math>」が自明でないためである。 正則単純閉曲線に対して「曲線の向き」の幾何学的意味を考える。 ジョルダンの曲線定理より単純閉曲線<math>\gamma:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s) \quad(\boldsymbol{r}\in \Pi)</math>は平面<math>\Pi</math>を内部<math>I</math>と外部<math>O</math>に分割する。平面拘束曲線なので<math>\forall{s}, \tau(s)=0</math>であり、従法線ベクトルは零ベクトル且つ接触平面が常に<math>\Pi</math>に一致する。 主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)</math>が接ベクトル<math>\boldsymbol{t}(s)</math>に対して左側を向いているとすると、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0) \quad(\varepsilon>0)</math>が点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\gamma</math>の進行方向左側にある点である。 ここで、<math>\mathrm{P}(s_0)</math>に於ける<math>\varepsilon</math>-開球<math>B_\varepsilon(s_0)</math>を考えると、平面<math>\Pi</math>上では<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が左側の領域、<math>\boldsymbol{r}(s_0)+\varepsilon\boldsymbol{n}(s_0)</math>が右側の領域に入る。 <math>s=s_0</math>を動かすと各点で進行方向左は<math>I, O</math>のいずれかであり、<math>\gamma</math>の正則性と<math>I, O</math>の連結性から「<math>I, O</math>のどちらが左側であるかは曲線全体で変わらない」ことが言える。 ここで円の場合を考える。<math>\Pi</math>に直交座標<math>u, v</math>を入れると向心加速度の議論から「加速度ベクトル=主法線ベクトルは円の中心を向く」ので、「円の正の向きは円の内部を左手に見る進行方向」である。 任意の正則単純閉曲線<math>\gamma</math>に対して自己交叉を起こさないまま円へ連続変形する可逆写像が存在し、その変形に於いて「左側」と「<math>I, O</math>」の対応は変化しない。則ち、円で確認された「正の向きは囲まれた内部を左手に見る向き」は任意の正則単純閉曲線で成り立つ。 つまり、単純閉曲線の正の向きは点を動かしたときに'''自身の囲む領域の内部を左手に見る向き'''である。負の向きは左手に外部を見る向きである。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点に対してそれらを端点とする滑らかな曲線<math>C</math>をとれるとき、<math>A</math>は'''弧状連結'''であるという。 弧状連結集合<math>S</math>内の任意の閉曲線<math>\gamma</math>に対して1点に退化するような連続変形が可能なとき、<math>S</math>は'''単連結'''であるという。単連結でない集合は'''多重連結'''であるという。 平面<math>\Pi\subset\mathbb{R}^n</math>に含まれる単連結集合<math>S</math>に対し、<math>\hat{\Pi}:=\Pi\cup\{\infty\}</math>とすると集合<math>\hat{\Pi}\setminus{S}</math>は連結である。逆も成り立つ。 なお、「<math>A</math>が連結集合である」ことは「補集合<math>\overline{A}</math>が非連結集合である」ことを意味しない。そのため「単連結な連結集合」も考えられ、特に「単連結な領域」はこの先頻繁に登場する。 集合<math>A</math>に含まれる任意の2点を結んだ線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''凸型'''であるという。凸型集合でない集合は'''凹型'''であるという。 集合<math>A</math>内の1点を固定してそこから<math>A</math>内任意点へ引いた線分が<math>A</math>に包含されるとき、<math>A</math>は'''星状'''（星型）であるという。このとき固定した点を'''星の中心'''という。凸型集合は全て星状集合である。 単純閉曲線<math>\gamma</math>を境界とする内部<math>I</math>に関して<math>I\cup\gamma</math>が凸型集合であるとき、<math>\gamma</math>を'''卵形線'''（凸単純閉曲線・オーヴァル）という。 曲線<math>C</math>の曲率関数<math>\kappa(s)</math>が<math>C^3</math>級であるとき、<math>\kappa'(s_0)=0</math>を満たす点<math>\mathrm{P}(s_0)</math>を<math>C</math>の'''頂点'''という。 例えば、標準楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の頂点は4点<math>(\pm{a},0),(0,\pm{b})</math>である。このことは、<math>\mathbb{R}^2</math>上曲線<math>C:\boldsymbol{r}=x(t)\boldsymbol{e}_x(t)+y(t)\boldsymbol{e}_y(t)</math>に対する曲率の公式<math>\kappa(t)=\frac{\left|\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}\right|}{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}</math>と<math>\frac{ds}{dt}>0</math>を用いて確かめられる。 実は、この事実は楕円に限らないことが以下の定理で示される。 {{定理|(ムコパディヤーヤの定理・四頂点定理)}} <math>\mathbb{R}^2</math>上の滑らかな卵形線は少なくとも4つの頂点を持つ。 {{定理終わり}} *証明 :滑らかな卵形線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)\quad(s\in[a, b])</math>に対して曲率関数<math>\kappa(s)</math>は滑らかであり、<math>\kappa\in C^3</math>を満たす。 :卵形線は単純閉曲線なので<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P(b)}</math>であり、<math>\kappa(a)=\kappa(b)</math>。 :曲率関数が定数関数のときは<math>\kappa\in C^\infty</math>且つ常に<math>\kappa'(s)=0</math>なので曲線を構成するすべての点が頂点であり、明らかに定理を満たす。 :曲率関数が定数関数でないとする。 :ワイエルシュトラスの極値定理より<math>\kappa(s)</math>は<math>s\in[a, b]</math>のどこかで最大値・最小値をとり、その点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす。 :従って少なくとも2つの頂点を持つ。 :ここで、頂点がこの2つのみと仮定する。 :曲率が最大値・最小値をとる点をそれぞれ<math>\mathrm{M, N}</math>と置く。 :線分<math>\mathrm{MN}</math>を含む直線を<math>x</math>軸とし、その垂直方向に<math>y</math>軸をとる。 :<math>s</math>が増加すると曲線上の点が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>のように動くとき、 :<math>\kappa(s)</math>は最小値から最大値に向かって増大し、他に頂点がないので狭義単調増加である。 :同様に、<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>の向きでは<math>\kappa(s)</math>は狭義単調減少である。 :従って、<math>\kappa'(s)y(s)\neq0</math>の正の側だけ考えれば良い。 :<math>y(a)=y(b)=0</math>に注意すると部分積分して :<math>0<\int_a^b \kappa'(s)y(s)ds=-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds</math> :主法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(s)= \begin{pmatrix} \xi_1(s) \\ \xi_2(s) \end{pmatrix}</math>を考えると二次元版フレネ=セレーの公式から<math>\frac{d\boldsymbol{n}}{ds}=-\kappa\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}</math>なので :<math>\xi'_2(s)=-\kappa(s)y'(s)</math> :よって :<math>-\int_a^b \kappa(s)y'(s)ds=\int_a^b \xi_2(s)ds = \left[\xi_2(s)\right]_a^b=0</math> :なので矛盾した不等式<math>0<0</math>を得る。 :則ち、<math>\mathrm{M, N}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在する。 :そのような点を<math>\mathrm{L}</math>と置く。 :<math>\mathrm{L}</math>が<math>\mathrm{N}\to\mathrm{M}</math>という経路の途中にあるとする。 :このとき、<math>\mathrm{L}</math>以外に<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在すると「<math>\mathrm{M}\to\mathrm{N}</math>という経路の途中にそのような点が無い」という最初の仮定に反するので :<math>\mathrm{M, N, L}</math>以外では<math>\kappa'(s)y(s)>0</math>である。 :同様に部分積分を行うことで矛盾した不等式を得、<math>\mathrm{M, N, L}</math>と異なる点で<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が少なくとも一つ存在することが判る。 :この時点で「<math>\mathrm{M, N}</math>間の二つの経路のいずれにも<math>\kappa'(s)=0</math>を満たす点が存在しない」という仮定が否定されたのでこれ以上背理法を適用することはできない。 :よって、頂点個数の最小値は<math>4</math>である。// 最小値4をとる卵形線が実際に存在することは楕円の例で確かめた。 この定理は「卵形線」を「(正則)単純閉曲線」に取り換えてもそのまま成り立つことが知られている。一般の閉曲線でこの定理を成り立たせるには追加の条件が必要となる。 先程も述べたように、接ベクトルと単位主法線ベクトルは2次元以上の空間内部にある曲線ならば定義することができる。そして、<math>\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0</math>も必ず成り立つ。よって、<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\boldsymbol{e}_n=0</math>の両辺を<math>s</math>で微分して :<math>\frac{d\boldsymbol{e}_t}{ds}\cdot\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=0</math> :<math>\therefore \boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_n=-\kappa</math> ここで「基底分解に於ける成分はその基底との内積に等しい」という性質から、<br/> 一般次元に於いても「<math>\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}</math>の接線方向成分は<math>-\kappa(s)</math>」であることが判る。 ここで<math>C^2</math>級曲線の位置ベクトル<math>\boldsymbol{r}(s)</math>に対して単位主法線<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を対応させることを考える。この対応を'''ガウス表示'''という。 <math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>を二次までテイラー展開すると<math>\Delta s>0</math>を微小量として :<math>\boldsymbol{e}_n(s+\Delta s)=\boldsymbol{e}_n(s)+\frac{d\boldsymbol{e}_n(s)}{ds}\Delta s + O(\Delta s^2)</math> ここで<math>\boldsymbol{e}_t\cdot\frac{d\boldsymbol{e}_n}{ds}=-\kappa</math>より、<math>s</math>を<math>\Delta s</math>だけ動かしたときの接線方向の速さは<math>|\kappa(s)|\Delta s</math>である（<math>\kappa(s)</math>が正で正の向き、負で負の向きに動くとする）。 閉曲線に対してはガウス表示によって法線方向の変化を完全に捉えられるので、<math>\kappa(s)</math>を微小量<math>\Delta s</math>に関して積分した<math>\int_a^b \kappa(s)ds</math>を考えてみる。 ガウス表示では曲線を単位主法線ベクトルの描く単位円として考えることができる。閉曲線では<math>\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}(b)</math>より明らかに<math>\boldsymbol{e}_n(a)=\boldsymbol{e}_n(b)</math>であり、閉曲線が一周する間にベクトル<math>\boldsymbol{e}_n(s)</math>はこの単位円を<math>m(\in\mathbb{Z})</math>周する^※。 <small>※物理的には「円そのものが動いても円周上の質点は『この円をどっちの方向に何周したか』という情報しか持たない」ので、単位円が動くことは議論にあまり関係ない</small> 弧度法より単位円を<math>m</math>周する符号付き道のりは<math>2\pi{m}</math>であり、ガウス表示より<math>\int_a^b \kappa(s)ds=2\pi{m}</math>。 従って、<math>m=\frac{1}{2\pi}\int_a^b \kappa(s)ds</math> この<math>m</math>を閉曲線の'''回転数'''と呼ぶことにする。 曲率が負の場合には積分値が途中で相殺されてしまうので、絶対値を付けて積分した :<math>\mu:=\int_a^b |\kappa(s)|ds</math> という量を考えることにする。 これを閉曲線の'''全曲率'''と呼ぶ。 全曲率に対して以下の定理が成り立つ。 {{定理|(フェンヒェルの定理)}} 滑らかな閉曲線の全曲率は<math>\mu\geq2\pi</math>を満たす。等号成立の場合は卵形線である。 {{定理終わり}} 証明は省略する。 ===曲面=== 多変数解析で既に扱った、三次元空間に於ける曲面の陽関数表示<math>z=f(x, y)</math>を'''モンジュ表示'''という。<math>f(x, y, z)=\mathrm{const}.</math>と陰関数表示された曲面は陰関数定理が成り立つ範囲でモンジュ表示に直すことができる。 一次式で陰関数表示される曲面を'''一次曲面'''という。平面の方程式より、一次曲面は全て平面である。 二次式で陰関数表示される曲面を'''二次曲面'''という。 以下、三次元空間に於ける二次曲面の例を挙げる。各係数は非退化条件を満たすとする。なお、「直線に平行な平面」は「直線を法線とする平面に垂直な平面」を意味することに注意。 *'''球面'''（sphere） :高校数学で扱ったように、点<math>(a, b, c)</math>を中心とする半径<math>r</math>の球面の方程式は<math>(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2</math>である。この球面上の点の位置ベクトルは<math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>なので、球面が満たすベクトル方程式は一般に<math>\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\|=\mathrm{const}.</math>である。これは円のベクトル方程式の次元を上げたものである。 *'''楕円面'''（ellipsoid） :楕円の方程式を拡張した方程式<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>が表す曲面である。<math>xyz</math>空間の基本面で切った断面は全て楕円となる。 *'''楕円拋物面'''（elliptic paraboloid） :楕円の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は拋物線となる。 *'''双曲拋物面'''（hyperbolic paraboloid） :双曲線の平面拘束条件を外した方程式<math>z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}</math>が表す曲面である。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は双曲線、平行な平面で切った断面は拋物線となる。また、原点は鞍点である。 *'''一葉双曲面'''（hyperboloid of one sheet） :楕円面の方程式の一つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。<math>z</math>軸に垂直な平面で切った断面は楕円、平行な平面で切った断面は双曲線となる。 *'''二葉双曲面'''（hyperboloid of two sheet） :楕円面の方程式の二つの項の符号を変えた<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math>の表す曲面。断面の分類は一葉双曲面と同じだが、<math>m^2<c^2</math>のときは平面<math>z=m</math>と交わらないため「二葉」と名付けられている。 *'''錐面'''（conical surface） :方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>の表す曲面。<math>xy</math>平面との交点は原点のみであり、<math>yz</math>平面・<math>zx</math>平面で切った断面は直線である。 閉区間<math>I\subset\mathbb{R}</math>上の一変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t) \quad(t\in I)</math>の解集合は次元に依らず曲線を表した。 同様に、領域^※<math>D\subset\mathbb{R}^2</math>上の二変数ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>を用いたベクトル方程式<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u) \quad({\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)}\in D)</math>の解集合は次元に依らず曲面を表すと考えられる。 厳密には[[線型代数学/基底と次元|階数・退化次数の定理]]<!-- 次元定理・線型写像の基本定理 -->などを用いてこのことを確かめられる。 <small>※ここでいう「領域」は冒頭で厳密に定義した「領域」であることに注意。</small> 曲線と同様に、曲面の'''パラメータ表示'''と'''ベクトル表示'''は次のように定義される。 :パラメータ表示：<math>\begin{cases} x_1&=&r_1(t, u) \\ x_2&=&r_2(t, u) \\ &\,\,\vdots& \\ x_n&=&r_n(t, u) \end{cases}</math> :ベクトル表示：<math>\left\{\boldsymbol{r}(t, u) \,\bigg|\, {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} t \\[-6pt] u \end{array}\right)} \in D \right\}</math> また、<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>のようにも表す。 例えば、<math>k>l>0</math>として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (k+l\cos u)\cos t \\ (k+l\cos u)\sin t \\ l\sin u \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq 2\pi \\ 0 \leq u \leq 2\pi \end{array} \right\})</math>は'''トーラス'''のベクトル表示である。 <math>\mathbb{R}^3</math>上の平面の方程式は高校数学に於いて<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>として一次式<math>ax+by+cz+d=0</math>と表せることを学んだ。 これのベクトル方程式を求めてみよう。 :①<math>c=0</math>のとき ::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+by+d=0 \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> ::[1]<math>b=0</math>のとき :::平面の方程式は<math>\begin{cases} ax+d=0 \\ y=\mathrm{const}. \\ z=\mathrm{const}. \end{cases}</math> :::<math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}</math>より<math>a\neq0</math> :::<math>y=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ t \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ::[2]<math>b\neq0</math>のとき :::<math>x=t, z=u</math>と置換すると :::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ -\frac{a}{b}t-\frac{d}{b} \\ u \end{pmatrix}</math> :::<math>\boldsymbol{r} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a}{b} \\ 0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{d}{b} \\ 0 \end{pmatrix}</math> :②<math>c\neq0</math>のとき ::<math>x=t, y=u</math>と置換すると ::<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ u \\ -\frac{a}{c}t-\frac{b}{c}u-\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> ::<math>\boldsymbol{r}=t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{a}{c} \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{b}{c} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{d}{c} \end{pmatrix}</math> なお、ここから平面のベクトル方程式が一般に<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}+u\boldsymbol{c}</math>という「直線のベクトル方程式を拡張した形」であることがわかる。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>且つ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\neq\boldsymbol{0}</math>である曲面を'''滑らか'''な曲面という。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>とその上の点<math>\mathrm{P}_0=(a, b)</math>に対し、曲線<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(a, u), \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, b)</math>をそれぞれ点<math>\mathrm{P}_0</math>に於ける'''<math>t</math>曲線'''・'''<math>u</math>曲線'''という。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)\in C^1</math>であるとき、偏導関数の定義から :<math>\frac{\partial}{\partial{u}}\boldsymbol{r}(a, u)=\frac{d}{du}\boldsymbol{r}(a, u)</math> :<math>\frac{\partial}{\partial{t}}\boldsymbol{r}(t, b)=\frac{d}{dt}\boldsymbol{r}(t, b)</math> ここで<math>a, b</math>をそれぞれ<math>t</math>軸・<math>u</math>軸上で動かすことで<math>t</math>曲線・<math>u</math>曲線の接ベクトルがそれぞれ<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}</math>であると判る。これらを曲面のパラメータ方向の'''接ベクトル'''という。 これらの接ベクトルが平行でないとき、曲面<math>S</math>上の任意の点<math>\mathrm{P}</math>に対して<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>の張る平面が定まる。これを曲面<math>S</math>の点<math>\mathrm{P}</math>に於ける'''接平面'''という。曲線の接線は一次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \bigg| \xi \in\mathbb{R} \right\}</math>で表されたが、曲面の接平面は二次元ベクトル空間<math>\left\{ \xi\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}+\eta\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \bigg| \xi, \eta \in \mathbb{R} \right\}</math>で表される。このような接ベクトル全体が張るベクトル空間を一般に'''接空間'''と呼ぶ。 接ベクトルの組が一次独立である曲面を'''正則'''な曲面という。滑らかな曲面は正則曲面である。 曲面<math>S</math>の接平面に垂直なベクトルを<math>S</math>の'''法線ベクトル'''という。 三次元空間ならば接平面を張る2ベクトルの外積<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>で求められる。 モンジュ表示された曲面<math>S:z=f(x, y)</math>に対して接平面の存在性（つまり曲面の正則性）は「二変数関数<math>f</math>の全微分可能」に対応した。ベクトル表示された曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>に対しては「ベクトル関数<math>\boldsymbol{r}</math>の全微分可能性」だけでは足りず、「ヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\boldsymbol{r})}}{\partial{(t, u)}}</math>の階数が2」も要求される。 以下、正則曲面のみ扱う。 <math>\boldsymbol{r}(t, u)</math>の微小変化は全微分で与えられる。 :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> 則ち、各パラメータを同時に<math>\begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} t+dt \\ u+du \end{pmatrix}</math>と単調に動かしたとき、対応する曲面上の点が描く領域は2ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt, \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行四辺形として近似できる。その微小面積は線型代数の内容から :<math>\sqrt{ \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt \right\|^2 \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du \right\|^2 - \left\{ \left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right) \right\}^2 }=\sqrt{\left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2 - \left( \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \right)^2 } dtdu</math> である。 これを領域<math>D=\mathrm{dom}\,S</math>で重積分してやれば曲面の表面積（'''曲面積'''）が求まると考えられる。 {{定理|(曲面積)}} <math>E := \left\| \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \right\|^2,\quad F := \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}},\quad G := \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2</math>とすると、<br> 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>の領域<math>D</math>に於ける曲面積は :<math>S=\iint_D \sqrt{EG-F^2}dtdu</math> {{定理終わり}} この<math>E, F, G</math>を<math>S</math>の'''第一基本量'''と呼ぶ。また、<math>dS:=\sqrt{EG-F^2}dtdu</math>を'''面素'''（面積素・面積要素）と呼ぶ。 <math>t, u</math>が共通のパラメータ<math>\theta</math>で媒介変数表示されるとき、曲面は曲線に退化するので線素を考えられる。 具体的には、 :<math>dl=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|d\theta</math> より :<math>\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\right\|^2=\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}</math> ここで合成関数の常微分公式より :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{d\theta}+ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{d\theta}</math> なので :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|^2\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right)\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{du}\right\|^2\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> :<math>=E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2</math> よって :<math>dl=\sqrt{E\left(\frac{dt}{d\theta}\right)^2+2F\frac{dt}{d\theta}\frac{du}{d\theta}+G\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2}d\theta=\sqrt{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> このように、線素は<math>\theta</math>のとり方に依存しない。 そこで、最後の式で右辺を二乗した :<math>I:=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> を<math>S</math>の'''第一基本形式'''と定める。 第一基本形式は二次形式になっていることが見て取れるので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{K}:=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>とおくと :<math>I={}^t\!\boldsymbol{v} \mathbf{K} \boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{K}</math>を'''第一基本行列'''という。 ここで<math>I=dl^2>0</math>なので<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、<math>\boldsymbol{x}_i=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{x}_j=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>と置いて第一基本量の定義を思い返してみると<math>\mathbf{K}_{ij}=\boldsymbol{x}_i \cdot \boldsymbol{x}_j</math>なのでこの行列は接ベクトルに関するグラム行列である。この意味でも、<math>\mathbf{K}</math>は正定値行列である。 また、面素の式で根号の中身が<math>\det\mathbf{K}</math>に等しいことも判る。 則ち、第一基本量が曲面の本質であると予想される。 <math>F=0 \land E=G=\lambda</math>であるとき、<math>\mathbf{K}=\lambda\mathbf{E}_2</math>である。このときのパラメータの組<math>(u, v)</math>を曲面の'''等温座標系'''という。 等温座標系で表示された曲面<math>S</math>に対し、第一基本形式は<math>I=\lambda(dt^2+du^2)</math>と二次形式の標準形となっている。則ち、等温座標系へのパラメータ変換は主軸変換である。 面素を考えると<math>dS=\lambda^2dtdu</math>と非常に単純な形となるほか、曲面上の角度計算が平面の場合と全く同じ式で与えられることも等温座標系の利点である。 曲面<math>S</math>上の各点<math>\mathrm{P}</math>に対して単位法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>を考える。ベクトル表示の定義域<math>D</math>でベクトル場<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>が連続であるとき、<math>S</math>は'''向き付け可能'''であるという。 向き付け不能な曲面の例として<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} (u\cos t+2)\sin 2t \\ (u\cos t+2)\cos 2t \\ u\sin t \end{pmatrix} \quad(D=\left\{ \begin{pmatrix} t \\ u \end{pmatrix} \bigg| \begin{array}{c} 0 \leq t \leq \pi \\ -1 \leq u \leq 1 \end{array} \right\})</math>と表される'''メビウスの帯'''が挙げられる。 メビウスの帯が向き付け不能である証明を概説する。 :接ベクトルをそれぞれ求める。簡単のため<math>u=0</math>として考える。単位法線ベクトルは外積を正規化して得るが、向きの取り方で正負の符号が付く。どちらの符号を採用するにしろ<math>\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(0, 0))\neq\boldsymbol{n}(\boldsymbol{r}(\pi, 0))</math>を得、<math>\boldsymbol{r}(0, 0)=\boldsymbol{r}(\pi, 0)</math>より同じ点に対して異なる法線ベクトルを出力するので<math>\boldsymbol{n}(\mathrm{P})</math>はwell-definedではなく、向き付け可能性の定義を満たさない。// 四次元以上の空間では法線ベクトルの方向を複数とれるため法線ベクトル場は扱いにくい。そこで、法線ベクトルに依らない定義を考えたい。 2つの滑らかな曲面<math>S_1, S_2</math>が以下を満たすとき、 #パラメータ<math>(t_1, u_1), (t_2, u_2)</math>の間に滑らかな全単射<math>\begin{cases}t_2 =\phi(t_1, u_1) \\ u_2=\psi(t_1, u_1) \end{cases}</math>が存在する。 #この変数変換のヤコビ行列<math>\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}</math>が正則。 #<math>\boldsymbol{r}_1(t_1, u_1)=\boldsymbol{r}_2(t_2, u_2)</math> この2つは'''パラメータ変換で同値'''という。 このとき、ヤコビアンが正であるパラメータの組は'''同じ向き'''、負であるパラメータの組は'''逆向き'''であるという。 任意の<math>(t_1, u_1)</math>に対して開近傍<math>U \subset \mathrm{dom}\,S_1</math>をとったとき、どの<math>U</math>上でも<math>\det\frac{\partial{(\phi, \psi)}}{\partial{(t_1, u_1)}}>0</math>を満足するならば<math>S_1</math>は'''向き付け可能'''という。 向き付け可能な曲面の接空間に対して右手系を成すような向きの法線ベクトルを'''外向き法線ベクトル'''と呼ぶ。 外向き法線の向く側を曲面の'''表'''、その反対側を曲面の'''裏'''と定義する。 <math>\partial{S}=\varnothing</math>を満たす正則曲面<math>S</math>を'''閉曲面'''という。ジョルダンの曲線定理を拡張した定理（'''ジョルダン・ブラウワーの分離定理'''）によって閉曲面が空間を内部・外部に分割することが保証される。内部に面する向きを閉曲面の裏、外部に面する向きを閉曲面の表と定義する。 パラメータ空間の座標軸の向きの組み合わせが<math>xy</math>平面と同じとき、外向き法線で定義される閉曲面の表裏は内部・外部から定義される表裏に一致する。 ===回転面=== ここでは三次元空間内の曲面について考える。 高校数学で回転体を扱ったが、領域の回転体の表面である曲面は元の領域の疆界である単純閉曲線を軸に関して回転したものである。そこで、平面上の任意の曲線を回転すると曲面（'''回転面'''）を得ると考えられる。 簡単な場合として、<math>x\geq0</math>で定義された<math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面を考える。 :任意の<math>k\in[0,\infty)</math>に関して曲線上の点は<math>\begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \\ f(k)\end{pmatrix}</math>と与えられる。 :領域<math>\left\{ {\scriptstyle\left(\begin{array}{c} x \\[-6pt] z \end{array}\right)} \big| x \leq k \right\}</math>を<math>y</math>軸に関して回転した回転体を平面<math>z=f(k)</math>で切った断面は半径<math>k</math>の閉円盤であり、疆界円周上の点を<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(k) \end{pmatrix}</math>とすると<math>k=\sqrt{x^2+y^2}</math>である。 :則ち回転体の疆界である回転面上の点<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は方程式<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math>を満たし、逆にこの方程式を満たす<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math>は回転面上にある。 纏めると以下のようになる。 {{定理|(回転面の方程式)}} <math>zx</math>平面上の曲線<math>z=f(x)\quad(x\geq0)</math>を<math>y</math>軸に関して回転させた回転面の方程式は :<math>z=f(\sqrt{x^2+y^2})</math> {{定理終わり}} <math>z</math>軸・<math>x</math>軸に関する回転面の方程式は変数を輪環の順に入れ替えることで得られる。 回転面に対し、元の曲線を'''母線'''という。 母線が直線である回転面は'''円錐'''である。 :<math>z=mx+n\quad(m\neq0,x\geq0)</math>とすれば<math>y</math>軸に関して回転した曲面の方程式は :<math>z=m\sqrt{x^2+y^2}+n</math> :<math>z-n = m\sqrt{x^2+y^2}</math> これを両辺二乗すると :<math>(z-n)^2=m^2x^2+m^2y^2</math> であり、錐面の方程式<math>\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math>を満たしていることがわかる。 回転軸が傾いている場合、<math>xyz</math>空間の回転行列<math>\mathbf{R}</math>を利用することで各軸に関する回転に帰着することもできるが、ここでは曲面のベクトル表示を扱ったのでベクトル方程式で回転を記述することを考えたい。 点<math>\mathrm{O}</math>から<math>\boldsymbol{r}</math>とそれに平行でない単位ベクトル<math>\boldsymbol{e}</math>が伸びており、そのなす角が<math>\theta</math>であるとする。<math>\boldsymbol{r}</math>の終点<math>\mathrm{P}</math>を含み<math>\boldsymbol{e}</math>を法線とする平面を<math>\Pi</math>、<math>\Pi</math>と直線<math>\{k\boldsymbol{e} \mid k>0\}</math>の交点を<math>\mathrm{N}</math>、<math>\mathrm{P}</math>を<math>\Pi</math>内で<math>\mathrm{N}</math>を中心として<math>\phi</math>回転した点を<math>\mathrm{Q}</math>、<math>\mathrm{NQ}</math>から<math>\mathrm{NP}</math>へ降ろした垂足を<math>\mathrm{R}</math>と置く。但し、回転角<math>\phi</math>の正の向きは<math>\boldsymbol{e}</math>を右螺子の進む向きとする方向に定める。 このとき、<math>\boldsymbol{r}</math>を<math>\boldsymbol{e}</math>に関して<math>\phi</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{r}'</math>は以下のように表される。 {{定理|(ロドリゲスの公式)}} :<math>\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\boldsymbol{r}'=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math> :<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の<math>\boldsymbol{e}</math>への正射影ベクトルなので ::<math>\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}}\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}</math> :<math>\triangle\mathrm{NQR}</math>を考えると<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NR}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\cos\phi</math>及び<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>より ::<math>\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cos\phi=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}})\cos\phi=\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi</math> :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}</math>は外積の定義から<math>\overrightarrow{\mathrm{NP}}</math>を<math>\Pi</math>上で<math>-\phi</math>方向に<math>\frac{\pi}{2}</math>だけ回転させたベクトルになるので、 :<math>\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e}/\!\!/\overrightarrow{\mathrm{RQ}}</math>と<math>\|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|\sin\phi</math>及び<math>\|\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\|=\|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\|</math>から ::<math>\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> :これらを足して ::<math>\boldsymbol{r}'=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}+\{\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}\}\cos\phi-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})(1-\cos\phi)\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math> ::<math>=\boldsymbol{r}\cos\phi+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{e})\,\mathrm{versin}\,\phi\,\boldsymbol{e}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})\sin\phi</math>// この証明ではベクトルの平行移動を用いているのでアフィン空間を前提とするが、この式そのものはアフィン構造に依存してないので一般のベクトル空間で成り立つ。 また、回転後のベクトルは母線のパラメータ<math>t</math>に加えて回転角<math>\phi</math>もパラメータとして有するので、<math>\boldsymbol{r}'(t, \phi)</math>という二変数ベクトル関数となって曲面を表すことになる。則ち、「曲線を回転すれば曲面を得る」という直感は正しい。 ロドリゲスの公式の応用として、例えば円錐のベクトル方程式が<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\mathrm{const}.</math>であることが導ける。 :円錐頂点の位置ベクトルを<math>\boldsymbol{p}</math>、軸ベクトルを<math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{a}</math>と角度<math>\alpha</math>をなす単位ベクトルを<math>\boldsymbol{v}</math>とする。このとき直線<math>\{k\boldsymbol{v}\mid k>0\}</math>が円錐の母線であり、母線と交わる向きである軸の法線ベクトルを<math>\boldsymbol{b}</math>とおく。 :ロドリゲスの公式より<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}</math>の周りに<math>\theta</math>だけ回転させたベクトル<math>\boldsymbol{v}'</math>は ::<math>\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}\cos\theta+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_a)\,\mathrm{versin}\,\theta\,\boldsymbol{e}_a-(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{e}_a)\sin\theta</math> :ここで<math>\boldsymbol{v}</math>を<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}</math>方向に基底分解すると ::<math>\boldsymbol{v}=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_b</math> :なので、 ::<math>\boldsymbol{v}'=\cos\alpha\boldsymbol{e}_a+\sin\alpha\{\boldsymbol{e}_b\cos\theta+(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\sin\theta\}</math> :円錐上の点<math>\boldsymbol{r}</math>の位置ベクトルは頂点から母線方向に<math>\rho</math>だけ進むので ::<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}+\rho\boldsymbol{v}'</math> :であり、 ::<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}=\rho\boldsymbol{v}'</math> :ここで<math>\|\boldsymbol{v}'\|=\|\boldsymbol{v}\|=1</math>より ::<math>\rho=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|</math> :このベクトルと軸ベクトルの内積をとると ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\boldsymbol{v}'\cdot\boldsymbol{a}</math> ::<math>=\rho\{\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\cos\theta(\boldsymbol{e}_b\cdot\boldsymbol{a})+\sin\alpha\sin\theta(\boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b)\cdot\boldsymbol{a}\}</math> :<math>\boldsymbol{e}_b, \boldsymbol{e}_a\times\boldsymbol{e}_b</math>とも<math>\boldsymbol{a}</math>に直交するので後ろの二項は消えて ::<math>(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}=\rho\cos\alpha(\boldsymbol{e}_a\cdot\boldsymbol{a})=\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha</math> :則ち ::<math>\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p})\cdot\boldsymbol{a}}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}\|}=\|\boldsymbol{a}\|\cos\alpha=\mathrm{const}.</math>// 円錐が先に与えられている場合は「<math>\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}</math>が母線の方向ベクトルなのは図より自明」とできるが、ここでは「母線が先に与えられて回転によって円錐が構成される」という立場を採ったのでロドリゲスの公式が効くのである。 ロドリゲスの公式で微小回転<math>d\phi</math>の場合を考える。 正弦関数・余弦関数の部分を1項目までテイラー展開して<math>\cos(d\phi)=1+O(d\phi^2), \sin(d\phi)= d\phi+O(d\phi^3)</math>なので<math>\mathrm{versin}(d\phi)=O(d\phi^2)</math>であり、 :<math>\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> ここで<math>d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}</math>なので :<math>d\boldsymbol{r}=-(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{e})d\phi+O(d\phi^2)</math> 則ち、ベクトル関数の全微分は微小回転で近似される。 オーダー記法の項を無視して<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{d\phi}{dt}\boldsymbol{e}</math>と置くと :<math>d\boldsymbol{r}=(d\phi\boldsymbol{e})\times\boldsymbol{r}</math> これの両辺を<math>dt</math>で割って :<math>\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</math> これは剛体の速度公式である。 ロドリゲスの公式の一次変換表記を考える。 <math>\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{r}'=\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>とすると、 :<math>\begin{pmatrix} r'_1 \\ r'_2 \\ r'_3 \end{pmatrix}=\cos\phi\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}+(ar_1+br_2+cr_3)\mathrm{versin}\,\phi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \sin\phi \begin{pmatrix} cr_2-br_3 \\ ar_3-cr_1 \\ br_1-ar_2 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} (\cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_1 + (ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi) r_2 + (ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi) r_3 \\ (ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi) r_1 + (\cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_2 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi) r_3 \\ (ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi) r_1 + (bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi) r_2 + (\cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi) r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \cos\phi + a^2\,\mathrm{versin}\,\phi & ab\,\mathrm{versin}\,\phi -c\sin\phi & ca\,\mathrm{versin}\,\phi + b\sin\phi \\ ab\,\mathrm{versin}\,\phi + c\sin\phi & \cos\phi + b^2\,\mathrm{versin}\,\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi -a\sin\phi \\ ca\,\mathrm{versin}\,\phi - b\sin\phi & bc\,\mathrm{versin}\,\phi+ a\sin\phi & \cos\phi + c^2\,\mathrm{versin}\,\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\mathrm{versin}\,\phi</math>を<math>1-\cos\phi</math>に戻して係数行列を<math>1, \cos\phi, \sin\phi</math>の項に分解してみると :<math>=\begin{pmatrix} a^2+(1-a^2)\cos\phi & ab-ab\cos\phi -c\sin\phi & ca-ca\cos\phi + b\sin\phi \\ ab-ab\cos\phi + c\sin\phi & b^2+(1-b^2)\cos\phi & bc-bc\cos\phi -a\sin\phi \\ ca-ca\cos\phi - b\sin\phi & bc-bc\cos\phi+ a\sin\phi & c^2+(1-c^2)\cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left\{ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi\begin{pmatrix} 1-a^2 & -ab & -ca \\ -ab & 1-b^2 & -bc \\ -ca & -bc & 1-c^2 \end{pmatrix} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> :<math>=\left[ \begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} + \cos\phi \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix} \right\} +\sin\phi\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}</math> ここで<math>\begin{pmatrix} a^2 & ab & ca \\ ab & b^2 & bc \\ ca & bc & c^2 \end{pmatrix}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>の<math>(i, j)</math>成分と<math>(j, i)</math>成分を掛けて並べた行列になっていることがわかる。これを<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}</math>と書くことにする。<math>\sin\phi</math>に係る行列を<math>\mathbf{N}</math>と置くと、 :<math>\boldsymbol{r}'=\{\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}+\cos\phi(\mathbf{E}_3-\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e})+\sin\phi\mathbf{N}\}\boldsymbol{r}</math> という表示を得る。 更に、<math>\mathbf{N}^2=\begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ca \\ ab & -c^2-a^2 & bc \\ ca & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix}</math>と<math>\|\boldsymbol{e}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>より :<math>\boldsymbol{e}\otimes\boldsymbol{e}=\mathbf{N}^2+(a^2+b^2+c^2)\mathbf{E}_3=\mathbf{N}^2+\mathbf{E}_3</math> が成り立つので、最終的に :<math>\boldsymbol{r}'=(\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2)\boldsymbol{r}</math> と二次の行列多項式で表示される。 なお、<math>\otimes</math>は発展節で紹介する'''テンソル積'''を表している。 ここで、行列<math>\mathbf{N}</math>についてより具体的に考えてみる。 先ず、<math>{}^t\!\mathbf{N}=-\mathbf{N}</math>が成り立つので<math>\mathbf{N}</math>は反対称行列（歪対称行列・交代行列）である。 <math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}</math>を計算すると :<math>\mathbf{N}\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} br_3-cr_2 \\ cr_1-ar_3 \\ ar_2-br_1 \end{pmatrix}=\boldsymbol{e}\times\boldsymbol{r}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}</math>は<math>\boldsymbol{e}</math>に関する外積（形式的には<math>\boldsymbol{e}\times</math>という左演算）を一次変換とみて表現行列に直したものである。 更に、成分計算により<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という性質が成り立つことも判る。外積を「ベクトルを90°回転させる演算」とみると、二回の演算によって180°回転するということなのでこの結果は妥当である。 ここで行列自然指数関数<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(\phi\mathbf{N})^i}{i!}</math>を考えてみると上の性質より三次以上の項は<math>\mathbf{N}^4=-\mathbf{N}^2, \mathbf{N}^5=\mathbf{N},\cdots</math>のように全て二次以下に帰着できる。<br> また、自然指数関数のテイラー展開は絶対収束級数なので各項は可換であり、<math>\mathbf{N}</math>の二次式として纏め直すと :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3 + (\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\frac{\phi^5}{5!}-\frac{\phi^7}{7!}+\cdots) \mathbf{N}+(\frac{\phi^2}{2!}-\frac{\phi^4}{4!}+\frac{\phi^6}{6!}-\frac{\phi^8}{8!}+\cdots)\mathbf{N}^2</math> ここで一次・二次の係数はそれぞれ正弦関数・正矢関数のテイラー展開になっているので結局は :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\mathbf{E}_3+\sin\phi\mathbf{N}+\mathrm{versin}\,\phi\mathbf{N}^2</math> ここから、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>は角度<math>\phi</math>に関する有限回転に対応することが判った。 このことは以下の考え方でも求まる。<br> <math>\mathbf{N}</math>の最小方程式は<math>\mathbf{N}^3+\mathbf{N}=\mathbf{O}_3</math>より<math>x(x^2+1)=0</math>であり固有値は<math>0, \pm{i}</math>と求まるので、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>の対角化行列は :<math>\begin{pmatrix} e^{0\phi} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}</math> ここで任意の解析関数<math>f</math>について<math>f(\mathbf{N})</math>のテイラー展開は二次以下の多項式になるので :<math>\exp(\phi\mathbf{N})=\alpha\mathbf{E}_3+\beta\mathbf{N}+\gamma\mathbf{N}^2</math> これを実多項式に戻した<math>\alpha+\beta{x}+\gamma{x^2}</math>が<math>e^{\phi{x}}</math>と任意の固有値で一致すればよい（二次補間）ので、 :<math>\begin{cases} e^0 = \alpha \\ e^{i\phi} = i\beta -\gamma \\ e^{-i\phi} = -i\beta-\gamma \end{cases}</math> :<math>\iff \begin{cases} 1 = \alpha \\ \cos\phi+i\sin\phi = (\alpha -\gamma) + i\beta \end{cases}</math> :<math>\therefore \begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\sin\phi \\ \gamma=1-\cos\phi=\mathrm{versin}\,\phi \end{cases}</math> 則ち、<math>\mathbf{N}^3=-\mathbf{N}</math>という構造は<math>\Psi_\mathbf{N}(x)=x(x^2+1)</math>という最小多項式に起因するということである。 更に[[表現論]]の観点から見ると、三次直交行列全体である回転群<math>SO(3)</math>に対し、<math>\mathbf{N}</math>は<math>SO(3)</math>の単位元に於ける接空間（三次反対称行列全体・則ちリー代数<math>\mathfrak{so}(3)</math>）の元であり、<math>\exp(\phi\mathbf{N})</math>はリー群<math>SO(3)</math>の元である。ここで行列自然指数関数は「リー代数からリー群へ引き戻す写像」なので'''指数写像'''と呼ばれる。 これが[[#フレネ標搆]]で述べた「直交変換の一次近似が反対称変換」という事実のより正確な表現である。 補足だが、力学で扱う[[w:オイラー角]]というものを導入するとロドリゲスの公式を各座標軸に関する回転の合成で表すこともできる。 ===種々の曲率=== ここでは三次元空間内の正則曲面について考える。 曲面<math>S:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t, u)</math>上で定義され弧長パラメータ表示された正則曲線<math>C:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t(s), u(s))</math>を考える。 <math>C</math>の接ベクトルは合成関数微分公式より :<math>\boldsymbol{t}=\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}</math> と表示される。 ここで両辺の<math>ds</math>を形式的に払うと :<math>\boldsymbol{t}ds=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> これの自分自身との内積をとると :<math>\|\boldsymbol{t}\|^2(ds)^2=\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> 弧長パラメトライズされた接ベクトルは単位ベクトルであり、右辺のベクトル演算の部分を第一基本量で置き換えると :<math>ds^2=E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2</math> と、第一基本形式を別の方法で得られた。 <math>C</math>の主法線ベクトルは合成関数微分を繰り返し適用することで :<math>\boldsymbol{n}_C=\frac{d\boldsymbol{t}}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d}{ds}\left(\frac{du}{ds}\right)</math> :<math>=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\frac{du}{ds}\right)\frac{dt}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\frac{du}{ds}\right)\frac{du}{ds}+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> :<math>=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\frac{d^2t}{ds^2}+2\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\left(\frac{du}{ds}\right)^2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\frac{d^2u}{ds^2}</math> ここで、<math>S</math>の法線ベクトル<math>\boldsymbol{n}_S=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\times\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>は一般に<math>\boldsymbol{n}_C</math>と一次従属とは限らない。 後の話を単純にするため<math>\boldsymbol{n}_S</math>を正規化したベクトルを<math>\boldsymbol{e}_S</math>と置いて<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を計算してみる。 :<math>\boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}, \boldsymbol{e}_S\perp\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}</math>より :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\frac{dt}{ds}\frac{du}{ds}+\left(\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2</math> ここで各内積<math>L=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad M=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S,\quad N=\frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第二基本量'''と呼ぶ。 <math>\boldsymbol{n}_C, \boldsymbol{e}_S</math>のなす角を<math>\psi</math>とすると<math>C</math>の曲率を<math>\kappa_C</math>として :<math>\boldsymbol{n}_C\cdot\boldsymbol{e}_S=\kappa_C \cos\psi</math> なので<math>ds</math>に関して形式的に通分して :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> 右辺の分子<math>I\!I:=L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2</math>を<math>S</math>の'''第二基本形式'''という。 <math>\begin{cases}\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S=0 \end{cases}</math>を<math>t</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}\partial{u}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=0 \end{cases}</math> また、<math>u</math>で偏微分すると :<math>\begin{cases} \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}\partial{t}}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \\ \frac{\partial^2{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}^2}\cdot\boldsymbol{e}_S+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}=0 \end{cases}</math> ここから第二基本量は :<math>L=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}},\quad M=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad N=-\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}</math> とも表示され、第二基本形式の別表示 :<math>I\!I=-\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> を得る。 これは更に全微分から微小ベクトル同士の内積として :<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot{d}\boldsymbol{e}_S</math> とも書ける。 第一基本形式は曲面上の微小変位の自身との内積だったが、第二基本形式は曲面上の微小変位と法線方向の微小変位の内積である。則ち、第一基本形式は曲面の内在的な量、第二基本形式は曲面の外在的な量である。 第一基本形式と同様に第二基本形式は二次形式なので、<math>\boldsymbol{v}:=\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}, \mathbf{H}=\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>と置くと :<math>I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{H}\boldsymbol{v}</math> と行列表示できる。この<math>\mathbf{H}</math>を'''第二基本行列'''という。 ここで、モンジュ表示された曲面<math>z=f(x, y)</math>に対して第二基本行列を考えてみる。 :<math>\boldsymbol{r}(t, u)=\begin{pmatrix} t \\ u \\ f(t, u)\end{pmatrix}</math>なので[[解析学基礎/多変数関数の微積分#全微分]]の結果を参照すると直ちに :<math>L=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad M=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{t}\partial{u}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2},\quad N=\frac{\frac{\partial^2{f}}{\partial{u}^2}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}</math> :が判るので、 :<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{t}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\right)}^2}\begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{t}^2} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{tu}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{u^2}} \end{pmatrix}</math> これはヘッシアンを法線の長さで割った行列である。 則ち、任意の正則曲面に対して第二基本行列はヘッセ行列と同じ役割をすると考えられる。 実際、点<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で<math>\det\mathbf{H}</math>が正である曲面は<math>\mathrm{P}</math>の開近傍で上下どちらかに凸であり、負である曲面は<math>\mathrm{P}</math>で鞍点となることが知られている。 このように第二基本形式は曲面の「曲がり方」を表す量と考えられるので、曲面に対する曲率も考えられる。 ここで第二基本形式を定義した式 :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{ds^2}</math> に立ち戻ると、右辺の分母は<math>s</math>に依存しない第一基本形式なので第一基本量を用いて :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math> 右辺を形式的に<math>dt^2</math>で割ると :<math>\kappa_C\cos\psi=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> この右辺は<math>\boldsymbol{n}_C</math>に依存しない量なので<math>\boldsymbol{n}_S, \boldsymbol{n}_C</math>のなす角度である<math>\psi</math>にも依存しない。 そこで、この値を曲面<math>S</math>の'''法曲率'''と定義する。 :<math>\varkappa:=\frac{L+2M\frac{du}{dt}+N\left(\frac{du}{dt}\right)^2}{E+2F\frac{du}{dt}+G\left(\frac{du}{dt}\right)^2}</math> 法曲率の幾何学的意味を考える。 <math>\varkappa=\kappa_C\cos\psi</math>より、<math>\cos\psi=1</math>のとき<math>S</math>の法曲率と<math>C</math>の曲率が一致する。このとき<math>\boldsymbol{n}_S /\!\!/ \boldsymbol{n}_C</math>であり、<math>C</math>は曲面上の点<math>\mathrm{P}</math>とそこでの曲面の法線<math>\boldsymbol{n}_S(\mathrm{P})</math>を含む平面で曲面を切断した切り口（'''法切り口'''）に対応する曲線（'''法曲線'''）である。 則ち、法曲率は法曲線の曲率に対応する。 なお、法曲線<math>C</math>は切断に用いる平面に拘束されるので接ベクトル<math>\boldsymbol{t}_C</math>も平面に拘束される。則ち、拘束平面は<math>\{\boldsymbol{t}_C, \boldsymbol{n}_C\}</math>の張る接触平面である。 法切り口を齎す平面は法線を軸にして回転することができ、その回転角によって法曲率の値が異なることになる。この回転は具体的にはロドリゲスの公式によって記述されるが、法曲率の極大値・極小値は<math>\varkappa</math>を<math>k=\frac{du}{dt}</math>の関数とみることで以下のように考えることができる。 :法曲率の定義式より ::<math>\varkappa(E+2Fk+Gk^2)=L+2Mk+Nk^2</math>・・・(*) :これが<math>k</math>の恒等式なので微分しても等号が成り立ち、 ::<math>\frac{d\varkappa}{dk}(E+2Fk+Gk^2)+\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math> :フェルマーの定理より<math>\frac{d\varkappa}{dk}=0</math>を満たす<math>(k, \varkappa)</math>が極値点の候補なので ::<math>\varkappa(2F+2Gk)=2M+2Nk</math>・・・(@) :が成り立つ必要がある。 :これを<math>k</math>倍して(*)を引くと ::<math>\varkappa(E+Fk)=L+Mk</math>・・・(#) :これと(@)を連立して ::<math>k=-\frac{\varkappa{F}-M}{\varkappa{G}-N}</math> :これを(#)に代入して ::<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)=0</math>・・・($) :という二次方程式を得る。 :($)が相異なる二つの実根<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を持てばそれらは極小値・極大値である。 :逆に、極小値・極大値を持てばフェルマーの定理より($)を満たす。// この<math>\kappa_1, \kappa_2</math>を<math>S</math>の'''主曲率'''という。 ($)の左辺を変形してみると、 :<math>(EG-F^2)\varkappa^2-(GL+EN-2FM)\varkappa+(LN-M^2)</math> :<math>=\{EG\varkappa^2-(GL+EN)\varkappa+LN\}-\{F^2\varkappa^2-2FM\varkappa+M^2\}</math> :<math>=(L-\varkappa{E})(N-\varkappa{G})-(M-\varkappa{F})^2</math> :<math>=\det\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}</math> :<math>=\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})</math> という、第一基本行列と第二基本行列を用いた形が出てきた。 ここで<math>\varkappa=\frac{L(dt)^2+2Mdtdu+N(du)^2}{E(dt)^2+2Fdtdu+G(du)^2}</math>を変形して :<math>(L-\varkappa{E})dt^2+2(M-\varkappa{F})dtdu+(N-\varkappa{G})du^2=0</math> これを二次形式表示すると :<math>\begin{pmatrix} dt & du \end{pmatrix}\begin{pmatrix} L-\varkappa E & M - \varkappa F \\ M - \varkappa F & N - \varkappa G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=0</math> と、同じ<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>がここでも登場する。 この行列は法曲率を持つ方向を二次形式で判定しているが、主曲率を持つ場合はラグランジュの未定乗数法より<math>(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})\begin{pmatrix} dt \\ du \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math>が成り立ち、これが<math>\det(\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K})=0</math>という式の正体である。更に言うと、<math>\mathbf{H}\boldsymbol{x}=\varkappa\mathbf{K}\boldsymbol{x}</math>という一般化固有値問題の解が主曲率<math>\kappa_1, \kappa_2</math>に対応している。このときの一般化固有ベクトル<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>を主曲率に対する'''主方向'''という。 二つの主方向の関係を調べる。 :主方向の定義より ::<math>\begin{cases} (\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ (\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K}) \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> :なので ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2(\mathbf{H}-\kappa_1\mathbf{K})\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0} \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1(\mathbf{H}-\kappa_2\mathbf{K})\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{0} \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_1\mathbf{H}\boldsymbol{x}_2=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_1 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_2 \end{cases}</math> :第一基本行列・第二基本行列とも対称行列なので第二式の転置をとって ::<math>\begin{cases} {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_1{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \\ {}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{H}\boldsymbol{x}_1=\kappa_2{}^t\!\boldsymbol{x}_2 \mathbf{K}\boldsymbol{x}_1 \end{cases}</math> :上下の式の差をとって ::<math>(\kappa_1-\kappa_2){}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}</math> :<math>\kappa_1=\kappa_2</math>のときは<math>\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2</math>に関する恒等式であるので、<math>\kappa_1\neq\kappa_2</math>のときを考える。 ::<math>{}^t\!\boldsymbol{x}_2\mathbf{K}\boldsymbol{x}_1=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_2+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_2\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}t_1+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}u_1\right)=0</math> :この二つのベクトルは主方向を向くので2つの主方向は直交する。 <math>\kappa_1=\kappa_2</math>（法曲率<math>\varkappa(t, u)=\mathrm{const}.</math>）の場合、<math>S</math>の接平面内の任意の方向が主方向となるので「どの方向にも一様な曲がり方をする」と考えられる。このような主曲率を与える点を'''臍点'''という。任意の点が臍点である曲面は球面である。 上の結果から、'''臍点でない各点で2つの主方向は直交する'''。 主曲率に対して解と係数の関係から得る値 :<math>H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{GL+ENN-2FM}{2EG-F^2},\quad K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}</math> をそれぞれ<math>S</math>の'''平均曲率'''・'''全曲率'''（'''ガウス曲率'''）という。 全曲率の式を見ると<math>K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{\det\mathbf{H}}{\det\mathbf{K}}=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H})</math>である。 そこで、<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>と定義してみると行列式の性質より<math>K</math>は<math>\mathbf{S}</math>の固有値の積である。 ここで<math>\mathbf{S}</math>の固有方程式は :<math>\det(\mathbf{S}-\lambda\mathbf{E})=\det(\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}-\lambda\mathbf{E})=\det\mathbf{K}^{-1}\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> <math>\det\mathbf{K}^{-1}\neq0</math>より :<math>\det(\mathbf{H}-\lambda\mathbf{K})=0</math> これは主曲率を定義した二次方程式($)のことだったので、この方程式の解である固有値は<math>\lambda=\kappa_1, \kappa_2</math>である。 則ち、<math>K=\det\mathbf{S},\quad H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\mathbf{S}</math>が成り立つ。 更に、第一基本行列から第二基本行列への一次変換を考えると以下が成り立つことも判る。但し、こちらもフレネ=セレーと同様に厳密にはベクトルを列に並べるのが正しいことに注意。 {{定理|(ヴァインガルテンの式)}} :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=-\mathbf{S}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> {{定理終わり}} *証明 :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>と置く。 :両辺に<math>{}^t\!\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math>を右から掛けると行列積であることに注意して :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix} \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}} & \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix}</math> :<math>\therefore -\mathbf{H}=\mathbf{A}\mathbf{K}</math> :<math>\therefore \mathbf{A}=-\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1}=-\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}=-\mathbf{S}</math>// 臍点で行列<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}</math>を考えると<math>\varkappa=\kappa_1=\kappa_2</math>及び「主方向が任意」から :<math>\mathbf{H}-\varkappa\mathbf{K}=\mathbf{O}</math> であり、これを成分で書き下せばヴァインガルテンの式より法曲率に関して :<math>\begin{cases} \varkappa=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} = \varkappa \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{cases}</math> を得る。 <math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}</math>に於いて<math>\mathbf{K}</math>は正定値対称行列なので正則対称な主平方根<math>\mathbf{K}^{1/2}</math>が存在して :<math>\mathbf{S}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}</math> ここで<math>\mathbf{T}=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math>という相似変換で表された行列を考えてみると :<math>\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{S}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{1/2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{K}^{-1/2}\mathbf{H}\mathbf{K}^{-1/2}</math> :<math>=\mathbf{T}</math> であり、<math>\mathbf{S}\sim\mathbf{T}</math>なのでこれらの2つの固有値の組は一致する。 :<math>\mathbf{H}={}^t\!\mathbf{H}</math> より :<math>{}^t\!\mathbf{T}=\mathbf{T}</math> が成り立つので、<math>\mathbf{T}</math>は対称行列であり2つの固有値は実数である。 よって<math>\mathbf{S}</math>の二つの固有値はともに実数であるが、この固有値は($)の解<math>\kappa_1, \kappa_2</math>のことだったので($)は虚根を持たず、'''主曲率は必ず実数'''である。 モンジュ表示された曲面では先程求めた第二基本量の表式から直ちに :<math>H=\frac{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}+\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2\right\}\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2}-2\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}}{{2\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}},\quad K=\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}-\left(\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\right)^2}{\left\{1+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right)^2\right\}^2}</math> を得る。 等温座標系では<math>\mathbf{K}^{-1}=\frac{1}{\lambda^2}\mathbf{E}_3</math>より<math>\mathbf{S}=\frac{1}{\lambda^2}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}</math>なので、平均曲率・ガウス曲率はそれぞれ<math>H=\frac{L+N}{2\lambda^2},\quad K=\frac{LN-M^2}{\lambda^4}</math>と簡単に求まる。 ある点に於ける2つの主曲率はそれぞれその点に於ける極大方向・極小方向の曲がり方を与えるので、<math>\kappa_1, \kappa_2</math>の符号の組み合わせがその点近傍に於ける曲面の曲がり方を与えることになる。 具体的には、両方とも正なら上に凸、負なら下に凸、異符号なら鞍点となる。主曲率が0ならばその主方向に対して曲がっていないということである。 主曲率の積である全曲率の符号を見ても良い。全曲率が正ならば上下どちらかに凸、負ならば鞍点である。第一基本行列が正定値行列であることから主曲率の符号は第二基本行列の行列式と一致するので先程の「第二基本行列がヘッセ行列の一般化」という話に繫がる。 任意点で<math>H=0</math>を満たす曲面を'''極小曲面'''という。極小曲面は曲面を連続変形させたときに曲面積の最小値を与える曲面であることが知られている。 平面は自明な極小曲面である。他にも<math>z=\ln\left(\frac{\cos y}{\cos x}\right)(-\frac{\pi}{2}<x, y<\frac{\pi}{2})</math>（シェルクの第一曲面）などが知られている。 極小曲面は表面張力の理論に応用されている。 例えば石鹼膜のつくる曲面について、膜上点での表裏の圧力差<math>P</math>・その点での表面張力<math>T</math>及び平均曲率<math>H</math>に対し<math>P=2TH</math>が成立する（ヤング=ラプラスの公式）ことが知られているが、閉曲線である枠に張った膜が割れずに安定して存在する条件は全ての点で<math>P=H=0</math>、則ち極小曲面のときである。 曲面<math>S</math>上の微小変位<math>d\boldsymbol{r}</math>、法線方向の微小変位<math>d\boldsymbol{e}_S</math>に対して第一基本形式は<math>I=d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r}</math>、第二基本形式は<math>I\!I=-d\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>であった。 最後の組み合わせである<math>d\boldsymbol{e}_S\cdot d\boldsymbol{e}_S</math>を<math>S</math>の'''第三基本形式'''と定義する。 :<math>I\!I\!I:=\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)\cdot\left(\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}du\right)</math> :<math>=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2(dt)^2+2\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}dtdu+\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2(du)^2</math> これを同様に二次形式の行列表示に直すと<math>\mathbf{W}:=\begin{pmatrix} \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2 & \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}} & \left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2 \end{pmatrix}</math>として :<math>I\!I\!I={}^t\!\boldsymbol{v}\mathbf{W}\boldsymbol{v}</math> この<math>\mathbf{W}</math>を'''第三基本行列'''という。 見て判る通り、'''第三基本量'''は<math>P=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\right\|^2,\quad Q=\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{t}}\cdot\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}},\quad R=\left\|\frac{\partial{\boldsymbol{e}_S}}{\partial{u}}\right\|^2</math>である。 臍点でないとき2つの主方向は直交するので、臍点を持たない曲面に対して主方向を直交基底としたパラメータ表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(p, q)</math>を考えられる。 このとき、各基本形式は :<math>I=dp^2+dq^2</math> :<math>I\!I=\kappa_1dp^2+\kappa_2dq^2</math> :<math>I\!I\!I=\kappa^2_1dp^2+\kappa^2_2dq^2</math> と表示されることが知られている。 第三基本形式は第一基本形式と第二基本形式の線型結合で表示される。 :<math>I\!I\!I=2HI\!I-KI</math> このことはヴァインガルテンの式と平均曲率・全曲率の定義を用いて確かめられる。 これに関連し、第二基本量で定義された全曲率は第一基本量のみで表されることが知られている。つまり、曲率という外在的な量を第一基本形式という内在的な量のみで記述でき、言い換えると「曲面を考えるときに'''曲面の外側の空間を考える必要が無い'''」ということである。 この定理は発見者自身も驚愕したことから'''ガウスの驚異の定理'''と呼ばれている。詳しくは発展節で扱う。 なお、平均曲率を考えるときは外側の空間の情報が必要である。 ==直交曲線座標系== {{節stub}} ===円筒座標系=== 平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。 空間座標を3つの実数の組<math>(r, \theta, z)</math>で表した座標系を'''円筒座標系'''（'''円柱座標系'''、cylindrical coordinate system）という。ただし、<math>r</math>は原点からの（符号付き）距離、<math>\theta</math>は基準面に於ける始線からの正の回転角、<math>z</math>は基準面からの高さである。 円筒座標系は、円座標系の<math>r\theta</math>平面に<math>z</math>軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。 そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。 :<math>\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan\frac{y}{x} \\ z=z \end{cases}</math> 但し、<math>r</math>は基準面の裏側では負とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に円筒座標系の座標軸を決定する。一般に座標軸は直線とは限らないので、「軸」ではなく「曲線」と呼ぶことにする（'''座標線'''）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。 :<math>r</math>曲線：<math>z</math>軸上の点を通り<math>z</math>軸に垂直な半直線。 :<math>\theta</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内にあり、中心が<math>z</math>軸上にある円周。 :<math>z</math>曲線：<math>z</math>軸に平行な直線。 ここで、各曲線に沿った微小変化がどのように表されるか見ていく。 <math>\boldsymbol{f}: (r,\theta,z)\to(x,y,z)</math>とする。 <math>\boldsymbol{f}</math>全体の微小変化は全微分<math>d\boldsymbol{f}=\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}</math>で表される。 上で求めた関係式より :<math>\boldsymbol{f}\begin{pmatrix} r \\ \theta \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{pmatrix}</math> なので、 :<math>\frac{\partial{(x,y,z)}}{\partial{(r,\theta,z)}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial{r}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\cos\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\cos\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{\theta}}r\sin\theta & \frac{\partial}{\partial{z}}r\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial{r}}z & \frac{\partial}{\partial{\theta}}z & \frac{\partial}{\partial{z}}z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> よって :<math>d\boldsymbol{f}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr \\ d\theta \\ dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}dr + \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \end{pmatrix}rd\theta + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}dz </math> 再右辺の各項を<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>と書くことにすると、<math>|d\vec{r}|, |d\vec{\theta}|, |d\vec{z}|</math>はそれぞれ<math>dr, rd\theta, dz</math>とわかる。<math>r, \theta, z</math>を物理量として捉えたとき<math>d\theta</math>の単位はラジアン（無次元量）であり、<math>rd\theta</math>の単位はメートル（長さの次元1）なので、次元の整合性が取れる。 纏めると以下のようになる。 {| class="wikitable" | ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_x</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_y</math>成分 ||style="text-align:center;"| <math>\boldsymbol{e}_z</math>成分 ||style="text-align:center;"| ノルム |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{r}</math> ||style="text-align:center;"| <math>\cos\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>\sin\theta dr</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>dr</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{\theta}</math> ||style="text-align:center;"| <math>-r\sin\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>r\cos\theta d\theta</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>rd\theta</math> |- |style="text-align:center;"| <math>d\vec{z}</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>0</math> ||style="text-align:center;"| <math>1</math> ||style="text-align:center;"| <math>dz</math> |} ここで<math>d\vec{r}, d\vec{\theta}, d\vec{z}</math>は内積を取ればどの組も互いに直交することが容易にわかるので、この3つのベクトルは3次元ユークリッド空間の直交基底である。 そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。 :<math>\boldsymbol{e}_r = \frac{d\vec{r}}{dr} = \cos\theta \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_\theta = \frac{d\vec{\theta}}{rd\theta} = -\sin\theta\boldsymbol{e}_x+\cos\theta\boldsymbol{e}_y</math> :<math>\boldsymbol{e}_z=\frac{d\vec{z}}{dz}=\boldsymbol{e}_z</math> これを一次変換の形式で表すと :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> となる。 このときの表現行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから'''座標変換行列'''又は'''基底変換行列'''という。場合によっては'''変換テンソル'''とも呼ぶ。 なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、<math>xyz</math>空間に於ける<math>z</math>軸まわりの回転行列に等しい。 逆基底変換はこの座標変換行列の逆行列を求めれば定式化できる。 回転行列は直交行列なので :<math>\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= {}^t \! \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> であり、 :<math>\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix}</math> 円筒座標系は、[[電磁気学]]の解析でよく使用される。 例えば、高校物理の公式<math>B(r)=\frac{\mu_0I}{\tau r}</math>は、円筒座標系を知っていれば「電流が<math>z</math>軸に平行であることから磁場は<math>z</math>方向に一葉且つ<math>\theta</math>方向に回転対称なので、<math>r</math>方向の項のみが寄与する」と理解される。 ===極座標系=== 高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度<math>\theta</math>と経度<math>\phi</math>で定めることができる。 一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離<math>r</math>が必要である。 このようにして定められる座標系を'''三次元極座標系'''（polar coordinate system in 3D）または'''球（面）座標系'''（spherical coordinate system）という。 xyz座標空間の点<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>の極座標表示を考える。 <math>r=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>は容易にわかる。 <math>\theta</math>は<math>z</math>軸からの'''天頂角'''（zenith angle）であり、<math>\overrightarrow{\mathrm{OP}}</math>の<math>z</math>軸への正射影ベクトルを<math>\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}</math>とすると<math>\tan\theta = \frac{|\vec{h}|}{z}</math>が成り立つ。<math>|\vec{h}|=\sqrt{x^2+y^2}</math>より、<math>\theta=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}</math>である。 <math>\phi</math>は<math>x</math>軸からの'''方位角'''（azimuth angle）であり、<math>\mathrm{P}</math>から<math>xy</math>平面に降ろした垂足<math>\mathrm{Q}</math>を考えると<math>\tan\phi=\frac{y}{x}</math>とわかる。よって、<math>\phi=\arctan\frac{y}{x}</math>である。 逆に、これを<math>\mathrm{P}(x, y, z)</math>に復元することを考える。 <math>\triangle\mathrm{OHP}</math>について<math>\angle\mathrm{HOP}=\theta</math>なので、<math>z=\overline{\mathrm{OH}}=r\cos\theta</math>。 また、<math>\triangle\mathrm{OPQ}</math>について<math>\angle\mathrm{OPQ}=\theta</math>なので、<math>\overline{\mathrm{OQ}}=r\sin\theta</math>。 よって<math>x=\overline{\mathrm{OQ}}\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi, y=\overline{\mathrm{OQ}}\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi</math>。 以上を纏めると、直交座標と球面座標の対応関係は :<math>\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases} \iff \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \end{cases}</math> 一般に緯度は<math>-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ</math>、経度は<math>-180^\circ \leqq \phi \leqq 180^\circ</math>の範囲で表される（但し、符号の違いは東⇔西、南⇔北の違いである）。同様に、球面座標の天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>は<math>\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\tau}{4}], \phi \in [-\frac{\tau}{2}, \frac{\tau}{2}]</math>で考える。赤道面より下側（すなわち南半球）では<math>\theta<0</math>とする。 直交座標の<math>z</math>軸を基に極座標系の座標線を決定する。 :<math>r</math>曲線：原点を通る半直線。 :<math>\theta</math>曲線：原点中心で<math>z</math>軸上の一点から出る半円弧。 :<math>\phi</math>曲線：<math>z</math>軸を法線とする平面内で<math>z</math>軸上に中心を持つ円周。 各曲線に沿った微小変化は円柱座標系の場合と同様、ベクトル場の全微分を用いて :<math>\begin{cases} d\vec{r}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix} dr \\ d\vec{\theta}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}rd\theta \\ d\vec{\phi} = \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{pmatrix} r\sin\theta d\phi \end{cases}</math> と求まる。 これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{pmatrix}</math> と変換テンソルが求まる。 これも直交行列であるので、逆変換テンソルは :<math>\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix}</math> と求まる。 球面座標系は、[[古典力学]]の解析でよく使用される。 例えば、赤道平面における角運動量保存則は<math>mr^2\frac{d\phi}{dt}=\mathrm{const}.</math>と表示されるが、これは<math>z</math>軸方向の角運動量を球面座標系の演算により取り出したものである。 球面座標系は特に機械制御に応用されている。 円柱座標系・球面座標系ともに各基底ベクトルが互いに直交しているので、そのことを明示して（且つ通常の直交座標系と区別して）'''直交曲線座標系'''（orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。以下で扱う座標系たちも直交曲線座標系である。 ===円環座標系=== ===双極座標系=== ===回転放物面座標系=== ===放物柱座標系=== ===回転楕円面座標系=== ===楕円柱座標系=== ===楕円体座標系=== ==空間微分== ===勾配=== ===発散=== ===回転=== ===ラプラシアン=== ==空間積分== ===線積分=== ===面積分=== ===体積分=== ===ガウスの発散定理=== ===ストークスの定理=== ===グリーンの定理=== ==発展事項== {{節stub}} {{Advanced|多様体論}} {{Advanced|微分幾何学}} {{Advanced|積分幾何学}} ここではベクトル解析の発展編及び微分幾何学の基礎編として、「ユークリッド空間の部分多様体上の微分幾何学」を扱う。言うなれば「<math>n</math>次元版のベクトル解析学」である。 ===体積分再考=== 体積分は先程「<math>\mathbb{R}^3</math>上の閉立体<math>V</math>」上で考えたが、実はここには線積分・面積分との大きな非対称性がある。 線積分は「曲線」、面積分は「曲面」を積分領域としたが、先程定義した体積分の積分領域は「平坦な立体」なのである（二次元で例えば楕円領域<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1</math>は境界こそ"曲線"だが空間そのものは<math>\mathbb{R}^2</math>という"平面"であることと同じ）。 1次元の曲がった空間である曲線<math>M^1:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)</math>が<math>\mathbb{R}^2</math>内、2次元の曲がった空間である曲面<math>M^2:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t)</math>が<math>\mathbb{R}^3</math>内に存在するように、3次元の曲がった空間である曲立体<math>M^3:\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s, t, u)</math>は<math>\mathbb{R}^4</math>内に存在すると考えるのが自然である。ここで一般に<math>M^n\subset\mathbb{R}^{n+1}</math>が成り立つと予想され、この関係を「<math>M^n</math>の<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>への'''埋め込み'''」と呼ぶことにする。 線積分を<math>C=M^1</math>、面積分を<math>S=M^2</math>で定義したように、体積分を<math>M^3</math>で定義することを考える。 媒介変数空間<math>\begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} \in V \subset\mathbb{R^3}</math>上の微小変化を考えると全微分を用いて :<math>d\boldsymbol{r}=\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math> よって<math>V</math>上の微小立方体<math>dsdtdu</math>は3ベクトル<math>\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}}ds,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}}dt,\quad\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}}du</math>の張る微小平行六面体へ移される。 体素はこの微小平行六面体の体積と考えられるが、<math>\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^4</math>より当然この3ベクトルは4項ベクトルなので、'''外積を含んでいるスカラー三重積は使えない'''。 全微分を一次変換表記すると :<math>d\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{s}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{t}} & \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\begin{pmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{s}} & \frac{\partial{x}}{\partial{t}} & \frac{\partial{x}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{s}} & \frac{\partial{y}}{\partial{t}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{s}} & \frac{\partial{z}}{\partial{t}} & \frac{\partial{z}}{\partial{u}} \\ \frac{\partial{w}}{\partial{s}} & \frac{\partial{w}}{\partial{t}} & \frac{\partial{w}}{\partial{u}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> :<math>=\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\begin{pmatrix} ds \\ dt \\ du \end{pmatrix}</math> ここでヤコビ行列は<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\in\mathbb{R}^{4\times3}</math>であって'''正方行列でないので行列式も求まらない'''。 そこで、[[線型代数学続論/種々の行列#随伴行列|グラム行列]]を利用することを考える。 '''グラム行列は必ず半正定値行列'''なので行列式は非負であり、平方根をとれる。 そのため、<math>\mathbf{G}:=\left(\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}\right)^*\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>として<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を体積拡大率とする。 これは正方行列ならヤコビアンの絶対値に一致する。 {{NavTop|title=補足：体積拡大率に一致する証明}} :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}</math>の列ベクトルにグラム=シュミットの直交化法を適用すると[[線型代数学続論/行列分解|QR分解]]によって :<math>\frac{\partial{(x, y, z, w)}}{\partial{(s, t, u)}}=\mathbf{QR}\quad (\mathbf{Q}\in\mathbb{R}^{4\times3}, \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times3})</math> よって :<math>\mathbf{G}=(\mathbf{QR})^*\mathbf{QR}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^*\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{E}_3\mathbf{R}</math>（<math>\because\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列） :<math>=\mathbf{R}^*\mathbf{R}</math> :<math>\therefore \sqrt{\det\mathbf{G}}=\sqrt{\det\left( \mathbf{R}^*\mathbf{R} \right)}=\sqrt{\left(\det\mathbf{R}\right)^2}=|\det\mathbf{R}|</math> <math>\mathbf{Q}</math>は列ユニタリ行列なのでその一次変換は等長変換であり、全微分による拡大率は<math>\mathbf{R}</math>による拡大率と一致する。<br/> 則ち、<math>\sqrt{\det\mathbf{G}}</math>を拡大率としてとれる。// {{NavBottom}} よって体積分は :<math>\iiint_{M^3} f(\boldsymbol{r})dM^3 = \iiint_{V} f(\boldsymbol{r}(s, t, u))\sqrt{\det\mathbf{G}}\,dsdtdu</math> ここから、適切な媒介変数表示が存在するならば<math>M^n</math>上での体積分の計算に<math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus M^n</math>の情報は入ってこず、<math>M^n</math>の情報のみで計算されると予想される。 実際、<math>M^n</math>に適切な媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})\quad(\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n)</math>が存在するとき、全微分による一次変換の拡大率は同様にグラム行列式の平方根で与えられるので体積素は<math>dM^n = \sqrt{\det\mathbf{G}} \prod_{k=1}^{n}d\boldsymbol{p}_k</math>と書け、これは正しい。 なお、二次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\mathbf{K}</math>より<math>dM^2=dS</math>であり、面素に一致する。一次元の場合を考えると<math>\mathbf{G}=\|d\boldsymbol{r}\|^2</math>より<math>dM^1=dl</math>であり、線素に一致する。 実は、体素だけでなく一般に角度や長さといった幾何学的な量は埋め込み先である<math>\mathbb{R}^{n+1}</math>の情報を全く必要とせず、<math>M^n</math>の情報だけで構成できることが知られている。このことは微分幾何学のうち[[w:リーマン幾何学|リーマン幾何学]]と呼ばれる分野で詳しく扱われる。 ここまで<math>M^n</math>を適切な媒介変数<math>\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^n</math>で表すことを強調してきたが、媒介変数表示を考えるということは<math>M^n</math>から媒介変数空間<math>U\subset\mathbb{R}^n</math>への射影<math>\pi:M^n\to U</math>を考えるということである。 ここで、この<math>\pi</math>が全単射ならば逆向きの射影<math>\pi^{-1}:U\to M^n</math>が存在してそれが媒介変数表示<math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{p})</math>となるわけであるが、これは以下のようにも捉えられる。 :<math>\pi</math>によって射影した平坦な空間で座標を設定すると、'''適切な逆変換^※によって曲がった空間<math>M^n</math>上に(局所)座標系を与えることができる'''。 つまり、体積分を媒介変数空間に置換積分するということは、逆に体積分の元の表示が「<math>M^n</math>上の局所座標系に於ける積分」であることを示している。 ※この適切な逆変換が存在する条件は'''陰関数定理そのもの'''である。 ここで、適切な媒介変数表示が存在するよう<math>M^n</math>に制限を課したものが、以下で扱う'''多様体'''である。 ===多様体=== ===微分形式=== [[線型代数学続論/外積代数]]も参照。 ===リーマン計量=== ===テンソル解析=== [[線型代数学続論/テンソル代数]]も参照。 ===複素ベクトル解析=== [[複素解析学]]も参照。 {{DEFAULTSORT:へくとるかいせき}} [[Category:解析学]] [[Category:微分積分学]] [[Category:ベクトル解析|かいせきかくきそ]] 389y1826hyp475jdv175dmkb8l76lrl 0 46580 304261 303936 2026-10-04T10:11:45Z Linguae 449 /* 各節注解 */ 進捗 304261 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <span style="font-size:13pt;">『<span style="background-color:#ffc;">[[ガリア戦記 第7巻]]</span>』の単語や構文を詳しく読み解く <span style="background-color:#fc8;font-size:15pt;">'''[[ガリア戦記/注解編|注解編]]'''</span> の目次。</span> {| id="toc" style="border:0px #ddf; align:left;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#ccf; text-align:center;" colspan="10"| ガリア戦記 第7巻 注解 |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/1節|1節]] |[[/2節|2節]] |[[/3節|3節]] |[[/4節|4節]] |[[/5節|5節]] |[[/6節|6節]] |[[/7節|7節]] |[[/8節|8節]] |[[/9節|9節]] |[[/10節|10節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/11節|11節]] |[[/12節|12節]] |[[/13節|13節]] |[[/14節|14節]] |[[/15節|15節]] |[[/16節|16節]] |[[/17節|17節]] |[[/18節|18節]] |[[/19節|19節]] |[[/20節|20節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/21節|21節]] |[[/22節|22節]] |[[/23節|23節]] |[[/24節|24節]] |[[/25節|25節]] |[[/26節|26節]] |[[/27節|27節]] |[[/28節|28節]] |[[/29節|29節]] |[[/30節|30節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/31節|31節]] |[[/32節|32節]] |[[/33節|33節]] |[[/34節|34節]] |[[/35節|35節]] |[[/36節|36節]] |[[/37節|37節]] |[[/38節|38節]] |[[/39節|39節]] |[[/40節|40節]]<!-- |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/41節|41節]] |[[/42節|42節]] |[[/43節|43節]] |[[/44節|44節]] |[[/45節|45節]] |[[/46節|46節]] |[[/47節|47節]] |[[/48節|48節]] |[[/49節|49節]] |[[/50節|50節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 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style="background:#f5fefe; text-align:left; font-size: 0.8em;" colspan="10"| [[ガリア戦記 第1巻/注解|'''注解'''&nbsp; 第1巻]] | [[ガリア戦記 第2巻/注解|第2巻]] | [[ガリア戦記 第3巻/注解|第3巻]] | [[ガリア戦記 第4巻/注解|第4巻]] | [[ガリア戦記 第5巻/注解|第5巻]] | [[ガリア戦記 第6巻/注解|第6巻]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] |<!-- [[ガリア戦記 第8巻/注解|第8巻]]--> |} <br style="clear:both;" /> __notoc__ == 各節注解 == [[画像:Gaule_-52.png|thumb|right|150px|ガリア戦記 第7巻の情勢図（BC52年）。<br>黄色の領域がローマ領。桃色が同盟部族領。]] ===カルヌーテース族の蜂起=== *<span style="background-color:#fff;">[[/1節]]　{{進捗|25%|2025-11-03}}</span>　（175語） *<span style="background-color:#fff;">[[/2節]]　{{進捗|25%|2025-11-05}}</span>　（71語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/3節]]　{{進捗|25%|2025-11-17}}</span>　（93語）　　　短い節 ===ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起=== *<span style="background-color:#fff;">[[/4節]]　{{進捗|25%|2025-12-05}}</span>　（202語）　　長い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/5節]]　{{進捗|25%|2025-12-14}}</span>　（128語） *<span style="background-color:#fff;">[[/6節]]　{{進捗|25%|2025-12-15}}</span>　（67語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/7節]]　{{進捗|25%|2025-12-16}}</span>　（78語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/8節]]　{{進捗|25%|2026-01-03}}</span>　（126語） *<span style="background-color:#fff;">[[/9節]]　{{進捗|25%|2026-01-15}}</span>　（143語） *<span style="background-color:#fff;">[[/10節]]　{{進捗|25%|2026-01-16}}</span>　（96語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/11節]]　{{進捗|25%|2026-02-02}}</span>　（181語） *<span style="background-color:#fff;">[[/12節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}</span>　（118語） *<span style="background-color:#fff;">[[/13節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}</span>　（88語）　　　短い節 ===アウァーリクム攻略戦=== *<span style="background-color:#fff;">[[/14節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}</span>　（177語） *<span style="background-color:#fff;">[[/15節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}</span>　（114語） *<span style="background-color:#fff;">[[/16節]]　{{進捗|25%|2026-03-26}}</span>　（64語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/17節]]　{{進捗|25%|2026-03-29}}</span>　（183語） *<span style="background-color:#fff;">[[/18節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}</span>　（81語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/19節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}</span>　（145-147語） *<span style="background-color:#fff;">[[/20節]]　{{進捗|25%|2026-05-05}}</span>　（307-310語）　　かなり長い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/21節]]　{{進捗|25%|2026-05-17}}</span>　（61語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/22節]]　{{進捗|25%|2026-06-08}}</span>　（115語） *<span style="background-color:#fff;">[[/23節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}</span>　（129語） *<span style="background-color:#fff;">[[/24節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}</span>　（147語） *<span style="background-color:#fff;">[[/25節]]　{{進捗|25%|2026-07-08}}</span>　（121語） *<span style="background-color:#fff;">[[/26節]]　{{進捗|25%|2026-07-19}}</span>　（119語） *<span style="background-color:#fff;">[[/27節]]　{{進捗|25%|2026-08-01}}</span>　（79語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/28節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}</span>　（162語） *<span style="background-color:#fff;">[[/29節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}</span>　（122語） *<span style="background-color:#fff;">[[/30節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}</span>　（90語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/31節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}</span>　（107語） ===ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反=== *<span style="background-color:#fff;">[[/32節]]　{{進捗|25%|2026-09-23}}</span>　（150語） *<span style="background-color:#fff;">[[/33節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span>　（150語） *<span style="background-color:#fff;">[[/34節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span> == 関連項目 == *<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記]]</span><!--【2006年4月23日起稿】--> **<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編]]</span><!--(2020-03-27)--> ***<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版]]　{{進捗|00%|2020-04-17}}</span><!--(2020-04-17)--> ***<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編/表記のゆれ]]　　{{進捗|00%|2026-03-29}}</span><!--(2026-03-29)--> **<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/用例集]]　　　　　　　　　{{進捗|00%|2020-03-29}}</span><!--(2020-03-29)--> **[[ガリア戦記/内容目次]]：巻・章・節の内容を記した目次　{{進捗|75%|2011-04-02}} **[[ガリア戦記/参照画像一覧]]：本文で参照した画像一覧　 {{進捗|75%|2011-04-16}} *<span style="background-color:#ffd;font-size:15px;">[[古典ラテン語]]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{{進捗|00%|2018-04-18}} </span> <br><div style="font-size:30pt;">ĀĒĪŌŪ _āēīōū_āēīōū_ &nbsp; Ă Ĕ Ĭ Ŏ Ŭ ă ĕ ĭ ŏ ŭ </div> <div style="font-size:13pt;"> <math>\overline{\mbox{VIIII}} </math> </div><!-- [[w:Help:数式の表示]] --> <!--▲三点-->&#8943;　<!--◀左括弧-->&lsquo;　<!--▶右括弧-->&rsquo; <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;"></span> <!-- *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">† : </span>校訂者が、テクストが壊れていると判断した部分をこの記号で囲んでいる。 --> <!-- <ruby><rb>●漢字●</rb><rp>（</rp><rt>●ルビ●</rt><rp>）</rp></ruby> --> <!-- *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/1節]]　{{進捗|00%|2026-09-23}}</span> --> <!-- :　<!--　[[wikt:en:|　--> --> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--><!----><!----><!----><!----> <!--⁽⁾ --> <!--❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿⓫⓬--><!----> == 関連記事 == {{Wikisource|la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII|ガリア戦記 第7巻(ラテン語)}} *ウィキソース **<span style="font-family:Times New Roman;">[[s:la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII]] (第7巻 ラテン語)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;">[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7 Scaife Viewer | De Bello Gallico] (第7巻 ラテン語)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;">[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-eng2:7/ Scaife Viewer | Gallic War] (第7巻 英訳)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;">[[s:fr:La Guerre des Gaules/Livre VII]] (第7巻 仏訳)</span> ---- {{Commons|Category:Battles of Caesar's Gallic Wars|Battles of Caesar's Gallic Warsのカテゴリ}} {{Commons|Category:Murus gallicus|Category:Murus gallicus ガリア壁のカテゴリ}} *<span style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;">[[wikt:fr:Catégorie:Mots en latin issus d’un mot en gaulois]]</span> ---- *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorīx]]　ウェルキンゲトリークス *[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族 :　 *[[wikt:en:agri_cultura#Latin|agrī cultūra]] *[[wikt:en:bellum#Latin|bellum]] *[[wikt:en:hiberna#Noun|hīberna]] :　 ===地名=== *[[wikt:en:Gallia#Latin|Gallia]] **Gallia [[wikt:en:cisalpinus#Latin|cisalpīna]]　　ガッリア・キサルピーナ **[[wikt:en:Gallia_transalpina#Latin|Gallia trānsalpīna]]　ガッリア・トラーンサルピーナ ＜ [[wikt:en:transalpinus#Latin|trānsalpīna]] **Gallia [[wikt:en:comatus#Latin|comāta]] *[[wikt:en:Germania#Latin|Germānia]] :　 *[[wikt:en:Aquitania#Latin|Aquītānia]]　ア *[[wikt:en:Avaricum#Latin|Avāricum]]　アウ *[[wikt:en:Gergovia#Latin|Gergovia]]　 *[[wikt:en:Arduenna#Latin|Arduenna]]　 *[[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]　 *[[wikt:en:Hercynia|Hercynia]]　 *[[wikt:en:Narbo#Latin|Narbō]]　ナルボー *[[wikt:en:Noviodunum#Latin|Noviodūnum]]　ノウィオ *[[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunodūnum]]　ウェッラ ===部族名=== *[[wikt:en:Galli#Latin|Gallī]] *[[wikt:en:Aedui#Latin|(H)aeduī]]　➡　[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　 *[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族 *[[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigēs]]　ビトゥリゲース族 *[[wikt:en:Boii#Latin|Boiī]]　ボ *[[wikt:en:Cadurci#Latin|Cadurcī]]　カドゥルキー族　＞　[[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcus]] **[[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterius]]　ルクテリウス *[[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnūtēs]]　カルヌーテース族 *[[wikt:en:Cherusci#Latin|Chēruscī]] *[[wikt:en:Condrusi#Latin|Condrūsī]] * *[[wikt:en:Eburones#Latin|Eburōnēs]]　（エブローネース） *[[wikt:en:Gabali#Latin|Gabalī]]　ガバリー族 *[[wikt:en:Germani#Latin|Germānī]] *[[wikt:en:Graecus#Noun|Graecī]] *[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　ハエドゥイー族 *[[wikt:en:Helvetii#Latin|Helvētiī]]　ヘルウェーティイー族 *[[wikt:en:Helvii#Latin|Helviī]]　ヘルウィイー族 *[[wikt:en:Menapii#Latin|Menapiī]] *[[wikt:en:Nervii#Latin|Nerviī]] *[[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobrigēs]]　ニティオブリゲース族 *[[wikt:en:Rauraci#Latin|Rauracī]] *[[wikt:en:Remi#Latin|Rēmī]]　レーミー族 *[[wikt:en:Romani#Latin|Rōmānī]] *[[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutēnī]]　ルテーニー族 *[[wikt:en:Segni#Latin|Segnī]]　（セグニー） *[[wikt:en:Senones#Latin|Senonēs]]　セノネース族 *[[wikt:en:Sequani#Latin|Sēquanī]]　（セークァニー） *[[wikt:en:Suebi#Latin|Suēbī]] *[[wikt:en:Sugambri#Latin|Sugambrī]] *[[wikt:en:Tectosages#Latin|Tectosagēs]]　（テクトサゲース） *[[wikt:en:Tencteri#Latin|Tenctērī]] *[[wikt:en:Tolosates#Latin|Tolōsātēs]]　トローサーテース族 *[[wikt:en:Treveri#Latin|Trēverī]] *[[wikt:en:Ubii#Latin|Ubiī]] *[[wikt:en:Usipetes#Latin|Usipetēs]] *[[wikt:en:Volcae#Latin|Volcae]]　ウォルカエ族 **[[wikt:en:Arecomici#Latin|Arecomicī]]　ア :[[wikt:fr:Nemetes]]　（ネメテース） ===登場人物=== *[[wikt:en:Caesar#Latin|Caesar]] :　 [[w:fr:Catégorie:Personnalité de la guerre des Gaules]] : *[[wikt:en:Commius|Commius]] **[[w:コンミウス]] **[[w:la:Commius]] **[[w:en:Commius]] **[[w:fr:Commios]] *[[wikt:en:Cicero#Latin|Cicerō]] **[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クイーントゥス・トゥッリウス・キケロー]] **[[w:la:Quintus Tullius Cicero]] **[[w:en:Quintus Tullius Cicero]] **[[w:fr:Quintus Tullius Cicero]] *[[wikt:en:Crassus#Latin|Crassus]] *[[wikt:en:Labienus#Latin|Labiēnus]] **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・ラビエーヌス]] <!-- *? **Crassus ***[[w:プブリウス・リキニウス・クラッスス]] ***[[w:la:Publius Licinius Crassus]] ***[[w:en:Publius Licinius Crassus (son of triumvir)]] ***[[w:fr:Publius Crassus]] **Labienus (副官) ***[[w:la:Titus Labienus]] ***[[w:en:Titus Labienus]] ***[[w:fr:Titus Labienus]] **Brutus ***[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス]] ***[[w:la:Decimus Iunius Brutus Albinus]] ***[[w:en:Decimus Junius Brutus Albinus]] ***[[w:fr:Decimus Junius Brutus Albinus]] --> <br> ===第7巻の関連記事=== <div style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;"> </span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;"></span> == 外部リンク == *[[ガリア戦記/注解編#外部リンク]]　を参照。 *[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#オンライン注釈書等]]　等を参照。 ===オンライン注釈書=== <div style="background-color:#eeeeee;"> ====Caesar's Gallic war : notes by F. W. Kelsey (1897)==== :C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : ::Caesar's Gallic war : with an introduction, notes, and vocabulary ::: by [[w:en:Francis Kelsey|Francis Willey Kelsey (1858-1927)]], Fifteenth Edition (1897) :::: (HathiTrust Digital Library　[[w:ハーティトラスト|ハーティトラスト・デジタルライブラリ]]で電子化) :: [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=19 Contents] (#19) ;:─TEXT─ :: '''Book 7''' ： [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=243 Commentarius Septimus] &nbsp; (#243) ;:─NOTES─ :: '''Book 7''' # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=460 BOOK VII., I.-II.] (#460), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=461 III.-V.] (#461), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=462 VI.-IX.] (#462), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=463 X.-XII.] (#463), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=464 XIII.-XV.] (#464), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=465 XVI.-XVIII.] (#465), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=466 XIX.-XXI.] (#466), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=467 XXII.-XXIII.] (#467), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=468 XXIV.- ] (#468), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=469 XXV.-XXVIII.] (#469), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=470 XXIX.-XXXII.] (#470), :: '''Book 6''' # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=441 I.] (#441), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=442 II.-III.] (#442), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=443 IV.-VII.] (#443), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=444 VIII.-IX.] (#444), </div> ====English translation by W. A. McDevitte & W. S. Bohn (1869)==== # [http://www.forumromanum.org/literature/caesar/gallic.html (www.forumromanum.org)] # (www.perseus.tufts.edu) ## [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Caes.+Gal.+7.1 C. Julius Caesar, Gallic War, Book 7, chapter 1] <!-- ====Eastman, Frederick Carlos., D'Ooge, Benjamin L. 1860-1940.(1917)==== <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;"> *[https://catalog.hathitrust.org/Record/001058370 Catalog Record: Caesar in Gaul and selections from the third... | HathiTrust Digital Library] (catalog.hathitrust.org) :[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=7&skin=2021 #7 - Caesar in Gaul and selections from the third book of the Civil ... - Full View | HathiTrust Digital Library] (babel.hathitrust.org) :BOOK IV. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=393&skin=2021 #393 ] :IV.34,-38. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=403&skin=2021 #403 ] </span> --> ====Harkness, Albert (1889)==== <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;"><span style="font-size:15pt;">Caesar's Commentaries on the Gallic War, 　</span><span style="font-size:13pt;">with notes, dictionary, and a map of Gaul.</span><br>　　<span style="font-size:15pt;"> 　　edited by <u>[[w:en:Albert Harkness|Albert Harkness (1822-1907)]]</u> <ref>[http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Harkness%2C%20Albert%2C%201822%2D1907 Harkness, Albert, 1822-1907 | The Online Books Page]</ref>, New York, [[w:en:D. Appleton & Company|D. Appleton and Company]], 1889 (Rivised Edition)</span></span> ::Caesar's commentaries on the Gallic war; with notes, dictionary, ... (Full View | HathiTrust Digital Library) ;　BOOK SEVENTH # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&view=1up&seq=373 #373] ;　DICTIONARY # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&view=1up&seq=387 #387] ===Humanitext Reader=== <div style="background-color:#ffffdd;"> * Humanitext Reader｜ギリシア語・ラテン語古典の原文と日本語訳　-　https://reader.humanitext.ai/ * Humanitext Reader — Greek & Latin Classics with English Translation　-　https://reader.humanitext.ai/en *:※日本語・英語・中国語・韓国語の４言語により、ギリシア語・ラテン語作品との対訳テキストを読むことができる。 ** [https://reader.humanitext.ai/library/phi0448.phi001.humanitext-lat2 ガリア戦記（ユリウス・カエサル）原文・日本語訳・あらすじ — Gallic War · Humanitext Reader] *** [https://reader.humanitext.ai/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:1.1.1-1.1.7 ガリアの三分とそこに住む諸部族｜『ガリア戦記』§1.1.1-1.1.7（ユリウス・カエサル）ラテン語原文・日本語訳 · Humanitext Reader] ** [https://reader.humanitext.ai/en/library/phi0448.phi001.humanitext-lat2 Gallic War (Julius Caesar) — Original Latin Text, English Translation & Summary · Humanitext Reader] *** [https://reader.humanitext.ai/en/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:1.1.1-1.1.7 The Three Divisions of Gaul and Their Inhabitants — Gallic War §1.1.1-1.1.7 (Julius Caesar) | Latin text & English translation · Humanitext Reader] </div> ===IntraText CT=== * <span style="background-color:#ffffcc;">[https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_INDEX.HTM De bello Gallico - Table of Contents - IntraText CT]</span> *: （ハイパーテキスト化されたテキストと、単語リストおよびコンコーダンスを組み合わせたもの） ** [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_STAT.HTM De bello Gallico - Statistics - IntraText CT] （頻度ごと単語リストのデータ集） ====Incerti auctoris（編者不詳）==== ; [https://books.google.co.jp/books?id=uLA8AAAAIAAJ&lpg=PA98&dq=Caesar+to+Cicero.+Be+of+good+courage.+Expect+aid&pg=PP1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Caesar Gallic War V with vocabulary]（第5巻）-Google ブックス（プレビュー） ;[https://www.latein.me/ Latein-Wörterbuch - Latein.me] # [https://www.latein.me/text/3/Caesar/37/De+Bello+Gallico+%28V%29/p/0 De Bello Gallico (V) - Caesar - Latein.me] <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;"></span> ;nodictionaries.com <!-- :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-1/1 '''Caesar De Bello Gallico 1''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-2/1 '''Caesar De Bello Gallico 2''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-3/1 '''Caesar De Bello Gallico 3''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-4/1 '''Caesar De Bello Gallico 4''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] --> :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-5/1 Caesar De Bello Gallico 5 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] ==脚注== <references /> [[Category:ガリア戦記 第7巻|*#]] dg3j3kc4s3sn5or0aj1vhwotjti738s 304263 304261 2026-10-04T10:21:55Z Linguae 449 /* 関連項目 */ 304263 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;background-color:#fff0ff;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <span style="font-size:13pt;">『<span style="background-color:#ffc;">[[ガリア戦記 第7巻]]</span>』の単語や構文を詳しく読み解く <span style="background-color:#fc8;font-size:15pt;">'''[[ガリア戦記/注解編|注解編]]'''</span> の目次。</span> {| id="toc" style="border:0px #ddf; align:left;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#ccf; text-align:center;" colspan="10"| ガリア戦記 第7巻 注解 |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/1節|1節]] |[[/2節|2節]] |[[/3節|3節]] |[[/4節|4節]] |[[/5節|5節]] |[[/6節|6節]] |[[/7節|7節]] |[[/8節|8節]] |[[/9節|9節]] |[[/10節|10節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/11節|11節]] |[[/12節|12節]] |[[/13節|13節]] |[[/14節|14節]] |[[/15節|15節]] |[[/16節|16節]] |[[/17節|17節]] |[[/18節|18節]] |[[/19節|19節]] |[[/20節|20節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/21節|21節]] |[[/22節|22節]] |[[/23節|23節]] |[[/24節|24節]] |[[/25節|25節]] |[[/26節|26節]] |[[/27節|27節]] |[[/28節|28節]] |[[/29節|29節]] |[[/30節|30節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/31節|31節]] |[[/32節|32節]] |[[/33節|33節]] |[[/34節|34節]] |[[/35節|35節]] |[[/36節|36節]] |[[/37節|37節]] |[[/38節|38節]] |[[/39節|39節]] |[[/40節|40節]]<!-- |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/41節|41節]] |[[/42節|42節]] |[[/43節|43節]] |[[/44節|44節]] |[[/45節|45節]] |[[/46節|46節]] |[[/47節|47節]] |[[/48節|48節]] |[[/49節|49節]] |[[/50節|50節]] |- style="background:#f8f8ff; text-align:right; font-size: 0.85em;" |[[/51節|51節]] |[[/52節|52節]] |[[/53節|53節]] |[[/54節|54節]] |[[/55節|55節]] |[[/56節|56節]] |[[/57節|57節]] |[[/58節|58節]] |[[/59節|59節]] |[[/60節|60節]] |- style="background:#f8f8ff; 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第5巻/注解|第5巻]] | [[ガリア戦記 第6巻/注解|第6巻]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] |<!-- [[ガリア戦記 第8巻/注解|第8巻]]--> |} <br style="clear:both;" /> __notoc__ == 各節注解 == [[画像:Gaule_-52.png|thumb|right|150px|ガリア戦記 第7巻の情勢図（BC52年）。<br>黄色の領域がローマ領。桃色が同盟部族領。]] ===カルヌーテース族の蜂起=== *<span style="background-color:#fff;">[[/1節]]　{{進捗|25%|2025-11-03}}</span>　（175語） *<span style="background-color:#fff;">[[/2節]]　{{進捗|25%|2025-11-05}}</span>　（71語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/3節]]　{{進捗|25%|2025-11-17}}</span>　（93語）　　　短い節 ===ウェルキンゲトリークスとガッリア同盟軍の蜂起=== *<span style="background-color:#fff;">[[/4節]]　{{進捗|25%|2025-12-05}}</span>　（202語）　　長い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/5節]]　{{進捗|25%|2025-12-14}}</span>　（128語） *<span style="background-color:#fff;">[[/6節]]　{{進捗|25%|2025-12-15}}</span>　（67語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/7節]]　{{進捗|25%|2025-12-16}}</span>　（78語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/8節]]　{{進捗|25%|2026-01-03}}</span>　（126語） *<span style="background-color:#fff;">[[/9節]]　{{進捗|25%|2026-01-15}}</span>　（143語） *<span style="background-color:#fff;">[[/10節]]　{{進捗|25%|2026-01-16}}</span>　（96語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/11節]]　{{進捗|25%|2026-02-02}}</span>　（181語） *<span style="background-color:#fff;">[[/12節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}</span>　（118語） *<span style="background-color:#fff;">[[/13節]]　{{進捗|25%|2026-02-25}}</span>　（88語）　　　短い節 ===アウァーリクム攻略戦=== *<span style="background-color:#fff;">[[/14節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}</span>　（177語） *<span style="background-color:#fff;">[[/15節]]　{{進捗|25%|2026-03-08}}</span>　（114語） *<span style="background-color:#fff;">[[/16節]]　{{進捗|25%|2026-03-26}}</span>　（64語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/17節]]　{{進捗|25%|2026-03-29}}</span>　（183語） *<span style="background-color:#fff;">[[/18節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}</span>　（81語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/19節]]　{{進捗|25%|2026-04-21}}</span>　（145-147語） *<span style="background-color:#fff;">[[/20節]]　{{進捗|25%|2026-05-05}}</span>　（307-310語）　　かなり長い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/21節]]　{{進捗|25%|2026-05-17}}</span>　（61語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/22節]]　{{進捗|25%|2026-06-08}}</span>　（115語） *<span style="background-color:#fff;">[[/23節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}</span>　（129語） *<span style="background-color:#fff;">[[/24節]]　{{進捗|25%|2026-06-21}}</span>　（147語） *<span style="background-color:#fff;">[[/25節]]　{{進捗|25%|2026-07-08}}</span>　（121語） *<span style="background-color:#fff;">[[/26節]]　{{進捗|25%|2026-07-19}}</span>　（119語） *<span style="background-color:#fff;">[[/27節]]　{{進捗|25%|2026-08-01}}</span>　（79語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/28節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}</span>　（162語） *<span style="background-color:#fff;">[[/29節]]　{{進捗|25%|2026-08-12}}</span>　（122語） *<span style="background-color:#fff;">[[/30節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}</span>　（90語）　　　短い節 *<span style="background-color:#fff;">[[/31節]]　{{進捗|25%|2026-08-29}}</span>　（107語） ===ゲルゴウィア攻略戦、ハエドゥイー族の離反=== *<span style="background-color:#fff;">[[/32節]]　{{進捗|25%|2026-09-23}}</span>　（150語） *<span style="background-color:#fff;">[[/33節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span>　（150語） *<span style="background-color:#fff;">[[/34節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span> == 関連項目 == *<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記]]</span><!--【2006年4月23日起稿】--> **<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編]]</span><!--(2020-03-27)--> ***<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版]]　{{進捗|00%|2020-04-17}}</span><!--(2020-04-17)--> ***<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/注解編/表記のゆれ]]　　{{進捗|00%|2026-03-29}}</span><!--(2026-03-29)--> **<span style="background-color:#ffd;">[[ガリア戦記/用例集]]　　　　　　　　　{{進捗|00%|2020-03-29}}</span><!--(2020-03-29)--> **[[ガリア戦記/内容目次]]：巻・章・節の内容を記した目次　{{進捗|75%|2011-04-02}} **[[ガリア戦記/参照画像一覧]]：本文で参照した画像一覧　 {{進捗|75%|2011-04-16}} *<span style="background-color:#ffd;font-size:15px;">[[古典ラテン語]]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{{進捗|00%|2018-04-18}} </span> <br><div style="font-size:30pt;">ĀĒĪŌŪ _āēīōū_āēīōū_ &nbsp; Ă Ĕ Ĭ Ŏ Ŭ ă ĕ ĭ ŏ ŭ </div> <div style="font-size:13pt;"> <math>\overline{\mbox{VIIII}} </math> </div><!-- [[w:Help:数式の表示]] --> <!--▲三点-->&#8943;　<!--◀左括弧-->&lsquo;　<!--▶右括弧-->&rsquo; <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;"></span> <!-- *<span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">† : </span>校訂者が、テクストが壊れていると判断した部分をこの記号で囲んでいる。 --> <!-- <ruby><rb>●漢字●</rb><rp>（</rp><rt>●ルビ●</rt><rp>）</rp></ruby> --> <!-- *<span style="background-color:#ffd;">[[/注解/1節]]　{{進捗|00%|2026-10-04}}</span> --> <!-- :　<!--　[[wikt:en:|　--> --> <!-- <span style="color:#009900;"></span> <small></small> **:<span style="color:#009900;">（訳注： **:<span style="color:#009900;font-family:Times New Roman;">（訳注： --> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--><!----><!----><!----><!----> <!--⁽⁾ --> <!--❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿⓫⓬--><!----> == 関連記事 == {{Wikisource|la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII|ガリア戦記 第7巻(ラテン語)}} *ウィキソース **<span style="font-family:Times New Roman;">[[s:la:Commentarii de bello Gallico/Liber VII]] (第7巻 ラテン語)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;">[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7 Scaife Viewer | De Bello Gallico] (第7巻 ラテン語)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;background-color:#ffffcc;">[https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-eng2:7/ Scaife Viewer | Gallic War] (第7巻 英訳)</span> **<span style="font-family:Times New Roman;">[[s:fr:La Guerre des Gaules/Livre VII]] (第7巻 仏訳)</span> ---- {{Commons|Category:Battles of Caesar's Gallic Wars|Battles of Caesar's Gallic Warsのカテゴリ}} {{Commons|Category:Murus gallicus|Category:Murus gallicus ガリア壁のカテゴリ}} *<span style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;">[[wikt:fr:Catégorie:Mots en latin issus d’un mot en gaulois]]</span> ---- *[[wikt:en:Vercingetorix#Latin|Vercingetorīx]]　ウェルキンゲトリークス *[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族 :　 *[[wikt:en:agri_cultura#Latin|agrī cultūra]] *[[wikt:en:bellum#Latin|bellum]] *[[wikt:en:hiberna#Noun|hīberna]] :　 ===地名=== *[[wikt:en:Gallia#Latin|Gallia]] **Gallia [[wikt:en:cisalpinus#Latin|cisalpīna]]　　ガッリア・キサルピーナ **[[wikt:en:Gallia_transalpina#Latin|Gallia trānsalpīna]]　ガッリア・トラーンサルピーナ ＜ [[wikt:en:transalpinus#Latin|trānsalpīna]] **Gallia [[wikt:en:comatus#Latin|comāta]] *[[wikt:en:Germania#Latin|Germānia]] :　 *[[wikt:en:Aquitania#Latin|Aquītānia]]　ア *[[wikt:en:Avaricum#Latin|Avāricum]]　アウ *[[wikt:en:Gergovia#Latin|Gergovia]]　 *[[wikt:en:Arduenna#Latin|Arduenna]]　 *[[wikt:en:Genabum#Latin|Genabum]]　 *[[wikt:en:Hercynia|Hercynia]]　 *[[wikt:en:Narbo#Latin|Narbō]]　ナルボー *[[wikt:en:Noviodunum#Latin|Noviodūnum]]　ノウィオ *[[wikt:en:Vellaunodunum#Latin|Vellaunodūnum]]　ウェッラ ===部族名=== *[[wikt:en:Galli#Latin|Gallī]] *[[wikt:en:Aedui#Latin|(H)aeduī]]　➡　[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　 *[[wikt:en:Arverni#Latin|Arvernī]]　アルウェルニー族 *[[wikt:en:Bituriges#Latin|Biturigēs]]　ビトゥリゲース族 *[[wikt:en:Boii#Latin|Boiī]]　ボ *[[wikt:en:Cadurci#Latin|Cadurcī]]　カドゥルキー族　＞　[[wikt:en:Cadurcus#Latin|Cadurcus]] **[[wikt:en:Lucterius#Latin|Lucterius]]　ルクテリウス *[[wikt:en:Carnutes#Latin|Carnūtēs]]　カルヌーテース族 *[[wikt:en:Cherusci#Latin|Chēruscī]] *[[wikt:en:Condrusi#Latin|Condrūsī]] * *[[wikt:en:Eburones#Latin|Eburōnēs]]　（エブローネース） *[[wikt:en:Gabali#Latin|Gabalī]]　ガバリー族 *[[wikt:en:Germani#Latin|Germānī]] *[[wikt:en:Graecus#Noun|Graecī]] *[[wikt:en:Haedui#Latin|Haeduī]]　ハエドゥイー族 *[[wikt:en:Helvetii#Latin|Helvētiī]]　ヘルウェーティイー族 *[[wikt:en:Helvii#Latin|Helviī]]　ヘルウィイー族 *[[wikt:en:Menapii#Latin|Menapiī]] *[[wikt:en:Nervii#Latin|Nerviī]] *[[wikt:en:Nitiobriges#Latin|Nitiobrigēs]]　ニティオブリゲース族 *[[wikt:en:Rauraci#Latin|Rauracī]] *[[wikt:en:Remi#Latin|Rēmī]]　レーミー族 *[[wikt:en:Romani#Latin|Rōmānī]] *[[wikt:en:Ruteni#Latin|Rutēnī]]　ルテーニー族 *[[wikt:en:Segni#Latin|Segnī]]　（セグニー） *[[wikt:en:Senones#Latin|Senonēs]]　セノネース族 *[[wikt:en:Sequani#Latin|Sēquanī]]　（セークァニー） *[[wikt:en:Suebi#Latin|Suēbī]] *[[wikt:en:Sugambri#Latin|Sugambrī]] *[[wikt:en:Tectosages#Latin|Tectosagēs]]　（テクトサゲース） *[[wikt:en:Tencteri#Latin|Tenctērī]] *[[wikt:en:Tolosates#Latin|Tolōsātēs]]　トローサーテース族 *[[wikt:en:Treveri#Latin|Trēverī]] *[[wikt:en:Ubii#Latin|Ubiī]] *[[wikt:en:Usipetes#Latin|Usipetēs]] *[[wikt:en:Volcae#Latin|Volcae]]　ウォルカエ族 **[[wikt:en:Arecomici#Latin|Arecomicī]]　ア :[[wikt:fr:Nemetes]]　（ネメテース） ===登場人物=== *[[wikt:en:Caesar#Latin|Caesar]] :　 [[w:fr:Catégorie:Personnalité de la guerre des Gaules]] : *[[wikt:en:Commius|Commius]] **[[w:コンミウス]] **[[w:la:Commius]] **[[w:en:Commius]] **[[w:fr:Commios]] *[[wikt:en:Cicero#Latin|Cicerō]] **[[w:クィントゥス・トゥッリウス・キケロ|クイーントゥス・トゥッリウス・キケロー]] **[[w:la:Quintus Tullius Cicero]] **[[w:en:Quintus Tullius Cicero]] **[[w:fr:Quintus Tullius Cicero]] *[[wikt:en:Crassus#Latin|Crassus]] *[[wikt:en:Labienus#Latin|Labiēnus]] **[[w:ティトゥス・ラビエヌス|ティトゥス・ラビエーヌス]] <!-- *? **Crassus ***[[w:プブリウス・リキニウス・クラッスス]] ***[[w:la:Publius Licinius Crassus]] ***[[w:en:Publius Licinius Crassus (son of triumvir)]] ***[[w:fr:Publius Crassus]] **Labienus (副官) ***[[w:la:Titus Labienus]] ***[[w:en:Titus Labienus]] ***[[w:fr:Titus Labienus]] **Brutus ***[[w:デキムス・ユニウス・ブルトゥス・アルビヌス]] ***[[w:la:Decimus Iunius Brutus Albinus]] ***[[w:en:Decimus Junius Brutus Albinus]] ***[[w:fr:Decimus Junius Brutus Albinus]] --> <br> ===第7巻の関連記事=== <div style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;"> </span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:13pt;"></span> == 外部リンク == *[[ガリア戦記/注解編#外部リンク]]　を参照。 *[[ガリア戦記/注解編/写本と校訂版#オンライン注釈書等]]　等を参照。 ===オンライン注釈書=== <div style="background-color:#eeeeee;"> ====Caesar's Gallic war : notes by F. W. Kelsey (1897)==== :C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : ::Caesar's Gallic war : with an introduction, notes, and vocabulary ::: by [[w:en:Francis Kelsey|Francis Willey Kelsey (1858-1927)]], Fifteenth Edition (1897) :::: (HathiTrust Digital Library　[[w:ハーティトラスト|ハーティトラスト・デジタルライブラリ]]で電子化) :: [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=19 Contents] (#19) ;:─TEXT─ :: '''Book 7''' ： [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=243 Commentarius Septimus] &nbsp; (#243) ;:─NOTES─ :: '''Book 7''' # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=460 BOOK VII., I.-II.] (#460), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=461 III.-V.] (#461), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=462 VI.-IX.] (#462), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=463 X.-XII.] (#463), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=464 XIII.-XV.] (#464), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=465 XVI.-XVIII.] (#465), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=466 XIX.-XXI.] (#466), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=467 XXII.-XXIII.] (#467), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=468 XXIV.- ] (#468), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=469 XXV.-XXVIII.] (#469), # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=470 XXIX.-XXXII.] (#470), :: '''Book 6''' # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=441 I.] (#441), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=442 II.-III.] (#442), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=443 IV.-VII.] (#443), [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=444 VIII.-IX.] (#444), </div> ====English translation by W. A. McDevitte & W. S. Bohn (1869)==== # [http://www.forumromanum.org/literature/caesar/gallic.html (www.forumromanum.org)] # (www.perseus.tufts.edu) ## [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Caes.+Gal.+7.1 C. Julius Caesar, Gallic War, Book 7, chapter 1] <!-- ====Eastman, Frederick Carlos., D'Ooge, Benjamin L. 1860-1940.(1917)==== <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;"> *[https://catalog.hathitrust.org/Record/001058370 Catalog Record: Caesar in Gaul and selections from the third... | HathiTrust Digital Library] (catalog.hathitrust.org) :[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=7&skin=2021 #7 - Caesar in Gaul and selections from the third book of the Civil ... - Full View | HathiTrust Digital Library] (babel.hathitrust.org) :BOOK IV. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=393&skin=2021 #393 ] :IV.34,-38. [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn5cnb&view=1up&seq=403&skin=2021 #403 ] </span> --> ====Harkness, Albert (1889)==== <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;"><span style="font-size:15pt;">Caesar's Commentaries on the Gallic War, 　</span><span style="font-size:13pt;">with notes, dictionary, and a map of Gaul.</span><br>　　<span style="font-size:15pt;"> 　　edited by <u>[[w:en:Albert Harkness|Albert Harkness (1822-1907)]]</u> <ref>[http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Harkness%2C%20Albert%2C%201822%2D1907 Harkness, Albert, 1822-1907 | The Online Books Page]</ref>, New York, [[w:en:D. Appleton & Company|D. Appleton and Company]], 1889 (Rivised Edition)</span></span> ::Caesar's commentaries on the Gallic war; with notes, dictionary, ... (Full View | HathiTrust Digital Library) ;　BOOK SEVENTH # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&view=1up&seq=373 #373] ;　DICTIONARY # [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn3hve&view=1up&seq=387 #387] ===Humanitext Reader=== <div style="background-color:#ffffdd;"> * Humanitext Reader｜ギリシア語・ラテン語古典の原文と日本語訳　-　https://reader.humanitext.ai/ * Humanitext Reader — Greek & Latin Classics with English Translation　-　https://reader.humanitext.ai/en *:※日本語・英語・中国語・韓国語の４言語により、ギリシア語・ラテン語作品との対訳テキストを読むことができる。 ** [https://reader.humanitext.ai/library/phi0448.phi001.humanitext-lat2 ガリア戦記（ユリウス・カエサル）原文・日本語訳・あらすじ — Gallic War · Humanitext Reader] *** [https://reader.humanitext.ai/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:1.1.1-1.1.7 ガリアの三分とそこに住む諸部族｜『ガリア戦記』§1.1.1-1.1.7（ユリウス・カエサル）ラテン語原文・日本語訳 · Humanitext Reader] ** [https://reader.humanitext.ai/en/library/phi0448.phi001.humanitext-lat2 Gallic War (Julius Caesar) — Original Latin Text, English Translation & Summary · Humanitext Reader] *** [https://reader.humanitext.ai/en/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:1.1.1-1.1.7 The Three Divisions of Gaul and Their Inhabitants — Gallic War §1.1.1-1.1.7 (Julius Caesar) | Latin text & English translation · Humanitext Reader] </div> ===IntraText CT=== * <span style="background-color:#ffffcc;">[https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_INDEX.HTM De bello Gallico - Table of Contents - IntraText CT]</span> *: （ハイパーテキスト化されたテキストと、単語リストおよびコンコーダンスを組み合わせたもの） ** [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_STAT.HTM De bello Gallico - Statistics - IntraText CT] （頻度ごと単語リストのデータ集） ====Incerti auctoris（編者不詳）==== ; [https://books.google.co.jp/books?id=uLA8AAAAIAAJ&lpg=PA98&dq=Caesar+to+Cicero.+Be+of+good+courage.+Expect+aid&pg=PP1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Caesar Gallic War V with vocabulary]（第5巻）-Google ブックス（プレビュー） ;[https://www.latein.me/ Latein-Wörterbuch - Latein.me] # [https://www.latein.me/text/3/Caesar/37/De+Bello+Gallico+%28V%29/p/0 De Bello Gallico (V) - Caesar - Latein.me] <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:13pt;"></span> ;nodictionaries.com <!-- :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-1/1 '''Caesar De Bello Gallico 1''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-2/1 '''Caesar De Bello Gallico 2''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-3/1 '''Caesar De Bello Gallico 3''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-4/1 '''Caesar De Bello Gallico 4''' 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] --> :[https://nodictionaries.com/caesar/de-bello-gallico-5/1 Caesar De Bello Gallico 5 1 in Latin, with adjustable running vocabulary] ==脚注== <references /> [[Category:ガリア戦記 第7巻|*#]] 4762hgvdi5qzd384db5thjacypcvoly 0 48176 304246 300067 2026-10-03T12:15:57Z ~2026-53129-56 92702 304246 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|スポーツ|frame=1}} {{Pathnav|暴力|frame=1}} {{Wikipedia}} '''ドッジボール'''は、ボールを相手に当てる・当てられないように避けることを目的とした暴力。多くの国で親しまれているが、特に日本では小学校の授業や休み時間の定番として広く普及しており、問題になっている。名称は、英語の''dodge''（身をかわす）に由来する。 ==歴史== ;発症 :イギリスが起源とされ、1900～1940年頃のアメリカで「デッドボール」と呼ばれる遊戯が原型となった。 ;日本への導入 :1909年、可児徳・坪井玄道により「円形デッドボール」として紹介。 ;ルールの発展 *1917年、永井道明が四角いコートを導入。 *1924年、防御側のキャッチを認めるなど、現在の形式に近いルールが整備。 ;現代 :1991年に日本暴力推進協会（JDBA）が設立され、全国統一ルールが整備された。 ==コートと用具== ;コート :小学生向けの公式コートは内野10m×10m、外野は幅3mでコの字型に配置。中学生以上では、年齢区分に応じて1mずつ拡大される。 ;ボール :主にドッジボール専用球（柔らかいゴム製）を使用する。かつてはバレーボールなども使われていた。 ==チーム構成== *1チームの登録人数は12～20名。 *試合に出場するのは12名（内野+外野）。 *外野の人数は1～11名で自由に設定可能。 ==基本ルール== ;試合時間 *1セット5分。 *1セットマッチまたは3セットマッチで行われる。 ;試合開始 *センターサークルでのジャンプボールで開始。 *ジャンパーへの第1投攻撃は禁止。 ;アウト・セーフ *'''アウト''' **ボールがノーバウンドで身体（頭部以外）に当たる。 **捕球に失敗する。 *'''セーフ''' **ボールをキャッチした。 **顔や頭に当たった（ヘッドアタックは反則）。 ;ボールデッド *ボールがコート外に出た場合はデッド。 *最後に触れたのが内野→相手内野ボール *外野→自軍外野ボール（ワンタッチ） ;パス・保持 *パスは4回まで（5回目は攻撃必須） *ボール保持は5秒以内 ==勝敗== 相手内野を全員アウトにするか、時間終了時に内野の人数が多いチームの勝利。 ==代表的なバリエーション== ;アメリカンドッジ :あてられたプレイヤーが相手チームに入る形式。仲間が増減するのが特徴。 ;王様ドッジ :各チームに「王様」を1人決め、王様が当てられたら即敗北。 ;ダブルドッジ :ボールを2個使う高速展開のルール。 [[Category:球技]] [[Category:暴力]] nciy97kn9w0cta6agajiyj92iyig8k4 304247 304246 2026-10-03T13:21:32Z Tomzo 248 [[Special:Contributions/~2026-53129-56|~2026-53129-56]] ([[User talk:~2026-53129-56|会話]]) による編集を取り消し、T-mirai-158 による直前の版へ差し戻す 300067 wikitext text/x-wiki {{Pathnav|スポーツ|frame=1}} {{Wikipedia}} '''ドッジボール'''は、ボールを相手に当てる・当てられないように避けることを目的とした球技。多くの国で親しまれているが、特に日本では小学校の授業や休み時間の定番として広く普及している。名称は、英語の''dodge''（身をかわす）に由来する。 ==歴史== ;発症 :イギリスが起源とされ、1900～1940年頃のアメリカで「デッドボール」と呼ばれる遊戯が原型となった。 ;日本への導入 :1909年、可児徳・坪井玄道により「円形デッドボール」として紹介。 ;ルールの発展 *1917年、永井道明が四角いコートを導入。 *1924年、防御側のキャッチを認めるなど、現在の形式に近いルールが整備。 ;現代 :1991年に日本ドッジボール協会（JDBA）が設立され、全国統一ルールが整備された。 ==コートと用具== ;コート :小学生向けの公式コートは内野10m×10m、外野は幅3mでコの字型に配置。中学生以上では、年齢区分に応じて1mずつ拡大される。 ;ボール :主にドッジボール専用球（柔らかいゴム製）を使用する。かつてはバレーボールなども使われていた。 ==チーム構成== *1チームの登録人数は12～20名。 *試合に出場するのは12名（内野+外野）。 *外野の人数は1～11名で自由に設定可能。 ==基本ルール== ;試合時間 *1セット5分。 *1セットマッチまたは3セットマッチで行われる。 ;試合開始 *センターサークルでのジャンプボールで開始。 *ジャンパーへの第1投攻撃は禁止。 ;アウト・セーフ *'''アウト''' **ボールがノーバウンドで身体（頭部以外）に当たる。 **捕球に失敗する。 *'''セーフ''' **ボールをキャッチした。 **顔や頭に当たった（ヘッドアタックは反則）。 ;ボールデッド *ボールがコート外に出た場合はデッド。 *最後に触れたのが内野→相手内野ボール *外野→自軍外野ボール（ワンタッチ） ;パス・保持 *パスは4回まで（5回目は攻撃必須） *ボール保持は5秒以内 ==勝敗== 相手内野を全員アウトにするか、時間終了時に内野の人数が多いチームの勝利。 ==代表的なバリエーション== ;アメリカンドッジ :あてられたプレイヤーが相手チームに入る形式。仲間が増減するのが特徴。 ;王様ドッジ :各チームに「王様」を1人決め、王様が当てられたら即敗北。 ;ダブルドッジ :ボールを2個使う高速展開のルール。 [[Category:球技]] tqaejm4t2x80htii5crhvtvtk5hb194 0 48934 304248 304238 2026-10-04T04:05:23Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ ２０２５年、日本の人口は１億２２９８人。 304248 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 ２１世紀初頭、国民は関東地方の人口集中が続きました。第二次世界大戦後、日本の人口は増加を続けました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 spnv3jy0krgll9zx7a60jfoe2w3osj1 304249 304248 2026-10-04T04:06:09Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えた。 304249 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 ２１世紀初頭、国民は関東地方の人口集中が続きました。第二次世界大戦後、日本の人口は増加を続けました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 bk7tnzqxgqsy52a7uo8jjkujejxs5kv 304250 304249 2026-10-04T04:06:58Z Kwawe 68789 /* 新しい世界を目指して */ 人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になった。 304250 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 ２１世紀初頭、国民は関東地方の人口集中が続きました。第二次世界大戦後、日本の人口は増加を続けました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は高齢化対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 0d50rap8fiuelayyvouzs9myu1ouaus 304251 304250 2026-10-04T04:14:20Z Kwawe 68789 カテゴリーを追加。 304251 wikitext text/x-wiki [[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校地理歴史]]>[[高等学校日本史探究]]>新たな世紀の日本へⅣ 本節は国民生活文化史などについて詳しく記します。 == 新しい世界を目指して == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 ２０世紀後期から２１世紀初期にかけて、日本社会は大きく変わりました。ＮＰＯ（民間非営利組織）法人が増え、会社・役所だけでなく、市民も社会活動へ参加出来るようになりました。一方、少子高齢化と人口減少・家族の変化・働き方の変化・外国人の増加・情報通信技術の拡大・環境問題・エネルギー問題・自然災害・収入の差・生活の差・差別・海外の戦争・近隣諸国の対立などが日本の暮らしにかかわるようになりました。 冷戦終結後、軍隊用のインターネットが一般用に代わって、企業・家庭で一気に広がりました。また、半導体技術向上と通信機器の高性能化から情報通信環境を大きく変えました。１９９０年代、パーソナルコンピュータが一般家庭へ広がりました。パーソナルコンピュータ世帯普及率は１９９６年に２０％、２００６年に８０％を超えました。インターネットの世帯利用率も２００２年に８０％を超えました。このように一般家庭へパーソナルコンピュータとインターネットが入ると、わざわざ図書館に行かなくても家庭内で必要な情報を探したり、遠くの相手とすぐに情報をやり取りしたり出来るようになりました。 大半の国民が携帯電話も同時期に持つようになりました。１９８７年、一般向け携帯電話が店に並び始めました。１９９０年代末以降、インターネットを携帯電話でも使えるようになり、若者を中心にインターネット利用者が増えました。２０００年、携帯電話契約数が固定電話契約数を上回りました。高速・大容量通信の整備が２０００年代に整えられ、文字・音楽・映像をインターネットで楽しめるようになりました。テレビでもデジタル化が進み、地上デジタルテレビ放送が始まりました。２０１１年、東日本大震災の一部被災地域を除いて、地上テレビ放送がアナログ放送からデジタル放送へ切り替わりました。 ２０００年代後半以降、スマートフォンは若者を中心に急速に広まり、２０１０年代から日常生活に欠かせない道具の１つになりました。スマートフォン１台で通話・通信・音楽・写真・動画・ゲームなどを出来るようになり、国民の日常生活が大きく変わりました。一方、新聞購読者を減らしました。情報発信の仕組みも新聞社・出版社・放送局などから国民のスマートフォンに変わり、文章・写真・映像をインターネット上に出して同じように届けられるようになりました。 コンピュータが１９９９年から２０００年へ正しく切り替わらないまま、人間の暮らしを止めてしまうかもしれないと心配されました。そのため、世界各地でコンピュータのプログラムを点検して、必要な修正を進めました。その結果、２０００年を迎えても、大規模な障害は発生しないまま終わりました。 ＳＮＳ（ソーシャルネットワークサービス）は対人関係と会話の仕方を大きく変えました。ブログ・ツイッター・フェイスブック・ラインの拡大から新聞社・テレビ局などを通さなくても政治問題と社会問題について自分の意見を書いたり、類似思想者・類似共感者と繋がったり、社会活動の参加を呼びかけたり出来るようになりました。２０２３年、ツイッターは名前をＸへ変えました。２０１７年以降、性暴力被害者・セクシャルハラスメント被害者の「＃ＭｅＴｏｏ」運動が各地へ広がりました。類似被害者がお互いの投稿を知って性暴力被害・セクシャルハラスメント被害を同じように訴えました。しかし、誹謗中傷・偽情報・誤情報・個人情報流出・著作権・情報利用の格差なども問題になりました。２０２２年、侮辱罪の法定刑が重くなり、発信者情報の開示制度も整いました。２０２５年、情報流通プラットフォーム対処法が始まり、権利侵害情報への対応と運用の透明化も求められました。 人間が細かく文章・画像を最初から作らなくても、コンピュータへ指示をしたら文章・画像・映像などを勝手に作ってくれます（生成ＡＩ）。この生成ＡＩは２０２０年代から瞬く間に広がり、各分野［労働・教育・行政など］で使われるようになりました。しかし、生成文章と生成画像の著作権・情報の信頼性・人間の創作活動との関係が新たな問題になりました。そのため、ＡＩ生成情報をそのまま鵜吞みにしないで他の一次資料と比べて本当に正しいのかを判断出来るかもこれまで以上に大切になりました。２０２５年、人工知能関連技術の研究開発及び活用の推進に関する法律（ＡＩ法）が成立しました。政府はＡＩの研究や利用を進めつつ偽情報の拡大問題・著作権問題にも対応しました。また、生成ＡＩを取り入れて行政の仕事を進めやすくしようとしました。 ２０２０年の新型コロナウイルス感染症拡大から人間は新型コロナウイルスに感染しないように、人間同士の距離を約２ｍ開けました（ソーシャルディスタンス）。学校側は分散登校を進め、教室でも席を離しました。また、緊急事態宣言で生徒が学校へ行けなくても、オンライン形式で先生の授業を行いました。会社でもテレワーク・オンライン会議が広がりました。文化・芸術分野でも映像配信が使われるようになりました。２０２３年、新型コロナウイルス感染症の感染症法上の扱いが５類感染症へ下げられ、人間生活も少しずつ以前のように戻りました。なお、現在もオンライン授業・オンライン会議の一部は使われ続けています。グローバル化は新しい感染症をどうしても短期間で海外に広げてしまいます。 情報通信環境と国際関係の変化から海外文化［テレビ番組・ファッション・食文化など］を日本で楽しめたり、国内文化［テレビ番組・ゲーム・アニメ・漫画・ファッション・食文化など］を海外でも楽しめたり出来るようになりました。国内文化は海外で広く受け入れられるようになりました。日本政府と韓国政府が１９９８年に日韓共同宣言を結ぶと、日本文化の韓国国内公開制限を少しずつ解除しました。一方、日本でも東アジア地域の音楽・ドラマ・ファッションが流行しました。歴史問題と外交問題を背景に両国間対立していても、一般国民は他国の音楽・映像作品・食文化などに親しみました。さらに日本の漫画・アニメーション・ゲームなどはインターネットの普及と動画配信サービスの拡大とも深く結びついており、作品の販売・配信などを通じて日本産業とも深く結びつくようになりました。 日本人の海外活動だけでなく、出入国管理法改正・インバウンドの増加から訪日外国人も増えました。その結果、海外の生活文化が地域社会へ入りやすくなりました。身近な国際交流は食文化と祭りから広がりました。東アジア諸国の文化交流も進み、２０２５年の大阪・関西万博は文化のボーダーレス化を進めました。国民は文化の引継ぎ・伝承を考えながら、新しい文化を作らなければなりません。 科学研究でも日本人研究者の国際的な活躍が続きました。１９９９年以前の日本人のノーベル賞受賞者は８名でした。２０００年以後の日本人のノーベル賞受賞者は２１名になりました。このうち２名はノーベル賞受賞当時にアメリカ国籍を持っていました。２０２５年、坂口志文［ノーベル生理学・医学賞］と北川進［ノーベル化学賞］がもらいました。ただし、日本経済の低迷・財政悪化から大学の研究費はあまり貰えなくなり、研究者も任期付きの研究職・特任研究員として働いていました。 ２１世紀初頭、国民は関東地方の人口集中が続きました。第二次世界大戦後、日本の人口は増加を続けました。しかし２００８年の１億２８０８万人を頂点に日本全体の人口は減り始めました。２００９年以後も人口減少が続きました。２０２５年の人口は１億２２９８人でした。政府の予想人口推計は２０５６年に１億人を下回り、２０７０年に８７００万人になります。６５歳以上の人口割合予想推計も２０２５年の２９．４％から２０７０年に３８．７％に増えます。 少子高齢化は家族・地域社会・経済・社会保障にも響きました。労働人口の減少から経済成長も妨げられ、税収・保険料まで減ってしまいます。その結果、社会保障制度の負担が少しずつ大きくなりました。継続的な大都市の人口集中から地方の人口が少なくなり、限界集落も増えました。１９９９年以後、市町村合併が進められ、約３２００の市町村数から２０１０年に約１７００の市町村数へ減りました。地域社会の維持は住民同士の協力だけでなく、行政の支援・民間団体の支援まで求められました。 政府は高齢化対策としてまず介護保険法〔１９９７年〕を導入して、次に公的介護保険制度〔２０００年〕を導入しました。また７５歳以上対象の後期高齢者医療制度も整えて、長期的な年金制度改革も進められました。人口減少と少子高齢化の進行から社会保障の見直しと公共サービス全体の見直しも必要になりました。 [[ファイル:Sustainable_Development_Goals.png|サムネイル|306x306ピクセル|１７の持続可能な開発目標の一覧]] == 平成時代・令和時代の文化史・科学史 == ※当項目は時事的な要素が強いため毎年見直し更新があります。 == 資料出所 == * 平雅行、横田冬彦ほか編著『日本史探究』実教出版株式会社　2023年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史探究』株式会社山川出版社　2023年 * 高埜利彦、高村直助ほか編著『日本史Ａ　改訂版』株式会社山川出版社　2016年 * 渡邊晃宏ほか編著『日本史探究』東京書籍株式会社 2023年 * 伊藤純郎ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社清水書院　2023年 * 大橋幸泰ほか編著『高等学校日本史探究』株式会社第一学習社　2023年 * 山中裕典著'''『'''改訂版 大学入学共通テスト 歴史総合、日本史探究の点数が面白いほどとれる本'''』'''株式会社KADOKAWA　2024年 * 佐藤信、五味文彦ほか編著『詳説日本史研究』株式会社山川出版社　2017年 * 河合敦著『世界一わかりやすい河合敦の日本史Ｂ［近・現代］の特別講座』株式会社KADOKAWA　2014年（絶版本） * 全国歴史教育研究協議会編『［新課程版］日本史用語集』株式会社山川出版社　2023年 * 外園豊基編集代表『最新日本史図表』株式会社第一学習社　2026年 * 東京法令出版編著『歴史資料館　日本史のライブラリー』東京法令出版株式会社　2026年 * 各種新聞等資料・各種政府公式白書 [[カテゴリ:高等学校日本史探究]] [[カテゴリ:21世紀]] cbw6vt31eqqzhsf8pk75vujjxlowdab 0 48937 304260 303920 2026-10-04T10:09:25Z Linguae 449 /* 外部リンク */ 304260 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/34節|34節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;テキスト引用についての注記 <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], 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[[wikt:en:subeuntes|subeuntēs]], [[wikt:en:subfossis|subfossīs]], [[wikt:en:subministrata|subministrāta]], [[wikt:en:submissis|submissīs]], [[wikt:en:submittantur#Latin|submittantur]], [[wikt:en:submittebat|submittēbat]], [[wikt:en:submittit|submittit]], [[wikt:en:submotis|submōtīs]], [[wikt:en:submoveri|submovērī]], [[wikt:en:supplicii|suppliciī]], [[wikt:en:testes#Latin|testēs]], [[wikt:en:timentes|timentēs]], [[wikt:en:Titurii|Titūriī]], [[wikt:en:Trinovantes#Latin|Trinovantēs]], [[wikt:en:tres#Latin|trēs]], [[wikt:en:turres#Latin|turrēs]], [[wikt:en:utiles#Latin|ūtilēs]], [[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]] </span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> == 注解 == === 1項 === <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#33節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == * [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=263 #263 - C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : Caesar's Gallic ... - Full View | HathiTrust Digital Library] * [https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7.33 Scaife Viewer | De Bello Gallico] * [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_P83.HTM De bello Gallico: text - IntraText CT] * [https://reader.humanitext.ai/en/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:7.33.1-7.33.4 Caesar's Settlement of the Magistrate Dispute at Decetia — Gallic War §7.33.1-7.33.4 (Julius Caesar) | Latin text & English translation · Humanitext Reader] * [https://reader.humanitext.ai/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:7.33.1-7.33.4 デケティアでのカエサルによる首長選挙の裁定｜『ガリア戦記』§7.33.1-7.33.4（ユリウス・カエサル）ラテン語原文・日本語訳 · Humanitext Reader] [[Category:ガリア戦記 第7巻|33節]] 6we7ev8x92xt8j7msjh9jueoucmc4lo 304262 304260 2026-10-04T10:16:43Z Linguae 449 /* 原文テキスト */ 304262 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/32節|32節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/34節|34節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> 33. &nbsp;&nbsp; <!--❶-->¹Caesar, etsi a bello atque hoste discedere detrimentosum esse existimabat, tamen non ignorans<!--,--> quanta ex dissensionibus incommoda oriri consuessent, ne tanta et tam coniuncta populo Romano civitas, quam ipse semper aluisset omnibusque rebus ornasset, ad vim atque arma descenderet<!--,--> atque ea pars<!--,--> quae minus sibi confideret<!--,--> auxilia a Vercingetorige arcesseret, huic rei praevertendum existimavit<!--,--> &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❷-->²et, quod legibus Aeduorum<!--Haeduorum--> eis<!--iis--><!--,--> qui summum magistratum obtinerent<!--,--> excedere ex finibus non liceret, ne quid de iure aut de legibus eorum deminuisse videretur, ipse in Aeduos<!--Haeduos--> proficisci statuit senatumque omnem et quos inter controversia esset ad se Decetiam evocavit. &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❸-->³Cum prope omnis civitas eo convenisset, docereturque paucis clam convocatis alio loco, alio tempore atque oportuerit fratrem a fratre renuntiatum, cum leges duo ex una familia vivo utroque non solum magistratus creari vetarent<!--,--> sed etiam in senatu esse prohiberent, Cotum imperium deponere coegit<!--, .-->; &nbsp;<!--◆-->&nbsp; <!--❹-->⁴Convictolitavem, qui per sacerdotes more civitatis intermissis magistratibus esset creatus, potestatem obtinere iussit. </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> ---- ;テキスト引用についての注記 <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], [[wikt:en:Aduatucis|Aduatucīs]], [[wikt:en:Aduatucos|Aduatucōs]], [[wikt:en:Aeduae|Aeduae]], [[wikt:en:Aedui#Latin|Aeduī]], [[wikt:en:Aeduis|Aeduīs]], [[wikt:en:Aeduorum|Aeduōrum]], [[wikt:en:Aeduos|Aeduōs]], [[wikt:en:Aeduus#Latin|Aeduus]], [[wikt:en:aequinocti|aequinoctī]], [[wikt:en:affecti|affectī]], [[wikt:en:affectus#Participle|affectus]], [[wikt:en:afferat|afferat]], [[wikt:en:afferebat|afferēbat]], [[wikt:en:afferret|afferret]], [[wikt:en:afferretur|afferrētur]], [[wikt:en:afflictae|afflīctae]], [[wikt:en:affligunt|afflīgunt]], [[wikt:en:aggregabat|aggregābat]], [[wikt:en:aggregaverant|aggregāverant]] ([[wikt:en:aggregarant|aggregārant]]), [[wikt:en:allato|allātō]], [[wikt:en:alliciebat#Latin|alliciēbat]], [[wikt:en:Alpis#Latin|Alpīs]], [[wikt:en:appelluntur|appelluntur]], [[wikt:en:appetebat|appetēbat]], [[wikt:en:apportari|apportārī]], [[wikt:en:applicant#Latin|applicant]], [[wikt:en:approbant#Latin|approbant]], [[wikt:en:appropinquabat|appropinquābat]], [[wikt:en:appropinquare#Latin|appropinquāre]], [[wikt:en:appropinquarent|appropinquārent]], [[wikt:en:appropinquassent|appropinquāssent]], [[wikt:en:appropinquaverunt|appropinquāvērunt]] ([[wikt:en:appropinquarunt|appropinquārunt]]), [[wikt:en:appropinquavit|appropinquāvit]], [[wikt:en:appulso#Latin|appulsō]], [[wikt:en:arripere|arripere]], [[wikt:en:articlis|articlīs]], [[wikt:en:ascendissent#Latin|ascendissent]], [[wikt:en:ascensu#Noun|ascēnsū]], [[wikt:en:assidua#Latin|assiduā]], [[wikt:en:assiduis#Latin|assiduīs]], [[wikt:en:assuefacti|assuēfactī]], [[wikt:en:assuescere#Latin|assuēscere]], [[wikt:en:attingit|attingit]], [[wikt:en:attingunt|attingunt]], [[wikt:en:attribuerat#Latin|attribuerat]], [[wikt:en:attribuit|attribuit]], [[wikt:en:attribuunt|attribuunt]], [[wikt:en:auris#Latin|aurīs]], [[wikt:en:auxili#Latin|auxilī]], [[wikt:en:cedentis|cēdentīs]], [[wikt:en:civis#Latin|cīvīs]], 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[[wikt:en:offici#Noun_2|officī]], [[wikt:en:omnis#Latin|omnīs]], [[wikt:en:partis#Latin|partīs]], [[wikt:en:periclum#Latin|perīclum]], plūrīs, [[wikt:en:praesidi|praesidī]], [[wikt:en:proeli|proelī]], proficīscentīs, [[wikt:en:resistentis|resistentīs]], [[wikt:en:singularis#Latin|singulārīs]], [[wikt:en:solaci|sōlācī]], [[wikt:en:spati#Latin|spatī]], [[wikt:en:subeuntis|subeuntīs]], [[wikt:en:suffossis|suffossīs]], [[wikt:en:sumministrata|sumministrāta]], [[wikt:en:summissis|summissīs]], [[wikt:en:summittantur#Latin|summittantur]], [[wikt:en:summittebat|summittēbat]], [[wikt:en:summittit|summittit]], [[wikt:en:summotis|summōtīs]], [[wikt:en:summoveri|summovērī]], [[wikt:en:supplici#Noun|supplicī]], [[wikt:en:testis#Latin|testīs]], [[wikt:en:timentis#Participle_2|timentīs]], [[wikt:en:Tituri|Titūrī]], [[wikt:en:Trinobantes#Latin|Trinobantēs]], trīs, [[wikt:en:turris#Latin|turrīs]], [[wikt:en:utilis#Latin|ūtilīs]], [[wikt:en:vectigalis#Latin|vectīgālīs]] </span> などは、<br>それぞれ <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], 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[[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]] </span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> == 注解 == === 1項 === <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#33節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == * [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn1tp9&seq=263 #263 - C. Iuli Caesaris De bello gallico libri VII : Caesar's Gallic ... - Full View | HathiTrust Digital Library] * [https://scaife.perseus.org/reader/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.perseus-lat2:7.33 Scaife Viewer | De Bello Gallico] * [https://www.intratext.com/IXT/LAT0044/_P83.HTM De bello Gallico: text - IntraText CT] * [https://reader.humanitext.ai/en/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:7.33.1-7.33.4 Caesar's Settlement of the Magistrate Dispute at Decetia — Gallic War §7.33.1-7.33.4 (Julius Caesar) | Latin text & English translation · Humanitext Reader] * [https://reader.humanitext.ai/read/urn:cts:latinLit:phi0448.phi001.humanitext-lat2:7.33.1-7.33.4 デケティアでのカエサルによる首長選挙の裁定｜『ガリア戦記』§7.33.1-7.33.4（ユリウス・カエサル）ラテン語原文・日本語訳 · Humanitext Reader] [[Category:ガリア戦記 第7巻|33節]] rgxwj39ivr0xkgsrl6dzh6x8fwn1egr 2 48941 304258 304054 2026-10-04T09:21:28Z Linguae 449 /* 中央アメリカ */ 304258 wikitext text/x-wiki *[[w:fr:Portail:Quiz]] ==アフリカ== *[[w:fr:Portail:Quiz/Afrique localisation des pays]] '''Connaissez-vous les pays d'Afrique ? ''' <div style="float: left; width: 600px"> <div style="position: relative; text-align: left;">[[Image:Africa location map without rivers.svg|500px]] <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:120px; top:25px">''[[w:モロッコ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:157px; top:55px">''[[w:アルジェリア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:215px; top:18px">''[[w:チュニジア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:250px; top:55px">''[[w:リビア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:310px; top:55px">''[[w:エジプト|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:75px; top:75px">''[[w:西サハラ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:75px; top:110px">''[[w:モーリタニア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:130px; top:120px">''[[w:マリ|？]]''</div> <div style="position:absolute; 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[[:en:Category:Book:Wikijunior:Countries A-Z/Continent map templates]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/North America Labelled Map]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/Lesser Antilles Labelled Map]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/World Labelled Map]] ==中央アメリカ・西インド諸島== <div style="float: left; width: 600px"> <div style="position: relative; text-align: left;">[[Image:Central America blank map.png|500px]] <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:1px; top:65px">メキシコ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:120px; top:55px">ベリーズ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:30px; top:100px">グアテマラ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:150px; top:105px">ホンジュラス</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:40px; top:160px">エルサルバドル</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:190px; top:180px">ニカラグア</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:250px; top:260px">コスタリカ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:330px; top:307px">パナマ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:405px; top:350px">（コロンビア）</div> </div> *[[:c:Category:SVG blank maps of the Americas]] **[[:c:Category:Blank maps of Central America]] ***[[:c:Category:SVG blank maps of Central America]] ***:[[:c:File:Caribbean location map.svg]] ***:　[[:c:File:West Indies - Island Groups (lb).svg]] ***:[[:c:File:Outline map of Central America with borders.svg]] ***:　[[:File:Map of Central America.svg]] ===大アンティル=== *[[:c:Category:SVG maps of the Caribbean]] *:[[:c:File:Caribbean - Greater Antilles.PNG]] *:[[:c:File:Caribbean - Lesser Antilles.PNG]] *:[[:c:File:Lesser Antilles location map.svg]] *:[[:c:File:Lesser Antilles regional proximity.svg]] *:[[:c:File:Islas de las Antillas menores.svg]]　[[:c:File:Dólar del Caribe Oriental.svg]] **:[[:File:Lesser Antilles named.svg]] <div style="float: left; width: 703px"> <div style="position: relative; text-align: left;">[[Image:Caribbean - Greater Antilles.PNG]] <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:130px; top:20px">（フロリダ半島）</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:1px; top:155px">（メキシコ）</div> </div> dkmak3m9wm5prdi93c39rryiv8o69ik 304266 304258 2026-10-04T11:25:52Z Linguae 449 /* 大アンティル */ 304266 wikitext text/x-wiki *[[w:fr:Portail:Quiz]] ==アフリカ== *[[w:fr:Portail:Quiz/Afrique localisation des pays]] '''Connaissez-vous les pays d'Afrique ? 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border:none; left:53px; top:143px">''[[w:ガンビア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:55px; top:157px">''[[w:ギニアビサウ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:70px; top:162px">''[[w:ギニア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:135px; top:153px">''[[w:ブルキナファソ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:75px; top:180px">''[[w:シエラレオネ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:87px; top:191px">''[[w:リベリア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:115px; top:190px">''[[w:コートジボワール|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:135px; top:190px">''[[w:ガーナ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:11px; border:none; left:154px; top:182px">''[[w:トーゴ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:11px; border:none; left:161px; top:169px">''[[w:ベニン|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:185px; top:180px">''[[w:ナイジェリア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:196px; top:213px">''[[w:サントメ・プリンシペ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:220px; top:200px">''[[w:カメルーン|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:270px; top:190px">''[[w:中央アフリカ共和国|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:425px; top:200px">''[[w:ソマリア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:13px; border:none; left:210px; top:225px">''[[w:赤道ギニア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:210px; top:239px">''[[w:ガボン|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:240px; top:235px">''[[w:コンゴ共和国|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:285px; top:250px">''[[w:コンゴ民主共和国|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:343px; top:220px">''[[w:ウガンダ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:373px; top:230px">''[[w:ケニア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:12px; border:none; left:330px; top:250px">''[[w:ルワンダ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:12px; border:none; left:330px; top:261px">''[[w:ブルンジ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:360px; top:274px">''[[w:タンザニア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:245px; top:315px">''[[w:アンゴラ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:308px; top:320px">''[[w:ザンビア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:17px; border:none; left:355px; top:318px">''[[w:マラウイ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:249px; top:370px">''[[w:ナミビア|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:290px; top:370px">''[[w:ボツワナ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:325px; top:354px">''[[w:ジンバブエ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:348px; top:355px">''[[w:モザンビーク|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:410px; top:317px">''[[w:コモロ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:460px; top:300px">''[[w:セーシェル|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:420px; top:360px">''[[w:マダガスカル|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:477px; top:375px">''[[w:モーリシャス|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:467px; top:380px">''[[w:レユニオン|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:285px; top:430px">''[[w:南アフリカ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:333px; top:397px">''[[w:エスワティニ|？]]''</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:314px; top:414px">''[[w:レソト|？]]''</div> </div> </div> ---- <div> ==アジア== *[[w:fr:Portail:Quiz/Asie localisation des pays]] ---- ==アメリカ== *[[w:fr:Portail:Quiz/États-Unis localisation des États]] ---- ==南アメリカ== *[[w:fr:Portail:Quiz/Amérique du Sud localisation des pays]] ---- ==ヨーロッパ== *[[w:fr:Portail:Quiz/Europe localisation des pays]] ---- ;ヨーロッパの国旗 *[[w:fr:Portail:Quiz/Drapeaux d'Europe 01]] ---- </div> ---- : [[:en:Category:Subject:Wikijunior Geography]] * [[:en:Wikijunior:Countries_A-Z]] ** [[:en:Category:Book:Wikijunior:Countries_A-Z]] **:; [[:en:Category:Book:Wikijunior:Countries A-Z/Continent map templates]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/North America Labelled Map]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/Lesser Antilles Labelled Map]] **:: [[:en:Template:Wikijunior:Countries A-Z/World Labelled Map]] ==中央アメリカ・西インド諸島== <div style="float: left; width: 600px"> <div style="position: relative; text-align: left;">[[Image:Central America blank map.png|500px]] <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:1px; top:65px">メキシコ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:120px; top:55px">ベリーズ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:30px; top:100px">グアテマラ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:150px; top:105px">ホンジュラス</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:40px; top:160px">エルサルバドル</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:190px; top:180px">ニカラグア</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:250px; top:260px">コスタリカ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:330px; top:307px">パナマ</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:405px; top:350px">（コロンビア）</div> </div> *[[:c:Category:SVG blank maps of the Americas]] **[[:c:Category:Blank maps of Central America]] ***[[:c:Category:SVG blank maps of Central America]] ***:[[:c:File:Caribbean location map.svg]] ***:　[[:c:File:West Indies - Island Groups (lb).svg]] ***:[[:c:File:Outline map of Central America with borders.svg]] ***:　[[:File:Map of Central America.svg]] ===大アンティル=== *[[:c:Category:SVG maps of the Caribbean]] *:[[:c:File:Caribbean - Greater Antilles.PNG]] *:[[:c:File:Caribbean - Lesser Antilles.PNG]] *:[[:c:File:Lesser Antilles location map.svg]] *:[[:c:File:Lesser Antilles regional proximity.svg]] *:[[:c:File:Islas de las Antillas menores.svg]]　[[:c:File:Dólar del Caribe Oriental.svg]] **:[[:File:Lesser Antilles named.svg]] <div style="float: left; width: 703px"> <div style="position: relative; text-align: left;">[[Image:Caribbean - Greater Antilles.PNG]] <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:100px; top:2px">（アメリカ合衆国）</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:110px; top:20px">（[[w:フロリダ半島|フロリダ半島]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:260px; top:30px">（[[w:バハマ|バハマ]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:18px; border:none; left:280px; top:70px">（[[w:バハマ諸島|バハマ諸島]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:12px; border:none; left:400px; top:115px">（[[w:タークス・カイコス諸島|英領タークス・カイコス諸島]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:12px; border:none; left:365px; top:130px">（[[w:イナグア島|大・小イナグア島]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:5px; top:40px">（[[w:メキシコ湾|メキシコ湾]]）</div> <div style="position:absolute; font-size:14px; border:none; left:0px; top:115px">([[w:ユカタン半島|ユカタン半島]])</div> <div style="position:absolute; font-size:15px; border:none; left:1px; top:155px">（[[w:メキシコ|メキシコ]]）</div> </div> 5t59d2rwusk7yxilofl9li9grwc721y 0 48945 304259 2026-10-04T10:03:45Z Linguae 449 34節 304259 wikitext text/x-wiki <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:15pt;color:#990033;text-align:center;">C &middot; IVLII &middot; CAESARIS &middot; COMMENTARIORVM &middot; BELLI &middot; GALLICI</div> <div style="font-family:Arial Black;font-style:normal;font-size:30pt;color:#990033;text-align:center;">LIBER &middot; SEPTIMVS</div> <br> {| id="toc" style="align:center;clear:all;" align="center" cellpadding="5" |- ! style="background:#bbf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記/注解編|ガリア戦記 注解編]] &nbsp; | style="background:#ccf; text-align:center;" |&nbsp; [[ガリア戦記 第7巻/注解|第7巻]] &nbsp; | style="background:#eef; text-align:center;"| &nbsp;[[ガリア戦記 第7巻/注解/33節|33節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/34節|34節]] | [[ガリア戦記 第7巻/注解/35節|35節]] &nbsp; |} __notoc__ == 原文テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>原文テキストについては[[ガリア戦記/注解編#原文テキスト]]を参照。</ref> </div> <span style="background-color:#ffc;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;テキスト引用についての注記 <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:bold;font-size:15pt;"></span> == 整形テキスト == <div style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;color:#333;text-align:left;"><ref>整形テキストについては[[ガリア戦記/注解編#凡例]]を参照。</ref> </div> <span style="color:#800;"></span> <!--❶--><!--❷--><!--❸--><!--❹--><!--❺--><!--❻--><!--❼--><!--❽--><!--❾--><!--❿--><!--⓫--><!--⓬--> <!-- &nbsp;<!--◆-->&nbsp; --> ---- ;注記 <!-- *原文の <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:acclivis#Latin|acclīvis]], [[wikt:en:accommodatae|accommodātae]], [[wikt:en:allatis|allātīs]], [[wikt:en:Aduatuca#Latin|Aduātucam]], [[wikt:en:Aduatuci|Aduatucī]], 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Roman;font-style:normal;font-size:15pt;">[[wikt:en:adclivis#Latin|adclīvis]], [[wikt:en:adcommodatae|adcommodātae]], [[wikt:en:adlatis|adlātīs]], Atuātucam, [[wikt:de:Atuatuci|Atuatucī]], Atuatucīs, Atuatucōs, Haeduae, [[wikt:en:Haedui|Haeduī]], [[wikt:en:Haeduis|Haeduīs]], [[wikt:en:Haeduorum|Haeduōrum]], [[wikt:en:Haeduos|Haeduōs]], Haeduus, [[wikt:en:aequinoctii|aequinoctiī]], [[wikt:en:adfecti|adfectī]], [[wikt:en:adfectus#Adjective|adfectus]], [[wikt:en:adferat|adferat]], [[wikt:en:adferebat|adferēbat]], [[wikt:en:adferret|adferret]], [[wikt:en:adferretur|adferrētur]], [[wikt:en:adflictae|adflīctae]], [[wikt:en:adfligunt|adflīgunt]], [[wikt:en:adgregabat|adgregābat]], [[wikt:en:adgregaverant|adgregāverant]] ([[wikt:en:adgregarant|adgregārant]]), [[wikt:en:adlato|adlātō]], [[wikt:en:adliciebat#Latin|adliciēbat]], [[wikt:en:Alpes#Latin|Alpēs]], [[wikt:en:adpelluntur|adpelluntur]], [[wikt:en:adpetebat|adpetēbat]], [[wikt:en:adportari|adportārī]], [[wikt:en:adplicant|adplicant]], [[wikt:en:adprobant#Latin|adprobant]], [[wikt:en:adpropinquabat|adpropinquābat]], [[wikt:en:adpropinquare|adpropinquāre]], [[wikt:en:adpropinquarent|adpropinquārent]], [[wikt:en:adpropinquassent|adpropinquāssent]], [[wikt:en:adpropinquaverunt|adpropinquāvērunt]] ([[wikt:en:adpropinquarunt|adpropinquārunt]]), [[wikt:en:adpropinquavit|adpropinquāvit]], [[wikt:en:adpulso|adpulsō]], [[wikt:en:adripere|adripere]], [[wikt:en:articulis|articulīs]], [[wikt:en:adscendissent|adscendissent]], [[wikt:en:adscensu#Noun|adscēnsū]], [[wikt:en:adsidua|adsiduā]], [[wikt:en:adsiduis#Latin|adsiduīs]], [[wikt:en:adsuefacti|adsuēfactī]], [[wikt:en:adsuescere#Latin|adsuēscere]], [[wikt:en:adtingit|adtingit]], [[wikt:en:adtingunt|adtingunt]], [[wikt:en:adtribuerat#Latin|adtribuerat]], [[wikt:en:adtribuit|adtribuit]], [[wikt:en:adtribuunt|adtribuunt]], [[wikt:en:aures#Noun|aurēs]], [[wikt:en:auxilii|auxiliī]], [[wikt:en:cedentes#Latin|cēdentēs]], [[wikt:en:cives#Latin|cīvēs]], 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[[wikt:en:conlocatas|conlocātās]], [[wikt:en:conlocati|conlocātī]], [[wikt:en:conlocatis#Participle|conlocātīs]], [[wikt:en:conlocaverat#Latin|conlocāverat]], [[wikt:en:conlocavit|conlocāvit]], [[wikt:en:conlocuti|conlocūtī]], [[wikt:en:conloquantur|conloquantur]], [[wikt:en:conloquendi|conloquendī]], [[wikt:en:conloqui#Latin|conloquī]], [[wikt:en:conloquium#Latin|conloquium]], [[wikt:en:communes#Latin|commūnēs]], [[wikt:en:conpluribus|conplūribus]], [[wikt:en:complures#Latin|complūrēs]], [[wikt:en:conprehensis|conprehēnsīs]], [[wikt:en:conprehensos|conprehēnsōs]], [[wikt:en:conantes|cōnantēs]], [[wikt:en:consilii|cōnsiliī]], [[wikt:en:derectus#Latin|dērēctus]], [[wikt:en:dubitantes|dubitantēs]], [[wikt:en:efferciuntur#Latin|efferciuntur]], [[wikt:en:egredientes|ēgredientēs]], [[wikt:en:ii#Latin|iī]], [[wikt:en:iis#Latin|iīs]], [[wikt:en:exsistit|exsistit]], [[wikt:en:exspectent#Latin|exspectent]], [[wikt:en:exposcentes#Latin|exposcentēs]], [[wikt:en:extruxerunt#Latin|extruxerunt]], [[wikt:en:ferventes#Latin|ferventēs]], [[wikt:en:fines#Latin|fīnēs]], [[wikt:en:glandes#Latin|glandēs]], [[wikt:en:haesitantes#Latin|haesitantēs]], [[wikt:en:hostes#Latin|hostēs]], [[wikt:en:ignes|ignēs]], [[wikt:en:inlatas|inlātās]], [[wikt:en:inlustrem#Latin:_adjective|inlūstrem]], [[wikt:en:inmittit|inmittit]], [[wikt:en:inmittunt|inmittunt]], [[wikt:en:inparatum|inparātum]], [[wikt:en:inpedita#Latin|inpedīta]], [[wikt:en:imperii#Latin|imperiī]], [[wikt:en:inprudentia#Noun|inprūdentia]], [[wikt:en:incolumes|incolumēs]], [[wikt:en:indignantes#Latin|indignantēs]], [[wikt:en:inopinantes|inopīnantēs]], [[wikt:en:inridere|inrīdēre]], [[wikt:en:inrumpere|inrumpere]], [[wikt:en:inrumpit|inrumpit]], [[wikt:en:inruperunt|inrūpērunt]], [[wikt:en:laborantes#Latin|labōrantēs]], [[wikt:en:montes#Latin|montēs]], [[wikt:en:natales#Latin|nātālēs]], [[wikt:en:naves#Latin|nāvēs]], [[wikt:en:negotii|negōtiī]], [[wikt:en:nonnullae|nōnnūllae]], [[wikt:en:nonnullos|nōnnūllōs]], 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[[wikt:en:vectigales|vectīgālēs]] </span> などとした。 --> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:normal;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-style:oblique;font-size:15pt;"></span> <span style="color:#b00;"></span> <span style="color:#800;"></span> <span style="font-size:10pt;"></span> <span style="background-color:#ff0;"></span> == 注解 == === 1項 === <span style="font-family:Times New Roman;font-size:20pt;"></span> ;語釈 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;background-color:#fff;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> <span style="background-color:#ccffcc;"></span> <!-- ;対訳 《　》　内は、訳者が説明のために補った語。<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">{</span>　<span style="font-family:Times New Roman;font-size:30pt;">}</span>　内は関係文。 <span style="font-family:Times New Roman;font-size:15pt;"></span> --> == 訳文 == *<span style="background-color:#dff;">訳文は、[[ガリア戦記_第7巻#34節]]</span> == 脚注 == {{Reflist}} == 解説 == <!-- {| class="wikitable" style="text-align:center" |- style="height:23em;" | | |} --> == 関連項目 == *[[ガリア戦記]] **[[ガリア戦記/注解編]] ***[[ガリア戦記 第7巻/注解]] **[[ガリア戦記/用例集]] == 関連記事 == == 外部リンク == [[Category:ガリア戦記 第7巻|34節]] 8ytl9prmtf0ir0ypgynjs6lkzcec1h4 0 48946 304267 2026-10-04T11:50:04Z Iba.blue 90176 ページの作成:「この単元では、動物、植物に共通する細胞の働きの仕組みについて学習します。この後の「代謝」の単元とつながるところが多くあるので、用語を覚えましょう。 == 細胞の構造 == この内容は、生物基礎の復習になる部分が多いですが、新しい用語も出てきます。 生物は大きく、'''原核生物'''、'''真核生物'''に分けられます。原核生物は、細胞内に…」 304267 wikitext text/x-wiki この単元では、動物、植物に共通する細胞の働きの仕組みについて学習します。この後の「代謝」の単元とつながるところが多くあるので、用語を覚えましょう。 == 細胞の構造 == この内容は、生物基礎の復習になる部分が多いですが、新しい用語も出てきます。 生物は大きく、'''原核生物'''、'''真核生物'''に分けられます。原核生物は、細胞内に核をもたないもの、真核生物は細胞内に核をもつものです。また、原核生物の細胞を'''原核細胞'''、真核生物の細胞を'''真核細胞'''と言います。 細胞内にある微小な構造のことを'''細胞小器官'''と言います。これ以降、真核細胞に含まれる細胞小器官について学習しますが、各種類の生物の細胞に含まれる細胞小器官を○と×で表した表を示しました。 {| class="wikitable" style="text-align: center;" |+ 各生物における細胞構造・細胞小器官の有無 |- ! rowspan="2" | 構造・細胞小器官 ! colspan="3" | 真核生物 ! colspan="3" | 原核生物 |- ! 動物 !! 植物 !! 菌類 !! 古細菌 !! 細菌 !! シアノバクテリア |- ! style="text-align: left;" | 細胞膜 | ○ || ○ || ○ || ○ || ○ || ○ |- ! style="text-align: left;" | DNA | ○ || ○ || ○ || ○ || ○ || ○ |- ! style="text-align: left;" | 核膜 | ○ || ○ || ○ || × || × || × |- ! style="text-align: left;" | ミトコンドリア | ○ || ○ || ○ || × || × || × |- ! style="text-align: left;" | 葉緑体 | × || ○ || × || × || × || × <ref name="cyanobacteria" /> |- ! style="text-align: left;" | 細胞壁 | × || ○ || ○ || ○ <ref name="archaea-wall" /> || ○ <ref name="bacteria-wall" /> || ○ |} 細胞は、核と細胞質に分けられます。細胞質は、ほとんどが'''細胞質基質(サイトゾル)'''という液状のもので満たされています。また、この中に以降扱う多くの細胞小器官が含まれます。 == 細胞小器官 == 細胞小器官についての問題は、図に示されたものの名称を当てるものが多いです。そのため、図と用語を一致させるようにしましょう。 [[ファイル:Biological cell.svg|thumb|right|450px|'''典型的な動物細胞の模式図'''<br/>1.核小体、2.核、3.リボソーム、4.小胞体、5.粗面小胞体、6.ゴルジ体、7.細胞骨格、8.滑面小胞体、9.ミトコンドリア、10.液胞、11.細胞質基質、12.リソソーム、13.中心体]] [[ファイル:Plant_cell_structure_svg_labels.svg|thumb|right|450px|'''典型的な植物細胞の模式図'''<br/>a.原形質連絡、b.細胞膜、c.細胞壁、1.葉緑体（d.チラコイド膜、e.デンプン粒）、2.液胞、（f.液胞、g.液胞膜）、h.ミトコンドリア、i.ペルオキシソーム、j.細胞質、k.小さな膜小胞、l.粗面小胞体 、3.核（m.核膜孔、n.核膜、o.核小体）、p.リボソーム、q.滑面小胞体、r.ゴルジ小胞、s.ゴルジ体、t.繊維状の細胞骨格]] === 核 === '''核'''は、1つの細胞が普通1つもっており、核の表面には'''核膜'''(かくまく、nuclear membrane)、核の内部に'''染色体(chromosome)'''があります。 染色体は、DNAが凝縮したもので、遺伝情報を担います。そのため、核は遺伝の面で重要な役目を果たします。 核は'''核膜'''という膜で包まれています。これは、'''二重膜'''の構造をしています。この中にある'''核膜孔'''を通して遺伝物質(mRNA)が細胞質に放出されます。 また、核の中には'''核小体'''があり、これがタンパク質の合成に関わるrRNAを合成します。 === 細胞膜 === '''細胞膜'''は、細胞と外界を区切るものです。逆に、細胞膜に包まれたものを細胞と言います。そのため、細胞膜が存在することは生物の共通事項となっています。 細胞膜は、厚さ10nmほどの膜で、'''リン脂質'''という物質が'''二重'''になってできています。細胞内外の物質の出入りを担います。 === 細胞壁 === 細胞壁は'''植物にしかありません。'''植物細胞内部を守るためにあります。 === ミトコンドリア === '''ミトコンドリア'''(mitochondria)は動物と植物の細胞に存在し、長さ1μm～数μm、幅0.5μm程度の粒状の細胞小器官で、化学反応によって酸素を消費して有機物を分解しエネルギーを得る呼吸(respiration)を行います。 === 葉緑体 === '''葉緑体'''(chloroplast)は植物の細胞に存在し、直径5～10μm、厚さ2～3μmの凸レンズ形の器官で、光エネルギーを使って水と二酸化炭素から炭水化物を合成する'''光合成'''(photosynthesis)を行います。 また、葉緑体は'''クロロフィル'''（chlorophyll）という緑色の色素を含んでいます。葉緑体は、ミトコンドリアと同じように独自のＤＮＡを持っています。 === 液胞 === '''液胞'''(えきほう、vacuole)は主に植物細胞にみられ、物質を貯蔵したり浸透圧を調節したりします。 一重の液胞膜で包まれ、内部を'''細胞液'''(cell sap)が満たしています。 一部の植物細胞は'''アントシアン'''(anthocyan)と呼ばれる色素を含みます。 == 脚注 == <references> <ref name="cyanobacteria">'''シアノバクテリア''': 葉緑体自体は持たないが、細胞内にチラコイド膜を有して光合成を行う。</ref> <ref name="archaea-wall">'''古細菌の細胞壁''': 主にタンパク質や擬ペプチドグリカンで構成され、細菌とは成分が異なる。</ref> <ref name="bacteria-wall">'''細菌の細胞壁''': 主にペプチドグリカンから構成される。</ref> </references> q65orc2hf8cnp4sf5b83e9gw6xg6kh5